Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего образования
«Воронежский государственный университет»
Физический факультет
Кафедра радиофизики
Случайные сигналы в нелинейной радиолокации
ВКР бакалаврская работа
Направление 03.03.03 «Радиофизика»
«Компьютерные технологии передачи информации»
Допущено к защите в ГЭК __.__.____
Обучающийся
П. А. Марчук
Руководитель
д. ф.-м. н., доцент
Ю. Э. Корчагин
Зав. кафедрой
д. ф.-м. н., доцент
Ю. Э. Корчагин
Воронеж
2018
2
Реферат
Марчук П.А.
Случайные сигналы в нелинейной радиолокации.
Дипломная работа по направлению 03.03.03 Радиофизика, Воронеж, ВГУ,
2018 г., 48 стр., 28 рис.
Ключевые слова: нелинейная радиолокация, нелинейный элемент, случайный сигнал, кумулянт, МОМ-диод, полупроводниковый диод.
В работе исследовалось применение случайных сигналов в области нелинейной радиолокации. В качестве испускаемого случайного сигнала использовалась модель гауссовского белого шума. Исследовалось преобразование гауссовского шума нелинейными элементами такими как: МОМ-диод и полупроводниковый диод. В качестве рассматриваемых параметров использовались кумулянты до четвёртого порядка включительно. В результате рассмотрения метода обнаружения случайных сигналов, основанного на критерии Немана –
Пирсона был разработан оптимальный алгоритма обнаружения нелинейности.
3
Содержание
Введение ....................................................................................................................... 4
1. Нелинейная радиолокация и её основные идеи ................................................... 5
1.1. Идея нелинейной радиолокации...................................................................... 5
1.2. Применение детерминированных сигналов в НРЛ ....................................... 9
1.3. Случайные сигналы в НРЛ............................................................................. 10
2. Случайные сигналы в нелинейной радиолокации ............................................. 13
2.1. Описание случайных сигналов ...................................................................... 13
2.2. Гауссовские случайные сигналы ................................................................... 18
2.3. Характеристические функции и кумулянты ................................................ 19
2.4. Экспериментальное вычисление кумулянтов .............................................. 23
2.5. Преобразование случайных сигналов нелинейными элементами ............. 23
3. Алгоритм обнаружения нелинейности ............................................................... 29
3.1. Обнаружение нелинейности кумулянтным методом .................................. 29
3.2. Различение случайных сигналов ................................................................... 31
3.3. Метод обнаружения нелинейности, основанный на критерии Неймана Пирсона ................................................................................................................... 39
Заключение ................................................................................................................ 47
Список литературы ................................................................................................... 49
4
Введение
Современная радиотехника включает применение электромагнитных волн
и процессов для решения широкого круга практических задач передачи, приема
и извлечения информации об объектах. Особое место в радиотехнике занимает
область нелинейной радиолокации.
Актуальность исследования такого раздела радиофизики как нелинейная
радиолокация обусловлена важным практическим значением и многогранной областью применения. Изначально, необходимость НРЛ появилась вследствие проблемы защиты информации в различных учреждениях и организациях из-за
средств радиоэлектронной разведки, таких как закладные устройства [1]. Позже
добавились и новые объекты поиска: различные радиоуправляемые устройства,
обломки самолётов и вертолётов, переносные радиостанции, стрелковое оружие,
а также специальные нелинейные метки, используемые для скрытого обозначения различных объектов [2]. Не менее важным является исследование методов
нелинейной радиолокации в задачах дистанционного поиска терпящих бедствия
людей [3].
Цель работы – исследование возможности применения стохастических
сигналов в рамках НРЛ. Для достижения данной цели требуется решение следующих задач:
1) Изучение изменений свойств случайных сигналов после нелинейных
преобразований, в частности кумулянтов;
2) Синтез алгоритма обнаружения нелинейности с помощью кумулянтного анализа;
3) Анализ типа нелинейности, а именно симметричности характеристики
нелинейного преобразования;
4) Оценка качества функционирования алгоритма обнаружения нелинейности.
5
1. Нелинейная радиолокация и её основные идеи
1.1. Идея нелинейной радиолокации
Впервые эффект нелинейного рассеяния электромагнитных волн упоминается в начале 40-х годов прошлого века. Было установлено, что окислившиеся
соединения металлических палубных конструкций приводили к значительным
интермодуляционным искажениям сигналов мощных коротковолновых радиостанций. Позднее данный вид искажений получил название эффекта «ржавого
болта» [4]. Аналогичный эффект нелинейности наблюдается при отражении ЭМ
волны от полупроводников.
В конце 70-х годов прошлого века появились первые сведения о прикладных работах, основанных на использовании эффекта нелинейного рассеяния. В
патенте США описана установка для дистанционной диагностики состояния обшивки космического аппарата по критерию величины отклика объекта на третьей гармонике зондирующего сигнала. Аналогичный подход был использован
при создании мощного нелинейного локатора METTRA для обнаружения замаскированной бронетанковой техники.
В настоящее время для поиска искусственно созданных человеком объектов, содержащих нелинейные электрические контакты, широко применяются нелинейные радиолокаторы. Принцип работы нелинейных радиолокаторов (обнаружителей нелинейностей) заключается в том, что при облучении высокочастотным зондирующим сигналом объектов, содержащих нелинейные электрические
контакты, происходит преобразование частоты сигнала в высшие гармоники за
счет нелинейных свойств вышеуказанных элементов с их последующим переизлучением в эфир. Практически полное отсутствие нелинейных электромагнитных свойств у естественного фона (грунта, воды, растительности) позволяет эффективно использовать нелинейную радиолокацию для поиска различных объектов
искусственного
происхождения,
в
том
числе
неподвижных
и
6
малоразмерных, что практически невозможно осуществить средствами традиционной радиолокации. Нелинейные радиолокаторы могут применяться для обнаружения устройств несанкционированного съема информации, независимо от
того, включены они или выключены; радиоуправляемых устройств, например,
дистанционных взрывателей; обломков самолетов и вертолетов; стрелкового
оружия. Еще одной сферой применения нелинейной радиолокации является дистанционное маркирование, например, подземных объектов, «черных ящиков»
самолетов и определенных участков местности. Для этих целей используются
так называемые нелинейные маркеры (обычно – полупроводниковые диоды,
нагруженные на антенны-отражатели).
В 1993 году нелинейный локатор появился на отечественном рынке услуг
по защите информации, который ныне изобилует большим количеством разнообразных моделей, различающихся в основном по четырем параметрам: тип излучения – непрерывный или импульсный; частота излучения; мощность излучения; регистрация количества гармоник – одна (вторая гармоника) или две (вторая
и третья).
Изучение эффекта нелинейного рассеяния радиоволн на радиоэлектронной
аппаратуре и ее компонентов в целях их обнаружения – наиболее актуальное для
освоения в техническом отношении направление. В отличие от линейной, в нелинейной радиолокации информация об обнаруживаемом объекте определяется
его способностью спектрального преобразования зондирующего сигнала и переотражения его на гармониках частоты зондирования. Эти явления возможны
при наличии в составе объекта нелинейных элементов.
Определим понятие нелинейного объекта. Таковым называется объект, обладающий нелинейной вольтамперной характеристикой (ВАХ), и по природе
своего возникновения условно могут быть разделены на «искусственные» и
«естественные». Под «искусственными» будем понимать полупроводниковые
приборы искусственного происхождения, содержащие p-n-переход (например,
диоды, транзисторы и т.п.); под «естественными» – естественного происхождения (точечные и плоскостные металлические контакты, МОМ - диоды и т.п.). К
7
простейшему нестабильному MOM-диоду относится и классическая двуокись
железа – ржавчина. Специально созданные MOM-диоды до середины 60-х годов
использовались как детекторные диоды сантиметрового и миллиметрового диапазонов.
Для понимания принципа работы НРЛ, представляется необходимым привести простейшие математические модели для полупроводниковых соединений
и МОМ диодов. Приведенная ниже формула описывает вольт-амперные характеристики полупроводникового диода, который является простейшей моделью
нелинейного соединения:
𝑖д = 𝐼0 (𝑒 𝑢⁄𝜑𝑇 − 1),
(1.1.)
где 𝑖д – ток диода, 𝐼0 – тепловой ток, 𝑢 – напряжение на диоде, 𝜑 𝑇 = 𝑘𝑇⁄𝑒 - температурный потенциал , 𝑒 - заряд электрона, 𝑘 - постоянная Больцмана и 𝑇 - абсолютная температура.
Несмотря на большое различие среди полупроводниковых приборов, все
они обладают достаточно предсказуемыми характеристиками.
Нелинейность МОМ-диода имеет иной вид. Основным механизмом переноса носителей заряда через контакт металлов, разделенных такой пленкой
окисла, является туннельный эффект. Вольт-амперную характеристику МОМдиода можно аппроксимировать следующей нелинейной зависимостью [5]:
𝑢 + 𝛽𝑢3
(1.2.)
𝑖МОМ =
,
𝑅0
где 𝑢 - напряжение на контакте металл-окисел-металл, 𝑖МОМ - туннельный ток
через контакт, 𝛽 - коэффициент нелинейности ВАХ, 𝑅0 = 𝜌0 ⁄𝑎 - начальное (при
𝑢 = 0) сопротивление контакта, 𝜌0 - «удельное» сопротивление туннельного
контакта, 𝑎 - площадь туннельного контакта.
Величины 𝜌0 и 𝛽 определяются высотой барьера 𝜓0 , толщиной диэлектрической плёнки 𝑠 и величиной относительной диэлектрической проницаемости
окисла 𝜖. С изменением 𝑠 или 𝜓0 вдвое величина 𝜌0 измениться на несколько
8
порядков, а коэффициент 𝛽 несущественно. Коэффициент нелинейности стремится к 1 при значениях 𝑠 = (10 ÷ 30) А и 𝜓0 = (1 ÷ 2) В.
На рисунке 1.1 а) представлена ВАХ полупроводникового диода, а на рисунке 1.1 б) ВАХ МОМ-диода. Следует заметить, что вольт-амперная характеристика «естественного» нелинейного элемента достаточно симметрична.
Рисунок 1.1 – Вольт-амперные характеристики нелинейных элементов
9
1.2. Применение детерминированных сигналов в НРЛ
Условимся, что обнаруживать нелинейные элементы можно двумя способами. Первый способ, который очень часто используют в нелинейной радиолокации — это обнаружение НЭ с помощью детерминированных сигналов.
Разложим ВАХ диода (1.1.) в ряд Тейлора
𝐼0
𝐼0
𝐼0
2
𝑢+
𝑢
+
𝑢3 + ⋯.
(1.3.)
𝜑𝑇
2𝜑 𝑇 2
6𝜑 𝑇 3
Пусть на нелинейный элемент (диод) воздействует гармонический сигнал
𝑖д =
𝑢 = 𝑈0 cos(𝜔0 𝑡), где 𝑈0 - амплитуда сигнала, 𝜔0 = 2𝜋𝑓0 - циклическая частота,
𝑓0 - линейная частота. Отклик такого воздействия будет иметь вид:
𝐼0 𝑈02
𝐼0 𝑈0 𝐼0 𝑈03
𝑖д = (
+ ⋯) + (
+
+ ⋯ ) cos(𝜔0 𝑡) +
4𝜑 𝑇 2
𝜑𝑇
8𝜑 𝑇 3
𝐼0 𝑈02
𝐼0 𝑈03
(1.4.)
+(
+ ⋯ ) cos(2𝜔0 𝑡) + (
+ ⋯ ) cos(3𝜔0 𝑡) + ⋯.
4𝜑 𝑇 2
24𝜑 𝑇 3
Отклик воздействия гармонического сигнала на диод с ВАХ (1.1.) будет
иметь бесконечный спектр. На практике ВАХ аппроксимируют конечным степенным многочленом:
𝐼0 𝑈02
𝐼0 𝑈0 𝐼0 𝑈03
𝑖д =
+(
+
) cos(𝜔0 𝑡) +
4𝜑 𝑇 2
𝜑𝑇
8𝜑 𝑇 3
𝐼0 𝑈02
𝐼0 𝑈03
(1.5.)
+
cos(2𝜔0 𝑡) +
cos(3𝜔0 𝑡).
4𝜑 𝑇 2
24𝜑 𝑇 3
Теперь рассмотрим воздействие гармонического сигнала на ВАХ МОМдиода (1.2.):
4𝑈0 + 3𝛽𝑈03
𝛽𝑈03
(1.6.)
𝑖МОМ =
cos(𝜔0 𝑡) +
cos(3𝜔0 𝑡).
4𝑅0
4𝑅0
Сравнивая (1.5.) и (1.6.) видно, что при воздействии косинуса на вольт-амперную характеристику МОМ-диода отсутствует вторая гармоника (с частотой
2𝜔0 ).
На практике, в нелинейной радиолокации наиболее целесообразно искать
именно вторую и третью гармоники. Из-за различия в нелинейных
10
характеристиках полупроводникового нелинейного элемента и МОМ-диода, отклики 2-ой и 3-ей гармоник будут иметь различную величину. Когда зондирующий сигнал воздействует на полупроводник, отклик на второй гармонике сильнее, чем на 3-ей. При облучении МОМ-диода наблюдается обратный эффект: отклик на 3-ей гармонике сильнее, чем на 2-ой.
Для обнаружения нелинейных элементов также используют двухчастотный зондирующий сигнал. При двухчастотном облучении нелинейные объекты
можно обнаружить путем регистрации комбинационных частот в спектре отраженного сигнала. При этом сигналы от ПП устройств, как правило, имеют
наибольшую величину на частотах 𝜔1 ± 𝜔2 . Эти сигналы обусловлены, в основном, квадратичным членом вольт-амперной характеристики полупроводникового перехода. Сигналы же, обусловленные наличием металлических контактов,
максимальны на частотах 2𝜔1 − 𝜔2 и 2𝜔2 − 𝜔1 . Это объясняется «кубической» нелинейностью вольт-амперной характеристики окисленного металлического контакта .
В задаче нелинейной радиолокации исследовали различные сигналы позволяющие оптимизировать структуру нелинейного локатора. В качестве зондирующего сигнала использовали: сверхширокополосные, фазоманипулированные, шумоподобные. [4,6,7].
1.3. Случайные сигналы в НРЛ
Теперь рассмотрим второй способ обнаружения нелинейных элементов, по
принципу стохастической нелинейной радиолокации. Блок-схема локатора представлена на рисунке 1.2.
Передатчик локатора излучает случайный сигнал 𝜉(𝑡) с заданными характеристиками (плотность вероятности, мат. ожидание, дисперсия и т.д.). Излучённый сигнал воздействует на нелинейный элемент, переизлучается и уже принимается антенной приёмника локатора, причём характеристики сигнала
11
преобразуются в соответствии с вольт-амперной характеристикой нелинейного
элемента.
Рисунок 1.2 – Блок схема принципа обнаружения НЭ с помощью случайного
сигнала.
𝜂(𝑡) = 𝑔(𝜉(𝑡)),
(1.7.)
где 𝑔 – ВАХ нелинейного устройства.
Принятый, преобразованный сигнал 𝜂(𝑡) будет нести информацию об этом
элементе, и позволит идентифицировать его.
Пусть на антенну приёмного устройства падает не только преобразованный сигнал 𝜂(𝑡), но и излучаемый сигнал 𝜉(𝑡). Тогда на приёмной стороне имеем
сигнал такого вида:
𝜑(𝑡) = 𝜉(𝑡) + 𝑘𝜂(𝑡)
(1.8.)
где 𝑘 – коэффициент отражения, принимающий значения от 0 до 1
При анализе преобразований случайных переменных, особенно нелинейных преобразований, в первую очередь интересуются тем, как преобразуются вероятностные распределения, моменты и моментные функции. Вместе с этим
12
существует и другой подход к изучению случайных величин и процессов – их
описание с помощью кумулянтов (семиинвариантов) и кумулянтных функций
(обобщенных корреляционных функций), являющихся нелинейными комбинациями статистических средних.
Идея обнаружения нелинейных элементов с помощью стохастических
сигналов сводится к поиску кумулянтов как излучаемого так принимаемого
сигнала, сравнении их, и решении, был ли нелинейный элемент в зоне излучения.
Если в способе с детерминированными сигналами мы сравнивали лишь
вторую и третью гармоники принимаемого сигнала, то в методе со стохастическими сигналами, количество сравниваемых величин будет гораздо больше, что
возможно даст более точный ответ.
13
2. Случайные сигналы в нелинейной радиолокации
2.1. Описание случайных сигналов
Отличительной чертой случайного сигнала является то, что его мгновенные значения заранее не предсказуемы. Случайный сигнал представляет случайную функцию времени, и его рассмотрение во временной области, как и детерминированного сигнала, является наиболее наглядным. Вместе с тем, если
детерминированный сигнал однозначно описывается временной функцией, то
такое представление случайного процесса невозможно.
Итак, в отличие от детерминированных сигналов, значение случайных
сигналов в произвольные моменты времени не могут быть вычислены достоверно, а могут быть только предсказаны в определенном диапазоне значений с
определенной вероятностью, меньшей единицы. Однако, изучая такой случайный сигнал детально, можно заметить, что ряд его характеристик весьма точно
описывается в вероятностном смысле. Важно и то, что чаще всего наблюдают
относительно небольшие отклонения амплитудных значений случайного сигнала от некоторого среднего уровня; чем больше отклонения по абсолютному
значению, тем реже их наблюдают. Уже в этом проявляется статистическая закономерность. Располагая сведениями о вероятностях флуктуации различного
уровня, удаётся создать математическую модель случайного колебания, приемлемую для детального анализа случайного процесса.
Случайный процесс в каждый момент времени представляет случайную
величину, которая может принимать различные значения из области возможных для неё. С общих вероятностных позиций под случайной величиной понимают результат фиксации такого явления, который является либо полностью
непредсказуемым, либо предсказуем с определённой среднеквадратической погрешностью. Во временной области случайный процесс может быть описан
только с использованием вероятностных характеристик.
14
В общем случае в радиотехнике существуют два основных класса случайных сигналов. Во-первых, практически случайными являются все реальные сигналы, несущие информацию. Во-вторых, шумы – хаотически изменяющиеся во
времени электромагнитные колебания [8].
Случайный процесс представляют бесконечным множеством некоторых
временных функций или реализаций процесса. На рисунке 2.1 а) – представлено множество реализаций, а на рисунке 2.1 б) лишь одна реализация.
Рисунок 2.1 – Реализации случайного процесса
Рассмотрим случайный процесс, состоящий из множества случайных сигналов 𝑥1 (𝑡), 𝑥2 (𝑡), … , 𝑥𝑘 (𝑡), …, называемых реализациями случайного процесса
(рис. 2), и аналитически описываемый некоторой обобщающей его случайной
функцией 𝑋(𝑡). Совокупность всех реализаций случайного процесса называют
ансамблем (рис.2, а). Ансамбль реализаций – математическая абстракция, модель рассматриваемого процесса, но конкретные реализации (рис.2, б), используемые на практике, представляют физические объекты иди явления и входят в
ансамбль как его неотъемлемая часть.
15
Отметим на рис.2 некоторый момент времени 𝑡 = 𝑡1 . Значения, которые
могут принимать конкретные реализации 𝑥1 (𝑡), 𝑥2 (𝑡), … , 𝑥𝑘 (𝑡) всего ансамбля в
заданный момент времени 𝑡1 , образуют совокупность случайных величин
𝑥1 (𝑡1 ), 𝑥2 (𝑡1 ), … , 𝑥𝑘 (𝑡1 ), которую обозначим случайной величиной 𝑋(𝑡1 ).
Аналитическое описание случайных процессов определяется основными
статистическими характеристиками, к которым относятся одномерные, двумерные и многомерные функции распределения и плотности вероятности, числовые характеристики (среднее значение, дисперсия и др.) и корреляционные
функции.
Одной из важных одномерных характеристик случайной величины 𝑋(𝑡1 )
является функция распределения 𝐹(𝑥). Численно эта функция определяется как
вероятность того, что все значения случайной величины 𝑋(𝑡1 ) не превышают
некоторого заданного уровня 𝑥:
𝐹(𝑥) = 𝑃[𝑋(𝑡1 ) < 𝑥].
Основные свойства функции распределения:
•
(2.1.)
для случайной величины 𝑋(𝑡1 ), имеющей любые вещественные значения, функцию распределения определяют на интервале
0≤
𝐹(𝑥) ≤ 1 при −∞ < 𝑥 < ∞;
•
функция распределения 𝐹(𝑥) не уменьшается при возрастании аргумента 𝑥;
•
для функции распределения 𝐹(𝑥) справедливо равенство 𝑃(𝑥1 < 𝑋 ≤
𝑥2 ) = 𝑃(𝑥2 ) − 𝑃(𝑥1 ).
Если случайная величина 𝑋(𝑡1 ) является непрерывной во времени, то зачастую вместо функции распределения удобнее пользоваться ее производной
𝑑𝐹(𝑥) 𝑑𝐹
=
,
𝑑𝑥
𝑑𝑥
получившей название одномерной плотности вероятности.
𝑊(𝑥, 𝑡1 ) =
(2.2.)
Зададим некоторый интервал 𝑎 − 𝑏 изменения мгновенного значения 𝑥
случайного процесса (рис. 2). Тогда из (2.2.) следует, что плотность вероятности
𝑊(𝑥, 𝑡1 )𝑑𝑥 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) = 𝑃[𝑎 < 𝑋(𝑡1 ) < 𝑏]
(2.3.)
16
- есть вероятность попадания случайной величины 𝑋(𝑡1 ) в заданный интервал.
Пусть параметр 𝑎 → −∞, а 𝑏 принимает текущее значение переменной 𝑥.
В этом случае функция распределения примет вид:
𝑥
𝐹(𝑥) = 𝑃[−∞ < 𝑋(𝑡1 ) ≤ 𝑥] = ∫ 𝑊(𝑥, 𝑡1 )𝑑𝑥 .
(2.4.)
−∞
Следует отметить, что одномерная плотность вероятности всегда неотрицательная величина и удовлетворяет условию нормировки
∞
∫ 𝑊(𝑥, 𝑡1 )𝑑𝑥 = 1.
(2.5.)
−∞
Одномерная плотность вероятности (или функция распределения) и связанные с ней различные характеристики позволяют получить весьма важную информацию о свойствах случайного процесса, но они дают вероятностное представление о случайном процессе 𝑋(𝑡) только в отдельные моменты времени и
ничего не говорят о том, как они изменяются в широких интервалах времени.
Достаточно исчерпывающей характеристикой случайного процесса служит 𝑛-мерная плотность вероятности 𝑊(𝑥1 , … , 𝑥𝑘 ; 𝑡1 , … , 𝑡𝑛 ), также 𝑛-мерная
функция распределения, полученная для 𝑘 реализаций в 𝑛 различных фиксированных моментах времени 𝑡1 , 𝑡2 , … , 𝑡𝑛 . Многомерные плотности вероятности используют на практике редко, поскольку они сложны и требуют для определения
обработки много экспериментальных данных. В прикладных задачах статистической радиотехнике, наряду с одномерной, применяют двумерную плотность
вероятности 𝑊[𝑥(𝑡1 ), 𝑥(𝑡2 )].
При решении многих задач радиотехники нет особой необходимости в
полной вероятностной характеристике случайных величин, которую дают плотность вероятности или функция распределения. При этом часто приходится
также иметь дело с анализом случайных величин, плотности вероятности которых не отражаются аналитическими функциями либо вообще неизвестны. Вместе с тем задание одномерной плотности вероятности 𝑊(𝑥, 𝑡1 ) позволяет произвести статистическое усреднение и самой величины 𝑥, и любой функции 𝑓(𝑥), а
17
также основных числовых характеристик распределений. Под статистическим
усреднением подразумевают усреднение по ансамблю реализаций в фиксированный момент времени.
Для описания случайных процессов, используется ряд неслучайных числовых характеристик, называемых моментами случайной величины.
Начальный момент 𝑛-го порядка случайной величины 𝑋(𝑡) есть среднее
значение 𝑛-ой степени случайной переменной
∞
𝑚𝑛 (𝑡) =< 𝑥 𝑛 (𝑡) >= ∫ 𝑥 𝑛 𝑊(𝑥, 𝑡)𝑑𝑥 .
(2.6.)
−∞
Скобки < > означают операцию усреднения по множеству результатов
случайных испытаний (реализаций).
Запишем соотношения для вычисления основных числовых характеристик случайных процессов.
Первый начальный момент, или математическое ожидание,
∞
𝑚(𝑡) =< 𝑥(𝑡) >= ∫ 𝑥𝑊(𝑥, 𝑡)𝑑𝑥,
(2.7.)
−∞
представляет собой среднее значение случайного процесса в текущий момент
времени 𝑡, полученное усреднением по всему ансамблю.
Второй начальный момент случайного процесса вычисляют по формуле
∞
𝑚2 (𝑡) =< 𝑥 2 (𝑡) >= ∫ 𝑥 2 𝑊(𝑥, 𝑡)𝑑𝑥 .
(2.8.)
−∞
В большинстве радиоэлектронных систем и устройств аналогового принципа действия обычно имеют место случайные процессы с нулевым математическим ожиданием, когда реализации группируются по обе стороны от оси времени. Такие процессы называют центрированными.
Центральный момент 𝑛-го порядка случайной величины 𝑋(𝑡) есть среднее
значение 𝑛-ой степени отклонения случайного процесса от его математического
ожидания
18
∞
𝜇𝑛 (𝑡) = ∫ [𝑥(𝑡) − 𝑚(𝑡)]𝑛 𝑊(𝑥, 𝑡)𝑑𝑥 .
(2.9.)
−∞
Дисперсия, или второй центральный момент, определяется как математическое ожидание квадрата отклонения случайного процесса от его математического ожидания
∞
𝐷(𝑡) = 𝜎 2 (𝑡) = ∫ [𝑥(𝑡) − 𝑚(𝑡)]2 𝑊(𝑥, 𝑡)𝑑𝑥 .
(2.10.)
−∞
Дисперсию 𝐷(𝑡) случайной величины часто обозначают через квадрат
среднеквадратического отклонения 𝜎 2 = 𝐷.
Среди двумерных функций распределения особое место занимает второй
смешанный центральный момент – функция корреляции, которая характеризует
статистическую связь между значениями одного и того же случайного процесса
в два различных момента времени.
Функция корреляции
𝑅(𝑡1 , 𝑡2 ) =< 𝑥(𝑡1 ) − 𝑚(𝑡1 ) >< 𝑥(𝑡2 ) − 𝑚(𝑡2 ) >=
∞
= ∬[𝑥(𝑡1 ) − 𝑚(𝑡1 )][𝑥(𝑡2 ) − 𝑚(𝑡2 )]𝑊(𝑥1 , 𝑥1 ; 𝑡1 , 𝑡2 )𝑑𝑥 ,
(2.11.)
−∞
представляет собой меру связи между сечениями случайного процесса, взятыми
в момент времени 𝑡1 и 𝑡2 .
Когда 𝑡1 = 𝑡2 , т.е. при совмещении сечений случайного процесса, функция корреляции численно равна дисперсии [8].
𝑅(𝑡, 𝑡) = 𝑅(0) = 𝜎 2 (0).
(2.12.)
2.2. Гауссовские случайные сигналы
Центральная предельная теорема (ЦПТ) теории вероятности определяет
условия, при которых реальный случайный процесс приближается к нормальному. Одна из трактовок ЦПТ Ляпунова гласит: «Если случайная величина 𝑋
представляет собой сумму очень большого числа взаимно независимых
19
случайных величин, влияние каждой из которых на всю сумму ничтожна мало,
то 𝑋 имеет распределение, близкое к нормальному».
Запишем 𝑛-мерную плотность вероятности гауссовского случайного процесса:
𝑊(𝑥1 , … , 𝑥𝑛 ; 𝑡1 , … , 𝑡𝑛 ) =
𝑛
1
1
=
𝑒𝑥𝑝 {− ∑ 𝐶𝑖𝑗 (𝑥𝑖 − 𝑚(𝑡𝑖 ))(𝑥𝑗 − 𝑚(𝑡𝑗 ))},
2
√(2𝜋)𝑛 𝑑𝑒𝑡𝑹
(2.13.)
𝑖,𝑗=1
где 𝑚 – мат. ожидания гауссовского случайного процесса, 𝐶𝑖𝑗 – матричный эле𝑅(𝑡1 , 𝑡1 ) ⋯ 𝑅(𝑡1 , 𝑡𝑛 )
⋮
⋱
⋮
мент, матрицы 𝑪 = 𝑹 , 𝑹 = (
) – корреляционная мат𝑅(𝑡𝑛 , 𝑡1 ) ⋯ 𝑅(𝑡𝑛 , 𝑡𝑛 )
−1
рица.
Запишем и одномерную плотность вероятности гауссовского процесса:
(𝑥 − 𝑚(𝑡))2
𝑊(𝑥, 𝑡) =
𝑒𝑥𝑝 [−
].
(2.14.)
2 (𝑡)
2𝜎
√(2𝜋)𝜎(𝑡)
Далее будем рассматривать стационарный и эргодический гауссовский
1
процесс. Т.е. 𝑚 и 𝜎 2 – не будут зависить от времени, и усреднение по ансамблю
реализаций можно заменить усреднением по времени одной реализации [9].
2.3. Характеристические функции и кумулянты
Вместо плотностей вероятности для описания случайного процесса
можно задавать характеристические функции. Характеристическая функция
представляет собой преобразование Фурье от соответствующей плотности вероятности:
𝜃(𝜈1 , … , 𝜈𝑛 ; 𝑡1 , … , 𝑡𝑛 ) =
∞
∞
= ∫ … ∫ 𝑊(𝑥1 , … , 𝑥𝑛 ; 𝑡1 , … , 𝑡𝑛 ) 𝑒 𝑗(𝜈1𝑥1+⋯+𝜈𝑛𝑥𝑛 ) 𝑑𝑥1 … 𝑑𝑥𝑛 .
−∞
−∞
(2.15.)
Отсюда видно, что характеристическую функцию можно определить, как
усреднение экспоненты по ансамблю реализаций.
20
Пусть имеется случайный процесс 𝑋(𝑡), описываемый одномерной плотностью вероятности 𝑊(𝑥, 𝑡). Разложим характеристическую функцию в ряд
экспоненты:
∞
𝜃(𝜈) = ∫ 𝑊(𝑥, 𝑡) 𝑒 𝑗𝜈𝑥 𝑑𝑥 =
−∞
∞
∞
∞
(𝑗𝜈)𝑛
𝑚𝑛 (𝑡)
(𝑗𝜈)𝑛 .
=1+∑
∫ 𝑥 𝑛 𝑊(𝑥, 𝑡)𝑑𝑥 = 1 + ∑
𝑛!
𝑛!
𝑛=1
(2.16.)
𝑛=1
−∞
Отсюда следует, что
1 𝑑 𝑛 𝜃(𝜈)
| ,
(2.17.)
𝑗 𝑛 𝑑𝜈 𝑛 𝜈=0
т.е. начальные моменты функции можно также получить из характеристической
𝑚𝑛 (𝑡) =
функции путём её дифференцирования.
Аналогами корреляционных функций в одномерном случае являются так
называемые кумулянты или семиинварианты. Кумулянты определяются при
помощи разложения в ряд Маклорена не самой характеристической функции, а
её логарифма. Приведем определение кумулянтов и установим их связь с одномерными моментами. Для функции ln(1 + 𝑧) ряд Маклорена имеет вид
1
1
1
ln(1 + 𝑧) = 𝑧 − 𝑧 2 + 𝑧 3 − 𝑧 4 + ⋯.
2
3
4
Заменяя 1 + 𝑧 на 𝜃(𝜈) т.е. полагая 𝑧 = 𝜃(𝜈) − 1 и используя формулу
(2.16.), можем написать
1
1
1
ln𝜃(𝜈) = (𝜃 − 1) − (𝜃 − 1)2 + (𝜃 − 1)3 − (𝜃 − 1)4 + ⋯ =
2
3
4
∞
2
∞
∞
3
𝑚𝑛 (𝑡)
1
𝑚𝑛 (𝑡)
1
𝑚𝑛 (𝑡)
(𝑗𝜈)𝑛 − [∑
(𝑗𝜈)𝑛 ] + [∑
(𝑗𝜈)𝑛 ] − ⋯.
=∑
𝑛!
2
𝑛!
3
𝑛!
𝑛=1
𝑛=1
(2.18.)
𝑛=1
Правая часть этого выражения представляет многочлен относительно 𝑗𝜈.
Совершая перестановки слагаемых в этом многочлене, его можно представить в
виде следующего ряда:
∞
ln𝜃(𝜈) = ∑
𝑛=1
𝜘𝑛
(𝑗𝜈)𝑛
𝑛!
(2.19.)
21
или
∞
𝜃(𝜈) = exp [∑
𝑛=1
𝜘𝑛
(𝑗𝜈)𝑛 ],
𝑛!
(2.20.)
где коэффициенты 𝜘𝑛 называются кумулянтами.
Кумулянт 𝜘𝑛 есть полином от моментов 𝑚, 𝑚2 , … , 𝑚𝑛 и, наоборот, момент
𝑚𝑛 есть полином от кумулянтов 𝜘1 , 𝜘2 , … , 𝜘𝑛 . Приравнивая коэффициенты при
одинаковых степенях (𝑗𝜈) в правых частях выражений (2.18.) и (2.19.), получаем:
𝜘1 = 𝑚, 𝜘2 = 𝑚2 − 𝑚2 = 𝜇2 ,
𝜘3 = 𝑚3 − 3𝑚𝑚2 + 2𝑚3 = 𝜇3 ,
𝜘4 = 𝑚4 − 3𝑚22 − 4𝑚𝑚3 + 12𝑚2 𝑚2 − 6𝑚4 = 𝜇4 − 3𝜇22 ,
𝜘5 = 𝑚5 − 5𝑚4 𝑚1 − 10𝑚3 𝑚2 + 20𝑚3 𝑚12 +
(2.21.)
+30𝑚22 𝑚1 − 60𝑚2 𝑚13 + 24𝑚15 ,
𝜘6 = 𝑚6 − 6𝑚5 𝑚1 − 15𝑚4 𝑚2 + 30𝑚4 𝑚12 − 10𝑚32 + 120𝑚3 𝑚2 𝑚1 −
и т.д.
−120𝑚3 𝑚13 + 30𝑚23 − 270𝑚22 𝑚12 + 360𝑚2 𝑚14 − 120𝑚16 ,
Так же кумулянты можно выразить, через производные логарифма харак-
теристической функции:
1 𝑑 𝑛 [ln𝜃(𝜈)]
| .
(2.22.)
𝑗𝑛
𝑑𝜈 𝑛
𝜈=0
Кумулянты распределения во многих отношениях являются гораздо более
𝜘𝑛 (𝑡) =
удобными параметрами распределения, чем моменты (в том числе и центральные). Помимо прочих причин это связано и с тем, что во многих практически
важных случаях высшими кумулянтами распределений в отличие от моментов
можно пренебрегать. С другой стороны, существует возможность рассматривать
такие распределения, кумулянты которых, начиная с некоторого порядка, все обращаются в нуль, в то время как моменты не равны нулю. Например, для гауссова
распределения (2.14) отличны от нуля только первые два кумулянта и вместе с
тем ни один из моментов не равен нулю.
22
Первый и второй кумулянты имеют четкий смысл – это среднее значение
и дисперсия распределения:
𝜘1 = 𝑚 =< 𝑥(𝑡) >,
𝜘2 =< 𝑥 2 (𝑡) > −< 𝑥(𝑡) >2 = 𝜎 2 .
Последующим двум кумулянтам также можно дать определенную интерпретацию. Так, третий кумулянт 𝜘3 можно назвать асимметрией распределения, а четвертый 𝜘4 – эксцессом. Асимметрия отлична от нуля только для плотности вероятности, ассиметричной относительно точки 𝑥 = 𝑚. Эксцесс распределения часто описывает отклонение распределения от гауссова в сторону более острой
(𝜘4 > 0) или более тупой (𝜘4 < 0) вершины, хотя это и не всегда так. Удобно
ввести безразмерные кумулянты – кумулянтные коэффициенты
𝛾3 =
𝜘3
,𝛾 =
3/2 4
𝜘4
.
𝜘22
(2.23.)
𝜘2
Коэффициенты 𝛾3 и 𝛾4 называют коэффициентами асимметрии и эксцесса
соответственно и описывают степень отклонения вероятностного распределения
от гауссова.
C формальной точки зрения кумулянтное описание случайных процессов
даёт столь же полное их статистическое представление, сколь и моментное, оно
обладает, вместе с тем, важными и привлекательными преимуществами.
Первое преимущество заключается в том, что кумулянты и кумулянтные
функции, в отличии от моментов и моментных функций, имеют четко выраженный самостоятельный статистический смысл и могут быть заданы в определенной степени независимо друг от друга, являясь в этом плане некоторыми «нормальными координатами» статистического описания. Это приводит, например к
тому, что различные статистические средние «выходов» нелинейных преобразований выражаются простым образом именно через кумулянты «входных» переменных.
Второе преимущество кумулянтов и кумулянтных функций связано с тем,
что учет их высших порядков позволяет просто описать любую степень
23
негауссовости случайных величин и процессов. По этой причине основную ценность кумулянтное описание имеет именно для негауссовых переменных.
Третье, весьма важное преимущество кумулянтного описания случайных
величин и процессов обусловлено тем, что конечному набору кумулянтов всегда
соответствует некоторая «хорошая» вещественная функция, аппроксимирующая
вероятностное распределение, в то время как несингулярной функции, все высшие моменты которой равнялись бы нулю, не существует. Это обстоятельство
имеет особо важное значение при приближенном представлении вероятностных
распределений тех случайных величин и процессов, для которых можно отыскать лишь конечные наборы кумулянтов и кумулянтных функций [11].
2.4. Экспериментальное вычисление кумулянтов
Экспериментально кумулянты будем вычислять следующим образом. Нам
уже известна связь кумулянтов и начальных моментов (2.21.). Моменты распределений найдём с помощью аппарата математической статистики. Воспользуемся оценками мат. ожидания и оценки начальных моментов:
𝑛
1
𝑥̅ = ∑ 𝑥𝑖 ;
𝑛
(2.24.)
𝑖=1
𝑛
1
𝑎𝑘 = ∑ 𝑥𝑖𝑘 .
𝑛
(2.25.)
𝑖=1
В практической части данными формулами будем находить все числовые
характеристики.
2.5. Преобразование случайных сигналов нелинейными элементами
Среди нелинейных преобразований случайных процессов простейшим является такое преобразование, при котором значение выходной функции 𝜂(𝑡) в
24
любой момент времени определяется только значением входной функции 𝜉(𝑡) в
тот же момент времени:
𝜂(𝑡) = 𝑔(𝜉(𝑡)),
(2.26.)
где 𝑔(𝜉) – некоторая нелинейная функция.
Такое нелинейное преобразование можно назвать безынерционным или
функциональным.
К безынерционному нелинейному преобразованию сводится преобразования, когда входная функция 𝜉(𝑡) подвергается дополнительной трансформации
линейной системой 𝐿1 , а выходная 𝜂(𝑡) – линейной системой 𝐿2 , причём эти системы не оказывают реакции на нелинейный элемент. Такое преобразование
можно записать:
𝜂(𝑡) = 𝐿2 𝑔{𝐿1 𝜉(𝑡)},
(2.27.)
где 𝐿1 и 𝐿2 – линейные операторы, описывающие поведение линейных систем.
Для изучения влияния нелинейных элементов на стохастические процессы,
рассмотрим лишь преобразование вида (2.24.).
Относительно вида нелинейной функции 𝑔(𝜉) можно сказать следующие.
Обычно её получают экспериментально как характеристику нелинейного
устройства или элемента (полупроводникового диода, транзистора и др.). При
аналитическом рассмотрении эту характеристику следует аппроксимировать тем
или иным способом. При подборе такой аппроксимации важно то, чтобы достигалась хорошая аппроксимация характеристики 𝑔(𝜉) на том участке оси 𝜉, где
имеет место достаточно большая вероятность появления случайного процесса
𝜉(𝑡). На тех же участках характеристики, на которые процесс попадает редко,
может быть допущена большая погрешность аппроксимации.
Часто применяются следующие три вида аппроксимации: полиномом, ломаной линией (кусочно-разрывная аппроксимация) и трансцендентными функциями (в частности, экспонентой). Каждый из этих видов имеет свои преимущества и недостатки. При этом нужно иметь в виду, что требования точности
25
аппроксимации и требование простоты аналитического выражения в известном
смысле противоречивы и, как правило, плохо согласуются между собой.
При анализе преобразования случайных процессов линейными или нелинейными системами задача ставится так: предполагая известными параметры системы и статистические характеристики входного процесса 𝜉(𝑡), требуется найти
статистические характеристики процесса 𝜂(𝑡), получающегося на выходе.
Рассмотрим простейший случай. Пусть известна плотность вероятности
𝑤1 (𝜉) случайной величины 𝜉 и нужно найти плотность вероятности 𝑊1 (𝜂) случайной величины 𝜂 = 𝑔(𝜉). Предположим пока, что существует однозначная обратная функция 𝜉 = ℎ(𝜂). Так как случайные величины связаны однозначной детерминированной зависимостью, то из того факта, что 𝜉 заключено в достаточно
малой интервале [𝜉0 , 𝜉0 + 𝑑𝜉], достоверно следует, что величина 𝜂 будет находиться в интервале [𝜂0 , 𝜂0 + 𝑑𝜂], где 𝜂0 = 𝑔(𝜉0 ) (рисунок 2.2). Отсюда следует,
что вероятности этих двух событий равны (свойство инвариантности дифференциала вероятности): 𝑊1 (𝜂)𝑑𝜂 = 𝑤1 (𝜉)𝑑𝜉, т.е.
Рисунок 2.2 – Взаимнооднозначное нелинейное преобразование
26
𝑊1 (𝜂) = 𝑤1 (𝜉)
𝑑𝜉
= 𝑤1 (ℎ(𝜂))ℎ′ (𝜂).
𝑑𝜂
(2.28.)
Поскольку плотности вероятности не могут быть отрицательными, то в
формулу (2.26.) нужно подставлять модуль производной:
𝑊1 (𝜂) = 𝑤1 (𝜉)
𝑑𝜉
= 𝑤1 (ℎ(𝜂))|ℎ′ (𝜂)|.
𝑑𝜂
(2.29.)
Более сложным является случай, когда обратная функция 𝜉 = ℎ(𝜂) неоднозначна (рисунок 2.3), т.е. одному значению 𝜂 соответствует несколько ветвей
функции ℎ(𝜂). Пусть имеются две ветви ℎ1 (𝜂) и ℎ2 (𝜂).
Рисунок 2.3 – Случай двузначного преобразования
В данном случае имеются две несовместимые возможности
𝜉1 < 𝜉 ≤ 𝜉1 + 𝑑𝜉1 ; 𝜉𝟐 < 𝜉 ≤ 𝜉𝟐 + 𝑑𝜉𝟐 ,
(2.30.)
обеспечивающие выполнение неравенства
𝜂0 < 𝜂 ≤ 𝜂0 + 𝑑𝜂0 .
(2.31.)
Поэтому вероятность выполнения неравенства (2.29.) должна равняться
сумме вероятностей выполнения каждого из неравенств (2.28.):
27
𝑊1 (𝜂)𝑑𝜂 = 𝑤1 (𝜉1 )𝑑𝜉1 + 𝑤1 (𝜉2 )𝑑𝜉2 .
Выразив 𝜉 через 𝜂, окончательно получим
𝑊1 (𝜂) = 𝑤1 (ℎ1 (𝜂))|ℎ1′ (𝜂)| + 𝑤1 (ℎ2 (𝜂))|ℎ2′ (𝜂)|.
(2.32.)
Если имеется большое число ветвей обратной функции, то в правой части
формулы (2.30.) будет сумма по всем ветвям. Формула (2.30.) дает правило преобразования одномерных плотностей вероятностей при функциональных преобразованиях случайных величин.
Приведенные выше рассуждения можно обобщить на случай функционального преобразования нескольких случайных величин 𝜉1 , 𝜉2 , … , 𝜉𝑛 .
В общем виде принципиальное решение задачи о нелинейных безынерционных преобразованиях случайных процессов дается следующей теоремой.
Пусть известна 𝑛-мерная плотность вероятности 𝑤𝑛 (𝜉1 , 𝜉2 , … , 𝜉𝑛 ) случайных величин 𝜉1 , 𝜉2 , … , 𝜉𝑛 и нужно найти плотность вероятности 𝑊𝑛 (𝜂1 , 𝜂2 , … , 𝜂𝑛 ) для
случайных величин:
𝜂1 = 𝑔1 (𝜉1 , 𝜉2 , … , 𝜉𝑛 )
{𝜂2 = 𝑔2 (𝜉1 , 𝜉2 , … , 𝜉𝑛 ),
𝜂𝑛 = 𝑔𝑛 (𝜉1 , 𝜉2 , … , 𝜉𝑛 )
(2.33.)
где функции 𝑔𝑖 – кусочно-непрерывные.
Если существуют однозначные обратные функции:
𝜉1 = ℎ1 (𝜂1 , 𝜂2 , … , 𝜂𝑛 )
{𝜉2 = ℎ2 (𝜂1 , 𝜂2 , … , 𝜂𝑛 ),
𝜉𝑛 = ℎ𝑛 (𝜂1 , 𝜂2 , … , 𝜂𝑛 )
(2.34.)
и интересующая нас плотность вероятности определяется формулой:
𝑊𝑛 (𝜂1 , 𝜂2 , … , 𝜂𝑛 ) = 𝑤𝑛 (ℎ1 (𝜂1 , 𝜂2 , … , 𝜂𝑛 ), … , ℎ𝑛 (𝜂1 , 𝜂2 , … , 𝜂𝑛 ))|𝐷𝑛 |,
(2.35.)
где 𝐷𝑛 – якобиан преобразования от случайных величин 𝜉1 , 𝜉2 , … , 𝜉𝑛 к случайным величинам 𝜂1 , 𝜂2 , … , 𝜂𝑛 :
28
𝜕ℎ1
𝜕(𝜉1 , 𝜉2 , … , 𝜉𝑛 ) | 𝜕𝜂1
𝐷𝑛 =
= ⋮
𝜕(𝜂1 , 𝜂2 , … , 𝜂𝑛 ) |𝜕ℎ
𝑛
𝜕𝜂1
𝜕ℎ1
𝜕𝜂𝑛
|
⋱
⋮ .
𝜕ℎ𝑛 |
…
𝜕𝜂𝑛
…
(2.36.)
В тех случаях, когда обратные функции ℎ𝑖 неоднозначны, следует в правой части формулы (2.33.) взять сумму по каждой из подобластей.
29
3. Алгоритм обнаружения нелинейности
3.1. Обнаружение нелинейности кумулянтным методом
Воспользуемся методикой расчета плотности вероятности после нелинейного безынерционного преобразования, описанной в подразделе 2.5. и найдём
характеристики распределения.
Рассмотрим случай, когда нелинейным элементом является полупроводниковый диод. Так как нас интересует лишь нелинейное преобразование, то
нам не важны константы и можно избавиться от них пронормировав ВАХ диода:
𝑖д
= (𝑒 𝑢⁄𝜑𝑇 − 1).
𝐼0
Обозначим 𝜂1 = 𝑖д ⁄𝐼0 , 𝜉 = 𝑢⁄𝜑 𝑇 и получим:
𝜂1 = 𝑒 𝜉 − 1
(3.1.)
где 𝜂1 и 𝜉 – безразмерные величины.
Так как у величины 𝜂 существует однозначная обратная функция 𝜉 =
ℎ(𝜂1 ) = ln(𝜂1 + 1), то плотность вероятности случайного процесса 𝜂, совпадает
с плотностью вероятности логарифмически-нормального распределения и её
можно записать в следующем виде:
𝑊1 (𝜂1 ) = 𝑤1 (ℎ(𝜂1 ))|ℎ′ (𝜂1 )| =
(ln(𝜂1 + 1) − 𝑚)2
=
exp [−
],
2𝜎 2
√2𝜋𝜎 2 (𝜂1 + 1)
1
(3.2.)
где 𝑚 и 𝜎 2 – математическое ожидание и дисперсия гауссовского процесса.
Данная плотность вероятности изображена на рисунке 3.1.
Найдём кумулянты распределения, для этого сначала по формуле (2.6.)
найдем начальные моменты, а следом по формулам (2.21.) рассчитаем кумулянты. Ограничимся шестью кумулянтами, значения которых представлены в
таблице 1.
30
Таблица 1 – Сравнение теории со статистикой
Теоретические значения кумулянтов
Средние значения оценок кумулянтов
𝜘1 ≈ 0,6487
< 𝜘1 > ≈ 0,6497
𝜘2 ≈ 4,6708
< 𝜘2 > ≈ 4,6728
𝜘3 ≈ 62,433
< 𝜘3 > ≈ 63,2478
𝜘4 ≈ 2420,203
< 𝜘4 > ≈ 2534,933
𝜘5 ≈ 243011
< 𝜘5 > ≈ 217258
𝜘6 ≈ 62909614
< 𝜘6 > ≈ 27248643
Рисунок 3.1 – Плотность вероятности случайного процесса 𝜂1 (𝑡) и гистограмма
одной из реализаций
Одновременно с этим, для сравнения с практикой, сформируем выборку
из двух тысяч реализаций гауссовского случайного процесса, при этом каждая
реализация состоит из двух тысяч независимых гауссовских случайных
31
величин 𝜉𝑖 ~𝑁(0, 1). На рисунке 3.1, вместе с плотностью вероятности, представлена гистограмма одной из реализаций процесса 𝜂1 (𝑡).
Так же, сначала найдем значения начальных моментов, но здесь имеются
в виду оценки начальных моментов, рассчитанные по формулам (2.24.) и
(2.25.). Найдем оценки кумулянтов по каждой реализации с помощью формул
(2.21.). В таблице 1 средние значения оценок кумулянтов по всем реализациям
сравним с ранее полученными теоретическими значениями полуинвариантов.
Как видно из таблицы 1, кумулянты 𝜘5 и 𝜘6 имеют отличные значения по
сравнению с практически полученными кумулянтами, а семиинварианты до 4
порядка включительно, имеют очень близкие значения с практическими. Такие
результаты возможно связаны с недостаточно большой выборкой. В дальнейшем не будем использовать полуинварианты выше 4 порядка.
В итоге зная значения кумулянтов гауссовского распределения и логарифмически-нормального распределения, можно определить было ли преобразование типа (3.1.).
3.2. Различение случайных сигналов
Найдем как будут меняться случайные сигналы и их параметры после
прохождения через нелинейный элемент. Из сформированной выборке рассмотрим реализацию гауссовского процесса, изображенную на рисунке 3.2
Выделим два случая преобразования шума: полупроводниковым диодом
и МОМ-диодом.
Для первого случая, как уже говорилось выше, мы имеем преобразование
вида 𝜂1 = 𝑒 𝜉 − 1. На рисунке 3.3 показана реализация процесса после нелинейного преобразования (3.1.). По этой реализации видно, что параметры изначального распределения изменились.
Но ранее мы сказали, что принимаем сигнал вида (1.8.). Реализация такого процесса при 𝑘 = 1, что соответствует полному отражению, показана на
рисунке 3.3.
32
Последние два графика не сильно отличаются друг от друга из-за малой
добавки 𝜉(𝑡), но ею нельзя пренебрегать – она сильно повлияет на кумулянты
старших порядков.
Рисунок 3.2 – Реализация гауссовского случайного процесса
Рисунок 3.3 – Реализация процесса 𝜂1 (𝑡)
33
Рисунок 3.4 – Реализация процесс 𝜑1 (𝑡)
После определения кумулянтов принятого сигнала можно построить графики для определения того, как сильно нелинейный объект меняет характеристики случайного сигнала. Рассмотрим, как сильно будут меняться кумулянты в
зависимости от коэффициента отражения 𝑘. Результаты представлены на рисунках 3.5 – 3.8
Рисунок 3.5 – Зависимость 𝜘1 от 𝑘
34
Рисунок 3.6 – Зависимость 𝜘2 от 𝑘
Рисунок 3.7 – Зависимость 𝜘3 от 𝑘
35
Рисунок 3.8 – Зависимость 𝜘4 от 𝑘
Из полученных зависимостей мы видим, что первый и второй кумулянты,
имеющие смысл мат. ожидания и дисперсии соответственно, меняются в зависимости от 𝑘, но также они меняются при линейных преобразованиях. Третий и
четвёртый кумулянты несут больше информации, так представляю собой асимметрию и эксцесс распределения. Данные параметры сильно меняются с ростом
𝑘, что уже говорит о нелинейном преобразовании гауссовского процесса.
Стоит сказать, что при преобразовании любой реализации из выборки,
получаются подобные результаты.
Вкратце рассмотрим 2 случай, когда нелинейное преобразование представляет собой ВАХ МОМ-диода. Запишем вольт-амперную характеристику
через безразмерные величины, с коэффициентом нелинейности и величиной 𝑅0
равными 1:
𝜂2 = 𝜉 + 𝜉 3 .
(3.3.)
Тогда случайный сигнал на приёмнике будет иметь вид:
𝜑2 (𝑡) = 𝜉(𝑡) + 𝑘𝜂2 (𝑡) = 𝜉(𝑡) + 𝑘{𝜉(𝑡) + 𝜉 3 (𝑡)}
(3.4.)
36
На рисунке 3.9 показана реализация процесса после нелинейного преобразования (3.3.). На рисунке 3.10 показана реализация на приёмной стороне
(3.4.).
Рисунок 3.9 – Реализация процесса 𝜂2 (𝑡)
Рисунок 3.10 – Реализация процесса 𝜑2 (𝑡)
37
Найдём зависимости кумулянтов от 𝑘. Результаты представлены на рисунках 3.11 – 3.14
Рисунок 3.11 – Зависимость 𝜘1 от 𝑘
38
Рисунок 3.12 – Зависимость 𝜘2 от 𝑘
Рисунок 3.13 – Зависимость 𝜘3 от 𝑘
39
Рисунок 3.14 – Зависимость 𝜘4 от 𝑘
Тут есть существенное отличие от зависимостей, полученных в первом
случае. Значения нечётных кумулянтов (𝜘1 и 𝜘3 ) с ростом 𝑘, при одних реализациях увеличиваются, а при других уменьшаются. Это связанно с симметричностью вольт-амперной характеристики МОМ-диода. И в самом деле, если найти
среднее значение оценок кумулянтов данной выборки, получим: 𝜘1 ≈ 0,0033 и
𝜘3 ≈ 1,8377. Возможно, при других объемах выборки полуинвариант 𝜘3 был
бы равен нулю.
3.3. Метод обнаружения нелинейности, основанный на критерии Неймана Пирсона
Критерий Неймана – Пирсона применяется в радиолокации для обнаружения сигналов, когда априорные вероятности неизвестны. Оптимальный приёмник, согласно данному критерию, должен максимизировать вероятность правильного обнаружения 𝐷, или минимизировать вероятность пропуска сигнала 𝛽, при заданной вероятности ложной тревоги 𝛼. Оптимальный алгоритм
40
сводится к формированию отношения правдоподобия, причём величина порога
ℎ выбирается по заданной вероятности ложной тревоги 𝛼.
Воспользуемся данным критерием в рамках нелинейной радиолокации.
Рассмотрим случайные сигналы:
𝜑0 (𝑡) = 𝜉(𝑡),
(3.5.)
где 𝜑0 (𝑡) – принятый сигнал без нелинейного преобразования, как аналогия отсутствия «полезного» сигнала;
𝜑1 (𝑡) = 𝜉(𝑡) + 𝜂1 (𝑡) = 𝜉(𝑡) + 𝑒 𝜉(𝑡) − 1,
(3.6.)
𝜑1 (𝑡) – принятый сигнал, преобразованный полупроводниковым диодом, как
аналогия наличия «полезного» сигнала;
𝜑2 (𝑡) = 𝜉(𝑡) + 𝜂2 (𝑡) = 2𝜉(𝑡) + 𝜉 3 (𝑡),
(3.7.)
𝜑2 (𝑡) – принятый сигнал, преобразованный МОМ-диодом, тоже аналогия наличия «полезного» сигнала.
Решение о наличии или отсутствии нелинейности должно приниматься на
основании сравнения с некоторым порогом ℎ. Причём сравнивать будем кумулянты сигналов, а именно кумулянты 2-го, 3-го и 4-го порядка. Так как сформированная выборка включает 2000 реализаций – мы можем построить распределение кумулянтов случайного процесса, это и будут наши плотности вероятности, по которым возможно будет определить порог и в дальнейшем принимать
решение о наличии нелинейности.
Для нахождения значения порога можно воспользоваться формулами:
∞
𝛼 = ∫ 𝑊𝜑0 (𝜘𝑖 )𝑑𝜘𝑖 ,
ℎ
где 𝑊𝜑0 (𝜘𝑖 ) – плотность вероятности кумулянтов сигнала 𝜑0 (𝑡), 𝛼 –
вероятность ложной тревоги, которую задаём;
(3.8.)
41
∞
𝐷𝜑
𝑊𝜑 (𝜘𝑖 )
{ 1} = ∫ { 1
} 𝑑𝜘𝑖 ,
𝐷𝜑2
𝑊𝜑2 (𝜘𝑖 )
(3.9.)
ℎ
где 𝐷𝜑1 – вероятность правильного обнаружения нелинейности полупроводникового диода, 𝐷𝜑2 – вероятность правильного обнаружения нелинейности
МОМ-диода, 𝑊𝜑1 (𝜘𝑖 ) и 𝑊𝜑2 (𝜘𝑖 ) – плотности вероятности кумулянтов сигналов
𝜑1 (𝑡) и 𝜑2 (𝑡).
Имея в наличии лишь гистограммы, можно преобразовать эти формулы.
Интегрирование заменим суммированием, дифференциал 𝑑𝜘𝑖 заменим на ширину интервала группировки гистограммы ∆𝜘𝑖 .
Для нахождения порога были построены гистограммы распределения кумулянтов (рисунки 3.15-3.20) для кумулянтов 𝜘3 и 𝜘4 .
Рисунок 3.15 – Гистограмма распределения кумулянтов 𝜘3 сигнала 𝜑0 (𝑡)
42
Рисунок 3.16 – Гистограмма распределения кумулянтов 𝜘3 сигнала 𝜑1 (𝑡)
Рисунок 3.17 – Гистограмма распределения кумулянтов 𝜘3 сигнала 𝜑2 (𝑡)
Если установить достаточно малую вероятность ложной тревоги 𝛼, то порог будет приходиться на правый край гистограммы (ℎ ≈ 0,18), изображенной
на рисунке 3.15. По данному порогу, вероятность правильного обнаружения
ПП-диода стремиться к 1 (рисунок 3.16), но в таком случаи возникают две проблемы. Принятым сигналом может быть 𝜑2 (𝑡) – из чего следует либо
43
неправильное решение о типе нелинейности, либо решение об отсутствии нелинейности – что в корне неверно. Даже если изменять значение порога, который
зависит от вероятности ложной тревоги и который повлияет на вероятность
правильного обнаружения, ситуация не изменится. По распределению кумулянтов 3-го порядка, в данной задаче, принять достоверное решение невозможно.
Рассмотрим гистограммы распределения кумулянта 4-го порядка.
Рисунок 3.18 – Гистограмма распределения кумулянтов 𝜘4 сигнала 𝜑0 (𝑡)
Рисунок 3.19 – Гистограмма распределения кумулянтов 𝜘4 сигнала 𝜑1 (𝑡)
44
Рисунок 3.20 – Гистограмма распределения кумулянтов 𝜘4 сигнала 𝜑2 (𝑡)
Выбирая порог, минимизируя 𝛼 и максимизирую 𝐷 (ℎ ≈ 0,45 ÷ 54), сможем установить оптимальный алгоритм обнаружения нелинейности. Возможно
и различение сигналов 𝜑1 (𝑡) и 𝜑2 (𝑡) если установить второй пороговый уровень, но при этом будут существенно уменьшаться вероятности правильного
обнаружения нелинейности.
Построим гистограммы распределения кумулянтов 𝜘2 (рисунки 3.213.23).
45
Рисунок 3.21 – Гистограмма распределения кумулянтов 𝜘2 сигнала 𝜑0 (𝑡)
Рисунок 3.22 – Гистограмма распределения кумулянтов 𝜘2 сигнала 𝜑1 (𝑡)
46
Рисунок 3.23 – Гистограмма распределения кумулянтов 𝜘2 сигнала 𝜑2 (𝑡)
Из гистограмм на рисунках 3.21-3.23 видно, что возможно установить оптимальный алгоритм обнаружения нелинейности, при этом можно и различить
типы нелинейности. Установим два порога: ℎ1 ≈ 1,13 ÷ 6,46 и ℎ2 ≈ 11,67 ÷
44,55. Тогда алгоритм обнаружения нелинейности будет выглядеть следующем
образом:
Таблица 2 – Алгоритм обнаружения нелинейности
𝜘2 < ℎ1
ℎ1 < 𝜘2 < ℎ2
𝜘2 > ℎ2
НЭ не обнаружен
Обнаружение полупроводникового диода
Обнаружение МОМ-диода
Данный алгоритм обеспечивает максимально возможное значение вероятностей правильного обнаружения как ПП-диода, так и МОМ-диода.
47
Заключение
В данной работе была исследована возможность применения стохастических сигналов в рамках нелинейной радиолокации. В результате исследования
были решены следующие задачи:
1) Изучены изменения свойств случайных сигналов после нелинейных
преобразований, в частности кумулянтов;
2) Синтез алгоритма обнаружения нелинейности с помощью кумулянтного анализа;
3) Анализ типа нелинейности, а именно симметричности характеристики
нелинейного преобразования;
4) Оценка качества функционирования алгоритма обнаружения нелинейности.
Изучение раздела нелинейной радиолокации и возможного применения в
ней стохастических сигналов позволило сделать следующие выводы.
Нелинейная радиолокация в большинстве случаев используется для защиты информации и противостояния шпионажа. Основным отличием нелинейной радиолокации от линейной, является то, что информация об обнаруживаемом объекте определяется его способностью спектрального преобразования зондирующего сигнала и переотражения его на гармониках частоты зондирования.
Главное достоинство нелинейного радиолокатора – способность обнаруживать
электронные схемы как во включенном, так и в выключенном состоянии, недостаток – сравнительно большое число ложных обнаружений естественных нелинейных отражателей типа МОМ. В рамках НРЛ есть возможность использовать
случайные сигналы, но данная область слабо изучена.
В результате разработан оптимальный алгоритм обнаружения нелинейности. Исследование показало, что в области нелинейной радиолокации данный алгоритм работает и может быть применим для обнаружения и различения нелинейных элементов таких как, МОМ-диод и полупроводниковый диод.
48
В дальнейшем предлагается к исследованию добавить многомерные характеристики случайных сигналов, также в работе не были рассмотрены частотные
(спектральные) характеристики случайных процессов.
49
Список литературы
1. Хорев А.А. Методы и средства поиска электронных устройств перехвата информации. – М.: МО РФ, 1998. – 224 с.
2. Щербаков Г.Н. Применение нелинейной радиолокации для дистанционного обнаружения малоразмерных объектов.
3. Горбачев А.А. Методы зондирования электромагнитными волнами
сред с нелинейными включениями в задачах поиска терпящих бедствие людей / А.А. Горбачев, А.П. Колданов.
4. Лощилов А.Г. Разработка принципов нелинейной сверхширокополосной радиолокации.
5. Зинченко М.В. Исследование спектральных характеристик рассеивающих МОМ-структур в нелинейной локации / М.В. Зинченко, Во Зуй
Вук, Ю.Ф. Зиньковский.
6. Мальцев С.В. Использование фазоманипулированного сигнала в задачах нелинейной радиолокации / С.В. Мальцев, В.М. Чертков.
7. Мальцев С.В. Нелинейная радиолокация с использованием шумоподобных сигналов / С.В. Мальцев, Р.Н. Басалай.
8. Нефёдов В.И. Основы радиоэлектроники и связи / В.И. Нефёдов, А.С.
Сигов. – М.: Высшая школа, 2009. – 736 с.
9. Тихонов В.И. Статистическая радиотехника / В.И. Тихонов. – М.: Радио и связь, - 2-е изд. -1982. – 624 с.
10.Тихонов В.И. Статистическая радиотехника / В.И. Тихонов. – М.: Советское радио, 1966. – 219 с.
11.Малахов А.Н. Кумулянтный анализ случайных негауссовых процессов
и их преобразований. – М.: Сов. радио, 1978.
12.Тихонов В.И. Оптимальный приём сигналов. – М.: Радио и связь,
1983. -320 с.