Aerodinamica General I
Ecuación Fundamental del ala
La circulación alrededor del perfíl genera asimismo una distribución de velocidades en su
entorno del tipo ilustrado
En rigor habría que sumar vectorialmente los campos de velocidades generados por esta circulación
y por las velocidades wi inducidas por la distorsión e intensificación de los campos vorticosos
debidos a una envergadura finita.
Sin embargo es posible simplificar grandemente el problema recurriendo directamente al Teorema
de Blasius, cuya aplicación permitirá conocer la sustentación con respecto a la velocidad del viento
libre U∞ sin efectuar consideraciones de desvio de la velocidad incidente cerca del cuerpo.
Blasius define una fuerza de sustentación normal a U∞ de magnitud ρU∞Γ. Si consideramos
unicamente el wi inducido por efectos de la envergadura finita, el cual reduce (normalmente) el
ángulo de ataque en la forma
α( y) = α 0 ( y) − α i ( y);
U ( y) = U ∞ + w i
y si aplicamos Blasius, la fuerza de sustentación h(y) por unidad de longitud según la envergadura
será ρU(y)Γ(y)
Esta sustentación estará obviamente inclinada respecto de una normal a U∞.
La sustentación generada por unidad de longitud por las velocidades wi(y) en el sentido normal a
wi(y), es decir en el sentido de la resistencia aerodinámica será ρwi(y)Γ(y)
∴ l( y) = h( y). cos αi ( y)
→
d i ( y) = h( y). sen αi ( y)
→
sustentación ⊥ U ∞
resistencia
// U ∞
d i ( y)
= tg αi ( y)
l( y )
Considerando que generalmente en alas con alargamientos razonables U∞ >> wi
pequeño
⇒ αi muy
tg αi ≅ αi ( radianes )
∴
sen αi ≅ αi ( radianes )
cos αi ≅ 1
Entonces
l( y ) ≅ h ( y )
d i (y) = αi (y).l(y)
tg αi ( y ) =
w i ( y)
U∞
sen αi ( y) =
w i ( y)
U( y)
cos αi ( y) =
U∞
U( y)
Ademas puede asumirse U(y) ≅ U∞ entonces:
w i ( y) = U ( y). sen αi ( y) ≅ U ∞ .αi ( y)
α( y ) = α0 ( y) −
w i ( y)
U∞
1
Visualizaremos un “trozo” de hilo vorticoso actuante en un semiala:
Explicar como la circulación disminuye hacia las puntas con una variación -dΓ(y)=-dΓ(y)dy/dy por
elemento de envergadura (hacia los extremos de ala).
Explicar el hilo que va hacia atrás. Cada hilo semi-infinito estará ubicado a una distancia y de la
envergadura (-b/2≤y≤b/2).
Puede considerarse que cada uno de estos hilos vorticosos que se desprende hacia sotavento (como
parte de la estela) a una distancia de la envergadura y, posee una intensidad diferencial d (y)dy/dy.
Cada uno de los elementos diferenciales de ese hilo vorticoso induce en un punto ubicado a la
distancia y1 de la envergadura una velocidad diferencial dWi:
dΓ( y)
.dy
dy
dw i ( y1 ) =
4.π.( y − y1 )
en donde y-y1 es la distancia paralela a la envergadura entre el hilo vorticoso considerado y el punto
y1 en donde me interesa conocer la velocidad inducida
La velocidad total inducida en el punto y1 debido a la contribución de todos los hilos
vorticosos será:
b
w i ( y1 ) =
1
4. π
2
∫
−b
2
dΓ ( y )
dy
dy
( y − y1 )
2
Recordando que sobre una sección de la envergadura situada a la distancia y, el flujo incide
con un ángulo que es el de la corriente libre modificado por la velocidad
inducida
(1)
Wi(y) en ese mismo punto
b
α( y) = α 0 ( y1 ) −
w i ( y)
1
= α 0 ( y1 ) −
U∞
4.π.U ∞
2
∫
−b
2
dΓ
dy
dy
( y − y1 )
(2)
Recordemos asimismo que la sustentación total del ala era L. Por lo tanto la sustentación de una
sección diferencial de ala será
Nótese que las dimensiones de l(y) son [dL/dy] por lo tanto cuando expresemos la expresión clásica
de la sustentación = ½.ρ.U∞.CLS en lugar de figurar el área alar S solo estará la cuerda C(y).
Por lo tanto
l( y ) =
1
.ρ.U 2∞ .C L ( y ).c( y )
2
Aplicando el Teorema de Blasius, en donde se determinó la sustentación creada por un hilo
vorticoso embestido por una corriente U∞. cuyo valor era ρΓU∞. podemos escribir que
l( y) = ρ.U 2∞ .Γ( y)
igualando las dos expresiones de l(y):
1
.ρ.U ∞2 .C L ( y).c( y) = ρ.U ∞ .Γ( y)
2
Una curva típica de CL(α) para un perfil alar tiene la forma
3
Se aprecia una zona lineal correspondiente a moderados ángulos de ataque. En lo que sigue se
limitarán las actitudes de vuelo (ángulos de ataque) a la zona lineal.
En esta zona CL=a∞.(y)α(y), siendo a∞(y) la pendiente de la sección local (perfil) considerada,
extraido a partir de datos obtenidos en ensayos de tunel de viento, en donde el perfil va
normalmente de pared a pared del tunel. Obviamente no se tienen en cuenta efectos de punta alar,
por lo que se considera que los datos obtenidos corresponden al caso ideal de ala de envergadura
infinita. Por esta razón se escribe a∞.
Resulta asimismo claro que el mismo perfil ubicado en un ala real de longitud finita presentará una
pendiente “a” diferente. Por lo tanto reemplazando el CL en l(y) queda:
1
l( y) = .ρ.U ∞2 .a ∞ ( y).α( y).c( y) = ρ.U ∞ .Γ( y)
2
despejando α(y)
α( y ) =
Γ( y )
2
.
U ∞ a ∞ ( y).c( y )
Reemplazando el α(y) en la (2) queda:
1
w ( y)
2.Γ( y)
= α 0 ( y1 ) − i
= α 0 ( y1 ) −
4.π.U ∞
U∞
U ∞ .a ∞ ( y).c( y)
b
2
∫
−b
2
dΓ( y)
dy
dy
( y1 − y)
Ecuación fundamental del Ala
Adimensionalización de la ecuación del ala
La experiencia mostró que la media envergadura b/2 es una buena escala de
adimensionalización. Las escalas espaciales (tamaños) de las conformaciones fluidodinámicas
producidas por la acción de un cuerpo que se desplaza en un fluido dependen obviamente de las
escalas (tamaño) del cuerpo que genera esa conformación. Un cuerpo ancho generará una estela
ancha.
4
Se definirá una variable η = y/(b/2). Obviamente η variará desde una punta alar hasta la otra.
Como b/2 ≤ y ≤ b/2 resulta que -1 ≤ η ≤ 1.
Para comprender los razonamientos que se utilizaron para la selección del parámetro de
adimensionalización de la circulación Γ puede seguirse el siguiente camino.
La utilización del Teorema de Gauss a un campo de velocidades permite expresar que el flujo del
rotor de ese campo de velocidades, a traves de una región vorticosa limitada (imagine la sección de
un vórtice delgado) es igual a la circulación de ese mismo vector velocidad a lo largo de un camino
cerrado que encierra ese vórtice. Si el camino fuese un círculo
Γ = 2.π.r.V
Nótese que 2πr es el perímetro alrededor de la región vorticosa. En nuestro caso, que considera los
vórtices que se desprenden hacia atrás desde el borde de fuga del ala
el camino cerrado para calcular la circulación tendrá una extensión (perímetro) de b(arriba) +
b(abajo) = 2b
Por otra parte la escala de velocidades es U∞.
Por lo expuesto resulta un intento (que la experiencia convalida) adimensionalizar la circulación
con 2bU∞. Puede definirse por lo tanto
f ( η) =
Γ
2.b.U ∞
Adimensionalizaremos primero al término:
5
1
4.π.U ∞
b
2
∫
−b
2
dΓ ( y )
dy
dy
( y1 − y)
dΓ
dΓ dη
.dy =
. .dy
dy
dη dy
Γ = 2.b.U ∞ .f (η)
b
y = .η
2
;
y1 − y =
b
(η1 − η)
2
;
η=
y
b
2
dη 2
=
dy b
dΓ
df (η)
= 2.b.U ∞ .
dη
dη
b
dy = .dη
2
Por lo tanto reemplazando queda
1
4.π.U ∞
1
∫
−1
df ( η)
df ( η) 2 b
1
. . .dη
1
dη
dη b 2
.dη
=
b
π
η
−
η
1
( η1 − η)
−1
2
2.b.U ∞ .
∫
El primer término de la Ecuación Fundamental del ala queda
2. Γ ( y )
2.2.b.U ∞ .f ( η)
=
U ∞ .a ∞ ( y).c( y ) U ∞ .a ∞ ( y).c( y )
Por lo que en forma adimensional la Ecuación Fundamental del ala queda
4.b.f (η1 )
1
= α0 ( η1 ) −
π
a ∞ ( η1 ).c( η1 )
1
∫
−1
df ( η)
d(η)
dη
η1 − η
Multiplicando y dividiendo por 2 el "b" y usando ese b/2 para adimensionalizar c en la forma
τ=c/(b/2) queda
6
8.b.f ( η1 )
1
= α0 ( η1 ) −
a ∞ ( η1 ).τ( η1 )
π
1
∫
−1
df ( η)
d( η)
dη
η1 − η
Método de Glauert
Recuérdese que se había definido la variable adimensional η=y/(b/2) ∴ y = (b/2)η.
Glauert encontró que resultaba ventajoso cambiar de variable en la forma η = cos θ. Con este
cambio, explorar los diferentes puntos a lo largo de la envergadura de un ala (de punta a punta)
implica aplicar y = (b/2)cos θ para 0 ≤ θ ≤ π rad.
Considerando que en las puntas del ala desaparece la barrera física capáz de mantener una
diferencia de presiones entre la parte superior e inferior del ala, en esas regiones se anulará la
sustentación y lo que es lo mismo la circulación. Observese que para un ala convencional en vuelo
estable y nivelado la sustentación a lo largo del ala debe distribuirse simetricamente con respecto
del fuselaje ( ubicado en θ = π /2).
De lo contrario una semiala subirá, la otra bajará y comenzará una actitud de rolido.
Glauert propone representar la circulación sobre el ala mediante una serie de Fourier senoidal, que
resulta precisamente simétrica respecto de π /2,
7
Por lo tanto para la expresión de la circulación
Γ = 2.b.U ∞ .f ( θ)
se propone
f ( θ) =
∑
∞
m =1
A m sen( mθ) = A1 sen θ + A 2 sen 2θ + A 3 sen 3θ + A 4 sen 4θ + ...
θ
senθ
sen 2θ
sen 3θ
sen 4θ
0
0
0
0
0
π/4
0,707
0
0,707
0
π/2
1
0
-1
0
Si la circulación está distribuida simetricamente respecto de π/2, los coeficientes Am se anulan
cuando m es par debido a que sen(2nθ) con n=1,2,3 es antisimétrico respecto de θ = π/2
queda:
f (θ) = ∑m =1 A m sen(mθ)
∞
(para m impar)
df (θ)
∞
= ∑m =1 m.A m cos(mθ) = f ′(θ)
dθ
Recuerdese que por haber definido η=cosθ queda:
df (θ)
df (η)
dη
dθ ≡
dθ
dη
8
Nuestra intención es desarrollar la Ecuación Fundamental del ala para las hipótesis y variables
propuestas por Glauert. Los límites de la integral que en la Ecuación Fundamental del ala era -1 y 1
se transforman en:
para n = 1 ≡ cosθ = 1 ⇒ θ = 0 radianes
para n = -1 ≡ cosθ = -1 ⇒ θ = π radianes
reescribiendo la Ecuación Fundamental del ala en función de las nuevas variables:
df (θ)
1 0
4.b.f (θ1 )
d (θ)
= α 0 (θ1 ) − ∫
dθ
π π cos θ1 − cos θ
a ∞ (θ1 ).c(θ1 )
reemplazando
f (θ1 )
y
df (θ)
dθ
dθ
queda
4.b.∑m =1 A m sen(mθ1 )
∞
a ∞ (θ1 ).c(θ1 )
= α 0 (θ1 ) +
π
1 ∞
cos(mθ)
mA
∑
m
∫0 cos θ1 − cos θ dθ
π m =1
El último término es conocido como la integral de Glauert
∫
π
0
cos(mθ)
sen(mθ1 )
dθ = π
,
cos θ − cos θ1
sen θ1
para 0 ≤ θ ≤ π
Nótese que el denominador de la integral de Glauert es cosθ-cosθ1, mientras que en la integral de la
Ecuación Fundamental del ala figura cosθ1-cosθ . Por ello compensamos con un signo(-) delante de
la integral.
Reemplazando en la integral de Glauert por su valor queda
4.b.∑m =1 A m sen(mθ1 )
∞
a ∞ (θ1 ).c(θ1 )
= α 0 (θ1 ) −
1
∞
mA m sen(mθ1 )
∑
sen θ1 m =1
recuérdese que el segundo miembro de esta ecuación podía ser escrito como α0(θ1)- αi(θ1) por lo
que
α i (θ1 ) =
1
∞
mA m sen(mθ1 )
∑
sen θ1 m =1
9
Ademas en el primer miembro puede escribirse
4.b.∑m =1 A m sen(mθ1 )
∞
a ∞ (θ1 ).c(θ1 )
=
4.2.
b ∞
∑ A m sen(mθ1 )
2 m =1
a ∞ (θ1 ).c(θ1 )
Bajando b/2; usandolo para adimensionalizar la cuerda
c(θ1 )
= τ(θ1 )
b
2
con lo que la ecuación del ala queda:

8
m 

+
∑m=1  a (θ ).τ(θ ) sen θ A m sen(mθ1 ) = α 0 (θ1 )
1
1
 ∞ 1
∞
Cálculo de la Sustentación
Un elemento diferencial de la envergadura contribuirá con una sustentación
dL
= l( y )
dy
dL = l( y)dy;
La sustentación l(y) será función de y pues un mismo ala suele estar constituida por diferentes
perfiles aerodinámicos: mas delgados y con menos curvatura hacia los extremos del ala y mas
gruesos y curvos en la parte central. Diferentes perfiles aportan diferentes sustentaciones l(y) al
producir diferentes circulaciones Γ(y). En base al Teorema de Blasius se puede expresar:
l( y) = ρU ∞ Γ( y) = 2ρU ∞2 f (η)
Reemplazando
f (η) = ∑m =1 A m sen(mθ)
∞
queda
Γ( y) = 2bU ∞ ∑m =1 A m sen(mθ)
∞
10
por lo que
L =
∫
b
2
b
−
2
ρ U ∞ Γ ( y ) dy = ρ U
∞
∫
b
2
b
−
2
Γ ( y ) dy
Efectuando el ya conocido cambio de variables
y=
b
cos θ;
2
b
dy = − sen θdθ
2
queda:
0
b
∞
L = −ρU ∞ ∫ 2bU ∞ ∑m =1 A m sen(mθ). sen θdθ
π
2
Agrupando
L = ρU ∞2 b 2 ∫
π
0
∑
∞
m =1
A m sen(mθ) sen θdθ
Se demuestra que la integral
∫
π
0
0
sen(nθ) sen(mθ)dθ =  π
 2
para
n≠m
para
n=m
puede verse que al aparecer sen(mθ)sen(θ)solo existíra un valor no nulo para n=m=1; queda por lo
tanto
L = ρU ∞2 b 2 A1
π 1
= ρU ∞2 C LS
2 2
siendo S la superficie alar. De aquí
b2
C L = A1 π
S
siendo λ=b2/2 el alargamiento, es decir las veces que la cuerda alar entra en la envergadura
∴
C L = πA1λ
Es de remarcar que la sustentación del ala y su coeficiente de sustentación solo dependen del primer
coeficiente de la Serie de Fourier: A1. Sin embargo los restantes coeficientes serán de importancia
en la distribución de la sustentación pues:
11
dL
∞
= l( y) = 2ρbU ∞2 ∑m =1 A m sen(mθ) = 2bU ∞ [A1 sen θ + A 3 sen 3θ + A 5 sen 5θ + ...]
dy
Cálculo de la Resistencia Inducida del ala
d i ( y) = l( y) sen α i ( y)
Como en general αi(y) es muy pequeño
d i ( y) ≅ l( y).α i ( y)
Recuérdese la expresión calculada al desarrollar la ecuación fundamental del ala
α i (θ) =
1
∞
∑ mA m sen(mθ)
sen θ1 m =1
b
2
b
−
2
b
2
b
−
2
D i = ∫ d i ( y)dy = ∫ α i ( y).l( y)dy
siendo
l( y) = ρU ∞ Γ( y)
Γ(θ) = 2ρbU ∞ ∑m =1 A m sen(mθ)
∞
l( y) = 2ρU ∞2 b∑m =1 A m sen(mθ)
∞
Recordando
y=
b
cos θ;
2
b
dy = − sen θdθ
2
12
reemplazando en Di
(
)
0
1
b
∞
∞

D i = −∫ 
mA m sen(mθ)  2ρU ∞2 b∑m =1 A m sen(mθ) sen θdθ
∑
m
1
=
π sen θ
2


D i = ρU ∞2 b 2 ∫
π
0
(∑
)
mA m sen(mθ).∑m =1 A m sen(mθ) dθ
m =1
∞
∞
Analizando la integral, puede demostrarse que:
∫
π
0
(
)
0
∑m=1 mA m sen(mθ).∑m=1 A m sen(mθ) dθ =  π ∑∞m=1 nA 2n
 2
∞
∞
si
n≠m
si
n=m
Reemplazando en Di queda:
Di =
π
∞
ρU ∞2 b 2 ∑m =1 mA 2m
2
Como resulta usual en Aeronáutica puede escribirse la relación
1
D i = ρU ∞2 C Di S
2
en donde Di es el coeficiente de resistencia inducida.
Igualando ambas expresiones
CDi
b2
=π
S
∑m=1 mA 2m =πλ∑m=1 mA 2m
∞
∞
Resulta conveniente sacar A12 como factor común por lo que la expresión queda
2
CDi
A 
= πλA12 ∑m =1 m m 
 A1 
CDi
2
2






A
A
2
3
2
 + ...
 + 3
= πλA1 1 + 2
A
A


 1
 1
∞
13
Recordando
C L = πA1λ
∴
A1 =
CL
πλ
queda
CDi
2
2

 A2 
 A3 
C 2L 
 + 3
 + ...
1 + 2
=
πλ 

 A1 
 A1 

Se aprecia que al estar elevados al cuadrado los Am2 independientemente de sus signos, como Am
siempre aumentan el valor de CDi. Obviamente la mínima resistencia inducida corresponderá a
2
2
A 
A 
2 2  + 3 3  + ... = 0
 A1 
 A1 
quedando solo el término A1
C D i mín
C 2L
=
πλ
En ese caso (los Am=0 para m>1) la función de distribución de circulación f(η) que salía de
Γ = 2 U ∞ b∑m =1 A m sen(mθ)
∞
entonces queda igual a
2 U ∞ bA1 sen θ1
siendo
f (η) = A1 sen θ1 = A1 1 − cos 2 θ = A1 1 − η2
o bien
2
 f (η) 

 + η2 = 1
 A1 
que obviamente corresponde a una distribución de circulación (y por lo tanto de sustentación)
ELíPTICA.
14
Ala con mínima resistencia inducida
Analicemos el ángulo inducido por los vórtices del ala
que, era:
α i (θ) = ∑m =1
∞
mA m sen(mθ)
sen θ
Acabamos de demostrar que una distribución de sustentación elíptica produce una mínima
resistencia inducida. Demostramos asimismo que en ese caso todos los Am=0 para m>1 y
únicamente resulta no nulo el A1.
Entonces
α i (θ) =
A1 sen θ
= A1 = constante
sen θ
como
A1 =
CL
= constante
πλ
resulta que
α i (θ) =
CL
= constante
πλ
para todo θ a lo largo de la envergadura.
Puede apreciarse que una distribución de sustentación elíptica se caracteriza por presentar una
Wi(θ)= constante, es decir αi(θ)= constante a lo largo de toda la envergadura. Este efecto puede
conseguirse: -con un perfil constante y cuerda constante
mediante el alabeo del ala(torsión).
-con un perfil constante y sin alabeo mediante una distribución elíptica de circulación.
-con cuerda constante y sin alabeo mediante una distribución elíptica de sustentación (usando
diferentes perfiles a lo largo de la envergadura).
O bien, por medio de una adecuada combinación de todas estas variables.
Ala con distribución de sustentación elíptica: (ala sin torsión, con perfiles de sección semejante
en toda la envergadura y cuerda variable)
Recordando
α = α 0 (θ) − α i (θ)
15
En este caso ni α0 ni αi variarán a lo largo de la envergadura (es decir con θ).
∴
α = α0 − αi
para todo θ
Recordando que estamos trabajando en la parte lineal de la curva Clvs.α del coeficiente de
sustentación local:
C l (θ) = a ∞ (θ).α(θ)
en el presente caso queda:
a ∞ = Cte.;
α = Cte.
C l (θ) = a ∞ .α
para todo θ
Recordando que
l( y) = ρ.U ∞ Γa ( y) = 2 U ∞2 ρbf ( y)
1
l( y) = .ρ.U ∞2 .C l ( y).c( y)
2
C l ( y) =
4b
.f ( y)
C( y )
∴
f ( y) =
C l ( y)
.c( y)
4b
En el presente caso Cl no varía con la envergadura y por lo tanto no depende de y
Cl
.c( y) = f ( y)
4bf ( y) = ξ.c( y)
Llamando ξ=Cl/4b queda
Considerando que f(y) representa una distribución de circulación (o sustentación) elíptica,
obviamente la distribución de cuerda en la envergadura c(y) también debe ser elíptica.
Cálculo de la sustentación para distribución alar de planta elíptica.
b/2
b/2
b/2
dL
1
L= ∫
.dy = ∫ l( y).dy = ∫ .ρ.U ∞2 .C l ( y).c( y).dy =
dy
2
−b / 2
−b / 2
−b / 2
b/2
1
1
= .ρ.U ∞2 .C l . ∫ c( y).dy = .ρ.U ∞2 .C l .S
2
2
−b / 2
16
Pues
Ademas
1
L = .ρ.U ∞2 .C l .S
2
De aquí vemos que el coeficiente de sustentación del ala es el mismo que el coeficiente local de
b/2
S=
∫ c( y).dy
−b / 2
sustentación CL = Cl
Por igual razonamiento
C Di min = C di min
C 2L
=
π.Λ
Habíamos visto que
C Di min
C 2L
=
π.Λ
Por otra parte
l( y) sen α i ( y) ≅ l( y).α i ( y) = d i ( y)
En el presente caso
C
d i ( y)
= α i = di
l( y )
Cl
C Di min
C l2
=
= α i .C L
π.Λ
→
constante sobre la envergadura
entonces
αi =
CL
(rad.)
π.Λ
En el presente caso el ángulo de ataque era
α = α0 − αi
α=
CL
;
a∞
α0 =
CL
;
a
αi
CL
π.Λ
Reemplazando
17
CL CL CL
=
−
;
a π.Λ
a∞
1 a ∞ + π.Λ
=
a ∞ .π.Λ
a
∴
a=
1
1 1
=
+
a a ∞ π.Λ
a ∞ .π.Λ
=a
a ∞ + π.Λ
a∞
a
1+ ∞
π.Λ
Puede observarse como la pendiente de la curva de sustentación es tanto mas pequeña cuanto mas
pequeño sea el alargamiento.
Variación de un coeficiente de sustentación de un perfil dado para un ala de envergadura
infinita y un ala finita.
Para alas de bajos alargamientos Λ ≤ 6 y/ó para alas cuya planta alar no sea elíptica se adecúa a la
realidad la expresión hallada a travéz de un coeficiente f
a = f.
a∞
a
1+ ∞
π.Λ
f será función del alargamiento y del ahusamiento.
Expresiones de este tipo son aplicables a alas trapezoidales con bordes de ataque y de fuga rectos y
puntas redondeadas. (Ver Abbot )
18
Consideraciones acerca de las características de sustentación de un ala finita real
Recordemos que cuando se ensaya normalmente un perfil alar en un tunel de viento, el elemento
alar se coloca en forma horizontal, con sus extremos “virtualmente empotrados” en las paredes
verticales del tunel.
Por lo tanto no aparecerá ningún efecto de “punta de ala”. Sus características corresponderían a las
de un ala de envergadura infinita. Las alas reales son finitas. Ya vimos que esta característica hace
aparecer efectos normalmente tridimensionales, que en particular hacen “doblar”, proyectandose
hacia atrás, a los hilos vorticosos que generan la circulación y por lo tanto la circulación del ala. Ya
vimos que al doblar hacia atrás y extenderse en una dirección normal a la envergadura, esos
vórtices generan un campo de velocidades inducidas que cambia el ángulo de ataque efectivo y es
responsable de generar una resistencia adicional llamada resistencia inducida. Obviamente el ala de
envergadura INFINITA no tiene resistencia inducida.
Variación de las características de un perfil - Pendiente CL
Un perfil aerodinámico bidimensional con un ángulo de ataque de 10º , medido a partir del ángulo
de resistencia nula, tendrá un Cl ≅ 1 aproximadamente.
Si construimos un ala con ese perfil, ese mismo perfil aerodinámico, con el mismo ángulo de
ataque, desarrollará un CL
alar considerablemente menor que 1. Un menor alargamiento producirá una menor pendiente en la
curva de sustentación.
Obsérvese la variación de pendiente. Obsérvese que sin embargo el Clmáx del ala solo es ligeramente
inferior al del perfil solo.
Influencia del ahusamiento
Una forma de acercarse a una distribución de sustentación elíptica es através del ahusamiento del
ala (Taper ratio). Si c0 es la cuerda en la raíz del ala (al lado del fuselaje) y cT la cuerda en la punta
alar, se denomina ahusamiento a la relación:
CT
=λ
CO
19
La figura (extraída de Mc Cormick pag. 191) ilustra el incremento de resistencia inducida δ (por
encima de la correspondiente a una distribución de sustentación elíptica) en función de diferentes
ahusamientos para varios alargamientos.
Nótese que para todos los alargamientos se aprecia un mínimo δ de para un ahusamiento de 0,3
con incrementos de resistencia inducida por encima del valor correspondiente a una districución de
sustentación elíptica, menores al 1%.
Figura A
La Figura A ilustra las distribuciones de sustentación para alas de planta elíptica, rectangular y
ahusada. En la figura original del Mc.Cormick se aprecia que un ala ahusada δ=0,25 presenta una
distribución de sustentación muy cercana a la elíptica.
La Figura B, extraida del Mc.Cormick (pag. 193) muestra una importante ventaja de la rectangular,
con un Cl menor en la región vecina a las puntas de ala (donde actúan los alerones). Esto hace que
esta región sea la última en entrar en pérdida, manteniendo el control de rolido aún cuando la mayor
parte del ala (la central) ya esté en plena pérdida.
25
Figura B
Ejemplo de Cálculo de Ala mediante el Método de Glauert
Imaginemos un ala rectangular con una superficie S=18m2, un alargamiento λ=8, volando a la
velocidad U∞=75 m/seg., con un ángulo de ataque α0=4,1º=0,07152 rad. constante para toda la
envergadura.
Supongamos haber elegido un perfil con CL= a∞.α ; cuya pendiente de la curva de sustentación sea
igual para toda la envergadura (ojo eso de ninguna manera significa Cl constante en la envergadura,
pues el α puede variar a lo largo de la envergadura).
Adoptamos a∞(θ∞)=5,8442 1/rad. para toda la envergadura.
Como el ala es rectangular, la cuerda será constante
∴
τ(θi ) =
c( θ i )
= 0,25
b/2
A modo de ejemplo, consideramos solo 6 coeficientes Am en la expresión
f (θ) = ∑ A m . sen(mθ)
26
Los coeficientes serán A1,A3,A5,A7,A9 y A11. Podrá apreciarse que la magnitud de los coeficientes
decrece rápidamente. Como consideramos 6 coeficientes, a fin de obtener un sistema de n
ecuaciones con n incognitas, elegimos también 6 secciones a lo largo de la envergadura a traves de
la selección de 6 valores de θ para 0 ≤ θ ≤ 90º . Un intervalo constante ∆θ sería 90º /6=15º ∴ θi=15
; en donde i=1,2,3,4,5,6.
La ecuación es
∑m=1 (
11
8
m
).A m . sen(mθi ) = α 0 (θi )
+
a ∞ ().τ(θi ) sen θi
A modo de ejemplo desarrollamos algunos términos
Primera ecuación correspondiente a la sección i=1 ⇒ θ=15


8
1 
8
3 

.A 1 . sen 15º +
.A 3 . sen(3.15º ) +
+
+
a
(
15
º
).
(
15
º
)
sen
15
º
a
(
15
º
).
(
15
º
)
sen
15
º
τ
τ
 ∞

 ∞


8
5 
.A 1 . sen(5.15º ) + ...... = α 0 (15º )

+
 a ∞ (15º ).τ(15º ) sen 15º 
Nota: α0 (15º) se expresa en radianes ∴ α0 (15º)= 4,1º=0,07152
Obviamente la segunda ecuación corresponderá a la sección i=2
θ=2*15º=30º.


8
3 
8
1 
.A 3 . sen(3.30º ) +
.A 1 . sen 30º +

+
+
a
(
30
º
).
(
30
º
)
sen
30
º
a
(
30
º
).
(
30
º
)
sen
30
º
τ
τ

 ∞

 ∞

8
5 
.A 1 . sen(5.30º ) + ...... = α 0 (30º )

+
 a ∞ (30º ).τ(30º ) sen 30º 
y así, sucesivamente para las restantes ecuaciones. Nótese que si elegimos considerar n valores An,
necesitamos n estaciones sobre la envergadura i=n para que nos quede un sistema de n ecuaciones
con n incognitas.
Recuerdese que para el presente, primer ejemplo, se consideró
τ(θi ) = 0,25
a ∞ (θi ) = 5,8442
α 0 (θi ) = 4,1º = 0,071558
27
constantes para toda el ala. Esto significa:
τ(θi ) = Cte
ala rectangular
a ∞ (θi ) = Cte
el mismo perfil en toda el ala
α 0 (θi ) = Cte
ala sin torsión
Repetir el presente ejercicio con todos los valores iguales salvo
τ(θi ) = 0,25 −
y
= 0,25 − 0,25. cos(θi )
b/2
que correspondería a un ala ahusada.
Los sistemas de ecuaciones quedan en la forma
Analicemos lo que ocurre en las puntas de ala. El sistema de vórtices asociado al ala inducirá en las
puntas alares una velocidad Wi(punta) que compuesta con Ui definirá un ángulo αi(punta). De la
misma forma en que se supuso que la capa vorticosa que encierra todos los vórtices que se
desprenden del borde de fuga se desprende en la dirección de U∞ podremos imaginar un
αi(punta)=0. En rigor la capa vorticosa real no evoluciona de esa manera y tampoco el αi(punta)
real será nulo.
Sin embargo estas hipótesis suministran “en numerosos casos” resultados muy parecidos a la
realidad. Por eso en el análisis de punta alar supondremos αi(θ)=0 para la punta alar en la cual
y=(b/2)cos θ será y=b/2 o sea cos θ=1 ⇒ θ=0.
α i (θ) =
∞
1
∑ m.A m . sen(mθ)
sen θ m =1
28
Recordando, en los extremos de ala será
∞
 1

α i (0º ) = lim θ→0 º .α i (θ) = lim θ→0 º .
.∑m =1 m.A m . sen(mθ) =
 sen θ

 ∞
 sen(mθ) 
= lim θ→0 º .∑m =1 m.A m .

θ
sen



El término entre paréntesis corresponde a una indeterminación 0/0 por lo que puede aplicarse la
regla de L’Hôpital:
d
(sen(mθ) )
m. cos(mθ)
 sen(mθ) 
θ
d
= lím
=m
lím
 = lím
θ→0 º 
θ→0 º
sen θ  θ→0 º d (sen θ)
cos θ
dθ
Entonces
α i (0º ) = ∑m =1 m 2 .A m
∞
Para el caso de aire en condiciones atmosféricas a nivel del mar
ρ = 0,09278
Kg.seg
m4
Si la velocidad del aire es U∞ =75 m/seg y la superficie alar es S=18 m2.
Una vez obtenidos los Am puede calcularse el coeficiente de sustentación del ala:
C L = π.λ.A1
Se recuerda que esta expresión vale aún cuando la distribución de sustentación NO sea elíptica.
El coeficiente de resistencia inducida
C Di = π.λ.∑ m.A 2m
Recordando que el APARTAMIENTO de una distribución de sustentación elíptica había sido
llamado δ, proveniendo de la expresión
C 2L
C Di =
(1 + δ) = π.λ.A12 (1 + δ)
π.λ
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Por lo que
δ=
C Di
−1
π.λ.A12
La función de distribución de sustentación en
f (θ) = ∑ A m . sen(mθ)
El coeficiente de sustentación local(esto es del perfil local en una determinada sección de la
envergadura) era:
C L (θ) =
4.b
.f (θ)
c(θ)
El ángulo LOCAL de incidencia de la corriente (o ángulo de ataque local) era:
α i (θ) =
1
∑ m.A m . sen(mθ)
sen θ
El coeficiente LOCAL de resistencia inducida era:
C Di = (θ) = α i (θ).C L (θ)
La velocidad inducida LOCAL Wi era:
w i (θ) = α i (θ).U ∞
30