Barisan Bilangan Real : Definisi Barisan R
KELOMPOK 1
NURFIDHEA DWIDELIA (20700117002)
AHMAD HASAN NUR (20700117003)
PADILHAM (20700117012)
NOVI RAYANTI (20700117014)
NUR RAHRA RAHMAN (20700117021)
WAHYUNI (20700117029)
MITAWATI ALI IMRAN (20700117032)
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS TARBIYAH DAN KEGURUAN
UNIVERSITAS ISLAM NEGERI ALAUDDIN MAKASSAR
2019
KATA PENGANTAR
Bismillahirrahmanirrahim
Assalamualaikum warahmatullahi wabarakatuh
Segala puji bagi Allah SWT. yang telah melimpahkan rahmat dan karuniaNya sehingga kami dapat menyelesaikan makalah ini dengan tepat waktu. Sholawat
dan salam tak lupa kita haturkan kepada Rasul kita, Nabi Muhammad SAW. yang
telah menjadi rahmatan lil alamin.
Kami mengucapkan banyak terima kasih kepada dosen pengampu mata kuliah
Analalisis Real I yang telah membimbing kami menyelesaikan makalah ini yang
berjudul “Barisan Bilangan Real : Definisi Barisan R”. Kami juga mengucapkan
terima kasih kepada rekan yang telah membantu kami dalam segi apapun.
Kami sebagai penyusun makalah ini tentu sadar makalah ini belum bisa
dikatakan sempurna, maka dari itu kami memohon maaf yang sebesar-besarnya.
Semoga makalah ini dapat bermanfaat bagi kita semua. Terima kasih.
Samata, Juni 2019
Kelompok 1
i
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL
KATA PENGANTAR…………………………………………………………… i
DAFTAR ISI………………………….………………………………………….. ii
BAB I : PENDAHULUAN
A. Latar Belakang…………………………………………………………….….. 1
B. Rumusan Masalah…………………………………………………………….. 1
C. Tujuan Penulisan…………………………………………………………….... 2
D. Manfaat Penulisan…………………………………………………………….. 2
BAB II : PEMBAHASAN
A. Definisi Barisan R...……….………………………………………………….. 3
B. Pembuktian Teorema Ketunggalan Limit…...……………...…………………. 6
BAB III : PENUTUP
A. Kesimpulan…………………………………………………………….……… 7
B. Saran…………………………………………………………….…………….. 7
DAFTAR PUSTAKA…………………………………………………………….. 8
ii
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Secara umum, analisi real merupakan bagian dari analisis matematika yang
membahas himpunan bilangan real dan fungsi-fungsi dalam bilangan real. Analisis
reall dapat dianggap sebagai lanjutan atau kembangan mata kuliah kalkulus yang
lebih mendalam. Analisis real juga membahas lebih mendalam mengenai
konsep barisan dan limit, kekontinuan, turunan, integral, dan barisan dari fungsifungsi. Pembahasan-pembahasan materi analisis real juga disertai banyak pembuktian
teorema.
Hal tersebut tak terkecuali pada materi barisan bilangan real. Barisan bilangan
real adalah suatu fungsi bilangan real dengan domain himpunan bilangan N. Di dalam
materi barisan bilangan real terdapat beberapa pokok pembahasan, dua di antaranya
adalah definisi barisan bilangan real dan ketunggalan limit.
Berdasarkan hal tersebut, penulis akan membahas lebih lanjut tentang definisi
bilangan real dan teorema ketunggalan limit. Tujuan pembahasan ini adalah untuk
mengetahui definisi barisan bilangan real dan teorema ketunggalan limit.
B. Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang yang telah dijelaskan di atas, rumusan masalah
dalam makalah ini adalah apakah definisi barisan bilangan real dan bagaimana
pembuktian teorema ketunggalan limit?
1
C. Tujuan Penulisan
Tujuan penulisan makalah ini adalah untuk mengetahui definisi barisan
bilangan real dan pembuktian teorema ketunggalan limit.
D. Manfaat Penulisan
Diharapkan dengan adanya makalah ini, bisa menjadi bahan informasi bagi
para pembaca dan sebagai bahan pembelajaran di kelas.
2
BAB II
PEMBAHASAN
A. Definisi Barisan Bilangan Real
Definisi 1
Barisan bilangan real adalah suatu fungsi bernilai real dengan domain
himpunan bilangan asli N yang termuat di dalam R. Jadi, barisan bilangan real
adalah fungsi X : N → R dimana setiap n ∈ N dan nilai fungsi X(n) biasa ditulis X(n)
: xn dan disebut suku ke-n barisan X. Notasi barisan yang akan digunakan adalah X,
(xn), (xn : n ∈ N).
Contoh : Beberapa barisan dan cara penulisannya:
a. X = (2, 4, 6, 8, · · ·) merupakan barisan bilangan genap.
Dapat juga ditulis sebagai X = (2n : n ∈ N).
b. Y = (1/1 , 1/2 , 1/3 , · · · ) .
Dapat juga ditulis Y = (1/n : n ∈ N )
Penulisan barisan menggunakan kurung biasa ”( )” dimaksudkan untuk
membedakannya dengan himpunan biasa yang ditulis menggunakan kurung kurawal
”{ }”. Pada himpunan, anggota yang sama cukup ditulis satu kali. Sedangkan pada
barisan, suku-suku yang berbeda ada kemungkinan bernilai yang sama, dan semuanya
harus ditulis. Sebagai contoh ambil barisan (xn) yang didefinisikan xn = (−1)n . Jadi
barisannya adalah X = (−1, 1, −1, 1, · · ·). Tetapi bila suku-suku ini dipandang
sebagai anggota himpunan maka ditulis X = {−1, 1}.
3
Selain itu, ada barisan yang didefinisikan secara rekursif sebagai berikut ( x1,
x2, · · · , xn-1) diberikan, xn = f(x1, x2, · · · , xn-1).
Contoh barisan yang berbentuk F = (1, 1, 2, 3, 5, 8, · · ·), ini dapat ditulis secara
rekursif sebagai berikut : x1 := 1, x2 := 1, xn = xn-1 + xn-2, untuk n ≥3
Contoh :
1. Tentukan formula umum suku ke n nya.
a. A = ( 4, 8, 12, 16, 20, … )
b. B = ( 1/3 , 1/9, 1/27, 1/81, … )
2. Barisan di bawah ini tersusun secara rekursif, tentukan 3 suku pertama nya.
a. Y1 = 2, Yn = 1/2 (Yn-1 + 3) , n ≥ 2.
b. X1 = 1, Xn = 1/4 (2(Xn-1) + 3), n ≥ 2.
Jawaban :
1. a. formula umum suku ke n nya adalah A = ( 4n : n ∈ N )
1
b. formula umum suku ke n nya adalah B = ( 3𝑛 : n ∈ N)
2. a. Y = ( 2, 5/2, 11/4 )
b .X = ( 1, 5/4, 11/8 )
Definisi 2
Misalkan X = (xn) barisan bilangan real. Bilangan real x dikatakan limit dari
(xn) atau ditulis Xn→ x, jika untuk setiap ε > 0 terdapat bilangan asli N (umumnya
bergantung pada ε) sehingga berlaku |xn − x| < ε untuk setiap n ≥ N.
Jika x limit dari barisan X maka X dikatakan konvergen ke x dan ditulis lim X
= x, atau lim(xn) = x.
4
Jika suatu barisan mempunyai limit kita katakan barisan itu konvergen.
Sebaliknya jika tidak mempunyai limit kita katakan ia divergen.
Contoh:
1
1. Buktikan (Xn) = (𝑛) konvergen ke (0).
Bukti :
Ambil 𝜀 > 0 sebarang, akan dicari 𝑘(𝜀)anggota 𝑁 yang memenuhi 𝑛 ≥ 𝑘(𝜀) =>
1
𝑛
anggota ∨ ℇ(0)
1
1
1
maka |𝑛 − 0| < 𝜀 , jadi diinginkan |𝑛 − 0 | = |n | =
1
akibatnya 𝑛 ≥ 𝑘(𝜀) ⇒ |𝑛 − 0| =
1
𝑛
1
n
< 𝜀 pilih 𝑘(𝜀) >
1
𝜀
1
< 𝜀 jadi lim (𝑋𝑛 = 𝑛) = 0.
3𝑛+2
2. Buktikan bahwa barisan (𝑋𝑛) = ( 𝑛+1 ) konvergen ke 3 .
Bukti:
Ambil
𝜀>0
sebarang
akan
𝑘(𝜀) anggota ℕ 𝑠𝑒ℎ𝑖𝑛𝑔𝑔𝑎 𝑛 ≥ 𝑘(𝜀) ⇒
dicari
3𝑛+2
| 𝑛+1 − 3| < 𝜀
Perhatikan hubungan berikut :
|
3𝑛+2−3𝑛−3
𝑛+1
1
1
1
| = |− 𝑛+1| = 𝑛+1 < 𝑛 < 𝜀
1
1
3𝑛+2
1
Pilih 𝑘(𝜀) > 𝜀 , maka akibatnya 𝑛 ≥ 𝑘(𝜀) > 𝜀 ⇒ | 𝑛+1 − 3| = 𝑛+1 < 𝜀
Jadi, lim (𝑋𝑛 =
3𝑛+2
𝑛+1
) = 3.
5
B. Pembuktian Teorema Ketunggalan Limit
Teorema :
Suatu barisan bilangan real hanya dapat mempunyai satu limit. Dengan kata
lain, jika suatu barisan konvergen maka limitnya tunggal.
Bukti :
Andaikan limit tersebut tidak tunggal maka terdapat x’ dan x’’, sedemikian sehingga :
lim(𝑋𝑛) = 𝑥′ dan lim(𝑋𝑛) = 𝑥".
1
Akibatnya untuk < 2 |𝑥 ′ − 𝑥 " | , berlaku ∨ 𝜀(𝑥 ′ ) ∩ ∨ 𝜀(𝑥 " ) = ℎ𝑖𝑚𝑝𝑢𝑛𝑎𝑛 𝑘𝑜𝑠𝑜𝑛𝑔
Karena lim(𝑋𝑛) = 𝑥 ′ , maka
𝑡𝑒𝑟𝑑𝑎𝑝𝑎𝑡 𝑘 ′ (𝜀) anggota ℕ 𝑠𝑒ℎ𝑖𝑛𝑔𝑔𝑎 𝑛 ≥ 𝑘 ′ (𝜀) ⇒ |𝑋𝑛 − 𝑥 ′ |
< 𝜀 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑋𝑛 anggota ∨ 𝜀(𝑥 ′ )
Karena lim(𝑋𝑛) = 𝑥" , maka
𝑡𝑒𝑟𝑑𝑎𝑝𝑎𝑡 𝑘 " (𝜀) anggota ℕ 𝑠𝑒ℎ𝑖𝑛𝑔𝑔𝑎 𝑛 ≥ 𝑘 " (𝜀) ⇒ |𝑋𝑛 − 𝑥 " |
< 𝜀 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑋𝑛 anggota ∨ 𝜀(𝑥 " )
Akibatnya 𝑋𝑛 anggota ∨ 𝜀(𝑥 ′ ) ∩ ∨ 𝜀(𝑥")
Yang bertentangan dengan ∨ 𝜀(𝑥 ′ ) ∩ ∨ 𝜀(𝑥 " ) = ℎ𝑖𝑚𝑝𝑢𝑛𝑎𝑛 𝑘𝑜𝑠𝑜𝑛𝑔 Jadi haruslah
𝑥 ′ = 𝑥" yang menyatakan limit tersebut tunggal.
6
BAB III
PENUTUP
A. Kesimpulan
1. Barisan bilangan real adalah suatu fungsi bernilai real dengan domain himpunan
bilangan asli N yang termuat di dalam R. Jadi, barisan bilangan real adalah fungsi
X : N → R dimana setiap n ∈ N dan nilai fungsi X(n) biasa ditulis X(n) : xn dan
disebut suku ke-n barisan X. Notasi barisan yang akan digunakan adalah X, (xn),
(xn : n ∈ N).
2. Misalkan X = (xn) barisan bilangan real. Bilangan real x dikatakan limit dari (xn)
atau ditulis Xn→ x, jika untuk setiap ε > 0 terdapat bilangan asli N (umumnya
bergantung pada ε) sehingga berlaku |xn − x| < ε untuk setiap n ≥ N.
3. Suatu barisan bilangan real hanya dapat mempunyai satu limit. Dengan kata lain,
jika suatu barisan konvergen maka limitnya tunggal.
B. Saran
Untuk memahami lebih dalam tentang barisan bilangan real, sebaiknya
membaca dan mempelajarinya bukan hanya sekali, tetapi terus menerus dan tekun
latihan.
7
DAFTAR PUSTAKA
Hernadi, Julan. Modul Barisan Bilangan Real
Sumber Internet :
http://repository.usu.ac.id
http://www.academia.edu
8