Uploaded by alfianah26

Def Partial Order

advertisement
2.
Semigrup Terurut Parsial (Partial Order)
Semigrup merupakan struktur aljabar yang melibatkan satu operasi biner
dan bersifat asosiatif. Definisi semigrup secara eksplisit diberikan sebagai berikut:
Definisi 2.1. Misalkan 𝑆 suatu himpunan tak kosong. Himpunan 𝑆 bersama
operasi biner ". " disebut semigrup jika:
i.
(βˆ€π‘₯, 𝑦 ∈ 𝑆)π‘₯. 𝑦 ∈ 𝑆
ii.
(βˆ€π‘₯, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑆)(π‘₯. 𝑦). 𝑧 = π‘₯. (𝑦. 𝑧)
Misalkan 𝑆 adalah semigrup dan π‘Ž ∈ 𝑆. Elemen π‘Ž disebut elemen regular jika
terdapat π‘Žβ€² ∈ 𝑆 sedemikian sehingga π‘Ž = π‘Žπ‘Žβ€²π‘Ž. Semigrup 𝑆 disebut semigrup
regular jika setiap elemen 𝑆 merupakan elemen
regular. Elemen π‘Ž
disebut
regular lengkap jika terdapat elemen π‘Žβ€² ∈ 𝑆 sedemikian sehingga π‘Ž = π‘Žπ‘Žβ€²π‘Ž dan
π‘Žπ‘Žβ€² = π‘Žβ€²π‘Ž. Semigrup 𝑆 disebut semigrup regular lengkap jika setiap elemen 𝑆
adalah regular lengkap.
Sebelum diberikan definisi tentang semigrup terurut parsial, maka
diberikan definisi suatu himpunan terurut parsial sebagai berikut:
Definisi 2.2. Himpunan tak kosong disebut himpunan terurut parsial
jika
memenuhi:
i. Refleksif : (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃)π‘₯ ≀ π‘₯
ii. Antisimetri : (βˆ€π‘₯, 𝑦 ∈ 𝑃)π‘₯ ≀ 𝑦 dan 𝑦 ≀ π‘₯ ⟹ π‘₯ = 𝑦
iii. Transitif : (βˆ€π‘₯, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑃)π‘₯ ≀ 𝑦 dan 𝑦 ≀ 𝑧 ⟹ 𝑦 ≀ 𝑧
Himpunan terurut parsial biasa disebut juga sebagai poset, yaitu singkatan
dari Partial Ordered Set. Berikut diberikan definisi selengkapnya.
Definisi 2.3. Misalkan 𝑆 suatu himpunan tak kosong. Himpunan 𝑆 bersama
operasi biner ". " dan " ≀ " disebut semigrup terurut parsial jika:
i. (𝑆, . ) membentuk semigrup
ii. (𝑆, ≀) membentuk himpunan terurut parsial (poset)
iii. (βˆ€ π‘Ž, 𝑏, π‘₯ ∈ 𝑆)π‘Ž ≀ 𝑏 ⟹ π‘₯π‘Ž ≀ π‘₯𝑏 dan π‘Žπ‘₯ ≀ 𝑏π‘₯
Berdasarkan definisi semigrup terurut parsial tersebut, maka definisi ideal
dalam semigrup terurut parsial juga bertambah aksioma. Definisi selengkapnya
adalah:
Definisi 2.4. Misalkan (𝑆, . , ≀) semigrup terurut parsial, maka subhimpunan tak
kosong 𝐼 disebut ideal dari semigrup 𝑆 jika:
i.
(βˆ€π‘Ž ∈ 𝑆)(βˆ€π‘ ∈ 𝐼)π‘Ž ≀ 𝑏 ⟹ π‘Ž ∈ 𝐼
ii.
𝐼𝑆 βŠ† 𝐼 dan 𝑆𝐼 βŠ† 𝐼
Download
Random flashcards
Arab people

15 Cards

Radiobiology

39 Cards

Radioactivity

30 Cards

Nomads

17 Cards

Marketing

46 Cards

Create flashcards