METODE NUMERIK
SISTEM PERSAMAAN LINIER
SIMULTAN
Sistem Persamaan Linear
Misal terdapat SPL dengan n buah variabel bebas

a11 x1  a12 x2  a13 x3    a1n x n  C1
a21 x1  a22 x2  a23 x3    a2n x n  C 2

am1 x1  am2 x2  am3 x3    amn x n  C n
Matriks:
 a11

a21
a31

 
a
 n1
a12
a22
a32

an2
 a1n   x1  C1 
   
 a2n   x2  C 2 
 a3n   x3   C 3 
   
       
 ann   x n  C n 
Penyelesaian Sistem
Persamaan Linear (SPL)



Algoritma Gauss Naif
Algoritma Gauss Jordan
Algoritma Gauss Seidel
Algoritma Eliminasi Gauss/
Gauss Naif
1.
2.
3.
Membagi persamaan pertama dengan
koefisien a11. Langkah tersebut disebut
normalisasi. Tujuan normalisasi ini adalah
agar koefisien dari x1 berubah menjadi 1.
Kalikan persamaan yang telah dinormalisasi
(dalam hal ini persamaan pertama) dengan
koefisien pertama dari persamaan kedua
(yaitu a21).
Mengurangkan baris kedua dan ketiga
dengan baris pertama.
Algoritma Gauss Naif
4.
5.
6.
Kalikan persamaan pertama yang sudah
dinormalisasi dengan koefisien tertentu
sehingga a11 = a31.
Kurangkan persamaan ketiga dengan hasil
dari yang didapat dari langkah 4.
Baris kedua dibagi dengan koefisien a22.
Langkah ini disebut NORMALISASI untuk
persamaan kedua. Tujuannya adalah agar
koefisien x2 berubah menjadi 1.
Algoritma Gauss Naif
7.
8.
Kalikan persamaan kedua yang sudah
dinormalisasi pada langkah ke-6 dengan
suatu koefisien tertentu sehingga a22 = a32.
Kurangkan persamaan ketiga dengan
persamaan kedua hasil dari langkah ke-7.
Algoritma Gauss Naif (Ex.)


Diketahui SPL:
2x1 + 2x2 + x3 = 4
3x1 - x2 + x3 = 1
x1 + 4x2 - x3 = 2
Bagaimana penyelesaiannya?
Algoritma Gauss Naif (Ex.)

Matriks yang terbentuk:
1   x1  4
2 2

   
3

1
1

  x2   1
1 4  1  x3  2

Langkah:
1 1
1.
1   x  2
1
2


1
   
b1  3  1 1   x2   1
2
1 4  1  x  2

 2   
Algoritma Gauss Naif (Ex.)
2. dan 3.
4. dan 5.
1  x
1 1
2  1   2 

   
b2  3b1  0  4  1   x2    5
2

 1   x3   2 
1 4

1 
1 1
2   x1   2 

   
b3  b1  0  4  1   x2    5
2

0 3  3   x3   0 
2

Algoritma Gauss Naif (Ex.)
6.
7. dan 8.
1 1 1 
2   x1   2 

1
   
 b2  0 1 1   x2   5 
8 
4
4

0 3  3   x3   0 
2

1 1
1 
 2 
x


1
2






1  x  5 
b3  3b2  0 1
8  2   4 

0 0  15   x3   15 
4
8


Algoritma Gauss Naif (Ex.)

Hasil:
 15  x3   15
8
4
x3  2
x1  x2  1 x3  2
2
x2  1 x3  5
8
4
x2  5  1 2  1
4
8


x1  2  1  1  2  0
2
Algoritma Gauss Jordan

Dengan metode Gauss Jordan matriks A diubah
sedemikian rupa sampai terbentuk identitas dengan
cara :
A | I X  C diubah menjadi I | A1 X  C 
C* merupakan matriks C yang sudah mengalami
beberapa kali transformasi, sehingga:

1

0
0


0

0 0  0
1 0  0
0 1  0
   
0 0  1
  x1  C1 
    
  x2  C 2 
A 1   x3   C 3  

  
     
  x  C  
 n   n 

x1  C1

x2  C 2

xn  Cn

Algoritma Gauss Jordan (Ex.)


Diketahui SPL:
2x1 + 2x2 + x3 = 4
3x1 - x2 + x3 = 1
x1 + 4x2 - x3 = 2
Bagaimana penyelesaiannya?
Algoritma Gauss Jordan (Ex.)

Langkah:
1. 2 2
1 1 0 0  x1  4

   
3

1
1
0
1
0

  x2   1 
1 4  1 0 0 1  x3  2 

   
2.
1 1 1 1
0 0  x1  2
2 2
   
1 
b1 3  1 1 0 1 0  x2   1
2 
  x  2
1
4

1
0
0
1

  3   
Algoritma Gauss Jordan (Ex.)
3.
4.

1
1
0 0  x   2 
1
1
2
2

 1
   
b2  3b1 0  4  1  3
1 0  x2    5
2
2


b3  b1 0 3  3  1
0 1  x3   0 
2
2



1
1
0
0  x   2 
1
1
2
2

 1
1 
   
3
 b2 0 1 1
1
0  x2   5 
8
8
4
4

4 



0 3  3  1
0
1  x3   0 
2
2


Algoritma Gauss Jordan (Ex.)
5.
b1  b2
b3  3b2
6.

3
1
1
0  x   3 
8
4
8
1 0
 1
 4 


3
1
0 1
1
0  x 2    5 
8
8
4


 4 


3
0 0  15  13
1  x3   15 
4
8
8
4




3
1
1
0   x  3 
1
0
8
4
8

 1
 4
8


3

b3 0 1 1
1
0   x2   5 
8
8
4

15 
 4


0 0 1 13
6
 8   x3   2 
15
15
15
 

Algoritma Gauss Jordan (Ex.)
7.
b1  3 b3
8
b2  1 b3
8

21
2
1 
1
0
0
5
5
5   x1  0

1
0 1 0 4
  x2   1
1
15
5
15     

0 0 1 13
6
 8   x3  2
15
15
15

Jadi: x1 = 0, x2 = 1, x3 = 2
Tugas


Selesaikan persamaan linier simultan
dibawah ini dengan Algorithma Eliminasi
Gauss dan Eliminasi Gauss Jordan.
Selesaikan menggunakan Excel.
Algoritma Gauss Seidel




Sering dipakai untuk menyelesaikan persamaan
yang berjumlah besar.
Dilakukan dengan suatu iterasi yang memberikan
harga awal untuk x1 = x2 = x3 = ... = xn = 0.
Metode ini berlainan dengan metode Gauss Jordan
dan Gauss Naif karena metode ini menggunakan
iterasi dalam menentukan harga x1, x2, x3, ..., xn.
Kelemahan metode eliminasi dibandingkan metode
iterasi adalah metode eliminasi sulit untuk
digunakan dalam menyelesaikan SPL berukuran
besar.
Algoritma Gauss Seidel
1.
2.
Beri harga awal x1 = x2 = x3 = ... = xn = 0
Hitung x  C1  a12 x2  a13 x3  a14 x4    a1n xn 
1
a11
Karena x2 = x3 = x4 = ... = xn = 0, maka
x1 
C1
a11
Algoritma Gauss Seidel
3.
x1 baru yang didapat dari tahap 2 digunakan untuk
menghitung x2.
Baris 2  a21x1 + a22x2 + a23x3 + ... + a2nxn = C2
x2 
C2  a21 x1  a23 x3    a2n x n
a22
C2  a21 x1
x2 
a22
Algoritma Gauss Seidel
4.
Menghitung x3
Baris 3  a31x1 + a32x2 + a33x3 + ... + a3nxn = C3
a33x3 = C3 – a31x1 – a32x2 – … – a3nxn
x3 
C3  a31 x1  a32 x2  a34 x 4    a3n x n
a33
C3  a31 x1  a32 x2
x3 
a33
Algoritma Gauss Seidel
5.
6.
Cara ini diteruskan sampai ditemukan xn.
Lakukan iterasi ke-2 untuk menghitung x1,
x2, x3, ..., xn baru
C1  a12 x2  a13 x3    a1n x n
x1 
a11
C2  a21 x1  a23 x3    a2n x n
x2 
a22

xn 
C n  a11 x1  a12 x2  a13 x3    a1n 1 x n 1
ann
Algoritma Gauss Seidel
7.
Mencari kesalahan iterasi |a| dengan cara:
xi   a 
x i baru   x i (lama)
x i baru 
 100 %

xn   a 
8.
x nbaru   x n(lama)
x nbaru 
 100 %
Iterasi diteruskan sampai didapat |a| < |s|
Algoritma Gauss Seidel (Ex.)

Diketahui SPL:
x1 + 7x2 – 3x3 = –51
4x1 – 4x2 + 9x3 = 61 
12x1 – x2 + 3x3 = 8
dan a = 5 %
7  3  x1   51
1

  

4

4
9
x

61

 2  

12  1 3   x3   8 
Algoritma Gauss Seidel (Ex.)


Iterasi ke-0
x1 = x2 = x3 = 0
Iterasi ke-1
51
x1 
 51
1
x2 
61  4x1 61  4 51

 66,25
4
4
8  12 x1  x2
8   51   66,25 
x3 

 184,58
3
3
Algoritma Gauss Seidel (Ex.)

Iterasi ke-2
 51  7 x2  3x3
 51  7 66,25   3184,58 
x1 

 966 ,49
1
1
61  4 x1  9 x3
61  4966 ,49   9184,58 
x2 

 1366 ,55
4
4
8  12 x1  x2
8  12966 ,49   1366 ,55 
x3 

 3407 ,78
3
3
Algoritma Gauss Seidel (Ex.)

Iterasi ke-3
 51  7 x2  3x3
 51  71366 ,55   3 3407 ,78 

 19840 ,19
1
1
61  4 x1  9 x3
61  4 19840 ,19   9 3407 ,78 
x2 

 27522 ,94
4
4
8  12 x1  x2
8  12 19840 ,19    27522 ,94 
x3 

 70189 ,11
3
3
x1 

Perhitungan x1, x2, x3 diteruskan sampai
semua |a| < |s|
Algoritma Gauss Seidel (Ex.)
a
Iterasi ke-
Nilai x
0
x1 = 0
x2 = 0
x3 = 0
1
x1 = 51
x2 = 66,25
x3 = 184,58
2
x1 = 966,49
x2 = 1366,55
x3 = 3407,78
a = 105,28 %
a = 104,85 %
a = 105,42 %
3
x1 = 19840,19
x2 = 27522,94
x3 = 70189,11
a = 104,87 %
a = 104,97 %
a = 104,86 %
Koefisien Relaksasi ()




Tujuan:
Perbaikan konvergensi dalam Gauss Seidel.
Biasanya koefisien relaksasi dipilih sendiri
berdasarkan masalah yang dihadapi.
Jika SPL tidak konvergen,  yang bernilai antara 0
s/d 1 disebut Under Relaksasi.
 antara 1 dan 2 biasanya digunakan untuk
mempercepat konvergensi suatu sistem persamaan
yang konvergen, disebut Over Relaksasi.
Koefisien Relaksasi ()

Rumus (nilai SPL) dengan menggunakan 
xi
baru
   xi
baru
 1     xi
lama
Koefisien Relaksasi () (Ex.)
Iterasi
ke-
Nilai x
0
x1 = 0
x2 = 0
1
2
3
dengan
 (1,5)
x1 = 10
x2 = 15
x1 = 6
x1 baru = 4
x2 = 7,5 x2 baru = 3,75
x1 = 4
x2 = 3,75
Contoh perhitungan :
x1 baru
= 1,5 . 6 + (1 – 1,5) . 10
= 9 + (–0,5) . 10
=4