TEORI PROBABILITAS
PROBABILITAS PERISTIWA DENGAN PENDEKATAN
KOMBINASI, PROBABILITAS PERISTIWA KOMPLEMENTER,
KAEDAH BAYES, DAN HARAPAN MATEMATIKA
PENDAHULUAN :
TEORI PROBABILITAS
Probabilitas atau Peluang adalah suatu ukuran tentang
kemungkinan suatu peristiwa akan terjadi di masa mendatang.
Probabilitas dapat juga diartikan sebagai angka yang
menunjukkan seberapa besar kemungkinan suatu peristiwa
terjadi, di antara keseluruhan peristiwa yang mungkin
terjadi. Probabilitas dilambangkan dengan P. Jadi, teori
probabilitas adalah cabang matematika yang bersangkutan
dengan peluang atau yang mempelajari tentang ukuran
kemungkinan suatu peristiwa yang akan terjadi.
• Rumus umum probabilitas :
𝑋
𝑃 𝐴 =
𝑛
Contoh Soal
Sebuah uang logam yang masing-masing sisinya
berisi gambar dan angka dilempar sebanyak 1
kali, berapakah probabilitas munculnya sisi
angka?
• Penyelesaian :
X
=1
n
=2
1
𝑃 𝐴 =
2
Bagian A :
PROBABILITAS BEBERAPA PERISTIWA DENGAN
PENDEKATAN KOMBINASI
Probabilitas beberapa peristiwa dapat juga dicari dengan
menggunakan pendekatan kombinasi. Dimana rumus kombinasi
digunakan di dalam rumus umum probabilitas. Rumus Kombinasi
adalah :
𝑛!
𝑛
𝐶𝑟 =
,𝑟
𝑟!(𝑛−𝑟)!
≤𝑛
Keterangan :
r
= beberapa objek yang dipilih atau diambil
n
= semua objek
Contoh Soal
Sebuah kotak berisi 5 bola biru, 4 bola kuning,
dan 3 bola hitam. Jika diambil 3 bola secara acak,
hitunglah probabilitas bahwa yang terambil ialah
sebagai berikut!
a. Ketiga-tiganya biru
b. Dua kuning dan satu hitam
c. Tidak ada yang hitam
d. Paling sedikit satu hitam
e. Satu biru dan dua hitam
f. Masing-masing warna diwakili
g. Hasilnya memiliki urutan: biru, kuning, dan
hitam
Penyelesaian
a.
B1, B2, B3 = pengambilan ke -1, ke-2, dan ke-3
X
n
b.
=
𝑃
2K dan 1H = dua kuning dan satu hitam
X
n
c.
5!
= 10
3!(5−3)!
12!
= 𝐶312 =
= 220
3!(12−3)!
𝑥
10
B1⋂B2⋂B3 = =
= 0.0455
𝑛
220
= 𝐶35
4!
3!
×
=
2!(4−2)!
1!(3−1)!
12!
= 𝐶312 =
= 220
3!(12−3)!
𝑥
18
dan 1 H = =
= 0.0818
𝑛
220
= 𝐶24 𝐶13 =
𝑃 2K
Tidak ada H = tidak ada bola hitam
X
= 𝐶39
n
= 𝐶312
𝑃 Tidak ada H
9!
= 84
3!(9−3)!
12!
=
= 220
3!(12−3)!
𝑥
84
= =
= 0.3818
𝑛
220
=
18
Penyelesaian
d. PS 1H = paling sedikit satu hitam
X
= 𝐶33 𝐶09 + 𝐶23 𝐶19 + 𝐶13 𝐶29
3!
9!
3!
= 3!(3−3)! × 0!(9−0)! + 2!(3−2)! ×
3!
1!(3−1)!
×
9!
2!(9−2)!
9!
1!(9−1)!
= 1X 1 + 3 X 9 + 3 X36
= 136
n
= 𝐶312
=
𝑥
𝑛
12!
= 220
3!(12−3)!
136
= 0.6182
220
𝑃 PS 1 H = =
e. 1B dan 2H = satu biru dan dua hitam
X
n
𝑃 1B
5!
3!
×
1!(5−1)!
2!(3−2)!
12!
= 𝐶312 =
= 220
3!(12−3)!
𝑥
15
dan 2H = =
= 0.0682
𝑛
220
= 𝐶15 𝐶23 =
= 15
+
Penyelesaian
f. Masing-masing warna diwakili
5!
X= 𝐶15 𝐶14 𝐶13 = 1!(5−1)!
n= 𝐶312 =
12!
3!(12−3)!
×
4!
1!(4−1)!
3!
× 1!(3−1)!
= 60
= 220
𝑥
60
𝑃 Masing − masing warna diwakili = 𝑛 = 220 = 0.2727
g. B1, K2, H3 = pengambilan ke-1 biru, ke-2
kuning, dan ke-3 hitam
1
× 𝑃 Masing − masing warna diwakili
3𝑃3
1
60
×
3!
220
𝑃 B1⋂K2⋂H3 =
=
= 0.16 × 0.2727 = 0.0436
Bagian B :
PROBABILITAS PERISTIWA KOMPLEMENTER
Peristiwa Komplementer (peristiwa saling melengkapi) adalah
apabila ada dua peristiwa, yang satu melengkapi peristiwa
lainnya. Jika peristiwa A dan B merupakan peristiwa
komplementer, maka
P(S) + P’(S) = 1
atau
P(S) = 1 – P’(S)
atau
P’(S) = 1 – P(S)
Contoh Soal 1
Sebuah kotak berisi 5 bola biru, 4 bola kuning, dan 3
bola hitam. Jika diambil 3 bola secara acak, hitunglah
probabilitas bahwa yang terambil ialah paling sedikit
satu hitam!
Penyelesaian : Pertama kita harus mencari berapa
probabilitas bahwa yang terambil tidak ada bola
hitam.
• Tidak ada H = tidak ada bola hitam
X
= 𝐶39
n
= 𝐶312
9!
= 84
3!(9−3)!
12!
=
= 220
3!(12−3)!
𝑥
84
= =
= 0.3818
𝑛
220
=
𝑃 Tidak ada H
Maka, probabilitas bahwa yang terambil ialah paling
sedikit satu hitam adalah
𝑃 PS 1H = 1 − 𝑃 𝑇𝑖𝑑𝑎𝑘 𝑎𝑑𝑎 𝐻 = 1 - 0.3818 =
0.6182
Contoh Soal 2
Seorang pelamar menerima panggilan untuk ujian
psikotes di tiga perusahaan yang berbeda. Sesuai
dengan perkiraannya, pelamar memiliki probabilitas
untuk diterima pada masing-masing perusahaan
adalah 0.35 untuk perusahaan pertama, 0.25 untuk
perusahaan kedua, dan 0.14 untuk perusahaan
ketiga. Berapa probabilitas pelamar tersebut tidak
diterima di salah satu perusahaan tersebut, tidak
diterima di perusahaan pertama, tidak diterima di
perusahaan kedua, dan tidak diterima di perusahaan
ketiga ?
Misalkan, TD= tidak diterima, D= diterima
P1= perusahaan 1,
P2= perusahaan 2
P3= perusahaan 3,
AP= ketiga perusahaan
SP= salah satu perusahaan
Penyelesaian
Probabilitas TD di SP = 1 – probabilitas D di AP
= 1 – (0.25 + 0.35 + 0.14)
= 0.26
Probabilitas TD di P1 = 1 – probabilitas D di P1
= 1 – 0.35
= 0.65
Probabilitas TD di P2 = 1 – probabilitas D di P2
= 1 – 0.25
= 0.75
Probabilitas TD di P3 = 1 – probabilitas D di P3
= 1 – 0.14
= 0.86
Bagian C :
KAEDAH BAYES
Kaedah Bayes dikemukakan oleh seorang pendeta
presbyterian Inggris pada tahun 1763 yang bernama Thomas
Bayes . Kaedah Bayes ini kemudian disempurnakan oleh Laplace.
Kaedah Bayes digunakan untuk menghitung probabilitas
terjadinya suatu peistiwa berdasarkan pengaruh yang didapat
dari hasil observasi.
Kaedah ini menerangkan hubungan antara probabilitas
terjadinya peristiwa A dengan syarat peristiwa B telah terjadi.
Kaedah ini didasarkan pada prinsip bahwa tambahan informasi
dapat memperbaiki probabilitas.
Bagian C :
KAEDAH BAYES
Kaedah bayes ini menyatakan, jika dalam suatu ruang sampel
terdapat beberapa peristiwa saling lepas (mutually exlusive), yaitu
misalkan A1, A2, A3, ..., An memiliki probabilitas tidak sama dengan nol
dan apabila ada peristiwa lain (misalkan B) yang mungkin dapat terjadi
pada peristiwa-peristiwa A1, A2, A3, ..., An dengan diketahui oeristiwa B
tersebut , maka :
P(Ai)P(B/Ai)
P(Ai/B) =
𝑅
Keterangan:
Ai
= Peristiwa awal atau peristiwa yang terjadi sebelum ada syarat
peristiwa lain
B
= Peristiwa lain yang menjadi syarat atau tambahan informasi
P(Ai) = Probabilitas awal
P(B/Ai)
= Probabilitas bersyarat
R atau P(Ai)P(B/Ai) = Probabilitas berganda
P(Ai/B)
= Probabilitas posterior
Bagian C :
KAEDAH BAYES
Di dalam kaedah ini, terdapat empat probabilitas yaitu :
• Probabilitas awal (P(Ai)) adalah probabilitas berdasarkan
informasi awal yang tersedia, sebelum adanya syarat peristiwa
lain atau tambahan informasi.
• Probabilitas bersyarat (P(B/Ai)) adalah probabilitas dimana
terjadi suatu peristiwa didahului oleh terjadinya peristiwa lain
atau berdasarkan syarat peristiwa lain.
• Probabilitas berganda (R) adalah gabungan dari seluruh
probabilitas atau jumlah dari seluruh perkalian antara
probabilitas awal dan probabilitas bersyarat.
• Probabilitas posterior (P(Ai/B)) adalah probabilitas tujuan
atau probabilitas yang diperbaiki dengan adanya informasi
tambahan.
Contoh Soal
Diketahui bahwa coaching clinic Nasional Indra Sjafri diikuti
oleh 80 pesepak bola umur 23 tahun, 40 pesepak bola
umur 19 tahun, dan 20 pesepak bola umur 16 tahun. Jika
ditinjau dari asal daerah mereka, 20 pesepak bola umur 23
tahun, 14 pesepak bola umur 19 tahun, dan 10 pesepak
bola umur 16 tahun tersebut berasal dari Sulawesi. Jika
seorang pesepak bola dipilih secara acak untuk diberi test
oleh coach dan ia diketahui berasal dari Sulawesi, berapa
probabilitas ia pesepak bola umur 16 tahun ?
Misalkan:
A1= peristiwa terpilihnya pesepak bola umur 23 tahun
A2= peristiwa terpilihnya pesepak bola umur 19 tahun
A3= peristiwa terpilihnya pesepak bola umur 16 tahun
B= peristiwa berasal dari Sulawesi
Penyelesaian
1.
Probabilitas awal
P(A1)
2.
=
80
140
20
140
= 0.5714
P(A2)
=
40
140
= 0.2857
P(A3)
=
= 0.1429
Probabilitas bersyarat
P(B/A1) =
20
80
10
20
= 0.2500
P(B/A2) =
14
40
= 0.3500
P(B/A3) = = 0.5000
3. Probabilitas berganda
R= P Ai P(B/Ai)
= P(A1)P(B/A1) + P(A2)P(B/A2) + P(A3)P(B/A3)
= 0.5741(0.2500) + 0.2857(0.3500) + 0.1429(0.500)
= 0.1435 + 0.0999 + 0.0715
= 0.3149
4. Probabilitas posterior
P(A3/B)
0.2271
=
P(A3)P(B/A3)
𝑅
=
0.1429(0.500)
0.3149
=
Bagian D :
HARAPAN MATEMATIKA
Harapan matematika atau ekspektasi matematis atau nilai harapan
adalah jumlah dari semua hasil perkalian antara nilai variabel random
(variabel probabilistik/variabel numerik yang harganya berhubungan dengan
kejadian yang didefinisikan sebagai ruang sampel) dengan probabilitas yang
bersesuaian dengan nilai tersebut. Jika X adalah variabel random yang
memiliki harga-harga X1, X2, …, Xn dengan probabilitas variabel randomnya
adalah P(X) serta probabilitas masing-masing harga adalah P(Xi), P(X2), …,
P(Xn) maka harapan matematikanya adalah :
𝐸 𝑋 =
Xi. P(Xi)
Keterangan :
E(X)
= Nilai harapan
Xi. P(Xi)
= jumlah semua hasil perkalian antara variabel random
dengan probabilitas yang bersesuaian dengan nilai variebel tersebut.
Xi
= Variabel random
P(Xi)
= Probabilitas peristiwa yang berkaitan dengan variabel
random
Contoh Soal
1. Misalkan dua uang logam dilempar secara
bersamaan dan X menyatakan banyak sisi
angka yang muncul pada setiap pelemparan.
Berapa nilai harapan satu sisi angka muncul
pada pelemparan dua uang logam tersebut?
2. Seorang akuntan menghadapi pilihan dan
keputusannya tidak dapat ditunda. Ia harus
mengambil
keputusan
apakah
akan
menerima atau menolak pekerjaan dengan
gaji Rp.200.000 dengan harapan memperoleh
pekerjaan lain dengan gaji Rp.600.000.
Apabila ia menolak pekerjaan yang gajinya
Rp.200.000,
berapakah
peluang
ia
mendapatkan
pekerjaan
dengan
gaji
Rp.400.000?
Penyelesaian nomor 1
Diketahui hasil yang mungkin dari pelemparan uang
logam adalah AA, AG, GA, dan GG. Maka, nilai X
masing masing peristiwa adalah 2, 1, 1, dan 0.
1
4
1
P(AG) =
4
1
P(GA) =
4
1
P(GG) =
4
• X1 = 2 dan P(X1) atau P(AA) =
• X2 = 1 dan P(X2) atau
• X3 = 1 dan P(X3) atau
• X4 = 0 dan P(X4) atau
Jadi nilai harapannya adalah
𝐸 𝑋 = Xi. P(Xi)
= X1. P X1 + X2. P X2 + X3. P X3 + X4. P(X4)
=2
=1
1
4
+1
1
4
+1
1
4
+0
1
4
Penyelesaian nomor 2
Akuntan akan menolak pekerjaan yang gajinya
Rp.200.000 dengan harapan memperoleh
pekerjaan yang gajinya lebih tinggi yaitu
Rp.600.000. Jadi variabel randomnya adalah
Rp.600.000 dan secara matematis dapat
dituliskan sebagai berikut.
𝐸 𝑋 > 200.000
𝑋 . 𝑃 𝑋 > 200.000
600.000 . 𝑃(𝑋) > 200.000
200.000
𝑃 𝑋 >
600.000
𝑃 𝑋 > 0.6667
Jadi, probabilitas akuntan tersebut menerima
pekerjaan yang gajinya Rp.600.000 adalah >
0.6667
TERIMA KASIH