UNIVERSIDAD DE CONCEPCION
DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS
Listado No 1-527103
1. Si Rodrigo ataca una doctrina sin concerla, no es un hombre de pensamiento objetivo. Si Rodrigo no ataca una doctrina sin conocerla,
entonces, si es apasionado, no es un hombre de de pensamiento objetivo. Si Rodrigo no es inculto o no es apasionado, es un hombre de
pensamiento objetivo. Rodrigo no es inculto. Luego, Rodrigo no es
apasionado.
(a) Hallar las proposisiones simples y denotarlas por letras.
(b) Escribir la proposición compuesta enunciada en forma simbólica.
2. En el libro "Hijos en Libertad", de A. S. Neill, están escritas las siguientes proposiciones.
p: Mis maestros hacen que todas las leciones sean aburridas.
q: Mis maestros no aceptan las respuestas que no …guran en los libros.
r: Mis maestros imponen un cúmulo de normas estúpidas.
(a) Escriba en el lenguaje común la proposición: (p ^ q) ! r.
(b) Escriba en el lenguaje común la negación de la proposición anterior.
3. Los valores de verdad de las proposiciones p; q; r; s son respectivamente
V; F; F; V . Obtener los valores de verdad de:
(a) [(p _ q) _ r] ^ s.
(b) r ! (s ^ p).
(c) (p _ r) $ (r^
s).
4. Pruebe que las siguientes proposiciones son tautologías:
(a) [p ! (q ! r)] $ [(p ! q) ! (p ! r)]
(b)
(
p!
(c) [(p ! q) ^
q) _ (q ! p)
q] !
p
1
(d) [(p ! q) ^ (q ! r)] ! (p ! r)
5. Dada la proposición: Ningún heroe es cobarde. Algunos personajes
históricos son cobardes. Luego, algunos personajes históricos no son
heroes.
(a) Hallar las funciones proposicionales en su forma más simple.
(b) Escribir la proposición compuesta en forma simbólica.
6. Escriba en forma simbólica y niegue:
(a) Si estudio este ramo, saco en el buenas notas pero si no estudio,
lo repruebo.
(b) Todos los alumnos desarrollaron su listado y aprobaron el curso.
7. Considere las siguientes proposiciones:
p: la cardinalidad de A = fx 2 N : 2 < x < 12g es 9
q: Londres es la capital de Venezuela
r: el conjunto de las partes de B = f1; 2; 3g tiene 8 elementos
Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones compuestas:
(a)
(p^
r)
(b) (p ^ r) $ (q ! (
r _ p))
8. Clasi…que las proposiciones siguientes como contingencia, contradicción
o tautología
(( p _ r) _ r) ! p ^ r
9. Dadas las funciones proposicionales
F (x) : x es una ballena
G (x) : x es un mamifero
H (x) : x tiene respiración pulmonar
(a) Escriba en símbolos: Todas las ballenas son mamiferos y tienen
respiración pulmonar.
(b) Niegue en símbolos la proposición anterior y luego exprese en palabras esta negación.
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10. Complete en cada caso el espacio en blanco con el símbolo apropiado
(2; 2;
= ; *) para que la proposición sea verdadera
(a) ff2g ; f3gg
f1; f2g ; f3gg
(b) f2; 3g
P (f1; 2; 3g)
(c) Marzo
fmeses que empiezan con Jg
11. Sea U = R y sean
A = x 2 R : x2 x 6 = 0
B = x 2 R : (x 1) x2 + x 6 = 0
C = fx 2 R : x = 3 _ x = 2 _ x = 1g .
Justi…cando adecuadamente la respuesta, diga si las siguientes a…rmaciones son verdaderas o falsas.
a) A B
b) B = C
d) B A
e) C A
e) A C
12. Sean R; S; T tres conjuntos cualquiera, incluídos en un universo U .
Demostrar, sin diagramas:
(a) (R
S)
T
(b) R
S=S
(c) R
S = Sc
(d) R \ (S
R
(S
T)
R () R = S
Rc
T ) = (R \ S)
(R \ T )
13. Sean A; B; C conjuntos cualquiera. Determine el valor de verdad de las
siguientes proposiciones (Justi…que).
(a) A
B=B
A
(b) A-(B \ C) = (A
B) [ (A
C)
(c) A \ (B [ C) = (A \ B) [ (A \ C)
(d) A
B=B
A
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14. En un instituto en el que se estudian idiomas y ciencias sociales hay
100 alumnos. Las lenguas estudiadas son el alemán, el frances y el
inglés. 64 alumnos estudian por lo menos algún idioma, 35 estudian
alemán, 29 estudian francés y 36 inglés. 15 estudian alemán y francés,
13alemán e inglés y 11 francés e inglés. 3 estudian los tres idiomas.
¿cuántos estudian:
(a) alemán solamente?
(b) francés solamente?
(c) inglés solamente?
(d) alemán y no estudian inglés
(e) alemán e inglés
(f) alemán e inglés pero no francés?
15. En una encuesta de 65 personas se encontró que 26 leen revistas políticas, 28 leen revistas cientí…cas y 27 leen revistas de entretenimiento.
Se determinó además, que 10 personas leen revistas políticas y de
entretenimiento,13 leen revistas políticas y cientí…cas 9 leen revistas
cinetí…cas y de entretenimiento y 8 no leen revista alguna.
(a) Determine el número de personas que leen los tres tipos de revistas.
(b) Determine el número de personas que leen exactamente un tipo
de revista.
16. En una encuesta a 230 alumnos de Ciencias
17. Sobre su a…ción respecto al teatro, la danza o la pesía, se encontro que
135 pre…eren el teatro, 140 pre…eren la danza, 60 la poesía, 90 teatro
y danza, 25 teatro y poesía, 35 danza y poesía y 20 tenían las tres
preferencias. Determine cuantos de estos 230 alumnos tienen:
(a) al menos una de las tres preferencias
(b) ninguna de estas tres preferencias
(c) preferencia sólo por el teatro
(d) sólo una de estas tres preferencias
(e) exactamente dos de estas preferencias
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18. En los siguientes conjuntos determine si hay conjuntos iguales.
A = f1; 2g
C = fx 2 R : (x 1) (x 2) (x 3)g
B = f1; 2; 3g
D = fx 2 R : x2 3x + 2 = 0g
19. Sean
(a) A = f1; 2; 3g y B = f1; 2g.
(b) A = [1; 3] y B = [2; 5].
(c) A = fx 2 R :
Encuentre A
1 < x 1g y B = R.
B y represente gra…camente a este conjunto.
20. Sean:
A = fx 2 Z : 3 < x < 2g
B = fx 2 Z : 1 < x 5g
C = fx 2 R : 3 < x < 2g
D = fx 2 R : 1 < x 5g
De…na y muestre en un grá…co los siguientes conjuntos:
A
A
C
A; A
C; A
C; C
B; B
D; C
D; D
A; B
A; D
C; D
B
A
D.
¿Puede a…rmar que en general el producto cartesiano de conjuntos,
posee la propiedad conmutativa?.
21. Se considera un experimento aleatorio que consiste en lanzar cuatro
monedas. Si una moneda cae cara, se anota c, y si cae sello se anota s.
(a) Formar el conjunto de pares ordenados cuyos elementos son los
posibles resultados del experimento.
(b) construya un diagrama de árbol que enumere los posibles resultados del experimento.
(c) determinar por extensión los siguientes subconjuntos:
i. se dan más caras que sellos.
ii. se obtienen al menos dos sellos.
iii. se obtiene el mismo número de caras y sellos.
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22. Control de emisiones: Una estación de inspección de automóviles revisa el nivel de emisiones contaminantes de los vehículos. Estos pasan
(P) o no pasan (NP) la inspección. Formar el conjunto R cuyos elementos son los posibles resultados de la inspección de cuatro automóviles.
Construya un diagrama de árbol que enumere los posibles resultados
que se obtienen con la inspeccion de los cuatro automoviles. De…na por
comprensión y por extensión algunos subconjuntos de R.
23. Formar el conjunto L de todos los resultados posibles e del lanzamiento
de un dado y una moneda (en ese orden). Construya un diagrama de
árbol que enumere los posibles resultados del experimento. De…na por
comprensión y por extensión algunos subconjuntos de L.
24. Residencia: Un investigador de justicia criminal está estudiando la tasa
de reincidencia (cometer el mismo delito varias veces) en la seducción
de menores de edad. Está llevando a cabo un experimento en que
examina el registro criminal de los condenados por haber cometido
este delito. Si una persona ha sido condenada más de una vez, se
le clasi…ca "reincidente" (R). Si no ha sido condenada más de una
vez, se le clasi…ca como "no reincidente" (N) en el experimento. Si el
investigador examina los registros de cuatro transgresores:
(a) determine el espacio muestral S del experimento.
(b) construya un diagrama de árbol que enumere los posibles resultados del experimento.
(c) determine el conjunto de resultados simples incluidos en el evento
"dos o menos reincidentes.
(d) determine el conjunto de resultados simples comprendidos en el
evento "un reincidente por lo menos".
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Algebra y Trigonometría - 527103
5 de Marzo de 2017
CRM/JRC/MWC
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