Vibrations des structures
industrielles
par
Jean-François BOISSEAU
Docteur-Ingénieur
Ancien Chef de Groupe de Recherches à l’Office National d’Études
et de Recherches Aérospatiales (ONERA)
Expert près la Cour d’Appel de Paris
et
Bernard GARNIER
Ingénieur civil de l’École Nationale des Ponts et Chaussées
Directeur Commercial à la société METRAVIB RDS
1.
1.1
1.2
Généralités.................................................................................................
Secteurs concernés .....................................................................................
Rôles et conséquences des vibrations structurales..................................
1.2.1 Définitions ...........................................................................................
1.2.2 Normes sur les vibrations et les chocs .............................................
1.2.3 Effets négatifs des vibrations ............................................................
1.2.4 Aspects positifs des vibrations structurales.....................................
2.
2.1
Les outils de l’ingénieur et leur mise en œuvre ..............................
Représentation des phénomènes vibratoires ...........................................
2.1.1 Impédance dynamique et fonctions de transfert .............................
2.1.2 Schématisations masses-ressorts.....................................................
2.1.3 Calculs en éléments finis ...................................................................
2.1.4 Maquettages et lois de similitude .....................................................
2.1.5 Méthodes énergétiques .....................................................................
2.1.6 Rayonnement acoustique des structures .........................................
Approche expérimentale.............................................................................
2.2.1 Accès aux vibrations des structures .................................................
2.2.2 Essais structuraux sous excitation artificielle ..................................
2.2.3 Post-traitement et obtention des résultats .......................................
2.2
3.
3.5
La maîtrise des vibrations et des bruits induits.
Exemples de cas industriels..................................................................
Actions correctives ......................................................................................
Diffusion des techniques d’analyse ...........................................................
Première étude de cas : suppression des vibrations indésirables
lors de la mise au point d’une machine de série ......................................
Deuxième étude de cas : remède à la dégradation structurale
causée par les vibrations d’une installation industrielle ..........................
Troisième étude de cas : amélioration d’un découplage antivibratile ....
4.
Conclusion .................................................................................................
3.1
3.2
3.3
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3.4
Pour en savoir plus...........................................................................................
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outes les structures et installations industrielles sont sujettes à des vibrations, qu’il s’agisse de celles qu’elles génèrent ou de celles qu’elles subissent
de la part de leur environnement.
T
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VIBRATIONS DES STRUCTURES INDUSTRIELLES
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■ Le paragraphe 1 présente, outre une description qualitative des principaux
phénomènes vibratoires, un panorama des normes concernant les vibrations et
les chocs.
■ Le paragraphe 2 expose un certain nombre de représentations des phénomènes vibratoires (§ 2.1), aidant à interpréter les observations, souvent fort
complexes, de l’état vibratoire d’une structure industrielle, à prédire le cas
échéant l’effet de modifications, et à guider ainsi le concepteur, l’installateur et
l’exploitant. Il présente ensuite (§ 2.2) les moyens de mesure et d’essai offerts par
le marché, et quelques critères de choix.
■ Le paragraphe 3 présente des stratégies de maîtrise des vibrations et du bruit
induit, à différentes étapes du développement et de la vie d’une installation ou
d’un produit industriel. Cinq qualités, techniques et humaines, sont menacées
par les vibrations des structures ; ce sont :
— la régularité du produit ou du service rendu ;
— la sûreté ou au moins la sécurité de fonctionnement ;
— la tranquillité de marche ;
— la durée de vie de la structure et de ses composants ;
— l’endurance au poste de travail.
Ces qualités, qui doivent pouvoir être quantifiées, sont à prendre en compte
dès le projet, lors de la mise au point et durant l’exploitation de la structure,
jusqu’à sa révision ou sa mise en réforme. Du bilan complet de fonctionnement
d’une structure, il est possible d’estimer la part technique et le coût correspondant
imputable aux effets vibratoires indésirables.
Des exemples d’intervention des vibrations sont présentés au paragraphe 3.
Ils pourraient être beaucoup plus nombreux, car les vibrations sont omniprésentes. En effet, toute fluctuation de charge, de débit, de vitesse, toute irrégularité de mouvement des pièces d’une installation, constituent une source
d’excitation vibratoire des structures avoisinantes, d’autant plus riche et intense
que cette fluctuation est rapide.
En termes de traitement du signal, le spectre vibratoire (f ) correspond à la
transformée de Fourier de la fluctuation temporelle F(t) relative au système :
1
2π
F ( t ) → (f ) = -----------
∞
–∞
F ( t ) exp ( – 2 i π f t ) d t
La transformée de Fourier d’une impulsion infiniment brève (Dirac) contient
en égale proportion toutes les fréquences f du spectre : des chocs brefs peuvent
donc exciter toutes les fréquences propres d’une structure.
Les réponses structurales, utiles à connaître, dépendent de la situation des
fréquences dans ce spectre, mais :
— d’une part, les paramètres descriptifs d’une structure ne sont pas toujours
faciles à dénombrer : évalués par excès, ils font état de modes physiquement
inexistants ; évalués par défaut, ils omettent l’existence de modes moins manifestes relatifs à des paramètres cachés ;
— d’autre part, le modèle représentatif, unique avec une structure linéaire,
reste à déterminer, cas par cas, dans le cas de non-linéarités, faibles ou fortes,
mais souvent présentes.
De telles difficultés rencontrées en pratique sont rappelées au paragraphe 3,
ainsi que les solutions mises en œuvre.
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1. Généralités
1.1 Secteurs concernés
Les techniques vibratoires ont été appliquées aux sciences mécaniques, au génie civil, aux transports, etc. Il existe donc une diversité
de situations visant à contrôler les vibrations, éventuellement à les
générer, le plus souvent à les isoler, ou mieux encore à les réduire
à la source, en vue d’atténuer ces vibrations ainsi que les bruits
qu’elles génèrent.
Le tableau 1 donne divers exemples de vibrations soit indésirables, soit, au contraire, utilisées pour obtenir une réponse ou procéder à une analyse.
1.2 Rôles et conséquences
des vibrations structurales
1.2.1 Définitions
1.2.1.1 Vibrations structurales
On conviendra d’appeler ici vibrations structurales toutes les
déformations élastiques de structure quelconques dont la moyenne
dans le temps est nulle, par opposition aux déformations permanentes (ou statiques). Elles sont le résultat d’efforts eux-mêmes fluctuants, qui s’exercent sur la structure tantôt en son sein (par exemple,
efforts imposés à une machine tournante par un rotor mal équilibré,
ou efforts dus à la combustion des gaz d’un moteur thermique),
tantôt sur ses frontières ou conditions aux limites (rafales de vent
sur un immeuble, vibrations transmises par le sol à un équipement,
par les points d’accrochage du moteur à un véhicule automobile,
etc.).
1.2.1.2 Amplitudes et fréquence
À un instant donné, si l’on admet que les phénomènes en jeu
restent linéaires, les vibrations de la structure sont proportionnelles
aux efforts qui les génèrent : si, toutes choses égales par ailleurs,
l’intensité de ces efforts double, la vibration double aussi, qu’on la
représente en termes de déplacement vibratoire (ou de vitesse, ou
d’accélération) ou de contrainte dynamique dans le matériau
constitutif.
Par contre, l’amplitude de la vibration dépend considérablement
de la forme de l’effort excitateur en fonction du temps, ou, si l’on
préfère raisonner dans l’espace dual auquel on a accès par la transformée de Fourier du signal temporel, en fonction du contenu
fréquentiel de l’effort excitateur. On serait tenté de dire que la
susceptibilité de la structure aux vibrations est une fonction extrêmement variable relativement à la fréquence de l’effort appliqué : telle
structure pourra être pratiquement insensible à un effort important
qu’on lui applique en tel point au rythme de 100 Hz, et prendre des
mouvements cinquante à deux cents fois plus grands si le rythme
(c’est-à-dire la fréquence de cet effort) augmente ou diminue de
quelques pour-cent (figure 1).
(0)
Tableau 1 – Exemples de domaines d’intervention des vibrations
Secteurs ou thèmes
Aéroélasticité
Amortissement
Analyse vibratoire
Appropriation
Biomécanique
Cavitation
Centrales thermiques et nucléaires
Contrôles
Couplages
Émission acoustique
Énergétique
Excitation
Équilibrage
Fatigue
Géomatériaux
Hydraulique
Identification
Instabilités
Non-linéarités
Prévention
Roulements
Séismologie
Spatial
Surveillance
Thermovibrographie
Transitoires
Transports
Turbulence
Viscoélasticité
Sujets
Flottements : aubages de turboalternateurs ; avions
Lanceur spatial ; automobile ; laser de puissance
Analyse modale ; ralentissement de machines tournantes ; SEA
Interprétation de fonctions de transfert à pas de fréquence variables
Malaises dus aux très basses fréquences ; modélisation de la pompe cardiaque
Turbomachines, hélices, génération d’ultrasons
Réfrigérants atmosphériques ; effets éoliens
Bornes d’alternateurs contrôlés par vélocimétrie laser
Structures coques vibrant dans l’eau ; matériaux poreux
Fissuration de voûtes ; détection de fuites ; contrôles continus
Écoulements de fluides caloporteurs ; modèles semi-empiriques
Barrage ; lâcher par fil coupé
Grands balourds accidentels ; rotor de turbopompe spatiale
« Écoute » de matériaux ; suivi de l’état de fatigue ; matériaux composites
Prospective de calculs d’ouvrages sous sollicitations extrêmes
Butée hydrostatique, rigidité et amortissement en fréquence
Recherche des paramètres structuraux, méthodes proposées
Suppression par contrôle actif sur avions
Structures présentant des jeux et des limiteurs
Mesures vibratoires des turboalternateurs, des pompes
Localisation des défauts par résonances en haute fréquence
Reproduction « fine » de séismes ; comportement de ponts roulants
Effet Pogo sur lanceurs ; qualification de satellites
Surveillance vibratoire des aubages à risques ; acoustique des calages d’alternateurs
Éprouvettes pratiquement « adiabatiques » sous contraintes vibratoires
Démarrages et arrêts de pompes ; commande en régime transitoire
Bruits de contacts de pneumatiques ; bruits d’écoulements d’aéronef
Flammes : dynamique des fronts de réactions laminaires et turbulentes
Propriétés de matériaux en vibration (en fréquence et température)
Référence
[1]
[2]
[5]
[3]
[6]
[7]
[4]
Ce tableau est une sélection, par secteurs et par sujets, de quelques faits figurant au rang des préoccupations actuelles. Certains d’entre eux seront repris ou
complétés par d’autres dans le cours du texte. Les références sur les sujets cités renvoient à des revues et des colloques, récents, ce qui n’exclut pas la consultation
d’ouvrages généraux, tels que ceux rappelés dans la fiche documentaire [Doc. R 3 140].
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VIBRATIONS DES STRUCTURES INDUSTRIELLES
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Figure 1 – Cylindre de compresseur. Transfert /F
1.2.1.3 Modes propres
Il est très utile de caractériser cette « susceptibilité aux vibrations »
d’une structure donnée, qui est donc une propriété intrinsèque de
la structure, dépendant de la fréquence et de l’espace (au sens des
coordonnées des points d’observation que l’on souhaite définir sur
cette structure). Cette susceptibilité se caractérise par un certain
nombre de comportements extrêmes à des fréquences particulières,
que l’on nomme modes propres, et peut se réduire à une somme
de fractions rationnelles dont les modes sont autant de pôles
(§ 2.2.3.3).
Cette propriété est commode, puisque l’on dispose ainsi d’un
moyen d’exprimer, dans le domaine linéaire, la susceptibilité aux
vibrations d’une structure quelconque à partir d’un nombre minimal
de paramètres qui sont :
— les fréquences propres, c’est-à-dire les fréquences de chacun
de ces pôles où la structure est susceptible de prendre des oscillations d’amplitude extrémale ;
— l’amortissement modal, qui contrôle l’amplification vibratoire
correspondante ;
— les modes propres, c’est-à-dire les déformations particulières
ou déformées modales de ces oscillations de forte amplitude
associées à chaque fréquence propre.
L’identification modale est la procédure qui permet d’extraire ces
caractéristiques à partir de mesures des vibrations de la structure.
On reviendra sur ces caractéristiques fondamentales (§ 2.2.3.3). Il
importe de retenir à présent le double aspect fréquentiel et spatial
de ces singularités qui signent l’excitabilité dynamique de toute
structure.
Bien sûr, les vibrations que l’on observe à un instant donné et pour
un point donné sont le produit (mathématiquement, on dira plutôt
la convolution) de l’effort excitateur et de la susceptibilité aux vibrations de la structure pour ce point d’excitation ; on dira qu’un mode
propre entre en résonance si l’effort excitateur présente des composantes à la fréquence propre du mode ; les mouvements (et
contraintes mécaniques) prennent alors des valeurs considérables,
que seul l’amortissement vient limiter, en se conformant à l’allure
géométrique du mode propre.
Nota : pour schématiser, on parlera souvent ci-après d’installations excitées par des
machines, qui donnent un caractère plus concret à ces notions de structures et d’efforts
dynamiques excitateurs. Que le lecteur n’y voie pas une limite à la généralité des raisonnements et mécanismes physiques qui seront présentés !
1.2.2 Normes sur les vibrations et les chocs
Les normes françaises (AFNOR et UTE – Union technique de l’électricité) de ce recueil sont en correspondance ou non avec les normes
de l’ISO (Organisation internationale de normalisation) et de la CEI
(Commission électrotechnique internationale). Le degré de
conformité, qui est précisé, est : identique, équivalent ou non équivalent entre les normes françaises et internationales sur les mêmes
sujets.
Le Comité technique 108 de l’ISO (ISO TC/108) traite :
— la classification des conditions d’environnement vibratoire ;
— l’équilibrage (y compris les machines à équilibrer) ;
— la mesure et l’évaluation des vibrations et chocs mécaniques
intéressant les machines, les véhicules et les structures ;
— l’utilisation des matériaux pour les structures vibrantes ;
— la mobilité mécanique ;
— les machines d’essais au choc ;
— les méthodes de mesurage et de présentation des résultats
des vibrations et de la résistance aux chocs des appareils sensibles
aux mouvements.
En outre, le CEN (Comité européen de normalisation) a lancé
en 1988 la création d’un environnement technique sur la sécurité des
machines qui prévoit l’existence de normes – référencées B1 –
portant sur les aspects des vibrations et du bruit intéressant la
conception et l’utilisation d’un grand nombre de machines.
Nota : enfin, bien que ne se rapportant pas à une activité industrielle, il peut être utile de
citer la norme interarmées (guerre, air, marine) GAM-EG13 du ministère de la Défense. Des
études, connexes à la partie normative de l’environnement vibratoire, traitent des questions
suivantes :
— interactions dynamiques entre porteur et matériel ; transmission des vibrations par
voies mécanique et acoustique ; interactions mécaniques aux basses fréquences ;
— roulage de chars ; identification des sources vibratoires ; étude et simulation de
l’environnement par excitateurs électrodynamiques ;
— tir en vol sur avion ; méthode de calcul prévisionnel de l’ambiance vibratoire due
au tir au canon en vue du dimensionnement du matériel ; mesures à bord du Mirage 2000 ;
— missile en vol d’emport ; flexibilité offerte par la simulation en laboratoire de l’environnement vibratoire sur des missiles en vol porté.
1.2.3 Effets négatifs des vibrations
1.2.3.1 Mise en résonance entretenue
La mise en résonance entretenue de modes propres de structures
est une source de désordres graves, du fait des contraintes et des
déplacements excessifs qui en résultent : les efforts alternés sont une
source de fatigue structurale sévère, en raison du nombre de cycles
rapidement cumulés (fréquence propre × temps d’excitation), et les
niveaux importants de vibrations sont une source de désordres
multiples (initiation de fissures, desserrage des assemblages
mécaniques, des connexions électriques, bruits intenses, etc.).
Exemple : des phénomènes naturels peuvent être à l’origine de tels
problèmes de mise en résonance : c’est ainsi qu’une plate-forme de
forage pétrolier en mer de Beaufort a dû être évacuée à la suite d’importantes vibrations d’ensemble provoquées par les chocs d’une plaque de
glace d’environ 2 km2 de surface [8].
Lorsque le hasard fait coïncider une raie d’excitation particulière
(vitesse de rotation d’un arbre et premiers harmoniques, fréquence
de passage des pales d’un ventilateur devant des aubages fixes,
fréquence de passage des billes d’un roulement devant un défaut,
efforts d’engrènement de trains d’engrenages, etc.) avec une
fréquence propre d’un bâti, d’un arbre ou d’une structure voisine,
on observe donc des usures précoces, des ruptures, des pannes
fréquentes, qui ne trouveront de solution que dans une redéfinition
de l’installation (§ 3.3).
Exemple : l’étude de cas développée au paragraphe 3.4, à propos
de la fissuration de tours d’aéroréfrigérants industriels qui présentaient
des fréquences propres à 23 Hz, excitées conjointement par deux raies
à 24 Hz (harmonique 12 des pales) et 24,75 Hz (harmonique 1 du
moteur), est tout à fait typique.
L’Association française de normalisation (AFNOR) a publié un
recueil en deux ouvrages des normes sur les vibrations et chocs
mécaniques [Doc. R 3 140].
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1.2.3.2 Mise en résonance transitoire
Moins grave, et plus fréquente, est la mise en résonance passagère
d’une structure lors d’un état de fonctionnement transitoire : c’est,
par exemple, le cas de toutes les fréquences propres balayées lors
de la montée en vitesse ou de l’arrêt d’une machine tournante rapide,
ou encore lors de chocs, d’à-coups de couple, etc. Il est préférable
de connaître cet état de fait pour vérifier que l’on en contrôle bien
les paramètres et que la mise en résonance est transitoire et suffisamment peu fréquente. Moyennant ces précautions, de telles
occurrences pourront être acceptées par l’ingénieur.
Exemple : une machine à grande vitesse de rotation, telle que la
turbopompe du premier étage de la future Ariane 5, tourne en
conditions nominales à une vitesse dite « hypercritique », en l’occurrence entre la deuxième et la troisième vitesse critique. Lors de la
montée en vitesse, l’arbre (commun à la partie pompe et à la partie
turbine) vibre donc successivement selon son premier puis son second
mode propre, avant de se stabiliser.
1.2.3.3 Instabilités
Un cas plus complexe, rare heureusement car souvent catastrophique, est celui où l’effort excitateur est lui-même modulé par
la vibration de la structure et concentre son énergie à la fréquence
propre au fur et à mesure que la structure entre en résonance. Si
aucun phénomène physique ne vient modérer cette instabilité,
appelée parfois accrochage, elle conduit très rapidement à la rupture.
Exemples
■ Des rafales de vent peuvent faire vibrer une structure élancée, mais
réciproquement les oscillations de cette dernière modifient l’écoulement aérodynamique. Ce couplage est à l’origine de la spectaculaire
destruction du Pont de Tacoma aux États-Unis, en 1940 [9].
Ce type de couplage a été à l’origine aussi de la rupture des échangeurs de chaleur de l’usine de liquéfaction de gaz de Skikda. Par la suite,
les constructeurs d’échangeurs de chaleur à faisceaux de tubes ont
introduit des dispositifs de pincement des tubes et de butées mécaniques, qui empêchent une telle mise en résonance généralisée des
tubes par couplage à l’écoulement.
■ Les fluctuations dynamiques de volume et de pression dans un
réservoir influent sur le débit des pompes ou turbines en amont ou en
aval. L’instabilité qui en découle, pour un lanceur spatial, est connue
sous le nom d’effet Pogo : une fluctuation de poussée du moteur fait
résonner le fluide dans le réservoir, ce qui accroît la fluctuation de poussée du moteur, etc. Ce problème a affecté le lanceur Diamant mais a
pu être résolu par l’amortissement structural de la paroi du réservoir.
Face à de tels risques d’instabilité, il est indispensable de modéliser la boucle de rétroaction entre vibration structurale et effort
excitateur, d’identifier les paramètres qui permettent d’en contrôler
le gain, et de se placer en dehors des zones instables avec un coefficient de sécurité raisonnable, ce qui peut demander un important
investissement en termes de modélisation et de connaissance
physique des phénomènes en jeu, ainsi que de leurs possibilités de
couplage (l’exemple c du § 3.1).
1.2.3.4 Conclusions
Attirons l’attention sur le fait que l’on peut très rarement incriminer, dans tous les problèmes cités ici, un composant particulier
de l’installation : c’est la conjonction de tous les éléments qui rend
globalement l’installation malencontreuse, et ce n’est pas toujours
l’élément dont le mauvais dimensionnement entraîne la mise en
résonance qui présente pour autant les vibrations les plus intenses
ou les signes de ruine les plus précoces.
Avant tout, face à de tels problèmes, il faut incriminer un manque
d’analyse de l’installation sous ses aspects dynamiques et un
manque de cahiers des charges explicites en termes dynamiques
pour les divers fournisseurs ; les précautions à prendre, qui peuvent
être souvent sous-traitées à des ingénieries spécialisées, sont d’un
coût fort modeste face à l’avantage qu’en retirera le futur exploitant
en termes de fiabilité et de longévité de son installation.
1.2.4 Aspects positifs des vibrations structurales
De nombreux dispositifs industriels utilisent la génération de
vibrations comme principe actif : en particulier, dès que l’accélération vibratoire approche l’accélération de la pesanteur, on peut,
en général grâce à des moteurs à balourd, mouvoir et ordonner des
petits objets (bols vibrants), tasser ou au contraire égrener des
pulvérulents, homogénéiser des suspensions (vibrage du béton). À
des niveaux plus intenses, on peut fracturer des matériaux à rupture
fragile (perceuses à percussion, marteaux pneumatiques), relaxer les
contraintes internes de matériaux ou d’assemblages, désincruster
des dépôts solides (décalaminage). Le bon fonctionnement de ces
systèmes suppose une maîtrise suffisante des vibrations propres de
leur structure sous l’effet des vibrations qu’ils doivent générer.
Le fait de soumettre une structure, qui ne vibre pas par elle-même,
à des vibrations peut être également un moyen de connaître un
certain nombre de ses propriétés. On développera largement dans
cet article (§ 2.2.2) l’analyse dynamique des structures par excitation
artificielle, mais on peut citer d’autres cas où la génération locale
de vibrations fait partie intégrante d’un capteur actif performant pour
le contrôle non destructif : par exemple, le contrôle de niveau dans
les enceintes fermées.
Enfin, l’observation des vibrations d’une machine ou d’une
installation en fonctionnement est une source d’informations d’une
richesse considérable sur son état mécanique et fonctionnel, dont
l’exploitation ne fait que commencer (surveillance vibratoire – ou
monitoring – et maintenance prédictive). Cette richesse tient :
— à la bonne propagation des vibrations dans les structures,
permettant de recueillir, sur un seul capteur fixe, des informations
de n’importe quel élément de la machine ou de l’installation ;
— à la cadence élevée des informations délivrées par un capteur
dynamique (accéléromètre ou microphone dont la bande passante
est de plusieurs kilohertz) ;
— à la multiplicité des traitements du signal que l’on peut appliquer pour interpréter les signaux et leurs changements.
Nota : la croissance considérable de ce domaine de la surveillance et de la maintenance
des machines et installations à partir d’un suivi vibratoire (ou acoustique) demanderait un
développement spécifique dépassant le cadre du présent article.
2. Les outils de l’ingénieur
et leur mise en œuvre
On décrit ci-après un ensemble d’« outils », qu’il s’agisse d’outils
conceptuels, donc de méthodes, ou d’outils matériels, donc de
moyens d’analyse et d’essais, sachant que l’ingénieur, appelé en
général à titre curatif, doit non seulement constater un désordre bien
précis (diagnostic ), mais aussi spécifier des solutions correctives :
il lui faut alors faire appel à des schémas de représentation des
phénomènes vibratoires qui lui permettront, qualitativement ou
quantitativement, d’identifier les phénomènes physiques à maîtriser
et d’évaluer l’efficacité des solutions techniques correspondantes,
avant toute modification.
Les paramètres en jeu sont en effet nombreux : cela interdit de
rechercher des palliatifs à force d’essais qui se révèlent infructueux,
comme l’attestent encore trop souvent les retards et les surcoûts
finalement considérables de la mise au point de certains prototypes,
lorsqu’une analyse dynamique appropriée n’est pas conduite en
temps opportun.
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2.1 Représentation des phénomènes
vibratoires
On obtient alors la matrice de transfert globale de la structure
assemblée en faisant la synthèse des transferts élémentaires des
diverses sous-structures.
2.1.1 Impédance dynamique
et fonctions de transfert
2.1.1.1.3 Couplage faible
2.1.1.1 Définitions
2.1.1.1.1 Fonctions de transfert
L’analogie entre la transmission des vibrations dans des structures
et la transmission des courants électriques dans des réseaux
quelconques a été un apport très fécond.
On peut, en effet, décrire la propagation des vibrations entre une
source et un récepteur quelconque à travers un ensemble de structures, si complexe et hétérogène soit-il, en termes d’un réseau équivalent dont chaque branche est caractérisée par une matrice de
transfert reliant forces (et moments) et déplacements vibratoires (ou
vitesses, ou accélérations) d’une section « entrée » à une section
« sortie ». La dénomination normalisée de ces fonctions de transfert
est donnée au tableau 2.
Si cette structure est indéformable aux fréquences considérées
(masse pure M ), ou au contraire déformable (raideur pure K ) et de
masse négligeable, un seul paramètre suffit pour exprimer son
comportement en tout point, et le transfert sera une matrice purement réelle et diagonale de masse (F = M γ ) ou de raideur (F = Kx ),
les déplacements (respectivement forces) étant identiquement
égaux à chaque extrémité.
En général, la matrice de transfert n’est pas diagonale, ses coefficients sont complexes et variables en fonction de la fréquence, et
seul le « bon choix » des points d’entrée et de sortie (pattes de la
machine, plots élastiques dans un massif, etc.) permet de l’expliciter
de manière précise avec un nombre de paramètres raisonnable. On
se reportera à l’article Vibrations [A 410] du traité Sciences fondamentales pour les développements mathématiques traduisant et
illustrant cette notion d’impédance dynamique et de fonction de
transfert.
Dans le domaine de la représentation des vibrations, retenons les
propriétés essentielles suivantes :
— les fonctions de transfert de systèmes linéaires contiennent
toute l’information nécessaire à la caractérisation des échanges
vibratoires et acoustiques entre leurs points d’entrée et de sortie ;
— elles sont invariantes lorsqu’on échange entre les mêmes
points les rôles « entrée » et « sortie » (réciprocité).
2.1.1.1.2 Couplage de diverses structures
Chaque structure i étant décrite par une matrice de fonctions de
transfert entre m i points d’entrée et n i points de sortie, il est possible
de représenter l’assemblage réalisé en couplant des points de sortie
de la structure i – 1 à des points d’entrée de la structure i, etc.
On dira que le couplage est faible si l’assemblage ne modifie que
très légèrement les propriétés initiales du transfert dans les sousstructures supposées isolées. Dans ce cas, le transfert global est
simplement le produit, fréquence à fréquence, des fonctions de
transfert élémentaires.
Cette situation de faible couplage se traduit par le caractère
diagonal des matrices.
2.1.1.1.4 Couplage fort
Dans le cas où l’assemblage modifie significativement la réponse
aux vibrations des diverses sous-structures, le formalisme mathématique se complexifie (§ 2.2.3.4) : il apparaît des termes de
couplage qui expriment la façon dont chaque élément influe sur le
comportement dynamique de ses voisins.
Cette mathématique reste accessible au projeteur, sous forme de
logiciels de synthèse de structure désormais disponibles commercialement, et permet également de simuler certaines modifications
structurales et d’en observer le résultat.
Numériquement, les termes de couplage sont les termes non
diagonaux des matrices.
2.1.1.2 Remarques
2.1.1.2.1 Critère d’appréciation du couplage
Pour choisir la méthode appropriée, il est facile de vérifier si le
couplage entre deux éléments est faible : il suffit de superposer
fictivement leurs impédances ponctuelles respectives en leur point
de liaison, et de vérifier qu’un facteur minimal de 3 à 10 (10 à 20 dB)
les sépare à toutes les fréquences susceptibles d’être excitées. On
trouve en particulier cette règle dans la norme d’installation des
machines de bord sur supports élastiques pour la construction
navale militaire (IT 1570), comme critère de qualité des carlingages
dans un objectif de discrétion acoustique.
De manière similaire, le projet de norme ISO/ DIS 9611 sur la
mesure, au niveau des supports élastiques, du bruit d’origine vibratoire caractéristique d’une machine propose d’exciter mécaniquement la fondation de la machine, celle-ci étant arrêtée, et de
vérifier que l’écart entre les niveaux vibratoires respectivement en
aval et en amont des plots élastiques dépasse 10 dB. Numériquement, on comparera le module des termes non diagonaux vis-à-vis
de celui des termes diagonaux, qui devra respecter ce même écart
pour que l’on puisse les négliger. Dans le cas contraire, on tiendra
compte de tous les termes de couplage.
(0)
Tableau 2 – Dénominations normalisées des relations entrée/sortie ponctuelles en analyse vibratoire
(d’après ISO 7626/1)
Relation
Dénomination
Relation
Dénomination
x
Déplacement
----- = --------------------------------------Force
F
Compliance
F
Force
------ = --------------------------------------x
Déplacement
Raideur dynamique
v
Vitesse
------ = ---------------------F
Force
Mobilité (ou admittance)
F
Force
------ = ---------------------v
Vitesse
Impédance
γ
Accélération
------ = ------------------------------------F
Force
Accélérance
Force
F
----- = ------------------------------------Accélération
γ
Masse dynamique
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2.1.1.2.2 Rôle des résonances des sous-structures
Dans tous les cas (couplage fort ou faible), le résultat final est
dégradé dès qu’un élément de la chaîne présente cette sensibilité
particulière aux vibrations qu’est la résonance d’un mode propre
(§ 1.2.1) : un élément mal conçu peut de plus, lorsqu’il est mis en
série, dégrader les caractéristiques de ses voisins ; lorsque plusieurs éléments sont montés en parallèle, la notion de court-circuit
ou de pont vibratoire illustre bien que l’élément défaillant
l’emporte et fait perdre le bénéfice de toutes les autres précautions
antivibratiles de type découplage. Les valeurs courantes de l’amortissement des vibrations dans les structures industrielles – qui
contrôle seul l’amplification créée par ces mises en résonance –
étant faibles, l’effet final sur la transmission des vibrations correspond à des remontées de niveau considérables, un facteur 100
(soit + 40 dB) étant chose commune (figure 2).
Il est alors intéressant, dans une situation un peu complexe,
d’exprimer la participation de chaque mode propre impliqué au
niveau de telle ou telle sous-structure dans la fonction globale de
réponse en fréquence : plus cette participation sera forte, et plus il
sera simple de définir des remèdes, qui seront spécifiques à cette
sous-structure-là et à ce mode-là.
Ce sont, là encore, des résultats, que fournissent les logiciels de
synthèse dynamique de structures, et que l’on explicitera dans le
cadre des schématisations du type masse-ressort (§ 2.1.2).
2.1.1.3 Analyse en fonction de la fréquence
Figure 2 – Amplification des vibrations et du bruit
par les résonances structurales
L’allure générale de la réponse dynamique d’une structure excitée
ponctuellement est donnée par la figure 3.
■ Zone I : comportement en raideur ou en masse
En deçà de la première fréquence propre, on doit observer en tous
points d’une structure un comportement dynamique traduisant :
— la souplesse statique de la structure, si ses mouvements
d’ensemble sont bloqués (fondation rigide, conditions aux limites
encastrées ) : on reproduit alors un mouvement forcé dont la forme
est similaire à la flèche statique que prend la structure sous l’effort
exercé ;
— la masse et les inerties propres de la structure, si elle est retenue
souplement (conditions aux limites libres ) : la structure bouge en
bloc sous l’effet de l’effort qu’on exerce, avec six degrés de liberté
(3 translations et 3 rotations, souvent couplées), associés chacun à
une fréquence propre de suspension (figure 4).
Ces comportements basse fréquence sont donc en général faciles
à prévoir avec les outils courants du bureau d’études. Ils correspondent à la zone I de la figure 3. La notion de conditions libres ou
bloquées se retrouve lors de la définition des paramètres des essais
dynamiques des structures (impédance libre ou bloquée, norme
ISO 7626/1).
Dès qu’apparaissent les premiers modes propres, le comportement dynamique (c’est-à-dire les impédances et les fonctions de
transfert) devient plus complexe, mais il reste possible d’en dégager
des tendances générales : zones II, III et IV de cette même figure 3.
■ Zone II : comportement modal
La zone II de la figure 3 correspond à un comportement modal
bien marqué. La dizaine de premiers modes propres intéresse
l’ensemble de la structure et fait participer une fraction importante
de sa masse totale et de sa raideur statique ; la mise en résonance
de ces premiers modes est aisée, conduisant à des maximums
aigus, les amortissements structuraux étant encore faibles à ces
fréquences « basses », sauf dispositions technologiques particulières.
La longueur d’onde vibratoire λ se définit comme la distance
parcourue par l’onde en une période : λ = c /f, où c est la célérité de
l’onde et f la fréquence. La figure 5 présente les ondes vibratoires
susceptibles de se propager dans les structures mécaniques de type
plaque ou poutre et leurs célérités aux fréquences habituelles
d’étude des vibrations.
Figure 3 – Allure générale de la réponse dynamique
d’une structure à une excitation ponctuelle
Une structure présente un mode propre dès lors que l’onde vibratoire peut se réfléchir sur ses bords sans changement de phase : le
premier mode d’une poutre ou d’une plaque encastrée libre se
produit lorsque la demi-longueur d’onde de flexion égale sa plus
grande dimension L, soit f 0 = 1/2 (cf /L), où cf est la célérité de l’onde
de flexion (puis f1 = cf /L, etc.). Il en est de même pour toutes les
structures : les longueurs d’onde de flexion associées aux premiers
modes sont à l’échelle de leur plus grande dimension. On comprend
alors que les détails de conception ou d’aménagement influent peu,
et que n’importe quelle automobile, par exemple, présente des
premiers modes similaires dans la même bande de fréquence.
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Figure 4 – Identification des fréquences de suspension d’un massif de machinerie (pour II, se reporter à la figure 3)
De même, des objets géométriquement homothétiques se
correspondent par des lois de similitude en général bien vérifiées
par l’expérience (tableau 3), la fréquence à considérer pour observer
un comportement semblable variant à l’inverse de l’échelle géométrique, de façon à conserver le même rapport longueur d’onde/taille
de l’objet.
(0)
Tableau 3 – Rapports de similitude. Maquettes
en similitude géométrique, de même matériau
Grandeur
Longueur
Masse
Inertie
Raideur
Facteur d’amortissement
Fréquence
Accélération
Vitesse
Déplacement
Force
Pression
Impédance
Réceptance ou compliance
Inertance ou accélérance
Mobilité ou admittance
Déformation
Contrainte
Bruit rayonné par une force F
Bruit rayonné par une force F
ramené à 1 m
Échelle 1
(réel)
Échelle 1/n
(maquette)
L
M
I
K
η
f
γ
v
x
F
P
F /v
x /F
γ /F
v /F
ε
T
P /F
L /n
M /n 3
I /n 5
K /n
η
nf
nγ
v
x /n
F /n 2
P
F /n 2 v
nx /F
n 3 γ /F
n 2 v /F
ε
T
2
n P /F (1)
P /F à 1 m
n P /F à 1 m
(1) Pour une observation faite au point homothétique.
Figure 5 – Différents types d’ondes vibratoires dans les plaques
ou poutres homogènes
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Bien entendu, les structures les plus étendues vont présenter les
fréquences propres les plus basses. Toutefois, comme elles sont
conçues avec plus de robustesse vu leur élancement, leur résistance
à la flexion est supérieure à celle d’objets plus petits, ce qui, au sens
des modes propres, compense leur taille plus grande. La plage des
premières fréquences propres des structures industrielles courantes
n’est donc pas aussi large que celle de leur taille ; la plupart
présentent leurs premiers modes entre 10 et 100 Hz (par exemple
16 Hz, figure 4), comme le lecteur pourra le vérifier dans la plupart
des exemples du paragraphe 3.
■ Zone III : comportement modal diffus
La zone III de la figure 3 voit les modes devenir de plus en plus
complexes (nœuds et ventres nombreux), et, bien que la densité
modale augmente, leur mise en résonance par les excitations naturelles des structures est plus improbable et limitée en tout état de
cause par l’amortissement naturel. Ce dernier augmente avec la
fréquence dans les structures métalliques courantes, car :
— la longueur d’onde des vibrations diminuant, l’amortissement
structural est d’autant plus opérant, toutes choses égales par
ailleurs ;
— l’efficacité du rayonnement acoustique des structures augmente et l’amortissement par rayonnement devient souvent important ;
— les assemblages jouent un rôle toujours prépondérant.
La connaissance précise de ces modes est de peu d’utilité, ils
dépendent trop des détails de réalisation des objets, des dernières
interventions mécaniques (montages, démontages), des cartes de
température dans la structure, etc. C’est pourquoi une connaissance
statistique de ces modes suffit dans la plupart des cas (méthode
statistique SEA, § 2.1.5), et l’on évaluera seulement le comportement moyen de la structure. On devra en outre vérifier qu’un élément
particulier n’entre pas en résonance, dans certains cas, dans cette
gamme de fréquence – surtout s’il se trouve au voisinage immédiat,
soit d’un élément actif source de vibrations, soit d’un élément
particulièrement sensible aux vibrations (ou particulièrement
efficace pour les convertir en bruit gênant).
■ Zone IV : comportement local
La zone IV de la figure 3 correspond aux fréquences telles que
les vibrations subissent une atténuation importante d’un bout à
l’autre de la structure, et les réponses dynamiques n’expriment plus
alors qu’un comportement très local. L’analyse expérimentale
devient donc délicate, il en serait de même pour l’analyse par les
éléments finis, mais il est rare que l’on ait à observer précisément
ces comportements haute fréquence dans le cadre des structures
industrielles courantes.
La manière la plus élémentaire de représenter ces échanges est
de considérer l’oscillation d’une masse rigide M (énergie cinétique
pure) supportée par un ressort de raideur K sans masse (énergie
de déformation pure). Il suffit alors d’écrire l’équilibre du système
pour trouver l’équation élémentaire bien connue, en notant : ẋ˙ la
dérivée seconde du déplacement x (t ) :
Mẋ˙ + Kx = 0
si le système est isolé ;
Mẋ˙ + Kx = F ( t )
si le système est soumis à une force extérieure F variant en fonction
du temps.
On vérifie que l’équation du système isolé est identiquement satis1
faite si x (t ) est une raie de fréquence --------- K / M , qui est alors la
2π
fréquence propre du système conservatif (§ 1.2.1). On est amené à
tenir compte des pertes énergétiques inhérentes à tout système réel
(frottements, amortissement du ressort) par un amortisseur exerçant
un effort proportionnel à la vitesse vibratoire ẋ dans le cas le plus
simple (viscosité C ), d’où le schéma classique de la figure 6 régi par
l’équation :
Mẋ˙ + C ẋ + Kx = F ( t )
(1)
Nota : bien entendu, ce système peut être couplé à d’autres pour représenter un
comportement plus complexe. C’est ainsi, par exemple, que la réponse d’un être humain
debout à des vibrations basse fréquence peut être déterminée avec un modèle à sept
degrés de liberté (figure 7) développé dans le cadre d’études de biomécanique.
L’avantage principal des schématisations masses-ressorts-amortisseurs linéaires est de conduire, dans tous les cas, à un ensemble
d’équations aisément déterminables et solubles analytiquement.
2.1.2.2 Transmissibilité
Certains rapports de grandeurs ont un intérêt particulier pour
apprécier le fonctionnement d’un système suspendu sur plots
élastiques : il s’agit des transmissibilités dynamiques respectivement en force (force transmise/force imposée), en déplacement
(déplacement transmis/déplacement imposé), ou croisées (déplacement transmis/force imposée ou vice versa). Elles représentent en
effet le filtrage des vibrations associé au montage considéré.
Ce classement par zones est valable pour toutes les structures
mécaniques ; seules la position fréquentielle et l’étendue de
chacune de ces zones dépendent des objets considérés. Le
premier souci de l’ingénieur sera bien sûr de situer vis-à-vis de
ces zones la position fréquentielle des principales raies
excitatrices :
— si elles sont toutes situées dans la zone I, une analyse
statique suffit ;
— si elles sont situées dans la zone II, un soin tout spécial
doit être apporté pour éviter la résonance de tel ou tel mode de
structure ;
— si elles sont situées dans la zone III, des précautions générales de filtrage par plots élastiques isolants suffisent.
2.1.2 Schématisations masses-ressorts
2.1.2.1 Équation de base
Dans tous les cas, les vibrations mettent en jeu un échange
permanent entre de l’énergie cinétique (associée à la vitesse vibratoire et à la masse des éléments en mouvement) et de l’énergie de
déformation (associée aux contraintes dynamiques liées à la rigidité
des éléments déformés par le mouvement vibratoire).
Figure 6 – Système masse-ressort-amortisseur élémentaire
(à un degré de liberté)
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l’énergie de déformation de la structure. C’est ainsi que les éléments
en porte-à-faux ont souvent une forte contribution en masse, les
assemblages une forte contribution en raideur, etc. On s’aidera, pour
cette identification, de la carte des vitesses vibratoires mesurées sur
la structure, en particulier de ses discontinuités (qui révèlent les
éléments très déformés, donc à caractère de raideur concentrée).
Bien sûr, pour modifier la fréquence propre, il faudra modifier en
priorité ces éléments, en allégeant les masses et en rigidifiant les
raideurs pour élever la fréquence, et vice versa pour la réduire.
■ On veillera à choisir la grandeur la plus pertinente de la structure
et du montage considéré, pour exprimer globalement leur capacité
à transmettre les vibrations :
— au niveau d’une liaison avec un élément de plus grande impédance (plus raide ou plus massif), on exprimera une transmissibilité
en force ;
— au niveau d’une liaison avec un élément de plus faible impédance (moins raide, moins massif), on exprimera une transmissibilité
en déplacement.
2.1.2.3 Absorbeur dynamique
Figure 7 – Modèle biomécanique de l’homme (d’après [29])
Ces fonctions sont précisées au § 2.2.3.2. Aux très basses
fréquences, la transmissibilité en force vaut 1, et la transmissibilité
en déplacement correspond à la déformation statique du système.
Cela revient à dire que l’énergie de déformation prédomine sur
l’énergie cinétique en tous les points du système.
En haute fréquence, la transmissibilité devient inférieure à 1, et
l’énergie cinétique prédomine sur l’énergie de déformation. On dit
alors que les différentes masses sont découplées les unes des autres.
Aux fréquences intermédiaires, chaque fois que, pour une des
masses du système, les ressorts qui la portent renvoient une énergie
de déformation égale à son énergie cinétique, il apparaît un mode
propre à la fréquence correspondante. La transmissibilité est alors
supérieure à 1, le système amplifie les vibrations.
Pour le système simple masse-ressort et amortisseur, le lecteur
vérifiera aisément l’expression suivante, identique, dans ce cas,
pour la transmissibilité en force ou en déplacement :
C
ω
1 + i -------------------- ⋅ -------K M ω0
T (ω ) = ---------------------------------------------------------------C
ω
ω2
1 – -------2- + i -------------------- ⋅ -------K M ω0
ω0
(2)
2.1.3 Calculs en éléments finis
où ω 0 = K /M ,
et ω = 2 π f.
Le rapport C /2 K M est appelé amortissement réduit ,
C c = 2 K M étant appelé amortissement critique.
Toutes ces expressions sont développées dans les ouvrages sur
les vibrations et dans d’autres articles des Techniques de l’Ingénieur (en particulier, article Vibrations [A 410]). Aussi nous limiterons-nous ici à attirer l’attention sur les points suivants.
■ Il est important de savoir bien identifier, dans une structure réelle
présentant des risques de problèmes vibratoires, ce qui est masse
et ce qui est raideur à la fréquence d’intérêt , au sens d’une
contribution prédominante respectivement à l’énergie cinétique et à
R 3 140 − 10
Une application particulièrement intéressante du système masseressort élémentaire est de l’utiliser en absorbeur dynamique pour
dériver sélectivement de l’énergie vibratoire d’une structure : autour
de sa fréquence de résonance f 0 , il fonctionne en effet en « puits
d’énergie » du fait de sa très grande susceptibilité aux vibrations de
cette fréquence et localise dans ses battements de grande amplitude
l’énergie vibratoire qui était antérieurement diffuse sur la structure
principale (figure 8).
Réciproquement, puisqu’il introduit un degré de liberté supplémentaire à la structure initiale, l’absorbeur dynamique introduit un
mode supplémentaire, tandis qu’il décale le mode initial. Si bien
qu’en pratique il provoque une amplification dans deux zones
fréquentielles voisines, respectivement en deçà et au-delà de sa
fréquence f 0 (figure 8c ). De ce fait, et compte tenu des fortes amplitudes vibratoires qu’il doit accepter en fonctionnement nominal, sa
conception reste une affaire de spécialistes en raison des technologies à mettre en œuvre, même si son principe est très simple à
mettre en équations.
Des applications souvent citées des absorbeurs dynamiques sont :
— la réduction de l’amplitude de paliers à balourds centrifuges
suivant la direction perpendiculaire à l’axe utile ;
— la réduction d’amplitude du premier mode de flexion de tubes
d’échangeurs de chaleur ;
— la réduction des forces d’inertie dans des mécanismes à
transformation de mouvement, tels qu’un rasoir à couteau vibrant
doté d’un ou de deux absorbeurs au sein du boîtier, ou l’ensemble
pistons-vilebrequin d’un moteur d’automobile.
La méthode des éléments finis est appliquée en dynamique et
permet de déterminer par calcul les modes propres et les fonctions
de transfert nominales d’une structure, si complexe soit-elle.
Certains logiciels (fiche documentaire [Doc. R 3 140]) permettent
même de simuler une excitation quelconque (vibrations de la machinerie, séisme, etc.) et de prédire la réponse vibratoire en tout point
du maillage [15] [35].
Outre l’aide qu’elle apporte au projeteur, cette méthode offre une
référence utile à l’expérimentateur, aussi bien pour optimiser son
plan d’expérience en le simulant que pour interpréter ses essais et
confirmer ses diagnostics et ses conclusions.
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2.1.3.1 Définitions
Dans les résultats fournis par les codes de calcul par éléments finis,
il existe une grande disparité dans la terminologie, la formulation
et la normalisation des grandeurs dynamiques. C’est pourquoi il est
utile de se ramener aux grandeurs suivantes pour caractériser les
différents modes (indicés i ) :
— les fréquences propres f i ou les pulsations ω i ;
— les déformées modales correspondantes Φi (vecteurs) et leurs
T
transposées Φ i .
M étant la matrice de masse et K la matrice de raideur de la
structure modélisée, il vient :
— la masse modale :
T
m i = Φ i M Φ i (ou masse généralisée du mode i )
— la raideur modale :
T
k i = Φ i K Φ i (ou raideur généralisée du mode i )
et l’on doit vérifier :
2
k i = m i ω i = mi 4 π 2 f
2
i
Par contre, Φi n’est définie qu’à une norme près (maximum des
amplitudes posé égal à 1, norme du vecteur Φi égale à 1, ou masse
modale m i égale à 1, etc.), que les auteurs de chaque logiciel doivent
préciser.
On notera aussi que la masse et la raideur modales ont la dimension ML2 et non la dimension d’une masse ou d’une raideur stricto
sensu (elles représentent, au produit T –2 près, l’énergie cinétique
et l’énergie de déformation du mode).
Lorsque l’on calcule la réponse vibratoire de la structure dans une
configuration donnée par cette méthode, il est extrêmement
intéressant de détailler au point d’observation retenu P la
contribution C P, i des divers modes i : c’est un nombre obtenu par
le produit scalaire entre la déformée modale et la transmissibilité
statique ΦP de la structure vis-à-vis du point P :
T
C P, i = Φ i M Φ P
C’est là encore un guide très utile pour orienter l’intervention de
l’ingénieur et choisir les modifications les plus opérantes sur les
modes propres prédominants.
2.1.3.2 Cartes d’énergie
On choisira de préférence des logiciels permettant de tracer
graphiquement les cartes d’énergie cinétique et d’énergie de déformation associées à un mode, qui matérialisent finement les
contributions respectivement en masse et en raideur des éléments
de la structure dans ce mode, et permettent de définir des modifications efficaces en suivant les indications du paragraphe 2.1.2.2.
Exemple : c’est ainsi que l’on a pu mettre en évidence le rôle
insoupçonné d’une cloison pare-feu, pourtant peu épaisse, dans le
contrôle du premier mode de torsion d’une caisse de char d’assaut : la
figure 9 met en évidence la concentration d’énergie de déformation
dans cette cloison, tandis que le terme de masse est principalement
apporté par la caisse à munitions à l’arrière.
L’exemple présenté au § 3.5 illustre une autre utilisation de la
modélisation en éléments finis pour permettre l’extrapolation de
mesures dynamiques à des parties inaccessibles de la structure
(figure 50 p. 40).
Figure 8 – Application industrielle d’un système résonnant
en absorbeur dynamique
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R 3 140 − 11
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Figure 9 – Analyse dynamique de la caisse de char AMX 30 B
2.1.3.3 Recalage des modèles et optimisation
Plus récemment, les logiciels de recalage d’une modélisation
dynamique par éléments finis vis-à-vis d’une expérimentation
offrent une approche rationnelle là où l’ingénieur en était réduit à
l’intuition et au tâtonnement : ces logiciels permettent d’exprimer
objectivement la distance (au sens mathématique) entre les déformées modales calculées et mesurées, puis d’identifier les zones du
modèle les plus impliquées dans cet écart, et enfin de guider la
reprise de la modélisation dans ces zones, jusqu’à obtenir une représentation satisfaisante des modes de la structure réelle.
D’autres logiciels permettent d’optimiser par éléments finis une
structure de forme donnée (par exemple un rotor de machine) pour
répartir ses modes propres dans des plages de fréquence spécifiées
(en dehors des plages de fréquence de rotation, etc.), par le biais
d’algorithmes mathématiques d’optimisation, en jouant par exemple
sur l’épaisseur de la matière dans les divers éléments du modèle.
R 3 140 − 12
Tout cela concourt à donner à la méthode des éléments finis une
place essentielle dans l’analyse des vibrations structurales et à
conjuguer étroitement calculs et essais dans un même projet.
2.1.4 Maquettages et lois de similitude
Malgré les progrès de la simulation numérique, il reste de
nombreuses situations où l’expérimentation reste indispensable,
sans pour autant qu’on puisse la pratiquer sur la structure réelle :
la solution est alors de constituer un objet simplifié, éventuellement
à une échelle plus commode ou conduisant à une réalisation plus
économique, ou à partir de matériaux meilleur marché et plus faciles
à mettre en œuvre. On demandera alors exclusivement à cet objet
simplifié, ou maquette, de présenter les mêmes propriétés dynamiques que son homologue réel.
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Nota : c’est ainsi que des raisons de sécurité évidentes conduisent à étudier la dynamique de propulseurs à poudre avec des maquettes en matériaux inertes dynamiquement
semblables. De même, des raisons de disponibilité et d’indépendance vis-à-vis des
contraintes opérationnelles conduisent à étudier la dynamique des structures navales sur
des maquettes ou tronçons parfois à l’échelle 1, plutôt que sur des unités en service à la
Marine. Les structures réelles ne font l’objet que des quelques tests dits de référence, pour
garantir la pertinence des travaux conduits sur les maquettes.
■ Lois de similitude
La plupart des phénomènes vibratoires sont indépendants de la
pesanteur (exception faite des oscillations pendulaires, de la houle
ou du ballottement des fluides dans des réservoirs), et la similitude
géométrique est a priori l’approche qui garantit le mieux l’identité
des comportements entre la structure réelle et la maquette en
matière de vibrations et de bruit. Nous donnons au tableau 3 les
facteurs de similitude à appliquer sur les diverses grandeurs vibratoires en fonction du facteur de similitude géométrique.
Cette approche suppose de conserver les mêmes matériaux que
ceux de la structure réelle. Toutefois, seuls le module d’Young E ,
la masse volumique ρ et le coefficient de Poisson ν importent en
fait ; on peut alors, sauf pour des travaux de vérification de la tenue
ultime au séisme ou en fatigue, utiliser des nuances d’alliages plus
communes (en particulier, de moindre limite élastique).
■ Simplifications de la maquette, échelle et matériaux
En dehors de cette simplification quant aux matériaux, la similitude géométrique conduite avec un souci d’exactitude trop poussée
ne conduit à aucune économie de réalisation dans nombre de cas
où la complexité des détails l’emporte sur la quantité de matière en
jeu (laquelle est réduite évidemment au cube du facteur d’échelle) :
il faut donc s’autoriser à bon escient des simplifications supplémentaires dans la forme et dans les détails de réalisation.
Dans le cas de structures raidies par de nombreux goussets, il est
possible de raisonner en inertie équivalente, mais il faut veiller à ne
pas trop perturber conjointement la répartition de masse. On peut
ainsi réduire le nombre de goussets et simplifier leur géométrie pour
se ramener à des profilés standards ou à des tôles pliées.
Le maquettage de tôles minces est difficile, du fait de l’impossibilité de tendre correctement des tôles et clinquants trop minces
en construisant la maquette. La contribution en membrane de ces
tôles ne peut plus alors être reproduite correctement ! C’est ainsi
qu’on a dû renoncer à maquetter en similitude dynamique une caisse
de TGV à l’échelle 1/20...
D’une manière générale, la fidélité dynamique est d’autant plus
facilement obtenue que l’échelle de similitude est faible, et les
échelles de l’ordre de 1/4 représentent souvent le meilleur
compromis technique/économique.
D’autre part, les phénomènes dissipatifs (amortissement structural, dissipation dans les liaisons) échappent à la similitude géométrique, à l’exception de l’amortissement par rayonnement
acoustique. Il faut donc les transposer à l’aide de matériaux
présentant des caractéristiques dissipatives décalées vers les hautes
fréquences.
Exemple : pour les études en soufflerie du couplage entre les
vibrations de tours d’aéroréfrigérants de centrales nucléaires EDF et le
vent, on a pu ainsi ajuster la composition d’une résine de synthèse
pour reproduire au 1/200 les caractéristiques dynamiques des tours
réelles en béton, et ce en jouant sur diverses charges introduites dans
la résine. La similitude fut très satisfaisante, malgré ce grand rapport
d’échelle. Le travail du modeleur a été des plus délicats puisqu’il lui a
fallu obtenir une épaisseur de 0,8 mm au col, sans défaut de répartition
de la résine lors du moulage...
Dans le cas des structures qui reçoivent un grand nombre de
machines et d’équipements divers, une approche intéressante pour
le maquettage est de les figurer d’une manière plus ou moins statistique avec des lests distribués irrégulièrement.
On a pu montrer, en effet, que ces équipements jouent vis-à-vis
de la structure principale qui les porte, plus continue, un rôle capital
de diffusion et de diffraction des vibrations, similaire à celui que
jouent les impuretés dans un réseau cristallin. Le résultat global est
à la fois un effacement des modes propres de la structure et une
localisation de l’énergie vibratoire à proximité des sources excitatrices. Le lecteur trouvera dans l’article Méthodes d’études des
problèmes classiques de dynamiques stochastiques [A 1 346] dans
le traité Sciences Fondamentales un développement mathématique
approprié pour décrire de tels comportements vibratoires.
Moyennant ces précautions, le maquettage apparaît comme une
approche encore irremplaçable lorsqu’on veut maîtriser les aspects
vibratoires et acoustiques d’un projet dont ils conditionnent le
succès, malgré les progrès des approches numériques évoquées au
paragraphe 2.1.3.
2.1.5 Méthodes énergétiques
2.1.5.1 Principe des différentes méthodes
Les approches évoquées précédemment sont toutes déterministes, au sens où elles visent à caractériser précisément l’état vibratoire d’une structure à un instant donné.
En général, cette information est plus détaillée que l’ingénieur ne
le souhaite : peu importe finalement la fréquence précise des modes
(le plus souvent entachée d’incertitude), il lui faut seulement déterminer un niveau vibratoire caractéristique de tel ou tel état de fonctionnement.
Il est alors intéressant de raisonner en termes de flux d’énergie
entre les divers composants de la structure. On fait ainsi l’économie
d’une description point à point des vibrations, tout en s’attachant
à une grandeur significative sur le plan physique et appelée à vérifier
des lois simples de conservation et d’additivité. Il est de plus aisé,
en connaissant la répartition surfacique de la masse de la structure,
de relier l’énergie cinétique d’un élément de masse m à la vitesse
vibratoire moyenne <u > dont il est animé :
1
E c = ----- m < u 2 >
2
Des développements sont en cours (principalement à Électricité
de France (EDF), à Métravib RDS et au Centre technique des industries mécaniques CETIM, de manière coordonnée) pour donner une
traduction expérimentale directe des flux d’énergie vibratoire dans
les structures mécaniques, en combinant quelques points de mesure
et des informations sur la structure dans la zone de mesure (épaisseur, inertie, etc.).
Nota : l’énergie est portée par les ondes naturelles de la structure (figure 5), qui interfèrent avec leurs propres réflexions sur les bords de la structure, recréant ainsi les aspects
modaux.
Certaines de ces méthodes restent déterministes vis-à-vis du
domaine des fréquences, comme la méthode power flow développée par Goyder et White à l’ISVR en Angleterre [10] ou la méthode
des coefficients d’influence énergétiques publiée par le professeur
Lesueur de l’INSA de Lyon [11].
La plus usuelle reste la méthode connue sous le sigle SEA
(Statistical Energy Analysis, ou méthode d’analyse statistique de
l’énergie) [12], du fait de sa grande simplicité.
2.1.5.2 Méthode SEA
La méthode SEA fournit des résultats moyens dans des bandes
de fréquences plus ou moins larges selon l’application.
Le principe de cette méthode est de décrire la propagation et la
répartition de l’énergie vibratoire dans une structure quelconque à
la manière d’un flux de chaleur. Cette analogie n’est pas fortuite, la
chaleur n’étant elle-même qu’une forme de vibrations, à l’échelle
moléculaire cette fois.
On pourra donc décrire l’état vibratoire moyen à partir :
— de la connaissance du flux d’énergie injecté par la source
interne (bruit ou vibrations d’une machine) ou par le milieu environnant (écoulement tourbillonnaire, par exemple) ;
— des propriétés modales de chaque partie élémentaire homogène de la structure : densité modale (nombre de modes dans une
bande de fréquence donnée) ;
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R 3 140 − 13
VIBRATIONS DES STRUCTURES INDUSTRIELLES
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— de l’évaluation des coefficients de couplage entre chacune
des sous-structures ;
— de la masse et de l’amortissement global de chaque sousstructure.
L’amortissement est dit global car il inclut non seulement les effets
dissipatifs au sein du matériau, mais aussi la déperdition d’énergie
par rayonnement acoustique. La perte dans les liaisons est, par
contre, difficile à prendre en compte, les coefficients de couplage
entre sous-structures supposant des échanges sans pertes.
Pour des structures simples, comme des plaques ou des poutres,
ces différents paramètres sont approchés par voie analytique et
tabulés [12]. Ils sont également mesurables par des essais assez
simples (décréments logarithmiques pour les amortissements,
etc.).
2.1.5.3 Limites de la méthode SEA
Les seules limitations intrinsèques à cette méthode sont dues
aux hypothèses que sa formulation amène à présumer :
— l’énergie vibratoire est réductible à la somme des énergies
modales, donc le comportement modal est prédominant pour toutes
les sous-structures : cela signifie que l’amortissement global reste
faible et que la propagation vibratoire vers la périphérie de chaque
sous-structure est quasi complète ; la méthode n’est donc pas applicable, en particulier, aux structures remplies d’équipements
irrégulièrement répartis (§ 2.1.4), ni à des cas de très fort couplage
acoustique ;
— la bande de fréquence d’analyse doit être assez large pour
que toutes les sous-structures présentent assez de modes propres
dans cette bande, au sens d’une vérité statistique ; c’est d’ailleurs
cette hypothèse qui détermine le choix des bandes de fréquence ;
— les phénomènes excitateurs sont supposés régulièrement
répartis fréquentiellement dans la bande d’analyse, ce qui induit une
équipartition de l’énergie vibratoire globale entre les différents
modes de chaque sous-structure ; cette hypothèse conduit en
général, au contraire de la précédente, à réduire la largeur des
bandes de fréquence d’analyse, le spectre de l’excitation étant rarement indépendant de la fréquence ;
— le couplage entre les sous-structures doit rester faible,
c’est-à-dire que leur comportement après assemblage doit rester
similaire à leur comportement intrinsèque en conditions libres ; cela
implique que la propagation vibratoire d’une sous-structure
à une autre est modérée ; on se reportera sur ce point au
paragraphe 2.1.1.2.
2.1.5.4 Cas d’applications
L’énergie vibratoire se diffuse, bien entendu, des sous-structures
à forte énergie vibratoire vers les sous-structures à plus faible
énergie : les structures à grand nombre de modes, donc de grande
envergure, jouent alors le rôle de récepteurs vis-à-vis de structures
plus petites ou plus raides, donc à moindre nombre de modes.
Par conséquent, dans le cas, par exemple, d’une structure de
type plaque ou coque raidie, l’énergie diffuse des raidisseurs vers
la peau, ce qui va d’ailleurs en général accroître le bruit rayonné.
Exemple : une modélisation SEA a pu fournir un guide sûr et précis
dans un travail de réduction des bruits parasites affectant un sonar sousmarin et dus aux vibrations de son enveloppe (ou dôme) du fait des
turbulences de l’écoulement. Sans modifier le profil hydrodynamique,
on a pu les réduire de plus de 6 dB en modifiant la structure mécanique :
suppression des raidisseurs, abandon de l’acier pour des composites
résine-fibre de verre et accroissement de l’amortissement structural par
introduction d’une feuille viscoélastique au sein du composite. La
prévision, par le modèle SEA, du gain moyen dans la bande de fréquence
du sonar a été vérifiée à 1 dB près lors des essais de recette du système
modifié.
La référence [12] présente de nombreux autres exemples, notamment dans le domaine spatial, qui a été un promoteur essentiel de
cette méthode.
R 3 140 − 14
2.1.6 Rayonnement acoustique des structures
Bien que l’étude des problèmes d’acoustique industrielle ne soit
pas l’objet de cet article, les préoccupations de bruit induit accompagnent assez souvent le besoin de minimiser les vibrations pour
nous amener à rappeler les traits essentiels du couplage entre vibrations et bruit. Le lecteur désireux d’approfondir ce sujet pourra se
reporter à la référence [11], ou à l’ouvrage de L. Beranek [13] qui
reste l’un des meilleurs ouvrages de base pour l’ingénieur sur ce
sujet.
2.1.6.1 Mécanisme du rayonnement
Le premier élément important à rappeler est que, même si toute
vibration structurale ébranle les molécules du fluide environnant (il
y a égalité des vitesses à l’interface), il n’y a qu’une fraction de cette
agitation du fluide qui se propage au loin (bruit rayonné, champ
lointain). La zone immédiatement voisine de la structure (champ
proche) est donc le siège d’un réarrangement important entre le
champ vibratoire et le champ acoustique ; les mouvements de fluide
non rayonnants acoustiquement sont souvent appelés pseudo-son ,
ou encore champ évanescent . Ces mouvements ne sont pas
négligeables pour autant, car, vus de la structure, ils contribuent à
l’accroissement d’inertie qu’apporte le fluide (masse ajoutée ) à la
structure, d’où un ralentissement des ondes vibratoires par rapport
à une situation dans le vide (quelques pour-cent dans l’air, mais près
de 50 % dans l’eau dans un cas typique de coque de navire). Une
méthode approchée pour déterminer la masse ajoutée sur une
plaque a été proposée par Lord Kelvin : elle revient à évaluer la masse
du ou des fluide(s) contenu(s) dans le cylindre circonscrit à la plaque
qui vibre.
Le deuxième élément important est que le son se propage sans
déformation dans le fluide, à une vitesse constante caractéristique
de celui-ci (340 m/s dans l’air, 1 450 m/s dans l’eau, à température
ambiante et pression atmosphérique normale), tandis que la
propagation dans la structure est beaucoup plus complexe (les
différentes ondes présentées sur la figure 5 interviennent concomitamment, déforment le signal et créent de multiples interférences).
Les ondes qui sont plus rapides que la vitesse du son dans le fluide
environnant sont dites supersoniques , celles qui sont plus lentes
subsoniques , et la situation transsonique intermédiaire, rare,
d’égalité, est dite de coïncidence .
Formellement, sur une structure d’étendue infinie et sans amortissement, les ondes mécaniques subsoniques ne produisent aucun
rayonnement acoustique et créent seulement un écoulement le long
de l’interface qui s’inverse à chaque demi-période (figure 10a ). Les
ondes mécaniques supersoniques , au contraire, se couplent avec un
rayonnement très directif, dans la direction déterminée par l’égalité
des projections des longueurs d’onde respectives (loi de Snell,
figure 11). L’onde mécanique coïncidente , elle, rayonne intégralement au point de s’amortir complètement sur la structure.
Le rayonnement acoustique des structures apparaît ainsi sous
l’aspect d’un phénomène tout à fait simple : cela est vrai, mais il
s’applique malheureusement à des objets infiniment plus compliqués que la structure idéale, infinie et non amortie qu’on vient de
décrire.
Le résultat pratique reste alors que les conditions aux limites et
les effets de bord déterminent le bruit effectivement rayonné,
beaucoup plus que les mécanismes décrits ci-dessus dans une
situation idéalisée.
On pourrait expliquer simplement le mode habituel de génération
du bruit dans les mêmes termes, par le fait que les bords ou les
singularités de la structure créent des dissymétries qui ne permettent
pas à l’écoulement pariétal de compenser les effets de vibrations
subsoniques : il subsiste des zones excédentaires ou déficitaires, qui
se comportent alors en sources de bruit efficaces (figure 10b ). Une
telle source de fluctuations de volume, géométriquement localisée,
correspond à un « monopôle » acoustique et rayonne également
dans toutes les directions.
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structure : en particulier, dans le cas de rayonnements intenses, on
reconnaîtra souvent une situation singulière de coïncidence spatiale
entre l’étendue du mécanisme et la longueur d’onde acoustique.
C’est ainsi que l’on a pu expliquer le rayonnement important
d’équipements électriques tels que des transformateurs ou des
réactances par le fait que, sur les premières raies générées par les
effets magnétiques au sein des noyaux, il y avait coïncidence entre
le tiers de la longueur d’onde acoustique et la distance entre chaque
noyau : s’agissant de noyaux alimentés en triphasé, il y avait alors
coïncidence entre la pseudo-onde de dilatation des noyaux par
magnétostriction et l’onde acoustique, coïncidence qui se renouvelait bien sûr pour chaque harmonique.
D’une manière générale, les ondes mécaniques supersoniques,
bien que rayonnantes sur toute la surface de la structure (figure 11),
ne contribuent pas significativement au rayonnement acoustique,
car elles mettent en jeu des déplacements des parois sur la normale
qui ne sont que du deuxième ordre vis-à-vis de la réponse élastique
de la structure.
À l’inverse, bien que le plus souvent subsoniques, les effets de
flexion induisent de grands déplacements radiaux et contribuent au
rayonnement de façon majeure du fait des effets de bord et autres
singularités que révèle l’imagerie acoustique décrite au
paragraphe 2.1.6.2 ou les essais décrits sur la figure 12.
Minimiser spécifiquement le bruit rayonné conduira en général à concevoir des enveloppes extérieures pour la structure qui
soient aussi continues que possible, et les raidisseurs seront ou
évités, ou découplés mécaniquement. L’introduction d’amortissement structural est loin d’être systématiquement le moyen de
réduire le bruit, car il est inopérant précisément sur les effets de
bord et les singularités, et il amortit surtout la part non rayonnante du champ vibratoire : c’est là l’origine de bien des déconvenues apparemment paradoxales qui justifient le recours à des
spécialistes.
Figure 10 – Rayonnement acoustique d’une onde vibratoire
subsonique
Figure 11 – Rayonnement acoustique d’une onde vibratoire
supersonique. Cas d’une plaque infinie
L’association de plusieurs monopôles avec des relations de phase
stables correspond à des sources d’ordre plus élevé (dipôles,
quadripôles, etc.), cette fois directives, mais moins efficaces acoustiquement puisqu’une partie de leurs fluctuations de volume
élémentaires peut encore se compenser par un écoulement pulsé.
Il reste toujours très utile d’évaluer les longueurs d’onde mécaniques et acoustiques respectivement en jeu dans un problème
précis, et de les apprécier aussi en relation avec la taille de la
2.1.6.2 Imagerie acoustique
Une technique expérimentale très puissante a été développée
depuis quelques années pour identifier les éléments de la structure
dont la vibration contribue directement au bruit rayonné : il s’agit
de l’imagerie acoustique (souvent appelée aussi holographie acoustique). Le principe est le suivant : partant de mesures acoustiques,
il est possible, puisque la propagation du son obéit à des lois simples,
de « rétropropager » mathématiquement les fronts d’ondes acoustiques observés, pour retrouver le champ de sources dont ils sont
issus. L’analogie avec l’holographie acoustique tient au fait que cette
image de la source est obtenue comme l’interférence des divers
fronts rétropropagés.
On obtient alors une image des points brillants acoustiques sur
la structure observée, qui permet par exemple d’identifier : les ponts
phoniques d’un capotage, l’effet amplificateur sur le bruit de la résonance de tel ou tel élément, ou les effets de bord et de singularités
évoqués précédemment, plus souvent que l’emplacement effectif
des sources internes.
Cela est illustré par la figure 12, d’origine expérimentale, où le
moteur de la torpille rayonne surtout indirectement par la singularité que constitue la jonction mécanique entre deux tronçons de
coque bien au-delà de la tranche moteur.
La figure 13 donne un autre exemple d’une application de cette
technique pour identifier les sources de bruit sur un moteur automobile. Alors que la carte des pressions acoustiques brutes reste
très confuse, l’image holographique identifie clairement à cette
fréquence trois sources prédominantes, qu’il est facile de repérer
ensuite sur le plan.
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Figure 12 – Rayonnement d’une coque de torpille aux fréquences de son sonar
Il est possible enfin de combiner mesures vibratoires et mesures
acoustiques pour améliorer la résolution de ce genre d’analyse, par
exemple par des techniques de corrélation.
2.1.6.3 Conclusion
Malgré la complexité des mécanismes de rayonnement acoustique des structures mécaniques, l’ingénieur peut disposer de
moyens très sûrs pour diagnostiquer les sources vibratoires les plus
bruyantes et les modifier à bon escient. Ces moyens sont accessibles
sous forme d’une association entre capteurs appropriés (sondes et
antennes acoustiques) et logiciels de traitement (imagerie acoustique), tels que MALICE de Métravib RDS.
2.2 Approche expérimentale
Des lois ont été énoncées, dès le XVII e siècle, concernant la mécanique des manifestations périodiques des cordes tendues, des
pendules, des poutres, des plaques. Les figures vibratoires, même
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de haut rang modal, sont visualisées aisément par le regroupement
de grains fins dessinant les lignes nodales, lieu des amplitudes vibratoires minimales (figure 14). Cette approche expérimentale remonte
au physicien allemand Chladni (1756-1827).
Le fonds des travaux traitant de modèles théorico-expérimentaux
raffinés est tel aujourd’hui que tout problème convenablement posé,
moyennant l’introduction des quelques grandeurs physiques nécessaires, peut trouver sa solution par calcul, l’essai n’étant bien souvent
effectué qu’à titre de contrôle ou encore substitué au calcul parce
que plus économique. Mais, dans le cas où un doute subsiste entre
prévision et réalité, le résultat expérimental, s’il peut être atteint et
n’est pas contestable, doit constituer la référence.
Une structure industrielle étant un assemblage souvent complexe
formé d’éléments eux-mêmes plus ou moins simples ne peut être
traitée par voie analytique comme le seraient systématiquement les
éléments simples : cordes, chaînes, tuyaux, barres, plaques et
coques [14]. Hormis l’essai, le calcul par éléments finis (§ 2.1.3)
s’impose pour cerner la réalité, toutefois avec des points faibles sur
le choix de modèles d’amortissement ou de non-linéarités pour
lesquels on dispose rarement, a priori, de guide rationnel.
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Figure 13 – Application de l’imagerie acoustique au diagnostic des sources de bruit sur un groupe motopropulseur (V6-3 litres)
Les sujets traités aux paragraphes 2.2.1, 2.2.2 et 2.2.3 sont limités
à l’approche expérimentale du contrôle et de la mesure des vibrations structurales dans son ensemble, en renvoyant à des références
bibliographiques : à titre d’exemple, citons les centaines de
communications présentées en langue anglaise pratiquement
chaque année depuis 1982 à l’IMAC [15].
2.2.1 Accès aux vibrations des structures
Ce paragraphe traite des techniques expérimentales des capteurs
de vibrations considérées dans leur ensemble, la vibration étant la
grandeur de sortie à mesurer et non une grandeur d’entrée artificielle
imposée à la structure, comme plus loin au paragraphe 2.2.2.
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Un capteur de vibration est bien défini par : la grandeur à mesurer,
le domaine de mesure exprimé en niveau absolu ou relatif, la
précision requise et les conditions d’environnement. Son optimisation est à la fois un problème de mesure et de coût qui ne sera
pas développé ici.
2.2.1.1 Capteur inductif et capteur piézoélectrique
Les techniques classiques de mesure absolue et relative de la
vitesse et de l’accélération sont fondées sur les lois de l’inertie, de
l’induction et de la piézoélectricité.
Nous donnons ci-après l’exemple d’une disposition technologique
originale de capteur accélérométrique utilisé pour les essais de vibration au sol.
Exemple : accéléromètre à barreaux piézoélectriques
Le relevé simultané des points caractéristiques d’une déformée
d’une grande structure, telle qu’un avion ou un engin, nécessite un nombre important de capteurs (plusieurs centaines pour un essai complet).
Ces capteurs de précision suffisante (≈ 3 %) sont réparables, mais pas
toujours récupérables, aussi doivent-ils être d’un coût raisonnable.
La solution accélérométrique retenue utilise directement des
barreaux piézo-électriques enserrés dans un support rigide (quasisuppression de l’effet de contrainte de la base). Quatre barreaux de
même longueur aux extrémités libres/encastrées sont disposés
symétriquement par rapport à l’axe de mesure pour privilégier la sensibilité aux mouvements de translation. La fréquence propre du capteur
est fixée par le choix de . La masse du capteur (7 g) est compatible
avec le genre d’application de ces accéléromètres suivis de chaînes
associées à gains alignés (conditionneur de signaux) [16] (Origine
ONERA, industrialisation PRODERA).
2.2.1.2 Capteur à jauges résistives
Pour rester sur l’idée qui tend à montrer à la fois l’évolution importante des moyens, mais aussi le maintien en usage d’un certain
nombre d’entre eux quant aux principes de base, citons l’extensométrie dynamique par jauge résistive, qui donne accès aux déformations en rapport avec les courbures, les contraintes, les
dimensions et les matériaux.
Exemple : la figure 15 est un résultat de calcul portant sur le
mode 2 (deux nœuds) de flexion d’une barre encastrée/libre, de section constante et d’épaisseur 2 h. Deux courbes sont représentées en
fonction de l’abscisse réduite ξ :
— la déformée y (ξ ) du mode propre, qui serait donnée par un capteur de déplacement situé en ξ ;
— la courbure de la barre, approximée par la dérivée seconde y ′′ (ξ )
exprimant l’allongement superficiel ε (ξ ) = h y ′′ (ξ ), qui serait donnée
par un capteur à jauge résistive collée sur l’une des faces de la barre
à l’abscisse ξ .
Il est possible de passer, par double intégration, de y ′′ (ξ ) donnée par
une jauge résistive à la valeur que délivrerait un capteur de déplacement
ou d’accélération situé à l’abscisse ξ .
Ce traitement effectué sur des signaux vibratoires peut être intéressant sur le plan technologique. Un exemple d’application est le suivant.
Des capteurs à jauges extensométriques ont été proposés comme
transducteurs de vibration grâce à des dispositions géométriques originales des jauges associées en pont qui respectent, sur plaques et sur
barres, les dérivées spatiales, permettant ainsi, dans certains cas, de
remonter par voie indirecte à l’accélération vibratoire avec une
surcharge structurale des jauges inférieure à celle d’un accéléromètre.
La discussion des erreurs introduites dans les deux cas ainsi que des
confirmations expérimentales sont présentées dans la référence [17].
2.2.1.3 Capteur à électronique intégrée
Figure 14 – Lignes nodales expérimentales des six premiers
modes propres d’une plaque carrée aux limites libres (d’après [14])
Figure 15 – Déformée y ( ) et courbure y ′′ ( )
d’une barre encastrée/libre sur le mode 2 de flexion
Pour être opérationnel dans des ambiances électromagnétiques
parfois sévères, l’élément sensible du transducteur et ses moyens
d’acquisition et de traitement associés doivent être d’autant plus
rapprochés que la taille des composants s’amenuise (figure 16). Le
gain est conditionné pour fixer la sensibilité à 10 mV/(m · s–2), à titre
indicatif pour cet accéléromètre, en vue d’en simplifier l’étalonnage.
La courbe d’étalonnage montre clairement la résonance de la contremasse sur la raideur de la céramique en très haute fréquence.
La rapidité d’acquisition et de traitement des mesures incite à
augmenter le nombre P de points retenus pour le problème traité
soit P = 10n avec 1 n 3 , ce qui est également rendu possible
par l’abaissement du coût des capteurs.
Un transducteur de vibration à usage industriel appelle les
commentaires suivants.
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Figure 16 – Accéléromètre à quartz
piézoélectrique, à électronique intégrée
Métravib. Fonctionnement en compression
Chaque problème a sa spécificité et ses caractéristiques. Les transducteurs sont nombreux et diversifiés, permettant de satisfaire à des
normes particulières.
Exemples de vibrations répondant à des normes
■ La valeur efficace V f de la vitesse vibratoire est la grandeur de référence des machines tournantes ayant une fréquence de rotation entre
10 et 200 s–1 (NF E 90-300, mai 1978). Les mesures de V f effectuées
sur les chapeaux de paliers de machines sont prévues dans les limites
0,28 < V f (mm · s–1) < 45 et pour les fréquences 10 < f (Hz) < 1 000.
■ L’accélération équivalente a eq , qui tient compte d’un effet de cumul
des vibrations tridirectionnelles, est la grandeur utilisée pour l’évaluation
de l’exposition des individus aux vibrations transmises aux membres
supérieurs. Il s’agit de mesurer les vibrations intenses qui peuvent être
transmises par les machines-outils et pièces vibrantes aux mains et aux
bras des personnes qui les utilisent (NF E 90-402, octobre 1986). Les
limites de la cote d’alerte dues à a eq , soit 6 < a eq (m · s –2 ) < 20,
dépendent aussi de la durée t d’exposition journalière aux vibrations,
soit 0,5 < t (heure) < 6, et de la gamme de fréquence dans les limites
5 < f (Hz) < 1 500.
■ Exemple d’une chaîne de microcapteurs
Dans la perspective d’une réduction importante des coûts d’une
chaîne de mesure accélérométrique, alliée à une compacité et une
légèreté accrues qui multiplient les possibilités d’utilisation, il est
intéressant de signaler l’apparition sur le marché de microcapteurs
sur substrat silicium (figure 17). L’élément sensible, de quelques
micromètres seulement, est réalisé avec les techniques habituelles
de production des circuits électroniques intégrés (micro-usinages
par voie liquide ou par bombardement ionique, dépôts alternant des
strates isolantes et des strates conductrices ou semi-conductrices,
etc.). Le même cristal de silicium peut recevoir divers circuits de
conditionnement et de traitement, d’où le concept de capteur intelligent, c’est-à-dire délivrant une information (par exemple, « le
moteur présente du cliquetis »), et non plus une simple mesure
d’accélération (origine Vectavib).
Figure 17 – Cellule accélérométrique Vectacell (d’après doc. Vectavib)
2.2.1.4 Vibromètre à laser
La vibrométrie laser s’est développée sur le marché de la mesure
avec la mise au point de vibromètres sans contact qui viennent
compléter la gamme des capteurs procédant par liaisons mécaniques avec les structures en essai. Les vibromètres à laser présentent deux avantages sur ces derniers :
— l’absence de contact physique, à la différence d’un capteur de
type classique qui est, soit maintenu à courte distance de l’objet
vibrant (quelques millimètres par exemple dans le cas d’un capteur
de proximité inductif ou électrostatique), soit fixé sur l’objet en le
surchargeant de la masse du capteur, donc de 1 à 100 g dans le cas
d’un accéléromètre ;
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— l’étalonnage par construction, essentiellement lié à la longueur
d’onde du rayonnement servant de référence.
Le principe de fonctionnement de ces vibromètres est fondé sur
les franges d’interférences produites par les rayons incidents et les
rayons rétrodiffusés, dans une même direction, par l’objet :
— le déplacement vibratoire est déduit du comptage des franges ;
— la vitesse vibratoire de l’objet est proportionnelle à la variation
de fréquence d’un signal de référence modulé par l’effet Doppler.
Suivant la technologie des composants optiques mis en œuvre
(laser, diode laser, fibre optique, filtre, objectif, ...), les particularités
de divers vibromètres industriels diffèrent, ainsi que :
— les limites mesurables de déplacement, de vitesse et, le cas
échéant, d’accélération vibratoire ;
— l’étendue de mesure en fréquence ;
— les limites de la distance opératoire séparant le vibromètre de
la cible en un point de l’objet vibrant.
2.2.1.5 Interférométrie holographique
À titre d’extension des procédés de mesures vibratoires sans
contact, il faut mentionner l’existence de l’interférométrie holographique qui a donné lieu à des réalisations intéressantes conduisant,
par exemple, après expositions photographiques successives à des
mesurages de déformées précises à 0,1 µm près sur des structures
d’échelles très variées (de quelques millimètres carrés à quelques
dizaines de mètres carrés). L’ISL (Institut de Saint-Louis), qui travaille
de longue date ces problèmes, envisage la mesure de déplacement
3D en temps quasi réel sur sites industriels, avec la possibilité de
mise en œuvre de la cinéholographie interférométrique.
Remarque : ces travaux, ainsi que d’autres analogues, sont
délicats à rationaliser. Simplifiés au niveau des normes pour en
vulgariser la diffusion, ils n’en restent pas moins fort complexes.
Sur un plan plus général, la diversité des besoins peut se mesurer
à l’importance des manifestations internationales : citons le Salon
International des Capteurs de mesure.
2.2.1.6 Caractéristiques des transducteurs de vibration
Le tableau 4 situe les principes auxquels il est fait appel ; les
capteurs sont décrits en détail dans différents articles du présent
traité : Capteurs [R 410], Accélération [R 1 812], Extensométrie
[R 1 850] et Capteurs à jauges extensométriques [R 1 860].
Ce tableau 4 classe les variables vibratoires détectées par
l’élément sensible (déplacement, déformation, vitesse, accélération,
saccades et chocs, en translation et en rotation) selon le domaine
physique d’appartenance, mécanique, électrique ou optique. Les cas
de couplage entre ces trois domaines existent, mais ne sont pas
détaillés pour éviter d’allonger l’exposé.
Nota : la saccade (jerk ) est la dérivée γ̇ de l’accélération, soit la dérivée troisième du
déplacement ẋ˙˙ .
En conclusion de ce tableau, on voit que le nombre de principes
appliqués aux éléments sensibles reste très limité, alors que les dispositions technologiques sont considérablement diversifiées.
Pour mener à bien le choix d’un capteur de vibration, il convient
de préciser :
— les conditions d’emploi, avec ou sans contact matériel et ajout
de masse tolérés entre le capteur et la structure, etc ;
— l’étendue du domaine de mesure ;
— la classe de précision requise.
Les tableaux 5 , 6 , et 7 montrent, pour différents principes
constructifs, l’ordre de grandeur des limites pouvant être atteintes,
respectivement en déplacement, vitesse, accélération, dans une
bande de fréquence également indiquée.
2.2.2 Essais structuraux sous excitation artificielle
Les techniques de mesure qui viennent d’être développées
permettent de réunir de nombreuses informations sur la structure,
à travers sa réponse aux vibrations dont l’origine et le contenu
fréquentiel sont multiples :
— les machines que supporte la structure l’excitent principalement sinusoïdalement à leur vitesse de rotation et à ses premiers
multiples. Lors des montées ou descentes en vitesse, on peut balayer
tout le spectre des fréquences intermédiaires ;
— le vent, la houle créent des sollicitations basse fréquence
partiellement aléatoires ;
— les bruits aérauliques (systèmes de ventilation, etc.) ont un
spectre très large.
Il est par contre difficile de mesurer l’énergie injectée, donc de
déterminer des fonctions de transfert, et parfois l’énergie présente
dans une bande de fréquence donnée est trop faible pour permettre
une mesure.
(0)
Tableau 4 – Capteurs de vibration : classement des principaux types (1)
Domaine de référence de l’élément sensible du capteur
Variable détectée
Déplacement
Mécanique
Linéaire
Angulaire
Règle divisée,
comptage N ( )
●
Électrique
Linéaire ou angulaire
Optique
Linéaire ou angulaire
Capteur résistif, à piste, A ou N ( ) ; capteur
inductif à transformateur différentiel, A ( ) ;
capteur capacitif, à signal A ( )
Holographie et interférométrie
laser, N ( )
●
Disque divisé,
comptage N ( )
●
●
●
●
Déformation
Vernis craquelants, moirés, A
Extensométrie par jauges résistives, A ( ) ;
jauges piézorésistives, A ( )
Photoélasticimétrie
dynamique, A
Vitesse
Stroboscopie, A ou N ( )
Induction d’un conducteur dans un champ
magnétique, A ( )
Effet Doppler sur lumière laser
réfléchie, N ( )
Accélération
Masse sismique asservie
en position neutre, servoaccéléromètres, A ( )
Accéléromètre piézoélectrique avec système
masse-ressort à fréquence propre f 0 f , A ( )
Systèmes vibrant à fréquence
propre élevée (105 à 106 Hz),
capteur d’émission acoustique, A ( )
Induction avec système masse-ressort
à fréquence propre f 0 f , d’où ẋ˙˙ (t ) , signal A
●
●
●
●
●
Saccades, chocs
●
●
●
(1) (●) Industrialisation du transducteur, A : analogique, N : numérique.
Remarque : en règle générale, sauf rare exception, pour les mesures 2D (à deux dimensions) et 3D, deux ou trois transducteurs monodirectionnels (1D) sont associés.
(0)
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Tableau 5 – Ordre de grandeur des limites atteintes au moyen de capteurs de déplacement industriels (1)
Principe
Grapho-mécanique (vibrographes)
Résistif
— à piste
• linéaire
• angulaire
— extensométrique
Déplacement
(m)
Fréquence
(Hz)
10–3 à 10–2
10–1 à 103
10–2 à 1
0 à 10
0 à 350o
0 à 10 tours/s
fonction du support
Inductif
— linéaire
— angulaire
10–7 à 10–2
0 à 360o
0 à 102
0 à 102 tours/s
Électrostatique
10–8 à 10–3
0 à 104
Optique et optoélectronique
— à traits
• linéaire
• angulaire
— photométrique
— interférométrique
— à effet Doppler
10–7 à 1
0 à 360o
10–4 à 10–3
10–7 à 10–1
10–8 à 10–3
0 à 102
0 à 102 tours/s
0 à 104
0 à 102
≈ 0 à 104
Mise en œuvre
Stylet sur papier ciré
Pistes bobinées ou moulées
Jauges à fil collées
Transformateur différentiel ou inductance
mutuelle
Métrologie capacitive
Règle ou disque gravés ou codés
Fibres optiques et réflexion
Comptage de franges
Intégration du signal vitesse
(1) Une ligne de ce tableau ne correspond pas à un capteur déterminé, mais indique une performance réalisable par ou moins un capteur fondé sur le principe
énoncé.
(0)
Tableau 6 – Ordre de grandeur des limites atteintes au moyen de capteurs de vitesse industriels (1)
Principe
Électrodynamique
— linéaire
— angulaire
Optoélectronique à effet Doppler
Vitesse
(m · s–1)
Fréquence
(Hz)
≈0à1
≈ 0 à 102 tours/s
≈ 0 à 103
0 à 102 tours/s
10–5 à 1
≈ 0 à 104
Mise en œuvre
Champ magnétique et bobine mobile
Dynamo tachymétrique
Rétrodiffusion de rayons laser
(1) Une ligne de ce tableau ne correspond pas à un capteur déterminé, mais indique une performance réalisable par au moins un capteur fondé sur le principe
énoncé.
(0)
Tableau 7 – Ordre de grandeur des limites atteintes au moyen de capteurs d’accélération industriels (1)
Principe
Résistif
— potentiométrique
— extensométrique
Accélération
(m · s–2)
Fréquence f
(Hz)
10–2 à 102
10–5 à 104
0 à 102
0 à 103
Capteurs à piste moulée
Jauges à fil collées
Mise en œuvre
Inductif
10–5 à 10 3
0 à 103
À mutuelle inductance
Électromagnétique
10–3 à 102
0 à 102
À zéro asservi
Électrostatique
10–9
10–8 à 10 3
≈0
≈ 0 à 104
En impesanteur
Piézorésistif
10–4 à 105
niveau imprévisible
1 à 104
102 à 106
10–2 à 103
Sensibilité
décroissante
quand f croît
Piézoélectrique
— tous usages
— émission acoustique
Optoélectronique à effet Doppler
à
10–7
Semi-conducteur
À quartz ou à céramique
Dérivation du signal de vitesse
(1) Une ligne de ce tableau ne correspond pas à un capteur déterminé, mais indique une performance réalisable par au moins un capteur fondé sur le principe
énoncé.
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On recourt, dans ces cas-là, à des techniques d’excitation artificielle, au sens de l’apport d’une source de vibrations auxiliaire aux
seules fins de cette expérimentation. Il faut alors maîtriser les aspects
suivants :
— savoir faire vibrer une structure avec les moyens les plus
appropriés au problème posé ;
— identifier correctement le signal d’entrée délivré à la structure ;
— relier l’effet à la cause : c’est-à-dire relier la réponse vibratoire
à l’excitation artificielle et forcée supposée connue et en déduire le
comportement vibratoire de la structure grâce aux mesurages
suivants :
• la réponse à une excitation transitoire, aléatoire, périodique
ou autre, à définir,
• l’analyse modale : les valeurs propres (fréquences et modes)
des fonctions de transfert (la mobilité, l’admittance, l’impédance
ou autre fonction à préciser, tableau 2),
• les paramètres mécaniques d’inertie, de rigidité et d’amortissement définissables en un point de référence et pour des conditions données d’excitation de la structure.
2.2.2.1 Générateurs de vibrations
Du fait de la grande variété des structures industrielles à expérimenter, il existe un arsenal important de moyens d’excitation qui
permettent de générer artificiellement des vibrations. Ces moyens,
au même titre que les transducteurs destinés au rôle de capteurs,
sont inventoriés ici. Ce sont également des transducteurs, mais
destinés aux fonctions d’excitation.
Nota : en effet, selon le vocabulaire de la NF E 90-001, le même mot peut s’appliquer
aussi bien aux capteurs qu’aux excitateurs :
Transducteur : appareil conçu pour recevoir de l’énergie de la part d’un système et en
fournir, soit sous la même forme, soit sous une forme différente, à un autre système de
telle façon que les caractéristiques recherchées de l’énergie reçue apparaissent à la sortie.
En général, le terme de transducteur est suivi d’un qualificatif précisant les types des
énergies utilisées pour la mesure : transducteur électromécanique, électropneumatique,
électro-optique...
NF E 90-001 (mai 1972) Vibrations et chocs mécaniques. Vocabulaire.
Ce mot de transducteur ne doit pas faire croire à la confusion des
principes mis en œuvre même si certains transducteurs, relevant de
principes capacitifs et piézoélectriques ou électrodynamiques, présentent la double propriété d’être indifféremment des capteurs ou
des excitateurs.
■ Exemple capacitif : la réversibilité capteur-excitateur existe en ce
sens qu’une variation de déplacement ∆x entraîne une variation de
capacité ∆C et qu’une variation de tension ∆V entraîne une variation
de force ∆F suivant la loi de conservation de l’énergie :
∆F ⋅ ∆x = ∆ V
2
⋅ ∆C /2
L’application typique, en mode excitateur, est celle de la génération de forces faibles et, en mode capteur, de la détection de petits
déplacements (du micromètre au millimètre), toutes deux utiles à
des mesures vibratoires au sol ou en état d’impesanteur.
■ Exemple piézoélectrique : l’effet direct piézo-électrique résulte du
développement d’une charge électrique sous l’action d’une
contrainte mécanique. L’effet inverse permet de créer un déplacement par l’application d’une tension. Une utilisation classique est la
production d’ultrasons, par exemple pour le nettoyage industriel ou
l’échographie médicale.
■ Exemple électrodynamique : sous divers aspects de réalisation,
un transducteur, très répandu et remarquable, est formé, à la manière
d’un haut-parleur, d’un conducteur de longueur déployée , en
mouvement par rapport à un circuit magnétique d’induction permanente B. Ce transducteur présente la double propriété d’être utilisable comme capteur et comme excitateur de vibrations, mais à partir
de deux lois distinctes :
— en mode capteur, il développe une tension U aux bornes de
la bobine mobile proportionnellement à la vitesse relative ẋ ; la loi
de l’induction U = d Φ /dt = Bẋ régit l’effet électromagnétique ;
R 3 140 − 22
Nota : c’est le cas de deux écouteurs téléphoniques classiques à variation de réluctance
réunis fil à fil et qui sont indifféremment excitateurs et capteurs : application réalisée avec
le Généphone autogénérateur et de sécurité sans pile ni source, conçu pour le Service des
mines.
— en mode excitateur, il délivre une force F qui résulte de l’interaction de l’induction B , de valeur constante, et d’un courant i
circulant dans une bobine mobile ; la relation F = Bi régit l’effet
électrodynamique ; ce principe est celui de l’excitateur électrodynamique.
■ Le tableau 8 présente les générateurs de vibrations fonctionnant
selon différents principes. Un choix sérieux ne peut être entrepris
qu’au regard du problème posé dont les principales données à
considérer sont :
— la gamme de fréquence d’emploi ;
— le modèle du signal d’excitation délivré à la structure ;
— les limites de force, de déplacement, de vitesse, d’accélération
nécessaires et admissibles ;
— les perturbations apportées à la structure par le générateur de
vibrations et dues à son impédance motionnelle électromagnétique,
ou à toute autre cause.
Il serait intéressant de présenter des exemples de réalisation référencés du tableau 8, lequel est toutefois insuffisant pour conclure,
le générateur n’étant qu’un maillon de la chaîne complète (§ 2.2.2.2)
au travers de laquelle passe toute l’information vibratoire communiquée à la structure.
2.2.2.2 Choix et analyse du signal vibratoire d’excitation
2.2.2.2.1 Buts de l’excitation artificielle
Les moyens à réunir pour l’étude d’une structure vibrante dans
l’un de ces cas les plus complexes sont indiqués globalement sur
la figure 18. Le signal appliqué à la structure par l’intermédiaire du
générateur de vibrations doit être connu et contrôlable à tout instant.
Le choix, sur la partie supérieure du schéma, qui concerne
l’ensemble du générateur doit être examiné avec soin pour éviter
d’altérer, par des interactions inadéquates, les propriétés de la structure en essai.
La définition des signaux appliqués au générateur de vibrations
dépend de l’objectif à atteindre. Utiliser des mouvements vibratoires
pour dégager des zones d’accumulation d’amas pulvérulents,
réduire le coefficient de frottement de mécanismes divers, homogénéiser un agrégat ou répartir le béton dans les moules de préfabrication, etc, ne paraît pas nécessiter de produire un signal aux
qualités exceptionnelles, bien que ces processus justifieraient sans
doute d’être approfondis. A contrario, la connaissance du comportement de certaines structures hautement élaborées (domaine de
l’énergie, de l’aéronautique et de l’espace) ne se conçoit, sur le plan
vibratoire, qu’à partir de signaux d’entrée et de sortie identifiables
et corrélables entre eux dans un sens déterministe, voire probabiliste.
À la limite, tout signal d’entrée peut convenir pour déterminer les
caractéristiques d’une structure linéaire, encore faut-il le connaître !
L’analyse de la réponse passe par cet impératif, c’est un point important parfois négligé. Il est banal de pouvoir exciter une structure,
mais plus rare est de bien connaître la sollicitation réellement
introduite : une force, un déplacement, une vitesse, une accélération,
ou une combinaison inconnue de ces différentes grandeurs.
Cette remarque, vraie pour les vibrations, l’est peut-être plus
encore pour les chocs.
2.2.2.2.2 Cas des chocs
Une machine de choc à chute de masse (ligne 6, tableau 8) peut
fournir F, x, ẋ, x˙˙ , pour une impulsion en accélération conformée
suivant une demi-sinusoïde, par exemple.
(0)
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Tableau 8 – Exemples de principes constructifs de générateurs de vibrations
Principe
Mécanique
Repère (1)
Réalisation et usage
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
L
A
A
L
L
L
L
L
A
A, L
Électrique
11
12
13
14
15
16
L
L
L
A
L
A
Excitateur capacitif, force faible, spectre large
Piézoélectrique et piézorésistif, force modérée, spectre large
Électromagnétique, large dynamique, spectre étendu, usage répandu
Électromagnétique, large dynamique, spectre étendu, peu usité
Électrodynamique, large dynamique, spectre large, usage répandu
Électrodynamique, large dynamique, spectre large, peu usité
Magnétique
17
18
L
A
Magnétostrictif, induction forte et faible déformation
Rotor et stator munis d’aimants permanents, vibrations de torsion [18]
Fluidique
19
20
21
22
L
A
L
A
Portance aérodynamique d’une palette tournant dans le vent
Portance aérodynamique de deux palettes tournant dans le vent
23
24
25
L
A
L
Impulseur simple
modes et amortissements d’un avion en vol
Impulseur en couple
Attache explosive, essai de lâcher (voir aussi 8)
Détonique
Réaction vibratoire inertielle, remplace la réaction sur appui fixe
Balourd rotatif, engendre une vibration circulaire
Balourds contrarotatifs, engendrent une vibration rectiligne
Choc, chute de masse : analyse spectrale d’un ouvrage
Choc calibré, machine d’essai de choc sur échantillons
Percussion, coup de marteau sur structure, spectre large
Lâcher simple, excite les premiers modes structuraux de flexion
Lâcher en couple, excite les premiers modes structuraux de torsion
Liaisons cinématiques diverses (came, excentrique, etc.), L ↔ A
Débit alternatif d’un fluide (air ou huile) ; vérins oscillants
Remarque : les limites de force, de fréquence et de déplacement ne sont pas précisées ici, pour deux raisons :
— l’étendue du marché est limitée à des besoins précis ;
— les spécificités techniques sont très diverses suivant les besoins (tables d’étalonnage de capteurs, essais d’avions, etc.).
(1) Déplacement
L : linéaire, A : angulaire.
Par contraste avec cette machine de choc bien instrumentée, on
peut opposer le test impulsionnel (ligne 7, tableau 8) beaucoup
moins reproductible, mais réalisé couramment par de nombreux
expérimentateurs, pour faire apparaître globalement, en quelques
millisecondes, le spectre d’une structure. Le défaut de répétabilité
de la percussion d’un marteau actionné à la main tient principalement, à notre avis, au défaut de conception de l’outil, dépourvu
de panne, qui ne respecte pas la position convenable du centre de
percussion par rapport au centre de masse, laquelle position permet d’annuler la réaction du manche dans la main de l’opérateur.
Ce contrecoup non supprimé est une des causes premières de
l’infidélité couramment constatée.
Une impulsion provoquée par un moyen mécanique à commande
électrique (lignes 13 ou 15, tableau 8) est plus avantageuse, car
reproductible et continûment dosable en grandeur et en durée.
La dérivée de l’accélération, ou saccade, est parfois l’information
la plus représentative à considérer. C’est le cas dans l’étude de la
sécurité et du confort des passagers dans les moyens de transport.
2.2.2.2.3 Tête d’impédance
Un moyen pratique et bien connu pour mesurer la force introduite
dans une structure est d’intercaler, entre celle-ci et la prise de force
du générateur, une tête d’impédance mesurant ẋ˙ et F au même
point. Un accéléromètre est monté aussi près que possible d’un
capteur de force dont la raideur est élevée, pour éviter la naissance
des modes parasites. L’insertion d’une tête d’impédance dans la
commande mécanique crée une discontinuité de raideur et de
masse. La discussion des erreurs introduites doit être entreprise, cas
par cas, déjà en basse fréquence (≈ 10 à 102 Hz) [19].
De 102 à 103 Hz environ, les attelages mécaniques d’insertion de
la tête d’impédance posent eux-mêmes des problèmes de rupture
d’impédance. La crédibilité des résultats doit être démontrée dans
tous les cas d’emploi et, a fortiori, pour des fréquences atteignant
ou dépassant 103 Hz.
2.2.2.2.4 Moyens d’excitation calibrés
Deux moyens, aux applications spécifiques, sont indiqués ci-après
pour montrer qu’il existe d’autres cas pour lesquels les signaux
d’entrée sont étalonnés ou mesurés séparément sur la structure à
analyser, avant de procéder aux essais.
Exemples
■ Le signal d’entrée est une force (lignes 23 et 24, tableau 8). Des
impulseurs pyrotechniques sont mis au point et étalonnés en poussée
F (t ) au banc. L’évolution, proche du créneau (figure 19) est connue,
reproductible d’un impulseur à l’autre et adaptée à la recherche des
fréquences et amortissements d’avions en vol. Ces impulseurs, dont les
tirs peuvent être synchronisés, sont aptes à générer des déformées en
flexion (ligne 23 du tableau 8) ainsi qu’en torsion (ligne 24).
■ Le signal d’entrée est un déplacement (lignes 8 et 25, tableau 8).
En vue de l’analyse expérimentale du comportement sol/structure des
éléments d’une ligne EDF (63 kV), un pylône de cette ligne a été expérimenté par essai de lâcher. Un câble mis sous tension mécanique est
judicieusement dirigé pour solliciter statiquement trois déformées à la
fois (flexion, torsion, pilonnement). Le créneau de force F (t ) est libéré
par une attache explosive montée sur le câble tendu dont l’autre extrémité est ancrée avec un dynamomètre au sol. La fonction de réponse
fréquentielle (qui est le rapport des transformées de Fourier de la
réponse sur l’excitation) se déduit de F (t ) et du résultat du lâcher
(figure 20). L’auteur précise « qu’en pratique on obtient de meilleurs
résultats en calculant le rapport du spectre croisé entre l’entrée et la
sortie au spectre de puissance du signal d’entrée. Ce calcul présente
l’avantage de fournir la fonction de cohérence qui signale la présence
des bruits vibratoires et des effets de non-linéarité » [20].
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R 3 140 − 23
VIBRATIONS DES STRUCTURES INDUSTRIELLES
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Figure 20 – Essai de lâcher effectué sur un pylône électrique,
(d’après [20])
Avec plus ou moins de facilité, toutes les solutions adoptées en
essai passent par un asservissement à des grandeurs données
(tableau 9) ou à une combinaison pondérée de ces grandeurs. Des
techniques de commande spécialisées pour les essais de gros
ensembles sur tables vibrantes sont mises en œuvre par voie hydraulique ou électrodynamique.
Pour plus de précision sur les essais fondamentaux relatifs à la
robustesse mécanique, où les vibrations interviennent directement,
il est intéressant de consulter les normes de 1987 : NF C 20-706 et
20-734 à 20-747, relatives aux moyens et aux méthodes d’essais
actuellement normalisés.
À une échelle plus modeste et pour clore ce paragraphe, deux
exemples complémentaires appliqués à l’aéronautique sont donnés.
Figure 18 – Ensemble d’excitation et de mesure vibratoires
d’une structure S
Exemples
■ Le déplacement vibratoire structural est illimité (lignes 10 et 15,
tableau 8). Une technique d’asservissement en courant, combinée à
une cinématique de transformation (rotation/translation), a conduit à la
réalisation d’excitateurs imposant la force quel que soit le mouvement
de la structure (avions, figure 21). La liaison cinématique est composée
de deux crémaillères et de deux pignons calés sur les arbres de servomoteurs contrarotatifs (de préférence). Ces derniers reprennent, par
leur inertie propre en translation, la réaction des forces vibratoires
introduites dans la structure.
Cette solution se distingue du type « haut-parleur » classique
(§ 2.2.2.1), dont la course admissible est très limitée, et du type à
balourds contrarotatifs (ligne 4, tableau 8), dont la force délivrée à la
structure excitée dépend du mouvement de celle-ci, au point de
présenter des instabilités lors de balayages en fréquence dans certaines
zones près des résonances [21].
Figure 19 – Force F (t ) délivrée par un impulseur pyrotechnique
(origine ONERA, commercialisé par PRODERA)
2.2.2.3 Récapitulatif
Le problème posé revient, en pratique, à imposer un signal d’excitation à une structure parmi les cinq cas présentés (sous forme instantanée ou non) au tableau 9. Ce tableau sépare les essais de
vibration en deux catégories :
— les uns, conduits en valeurs instantanées, pour lesquels les
modules et les phases sont retenus (régime sinusoïdal) ;
— les autres, conduits à partir de valeurs résultant d’intégrations
en fonction du temps, sous forme de densité spectrale de puissance
par exemple, pour lesquels les modules sont seuls retenus (régime
aléatoire, entre autres).
Nota : pour la définition de la densité spectrale de puissance, se reporter à l’article
Paramètres caractéristiques d’un signal [R 300] dans le présent traité.
R 3 140 − 24
■ La fréquence est imposée et la force utile est une portance
aérodynamique (ligne 21, tableau 8).
Deux ailettes identiques, calées également sur le même arbre d’un
moteur pas à pas, tournent dans le vent. La vitesse angulaire ω = 2πν
du moteur est pilotée par un générateur de fréquence ν. Monté sur
avion, cet excitateur (figure 22) est soumis en vol aux forces aérodynamiques instationnaires de portance et de traînée. La fréquence fondamentale d’excitation, f = 2ν, est égale au double du nombre de tours
par seconde des ailettes [22].
La force introduite F (t ) est mesurée à l’aide d’une semelle dynamométrique à trois capteurs fixée sur la partie de l’avion à exciter.
L’utilisation d’un moteur électrique pas à pas a été rendue possible
parce que l’entraînement des ailettes en rotation ne nécessite pas
beaucoup de puissance et convient bien à l’instrumentation d’un avion
léger. Cela est un avantage considérable pour les essais d’avions qui
ne disposent pas d’une installation hydraulique à bord.
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(0)
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Tableau 9 – Signal d’excitation imposé à une structure
Grandeurs
Valeurs
Déplacement (1)
Vitesse (1)
Accélération (2)
Saccade (2)
Force
x
ẋ
ẋ˙
ẋ˙˙
F
Φx
Φv
Φγ
Instantanées (fonction du temps t )
Non instantanées (fonction de la fréquence f, densité spectrale de puissance
par exemple)
ΦF
(1) La mesure est obligatoirement relative (par rapport à un repère fixe).
(2) L’accélération, et sa dérivée, sont définies en valeur absolue.
transfert, etc. Aussi l’industrie de la mesure a-t-elle été largement
mobilisée pour développer des matériels utilisables pour des
besoins diversifiés et pour établir des logiciels adaptés, selon le cas,
à la maintenance, l’exploitation, l’étude ou même la recherche
avancée.
Figure 21 – Générateur de vibrations rectilignes
à deux servomoteurs équilibrés
Un effet de cette croissance en matière de traitement du signal
se traduit aussi sur le marché par l’existence de sociétés dont l’objet
est la prestation de services avec des matériels et des logiciels appropriés, ou la simple location de moyens pour des actions ponctuelles,
d’expertise par exemple.
Il nous serait difficile de citer tous les protagonistes en ces
matières. Consulter pour cela les organisations professionnelles et
les réunions techniques spécialisées.
Les paragraphes ci-après concernent l’exploitation et la présentation de résultats de mesures vibratoires issues :
— d’un signal isolé (§ 2.2.3.1) ;
— d’un couple de signaux liés par leur fonction de transfert
(§ 2.2.3.2) ;
— de multiples signaux en vue de procéder :
• à l’analyse modale (§ 2.2.3.3),
• à la synthèse structurale (§ 2.2.3.4).
2.2.3.1 Signal isolé
La reconnaissance d’une vibration par sa signature temporelle ou
spectrale n’est pas nouvelle. Le temps et la répétition des intervalles
de temps (fréquence) ont été naturellement choisis comme références pour procéder à l’analyse d’un signal d’origine inconnue.
Exemples de mouvements vibratoires
■ Le simple tracé d’un stylet sur un papier qui se déplace régulièrement
fait apparaître la fonction f (t ). C’est le cas typique d’un sismographe de
la première génération où le mouvement relatif, entre la terre localement et une lourde masse suspendue à très basse fréquence ( 1 Hz )
est enregistré directement.
Figure 22 – Excitateur aérodynamique rotatif
pour essais de vibration en vol
2.2.3 Post-traitement et obtention des résultats
Le terme « post-traitement » sous-entend qu’une acquisition des
signaux originaux soit opérée lors de l’essai et disponible en
mémoire, pour pouvoir se prêter à toute analyse et interprétation
des résultats. L’étape de mémorisation peut être évitée dans certains
cas répétitifs de traitement en ligne bien établis mais, en période
de tâtonnements (alors que le protocole d’analyse reste à mettre au
point), il est préférable, voire indispensable en cas de non-reproductibilité de l’expérience, de disposer, pour des traitements en
temps différé, de l’ensemble des informations acquises au cours de
l’essai original.
Les techniques du post-traitement des signaux vibratoires sont
souvent issues des méthodes mathématiques applicables au traitement du signal : transformées de Fourier, de Laplace, fonctions de
■ Un fréquencemètre (dû à Frahm) fut aussi appelé tachymètre : il est
en effet apte également à mesurer, avec le balourd résiduel des
machines tournantes, leurs vitesses angulaires. Ce vibromètre, de
conception purement mécanique, constitue un véritable analyseur
spectral direct. Il a été réalisé sous forme d’un peigne dont les dents
sont des lames accordées sur des fréquences propres f 0 en progression
arithmétique (figure 23). Chaque lame répond pratiquement dans le
domaine spectral (0 à f 0) sur son mode fondamental comme un système
à un degré de liberté, linéaire, du second ordre.
La double amplitude qui est apparente sur la vue de gauche de la
figure 23 n’est autre qu’une analyse spectrale du signal à travers les
multiples filtres à lames, résonnant à des valeurs de f 0 décalées et
répondant aux composantes du signal d’entrée e.
Si cet « analyseur » est réduit à une seule lame de profil constant
et de longueur variable, il devient un fréquencemètre qui permet de
déceler l’existence d’une composante f du signal d’entrée e par la
mesure à la résonance de la lame, d’où f déduite de la loi de variation
en –2 et du rang modal excité.
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VIBRATIONS DES STRUCTURES INDUSTRIELLES
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Le signal vibratoire isolé considéré ici est durable ou passager.
Le but est d’abord sa reconnaissance par une ou plusieurs signatures caractéristiques, puis, à travers ces signatures, la recherche
des causes possibles de son origine.
Les processus d’investigation d’un tel signal isolé, qui sort d’une
boîte noire, portent sur la variable évolutive (le temps T ) ou sur le
spectre de cette variable évolutive (la fréquence). Ces deux signatures, dimensionnellement inverses (T et T –1) l’une de l’autre, se
correspondent par la transformée de Fourier (directe et inverse).
Elles peuvent donner lieu à d’autres représentations R1 , R2 , ..., Rn
significatives selon les cas et très appréciées à partir de différents
traitements mathématiques A1 , A2 , ..., An portant sur des fonctions
s (t ) du temps et/ou g (f ) de la fréquence (figure 24).
Toutes les représentations Rn étant formulées par valeurs discrètes, elles sont limitées par le compromis en résolution temporelle
et fréquentielle à adopter. La transformée de Fourier n’échappe pas
à cette difficulté.
Parmi les variétés techniques Rn mises en œuvre, quatre exemples
sont donnés ci-après.
Figure 23 – Fréquencemètre à lames vibrantes L
■ Analyse spectrale évolutive
Une manière synthétique de présenter une vibration évolutive
consiste à disposer des plans parallèles entre eux représentant les
spectres vibratoires g k (f ) aux différents instants t k . Diverses
présentations sont possibles, selon que l’analyse spectrale contenue
dans chacun de ces plans est effectuée à partir du temps origine
t = t 0 (zero filling ) ou dans l’intervalle court (t k + 1 – t k ) de deux
instants successifs t k + 1 et t k .
La plupart des analyseurs de l’industrie disposent de cette dernière
option permettant de présenter les spectres en cascade (waterfall )
pour faire ressortir les fréquences de résonance. De manière similaire, le diagramme de Campbell fournit la carte spectrale de montée
ou de descente en régime d’une machine tournante, mettant
clairement en évidence les vitesses critiques traversées. La figure 25
est un exemple de séquence de ralentissement du bol tournant d’une
décanteuse centrifuge, dont la région vibratoire est analysée de 0
à 12,5 Hz par intervalles de temps de 1 s durant 80 s. Les raies
subharmoniques correspondent au ballottement du fluide.
Figure 24 – Représentations diverses Rn d’un signal
déduites de voies temporelle s (t ) et /ou spectrale g (f )
Figure 25 – Analyse spectrale évolutive :
séquence de ralentissement naturel
d’une machine
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■ Enveloppe des réponses maximales
Comme dans l’exemple précédent, les variations des paramètres
à analyser (fréquences, niveaux, etc.) entre deux séquences sont
supposées modérées, pour pouvoir en suivre la trace. Il est alors
intéressant de contrôler les fluctuations de ces paramètres en vue
d’assurer la maintenance d’un matériel en service. L’échelle de temps
appropriée au problème peut aller de la fraction de seconde à l’année
ou au-delà. L’enveloppe des réponses maximales, disponibles sur
la plupart des analyseurs, est une signature (peak-hold ) utile notamment à une « vue de face » de la représentation précédente
(figure 26). Conduite lors de la phase de démarrage ou d’arrêt d’une
machine, elle permet d’établir, très simplement, la présomption
d’une contribution modale de la structure de la machine en fonctionnement à la vibration qui en résulte.
■ Cepstre énergétique
EDF [23] a suivi sur plusieurs années le calage des barres conductrices dans les encoches de stators des alternateurs, susceptible de
se dégrader au cours du temps.
Les sources de bruit d’origine magnétique excitent la vibration des
barres, d’où la présence du fondamental à 100 Hz accompagné d’un
nombre important d’harmoniques. La technique de traitement particulière, le cepstre énergétique [24] défini comme étant le spectre
du logarithme du spectre d’énergie, a été validée en 1983 après
expertise et recalage de l’alternateur (centrale hydraulique de
Beaumont). La double transformée de Fourier permet de visualiser,
sur une seule raie du cepstre, l’ensemble de la raie et de ses
harmoniques ; la répartition logarithmique fait mieux apparaître la
contribution relative des harmoniques de rang élevé.
Figure 26 – Représentation de la même séquence de ralentissement
naturel que figure 25, en peak hold entre 0 et 50 Hz
■ Spectre de choc
Un choc tel qu’un séisme peut être représenté par un tracé de
l’évolution de l’accélération en fonction du temps, mais il est difficile
d’établir sur de telles bases la nocivité de tel ou tel choc sur telle
ou telle structure. Pour exprimer le potentiel qu’a ce bloc d’exciter
une fréquence structurale, on a recours, en analyse sismique, à la
méthode des spectres d’oscillateurs, qui permet de tracer le spectre
de choc de la manière suivante : l’excitation sismique est appliquée
à un ensemble fictif de résonateurs élémentaires à un degré de liberté
(système masse-ressort et amortisseur, § 2.1.2 et figure 6). On trace
à chaque fréquence l’amplitude maximale du mouvement de résonateur correspondant lors du choc, en supposant l’amortissement
égal à une valeur donnée (en général 10 %), qu’il s’agisse de déplacements, de vitesses ou d’accélérations. Ces données sont tabulées
dans des ouvrages spécialisés pour les séismes types retenus lors
du dimensionnement des ouvrages de génie civil (figure 27). Des
méthodes similaires sont employées pour vérifier la tenue des structures à des explosions sous-marines, des chocs pyrotechniques, etc.
■ Évolutions récentes
Les études dans le domaine des vibrations et de l’acoustique bénéficient des progrès relatifs au traitement du signal. Citons :
— la représentation de Wigner-Ville filtrée ou non [25], qui est une
variante de l’analyse spectrale évolutive utilisée en vibrosismique
pour la représentation pétrolière ;
— la transformation en ondelettes, qui consiste à découper le
signal en une somme de fonctions élémentaires du temps, plus
adéquate que la transformée de Fourier pour analyser des phénomènes discontinus ou chaotiques (couches géologiques distinctes
traversées lors des recherches pétrolifères ; vibrosismique ; thèmes
musicaux ; médecine [26] [27]) ; de récents travaux montrent son
intérêt pour le diagnostic de défauts affectant des moteurs d’automobiles, etc.
2.2.3.2 Fonction de transfert entre deux signaux
■ Définitions
Selon la norme française NF E 90-001 (3-1972) du vocabulaire des
vibrations et chocs mécaniques (en large concordance avec la norme
internationale ISO 2041), la fonction de transfert, liée à la fréquence,
est définie par la relation mathématique entre une grandeur de sortie
et une grandeur d’entrée d’un système. Cette définition, qui est très
Figure 27 – Exemple de spectre de choc
générale, recouvre dans la même norme celle de deux autres termes
susceptibles de s’appliquer aussi à des grandeurs vibratoires non
précisées :
● réponse d’un système : expression quantitative de la réaction
de sortie d’un système à une excitation (définition 1.17 de la
norme NF) ;
● transmissibilité : rapport sans dimension de l’amplitude de la
réponse d’un système en régime établi de vibrations forcées à
l’amplitude d’excitation. Ce rapport peut être celui de forces, de
déplacements, de vitesses ou d’accélérations (définition 1.18 de la
norme).
D’autres définitions se rapportent exclusivement à des grandeurs
précisées (tableau 2) :
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R 3 140 − 27
VIBRATIONS DES STRUCTURES INDUSTRIELLES
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● impédance mécanique d’un système : rapport complexe de la
force à la vitesse, la force et la vitesse pouvant être mesurées au
même point (impédance directe) ou dans des points différents du
même système animé d’un mouvement harmonique (impédance
de transfert) ;
Nota : dans le cas d’une impédance mécanique en torsion, les mots « force » et
« vitesse » doivent être remplacés par « couple » et « vitesse angulaire » (définition 1.44 de
la norme NF E 90-001) ;
● admittance d’un système mécanique, inverse de l’impédance
(définition 1.50 de la norme NF) ;
● mobilité (parfois appelée admittance mécanique) [29] : rapport
complexe de la vitesse mesurée en un point d’un système mécanique
à la force mesurée en un même point, ou en un autre point, du même
système en mouvement harmonique. La mobilité est équivalente,
sur le plan mécanique et formel, à l’admittance (définition 1.51 de
la norme NF).
En dehors de cette norme, divers néologismes apparaissent ici et
là : c’est ainsi que des auteurs américains [28] appellent transmittance le rapport de l’amplitude de la force mesurée à « la sortie »
d’un support antivibratile à l’amplitude de la force appliquée à
« l’entrée ».
Retenons, pour la suite, le terme global de fonction de transfert
qui recouvre tous ces cas particuliers (précédentes définitions
1.17 – 18 – 44 – 50 – 51).
■ Mesure expérimentale des fonctions de transfert
Il est toujours possible de mesurer expérimentalement les fonctions de transfert caractéristiques d’une structure. On devra toutefois
être attentif à la qualité de la mesure des minimums et des maximums, qui correspondent tantôt à de grandes réponses sous faibles
excitations (résonances, § 1.2.1) – et dans ce cas la mesure de l’effort
excitateur peut être très bruitée – ou, inversement, à des déplacements très faibles quel que soit l’effort appliqué (antirésonances) –
et dans ce cas la mesure des déplacements (ou vitesses ou accélérations) est entachée d’incertitude.
Il est également souvent possible de représenter par un modèle
mathématique ces mêmes fonctions de transfert, en admettant une
schématisation a priori des effets dissipatifs [amortissement local
ou réparti, représenté par un effort proportionnel à la vitesse
(modèle visqueux ) ou à l’accélération (modèle hystérétique ), et en
phase avec la vitesse]. C’est par exemple le cas du modèle de
transmissibilité T (ω ) donné au (§ 2.1.2).
Les calculs modaux (§ 2.2.3.3) et par éléments finis (§ 2.1.3)
ne peuvent se comparer aux relevés expérimentaux que pour
une structure présentant des forces d’amortissement faibles
devant les forces d’inertie (masses) et de rigidité (raideurs).
Dans le cas contraire, il est nécessaire de procéder à l’analyse et
à la représentation spécifique des phénomènes mécaniques
effectivement en jeu et de créer ainsi le modèle particulier de la
structure en question.
■ Exemple d’une fonction de transfert modélisée
À titre d’exemple modélisable d’une fonction de transfert,
formulons l’hypothèse d’une structure répondant à un schéma
différentiel linéaire reliant la grandeur de sortie s (t ) à la grandeur
d’entrée e (t ), donc de la forme :
an s (n ) + an – 1 s (n – 1) + ... + a0 s = cm e (m ) + cm – 1 e (m – 1) + ... + c0 e
les symboles (n) et (m) en exposant représentant l’ordre de dérivation en fonction du temps ; an ... et cm ... des coefficients constants.
La transformée de Laplace de l’égalité précédente (en supposant le
système au repos à l’origine des temps) est l’équation suivante :
(an p n + an – 1p n – 1 + ... + a0)s (p) = (cm p m + cm – 1p m – 1 + ... + c0)e (p)
avec p variable de Laplace,
et la fonction de transfert, définie par le quotient s /e, s’explicite en
régime quelconque :
c m p m + c m – 1 p m – 1 + ... + c 0
s (p)
H ( p ) = --------------- = ---------------------------------------------------------------------------------e (p)
a n p n + a n – 1 p n – 1 + ... + a 0
La réponse en régime harmonique s’obtient en posant p = jω . La
fonction de transfert H (jω ) = H ′ (ω ) + jH ′′ (ω ) est alors une grandeur
complexe qui ne dépend plus du temps, mais de la fréquence
f = ω /2 π. Le module de la fonction de transfert est (H ′ 2 + H ′′ 2)1/2 et
le déphasage Φ de la sortie par rapport à l’entrée est arctan (H ′′/H ′ ).
Remarque : pour les calculs précédents, la transformée de
Fourier aurait conduit au même résultat que la transformée de
Laplace, cette dernière étant plus générale et d’un emploi parfois
plus commode. Cependant, le spectre de Fourier, par extension
des séries de Fourier aux phénomènes non périodiques, se prête
bien à l’interprétation physique des vibrations de nature
quelconque, périodiques ou non.
■ Représentation graphique
La représentation graphique des fonctions de transfert la plus
appropriée est choisie selon la nature de la structure et les lois de
comportement des matériaux et des assemblages en fonction de la
fréquence. La représentation peut en être faite dans le plan réel, en
module et phase, ou dans le plan complexe, en partie réelle et
imaginaire. Une telle représentation est donnée en exemple pour
l’impédance Z = F/v d’un modèle à deux masses m 1 et m 2 , à deux
rigidités k 1 et k 2 et à deux amortisseurs b 1 et b 2 disposés en
série/parallèle (figure 28), F étant l’amplitude de la force harmonique imposée et v celle de la vitesse de réponse au même point.
Il est aisé de construire la fonction de transfert d’un modèle
masses-ressorts-amortisseurs donné, comme dans cet exemple ;
inversement, il n’est pas évident de déterminer le modèle correspondant à une fonction de transfert donnée. Tel est l’un des buts
de l’analyse modale.
2.2.3.3 Analyse et représentation modale
L’analyse modale permet d’établir une représentation analytique
des mesures vibratoires. Un avantage important est la réduction du
nombre de paramètres permettant de représenter le comportement
dynamique de la structure, à toutes fins d’analyse (simuler un
comportement, mettre au point un prototype, suivre un risque
d’instabilité). Certes, dans un certain nombre de cas, les fonctions
de transfert seules peuvent suffire : mais, spécialement dans le cas
des structures continues et peu amorties, le nombre de points
fréquentiels requis est très élevé, et la manipulation des fonctions
de transfert impose celle de fichiers informatiques importants. La
réduction permise par l’identification modale facilite aussi la
comparaison avec des modèles ou des résultats de calculs, l’exploitation des données mesurées dans des schémas de synthèse
dynamique (§ 2.2.3.4) ou des modèles d’instabilité, etc.
■ Modèle mathématique
La représentation modale consiste à utiliser la base des fréquences
et des formes propres de vibration de la structure supposée tout
d’abord sans amortissement (structure conservative associée).
Le modèle mathématique dans son ensemble est matriciel d’ordre
(m × m) pour m degrés de liberté et m modes propres. Il est représenté par le système matriciel d’équations différentielles linéaires
du second ordre à coefficients constants [µ], [β ], [γ ], qui s’écrit :
[ µ ]q̇˙ + [ β ] q̇ + [ γ ]q = [ F ]
avec [µ]
[β ]
[γ ]
R 3 140 − 28
(3)
ML2),
matrice des masses généralisées (dimension
matrice des amortissements généralisés (dimension
ML2T –1),
matrice des raideurs généralisées (dimension
ML2T –2),
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colonne des forces généralisées (dimension ML2T –2 ),
q, q˙, q˙˙ coordonnées généralisées, fonction du temps, et
leurs dérivées première et seconde par rapport au
temps.
Par hypothèse, si [β ] = [0], le système [ µ ]q̇˙ + [ γ ]q est conservatif
et les matrices [µ] avec µkk ≠ 0 et [γ ] avec γ kk ≠ 0 sont diagonales,
k étant l’indice de rang modal. Ce système, alors découplé de son
amortissement, est défini par :
— ses valeurs propres (fréquences propres f k ) ;
— ses vecteurs propres (formes propres Φk ).
Les modes propres sont bien indépendants entre eux et peuvent
être traités comme des systèmes masse-ressort conservatifs à un
seul degré de liberté. Il en est encore de même en présence
d’amortissement structural [β ] à condition :
— que cet amortissement suive le modèle rhéologique visqueux
proportionnel à q̇ (hypothèse restrictive qui n’a rien d’évident a
priori ) ; il est d’usage courant de rapporter l’amortissement par équivalence à ce modèle ;
— que, selon l’hypothèse de Basile déjà avancée par Rayleigh,
les termes de la matrice d’amortissement soient proportionnels à
ceux des matrices de masses et/ou de rigidités imposant que [β ]
soit diagonale, ce qui n’est pas le cas général.
La pratique des essais industriels montre que ces deux conditions
tant bien que mal respectées sont acceptables si les forces d’amortissement [ β ] q̇ restent faibles devant celles d’inertie [ µ ]q̇˙ et de rigi[F ]
Figure 28 – Fonction de transfert (b ) de l’impédance Z du système (a )
dité [γ ]q . Or, au voisinage des résonances de phase de fréquences f k ,
la somme de ces deux derniers termes s’annule et la règle du rapport
des forces n’est plus satisfaite : les forces dissipatives [ β ] q̇ l’emportent sur la somme des forces conservatives [ µ ]q̇˙ + [ γ ]q ≈ 0 .
C’est donc près des résonances que l’amortissement devient
prépondérant et c’est donc dans le voisinage de f k que les termes
βk k peuvent être obtenus avec la meilleure précision possible.
L’accès aux termes non diagonaux β k avec k ≠ , encore plus difficile que l’accès aux termes βkk , ne semble pas présenter un intérêt pratique important, au moins dans le cas de structures
faiblement amorties.
Le nombre de modes significatifs m à retenir pour caractériser
une structure en vibration est indéterminé a priori, certains modes
étant accessibles, d’autres cachés. D’où une hésitation sur le choix
de l’entier m à introduire dans le calcul. Cette difficulté se présente
pour toutes les méthodes de traitement global multimodes. Dans
l’exemple de la figure 30, m = 3. Le fait d’oublier un mode
physique, soit (m – 1), ou d’introduire un mode fictif, soit (m + 1),
peut conduire à des erreurs d’interprétation importantes, notamment aux extrémités de la plage des fréquences explorées.
Dans les paragraphes suivants, quelques exemples et remarques
générales sont donnés se rapportant à l’analyse modale et à ses
représentations, plus particulièrement dans le domaine aéronautique.
■ Flottement des avions
À la base des calculs de risque de flottement d’avions en vol est
l’hypothèse que l’avion, bien que structure continue, peut être assimilé à un système ne présentant qu’un nombre réduit de degrés de
liberté et que toute déformation harmonique d’un avion en vol est
bien combinaison linéaire d’un nombre restreint de formes propres
relevées au sol.
Exemple : le souci de vérifier cette hypothèse de la combinaison
des formes a donné lieu à des essais en vol limités ici à cinq des modes
relevés au sol (figure 29).
La participation de la torsion antisymétrique en vol dans cet
exemple est de 45,6 % dans la combinaison linéaire des modes au
sol introduite au sens des moindres carrés. Il est intéressant de
rappeler le principe de vérification expérimentale d’une des hypothèses de base des calculs de flottement toujours appliquée par les
constructeurs d’avions français et étrangers.
Figure 29 – Torsion antisymétrique suivie en vol, précédée de relevés
sur avions au sol (d’après [30])
■ Appropriation des modes
Faire vibrer une structure sur un seul de ses modes propres suppose son appropriation par l’excitation. Cet état d’appropriation est
vérifié par le critère de phase : le déphasage entre la référence de
l’excitation et les réponses en tout point de la structure doit être
égal à 0 ou à π. Ce critère peut être élaboré de diverses façons.
Des méthodes d’appropriation itératives par modifications
successives des forces d’excitation et de la fréquence, élaborées en
France et en Angleterre, sont restées semi-automatiques. L’utilisation de critères du cumul arithmétique des écarts de phase par
rapport à 0 ou π conduit le plus souvent à atteindre des minimums
relatifs sans avoir la certitude de converger vers le minimum absolu
et sans pouvoir démontrer qu’il est atteint.
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R 3 140 − 29
VIBRATIONS DES STRUCTURES INDUSTRIELLES
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Hormis ces difficultés, il doit être précisé que les techniques
d’appropriation comme celles des balayages harmoniques sont
d’exploitation longue mais souvent reprises à titre de référence dans
les essais vibratoires, par exemple pour lever le doute en cas de nonlinéarités.
■ Logiciels d’analyse modale
Nous ne saurions décrire les logiciels existants, publiés ou non,
ceux du marché étant déjà fort nombreux et donnant accès aux
fréquences propres et aux paramètres directs ou généralisés de
masse, de rigidité et d’amortissement.
Il existe des logiciels généraux qui fournissent les solutions du
modèle linéaire tel que l’équation (3) avec la matrice d’amortissement [β ] diagonale. C’est le cas le plus fréquent.
Il existe aussi les logiciels adaptés aux usages particuliers des
vibrations non linéaires à variations rapides ou lentes. À titre
d’exemple, la non-linéarité porte soit sur la masse (masse variable
au cours du temps : fusées), soit sur la rigidité (perte de raideur par
fissuration d’une structure), sur l’amortissement (modification due
à la contrainte, à la température, à la fréquence, à l’histoire des sollicitations, etc.).
Devant de telles difficultés, qui excluent une solution générale, il
faut mettre à profit les processus de la simulation numérique
permettant de déterminer par calcul excitation et réponse de structures. La fonction de transfert est disponible et les limites de validité
de l’analyse modale sont évaluées indirectement sur un tel modèle,
que l’on peut utiliser ensuite pour simuler des modifications portant
sur des points sensibles [31].
Revenant aux fonctions de transfert expérimentales, les possibilités du matériel de traitement informatique conditionnent l’importance du logiciel admissible. La bonne mesure consiste à équilibrer
les deux. Un matériel sous-exploité entraîne des immobilisations
excessives ; s’il est insuffisant, il ne permet pas d’effectuer un
traitement unique et global des données qui seul peut pourtant
garantir la cohérence du processus d’identification (suppression des
effets de modes latéraux, atténuation des effets de bruits, et meilleur
conditionnement de la matrice à inverser).
Les essais de vibration s’orientent aujourd’hui davantage vers
l’obtention rapide des fréquences modales issues de chocs non
contrôlés (percussion au marteau) ou de chocs contrôlés (action électrodynamique à force ou déplacement imposés), plutôt que vers des
balayages harmoniques complets, mais lents. Des microbalayages
peuvent être resserrés seulement autour des raies modales ainsi
dégagées et le temps gagné est important pour explorer les caractéristiques d’une structure.
Exemple : la figure 30 n’est pas celle d’une mesure réalisée dans
les meilleurs temps, mais elle montre la qualité de la méthode de
lissage : une structure, en majeure partie métallique, de type aéronautique répond bien à un modèle linéaire. Sur la figure, les trois boucles
appartenant à trois modes successifs se distinguent bien [32].
Enfin, le pas relatif en fréquence ∆f /f est variable avec le taux
d’amortissement structural α (ou amortissement réduit, § 2.1.2.2.
Les valeurs suivantes conviennent en pratique :
• α ≈ 0,1 % pour une structure peu amortie ;
• α ≈ 1,0 % pour une structure moyennement amortie ;
• α ≈ 10 % pour une structure fortement amortie.
■ Comparaison des résultats
Il est indispensable, pour toute épreuve métrologique, de disposer
d’une référence définissable, reproductible et fidèle. Les techniques
vibratoires n’échappent pas à cette règle, fort difficile à appliquer
même si l’on se contente d’une incertitude relative de l’ordre de
R 3 140 − 30
Figure 30 – Représentation modale et fonction de transfert
d’un avion au sol (d’après [32])
quelques 10–2. Aussi des comparaisons et des références sont-elles
assurées par des laboratoires publics ou privés dont certains sont
agréés en France par le BNM (Bureau national de métrologie). Sans
remonter aux sources métrologiques en usage dans le domaine des
vibrations, nous nous contenterons d’indiquer ci-après des
expériences d’intercomparaisons menées sur un plan industriel.
Ces exemples sont donnés pour souligner que la diversité des
principes de mesure et de méthodes de traitement et d’analyse
modale, librement choisis par les participants, conduit parfois à des
écarts cumulés assez importants dans les résultats, alors que les
moyens considérés isolément peuvent être bien adaptés. Il y a aussi
une part importante de savoir-faire et d’interprétation qui intervient
dans l’élaboration des résultats et dans les différences constatées.
La figure 31 est un schéma synoptique des résultats obtenus par
des voies différentes.
Exemples
■ Des résultats de mesure coopératifs obtenus sur une maquette de
référence sont partiellement reproduits sur le tableau 10.
La maquette est une plaque rectangulaire, en matériau sandwich
(tôles métalliques et feuilles amortissantes), suspendue en fréquence
basse (1,3 Hz). Les mesures contradictoires ont été effectuées
en 1977 par deux industriels et les calculs aux éléments finis (EF) par
un laboratoire, permettant ainsi un certain nombre de recoupements
sur les fréquences propres, les masses généralisées µ et les taux
d’amortissement α .
Des comparaisons reprises aujourd’hui avec les moyens perfectionnés actuels ne fourniraient pas nécessairement des résultats plus
groupés. Certains facteurs extérieurs qui ne dépendent pas exclusivement du matériel métrologique contribuent aux dispersions (notamment la température de la maquette qui demanderait à être stabilisée).
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■ Une opération d’intercomparaison a été lancée par la DRET (Direction
des Recherches et Études Techniques, DGA) en 1978. L’initiative en
revient à D.J. Ewins de l’Imperial College de Londres qui a préparé
l’opération sous l’égide de l’AMTE (Admiralty Marine Technology Establishment) et a proposé à la France de s’y associer, l’ensemble
réunissant une trentaine de participants.
Des structures mécaniques ont été mises en circulation dans différents laboratoires qui ont procédé à des mesures de mobilité selon une
règle imposée et ont remis leurs résultats sous forme normalisée à
l’organisme technique centralisateur. Un extrait de résultats publiés [33]
[34] est donné sur la figure 32. Il s’agit d’une structure en flèche réalisée
en assemblage boulonné (masse 6,8 kg).
Pour les résultats remis par l’ensemble des participants, les écarts
relatifs maximaux atteignent approximativement les valeurs suivantes :
• 10 % sur les fréquences ∆f /f ;
• 10 dB sur les mobilités ∆Y /Y ;
• 20 dB sur les amortissements ∆ α /α.
Comme pour l’exemple précédent, les causes de dispersion d’un
essai à l’autre sont nombreuses (suspension de la maquette ; attaque
en régime transitoire, aléatoire, harmonique ; moyens d’excitation et
de mesure qui modifient les fréquences propres, les mobilités et les
amortissements) ; ces causes d’erreurs, ajoutées, peuvent justifier
l’importance des dispersions constatées et doivent conduire l’expérimentateur à multiplier les précautions et à comparer si possible
plusieurs montages et protocoles expérimentaux.
2.2.3.4 Sous-structuration et synthèse dynamique
La représentation du comportement dynamique de structures
quelconques en termes de fonctions de transfert (calculées, mesurées, identifiées au sens de l’analyse modale, etc.) ouvre la possibilité
de prédire le comportement dynamique (= calculer la fonction de
transfert globale) d’un assemblage de diverses structures décrites
chacune par leur fonction de transfert propre (= mesurée ou calculée
sur les sous-structures isolées).
Pour être plus précis, il est nécessaire de disposer des matrices
de transfert constituées par les différentes fonctions de transfert
ponctuelles et croisées aux points d’entrée et de sortie de la structure,
donc à tous les points où l’on souhaite connecter un autre élément.
(0)
Figure 31 – Résultats obtenus numériquement N , physiquement P
ou théoriquement T . Écarts et erreurs sur les résultats
Tableau 10 – Caractéristiques vibratoires d’une maquette déduites de diverses opérations
Mode
Fréquence propre
(Hz)
Masse généralisée (kg · m2)
Raideur généralisée (kg · m2 · s–2)
Taux d’amortissement Excitations
— créneau (3,6 ms)
— bruit blanc
— harmonique
36,5
36,5
35,6
–
–
8,8
–
–
445 × 103
12,6 × 10–3
13,4 × 10–3
9,6 × 10–3
Calcul par éléments finis
1 122 degrés de liberté
37,1
8,5
470 × 103
–
Excitations
— créneau (3,6 ms)
— bruit blanc
— harmonique
39,1
39,2
38,7
–
–
31,4
–
–
1 880 × 103
15,4 × 10–3
10,2 × 10–3
6,7 × 10–3
38,8
32
1 820 × 103
–
Opération
Calcul par éléments finis
1 122 degrés de liberté,
188 nœuds,
80 triangles à 6 nœuds
E : point d’excitation
– : le résultat ne peut être obtenu.
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Figure 32 – Exemple de dispersion du module
de la mobilité sur une structure métallique
Il existe au minimum trois approches mathématiques pour déterminer le comportement dynamique de la structure assemblée :
— la synthèse modale à partir des bases modales des sousstructures dont les points de jonction ultérieurs sont bloqués (Craig
et Bampton) ; cette méthode est rarement appliquable dans le cas
d’expérimentations, vu la difficulté pratique que l’on rencontre pour
réaliser des montages encastrés sur une plage de fréquence suffisamment étendue ;
— la synthèse modale à partir des bases modales des sousstructures complètement libres dans l’espace (Mac Neal) ; cette
méthode est, à l’inverse, commode pour l’expérimentateur, car des
suspensions très souples (sandows ou chambres à air, etc.) offrent
facilement ces conditions libres dès que la fréquence dépasse
quelques hertz ;
— la synthèse impédancielle, qui revient à coupler directement
les impédances ou admittances des structures, mais qui, nécessitant
diverses inversions de matrices d’assez grande taille, apparaît plus
difficile numériquement et demande de sérieuses précautions, en
termes d’analyse numérique, lorsque les données sont d’origine
expérimentale.
Ces méthodes sont diffusées sous forme de logiciels, le plus
souvent en complément optionnel de logiciels d’analyse modale.
Les principales applications de ces méthodes de sousstructuration et de synthèse dynamique dans le domaine industriel
sont typiquement les suivantes :
— la simulation de modifications de la structure analysée, en
couplant à la structure de départ des éléments simples (masses,
poutres permettant de rigidifier la structure, etc.) ; c’est une manière
souvent élégante et rapide d’évaluer le glissement de fréquence
propre qu’on va pouvoir obtenir sur une structure par des modifications simples ; elle suppose seulement que l’on mesure les fonctions de transfert (puisqu’on étend la base modale) aux points où
l’on songe appliquer ces modifications ;
— la conduite des projets importants où l’on va assembler des
éléments originaires de fournisseurs différents ou de technologie
différente, pour constituer l’ensemble final. La sous-structuration
permet alors :
• d’identifier la contribution dynamique propre de chaque
élément dans le comportement final,
• de ne reprendre qu’une fraction des notes de calcul ou des
essais si un seul élément vient à être modifié,
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Figure 33 – Application de la méthode de sous-structuration
et synthèse dynamique à un projet de plate-forme pétrolière offshore
• de coupler des données expérimentales acquises sur des sousensembles existants (par exemple, des machines déjà construites
ou des éléments similaires à des réalisations antérieures) avec le
résultat de calculs (le plus souvent en éléments finis) sur d’autres
éléments encore en projet.
Ces méthodes sont ainsi appliquées depuis des années avec
succès pour l’optimisation de prototypes de véhicules automobiles,
ou pour concevoir ou modifier des plates-formes de forage offshore
(figure 33) [35].
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3. Maîtrise des vibrations
et des bruits induits.
Exemples de cas industriels
3.1 Actions correctives
À ce stade, les mesures et leur interprétation ont permis d’identifier
les mécanismes vibratoires à l’origine de la gêne. Suivant le cas, cette
constatation est faite lors des premiers essais d’un prototype ou sur
une installation déjà ancienne présentant des problèmes de
vieillissement.
Ces vibrations sont inacceptables à court ou à long terme, quelle
qu’en soit la raison (risques d’endommagements irréversibles, nonconformité des produits) : l’ingénieur doit donc imaginer des
remèdes durables, sans pour autant remettre en cause le produit
ou l’installation. Ce paragraphe illustre les solutions ou, à défaut,
les palliatifs les plus efficacement employés dans divers domaines
de l’industrie.
Cela implique successivement deux démarches :
1. remonter aux causes situées le plus en amont ; une analyse
plus ou moins complexe fera découvrir les sources (par exemple,
le balourd d’une machine tournante) ;
2. agir surtout sur les causes premières ainsi détectées (dans cet
exemple, procéder à l’équilibrage dynamique de la machine).
Exemple : les vibrations et bruits dus au roulage et perçus à l’intérieur d’un véhicule routier sont fonction de la transmissibilité de la
suspension et de la qualité de l’interface pneumatiques/route. Aussi les
constructeurs et équipementiers étudient le spectre de fréquence lié à
la vitesse de roulage, à la sculpture des pneumatiques et à la rugosité
de la route.
La démarche 1 ayant abouti à localiser la source à l’interface, la
démarche 2 revient à étudier le mouvement relatif pneumatiques/route,
compte tenu de la réaction du véhicule et en fonction des principaux
paramètres (vitesse, trajectoire, pression de gonflage, rôle de la
sculpture des pneumatiques) influant sur la génération des vibrations et
bruits, sur l’adhérence et la tenue de route.
Une solution d’amélioration apportée à un état vibratoire donné
doit être particularisée au cas traité. Les exemples ci-après nous
invitent à distinguer sept actions distinctes, sans que ce chiffre
constitue une limite ! D’autres exemples nous amèneraient peutêtre à compléter la liste suivante, qui a déjà une grande généralité :
— réduire une puissance ;
— déplacer une fréquence d’excitation ;
— écarter un risque d’instabilité ;
— amortir les résonances et les chocs ;
— isoler les structures ;
— agir par contrôle actif ;
— surveiller et analyser au moyen des vibrations.
a) Réduire une puissance
Des détériorations de dentures ont été constatées sur plusieurs
réducteurs de pompes de centrales nucléaires. Une campagne
d’essais a été menée lors de démarrages et d’arrêts. Les couples,
poussées et chocs ont été mesurés pour diverses conditions de
démarrage. Le remède a été de réduire la puissance transmise, trop
élevée (figure 34), en allongeant le temps de démarrage du moteur
par interposition d’une auto-inductance, le nouveau régime transitoire étant acceptable.
b) Déplacer une fréquence d’excitation
Un véhicule, confortable en régime normal sur route, peut se
révéler bruyant et trépidant lorsque le moteur tourne au ralenti
(900 tr/min) dans les embouteillages. Pourtant la puissance a
considérablement baissé, mais le système mécanique n’est plus le
même :
— seule tourne la partie en amont de l’embrayage avec une inertie
et un balourd différents ;
Figure 34 – Accélération au démarrage d’un réducteur de pompes
(EDF Saint-Laurent) après étalement de la puissance sur t = 0,3 s
— la raie vibratoire fondamentale est à plus basse fréquence,
typiquement 15 Hz si le moteur tourne à 900 tr/min, au lieu de 70 Hz
pour 4 200 tr/min, excitant alors les premiers modes de la caisse,
plus perceptibles physiologiquement.
c ) Écarter un risque d’instabilité
Le suivi d’instabilités par calculs sur modèles mathématiques
procure l’avantage d’être plus économique et plus rapide à mettre
en œuvre que de nouvelles constructions. Ce processus est appliqué
avec succès aux études préventives d’instabilités.
● C’est le cas des avions, où existe le risque du flottement en vol
par couplage de deux modes avec les forces aérodynamiques, et
apparition d’un amortissement α négatif. La figure 35 est établie :
— à partir d’une analyse modale expérimentale de l’avion au
sol, sans vent (V = 0), et suspendu en basse fréquence (1 à 2 Hz)
pour assurer un bon découplage avec les premières fréquences
propres de l’avion (à cet essai de l’avion au sol peut être substitué
un calcul par éléments finis si l’on dispose des moyens informatiques nécessaires) ;
— à partir d’un calcul de la vitesse critique Vc résultant de coefficients théoriques des forces aérodynamiques instationnaires
(Kussner) aux fréquences de l’avion ; la méthode des tranches
indépendantes bidimensionnelles en fluide incompressible est
appliquée à Vvariable .
Écarter un risque d’instabilité, c’est-à-dire repousser la vitesse
critique, conduit, par exemple pour une gouverne, à la suréquilibrer en alourdissant son bord d’attaque.
● Un son, détecté vers 140 à 150 Hz, est émis par un détachement
tourbillonnaire régulier au point P (figure 36). Il s’agit d’un mécanisme aéro-acoustique qui est à l’origine des bruits éoliens des
câbles de lignes électriques. Des études expérimentales d’EDF en
soufflerie anéchoïque complètent une modélisation numérique du
rayonnement sonore.
Le remède supprimant 5 dB du bruit (déplaçant P en C) consiste
à enrouler en hélice sur le câble (∅ ≈ 16 mm) un cordon (∅ 5 mm)
au pas de 100 mm.
d ) Amortir les résonances et les chocs
La littérature est riche dans ce domaine. La notion d’amortissement, difficilement modélisable, est encore souvent issue d’une
démarche semi-empirique. Amortir des chocs et des vibrations, par
voie passive, en particulier les résonances, transforme la puissance
mécanique, qui est dissipée intégralement en chaleur. L’élévation de
température qui en résulte risque d’influer sur le point de fonctionnement et la réponse de l’amortisseur, dans la majorité des cas
rencontrés.
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et de fréquence. Il existe sur le marché des feuilles « sandwiches » à
base de tôles métalliques, utilisables pour la construction de capots
de machines, de trémies soumises à des chocs, etc. (figure 37b ).
● Amortissement électrodynamique : le principe est de dériver
une partie de l’énergie vibratoire sous forme électrique. On distingue les amortissements de type passif et de type actif, qui l’un et
l’autre conduisent à des solutions plus coûteuses que les deux
précédentes :
— l’amortissement passif met en jeu les courants de Foucault
développés par un conducteur en mouvement dans un champ
magnétique permanent (figure 37c ) ;
— l’amortissement actif comprend l’amortisseur passif et un
amplificateur de puissance ; le résultat est un amortissement
visqueux pur, indépendant de la fréquence ;
— l’amortissement piézoélectrique agit de façon similaire. On
couvre tout ou partie de la structure par un revêtement piézoélectrique connecté à un circuit dissipatif. On réalise alors un
dispositif amortisseur actif ou passif, efficace même à très basse
fréquence [37].
Figure 35 – Essai de vibration au sol et prévention du flottement
en vol (origine : ONERA)
e) Isoler les structures
L’article Isolation antivibratoire et antichocs [B 5 140] du traité
Génie mécanique développe précisément ce point.
Rappelons que le découplage correspond à l’insertion d’un
élément souple qui empêche les vibrations de se propager plus loin
et les confine côté source (rupture d’impédance). Ce concept a un
sens très large et certains exemples précédents, tels que b ) ou c ),
pourraient être classés ici.
Nous nous limiterons à l’exemple du découplage classique obtenu
par insertion d’une raideur faible. Le résultat optimal est obtenu en
se plaçant au point d’inflexion I de la caractéristique force F -allongement a de la figure 38 dans le cas de matériaux non linéaires
comme le caoutchouc. Des ressorts métalliques, utilisés dans le
domaine linéaire, peuvent conduire à des fréquences de suspension
de 1 ou 2 Hz, ou même plus basses avec une suspension pneumatique.
f ) Agir par contrôles actifs
De telles solutions ont été développées dans des domaines
variés, même si les applications industrielles sont encore rares
(principalement faute de technologies suffisamment rustiques pour
les capteurs et actionneurs).
Figure 36 – Exemple de découplage acoustique par désorganisation
d’un détachement tourbillonnaire aéro-acoustique
(pic P supprimé en C)
Nous limiterons cette présentation à des réalisations fondées sur
trois principes différents (figure 37 ) : les amortissements par
frottement sec, viscoélastique, électrodynamique.
Les termes d’amortissement α ou C sont accompagnés de termes
de raideur non linéaires ∆ F /∆ x ou K , tous plus ou moins fonction
de la fréquence et/ou de la température.
● Frottement sec : il est à réserver aux cas de vibrations d’amplitude importante ; bien maîtrisé, il est mis en œuvre pour limiter le
débattement des cuves de lave-linge, et utilisé dans les amortisseurs à câble métallique pour assurer la protection d’équipements
embarqués (exemple : figure 37a ). En deçà du seuil de glissement,
il est inopérant ; les vibrations sont alors entièrement transmises.
● Amortissement viscoélastique : pour amortir des structures à
forte rigidité, les meilleurs résultats sont obtenus par des revêtements viscoélastiques contraints travaillant en cisaillement. Leur
mise en œuvre doit être précédée par une sélection rigoureuse des
matériaux et une modélisation des cas précis d’application : il n’y a
pas de matériau amortissant « universel » et les élastomères ne
sont très amortissants que dans des plages étroites de température
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Exemples
— Stabilisation de navires en roulis au moyen de systèmes actifs
antiroulis. Un couple antagoniste est créé par le déplacement de
masses commandé à partir de la détection de l’angle de roulis θ et de
ses dérivées θ˙ et θ̇˙ .
— Roulement d’avions sur terrains inégaux par détection
« avancée », de 0,5 m par exemple, à l’aide d’un rayon laser émis à bord
et réfléchi sur l’obstacle ; puis action de contrôle agissant à l’instant
convenable sur le vérin du train d’atterrissage. Le même résultat peut
être atteint par détection et action concomitantes sur le servovalve du
vérin, à condition que le temps de réponse des commandes soit beaucoup plus court que dans la solution précédente agissant par signal
précurseur en boucle ouverte.
— Paliers et amortisseurs magnétiques. Ces dispositifs, sans lubrifiant ni frottement, sont applicables dans de très larges plages de
température et de pression (article Paliers magnétiques [B 5 345] dans
le traité Génie mécanique). EDF a vérifié sur un palier magnétique d’une
capacité de portage de 40 000 N (réalisation S2M) une bonne
concordance de la raideur mesurée et calculée pour différents gains de
la boucle d’asservissement des électroaimants. Ce palier actif, fonctionnellement porteur, peut aussi être utilisé en amortisseur magnétique s’il
est inséré sur une ligne d’arbre déjà supportée. Les vitesses critiques
peuvent alors être franchies sans inconvénient. Un banc d’essai existe
à EDF pour en démontrer la faisabilité jusqu’à une force centrifuge de
balourd de 105 N. De tels paliers sont également envisagés pour rendre
indétectable le balourd de la machinerie de sous-marins.
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Figure 38 – Suspension souple (1 à 2 Hz) par câble élastique
g) Surveiller et analyser au moyen des vibrations
Les vibrations des structures sont, dans de nombreux cas, significatives de l’état de celles-ci ; les réponses vibratoires, convenablement analysées, sont riches d’enseignement. Le suivi structural
peut s’exercer en considérant deux natures distinctes de signaux :
— les signaux vibratoires internes émis lors du fonctionnement
structural normal et appelés signaux vibratoires naturels ou plus
simplement vibrations naturelles ;
— les signaux des réponses vibratoires dues seulement à des
vibrations forcées extérieures, appelées vibrations artificielles .
Dans le cas le plus banal (vibrations naturelles d’une machine
tournante courante), un accéléromètre associé à un équipement de
collecte et de surveillance suffit dans la plupart des cas rencontrés,
dont un exemple est donné ci-après.
Au contraire, dans le cas des vibrations artificielles, l’entrée est
imposée, connue et définissable. Le traitement, plus complexe, est
celui de l’acquisition des fonctions de transfert structurales et
demande des moyens plus importants dépassant le stade de la
surveillance pour atteindre celui de l’analyse. Deux exemples sont
donnés ci-après.
● Équipement de surveillance de vibrations naturelles : la détection d’anomalies de fonctionnement d’un parc de machines ou
d’une machine isolée peut être assurée par des installations fixes ou
des appareils portables qui réalisent commodément, dans les cas
courants, l’ensemble des fonctions requises : collecte, analyse et
traitement de données issues de capteurs vibratoires, gérées par
des logiciels appropriés [Movilog et Moviscope de Framatome
Diagnostic].
De tels moyens permettent des auscultations variées (transformées de Fourier rapides, statistiques de tendance, moyennes
quadratiques, facteurs de crête, etc.) opérées sur des signaux de
capteurs fixes ou sur ceux du capteur mobile du rondier.
● Vibrations forcées : contrôle de l’état de fatigue d’une
structure : la figure 39a schématise le cas d’une structure en essai
sous sollicitation mécanique (ici éprouvette en fatigue, équipée d’un
accéléromètre).
Pour établir l’évolution mécanique de l’échantillon, il importe de
mesurer à intervalles réguliers une grandeur qui puisse caractériser l’état de fatigue traduisant globalement, par exemple, des fissures ou des dislocations imperceptibles. Cette grandeur est ici la
fréquence propre f 0 significative de l’état mécanique structural.
Des tests, opérés sous vibrations forcées de courte durée, avec
ou sans interruption de la sollicitation de fatigue, peuvent être, s’ils
sont bien choisis, significatifs de « l’état de fatigue » structural
recherché. C’est l’objet de la figure 39b . La structure sollicitée en
fatigue par une force extérieure F est assimilée à un système
à 1 degré de liberté à constantes localisées (m, c, k ) répondant au
modèle :
Figure 37 – Amortissement : différents principes [36].
mẋ˙ + cẋ + kx = λ ẋ
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— de la durabilité opérationnelle effective de ces mêmes équipements, dans un souci de rendement accru ;
— de la satisfaction de la demande de plus en plus impérieuse
de confort vibratoire et acoustique, dans les sites de production,
les moyens de transport, l’habitat.
Figure 39 – Contrôle de l’évolution mécanique d’une structure
par voie vibratoire
On établit une contre-réaction de vitesse ẋ , dosée par un facteur
réel λ tel que F = λ ẋ et λ ≈ c . Cela rend l’amortissement quasi nul,
et la structure oscille alors sur son mode propre tel que :
2
( – m ω 0 + k )x
≈0
f0 = ω0 ⁄ 2 π
On observe l’abaissement de cette fréquence propre f 0 , dû à
l’état d’endommagement de la structure, qui en est un critère
quantitatif.
■ Analyse du comportement vibratoire d’un barrage : mise en vibrations forcées (action EDF) du barrage-voûte de Laparan par un
ensemble de forces vibratoires de 50 kN dans la bande de fréquences
de 2 à 50 Hz. Le but de cet essai est de suivre le comportement dynamique du barrage par sensibilité modale, qui peut traduire un défaut.
Un tel défaut peut être localisé à l’aide d’un modèle 3D de la voûte
et de la retenue, réalisé à cette fin.
Les vibrations artificielles (ou forcées) sont donc susceptibles de
faire ressortir de manière sensible et de traduire quantitativement
des modifications structurales. La principale difficulté est de pouvoir
discriminer des modifications ténues, mais suffisamment précoces
relativement à une ruine majeure de l’ouvrage, pour que cette
approche soit intéressante et sûre : de ce fait, son application industrielle reste limitée.
3.2 Diffusion des techniques d’analyse
Les principaux concepts de l’analyse vibratoire sont formulés
depuis plusieurs générations. Mais la maîtrise des aspects vibratoires ne connaît son développement actuel que grâce à la diffusion
concomitante :
— de logiciels d’analyse par éléments finis enfin bon marché et
ne demandant plus une spécialisation particulière pour leur mise
en œuvre ;
— d’analyseurs de signaux dynamiques par transformée de
Fourier rapide (FFT – Fast Fourier Transform), également de plus en
plus économiques et simples d’emploi.
L’avènement d’une révolution technologique similaire dans le
domaine des capteurs (qui, jusqu’à présent, n’avaient que peu
évolué), grâce aux technologies du silicium en couche mince déjà
évoquées (figure 17), va probablement contribuer à accélérer encore
ce mouvement de diffusion.
Les enjeux sont considérables, puisque cette maîtrise des aspects
vibratoires et acoustiques est à la fois la clef :
— de l’allègement des structures et des machines, visant à l’économie des matières premières et de l’énergie ;
R 3 140 − 36
Comme d’autres évolutions technologiques, la maîtrise des vibrations est d’abord passée par la demande des constructeurs
aéronautiques et d’engins spatiaux, et l’enjeu des systèmes d’armes
les plus évolués, tels les sous-marins des forces stratégiques. Ce sont
ces secteurs qui ont motivé et soutenu financièrement le développement de la plupart des outils et méthodes tels que ceux développés
au paragraphe 2 et continuent d’inciter à des développements
nouveaux et complémentaires. Le relais a été ensuite pris par des
industries fortement innovatrices et soucieuses de la performance
de leurs produits et de leurs coûts, comme l’industrie automobile
et ses réseaux d’équipementiers. Les exemples ci-après (§ 3.3, 3.4
et 3.5) visent à démontrer que le stade de diffusion à tout le tissu
industriel est maintenant atteint.
Cette perspective optimiste ne doit pas pour autant se traduire
par un excès de naïveté qui ferait réduire cet objectif de maîtrise
des vibrations des structures à l’acquisition de quelques logiciels et
d’un analyseur de fréquences. Quelques vérités fondamentales
doivent être rappelées :
— il faut apporter autant de soin à prévoir les excitations dynamiques engendrées au sein d’une structure qu’à contrôler les modes
propres de cette dernière ; or beaucoup de phénomènes dynamiques
inhérents au fonctionnement des machines restent peu élucidés et
appelleraient des travaux d’analyse de la part de mécaniciens au sens
strict du terme ;
— les conditions aux limites et les assemblages, dont une part
notable des amortissements est issue, ont un poids considérable
dans la qualité et la véracité des calculs dynamiques de structure,
et là encore la connaissance rationnelle est lacunaire ; qu’importent
alors la précision de calcul des algorithmes et la qualité graphique
des « déformées animées » !
— le coefficient d’amortissement que l’on définit pour une structure mode par mode dépend physiquement de phénomènes aussi
variés que les réarrangements microgranulaires à l’échelle microscopique, le rayonnement acoustique, les jeux mécaniques, la
viscoélasticité, le fluage, etc. ; on devra donc garder une certaine
prudence avant d’en supputer la valeur ou de conclure qu’un apport
de matériau viscoélastique est l’universelle panacée face à une
vibration ou à un bruit excessif !
La maîtrise des vibrations restera donc encore durablement un art
de l’ingénieur, avec tout le sens du diagnostic, l’intuition raisonnée
et l’expérience que cela comporte, au-delà des facilités numériques
qui n’en sont qu’un instrument. De là l’importance des publications
d’études de cas, des colloques et toutes autres formes de diffusion,
qui, dans le domaine expérimental, restent trop peu nombreux,
probablement du fait de la réticence des industriels concernés à autoriser de telles publications, malgré les précautions prises pour
respecter les exigences légitimes de confidentialité.
Les exemples que nous avons retenus ont avant tout pour objet
d’éclairer les diverses stratégies de contrôle des vibrations que notre
activité de consultant nous amène à mettre en œuvre, sans souci
d’entrer ici dans tous les détails techniques de ces applications.
3.3 Première étude de cas : suppression
des vibrations indésirables lors de la
mise au point d’une machine de série
Ce premier exemple illustre une démarche typique pour faire face
à l’apparition tardive de problèmes de nature vibratoire dans le
processus de développement d’un produit.
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Il s’agissait d’outillages pneumatiques de type ponceuse orbitale,
destinés à des usages professionnels, mais produits malgré tout en
assez grande série.
Alors que les prototypes avaient présenté un comportement vibratoire tout à fait normal pour ce type de matériel, il est apparu
rapidement, lors de la production de série, que plus de la moitié de
l’outillage s’avérait inutilisable en raison de vibrations excessives.
C’est alors que nous avons été appelés à intervenir, avec le degré
d’urgence que l’on imagine.
Le premier test a été de contrôler la qualité de l’équilibrage de
la partie tournante. Il est apparu qu’un gain significatif pouvait être
obtenu en remplaçant l’équilibrage statique antérieur par un
équilibrage dynamique en deux plans (figure 40) (ces méthodes
d’équilibrage des rotors sont précisées dans le traité Génie mécanique). Toutefois, les vibrations restaient élevées et nombre de
machines dépassaient encore la norme actuellement fixée à 3 g .
C’est pourquoi nous avons décidé de rechercher si des phénomènes de résonance mécanique n’étaient pas impliqués. Une
analyse modale sommaire, à partir d’excitations par chocs, a été
conduite dans la bande 0 à 500 Hz. Il est apparu que le plateau de
la ponceuse présentait un mode dit de basculement à 112 Hz, qui
semblait effectivement se coupler malencontreusement à un
harmonique de la fréquence de rotation (le mouvement cinématique
orbital induit en effet des raies harmoniques nombreuses et
intenses). Toutefois, cette seule observation, si elle expliquait le
caractère élevé des niveaux vibratoires, n’expliquait pas pourquoi
telle ponceuse était bonne et telle autre inutilisable.
Un examen plus attentif de ces essais modaux a révélé des
comportements largement non linéaires et peu répétitifs de ces
machines. À partir de cette observation, on a pu mettre en évidence
un jeu important entre l’axe de la turbine (l’élément moteur) et le
corps de la machine, qui ne se révèle que lorsque la mécanique est
chaude, après un certain temps de fonctionnement.
Une nouvelle analyse en fonctionnement a permis de confirmer
le rôle fondamental de ce jeu dans le phénomène vibratoire gênant.
Le délai d’apparition de ce dernier est probablement lié à la fois à
des dilatations différentielles des pièces en regard et à la réduction
de l’amortissement visqueux du film d’huile, lorsque la température
de la machine s’élève et se stabilise en fonctionnement. Le couplage
vibratoire entre le fouettement de l’arbre et le mode propre du
plateau apparaît alors, et les vibrations deviennent intenses.
Dès lors, la solution de ce problème devenait évidente : il a suffi
de modifier la procédure de montage de ces paliers et le couple de
serrage pour réduire la valeur du jeu et les tolérances de fabrication
correspondantes. En quelques jours, ces modifications mineures du
processus de fabrication et de montage ont permis de reprendre
normalement la commercialisation de la totalité de la production.
Remarque : l’élargissement des tolérances constructives lors
du passage du stade prototype à la production de série n’est
qu’un des nombreux paramètres liés au choix des technologies
de construction des objets mécaniques. Le bureau des méthodes
vérifie en général avec le bureau d’études que ces choix ne jouent
ni sur la résistance mécanique des pièces, ni sur les performances fonctionnelles (rendement, étanchéité, etc.). Mais les
vibrations et le bruit des objets fabriqués peuvent dépendre
aussi, indirectement, de ces choix de technologie de production,
comme cet exemple le montre ; et ce caractère indirect rend en
général un tel risque imprévisible, en dépit des conséquences
financières considérables tant directement qu’en termes d’image
du produit nouveau : en effet, quelque soin qu’on apporte à analyser le bon fonctionnement des prototypes, on ne peut déceler
avant l’heure ces aléas de la montée de la production aux grandes
séries...
Du moins cette expérience peut-elle inciter à réagir plus rapidement dans des circonstances similaires.
Figure 40 – Étude des niveaux vibratoires de ponceuses
3.4 Deuxième étude de cas : remède
à la dégradation structurale causée
par les vibrations d’une installation
industrielle
Après quelques années d’exploitation, la plupart des six unités
d’aéroréfrigérants d’une importante unité industrielle (figure 41)
présentaient des états de fissuration jugés alarmants par l’exploitant
et nécessitaient, par ailleurs, des coûts d’entretien anormalement
élevés pour parvenir tant bien que mal à satisfaire aux exigences
de fiabilité et de disponibilité requises par les unités de transformation chimique qui en dépendaient. Nous avons donc été
appelés à procéder à une expertise approfondie.
Des mesures en fonctionnement ont d’abord permis de mettre en
évidence un groupe de raies fréquentielles fortement émergentes
entre 23 et 26 Hz, ainsi qu’entre 5 et 8 Hz (figure 42). L’analyse de
la cinématique du système moteur-réducteur-ventilateur met en relation ces vibrations avec les excitations provoquées par, d’une part,
le fondamental de rotation h1 du moteur et l’harmonique H12 du
ventilateur, de fréquence très voisine, d’autre part les harmoniques
H3 et H4 du ventilateur. S’agissant d’un ventilateur à 3 pales tournant
devant quatre obstacles fixes (les deux poutres en croix qui tiennent
son axe) (figure 40), l’émergence de ces raies H3, H4 et H12 n’avait
rien de surprenant. Mais cela n’expliquait pas leur niveau si élevé
pour du matériel de cette qualité mécanique et aérodynamique.
Nous avons alors procédé à une analyse vibratoire synchrone,
c’est-à-dire que les mesures en divers points sont référencées en
phase (par l’emploi d’un tachymètre) à la position angulaire des
mobiles correspondants. Il est ainsi possible de tracer les mouvements et les déformations de la structure spécifiquement provoqués
par ces raies harmoniques, et même de les animer sur l’écran de
l’analyseur.
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Figure 43 – Déformée modale des poutres à 23 Hz
Figure 41 – Schéma d’une unité d’aéroréfrigérants
Figure 42 – Spectre d’accélération en fonctionnement
Ce procédé a permis de mettre en évidence en particulier, dans
le plan horizontal, une flexion importante des poutres en croix,
associée à une rotation du nœud central tout à fait synchronisée à
la raie H12 du ventilateur à 23,5 Hz (figure 43), ainsi que diverses
déformations de la cheminée de l’aéroréfrigérant et de la dalle
supérieure.
Pour expliquer ce fort couplage, nous avons alors procédé à une
analyse modale à partir d’une excitation par chocs de la structure,
moteur et ventilateur arrêtés. Parmi les modes déjà nombreux qui
ont été révélés, trois d’entre eux présentaient des fréquences propres
et des déformées voisines de celles observées en fonctionnement :
— deux modes en festons de la cheminée associés à des flexions
de la dalle, respectivement à 5,6 et 7,9 Hz (figure 44) ;
— un mode de flexion des poutres dans le plan horizontal, associé
à la rotation d’axe vertical de la plate-forme moteur, à 23 Hz.
Le diagnostic était alors clair : le choix d’un rapport de réduction
voisin de 12, qui rapproche h1 moteur et H12 ventilateur, alors même
qu’H12 est la raie ventilateur prépondérante (3 pales × 4 éléments
fixes dans la veine aéraulique) est en soi déjà malencontreux ; cette
R 3 140 − 38
Figure 44 – Déformées modales mesurées de la dalle
et de la cheminée
proximité est rendue catastrophique par la quasi-coïncidence avec
des résonances structurales majeures des éléments qui leur sont
directement couplés.
L’état de fissuration du bâtiment et les coûts de maintenance des
parties mécaniques étaient tels qu’une solution rapide et définitive
devait être apportée. L’importance de l’enjeu (économique et
fonctionnel) de cette installation ne permettait de plus aucun
tâtonnement.
C’est pourquoi nous avons étayé par des calculs en éléments finis
la définition d’une solution pour en garantir l’efficacité. Un modèle
assez simple a permis de retrouver les formes propres observées
(figure 45, en relation avec les figures 44a et b ). Les écarts sur les
fréquences, dus aux approximations sur les conditions aux limites
et aux détails structuraux négligés, ne dépassent pas 10 % et ont
dispensé de procéder à un recalage du modèle.
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© Techniques de l’Ingénieur, traité Mesures et Contrôle
_____________________________________________________________________________________________ VIBRATIONS DES STRUCTURES INDUSTRIELLES
Nous avons ensuite simulé diverses modifications structurales et
retenu avec notre client un raidissement par huit bracons (figure 46).
Cette solution est la seule à garantir un glissement suffisamment
important des fréquences propres de la structure vis-à-vis des raies
excitatrices. Des modifications sur la partie mécanique de l’installation (modification du rapport de réduction) n’étaient, par contre,
pas envisageables, mais, en principe, elles auraient pu permettre de
réduire tout autant les vibrations de l’installation. Le résultat final
mesuré sur l’installation modifiée est présenté sur la figure 47 ; il
se passe de tout commentaire.
Figure 45 – Déformées modales calculées
(modèle de calcul en éléments finis)
3.5 Troisième étude de cas : amélioration
d’un découplage antivibratile
Ce troisième référer exemple est emprunté au domaine ferroviaire.
Nous avons été appelés par la RATP pour remédier à des ruptures
fréquentes affectant les supports des capteurs magnétiques de
signalisation implantés en porte-à-faux sur les bogies de matériels
roulants ; il est à noter que cette rupture intervenait malgré l’effet
filtrant attendu des découplages mécaniques (anneaux d’élastomère) interposés entre le corps du bogie et la poutre porte-capteurs
(figure 48).
Il convenait d’abord de caractériser l’ambiance vibratoire présente
sur le corps de bogie dans les conditions normales d’opération. Le
spectre de ces vibrations est apparu beaucoup plus timbré que l’on
ne l’aurait attendu, en raison probablement d’une réponse modale
du corps de bogie aux chocs de roulement (figure 49).
Parallèlement, on a procédé à l’analyse dynamique des poutres
porte-capteurs en conditions libres (puisqu’elles sont découplées
mécaniquement).
Compte tenu de ces deux données, il est apparu nécessaire de
modifier les éléments de découplage proprement dits, qui déterminent le transfert effectif entre les vibrations des bogies et les
poutres. On a préconisé une nouvelle suspension et vérifié par un
calcul de synthèse que la réponse vibratoire de la poudre serait, cette
fois, très en deçà de ses limites de résistance en fatigue.
Les essais finals l’ont confirmé. Il est intéressant de signaler que
l’on s’est servi du modèle par éléments finis pour déduire, des accélérations mesurées, les niveaux de contraintes mécaniques dans les
éléments trop difficiles à instrumenter en jauges de contraintes
(figure 50).
Figure 46 – Solution de renforcement retenue (par huit bracons)
Figure 48 – Emplacement du capteur sur le bogie
Figure 47 – Comparaison des niveaux vibratoires
en fonctionnement avant et après mise en place
des bracons (pour I se référer à la figure 42)
Figure 49 – Mesures d’accélération sur le bogie en roulage normal,
au droit du support de poutre, poutre enlevée
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R 3 140 − 39
VIBRATIONS DES STRUCTURES INDUSTRIELLES
_____________________________________________________________________________________________
Figure 50 – Redimensionnement des colliers porte-capteurs. Calcul des contraintes dynamiques
4. Conclusion
Les vibrations, les chocs et les bruits rencontrés sur les structures
industrielles ont des conséquences internes et externes dans des
domaines variés. Il est donc nécessaire de les prendre en considération :
— en théorie, à partir du projet de structure ;
— en pratique, durant tout l’intervalle d’exploitation de la structure, depuis la mise en œuvre jusqu’à la mise en réforme.
En simplifiant, trois actions principales marquent les étapes à
franchir :
— concevoir la structure ; au niveau du projet, déterminer par
calcul les zones sensibles et l’importance des vibrations significatives ; c’est l’étape prédictive ;
R 3 140 − 40
— essayer la structure en vibration ; comparer les résultats
d’essais à ceux du calcul ; interpréter les écarts en reprenant, si
besoin est, les hypothèses de travail pour assurer l’accord
essai/calcul ; apporter les modifications qui s’imposent : c’est l’étape
corrective et de mise au point ;
— contrôler par les vibrations produites ou provoquées la réponse
de la structure tout au long de sa vie, la signature de sa réponse ;
c’est l’étape de la surveillance vibratoire.
Au-delà, faisant profit de l’expérience de ces trois étapes, il est
possible d’imaginer une nouvelle disposition structurale plus
performante que la précédente, c’est l’étape prospective qui valorise
les résultats de calculs et d’essais obtenus et permet un progrès
technologique continu.
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Vibrations des structures
industrielles
E
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par
Jean-François BOISSEAU
Docteur-Ingénieur
Ancien Chef de Groupe de Recherches à l’Office National d’Études
et de Recherches Aérospatiales (ONERA)
Expert près la Cour d’Appel de Paris
et
Bernard GARNIER
Ingénieur civil de l’École Nationale des Ponts et Chaussées
Directeur Commercial à la société METRAVIB RDS
Références bibliographiques
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Hermès 2 vol. : vol. 1, p. 568, nov. 1988.
STRUCOME 88 Congrès international, Paris,
Hermès 2 vol. : vol. 1, p. 291, nov. 1988.
STRUCOME 88 Congrès international, Paris,
Hermès 2 vol. : vol. 2, p. 841, nov. 1988.
STRUCOME 88 Congrès international, Paris,
Hermès 2 vol. : vol. 2, p. 833, nov. 1988.
Mécanique, Matériaux, Électricité, Journal du
GAMI, ISMCM Saint-Ouen : no 415, p. 65.
Mécanique, Matériaux, Électricité, Journal du
GAMI, ISMCM Saint-Ouen : no 424, p. 7.
Mécanique, Matériaux, Électricité, Journal du
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est strictement interdite. − © Techniques de l’Ingénieur, traité Mesures et Contrôle
Doc. R 3 140 − 1
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VIBRATIONS DES STRUCTURES INDUSTRIELLES
_____________________________________________________________________________________________
Normalisation
Normes françaises
Association française de normalisation AFNOR
— méthodes d’essais applicables aux composants électroniques ;
— méthodes d’essais applicables aux composants et matériels électriques.
Recueil :
E
N
S
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V
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I
R
Chocs et vibrations mécaniques. Recueil de normes françaises, tomes 1
et 2, troisième édition 1987.
Ce recueil regroupe l’ensemble de 46 normes nationales portant sur les
sujets suivants :
tome 1 : Vocabulaire, instrumentation et mesure, exposition des individus :
— vocabulaire (index alphabétique, français-anglais) ;
— isolation mécanique ;
— équilibrage ;
— instrumentation de mesurage ;
— mesure des vibrations ;
— évaluation de l’exposition des individus aux vibrations ;
tome 2 : Moyens d’essais, méthodes d’essais applicables aux matériels et
composants électriques :
— machines pour essais ;
— guides pour essais ;
— méthodes d’essais applicables aux matériels électriques ;
De plus, de nombreux travaux sont actuellement en cours sur :
— l’instrumentation de mesurage (dans les bâtiments et pour l’étalonnage
des accéléromètres) ;
— l’extension des codes d’essais particuliers de machines portatives
vibrantes ;
— l’évaluation de l’exposition des individus aux vibrations ;
— la standardisation de la caractérisation des plots élastiques destinés à
filtrer les vibrations ;
— la mesure de la puissance vibratoire qu’une petite machine peut transmettre à son environnement, par la méthode de la « plaque réverbérante ».
Norme du ministère de la Défense
Norme interarmées GAM.EG 13. Personnalisation des essais en environnement. Symposium (7-8 juin 1989). ASTE, Paris.
Normes internationales
Organisation internationale de normalisation ISO
ISO 7526/1
1986
Vibrations et chocs. Détermination expérimentale de la
mobilité mécanique.
Partie 1 : Définitions fondamentales et transducteurs.
Fabricants et distributeurs de matériels et de logiciels
■ Générateurs de vibrations, bancs de test, pilotage
Capteurs, excitateurs, équipement d’analyse
(0)
■ Capteurs
Électrodynamiques Hydrauliques
(0)
P
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Déplacement Vitesse Accélération
BETA (Bureau d’Étude
et de Technologie Appliquée)
Brüel et Kjaer France SA......
Mécaptélec
(matériel Columbia) .............
CSI (Capteurs Systèmes
Instrumentations) ................
Druck Sarl .............................
Endevco France ....................
Entran Sarl ............................
FGP Instrumentation ...........
Fogale-Nanotech Sarl ..........
Framatome Diagnostic ........
International Service............
JPB.........................................
Kaman Instrumentation
(distribué par Le Groupe
Scientifique)..........................
Lennartz Electronic GmbH
(distribué par Vibrations
Mesures) ...............................
MCB (Éts) ..............................
Métravib RDS .......................
Optilas Sarl ...........................
PCB (distribué par PEP Techdis SA)...........................
Phytrans ................................
PM Instrumentation
(Schaevitz) ............................
Prodéra (Sté).........................
Schenck SA. Division HBM
Mesures.................................
Sensorex SA .........................
Sextant Avionique ...............
Vectavib SA ..........................
Vibro Meter (Sté) .................
Doc. R 3 140 − 2
.....................
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Force
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Brüel et Kjaer France SA......................................
x
G & Watson (distributeur : Systèmes Indust.)...
x
Latécoère (Sté Industrielle d’Aviation) ..............
....................
Ling (distributeur : Systèmes Industries)...........
x
Métravib RDS .......................................................
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x
Prodéra (Sté).........................................................
x
Sereme ..................................................................
....................
x
Servotest...............................................................
....................
x
Intespace Ingénierie Tests en Environnement
Spatial ...................................................................
x
x
Sopemea (Sté pour le Perfectionnement des
Matériels et Équipements Aérospatiaux) ..........
x
x
■ Analyseurs de signaux, acquisition, traitement
x
...........
x
TESTS À FAÇON SUR GROS MOYENS D’ESSAIS
x
.....................
x
.....................
x
Bertin et Cie (Sté).................................................
x
Acutronic France SA.
Brüel et Kjaer France SA.
CCRC (Conseil Commercialisation Regroupement Compétences).
Corriaz Mesures Sarl.
Elexo (Sté).
Endevco France.
Euro Physical Acoustics (Sté).
Genrad (Sté).
Gould Électronique SA.
Hewlett-Packard France.
Lecroy (Research Systems) Sarl.
LMS Sté (Leuven Measurements and Systems France).
Masscomp distributeur : Concurrent Computer France.
MEIRI (Mesure Électronique Informatique Régulation Industrielle).
Nicolet Instrument Sarl.
Philips Industriel et Commercial (Sté) Division Science et Industrie.
Racal-Dana (Département Marine).
Schlumberger Technologies.
Scientific Atlanta.
SM2I (Sté de Mesure Industrielle Informatisée).
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_____________________________________________________________________________________________ VIBRATIONS DES STRUCTURES INDUSTRIELLES
TAD (Traitements Analogiques et Digitaux).
Techniphone SA.
Tekelec Airtronic SA.
Vishay Micromesures.
Location de moyens
Leasamétric (Sté).
Locadif SA.
Locamesure.
TAD (Traitements Analogiques et Digitaux).
Technomesure.
■ Logiciels d’analyse modale
Acutronic France SA.
Brüel et Kjaer France SA.
Hewlett-Packard France.
LMS Sté (Leuven Measurements and Systems France).
Métravib SA.
Scientific Atlanta.
Laboratoire de Mécanique Appliquée LMA. Université de Besançon.
■ Surveillance vibratoire des machines
Bentley-Nevada
Campagna et Varenne S.A.
Framatome Diagnostic.
Métravib RDS.
MVI Technicatome
Vibro Meter (Sté).
■ Supports antivibratiles
● Fabricants
Activ Sarl (Agence de Contrôle et de Traitement industriel des Vibrations).
Bayoux (Éts).
Céfina Industrie.
CF2I.
Domange Jarret.
Effbe France.
Gamma (Sté).
Gerb SA.
Hutchinson SA.
Ikas France (Sté).
James Walker France.
Kléber Industrie.
Linatex France SA (Anti Abrasion).
Lisega. SA.
Métraflex.
Mupro France.
Pincet et J. Baratte.
Roseaux du Languedoc et de Provence (Sté des).
Serac (Sté).
SIRA (Sté Industrielle de Réalisations Acoustiques).
Someca.
Syntexill Industrie SA.
Teknomatic.
Vibrachoc SA.
Wattelez Gabriel Usines SA.
● Distributeurs
■ Plaques antivibratiles
● Fabricants
Bayoux (Éts).
Céfina Industrie.
Comprifalt France.
Couvraneuf SA.
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● Distributeurs
Angst et Pfister SA.
Clamagirand (Éts).
Décibel France Sarl.
Freudenberg SA.
Stenflex (Sté).
Vulcain (SA Le).
■ Amortisseurs de vibrations et de chocs
Équipements et dispositifs antivibratoires
Angst et Pfister SA.
Décibel France Sarl.
Freudenberg SA.
Stenflex (Sté).
Effbe France.
Enac (Sté).
Fadier Automation.
Illbruck France SA.
James Walker France.
Kléber Industrie.
Liégisol. Liégibois.
Linatex France SA. (Anti Abrasion).
Marmonier (Sté).
Métraflex.
Mupro France.
Optac (Sté).
Roseaux du Languedoc et de Provence (Sté des).
Serac (Sté).
Someca.
Syntexill Industrie SA.
3m France.
Vibrachoc SA.
Wattelez Gabriel Usines SA.
● Fabricants
Acaplast (Sté).
Acla France Polyuréthane.
Apex.
Bayoux (Éts).
BDF Tesa (Sté Beiersdorff France).
Céfina Industrie.
Domange Jarret.
Dynatest Sarl.
Effbe France.
Gamma (Sté).
Gerb SA.
Ikas France (Sté).
IPSO (Isolation et Protection du Sud-Ouest).
Kléber Industrie.
Lénisol (Sté).
Lifta Sud (Sté).
Linatex France SA. (Anti Abrasion).
Marmonier (Sté).
Martin Merkel France (Sté).
Métraflex.
Mupro France.
NSI (Nouveaux Sols Industriels).
Sandow Technic.
SIRA (Sté Industrielle de Réalisations Acoustiques).
SNPE (Sté Nationale des Poudres et Explosifs).
Socitec SA.
Socitec international.
Sonairtec (Sté).
Teknomatic.
Teroson SA.
Vibrachoc SA.
Wattelez Gabriel Usines SA.
● Distributeurs
Angst et Pfister SA.
CEF (Comptoir Européen des Fabriques).
Clamagirand (Éts).
Doga (Sté).
France Air.
Freudenberg SA.
Stenflex (Sté).
Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie
est strictement interdite. − © Techniques de l’Ingénieur, traité Mesures et Contrôle
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Doc. R 3 140 − 3
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