BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI
BAB 6
RING (GELANGGANG)
Tujuan Instruksional Umum :
Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengenal dan
mengaplikasikan sifat-sifat suatu Ring, Integral Domain dan Field
Tujuan Instruksional Khusus :
Setelah diberikan penjelasan mengenai sifat-sifat dasar Ring, mahasiswa minimal
80% dapat :
a. Menjelaskan definisi dari Ring
b. Menjelaskan definisi Ring Komutatif
c. Menjelaskan definisi Ring dengan unsur kesatuan
d. Mengidentifikasi suatu struktur aljabar dengan dua operasi biner yang berupa
Ring maupun tidak
e. Menjelaskan definisi dari Integral Domain
f.
Mengidentifikasi suatu Ring apakah merupakan Integral Domain (tanpa pembagi
nol) atau bukan Integral Domain (ada pembagi nol)
g. Menjelaskan definisi dari Field
h. Mengidentifikasi suatu Ring apakah merupakan Field
Deskripsi Singkat :
Ring adalah suatu himpunan tak kosong yang memenuhi
dua operasi biner
terhadap penjumlahan dan perkalian. Dalam bab ini akan dibahas sifat-sifat Ring,
Integral Domain dan Field.
90
BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI
6.1. Sifat-sifat Ring
Pada bab terdahulu telah dibicarakan mengenai struktur aljabar
yang terdiri dari satu himpunan tak kosong dengan satu operasi biner
yaitu terhadap penjumlahan (aditif) atau terhadap perkalian (multifikatif)
yang disebut Grup.
Misalkan kita pandang suatu bilangan bulat Z sebagai suatu Grup
(Z, +) dan himpunan bilangan bulat yang tidak sama dengan nol Z’
sebagai monoid (Z’, .), tetapi kedua struktur tersebut mengabaikan relasi
antara penjumlahan (+) dan perkalian (.), misalkan kita ketahui bahwa
perkalian tersebut distributif terhadap penjumlahan. Pada bagian ini akan
dibahas mengenai struktur aljabar yang terdiri dari satu himpunan tak
kosong dengan dua operasi biner yaitu terhadap penjumlahan dan
perkalian, struktur aljabar ini disebut dengan Ring (Gelanggang). Untuk
lebih jelasnya dalam definisi berikut :
Definisi 6.1 :
Suatu ring (R,+,.) adalah suatu himpunan tak kosong R dengan operasi
biner penjumlahan (+) dan perkalian (.) pada R yang memenuhi aksiomaaksioma berikut :
1. Tertutup terhadap penjumlahan (+)
Misalkan a dan b adalah anggota R,
maka a dan b tertutup bila a + b ∈R
2. Assosiatif terhadap penjumlahan (+)
Misalkan a, b, c ∈ R
maka (a + b) + c = a + (b + c)
3. Adanya unsur satuan atau identitas terhadap penjumlahan (+)
Misalkan a ∈ R
maka a + e = e + a = a
91
BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI
4. Adanya unsur balikan atau invers terhadap penjumlahan (+)
Misalkan a ∈ R
maka a + (-a) = (-a) + a = e = 0
5. Komutatif terhadap penjumlahan (+)
Misalkan a, b ∈ R
maka a + b = b + a
6. Tertutup terhadap penjumlahan (+)
Misalkan a dan b adalah anggota R,
maka a dan b tertutup bila a . b ∈R
7. Assosiatif terhadap perkalian (.)
Misalkan a, b, c ∈ R
maka (a . b) . c = a . (b . c)
8. Adanya unsur satuan atau identitas terhadap perkalian (.)
Misalkan a ∈ R
maka a . e = e . a = a
9. Distributif perkalian (.) terhadap penjumlahan (+)
Misalkan a, b, c ∈ R
maka a . (b + c) = (a . b) + (a . c) dan (a + b) . c = (a . c) + (b . c)
Dari definisi tersebut dapat kita simpulkan bahwa suatu struktur
aljabar
dengan
dua
operasi
biner
(R,+.)
dikatakan
suatu
Ring
(Gelanggang) bila :
1. (R,+) merupakan suatu Grup Komutatif
2. (R,.) merupakan suatu Semigrup/Monoid
(Catatan : Beberapa penulis buku mengatakan bahwa di dalam suatu
Ring tidak perlu mempunyai identitas terhadap perkalian)
3. Distributif perkalian terhadap penjumlahan
92
BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI
Sebagai catatan yang perlu diingat pada konsep Ring bahwa notasi
untuk kedua operasi tersebut boleh apa saja, misalkan (R,+,o) ataupun
(R,+,*) ataupun yang lainnya. Kita juga bebas menamakan mana yang
merupakan operasi yang pertama ataupun mana operasi yang kedua,
asalkan operasi biner tersebut memenuhi syarat-syarat suatu Ring.
Contoh 6.1 :
Tunjukan bahwa Z4 adalah merupakan suatu Ring.
Penyelesaian :
Tabel 6.1.
Daftar Cayley (Z4, +) dan (Z4, .)-0
+
0
1
2
3
.
0
1
2
3
0
0
1
2
3
0
0
0
0
0
1
1
2
3
0
1
0
1
2
3
2
2
3
0
1
2
0
2
0
2
3
3
0
1
2
3
0
3
2
1
Dari tabel 6.1. akan ditunjukan bahwa Z4 = {0, 1, 2, 3} merupakan suatu
Ring bila memenuhi :
1. Grup Komutatif terhadap penjumlahan (Z4,+)
•
Tertutup
Ambil sebarang nilai dari Z4
misalkan 0, 1, 2, 3 ∈ Z4
1+0=1
1+1=2
93
BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI
1+2=3
1+3=0
karena hasilnya 0, 1, 2, 3 ∈ Z4, maka tertutup terhadap Z4
•
Assosiatif
Ambil sebarang nilai dari Z6
misalkan a = 2, b = 1 dan c = 3 ∈ Z4
(a + b) + c = (2 + 1) + 3 = 3 + 3 = 2
a + (b + c) = 2 + (1 + 4) = 2 + 4 = 2
Sehingga :
(a + b) + c = a + (b + c) = 2
maka Z4 assosiatif
•
Adanya unsur satuan atau identitas
Ambil sebarang nilai dari Z4
o misalkan 0 ∈ Z4
0+e= e+0= 0
o misalkan 1 ∈ Z4
1+e= e+1= 1
o misalkan 2 ∈ Z4
2+e= e+2= 2
o misalkan 3 ∈ Z4
3+e= e+3= 3
maka Z4 ada unsur satuan atau identitas
•
Adanya unsur balikan atau invers
o Ambil sebarang nilai dari Z4, misalkan 0 ∈ Z4, pilih 0 ∈ Z4,
sehingga 0 + 0 = 0 = e, maka (0)-1 = 0
o Ambil sebarang nilai dari Z4, misalkan 1 ∈ Z4, pilih 3 ∈ Z4,
sehingga 1 + 3 = 0 = e, maka (1)-1 = 3
o Ambil sebarang nilai dari Z4, misalkan 2 ∈ Z4, pilih 2 ∈ Z4,
sehingga 2 + 2 = 0 = e, maka (2)-1 = 2
94
BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI
o Ambil sebarang nilai dari Z4, misalkan 3 ∈ Z4, pilih 1 ∈ Z4,
sehingga 3 + 1 = 0 = e, maka (3)-1 = 1
maka Z4 ada unsur balikan atau invers
•
Komutatif
Ambil sebarang nilai dari Z4
misalkan a = 2, b = 3 ∈ Z4
(a + b) = (2 + 3) = 1
(b + a) = (3 + 2) = 1
Sehingga :
(a + b) = (b + a) = 1
maka Z4 komutatif
Jadi, Z4 = {0, 1, 2, 3} merupakan Grup Komutatif terhadap
penjumlahan (Z4, +).
2. Semigrup terhadap perkalian (Z4,.)
•
Tertutup
Ambil sebarang nilai dari Z4
misalkan 0, 1, 2, 3 ∈ Z4
1.0=0
1.1=1
1.2=2
1.3=3
karena hasilnya 0, 1, 2, 3 ∈ Z4, maka tertutup terhadap Z4
•
Assosiatif
Ambil sebarang nilai dari Z4
misalkan a = 2, b = 1 dan c = 3 ∈ Z4
(a . b) . c = (2 . 1) . 3 = 2 . 3 = 2
a . (b . c) = 2 . (1 . 3) = 2 . 3 = 2
Sehingga :
(a . b) . c = a . (b . c) = 2
95
BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI
maka Z4 assosiatif
Jadi, Z4 = {0, 1, 2, 3} merupakan Semigrup terhadap
perkalian (Z4, .).
3. Distributif perkalian terhadap penjumlahan
Ambil sebarang nilai dari Z4
misalkan a = 2, b = 1 dan c = 3 ∈Z4
a.(b + c)
= 2.(1 + 3)
(a.b) + (a.c) = (2.1) + (2.3)
= 2.(0)
=2+6
=0
=0
maka, a.(b + c) = (a.b) + (a.c) = 0
(a + b).c
= (2 + 1).3
(a.c) + (b.c) =(2.3) + (1.3)
= (3).3
=2+3
=1
=1
maka, (a + b).c = (a.c) + (b.c) = 1
Jadi, Z4 = {0, 1, 2, 3} distributif perkalian terhadap
penjumlahan.
Karena Z4 = {0, 1, 2, 3} memenuhi semua aksioma-aksioma yang ada,
maka Z4 adalah suatu Ring (Z4,+,.).
Contoh 6.2 :
Misalkan R = {-1, 1}, (R,+,.) bukan merupakan suatu Ring karena tidak
tertutup terhadap operasi penjumlahan.
Contoh 6.3 :
Misalkan R = {0, 1}, (R,+,.) bukan merupakan suatu Ring karena tidak
tertutup terhadap operasi penjumlahan, tetapi Z2 = {0, 1}, (Z2,+,.)
merupakan suatu Ring karena tertutup terhadap operasi penjumlahan dan
memenuhi sifat-sifat dari Ring.
96
BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI
Suatu Ring dikatakan komutatif/abelian bila pada operasi perkalian
(multifikatif) terpenuhi sifat komutatifnya. Secara singkat akan dijelaskan
syarat dari Ring Komutatif pada definisi berikut :
Definisi 6.2 :
Suatu struktur aljabar dengan dua operasi biner (R,+.) dikatakan suatu
Ring (Gelanggang) Komutatif (Abelian) bila :
1. (R,+) merupakan suatu Grup Komutatif
2. (R,.) merupakan suatu Semigrup/Monoid Komutatif
3. Distributif perkalian terhadap penjumlahan
Jadi, pada Ring Komutatif (R,.) yang merupakan suatu Semigrup/Monoid
harus memenuhi sifat-sifat komutatifnya, yaitu :
a . b = b . a, ∀ a,b ∈ R
Contoh 6.4 :
Dari contoh 6.1, tunjukan bahwa Ring (Z4,+,.) merupakan suatu Ring
Komutatif.
Penyelesaian :
Dari contoh 6.1, telah ditunjukan bahwa Z4 = {0, 1, 2, 3} adalah suatu
Ring (Z4,+,.).
Sekarang akan ditunjukan sifat komutatif dari Ring tersebut.
a . b = b . a, ∀ a,b ∈ Z4
Ambil sebarang nilai dari Z4, misalkan 2 dan 3 ∈ Z4 (pada tabel 6.1.)
2.3 =2
3.2=2
sehingga 2 . 3 = 3 . 2 = 2
Karena Ring (Z4,+,.) tersebut memenuhi sifat komutatif, maka Ring
(Z4,+,.) tersebut adalah Ring Komutatif atau Ring Abelian.
91
BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI
Contoh 6.5 :
Misalkan P = {genap, ganjil} dan P ⊆ Z. Tunjukan bahwa elemen-elemen
bilangan “genap” dan “ganjil” adalah suatu Ring Komutatif.
Penyelesaian :
Tabel 6.2.
Daftar Cayley (P, +) dan (P,.)
+
genap
ganjil
.
Genap
ganjil
genap
genap
ganjil
genap
Genap
genap
ganjil
ganjil
genap
ganjil
Genap
ganjil
Dari tabel 6.2. akan ditunjukan bahwa P = {genap, ganjil} merupakan
suatu Ring Komutatif bila memenuhi :
1. Grup Komutatif terhadap penjumlahan (P,+)
•
Tertutup
Ambil sebarang nilai dari P
misalkan genap, ganjil ∈ P
genap + genap = genap
genap + ganjil = ganjil
ganjil + ganjil = genap
karena hasilnya genap dan ganjil ∈ P, maka tertutup terhadap P
•
Assosiatif
Ambil sebarang nilai dari P
misalkan a = genap, b = ganjil dan c = genap ∈ P
(a + b) + c = (genap + ganjil) + genap = ganjil + genap = ganjil
a + (b + c) = genap + (ganjil + genap) = genap + ganjil = ganjil
Sehingga :
92
BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI
(a + b) + c = a + (b + c) = ganjil
maka P assosiatif
•
Adanya unsur satuan atau identitas
o Ambil sebarang nilai dari P, misalkan genap ∈ P, pilih genap∈ P,
sehingga genap + e = e + genap = genap, maka e = genap
o Ambil sebarang nilai dari P, misalkan ganjil ∈ P, pilih genap∈ P,
sehingga ganjil + e = e + ganjil = ganjil, maka e = genap
maka P ada unsur satuan atau identitas
•
Adanya unsur balikan atau invers
•
Ambil sebarang nilai dari P, misalkan genap ∈ P, pilih genap∈ P,
sehingga genap + genap = genap = e,maka (genap)-1 = genap
•
Ambil sebarang nilai dari P, misalkan ganjil ∈ P, pilih ganjil ∈ P,
sehingga ganjil + ganjil = ganjil = e, maka (ganjil)-1 = ganjil
maka P ada unsur balikan atau invers
•
Komutatif
Ambil sebarang nilai dari P
misalkan a = genap, b = ganjil ∈P
(a + b) = (genap + ganjil) = ganjil
Sehingga :
(a + b) = (b + a) = ganjil
maka P komutatif
Jadi, P = {genap, ganjil} merupakan Grup Komutatif terhadap
penjumlahan (P, +).
2. Monoid terhadap perkalian (P,.)
•
Tertutup
Ambil sebarang nilai dari P
misalkan genap dan ganjil ∈ P
genap . ganjil = genap
genap . genap = genap
93
BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI
ganjil . ganjil = ganjil
karena hasilnya genap dan ganjil ∈ P, maka tertutup terhadap P
•
Assosiatif
Ambil sebarang nilai dari P
misalkan a = genap, b = ganjil dan c = genap ∈ P
(a . b) . c = (genap . ganjil) . genap = genap . genap = genap
a . (b . c) = genap . (ganjil . genap) = genap . genap = genap
Sehingga :
(a . b) . c = a . (b . c) = genap
maka P assosiatif
•
Adanya unsur satuan atau identitas
o Ambil sebarang nilai dari P, misalkan genap ∈ P, pilih ganjil∈ P,
sehingga genap . e = e . genap = genap, maka e = ganjil
o Ambil sebarang nilai dari P, misalkan ganjil ∈ P, pilih ganjil∈ P,
sehingga ganjil + e = e + ganjil = ganjil, maka e = ganjil
maka P ada unsur satuan atau identitas
•
Komutatif
Ambil sebarang nilai dari P
misalkan a = genap, b = ganjil ∈P
(a . b) = (genap . ganjil) = genap
(b . a) = (ganjil . genap) = genap
Sehingga :
(a . b) = (b . a) = genap
maka P komutatif
Jadi, P = {genap, ganjil} merupakan Monoid Komutatif
terhadap perkalian (P, .).
3. Distributif perkalian terhadap penjumlahan
Ambil sebarang nilai dari P
misalkan a = genap, b = ganjil dan c = genap ∈P
94
BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI
a.(b + c)
= genap . (ganjil + genap)
= genap.(ganjil)
= genap
(a.b) + (a.c) = (genap.ganjil) + (genap.genap)
= genap + genap
= genap
maka, a.(b + c) = (a.b) + (a.c) = genap
(a + b).c
= (genap + ganjil). genap
= (ganjil). genap
= genap
(a.c) + (b.c) = (genap. genap) + (ganjil. genap)
= genap + genap
= genap
maka, (a + b).c = (a.c) + (b.c) = genap
Jadi, P = {genap, ganjil} distributif perkalian terhadap
penjumlahan.
Karena P = {genap, ganjil} memenuhi semua aksioma-aksioma yang ada,
maka P adalah suatu Ring Komutatif (P,+,.).
95
BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI
STRUKTUR
ALJABAR
Operasi
Penjumlahan (+)
Operasi
Perkalian (.)
GRUP
KOMUTATIF
SEMIGRUP
∃ Identitas
Distributif
MONOID
RING
Komutatif (.)
RING
KOMUTATIF
Gambar 6.1.
Bagan dari suatu Ring
Telah kita ketahui bahwa suatu Ring merupakan Grup Komutatif
terhadap penjumlahan. Balikan suatu unsur terhadap operasi penjumlahan
dinamakan lawan atau invers aditif yang dinyatakan dengan tanda (-).
Jadi yang dimaksud dengan –a adalah invers aditif dari a. Misalkan unsur
a ditambah invers aditif dari b, yaitu –b, maka ditulis a + (-b) atau a – b.
Teorema 6.1 :
Dalam suatu Ring berlaku sifat-sifat :
1. a.0 = 0.a = 0
2. a.(-b) = -(a.b) = (-a).b
3. -(-a) = a
96
BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI
4. -(a + b) = (-a) + (-b)
5. a.(b – c) = a.b – a.c
6. (a – b).c = a.c – b.c
7. (-1).a = -a
8. (-a).(-b) = a.b
Bukti :
1. a.0 = 0.a = 0
a.0 = a.(0 + 0) = a.0 + a.0
Karena a.0 ∈ R dan R suatu Ring maka terdapat –(a.0) ∈R, sehingga :
a.0
= a.0 + a.0
a.0 – a.0
= a.0 + a.0 – a.0
0
= a.0
Jadi terbukti a.0 = 0
2. a.(-b) = -(a.b) = (-a).b
-(a.b) adalah balikan dari a.b
Akan ditunjukan a.(-b) adalah balikan dari ab
a.b + a.(-b)
= a.(b + (-b)
= a.0 = 0
Jadi terbukti -(a.b) = a.(-b)
3. -(-a) = a
-(-a) + (-a)
=0
-(-a) + (-a) + a
=0+a
-(-a) + (-a + a)
=a
-(-a) + 0
=a
-(-a)
=a
Jadi terbukti -(-a) = a
4. -(a + b) = (-a) + (-b)
(a + b) + (-(a + b))
=0
(-b) +(a + b) + (-(a + b)) = (-b) + 0
97
BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI
a + ((-b) + b) + (-(a + b)) = (-b)
-(a + b)
= (-a) + (-b)
Jadi terbukti -(a + b) = (-a) + (-b)
5. a.(b – c) = a.b – a.c
a.(b + (-c))
= a.b + a.(-c)
a.(b – c)
= a.b – a.c
Jadi terbukti a.(b – c) = a.b – a.c
6. (a – b).c = a.c – b.c
(a + (-b)).c
= a.c + (-b).c
(a – b).c
= a.c – b.c
Jadi terbukti (a – b).c = a.c – b.c
7. (-1).a = -a
(-1).a
= -1.(1.a)
= -(1.1).a
= -a(1.1)
= -a
Jadi terbukti (-1).a = -a
8. (-a).(-b) = a.b
(-a).(-b)
= (-1).a.(-1).b
= (-1).(-1).a.b
= 1.a.b
= a.b
Jadi terbukti (-a).(-b) = a.b
6.2. Integral Domain (Daerah Integral)
Salah satu sifat yang banyak digunakan dari sistem bilanganbilangan yang telah kita kenal adalah bahwa bila ab =0, maka a = 0 atau
b = 0. Sifat tersebut menyatakan bahwa hukum kensel berlaku untuk
98
BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI
unsur-unsur (elemen-elemen) yang bukan unsur nol, karena bila ab = ac
dan a ≠ 0, maka a(b – c) = 0 dan diperoleh b = c.
Definisi 6.3 :
Bila (R,+,.) adalah suatu Ring Komutatif, suatu unsur bukan nol a ∈ R
disebut pembagi nol bila ada unsur yang bukan nol b ∈ R sedemikian
hingga a.b = 0
Dengan kata lain suatu unsur a ≠ 0 ∈ R disebut pembagi nol di R
bila a.b = 0 untuk suatu unsur b ≠ 0 ∈ R
Definisi 6.4 :
Suatu Ring Komutatif yang tidak mempunyai pembagi nol disebut Integral
Domain (Daerah Intergral).
Untuk lebih jelas mengenai syarat-syarat dari Integral Domain
adalah sebagai berikut :
Definisi 6.5 :
Suatu struktur aljabar dengan dua operasi biner (R,+.) dikatakan suatu
Integral Domain (Daerah Integral) bila :
1. Tertutup terhadap penjumlahan (+)
Misalkan a dan b adalah anggota R,
maka a dan b tertutup bila a + b ∈R
2. Assosiatif terhadap penjumlahan (+)
Misalkan a,b,c ∈ R
maka (a + b) + c = a + (b + c)
3. Adanya unsur satuan atau identitas terhadap penjumlahan (+)
Misalkan a ∈ R
99
BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI
maka a + e = e + a = a
4. Adanya unsur balikan atau invers terhadap penjumlahan (+)
Misalkan a ∈ R
maka a + (-a) = (-a) + a = e = 0
5. Komutatif terhadap penjumlahan (+)
Misalkan a,b ∈ R
maka a + b = b + a
6. Tertutup terhadap perkalian (.)
Misalkan a dan b adalah anggota R,
maka a dan b tertutup bila a . b ∈R
7. Assosiatif terhadap perkalian (.)
Misalkan a,b,c ∈ R
maka (a.b).c = a.(b.c)
8. Adanya unsur satuan atau identitas terhadap penjumlahan (.)
Misalkan a ∈ R
maka a.e = e.a = a
9. Komutatif terhadap perkalian (.)
Misalkan a,b ∈ R
maka a . b = b . a
10. Tidak ada pembagi nol
Misalkan a,b ∈ R
Jika a.b = 0, maka a = 0 atau b = 0
11. Distributif perkalian (.) terhadap penjumlahan (+)
Misalkan a,b,c ∈ R
maka a.(b +c) = (a.b) + (a.c) dan (a + b).c = (a.c) + (b.c)
Contoh 6.6 :
Dari soal 6.5, P = {genap, ganjil} adalah suatu Ring Komutatif. Akan
ditunjukkan bahwa Ring Komutatif tersebut adalah Integral Domain.
100
BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI
Penyelesaian :
Diketahui P = {genap, ganjil} adalah suatu Ring Komutatif
Syarat dari Integral Domain adalah Ring Komutatif yang tidak mempunyai
pembagi nol, dengan kata lain:
a.b = 0, untuk a = 0 atau b = 0
Misalkan :
X = {…,-3, -1, 1, 3, ...} adalah himpunan bilangan ganjil dan
Y = {…, -4, -2, 0, 2, 4,…} adalah himpunan bilangan genap.
Dari himpunan tersebut dapat dilihat bahwa bilangan ganjil tidak ada
unsur nol, tetapi bilangan genap ada unsur nol.
Jadi dapat disimpulkan bahwa P = {genap, ganjil} merupakan
Integral Domain, karena a.b = 0 jika a = 0 atau b = 0, ∀ a,b ∈ P.
Contoh 6.7 :
Jika R adalah suatu Daerah Integral dan ab = ac untuk a ≠ 0, serta
b,c ∈ R.Tunjukan bahwa b = c.
Penyelesaian :
ab = ac, maka:
ab – ac = 0
a(b – c) = 0
Karena R adalah Integral Domain yang tidak mempunyai pembagi nol dan
a ≠ 0, maka :
b–c=0
Jadi b = c
Contoh 6.8 :
Tunjukan bahwa Z4 bukan merupakan Integral Domain.
Penyelesaian :
101
BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI
Tabel 6.3.
Daftar Cayley (Z4, .)
.
0
1
2
3
0
0
0
0
0
1
0
1
2
3
2
0
2
0
2
3
0
3
2
1
Dari tabel 6.3, dapat kita lihat bahwa [2] adalah merupakan pembagi nol,
dimana diperolah [2].[2] = 0, sehingga kita tidak selalu dapat mengkensel
seperti [2].[1] = [2].[3] tetapi [1] ≠ [3].
Jadi dapat disimpulkan bahwa Z4 bukan merupakan suatu Integral
Domain karena memiliki pembagi nol yaitu [2].
6.3. Field (Lapangan)
Pada umumnya di dalam suatu Ring, penjumlahan, pengurangan
dan perkalian terhadap unsur suatu Ring akan diperoleh hasil, tetapi untuk
pembagian tidak selalu diperoleh hasil. Di dalam Integral Domain, unsurunsurnya dapat dikensel tetapi tidak selalu diperoleh hasil bila dibagi
dengan unsur yang bukan nol. Misalkan, bila a,b ∈ Z, maka 3a =3b
menghasilkan a = b, tetapi tidak setiap unsur Z dapat dibagi 3.
Ada suatu sistem bilangan-bilangan yang selalu diperoleh hasil bila
dibagi unsur yang bukan nol, yang disebut Field (Lapangan).
102
BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI
Definisi 6.6 :
Field adalah suatu Ring yang unsur-unsur bukan nolnya membentuk Grup
Komutatif/Abelian terhadap perkalian. Dengan kata lain suatu Field adalah
Ring Komutatif yang mempunyai unsur balikan/invers terhadap perkalian.
Dari definisi tersebut dapat kita simpulkan bahwa suatu struktur
aljabar dengan dua operasi biner (R,+.) dikatakan suatu Field bila :
1. (R,+) merupakan suatu Grup Komutatif
2. (R-0,.) merupakan suatu Grup Komutatif
3. Distributif perkalian terhadap penjumlahan
Jadi untuk menunjukan bahwa suatu Ring adalah Field harus kita
buktikan Ring itu komutatif dan mempunyai unsur balikan atau invers
terhadap perkalian. Atau kita tunjukan R merupakan suatu Grup Komutatif
terhadap penjumlahan dan perkalian serta distributif perkalian terhadap
penjumlahan.
Contoh 6.9 :
Dari soal 6.5, P = {genap, ganjil} adalah suatu Ring Komutatif. Akan
ditunjukkan apakah Ring Komutatif tersebut adalah Field.
Penyelesaian :
Diketahui P = {genap, ganjil} adalah suatu Ring Komutatif
Syarat dari Field adalah Ring Komutatif yang mempunyai unsur balikan
atau invers terhadap perkalian, dengan kata lain:
∀ a ∈P, ∃ a-1∈ P, sedemikian sehingga a . a-1 = a-1 . a = e
Telah diketahui identitas dari P adalah e = ganjil
•
Ambil sebarang nilai dari P, misalkan genap ∈ P, pilih ganjil ∈ P,
sehingga genap.ganjil = genap ≠ e
•
Ambil sebarang nilai dari P, misalkan genap ∈ P, pilih genap ∈ P,
sehingga genap.genap = genap ≠ e
103
BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI
maka P tidak ada unsur balikan atau invers
Jadi dapat disimpulkan bahwa P = {genap, ganjil}
bukan
merupakan Field.
Dari contoh 6.9, dapat kita simpulkan bahwa P = {genap, ganjil}
dimana P ⊆ Z, adalah suatu Ring Komutatif yang juga merupakan Integral
Domain (Daerah Integral) tetapi bukan merupakan Field (Lapangan).
6.4. Rangkuman
1. Suatu struktur aljabar dengan dua operasi biner (R,+.) dikatakan suatu
Ring (Gelanggang) bila :
•
(R,+) merupakan suatu Grup Komutatif
•
(R,.) merupakan suatu Semigrup / Monoid
•
Distributif perkalian terhadap penjumlahan
2. Suatu struktur aljabar dengan dua operasi biner (R,+.) dikatakan suatu
Ring (Gelanggang) Komutatif bila :
•
(R,+) merupakan suatu Grup Komutatif
•
(R,.) merupakan suatu Semigrup / Monoid Komutatif
•
Distributif perkalian terhadap penjumlahan
3. Bila (R,+,.) adalah suatu Ring Komutatif, suatu unsur bukan nol a ∈ R
disebut pembagi nol bila ada unsur yang bukan nol b ∈ R sedemikian
hingga a.b = 0
4. Suatu struktur aljabar dengan dua operasi biner (R,+.) dikatakan suatu
Integral Domain (Daerah Integral) bila :
104
BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI
•
(R,+) merupakan suatu Grup Komutatif
•
(R,.) merupakan suatu Semigrup / Monoid Komutatif
•
Tidak ada pembagi nol
•
Distributif perkalian terhadap penjumlahan
5. Suatu struktur aljabar dengan dua operasi biner (R,+.) dikatakan suatu
Field (Lapangan) bila :
•
(R,+) merupakan suatu Grup Komutatif
•
(R-0,.) merupakan suatu Grup Komutatif
•
Distributif perkalian terhadap penjumlahan
6.5. Soal-soal Latihan
1. Tunjukan bahwa bilangan bulat (Z,+,.) adalah merupakan suatu Ring
Komutatif, dengan penjumlahan dan perkalian pada kelas-kelas
kongruensi modulo n yang didefinisikan oleh [x] + [y] = [x + y] dan
[x].[y] = [x.y].
2. Misalkan (R,+,.) didefinisikan operasi ⊕ dan ⊗ pada R sebagai berikut:
a ⊕ b = a + b + 1 dan a ⊗ b = ab + a + b.
Tunjukan apakah merupakan suatu Ring Komutatif.
3. Tunjukan
bahwa
( Q( 2 ) ,+,.)
adalah
Ring
Komutatif
dengan
Q( 2 ) = { a + b( 2 ) | a,b ∈ Q}.
4. Buatlah tabel penjumlahan dan perkalian untuk (Z5,+,.). Tunjukan
apakah merupakan suatu Ring Komutatif.
105
BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI
5. Tunjukan pada soal no 1, apakah merupakan :
a. Integral Domain
b. Field
6. Tunjukan pada soal no 2, apakah merupakan :
a. Integral Domain
b. Field
7. Tunjukan pada soal no 3, apakah merupakan :
a. Integral Domain
b. Field
8. Tunjukan pada soal no 4, apakah merupakan :
a. Integral Domain
b. Field
♠♣♥♣♠
106