Universidad Metropolitana de Ciencias de la Educación
Facultad de Ciencias Básicas
Departamento de Física
Métodos Matemáticos de la Física II - FIZ 301
GUIA Nº 11: ED de 2º Orden no Homogénea (CI)
Prof. Juan Carlos Salas Galaz
I) Una ecuación diferencial de segundo orden no homogénea es de la
forma:
a2
d2y
dy
+ a1
+ a0 y = f ( x)
2
dx
dx
Como se ha estudiado previamente la ecuación de segundo orden es
homogénea si f ( x) = 0 , y tiene dos soluciones y1 e y 2 , y la solución
general es la CL y ( x) = c1e m x + c2e m x de las soluciones de la forma y = e mx .
Para resolver una ecuación No homogénea, primero se debe resolver la
ecuación homogénea obteniéndose la solución de ésta que se denominará
solución homogénea yH . La solución general de una ED no homogénea es
la suma de yH y la solución particular yP , es decir, la solución general es:
1
2
y = yH + y p
Para resolver esta ecuación:
1. Primero se resuelve la ecuación homogénea asociada con el
procedimiento anterior (solución propuesta y = e mx ) .
2. Segundo se encuentra la solución particular, para lo cual existen
distintos procedimientos, siendo los más usados: coeficientes
indeterminados y variación de parámetros.
Coeficientes indeterminados
Consiste en encontrar una solución particular y p , teniendo en cuenta
la estructura algebraica de la función f ( x) que por lo general, consiste en
sumas o productos de funciones de la forma: k , x n , eαx , cos( βx) ∧ sen( βx) entre
otras, se propone una y p que contenga constantes A, B, C ∧ D , por ejemplo
en la tabla siguiente se muestra f ( x) e y p :
1
Función
Función propuesta
f (x)
yp
k = cte
A
2x + 5
Ax + B
2 x 2 + 3x + 1
Ax 2 + Bx + C
sen(3 x) o
cos(3 x)
Asen(3 x) + B cos(3 x)
e2 x
Ae 2 x
Ae 2 x sen(5 x) + Be 2 x cos(5 x)
e 2 x sen(5 x)
(3 x + 1)e5 x
( Ax + B)e 5 x
2 x 2 e5 x
( Ax 2 + Bx + C )e5 x
2 xsen(5 x)
( Ax + B) sen(5 x) + (Cx + D) cos(5 x)
La finalidad de este método consiste en derivar la solución particular propuesta,
sustituirla en la ED, para encontrar las constantes.
Ejemplo 1. Resolver la ED
d2y
dy
+ 5 + 6 y = 3e x
2
dx
dx
Solución: Resolviendo la ED homogénea se obtiene con la ecuación auxiliar
m 2 + 5m + 6 = 0  (m + 3)(m + 2) = 0  m1 = −3 ∧ m2 = −2 , la solución homogénea esta
dada por yH = c1e −3 x + c2e −2 x . La solución particular este en relación con la función 3e x ,
por tanto la solución particular propuesta es y P = Ae x , derivando: y′ = Ae x y y′′ = Ae x ,
sustituyendo en la ED, resulta:
d2y
dy
1
+ 5 + 6 y = 3e x  Ae x + 5 Ae x + 6 Ae x = 3e x  12 Ae x = 3e x  A =
2
dx
dx
4
la solución general es:
1
y = c1e − 3 x + c2e − 3 x + e x
4
2
Ejemplo 2: Resolver la ED
d2y
dy
+ 3 + 2 y = 7e − x
2
dx
dx
Solución: Resolviendo la ED homogénea se obtiene con la ecuación auxiliar
m 2 + 3m + 2 = 0  (m + 2)(m + 1) = 0  m1 = −2 ∧ m2 = −1 , la solución homogénea esta
dada por y H = c1e −2 x + c2e − x . La solución particular este en relación con la función 7e − x ,
por tanto la solución particular propuesta es y P = Ae − x , derivando: y′ = − Ae − x y
y′′ = Ae − x , sustituyendo en la ED, resulta:
d2y
dy
+ 3 + 2 y = 7e − x  Ae − x − 3 Ae − x + 2 Ae− x = 7e − x  0 = 7e − x .....contradicción
2
dx
dx
lo anterior significa que la solución propuesta y P = Ae x no fue la correcta, esto se
produce debido a que e − x esta contenido en la solución homogénea, por este motivo es
buscar otra yP que contenga al termino e − x , se sugiere yP = Axe − x , derivando:
y′ = Ae − x − Axe − x y y′′ = − Ae − x − ( Ae − x − Axe − x ) = −2 Ae − x + Axe − x , sustituyendo en la ED,
resulta:
d2y
dy
+ 3 + 2 y = 7e − x  −2 Ae − x + Axe − x + 3 Ae − x − 3 Axe − x + 2 Axe − x = 7e − x
2
dx
dx
−x
 Ae = 7e − x  A = 7
la solución general es:
y = c1e −2 x + c2 e − x + 7 xe − x
Ejemplo 3: Resolver la ED
y′′ + 9 y = 2 sen(3 x)
Solución: Resolviendo la ED homogénea se obtiene con la ecuación auxiliar
m 2 + 9 = 0  (m + 3i )(m − 3i ) = 0  m1 = −3i ∧ m2 = 3i , la solución homogénea esta dada
por yH = c1 cos(3x) + c2 sen(3x) . La solución particular este en relación con la función
2 sen3 x , por tanto la solución particular propuesta es yP = x( Asen3 x + B cos 3x) ,
derivando:
y′ = x(3 A cos(3 x) − 3Bsen(3 x)) + ( Asen(3 x) + B cos(3 x))
y
y′′ = x(−9 Asen(3 x) − 9 B cos(3 x)) + (3 A cos(3 x) − 3Bsen(3 x)) + (3 A cos(3 x) − 3Bsen(3 x)) ,
y′′ = x(−9 Asen(3 x) − 9 B cos(3 x)) + (6 A cos(3 x) − 6 Bsen(3 x))
sustituyendo en la ED, resulta:
− 9 x( Asen(3 x) + B cos(3 x)) + (6 A cos(3 x) − 6 Bsen(3 x)) + 9 x[Asen(3 x) + B cos(3 x)] = 2 sen(3 x)
 6 A cos(3 x) − 6 Bsen(3 x) = 2 sen(3 x)  A = 0 ∧ B = −
1
3
1
La solución general es y = c1 cos(3 x) + c2 sen(3 x) − x cos(3 x)
3
3
II) Resolver
3 2
13
x − 5x +
2
2
1. y′′ + 3 y′ + 2 y = 3 x 2 − x + 1
R: y = C1e − x + C2e − 2 x +
2. y′′ + 4 y′ + 4 y = e3 x
R: y = C1e − 2 x + C2 xe− 2 x +
3. y′′ + y′ = cos(2 x)
1
1
R: y = C1 + C2e − x − cos(2 x) + sen(2 x)
5
10
4. y′′ + y′ + y = xe x
R: y = e − x / 2 (C1 cos
5. y′′ − y = e x sen(x)
1
R: y = C1e x + C2e − x − e x (2 cos( x) + sen( x))
5
6. y′′ − 9 y′ = 81x 2 + 7
R: y = C1 + C2e9 x − 3 x 3 − x 2 − x
7. 4 y′′ + 4 y′ + y = e − x / 2
1
R: y = (C1 + C2 x )e − x / 2´+ x 2e − x / 2
8
8. y′′ + 25 y = 10 sen(5 x)
R: y = C1 cos(5 x) + C2 sen(5 x) − x cos(5 x)
9. y′′ − 2 y′ − 3 y = 2 sen( x)
1
2
R: y = C1e − x + C2e3 x + cos( x) − sen( x)
5
5
10. y′′ − 2 y′ = x + 2e x
R y = C1 + C2e 2 x −
11. y′′′ + 3 y′′ + 3 y′ + y = x
R: y = C1e − x + C2 xe − x + C3 x 2e − x − 3 + x
12. y′′ − 2 y′ + y =
ex
,....x 0
2x
13. y′′ + y = tg (x)
1 3x
e
25
3
3
1
x + C2 sen
x) + ( x − 1)e x
2
2
3
1
1
x − x 2 − 2e x
4
4
R: y = C1e x + C2 xe x −
1 x
xe + xe x ln x
2
R: y = C1 cos( x) + C2 sen( x) − cos( x) ln sec( x) + tg ( x)
14. y′′ − 2 y′ + 2 y = e x sec( x)
R: y = e x (C1 cos x + C2 senx) + xe x senx + (ln(cos x))e x cos x
15. y′′ + 4 y′ + 4 y =
e −2 x
x2
R: y = (C1 + C2 x )e −2 x ´−(ln x)e −2 x
4
5