5.9. Diseño deEngranes Rectos
Objetivo: En este capítulo se aprenderá a:
1.-Diseñar trenes de engranes simples
2.-Diseñar trenes de engranes compuestos
3.-Diseñar trenes de engranes Invertidos
4.-Calcular: número de dientes, paso
diametral, distancia entre centros,
diámetro del círculo de paso, razón de
contacto, interferencia y mínimo número
de dientes para evitar interferencia.
5.-Cálculo de velocidad de salida de trenes
compuestos y planetarios.
Todo lo anterior desde el punto de vista
cinemático, es decir no tomando en cuenta
requerimientos de esfuerzo.
Hasta el momento hemos aprendido métodos
de diseño de trenes, con los cuales pudimos
calcular:
1.- paso diametral
2.- número de dientes
3.- distancia entre centros de engranes
En esta sección aprenderemos:
1.- ángulo de presión
2.- razón de contacto de dientes
3.- interferencia entre dientes y su relación
con el número mínimo de dientes
5.9.1. Terminología
Círculo de paso. El círculo sobre un
engrane que corresponde a la
superficie de contacto de una rueda de
fricción.
Círculo de adendum. El círculo que
circunscribe el engrane.
Adendum. La distancia radial del
círculo de paso al círculo de adendum.
Círculo de dedendum o raíz. El círculo
dibujado a través de la parte inferior
de los dientes de engrane.
Dedendum. La distancia radial del
círculo de paso al círculo de raíz.
Círculo de claro. El círculo más
grande centrado en el centro del
engrane que no es penetrado por los
dientes del engrane acoplado.
Claro. La distancia radial del círculo
del claro al círculo de raíz.
Profundidad total. La distancia
radial entre los círculos de adendum
y dedendum.
Profundidad de trabajo. La
distancia radial entre los círculos de
adendum y claro.
Paso circular (p). Es la distancia
del arco medida a lo largo del
círculo de paso a partir de un
punto en un diente, al punto
correspondiente en el diente
adyacente del engrane.
circunferencia del círculo de paso
número de dientes
d
p
pulgadas o milímetros
N
p   m milímetros
p
Paso base (pb). Es la distancia del arco
medida a lo largo del círculo base a
partir de un punto en un diente, al
punto correspondiente en el diente
adyacente del engrane. Así:
pb 
 db
N
pulgadas o milímetros
db – es el diámetro del círculo base en
pulgadas o en milímetros
Película círculo base
Paso diametral (P). El número de
dientes de un engrane dividido por el
diámetro del círculo de paso en
pulgadas. Así:
P
N
d
La relación entre el paso circular y el
diametral es:
Pp  
Módulo (m). En unidades SI, el
módulo m se utiliza para expresar
el tamaño del diente de engrane,
más que el paso diametral P aún
en uso en los U.S. Y se define
como:
m
d
N
Donde d y m tiene unidades de
milímetros. El módulo es el
recíproco del paso diametral. Sin
embargo el paso diametral está en
pulgadas.
Importante: Un par de engranes
(estándar) acoplados deben tener el
mismo:
1.- Paso circular
2.- Paso diametral o módulo
3.- Ángulo de presión
4.- adendum y dedendum (usualmente)
Aplicaciones de gran carga requieren
engranes con gran módulo o pequeño paso
diametral (recordar que son recíprocos).
Esto se logra haciendo el espesor del diente
menor que el espacio entre dientes.
Huelgo. Si los espacios entre dientes
fueran exactamente iguales al espesor
del diente, sería difícil para los
engranes acoplarse.
Cualquier inexactitud en la manufactura
causaría el atascamiento.
También es necesario lubricar los
engranes. Por esta razón debe existir
un espacio entre dientes acoplados.
La diferencia entre el espesor y el espacio se
le conoce como huelgo o backlash.
5.9.2. Ley Fundamental de Engranamiento
El motivo principal del uso de engranes, es
que mantiene una razón de velocidad angular
constante.
4  
sin( 2  3 )
sin(3   4 )
r2
r4
Ejemplo de mecanismo espacial usado para
transmitir velocidad o torque entre ejes en
diferentes direcciones en sustitución de
engranes.
2
La velocidad entre ejes de un mecanismo es
una razón de velocidad angular variable.
La Ley Fundamental de Engranamiento
establece la condición para mantener esa
razón constante.
Ley Fundamental de Engranamiento
La forma (perfil) de un diente de engrane debe ser tal que:
la normal común en el punto de contacto entre dos dientes
siempre pase a través de un punto fijo sobre la línea de centros de los engranes.
El punto fijo es llamado el punto de paso ( pitch point ).
5.9.3. Ángulo de Presión
El ángulo  entre la línea de presión (normal
común) y la tangente común a los círculos de
paso EF es conocido como el ángulo de
presión.
Los engranes pueden ser manufacturados
con un amplio rango de ángulos de presión.
Muchos engranes son hechos con ángulos
estándar de 14½º, 20º, 25º.
Actualmente el diente de 14½º es obsoleto.
Aunque aun está disponible, debe ser evitado
para nuevos diseños. Ya que:
Importante:
Como
una
opción
intermedia, el diente de 20º es el más
ampliamente usado.
1.- Engranes con ángulos de presión más pequeños transfieren más torque que carga sobre el eje y
rodamientos, pero,
2.- Como el ángulo de presión se reduce, la tendencia es producir interferencia entre dientes.
5.9.4. Longitud de Contacto
El contacto inicial ocurre en el punto E, el cual
es la intersección del círculo de adendum del
driven y la línea de presión.
El contacto final ocurre en el punto F, el cual es
la intersección del círculo de adendum del driver
y la línea de presión.
La distancia entre puntos E y F se conoce como la
longitud de la línea de acción, o longitud de
contacto.
5.9.5. Razón de Contacto
Sea  el ángulo del paso circular AB.
Se define la razón de contacto como el ángulo de
acción dividido por el ángulo de paso.
razón de contacto 
  



 - ángulo de acción
 - ángulo de aproximación
 - ángulo de receso
Si razón de contacto = 1
significa que un par de dientes está en contacto
siempre.
Si razón de contacto < 1
significa que habría un intervalo durante el cual no
hay dientes en contacto.
Los engranes son usualmente diseñados con una
razón de contacto = 1.2 como mínimo.
Valores superiores producen una operación de
engranes suave y silenciosa.
Para una razón de contacto = 1.2, un par de dientes
está en contacto 100% y dos pares están en contacto
20% del tiempo.
También se define la razón de contacto como el
número promedio de pares de dientes en contacto.
Fórmula de la Razón de Contacto
rc 
pb 
1
(
pb
 r2  a2    r2cos 
 cos
P
2
2
 r2 s in 
 r1  a1    r1cos 
2
2
 r1 s in )
5.9.7. Interferencia (Engranes Externos)
1. Si el radio actual > radio permisible máximo,
la interferencia ocurrirá.
Si el contacto entre dos engranes ocurre abajo
del círculo base de uno de los engranes, la
interferencia se presenta, y se pierde la razón
de velocidad constante.
2. Si el radio actual ≤ radio permisible máximo,
la interferencia NO ocurrirá.
En otras palabras: la interferencia ocurre
siempre que el círculo de adendum de un
engrane intercepta la línea de acción más allá
del punto de interferencia.
3. Para un par de engranes estándar, si el
adendum del más grande no interfiere con el
más pequeño, entonces el adendum del más
pequeño no interferirá con el más grande.
Fórmula de Interferencia
Para engrane 1
Para engrane 2
O1C  ra1max 
O1D   CD 
2
4. Esto es, si ra2 < ra2max entonces ra1 < ra1max.
Donde el subídice 1 es para el engrane más
pequeño.
2
ra1max 
 r1 cos    c sin 
ra 2max 
 r2 cos    c sin 
2
2
2
2
Los radios actuales se definen para engrane 1 y 2 como:
ra1  r1  a1
ra 2  r2  a2
Donde a1 y a2 se toman de tabla 1 perfiles de engrane
estándar.
Fórmula de Número Mínimo de Diente para evitar Interferencia
Se tiene la ecuación:
ra 2max 
Simplificando:
 r2 cos    c sin 
2
2
Para cualquier ángulo de presión  y
constante de adendum k.
Para evitar interferencia:
ra 2 actual  ra 2max
 r2  a2    r2 cos    c sin 
2
 r2  a2 
2
2
 r2 2cos 2  c 2 sin 2
Sustituyendo, donde k se toma de la tabla 1:
N2
2P
k
a2 
P
N  N2
c 1
2P
r2 
4  N 2 k  k 2    N12  2 N1 N 2  sin 2
Esta desigualdad puede ser usada para
determinar el número mínimo de dientes del
piñón dado los dientes del engrane.
Y evitar la interferencia.
Ejemplo 1: Número mínimo de diente del piñón para acoplarse con un engrane externo
Se planea usar engranes con un número
mínimo de 8 dientes hasta un máximo de 80
dientes. Hallar:
El número mínimo de dientes del piñón.
Graficar el resultado de número de
dientes del piñón vs número de dientes
del engrane.
Usar diente estándar de profundidad completa
(standar full–depth teeth), con ángulos de
presión  = 14.5°, 20°, 25° .
Además reemplazamos ≤ por = en la ec.
para obtener el valor límite, es decir:
Solución
Empleando :
4  N 2 k  k 2    N12  2 N1 N 2  sin 2
Donde:
N1 = número de dientes del piñón
N2 = número de dientes del engrane
k = constante de adendum
 = ángulo de presión
Elegimos full–depth involute, para 14.5°, 20°,
25°, entonces k = 1.
4  N 2 k  k 2    N12  2 N1 N 2  sin 2
Y resolvemos para el número mínimo de
dientes del piñón N1 en términos del número
de dientes del engrane N2.
N1   N 2 
1
sin 2
sin 2  4k  k  N 2   N 2 2 sin 2 
N1   N 2 
1
sin 2  4k  k  N 2   N 2 2 sin 2 
2
sin
Seleccionamos la raiz de valores positivos. Y aproximamos al entero superior siguiente usando la
función Ceiling de Mathematica.

1
N1  Ceiling   N 2 
sin 2


sin 2  4k  k  N 2   N 2 2 sin 2  

Entonces los valores de N1 a calcular para 14.5°, 20°, 25°, k = 1, son:

1
N1A  Ceiling   N 2 
2
 sin14.5 


2
2
2
sin14
.
5

4
1

N

N
sin14
.
5


 
 
2
2 



N1B

1
 Ceiling   N 2 
2
 sin20 


 sin20   4 1  N 2   N 2  sin20   

N1C

1
 Ceiling   N 2 
2
 sin25 


 sin25   4 1  N 2   N 2  sin25   

2
2
Donde N2 = 8, ... ,80. Y la condiciones de aceptación y rechazo son:
If N2 ≥ N1A then graficar else NO graficar
La ecuación de interferencia asume que N2 ≥ N1 y rechazamos N2 < N1, esto es porque consideramos
que el engrane debe ser más grande que el piñón.
La gráfica muestra que para ángulos de
presión grandes como 25°, el mínimo N1 es
pequeño.
Conforme se reduce , el mínimo
incrementa.
N1
se
Por ejemplo (ver la tabla de valores), para un
engrane N2 = 8, NO existe un piñón con N1
para acoplarse.
Para  = 25°, dado N2 = 9, el mínimo de
dientes sobre el piñón es N1 = 9.
También para  = 25°, un piñón con número
mínimo N1 = 10, se puede acoplar con un
engrane de N2 = 14 hasta N2 = 32.
También para  = 20°, un piñón con número
mínimo N1 = 15, se puede acoplar con un
engrane de N2 = 27 hasta N2 = 45.
Ejemplo 2: Evaluando trenes para razón de contacto e interferencia
De los trenes ya diseñados se calcularán:
1. La razón de contacto (rc):
rc 
1
(
pb
 r2  a2    r2cos 
2
2
 r2 s in 
 r1  a1    r1cos 
2
2
 r1 s in )
Los valores de adendums (a1 , a2) para engranes estándar se obtienen de la tabla 1. Los engranes son
usualmente diseñados con una rc = 1.2 como mínimo.
2. Interferencia:
ra 2max 
 r2 cos    c sin 
2
2
Donde el radio actual del engrane es:
ra 2  r2  a2
Donde el subídice 1 es para el engrane más pequeño (piñón) y 2 para el más grande.
Recordar:
1. Si el radio actual > radio permisible máximo, la interferencia ocurrirá.
2. Si el radio actual ≤ radio permisible máximo, la interferencia NO ocurrirá.
3. Si ra2 < ra2max entonces ra1 < ra1max y la interferencia no ocurrirá. Esta es la
razón para evaluar solamente la ec. para engrane 2.
Problema Tipo 1: Razón de velocidad especificada
Se tiene:
N D  12
d D  3 in
N F  20
d F  5 in
P4
 cos
P

 cos 20
4
d
r1  D  1.5 in
2
d
r2  F  2.5 in
2
ra 2max 
c  4 in
Para la razón de contacto
arbitrariamente  = 20°:
pb 
La interferencia se calcula como:
y

eligiendo
 r2 cos    c sin 
2
2
 2.5 cos 20    4 sin20 
2
2
 2.71855
 0.738033
Donde el radio actual del engrane es:
ra 2  r2  a2
1 1
a1  a2    0.25 in
P 4
 2.5  0.25
 2.75
Existe interferencia, ya que ra2 > ra2max.
Sustituyendo:
rc 
1
(
pb
 r2  a2    r2cos 
1
(
0.738033
 1.48859

2
2
 r2 s in 
 r1  a1    r1cos 
 2.5  0.25   2.5 cos 20 
2
Cumple con el mínimo rc = 1.2.
2
2
 2.5 sin20 
2
 r1 s in )
1.5  0.25   1.5 cos20 
2
2
 1.5 sin20)
Conclusión: El tren cumple con la razón de contacto,
pero no con la interferencia, se recomienda elegir
otro tren o cambiar el ángulo de presión a  = 25°.
Esto último produce más carga sobre los ejes de
engranes.
1.
Para  = 20°, dado los dientes de
engrane NF = N2 = 20, el mínimo
número de dientes para evitar
interferencia sobre el piñón debe ser
ND = N1 = 14. Y se tenía ND =12 por eso
ocurrió la interferencia.
2.
Para  = 25°, dado N2 = 20, el mínimo
de dientes del piñón debe ser N1 = 10. Y
se tenía ND =12 por eso NO ocurrió la
interferencia.
Si tomamos  = 25°, se tiene:
pb 
 cos
P

 cos 25
4
 0.711812
rc  1.36267
ra 2max 
cumple con el mínimo rc  1.2
 r2 cos    c sin 
2
2
 2.82691
ra 2  r2  a2  2.5  0.25  2.75
ra 2  ra 2max
no existe interferencia
Los resultados anteriores eran de esperarse, ya que como se aprecia en la siguiente tabla de valores:
Problema Tipo 2: Razón de velocidad y distancias entre centros especificada
Se tiene:
N D  26
d D  26 / 7 in
N F  65
d F  65 / 7 in
P7
c  6½ in
Para la razón de contacto
arbitrariamente  = 20°:
pb 
 cos
P

 cos 20
4
d
r1  D  1.85714 in
2
d
r2  F  4.64286 in
2
y
eligiendo
 0.421733
1 1
a1  a2    0.142857 in
P 7
Sustituyendo:
rc  1.7089
Cumple con el mínimo rc = 1.2.
La interferencia se calcula como:
ra 2max 

 r2 cos    c sin 
2
2
 4.64286 cos 20    6½ sin20 
2
2
 4.89662
Donde el radio actual del engrane es:
ra 2  r2  a2
 4.64286  0.142857
 4.78571
NO existe interferencia, ya que
ra2 < ra2max. Esto se comprueba en la
tabla.
Ya que para  = 20°, dado N2 = 65, el
mínimo para evitar interferencia es
N1 = 16, y se tiene N1 =26.
Problema Tipo 3: Razón de velocidad decimal y distancia entre centros especificadas
Se tiene:
N D  21
d D  4.20233 in
N F  54
d F  10.7977 in
P5
c  7½ in
Para la razón de contacto
arbitrariamente  = 20°:
pb 
 cos
P

 cos 20
5
d
r1  D  2.10117 in
2
d
r2  F  5.39883 in
2
y
eligiendo
 0.590426
1 1
a1  a2    0.2 in
P 5
Sustituyendo:
rc  1.66849
Cumple con el mínimo rc = 1.2.
La interferencia se calcula como:
ra 2max 

 r2 cos    c sin 
2
2
 5.39883 cos 20    7½ sin20 
2
2
 5.68487
Donde el radio actual del engrane es:
ra 2  r2  a2
 5.39883  0.2
 5.59883
NO existe interferencia, ya que
ra2 < ra2max. Esto se comprueba en la
tabla.
Ya que para  = 20°, dado N2 = 54, el
mínimo para evitar interferencia es
N1 = 16, y se tiene N1 =21.