TUGAS 2
STATISTIK LANJUT
Kelompok 7 :
Akmal Fatah Fainusa
Annisa Nuria R.
Fajri Satria H.
Maria Magdalena Friska
1806152911
1806242756
1806153220
1806153416
PROGRAM STUDI S2 TEKNIK INDUSTRI
UNIVERSITAS INDONESIA
2019
ANOVA (Analysis of Variance)
Dalam sebuah penelitian untuk membandingkan hasil perlakuan (treatment) pada suatu
populasi dengan populasi yang lainnya dapat memggunakan metode uji hipotesis yang ada
(Distribusi Z, Chi Kuadrat, atau Distribusi-T). Membandingkan satu rata-rata populasi dengan
satu rata-rata populasi yang lain dapat memakan waktu dan resiko kesalahan yang besar. Untuk
mengatasi hal tersebut dapat menggunakan metode ANOVA. Anova merupakan metode yang
dapat digunakan untuk melihat perbandingan rata-rata beberapa kelompok biasanya lebih dari
dua kelompok.
1. One-way ANOVA
Analysis of variance (ANOVA) merupakan suatu metode analisis statistika yang termasuk
ke dalam cabang statistika inferensi. Metode ini merupakan teknik analisis multivariate yang
berfungsi untuk membedakan rerata lebih dari dua kelompok data dengan cara
membandingkan variansinya.
Secara umum, ANOVA menguji dua varians berdasarkan hipotesis nol bahwa kedua
varians itu sama. Varians pertama adalah varians antar contoh (between samples) dan varians
kedua adalah varians di dalam masing-masing contoh (within samples).
Penetapan H0 dan H1 dalam ANOVA dirumuskan sebagai berikut:
 H0 : Semua perlakuan (kolom, baris, interaksi) memiliki rata-rata yang sama. Secara
matematis dituliskan sebagai berikut:

μ1 = μ2 = … = μk
H1 : Ada perlakuan (kolom, baris, interaksi) yang memiliki rata-rata yang bernilai tidak
sama (berbeda) atau paling tidak ada satu kelompok yang memiliki rata-rata berbeda
dari yang lain. Secara matematis dituliskan sebagai berikut:
μ1 ≠ μ2 ≠ … ≠ μk
Pada metode ANOVA, terdapat asumsi analisis varian yang harus dipenuhi sebagai berikut:
a. Populasi yang digunakan terdistribusi normal.
b.
Pengambilan sampel secara acak dan setiap sampel independen.
c.
Setiap populasi mempunyai varians yang sama.
Tabel berikut ini akan memberikan sebuah gambaran secara umum penelitian dengan
faktor tunggal:
Perlakuan
1
2
…
α
Observasi
𝑦11
𝑦21
…
𝑦𝑎1
𝑦12
𝑦22
…
𝑦𝑎2
…
…
…
…
𝑦1𝑛
𝑦2𝑛
…
𝑦𝑎𝑛
Total
Rata-rata
𝑦1.
𝑦2.
…
𝑦𝑎.
𝑦..
𝑦̅1.
𝑦̅2.
…
𝑦̅𝑎.
𝑦̅..
ANOVA terdiri dari proses partisi total variabilitas menjadi beberapa komponen
bagian. Total variasi terbagi dalam dua bagian:
𝑆𝑆𝑇 = 𝑆𝑆𝐵 + 𝑆𝑆𝑊
Keterangan:
SST (Total)
= Total Sum of Squares
SSB (Between)
= Sum of Squares Between
SSW (Within)
= Sum of Squares Within

SST merupakan jumlah kuadrat selisih antara skor individual dengan rata-rata totalnya.
𝑎
𝑛
𝑦.. 2
𝑆𝑆𝑇 = ∑ ∑(𝑦𝑖𝑗 ) −
𝑁
2
𝑖=1 𝑗=1

SSB adalah variansi rata-rata kelompok sampel terhadap rata-rata keseluruhannya.
𝑎
1
𝑦. .2
𝑆𝑆𝐵 = ∑ 𝑦𝑖.2 −
𝑛
𝑁

𝑖=1
SSW adalah variansi yang ada dalam masing-masing kelompok.
𝑆𝑆𝑊 = 𝑆𝑆𝑇 − 𝑆𝑆𝐵
Keterangan:
a
= Jumlah perlakuan
n
= Jumlah sampel
yi.
= Jumlah sampel data pada perlakuan i
yij
= Pengukuran ke j dari populasi i
y..
= Total keseluruhan data
N
= Jumlah populasi
Derajat kebebasan (Degree of Freedom) pada ANOVA
Derajat kebebasan atau degree of freedom (dilambangkan dengan v, dof, atau df) pada
ANOVA akan sebanyak variabilitas. Terdapat tiga macam derajat kebebasan yang perlu
untuk dihitung:
1. Derajat kebebasan untuk SST, vSST, dengan rumus:
𝑣𝑆𝑆𝑇 = 𝑁 − 1
2. Derajat kebebasan untuk SSB, vSSB, dengan rumus:
𝑣𝑆𝑆𝐵 = 𝑎 − 1
3. Derajat kebebasan untuk SSW, vSSw, dengan rumus:
𝑣𝑆𝑆𝑊 = 𝑁 − 𝑎
Menghitung variance antar kelompok dan dalam kelompok
Variance dalam ANOVA, baik untuk antar kelompok maupun dalam kelompok sering disebut
dengan deviasi rata-rata kuadrat (mean squared deviation) dan dilambangkan dengan MS.
Deviasi rata-rata kuadrat masing-masing dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut:
𝑆𝑆𝐵
𝑎−1
𝑆𝑆𝑊
𝑀𝑆𝑊 =
𝑁−𝑎
𝑀𝑆𝐵 =
Menghitung distribusi-F
Ftabel dihitung dengan melihat nilai α, vSSb adalah pembilang (kolom atas dari kiri ke kanan),
sedangkan vSSw adalah penyebut (kolom kiri atas ke bawah). Perpotongan antara vSSb dan vSSw
merupakan nilai Ftabel. Ftabel mengacu pada tabel distribusi F. Sedangkan Fhitung didapatkan
dengan rumus di bawah ini
𝐹ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 =
𝑀𝑆𝐵
𝑀𝑆𝑊
Langkah dalam ANOVA dapat dirangkum dalam tabel seperti berikut:
Sumber
Variasi
Sum of Squares
Degrees of
Freedom
Between
𝑆𝑆𝐵
𝑎−1
𝑀𝑆𝐵 =
Within
𝑆𝑆𝑊
𝑁−𝑎
𝑀𝑆𝑊 =
Total
𝑆𝑆𝑇 = 𝑆𝑆𝐵 + 𝑆𝑆𝑊
𝑁−1
Mean Square
𝑆𝑆𝐵
𝑎−1
𝑆𝑆𝑊
𝑁−𝑎
𝐹ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔
𝐹ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 =
𝑀𝑆𝐵
𝑀𝑆𝑊
Pernyataan aturan keputusan
Tolak H0 dan terima H1 jika Ftest> Ftabel. Jika tidak demikian, terima H0.
Contoh Soal:
1. Terdapat suatu penelitian yang bertujuan untuk mengetahui nilai situational awareness
laki-laki saat mengenadari mobil pada kondisi tanpa musik, dengan musik klasik
volume rendah (intensitas volume 55-60 dBA), musik rock volume rendah (intensitas
volume 55-60 dBA), musik rock volume tinggi (intensitas volume 75-80 dBA), dan
dengan musik klasik volume tinggi (intensitas volume 75-80 dBA). Penelitian tersebut
dilakukan terhadap 8 responden dengan hasil sebagai berikut:
Male Situational
Awareness
No Musik
Klasik Low
Klasik High
Rock Low
Rock High
1
2
3
4
5
6
7
8
0,79
0,83
0,64
0,85
0,66
0,81
0,85
0,78
0,75
0,71
0,65
0,71
0,72
0,62
0,61
0,64
0,71
0,57
0,70
0,66
0,77
0,80
0,74
0,64
0,77
0,62
0,67
0,66
0,57
0,57
0,66
0,87
0,72
0,65
0,69
0,71
0,81
0,81
0,55
0,51
Peneliti tersebut melakukan ANOVA dengan tingkat kepercayaan yang digunakan
adalah 95% atau α = 0.05, untuk menguji hipotesis berikut :
H0 : µ1 = µ2 = µ3 = µ4 = µ5 = µ6 = µ7 = µ8
H1 : terdapat perbedaan rata-rata nilai situational awareness
Jawab:
H0 : µ1 = µ2 = µ3 = µ4 = µ5 = µ6 = µ7 = µ8
H1 : terdapat perbedaan rata-rata nilai situational awareness
Situational
Awareness
No Musik
Klasik Low
Klasik High
Rock Low
Rock High
1
2
3
4
5
6
7
8
Total
Rata-rata
0,79
0,83
0,64
0,85
0,66
0,81
0,85
0,78
0,75
0,71
0,65
0,71
0,72
0,62
0,61
0,64
0,71
0,57
0,70
0,66
0,77
0,80
0,74
0,64
0,77
0,62
0,67
0,66
0,57
0,57
0,66
0,87
0,72
0,65
0,69
0,71
0,81
0,81
0,55
0,51
5,65
6,25
5,64
5,33
5,18
0,71
0,78
0,71
0,67
0,65
Y.. = 28,05
𝑌̅.. = 0,70
5
8
𝑺𝑺𝑻 = ∑ ∑ 𝑌𝑖𝑗
2
𝑖=1 𝑗=1
𝑌. .2
−
𝑁
SST = (0,79)2 + (0,81)2 + (0,65)2 + ………… + (0,51)2 –
(28,05)2
40
SST = 0,6241 + 0,6561+ 0,4225 + ………… + 0,2601 – 19,67681
SST = 0,320048016
5
1
𝑌 . .2
𝑺𝑺𝑩 = ∑ 𝑌𝑖 2 −
8
𝑁
𝑖=1
SSB =
1
8
(31,9225 + 39,0625 + 31,8096 + ……… + 26,8324) - 19,67006
SSB = 0,084425
SSW = SST – SSB
SSW = 0,320048016 - 0,084425
SSW = 0,235623016
𝑆𝑆𝐵
𝑎−1
0,084425
𝑴𝑺𝑩 =
4
𝑴𝑺𝑩 =
MSB = 0,021
𝑴𝑺𝑾 =
𝑴𝑺𝑾 =
𝑆𝑆𝑊
𝑁−𝑎
0,235623016
35
MSW = 0,00674
𝑭𝒉𝒊𝒕𝒖𝒏𝒈 =
𝑀𝑆𝐵
𝑀𝑆𝑊
𝑭𝒉𝒊𝒕𝒖𝒏𝒈 =
𝟎, 𝟎𝟐𝟏
𝟎, 𝟎𝟎𝟔𝟕𝟒
F hitung = 3,11
F table = 𝐹∝,𝑎−1,𝑁−𝑎
F table = F0,05, 4, 35
F table = 2,64
Hasil penghitungan dengan Ms. Excel.
ANOVA
Source of
Variation
Between Groups
Within Groups
SS
0,084425
0,235623016
df
4
35
Total
0,320048016
39
MS
F
P-value
F crit
0,021023 3,11833777 0,026999 2,641465
0,006742
Kesimpulan
F
hitung
> F
table
, maka kita menolak H0 dan menerima H1 yang berarti terdapat
perbedaan rata-rata nilai situational awareness pada responden tersebut.
2. Suatu penelitian ingin meneliti pengaruh jenis musik terhadap kecepatan saat
berkendara. Penelitian ini menggunakan enam responden. Ada pun perlakuan yang
diberikan yaitu mengenadari mobil pada kondisi tanpa musik, dengan musik klasik
volume rendah (intensitas volume 55-60 dBA), musik rock volume rendah (intensitas
volume 55-60 dBA), musik rock volume tinggi (intensitas volume 75-80 dBA), dan
dengan musik klasik volume tinggi (intensitas volume 75-80 dBA). Peneliti tersebut
melakukan ANOVA dengan tingkat kepercayaan yang digunakan adalah 95% atau α
= 0.05, untuk menguji hipotesis berikut :
H0 : µ1 = µ2 = µ3 = µ4 = µ5 = µ6
H1 : terdapat perbedaan rata-rata nilai kecepatan mengendarai mobil
Rata-rata
kecepatan
P1
P2
P3
P4
P5
P6
(Km/h)
No Musik
36,01 41,26
36,45
41,47
31,96
31,93
Klasik Low 39,17 35,03
36,34
39,91
33,94
36,55
Rock Low
47,92 35,06
36,06
46,18
32,91
38,50
Klasik High 37,96 32,51
39,03
44,31
33,61
43,96
Rock High
41,95 37,23
35,90
44,50
38,33
45,75
Jawab:
H0 : µ1 = µ2 = µ3 = µ4 = µ5 = µ6
H1 : terdapat perbedaan rata-rata nilai kecepatan mengendarai mobil
Rata-rata
kecepatan
P1
P2
P3
P4
P5
P6
Total
(Km/h)
No Musik
36,01 41,26 36,45 41,47 31,96 31,93
219,08
Klasik Low 39,17 35,03 36,34 39,91 33,94 36,55
220,94
Rock Low
47,92 35,06 36,06 46,18 32,91 38,50
236,63
Klasik High 37,96 32,51 39,03 44,31 33,61 43,96
231,38
Rock High
41,95 37,23 35,90 44,50 38,33 45,75
243,66
Y.. =
1151,69
5
6
𝑺𝑺𝑻 = ∑ ∑ 𝑌𝑖𝑗 2 −
𝑖=1 𝑗=1
Rata-rata
36,51
36,82
39,44
38,56
40,61
𝑌̅.. = 38,39
𝑌. .2
𝑁
SST = (36,01)2 + (41,26)2 + (36,45)2 + ………… + (45,75)2 –
(1151,69)2
30
SST = 1296,7201 + 1702,3876 + 1328,6025 + ……………. + 2093,0625 44212,99520
SST = 585,70530
5
1
𝑌 . .2
𝑺𝑺𝑩 = ∑ 𝑌𝑖 2 −
6
𝑁
𝑖=1
SSB =
1
6
(47996,0464 + 48814,4836 + 55993,7569 + 53536,7044 + 59370,1956) –
44212,99520
SSB = 72,20261
SSW = SST – SSB
SSW = 585,70530 – 72,20261
SSW = 513,50268
𝑆𝑆𝐵
𝑎−1
72,20261
𝑴𝑺𝑩 =
4
𝑴𝑺𝑩 =
MSB = 18,05065333
𝑴𝑺𝑾 =
𝑴𝑺𝑾 =
𝑆𝑆𝑊
𝑁−𝑎
513,50268
25
MSW = 20,54010733
𝑭𝒉𝒊𝒕𝒖𝒏𝒈 =
𝑀𝑆𝐵
𝑀𝑆𝑊
𝑭𝒉𝒊𝒕𝒖𝒏𝒈 =
18,05065333
20,54010733
F hitung = 0,878800341
F table = 𝐹∝,𝑎−1,𝑁−𝑎
F table = F0,05, 4, 25
F table = 2,76
Hasil penghitungan dengan Ms. Excel
ANOVA
Source of
Variation
Between
Groups
Within
Groups
Total
SS
72,20261333
df
MS
F
P-value
F crit
4 18,05065333 0,878800341 0,490668074 2,75871
513,5026833
25 20,54010733
585,7052967
29
Kesimpulan
F hitung < F table , maka kita menerima H0, yang berarti tidak terdapat perbedaan anata
jenis musik dengan kecepatan mengendarai mobil.
2. Anova - Blocking Technique
Dalam melakukan Design of Experiment (DOE), variabilitas kerap kali muncul dari
nuisance factor yang ditimbulkan dari pengaruh lingkungan/kondisi tempat dilakukannya
experiment. Secara garis besar, nuisance factor adalah faktor penggangu yang mungkin
berdampak terhadap penelitian.
Faktor – faktor tersebut dapat dikelompokkan menjadi 3 (Montgomery, 2013) :
1. Faktor pengganggu yang bersifat unknown dan uncontrollable, dapat diatasi dengan
menggunakan teknik randomization.
2. Faktor pengganggu yang bersifat known dan uncontrollable, dapat diatasi dengan
menggunakan analysis of covariance.
3. Faktor pengganggu yang bersifat known dan controllable, dapat diatasi dengan
menggunakan blocking atau randomized complete block design.
Blocking bertujuan untuk menghilangkan dampak nuisance factor pada saat melakukan
experiment, dengan cara membagi kelompok percobaan secara merata ke dalam blok-blok,
serta dengan replikasi, kemudian menghitung faktor pengganggu (SSBlocks) dalam perhitungan
uji hipotesis (ANOVA), sehingga diharapkan hasil experiment sesuai dengan kondisi tempat
dilakukannya experiment.
Rumus perhitungan analisis varians menggunakan F-test untuk RCBD adalah sebagai berikut
(Montgomery, 2013) :
Sumber: Design and Analysis of Experiments 8th Edition, halaman 144.
Apabila tidak dapat ditemukan dalam excel ataupun software, maka dapat dihitung manual
dengan rumus sebagai berikut untuk perhitungan menggunakan Kuadrat :
𝑎
𝑏
𝑆𝑆𝑇 = ∑ ∑ 𝑦 2 𝑖𝑗 −
𝑖=1 𝑗=1
𝑦2. .
𝑁
𝑎
𝑆𝑆𝑇𝑟𝑒𝑎𝑡𝑚𝑒𝑛𝑡𝑠
1
𝑦2. .
= ∑ 𝑦 2 𝑖. −
𝑏
𝑁
𝑖=1
𝑏
𝑆𝑆𝐵𝑙𝑜𝑐𝑘𝑠
1
𝑦2. .
= ∑ 𝑦2. 𝑗 −
𝑎
𝑁
𝑗=1
Atau dapat juga menggunakan rumus perhitungan Rata-rata sebagai berikut :
𝑆𝑆𝑇 = ∑𝑎𝑖=1 ∑𝑏𝑗=1(𝑦𝑖𝑗 − 𝑦̅)2
𝑆𝑆𝑇𝑟𝑒𝑎𝑡𝑚𝑒𝑛𝑡𝑠 = 𝑛 ∑𝑎𝑖=1(𝑦̅𝑖 − 𝑦̅.. )2
𝑆𝑆𝐵𝑙𝑜𝑐𝑘𝑠 = 𝑎 ∑𝑏𝑗=1(𝑥̅𝑗 − 𝑥̿ )2
Dimana i = perlakukan, j = urutan replikasi. Perhitungan error of sum square dapat dihitung
dengan rumus sebagai berikut :
𝑆𝑆𝐸 = 𝑆𝑆𝑇 − 𝑆𝑆𝑡𝑟𝑒𝑎𝑡𝑚𝑒𝑛𝑡𝑠 − 𝑆𝑆𝐵𝑙𝑜𝑐𝑘𝑠
Source of
Sum of Squares Degrees of
Variation
Mean Square
Fo
Freedom
Treatments
SSTreatments
a-1
Blocks
SSBlocks
b-1
Error
SSE
(a-1)(b-1)
Total
SST
N-1
𝑆𝑆𝑡𝑟𝑒𝑎𝑡𝑚𝑒𝑛𝑡𝑠
𝑎−1
𝑀𝑆𝑡𝑟𝑒𝑎𝑡𝑚𝑒𝑛𝑡𝑠
𝑀𝑆𝐸
𝑆𝑆𝑏𝑙𝑜𝑐𝑘𝑠
𝑏−1
𝑆𝑆𝐸
(𝑎 − 1)(𝑏 − 1)
Contoh Soal
Berikut adalah contoh yang dapat menggambarkan aplikasi teknik blocking/RCBD :
1. Pada kantor cabang bank ABC, terdapat 3 Customer Service sekaligus yang dapat
melakukan pembukaan rekening tabungan bagi nasabah baru. Pimpinan cabang
melakukan uji kecepatan waktu pembukaan rekening (dalam satuan menit) terhadap
ketiga Customer Service tersebut, dimana prosessor computer yang digunakan berbeda
antara 1 customer service dengan yang lainnya. Maka, pemimpin cabang memetakan
jenis prosessor komputer yang ada menjadi 5 blok dan membagi rata penggunaannya
untuk semua Customer Service, dengan tingkatan sebagai berikut :
Blok 1
Blok 2
Blok 3
Blok 4
Blok 5
Computer
Computer
Computer
Computer
Computer
Core 2 Duo
Core i-2
Core i-3
Core i-5
Core i-7
CS 1
x menit
…
…
…
…
CS 2
…
…
…
…
…
CS 3
…
…
…
…
…
CS 1
…
…
…
…
…
CS 2
…
…
…
…
…
CS 3
…
…
…
…
…
Proses pembukaan rekening tersebut dilakukan secara acak (tidak berurutan) dan
pemimpin cabang ingin melihat 2 orang saja yang dapat melakukan pekerjaan paling
cepat. (𝛼 = 0.05)
Data dianggap memenuhi asumsi one-way ANOVA Test (distribusi normal, varians
homogen, variabel independen dan random)
Jawab
H0: µ1 = µ2 = µ3 = µ4
H1: terdapat perbedaan signifikan waktu pembukaan rekening baru diantara 3 orang
Customer Service.
Variance
Treatments
Blocks
Error
Total
Sum of
Square
54.7
141.1
13.8
209.6
Df
2
4
8
14
Mean
Square
27.35
35.28
1.73
Fo
15.86
F
(0.05,2,8)
4.46
F0 ˃ F(0.05,2,8); maka tolak H0; terdapat perbedaan signifikan kecepatan pembukaan
rekening diantara 3 Customer Service.
Post Hoc one-way ANOVA menggunakan LSD Fisher test; α = 0,05
H0: µ1 = µ2
H1: µ1 ≠ µ2
2(1,73)⁄
2𝑀𝑆𝐸⁄
𝑛 = 2,3√
5 = 1,96
𝐿𝑆𝐷 = 𝑡0.025,8 √
𝑦̅1. − 𝑦̅2. = 19,7 − 18,8 = −0,10 ≡ 𝑎𝑐𝑐𝑒𝑝𝑡 𝐻0
𝑦̅1. − 𝑦̅3. = 19,7 − 23,8 = −4,1 ≡ 𝑟𝑒𝑗𝑒𝑐𝑡 𝐻0
𝑦̅2. − 𝑦̅3. = 19,8 − 23,8 = −4 ≡ 𝑟𝑒𝑗𝑒𝑐𝑡 𝐻0
Dari hasil tersebut terdapat 1 pasangan yang berbeda signifikan (CS 1 dan CS 2),
berdasarkan hasil perhitungan LSD Fischer Test maka direkomendasikan untuk
memilih CS 1dan CS 2.
2. Pada sebuah latihan rescue pemadaman kebakaran, Dinas Pemadam Kebakaran, ingin
melakukan percobaan apakah ada beda signifikan kecepatan pemadaman api
menggunakan APAR yang berbeda, dalam 1 kejadian yang sama (latihan pemadaman
kebakaran). Maka, koordinator pelatih memetakan jenis APAR yang ada menjadi 5
blok dan membagi rata penggunaannya untuk semua petugas pemadam, dengan
tingkatan sebagai berikut :
CS 1
CS 2
CS 3
CS 1
CS 2
CS 3
core 2
duo
25
30
29
24
22
23
core i2
22
21
22
21
22
28
core i3
20
21
29
19
20
21
core i5
17
18
22
18
16
24
core i7
15
14
20
16
14
20
Avg.
25.5
22.7
21.7
19.2
16.5
Total
APAR
APAR
Chemical
Foam
Powder
19.8
20.8
24.4
19.6
18.8
23.2
633
21.1
Average
CS 1
CS 2
CS 3
Average
APAR
Water
Petugas 4
6
7
5
6
9
8
9
10
19
17
16
18
Petugas 1
9
10
7
8
17
Petugas 3
99
104
122
98
94
116
APAR
Clean
Agent
11
9
7
8
Petugas 2
Avg.
Apar
CO2
10
8
9
8
Petugas 1
Total
Ptgs 1
Ptgs 2
Ptgs 3
Ptgs 4
10.6
10.7
9.8
10.1
19.7
19.8
23.8
Petugas 2
Petugas 3
Petugas 4
11
10
9
12
9
8
6
5
6
11
9
8
18
19
20
Total
Variance
Sum of
Square
Df
Mean
Square
Treatement
Block
Error
2.7
326.7
7.8
3
4
12
0.90
81.68
0.65
Total
337.2
14
Fo
F
(0.005,3,12)
1.38
3.49
F0 < F(0.05,2,8); maka H0 diterima, sehingga dapat ditarik kesimpulan, tidak terdapat
perbedaan signifikan kecepatan proses pemadaman kebakaran menggunakan APAR
yang berbeda.
3. Analysis Covariance
Analysis Covariance atau yang biasa disebut Ancova merupakan teknik statistik yang
digunakan untuk menguji perbedaan, gabungan dari analisis varian dan analisis
regresi,membandingkan varian residu dalam dan antar kelompok, dan seringkali digunakan
padapenelitian experimental.
Tujuan dari Ancova adalah untuk mendapatkan kemurnian pengaruh variabel independen
terhadap variabel dependen, mengontrol kondisi awalsebelum penelitian dengan, dan
mengontrol variabel luar yang secara teoritis akan mempengaruhi hasil penelitian.
Perbedaan antara Anova dan Ancova adalah:

Anova lebih tepat digunakan ketika perbedaan kondisi awal antara kelompokperlakuan
dan kontrolnya adalah signifikan, sedangkan Ancova lebih tepatdigunakan ketika
menggunakan randomized design, kondisi awal antara kelompokkontrol dan
eksperimen adalah setara, dan banyak subjek yang bisa mencapaiskor maksimal
pengukuran sehingga varian skor mengalami penurunan.

Anova dan Ancova memfokuskan pada hal yang berbeda. Ancova memusatkan pada
perbedaan efek perlakuan sedangkan Anova pada perubahanskor.
Pada desain randomized Anova dan Ancova akan memberikan hasil yang mirip, namun
berbeda dalam hal ukuran efek dan kekuatannya, akan tetapi, penggunaan Ancova
mensyaratkan pengukuran yang memiliki “error” pengukuran sangat kecil.
Langkah-langkah Pengujian:
1. Derajat kebebasan:
dk total = N – 2
dk dalam = N – k – 1
dk antara = k – 1
2. Aturan pengambilan keputusan:
F hitung < F table, Ho diterima
F hitung > F table, Ho ditolak, H1 diterima
3. Asumsi dalam ANCOVA:
Masing-masing populasi untuk setiap level faktor memiliki variansi yang sama, dimana
data observasi, (Y) independent, sementara (X) bersifat tetap dan tidak berkorelasi
(bebas) dengan perlakuan yang dicobakan. Hubungan antara (X) dan (Y) bersifat linear
dan bebas dari perlakuan atau kelompok percobaan. Prosedur dasar untuk analysis of
covariance dideskripsikan dan diilustrasikan untuk eksperimen single faktor dengan satu
covariate. Diasumsikan bahwa terdapat sebuah hubungan linier antara respon dan
covariate, yang dapat dihitung dengan model statistik sebagai berikut:
yij = µ’ + τi + βxij + εij,
i = 1,2,…., a
j = 1,2,…., n
dimana:
yij
: nilai variabel respon pada perlakuan ke-i observasi ke-j
xij : nilai covariate pada observasi yang bersesuaian dengan yij
τi
: pengaruh perlakuan ke-i
β
: koefisien regresi linier
εij
: random error
a
: banyaknya kategori pada perlakuan
n
: banyaknya observasi pada kategori ke-i
Untuk mendeskripsikan analisanya, dapat mengikuti beberapa persamaan berikut:
2
Syy= ∑𝑎𝑖=1 ∑nj=1(𝑦𝑖𝑗 − 𝑦̅.. )2 = ∑𝑎𝑖=1 ∑nj=1 𝑦𝑖𝑗 −
2
Sxx= ∑𝑎𝑖=1 ∑nj=1(𝑥𝑖𝑗 − 𝑥̅.. )2 = ∑𝑎𝑖=1 ∑nj=1 𝑥𝑖𝑗 −
𝑦..2
𝑎𝑛
𝑥..2
𝑎𝑛
Sxy=∑𝑎𝑖=1 ∑nj=1(𝑥𝑖𝑗 − 𝑥̅.. )(𝑦𝑖𝑗 − 𝑦̅.. ) = ∑𝑎𝑖=1 ∑nj=1 𝑥𝑖𝑗 𝑦𝑖𝑗 −
1
𝑎𝑛
𝑥..2
1
Txx=n∑𝑎𝑖=1(𝑥
̅̅̅𝑖. − 𝑥̅.. )2 = 𝑛 ∑𝑎𝑖=1 𝑥𝑖.2 −
𝑎𝑛
1
Txy=n∑𝑎𝑖=1(𝑥
̅̅̅𝑖. − 𝑥̅.. )(𝑦̅𝑖. − 𝑦̅.. ) = 𝑛 ∑𝑎𝑖=1 𝑥𝑖. 𝑦𝑖. −
Eyy=
𝑎𝑛
𝑦..2
Tyy=n∑𝑎𝑖=1(𝑦̅𝑖. − 𝑦̅.. )2 = 𝑛 ∑𝑎𝑖=1 𝑦𝑖.2 −
∑𝑎𝑖=1 ∑nj=1(𝑦𝑖𝑗
𝑥..𝑦..
𝑥.. 𝑦..
𝑎𝑛
2
− 𝑦̅𝑖. ) = Syy - Tyy
Exx= ∑𝑎𝑖=1 ∑nj=1(𝑥𝑖𝑗 − ̅̅̅
𝑥𝑖. )2 = Sxx – Txx
Exy= ∑𝑎𝑖=1 ∑nj=1(𝑥𝑖𝑗 − ̅̅̅
𝑥𝑖. )(𝑦𝑖𝑗 − 𝑦̅𝑖. ) = Sxy – Txy
Dengan catatan bahwa secara umum, S = T + E, dimana symbol S, T dan E digunakan untuk
menunjukan sums of square dan cross products untuk total, treatment dan error masingmasing. SS untuk x dan y harus non-negatif, dan bagaimanapun jumlah silang (xy) bias saja
negatif.
Dapat dilihat bagaimana analysis of covariance menyesuaikan variabel respon untuk efek
covariate.
𝛽̂ =
𝐸𝑥𝑦
𝐸𝑥𝑥
Sum Square Error pada model ini adalah :
SSE = Eyy – (Exy)2/Exx
Dengan derajat kebebasan 𝑎(𝑛 − 1) − 1, eksperimen error variance dihitung dengan rumus :
𝑆𝑆
𝐸
MSE = 𝑎(𝑛−1)−1
SS’E = Syy – (Sxy)2/Sxx
Dengan derajat kebebasan 𝑎𝑛 − 2, pada persamaan (Sxy)2/Sxx adalah pengurangan pada sum of
square dari y yang diperoleh melalui regresi linier dari y terhadap x. Selanjutnya, dicatat bahwa
SSE lebih kecil dari SSE’ dikarenakan terdapat parameter tambahan τi dan quantity SSE’- SSE
adalah pengurangan sum of square yang dikarenakan τi.. Dengan Df 𝑎 − 1, hipotesis test
sehingga: H0 : τi = 0
F0 =
(𝑆𝑆𝐸′ −𝑆𝑆𝐸 )/(𝑎−1)
𝑆𝑆𝐸 /[𝑎(𝑛−1)−1]
Dimana, jika hipotesa null adalah benar, berdistribusi 𝐹𝛼,𝑎−1,𝑎(𝑛−1)−1.
Sehingga tolak H0 : τi = 0 jika F0 > 𝐹𝑎−1,𝑎(𝑛−1)−1.
Tabel dibawah ini adalah rangkuman persamaan untuk “adjusted” analysis of variance.
Source of
Variation
SS
Df
Regression
(Sxy)2/Sxx
Treatment
SS’E - SSE = Syy – (Sxy) /Sxx –
[Eyy – (Exy)2/Exx]
𝑎−1
Error
SSE = Eyy – (Exy)2/Exx
𝑎(𝑛 − 1) − 1
Total
Syy
𝑎𝑛 − 1
MS
Fo
𝑆𝑆′𝐸 − 𝑆𝑆𝐸
𝑛−1
𝑆𝑆𝐸
𝑀𝑆𝐸 =
𝑎(𝑛 − 1) − 1
(𝑆𝑆𝐸′ − 𝑆𝑆𝐸 )/(𝑎 − 1)
𝑀𝑆𝐸
1
2
Selain menguji hipotesis dimana tidak ada perbedaan pada treatment effect, kita sering
penggunaanya untuk menginterpretasikan data yang disajikan sebagai adjusted treatment.
Dimana adjusted mean dan standard deviasi dapat dihitung dengan rumus :
Adjusted 𝑦̅𝑖. = 𝑦̅𝑖. - 𝛽̂ (𝑥
̅̅̅𝑖. − 𝑥̅.. )
1
SAdj𝑦̅𝑖. = [𝑀𝑆𝐸 (𝑛 +
i= 1,2,. . . ., a
2
̅̅̅𝑖.̅−𝑥
̅̅̅)
(𝑥
..
)]1/2
𝐸𝑥𝑥
Dan dapat ditambahkan koefisien 𝛽 pada persamaan. Yang dapat dihipotesiskan sebagai H0 :
𝛽 = 0, dengan perhitungan:
F0 =
(𝐸𝑥𝑦 )2 /𝐸𝑥𝑥
𝑀𝑆𝐸
dimana tolak H0 : 𝛽 = 0 jika F0 > 𝐹𝛼,1,𝑎(𝑛−1)−1
Contoh Soal
Berikut ini adalah contoh soal yang dapat menggambarkan penggunaan Ancova :
1.
Sebuah Industri yang melakukan pengolahan aluminium coil ingin mengetahui apakah
terdapat pengaruh antara Mesin 1, Mesin 2 dan Mesin 3 terhadap produktifitas yang
dihasilkan. Dimana produktifitas juga dipengaruhi oleh besarnya lebar aluminium coil
tersebut. Dari scatter diagram dapat diketahui bahwa adanya korelasi antara produktifitas
dengan lebar aluminium coil tersebut. Untuk itu dalam percobaan ini digunakan
concomitant variable (X) yaitu lebar aluminium yang dihasilkan ( dalam 1000 mm) dan
Y dalam ton, dengan taraf signifikansi α = 0,05.
Tabel 1. Data produksi (y= produktivitas ton/hr dan x=lebar material dalam 1000 mm.)
Total
Mesin 1
Y
X
217
10.5
211
12.1
197
11.3
234
13.3
182
11.5
1041
58.7
Mesin 2
Y
X
182
18.3
202
11.7
226
12.4
229
12.5
254
15.3
1075
60.2
yij = µ’ + τi + βxij + εij,
Mesin 3
Y
X
188
8.3
211
11.2
204
12.9
187
10.1
177
11.4
967
53.9
i = 1,2,3
j = 1,2,3,4,5
Jawab

Langkah pertama, menentukan hipotesis:
Ho: µ1 = µ2 = µ3, tidak ada pengaruh perlakuan jenis mesin yang dicobakan terhadap
produktifitas yang dihasilkan.
Ha: µ1 ≠ µ2 ≠ µ3, ada pengaruh perlakuan jenis mesin yang dicobakan terhadap
produktifitas yang dihasilkan

Langkah kedua, memulai perhitungan uji statistik:
Analisis untuk variabel X:
2
Sxx= ∑𝑎𝑖=1 ∑nj=1 𝑥𝑖𝑗 −
1
Txx= 𝑛 ∑𝑎𝑖=1 𝑥𝑖.2 −
𝑥..2
𝑎𝑛
𝑥..2
𝑎𝑛
= (10.5)2 + (12.1)2 + . . . + (11.4)2 – (
1
= 5 [(58.7)2 + (60.2)2 + (53.9)2 ] −
(172.8)2
3𝑥5
(172.8)2
3𝑥5
) = 25.04
= 4.33
Exx= Sxx – Txx = 25.04 – 4.33 = 20.69
Analisis untuk variabel Y:
2
Syy= ∑𝑎𝑖=1 ∑nj=1 𝑦𝑖𝑗 −
1
Tyy= 𝑛 ∑𝑎𝑖=1 𝑦𝑖.2 −
𝑦..2
𝑦..2
𝑎𝑛
= (217)2 + (211)2 + . . . + (177)2 – (
1
= 5 [(1041)2 + (1075)2 + (967)2 ] −
𝑎𝑛
Eyy= Syy - Tyy = 5551.73 – 1219.73 = 4332
Analisis untuk variabel XY:
Sxy = ∑𝑎𝑖=1 ∑nj=1 𝑥𝑖𝑗 𝑦𝑖𝑗 −
𝑥..𝑦..
𝑎𝑛
(3083)2
3𝑥5
) = 5551.73
(3083)2
3𝑥5
= 1219.73
= (10.5)(217) + (12.1)(211) + . . . +(11.4)(177) – (
1
Txy = 𝑛 ∑𝑎𝑖=1 𝑥𝑖. 𝑦𝑖. −
(172.8)(3083)
3𝑥5
) = 343.94
𝑥.. 𝑦..
𝑎𝑛
1
(172.8)(3083)
= 5 [(58.7)(1041) + (60.2)(1075) + (53.9)(967)] −
= 72.44
3𝑥5
Exy= Sxy – Txy = 343.94 – 72.44 = 271.50

SS’E
= Syy – (Sxy)2/Sxx
= 5551.73 – (343.94)2/25.04
= 824.48
Dengan Df = 𝑎𝑛 − 2 = 3(5) - 2 = 13

SSE
= Eyy – (Exy)2/Exx
= 4332 – (271.5)2/20.69
= 769.65
Dengan Df = 𝑎(𝑛 − 1) − 1 = 3(5-1) -1 = 11

MSE
=
=
𝑆𝑆𝐸
𝑎(𝑛−1)−1
769.65
3(5−1)−1
= 59.20
Dari hal ini dapat kita ambil dasar penarikan suatu kesimpulan, dimana ;
Untuk hypothesis H0 : τi = τ2 = τ3 = 0
dimana ; 𝑆𝑆𝐸′ − 𝑆𝑆𝐸 = 824.48 – 769.65 = 54.84 dan Df = (a-1)
𝑀𝑆 = (𝑆𝑆𝐸′ − 𝑆𝑆𝐸 )/(𝑎 − 1) = 54.84 / (3-1) = 27.42
F0 =
(𝑆𝑆𝐸′ −𝑆𝑆𝐸 )/(𝑎−1)
𝑆𝑆𝐸 /[𝑎(𝑛−1)−1]
=
27.42
59/20
= 0.46
Tabel Ringkasan Perhitungan Analysis Covariance
Source of
Variation
Df
Machine
Error
Total
Adjusted
2
12
14
Sum of Squares and
Product
X
Xy
y
4.33
72.44 1219.73
20.69 271.50 4332
25.04 343.94 5551.73
Adjusted for
regression
Y
Df
MS
769.65 11
824.48 13
54.84 2
Fo
59.20
27.42
0.46
Jika dibandingkan dengan jika 𝑭𝟎.𝟎𝟓,𝟐,𝟏𝟏 = 3.98, dapat di simpulkan H0 diterima karena
F0 < Ftabel. Yang berarti tidak ada perbedaan perlakuan secara signifikan antara mesin –
mesin yang ada.

Jika koefisien regresi perhitungkan berdasarkan persamaan :
𝐸𝑥𝑦
𝛽̂ = 𝐸𝑥𝑥 =
271.5
20.69
= 13.12
Kita akan menguji dengan H0 : 𝛽 = 0
F0 =
(𝐸𝑥𝑦 )2 /𝐸𝑥𝑥
𝑀𝑆𝐸
=
(271.5)2 /20.69
59.20
= 60.17
Jika kita melihat ke tabel 𝐹0.05,1,11 = 4.84, karena F0>Ftabel , dapat di simpulkan H0 ditolak.
Yang berarti terdapat hubungan secara signifikan antara produktifitas pengolahan dan
dengan unit lebar aluminium coil.

Jika treatment mean diadjust menjadi :
Adjusted ̅̅̅
𝑦1
= ̅𝑦̅̅1.̅ - 𝛽̂ (𝑥
̅̅̅
̅.. )
1. − 𝑥
= 208.2 – 13.12 (11.74-11.52) = 205.31
Adjusted ̅̅̅
𝑦2
̂ ̅̅̅2.̅ − 𝑥̅.. )
= ̅̅
𝑦̅̅
2. - 𝛽 (𝑥
= 215 – 13.12 (12.04-11.52) = 208.18
Adjusted ̅̅̅
𝑦3
̂ ̅̅̅3.̅ − 𝑥̅.. )
= ̅̅
𝑦̅̅
3. - 𝛽 (𝑥
= 193.4 – 13.12 (10.78-11.52) =203.11
Jika dibandingkan adjusted mean dengan unadjusted mean dapat dilihat nilainya hampir
sama, sehingga menjadi salah satu indikasi bahwa dibutuhkan Analisa covariance. Asumsi
awal Analysis of covariance adalah bahwa percobaan tidak dipengaruhi oleh covariate (x)
karena secara teknis menghilangkan efek dari variasi 𝑥̅ 𝑖 . Bagaimanapun juga jika variasi
pada x adalah dikarenakan oleh treatment yang kemudian analysis of covariance akan
menghilangkan bagian dari efek treatment. Terdapat kemungkinan lebar aluminium
dipengaruhi oleh mesin kerja, kita juga dapat menguji nya dengan hipotesa: H0 = tidak ada
perbedaan lebar alumium coil antar mesin kerja.
𝑇𝑥𝑥/(𝑎−1)
(4.33)/2
F0 = 𝐸𝑥𝑥/(𝑎(𝑛−1) = 20.69/12 = 1.25
Jika dibandingkan dengan 𝐹0.05,2,11 = 3.89, dapat di simpulkan H0 diterima karena F0 <
Ftabel. Yang berarti tidak terdapat pebedaan secara signifikan antara lebar aluminium coil
pada mesin 1, 2 dan 3.
2.
Seorang koki ingin meneliti terkait kecepatan food processor dalam menghaluskan
makanan yang ingin ia dihaluskan, pertimbangkan studi yang dilakukan untuk menentukan
apakah ada perbedaan dalam kekuatan pisau yang dihasilkan oleh tiga food processor yang
berbeda. Data dari percobaan ini ditunjukkan pada table diatas. menyajikan diagram
sebaran kekuatan (y) versus ketebalan pisau (x). Jelas, kekuatan pisau juga dipengaruhi
oleh ketebalannya; akibatnya, pisau yang lebih tebal umumnya akan lebih kuat daripada
yang lebih tipis. Analisis kovarians dapat digunakan untuk menghilangkan efek ketebalan
(x) pada kekuatan (y) saat menguji perbedaan kekuatan antara food processor.
Data Breaking Strength (y= kekuatan dalam pounds dan x= diameter dalam 10-3in.
Food Procesor 1
Total
Food Procesor 2
Food Procesor 3
y
x
y
x
y
x
35
19
40
20
33
20
40
25
47
27
37
22
40
23
38
22
40
27
42
25
45
30
34
21
48
30
44
27
32
15
205
22
214
126
176
105
Jawab

Langkah pertama, menentukan hipotesis:
Ho: µ1 = µ2 = µ3, tidak ada perbedaan dalam kekuatan pisau yang dihasilkan oleh tiga
food processor.
Ha: µ1 ≠ µ2 ≠ µ3, ada perbedaan dalam kekuatan pisau yang dihasilkan oleh tiga food
processor

Langkah kedua, memulai perhitungan uji statistik:
Analisis untuk variabel X :
2
Sxx= ∑𝑎𝑖=1 ∑nj=1 𝑥𝑖𝑗 −
1
Txx= 𝑛 ∑𝑎𝑖=1 𝑥𝑖.2 −
𝑥..2
𝑎𝑛
𝑥..2
𝑎𝑛
= (19)2 + (25)2 + … + (15)2 -
(353)2
(3)(5)
1
= 5 [(122)2 + (126)2 + (105)2 ] −
= 253,7333
(353)2
3𝑥5
= 49.73
Exx= Sxx – Txx = 253,7333 - 49,7333 = 204
Analisis untuk variabel Y :
2
Syy= ∑𝑎𝑖=1 ∑nj=1 𝑦𝑖𝑗 −
1
Tyy= 𝑛 ∑𝑎𝑖=1 𝑦𝑖.2 −
𝑦..2
𝑦..2
𝑎𝑛
= (35)2 + (40)2 + . . . + (32)2 – (
1
(595)2
= 5 [(205)2 + (214)2 + (176)2 ] −
𝑎𝑛
3𝑥5
) = 343.3
(595)2
3𝑥5
= 157,7
Eyy= Syy - Tyy = 343,3333 - 157,7333 = 1185,6
Analisis untuk variabel XY:
Sxy = ∑𝑎𝑖=1 ∑nj=1 𝑥𝑖𝑗 𝑦𝑖𝑗 −
𝑥..𝑦..
𝑎𝑛
= 19)(35) + (25)(40) + . . . + (15)(32) – (
1
Txy = 𝑛 ∑𝑎𝑖=1 𝑥𝑖. 𝑦𝑖. −
(353)(595)
(3)(5)
) = 263,7
𝑥.. 𝑦..
𝑎𝑛
1
5
= [(205)(122) + (214)(126) + (176)(105)] −
Exy= Sxy – Txy = 263,7 – 88,5 = 175,2

SS’E
= Syy – (Sxy)2/Sxx
= 343,3 – (263,7)2/253,7
= 69,3
Dengan Df = 𝑎𝑛 − 2 = 3(5) - 2 = 13
(353)(595)
(3)(5)
= 88,5

SSE
= Eyy – (Exy)2/Exx
= 185,6 – (175,2)2/204
= 35,1
Dengan Df = 𝑎(𝑛 − 1) − 1 = 3(5-1) -1 = 11

MST
=
=
𝑆𝑆′𝐸 − 𝑆𝑆𝐸
𝑎−1
69,3−35,1
3−1
= 17,1

MSE
=
=
𝑆𝑆𝐸
𝑎(𝑛−1)−1
35,13412
11
= 3,2
Sum of square untuk H0 : τi = τ2 = τ3 = 0
𝑆𝑆𝐸′ − 𝑆𝑆𝐸 = 69,34432 - 35,13412 = 34,2102 dan Df = a-1 = 3-1 = 2
Untuk menguji hipotesis bahwa setiap food processor berbeda dalam hasil menghaluskan
makanan hasil prosesnya, dimana H0 : τ1 = τ2 = τ3 = 0, kami menghitung uji t sebagai :
F0 =
(𝑆𝑆𝐸′ −𝑆𝑆𝐸 )/(𝑎−1)
𝑆𝑆𝐸 /[𝑎(𝑛−1)−1]
=
17,1
3,1
= 5,35
Tabel Ringkasan Perhitungan Analysis Covariance
Source of
Variation
Machine
Error
Total
Adjusted
Sum of Squares and
Product
Df
X
Xy
y
2
49,73 88,5
157,7
12 204
175,2 185,6
14 253,7 263,7 343,3
Adjusted for
regression
Y
Df
MS
17,1
35,1
11 3,2
69,3
13
54.84 2
Fo
5,35
Membandingkan dengan F0,01,2,11 = 2.86, kami menemukan bahwa F0 > Ftabel sehingga
hipotesis null (H0) ditolak yang berarti terdapat perbedaan antara food processor satu
dengan lainnya.