Potentialtheorie zweiter Ordnung für
vertikal schwingende Zylinder
Apostolos P a p a n i k o l a o u , Institut für SdiifEstechnik, TU Berlin
Im Hinblick auf die Entwicklung eines nichtlinearen Übertragungsmodells für die Behandlung von endlich
großen Schiffsbewegungen im schweren Seegang ist zunächst das nichtlineare Glattwasserproblem eines
tauchenden Zylinders behandelt worden.
Das potentialtheoretisch sich ergebende nichtlineare Randwertproblem gemischter Art ist mit Hilfe der
Störungsrechnung und von Integralgleichungsmethoden bis zur zweiten Ordnung bezüglich des
Entwicklungsparameters gelöst worden.
•■•-Anhand der numerischen Ergebnisse für schiffsähnliche Spanten sind Vergleiche mit bekannten
Resultaten bisheriger Theorien sowie mit Versuchsergebnissen angestellt worden.
EINLEITUNG
Untersuchungen über die Hydrodynamik von zylindrischen Körpern, die an oder nahe der freien
Wasseroberfläche harmonisch schwingen, sind für die Behandlung der praktisch wichtigen
Schiffsschwingungen im Seegang von grundsätzlicher Bedeutung. Sie bilden die Voraussetzung für
Berechnungen für Schiffe und meerestechnische Objekte, wenn anschließend das Superpositionsprinzip und
eine Streifenmethode zugrundegelegt werden.
Bis vor kurzem hat man bei solchen Berechnungen fast ausschließlich mit lineari- sierten Theorien
gearbeitet, die von der Annahme verschwindend kleiner Bewegungsamplituden ausgehen.Der Vergleich von
experimentell ermittelten Ergebnissen mit solchen nach einer linearen Theorie hat jedoch gezeigt, daß
beim Vorhandensein einer endlich großen Bewegungsamplitude der Einfluß der bislang vernachlässigten
nichtlinearen hydrodynamischen Glieder erheblich sein kann /1/ , /2/ ,/3/.
Mit dem fast gleichzeitigen. Erscheinen der Arbeiten von C. M. LEE(1966)A/ und G. PARISSIS/5/ über
nichtlineare Theorien zweiter Ordnung für an der freien Wasseroberfläche vertikal schwingende LEWIS- bzw.
Kreisspanten wurden erstmalig ' ziemlich vollständige theoretische Entwicklungen sowie numerische
Ergebnisse für den nichtlinearen Fall von schwimmenden Spanten bei unendlicher Wassertiefe vorgelegt.
Eine von C. H. KIM(19Ö7)/6/ veröffentlichte Arbeit über den Einfluß nichtlinearer Effekte auf die
hydrodynamischen Kräfte bei erzwungenen Tauchbewegungen prismatischer Körper greift auf die
Multipolentwicklungen von 0. GRIM (1953) zurück und liefert nur für Dreiecksspanten konkrete Ergebnisse.
Die bislang umfangreichste Arbeit über das vorliegende Problem wurde von R. P0TASH(1970)/7/ vorgelegt
und zwar für beliebige Spantformen und alle drei Freiheitsgrade der Ebene einschließlich deren
gegenseitiger Kopplung. Seine Lösungstechnik enthält"neben einer Störungsrechnung zur Linearisierung des
Randwertproblems, eine Close-Fit- Methode, die auf Einfach- und Doppelschichtpotentialdarstellungen
beruht. Die gelieferten numerischen Ergebnisse sind infolge des bei der zweiten Ordnung verstärkten
Einflusses des sog. Irregularitätenphänomens /8/, /9/ z.T. zweifelhaft.
In einem kurzen Bericht von H. SÖDING(1976)/10/ wurde ferner eine Möglichkeit aufgezeigt, wonach sich
relativ einfach auf der Grundlage der GREENschen Sätze
die gesamten hydrodynamischen Kraftwirkungen zweiter Ordnung berechnen lassen, wenn die Randwerte des
Potentials erster Ordnung für bestimmte Schwingungsfrequenzen vorliegen.
Ein Vergleich der numerischen Ergebnisse bezüglich der Werte der hydrodynamischen Druckkraft zweiter Ordnung
für einen tauchenden Kreiszylinder nach den oben erwähnten Autoren und A. PAPANIKOLAOU(1977)/11/ (Diagr.
7)- offenbart eine gewisse Unsicherheit des derzeitigen Standes der Forschung auf diesem Gebiet, obwohl die
Tendenzen von verschiedenen nichtlinearen Effekten klar erkennbar sind. Diese werden auch von neuen
umfangreichen Versuchsergebnissen aus Japan( F. TASAI , W. KOTERAYAMA (19T6)/12/) bestätigt.
Ziel der vorliegenden Arbeit, die auf der Basis der Dissertationsschrift des Verfassers/11/ entwickelt wurde,
ist es, einige der aufgetretenen Unsicherheiten auf diesem Gebiet auszuräumen, so bei der Formulierung der
Randwertprobleme zweiter Ordnung sowie bei den erzielten numerischen Ergebnissen.. Durch die Anwendung einer Integralgleichungsmethode( Close-Fit ) bei der Lösung der anfallenden Randwertprobleme werden nahezu
- 53 -
Schiiistechnik Bd. 25 -- 1978
beliebig geformte Spantformen erfaßt, was für die praktische Anwendung der vorliegenden Theorie von großer
Bedeutung ist. Der störende Einfluß der Irregularitäten wird dabei durch numerische Methoden behandelt..
Der Fall endlicher Wassertiefe wird bei der Problemformulierung und Lösung berücksichtigt. Die numerische
Auswertung beschränkt sich jedoch auf den Fall unendlicher Wassertiefe.
PROBLEMFORMULIERUNG
ANNAHMEN
Der zu: untersuchende Zylinder mit der getauchten Körperkontur S soll vertikal an oder nahe unter der
freien"Oberfläche einer vor der Störung in Ruhe befindlichen Flüssigkeit endlicher Wassertiefe h mit der
Schwingungsamplitude a und der Kreisfrequenz w harmonisch schwingen. Neben einem ortsfesten kartesischen
Rechtssystem o - x - y , dessen x-Achse längs der ungestörten Ruhewasserlinie verläuft, wird ein körperfestes
o - x - y Rechtssystem eingeführt. Die nach oben gerichtete Vertikalachse y , die mit y zusammenfällt, soll
die Körpersymmetrieachse bilden (Abb. 1).
Bei Berücksichtigung einer einfach harmonischen, erzwungenen Bewegung der Form
y ( t ) = a sin tut
o
(1)
lassen sich folgende Beziehungen zwischen den Körperkoordinaten in beiden Koordinatensystemen, aufstellen:
x(s;t) = *(s)
y(s;t) = y(s) + yQ(t) .
Unter den üblichen Voraussetzungen der Potentialtheorie' für das Medium(Wasser) und die sich ergebende ebene
Strömung existiert ein die Flüssigkeitsbewegung allein beschreibendes Geschwindigkeitspotentia.1 $(x,y;t)
, das, aus Kontinuitätsgründen, die LAPLACEsche Differentialgleichung(Potentialgleichung) im gesamten
Flüssigkeitsbereich erfüllen muß. Der Flüssigkeitsbereich wird durch folgende Ränder begrenzt: die
augenblicklich getauchte Körperkontur S , die zunächst unbekannte freie Wasseroberfläche beiderseits des
Körpers bis zum Unendlichen, mit y = Y(x;t) außerhalb des Körpers, die feste Bodenlinie y = -h, sowie zwei
vertikale Kontroilinien im positiven -und negativen Unendlichen.
RANDBEDINGUNGEN
Aus der kinematischen
Yt(x;t) + $x(x,Y(x;t);t) Y x
Schiffstechnik Bd. 25 — 1978
- 54 -
-
=0
'(3)
und dynami s chen(BERNÖULLI)
$t(x,Y(x;t);t) + g Y +
= 0
(k)
Randbedingung an der freien Wasseroberfläche y = Y(x;t) ergibt sich durch Substitution des Wellenprofils
folgende kombinierte Freie^-Oberflächen-Randbedingung nach /II/:
$tt(x,Y(x;t);t)+ g $y = - 2( ^
+
Vty > " $!*xx "
2
+
Wxy " *y*yy '
^
Die kinematische Körperrandbedingung besagt, daß die Strömungs-. und Körpergeschwindigkeit entlang der
festen Körperkontur S gleich groß sein müssen, oder für (x,y) e S
$n E (n V) $(x,y;t) = Vn ,
(6)
mit
Vn = - yQ(t) x
(T)
»
wobei der Strich eine Differentiation .nach der Bogenlänge s , der Punkt die ' entsprechende Ableitung nach,
der Zeit t und (n v) ' den Normalen-Differentialoperator in Richtung der äußeren-Normale bedeutet' (Abb.'
1).
Bei Beschränkung der Untersuchung auf bezüglich der y ^ Achse symmetrische Körper und Bewegungen ergibt
sich für $
oder
$(.x,y;tj = $(-x,y;t) ,
(8)
$x(0,y;t) = 0 .
- 55 -
(8)'
Schiiistechnik Bd. 25 -- 1978
Da durch den geraden festen Boden y = -h nichts hindurchfließen kann,ergibt sich für $ :
4 (x,-h;t) = 0 .
(9)
Schließlich muß im Unendlichen beiderseits des Körpers eine Endlichkeitsbedingung von $ erfüllt werden.
Da es sich um einen bis zum Unendlichen reichenden Schwingungsvorgang, infolge von im Endlichen sich
befindenden Quellen, handelt, kann die Erfüllung der SOMMERFELDSchen Ausstrahlungsbedingung gefordert
werden, was die Eindeutigkeit der sich ergebenden mathematischen Lösungen für $ sichert.. Diese Bedingung
besagt physikalisch, daß im Unendlichen in x-Richtung beiderseits des Körpers abgehende, regelmäßige ebene
Schwerewellen die Strömung charakterisieren/11/.
.,..
STÖRUN.GSRECHNUNG .
Die Störungsrechnung nimmt ihren Ausgang von einer auf der Basis eines geeignet definierten kleinen
Störungsparameters £ entwickelten Schar von Randwertaufgaben, die die zu lösende sog. g e s t ö r t e
Aufgabe sowie die schon bekannte sog. u n g e s t ö r t e Aufgabe enthält.
Es sei
die bekannte und exakte Null-Lösung der ungestörten Aufgabe. Nun
soll die gesuchte Potentiallösung $ von der bekannten
-Lösung sich nur
durch den kleinen- Parameter £ unterscheiden, mit
•lim 4(x,y;t;e) = $(0)(x,y;t) .
- eO '
(10)
Unter Berücksichtigung dieser Forderung wird als Störungsparameter £ das relativ kleine Verhältnis der
Schwingungsamplitude a zur maximalen Halbbreite des Zylinders b
£
=
~
•
(11)
b
gesetzt. Bei dem Störungsparameter handelt es sich um einen dimensionslosen physikalischen Parameter mit der
Eigenschaft, daß für £+ 0 ( a-> 0 ) ■ die Störung der Grundlosung nach (10) verschwindet.
Im folgenden wird angenommen, daß das gesuchte Geschwindigkeitspotential $ nach dem kleinen Parameter e in Form
eines Störungsansatzes entwickelt werden kann
$(x,y;t;£) = £
£
. N
, X
$U;(x,y;t) ,
n=1
n
(12)
(0)
wobei $ = 0 vorausgesetzt wurde.
Die Konvergenzfrage für (12), im- Zusammenhang mit (10), insbesondere die gleichmäßige Konvergenz, bleibt
zunächst offen. Sie hängt offenbar von der Größe des kleinen Parameters £ ab/11/.
Da die erzwungene Körperbewegung zeitlich einfach harmonisch vorausgesetzt wurde, kann im folgenden angenommen
werden, daß die sich ergebende Störung der Flüssigkeit und der entstandene Strömungszustand - nach Abklingen
von Anfangsstörungen - zeitlich periodisch sind. Unter Zugrundelegung eines nichtlinearen Übertragungsmodells
N-ter.. Ordnung .
N
z
= Ta x
-n
n
1 1
,
(13)
n=0
wobei X ein■Input-Signal, Z das entsprechende Output-Signal und A konstante Faktoren bedeuten, und
Berücksichtigung der Erregerfunktion (1_) ergibt sich für $ aus (12):
SdiifEstechnik Bd. 25 — 1978.
- 56 ^
.•Cx,y;tie)= l l
N K
/ \
^n)(x,y) e"jkü)t .
n=1 k=0
.,4-
n
e
(1U)
Die Summenkomponenten in (lU) werden aus dein komplexen Ortsfunktionen <|>^ n^(x,y)
die jeweils mit der k-fachen- Erregerkreisfrequenz zeitharmonisch oszillieren, gebildet. Da das
Geschwindigkeitspotential $ eine reelle Größe ist, bedeutet das,'daß nur die Realteile auf der rechten
Seite von (1b) einen physikalischen Sinn besitzen. Es wird darauf hingewiesen, daß, sobald das Produkt
von zwei sog. z e i t komplexen Funktionen auftritt - im Unterschied zu den später eingeführten sog.
ö r t s komplexen Funktionen mit i
= /=l"
-, die beide als
Realteile von komplexen Produkten definiert sind, nur das Produkt der Realteile berücksichtigt werden soll.
Entsprechend zum Ausdruck (11+) für $ -ergibt sich unter Berücksichtigung des gleichen
Übertragungsmodells (13) eine Störungsentwicklung für das Wellenprofil Y(x;t)
L M
i m Y(x.;t;e) * I I e1 Y<i;(x;t) ,
(16)
1=1 m=0
mit
t^W) = yi^Cx) e"^
m
m
und
y(1) =y(1)+ jy(l) , m > 1 m mc ms ' ^
Durch Einsetzen der Störungsansätze für $(11+) und Y(16) in die LAPLACEsche Differentialgleichung und die
zu erfüllenden Randbedingungen läßt sich das aufgestellte nichtlineare Zeit-Randwertproblem mit dem z.T. f
r e i .e n Rand linearisieren und in mehrere - für die Theorie zweiter Ordnung in drei - lineare Randwertprobleme
mit f e s t e n Rändern umwandeln. Dabei werden beim Einsetzen von $(11+) in die Randbedingungen der freien
Oberfläche (5) und der Körperkontür (6) die Teilpotentiäle <|>]cn^ in TAYLOR-Reihen bezüglich der
u n g e s t ö r t e n - und bekannten - Lage dieser Ränder entwickelt. Durch Ordnen der sich ergebenden
Ausdrücke nach der gleichen Ordnung bezüglich e sowie der gleichen zeitharmonischen Abhängigkeit ergeben sich
bei Berücksichtigung von Gliedern bis 0(e2) die zu lösenden drei linearen Randwertprobleme für. die
Teilpotentiale <|>£n). Gleichzeitig'vereinfacht sich der Lösungsansatz für $ zu' der Form ■
»U,y;t;c) = e^'u.y) e^"* +
. .*( *<2> +'42> e^ ) • 0(.>) ,
<1T)
'
da manche, der (f)]^ für n ^ k , mit Ausnahme von <t>|2 ^ für die zweite Ordnung, nur triviale Lösungen
liefern/11/.
RANDWERTPROBLEME '
Zur Abkürzung werden folgende Differentialoperatoren entlang der bekannten Ränder S_ ,'S , S„ und ST eingeführt
(Abb. 2):
r O I\ ,
Ii
Freie-Oberflächen-Differentialoperator
F (v){F(x,y)}E
( F - vF )|
y
- 57 -
(18)
(x,y)e S?
Schiiistechnik Bd. 25 -- 1978
Körperoberflächen-Differentialoperator
B
• (xjy)e S,
(F(x,y)} = ( y 'Fx - x 'Fv )!
(19)
Ausstrahlungs-Differentialoperator
■ R (vo){F(x,y)}
, Re '{^J jvQF}l * SR ,
(x,y)e{„ '
(20)
L
mit der Wellenzahl der Erregung
(21
)
V =
,2
und der Wellenzahl der abgestrahlten Wellen im Unendlichen
Vq
,die sich aus
v th(v h). = .v
o o •
■(21)'
bestimmen läßt.
sg
y=o
1S-
=
y=o
®
X=-oo
da
°
x=+°
P(x,y)
y=-h
B
Abb. 2 -
- '
Es ergeben sich folgende lineare Randwertprobleme für die nichttrivialen Teil- potentia'le <t>|n) (17):
K
Lineares Randwertproblem erster Ordnung Problem •
.A^j1^(x,y) = 0 , für (x,y) e D , B {<|)1(l)(x,y)] = - ü)bx
(22
' , (x,y) e S Q , F(v){<|)1(l)(x,y)} = 0 , (x,y) e S P ,
)
♦ jy(x,y) = 0
(x,y) e Sß,
S
(x,y)} = 0 , (x,y) e{g ,
L
(l)
R(vo){d,1
(23)
R
<|)|1 ^ (x>y) = fj1^ (-x,y) ,( symm. Spanten ).
(2U
)
(2 5 )
(2 6 )
(27)
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- 58 -
Lineare Randwertprobleme zweiter Ordnung
'' "
(2)
- Problem . . d
A<fr£2)(x,y) = 0 , für (x,y)
£
D ,
(28)
B {<4 2) (x,y)} =-^{<fr 1 y ) }»
e S o, "
F(Uv){42)(x,y)} = j ^
"
F(v){<(,1(^})
^(x.y) = 0 , (x,y)
£
, (x,y)
e
SF,
~ (30)
S B,
(31)
g
RUvo){<42)(x,y)} = 0 , (x,y) £{SR,
(2)
oj^}-
+
(l)
<f1
(29)
(32)
L
(2)
<p 0 (x,y) = <p Q (—x,y) , ( symm. Spanten ) .
(33)
(2)
<j>_ - Problem ■^o———^—
A<l>Q?)(x,y) ,= 0 , für (x,y) e D ,
Bf^x.y)} *
, (x,y)
(3U)
e
S q,
(35)
^(x,y)=1|lmj{
♦ S^Ftv)^'}} , (x,y)
e
SF,
(36)
^.(x.y) = 0 , (x,y) e Sß,
0
(2)
(37)
S
R
lim / fL U,y)dy = - M(co) , (x,y) e{
jxk »_h .
(2)
K
_
L'
(2)
<PQ (x,y) = <Pq (-x,y) , ( symm. Spanten ) ,
(3Ö)
(39)
(2)
Das tpQ ~ Problem wird im weiteren nicht mehr betrachtet, da dessen Beiträge für die hydrodynamischen
Kraftwirkungen von vierter Ordnung bezüglich e sind. Seine physikalische Bedeutung für die zweite Ordnung
beschränkt sich auf die Erklärung des bei Wellen endlicher Amplitude in Wellenfortschrittsrichtung stattfindenden Massentransports (38) /Ii/.
Dj.e aufgestellten linearen Randwertprobleme für das (f)^- (Gl. (22)-(2?)) bzw. <p2 (Gl.
(28)-(33))'Potential sind sog. ROBINsche Probleme, deren Randbedingungen auf Teilen des Randes durch
inhomogene bzw. homogene NEUMANNsche oder ROBINsche(gemischte) Beziehungen charakterisiert sind (Abb.
3,rechts). Ein Vergleich des $ 1 * mit dem entsprechenden - <|>|2)- Problem zeigt, daß der zu lösende
Randwerttyp genau der gleiche ist, mit Ausnahme der homogenen Freie-Öberflä- chen-Randbedangung (2U) im
Vergleich zu (30). Insofern läßt sich das Problem erster Ordnung als Spezialfall des Problems zweiter.
Ordnung behandeln, wenn für das letztere ein Lösungsverfahren vorliegt. Umgekehrt kann man durch eine leichte Modifikation des' <pJ> )- Potentials, mit tp^2) = ^^ + <f>i2) ,' das <|J2 ^-Problem
- 59 -
Schiiistechnik Bd. 25 -- 1978
RANDWERTPROBLEME
ERSTER ORDNUNG
W
f
r
y=o
rSS-
y
G(l)-.vG(l) = 0
-SS-
y=o
= 0
*1y "
n
•SS-1
'P(x.,y)
® QU,n)
AG
G(l)+ jv G(1)=0
o
(1)
(l)
(l)
= 0 -G - jv G =0 x
X=-oo
X
G
( l )
o
S
. __________ Z R
=0
X=-cx>
X=+°°
♦Ii'- -o*!"- X=+=J
S
LI
y=-h
y=~h
iy
B
AG(2) = 0 G(2)- jkv G(2)=O
x
o
G(2) = 0 y
h,, J 2 1 - t ( 2 >
RANDWERTPROBLEME ZWEITER
ORDNUNG
G(2)- ^VG(2) =o
y=o
-SS-
*2V ' 2
-SSn
y=o ■
-^
X=-co
j^V
G(2)=0
o
x
R
(2)=0 .2x „..„^
r
2 x ° o 2 y=-h
r-SS-
2y
°P(x,y).
X
=
r
C
O
y=o
x=+°°
Abb.- 3
i (2 ) ,, J2).
x
=
+
°
°
(2)
s; ^22x ^o* 22 =° Ä*22 = ° *22x- ^o* 22= °
y=-h
J2^L l^J2) - T(2)" 22y~ 22
"
-Sh
5
x=+°°l
= o
(2)
S
y=-h
-----
---S-i
© QU.n)
:G(2)+
h
(2) ,, ,(2).
- 0
22y " ° sc
y=°
JJ hül
a(2) - 0
12y " °
(2) _ _(2)
x=-°°
y=-h
J 2^ k J 2 )
F
( 2 ) *i2n-~
F
~ 22n
x
—
-
n
Abb, 4
Al x *
- 61 -
jl+
Vl(2)=0 A(f' ' =
0
Schiiistechnik Bd. 25 -- 1978
auf den cf>|1 ^ — Typ und ein zusätzliches Randwertproblem mit bekannter Lösung zurückführen (Abb. h.)-/k/,
/II/.
Anm.: Gl. (30) und (36) sind bislang in der Literatur umstritten gewesen.
PROBLEMLÖSUNG
INTEGRALGLEICHUNGEN
Durch die Zurückfülirung der eben beschriebenen Randwertprobleme für
bzw.
t m i t Hilfe der GREENschen Sätze der Potentialtheorie auf Integralgleichungen lassen sich zunächst
Existenz- und Eindeutigkeitsfragen von Lösungen behandeln, wie in /II/ gezeigt wird. Andererseits ergeben
sich durch numerische Lösung der aufgestellten Integralgleichungen direkt oder indirekt - über die
Quellfunktion- bei Einfachschicht-Potentialdarstellung ~ die gesuchten Potentialfunktionen c(>| ' bzw.
. .
.
Die .Aufstellung .der Integralgleichungen ist- vom Auffinden geeigneter GREENscher Punktionen abhängig.,.
die ..zu .den Potentialrandwertproblemen. äquivalente, jedoch einfachere, Randwertprobleme erfüllen müssen
(Abb. 3. links) /II/. Die zu den dargestellten Randwertproblemen für c^1) bzw. c(>£2' passende GREENsche
Funktion wird durch das komplexe Potential in P(x,y) einer.in der unteren Halbebene im Punkt Q(£,n)
pulsierenden Einheitsquelle ausgedrückt, wobei die Schwingungsfrequenz für das <j>X2l~ Problem doppelt so
groß wie für das" C R 1'"- Problem, ist; entsprechend ist bei der GREENschen Funktion erster Ordnung die
Wellenzahl der Erre^ gung v sowie der ausgestrahlten Wellen V Q durch Uv. bzw. Uvq zu ersetzen, . um
die.GREENsche Funktion zweiter Ordnung zu erhalten.
Für den Fall e n d l i c h e r
Wassertiefe nimmt die GREENsche Funktion folgende .Form an /11/r
G(h)(x,y;?,n) = G^h) + W™ ,
(U0)
mit ( log : natürlicher Log. )
G^ = log R + log R. - 2 log h " oo
_ Ir(k + v) e"khch k(n +. h)ch k(y + h)cos k(x - Q e~khi
J*
k(k sh kh -vch kh)
c
1
"
■ k '
( t , )
o'<»> =
S
- 2ir
(v. + Vq) e V°hsh vph.ch Vo(n + h)ch yn{y + h)cos ,v0.(x - g)
2
vr,(vh + s
h
v
h
)
.
n
'
wobei die dimensionslosen Radien
R = (Cx - ?)2+ (y - n)2)l/2
■i/2
+ n + 2h)2)
(U2)
R1 = ((x - ?)2+ (y
eingeführt wurden.
Der später numerisch ausgewertete Ausdruck für die■GREENsche Funktion u n e n d l i c h e r
Wassertiefe (h
ergibt sich zu:
G(z,e) = Re^{ log(z - ?) - log(z - Z) +
OO . .
f -lk( z - Z)
■ t
+ 2 | 6 v _ k ' dt - j 2ire~1V Z
0
mit den o r t s komplexen Variablen
z = x + iy
x, = l + in , X - K ~ in •
Schiffstechnik Bd. 25 — 1978
- 62 -
,
(U3)
Die GREENsche Funktion (1+3) wird als harmonische Funktion- im z e i t komplexen Raum wie folgt
dargestellt:
.
G* (z, £ ;t) = Re.{ G e"0'^ } .
(kh)
J
Es gibt verschiedene Möglichkeiten für die Aufstellung von lösbaren Integralgleichungen auf der
Grundlage der formulierten Randwertprobleme. Im Rahmen der vorliegenden Arbeit wird nur auf eine
Integralgleichungsdarstellung eingegangen, die sowohl für das wie für das Problem Gültigkeit hat.
Weitere Möglichkeiten werden in /II/ genau aufgezeigt.
Durch Anwendung der sog. d r i t t e n GREENschen Formel der Potentialtheorie - auch als HELMHÖLTZsche'
Integralgleichung bekannt - auf das (f)^11^- Randwertproblem (Abb. 2.) ergibt sich folgende inhomogene
Integralgleichung vom Typ FREDHOLM- zweiter Art:
■ - 2, ♦<">(*,y) ♦ /
n
^"'(^.n)
(S ) °
o
(1*5)
d
Q
Q
/ G(n).F(n)U,n)'ds - / G(n)(x,y;?,0) L(n)(?) d? , ( S )
O
r
Q
(S_)
(x,y) e D .
Dabei erfolgt die Integration über D entlang SG , dem Rand von D , und die Differentiation in Richtung der
äußeren Körpernormale n nach den Quellpunktkoordinaten (index Q). Bei (1+5) handelt es sich um ein
gekoppeltes Integralgleichungspaar, da die gesuchten Potentialfunktionen <|)' n' komplexe Größen sind (Gl.
n
(15)) . Die aufgestellte Integralgleichung (1+5) läßt sich folgendermaßen deuten: Das Potential (j^11) (x,y) besteht
aus einem Doppelschichtpotential mit der unbekannten Belegungsdichte <|>n (SjTl) infolge von entlang S Q
angeordneten Dipolen, einem Einfachschichtpotential mit der bekannten Belegungsdichte - infolge von entlang
SQ angeordneten einfachen Quellen und schließlich, im Falle des Potentials , einem weiteren
Einfachschichtpotential mit der aus
den Potentialgrößen erster Ordnung gebildeten Belegungsdichte L' 2)(g)( Inhomogenität der
Freien-Oberflächen-Randbedingung ) infolge von entlang der Ruhewasserlinie SF angeordneten einfachen
Quellen. In (1+5) bedeuten F'n) und L(n)
rechten Seiten der Körper- und
Freien-Oberflächen-Randbedingungen
erster(n = 1 )bzw. zweiter(n = 2) Ordnung (Gl. (23),(2*+) bzw. (29),(30)).
Die dargestellte Integralgleichungsmethode hat neben ihrem allgemeingültigen, Charakter den Vorteil,
daß das gesuchte Potential am Körper direkt, ohne eine zusätzliche Integration wie bei konventionellen
Close-Fit'-Methoden über die Quellstärke erforderlich, erhalten wird. Dagegen sind die Existenzbeweise
für die Lösungen solcher Integralgleichungen komplizierter. Sie lassen sich jedoch unter gewissen
Voraussetzungen auf die einfacheren Integralgleichungen der Einfachschicht-Potentialdarstellungen
zurückführen. Mehr Erfahrungen über ähnliche Integralgleichungen, die im Zusammenhang mit
Schiffsschwingungen bislang kaum benutzt worden sind,- liegen aus dem Bereich der Hydroakustik vor /II/.
LÖ SUN GSVERFAHREN
Die in (1+5) aufgestellten Integralgleichungen für die e r s t e (n = 1 ) bzw. z w e i t e ( n = 2 )
Ordnung sind beide inhomogene FREDHOLMsche Integrälglei- chungeil zweiter Art von folgender allgemeinen
Form:
((> (s) - X / K(s,t) <p(t) dt = f (s) .
(1+6)
(s°>
Aufgrund der komplizierten Form des Integralkerries K(s,t) , der die Normalableitung der GREENschen
Funktion (1+1) bzw. (1+3) enthält, als auch der Störungs
- 63 -
Schiiistechnik Bd. 25 -- 1978
funktion f(s) , die beim Problem zweiter Ordnung die Berechnung eines uneigentlichen Integrals
voraussetzt, ist eine g e s c h l o s s e n e Lösung der vorliegenden Integralgleichungen für b e .
l i e b i g e Spantformen nicht möglich.
Nebein den Näherungsmethoden, die auf Entwicklungen des Integralkernes und der gesuchten Funktion nach
Eigenfunktionen basieren und nur für spezielle Spantformen möglich sind, ergibt das Quadraturverfahren
von. ¥. FRANK/9/ > die sog. CLOSE-FIT-Methode, ausreichend gute Lösungen für fast beliebige Spantformen.'
Die Methode bildet eine konsequente Ausdehnung des von' HESS und SMITH(1962) für die gleichförmige
Umströmung von getauchten Körpern eingeführten Verfahrens.
Es wird angenommen., daß die getauchte Körperkontur S ausreichend genau durch einen aus N Strecken bestehenden
Polygonzug approximiert werden kann (Abb. 5). Das gesuchte Potential
der entlang S angeordneten
Doppelschicht - nach
Gl. (U5) - soll sich nur langsam entlang SQ ändern, so daß es entlang des zu einem Segment gehörenden
Bogenstücks als konstant betrachtet werden kann. Ferner wird
im Mittelpunkt der Sehne des
jeweiligen Segmentes- berechnet, wobei von der tatsächlichen Körperköntur nur unerheblich abgewichen
wird, wenn ein genügend großer Polygonzug angenommen wird.' Die Genauigkeit der erzielten Ergebnisse wird
jedenfalls nicht wesentlich verbessert, wenn die tatsächliche Körperkontur berücksichtigt wird.
Unter diesen Annahmen lassen sich die zu lösenden Integralgleichungen ( U 5 ) in lineare algebraische
Gleichungssysteme umwandeln, bestehend aus N komplexen Gleichungen zur Bestimmung der N unbekannten Potential
aus drücke <l> ^ ' bzw. <p£2Uxi,yi) , i - 1,2.
N , im Mittelpunkt der zu den N Segmenten gehörenden
Sehnen entlang SQ . >
Die entstehenden Gleichungssysteme der Form
( - 2TT {1} + {H(n)} ) + {^h = {R(n)} ,
. (1+7)
/\
mit {I}: .Einheitsmatrix,- {Hv }: Einfluß-Koeffizientenmatrix n-ter Ordnung,
gesuchte Potentialmatrix n-ter Ordnung und {R^} :Störmatrix n-ter Ordnung , lassen sich bequem
nach einem Reduktionsalgorithmus lösen. Die. Störmatrix zweiter Ordnung hängt dabei durch die Inhomogenität
der Freien-Oberflächen-Rand
Schiffstechnik Bd. 25 — 1978
- 64 -
in ( U 5 ) von
( 2 )
. . .
.
( 2
Korperrandbedingung F
folgenden Größen e r s t e r Ordnung ab:
■ <
bedingung L sowie derjenigen der
1
'
1
(x y)
' -
E S
o '
(U8)
(x y) E S
{ • -fe • -Ü^ >
' '
F • ■
Die erforderlichen Größen erster Ordnung werden nach der vorangehenden Lösung des Problems erster
Ordnung durch numerische Differentiation des <f>T Potentials entlang S und S_ ermittelt.
■ " o
r
IRREGULARITÄTENPROBLEM
Im Zusammenhang mit den Existenz- und Eindeutigkeitsfragen'von Lösungen der aufgestellten Integralgleichungen
(U5) erster und zweiter Ordnung ist in /11/ nachgewiesen worden, daß das Auftreten von sog.
i r r e g u l ä r e n Wellenzahlen, bei denen die Lösungsdarstellung nach den üblichen
Integralgleichungsmethoden versagt, unmittelbar mit dem Vorhandensein von nichttrivialen Lösungen für die
entsprechenden h o m o g e n e n a d j u n g i e r t e n Integralgleichungen zusammenhängt. Durch die
gleichzeitige Betrachtung des i n n e r e n und ä u ß e r e n Potentialproblems lassen sich jedoch
e i n d e u t i g e und für alle Wellenzahlen gültige Lösungen erzielen. Dies wird praktisch durch die
Anwendung einer sog. k o m b i n i e r t e n Integralgleichungsmethode ermöglicht, wie genau in /II/
dargelegt wird.
Die als Eigenfrequenzen des adjungierten i n n e r e n Potentialproblems sich ergebenden
I r r e g u l a r i t ä t e n verfälschen die Ergebnisse des interessierenden ä u ß e r e n
Potentialproblems bei konventionellen Close-Fit- Method'en nicht nur bei den Eigenfrequenzen selbst, sondern
in einer gewissen Bandbreite um diese Frequenz herum, wenn die zu lösende Integralgleichung alge- braisiert
worden ist. Ein guter Indikator für das Erreichen einer Irregularität auf dem Frequenzband ist der
Determinantenwert der Koeffizientenmatrix, der von der Größenordnung 10N ist( N : Anzahl der Segmente im vierten
Quadranten + 1 ). Theoretisch würde dieser Wert, bei einer exakten Lösung der Integralgleichung, beim
Vorhandensein einer Irregularität gleich Null werden. Durch die Algebrai- sierung der Integralgleichung jedoch
nimmt beim Vorliegen einer Irregularität der Determinantenwert zwar stark ab, jedoch nicht bis zum Nullniveau
; andererseits beginnt dieses Abnehmen schon vor der Irregularitätenlage, so daß ein
Irregularitäten-Einflußbereich gebildet wird. Währenddessen sind die gelieferten algebraischen Lösungen nicht
vertretbar, wie aus Diagr. 1 erkennbar, ist.
Ein in der vorliegenden Arbeit angewandtes, relativ einfaches numerisches Verfahren zur Vermeidung der
Auswirkungen der Irregularitäten besteht darin, die Lage der irregulären Wellenzahlen sowie die Breite ihres
jeweiligen Einflußbereichs durch einfache Algorithmen abzuschätzen und die im- kritischen Bereich gesuchten
Potentiallösungen durch Interpolation - SPLINE-Polynome - zwischen sinnvollen Lösungen zu ermitteln ( vgl.
Diagr. 2 und 1 ).
Die angewandten Algorithmen basieren auf den Ergebnissen eines sog. E r s a t z Rechteckprofils, das das
gleiche B/T Verhältnis aufweist wie der zu untersuchen de Spant. Für Spantformen, deren Völligkeiten sich
erheblich von ß= 1,00 unter scheiden, sind leichte Korrekturen in den Algorithmen vorgesehen worden.
Für die erste Irregularität e r s t e r (n = 1) und z w e i t e r (n = 2) Ordnung eines Ersatz-Rechteckprofils
gilt /II/:
( v-(n) B ) «Jrcth
. •
■ ih9)
Es ist anzumerken,daß die niedrigste gestörte Frequenz für die zweite Ordnung sich auf ca. .1/U des Wertes
erster Ordnung nach unten verschiebt und daß die Irregularitäten zweiter Ordnung erheblich dichter im
interessanten unteren
- 65 -
Schiiistechnik Bd. 25 -- 1978
Frequenzbereich auftreten.
POTENTIAL ERSTER ORDNUNG
Unter Anwendung des beschriebenen Lösungsverfahrens auf die Integralgleichung (1*5) für die Potentiale,
erster Ordnung <|>!|£' und
ergibt sich das fol
gende lineare algebraische Gleichung'ssystem, bestehend aus 2N Gleichungen für 2N Unbekannte :
-2, ♦Sl'(x.,y.) + I ♦
jl><x.,7.) I < 1 > - f ♦•{." ,(!).. f F ( 1 ) K U ) ,
y
1c l^i ..L, Y1c 3 J 13 ' J=1 • « 1s ij
N j=1
(1)
N
- 2u ♦1V(l)(x.,y.)
+ I <0iU(x.,y.) J'H'
1s 1,JV .f; y1c \.J_ J IJ i = 1
(1)
■(1)
+
-
T
N
(l) _
J
1 s
i
.
J I
1J
(50)
\ F^L^V,
i
=
J I
1 J
J '
für 'i = 1 ,2, i .'. ,N .. . . . . ^ .
„'.7.,' , 1.
Die-■unbekannten-Potenti-alausdrücke
(x. ) -..und <f> 1 s ^ (x->y^) > i = 1,2,...,N
■werden-dabei im Mittelpunkt der zu-den N -Segmenten gehörenäen1Sehnen, j = 1,2, . .. ,N ', entlang der
Körperkontur SQ ,, bestimmt.Die Einflußkoeffizienten erster Ordnung im Punkt
i infolge des j-ten Segmentes
lU) bzw. jH) werden wie folgt definiert /11/ +) : ij iJ
i!^ = Re..{ (nU.n) V){ log(z • - ?) - log(z. - B +
1
1J
1
(s-.)
1
-ik(z. - ?) ; l
(vb) - k
+ 2 (!
dk} ds +
(n(-£,n) v){ log(zi + s) "■ log(zi + e)
+
(s£.)
J
a
dk}
ds} ,
+2C
-ik(z i + t . ) (vb)
- k
j<!> —
iJ
(Su.n) V){ e"i(vt)(zi - ds
2ir Re .1
{ i
(51)
+
(s{)
(n(-S,n) v){ e" i(vt)(z i
+
<=■>> ds}
(s J
"J
Die Störfunktionen erster Ordnung ergeben sich aus:
„(1) 9x
F = — = cos a. ,
9 s
j
(52)
mit,den aus der GREENschen Funktion erster Ordnung gebildeten Ausdrücken
KW. und lT^ :' iJ
iJ
Anm. : Im folgenden werden durchgehend diinensionslose Darstellungen verwendet. Die Längen werden mit
+ ) b_1 und die Zeitvariablen mit w dimensionslos gemacht.. Es ist darauf zu-achten, daß alle Feldgrößen
(Koordinaten, Längen, Zeiten und Potentiale) ihre bisherige Bezeichnung als dimensionslose Größen beibehalten.
Schiffstechnik Bd. 25 — 1978
- 66 -
{ log(Zi + t). - log(Zi + c)
K^ =' Re. {1
1
{ log(zi - - log(zi
ij
(s<J
J
L:
=-
.
2tt Re.f
l1
-i(vb )(z. -
{e
<) ■+ 2 C
c) + 2 4
dk} ds +
s ■ . .1
(si-)
(vb) - k
C) } ds +
{ e
0
IJ
-ik(z-
(s
-
i(vt)(z
+
i 0} ds} .
-ik(z. + e)
-J
(53)
Die in (51) und (53) auftretenden Integralausdrücke über die Sehnen der Segmente sj - bzw. s ; .für den
dritten Quadranten - können analytisch aufbereitet wer^ den. Die CAUCHYschen Hauptwertintegralewerden durch
Reihenentwicklungen oder numerische Quadraturverfahren ausgewertet /11/.
Nachdem die Potentialausdrücke
und <|>is^ entläng SQ durch Lösung des
Gleichungssystems (50) bestimmt worden sind;, läßt sich das Potential e r s t e r
Ordnung in jeder
beliebigen Stelle der Flüssigkeit über Gl. (50) angeben, auch entlang der Ruhewasserlinie y = 0 , wie in
(U8) für die Störgrößen z w e i t e r Ordnung entlang S_ gefordert wird. Das Gleichungssystem (50)
vereinfacht sich hierbei zu ungekoppelten algebraischen Gleichungen.
POTENTIAL ZWEITER ORDNUNG
Analog der Verfahrensweise bei der Lösung des Problems erster Ordnung ergibt sich aus Integralgleichung
(U5) (n = 2) für die Potentiale z w e i t e r Ordnung
und <f>?s^
folgende lineare algebraische- Gleichunessystem, bestehend
aus 2N Gleichungen zur Bestimmung der 2N Unbekannten
' (x^ ,y. ) und
( x - »y- ) » i = 1,2,...,N im-Mittelpunkt der zu den N Segmenten"Lgefeörenden Seh
nen entlang der getauchten Körperkontur S
l V j> -
- 2, 4= ) < x i' y i» *
J '
>2s
+
l F(2) K^2)
N
y F(2) L.(2)
+
Q j=1
IJ
N .. ... J=1
+
P j=1
3 1J
(2)
=
N
1J
F
l
('2) c K<1> 1J
j =
1
:i,yi-) -
p
(2) s
3
.
N
für i = 1,2,...,N
- 2iT <t>^y (x.,y.) +
II
sc—
2
Die
1 *(2> k *2S I< >
Einflußkoeffiziente
j
= n zweiter Ordnung im ( 2 )
Punkt i infolge des 1 j-ten Segmentes
+
und
j£j N ergeben sich aus (51)
, wenn man bei den
den dort enthaltenen
GREENschen
Funktionen
den
dimensionslosen Frequenzparameter (vb) durch U(vb) ersetzt.
,
(5U)
F(2)
L<2>
+
ij
c
,
Liche_ „ ____ __ __
aus ■ kLV und L.
Ähnliches gilt für die Störfunktionen zweiter Ordnung entlang S q , die sich
L^j ergeben und entsprechend aus (53) bestimmen lassen. Die Inhomogenitäten der
ij
KÖrperrandbedingung für
ergeben sich aus ( 2 9 ) zu:
(55)
Sdiiflstechnik Bd. 25 — 1978
- 67 -
1 9x9 s 1s
1
,(2)
,<2
> 1
c
,(2) _ 1
2 9x9s
(i)
Schiffstechnik Bd. 25 — 1978
- 68 -
Schließlich sehen die . Störfunktionen zweiter Ordnung entlang S^ (Linienintegrale) folgendermaßen aus:
P(2)(x.,y,) = 2
M
(2)
ekyi cos k(x£ - g) (?){ C — , ,
V v - ' ------------------------ dk +
U(vb) - k
0
Mi
+
dk} d5 ,
c
cos k(x- + g)
U(vb) - k
b {Vb )yi
,(2)
p
r'(xi'yi) = "
e
(2)
(?){ cos U(vt)(xi - 5) + cos U(vt)(xi + £) }d£,
M
^2)(xi5y.) = - 2u eU(vt)yi'[ M<2)(E){ cos U(vb)(x. - ?) + cos kiv*)^ + £) }d?,
1ft
s 2 ' >U i* y i ) "
F'
2
oo
kv- / \
, X
e J1 cos k(x. - £)
----------- T^Ä ----- --------- dk +
0 M (£){
s - l
U(vb) - k
s
ky
i cos k(x, + £)
d5 ',(56)
( 2 dk}
)
+ C
«
0
U(vb) - k
nach
mit den Inhomogenitäten der Freien-Oberflächen-Randbedingung für <j> Gl. (30) :
! 1}
M
+
ul-*! 0
8x 1c 8x
*1s ! '
Mc 8xz Ms (0 :
co 2 _ 1_ ,(0 2(57)
V
(2)
^
(X) = 1 (VB){ ♦J^U.O)
+
3(VB)2(^)2 _
" *1(s.}
_
+ 2(
Ix *1c
8x ^s
Die zur Bildung der Inhomogenitäten zweiter Ordnung (55) und (57) erforderlichen partiellen Ableitungen
von Potentialgrößen erster Ordnung (U8) sind, durch die vorangehende Lösung des Problems erster Ordnung,
als bekannt anzusehen.
Die Linienintegrale (56) entlang der Ruhewasserlinie S p enthalten im Schnittpunkt von SQ mit Sp eine
Singularität, die auf Unstetigkeiten der zweiten Ableitungen des Potentials erster Ordnung nach x
zurückzuführen ist .. Der störende Einfluß dieser Singularität kann jedoch numerisch behandelt werden,
insbesondere für den P&ll des v e r t i k a l schwingenden' Zylinders. Für die anderen Freiheitsgrade
der Ebene müssen zusätzliche Überlegungen über den Einfluß dieser Singularität angestellt werden. Ferner
wird die bis zum Unendlichen rei- ' chende Integration längs der Ruhewasserlinie in ( 5 6 ) nur bis zum
praktischen Erreichen des asymptotischen Zustandes der Potentiale erster Ordnung durchgeführt, da der
Integrand entsprechend gegen Null strebt /II/ .
PHYSIKALISCHE GRÖSSEN
- 69 -
Schiiistechnik Bd. 25 -- 1978
Druck
Der hydrodynamische Druck P ( relativ zum konstanten atmosphärischen Druck )
Schiffstechnik Bd. 25 — 1978
- 70 -
ergibt sich durch Anwendung der BERNOULLIschen Gleichung am jeweils interessierenden Ort als Funktion der
Zeit. Insbesondere gilt für P entlang der sich bewegenden Körperkontur S , unter Berücksichtigung von (2)
:
' P(x,y;t) =
- p g (y(s) + yQ(t)) - p $t(x(s),y(s) + yQ(t)) - p | v $ | 2 .
(58
)
Entsprechend Gl. (12) für $ läßt sich der Druck P in Form eines Störungsansatzes ausdrücken: P(x,y;t) =. p(0)(x,y) + e p(l)(x,y;t) + e2 p(2)(x,y;t) + 0(e3) . . (59)
Wach.einer TAYLOR-Reihenentvicklung von (58) und (59) "bezüglich der Ruhelage SQ(x(s).,y(s)) und
Berücksichtigung-von $(1;7) ergeben sich folgende Ausdrücke für
-n
=
0,1,2.,
wenn
die.anfallenden Glieder bezüglich . .e geordnet wer
den: ,
P^ (x,y) = - pg y ,
P(l)(x,y;t) = jp (U(fr1(l)(x,y) - g b ) e"^ , P(2)(x,y;t) + j b P^CxJitJe"^ \ pbu,
O^ÜJ) - \ P (O^M^
+
-
- p{- j2u) ^
+
+
(*^2
1 *
+
^ .
Der hydrostatische Druckterm p^ wird im weiteren vernachlässigt. Mit den Abkürzungen
p (1) = P (l) ,
(60)
.i^pp'.i»,;"^
und nach Einführung dimensionsloser Größen läßt sich der hydrodynamische Druck zweiter Ordnung
folgendermaßen darstellen:
P^t) =
e
pgb
ipJ^Cx.y)! sin (cot +
1
}
(x,y)) +
P
(62)
+ e2{ P Q2^(x,y) + |p|2)(x,y)| sin (2ut + ö £2)(x,y))} .
Physikalisch lassen sich die erzielten Ergebnisse wie folgt interpretieren: ^ Bezogen auf den
atmosphärischen Druck pQ kommt zum hydrostatischen Druck p nach der Theorie z w e i t e r Ordnung ein
zusätzlicher zeitunabhängiger. Druckterm P^2' hinzu. Die daraus resultierende Kraft in 'Vertikalrichtung
ist i. allg. eine Sinkkraft. Weben dem mit einfacher Erregerfrequenz oszillierenden hydrodynamischen
Druckanteil liefert die Theorie zweiter Ordnung darüberhinaus einen mit der doppelten Frequenz harmonisch
schwingenden Anteil, Das Absolut-Größenverhältnis der Amplituden der Druckgrößen erster und zweiter Ordnung ist von der Größenordnung 0(e-1) .
Für einen Kreis-, einen U-Lewisspant ( ß = 0,9^05^ ) und einen Wulstspant ( ß = 2,52329 ) mit vorgegebener
Spantform sind in den Diagrammen Wr. 3 - 6 die Druckkenngrößen erster und zweiter Ordnung über dem
dimensionslosen Frequenz- - parämeter (vb) , Ö ± vb '±2,0 , graphisch aufgetragen worden. Die
Auftragungen gelten jeweils für zwei ausgezeichnete Punkte der Körperkontur, in Kielnähe des Spantes (K)
und nahe der freien Oberfläche (F0) (erstes und letztes Segment für die Close-Fit Rechnung).
- 71 -
Schiiistechnik Bd. 25 -- 1978
Die Übereinstimmung der erzielten Ergebnisse mit denen anderer Autoren ist unterschiedlich gut. Naturgemäß
ist die Übereinstimmung für die Größen erster Ordnung P^1) und «CD am besten: ebenso für PA ^' , da hierfür
allein die ■ Lösungen des Problems^erster Ordnung erforderlich sind /Ii/ . Die Bestimmungsgleichungen für
diese Größen waren bei allen Autoren ähnlich, so daß etwaige Differenzen, die kaum vorhanden sind, auf die
unterschiedlichen Berechnungsmethoden zurückzuführen wären.
Beim Vergleich der hydrodynamischen Größen zweiter Ordnung ist zunächst anzumerken, daß einerseits die
Ausgangs'gleichungen bei den verschiedenen Autoren nicht exakt die gleichen waren /II/ . Andererseits waren
die Lösungsmethoden für die Randwertpr-öbleme- unterschiedlich, mit Ausnahme von R. POTASH-/T/ im
Hauptverfähren-, der jedoch das- Irregul'aritätenproblem nicht'wie-in' dieser Arbeit behandelt hat. Die
Übereinstimmung-"der Ergebnisse ist trotzdem relativ-: . gut , mit-Ausnahme'der - bereits einmal
korrigierten- - Ergebnisse von C-.M. LEE" A/ für (vb) +0 ( pj^ '■-*■■<*> ) , die physikalisch nicht sinnvoll
erscheinen-. Die vergleichbaren Ergebnisse von R. POTASH sind unter Berücksichtigung der
Irregularitäteneffekte, die dort nicht ausgeschaltet worden sind, zu interpretieren. Jedoch zeigen die
Vergleichsergebnisse für den Wulstspant, dessen e r st e Irregularität relativ hoch liegt ( kleines B/T
) , eine relativ gute Übereinstimmung.
Kraftgrößen
Durch Integration des -hydrodynamischen Druckes P nach ( 5 8 ) über die augenblicklich getauchte.
Körperkontur S ergibt sich die auf
den Körper wirkende hydrodynamische Druckkraft,
pro Längeneinheit:
F(t)( 6=3 )-
P(x(s),y(s);t) n ds .
Dabei wird die Integration entlang S(t) mit Hilfe der Integrationsregel von LEIBNIZ ( über variable
Integrationsgrenzen ) auf ein Integral über die Körperkontur in der Ruhestellung S und Zusatzterme der
Ordnung e umgewandelt / I 1/ :
o
F(L;e) = f(s) ds
(6k)
S
L
f (s) ds + e e^ ^f(L) + 0( e2) ,
-L
mit L : halbe Bogenlänge von S und
o.
{(vb) <|>j^(x(L) ,0) - 1 } sin u)t - (vb) <f>j;^cos 10 t
=
' ■
8y(L)'
9s
"" '
' ~
In (61+) sind Glieder bis 0(e) berücksichtigt worden, da f(s) mindestens von der Ordnung e i?t, so daß schon
die Ausdrücke mit e(1) von zweiter Ordnung sind.
Nach Einführung dimensionsloser Größen läßt sich die hydrodynamische Druckkraft zweiter Ordnung in
Vertikalrichtung wie folgt darstellen:
(65)
e
- 72 -
Schiiistechnik Bd. 25 -- 1978
mit
, F^ = IF^^I sin («ot + '40) ,
V
VA
F
(6t)
Für die gleichen Spantformen, wie bei den Druckkenngrößen, sind in den Diagrammen N r . 7 - 9 _die
dimensionslosen Kraftkenngrößen erster und zweiter Ordnung fX J ) , F^.2) s p(2) s j U ) 5 <5^2) über dem
dimensionslosen Frequenzparameter ( V D ) graphisch aufgetragen worden.
Beim Vergleich mit anderen Autoren zeigt sich, daß insbesondere die von C. M. LEE gelieferten Ergebnisse
für
( (vb) o ) nicht richtig sein können,
da die nichtlinearen hydrodynamischen Effekte bei verschwindender Schwingungsfrequenz abklingen müssen.
Dagegen stehen seine Resultate für (vb) > 0,U in relativ guter Übereinstimmung zu den hier erzielten
Ergebnissen. Die vergleichbaren Ergebnisse von R. POTASH sind nach Ausschaltung der Irregularitäteneffekte
z.T. gut, mit Ausnahme von F^' für den Wulstspant im Diagramm 9 , wo anscheinend ein Versehen die Ursache
für seinen Verlauf sein könnte. Schliesslich sind die von G. PARISSIS und H. SÖDING gelieferten Ergebnisse
für einen Kreisspant bezüglich
voneinander erheblich abweichend, obwohl im Verlauf
über (vb) und in der Größenordnung gut vergleichbar.
Die physikalische Interpretation der Kraftkenngrößen ist schon bei der Erklärung der Druckkoeffizienten
erster und zweiter Ordnung geliefert worden. Darüberhinaus liefert Diagramm 10 ein charakteristisches
Beispiel für die auf einen Spant pro Längeneinheit in Vertikalrichtung ausgeübte hydrodynamische Druckkraft
als Funktion der Zeit, bei vorgegebener Schwingungsamplitude und Frequenz. Das Diagramm gilt für einen
schiffsähnlichen U - Lewisspant, bei festem e = 0,U ( = Schwingungsamplitude / max. Halbbreite ) und (vb)
= 1,0 ( = etwa Seegangsschwingungen ). Die nichtlineare hydrodynamische Gesamtkraft ist betragsmäßig bis
zu 60 % größer als bei linearen. AnnahmenI
Im Diagramm 11 ist das Amplitudenverhältnis der hydrodynamischen Druckkraft zweiter Ordnung zu derjenigen
erster Ordnung für einen Kreiszylinder über dem Frequenzparameter (vb) für verschiedene Störungsparameter
e dargestellt worden. Zum Vergleich sind im gleichen Diagramm entsprechende Versuchsergebnisse von TASAI
und KOTERAYAMA /I2/ eingetragen worden. Die nichtlinearen Effekte nehmen mit zunehmendem (vb) und e zunächst
zu, klingen jedoch beihöheren Frequenzen wieder ab. Dies hängt hauptsächlich mit dem Verlauf von F^' über
(vb) zusammen, der i. allg. im betrachteten Frequenzbereich ein Minimum aufweist, was den Verlauf von
e | | / | |
entscheidend beeinflußt.
Die Übereinstimmung zwischen Theorie und Messung für kleine e (bis = 0,U) sowie für kleine bis mäßig große
Frequenzparameter (bis (vb) = 1,5) ist erstaunlich gut. Gleichzeitig werden jedoch durch die - nicht
eingetragenen - Meßergebnisse für größere e und (vb) Parameter /12/ die Grenzen der Anwendung für die
vorliegende Störungstheorie aufgezeigt. Mit zunehmendem Frequenzparameter (vb) und Störungsp'arameter e
nehmen die bisher vernachlässigten Zähigkeitseffekte stark zu. Sie beeinflussen hauptsächlich die Wellenund eventuelle Spritzerbildung - abgesehen von der Verwirbelung der Flüssigkeit - bei relativ großen
Bewegungsamplituden, so daß insbesondere die Vorhersage der hydrodynamischen Dämpfung sehr unsicher wird.
Hydrodynamische Masse Hydrodynamische Dämpfung
Die in der Hydromechanik im Zusammenhang mit Schiffsschwingungen üblichen Begriffe der hydrodynamischen
Masse und Dämpfung lassen sich nur dann sinnvoll definieren, wenn die erregende Bewegung und der'sich
ergebende hydrodynamische
- 73 -
SdiifEstechnik Bd. 25 — 1978
Druck mit der g l e i c h e n Frequenz harmonisch schwingen, d.h. wenn ein l i n e a r e s
Übertragungsmodell zugrundegelegt werden kann. Da die hier sich ergehenden hydrodynamischen Drücke und
Kräfte zweiter Ordnung diese Bedingung nicht erfüllen., entfällt die Definition einer hydrodynamischen
Masse und Dämpfung z w e i t e r Ordnung. •
Unter Berücksichtigung der zugrundegelegten sinusförmigen Erregerfunktion y ( t ) ( 1 ) lassen sich jedoch
aus der hydrodynamischen Druckkraft e r s t e r Ordnung die üblichen Größen der hydrodynamischen Masse
y und Dämpfung A ableiten:
£
F^U-,^
-Ayo
(68
)
oder in dimensionsloser Form.:
y
y = 0,5 irpb^ ir
<l>j^(x,y) x ds ,
0
L
X =
(69)
<|>j^(x,y) F ds .
0,5 irpb ü) ir
z
Im Diagramm Nr. 2 sind die dimensionslosen Koeefizienten der hydrodynamischen Masse y". und Dämpfung
A über dem Frequenzparameter (vb) für ein Rechteckprofil ( B/T = 2,5 ) im Vergleich zu W. FRANK /9/ (
Close-Fit Methode ohne Berücksichtigung der Irregularitäteneffekte ) graphisch aufgetragen worden.
Die übliche physikalische - Interpretation der hydrodynamischen Dämpfung als ein Maß für die in Form
von abgehenden Wellen abgestrahlte Energie ist hier nicht ■mehr haltbar. Es läßt sich für die zweite
Ordnung nachweisen /Ii/ , daß das aufgrund einer e i n f a c h harmonischen Erregung im Unendlichen
entstehende Wellenprofil durch die Superposition dreier Wellensysteme gekennzeichnet ist, die mit
verschiedener Amplitude, Frequenz und Wellenzahl zeitharmonisch oszillieren. Das aus der BERNOULLIsehen
Gleichung für y = Y(x;t) sich ergebende Wellenprofil sieht folgendermaßen aus /II/ , für |x| «> :
^f^ = clh^'l cos {(vb)x - „t,- fi^}
+
+ e2|h^2)| cos {U(vb)x - 2ü)t - } + '
(70)
+ £2|h^| cos {2(vb)x - 2ü)t - 26^} + 0(e3) .
Die dimensionslosen Wellenprofilamplituden und'Phasenwinkel erster und zweiter ■Ordnung in (70) lassen
sich aus den asymptotischen Potentialwerten erster und zweiter Ordnung im Unendlichen ermitteln /11/Aus Gl. (70) ist erkennbar, daß die in Form von Wellen abgeführte Energie durch einen einzigen
hydrodynamischen Koeffizienten nicht vollständig erfaßt werden kann. Es wäre deswegen unkorrekt, von
hydrodynamischen Dämpfungskoeffizienten zweiter Ordnung im linearen Sinn zu sprechen.
•ZUSAMMENFASSUNG
Das Problem eines an oder nahe der freien Oberfläche einer endlich tiefen Flüssigkeit mit endlicher
Amplitude vertikal schwingenden zylindrischen Körpers beliebiger Querschnittsform ist als nichtlineares
zeitabhängiges
Randwertproblem
gemischter
Art
potentialtheoretisch
mit
Hilfe
von
Integralgleichungsmethoden ■
Schiffstechnik Bd. 25 — 1978
- 74 -
gelöst worden. Für den Fall unendlicher Wassertiefe sind verschiedene schiffsähnliche Späntformen mit
Hilfe eines dafür erstellten EDV-Rechenprogramms /1U/ numerisch untersucht und die erzielten Ergebnisse
graphisch aufgetragen worden. Anhand dieser Ergebnisse sind Vergleiche mit bisherigen Theorien und
Versuchsergebnissen angestellt worden.
Die sich ergebenden Nichtlinearitäten zweiter Ordnung sind direkt dem Quadrat des kleinen, jedoch endlichen
Verhältnisses, der Erregeramplitude zur SpantHalbbreite proportional. Sie nehmen mit wachsender
Erregerfrequenz zunächst zu, klingen jedoch bei höheren Frequenzen wieder ab. Dabei muß allerdings der
zunehmende Einfluß der Zähigkeit berücksichtigt werden, der die Anwendung der vorliegenden Potentialtheorie
auf die Behandlung von kleinen - jedoch endlichen - Bewegungsamplituden und mäßigen Frequenzen beschränkt.
Dies wird durch den Vergleich mit. Versuchsergebnissen deutlich, . die .sonst, die erzielten
...physikalischen und numerischen Ergebnisse vollkommen bestätigen.
'Die auf den tauchenden Körper im Vergleich zur linearen"Theorie' "zusätzlich äüs- "geübten
hydrodynamischen Kräfte zweiter Ordnung sind bei sehr kleinen "Bewegungsamplituden ( bis e=0,1 ) sowie
für sehr kleine oder hohe Frequenzen nicht entscheidend. Bei den Roll- und Querbewegungen sind jedoch
diese Verhältnisse oft nicht gegeben; e nimmt hierbei beträchtliche Werte an, so daß eine nichtlineare
Betrachtungsweise /7/ erforderlich ist.
Obwohl sich diese Ergebnisse nicht direkt auf den Fall Schiff im Seegang übertragen lassen - dazu müßte
ein noch unbekanntes Übertragungsmodell dazwischen geschaltet werden - wird damit die in der Praxis bewährte
- lineare- Streifenmethode bestätigt, die bekanntlich von verschwindend kleinen Bewegungsamplituden ( e
0) und hohen Schwingungsfrequenzen ausgeht.
Die Notwendigkeit für eine bessere Erfassung der extremen Belastungen und Bewegungen im schweren Seegang,
die sowohl fahrende Schiffe als auch meerestechnische Konstruktionen betreffen, erfordert jedoch eine,
die konventionelle Streifenmethode ergänzende, nichtlineare Berechnungsmethode. Als Ausgangspunkt für den
Aufbau' einer solchen Methode sollten die Ergebnisse dieser Arbeit dienen.
Ein von der Deutschen Forschungsgemeinschaft gefördertes Forschungsvorhaben des Fachgebiets Schiffsentwurf
der Technischen Universität Berlin wird sich mit dieser Thematik in der nächsten Zeit eingehend befassen.
Literaturverzeichnis
./1/ J. R. PAULLING, R. K. RICHARDSON :
"Measuremen't of Pressures,Forces and Radiating Waves for Cylinders Oscillating in a Free Surface",
Univ. of Calif., Rep. 82-13, 1962.
/2/ J. R. PAULLING, W. R. PORTER :
_
"Analysis and Measurement of Pressure and Force on Heaving Cylinders in a Free Surface",
Proc. 1+th US Nat. Congr. Appl. Mech. , Berkeley, Calif., 1962, S. 1369-1381. /3/ J.. VUGTS :
"The'Hydrodynamic Coefficients for Swaying, Heaving and Rolling Cylinders in a Free Surface", TH
Delft, Rep. M, 1968,
/h/ C. M. LEE :
"Second-Order Theory of Heaving Cylinders in a Free Surface", Journ. of ShipRes., 1 9 6 8 , S. 313-327.
/5/ G. PARISSIS :
''Second-Order Potentials and Forces for Oscillating Cylinders on a Free Surface",
MIT, Rep. 66-10, 1966.
- 75 -
SdiifEstechnik Bd. 25 — 1978
'
/6/ CA H. KIM :
"Über den Einfluß nichtlinearer Effekte auf hydrodynamische Kräfte bei erzwungenen Tauchbewegungen
prismatischer Körper", Schiffstechnik, 1 9 6 7 , S. 79-91/7/ R. POTASH :
.
"Second-Order Theory of Oscillating Cylinders", Journ. of Ship Res.., 1971, 'S. 295-32U.
18/ F. JOHN :
"On the Motion of Floating Bodies", Teil II,
Comm. Pure and Appl. Math., Vol. 3, 1950, S. U5-101.
' " -
/9/ W. FRANK :
.. "On the:-Oscillation of Cylinders in or Below the Free- Surface of Deep Fluids",
NSRDC, Technical Nöte 69., 1 9 6 7 .
/10/ H. SÖDING :
'
"Second-Order Forces on Oscillating Cylinders in Waves", Schiffstechnik, 1?76,- S. 205-209.
/II/ A. PAPANIKOLAOÜ :
"Zum nichtlinearen Problem.eines vertikal'schwingenden zylindrischen
Körpers beliebiger Form",
Diss., Technische Universität Berlin,. 1977712/ F. TASAI, W. KOTERAYAMA :
"Nonlinear Hydrodynamic Forces Acting on Cylinders Heaving on the Surface of a Fluid",
Rep. of Res, Inst, for Appl.. Mech. , Kyushu Univ. , No. 77, 1976. /13/ 0. GRIM : '
"Hydrodynamische Kräfte, verursacht durch Rollschwingungen mit großer Amplitude",
Schiffstechnik, 1977, S. I U 3 - I 6 Ö .
/1U/ A. PAPANIKOLAOÜ :
"EDV-Rechenprogramm NONLINEAR",
Technische Universität Berlin, 1977-
/
Spant-Nr. 1
(Halbkreis)
(B/T)- 2
x-Koordinate
y-Koordinate
UNTERSUCHTE SPANTFORMEN
Aufmaß punkt-Nr.
A
o
rr
0,78540
(U-Lewis-Spant)
(B/T)- 2
Ao
FT
0.94054
- 77 -
Schiiistechnik Bd. 25 -- 1978
1
0.00000
-1.00000
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19
20
21
0.07846
0.15643
0.23345
0.30902
0.38268
0.45399
0.52250
0.58779
0.64945
0.70711
0.76041
0.80902
0.85264
0.89101
0.92388
0.95106
0.97237
0.98769
0.99692
1.00000
-0.99692
-0,98769
-0.97237
-0.95106
rO.92388
-0.89101
-0.85264
-0.80902
-0.76041
-0.70711
-0.64945
-0.58779
-0.52250
-0.45399
-0.38268
-0.30902
-0.23345
-0.15643
-0.07846
1
0.00000
-1.00000
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19
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0.24850
0.36614
0.47625
0.57690
0.66667
0.74463
0.81043
0.86424
0.90672
0.93893
0.96225
0.97825
0.98855
0.99468
0.99801
0.99956
1.00000
0.00000
-0.99956
-Ö.99801
-0.99468
-0.98855
-0.97825
-0.96225
-0.93893
-0.90672
- -0.86424
-0.81043
-0.74463
-0.66667
-0.57690
-0.47625
-0.36614
-0.24850
-0.12560
0.00000
Spant-Nr.
x-Koordinate
y-Koordinate
Aufmaß punkt-Nr.
(Bugwulstspant)
(B/T)» 0,16149
BT
- 2,52329.
Spant Nr. 1
1
0.00000
-3.22000
2
3
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6
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17
18
19
0.19000
0.59Ö00
0.91000
1.00000
0.98000
0.91000
0.80000
0.70000
0.58000
0.49000
0.41000
0.38000
0.34000
0.31000
0.29000
0.27000
0.26000
0.260Ö0
Spant Nr. 2
-3.22000
-3.07000
-2.72000
-2.32000
-2.15000
-1.88000
-1.63000
-1.43000
-1.23000
-1.06000
-0.88000
-0.77000
-0.63000
-0.48000
-0.34000
-0.21000
-0.08000
0.00000
t-aFO
fo;
Spant Nr. 3
i
K
,'K
- 75 -
HYDRODYNAMISCHE MASSE - KOEFFIZIENT Rechteckprofil, (B / T) = 2,5
i
0 fi
.
0
•
O
0
0
0
0
I
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b
«
•
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I
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1
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8
1
1 ,o
1.
I
2 ,o
o
3
,
rr.
N = 24
Schiffstechnik Bd. 25 — 1978
- 76 -
• N = 16 o N - 8
DIAGRAMM N R , 1
DIAGRAMM NR.
- 77 -
2
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DIAGRAMM NR. 6
SchiffstechmklB'd. 25 —1978
- 79 -
f. V
Schiffstechnik Bd. 25 — 1978
- 80 -
U-Lewisspant
DIAGRAMM HR.. 11 : AMPLITUDENVKRHÄLTNIS DER HYDRODYNAMISCHEN KRÄFTE
ERSTER UND ZWEITER ORDNUNG FÜR EINEN KREISZYLINDER