Dept. GEII IUT - Université Bordeaux1
Paramètres S
Analyseur de réseaux
Amplification de puissance
G. Couturier
gerard.couturier@u-bordeaux1.fr
Sommaire
I- Introduction : modèle physique versus modèle comportemental
I-1- Paramètres physiques
I-2- Modèle physique simplifié de la diode et schéma aux petits signaux
I-3- Modèle physique simplifié du transistor et schéma aux petits signaux
I-4- Deux diodes tête bêche : un transistor ?
I-5- Modèle physique du transistor et schéma aux petits signaux
I-6- Paramètres comportementaux
I-7- Relation entre paramètres H et paramètres physiques
II- Les paramètres S d'un quadripôle
II-1- Signification physique des paramètres S
II-2- Relation entre paramètre S et paramètres H
II-3- Etude de cas : un transistor et un amplificateur
III- Principe de fonctionnement d’un analyseur de réseaux
III-1- L’analyseur de réseaux vectoriel HP8753D
III-2- Correction des erreurs
IV- Paramètres S et amplification de puissance
IV-1- Gain en puissance d’un quadripôle unilatéralisé
IV-2- Adaptation d’impédance : cas d’un quadripôle unilatéralisé
IV-3- Exemple de quadripôle unilatéralisé
IV-4- Gain en puissance d’un quadripôle réel
IV-5- Exemple de quadripôle réel : cercles de stabilité
a) adaptation simultanée, K>1
b) adaptation simultanée impossible, K<1, cercles de stabilité
c) adaptation en bruit
2
V- Adaptation d’impédance
V-1- Puissance déposée dans une charge : condition d’adaptation
V-2- Circuit d’adaptation
V-3- Adaptation d’une source à une charge via un câble
V-4- Exemple de calcul du réseau d’adaptation par logiciel
Exercice n°1 : Matrice Y de deux quadripôles en parallèle
Exercice n°2 : Paramètres S d’un quadripôle adaptateur
Exercice n°3 : L’amplificateur AD8354 1MHz – 2,7GHz
Exercice n°4 : Pont de mesure des paramètres S11 et S 22
Exercice n°5 : Coupleur latéral pour la mesure des paramètres S11 et S 22
Exercice n° 6 : Adaptation d’impédance et câble de transmission
Annexe 1 : Caractéristiques techniques des diodes BAW78 et BAS16
Annexe 2 : Caractéristiques techniques du transistor MRF104T1
Annexe 3 : Calcul du paramètre S12 en fonction des paramètres H
Annexe 4 : Caractéristiques techniques de l’amplificateur AD8354
Annexe 5 : Corrections des erreurs pour la mesure des paramètres S11 et S 22
Annexe 6 : Corrections des erreurs pour la mesure des paramètres S21 et S12
Annexe 7 : Gain en puissance d’un quadripôle unilatéralisé
Annexe 8 : Facteur de bruit NF d’un quadripôle
Annexe 9 : Matrice chaîne d’un tronçon de ligne
3
Pré requis : cours de propagation, coefficient de réflexion, rapport d’onde stationnaire,
abaque de Smith
Mots clés : modèle physique et comportemental, paramètres S, analyseur de réseaux,
correction des erreurs, détection synchrone
Le transistor bipolaire fut découvert en 1947 par J. Bardeen, W. H. Brattain et W. B.
Schockley des Laboratoires Bell Telephone. Pour cette découverte, ils reçurent le prix Nobel
en 1956. J. Bardeen obtint un second prix Nobel en 1972 avec L. N. Cooper et J. R. Schrieffer
pour la théorie de la Supraconductivité, théorie connue sous le nom de BCS.
I- Introduction : modèle physique versus modèle comportemental
I-1- Paramètres physiques
D’une manière générale, on a besoin en électronique de disposer de modèles des
composants pour faire de la simulation, c'est-à-dire prédire le comportement d’un montage
faisant appel à plusieurs composants. Il faut comprendre le mot composant au sens large, ça
peut être un simple transistor mais aussi un circuit intégré amplificateur comportant une
dizaine de transistors.
On dispose soit de modèles physiques soit encore de modèles comportementaux. Par
modèle physique, il faut comprendre un ensemble d’équations régissant le fonctionnement
physique du composant.
I-2- Modèle physique simplifié de la diode et schéma aux petits signaux
L’équation reliant le courant I D à la tension VD dans une diode, I D = I S (1 − e qVD / kT ) ,
est une équation déduite de la physique des semiconducteurs. Ce modèle physique simplifié
fait apparaître un seul paramètre : le courant de saturation I S , q = 1,6.10 −19 C est la charge
de l’électron, k = 1,38.10 −23 J / K est la constante de Boltzmann et T est la température en
degré Kelvin. Un modèle un peu plus élaboré donne : I D = I S (1 − e q ( VD − R s I D ) / NkT ) où
R s est la résistance série de la diode et N le facteur d’idéalité, en pratique R s est de l’ordre
de l’Ohm et 1 < N < 2 . L’effet de la résistance R s se manifeste aux forts courants quand
R s I D devient du même ordre de grandeur que VD . Les modèles physiques ci-dessus ne
permettent pas de prédire le comportement en fonction de la fréquence ni de prédire le
courant de bruit. Pour s’en convaincre, il suffit de faire l’expérience de la figure 1 : une f.e.m.
E, un générateur sinusoïdal e = A sin(ωt ) de fréquence f variable et une diode D. On fait les 3
expériences suivantes :
• e = 0 , la tension VD aux bornes de la diode est une tension continue égale à VD0 .
(
)
VD0 est obtenue en résolvant l’équation E = RI S e qVD0 / kT − 1 + VD0 pour le modèle plus
simple. Le courant I D passant dans la diode est un courant continu égal à I D0 :
 q V

D0


I D0 = I S  e kT
− 1 .




• e = A sin(ωt ) avec une basse fréquence f et une faible amplitude A, dans ce cas la
tension aux bornes de la diode est la somme d’une composante continue VD0 et d’une
tension sinusoïdale de fréquence f en phase avec la tension e du générateur. La tension V aux
4
(
)
bornes est obtenue en résolvant E + A sin(ωt ) = RI S e qVD / kT − 1 + VD . Si l’amplitude A est
faible, la tension VD n’est pas très différente de VD0 et on écrit que VD = VD0 + v .
q

 q V
 q (V + v ) 

 kT D0 kT v 
 kT D0
E + A sin(ωt ) = RI S  e
e
− 1 + VD0 + v
− 1 + VD0 + v = RI S  e








q
v
kT
Si la tension v est faible on peut remplacer e
par
q
2
2
v
q
1 q  2
q
1 q  2
kT
son développement limité
2kT
v >>   v , c'est-à-dire v <<
v +   v + ... . Si
ou
kT
2  kT 
q
kT
2  kT 
encore v << 50mV , alors seul le premier terme du développement est à retenir :
≈ 1+
e
q
v
q
kT
e
≈ 1+
v , c’est ce que l’on appelle l’approximation linéaire ; on a linéarisé
kT
l’exponentielle. On obtient donc :

 q V
D0 
q  

qV
/ kT
E + A sin(ωt ) = RI S  e kT
1
+
v
−
1
− 1 + VD0

  + VD0 + v avec : E = RI S e D0
 kT  



(
q
VD0 q
kT
d’où : A sin(ωt ) = RI S e
v + v ou encore : v =
kT
)
A sin(ωt )
q
VD0
qI
1 + R S e kT
kT
q
qI S kT VD0
La quantité
e
est homogène à l’inverse d’une résistance, en effet si on écrit
kT
q


qI S kT VD0 
CA
CA

e
=
=
= Ω −1 = S , posons
l’équation aux dimensions, on obtient :
 kT
 JK −1K CV


q
qI S kT VD0
1
=
. La tension v s’écrit alors :
e
kT
rD
v=
A sin(ωt )
1+ R
q
qI S kT VD0
e
kT
=
rD
rD
A sin(ωt )
=
A sin(ωt ) =
e
R
R + rD
R + rD
1+
rD
La résistance rD est égale à l’inverse de la pente de la caractéristique I D = f (VD )
calculée au point (I D0 , VD0 ) , voir la figure 2. C’est la résistance dynamique de la diode.
Vérifions le en calculant
dI D
, il vient :
dVD I , V
D0 D0
5
q
q
dI D
q kT VD
q kT VD0
1
e
e
= IS
= IS
=
dVD I , V
kT
kT
rD
D0 D0
VD0
Quand la diode est passante l’argument de l’exponentielle
l’unité,
effectivement
avec
VD0 ≈ 0,6V
et
q
VD0 est très supérieure à
kT
T ≈ 300K ,
on
obtient
q
1,6.10 −19
VD0 ≈
0,6 ≈ 23,1 , en conséquence le courant de repos I D0 de la diode
kT
1,38.10 − 23.300
q
 q V

VD0
 kT D0

kT
− 1 ≈ I S e
s’écrit : I D0 = I S  e
. On peut donc écrire la résistance rD sous la




forme : rD =
kT
q
VD0
qI S e kT
≈
U
kT
25.10 −3
kT
= T ≈
(en Ω) avec U T =
.
qI D0 I D0
I D0
q
rD
e sous forme d’un schéma électrique dans
R + rD
lequel apparaît uniquement la tension e, la résistance R, la résistance rD et la tension v. Ce
schéma est dessiné à la figure 1-b. Ce schéma est appelé le schéma aux variations ou encore
schéma aux petits signaux.
On peut retranscrire l’équation v =
• e = A sin(ωt ) avec une haute fréquence f et une faible amplitude A. Dans ce cas, on
constate que la tension v est beaucoup plus faible et qu’elle n’est plus en phase avec la
tension e, voir la figure 1-c. C’est donc que le modèle physique utilisé pour décrire le
comportement de la diode est incorrect. En effet, aux hautes fréquences il faut tenir compte du
fait que les porteurs de charge (électrons et trous) ne se déplacent plus en phase avec
l’excitation e. A l’équation I D = I S (1 − e qVD / kT ) décrivant le fonctionnement statique, il
faut ajouter d’autres équations, en conséquence le schéma aux variations de la diode est
modifié, cela revient à mettre une capacité C D en parallèle sur la résistance rD . Ce schéma
permet de rendre compte de ce qui est observé expérimentalement.
Dans les outils de simulation, exemple SPICE (Simulation Program with Integrated
Circuit Emphasis), la diode est décrite par 15 paramètres : le courant de saturation I 0 , la
résistance série R S , le facteur d’idéalité N, la capacité de la jonction à potentiel nul, la bande
interdite du matériau semiconducteur, les paramètres de bruit, … . Ces paramètres sont
déterminés par des mesures courant-tension I(V), des mesures en fonction de la fréquence, de
la température, des mesures de bruit, … L’annexe 1 contient les caractéristiques techniques
des diodes BAW78 et BAS16 de Infineon et les paramètres SPICE .
I-3- Modèle physique simplifié du transistor et schéma aux petits signaux
Un transistor bipolaire, NPN par exemple, est constitué comme le montre le schéma de la
figure 3 d’une zone N, l’émetteur, riche en électrons, d’une zone P, la base, riche en trous et
6
d’une zone N, le collecteur riche en électrons. Le dopage du collecteur est plus faible que le
dopage de l’émetteur, ce qui fait qu’émetteur et collecteur ne jouent pas le même rôle.
Dans le mode de fonctionnement normal, la jonction Base - Emetteur est polarisée dans le
sens passant, en conséquence des électrons sont injectés de l’Emetteur vers la Base et des
trous de la Base vers l’Emetteur. Pour obtenir l’effet transistor, il faut une faible épaisseur de
Base, q.q. µm , de telle sorte que les électrons injectés dans la Base ne se recombinent pas
avec les trous de la Base. Le Collecteur est porté à un potentiel fortement positif par rapport à
la base, la jonction Collecteur – Base est donc polarisée en inverse, ce fort potentiel positif
attire donc les électrons : c’est l’effet transistor. Si les recombinaisons dans la Base sont en
faible quantité le courant du Collecteur est très peu différent du courant d’Emetteur.
R
e
(a)
I
e
VD
D
VD0
E
(b)
R
VD
t
e
t
e
rD
basse
fréquence
VD
VD0
schéma aux variations
de la diode
t
schéma aux variations en basses
fréquences
(c)
R
e
t
e
rD C
haute
fréquence
VD
VD0
t
schéma aux variations
de la diode
schéma aux variations en hautes
fréquences
Figure 1 : (a) e = 0 , la tension VD aux bornes de la diode est égale à VD0 , (b) schéma
électrique aux petites variations en basses fréquences, la tension v est en phase avec
l’excitation e, (c) schéma électrique aux petites variations en hautes fréquences, la tension
v n’est plus en phase avec l’excitation e.
7
ID
pente au point M de coordonnées ( I D0 , VD0 )
dI D
I D0
rD =
M
dVD
dI D
dVD
VD0
VD
Figure 2 : Caractéristique I D = f (VD ) d’une diode, la pente dVD / dI D au point
M est égale à la résistance dynamique de la diode
EMETTEUR (N)
IE
BASE (P)
COLLECTEUR (N)
flux d’électrons
IC
flux de
trous
injectés dans l’émetteur
IB
recombinaison dans la base
Figure 3 : Effet transistor : les électrons injectés à partir de l’Emetteur sont, si la base est
peu épaisse, pratiquement tous collectés par le Collecteur
Si I C , I E et I B sont respectivement les courants de Collecteur, d’Emetteur et de Base, on
peut écrire :
I C + I B = I E
(1)

 I C = αI E
8
où α ≈ 1 mais inférieur à 1, α dépend entre autres de la largeur de la base, de la
concentration en dopant de la base, … . Ce coefficient traduit le fait que la majorité des
électrons injectés à partir de l’Emetteur sont captés par le Collecteur.
α
α
Des deux équations, on tire : I C =
, c’est le gain en courant. La
I B , on pose β =
1− α
1− α
caractéristique courant – tension de la jonction Base – Emetteur obéit, comme pour la diode
 q V

BE


− 1 où I S est le courant
étudiée précédemment, à une équation du type : I B = I S  e kT




de saturation.
En résumé, le modèle physique le plus simple d’un transistor se ramène à deux équations :
I C = βI B


 q

I = I  e kT VBE − 1
S

 B





(2)
Le schéma électrique associé à ces deux équations est représenté à la figure 4 : une diode
pour la jonction Base – Emetteur et un générateur de courant coté Collecteur.
B
I C = βI B
IB
 q V −1 
BE 

diode I B = I S  e kT





C
générateur
de courant
E
Figure 4 : Modèle physique simplifié d’un transistor : 2 paramètres
I S et β.
Le réseau de caractéristique associé au modèle physique est représenté à la figure 5. Dans
le troisième quadrant on trace la caractéristique d’entrée de la jonction Base - Emetteur
 q V

 kT BE

− 1 . Dans le deuxième quadrant la caractéristique I C = βI B . Si on fait
I B = IS  e




l’hypothèse, peu raisonnable, que le courant I C ne dépend ni de la tension VCB , ni de la
tension VBE , on obtient dans le premier quadrant des droites horizontales, paramétrés en I B ,
puisque VCE = VCB + VBE .
Pour un point de fonctionnement donné (VBE0 , I B0 , VCE0 , I C0 ) , on obtient le schéma aux
petits signaux de la figure 6. Les courants et tensions i b , v be , i c et v ce représentent les
variations des tensions et courants I B , VBE , I C et VCE . Les éléments du schéma, rbe et β,
sont obtenus, comme pour la diode, en différentiant les équations (2) du modèle physique
9
autour du point de fonctionnement et en changeant les notations ( dI B → i b , dVBE → v be ,
dVBE
1
dI C → i c et dVCE → v ce ), on obtient donc rbe =
.
=
q
dI B
V
q kT BE0
IS
e
kT
 I C = βI B
 i c = βi b
 dI C = β dI B

 q V



q
q
(3)
⇒
VBE 0
VBE 0
I = I  e kT BE − 1 ⇒ 
q
q
kT
kT
B
S


dI
I
e
dV
i
I
e
v
=
=
b

 B
S
BE
S
be


kT
kT





II
IC
IC = IB
I
I C0
I B0
IB
(
)
I B = I S e qVBE / kT − 1
III
VCE
VCE 0
VBE 0
IV
VBE
Figure 5 : Caractéristiques I B − VBE , I C − I B et I C − VCE d’un transistor
simplifié
i c = βi b
ib
B
rbe
générateur
de courant
C
v ce
E
E
Figure 6 : Schéma aux petits signaux du transistor de la
figure 4
autour du point de fonctionnement
(VBE0 , I B0 , VCE0 , I C0 )
Comme
pour
la
diode,
l’exposant
q
VBE0 >> 1 ,
kT
il
s’ensuit
que
q
 q V

VBE 0
 kT BE 0

I B0 = I S  e
− 1 ≈ I S e kT
, en conséquence la résistance rbe se met sous la




10
1
forme rbe =
=
q
q kT VBE 0
IS
e
kT
température T = 300K .
βU T
kT
kT 1
kT β
avec U T =
≈ 25.10 − 3 V à la
=
=
q I B0
q I C0
I C0
q
I-4- Deux diodes tête bêche : un transistor ?
Le transistor de la figure 3 est, a priori, constitué de deux diodes tête bêche N- P (Base –
Emetteur) et P – N (Base – Collecteur). Si on réalise le montage de la figure 7-a avec deux
diodes D1 et D 2 et deux tensions de polarisation E1 et E 2 de mêmes polarités que celles de
la figure 3, le courant I D 2 = 0 , il n’y a pas d’effet transistor. En fait, c’est comme si nous
avions réalisé un transistor avec une très grande épaisseur de base, figure 7-b. Dans ce cas, les
électrons injectés, depuis l’Emetteur vers la Base, sont intégralement recombinés avec les
trous de la Base, l’effet transistor disparaît, le courant I C = 0 .
(a)
I D1 D1
D2
D2
flux d’électrons
E
I D2 = 0
I D1
E1
(b)
D1
B
C
IC = 0
E2
Figure 7 : Deux diodes tête bêche : un transistor ?
I-5- Modèle physique du transistor et schéma aux petits signaux
Le modèle physique du § 1-3 est une bonne entrée en la matière mais est insuffisant pour
décrire les caractéristiques réelles des transistors. Quand on fait des mesures courant – tension
avec un transistor bipolaire on obtient le réseau de caractéristiques de la figure 8. La
principale différence se situe dans le premier quadrant, le courant I C dépend de VCE .
On peut expliquer qualitativement l’allure des caractéristiques du premier quadrant.
Jusqu’à maintenant nous n’avons pas parlé des zones de déplétion aux jonctions, on rappelle
qu’une zone de déplétion est une zone isolante sans porteur libre. Dans la portion de
caractéristique AB de la figure 8, la diode Base – Collecteur est polarisée en inverse, au
contact il se forme une zone de déplétion d’autant plus grande que la tension Collecteur –
Base est grande comme le montre la figure 9. Pour une tension VBE donnée, plus VCB est
grand et donc VCE ( VCE = VCB + VBE ), plus la zone de déplétion est grande, ce qui a pour
effet de réduire la largeur de Base où les électrons injectés de l’Emetteur se recombinent avec
les trous de la Base. Ceci a pour effet d’augmenter le flux d’électrons atteignant le Collecteur.
Cet effet est connu sous le nom d’effet Early (1952). C’est la raison pour laquelle le courant
I C augmente quand VCE augmente.
11
IC
I
B
A
effet Early
IC = IB
I C0
I B0
IB
O
VBE 0
VCE 0
VCE
VBE
Figure 8 : Caractéristiques I B − VBE , I C − I B et I C − VCE d’un transistor
zone de déplétion
VBE
VCB1
zone de déplétion
VBE
VCB2>VCB1
Figure 9 : La zone de déplétion de la jonction Collecteur – Base est
d’autant plus grande que la tension VCB est grande, ce qui a pour effet de
réduire la largeur de Base où les électrons injectés de l’Emetteur se
recombinent avec les trous de la Base.
On observe aussi que l’allure du courant I C est modifiée pour les faibles tensions VCE ,
portion AO de la caractéristique de la figure 8. Quand la tension VCB , donc la tension VCE ,
12
devient faible, les électrons injectés dans la Base ne sont plus suffisamment attirés par le
Collecteur. Faisons un rapide calcul, prenons VBE = 0,6V , si VCE = 0,2V par exemple, on
obtient VCB = VCE − VBE = −0,4V , la jonction Base – Collecteur est polarisée dans le sens
passant. Pour attirer les électrons, et donc obtenir l’effet transistor, le Collecteur doit être
porté à un potentiel positif par rapport à la Base, ce n’est plus le cas, c’est la raison pour
laquelle le courant I C diminue. Si le point de fonctionnement du transistor se trouve sur la
portion de caractéristique AO, le transistor est dit saturé et la relation I C = β I B ne tient plus,
dans ce cas les courants I E et I B peuvent devenir du même ordre de grandeur alors que dans
la portion AB, I B << I E avec I C ≈ I E .
Le schéma aux petits signaux de la figure 6 doit donc être modifié pour prendre en compte
l’augmentation du courant I C en fonction de VCE . A partir de maintenant, les schéma aux
petits signaux ne sont valables que si le transistor n’entre pas dans la zone de saturation,
le point de fonctionnement ne doit donc pas se trouver sur la portion AO de la caractéristique.
Le courant I C dépend maintenant de deux variables : I C = f (I B , VCE ) . Pour obtenir le
comportement aux variations il suffit de calculer, comme nous l’avons fait précédemment,
∂I C
∂I
autour d’un point de fonctionnement, la différentielle : dI c = C dI B +
dVCE et de
∂I B
∂VCE
∂I C
a les dimensions de
changer les notations : dI C → i c , … etc. La dérivée partielle
∂VCE
∂I
1
, la dérivée partielle C est encore égale
l’inverse d’une résistance, on pose : rce =
∂I C
∂I B
∂VCE
1
v ce . La résistance rce est appelée la
au gain en courant β d'où la relation : i c = βi b +
rce
résistance de sortie du transistor. Le schéma aux petits signaux devient donc celui de la figure
10-a. On introduit la transconductance g m (en AV −1 ou en S) en écrivant que le
v
β
générateur de courant βi b = β be et en posant g m =
, on obtient le schéma de la figure
rbe
rbe
10-b.
Quelques ordres de grandeur : Typiquement, le courant de base I B0 est de l’ordre de
q.q.10 µA , d’où rbe =
kT 1
25.10 −3
≈
≈ 2500Ω , le gain en courant β est de l’ordre de
q I BE0 10.10 − 6
10 2
= 40.10 − 3 AV −1 = 40mAV −1 . On
2500
retiendra que g m est de l’ordre de q.q. dizaine de mA / V .
q. q. 10 2 , en conséquence la transconductance g m =
13
ib
B
rbe
(a)
βi b
ic
rce
générateur
de courant
C
v ce
E
E
(b)
ic
B
g m v be
v be générateur
rbe
de courant
rce
v ce
E
Figure 10 : Schéma électrique aux petits signaux prenant en
compte la résistance de sortie rce du transistor.
Le schéma aux petits signaux de la figure 10 ne permet pas de rendre compte du
comportement du transistor aux hautes fréquences, c'est-à-dire à des fréquences où le temps
de réponse des porteurs de charge devient du même ordre de grandeur que la période du
signal. Comme pour la diode, il faut tenir compte des capacités Base – Emetteur C b' e et
Collecteur – Base C b' c , voir le schéma de la figure 11. Expérimentalement, on observe que
l’impédance d’entrée ne tend pas vers zéro aux hautes fréquences, en effet la Base de l’effet
transistor n’est pas directement accessible comme le montre la coupe d’un transistor à la
figure 12. Il existe une résistance rbb' d’une dizaine d’Ohm entre la Base accessible et la
Base réelle de l’effet transistor.
B
v be
rbb'
rb' e
rb' c
C
B’
C b' e
C b' c g m v b' e
v b' e
rce
v ce
E
E
Figure 11 : Schéma de Giacoletto aux petits signaux
14
Par ailleurs, l’impédance entre la Base B’ et le Collecteur C n’est pas purement capacitive,
c’est pourquoi il faut mettre en toute rigueur en parallèle avec la capacité C b' c une résistance
rb' c . Cette résistance de forte valeur est souvent négligée dans les calculs.
Le schéma électrique aux petits signaux de la figure 11 est connu sous le nom de schéma
de Giacoletto.
NB : Le schéma de Giacoletto, fait donc apparaître un couplage entre l’entrée et la sortie
du transistor. Il s’ensuit que suivant les composants mis autour du transistor, un montage
amplificateur peut se transformer en montage oscillateur.
B
E
C
N
rbb'
SiO 2
région
B’ active
N+
P
SiO 2
N
Collecteur enterré N+
substrat P
Figure 12 : Vue en coupe d’un transistor et origine de la résistance rbb'
Les schémas aux petits signaux ont pendant très longtemps permis de faire des calculs
analytiques de gain, de fréquence de coupure, d’impédance d’entrée et de sortie … à l’époque
où les outils CAO n’avaient pas encore envahi les bureaux d’études. En même temps que la
puissance de calcul des ordinateurs augmentait, on a cherché des modèles physiques de plus
en plus près de la réalité. Le premier modèle physique utilisé fut celui de Ebers et Moll
(1954), ce modèle ne prenait pas en compte l’effet Early. Le modèle physique utilisé
aujourd’hui dans les simulateurs (modèle SPICE) est le modèle de Gummel et Poon (1970).
Ces modèles permettent de simuler le comportement d’un composant quel que soit le point de
fonctionnement, la fréquence, l’amplitude des signaux d’excitation puisque le composant est
décrit par un ensemble d’équations tirées de la physique et que les paramètres intervenant
dans les équations sont mesurés expérimentalement.
Un transistor est donc décrit par un ensemble de paramètres, le modèle complet de
Gummel et Poon fait apparaître 41 paramètres listés dans le tableau 2. Bien souvent, on ne
dispose pas de tous les paramètres, ce qui veut dire que la simulation donne un résultat
approché.
15
Tableau 1 : Modified Gummel-Poon BJT parameters
16
A titre d’exemple, on donne en annexe 2, les caractéristiques du transistor MRF1047T1.
Le tableau de paramètres SPICE du transistor MRF1047T1 ne comprend que 35 paramètres.
Les paramètres SPICE sont mesurés sous pointes, ils ne prennent pas en compte les
« bondings » entre la puce de silicium et le boîtier SC-70. Pour le transistor MRF1047T1, le
constructeur donne les éléments capacitif et inductif à ajouter au modele SPICE pour obtenir
une simulation plus précise. On ne compte pas moins de 5 capacités et 5 inductances dont les
ordres de grandeur sont de q.q. 100fF et de q.q. 100pH.
I-6- Paramètres comportementaux
Plutôt que de travailler avec un modèle physique, on peut travailler avec un modèle
comportemental. Dans ce cas, point n’est besoin de connaître la physique du composant, on
traite le composant (transistor, amplificateur, …) comme un quadripôle, on dit aussi comme
une « boîte noire ». Le quadripôle est caractérisé par 4 paramètres, ces paramètres sont des
paramètres petits signaux. Dans le cas d’un transistor, les paramètres sont donnés pour un
point de fonctionnement donné et pour une fréquence donnée. Dans le cas d’un
amplificateur, les paramètres sont donnés pour une tension d’alimentation et une fréquence
donnée.
Sur la figure 13 on a donc représenté un quadripôle, V1 et I1 sont respectivement la
tension et le courant à l’entrée, V2 et I 2 sont respectivement la tension et le courant en
sortie.
I1
V1
I2
Quadripôle
(transistor,
amplificateur, …)
V2
Figure 13 : Le transistor, l’amplificateur, .. est traité comme
un quadripôle
Pendant très longtemps, on a utilisé les paramètres H (comme Hybride), Y (comme
admittance) ou Z (comme impédance) pour caractériser les quadripôles.
Les paramètres Z relient les tensions d’entrée V1 et de sortie V2 aux courants d’entrée I1
et de sortie I 2 . Les quatre paramètres Z ont pour dimensions des impédances.
 V1 = z11I1 + z12 I 2


V = z I + z I
21 1
22 2
 2
(4)
Les paramètres Y relient les courants d’entrée I1 et de sortie I 2 aux tensions d’entrée V1
et de sortie V2 . Les quatre paramètres Y ont pour dimensions des admittances.
17
 I1 = y11V1 + y12 V2


I = y V + y V
21 1
22 2
 2
(5)
Les paramètres H sont, comme leur nom l’indique, des paramètres hybrides. Ils relient la
tension d’entrée V1 et le courant de sortie I 2 au courant d’entrée I1 et à la tension de sortie
V2 . C’étaient les paramètres les plus utilisés avant que les paramètres S soient introduits dans
les années 70.
 V1 = h11I1 + h12 V2


I = h I + h V
21 1
22 2
 2
(6)
Aux paramètres H, on peut associer le schéma électrique de la figure 14. Le paramètre h11
a la dimension d’une impédance (en Ω), le paramètre h12 est sans unité, le paramètre h 21 est
également sans unité, c’est un gain en courant et le paramètre h 22 a la dimension d’une
admittance (en S).
I1
I2
h11
h 21I1
V1
h 22
h12 V2
V2
Figure 14 : Schéma électrique associé aux paramètres
H d’un quadripôle
V
. Pour le
Les paramètres H se mesurent. Le paramètre h11 est égal à : h11 = 1
I1 V = 0
2
mesurer il faut faire un court circuit, aux variations, sur la sortie comme le montre la figure
15. On injecte une tension à l’entrée et on mesure le courant d’entrée. Le paramètre h11
représente l’impédance d’entrée quand la sortie est en court circuit.
18
I1
I2
h 21I1
h11
V1
h 22
h12 V2
V2 = 0
Figure 15 : Mesure du paramètre h11
V1
. Pour le mesurer, on injecte une tension coté
V2 I = 0
1
sortie et on mesure la tension à l’entrée comme le montre la figure 16. On notera que le
paramètre h12 est la signature du couplage de la sortie vers l’entrée. Un quadripôle avec
h12 ≠ 0 est susceptible d’osciller.
Le paramètre h12 est égal à : h12 =
I1
I2
h 21I1
h11
V1
h 22
V2
h12 V2
Figure16 : Mesure du paramètre h12
I
Le paramètre h 21 est égal à : h 21 = 2
. Pour le mesurer, on injecte une tension coté
I1 V = 0
2
entrée et on mesure les courants I1 et I 2 en entrée et sortie comme le montre la figure 17. Le
paramètre h 21 représente le gain en courant quand la sortie est en court circuit aux
variations.
I1
I2
h11
h 21I1
V1
h 22
h12 V2
Figure 17 : Mesure du paramètre h 21
19
V2 = 0
I
. Pour le mesurer, on injecte une tension coté
Le paramètre h 22 est égal à : h 22 = 2
V2 I = 0
1
sortie et on mesure le courant I 2 en sortie comme le montre la figure 18. Le paramètre h 22
représente l’admittance de sortie quand l’entrée est en circuit ouvert.
I1
I2
h 21I1
h11
V1
h 22
V2
h12 V2
Figure 18 : mesure du paramètre h 22
I-7- Relation entre paramètres H et paramètres physiques
On peut bien entendu établir une correspondance entre les paramètres comportementaux H
et ceux du schéma électrique aux petits signaux déduit d’un modèle physique. Faisons ce
travail avec le schéma aux petits signaux de la figure 10. Les tensions et courants
V1 , I1 , V2 et I 2 du quadripôle de la figure 13 deviennent respectivement : v be , i b , v ce et i c

 v be = rbe i b



v
v ce
= g m v be + ce
i c = β i b +
rce
rce

notation du schéma petits signaux de la figure 10
Les équations avec les paramètres H s’écrivent :
 V1 = h11I1 + h12 V2


I = h I + h V
21 1
22 2
 2
L’analogie entre les paramètres physiques et comportementaux conduit aux relations
1
.
suivantes : h11 = rbe , h12 = 0 , h 21 = β = g m rbe et h 22 =
rce
La figure 19 montre les modèles physique et comportemental d’un transistor simplifié.
20
B
I1
C
g m v be
v be
rbe
I2
h 21I1
rce
v ce
⇒
V1
1
h11
h 22
V2
E
(a) modèle physique
(b) modèle comportemental
Figure 19 : Modèles physique (a) et comportemental (b) d’un transistor simplifié
Les calculs précédents font apparaître un gain en courant h 21 = g m rbe indépendant de la
fréquence, c’est le gain en courant statique dénommé dans les datasheet h FE . Le transistor
MRF1047T1 a un h FE compris entre 100 et 300 pour le point de fonctionnement
{VCE = 3V, I C = 3mA} , voir l’annexe 2. Compte tenu des capacités C b' e et C b' c le gain en
courant h 21 diminue quand la fréquence augmente. On appelle fréquence de transition d’un
transistor, la fréquence pour laquelle le gain en courant devient égal à l’unité. Le transistor
MRF1047T1 a par exemple une fréquence de transition f t = 12GHz pour le point de
fonctionnement {VCE = 3V, I C = 3mA} .
Déterminons pour le schéma de Giacoletto aux petites variations de la figure 11 le gain en
I
courant h 21 = 2
en fonction de la fréquence. La figure 20 montre le montage pour le
I1 V = 0
2
calcul de h 21 , on néglige la résistance rb' c .
I1
rbb'
B rb' e
v be
B’
C
C b' c
C b' e
v b' e
E
Figure 20 : Détermination du gain en courant h 21
Ecrivons les équations aux nœud B’ et C :
21
g m v b' e
rce
I2

 1 + jrb' e C b' e ω 
 + (I 2 − g m v b' e ) = 0
I1 − v b' e 
rb' e




 I − g v + v jC ω = 0
m b' e
b' e b' c
 2

(7)
D’une des deux équations on tire v b' e que l’on réinjecte dans l’autre, on obtient :
C


1 − j b' c ω


I2
gm


h 21 =
= g m rb' e

I1 V = 0
1 + j(C b' e + C b' c )rb' e ω 
2




Les ordres de grandeur des composants permettent de simplifier l’expression. Prenons les
pour
I C = 3mA ,
valeurs
du
transistor
MRF1047T1,
h FE = g m rb' e ≈ 150
h
kT
≈ 1290Ω à T = 300K et g m = FE ≈ 0,12AV -1 , les capacités C b' e et C b' c
rb' e
qI C
sont de l’ordre 0,5pF et 0,3pF respectivement (figure 1 et 2 de la datasheet). On déduit que :
C b' c
≈ 2,5.10 −12 s −1 et (C b' e + C b' c )rb' e ≈ 10 −9 s −1 , d’où l’approximation justifiée :
gm
rb' e = h FE


I
1

h 21 = 2
≈ g m rb' e 
I1 V = 0
1 + j(C b' e + C b' c )rb' e ω 

2
(8)
Le tracé asymptotique 20 log10 h 21 en fonction de log10 (f ) est donné à la figure 21.
Quand
f
devient très supérieure à la fréquence de coupure à -3dB,
1
f − 3dB =
≈ 160MHz , le gain en courant peut être approximé par :
2π(C b' e + C b' c )rb' e
g m rb' e
. La fréquence de transition f t correspond à h 21 = 1 , soit :
h 21 ≈
j(C b' e + C b' c )rb' e ω
gm
= 1 . On obtient :
(C b' e + C b' c )2πf t
gm
ft =
(9)
2π(C b' e + C b' c )
Le constructeur annonce f t ≈ 12GHz , c’est une valeur typique mesurée, avec les valeurs
précédentes de g m , C b' e et C b' c on obtient 23GHz.
22
20 log10 h 21
20 log10 (g m rb' e )
f − 3dB =
0dB
1
2π(C b' e + C b' c )rb' e
ft =
log10 (f )
gm
2 π( C b ' e + C b ' c )
Figure 21 : Tracé asymptotique 20 log10 h 21 en fonction de log10 (f )
Les paramètres H se mesurent donc en réalisant soit un circuit ouvert en entrée ( I1 = 0 )
soit encore un court circuit en sortie ( V2 = 0 ). Si en pratique il est facile de réaliser un circuit
ouvert ou un court circuit aux basses fréquences, il n’en est pas de même aux hautes
fréquences, dans le domaine des GHz, c'est-à-dire quand les dimensions des circuits sont du
Vitesse
avec
même ordre de grandeur que la longueur d’onde λ . On rappelle que λ =
f
Vitesse de l’ordre de 2.108 ms −1 ; pour f = 5GHz , on obtient λ = 4cm . Aux très hautes
fréquences, un fil n’est plus équipotentiel (voir cours de propagation), un court circuit à
tendance à se comporter comme une inductance et un circuit ouvert comme une capacité. Par
ailleurs, quand les transistors sont chargés par des impédances réactives (inductance ou
condensateur), ils ont tendance à osciller, ce qui rend les mesures impossibles. C’est pour ces
raisons que les paramètres S ont été introduits dans les années 70.
II- Les paramètres S d'un quadripôle
Soit un quadripôle Q sous test (en anglais DUT pour Device Under Test) connecté en
entrée à une source d’impédance Z s via une ligne d’impédance caractéristique Z c réelle. La
sortie du quadripôle est chargé par une impédance Z l via une ligne d’impédance
caractéristique Z c .
Le quadripôle possède des impédances d'entrée et de sortie de valeurs quelconques et, de
ce fait, se trouve désadapté vis à vis des lignes de transmission ; des ondes réfléchies existent
donc à la fois au niveau de son entrée et de sa sortie comme le montre la figure 22.
Les grandeurs V1 , V1' , V1" , V2 , V2' , V2" , I1 et I 2 sont des grandeurs complexes qui
dépendent de la fréquence du générateur.
La tension V1 à l’entrée du quadripôle est la somme d’une onde incidente et d’une onde
réfléchie (cours de propagation), idem pour le courant :
23
V1 = V1' + V1"
et I1 =
(10)
V1' − V1"
ZC
En sortie du quadripôle, on a :
V2 = V2' + V2"
et I 2 =
Zs
e(t)
Ligne d’impédance
caractéristique Z c
ZC
Quadripôle Q
sous test
Ligne d’impédance
caractéristique Z c Z l
V2'
V1'
V1 = V1' + V1"
(11)
V2' − V2"
Quadripôle Q
sous test
V2 = V2' + V2"
V2"
V1"
Figure 22 : Définition des différentes grandeurs d'entrée et de sortie d'un quadripôle Q
Examinons maintenant la signification des différentes composantes des tensions et
courants en entrée et en sortie du quadripôle :
V1' : onde incidente à l'entrée du quadripôle
- une partie de cette onde est transmise par le quadripôle et contribue à V2"
- une partie de cette onde est réfléchie par l'entrée du quadripôle et contribue à V1"
V2' : onde réfléchie par Z l en sortie du quadripôle
- une partie de cette onde est transmise par le quadripôle vers son entrée et, repartant
vers le générateur, vient contribuer à V1"
- une partie de cette onde est réfléchie par la sortie du quadripôle et repart vers la charge
Z l , contribuant ainsi à V2"
24
On peut donc exprimer V1" et V2" en fonction de V1' et V2' , il vient :
V1" = S11 V1' + S12 V2'
sous forme matricielle
V2" = S 21 V1' + S 22 V2'
 V1"   S11
  
 =
 " 
 V2   S 21
 
S12  V1' 

  (12)
 
S 22  V2' 
 
Les paramètres S (Scattering parameters ou paramètres de diffusion) sont au nombre de
quatre : S11, S12, S21 et S22. Ce sont des grandeurs complexes, sans dimension, qui rendent
compte des différents processus de transmission et de réflexion mis en jeu au niveau de
l'entrée et de la sortie du quadripôle.
II-1- Signification physique des paramètres S
A partir des équations (12) précédentes, on obtient :
Ö
S11 =
V1"
V1'
(13)
V2' = 0
Dire que V2' = 0 revient à dire qu'aucun signal ne revient sur la sortie du quadripôle, la
charge Z l = Z c .
S11 représente donc le coefficient de réflexion à l'entrée du quadripôle lorsque sa
sortie est adaptée.
Ö
S 22 =
V2"
V2'
(14)
V1' = 0
Dire que V1' = 0 revient à dire qu'aucun signal ne revient sur l’entrée du quadripôle,
l’impédance de source Z s = Z c .
S22 représente donc le coefficient de réflexion à la sortie du quadripôle lorsque son
entrée est adaptée.
Ö
S12 =
V1"
V2'
(15)
V1' = 0
S12 représente donc le coefficient de transmission du quadripôle de la sortie vers
l'entrée, lorsque son entrée est adaptée.
25
Ö
S 21 =
V2"
V1'
(16)
V2' = 0
S21 représente donc le coefficient de transmission du quadripôle de l'entrée vers la
sortie, lorsque sa sortie est adaptée.
Les quatre paramètres S sont donc mesurés en référence à une impédance Z c , en général
50Ω . Les quadripôles passifs, un tronçon de ligne de propagation par exemple, sont
réciproques ; il en résulte que S11 = S 22 et que S12 = S 21 .
Les paramètres S sont utilisés pour le calcul des réseaux d’adaptation en entrée et en sortie
et pour le calcul du gain en puissance.
II-2- Relation entre paramètre S et paramètres H
Au § I-7, nous avons établi une correspondance entre les paramètres H et les paramètres
physiques aux petites variations. Nous pouvons bien entendu faire de même et établir une
correspondance entre les paramètres S et les paramètres physiques ou bien encore avec les
paramètres H.
Les calculs sont assez longs, pour en montrer le principe, on prend un quadripôle avec le
paramètre h12 = 0 , ce paramètre est en général faible. L’idéal serait d’avoir h12 = 0 , en effet
h12 est la signature d’un couplage de la sortie vers l’entrée, h12 ≠ 0 risque donc de
transformer un quadripôle amplificateur en oscillateur.
Le paramètre S11 =
V1"
V1'
se calcule à partir du schéma de la figure 23. Pour obtenir
V2' = 0
V2' = 0 , il faut charger le quadripôle par une résistance de 50Ω égale à l’impédance
caractéristique Z c = 50Ω (ou autre valeur, par exemple 75Ω ) des câbles de mesure. Le
paramètre S11 est donc le coefficient de réflexion à l’entrée, soit :
h − Zc
S11 = 11
h11 + Z c
Le paramètre S12 =
V1"
V2'
(17)
est obtenu en attaquant le quadripôle par la sortie et en
V1' = 0
chargeant l’entrée par une résistance de 50Ω égale à Z c afin d’obtenir V1' = 0 comme le
montre le schéma de la figure 24. Les tensions V 1' = V1" = V1 = 0 car il n’y a pas, avec
h12 = 0 , de réaction de la sortie sur l’entrée, en conséquence :
S12 = 0
Si S12 = 0 , le quadripôle est dit unilatéralisé.
26
(18)
I1
h 21I1
V1'
V1
I2
V2' = 0
1
h11
h 22
V1"
V2"
V1 = V1' + V1"
50Ω
V2
V2 = V2"
Figure 23 : Schéma pour le calcul du paramètre S11 en fonction des
paramètres H
I1
V1' = 0
V1
I2
h 21I1
h11
50Ω
V1" = 0
1
V2'
h 22
V2"
V2
V2 = V2' + V2"
V1 = V1' + V1" = 0
Figure 24 : Schéma pour le calcul du paramètre S12 en fonction des
paramètres H
Le paramètres S 21 =
1

 Zc
h 22
V2" = −

1
 Zc +
h 22

V2"
V1'
se déduit encore à partir du schéma de la figure 23.
V2' = 0


Zc
h I = −
h 21I1
21
1

h 22 Z c + 1


V1 = V1' + V1" = h11I1 et
V1"
h − Zc
= 11
d’où :
V1' h11 + Z c
 h − Zc 
 2h11 
 = V1' 

h11I1 = V1' 1 + 11
 h11 + Z c 
 h11 + Z c 
27
On réinjecte I1 dans l’expression de V2" et on obtient :
V2"
V1'  2h11 
Zc
Zc

 , d’où l’expression de S 21 :
h 21I1 = −
h 21
=−
h 22 Z c + 1
h 22 Z c + 1
h11  h11 + Z c 
S 21 = −
Le paramètre S 22 =
V2"
V2'
2 Z c h 21
(h11 + Z c )(h 22 Z c + 1)
(19)
se déduit encore à partir du schéma de la figure 24.
V1' = 0
Dans la maille d’entrée, il n’y a pas de source d’énergie, en conséquence I1 = 0 . En sortie
le courant h 21I1 = 0 , le rapport
1
h 22
, d’où
V2"
=
V2'
V2"
V2'
est donc égal au coefficient de réflexion de l’impédance
1
− Zc
1 − h 22 Z c
h 22
=
et on obtient :
1
1 + h 22 Z c
+ Zc
h 22
1 − h 22 Z c
S 22 =
1 + h 22 Z c
(20)
Dans le cas où le paramètre h12 ≠ 0 , ce qui est toujours le cas en pratique, le tableau 1
donne les correspondances entre les paramètres S et les paramètres H. En annexe 3, on
explique comment trouver le paramètre S12 en fonction des quatre paramètres H.
Paramètre S en fonction des paramètres H
S11 =
(h11 − Z c )(1 + Z c h 22 ) − Z c h12 h 21
(h11 + Z c )(1 + Z c h 22 ) − Z c h12 h 21
S12 =
2 Z c h12
(h11 + Z c )(1 + Z c h 22 ) − Z c h12 h 21 )
S 21 =
− 2 Z c h 21
(h11 + Z c )(1 + Z c h 22 ) − Z c h12 h 21
S 22 =
(h11 + Z c )(1 − Z c h 22 ) + Z c h12 h 21
(h11 + Z c )(1 + Z c h 22 ) − Z c h12 h 21
Tableau 1 : Relation entre paramètres S et
paramètres H
28
II-3- Etude de cas : un transistor et un amplificateur
a- un transistor : La datasheet du transistor MRF1047T1 contient comme nous
l’avons vu les paramètres SPICE à utiliser dans un simulateur SPICE. Ces paramètres,
rappelons le, permettent de simuler tout type de situation : excitations petits et grands
signaux, mode bloqué, conducteur ou saturé, domaine de fréquence du continu à q.q. GHz,
c'est-à-dire jusqu’à la limite du modèle physique. La datasheet contient également les
paramètres S, ils sont utilisables dans un simulateur de paramètres S. On rappelle que les
paramètres S sont des paramètres petits signaux et qu’ils ne sont valables qu’autour d’un
point de fonctionnement donné. Le tableau 2 contient par exemple les paramètres S aux
fréquences de 0,1 , 1 et 5GHz et pour le point de fonctionnement VCE = 1V et I C = 3mA . Le
paramètre K renseigne sur la stabilité du transistor, en effet S12 ≠ 0 peut rendre le transistor
instable. Les paramètres S permettent de calculer les réseaux d’adaptation à mettre en entrée
et en sortie du transistor pour obtenir par exemple un gain en puissance maximum.
On observe que le paramètre S 21 , dont le module au carré est égal au gain en puissance
quand Z s = Z l = Z c , diminue quand la fréquence augmente, ceci est relié au fait que le gain
en courant diminue avec la fréquence (voir le §1-7). Le paramètre S12 augmente quand la
fréquence augmente, ceci est dû principalement à la capacité de C b' c dont l’impédance
devient de plus en plus faible quand la fréquence augmente.
IC
f(GHz)
S11
S 21
S12
S 22
1V
3 mA
0.1GHz
0.947∠ − 17°
9.3∠165°
0.028∠80°
0.955∠ − 11°
0 .1
1V
3 mA
1GHz
0.388∠ − 110°
3.93∠93°
0.138∠49°
0.471∠ − 50°
0.78
1V
3 mA
5GHz
0.382∠93°
1.176∠6°
0.470∠29°
0.260∠ − 133°
0.97
VCE
K
Tableau 2 : Paramètres S du transistor MRF1047T1 pour le point de fonctionnement
VCE = 1V et I C = 3mA
On peut vérifier, pour l’exemple, l’ordre de grandeur du paramètre S11 à la fréquence de
0,1GHz pour VCE = 1V et I C = 3mA . La fréquence de 0,1GHz est bien inférieure à la
fréquence de transition f t = 12GHz , en conséquence les effets capacitifs sont quasiment
1290 − 50
kT
≈ 1290Ω et S11 =
≈ 0,92 , la
négligeables, on peut donc écrire h11 ≈ h FE
1290 + 50
qI C
datasheet donne S11 = 0,94∠ − 17° . Nous pouvons faire de même pour le paramètre S 21 ,
avec comme approximations : h 22 ≈ 0 et h12 ≈ 0 , on obtient d’après le tableau 1,
− 2 Z c h 21
S 21 ≈
, dans une première approche on peut prendre h 21 ≈ h FE = 150 et on
(h11 + Z c )
− 2x 50x150
≈ −11 soit 11∠180° , la datasheet donne 9,3∠165° . On peut affiner
obtient S 21 ≈
(1290 + 50)
le résultat en prenant en compte le fait qu’à la fréquence de 0,1GHz le paramètre h 21 est un


1

peut différent de h FE , en effet d’après la relation (8), h 21 = g m rb' e 
 1 + j(C b' e + C b' c )rb' e ω 
29



1
soit avec les valeurs numériques h 21 = 150
6
 1 + j 100.10

160.10 6

S 21 ≈ 9,5∠150° .



 = 127∠ − 32° , on obtient alors :



b- un amplificateur : L’amplificateur large bande AD8354, dont la datasheet est donnée à
l’annexe 4, est un amplificateur à deux étages de gain 20dB sur la bande de fréquence
1MHz − 2,7GHz . Les ports d’entrée et de sortie ont des impédances quasiment égales à 50Ω
sur toute la bande, on peut le vérifier en observant les tracés de S11 et S 22 dans l’abaque de
Smith (figure 3 et 6 de la datasheet). On rappelle que le point au centre de l’abaque
correspond à une impédance égale à Z c = 50Ω c'est-à-dire à un coefficient de réflexion nul,
le paramètre S11 ( S 22 ) est le coefficient de réflexion en entrée (sortie) quand la sortie
(entrée) est chargée par Z c = 50Ω . Pour caractériser l’amplificateur on utilise aussi le terme
de « input return loss » et «output return loss » ; input return loss = 20 log10 S11 . Le
paramètre S12 ≈ −33dB (reverse isolation), soit S12 ≈ 0,022 , ce qui montre que le couplage
de la sortie vers l’entrée est très faible, l’idéal serait, rappelons le, S12 = 0 . L’amplificateur
peut délivrer une puissance de 4,3dBm ( ≈ 2,7 mW ), avec un gain de 20dB à 900MHz . La
2,7 x10 −3
≈ 3,7% ,
3x 24 x10 − 3
il est beaucoup plus faible que le rendement théorique (25%) d’un amplificateur classe A
basse fréquence.
consommation sous 3V est égale à 24mA , le rendement est donc égal à :
III- Principe de fonctionnement d’un analyseur de réseaux
L’analyseur de réseaux est l’outil indispensable tant pour la caractérisation des composants
de base comme les transistors et les composants passifs que pour la caractérisation de circuits
intégrés, ou non, comme les amplificateurs et les mélangeurs utilisés dans le domaine des
télécommunications.
Le synoptique simplifié d’un analyseur de réseaux 2 ports est donné à la figure 25. Il
comprend une source RF (Radio Fréquence) synthétisée construite en général autour d’un
oscillateur à quartz de grande stabilité (TCXO : Temperature Compensated Crystal Oscillator
ou OCXO : Oven Controlled Temperature Crystal Oscillator) et d’une boucle à verrouillage
de phase (PLL pour Phase Locked Loop). Dans un analyseur 2 Ports, la source peut être
dirigée vers le Port 1 (ou Port 2) pour la mesure des paramètres S11 et S21 (ou S22 et S12 ).
La puissance injectée est ajustée au moyen d’un atténuateur. Il est important de pouvoir
ajuster la puissance lors des tests sur des dispositifs actifs (transistor, amplificateur,
mélangeur, …), en effet les paramètres S sont des paramètres petits signaux et doivent être
mesurés dans le domaine linéaire. La puissance fournie par la source est séparée en deux
(power splitter) , une partie est dirigée vers la voie référence, l’autre est dirigée vers le
système sous test (DUT pour Device Under Test) . La tension réfléchie est mesurée, suivant le
domaine de fréquence, au moyen d’un pont ( VSWR bridge pour Voltage Standing Wave
Ratio) ou d’un coupleur (directional coupler) basé sur le principe de deux lignes couplées.
Les signaux RF sont translatés autour d’une fréquence intermédiaire (FI) au moyen d’un
mélangeur et d’un oscillateur local. Ils sont ensuite échantillonnés et numérisés et enfin traités
numériquement dans un processeur.
30
Les paramètres S sont complexes et sont, dans tous les cas, égaux au rapport de deux
tensions. Il faut donc mesurer le rapport de ces deux tensions mais aussi le déphasage entre
les deux tensions. On utilise à cet effet une détection synchrone, en pratique, cette opération
est réalisée numériquement. Intéressons nous par exemple à la détermination du paramètre
V1"
S11 =
V1' '
V2 = 0
. Prenons le signal V1' comme référence des phases : V1' = V1' e jωt . Le signal
V1" s’écrit alors : V1" = V1" e j(ωt + ϕ) = V1" e jωt (cos ϕ + j sin ϕ) où ϕ est le déphasage entre
les deux tensions V1' et V1" , le diagramme de Fresnel correspondant est donné à la figure 26.
Il faut donc d’une part mesurer la composante de V1" en phase avec V1' , c-à-d V1" cos ϕ et
d’autre part la composante en quadrature de phase V1" sin ϕ . Pour obtenir le paramètre S11 , il
faut également mesurer le module de V1' , au final on obtient :
S11 =
V1" e j(ωt + ϕ)
V1' e jωt
=
V1" e jϕ
V1'
=
V1" cos ϕ
V1'
+j
V1" sin ϕ
(21)
V1'
filtre FI
voie mesure
A
DSP
diviseur
Port 1
A
coupleur
DUT
N
N
DSP
voie référence
atténuateur
voie mesure
A
A
Port 2
N
N
DSP
DSP
voie référence
source RF synthétisée
oscillateur local
Figure 25 : Synoptique simplifié d’un analyseur de réseaux (source : Fundamental of Vector
Network Analysis, Michael Hiebel, Rohde & Schwarz, 2007).
31
vecteurs
tournant à la
fréquence f
V1"
V1" sin ϕ
V1"
ϕ
V1'
V1" cos ϕ
Figure 26 : Représentation de Fresnel des tensions V1' et V1"
Le principe de fonctionnement d’un détecteur synchrone est décrit à la figure 27, il
comprend : deux multiplieurs, un déphaseur de π / 2 et deux filtres passe bas.
multiplieurs de
constante k=1V-1
1 ' "
V1 V1 cos(ϕ)
2
V1" cos(ωt + ϕ)
filtre passe-bas
V1' cos(ωt )
déphaseur
de π/2
1 ' "
V1 V1 sin(ϕ)
2
filtre passe-bas
Figure 27 : Principe de fonctionnement d’un détecteur synchrone pour la récupération des
composantes en phase et quadrature de phase.
Le
signal
temporel
( )
v1' ( t )
associé
à
V1' = V1' e jωt
complexe
s’écrit
:
v1' = ℜ V1' = V1' cos(ωt ) où ℜ désigne la partie réelle. Le signal temporel v1' ' ( t ) associé à
V1" s’écrit : v1" = V1" cos(ωt + ϕ) . Après multiplication et filtrage passe-bas on obtient
1 ' ''
V1 V1 cos(ϕ) , le signal haute fréquence de pulsation 2ω est éliminé par le filtre passe-bas.
2
1
La composante en quadrature de phase V1' V1' ' sin(ϕ) est obtenue en multipliant v1' ' ( t ) par
2
v1' ( t ) déphasé de π/2.
32
Pour obtenir les parties réelle et imaginaire du paramètre S11 il faut mesurer l’amplitude
V1' et ensuite diviser les deux signaux
1 ' "
1
V1 V1 cos(ϕ) et V1' V1" sin(ϕ) par
2
2
V1'
2
2
Le module de S11
2
2
.
 V"

 V"

 1

 1

est obtenu en calculant : 
cos(ϕ)  + 
sin(ϕ) 
 V1'

 V1'





2
soit
2
 V" 
 V" 
V1'
 1 
 1 
 '  +  '  = ' ' . La phase de S11 est obtenue en calculant :
V1
 V1 
 V1 





 V"

 1
 ' sin(ϕ) 

 V1
 = atan (tg (ϕ) ) = ϕ .
atan

 V1"

cos(ϕ) 

 V '

 1
NB : Certain appareils ne mesurent que le module de S11 , ce sont des analyseurs de
réseaux scalaires.
III-1- L’analyseur de réseaux vectoriel HP8753D
C’est un analyseur 2 Ports qui permet de mesurer les 4 paramètres S d’un quadripôle sans
avoir à retourner le quadripôle. La puissance de la source est ajustable dans une large gamme,
c’est important pour faire des mesures petits signaux. Comme dans le cas des analyseurs de
spectre, la vitesse de balayage en fréquence est d'autant plus lente que la bande passante du
filtre FI est étroite. Plus la bande passante du filtre FI est faible, plus faible est le bruit. Les
principales caractéristiques sont rassemblées dans le tableau 3.
Description
Fréquence
Résolution
Puissance de sortie
Bande passante FI
Niveau de bruit
Spécification
30kHz – 6GHz
1Hz
-85dBm à 10dBm
10Hz – 3kHz
-102dBm pour 10Hz de bande entre
30kHz et 3GHz
-82dBm pour 3kHz de bande entre
30kHz et 3GHz
NB : valeur limite
kT∆f → −163dBm pour 10Hz
50Ω
≥ 10dB de 30kHz à 50kHz
≥ 20dB de 50kHz à 300kHz
≥ 18dB de 300kHz à 1,3GHz
≥ 16dB de 1,3GHz à 3GHz
≥ 14dB de 3GHz à 6GHz
Tableau 3 : Principales caractéristiques de l’analyseur HP8753D
Impédance d’entrée des Ports
Return loss
33
Le traitement numérique des données permet d'inclure les opérations suivantes :
- AVERAGING (permet de faire la moyenne de plusieurs enregistrements)
- SMOOTHING (permet de lisser les points de mesure d’un enregistrement, c’est un
filtre numérique). On peut cumuler AVERAGING et SMOOTHING
- CORRECTION (permet la correction des erreurs dues aux câbles reliant le DUT à
l’appareil)
- PORT EXTENSION (permet de raccourcir ou allonger virtuellement la longueur
des câbles )
- etc ...
III-2- Correction des erreurs
Pour accéder aux paramètres S d’un quadripôle Q, il faut le relier par des câbles à
l’analyseur de réseaux comme le montre la figure 28. Les paramètres S mesurés ne sont donc
pas les paramètres S du quadripôle mais ceux de l’ensemble quadripôle Q + câbles +
connecteurs éventuels. Les câbles et connecteurs introduisent des pertes et des déphasages.
L
où V est la vitesse
Pour rappel, un câble de longueur L introduit un déphasage de φ = 2π.f
V
de propagation, si L = 50cm , f = 1GHz et V = 2.108 ms −1 on obtient : φ = 5π rd .
analyseur de réseaux
Port 2
Port 1
câbles
Q
Figure 28 : Les câbles perturbent la mesure des paramètres S du quadripôle Q
Pour obtenir les paramètres S du quadripôle Q il faut procéder à une correction des
erreurs, c'est-à-dire caractériser dans un premier temps les câbles de mesure et procéder dans
un deuxième temps à un calcul permettant de s’affranchir des câbles.
La procédure de calibration est analogue à celle que l'on pourrait faire par exemple pour la
mesure d’une faible résistance en continue, en effet pour une mesure précise il faut soustraire
la résistance des fils de mesure, ceci dit pour une mesure de résistance il est préférable
d’utiliser une mesure 4 fils qui dispense de la mesure des fils.
Pour effectuer la correction des erreurs sur la mesure du paramètre S11 (ou S 22 ), il faut
procéder à trois mesures préliminaires sur des charges de référence : court-circuit, circuit
ouvert et charge 50Ω comme le montre la figure 29. Le détail des calculs à effectuer pour
obtenir le paramètre S11 (ou S 22 ) est donné à l’annexe 5.
34
Pour effectuer la correction des erreurs sur la mesure du paramètre S 21 (ou S12 ), il faut
procéder à une mesure préliminaire comme le montre la figure 30. Le détail des calculs à
effectuer pour obtenir le paramètre S 21 (ou S12 ) est donné à l’annexe 6.
Analyseur de réseaux
Analyseur de réseaux
Port 1
Port 1
(b)
(a)
Q
CC
CO
50Ω
Figure 29 : (a) Calibration pour la mesure du paramètre S11, (b) mesure du
paramètre S11 du quadripôle Q
Analyseur de réseaux
Analyseur de réseaux
Port 1 Port2
Port1 Port2
(b)
(a)
Q
Figure 30 : (a) Calibration pour la mesure du paramètre S21, (b) mesure du
paramètre S21 du quadripôle Q
Dans de nombreuses situations, l'entrée (IN) et la sortie (OUT) du quadripôle Q ne sont pas
accessibles, c’est le cas par exemple d’un quadripôle Q monté sur un circuit imprimé comme
le montre la figure31. Dans ce cas, il est difficile de prendre en compte les deux pistes dans la
correction des erreurs, tout simplement parce qu’on ne peut pas connecter les charges étalons
au niveau de l’entrée IN du quadripôle. Pour remédier à cet inconvénient, certains analyseurs
de réseaux proposent une correction appelée Port Extension, la longueur des câbles est
allongée (ou raccourcie) mathématiquement. En effet, si la longueur des pistes est faible, les
pertes sont négligeables et les pistes introduisent seulement un déphasage qu’il est possible de
prendre en compte par un calcul matriciel (voir annexe 6).
35
pistes cuivre
câble
câble
Q
OUT
IN
connecteur
connecteur
plaquette circuit imprimé
plans de référence
Figure 31 : L’entrée IN et la sortie OUT du quadripôle Q sont
inaccessibles, la fonction Port Extension permet dans ce cas d’effectuer une
correction mathématique des erreurs pourvu que la vitesse des ondes dans
les pistes soit connue.
IV- Paramètres S et amplification de puissance
On s’intéresse dans un premier temps au cas des quadripôles unilatéralisés ( S12 = 0 ). On
rappelle qu’un quadripôle unilatéralisé est toujours stable. On exprime le gain en puissance
G P en fonction des paramètres S. Dans un deuxième temps, on traite le cas des quadripôles
réels ( S12 ≠ 0 ), on étudie le gain en puissance et la stabilité.
IV-1- Gain en puissance d’un quadripôle unilatéralisé
Le quadripôle est attaqué par une source d’impédance Z s et il est chargé par une
impédance Z l comme le montre la figure 32.
Zs
Quadripôle Q
Paramètres S
Zl
Γ2
Γ1
Figure 32 : Le quadripôle Q est attaqué par une source
d’impédance Z s et il est chargé par une impédance Z l
On appelle gain en puissance G P , le rapport suivant :
P
Puissance dans la charge Z l
GP = l =
Ps Puissance disponible de la source
36
La puissance disponible Ps d’une source est la puissance maximale qu’elle peut fournir.
Une source d’impédance Z s et de valeur crête E peut fournir une puissance Ps =
E2
où
8ℜ( Z s )
ℜ( Z s ) désigne la partie réelle Z s .
Le détail du calcul du gain en puissance G P est donné à l’annexe 7, on obtient :
G P = S 21
1 − Γ 2 1 − Γ
1
2
2 

2
2
1 − Γ1S11 1 − Γ2S 22


(22)
2
Zs − Z c
Z − Zc
et Γ2 = l
. Γ1 et Γ2 sont respectivement les coefficients de
Zs + Zc
Zl + Zc
réflexion de la source et de la charge. On vérifie que dans le cas où ZS = Z l = Z c , soit
avec Γ1 =
2
Γ1 = Γ2 = 0 , le gain en puissance G P est égal S 21 (figure 33).
Pour la suite de l’exposé, il est intéressant d’écrire le gain G P de l’équation (22) comme
étant le produit de trois gains :
1 − Γ 2 
1 − Γ 2 
1
2
2 



(23)
GP =
S 21
2
2
1 − Γ1S11
1 − Γ2S 22
1 − Γ 2 
1
 représente le gain apporté par le circuit d’adaptation à l’entrée.
Le premier terme 
2
1 − Γ1S11
Le deuxième terme
S 21
2
est le gain de transfert du quadripôle, c’est le gain obtenu quand
le quadripôle est attaqué par une source d’impédance Z s = Z c , soit encore Γ1 = 0 , et qu’il est
1 − Γ 2 
2
 représente le gain apporté
chargé par Z = Z , soit Γ = 0 . Le troisième terme 
l
c
2
1 − Γ2S 22
2
par le circuit d’adaptation en sortie.
Zc
Quadripôle Q
unilatéralisé
Paramètres S
Zc
G P = S 21
2
Figure 33 : Dans le cas particulier où Z s = Z l = Z c , le gain en
2
puissance G P est égal à S 21 .
37
Pour obtenir le gain maximum G P max , il faut adapter les impédances en entrée et en
sortie. A l’entrée, il faut que l’impédance d’entrée Z e du quadripôle Q soit égale au complexe
Z − Zc
conjugué de Z s , Z e = Z*s , ce qui revient à écrire que S11 = Γ1* . En effet : Γ1 = s
Zs + Zc
*
Z − Zc
1 + Γ1
1 + S11
* 1 + Γ1
d’où Z s =
et Z s =
, de la même manière S11 = e
d’où Z e =
, on
*
1 − Γ1
Ze + Zc
1 − S11
1 − Γ1
conclut que Z e = Z*s conduit à S11 = Γ1* . En sortie il faut, de la même manière, satisfaire
l’égalité S 22 = Γ2* .
*
et
Pour obtenir le gain maximum G P max , on remplace dans l’équation (23) Γ1 par S11
Γ2 par S*22 , on obtient :

* 2
1 − S11


 S 2
G P max =
2 21
*
1 − S11
S11
soit : G P max =
1
1 − S 2 
11


S 21
2

1 − S*22

2
1 − S*22S 22

* 2
 1 − S11

 =
S 2
2 21
2
1
1 − S
22

1−
* 2
S11

1 − S*22

1−
2


2
* 2
S 22
(24)
2


IV-2- Adaptation d’impédance : cas d’un quadripôle unilatéralisé
En pratique, le coefficient de réflexion Γ1 de la source et Γ2 de la charge ne vérifient pas
*
et Γ2 = S*22 . En conséquence, pour obtenir le gain maximum G P max il
les égalités Γ1 = S11
faut adapter en entrée et en sortie. Le schéma de la figure 34-a montre le cas d’une source et
d’une charge de même impédance Z c réelle égale à l’impédance de référence ayant servie à
la mesure des paramètres S du quadripôle.
Dans le cas où S12 = 0 , les adaptations en entrée et en sortie se calculent
indépendamment l’une de l’autre puisqu’il n’y a pas de couplage de la sortie vers
l’entrée.
Le circuit d’adaptation d’entrée doit avoir une impédance d’entrée égale à Z c et une
impédance de sortie égale au complexe conjuguée de l’impédance d’entrée du quadripôle. En
terme de coefficient de réflexion, il faut donc que le coefficient de réflexion d’entrée soit nul
*
et celui de sortie égal à S11
.
Le circuit d’adaptation de sortie doit avoir une impédance de sortie égale à Z c et une
impédance d’entrée telle que le coefficient de réflexion soit égale S*22 .
Si le quadripôle est distant de la source et de la charge, ce qui est généralement le cas au
moins pour la charge, on peut alors intercaler des câbles d’impédance caractéristique Z c sans
modifier le gain en puissance, à condition que les câbles soient sans perte. En pratique les
câbles présentent toujours un peu de perte, en conséquence le gain est un peu faible.
38
coefficient de
réflexion
0
impédance
Zc
câble d’impédance
caractéristique Zc
Zc
Quadripôle Q
Paramètres S
circuit
d’adaptation
d’entrée
Zc
Zc
circuit
d’adaptation
de sortie
*
S11
S*22
0
*
1 + S11
1 + S*22
Zc
*
1 − S11
circuit
d’adaptation
d’entrée
1 − S*22
Quadripôle Q
Paramètres S
circuit
d’adaptation
de sortie
Zc
Figure 34 : Pour obtenir le gain maximum G P max , il faut adapter en entrée et en sortie.
IV-3- Exemple de quadripôle unilatéralisé
Reprenons le transistor MRF1047T1 et créons un fichier de paramètres S avec S12 = 0 ,
tableau 4.
! Paramètres S du MRF1047T1 VCE = 1V , I C = 1mA
# MHz S11
S21
S12
S22
100 0.973 -10 3.49 171 0.0 84 0.987 -6
300 0.938 -30 3.35 154 0.0 72 0.952 -17
500 0.875 -48 3.03 137 0.0 60 0.877 -25
700 0.770 -64 2.75 124 0.0 51 0.812 -33
900 0.685 -79 2.51 112 0.0 45 0.745 -39
1000 0.649 -85 2.40 107 0.0 42 0.717 -42
1300 0.555 -105 2.09 92 0.0 36 0.639 -48
1500 0.509 -117 1.92 84 0.0 33 0.601 -53
1800 0.454 -136 1.72 72 0.0 30 0.553 -58
2000 0.434 -148 1.59 66 0.0 30 0.531 -62
2500 0.417 -175 1.38 50 0.0 32 0.477 -73
3000 0.403 164 1.23 39 0.0 37 0.457 -83
3500 0.416 142 1.10 28 0.0 41 0.454 -93
4000 0.442 125 1.00 20 0.0 43 0.448 -105
4500 0.454 109 0.95 12 0.0 41 0.433 -118
5000 0.478 96 0.89 6 0.0 37 0.437 -133
Tableau 4 : Fichier de paramètres S du transistor
MRF1047T1 unilatéralisé
39
Prenons, comme pour la figure 34, une impédance de source Z s = Z c = 50Ω et une
impédance de charge Z l = Z c = 50Ω . On cherche à obtenir le gain maximum G P max pour
le point de fonctionnement VCE = 1V , I C = 1mA et pour une fréquence f = 1GHz .
D’après l’équation (23), le gain maximum est donc égal à :
G P max = 2,4 2
1
(1 − 0,649 2 )(1 − 0,717 2 )
≈ 20,5
La figure 35 montre le résultat de simulation avant adaptation, on retrouve bien S 21 = 2,4
comme attendu et donc un gain en puissance égal à 2,4 2 = 5,76 . La figure 36 montre la
fenêtre où une adaptation en entrée et en sortie à 50Ω et à f = 1GHz est demandée, les
circuits d’adaptation sont de type passe-bas.
La figure 37 montre le résultat du calcul des circuits d’adaptation, le module du paramètre
S 21 de l’ensemble, quadripôle Q et circuits d’adaptation, est maintenant égal à 4,5 . En
conséquence le gain en puissance est égal 4,5 2 ≈ 20,5 , c’est bien la valeur attendue. Des
adaptations avec des circuits de type passe-bas peuvent modifier le point de fonctionnement
statique du transistor, en effet il y a dans ce cas une liaison continue entre la Base du
transistor et la source puis entre le Collecteur du transistor et la charge. Des adaptations avec
des circuits de type passe-haut permettent d’éliminer ce problème. Une solution est donnée à
la figure 38, l’adaptation d’entrée est encore de type passe-bas car le calcul avec un circuit
passe-haut conduit à une valeur de capacité négative, ce qui n’est pas raisonnable, c’est la
raison pour laquelle on a gardé un circuit de type passe-bas. Pour isoler en continue la source
de la Base du transistor, il faut alors mettre un condensateur de liaison de forte valeur en série
avec l’inductance, la capacité de ce condensateur doit vérifier l’inégalité
1
C >>
, soit C >> 2,1pF . Avec C = 20pF , on obtient S 21 = 4,44 soit
−9
11,8x10 (6,28x10 9 ) 2
quasiment la même valeur qu’en l’absence de C, voir la figure 39. Il ne faut pas mettre une
capacité de trop forte valeur, en effet au-delà de sa fréquence de résonance, un condensateur
se comporte comme une inductance.
40
Figure 35 : Le paramètre S 21 est égal à 2,4 à la fréquence de 1GHz
Figure 36 : Adaptation par deux réseaux de type passe-bas à la fréquence de
1GHz
41
Figure 37 : Le nouveau paramètre S 21 est égal à 4,5 à la fréquence de 1GHz
Figure 38 : Autre solution possible avec un filtre passe haut en sortie
42
Figure 39 : Le condensateur de liaison C = 20pF ne modifie pas la valeur de
S 21 et permet d’isoler, en continu, la source de la Base du transistor
IV-4- Gain en puissance d’un quadripôle réel
En pratique le paramètre S12 est différent de zéro, ceci a plusieurs conséquences :
- Les circuits d’adaptation d’entrée et de sortie ne peuvent plus être calculés
indépendamment l’un de l’autre à cause du couplage de la sortie vers l’entrée
- Le quadripôle peut devenir instable, en effet la réaction de la sortie vers l’entrée
peut transformer un amplificateur en oscillateur
Un calcul similaire à celui de l’annexe 7 conduit à l’expression du gain suivant :
G P = S 21
2
1 − Γ 2 1 − Γ 2 
1
2



(1 − Γ1S11 )(1 − Γ2S 22 ) − Γ1Γ2S12S 21
2
(25)
On vérifie que si S12 = 0 , le gain est bien égal à celui de l’équation (22). Le gain
maximum nécessite, comme précédemment des circuits d’adaptation en entrée et en sortie. En
écrivant que les coefficients de réflexion doivent être complexes conjugués, on obtient
maintenant un ensemble de deux équations couplées, on ne peut plus calculer les adaptations
d’entrée et de sortie séparément.
43
 Γ1* = S11


Γ * = S
22
 2
S12S 21
 *
S
Γ
=
+
1
11

1
− S 22

Γ2


 *
S12S 21
 Γ2 = S 22 + 1

− S11

Γ1
quadripôle réel
⇒
quadripôle unilatéralisé
(26)
La stabilité d’un système peut être étudiée par le critère de Nyquist si le gain complexe du
système est connu, voir par exemple le cours d’automatique et le cours sur les oscillateurs en
électronique. Dans le cas des paramètres S, un quadripôle est stable si le module des
coefficients de réflexion, Γe et Γs , reste inférieur à l’unité comme le montre la figure 40.
Zs
Quadripôle Q
Paramètres S
Zl
Γs
Γe
Figure 40 : Le quadripôle est stable si Γe < 1 et Γs < 1
En effet, un module de coefficient de réflexion supérieur à l’unité signifie que l’onde
réfléchie est supérieure à l’onde incidente, ceci ne peut être obtenu que si le quadripôle oscille
et est donc instable. Quand S12 ≠ 0 , Γe ( Γs ) dépend des paramètres S du quadripôle mais
aussi de la charge Z l ( Z s ).
La résolution des équations (26) peut ne pas avoir de solution assurant Γe < 1 et Γs < 1 .
On dit dans ce cas que l’adaptation simultanée est impossible. L’adaptation simultanée est
impossible si le facteur de Rolett K est inférieur à l’unité. Le facteur de Rolett est égal à :
2
2
1 + ∆ − S11 − S 22
K=
2 S12 S 21
2
avec ∆ = S11S 22 − S12 S 21
(27)
Si le facteur K est supérieur à l’unité, l’adaptation simultanée est possible. Le maximum de
gain disponible (MAG pour Maximum Available Gain) est donné par :
G P max =
S 21 

2
 K ± K − 1
S12 

(28)
signe + ; si 1 + S11
2
− S 22
2
−∆
2
<0
signe - ; si 1 + S11
2
− S 22
2
−∆
2
>0
44
Lorsque K < 1 , il faut utiliser ce qu’on appelle les cercles de stabilité pour calculer
l’impédance de source Z s et l’impédance de charge Z l qui assurent la stabilité. Nous traitons
un cas ci-dessous avec comme exemple le transistor MRF1047T1.
Si le facteur K est inférieur à l’unité, le maximum de gain en puissance assurant encore la
stabilité (MSG pour Maximum Stable Gain), avec Γe < 1 et Γs < 1 , est donné par :
G MSG =
S 21
S12
(29)
IV-5- Exemple de quadripôle réel
a) adaptation simultanée, K>1
Dans le tableau 5, on a reporté le coefficient de Rolett K pour le point de fonctionnement
VCE = 1V , I C = 1mA et 1GHz < f < 5GHz du transistor MRF1047T1. Les valeurs sont
issues de la datasheet de l’annexe 2.
L’adaptation simultanée à la fréquence de 3,5GHz par exemple, avec K = 1,12 , est
possible comme le montre le résultat de simulation de la figure 41. D’après la simulation, le
module de S 21 est égal à 1,6 d’où un gain en puissance G P max = 1,6 2 = 2,56. Cette valeur
est en bon accord avec la valeur calculée, en effet la quantité
S 21 

2
1 + S 2 − S 2 − ∆ 2  = 0,95 , d’où G
 K − K − 1  = 2,6 .
11
22
P max =


S12 

Fréquence
Facteur K
1,0 GHz
0,49
…..
…..
1,8 GHz
0,85
2,0GHz
0,92
2,5 GHz
1,09
3,0 GHz
1,14
3,5 GHz
1,12
4,0 GHz
1,05
4,5 GHz
0,99
5,0 GHz
0,95
Tableau 5 : Facteur de Rolett K en fonction
de la fréquence pour le point de
fonctionnement VCE = 1V , I C = 1mA
45
Figure 41 : L’adaptation simultanée à la fréquence de 3,5GHz est possible
car K = 1,12 , le paramètre S 21 = 1,6
b) adaptation simultanée impossible, K<1, cercles de stabilité
Une adaptation simultanée à la fréquence de 1GHz est par exemple impossible car, d’après
le tableau 5, le facteur de Rolett est inférieur à l’unité, K = 0,49. Pour cette fréquence
particulière et le point de fonctionnement VCE = 1V , I C = 1mA , le constructeur donne les
cercles de stabilité, voir la figure 16 de l’annexe 2. Il faut distinguer les cercles de stabilité
en entrée et en sortie.
Le cercle de stabilité en sortie renseigne sur les valeurs de Z l , ou plutôt de
Z − Zc
, qui conduisent à un module de Γe supérieur à l’unité, c'est-à-dire à un
Γ2 = l
Zl + Zc
quadripôle instable, voir la figure 42 pour la définition de Γe et Γ2 .
Zs
Quadripôle Q
Paramètres S
Zl
Γ2
Γe
Figure 42 : Le cercle de stabilité en sortie renseigne sur les
valeurs de Γ2 qui conduisent à Γe > 1
46
La figure 43 montre le cercle de stabilité en sortie du transistor MRF1047T1 à 1GHz et
pour le point de fonctionnement VCE = 1V , I C = 1mA . Une charge Z l avec un cœfficient de
réflexion Γ2 dans la zone hachurée de la figure 43 donne Γe > 1 , c'est-à-dire un quadripôle
instable.
A
B
C
Figure 43 : Cercle de stabilité en sortie à 1GHz pour le point de
fonctionnement VCE = 1V , I C = 1mA du transistor MRF1047T1
Pour le vérifier, prenons Z l = (15 + j50)Ω , soit Γ2 = 0,74∠87,2° , c’est le point A de la
figure 43. Le résultat de simulation est donné à la figure 44, on obtient un coefficient de
réflexion Γe = 1,09∠ − 88,18° , le quadripôle est donc instable car Γe > 1 .
Une charge Z l = (50 + j50)Ω , soit Γ2 = 0,4∠63,4° , point B de la figure 43 donne
Γe = 0,84 , le quadripôle est donc stable car Γe < 1 , voir la figure 45.
47
Figure 44 : Une charge Z l = (15 + j50)Ω soit Γ2 = 0,74∠87,2° , conduit à
une valeur Γe = 1,09 : le quadripôle est instable
Figure 45 : Une charge Z l = (50 + j50)Ω soit Γ2 = 0,4∠63,4° , conduit à une
valeur Γe = 0,84 : le quadripôle est stable
48
Le cercle de stabilité en entrée renseigne sur les valeurs de Z s , ou plutôt de
Z − Zc
, qui conduisent à un module de Γs supérieur à l’unité, c'est-à-dire à un
Γ1 = s
Zs + Zc
quadripôle instable, voir la figure 46 pour la définition de Γs et Γ1 .
Zs
Quadripôle Q
Paramètres S
Zl
Γs
Γ1
Figure 46 : Le cercle de stabilité en entrée renseigne sur les
valeurs de Γ1 qui conduisent à Γs > 1
La figure 47 montre le cercle de stabilité en entrée du transistor MRF1047T1 à 1GHz et
pour le point de fonctionnement VCE = 1V , I C = 1mA . Une impédance de source Z s avec
un cœfficient de réflexion Γ1 dans la zone hachurée de la figure 47 donne Γs > 1 , c'est-à-dire
un quadripôle instable.
D
Figure 47 : Cercle de stabilité en entrée à 1GHz pour le point de
fonctionnement VCE = 1V , I C = 1mA du transistor MRF1047T1
49
Une impédance de source nulle Z s = (0 + j0)Ω , soit Γ1 = −1 , point D de la figure 47
donne Γe = 1 , le quadripôle est donc instable, voir la figure 48.
Figure 48 : Une impédance de source Z s = (0 + j0)Ω soit Γ1 = −1 , conduit à
une valeur Γs = 1 : le quadripôle est instable
Les cercles de stabilité renseignent donc sur les valeurs possibles de Z s et Z l ou Γ1 et
Γ2 . Bien souvent, les constructeurs donnent les valeurs de Γ1 qui conduisent au gain d’entrée
1 − Γ 2 
1

 = C te (voir équation 23), on peut montrer qu’il s’agit de cercles. Dans le cas du
2
1 − Γ1S11
transistor MRF1047T1, le constructeur donne les valeurs de Γ1 qui conduisent au gain
1 − Γ 2 
1
 S 2
unilatéralisé 
21
2
1 − Γ1S11
1 − Γ 2 
2


1 − Γ2S 22
2
Γ2 = S*22
1 − Γ 2 
1
1
 S 2
= 
= C te .
21
2
2
1 − Γ1S11
(1 − S 22 )
1 − Γ 2 
2
 est maximum, il faut donc Γ = S* , soit pour le
Γ2 est tel que le gain de sortie 
2
22
2
1 − Γ2S 22
point de fonctionnement VCE = 1V , I C = 1mA et la fréquence f = 1GHz ,
S 22 = 0,717∠ − 42° d’où Γ2 = 0,717∠42° . A Γ2 = 0,717∠42° , correspond une charge
1 + Γ2
Z l = 50
= (54,4 + j106,90)Ω soit une résistance de 54,4Ω en série avec une
1 − Γ2
50
inductance 17,02nH à la fréquence de 1GHz . Si la charge utile est une résistance de 50Ω , il
faut adapter comme le montre la figure 49, il faut s’assurer que Γe < 1 . Pour calculer le
réseau d’adaptation en sortie, il suffit de demander à l’outil de simulation de calculer
seulement l’adaptation en sortie et de vérifier que Γe < 1 , c’est ce que montre les figures 50
et 51. La résistance de 50Ω en l’entrée fait que V1' = 0 , en conséquence coté sortie
V2' ' = S 21 V1' + S 22 V2' = S 22 V2'
V1' = 0
V2'
Quadripôle Q
Paramètres S
50Ω
réseau
50Ω
d’adaptation
V2' '
S 22
Γe
50Ω
Γ2 = S*22 = 0,717∠42°
1 − Γ 2 
2
 maximum , il faut adapter la
Figure 49 : Pour obtenir le gain de sortie 
2
1 − Γ2S 22
sortie, c'est-à-dire faire Γ2 = S*22 et s’assurer de la stabilité en entrée.
Figure 50 : Adaptation de type passe-bas à la fréquence de 1GHz en sortie
seulement
51
Figure 51 : Le gain maximum en sortie conduit à Γe = 0,96 , la stabilité est
assurée mais c’est à la limite de l’instabilité.
La stabilité est assurée, mais c’est limite, en effet Γ2 = 0,717∠42° est à la limite de la
zone hachurée de la figure 43 (point C). On remarquera que le réseau d’adaptation en sortie
est identique à celui de la figure 37, ce dernier a été obtenu pour S12 = 0 ce qui conduisait
encore à Γ2 = S*22 .
1 − Γ 2 
1
 maximum, il faut Γ = S* , soit pour le point de
Pour obtenir le gain d’entrée 
1
11
2
1 − Γ1S11
fonctionnement VCE = 1V , I C = 1mA et la fréquence f = 1GHz , S11 = 0,649∠ − 85° d’où
Γ1 = 0,649∠85° . A Γ1 = 0,649∠85° , correspond une impédance de source
1 + Γ1
Z s = 50
= (22,14 + j49.42)Ω soit une résistance de 22,14Ω en série avec une
1 − Γ1
inductance 7,86nH à la fréquence de 1GHz . Si l’impédance de source est une résistance de
50Ω , il faut adapter comme le montre la figure 52, il faut s’assurer que Γs < 1 . Pour calculer
le réseau d’adaptation en entrée, il suffit de demander à l’outil de simulation de calculer
seulement l’adaptation en entrée et de vérifier que Γs < 1 , c’est ce que montre les figures 53
et 54. La résistance de 50Ω en sortie fait que V2' = 0 , en conséquence coté entrée
V1' ' = S11 V1' + S12 V2' = S11 V1'
52
V2' = 0
50Ω
réseau
d’adaptation
*
Γ1 = S11
= 0,649∠85°
Quadripôle Q
Paramètres S
S11 (car V2' = 0 )
Figure 52 : Pour obtenir le gain d’entrée
50Ω
Γs
1 − Γ 2 
1

 maximum, il faut adapter
2
1 − Γ1S11
*
l’entrée, c'est-à-dire faire Γ1 = S11
et s’assurer de la stabilité en sortie.
Figure 53 : Adaptation de type passe-bas à la fréquence de 1GHz en entrée
seulement
53
Figure 54 : Le gain maximum en entrée conduit à Γs = 0,9 , la stabilité est
assurée
Avec les deux réseaux d’adaptation calculés ci-dessus, on obtient S 21 = 3,86 à la
fréquence de 1GHz pour l’ensemble quadripôle + réseaux d’adaptation, voir la figure 55. Le
2
gain en puissance est donc égal à S 21 = 3,86 2 = 14,8 soit 11,7dB . Le gain en puissance
obtenu est inférieur à celui que nous avions obtenu ( 20,5 soit 13,1dB ) avec les mêmes
réseaux d’adaptation mais avec S12 = 0 . Quand le facteur de Rolett K est inférieur à l’unité,
le gain théorique maximum assurant la stabilité est égal G MSG =
S 21
, (équation 29).
S12
D’après les valeurs de S 21 et S12 à 1GHz données à l’annexe 2, on obtient :
2,4
G MSG =
= 13,25 . La simulation donne une valeur (14,8) légèrement supérieure à la
0,181
théorie. L’exemple traité ici est proche de la limite de l’instabilité, en effet les modules de
S11 et S 22 de l’ensemble quadripôle + réseaux d’adaptation sont proches de l’unité, on
obtient respectivement S11 = 0,95 et S 22 = 0,86 à 1GHz , voir les figures 56 et 57.
54
Figure 55 : Calcul du paramètre S 21 de l’ensemble quadripôle + réseaux
d’adaptation, S 21 = 3,86
Figure 56 : Calcul du paramètre S11 de l’ensemble quadripôle + réseaux
d’adaptation, S11 = 0,95
55
Figure 57 : Calcul du paramètre S 22 de l’ensemble quadripôle + réseaux
d’adaptation, S 22 = 0,86
c) adaptation en bruit
L’adaptation d’impédance pour obtenir le gain en puissance maximum ne conduit pas
au minimum de facteur de bruit NF (Noise Figure). S’agissant par exemple du transistor
MRF1047T1, le constructeur donne les valeurs de Γ1 donnant un facteur de bruit constant, il
s’agit de cercles. Le facteur de bruit NF d’un quadripôle quantifie la quantité de bruit
apportée par le quadripôle. Le bruit en sortie d’un quadripôle est égal au bruit de l’entrée
amplifié par le gain du quadripôle plus le bruit généré par le quadripôle. Le facteur de bruit
NF est défini par (voir annexe 8) :
NF(en dB) = 10 log10
S
 
 B  entrée du quadripôle
S
 
 B  sortie du quadripôle
(30)
S
Le rapport   désigne le rapport Signal/Bruit. Le facteur de bruit NF = 0dB si le
B
quadripôle n’apporte pas de bruit. Il existe une valeur optimum Γ0 de Γ1 qui conduit au
minimum de NF. Pour le transistor MRF1047T1, Γ0 = 0,57∠51,3° pour le point de
fonctionnement VCE = 1V , I C = 1mA à la fréquence 1GHz , dans ce cas NF = 1,16dB . Il faut
donc calculer le réseau d’adaptation de la figure 58 tel que Γ0 = 0,57∠51,3° .
56
50Ω
réseau
d’adaptation
minimum de
bruit
Quadripôle Q
Paramètres S
Γ0 = 0,57∠51,3°
Figure 58 : Le coefficient de réflexion Γ0 = 0,57∠51,3° conduit au minimum de
facteur de bruit NF
On peut utiliser l’outil de simulation pour obtenir le réseau d’adaptation. La procédure de
calcul est la suivante : 1) on écrit le complexe conjugué de Γ0 , soit Γ0* = 0,57∠ − 51,3° , 2) on
calcule l’impédance correspondante 50
1 + Γ0*
1 − Γ0*
= (55,31 − j72,66)Ω , c’est une résistance de
1
55,31Ω en série avec un condensateur égal à
= 2,19pF , 3) on utilise finalement
2π10 9 x 72,66
l’outil de simulation pour le calcul du réseau d’adaptation comme le montre la figure59. Le
réseau de type passe bas est constitué d’une inductance de 11,3nH et d’un condensateur de
111,78fF
Figure 59 : Calcul du réseau d’adaptation pour obtenir le minimum de facteur
de bruit NF
57
Le paramètre S 21 de l’ensemble quadripôle + réseau d’adaptation en entrée donnant le
minimum de facteur de bruit + réseau d’adaptation en sortie donnant le maximum de gain de
sortie est égal à 2,8 comme le montre le résultat de simulation de la figure 60. On obtient un
gain en puissance égal à 2,8 2 = 7,84 soit 8,9dB . Le montage est un peu plus stable que le
précédent coté sortie, en effet S11 = 0,97 et S 22 = 0,5 . D’après la figure 16 de l’annexe 2,
on devrait obtenir un gain compris entre 10 et 11dB avec S12 = 0 . C’est donc normal qu’on
trouve un gain un peu plus faible compte tenu du fait que S12 ≠ 0 .
Figure 60 : Calcul du paramètre S 21 de l’ensemble quadripôle + réseau
d’adaptation en entrée donnant le minimum de facteur de bruit + réseau
d’adaptation en sortie donnant le maximum de gain de sortie, S 21 = 2.8
V- ADAPTATION D’IMPEDANCE
V-1- Puissance déposée dans une charge : condition d’adaptation
Un câble sert à amener de la puissance au niveau de la charge Z l , le but recherché est
évidemment de déposer le maximum de puissance dans la charge.
Avant d’étudier le cas d’une source alimentant une charge via un câble, étudions quelques
cas simples.
a – Une source de valeur crête E et de résistance de source R s alimentant une charge
réelle R l , figure 61.
58
Rs
Rl
E
source
Figure 61 : Une source de valeur crête E et
de résistance de source R s alimente une
charge R l
2
 (E / 2 )R l  1

La puissance déposée dans la charge s’écrit : P = 
. La puissance sera
 R +R  R
l
l
s


dP
maximale quand la dérivée
= 0 , ce qui donne la condition, après calcul de la dérivée,
dR l
R l = R s . Quand R l = R s , la tension efficace aux bornes de la charge est égale à
(E / 2 ) / 2 et la puissance maximale Pmax déposée dans la charge est égale à Pmax =
E2
8R s
b – Une source de valeur crête E et d’impédance de source Z s = R s + jX s complexe
alimentant une impédance complexe Z l = R l + jX l , figure 62.
Zs
i( t )
v( t )
E
Zl
source
Figure 62 : Une source de valeur crête E et
d’impédance de source Z s alimente une charge
Zl
Soient v( t ) la tension aux bornes de la charge et i( t ) le courant la traversant, la puissance
1 T
v( t )i( t )dt . Prenons la source comme référence des
P déposée dans la charge s’écrit : P =
T 0
phases, il s’ensuit que v( t ) et i( t ) s’écrivent : v( t ) = V cos(ωt + φ) et i( t ) = I cos(ωt + α) .
∫
59
1 T
V I
v( t )i( t )dt =
cos(φ − α). Déterminons
T 0
2 2
V, I, φ et α en utilisant les complexes, c’est beaucoup plus rapide. Pour cela, associons à la
∫
Après calcul de l’intégrale, on obtient : P =
source une tension complexe E = Ee jωt dont la partie réelle E cos(ωt ) est égale à la tension
réelle de la source. La tension et le courant complexes s’écrivent respectivement :
E Zl
E
V = Ve jφ e jωt =
et I = Ie jα e jωt =
. Montrons tout d’abord que la
Zl + Zs
Zl + Zs
1
puissance P peut s’écrire P = ℜ V I* où ℜ désigne la partie réelle et I* le complexe
2
conjugué de I :
( )
P=
( )
(
)
(
)
1
1
1
V I
ℜ V I* = ℜ Ve jφ e jωt Ie − jα e − jωt = VIℜ e j(φ − α ) =
cos(φ − α ) c.q.f.d.
2
2
2
2 2
Remplaçons dans l’expression de la puissance P =
( )
1
ℜ V I* , V et I par leur expression :
2
E2 R l
*


E
Z
1
E
1
1
l
=
P = ℜ V I* = ℜ
2  (Z l + Z s ) (Z l + Z s )*  2 Z + Z 2
2
l
s
( )
P=
E2 Rl
2(R l + R s )2 + (X l + X s )2
La puissance déposée dans la charge sera maximale quand le dénominateur sera minimal
ce qui implique dans un premier temps : (X l + X s ) = 0 soit : X l = − X s . Quand cette
E2 Rl
dernière condition est vérifiée, la puissance P s’écrit : P =
, cette expression est
2(R l + R s )2
identique à celle obtenue précédemment avec deux résistances réelles R l et R s , et nous
avions montré dans ce cas qu’il y avait un maximum de puissance Pmax quand R l = R s . En
conclusion, la puissance déposée dans la charge est maximale quand les impédances de
source et de charge sont complexes conjugués :
Z l = Z*s d’où : R l = R s et X l = − X s et Pmax =
E2
8R s
(31)
NB : On peut vérifier que dans le cas particulier où X l = X s = 0 , on retrouve bien le résultat
obtenu en V-1-a.
V-2- Circuit d’adaptation
Quand l’impédance de charge Z l = R l + jX l n’est pas égale au complexe conjugué de la
source, il faut procéder à une adaptation. A cet effet on intercale, entre la source et la charge,
60
un circuit fait de capacité et d’inductance, appelé circuit d’adaptation (en anglais : Matching
Network). Ce circuit, figure 63, ne comprend pas de résistance pour ne pas dissiper de
puissance et il est tel que : 1) l’impédance à l’entrée du circuit d’adaptation est égale au
complexe conjugué de Z s pour que la source transmette le maximum de puissance à
l’ensemble circuit d’adaptation + charge et 2) que l’impédance en sortie du circuit
d’adaptation est égale au complexe conjugué de Z l pour que la charge Z l reçoive le
maximum de puissance de l’ensemble circuit d’adaptation + source.
Zs
Z*s
circuit
d’adaptation
E
Z*l
Zl
source
Figure 63 : Circuit d’adaptation entre une source d’impédance Z s et
une charge d’impédance Z l
Traitons un cas simple pour faire comprendre : celui où l’impédance de source Z s = R s et
l’impédance de charge Z l = R s + jX l . Dans ce cas particulier, l’adaptation est réalisée en
insérant en série avec la charge une impédance − jX l comme le montre la figure 64.
L’adaptation est réalisée à une fréquence particulière f, prenons le cas où la charge est
−1
capacitive : une résistance R s = 50Ω en série avec une capacité de 10pF soit X l =
.
Cω
Une adaptation à la fréquence f = 1GHz est obtenue en insérant une impédance


−1
 = j 15,9 , il s’agit donc d’une inductance L de valeur
− jX l = − j
−12
9
 10.10 .2π10 
15,9
L=
= 2,5nH . On remarquera que le circuit L – C est résonant à la fréquence de
2π.10 9
1GHz , son impédance est donc nulle à cette fréquence  LCω 2
= 1 et tout se passe
1GHz


comme si la source de résistance R s était chargée par une résistance de charge égale à R s .
61
R s = 50Ω
L = 2,5nH
f = 1GHz
E
circuit
d’adaptation
source
Zl
50Ω
10pF
charge
Figure 64 : Une source de résistance 50Ω chargée par une impédance
1
1 

 Z l = 50 − j
Ω est adaptée au moyen d’une inductance L =
Cω 

Cω 2
NB : On pourra remarquer que le problème de l’adaptation est identique au relevé du
cos(ϕ) en électrotechnique. En électrotechnique, les charges sont généralement inductives, on
relève donc le cos(ϕ) en ajoutant une capacité, en électronique les impédances d’entrée sont
plutôt capacitives.
V-3-Adaptation d’une source à une charge via un câble
En pratique la charge peut être distante de la source, elle est reliée à celle-ci via un câble
de longueur L comme le montre le schéma de la figure 65-a.
R s = 50Ω
E
f = 1GHz
L
(a)
câble Z c = 50Ω
circuit
d’adaptation
charge Z l
source
R s = 50Ω
E e − jβ L
f = 1GHz
(b)
circuit
d’adaptation
charge Z l
source
Figure 65 : La puissance dissipée dans la charge Z l du circuit de la figure (a) est identique
à celle dissipée dans la charge Z l du circuit de la figure (b)
62
Si on utilise un câble d’impédance caractéristique Z c = 50Ω , il faut disposer d’une source de
résistance de R s = 50Ω . Le circuit d’adaptation est placé entre la charge et l’extrémité du
câble. En supposant un câble sans perte, la puissance dissipée dans la charge Z l du circuit de
la figure 65-a est identique à celle dissipée dans la charge Z l du circuit de la figure 65-b, en
2π
(voir exercice 6).
effet le câble ne fait qu’introduire un déphasage de βL avec β =
λ
V-4-Exemple de calcul du réseau d’adaptation par le logiciel RFSIM99
Le calcul d’un réseau d’adaptation, à une fréquence donnée, se ramène à la résolution de
deux équations à deux inconnues. On dispose aujourd’hui de logiciel performant pour éviter
les calculs. Pour bien interpréter les résultats il faut savoir lire l’abaque de Smith.
On traite ci-dessous le cas d’une charge Z l constituée d’une résistance de 30Ω en série
avec un condensateur de 10pF . On cherche à réaliser l’adaptation à la fréquence de 1GHz
avec une source de résistance R s = 50Ω . On utilise le logiciel libre RFSIM99.
Figure 66 : Une source de 50Ω et une charge de 30Ω en série avec un
condensateur de 10pF . Impédance réduite dans Smith pour
500MHz < f < 1,5GHz
63
Figure 67 : Utilisation de l’outil « automatch » pour le calcul de l’adaptation
à la fréquence de 1GHz avec un circuit de type passe-bas
Figure 68 : Calcul de l’adaptation et tracé dans Smith de l’impédance réduite
vue par la source pour 500MHz < f < 1,5GHz
64
Le circuit d’adaptation est constitué d’une inductance L = 6,43nH et d’une capacité
C = 2,6pF . A la fréquence de 1GHz , la source voit bien une impédance de 50Ω , puisque
l’impédance réduite est au centre de l’abaque de Smith .
V-5- Adaptation par tronçons de ligne
A l’annexe 9 nous montrons qu’un tronçon de ligne de longueur l admet pour matrice
chaîne :

V2   ch (γl )
 =
  
 I 2  − sh (γl )
 Z
c


− Z c sh (γl ) V1 
 
 
ch (γl )   I1 


(32)
avec γ = α + jβ la constante de propagation. α (en m −1 ) est le coefficient d’atténuation et
2π
v
1
β=
(en rdm −1 ) est la constante de phase. λ = est la longueur d’onde et v =
λ
f
ε0ε r µ 0
est la vitesse de propagation, ε 0 , µ 0 et ε r sont respectivement la permittivité et la
perméabilité du vide et la permittivité de l’isolant.
I2
I1
V1
V2
x
x2
x1
Figure 69 : La matrice chaîne d’un tronçon de ligne relie les
grandeurs V2 , I 2 aux grandeurs V1 , I1
Si le tronçon de ligne est supposé sans perte, la matrice (32) se ramène à :


 2π l 

V2   cos λ 
 =
  
 I 2   sin  2π l 


λ 


− j Z
c



 2π l  
− jZ c sin 
 V 
 λ  1
 
 
  I1 
π
2
l

 
cos

 λ  
(33)
Pour passer de la matrice (32) à la matrice (33), on utilise les relations entre fonctions
hyperboliques : ch ( jφ) = cos(φ ) et sh ( jφ) = j sin (x ) .
65
Le tronçon de ligne de la figure 69 peut être considéré comme un quadripôle, il est
symétrique, on peut donc lui associer un quadripôle en Π par exemple, on pourrait tout aussi
bien lui associer un quadripôle en T. Le quadripôle de la figure 70 comporte donc trois
impédances dont deux identiques compte tenu de la symétrie.
Z1
I1
V1
I2
Z2
Z2
V2
Figure 70 : Quadripôle en Π associé au tronçon de ligne de la figure 69
V 
Les vecteurs  2 
 I2 
suivante :
et
V1 
 I  du quadripôle de la figure 70 sont reliés par la matrice
 1

 Z1 + Z 2
V2  
Z2
 =
  
 I 2    Z1 + 2 Z 2 


− 
2

  Z 2


− Z1  V
  1
 
 
Z1 + Z 2   I1 
Z 2 

(34)
 2π l 
 πl 
Z1 = jZ c sin 
 et Z 2 = − jZ c cotg 
 λ 
λ
(35)
Des matrices (33) et (34), on tire par analogie :
I1
V1
 2π l 
jZ c sin 

 λ 
 πl
− jZ c cotg 
 λ
 πl
− jZ c cotg 
 λ
I2
V2
Figure 71 : Quadripôle associé à un tronçon de ligne de longueur l
supposé sans perte
Dans le cas où l << λ , on peut faire les approximations suivantes :
66
 2πf l 
 2π l 
 2π l 
Z1 = jZ c sin 
 = j ωL
 = jZ c 
 ≈ jZ c 
 v 
 λ 
 λ 
Z
avec L = c l
v
(36)
et
2v
1
1
v
1
 πl
= − jZ c
= − jZ c
=
≈ − jZ c
Z 2 = − jZ c cotg  = − jZ c
πf l
2πf l jCω
 πl
πl
 λ
tg 
 
 λ
 λ
l
(37)
avec C =
2Z c v
Zc
l
v
L=
I1
C=
V1
l
2Z c v
C=
I2
l
2Z c v
V2
Figure 72 : Quadripôle associé à un tronçon de ligne de longueur
l supposé sans perte quand l << λ
En
se
vitesse v =
rappelant
1
ε0ε r µ0
=
que
1
lc
l’impédance
caractéristique
Zc =
l
c
et
que
la
où l et c sont respectivement l’inductance (en Hm −1 ) et la
capacité (en Fm −1 ) linéique, on remarque que l’inductance L et la capacité C du schéma de la
figure 72 s’écrivent respectivement :
l
Z
c
L= c l=
l=
1
v
lc
l
l
l
llc
c
l = l l (en H) et C =
=
=
= l (en F)
2Z c v
c
2
l 1
1
2
2
c lc
cc
Autrement dit l’inductance L est égale au produit de l’inductance linéique l par la
longueur l du tronçon et la capacité C est égale au produit de la capacité linéique c par la
longueur l du tronçon à un facteur 2 près car il y a deux capacités C dans le schéma de la
figure 72.
67
Pour réaliser un circuit d’adaptation d’impédance, on a besoin d’inductance et de capacité,
la question maintenant est donc : comment à partir du schéma de la figure 72 faire en sorte
que ce soit l’inductance ou la capacité qui prédomine.
a- réalisation d’une inductance
Pour réaliser une inductance avec un tronçon de ligne, il faut rendre négligeable les deux
capacités C du schéma de la figure 72. On voit qu’en choisissant une forte valeur
d’impédance caractéristique Z c on a C → 0 , en conséquence le schéma de la figure 72 se
ramène à celui de la figure 73.
L=
I1
Zc
l
v
I2
V1
V2
Figure 73 : Quadripôle associé à un tronçon de ligne de longueur
l supposé sans perte quand l << λ et Z c grand
b- réalisation d’une capacité
Pour réaliser une capacité avec un tronçon de ligne, il faut rendre négligeable l’inductance
L du schéma de la figure 72. On voit qu’en choisissant une faible valeur d’impédance
caractéristique Z c on a L → 0 , en conséquence le schéma de la figure 72 se ramène à celui
de la figure 74.
I1
V1
I2
C=
l
2Z c v
C=
l
2Z c v
V2
C eq =
1
Zc v
Figure 74 : Quadripôle associé à un tronçon de ligne de longueur l supposé sans perte
quand l << λ et Z c faible
c- exemple de réalisation en ligne microruban (microstrip)
On reprend le cas traité précédemment en V-4 : une charge constituée d’une résistance de
30Ω en série avec un condensateur de 10pF. L’adaptation à une fréquence de 1GHz à une
68
source de résistance R s = 50Ω nécessite la réalisation d’une inductance L = 6,432nH et
d’une capacité C = 2,599pF .
Pour réaliser l’inductance L = 6,432nH , on opte pour une ligne microruban d’impédance
caractéristique Z c = 120,45Ω . Le logiciel RFSIM99 permet de dimensionner la ligne comme
le montre la figure 75. Avec un support isolant FR4 (verre époxy) d’épaisseur 1,6mm , une
épaisseur de cuivre de 30µm , il faut une largeur de la piste égale à 0,31mm pour réaliser L.
Figure 75 : Une ligne d’impédance caractéristique
Z c = 120,45Ω a une largeur de piste égale à 0,23mm , la
vitesse de propagation v = 1,71x108 ms −1
Pour réaliser l’inductance
l=
L = 6,432nH , il faut donc une longueur de piste
Lv 6,432 x10 −9 x1,74 x108
=
= 9,29mm .
Zc
120,45
Pour réaliser la capacité C = 2,599pF , on opte pour une ligne microruban d’impédance
caractéristique Z c = 10Ω . Le logiciel RFSIM99 permet encore de dimensionner la ligne
comme le montre la figure 76. Avec un support isolant FR4 (verre époxy) d’épaisseur 1,6mm ,
une épaisseur de cuivre de 30µm , il faut une largeur de la piste égale à 24mm pour réaliser C.
Pour réaliser la capacité C = 2,599pF , il faut donc une longueur de piste
l = CZ c v = 2,599 x10 −12 x10x1,46x108 = 3,79mm .
On constate que plus la largeur de piste est étroite plus l’impédance caractéristique est
grande.
La figure 77 permet de comparer l’adaptation avec des composants discrets et avec des
lignes microruban. L’adaptation par lignes microruban conduit à une solution approchée
compte tenu du fait que les tronçons de ligne ne sont pas rigoureusement identiques à une
inductance et une capacité. On remarquera aussi que la capacité conduit à une grande largeur
de piste. En pratique, on utilise des composants discrets pour les capacités.
69
Figure 76 : Une ligne d’impédance caractéristique
Z c = 10Ω a une largeur de piste égale à 24mm , la vitesse
de propagation v = 1,46 x108 ms −1
Figure 77 : Comparaison des adaptations par composants discrets et lignes microruban.
L’adaptation par lignes microruban est approchée, le minimum du coefficient de réflexion
est obtenu pour 1,015GHz et il vaut 8,5x10 −3 alors qu’avec les composants discrets le
coefficient de réflexion est nul pour la fréquence de 1GHz
70
On peut aussi réaliser les inductances par des spirales comme le montre la figure 78. Un
exemple de réalisation est montré sur la figure 79.
Figure 78 : Réalisation d’une inductance par une spirale
Figure 79 : Faces inférieure et supérieure du circuit imprimé pour le CI SA620 (Low
Voltage LNA and VCO). Les 4 inductances en spirale ont pour valeur 4,5nH.
71