MATEMATIKA DAN
STATISTIKA TERAPAN
PMB 501
(BAGIAN MATEMATIKA)
MODEL
MODEL: ABSTRAKSI DUNIA NYATA DENGAN MENGHILANGKKAN FAKTOR-FAKTOR YANG DIANGGAP TIDAK PENTING.
DUA VARIABEL POKOK DALAM MODEL:
VARIABEL INDEPENDEN
VARIABEL DEPENDEN
CONTOH, HIPOTESIS DASAR DALAM PERMINTAAN
SEMAKIN TINGGI HARGA SUATU KOMODITAS
MAKA AKAN SEMAKIN SEDIKIT JUMLAH ATAU
KUANTITAS KOMODITAS TERSEBUT YANG
DIMINTA.
DALAM HIPOTESIS PERMINTAAN DI ATAS
VARIABEL INDEPENDEN= HARGA
VARIABEL DEPENDEN= JUMLAH YANG DIMINTA.
CONTOH LAIN, FUNGSI BIAYA
MENUNJUKKAN HUBUNGAN ANTARA BIAYA
TOTAL DENGAN JUMLAH OUTPUT YANG
DIHASILKAN
DALAM FUNGSI BIAYA
VARIABEL INDEPENDEN= TOTAL BIAYA
VARIABEL DEPENDEN= JUMLAH OUTPUT YANG
DIHASILKAN
VARIABEL-VARIABEL DALAM MODEL MATEMATIKA
DINYATAKAN SIMBOL-SIMBOL. SIMBOL-SIMBOL YANG
SERING DIGUNAKAN DALAM ILMU EKONOMI ADALAH
SEBAGAI BERIKUT:
p ATAU P = VARIABEL HARGA (PRICE)
q ATAU Q =VARIABEL JUMLAH ATAU KUANTITAS (QUANTITY)
R ATAU TR =VARIABEL PENERIMAAN TOTAL (TOTAL REVENUE)
C ATAU TC =VARIABEL BIAYA TOTAL (TOTAL COST)
π
=VARIABEL KEUNTUNGAN (PROFIT),
HUBUNGAN ANTARA VARIABEL INDEPENDEN DENGAN
VARIABEL DEPENDEN DISEBUT FUNGSI.
HUBUNGAN ANTARA HARGA DENGAN JUMLAH YANG
DIMINTA DISEBUT FUNGSI PERMINTAAN
HUBUNGAN
ANTARA
JUMLAH
OUTPUT
YANG
DIHASILKAN DENGAN BIAYA DISEBUT FUNGSI BIAYA.
HUBUNGAN ANTARA HARGA DENGAN JUMLAH YANG
DIMINTA DALAM MATEMATIKA DAPAT DINAYATAKAN
ATAU DITULIS SEBAGAI :
Q = F(P)
VARIABEL DEPENDEN
VARIABEL INDEPENDEN
CARA LAIN PENULISAN FUNGSI:
q = F(p)
q = q(p)
q = Ф(p)
q = h(p)
q = d(p), DAN LAIN SEBAGAINYA.
HUBUNGAN FUNGSIONAL YANG DINYATAKAN DALAM
BENTUK
q=f(p) MASIH MERUPAKAN BENTUK UMUM.
UNTUK MENGETAHUI BESARNYA PERUBAHAN
TERSEBUT MAKA FUNGSI TERSEBUT HARUS
DINYATAKAN DALAM BENTUK YANG KHUSUS , YAITU
DALAM BENTUK PERSAMAAN ALJABAR.
q =50 – 2p atau f(p)= 50 – 2p
q ADALAH JUMLAH BERAS YANG DIMINTA (TON PER
BULAN) DAN p ADALAH HARGA BERAS (RIBU
RUPIAH PER KG BERAS),
JIKA p = 3 MAKA q = 50 - 2 (3) = 50 - 6 = 44
FUNGSI PERMINTAAN DI ATAS JUGA DAPAT
DINYATAKAN : JIKA HARGA BERAS MENINGKAT
SEBESAR SERIBU RUPIAH PER KG MAKA JUMLAH
BERAS YANG DIMINTA AKAN TURUN SEBESAR 2
TON PER BULAN.
II. DOMAIN DAN RANGE
DALAM EKONOMI, KITA SERING HANYA BER-URUSAN
DENGAN VARIABEL YANG MEMPUNYAI NILAI NOL ATAU
POSITIF (NON NEGATIF).
OLEH KARENA ITU FUNGSI
PERMINTAAN DI ATAS TIDAK BERLAKU UNTUK SEMUA
NILAI VARIABEL Q MAUPUN VARIABEL P,
BATASAN NILAI
BATASAN NILAI UNTUK:
VARIABEL INDEPENDEN = DOMAIN (WILAYAH)
VARIABEL DEPENDEN
= RANGE (KISARAN).
ADA
C0NTOH DOMAIN DAN RANGE FUNGSI PERMINTAAN
q = 50 – 2p ATAU JUGA DAPAT DITULIS q = –2p + 50
PADA SAAT NILAI q = 0 MAKA 0 = 50 – 2p , SEHINGGA
p = 25
PADA SAAT NILAI p = 0 MAKA q = 50 – 2*0, SEHINGGA
q = 50.
DOMAIN DAN RANGE UNTUK FUNGSI PERMINTAAN:
DOMAIN 0 < p ≤ 25
RANGE 0 ≤ q < 50
SUATU FUNGSI JUGA DAPAT DINYATAKAN DALAM
TABEL DENGAN BERBAGAI NILAI-NILAI p DAN q YANG
MEMENUHI FUNGSI PERMINTAAN q = 50 – 2p.
Nilai p
0
5
10
15
20
25
Nilai q
50
40
30
20
10
0
FUNGSI JUGA DAPAT DINYATAKAN DALAM BENTUK
GRAFIK. MENURUT ATURAN MATEMATIKA YANG
TELAH DISEPAKATI, UNTUK MENGGAMBARKAN
SUATU FUNGSI MAKA VARIABEL INDEPENDEN
DIGAMBARKAN PADA GARIS HORISONTAL DAN
VARIABEL DEPENDEN DIGAMBARKAN PADA GARIS
VERTIKAL
Jumlah diminta (q)
60
50
40
30
20
10
0
0
5
10
15
Harga (p)
20
25
30
III. BENTUK-BENTUK FUNGSI
FUNGSI LINIER
FUNGSI KUADRATIK
FUNGSI KUBIK (PANGKAT TIGA)
FUNGSI LOGARITMIK
FUNGSI LINIER
BENTUK UMUM DARI FUNGSI LINIER ADALAH :
Y = aX + b
DI MANA a ≠ 0
Y = VARIABEL DEPENDEN
X= VARIABEL INDEPENDEN
a = KOEFISIEN VARIABEL X (KEMIRINGAN ,SLOPE,
GRADIEN)
b = KONSTANTA (INTERSEP)
CONTOH LAIN FUNGSI LINIER : FUNGSI PENAWARAN:
q = 2p – 10
FUNGSI INI DAPAT DINYATA DALAM BENTUK TABEL :
p
0
5
10
15
20
25
q
-10
0
10
20
30
40
GRAFIK FUNGSI PENAWARAN YANG MENINGKAT DARI
KIRI BAWAH KE KANAN ATAS MENUNJUKKAN BAHWA
FUNGSI INI MEMPUNYAI SLOPE YANG POSITIF.
Jumlah yang ditawarkan
50
40
30
20
10
0
0
5
10
15
-10
Harga
20
25
30
JIKA DALAM PERSAMAAN LINIER DIKETAHUI DUA
TITIK, MAKA PERSAMAAN TERSEBUT DAPAT
DITENTUKAN. PERSAMAAN YANG MELALUI DUA TITIK,
YAITU TITIK (X1,Y1) DAN TITIK (X2,Y2) ADALAH SEBAGAI
BERIKUT:
Y  Y1 X  X1

Y2  Y1 X 2  X1
CONTOH:
ANDAIKAN SEORANG PENJUAL MENAWARKAN BERASNYA SEBANYAK 50 KW PER HARI JIKA HARGANYA
SEBESAR RP 150 RIBU PER KW. TETAPI JIKA HARGA
TURUN MENJADI RP 130 RIBU PER KUINTAL MAKA
PENJUAL TERSEBUT HANYA KAN MENJUAL BERASNYA
SEBANYAK 40 KW PER HARI. BAGAIMANA FUNGSI
PENAWARAN BERAS TERSEBUT ?
JAWAB : P1 = 150 P2 = 130
Q1 = 50 Q2 = 40
Q  Q1
P  P1
Q  50
P  150



Q 2  Q1 P2  P1
40  50 130  150
Q  50 P  150
 10(P  150)

 Q  50 
 0.5(P  150)
 10
 20
 20
Q  50  0.5P  75
Q  0.5P  75  50
Q  0.5P  25
DALAM EKONOMI, UNTUK MENGGAMBARKAN
KURVA PERMINTAAN DAN PENAWARAN MAKA
GARIS MENDATAR UNTUK MENGGAMBARKAN
JUMLAH YANG DIMINTA DAN GARIS YANG TEGAK
UNTUK MENGGAMBARKAN HARGA.
FUNGSINYA DINAMAKAN FUNGSI KEBALIKAN.
SEBAGAI CONTOH ADALAH PERSAMAAN
PERMINATAAN DIATAS : Q = 50 – 2P, FUNGSI
KEBALIKAN-NYA ADALAH P=25 – 0.5 Q. NAMUN
DEMIKIAN KITA TIDAK BOLEH MENYATAKAN DALAM
BENTUK FUNGSI P = F(Q).
SEBAB JIKA DITULISKAN SEPERTI ITU MAKA
ARTINYA AKAN KEBALIK, YAITU P SEBAGAI
VARIABEL DEPENDEN DAN Q SEBAGAI VARIABEL
INDEPENDEN. OLEH KARENA ITU DALAM
MENULISKAN FUNGSI HARUS TETAP Q=F(P), ATAU
DITULIS SEBAGAI BERIKUT :
Q = 50 – 2P → d(P)
P=25 - 0.5Q → d-1(Q)
30
25
Harga (p)
20
15
10
5
0
0
5
10 15 20 25 30 35 40 45 50 55
Jumlah Yang Diminta (q)
KESEIMBANGAN PASAR TERCAPAI JIKA JUMLAH
YANG DIMINTA SAMA DENGAN JUMLAH
YANG
DITAWARKAN.
Qd= Qs
50-2P=2P-10
50+10=2P+2P
60=4P
P=60/4=15
PADA SAAT P=15 MAKA Q=50-2(15) =50-30=20
KESEIMBANGAN PASAR TERJADI PADA SAAT
:
HARGA = 15/UNIT DAN OUTPUT = 20 UNIT JUMLAH
OUTPUT DALAM KESEIMBANGAN DISEBUT JUMLAH
(KUANTITAS)
KESEIMBANGAN
DAN
DINAMAKAN HARGA KESEIMBANGAN.
HARGANYA
30
S
Harga
25
20
15
10
5
D
0
0
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55
Jumlah
PENGARUH PAJAK
JIKA PAJAK DIBERIKAN KE PENJUAL MAKA
PENJUAL AKAN MENERIMA HARGA DIKURANGI
DENGAN PAJAK, SEHINGGA FUNGSI PENAWARAN
MENJADI :
Qs = 2 (P−t) − 10 = 2P −2t −10
DENGAN FUNGSI PERMINTAAN Qd = 50 – 2P
KESEIMBANGAN PASAR (QS=Qd) MENJADI :
2P −2t −10 = 50 – 2P
4P= 60 + 2 t
P = 15 + 0,5 t
JIKA t = 10, MAKA P = 15 + 0,5 (10) = 20 INI HARGA
YANG DIBAYARKAN PEMBELI
HARGA YANG DITERIMA PENJUAL 20 −10 = 10
JUMLAH YANG DIJUAL-DIBELI = Q= 50 – 2(20) = 10
30
25
Harga
S
St
S
20
15
10
5
D
D
0
0
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55
Jumlah
FUNGSI KUADRATIK
BENTUK UMUM : Y = aX2 + bX + C DI MANA A ≠ 0
CONTOH FUNGSI KUADRATIK:
PERMINTAAN (D) : P = -Q2 - 2Q + 24
PENAWARAN (S) : P = Q2 + 2Q + 8
JIKA DIPLOTKAN ATAU DITABELKAN ADALAH
SEBAGAI BERIKUT:
P
0
8
16
24
Qd
4
3.12
2
0
Qs
-
0
2
3.12
24
S
Harga
20
16
E
12
8
D
4
0
0
1
2
3
Jumlah
4
5
KESEIMBANGAN PASAR :
D=S
-Q2 - 2Q + 24 = Q2 + 2Q + 8
0 = Q2 + 2Q + 8 + Q2 + 2Q - 24
0 = 2Q2 + 4Q – 16 atau 2Q2 + 4Q – 16 = 0
UNTUK MENCARI NILAI Q DAPAT DIGUNAKAN RUMUS
ABC, YAITU SEBAGAI BERIKUT:
UNTUK PERSAMAAN :
aX2 + bX + C = 0 MAKA
 b  b  4ac
X
2a
2
Untuk persamaan : 2Q2 + 4Q – 16 = 0, maka
 4  4 2  4(2)( 16)
 4  16  128
Q
Q
4
2(2)
 4  144 (4)  (12)

Q
4
4
(4)  (12) 8
 2
Q
4
4
2
P  2  2(2)  8  4  4  8  16
Fungsi Kubik (Pangkat Tiga)
BENTUK UMUM : Y = aX3 + bX2 + cX + d DI MANA a ≠ 0
CONTOH : FUNGSI BIAYA TOTAL SEBAGAI BERIKUT:
TC = 1/3Q3 - 3Q2 + 10Q + 10
TC (TOTAL COST) = TVC (TOTAL VARIABLE COST) +
TFC (TOTAL FIXED COST)
TVC ADALAH BIAYA TOTAL YANG BESARNYA TERGANTUNG DARI JUMLAH OUTPUT YANG DIHASILKAN, SEDANGKAN TFC ADALAH BIAYA TOTAL YANG
BESARNYA TETAP, TIDAK TERGANTUNG DARI
BESARNYA JUMLAH OUPUT YANG DIHASILKAN.
BERDASARKAN BIAYA TOTAL (TOTAL COST) DI ATAS
MAKA:
TVC=1/3Q3 - 3Q2 + 10Q
TFC = 10
Biaya-biaya ini juga dapat dinyatakan dalam bentuk biaya
rata-rata, yaitu jika biaya total dibagi dengan jumlah
output yang dihasilkan, sebagai berikut:
TC
TVC TFC


Q
Q
Q
ATC  AVC  AFC
1 2
10
ATC 
Q  3Q  10 
3
Q
1 2
AVC 
Q  3Q  10
3
10
AFC 
Q
14
MC
Biaya Per Unit
12
ATC
10
AVC
8
6
4
2
AFC
0
0
5 qc
Jumlah Output
10
Fungsi Hiperbola
Y
Bentuk Umum :
k
X
Contoh : Fungsi permintaan :
24
Q
P
Fungsi ini jika diuraikan hubungan antara nilai P
dengan nilai Q sebagai berikut:
P
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Q
12
8
6
4.8
4
3.4
3
2.7
2.4
2.2
2
Bentuk grafiknya adalah sebagai berikut:
14
12
Harga
10
8
6
4
2
D
0
0
2
4
6
8
10
Jumlah Yang Diminta
12
14
Fungsi Logaritma
a
BENTUK UMUM : Y  AX
ATAU DAPAT DITULISKAN SEBAGAI BERIKUT:
logY = LogA + a LogX
ATAU
LnY = LnA + a LnX
FUNGSI INI JUGA SERING DISEBUT SEBAGAI
POWER FUNCTION
CONTOH : FUNGSI PERMINTAAN SEBAGAI
BERIKUT :
0.8
Q  5P
NILAI KOEFISIEN P SEBESAR –0.8 MERUPAKAN
ELASTISITAS PERMINTAAN.
60
A
Jumlah diminta (q)
50
P
B
40
C
30
D
20
E
10
F
0
0
5
10
15
Harga (p)
20
25
30
∆P ∆Q
Q
A
0
50
B
5
40
5 −10
C
10
30
5 −10
D
15
20
5 −10
E
20
10
5 −10
F
25
0
5 −10
JIKA TERJADI PERUBAHAN DARI TITIK B KE TITIK C
MAKA PERUBAHAN NILAI P DAN NILAI Q ADALAH
SEBAGAI BERIKUT:
∆Q = QC – QB = 30 – 40 = – 10
∆P = PC – PB =10 – 5 = 5
Q  10

 2
P
5
JIKA PERUBAHANANYA DARI TITIK C KE TITIK E MAKA
PERUBAHAN NILAI P DAN NILAI Q ADALAH SEBAGAI BERIKUT:
∆Q = QE – QC= 10 – 30 = – 20
∆P = PE – PC=20 – 0 = 5
Q  20

 2
P
10
PERUBAHAN JUMLAH YANG DIMINTA (VARIABEL DEPENDENT)
SEBAGAI AKIBAT DARI PERUBAHAN HARGA (VARIABEL
INDEPENDENT) SATU UNIT DAPAT DITUNJUKKAN OLEH ∆Q/∆P.
NILAI –2 BERARTI BAHWA SETIAP KENAIKAN (PENURUNAN)
HARGA PER UNIT AKAN MENYEBABKAN JUMLAH YANG DIMINTA
TURUN (MENINGKAT) SEBESAR 2 UNIT.
UNTUK FUNGSI LINIER, PERUBAHAN SEPANJANG
GARIS LINIER SAMA. UNTUK TELADAN DI ATAS
PERUBAHAN JUMLAH YANG DIMINTA SEBAGAI
AKIBAT DARI PERUBAHAN HARGA SATU UNIT
ADALAH SEBESAR 2 UNIT.
PERHITUNGAN PERUBAHAN SEPERTI DI ATAS TIDAK
DAPAT DILAKUKAN JIKA FUNGSINYA NON LINIER.
KARENA
BESARNYA
PERUBAHAN
VARIABEL
DEPENDEN SEBAGAI AKIBAT DARI PERUBAHAN
VARIABEL INDEPENDEN DI SEPANJANG PERSAMAAN TIDAK SAMA.
Q=30 − P2
35
A
B30
C
JUMLAH
25
D
20
15
E
10
F
5
0
0
1
2
3
4
5
6
HARGA
A
B
C
D
E
F
P
0
1
2
3
4
5
Q
30
29
26
21
14
5
∆P
∆Q
∆Q/∆P
1
1
1
1
1
-1
-3
-5
-7
-9
-1
-3
-5
-7
-9
UNTUK MENGETAHUI TINGKAT PERUBAHAN VARIABEL
DEPENDEN SEBAGAI AKIBAT PERUBAHAN VARIABEL
INDEPENDEN, MAKA PERUBAHAN VARIABEL
INDEPENDEN HARUS DIBUAT MENDEKATI NOL (LIMIT
NOL). SIMBOLNYA SEBAGAI BERIKUT:
Q
Q
 Limit
P  0 P
P
TELADAN:
Q1 = f(P) = 30 − P2
Q2 = Q1+∆Q = f(P + ∆P) = 30 – (P + ∆P)2
Q2 = 30 – P2 + 2P∆P – (∆P)2
∆Q = Q2 - Q1 = 30 – P2 + 2P∆P – (∆P)2 – (30 – P2)
∆Q = 30 – P2 + 2P∆P+ (∆P)2 – 30 + P2
∆Q = 2P∆P+ (∆P)2
 Q 2 P P  (  P ) 2

P
P
Q
 2 P  P
P
Q
Q
 Limit
 Limit ( 2 P  P )
P  0  P
P  0
P
Q
 2P
P
SECARA UMUM UNTUK MENCARI TINGKAT PERUBAHAN VARIABEL
DEPENDEN DAPAT DINYATAKAN SBB:
UNTUK FUNGSI Y=f(X), MAKA
y
y
 Limit
P  0  x
x
y
f ( x  x )  f ( x )
 Limit
P  0
x
x
y  f( x )  x2  5x  8
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x





f ( x  x )  f ( x )
x
( x  x ) 2  5 ( x  x )  8  ( x 2  5 x  8 )
x
x 2  2 x x  (  x ) 2  5 x  5  x  8  x 2  5 x  8
x
2 x x  (  x ) 2  5  x
 2 x  x  5
x
y
lim
 lim ( 2 x  x  5 )
x  0  x
x  0
 2x  5
Jika x  6 maka
y
 2( 6 )  5  7
x
SIMBOL-SIMBOL(NOTASI) DERIVATIVE(TURUNAN) DAPAT
BERMACAM-MACAM. UNTUK FUNGSI Y=F(X) SELAIN SIMBOL DI
ATAS JUGA DAPAT DIGUNAKAN SIBOL SEBAGAI BERIKUT:
Dxy; y’; f’(x); Dx(Y);

(Y )
x
RUMUS-RUMUS UNTUK TURUNAN PARSIAL
1. y = a, DI MANA a ADALAH KONSTANTA
y
0
x
2. y  x n
y
 nx n 1
x
Teladan
y  x3
y
 3x2
x
3. y  ax
n
y
n 1
 nax
x
Teladan
a. y  3 x 4
y
4 1
3
 ( 4 )3 x
 12 x
x
b. y  5 x 3
y
 ( 2 )5 x 3 1  10 x 2
x
4. y  u ( x )  v ( x )
 y  u v


x x x
Teladan
y  2x  3x
4
5
u  2 x dan v  3 x
4
5
u
v
3
4
 8 x dan
 15 x sehingga
x
x
y
 8 x 3  15 x 4
x
5.
y  ln( x )
y
1

x
x
6.
y  ln f ( x )
y
1

 f' ( x )
x
f( x )
Teladan
y  ln( 8 x 2 )
y
1
16 x

 16 x 
2
x
8x
8x2
7. y  e x e  2.7183.....
y
 ex
x
8. y  e f ( x )
y
f( x)
 e .f ' ( x )
x
Teladan
y e
( 3 x 2 2 x )
y
( 3 x 2 2 x )
( 3 x 2 2 x )
e
.( 6 x  2 )  ( 6 x  2 )e
x
9. y  [ f ( x )] n
y
n 1


 n f ( x ) .f ' ( x )
x
Teladan
y  ( 3 x 4  5 x 2 )3
y
 3( 3 x 4  5 x 2 ) 2 .( 12 x 3  10 x )
x
Persoalan ini dapat diselesaik an dengan cara lain
Misal u  ( 3 x 4  5 x 2 ) maka y  u 3
u
 12 x 3  10 x
x
y
2
 3u
u
y
y u
2
3

.
 3u .( 12 x  10 x )
x
u x
y
4
2 2
3
 3( 3 x  5 x ) ( 12 x  10 x )
x
y
y u

.
 Chain Rule
x
u x
10. y  u( x )v ( x )
y
u
v
 v ( x ).
 u( x ).
x
x
x
Teladan
y  ( 2 x 4  3 x 5 )( x 3  2 x 4 )
Misal u  ( 2 x 4  3 x 5 ) maka
u
 8 x 3  15 x 4
x
v  ( x 3  2 x 4 ) maka
v
 3x2  8x3
x
y
 ( x 3  2 x 4 ) ( 8 x 3  15 x 4 )  ( 2 x 4  3 x 5 )( 3 x 2  8 x 3 )
x
u( x )
11. y 
v( x )
v ( x ).
y

x
Teladan
u
v
 u ( x ).
x
x
v ( x )2
( 3x  5 )
y 
(2x3  4x )
Misal u  ( 3 x  5 ) maka
u
3
x
v  ( 2 x 3  4 x ) maka
v
 (6 x 2  4 )
x
y
( 2 x 3  4 x )( 3 )  ( 3 x  5 )( 6 x 2  4 )

x
( 2 x 3  4 x )2
APLIKASI DIFFERENTIAL DALAM EKONOMI
BANYAK SEKALI PENGGUNAAN DIFFERENTIAL DALAM
BIDANG EKONOMI, YAITU DIANTARANYA ADALAH
ANALISIS MARJINAL DAN ANALISIS ELASTISITAS,
YANG SANGAT BERGUNA BAGI EKONOMI. BERIKUT
DIBERIKAN BEBERAPA CONTOH DALAM EKONOMI.
ELASTISITAS
FUNGSI PENERIMAN
FUNGSI PRODUKSI
FUNGSI BIAYA
FUNGSI KEUNTUNGAN
FUNGSI KONSUMSI DAN FUNGSI TABUNGAN
ELASTISITAS.
ELASTISITAS PERMINTAAN MERUPAKAN PARAMETER EKONOMI
YANG BANYAK DIGUNA-KAN DALAM KEBIJAKAN. ELASTISITAS
PERMINTAAN MERUPAKAN RESPON JUMLAH YANG DIMINTA
TERHADAP PERUBAHAN HARGA. ELASTISITAS PERMINTAAN
ADALAH PERSENTASE PERUBAHAN JUMLAH YANG DIMINTA
DIBAGI DENGAN PERSENTASE PERUBAHAN HARGA. SECARA
MATEMATIKA SBB:
% Perubahan Jumlah Yang Di min ta
Elastisita s(  ) 
% Perubahan H arg a
% Q / Q Q P



%P / P
P Q
atau juga dapat ditulis sbb :
Q P

.
P Q
TELADAN
FUNGSI PERMINTAAN YANG TELAH DIBICARAKAN
DI MUKA, Q=50-2P, BERAPA ELASTISITAS
PERMINTAAN PADA SAAT HARGA P=15 DAN
JUMLAH Q=20 ?
Q  50  2 P
Q
 2
P
Q P
 15 
ed 
.  2 

P Q
 20 
30
ed  
20
e d   1 .5
NILAI ELASTISITAS = −1.5 ARTINYA , JIKA HARGA
KOOMDITAS MENINGKAT SEBESAR 1% MAKA JUMLAH
YANG DIMINTA AKAN TURUN SEBESAR 1.5%.
PENURUNAN JUMLAH OUTPUT DILIHAT DATI TANDA
DARI NILAI ELASTISITAS YANG NEGATIF.
DARI FUNGSI PERMINTAAN DAPAT DITURUNKAN
MENJADI FUNGSI PENERIMAAN
Q  50  2 P
P  25  0 ,5Q
TR  P * Q  ( 25  0 ,5Q )Q
TR  25Q  0 ,5Q 2
TR
MR 
 25  Q
Q
30
P 25
a
20
b
15
c
d
10
e
5
Q
0
0
10
20
30
-5
40
50
MR
D
60
-10
350
TR
300
250
200
150
100
50
Q
0
0
10
20
30
40
50
60
Titik
a
b
c
d
e
η
-4.0
-1.5
-1.0
-0.7
-0.3
HUBUNGAN ANTARA ELASTISITAS PERMINTAAN
DENGAN PENERIMAAN MARJINAL. HUBUNGAN
ANTARA ELASTISITAS DENGAN PENERIMAAN
MARJINAL(MARGINAL REVENUE=MR) DAPAT
DITURUNKAN DARI FUNGSI PENERIMAAN TOTAL
(TOTAL REVENUE=TR) SEBAGAI BERIKUT:
TR  P .Q
TR
Q
P
P
MR 
 P.
 Q.
MR  P  Q .
Q
Q
Q
Q
P
jika dikalikan
nilai MR tidak berubah
P
P P
P Q
MR  P  Q .
.
MR  P  P .
.
Q P
Q P
1
MR  P ( 1 
)
ed
Fungsi permintaanya tidak linier misalnya logaritma. Dari
fungsi logatitma maka elastisitas.
Q  2 P  0.8
Q
 ( 0.8 )2 P 1.8
P
Q P
1.8  P 

.  ( 0.8 )2 P
 
P Q
Q 
  ( 0.8 )2 P
1.8
 P 

 0 .8 
 2P

 2 P  0 .8
  ( 0.8 )
 0 .8
2
P

   0 .8



FUNGSI PRODUKSI
FUNGSI PRODUKSI ADALAH HUBUNGAN FISIK
ANTARA INPUT-INPUT YANG DIGUNAKAN DENGAN
OUTPUT YANG DIHASILKAN.
q  f( x )
FUNGSI PRODUKSI INI DIASUMSIKAN SEBAGAI
FUNGSI KONTINUE DENGAN NILAI TUNGGAL
(SINGLE VALUE CONTINOUS FUNCTION) DENGAN
TURUNAN PARSIAL PERTAMA DAN KEDUA YANG
KONTINU PULA. DI SAMPING ITU FUNGSI PRODUKSI
INI JUGA DIDEFINISIKAN HANYA UNTUK NILAI-NILAI
INPUT DAN OUTPUT YANG NON-NEGATIF.
Q
300,0
250,0
TP
200,0
150,0
100,0
50,0
X
0,0
0
2
4
6
8
10
12
14
35
30
25
20
AP
15
10
5
MP
0
0
-5
-10
2
4
6
8
10
12
X
14
DARI FUNGSI PRODUKSI DI ATAS DAPAT DITURUNKAN
FUNGSI PRODUK RATA-RATA (AVERAGE PHYSICAL
PRODUCT=AP) SBB:
q
f ( x1 )
AP 

x1
x1
DI SAMPING FUNGSI PRODUK RATA-RATA JUGA DAPAT
DITURUNKAN
MENJADI
PRODUK
MARJINAL
(MARGINAL PHYSICAL PRODUCT=MP):
q
MP 
 f1 ( x1 )
x 1
ELASTISITAS OUTPUT JUGA DAPAT DITURUNKAN DARI
FUNGSI PRODUKSI DI ATAS, YAITU:
 (ln q )
x1 q MP



 (ln x1 ) q x1 AP
Teladan Fungsi Produksi
1 3
q   x  6 x 2  4 x , di mana q  output x  input
3
q
1 2
AP    x  6 x  4
x
3
q
MP 
  x 2  12 x  4
x
Pada saat x  9 maka
1
AP   ( 9 ) 2  6 ( 9 )  4  23
3
MP  ( 9 )2  12 ( 9 )  4  23
MP 23


1
AP 23
FUNGSI BIAYA
TC=f(Q)
PENURUNN MARGINAL COST (MC) DARI FUNGSI
BIAYA
1
Q 3  3Q 2  10Q  15
3
TC
TVC
TFC


Q
Q
Q
1
15
ATC 
Q 2  3Q  10 
3
Q
1
AVC 
Q 2  3Q  10
3
15
AFC 
Q
TC
MC 
 Q 2  6Q  10
Q
TC 
14
MC
Biaya Per Unit
12
ATC
10
AVC
8
6
4
2
AFC
0
0
5 qc
Jumlah Output
10
FUNGSI KEUNTUNGAN
KEUNTUNGAN =PENERIMAAN-BIAYA
  TR  TC
BREAK EVEN POINT ( BEP ) TERJADI PADA SAAT :
  0 ATAU TR  TC
TELADAN
TR  PQ dan TC  aQ  b
BEP TERJADI PADA SAAT
PQ  aQ  b
PQ  aQ  b  ( P  a )Q  b
b
Q
P a
BIAYA TETAP
BEP 
HARGA PER UNIT  BIAYA VARIABEL PER UNIT
TELADAN
TC  5Q  100
TR  25Q
BEP TERJADI PADA SAAT :
TR  TC  25Q  5Q  100
20Q  100
Q5
250
200
150
100
50
0
0
1
2
3
4
TR
5
6
TC
7
8
9
FUNGSI KONSUMSI DAN TABUNGAN
FUNGSI KONSUMSI MERUPKAN FUNGSI DARI
INCOME
C  f (Y )
C  KONSUMSI dan Y  INCOME
APC( Average Pr opensity to Consume 
C
Y
C
MPC( M arg inal Pr opensity to Consume 
Y
Teladan
C  50  0.8Y
50
 0 .8
Y
C
MPC 
 0 .8
Y
S( Tabungan )  Yd  C
APC 
S  Y  50  0.8Y
S  50  0.2Y
300
250
200
150
100
50
0
0
50
100
150
200
250
-50
-100
C
S
C=Y
300
OPTIMISASI
Salah satu kegunaan differential adalah untuk menentukan
nilai ekstrem, yaitu nilai yang maksimum dan nilai yang
minimum. Nilai ekstrem dibedakan menjadi dua, yaitu nilai
ekstrem relatif dan nilai ekstrem absolut (global). Perbedaan
antara keduanya dapat dijelaskan dengan grafik berikut:
C
B
F
A
y = f(x)
E
x=b
x=a
D
Untuk nilai-nilai dari x=a sampai dengan x=b yang
memberikan nilai y maksimum dan minimum adalah
pada titik-titik berikut:
A dan B merupakan titik-titik yang mempunyai nilai
maksimum relatif
E dan F merupakan titik-titik yang mempunyai nilai
minimum relatif
C merupakan titik yang mempunyai nilai maksimum
absolut
D merupakan titikyang mempunyai nilai minimum
absolut.
MAKSIMISASI
Suatu fungsi y = f(x) yang mempunyai nilai maksimum
pada x = c jika memenuhi dua syarat, yaitu syarat perlu
(necessary condition) dan syarat kecukupan (sufficient
condition). Syarat perlu (necessary condition)
maksimisasi untuk y=f(x) adalah turunan pertama sama
dengan nol, yaitu
y
0
x
Syarat kecukupan (sufficient condition) untuk
menentukan bahwa nilai ekstrem tersebut maksimum
adalah:
2y
0
2
x
Teladan 1.
Y= – 1/3X3 + 3X2 – 5X+12
Carilah nilai X yang memberikan Y yang maksimum?
Jawab :Syarat perlu turunan pertama harus sama
dengan nol Y
2
 X
 6X  5  0
X
(  X  5)(X  1)  0
X1  5
X2  1
Syarat kecukupan maksimisasi turunan kedua harus negatif
 2Y
 2X  6
2
X
 2Y
X1  5 
 2X  6  2(5)  6  4 memenuhi syarat
X
 2Y
X2  1 
 2X  6  2(1)  6  4 tidak memenuhi syarat
X
Jadi nilai X yang memberikan y maksimum adalah X=5
TELADAN 2.
SEBUAH PERUSAHAAN MENGHASILKAN OUTPUT
DENGAN BIAYA C = Q2 + 9. OUTPUT TERSEBUT DIJUAL
DENGAN HARGA 10 PER UNIT. BERAPA OUTPUT YANG
HARUS DIHASILKAN SUPAYA KEUNTUNGANNYA
MAKSIMUM ?
JAWAB:
SEBELUM MENJAWAB PERTANYAAN DIATAS MAKA
PERLU DIRUMUSKAN DAHULU APA ITU KEUNTUNGAN.
KEUNTUNGAN (Π) DIDEFINISIKAN SEBAGAI
PENERIMAAN TOTAL (TR) DIKURANGI DENGAN BIAYA
TOTAL (TC). PENERIMAAN ADALAH HARGA OUTPUT
(P) DIKALIKAN DENGAN JUMLAH OUTPUT (Q).
SEHINGGA :
Keuntungan  Total Penerimaan  Total Biaya
  TR  TC
  10Q  ( Q 2  9 )
Syarat Perlu : Turuan Parsial Pertama  0

 10  2Q  0
Q
2Q  10  0
Q  10 / 2  5
Syarat Kecukupan Turuanan Parsial Kedua Negatif
 2
2
2
Q
Keuntungan maksimum dicapai pada saat :
Q5
120
100
80
60
40
20
0
0
-20
5
TR
TC
10
π
15
Q
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
TR
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
TC
9
10
13
18
25
34
45
58
73
90
109
π
-9
0
7
12
15
16
15
12
7
0
-9
DARI
TABEL
INI
JUGA
TERLIHAT
BAHWA
KEUNTUNGAN MAKSIMUM TERJADI PADA SAAT Q=5
DENGAN KEUNTUNGAN SEBESAR 16 SATUAN.
Teladan 3.
Sebuah perusahaan bekerja dengan biaya produksi C = Q2
+ 4Q + 5. Permintaan yang dihadapi perusahan terbut
adalah Q=6-1/4 P. Berapa output yang harus dihasilkan dan
berapa harga jualnya supaya keuntungannya maksimum ?
Jawab:
Untuk menjawab pertanyaan ini maka permintaan di atas
harus dicari fungsi kebalikannya. Fungsi kebalikan dari
permintaan adalah :
P = 24 –4Q.
π=R–C
π = P.Q – C
π = (24 – 4Q)Q – ( Q2 + 4Q + 5)
π = 24Q – 4Q2 – Q2 – 4Q – 5
π = 20Q – 5Q2 – 5
Syarat Perlu
π
 20  10Q  0
Q
10Q  20  0
Q  20/10  2
Syarat Kecukupan
 2π
 10 negatif 
2
Q
Q  2  memenuhi syarat
Jadi keuntungan maksimum dicapai pada saat output
yang dihasilkan Q=2 dengan harga P=24 – 4(2) = 16 per
unit.
40
35
Q
TR
TC
π
30
0
0
5
-5
1
20
10
10
15
2
32
17
15
10
3
36
26
10
4
32
37
-5
25
20
5
0
-5 0
-10
1
2
TR
3
TC
4
π
5
Secara umum dapat dinyatakan bahwa keuntungan
sama dengan penerimaan total (R) dikurangi dengan
biaya total (C). Secara matematika dapat ditulis
sebagai berikut:
π = R-C
Syarat perlu untu maksimisasi adalah turunan pertama
fungsi keuntungan terhadap output sama dengan nol,
yaitu:
π R C


0
Q Q Q
 R C

Q Q
MR  MC
DARI PERSAMAAN TERAKHIR DAPAT DISIMPULKAN BAHWA KEUNTUNGAN MAKSIMUM DICAPAI
PADA SAAT PENERIMAAN MARJINAL (MR) SAMA
DENGA BIAYA MARJINAL (MC).
PADA PASAR
PERSAINGAN SEMPURNA MR SAMA DENGAN
HARGA
OUTPUT.
SEHINGGA
KEUNTUNGAN
MAKSIMUM JUGA DAPAT DINYATAKAN PADA SAAT
MC=P (HARGA OUTPUT). HAL INI DISEBABKAN
PERUSAHAN SEBAGAI PENERIMA HARGA, YANG
BERARTI BERAPAUN OUTPUT YANG DIHASILKAN
TIDAK AKAN BERPENGARUH PADA HARGA
OUTPUT.
Syarat kedua, syarat kecukupan maksimisasi adalah
turunan keduanya negatif, yaitu:
 π  R  C


0
2
2
2
Q
Q
Q
2
2
 R  C

2
2
Q
Q
2
2
2
Syarat kecukupan menghendaki bahwa perpotongan
antara biaya marjinal dengan penerimaan marjinal
terjadi pada saat biaya marjinalnya meningkat (lihat
grafik di depan).
Secara umum dapat dinyatakan bahwa keuntungan
sama dengan penerimaan total (R) dikurangi dengan
biaya total (C). Secara matematika dapat ditulis
sebagai berikut:
π = R-C
Syarat perlu untu maksimisasi adalah turunan pertama
fungsi keuntungan terhadap output sama dengan nol,
yaitu:
π R C


0
Q Q Q
 R C

Q Q
MR  MC
DARI PERSAMAAN TERAKHIR DAPAT DISIMPULKAN BAHWA KEUNTUNGAN MAKSIMUM DICAPAI
PADA SAAT PENERIMAAN MARJINAL (MR) SAMA
DENGA BIAYA MARJINAL (MC).
PADA PASAR
PERSAINGAN SEMPURNA MR SAMA DENGAN
HARGA
OUTPUT.
SEHINGGA
KEUNTUNGAN
MAKSIMUM JUGA DAPAT DINYATAKAN PADA SAAT
MC=P (HARGA OUTPUT). HAL INI DISEBABKAN
PERUSAHAN SEBAGAI PENERIMA HARGA, YANG
BERARTI BERAPAUN OUTPUT YANG DIHASILKAN
TIDAK AKAN BERPENGARUH PADA HARGA
OUTPUT.
Syarat kedua, syarat kecukupan maksimisasi adalah
turunan keduanya negatif, yaitu:
 π  R  C


0
2
2
2
Q
Q
Q
2
2
 R  C

2
2
Q
Q
2
2
2
Syarat kecukupan menghendaki bahwa perpotongan
antara biaya marjinal dengan penerimaan marjinal
terjadi pada saat biaya marjinalnya meningkat (lihat
grafik di depan).
Teladan Fungsi Produksi
Diketahui fungsi produksi sebgai berikut:
1 3
q   x  6 x 2  4 x , di mana q  output x  input
3
Jika harga input 14/unit dan harga output 2/unit, berapa
output yang sebaiknya dihasilkan supaya keuntungan
perusahaan maksimum?
Keuntungan sama dengan penerimaan total (R) dikurangi
dengan biaya total (C). Secara matematika dapat ditulis
sebagai berikut:
π = R-C
R=p*q dan C=v*x
di mana p harga output dan v harga input
Sehingga Keuntungannya dapat dinyatakan sbb:
  p* q v * x
1 3
  P(  x  6 x 2  4 x )  v * x
3
1 3
  2 (  x  6 x 2  4 x )  14 x
3
2 3
   x  12 x 2  8 x  14 x
3
2 3
   x  12 x 2  22 x
3
Syarat Perlu : Turuan Parsial Pertama  0

 2 x 2  24 x  22  0
x
Persamaan di atas dapat disederhan akan :
 x 2  12 x  11  0 atau
( x  11 )(  x  1 )  0
x  11 x  1
Syarat Kecukupan Turuanan Parsial Kedua Negatif
 2
 2 x  12
2
x

Untuk x  11  2  2 ( 11 )  12  10
x
 2
Untuk x  1 
 2 ( 1 )  12  10
2
x
2
Keuntungan maksimum dicapai pada saat :
x  11
Keuntungan maksimum dicapai pada saat input yang
digunakan X=11 dengan output, produk rata-rata (AP),
marjinal
produk(MP) dan elastisitas produksi(ω)
sebagai berikut:
q
q
q
q
1 3
 x  6x2  4x
3
1
3
2
 ( 11 )  6 ( 11 )  4 ( 11 )
3
1
 ( 1331 )  6 ( 121 )  4 ( 11 )
3
443.7  726  44  238.3
238.3
AP 
 21.7
11
2
MP   x  12 x  4
MP  ( 11 )  12 ( 11 )  4  7
2
Elastisita s Pr oduksi
MP
7


 0.32
AP 21.7
35
30
25
20
AP
15
10
V/P
5
MP
0
0
-5
-10
2
4
6
8
10
12
14
X
Secara umum dapat dinyatakan bahwa keuntungan
adalah sebagai berikut:
  R C
  P * Q  VX  P * f ( X )
Syarat perlu untu maksimisasi adalah turunan pertama
fungsi keuntungan terhadap output sama dengan nol,
yaitu:
π
Q
Q
P
V  0  P
V
X
X
X
VMP  V
Value of the marginal product  h arg a input atau
Q
V
( M arg inal Pr oduct ) 
X
P
MINIMISASI
Suatu fungsi y = f(x) yang mempunyai nilai minimum
pada x = b jika memenuhi dua syarat, yaitu syarat perlu
(necessary condition) dan syarat kecukupan (sufficient
condition).
Syarat perlu (necessary condition) minimisasi untuk
y=f(x) adalah turunan pertama sama dengan nol, yaitu
y
0
x
Syarat kecukupan (sufficient condition) untuk
menentukan bahwa nilai ekstrem tersebut minimum
adalah:
2
 y
0
2
x
Teladan:
Jika diketahui fungsi Y=3X345X2+144X, Carilah nilai X pada saat
nilai Y minimum !
Jawab: Syarat perlu turunan pertama harus sama dengan nol
Y
 9 X 2  90 X  144  0
X
Jika persamaan di atas dibagi dengan 9 maka :
X 2  10 X  16  0
( X  8 )( X  2 )  0
X1  8 X 2  2
Syarat kecukupan minimisasi turunan kedua harus positif
 2Y
 18 X  90
2
X
 2Y
X1  8 
 18 X  90  18( 8 )  90  54 memenuhi syarat
X
 2Y
X2  2 
 18 X  90  18( 2 )  90  54 tidak memenuhi syarat
X
Di muka telah dibicarakan fungsi biaya total, biaya ratarata dan biaya marjinal. Perhatikan biaya-biaya ratarata di muka bahwa terlihat ada yang minimum. Di
samping itu pada saat biaya rata-rata berpotongan
biaya marjinal, tepat terjadi pada saat biaya rata-ratanya
minimum. Cari nilai output pada saatAVC yang
minimum, dan pada saat itu apakah berpotongan
dengan biaya marjinal ?
C = 1/3Q3-3Q2+10Q+10
Biaya variabel rata-rata adalah:
AVC=C/Q=1/3Q2-3Q+10
Syarat perlu bagi minimisasi adalah turunan pertama
sama dengan nol
AVC 2
 Q3 0
Q
3
2
Q3
3
Q  4 .5
Syarat kecukupan untuk minimisasi
 2 AVC 2
  positif 
2
Q
3
Q  4.5  memenuhi syarat
Jadi pada saat Q=4.5 maka biaya variabel rata-rata (AVC)
minimum.
Apakah pada saat AVC minimun berpotongan dengan
MC maka dapat dibuktikan sebagai berikut:
TC
MC 
 Q 2  6Q  10
Q
1 2
AVC  Q  3Q  10
3
1 2
Q  6Q  10  Q  3Q  10
3
1 2
2
Q  6Q  10  Q  3Q  10  0
3
2 2
Q  3Q  0
3
2
Q( Q  3)  0
3
2
Q3
3
Q  4.5
2
Jadi benar bahwa pada saat MC berpotongan dengan
AVC terjadi pada saat AVC minimum
MAKSIMISASI (2 VARIABEL INDEPENDENT)
Maksimisasi Tanpa Pembatas
Suatu fungsi y = f(x1, x2) yang mempunyai nilai maksimum jika memenuhi syarat perlu (necessary condition
=first order condition=FOC) dan syarat kecukupan
(sufficient condition=Second order conditition=SOC).
FOC: Turunan parsial pertama sama dengan nol
y
f1 
0
x 1
SOC:
y
f2 
0
x 2
2y
2y
f11 
 0 f22 
0
2
2
x 1
x 2
f11f22  f122  0
Teladan
Diketahui y  180 x1  180 x 2  2 x1 x 2  5 x12  11 x 22
Carilah nilai x1 dan x 2 yang memberikan y maksimum
Jawaban : FOC ( First Order Condition )
y
f1 
 180  2 x 2  10 x1  0.......... .......... ( 1 )
x 1
y
f2 
 180  2 x1  22 x 2  0.......... .......... ( 2 )
x 2
Dari pers ( 1 ) dan ( 2 ) diperoleh :
180  2 x 2  10 x1  180  2 x1  22 x 2
22 x 2  11 x1  x1  2 x 2 .......... .......... ........( 3 )
Pers( 3 ) disubstitu sikan ke pers ( 1 ) :
180  x1  10 x1  0
9 x1  180
x1  20
x 2  10
y  180 ( 20 )  180 ( 10 )  2 ( 20 )( 10 )  5 ( 20 2 )  11( 10 2 )
y  2300
SOC ( Second Order Condititio n ) :
f11  10 f12  f21  2 f22  22
f11f22  f122  ( 10 )( 22 )  2 2  220  4  216
 x1  20 dan x 2  10 memberikan y maksimum  2300
memenuhi FOC dan SOC
Teladan Untuk Ekonomi
Jika tidak terdapat pembatasan, baik
pembatasan dalam biaya, input maupun output
maka keputusan yang diambil oleh perusahaan
adalah memaksimumkan keuntungannya.
Model maksimisasi keuntungan :
π=R-C
Di mana R adalah perkalian antara jumlah
output yang dihasilkan dengan harga output
(R=pq), dan C= r1x1 + r2x2 +b. Sehingga
dengan demikian maka keuntungannya adalah:
π=pq- r1x1 - r2x2 -b
First order conditition maksimisasi adalah turun parsial
pertam terhadap x1 dan x2 sama dengan nol, yaitu :

 pf1  r1  0
x 1

 pf 2  r2  0
x 2
Dari first order conditition dapat dirumuskan
pf1  r1
pf2  r2
Value of the Marginal product (VMP) untuk masingmasinh input sama dengan harga inputnya. Jika VMP
lebih besar dari harga inputnya maka perusahaan
dapat meningkatkan penggunaan input sampai
diperoleh VMP sama dengan harganya.
Second order conditition adalah sebagai
berikut:
 
 pf11  0
2
x 1
2
 
 pf 22  0
2
x 2
2
p ( f11f22  f )  0  f11f22  f  0
2
2
12
2
12
Kondisi pf11 dan pf22 menghendaki bahwa
keuntungan maksimum dicapai pada saat MP
menurun. Kondisi di atas mensyaratkan bahwa
fungsi produksi harus strictly concave.
Teladan
Diketahui fungsi produksi y  10 x10.50 x 20.25
H arg a output sebesar 20 / unit , h arg a input x1 ( v 1 )  20
h arg a input x 2 ( v 2 )  10 / unit . Carilah penggunaan input
yang memberikan keuntungan maksimum ?
  py  v 1 x1  v 2 x 2
  20 ( 10 x10.50 x 20.25 )  20 x1  10 x 2
FOC

 100 x10.5 x 20.25  20  0 .......... ......( 1 )
x

 50 x10.5 x 20.75  10  0 .......... ........( 2 )
x
Dari pers ( 1 ) dan ( 2 )
100 x10.5 x 20.25 50 x10.5 x 20.75

20
10
1000 x 2  1000 x 1  x1  x 2 .....( 3 )
Pers( 3 ) dim asukkan ke pers ( 1 ) :
100 x10.5 x 20.25  20  0  100 x10.5 x 20.25  20
100 x10.5 x10.25  20  100 x 10.25  20
100  20 x10.25  x10.25  5
x 1  5 4  625
 x1  x 2  625
y  10 x10.50 x 20.25  10 ( 625 0.5 )( 625 0.25 )  10 ( 25 )( 5 )
y  1250
SOC : f11f22  f122  0
 2
f11  2  50 x11.50 x 20.25  ( 50 )( 625 1.50 )( 625 0.25 )
x 1
 ( 50 )( 625
1.25
)  0.016
 2
0.50 1.75
0.50
1.75
f22  2  37.5 x1 x 2
 ( 37.5 )( 625 )( 625
)
x 2
 ( 37.5 )( 625 1.25 )  0.012
2


2
f12 
 25 x10.50 x 20.75  25 ( 625 0.50 )( 625 0.75 )
x 1 x 2
 25 ( 625 1.25 )  0.008
f11f22  f  ( 0.016 )( 0.012 )  ( 0.008 )  0.000128
2
12
2
MAXIMIZATION DENGAN PEMBATASAN
JIKA BIAYA TERBATAS MAKA KEPUTUSAN YANG DIAMBIL
OLEH PERUSAHAAN ADALAH BERAPA OUTPUT MAKSIMUM
YANG DAPAT DIHASILKAN DENGAN KENDALA BIAYA
TERSEBUT, YAITU :
L  F ( x 1 , x 2 )   ( C 0  v 1 x1  v 2 x 2 )
DI MANA Λ  0 ADALAH LAGRANGE MULTIPLIER. FIRST
ORDER CONDITION (FOC) MAKSIMISASI DICAPAI PADA SAAT
TURUNAN PARSIAL PERTAMA TERHADAP X1, X2 DAN  SAMA
DENGAN NOL:
L
 f1   v 1  0
x 1
L
 f2  v 2  0
x 2
L
 C 0  v 1 x1  v 2 x 2  0

SOC :
 L
 L
 L
 f11
 f22
 f12
2
2
x 1
x 2
x 1 x 2
2
2
2
 2L
 2L
 2L
 v 1
 v 2
0
2
x 1 
x 2 

2 f12 v 1v 2  f11v 22  f22 v 12  0
f
Teladan
Diketahui fungsi produksi y  10 x10.50 x 20.25
H arg a input x1 ( v 1 )  20 h arg a input x 2 ( v 2 )  10 / unit .
Biaya produksi tersedia 7680. Carilah penggunaan input
yang memberikan produksi maksimum ?
Model dari persoalan di atas adalah memaksi 
mumkan produksi dengan kendala biaya
L  10 x
0.50
1
x
0.25
2
  ( C  v 1 x1  v 2 x 2 )
0
L  10 x10.50 x 20.25   ( 7680  20 x1  10 x 2 )
FOC :
L
 5 x 10.50 x 20.25  20   0 .......... ....( 1 )
x 1
L
 2.5 x 10.50 x 20.75  10   0.......... ....( 2 )
x 2
L
 7680  20 x 1  10 x 2  0 .......... .....( 3 )

Dari pers ( 1 ) dan ( 2 )

5x
5 x 20.25
20 x10.5
 0 .5
1
0.25
2
0 .5
1
 0.75
2
x
2 .5 x x

20
10
2.5 x10.5

 50 x1  50 x 2  x1  x 2 ...( 4 )
0.75
10 x 2
Pers( 4 ) disubstitu sikan ke pers ( 3 )
7680  20 x1  10 x1  0
7680  30 x1  0  30 x1  7680
x1  256
x 2  256
y  10 ( 256 0.5 )( 256 0.25 )  10 ( 16 )( 4 )  640
MINIMISASI DENGAN PEMBATASAN
JIKA OUTPUT YANG INGIN DIPRODUKSI SUDAH
DIBATASI MAKA PERUSAHAN AKAN MEMINIMUMKAN
BIAYA PADA TINGKAT OUTPUT YANG SUDAH
DITENTUKAN TERSEBUT. MODELNYA :
Z  v 1 x1  v 2 x 2  b   ( q 0  f ( x1 , x 2 )
FOC :
Z
 v 1  f1  0
x 1
Z
 v 2  f2  0
x 2
Z
 q 0  f ( x1 , x 2 )  0

SOC :
2Z
2Z
  f11
  f22
2
2
x 1
x 2
2Z
  f12
x 1 x 2
2Z
2Z
  f1
  f2
x 1 
 x 2 
2Z
0
2

2 f12 v 1v 2  f11v 22  f22 v 12  0
Teladan
Diketahui fungsi produksi y  10 x10.50 x 20.25
H arg a input x1 ( v 1 )  20 h arg a input x 2 ( v 2 )  10 / unit .
Pr oduksi yang yang akan dihasilkan 270 unit . Carilah
penggunaan input yang memberikan biaya min imum ?
Model dari persoalan di atas adalah memini 
mumkan biaya dengan kendala produksi
Z  v 1 x1  v 2 x 2   ( y  10 x10.50 x 20.25 )
Z  20 x1  10 x 2   ( 270  10 x10.50 x 20.25 )
FOC :
Z
 20   ( 5 x10.50 x 20.25 ) .......... ....( 1 )
x 1
Z
 10   ( 2.5 x10.50 x 20.75 )......... .....( 2 )
x 2
Z
0.50 0.25
 270  10 x1 x 2  0.......... ......( 3 )

Dari pers ( 1 ) dan ( 2 )
10
20


 0.5 0.25
2.5 x10.5 x 20.75
5 x1 x 2
0.5
1
0.25
2
20 x
5x
0.75
2
0 .5
1
10 x

2.5 x
 50 x1  50 x 2  x1  x 2 ...( 4 )
Pers(4) dimasukkan ke pers(3)
270  10 x10.50 x 20.25  0
270  10 x10.75  0  10 x10.75  270  x10.75  27
x1  81
x 2  81
y  10 ( 81
0 .5
0.25
)( 81
)  10 ( 9 )( 3 )  270
C  v 1 x1  v 2 x 2  20 ( 81 )  10 ( 81 )  2430