Raphael Nicholls
EFDC
Maths – 4e
Contact initial : Pallier aux difficultés de Raphael sur son cours de calcul littéral - Développement et
factorisation.
Cours du 07/03/2018
Objectifs :
-
A. Identifier les besoins de l’élève sur le développement et la réduction d’un calcul littéral
B. Revoir la méthodologie sur les points de difficulté
C. Exercices d’application
Bilan :
Les acquis :
Raphael n’a pas de problème de calcul mental, il connait ses multiplications et la majorité des règles
de calcul, certains automatismes sont à acquérir notamment avec les fractions et les signes négatifs.
Les zones d’obscurité :

Signe négatif : les actions à suivre lorsqu’un signe négatif se trouve devant une parenthèse.
Nous avons vu :
Signe négatif devant une parenthèse :
Pas de nombre en facteur : INVERSER le signe des termes à l’intérieur de la
parenthèse. Puis enlever les crochets. Note : Le signe négatif avant les crochets
disparait.
4 − (𝑥 + 2 − 5) = 4 − [+ 𝑥 + 2 − 5]
=4−𝑥−2+5
Signe négatif devant un nombre en facteur : On distribue le facteur négatif
directement avec les termes des parenthèses et on suit la règle des signes appropriée.
4 − 2(𝑥 − 5) = 4 − 2 × 𝑥 − 2 × −5
= 4 − 2𝑥 − 10
= −2𝑥 − 6

Règles de calcules avec inconnues : les situations pour lesquelles on peut regrouper et
réduire des termes avec une inconnue (multiplications versus addition).
Nous avons vu :
Multiplication/division : On peut regrouper les termes avec la même inconnue entre
eux, quelques soit leur puissance
4𝑥 2 × 2𝑥 = 4 × 2 × 𝑥 × 𝑥 2
= 8 𝑥3
Addition et soustraction : On additionne et on soustrait uniquement les termes qui
ont le même ordre de puissance.
𝐴 = 4𝑥 2 + 2𝑥
= 4𝑥 2 + 2𝑥
On ne peut pas réduire davantage
𝐵 = 6 + 4𝑥 2 + 6𝑥 − 𝑥 2 + 9𝑥 + 1 + 6
= 3𝑥 2 + 15𝑥 + 13

La méthodologie a adopté pour limiter les erreurs.
Nous avons vu
Démarche à suivre :
On ne se précipite pas pour développer , encore moins pour recopier son énoncé !
On repère les pièges possibles : signe négatif devant la parenthèse ? S’il y a des pièges
possibles, on les fait apparaitre visuellement (ex : gros crochet !)
On commence toujours par les termes qui sont avec l’inconnu avec la plus grande
puissance puis on passe aux puissances plus petites.
On relit son calcule, surtout si on a fini son contrôle avant le temps imparti !
Cours : 08/03/2018
Objectifs :
-
A. Identifier les besoins de l’élève sur la factorisation d’un calcul littéral
B. Revoir la méthodologie sur les points de difficulté
C. Exercices d’application
Bilan :
Les acquis
Raphael a compris ce qu’est un facteur en commun. Il n’est pas perturbé par l’écriture d’un calcul
avec des lettres. Il comprend la notion d’inconnue et son intérêt mathématique.
Les zones d’obscurité :

Comment vérifier si sa factorisation est juste ?
Nous avons vu
Il suffit de redévelopper en respectant la distribution des termes e n facteur et les
signes opératoires
𝐶 = 121𝑥 − 11
= 11 × 12𝑥 − 11 × 1
= 11(12𝑥 − 1)

Les règles d’opérations avec les fractions
Nous avons vu :
Addition/soustraction : Mettre les fractions sous un dénominateur en commun
Multiplication/division : On multiplie les nominateurs entre eux et les dénominateurs
entre eux
=
=
=

3
1
𝑥− 𝑦
32
8
1 3
1
× 𝑥− 𝑦
8 4
8
1 3
( 𝑥 − 𝑦)
8 4
Trouver précisément le plus grand facteur en commun
Nous avons vu divers exemples et conclut que pour factoriser de manière optimale, il
fallait toujours essayer de trouver le plus grand facteur en commun (PGFC).
OBJECTIF DU COURS SUIVANT/A FAIRE :
Nous avons consolidé les bases de la factorisation. Il reste à voir l’étape la plus avancée du cours :
factoriser avec à la fois des multiplications et des additions puis réduire.
Cours : 15/03/2018
Objectifs :
-
A. Rappel sur les opérations avec les fractions
B. Perfectionnement sur la factorisation
Les zones d’obscurité :

Les règles d’opérations avec les fractions
Nous avons vu :
Nous avons revu les règles d’opération avec les fractions. Je lui ai conseillé de faire des exercices
supplémentaires pour renforcer ces automatismes et ne plus laisser de place aux doutes.
Ne pas oublier que diviser par une fraction, s’est multiplier par son inverse :
𝐴=
=
1 1
÷
3 2
1 2
×
3 1
𝐴=

2
3
Comment factoriser des équations - avancées
Nous avons vu :
a. Lorsque l’équation est sous forme complètement développée :
𝐴 = 9𝑥 3 + 3𝑥 2 + 18𝑥 6 + 21𝑥 + 6
Etape 1 : On cherche le PGCD de chacun des nombres présents (9 ;3 ;18 ;21 ;). Ici il
s’agit de 3.
21 peut être diviser par 21 ; 7 ; 3
18 peut être diviser par 18 ; 6 ; 3 ;2 ; 1
9 peut être diviser par 9 ;3 ;1
6 peut être diviser par 6 ; 3 ;2 ;1
Le PGCD est donc 3
Etape 2 : On cherche l’ordre de grandeur (la puissance) le plus petit pour l’inconnu :
Ici on a l’inconnu 𝑥 et les ordres de puissance 6,3,2,1 et 0. L’ordre de puissance le plus
petit est donc 0 donc le facteur ne comprendra pas d’inconnu.
Nous avons donc trouvé notre facteur : 3
Etape 3 :
On met 3 𝑥 en facteur devant les parenthèses et on factorise
𝐴 = 9𝑥 3 + 3𝑥 2 + 18𝑥 6 + 21𝑥 + 6
𝐴 = 3(3𝑥 3 + 𝑥 2 + 6𝑥 6 + 7𝑥 + 2)
Etape 4 : On réduit si possible. Ici on ne peut pas car nous n’avons pas de répétition
d’un terme avec le même ordre de grandeur d’inconnu.
b. Lorsque l’équation est sous forme partiellement factorisée :
𝐴 = (2 + 𝑥)(3 − 2𝑥) − (2𝑥 − 1)(𝑥 + 2)
Etape 1 : On regarde le signe entre les multiplications : Ici c’est négatif, on garde bien
cela en tête !
𝐴 = (2 + 𝑥)(3 − 2𝑥) − (2𝑥 − 1)(𝑥 + 2)
Etape 2 : On cherche le facteur en commun de part et d’autre de
l’addition/soustraction.
𝐴 = (2 + 𝑥)(3 − 2𝑥) − (2𝑥 − 1)(𝑥 + 2)
Ici c’est (𝑥 + 2)
Etape 3 : On met (𝑥 + 2)en facteur et on regroupe les termes qui sont factorise
par(𝑥 + 2)à l’intérieur de la même parenthèse en respectant les signes (on se souvient
que d’après l’étape 1, il y a une négation à faire apparaitre et qu’elle demandera un
changement de signe !
(𝑥 + 2)(3 − 2𝑥 − [2𝑥 − 1])
= (𝑥 + 2)(3 − 2𝑥 − [2𝑥 − 1])
= (𝑥 + 2)(3 − 2𝑥 − 2𝑥 + 1)
Etape 4 : On réduit
= (𝑥 + 2)(3 − 2𝑥 − 2𝑥 + 1)
= (𝑥 + 2)(−4𝑥 + 4)
𝐴 = (𝑥 + 2)(−4𝑥 + 4)
Objectifs des cours suivants :
Raphael a acquis les compétences nécessaires pour mener à bien ses factorisations, il a compris les
méthodes.
Il doit cependant faire plus attention aux erreurs de signes et bien développer les automatismes
calculatoires pour les éviter. J’ai aussi remarqué que Raphael avait quelques petites lacunes sur les
règles de calcules, notamment avec la négation et les fractions, lacunes que nous avons
retravaillées. Il faudrait surement répéter ce travail afin d’être maitriser à 100%.
Base sur nos trois cours, Raphael me semble avoir toutes les compétences pour être un bon élevé en
Maths mais je pense qu’il a accumule quelques zones d’ombre au cours des dernières années qu’il
ne faudrait pas voir agrandir. Je pense que Raphael n’a pas forcement l’occasion ou ne prendre pas
forcement l’occasion de poser les questions nécessaires pour apporter de la clarté à ces zones
d’ombre. J’ai suggéré à Raphael d’augmenter sa participation à l’oral en classe et de ne pas hésiter à
signaler à sa professeure quand il n’avait pas compris.
Je voudrais ainsi vous proposez mes services régulièrement avec d’aider Raphael dans à reprendre
confiance en lui avec cette matière