UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA
Topología General
Ejercicios 1 - Mayo 1 de 2019
DEFINICIONES: Sean (X; ) un espacio topológico, x 2 X y A
X:
Se dice que x es un punto interior de A si existe V 2 tal que x 2 V y V
puntos interiores de A se nota: Int(A) ó Ao y se llama el interior de A:
A: El conjunto de los
Se dice que x es un punto exterior de A si existe V 2 tal que x 2 V y V
AC : El conjunto de los
o
puntos exteriores de A se nota: Ext(A) y se llama el exterior de A: Note que Ext (A) = AC :
Se dice que x es un punto adherente de A si para todo V 2 tal que x 2 V se tiene que V \ A 6= ;:
El conjunto de los puntos adherentes de A se nota Adh (A) ó A y se llama la adherencia o clausura
de A:
Se dice que x es un punto de acumulación de A si para todo V 2 tal que x 2 V se tiene que
(V fxg) \ A 6= ;: El conjunto de los puntos de acumulación de A se nota A0 :
Se dice que x es un punto frontera de A si para todo V 2 tal que x 2 V se tiene que V \ A 6= ; y
V \ AC 6= ;: El conjunto de los puntos frontera de A se nota F r (A) y se llama la frontera:de A:
1. Considere (R;
conjuntos:
a) (0; 1]
usual )
b) N
y determine los puntos de…nidos anteriormente para cada uno de los siguientes
c) ( 1; 3)
d) f 4; 7g
e)
1
n
:n2N
f0g
2. Realice el mismo análisis del punto anterior, pero en los espacios:
a) R con la topología de Sorgenfrey
3. Sean (X; ) un espacio topológico y A
a) A = A [ F r (A)
b) Ao = A F r (A)
c) X = Ao [ F r (A) [ Ext (A)
b) R con la topología de los complementos …nitos
X: Demuestre:
c
d) (Ao ) = Ac
o
e) (Ac ) = A
c
4. Sea (X; ) un conjunto ordenado. De…na " a = fx 2 X : x ag : Se dice que C
derecha si para todo a 2 C se tiene que " a C: Muestre que:
(a)
(b)
(c)
(d)
= fC
X es una cola a
X : C es una cola a derechag es una topología sobre X:
= f" a : a 2 Xg es una base para :
es cerrada para intersecciones arbitrarias. (Una topología con esta propiedad es llamada una
topología de Alexandro¤ .)
= fX
C : C 2 g es una topología sobre X:
5. Sean (X; d) ; (Y; m) espacios métricos y f : X ! Y una función.
Pruebe que son equivalentes:
(a) f es continua.
(b) Para cada abierto A de Y; se tiene que f
(c) Para cada cerrado D de Y; se tiene que f
1
(A) es un abierto de X:
1
(D) es cerrado en X: