Aerodinámica General II
Variación de los coeficientes aerodinámicos con el Mach en flujo
subsónico. Coeficiente de presiones
Dependiendo del tipo de perfil y del ángulo de ataque, la velocidad
del fluido sobre la superficie superior del perfil (extrados) puede superar
ampliamente la correspondiente a la de la corriente libre. Por lo tanto
pueden aparecer fenómenos de compresibilidad sobre el perfil aún cuando
la velocidad de la corriente libre esté bien por debajo de la del sonido.
Con el propósito de encontrar el valor de la corriente libre para el
cual pueden aparecer fenómenos de compresibilidad sobre un determinado
perfil, resulta conveniente introducir el concepto de Coeficiente de
presiones Cp, que se define como:
Cp =
p − p0
1
ρ 0V02
2
siendo p0, V0 la presión y velocidad de la corriente libre y p la presión
sobre algún punto del perfil.
Cp será negativo en todos aquellos puntos en los que la velocidad local
excede la de la corriente libre y positivo en caso contrario.
Cp se evalúa, para un perfil dado, con ayuda de la medición de la
distribución de presiones sobre el mismo como asimismo midiendo la
velocidad y presión de la corriente libre.
La velocidad local sobre algún punto de la superficie del perfil puede
determinarse conociendo el coeficiente de presiones, Cp.
A fin de encontrar una expresión válida, comencemos con la
ecuación de Bernoulli
V0 2
V2
dp
+ gZ + ∫
= cte. =
+ gZ 0
2
2
ρ
Si Z - Z0 ≅ 0, entonces
2
V2
dp V0
+∫
=
2
2
ρ
Si el flujo evoluciona politrópicamente, entonces podemos poner que
pv n = Cte. o bien p = ρ n cte.
1 n
1 n
ρ  p
= 
ρ 0  p0 
ρ 0  p0 
= 
ρ  p 
→
dp p01 n
∫ ρ = ρ0
=
∫p
−1
n ρ1 n
n
dp =
p
n −1 ρ0
1 n
0
n p
p
n −1 ρ0
n −1
n
0
1 p10 n −1
=
p
ρ
ρ0
→
n −1 p
n
p0
n −1


n


 p  − 1
 p0 



n −1


n  p0   p  n
    − 1
=

n − 1  ρ 0   p0 


Si dicha evolución fuera adiabática, entonces n = γ (Cp / Cv)
n −1






p0  p n
γ
V
    − 1 = Cte.
+

2 γ − 1  ρ 0   p0 


2
p = γRT
y
c = γRT
γRT0 c02
p0
= RT0 =
=
ρ0
γ
γ
n
γ −1


γ


2
p
V2 +
c02   − 1 = Cte.

γ − 1  p0 


Si p = p0 y V = V0 :
γ −1


γ


p
2
V2 +
c02   − 1 = V02

γ − 1  p0 


γ −1


2 2  p  γ
2
2
V = V0 −
c0   − 1

γ − 1  p0 


pero como
Cp =
p − p0
1
ρ 0V02
2
⇒
p − p0 =
p
1 V02
Cp
= 1 + ρ0
p0
p0
2
1
ρ 0V02C p
2
p0 = ρ 0 RT0
1 V02
1
p
= 1 + γ 2 C p = 1 + γM 02C p
2 c0
2
p0
γM 0 C p
p
= 1+
p0
2
2
⇒
γ −1


2
γ


C
M
γ
2 2 
V 2 = V02 −
c0 1 + p 0  − 1
2 
γ −1 


Esta expresión nos da la velocidad local sobre el perfil en términos
de los parámetros de la corriente libre (p0; ρ0; M0; c0; V0 ).
Para obtener el número de Mach en dicho punto, debemos conocer la
expresión para la velocidad del sonido, c.
Sabemos que
c2 =
γp
ρ
y
c02 =
γp0
ρ0
luego
c
p ρ0
p  ρ 
 
.
=
=
c02 ρ p0 p0  ρ 0 
2
 p
c
 
=
c02  p0 
2
γ −1
γ
−
1
n
 p
=  
 p0 
 γC p M
= 1 +
2

2
0




n −1
n
γ −1
γ
o bien
 γC M
c 2 = c02 1 + p
2

2
0




γ −1
γ
Las ecuaciones para V y c determinan la velocidad local del fluído
sobre el perfil y la velocidad del sonido en el mismo punto.
Si buscamos el valor del coeficiente de presiones para el cual se dan
las condiciones sónicas sobre el perfil, denominado coeficiente de
presiones crítico, debemos igualar V y c, esto es:
γ −1
γ −1


2
2
 γC p M 0  γ
2c02  γC p M 0  γ

2
2

1+
V0 −
− 1 = c0 1 +




2 
2 
γ −1 



V02
2  γC p M
1+
−
2

2
C0 γ − 1 
2
0




γ −1
γ
 2  γ + 1  γC p M
 =
1+
+ 

2
 γ −1 γ −1
2
0




γ −1
γ
 γC p M
2
M +
= 1 +
γ − 1 
2
2
0
 γC p M
1 +

2

1+
C pcr
2
0




γ −1
γ
γC pcr M
2
2
0
=
2
0




γ −1
γ

2  γ + 1  γC p M
1 +
 =
1+

−
γ
γ
−
1
1
2



2
0




γ −1
γ
2
2  γ −1 2 
γ −1 2
M0 +
M0 
=
1 +
2
γ +1
γ +1 γ +1

 2  γ − 1 2 
M 0 
=
1 +
1
2
+
γ



γ
γ −1
⇒
γ


2
 2  γ − 1 2  γ −1 
M 0  − 1
=
= 
1 +
2
2
γM 0 γ + 1 




Con ayuda de esta ecuación puede evaluarse, para un dado número
de Mach de la corriente libre, el valor del coeficiente de presiones para el
cual comienzan a manifestarse problemas de compresibilidad.
Por otra parte el conocimiento del coeficiente de presiones permite el
cálculo de la sustentación y de la resistencia de presiones.
En efecto, integrando Cp a lo largo de un camino normal a la dirección del
viento local, a lo largo de la superficie del perfil, obtendremos el valor de L
y realizando la integración según un camino paralelo del viento local,
obtendremos la resistencia de presiones ( Dp ).
Resulta conveniente recordar la expresión deducida por Glauert
relacionando el coeficiente de presiones con el número de Mach:
Cp =
C p0
1 − M 02
donde Cp0 es el valor de Cp correspondiente a flujo incompresible y M0 el
número de Mach de la corriente libre.
Esta fórmula diverge a medida que M0 → 1, dejando de ser aplicable
en este último caso.
A esta altura resulta conveniente hacer un sumario de las ideas expuestas y
de cuales objetivos perseguimos.
a) El flujo alrededor de un ala puede ser expresado convenientemente en
función del coeficiente de presiones, el cual resulta similar en su
naturaleza a los coeficientes de sustentación y resistencia. El coeficiente
de presiones resulta negativo en aquellos puntos en los que la velocidad
local excede la de la corriente libre y positivo si sucede lo contrario.
b) Conocido como varía Cp sobre la superficie de un perfil, el mismo
puede ser integrado sobre la superficie para obtener L y Dp. En el 1er.
caso solo las componentes normales al viento local serán consideradas.
En el 2do. caso se trata de las componentes paralelas. La resistencia
obtenida de esta forma será la de presiones y no la de piel, la cual se
calcula con otros métodos.
c) Conocida la distribución de presiones sobre el perfil, los valores de esta
a partir de la cual pueden originarse efectos de compresibilidad se
calculan con ayuda de
C pcr
γ


γ
2
 2  γ − 1 2  −1 
M 0  − 1
=
=
1 +
2
γM 02  γ + 1 




Por encima de este número de Mach habrá zonas del flujo en régimen
transónico y supersónico.
d) La dependencia del coeficiente de presiones con el número de Mach
puede evaluarse con ayuda de la expresión
Cp =
C p0
1 − M 02
e) La anterior expresión deja de ser válida en las cercanías de M0 ≅ 1 y
para valores superiores.
f) Expresiones como la de Glauert son aplicables también al coeficiente de
sustentación y al de momentos:
CL =
C L1
;
1 − M 02
CM =
CM1
1 − M 02
Los efectos de la compresibilidad sobre la sustentación pueden ser
apreciados a partir de la curva CL versus α. En efecto, como la porción de
la curva antes del ángulo de pérdida es recta, entonces
dC L
= a (constante)
dα
Si aplicamos la corrección de Glauert, la nueva curva también será recta en
dicha sección
Resulta importante desrtacar que en los regímenes transónico y
supersónico la función deja de comportarse según una linea recta.
En consecuencia, para regímenes subsónicos, podemos escribir:
C L = (α a )
dC L
= (α a )a
dα
pues la curva evoluciona linealmente, siendo
α a = α − α l=0
En efecto, la ecuación de la recta sería
C L − C L l =0
α − α l =0
=a=
CL − 0
αa
Por lo tanto, se el subíndice “1” indica los valores de CL para bajos
números de Mach, entonces:
C L1 = (α a )a1 ; C L = (α a )a
∴
C L1 a1
= = 1 − M 02
CL
a
luego
a=
a1
1 − M 02
Estas ecuaciones concuerdan muy bien con los datos experimentales
sobre perfiles hasta números de Mach del orden de 0,6 a 0,7.
Para un dado número de Mach la curva del coeficiente de resistencia
sufre un súbito e importante incremento debido a los efectos de la
compresibilidad. El número de Mach correspondiente a este súbito
incremento se denomina número de Mach divergente o número de Mach
de divergencia de la resistencia.
Una curva típica de Cd versus M para CL constante es:
Resulta claro que, cuanto mas alto sea el Mach de la divergencia mejor será
el desempeño del pefil a altas velocidades subsónicas.
Ejemplo Ilustrativo
Si un aeroplano vuela a 400 mph a nivel del mar y la presión en
algún punto sobre la superficie del ala es 10,5 psi, ¿cuánto vale el
coeficiente de presiones en este punto y qué valor tiene el Mach local?
¿Cuál es el coeficiente de presiones crítico correspondiente al Mach de la
corriente libre?¿ Si el avión volara a 500 mph que valor tendría el
coeficiente de presiones según la expresión de Glauert? ¿ Es válida la
ecuación de Glauert a 500 mph?
Cp =
(10,5)(144 ) − 2116 = −1,485
p − p0
=
1
q0
(0,002378)(400 x1,467 )2
2
γ −1


2
γ


C
M
γ
2
0
p

 − 1
V 2 = V02 −
c02 1 +

2 
γ −1 


V02 = (400 x1,467 ) = 3,43 x105
2
c02 = (1117 ) = 1,245 x10 6
2
;
 (400 )(1,467 ) 
2
(
)
0
,
525
M =
=
= 0,276

 1117
2
2
0
( )
0, 4


1
2(1,245) 10  1,4(− 1,485)(0,276 )  , 4 
2
5
V = 3,43 x10 −
1 +
 −1


1,4 − 1
2



6
(
)(
)
V 2 = 3,43 x105 − 6,23 x10 6 − 9,19 x10 −2 = 9,155 x105
V = 957 pies / seg . = 653 mph
además
 γC M
c = c 1 + p
2

2
2
0
2
0




γ −1
γ
= 1,245 x10 (1 − 0,287 )
6
0, 4
1, 4
c 2 = 1,133 x10 6
C pcr
Cp =
→
c = 1063 pies / seg . ∴
M=
957
= 0,9
1063
γ
1, 4




 0, 4 
2
2
 2  γ − 1 2  γ −1 
 2  0,4 
=
=
= 
M 0  − 1 =
1 +
(0,276 ) − 1 = −1,909
1 +
γM 02  γ + 1 
2
2 



 1,4(0,276 ) 1,4 + 1 


C p0
1 − M 02
∴
C p1
C p2
=
1 − M 022
1 − M 021
1 ≡ 500 mph
y
2 ≡ 400 mph
 500(1,467 ) 
2
(
)
0,656
=
= 0,431
M =

1117


2
2
01
⇒
C p1 =
− 1,485 1 − 0,276
= −1,675
1 − 0,431
pero de la curva Cp = Cp (M0) surge que para M0 = 0,656 el Cpcr ronda el
valor
-0,95 ; por lo cual el valor calculado con Glauert no es válido ( -1,675).