1 Análisis matricial de estructuras por el método de la rigidez Apuntes Resolución de problemas Introducción a los Elementos finitos Brayan D. Novely π = −∫ π· π π + ππ π¬π¨ Edición revisada Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 2 Análisis matricial de método de la rigidez estructuras por Apuntes Brayan D. Novely Cabrales Ingeniero Civil, Universidad de Pamplona Especialista en Análisis y Diseño de estructuras, Universidad del Norte Revisión técnica Andrés Fernando Guzmán Guerrero, Dr. Ing. Docente asociado a Universidad del Norte Ingeniero Civil, Universidad Nacional de Colombia Magíster en Ingeniería Civil, Universidad de los Andes Doctor en Ingeniería, Universidad de los Andes Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos el 3 Acerca del autor Brayan D. Novely (Riohacha, 1989) es un ingeniero civil joven egresado de la Universidad de Pamplona, Colombia, facultad de ingenierías y arquitectura, Especialista en análisis y diseño de estructuras de la Universidad del Norte. Ha realizado diversos trabajos de consultoría en el área de evaluación sísmica y diseño estructural en concreto reforzado. Ostenta trabajos de investigación en su alma mater relacionados con la evaluación del módulo de elasticidad estático del concreto, presentando modelos matemáticos para la obtención de este parámetro vital en el análisis y el diseño de estructuras de hormigón reforzado. Actualmente se desempeña como consultor en la ingeniería estructural e instructor en el Servicio Nacional de aprendizaje (SENA), en el programa de obras civiles. Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 4 Catalogación bibliográfica Análisis Matricial de estructuras por el método de la rigidez Problemas Resueltos e introducción a los elementos finitos Autor: Novely Cabrales, Brayan D. Derechos de autor reservado Correo electrónico: bnovely@uninorte.edu.co bryannovely@gmail.com Editor: INDEPENDIENTE Colombia, 2015 Área: Ingeniería Estructural Formato: Carta 20.0 cm x 25.0 cm Esta obra se realizó de forma libre y abierta con la intención de apoyar la formación y enseñanza académica en la disciplina de estructuras específicamente el análisis estructural a estudiantes de pregrado y postgrado. No está permitido el tratamiento informático, ni la transmisión de ninguna forma o cualquier medio, ya sea electrónico, mecánico, por fotocopia, por registro u otros métodos, con fines comerciales sin la autorización del autor. TODOS LOS DERECHOS RESERVADOS 2016 Impreso en Colombia Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 5 Prólogo Este texto, originado a partir de las notas de clase del módulo de Análisis estructural en el Postgrado de Análisis y diseño de estructuras de la Universidad del Norte, se realizó con el fin de plasmar el ejercicio académico desarrollado en este y contribuir a modo de apoyo a estudiantes y profesores de ingeniería civil a nivel de Pregrado y Postgrado en el aprendizaje y enseñanza del análisis estructural. Se denomina análisis estructural al cálculo de las fuerzas internas y deformaciones que desarrollan los elementos de una estructura cuando ésta se ve sometida a la aplicación de cargas externas. La finalidad del cálculo matricial consiste en agrupar toda la información necesaria en matrices que relacionan todas las variables como son las cargas, propiedades mecánicas de los miembros de la estructura y los desplazamientos desconocidos, que a su vez describen ecuaciones de equilibro en todos los nudos de la estructura, por lo tanto la solución puede ser de manera automática mediante el uso de programas o software de ordenadores que es la práctica habitual hoy en día. En esta oportunidad se presenta el método de la rigidez o método de los desplazamientos para el análisis de estructuras bidimensionales, que consiste en la relación de una carga y el desplazamiento que esta produce asumiendo un comportamiento elástico y lineal del material para un estado de pequeñas deformaciones, o también se puede definir la rigidez como la fuerza necesaria para producir un desplazamiento unitario en el sentido y dirección de la carga. El método de los elementos finitos es realmente una extensión del método de la rigidez ya que requiere subdividir la estructura en elementos discretos y sus extremos definidos como nodos; estos elementos no solo son de tipo barra sino que pueden ser tridimensionales de distintas formas geométricas que modelan en mayor complejidad un problema físico. Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 6 El texto de conceptualización general y sentido práctico, esta enfatizado en la resolución de una diversidad de ejercicios y presenta una metodología sencilla con el fin encontrar la respuesta en base a las propiedades elásticas de la estructura, además lleva al lector a comprender la forma en que operan programas de diseño reconocidos como SAP2000, ETABS, ANSYS, COMSOL, MIDAS GEN entre otros, ya que se basan en esta teoría. El texto se divide en cinco capítulos. En el capítulo 1 se exponen los conceptos generales del método así como la matriz de rigidez para cada tipo de elemento sea armadura, viga o pórtico con la matriz de transformación de coordenadas con su respectiva demostración y su aplicabilidad para cada elemento. En los capítulos 2,3 y 4 se analizan ejercicios de cerchas, vigas y pórticos respectivamente con su metodología de análisis teniendo en cuenta las condiciones de frontera propuesta en los ejercicios. En el capítulo 5 se presentan problemas que permiten vislumbrar los conceptos y la filosofía del método de los elementos finitos y la confiabilidad del método de la rigidez y límites de su aplicabilidad en estructuras cuyos elementos son en concreto. Brayan D. Novely A Dios, fuente de mi inspiración. Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 7 Índice de contenido CAPÍTULO 1 9 CONCEPTOS GENERALES 9 1.1 Matriz de rigidez local 1.1.1 Elemento tipo cercha 1.1.2 Elemento tipo viga 1.1.3 Elemento tipo pórtico 9 9 11 13 1.2 Matriz de transformación de coordenadas 15 1.3 Matriz de rigidez global de los elementos 18 CAPÍTULO 2 19 CERCHAS 19 2.1 Ejercicio 1. Cercha asimétrica con elementos inclinados 2.2 Ejercicio 2. Cercha rectangular con elementos inclinados 19 38 CAPÍTULO 3 59 VIGAS 59 3.1 Ejercicio. Viga de tres luces con cargas puntual, continua y variable. 59 3.2 Ejercicio. Viga de dos luces y sección en voladizo 72 Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 8 CAPÍTULO 4 77 PÓRTICOS PLANOS 77 4.1 Análisis de pórtico simple con elemento en diagonal. 77 4.2 Análisis de un pórtico con carga distribuida sobre elemento inclinado. 96 CAPÍTULO 5 111 INTRODUCCIÓN A LOS ELEMENTOS FINITOS 111 5.1 Análisis de una viga con inercia variable y sección trapezoidal. 112 5.2 Ejercicio 5.1 realizado en sap2000 versión académica 131 5.3 Análisis sísmico de pórtico bidimensional de concreto con base en el reglamento NSR-10. 153 5.4 Análisis de la sección trasversal de un puente apoyado sobre una columna. 179 APÉNDICE A 197 Momentos de empotramiento en vigas 197 BIBLIOGRAFIA 198 Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 9 Capítulo 1 CONCEPTOS GENERALES Este capítulo presenta la matriz de rigidez local de los elementos planos tipo cercha, viga y pórtico con la representación de los grados de libertad para cada elemento. Se incluye la matriz de transformación de coordenadas locales a globales con su respectiva demostración la cual se utilizará en la resolución de los diferentes ejercicios. Para el completo entendimiento de la metodología presentada es necesario tener conocimientos previos de álgebra matricial y el manejo de a lo sumo un programa donde se puedan operar eficientemente matrices como Matlab, Scilab, Excel, Mathcad, entre otros. 1.1 Matriz de rigidez local 1.1.1 Elemento tipo cercha Un elemento tipo cercha (Fig. 1.1.1-a) solo presentará fuerzas axiales internas siempre y cuando las cargas externas sean aplicadas en los nudos de la cercha y los apoyos sean rotulados para que no se desarrollen momentos flectores. Para el elemento mostrado a continuación la matriz de rigidez será la presentada en la figura 1.1.1-b. Figura 1.1.1-a. Elemento tipo cercha Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 10 X1 Y1 0 0 0 X2 0 Y2 0 X1 0 Y1 0 X2 Y2 [k]= - 0 0 0 0 0 1 2 3 4 Figura 1.1.1-b. Matriz de rigidez para un elemento tipo Cercha, solo consideración axial Dónde: A: es el área de la sección transversal del elemento E: módulo de elasticidad del material L: longitud del elemento Para facilitar las operaciones matriciales en el presente texto, la numeración de los grados de libertad (gdl) para el elemento y la matriz de rigidez local se representan de manera numérica (Figuras 1.1.1-c, 1.1.1-d). Figura 1.1.1-c. Elemento tipo cercha con los gdl representados numéricamente Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 11 Figura 1.1.1-d. Matriz de rigidez de un elemento tipo cercha Representado por los grados de libertad numéricamente. 1.1.2 Elemento tipo viga La matriz de rigidez de un elemento viga (figura 1.1.2-a) sin consideración de la rigidez axial será la presentada en la figura 1.1.2-b. Figura 1.1.2-a. Elemento tipo viga Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 12 Z1 Y1 Z2 Y2 - Z1 - Y1 [k] = - - - Z2 Y2 Figura 1.1.2-d. Matriz de rigidez para un elemento tipo viga sin consideración axial ni aportes de cortante. Dónde: Iy: es el momento de inercia de la sección transversal del elemento con respecto al eje y, para este sistema de referencia. La matriz mostrada en la Figura 1.1.2-b, solo sería aplicable para vigas sin el estudio de la rigidez axial, la principal solicitación para estos elementos es a cortante y flexión, En caso de tener cargas inclinadas sobre la viga y se desean conocer la fuerzas axiales se utiliza la matriz de rigidez de un elemento pórtico que si involucra esta variable. Para facilitar las operaciones matriciales en el presente texto se trabajaran los grados de libertad de manera numérica en coordenadas locales del elemento (figuras 1.1.2-c, 1.1.2-d). Figura 1.1.2-c. Elemento tipo viga representado numéricamente Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 13 1 2 3 4 - 1 - 2 [k] = - - - 3 4 Figura 1.1.2-b. Matriz de rigidez para un elemento tipo viga sin consideración axial ni aportes de cortante representada numéricamente 1.1.3 Elemento tipo pórtico La matriz de rigidez de un elemento tipo pórtico (figura 1.1.3-a) sin la consideración por aportes de cortante es la representada en la figura 1.1.3-b. Figura 1.1.3-a. Elemento tipo pórtico. Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 14 X1 [k] Z1 Y1 0 0 X2 - Z2 Y2 0 0 X1 0 0 - Z1 0 0 - Y1 = 0 0 0 - 0 - 0 - 0 0 0 - X2 Z2 Y2 Figura 1.1.3-b. Matriz de rigidez de un elemento tipo pórtico sin la consideración de aportes de cortante Al igual que en los elementos tipo cercha y vigas, Para facilitar las operaciones matriciales se trabajaran los grados de libertad en coordenadas locales del elemento como se aprecia en las figuras 1.1.3-c y 1.1.3-d. Figura 1.1.3-c. Elemento tipo pórtico representado numéricamente Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 15 1 [k] 2 3 0 0 4 - 5 6 0 0 1 0 0 - 2 0 0 - 3 = 0 0 0 - 0 - 0 - 0 0 0 - 4 5 6 Figura 1.1.3-d. Matriz de rigidez de un elemento tipo pórtico sin la consideración de aportes de cortante representada numéricamente 1.2 Matriz de transformación de coordenadas La matriz de rigidez de toda la estructura será en las coordenadas globales establecidas X, Y y Z, por lo tanto es necesario rotar el sistema coordenado local de cada elemento al global. Para este fin, se dará uso de la matriz de transformación de coordenadas obtenida de la figura 1.2-a. Tx= Tx’cos Ζ – Tz’sen Ζ Tz= Tx’sen Ζ + Tz’cos Ζ Figura 1.2-a. Rotación del sistema coordenado local a global Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 16 Matricialmente se obtiene Tx cosΖ -senΖ Tx' senΖ cosΖ Tz' = Tz Dado que el ángulo de giro alrededor del eje Y no se ve afectado por la rotación del sistema, se concierne que el giro del eje local coincide con el global, de esta manera se afecta la matriz de rotación con esta nueva identidad (caso elemento de pórticos). Tx cosΖ -senΖ 0 Tx' Tz = senΖ cosΖ 0 Tz' 0 1 ΙΈ ΙΈ 0 Despejando en coordenadas locales, resulta -1 Tx' Tz' ΙΈ = cosΖ -senΖ 0 Tx senΖ cosΖ 0 Tz 0 0 1 ΙΈ Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 17 Se obtiene entones la matriz de rotación del sistema Tx' cosΖ senΖ 0 Tx Tz' = -senΖ cosΖ 0 Tz 0 1 ΙΈ ΙΈ 0 Locales Matriz de rotación Globales Matriz de rotación Por lo tanto, la matriz de rotación con los 6 grados de libertad para un elemento tipo pórtico mostrado en la Figura 1.1.3-a. será: Tx1' cosΖ senΖ 0 0 0 0 Tx1 Tz1' -senΖ cosΖ 0 0 0 0 Tz1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 cosΖ senΖ 0 Tx2 Tz2' 0 0 0 -senΖ cosΖ 0 Tz2 ΙΈ2' 0 0 0 0 0 1 ΙΈ2 ΙΈ1' Tx2' = * ΙΈ1 Figura 1.2-b. Matriz de transformación de coordenadas para un elemento tipo pórtico Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 18 La matriz de rotación para un elemento tipo cercha será el presentado en la figura 1.2-c. Tx1' Tz1' Tx2' = cosΖ senΖ 0 0 -senΖ cosΖ 0 0 0 0 cosΖ senΖ 0 0 -senΖ cosΖ Tz2' Tx1 * Tz1 Tx2 Tz2 Figura 1.2-c. Matriz de transformación de coordenadas para un elemento tipo cercha Para los elementos tipo viga la matriz de rigidez local coincidirá siempre con la global ya que este tipo de elementos por lo general no tienen inclinación, es decir el ángulo será igual a 0 por lo tanto no será necesario aplicar la matriz de transformación de coordenadas. 1.3 Matriz de rigidez global de los elementos La matriz de rigidez global de un elemento está dada por: K global= [T’]*[K local]*[T] Dónde: [T]: es la matriz de rotación del sistema [T’]: es la transpuesta de T [k local ]: es la matriz de rigidez local del elemento en estudio. Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 19 Capítulo 2 CERCHAS 2.1 Ejercicio 1. Cercha asimétrica con elementos inclinados Para la cercha mostrada en la figura 2.1-a. Determine el desplazamiento horizontal y vertical en el punto D y la fuerza interna del elemento AC, Considere A=1 cm2 y E=200 000 MPa. Figura 2.1-a. Resolución: Propiedades de los elementos A=0,0001 m2 E=200 000 000 kPa Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 20 ο§ Numeración de los grados de libertad y elementos de la cercha La numeración de los grados de libertad en una estructura será arbitraria, pero los que estén asociados a las restricciones cinemáticas (reacciones), deberán estar agrupados preferiblemente al inicio o al final de la numeración para facilitar el desarrollo de las operaciones matriciales. Figura 2.1-b. Numeración de los grados de libertad y elementos de la cercha Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 21 ο§ Resumen de las propiedades de los elementos de la cercha Área (m2) L (m) ángulo Elemento 1 0,00010 2,83 135° Elemento 2 0,00010 2,24 63,43° Elemento 3 0,00010 4,47 116,56° Elemento 4 0,00010 2,00 90° Elemento 5 0,00010 4,12 75,96° Nota: los ángulos son medidos desde el eje global x positivo hasta el eje local longitudinal positivo del elemento (anti horario). Matriz de rigidez local y global de los elementos de la cercha La matriz de rigidez local de un elemento cercha expresando sus grados de libertad numéricamente como se expresó en capítulo 1, está dada por 1 2 0 0 0 3 0 4 0 1 0 2 0 3 4 [k]= 0 0 0 0 0 1 2 3 4 Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 22 Donde A: es el área de la sección transversal del elemento E: módulo de elasticidad del elemento L: longitud del elemento Remplazando los valores de área, longitud y módulo de elasticidad de los elementos se obtiene la matriz de rigidez local de los elementos. Elemento 1 Angulo de rotación 135° (2,36 rad). E= 200000000 kpas L= 2,83 m A= 1,0 cm2 A= 0,0001 m2 Ρ²= 135,00 ° Ρ²= 2,36 rad ππ π, πππππ ∗ πππ πππ πππ = π π, ππ ππ = ππππ , πππ π€π/π¦ π Asociando la rigidez a axial (EA/L) en kN/m a la Matriz de rigidez en coordenadas locales presentada en la figura 1.1.1-d resulta: Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 23 [ k1 ] = 1 2 3 4 7072,14 0 -7072,14 0 1 0 0 0 0 2 -7072,14 0 7072,14 0 3 0 0 0 0 4 La numeración representa los grados de libertad locales descritas en el primer capítulo, Para un Angulo de rotación de 135° medido desde el eje global X positivo al eje longitudinal del elemento (antihorario) y sustituyéndolo en la matriz de transformación de coordenadas para un elemento cercha, se obtiene cosΖ [T] = senΖ 0 0 -senΖ cosΖ 0 0 cosΖ senΖ 0 0 0 0 -senΖ cosΖ Se obtiene [T]= -0,71 0,71 0 0 -0,71 -0,71 0 0 0 0 -0,71 0,71 0 0 -0,71 -0,71 Realizando la operación matricialmente K global = [T’]*[K local]*[T] se obtiene la matriz de rigidez global del elemento (girado los 135°), la numeración hace correspondencia con los grados de libertad globales mostrados en la Figura 2.1-b,” ya que el elemento fue girado”. Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 24 En la siguiente ilustracion se puede apreciar la correspondencia de los grados de ibertad locales y globales, por que los grados de libertad 3 y 4 permanecen igules en la matriz global y la forma en que opera la matriz de rotación del sistema resuelta en el primer capítulo. Matriz de rigidez global del elemento 1 en kN/m resulta Locales 1 2 3 4 Globales 5 6 3 4 Globales Locales 3536,07 -3536,07 -3536,07 3536,07 5 1 -3536,07 3536,07 3536,07 -3536,07 6 2 -3536,07 3536,07 3536,07 -3536,07 3 3 3536,07 -3536,07 -3536,07 3536,07 4 [T'][k][T] = 4 Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 25 Elemento 2 Angulo de rotación 63,43° (2,36 rad). E= 200000000 kpas L= 2,24 m A= 1,0 cm2 A= 0,0001 m2 Ρ²= 63,43 ° Ρ²= 1,11 rad Matriz de rigidez en coordenadas locales kN/m será [ k2 ] = 1 2 3 4 8944,54 0,00 -8944,54 0,0 1 0,00 0,00 0,00 0,0 2 -8944,54 0,00 8944,54 0,0 3 0,0 0,0 0,0 0,0 4 Matriz de rotación para 63,43° [T]= 0,447 0,894 0,0 0,0 -0,894 0,447 0,0 0,0 0,0 0,0 0,447 0,894 0,0 0,0 -0,894 0,447 Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 26 Matriz de rigidez global del elemento 2: K [K2] = global= [T’]*[K local]*[T] 5 6 1 2 1789,53 3578,28 -1789,53 -3578,28 5 3578,28 7155,02 -3578,28 -7155,02 6 -1789,53 -3578,28 1789,53 3578,28 1 -3578,28 -7155,02 3578,28 7155,02 2 Elemento 3 Angulo de rotación 116,56° (2,03 rad). E= 200000000 kpas L= 4,47 m A= 1,0 cm2 A= 0,0001 m2 Ρ²= 116,56 ° Ρ²= 2,03 rad Matriz de rigidez con coordenadas locales en kN/m [ k3 ] = 1 2 3 4 4472,27 0,00 -4472,27 0,00 1 0,00 0,00 0,00 0,00 2 -4472,27 0,00 4472,27 0,00 3 0,00 0,00 0,00 0,00 4 Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 27 Matriz de rotación para 116,56° [T]= -0,447 0,894 0,0 0,0 -0,894 -0,447 0,0 0,0 0,0 0,0 -0,447 0,894 0,0 0,0 -0,894 -0,447 Matriz de rigidez global del elemento 3 en kN/m [K3] = 7 8 3 4 894,14 -1788,67 -894,14 1788,67 -1788,67 3578,13 1788,67 -3578,13 8 -894,14 1788,67 894,14 -1788,67 3 1788,67 -3578,13 -1788,67 3578,13 7 4 Elemento 4 Angulo de rotación 90° (1,57 rad). E= 200000000 kpas L= 2,00 m A= 1,0 cm2 A= 0,0001 m2 Ρ²= 90,00 ° Ρ²= 1,57 rad Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 28 Matriz de rigidez local en kN/m [ k4 ] = 1 2 3 4 10000,00 0 -10000,00 0 1 0 0 0 0 2 -10000,00 0 10000,00 0 3 0 0 0 0 4 0,0 1,0 0,0 0,0 -1,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 1,0 0,0 0,0 -1,0 0,0 Matriz de rotación para 90° [T]= Matriz de rigidez en coordenadas globales del elemento 4 en kN/m [ K4 ] = 7 8 5 6 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 10000,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 5 0,0 -10000,0 0,0 10000,0 6 7 -10000,0 8 Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 29 Elemento 5 Angulo de rotación 75,96° (1,33 rad). E= 200000000 kpas L= 4,12 m A= 1,0 cm2 A= 0,0001 m2 Ρ²= 75,96 ° Ρ²= 1,33 rad Matriz de rigidez local en kN/m [ k5 ] = 1 2 3 4 4850,84 0,00 -4850,84 0,00 1 0,00 0,00 0,00 0,00 2 -4850,84 0,00 4850,84 0,00 3 0,00 0,00 0,00 0,00 4 0,243 0,970 0,0 0,0 -0,970 0,243 0,0 0,0 0,0 0,0 0,243 0,970 0,0 0,0 -0,970 0,243 Matriz de rotación para 75,96° [T]= Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 30 Matriz de rigidez en coordenadas globales del elemento 5 en kN/m [ K5 ] = 7 8 1 2 285,37 1141,43 -285,37 -1141,43 7 1141,43 4565,46 -1141,43 -4565,46 8 -285,37 -1141,43 285,37 1141,43 1 -1141,43 -4565,46 1141,43 4565,46 2 Matriz de rigidez de la cercha Para obtener la matriz de rigidez de toda la estructura, se tendrá en cuenta que la rigidez concentrada en un nodo es la suma de las contribuciones de la rigidez de todos los elementos estructurales conectados a tal nodo, por lo tanto se suma la rigidez que aporta cada elemento de su matriz de rigidez global, al final esta será cuadrada y simétrica del tamaño de los grados de libertad establecidos en la numeración de la estructura, es decir matriz de K8x8. Ejemplo: e1 e2 K1,2= (K1,2) + K1,2 K1,2= (0,0) + (3578) K1,2= 4720 kN/m K 8, 5= K 8, 5 e1 + K 8, 5 K 8, 5= 0,00 + 0,00 K 8, 5= 0,00 kN/m e2 + + e3 K1,2 (0,0) + + e4 K1,2 (0,0) + K 8, 5 e3 + K 8, 5 + 0,00 + 0,00 e4 e5 + K1,2 + (1141) + K 8, 5 e5 + 0,00 K 8, 7= K 8, 7 e1 + K 8, 7 e2 + K 8, 7 e3 + K 8, 7 e4 + K 8, 7 e5 K 8, 7= 0,00 + 0,00 + (-1788,67) + (0,00) + 1141,43 K 8, 7= -647,24 kN/m Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 31 De esta manera se suman todas las rigideces que aportan cada elemento y se ensambla la matriz de rigidez de toda la estructura. Matriz de rigidez global de la cercha [ Ke ] = 1 2 3 4 5 6 7 8 2074,9 4719,7 0,0 0,0 -1789,5 -3578,3 -285,4 -1141,4 1 4719,7 11720,5 0,0 0,0 -3578,3 -7155,0 -1141,4 -4565,5 2 0,0 0,0 4430,2 -5324,7 -3536,1 3536,1 -894,1 1788,7 3 0,0 0,0 -5324,7 7114,2 3536,1 -3536,1 1788,7 -3578,1 4 -1789,5 -3578,3 -3536,1 3536,1 5325,6 42,2 0,0 0,0 5 -3578,3 -7155,0 3536,1 -3536,1 42,2 20691,1 0,0 -10000,0 6 -285,4 -1141,4 -894,1 1788,7 0,0 0,0 1179,5 -647,2 7 -1141,4 -4565,5 1788,7 -3578,1 0,0 -10000,0 -647,2 18143,6 8 Los grados de libertad entre 1 y 4, están asociados a las fuerzas desconocidas de la cercha y sus desplazamientos serán 0, la matriz esta en unidades de kN/m. Vector de fuerzas actuantes en la cercha (F) en kN gdl fuerzas 1 Bx 2 By Fuerzas Desconocidas 3 Ax (Reacciones) 4 Ay 5 0 6 0 7 0 8 -90 Fuerzas Conocidas Solo en el grado de libertad 8 existe una fuerza externa, por lo tanto los otros grados de libertad donde se presentaran desplazamiento no hay fuerzas externas, las fuerzas Bx, By, Ax y Ay son desconocidas, y corresponden a las reacciones. Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 32 Vector de desplazamientos Se sabe que La rigidez (K) está dada por: π²= Donde F es la carga y U el desplazamiento elástico que produce dicha carga. π π La matriz de rigidez global de la cercha está estructurada como se muestra en la figura 2.1-c, conforme a la distribución de los grados de libertad establecidos en la discretización Fuerzas Rigidez F desconocidas Desplazamientos Ktt Kt0 0 K0t K00 U = F conocidas Representado la ecuación F=K*U con los esquemas matriciales del ejercicio resulta gdl fuerzas 1 Bx 2 By 3 Ax 4 Ay 5 0 6 0 7 0 8 -90 Fd 2 3 4 5 6 7 8 2074,9 4719,7 0,0 0,0 -1789,5 -3578,3 -285,4 -1141,4 1 0,0 1 0,0 0,0 -3578,3 -7155,0 -4565,5 2 2 0,0 4430,2 -5324,7 -3536,1 3536,1 -894,1 1788,7 3 U0,0c 0,0 -5324,7 7114,2 3536,1 -3536,1 1788,7 -3578,1 4 0,0 4 U5 5 U6 6 4719,7 0,0 0,0 = Fc [U] 1 Ktt 11720,5 Kt0 -1141,4 0,0 x 3 -1789,5 -3578,3 -3536,1 3536,1 5325,6 42,2 0,0 0,0 5 -3578,3 -7155,0 3536,1 -3536,1 42,2 20691,1 0,0 -10000,0 6 -1141,4 -894,1 1788,7 0,0 0,0 1179,5 -647,2 7 UUd 7 7 -4565,5 1788,7 -3578,1 0,0 -10000,0 -647,2 18143,6 8 U8 8 -285,4 -1141,4 K0t K00 Figura 2.1-c. Representación general de la matriz de rigidez global de la estructura Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 33 Resolviendo la matriz, se obtiene 0 Fd = [Ktt] [Uc] + [Kto] [Ud] Fd= [Kto][Ud] ecu. 1 0 FC = [K0t] [0] + [K00][Ud] FC= [K00][Ud] ecu. 2 Despejando los desplazamientos desconocidos (Ud) de la ecuación 2, Se obtiene: [Ud] = [K00]-1[FC] (Desplazamientos para las fuerzas conocidas) Y las fuerzas desconocidas (Reacciones) serán la aplicación de la ecuación 1 [Fd]= [Kt0] [Ud] (Reacciones de la estructura) Se sustrae la sub matriz de rigidez donde están asociadas las fuerzas conocidas (K00) para calcular los desplazamientos que estas producen en la cercha aplicando la ecuación anterior. [K00]= 5 6 7 8 5325,59 42,21 0,00 0,00 5 42,21 20691,08 0,00 -10000,00 6 0,00 0,00 1179,51 -647,24 7 0,00 -10000,00 -647,24 18143,60 8 Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 34 Obteniendo la inversa de la matriz Kc: 5 6 7 8 0,00018778 -0,00000053 -0,00000016 -0,00000030 5 [K00] -1 -0,00000053 0,00006636 0,00002047 0,00003731 6 -0,00000016 0,00002047 0,00087105 0,00004236 7 -0,00000030 0,00003731 0,00004236 0,00007719 8 = Los desplazamientos generados por las fuerzas externas aplicadas sobre la cercha serán: [U]= [K00]-1 [P] 5 6 7 8 0,00018778 -0,00000053 -0,00000016 -0,00000030 [U]= -0,00000053 0,00006636 0,00002047 0,00003731 Fc gdl 0 5 0 6 X -0,00000016 0,00002047 0,00087105 0,00004236 0 7 -0,00000030 0,00003731 0,00004236 0,00007719 -90 8 Resolviendo matricialmente se obtiene: U5= U6= U7= U8= 0,0000266 m -0,0033575 m -0,0038120 m -0,0069469 m El desplazamiento horizontal y vertical en el Nodo D será: U7=-0,0038120 m ≈ 3,81 mm H β U8=-0,0069469 m ≈ 6,947 mm V βΌ Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 35 Figura 2.1-c. Deformada de la cercha debido a la aplicación de la carga de 90 kN en el nodo D. Fuerza interna del elemento AC Se sustraen los desplazamientos globales del elemento AC (elemento 1) teniendo en cuenta el número correspondiente a cada grado de libertad. U5= U6= U3= U4= 0,00002661 m -0,00335751 m 0 0 Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 36 Es necesario conocer los desplazamientos locales del elemento para determinar su fuerza axial interna, así como establecer si el elemento está sometido a esfuerzos de tracción o compresión, para lo anterior se multiplica matricialmente la matriz de rotación del elemento por los desplazamientos globales calculados, de esta manera se obtiene [U Locales]= [T]*[U Globales] Donde la matriz de rotación “T” es cosΖ [T] = senΖ 0 0 -senΖ cosΖ 0 0 cosΖ senΖ 0 0 0 0 -senΖ cosΖ Se establece la operación matricial [U] = u1= u2= u3= u4= -0,707 0,707 0,000 0,000 -0,707 -0,707 0,000 0,000 0,000 0,000 -0,707 0,707 0,000 0,000 -0,707 -0,707 -0,002393 0,002355 0,00000 0,00000 m m m m X Ug gdl 0,000027 5 -0,003358 6 0,000000 3 0,000000 4 Estos son los desplazamientos locales del elemento 1. Para obtener la fuerza axial interna del elemento se parte de la hipótesis principal del método, donde la rigidez es igual a una fuerza F sobre el desplazamiento elástico que esta produce. Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 37 πΎ= F U F = [K local]* [U local] (elemento 1). Se obtiene [f]= UL gdl -0,002393 1 0,002355 2 7072,14 0,00 -7072,14 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -7072,14 0,00 7072,14 0,00 0,000000 3 0,00 0,00 0,00 0,00 0,000000 4 X Resolviendo matricialmente se obtiene la fuerza interna del elemento: Bx= -16,92 kN By= 0 kN Ax= 16,92 kN Ay= 0 kN Teniendo en cuenta que los valores obtenidos anteriormente corresponden a la fuerza interna del elemento en sus coordenadas locales se determina el tipo de esfuerzo al que está sometido el elemento, en este caso son de tensión, ya que f1 es negativo es decir actúa en dirección contraria a la supuesta inicialmente, mientras que f3 es positiva como se observa en la figura 2.1-d, como se esperaba las fuerzas f2 y f4 serán cero porque es la funcionalidad de este tipo de elementos. Figura 2.1-d Fuerza axial del elemento será 16,92 kN (Tensión) Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 38 2.2 Ejercicio 2. Cercha rectangular con elementos inclinados Para la cercha mostrada en la figura 2.2-a. Determine el desplazamiento vertical en el nudo C y la fuerza interna del elemento BF, Considere A=1.27 cm2 y E=200 000 MPa. Figura. 2.2-a Resolución: Propiedades de los elementos A=0,000127 m2 E=200 000 000 kPa Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 39 ο§ Numeración de los grados de libertad y elementos de la cercha Figura 2.1-b. Numeración de los grados de libertad y elementos de la cercha ο§ Resumen de las propiedades de los elementos de la cercha Area (m2) L (m) Angulo Elemento 1 0,000127 1,20 90 Elemento 2 0,000127 1,44 56,309 Elemento 3 0,000127 1,20 90 Elemento 4 0,000127 1,56 50,194 Elemento 5 0,000127 1,20 90 Elemento 6 0,000127 0,80 0 Elemento 7 0,000127 1,00 0 Elemento 8 0,000127 0,80 0 Elemento 9 0,000127 1,00 0 Nota: los ángulos son medidos desde el eje global x positivo al eje longitudinal del elemento. Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 40 Matriz de rigidez local y global de los elementos de la cercha Elemento 1 Angulo de rotación 90° (1,57 rad). E= 200000000 kpas L= 1,20 m A= 1,270 cm2 A= 0,0001270 m2 Ρ²= 90,00 ° Ρ²= 1,57 rad ππ π, ππππππ ∗ πππ πππ πππ = π π, π Por lo tanto la rigidez axial del elemento 1 será: ππ = ππ πππ, ππ π€π/π¦ π Sustituyendo el valor en la Matriz de rigidez local en kN/m se obtiene [ k1 ]= 1 2 3 4 21166,67 0,00 -21166,67 0,0 1 0,00 0,00 0,00 0,0 2 -21166,67 0,00 21166,67 0,0 3 0,0 0,0 0,0 0,0 4 Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 41 Matriz de rotación del elemento: Angulo de rotación 90° (1,57 rad). [T]= 0,000 1,000 0,000 0,000 -1,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 1,000 0,000 0,000 -1,000 0,000 Matriz de rigidez global del elemento en kN/m [ K1 ]= 1 2 3 4 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 21166,67 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -21166,67 0,00 1 -21166,67 2 0,00 3 21166,67 4 Elemento 2 Angulo de rotación 56,309° (0,98 rad). E= 200000000 kpas L= 1,4420 m A= 1,270 cm2 A= 0,0001270 m2 Ρ²= 56,309 ° Ρ²= 0,98 rad Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 42 Matriz de rigidez local en kN/m [ k2] = 1 2 3 4 17614,42 0,00 -17614,42 0,0 1 0,00 0,00 0,00 0,0 2 -17614,42 0,00 17614,42 0,0 3 0,0 0,0 0,0 0,0 4 Matriz de rotación del elemento: Angulo de rotación 56,309° (0,98 rad). [T]= 0,555 0,832 0,000 0,000 -0,832 0,555 0,000 0,000 0,000 0,000 0,555 0,832 0,000 0,000 -0,832 0,555 Matriz de rigidez global del elemento en kN/m [ K2] = 1 2 5 6 5420,09 8129,84 -5420,09 -8129,84 8129,84 12194,34 -8129,84 -5420,09 -8129,84 5420,09 -8129,84 -12194,34 8129,84 1 -12194,34 2 8129,84 5 12194,34 6 Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 43 Elemento 3 Angulo de rotación 90° (1,57rad). E= 200000000 kpas L= 1,2000 m A= 1,270 cm2 A= 0,0001270 m2 Ρ²= 90,000 ° Ρ²= 1,57 rad Matriz de rigidez local del elemento en kN/m [ k3 ] = 1 2 3 4 21166,67 0,00 -21166,67 0,0 1 0,00 0,00 0,00 0,0 2 -21166,67 0,00 21166,67 0,0 3 0,0 0,0 0,0 0,0 4 Matriz de rotación del elemento para 90° [T]= 0,0 1,0 0,0 0,0 -1,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 1,0 0,0 0,0 -1,0 0,0 Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 44 Matriz de rigidez global del elemento en kN/m [ K3 ] = 11 12 5 6 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 21166,67 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -21166,67 0,00 11 -21166,67 12 0,00 5 21166,67 6 Elemento 4 Angulo de rotación 50,19° (0,88 rad). E= 200000000 kpas L= 1,5620 m A= 1,270 cm2 A= 0,0001270 m2 Ρ²= 50,194 ° Ρ²= 0,88 rad Matriz de rigidez local del elemento en kN/m [ k4] = 1 2 3 4 16261,20 0,00 -16261,20 0,0 1 0,00 0,00 0,00 0,0 2 -16261,20 0,00 16261,20 0,0 3 0,0 0,0 0,0 0,0 4 Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 45 Matriz de rotación del elemento a 50,19° [T]= 0,640 0,768 0,000 0,000 -0,768 0,640 0,000 0,000 0,000 0,000 0,640 0,768 0,000 0,000 -0,768 0,640 Matriz de rigidez global en kN/m [ K4] = 11 12 7 8 6664,55 7997,34 -6664,55 -7997,34 11 7997,34 9596,66 -7997,34 -9596,66 12 -6664,55 -7997,34 6664,55 7997,34 7 -7997,34 -9596,66 7997,34 9596,66 8 Elemento 5 Angulo de rotación 90° (1,57 rad). E= 200000000 kpas L= 1,2000 m A= 1,270 cm2 A= 0,0001270 m2 Ρ²= 90,000 ° Ρ²= 1,57 rad Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 46 Matriz de rigidez local en kN/m [ k5 ] = 1 2 3 4 21166,67 0,00 -21166,67 0,0 1 0,00 0,00 0,00 0,0 2 -21166,67 0,00 21166,67 0,0 3 0,0 0,0 0,0 0,0 4 Matriz de rotación del elemento a 90° [T]= 0,0 1,0 0,0 0,0 -1,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 1,0 0,0 0,0 -1,0 0,0 Matriz de rigidez global del elemento en kN/m [ K5 ] = 9 10 7 8 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 21166,7 0,0 -21166,7 0,0 0,0 0,0 0,0 7 0,0 -21166,7 0,0 21166,7 8 9 10 Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 47 Elemento 6 Angulo de rotación 0° (0 rad). E= 200000000 kpas L= 0,8000 m A= 1,270 cm2 A= 0,0001270 m2 Ρ²= 0,000 ° Ρ²= 0,00 rad Matriz de rigidez local en kN/m [ k6 ] = 1 2 3 4 31750,00 0,00 -31750,00 0,0 0,00 0,00 0,00 0,0 -31750,00 0,00 31750,00 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 1 2 3 4 Matriz de rotación; como no hay rotación del elemento la matriz de rotación tendrá solo el valor de uno en su diagonal (matriz identidad), multiplicando matricialmente por la matriz de rigidez local del elemento se obtendrá la misma matriz de rigidez local. [T]= 1,0 0,0 0,0 0,0 0,0 1,0 0,0 0,0 0,0 0,0 1,0 0,0 0,0 0,0 0,0 1,0 Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 48 Matriz de rigidez global del elemento en kN/m [ K6 ] = 3 4 5 6 31750,00 0,00 -31750,00 0,00 3 0,00 0,00 0,00 0,00 4 -31750,00 0,00 31750,00 0,00 5 0,00 0,00 0,00 0,00 6 1 2 3 4 25400,00 0,00 -25400,00 0,0 1 0,00 0,00 0,00 0,0 2 -25400,00 0,00 25400,00 0,0 3 0,0 0,0 0,0 0,0 4 Elemento 7 Angulo de rotación 0° (0 rad). E= 200000000 kpas L= 1,0000 m A= 1,270 cm2 A= 0,0001270 m2 Ρ²= 0,000 ° Ρ²= 0,00 rad Matriz de rigidez local en kN/m [ k7 ] = Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 49 Matriz de rotación del elemento para 0° [T]= 1,000 0,000 0,000 0,000 0,000 1,000 0,000 0,000 0,000 0,000 1,000 0,000 0,000 0,000 0,000 1,000 Matriz de rigidez global del elemento en kN/m [ K7 ] = 5 6 7 8 25400,00 0,00 -25400,00 0,00 5 0,00 0,00 0,00 0,00 6 -25400,00 0,00 25400,00 0,00 7 0,00 0,00 0,00 0,00 8 Elemento 8 Angulo de rotación 0° (0 rad). E= 200000000 kpas L= 0,8000 m A= 1,270 cm2 A= 0,0001270 m2 Ρ²= 0,000 ° Ρ²= 0,00 rad Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 50 Matriz de rigidez local en kN/m [ k8 ] = 1 2 3 4 31750,00 0,00 -31750,00 0,0 1 0,00 0,00 0,00 0,0 2 -31750,00 0,00 31750,00 0,0 3 0,0 0,0 0,0 0,0 4 Matriz de rotación del elemento para 0° 1,0 0,0 0,0 0,0 0,0 1,0 0,0 0,0 0,0 0,0 1,0 0,0 0,0 0,0 0,0 1,0 1 2 11 12 31750,00 0,00 -31750,00 0,00 1 0,00 0,00 0,00 0,00 2 -31750,00 0,00 31750,00 0,00 11 0,00 0,00 0,00 0,00 12 [T]= Matriz de rigidez global en kN/m [ K8 ] = Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 51 Elemento 9 Angulo de rotación 0° (0 rad). E= 200000000 kpas L= 1,0000 m A= 1,270 cm2 A= 0,0001270 m2 Ρ²= 0,000 ° Ρ²= 0,00 rad Matriz de rigidez local en kN/m [ k9 ] = 1 2 3 4 25400,0 0,0 -25400,0 0,0 1 0,0 0,0 0,0 0,0 2 -25400,0 0,0 25400,0 0,0 3 0,0 0,0 0,0 0,0 4 1,000 0,000 0,000 0,000 0,000 1,000 0,000 0,000 0,000 0,000 1,000 0,000 0,000 0,000 0,000 1,000 Matriz de rotación para 0° [T]= Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 52 Matriz de rigidez global en kN/m [ K9 ] = 11 12 9 10 25400,00 0,00 -25400,00 0,00 11 0,00 0,00 0,00 0,00 12 -25400,00 0,00 25400,00 0,00 9 0,00 0,00 0,00 0,00 10 Matriz de rigidez global de la cercha (kN/m) La matriz de rigidez de toda la cercha o armadura, se ensambla de igual manera como efectuó para el ejercicio 1.1, sumando los aportes de rigidez global de cada elemento a los nodos de la misma. [KE]= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 37170,1 8129,8 0,0 0,0 -5420,1 -8129,8 0,0 0,0 0,0 0,0 -31750,0 0,0 1 8129,8 33361,0 0,0 -21166,7 -8129,8 -12194,3 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 2 0,0 0,0 31750,0 0,0 -31750,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 3 0,0 -21166,7 0,0 21166,7 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 4 -5420,1 -8129,8 -31750,0 0,0 62570,1 8129,8 -25400,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 5 -8129,8 -12194,3 0,0 0,0 8129,8 33361,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 -21166,7 6 0,0 0,0 0,0 0,0 -25400,0 0,0 32064,5 7997,3 0,0 0,0 -6664,5 -7997,3 7 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 7997,3 30763,3 0,0 -21166,7 -7997,3 -9596,7 8 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 25400,0 0,0 -25400,0 0,0 9 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 -21166,7 0,0 21166,7 0,0 0,0 10 -31750,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 -6664,5 -7997,3 -25400,0 0,0 63814,5 7997,3 11 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 -21166,7 -7997,3 -9596,7 0,0 0,0 7997,3 30763,3 12 Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 53 Vector de fuerzas actuantes gdl Fuerzas 1 Ax 2 Ay 3 Bx 4 By 5 0 6 -15 7 0 8 -10 9 0 10 -15 11 0 12 0 El vector describe las fuerzas externas que actúan sobre la estructura y el grado de libertad asociado a esa fuerza, por ejemplo en el grado de libertad vertical No 8 actúa 10 kN, en la dirección de la gravedad, en nuestro sistema de referencia será negativo. Vector de desplazamientos Para obtener los desplazamientos se aplica el procedimiento del ejercicio anterior, los cuales estarán dados por: [U]= [K00]-1 [FC] Fc: son fuerzas conocidas Se sustrae la sub matriz de rigidez (K00) que asocia las fuerzas externas conocidas y los desplazamientos desconocidos (ver figura 2.1-c del ejercicio 1.1). Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 54 5 6 7 8 9 10 11 12 62570,09 8129,84 -25400,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 5 8129,84 33361,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -21166,67 6 -25400,00 0,00 32064,55 7997,34 0,00 0,00 -6664,55 -7997,34 7 0,00 0,00 7997,34 30763,32 0,00 -21166,67 -7997,34 -9596,66 8 0,00 0,00 0,00 0,00 25400,00 0,00 -25400,00 0,00 9 0,00 0,00 0,00 -21166,67 0,00 21166,67 0,00 0,00 10 0,00 0,00 -6664,55 -7997,34 -25400,00 0,00 63814,55 7997,34 11 0,00 -21166,67 -7997,34 -9596,66 0,00 0,00 7997,34 30763,32 12 [K00]= Obteniendo la inversa de la matriz Kc: [KOO ]-1= 5 6 7 8 9 10 11 12 0,00003 -0,00002 0,00003 -0,00005 0,00000 -0,00005 0,00000 -0,00002 5 -0,00002 0,00010 -0,00002 0,00011 0,00000 0,00011 0,00000 0,00010 6 0,00003 -0,00002 0,00007 -0,00008 0,00000 -0,00008 0,00000 -0,00002 7 -0,00005 0,00011 -0,00008 0,00035 0,00003 0,00035 0,00003 0,00016 8 0,00000 0,00000 0,00000 0,00003 0,00007 0,00003 0,00003 0,00000 9 -0,00005 0,00011 -0,00008 0,00035 0,00003 0,00040 0,00003 0,00016 10 0,00000 0,00000 0,00000 0,00003 0,00003 0,00003 0,00003 0,00000 11 -0,00002 0,00010 -0,00002 0,00016 0,00000 0,00016 0,00000 0,00014 12 Los desplazamientos generados por las fuerzas actuantes en la estructura estarán dados por: [U]= [KOO]-1 [FC] [U]= Fc 5 6 7 8 9 10 11 12 0,000031 -0,000021 0,000031 -0,000047 0,000000 -0,000047 0,000000 -0,000021 5 0 5 -0,000021 0,000096 -0,000021 0,000114 0,000000 0,000114 0,000000 0,000096 6 -15 6 0,000031 -0,000021 0,000071 -0,000080 0,000000 -0,000080 0,000000 -0,000021 7 0 7 -0,000047 0,000114 -0,000080 0,000354 0,000026 0,000354 0,000026 0,000161 8 -10 8 0 9 X 0,000000 0,000000 0,000000 0,000026 0,000071 0,000026 0,000031 0,000000 9 -0,000047 0,000114 -0,000080 0,000354 0,000026 0,000401 0,000026 0,000161 10 -15 10 0,000000 0,000000 0,000000 0,000026 0,000031 0,000026 0,000031 0,000000 11 0 11 -0,000021 0,000096 -0,000021 0,000161 0,000000 0,000161 0,000000 0,000143 12 0 12 Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 55 U5= 0,001496 U6= -0,004278 U7= 0,002316 U8= -0,010541 U9= -0,000656 U10= -0,011250 U11= -0,000656 U12= -0,005459 m m m m m m m m El desplazamiento horizontal y vertical en el Nodo C será: U9= -0,000656 m ≈ 0,656 mm H β U10= -0,0112 m ≈ 11,20 mm V βΌ Figura 2.2-c. Deformada de la cercha debido a las cargas Calculo de las reacciones de la cercha Las reacciones se calculan igual que el ejercicio anterior, si se conocen los desplazamientos, estos se multiplican matricialmente por la sub matriz de rigidez asociada a las fuerzas desconocidas (K0t) Fd= [Kt0]*[U] donde Fd son las fuerzas desconocidas (Reacciones) Aplicando la ecuación anterior, se obtiene Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 56 [U] 0,001496 5 [F]= 5 6 7 8 9 10 11 12 -5420,1 -8129,8 0,0 0,0 0,0 0,0 -31750,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 -8129,8 -12194,3 -31750,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 -0,00428 6 0,002316 7 1 2 -0,01054 8 X 3 4 4x8 -0,00066 9 -0,01125 10 -0,00066 11 -0,00546 12 8x1 Ax= 47,5 kN Ay= 40,0 kN Bx= -47,5 kN By= 0,0 kN Figura 2.2-d. Reacciones en los apoyos de la cercha Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 57 Fuerza axial del elemento BF Sustrayendo los desplazamientos globales del elemento BF (elemento 4) y teniendo en cuenta el número correspondiente a cada grado de libertad, se obtiene U11= -0,000656 U12= -0,005459 U7= 0,002316 U8= -0,010541 m m m m Se calculan los desplazamientos locales del elemento dando uso a la matriz de rotación para el ángulo de este elemento que es 50,19° (0,88 rad). [U local]= [T]*[U global] De esta manera se establece la operación matricial como sigue U [ u4 local] = 0,640 0,768 0,000 0,000 -0,768 0,640 0,000 0,000 0,000 0,000 0,640 0,768 0,000 0,000 -0,768 0,640 -0,000656 X -0,005459 0,002316 -0,010541 4x4 u1= u2= u3= u4= -0,00461 -0,00299 -0,00661 -0,00853 m m m m globales 4x1 Estos son los desplazamientos locales del elemento 4. Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 58 Para calcular la fuerza interna del elemento se multiplica matricialmente la matriz de rigidez local del elemento por sus desplazamientos locales respectivamente. πΎ= F U f = [K local]* [U local] Se obtiene la operación matricial [f 4 ]= U 1 2 3 4 16261,20 0,00 -16261,20 0,00 1 0,00 0,00 0,00 0,00 2 -16261,20 0,00 16261,20 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 4x4 locales -0,00461 1 -0,00299 2 3 -0,00661 3 4 -0,00853 4 X 4x1 Resolviendo matricialmente se obtiene la fuerza axial interna del elemento: f1= f2= f3= f4= 32,54 kN 0,0 -32,54 kN 0,00 Mediante la resolución de la fuerza interna del elemento se observa que está sometido a esfuerzos de compresión, como se observa en la figura 2.1-e. en cuanto a las fuerzas f2 y f3, serán cero puesto que se trata de una cercha y solo se considera el aporte axial como se mencionó en el capítulo 1 de presente texto. Figura 2.2-e Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 59 Capítulo 3 VIGAS 3.1 Ejercicio. Viga de tres luces con cargas puntual, continua y variable. Para la viga en concreto mostrada en la figura 3.1-a, encontrar las reacciones y el giro en el punto D, considere E= 20 GPa. Figura 3.1-a Resolución: Propiedades de la sección de la viga A=0,10 m2 Iy=0,001333 m4 E=20 000 000 kPa Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 60 ο§ Numeración de los grados de libertad y elementos de la viga Solo se tendrán en cuenta los grados de libertad verticales y giros ya que la viga estará sometida solo a fuerzas cortantes y flexión como se mencionó en el primer capítulo, como no existen cargas con componentes en la dirección X, la fuerza axial en cualquiera de los tres elementos será cero. La enumeración de los grados de libertad se realiza de manera que queden agrupados aquellos que no tienen restricción cinemática y los demás corresponderán a las reacciones de la viga, como se aprecia en la figura 3.1-b Figura 3.1-b Discretizacion de la viga Como se estableció en la discretización de la viga solo se estudiaran tres elementos conectados por sus nodos A, B, C y D, por lo tanto se llevaran las fuerzas equivalentes generadas por las distintas cargas sobre los elementos a cada nodo, para ello se asume la condición de empotramiento perfecto de los elementos y se calculan las reacciones para cada uno como se muestra en la figura 3.1-c. al final las fuerzas actuantes serán la suma de los efectos de las cargas de cada elemento teniendo en cuenta su dirección y magnitud, estas actuaran sobre la viga en el sentido contrario a la supuesta reacción. Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 61 Figura 3.1-c Las fuerzas que actúan en los grados de libertad establecidos para el presente análisis son las que se presentan en la figura 3.1-d y 3.1-e, después de realizar la suma de los efectos debido a las cargas, y aplicación de la estática en el elemento 3 para obtener las reacciones verticales. Figura 3.1-d Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 62 Figura 3.1-e. Fuerzas actuantes en los nodos de la viga De esta manera se obtienen las fuerzas actuantes sobre la viga, La dirección predominante de la carga corresponde a la de mayor magnitud, estas actúan en la dirección opuesta a reacción idealizada. Matriz de rigidez local y global de los elementos de la viga Para la obtención de la matriz de rigidez local de los elementos se sustituyen los valores de E, Iz y L en la matriz mostrada en el primer capítulo para vigas. Elemento 1 Angulo de rotación 0° (0,0 rad). L=5.0 m E= 20000,00 E= 20000000,000 kpas L= 5,00 m B 0,25 m H 0,40 m A= 0,1000000 I= 0,0013333 Ρ²= 0,00 ° Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 63 12EIy/L3= 2560 kN/m 6EIy/L2= 6400 kN/m 2EIy/L = 10666,67 kN/m 4EIy/L = 21333,33 kN/m Matriz de rigidez en coordenadas locales en kN/m [ k1 ] = 1 2 3 4 2560,00 6400,00 -2560,00 6400,00 6400,00 21333,33 -6400,00 10666,67 2 -2560,00 -6400,00 2560,00 -6400,00 3 6400,00 10666,67 -6400,00 21333,33 4 1 Como los elementos de la viga están alineados horizontalmente no se presentaran rotaciones y no será necesario el uso de la matriz de transformación de coordenadas del sistema local a global ya que coinciden, siendo directamente la matriz de rigidez local la global, solo se agrega la correspondencia de los grados de libertad locales a los globales de la viga según el elemento. [ K1 ] = 1 2 3 8 2560,00 6400,00 -2560,00 6400,00 6400,00 21333,33 -6400,00 10666,67 2 -2560,00 -6400,00 2560,00 -6400,00 3 6400,00 10666,67 -6400,00 21333,33 8 1 Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 64 Elemento 2 Angulo de rotación 0° (0,0 rad). E= 20000,00 E= 20000000,000 kpas L= 4,50 m B 0,25 m H 0,40 m A= 0,1000000 I= 0,0013333 Ρ²= 0,00 ° Matriz de rigidez en coordenadas locales en kN/m [ k2 ] = 1 2 3 4 3511,66 7901,23 -3511,66 7901,23 7901,23 23703,70 -7901,23 11851,85 2 -3511,66 -7901,23 3511,66 -7901,23 3 7901,23 11851,85 -7901,23 23703,70 4 1 Al igual que el elemento 1, el No 2 está alineado horizontalmente por lo tanto no se presentaran rotaciones y no será necesario el uso de la matriz de transformación de coordenadas del sistema local a global ya que coinciden. Solo se realiza la correspondencia de los grados de libertad locales a los globales de la viga según el elemento. Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 65 Matriz de rigidez en coordenadas globales [ K2 ] = 3 8 4 7 3511,66 7901,23 -3511,66 7901,23 7901,23 23703,70 -7901,23 11851,85 8 -3511,66 -7901,23 3511,66 -7901,23 4 7901,23 11851,85 -7901,23 23703,70 7 3 Elemento 3 Angulo de rotación 0° (0,0 rad). E= 20000000,0 kpas L= 5,50 m B 0,25 m H 0,40 m A= 0,1000000 I= 0,0013333 Ρ²= 0,00 ° [ k3 ] = 1 2 3 4 1923,37 5289,26 -1923,37 5289,26 1 5289,26 19393,94 -5289,26 9696,97 2 -1923,37 -5289,26 1923,37 -5289,26 3 5289,26 9696,97 -5289,26 19393,94 4 Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 66 Matriz de rigidez en coordenadas locales en kN/m [ K3 ] = 4 7 5 6 1923,37 5289,26 -1923,37 5289,26 4 5289,26 19393,94 -5289,26 9696,97 7 -1923,37 -5289,26 1923,37 -5289,26 5 5289,26 9696,97 -5289,26 19393,94 6 Matriz de rigidez en coordenadas globales [ K3 ] = 4 7 5 6 1923,37 5289,26 -1923,37 5289,26 4 5289,26 19393,94 -5289,26 9696,97 7 -1923,37 -5289,26 1923,37 -5289,26 5 5289,26 9696,97 -5289,26 19393,94 6 Ensamble de la matriz de rigidez de la viga Ejemplo: K3,4= K3,4 elemento1 + K3,4= (0,0) + K3,4= - 3511,66 kN/m K8,3= K8,3 elemento1 + K8,3= (-6400,00) + K8,3= 1501,23 kN/m K3,4 elemento2 (-3511,66) K8,3 elemento2 (7901,23) + + + + K3,4 elemento3 (0,0) K8,3 elemento3 (0,0) Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 67 Matriz de rigidez de la viga [Kviga] = 1 2 3 4 5 6 7 8 2560,0 6400,0 -2560,0 0,0 0,0 0,0 0,0 6400,0 1 6400,0 21333,3 -6400,0 0,0 0,0 0,0 0,0 10666,7 2 -2560,0 -6400,0 6071,7 -3511,7 0,0 0,0 7901,2 1501,2 3 0,0 0,0 -3511,7 5435,0 -1923,4 5289,3 -2612,0 -7901,2 4 0,0 0,0 0,0 -1923,4 1923,4 -5289,3 -5289,3 0,0 5 0,0 0,0 0,0 5289,3 -5289,3 19393,9 9697,0 0,0 6 0,0 0,0 7901,2 -2612,0 -5289,3 9697,0 43097,6 11851,9 7 6400,0 10666,7 1501,2 -7901,2 0,0 0,0 11851,9 45037,0 8 Los grados de libertad comprendidos entre 6 y 8 están asociados a las fuerzas externas conocidas, mientras que los cinco primeros grados de libertad corresponden a las fuerzas desconocidas que son las reacciones de la viga. Vector de fuerzas A diferencia de los ejercicios anteriores, en este caso existen fuerzas que actúan en los nodos donde se presentaran las reacciones de la viga y que actúan en el sentido contrario a la misma reacción, por lo tanto afectara la magnitud final de cada una, como se observa en la figura 3.1-f. Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 68 Figura 3.1-f Vector de fuerzas sobre la viga en kN gdl Fuerzas 1 Ay-17,5 2 Ma-21,875 3 By-51,25 4 Cy-50,250 5 Dy-38,50 6 30,25 7 5,1458333 8 -3,4375 Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 69 Vector de desplazamientos Se sabe que la rigidez (K) es la relación entre una fuerza y el desplazamiento elástico que produce. πΎ= F U [U]= [K]-1 [F] ecu 3. Se sustrae la sub matriz de rigidez asociadas a las fuerzas conocidas (K00) para calcular sus desplazamientos aplicando la ecuación No 3. 6 7 8 19393,9 9696,97 0 6 [K00] = 9696,97 43097,6 11851,9 0 11851,9 45037 7 8 Obteniendo la inversa de la matriz [K00], resulta [K00]-1= 6 7 8 0,000059 -0,000014 0,000004 6 -0,000014 0,000028 -0,000007 7 0,000004 -0,000007 0,000024 8 Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 70 Los desplazamientos serán [U] = Fuerzas 6 7 8 0,000059 -0,000014 0,000004 6 -0,000014 0,000028 -0,000007 7 0,000004 -0,000007 0,000024 8 X 3x3 U6= 0,0016889 rad U7= -0,0002583 rad U8= -0,0000083 rad 30,25 6 5,15 7 -3,44 8 3x1 El giro en el punto D será: U8= 0,00169 rad Reacciones en la base Las reacciones de la viga serán el producto de la sub matriz asociada al vector de fuerzas, con los desplazamientos calculados. [F]= [Kt0]*[U] [F] = 6 7 8 0 0 6400 1 [U] 0 0 10667 2 0,0016889 0 7901 1501 3 5289 -2612 -7901 4 -5289 -5289 0 5 X U6 -0,0002583 U7 -0,0000083 U8 3x1 5x3 Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 71 Las fuerzas en la base serán: F1= F2= F3= F4= F5= -0,053 kN -0,089 kN -2,053 kN 9,6738 kN -7,5668 kN Por lo tanto las reacciones en la base se obtendrán como sigue -0,053=Ay-17,5 -0,089=Ma-21,875 -2,053=By-51,25 9,6738=Cy-50,250 -7,566=Dy-38,50 ; Ay= 17,447 kN ; Ma= 21,786 kN.m ; By= 49,197 kN ; Cy= 59,92 kN ; Dy= 30,93 kN Figura 3.1-g. Reacciones de la viga Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 72 3.2 Ejercicio. Viga de dos luces y sección en voladizo Para la viga en acero cuya sección transversal es de tipo cajón como se aprecia en la figura 3.2-a, encontrar la carga (P) aplicada en el punto C para que el giro en B sea 0,5° en el sentido horario. Asumir Es=200.000 MPa Figura 3.2-a Resolución: Propiedades de la sección de la viga A=0,0104 m2 Iy=0,00004619 m4 E=200 000 000 kPa ο§ Numeración de los grados de libertad y elementos de la viga Para la discretización de la viga solo se tendrán en cuenta los grados de libertad rotacionales del nudo A y B ya que se obtendría el momento y el giro respectivamente, para obtener las reacciones verticales en esos mismos nudos se calcularían por estática. Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 73 Figura 3.2-b La carga P por la longitud del elemento BC sería el momento equivalente debido a esa carga que actúa en B, recordando que se asume la condición de empotramiento perfecto en los nudos de la viga como se muestra a continuación. Figura 3.2-c Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 74 Figura 3.2-d. Fuerzas actuantes en los nodos A y B de la viga Como la viga solo tendrá un desplazamiento angular en el apoyo B la matriz de rigidez se puede determinar cancelando los renglones y filas asociados a los desplazamientos verticales de dicho elemento, se tiene Cancelando los renglones y filas expuestos anteriormente, se obtiene Z1 Y1 Z2 Y2 - Z1 - Y1 [k] = - - - Z2 Y2 Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 75 De este modo, la matriz de rigidez será: [k]= 1 2 Reemplazando los valores de E,I y L se obtiene la matriz de rigidez en kN/m: 1 2 14780,80 7390,40 1 [k]= 7390,40 14780,80 2 El vector de desplazamiento ya es conocido, será 0 en el empotramiento y en B no podrá girar más de 0,5° (0,00872 rad) según la magnitud de la carga. 0 1 -0,0087 2 [U]= Y el vector de fuerzas será igual a: [F]= Ma - 0,781 1 2P - 0,781 2 Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 76 Teniendo en cuenta que K=F/U y despejando la fuerza F= [K]*[U], se obtiene entonces: Ma - 0,781 14780,80 7390,40 2P - 0,781 0 x = 7390,40 14780,80 -0,00872 Resolviendo la matriz, se obtiene Ma – 0,781= 14781*0 2P - 0,781= 7390*0 - 7390,4*0,00872 (1) 14781,8*0,00872 (2) Ma – 0,781= - 64,44 (1) 2P - 0,781= - 128,88 (2) Resolviendo las ecuaciones 1 y 2 se obtienen el momento en A y la carga para que se dé la condición inicial. Ma= -63,66 kN.m P= 64,06 kN La carga para que se presente una rotación de 0,5° en el nudo B deber ser de 6,6 toneladas. Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 77 Capítulo 4 PÓRTICOS PLANOS 4.1 Análisis de pórtico simple con elemento en diagonal. Para el pórtico mostrado en la figura 4.1-a determine las reacciones en la base, desplazamiento horizontal y vertical en el punto C, así como las fuerzas internas del elemento AB. Los elementos CD y BD articulan independientemente en el nodo D. Considere E=200 GPa Fig. 4.1-a Resolución: Propiedades del perfil W14x132 A= 0,0248 m2 Iy= 0,000636 m4 Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 78 Para enumerar los grados de libertad del pórtico es necesario tener claridad sobre los posibles desplazamientos y giros que se puedan presentar en los nudos para cada elemento, teniendo en cuenta las condiciones de frontera. Ejemplo: los elementos que convergen en el nodo D comparten los mismos grados de libertad horizontales y verticales, mas no tendrá el mismo ángulo de giro, por lo tanto cada uno tendrá un grado de libertad rotacional diferente como se observa en la figura 4.1-b. Figura 4.1- b Establecidos los nudos de pórtico (A, B, C y D), se llevan las fuerzas actuantes a cada uno. Debido a que se cuenta con un elemento con carga distribuida, se asume la condición de empotramiento perfecto en sus extremos y se calculan sus reacciones como se observa en la figura 4.1-c, las cuales actuarán en esos nudos como fuerzas equivalentes del pórtico en el sentido opuesto de la reacción. Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 79 Figura 4.1- c Las fuerzas equivalentes que actúan en los nodos del pórtico formaran parte del vector de fuerzas en el arreglo matricial, y se resumen en la figura 4.1–d. Figura 4.1- d Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 80 Se sabe que la matriz de rigidez de un elemento en el sistema global está dado por: K global= [T’]*[K local]*[T] Donde T es la matriz de rotación de coordenadas presentada en el capítulo 1 par elementos tipo pórticos. Matriz de rigidez local y global de los elementos del pórtico Para la obtención de la matriz de rigidez local de los elementos se reemplazan los valores de A, E, Iz y L de la matriz de un elemento pórtico establecido en el primer capítulo. Elemento 1 Angulo de rotación 90° (1,57 rad). E= 200000000 kpas L= 3,00 m A= 0,02480 m2 I= 0,0006360 Ρ²= 90,00 ° Ρ²= 1,57 rad Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 81 Matriz de rigidez en coordenadas locales en kN/m [ k1 ] = 1 2 3 4 5 6 1653333,33 0,00 0,00 -1653333,33 0,00 0,00 1 0,00 56533,33 84800,00 0,00 -56533,33 84800,00 2 0,00 84800,00 169600,00 0,00 -84800,00 84800,00 3 -1653333,33 0,00 0,00 1653333,33 0,00 0,00 4 0,00 -56533,33 -84800,00 0,00 56533,33 -84800,00 5 0,00 84800,00 84800,00 0,00 -84800,00 169600,00 6 La numeración representa los grados de libertad locales del elemento. Para un ángulo de rotación de 90° medido desde el eje global positivo (X) al eje local positivo longitudinal del elemento y sustituyéndolo en la matriz de transformación de coordenadas, se obtiene [T]= 0,0 1,0 0,0 0,0 0,0 0,0 -1,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 1,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 1,0 0,0 0,0 0,0 0,0 -1,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 1,0 Realizando la operación matricialmente K global= [T’][K local][T] se obtiene la matriz de rigidez global del elemento (girado los 90°), la numeración hace correspondencia con los grados de libertad globales mostrados en la figura 4.1- b. Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 82 Se obtiene entonces: [ K1 ] = 1 2 3 11 12 13 56533,33 0,00 -84800,00 -56533,33 0,00 -84800,00 1 0,00 1653333,33 0,00 0,00 -1653333,33 0,00 2 -84800,00 0,00 169600,00 84800,00 0,00 84800,00 3 -56533,33 0,00 84800,00 56533,33 0,00 84800,00 11 0,00 -1653333,33 0,00 0,00 1653333,33 0,00 12 -84800,00 0,00 84800,00 84800,00 0,00 169600,00 13 Elemento 2 Angulo de rotación 139,4° (2,43 rads). E= 200,00 Gpas E= 200000000 kpas L= 4,609 m A= 0,02480 m2 I= 0,0006360 Ρ²= 139,40 ° Ρ²= 2,43 rad Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 83 Matriz de rigidez en coordenadas locales en kN/m [ k2 ] = 1 2 3 4 5 6 1076155,35 0,00 0,00 -1076155,35 0,00 0,00 1 0,00 15590,08 35927,33 0,00 -15590,08 35927,33 2 0,00 35927,33 110392,71 0,00 -35927,33 55196,35 3 -1076155,35 0,00 0,00 1076155,35 0,00 0,00 4 0,00 -15590,08 -35927,33 0,00 15590,08 -35927,33 5 0,00 35927,33 55196,35 0,00 -35927,33 110392,71 6 Para el Angulo de rotación 139,4° (2,43 rads) en sentido anti horario se obtiene -0,759 0,651 0,000 0,000 0,000 0,000 -0,651 -0,759 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 1,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 -0,759 0,651 0,000 0,000 0,000 0,000 -0,651 -0,759 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 1,000 [T]= Matriz de rigidez global del elemento 2, asociado a los grados de libertad globales será: [ K2 ] = 4 5 7 11 12 13 626998,44 -524040,35 -23380,58 -626998,44 524040,35 -23380,58 4 -524040,35 464746,98 -27278,59 524040,35 -464746,98 -27278,59 5 -23380,58 -27278,59 110392,71 23380,58 27278,59 55196,35 7 -626998,44 524040,35 23380,58 626998,44 -524040,35 23380,58 11 524040,35 -464746,98 27278,59 -524040,35 464746,98 27278,59 12 -23380,58 -27278,59 55196,35 23380,58 27278,59 110392,71 13 Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 84 Elemento 3 Angulo de rotación 90° (1,57 rads). E= 200,00 Gpas E= 200000000 kpas L= 3,00 m A= 0,02480 m2 I= 0,0006360 Ρ²= 90,00 ° Ρ²= 1,57 rad Matriz de rigidez local en kN/m [ k3 ] = 1 2 3 4 5 6 1653333,33 0,00 0,00 -1653333,33 0,00 0,00 1 0,00 56533,33 84800,00 0,00 -56533,33 84800,00 2 0,00 84800,00 169600,00 0,00 -84800,00 84800,00 3 -1653333,33 0,00 0,00 1653333,33 0,00 0,00 4 0,00 -56533,33 -84800,00 0,00 56533,33 -84800,00 5 0,00 84800,00 84800,00 0,00 -84800,00 169600,00 6 Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 85 Matriz de transformación de coordenadas, Para el Angulo de rotación 90° (1,57 rads), se obtiene: [T]= 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 Matriz de rigidez global del elemento No 3, asociado a los grados de libertad globales será: [ K3 ] = 4 5 6 8 9 10 56533,33 0,00 -84800,00 -56533,33 0,00 -84800,00 4 0,00 1653333,33 0,00 0,00 -1653333,33 0,00 5 -84800,00 0,00 169600,00 84800,00 0,00 84800,00 6 -56533,33 0,00 84800,00 56533,33 0,00 84800,00 8 0,00 -1653333,33 0,00 0,00 1653333,33 0,00 9 -84800,00 0,00 84800,00 84800,00 0,00 169600,00 10 Elemento 4 Angulo de rotación 0°, como no existe rotación rigidez local coincide con la global del elemento. del sistema, la matriz de Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 86 E= 200,00 Gpas E= 200000000 kpas L= 3,50 m A= 0,02480 m2 I= 0,0006360 Ρ²= 0,00 ° Ρ²= 0,00 rad Matriz de rigidez local en kN/m [ k4 ] = 1 2 3 4 5 6 1417142,86 0,00 0,00 -1417142,86 0,00 0,00 1 0,00 35601,17 62302,04 0,00 -35601,17 62302,04 2 0,00 62302,04 145371,43 0,00 -62302,04 72685,71 3 -1417142,86 0,00 0,00 1417142,86 0,00 0,00 4 0,00 -35601,17 -62302,04 0,00 35601,17 -62302,04 5 0,00 62302,04 72685,71 0,00 -62302,04 145371,43 6 Matriz de transformación de coordenadas, para el ángulo de rotación=0°, se obtiene 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 [T]= Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 87 Matriz de rigidez global del elemento No 4, asociado a los grados de libertad globales. [ K4 ] = 11 12 13 8 9 10 1417142,86 0,00 0,00 -1417142,86 0,00 0,00 11 0,00 35601,17 62302,04 0,00 -35601,17 62302,04 12 0,00 62302,04 145371,43 0,00 -62302,04 72685,71 13 -1417142,86 0,00 0,00 1417142,86 0,00 0,00 8 0,00 -35601,17 -62302,04 0,00 35601,17 -62302,04 9 0,00 62302,04 72685,71 0,00 -62302,04 145371,43 10 Matriz de rigidez de la estructura Para obtener la matriz de rigidez de toda la estructura se suma la rigidez que aporta cada elemento, al final la matriz será cuadrada y simétrica del tamaño de los grados de libertad establecidos en la numeración de la figura 4.1-b, es decir M13x13. Ejemplo: K11,12= K11,12= K11,12 elemento1 + K11,12 elemento2 (0,0) + (-524040) K11,12= -524040 kN/m K13,13= K13,13 elemento1 + K13,13 elemento2 K13,13= (169600,0) + (110392,7) + K11,12 elemento4 + (0,0) + K13,13 elemento4 + (145371,4) K13,13= 425363,4 kN/m Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 88 Matriz de rigidez del pórtico [Ke] = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 56533 0 -84800 0 0 0 0 0 0 0 -56533 0 -84800 1 0 1653333 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1653333 0 2 -84800 0 169600 0 0 0 0 0 0 0 84800 0 84800 3 0 0 0 683532 -524040 -84800 -23381 -56533 0 -84800 -626998 524040 -23381 4 0 0 0 -524040 2118080 0 -27279 0 -1653333 0 524040 -464747 -27279 5 0 0 0 -84800 0 169600 0 84800 0 84800 0 0 0 6 0 0 0 -23381 -27279 0 110393 0 0 0 23381 27279 55196 7 0 0 0 -56533 0 84800 0 1473676 0 84800 -1417143 0 0 8 0 0 0 0 -1653333 0 0 0 1688934 -62302 0 -35601 -62302 9 0 0 0 -84800 0 84800 0 84800 -62302 314971 0 62302 72686 10 -56533 0 84800 -626998 524040 0 23381 -1417143 0 0 2100675 -524040 108181 11 0 -1653333 0 524040 -464747 0 27279 0 -35601 62302 -524040 2153681 89581 12 -84800 0 84800 -23381 -27279 0 55196 0 -62302 72686 108181 425364 13 Equilibrio 70,0 1 2 3 4 5 89581 6 7 8 Los grados de libertad comprendidos entre 6 y 13 están asociadas a las fuerzas externas conocidas, mientras que los cinco primeros grados de libertad a las fuerzas desconocidas que son las reacciones en la base de la estructura. Vector de fuerzas externas gdl Fuerzas 1 Ax 2 Ay 3 MA 4 Dx 5 Dy 6 0 7 0 8 0 9 -35,00 10 20,42 11 100,00 12 -35,00 13 -20,42 Fuerzas desconocidas (Reacciones) Fuerzas Conocidas Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 89 Vector de desplazamientos Se sabe que la rigidez (K) es la relación entre una fuerza y el desplazamiento elástico que produce. πΎ= F U [U]= [K]-1 [F] ecu 3. Se sustrae la sub matriz de rigidez [K00] donde actúan las fuerzas conocidas para calcular sus desplazamiento aplicando la ecuación No 3. [K00]= 6 7 8 9 10 11 12 13 169600,0 0,0 84800,0 0,0 84800,0 0,0 0,0 0,0 6 0,0 110392,7 0,0 0,0 0,0 23380,6 27278,6 55196,4 7 84800,0 0,0 1473676,2 0,0 84800,0 -1417142,9 0,0 0,0 8 0,0 0,0 0,0 1688934,5 -62302,0 0,0 -35601,2 -62302,0 9 84800,0 0,0 84800,0 -62302,0 314971,4 0,0 62302,0 72685,7 10 0,0 23380,6 -1417142,9 0,0 0,0 2100674,6 -524040,4 108180,6 11 0,0 27278,6 0,0 -35601,2 62302,0 -524040,4 2153681,5 89580,6 12 0,0 55196,4 0,0 -62302,0 72685,7 108180,6 89580,6 425364,1 13 Obteniendo la inversa de la matriz Kc: 6 [K00]-1 = 11 12 0,0000073 -0,0000001 7 -0,0000011 8 0,0000000 -0,0000018 9 10 -0,0000008 -0,0000002 13 -0,0000001 0,0000098 -0,0000003 0,0000000 0,0000004 -0,0000003 -0,0000002 -0,0000012 7 -0,0000011 -0,0000003 0,0000026 0,0000000 -0,0000004 0,0000019 0,0000005 -0,0000005 8 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000006 0,0000001 0,0000000 0,0000000 -0,0000018 0,0000005 6 0,0000001 9 0,0000004 -0,0000004 0,0000001 0,0000040 -0,0000003 -0,0000002 -0,0000006 10 -0,0000008 -0,0000003 0,0000019 0,0000000 -0,0000003 0,0000019 0,0000005 -0,0000005 11 -0,0000002 -0,0000002 0,0000005 0,0000000 -0,0000002 0,0000005 0,0000006 -0,0000002 12 0,0000005 -0,0000012 -0,0000005 0,0000001 -0,0000006 -0,0000005 -0,0000002 0,0000028 13 Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 90 Los desplazamientos en los grados de libertad serán: [U]= [K00]-1 [F] 6 [K00]-1 = 7 8 9 10 Fuerzas 11 12 0,0000073 -0,0000001 -0,0000011 0,0000000 -0,0000018 -0,0000008 -0,0000002 0,0000005 6 13 0 6 -0,0000001 0,0000098 -0,0000003 0,0000000 0,0000004 -0,0000003 -0,0000002 -0,0000012 7 0 7 -0,0000011 -0,0000003 0,0000026 0,0000000 -0,0000004 0,0000019 0,0000005 -0,0000005 8 0 8 -35,00 9 20,42 10 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000006 0,0000001 0,0000000 0,0000000 -0,0000018 0,0000004 -0,0000004 0,0000001 0,0000040 -0,0000003 -0,0000002 -0,0000006 10 0,0000001 9 -0,0000008 -0,0000003 0,0000019 0,0000000 -0,0000003 0,0000019 0,0000005 -0,0000005 11 100,00 11 -0,0000002 -0,0000002 0,0000005 0,0000000 -0,0000002 0,0000005 0,0000006 -0,0000002 12 -35,00 12 0,0000005 -0,0000012 -0,0000005 0,0000001 -0,0000006 -0,0000005 -0,0000002 -20,42 13 X 0,0000028 13 Se obtienen entonces los desplazamientos para cada grado de libertad U6= -0,000121 rad U7= 0,0000127 rad U8= 0,0001755 m U9= -0,0000219 m U10= 0,0000668 rad U11= 0,0001793 m U12= 0,0000297 m U13= -0,0001161 rad El desplazamiento horizontal y vertical en el punto C será: U8= 0,000176m ≈ 0.176mm HβΊ U9= -0,000022m≈ 0.22mm V βΌ Reacciones en la base Las reacciones en la base será el producto de la sub matriz asociada al vector de fuerzas (K0t), con los desplazamientos calculados. [f]= [K0t]*[U] ecu 4. [U] [F]= 6 7 8 9 10 11 12 13 0 0 0 0 0 -56533 0 -84800 1 0 0 0 0 0 0 -1653333 0 2 0 0 0 0 0 84800 0 84800 3 -84800 -23381 -56533 0 -84800 -626998 524040 -23381 0 -27279 0 -1653333 0 524040 -464747 -27279 5x8 x -0,0001211 U6 0,0000127 U7 0,0001755 U8 -0,0000219 U9 0,0000668 U10 4 0,0001793 U11 5 0,0000297 U12 -0,0001161 U13 8x1 Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 91 Las reacciones en la base serán: Ax= Ay= MA= Dx= Dy= -0,29 kN -49,2 kN 5,36 kN.m -99,7 kN 119,2 kN Figura 4.1- e. Reacciones de la estructura Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 92 Figura 4.1- f. Deformación de la estructura debida a las cargas externas Fuerzas internas del elemento 1 Se sabe que las coordenadas locales del sistema en función de las globales para un elemento tipo pórtico está dada por: Con la matriz de transformación de coordenadas multiplicada matricialmente por los desplazamientos globales del elemento 1, se obtienen desplazamientos locales del elemento para el posterior cálculo de las fuerzas internas de este como se ha realizado en los ejercicios anteriores Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 93 ο§ Desplazamientos locales del Elemento 1 Se sustraen los desplazamientos globales del elemento teniendo en cuenta el número correspondiente a cada grado de libertad. U global 1 0,00 2 0,00 3 0,00 11 0,000179 12 0,000030 13 -0,000116 Para Los desplazamientos en coordenadas locales serán UL= [T]*UG, resulta entonces U global U local = 0,0 1,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,000000 1 -1,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,000000 2 0,0 0,0 1,0 0,0 0,0 0,0 0,000000 3 0,0 0,0 0,0 0,0 1,0 0,0 0,000179 11 0,0 0,0 0,0 -1,0 0,0 0,0 0,000030 12 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 1,0 -0,000116 13 x Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 94 U local = 0,0000000 1 0,0000000 2 0,0000000 3 0,0000297 4 -0,0001793 5 -0,0001161 6 1 2 Aplicando la ecuación [f]= [k1]*[U1 local] se obtendrán las fuerzas internas del elemento 1: [ f1 ] = 1 2 3 4 5 6 U local 1653333,33 0,00 0,00 -1653333,33 0,00 0,00 0,0000000 1 0,00 56533,33 84800,00 0,00 -56533,33 84800,00 0,0000000 2 0,00 84800,00 169600,00 0,00 -84800,00 84800,00 0,0000000 3 -1653333,33 0,00 0,00 1653333,33 0,00 0,00 0,0000297 4 0,00 -56533,33 -84800,00 0,00 56533,33 -84800,00 -0,0001793 5 0,00 84800,00 84800,00 0,00 -84800,00 169600,00 -0,0001161 6 6x6 x 6x1 Por lo tanto las fuerzas internas del elemento 1 serán: f internas 1(A1) 2(v1) 3(M1) 4(A2) 5(v2) 6(M2) -49,18 kN 0,29 kN 5,36 kN.m 49,18 kN -0,29 kN -4,49 kN.m Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 95 Como los momentos tienen signos contrarios indica que el elemento se curva simplemente. Figura 4.1- G. Fuerzas internas del elemento 1 Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 96 4.2 Análisis de un pórtico con carga distribuida sobre elemento inclinado. Para el pórtico en concreto mostrado en la figura 4.2-a determine las reacciones en los nodos A y D, el desplazamiento horizontal y vertical en los nodos B y C así como las reacciones de la estructura. Asuma f’c=28 MPa y E= 3900√π′π (MPa) Figura 4.2-a Resolución: Propiedades de la sección A=0,09 m2 πβ I= =0,000675 m4 E=20.636,86 MPa Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 97 ο§ Discretización del pórtico Se numera los grados de libertad de tal manera que las reacciones resulten agrupadas, para este caso al igual que ejercicios anteriores se numeran de primero como se observa en la figura 4.2-b. Figura 4.2-b Para los elementos 2 y 3 con carga distribuida se asume la condición de empotramiento en sus extremos y se llevan las reacciones como fuerzas equivalentes a dichos nodos, en la dirección opuesta a la reacción. Elemento 2: W=30 kN/m Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 98 Elemento 3: se calculan las reacciones en la proyección horizontal del elemento es decir L= 2.0 m Wn= 0ππ cos( ,87) Wn=37,5 kN/m (Normal al eje longitudinal del elemento). Se superponen las fuerzas resultantes de ambos elementos como se observa en las figuras 4.2-c y 4.2-d. Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 99 Figura 4.2-c Figura 4.2-d Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 100 Las fuerzas equivalentes actuantes en los nodos A, B y C serán las obtenidas por la suma de los efectos de las cargas teniendo en cuenta su dirección. En la figura 4.2-e se presenta el resultado de la suma algebraica de las acciones presentes en cada nodo. Se debe tener en cuenta que las acciones externas obedecen al sistema de referencia global. Por ejemplo, en el nodo B se cuenta con un momento resultante horario de 2.5 kN.m debido a la suma de las acciones opuestas a las reacciones generadas por la carga dentro de cada vano, así: Nodo B= + 10 kN.m - 12.5 kN.m (ver Figura 4.2-d). Figura 4.2-e Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 101 Matriz de rigidez local y global de los elementos de la estructura Elemento 1 Angulo de rotación 90° (1,57 rad). L=2,5 m E= 20636860 kpas L= 2,50 m B 0,30 m H 0,30 m A= 0,0900 I= 0,0006750 Ρ²= 90,00 ° Ρ²= 1,57 rad Matriz de rigidez en coordenadas locales en kN/m [ k1 ] = 1 2 3 4 5 6 742926,97 0,00 0,00 -742926,97 0,00 0,00 1 0,00 10698,15 13372,69 0,00 -10698,15 13372,69 2 0,00 13372,69 22287,81 0,00 -13372,69 11143,90 3 -742926,97 0,00 0,00 742926,97 0,00 0,00 4 0,00 -10698,15 -13372,69 0,00 10698,15 -13372,69 5 0,00 13372,69 11143,90 0,00 -13372,69 22287,81 6 Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 102 Para un Angulo de rotación de 90° y sustituyendo en la matriz de rotación del para un elemento pórtico, se obtiene [T]= 0,0 1,0 0,0 0,0 0,0 0,0 -1,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 1,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 1,0 0,0 0,0 0,0 0,0 -1,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 1,0 Realizando la operación matricialmente K global= [T’]*[K local]*[T] se obtiene la matriz de rigidez global del elemento (girado los 90°), la numeración hace correspondencia con los grados de libertad globales mostrados en la figura 4.2- b. [ K1 ] = 6 7 8 3 4 5 10698,15 0,00 -13372,69 -10698,15 0,00 -13372,69 6 0,00 742926,97 0,00 0,00 -742926,97 0,00 7 -13372,69 0,00 22287,81 13372,69 0,00 11143,90 8 -10698,15 0,00 13372,69 10698,15 0,00 13372,69 3 0,00 -742926,97 0,00 0,00 742926,97 0,00 4 -13372,69 0,00 11143,90 13372,69 0,00 22287,81 5 Elemento 2 Angulo de rotación 0° y L=2.0 m E= 20636860 kpas L= 2,00 m B 0,30 m H 0,30 m A= 0,0900 I= 0,0006750 Ρ²= 0,00 ° Ρ²= 0,00 rad Matriz de rigidez en coordenadas locales en kN/m Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 103 [ k2 ] = 1 2 3 4 5 6 928658,7 0,0 0,0 -928658,7 0,0 0,0 1 0,0 20894,8 20894,8 0,0 -20894,8 20894,8 2 0,0 20894,8 27859,8 0,0 -20894,8 13929,9 3 -928658,7 0,0 0,0 928658,7 0,0 0,0 4 0,0 -20894,8 -20894,8 0,0 20894,8 -20894,8 5 0,0 20894,8 13929,9 0,0 -20894,8 27859,8 6 Para un Angulo de rotación de 0° y sustituyendo en la matriz de rotación resulta [T]= 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 Realizando la operación matricialmente K global= [T]*[K local]*[T’] se obtiene la matriz de rigidez global del elemento la cual coincide con la local ya que el ángulo de giro es 0° [ K2 ] = 6 7 8 9 10 11 928658,71 0,00 0,00 -928658,71 0,00 0,00 6 0,00 20894,82 20894,82 0,00 -20894,82 20894,82 7 0,00 20894,82 27859,76 0,00 -20894,82 13929,88 8 -928658,71 0,00 0,00 928658,71 0,00 0,00 9 0,00 -20894,82 -20894,82 0,00 20894,82 -20894,82 10 0,00 20894,82 13929,88 0,00 -20894,82 27859,76 11 Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 104 Elemento 3 Angulo de rotación 143,13° y L=2.0 m E= 20636860 kpas L= 2,50 m B 0,30 m H 0,30 m A= 0,0900 I= 0,0006750 Ρ²= 143,13 ° Ρ²= 2,50 rad Matriz de rigidez local en kN/m [ k3 ] = 1 2 3 4 5 6 742927,0 0,0 0,0 -742927,0 0,0 0,0 1 0,0 10698,1 13372,7 0,0 -10698,1 13372,7 2 0,0 13372,7 22287,8 0,0 -13372,7 11143,9 3 -742927,0 0,0 0,0 742927,0 0,0 0,0 4 0,0 -10698,1 -13372,7 0,0 10698,1 -13372,7 5 0,0 13372,7 11143,9 0,0 -13372,7 22287,8 6 Matriz de transformación de coordenadas [T]= -0,80 0,60 0,00 0,00 0,00 0,00 -0,60 -0,80 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -0,80 0,60 0,00 0,00 0,00 0,00 -0,60 -0,80 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 105 Matriz de rigidez del elemento 3 en coordenadas globales K global= [T]*[K local]*[T’] [ K3 ] = 1 2 12 9 10 11 479335,61 -351466,62 -8023,44 -479335,61 351466,62 -8023,44 1 -351466,62 274289,51 -10698,27 351466,62 -274289,51 -10698,27 2 -8023,44 -10698,27 22287,81 8023,44 10698,27 11143,90 12 -479335,61 351466,62 8023,44 479335,61 -351466,62 8023,44 351466,62 -274289,51 10698,27 -351466,62 274289,51 10698,27 10 -8023,44 -10698,27 11143,90 8023,44 10698,27 22287,81 11 9 Matriz de rigidez de la estructura La matriz de rigidez de la estructura será cuadrada simétrica, su tamaño es igual al número de grados de libertad en este caso será de 12x12. La matriz se ensambla sumando la rigidez que aporta cada elemento como se mencionó en los ejercicios anteriores Matriz de rigidez de la estructura (kN/m) [Ke]= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 479335,61 -351466,62 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -479335,61 351466,62 -8023,44 -8023,44 -351466,62 274289,51 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 351466,62 -274289,51 -10698,27 0,00 0,00 10698,15 0,00 13372,69 -10698,15 0,00 13372,69 0,00 0,00 0,00 0,00 3 0,00 0,00 0,00 742926,97 0,00 0,00 -742926,97 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 4 0,00 0,00 13372,69 0,00 22287,81 -13372,69 0,00 11143,90 0,00 0,00 0,00 0,00 5 0,00 0,00 -10698,15 0,00 -13372,69 939356,86 0,00 -13372,69 -928658,71 0,00 0,00 0,00 6 0,00 0,00 0,00 -742926,97 0,00 0,00 763821,79 20894,82 0,00 -20894,82 20894,82 0,00 7 0,00 0,00 13372,69 0,00 11143,90 -13372,69 20894,82 50147,57 0,00 -20894,82 13929,88 0,00 8 -479335,61 351466,62 0,00 0,00 0,00 -928658,71 0,00 0,00 1407994,32 -351466,62 8023,44 8023,44 9 351466,62 -274289,51 0,00 0,00 0,00 0,00 -20894,82 -20894,82 -351466,62 295184,33 -10196,55 10698,27 10 -8023,44 -10698,27 0,00 0,00 0,00 0,00 20894,82 13929,88 8023,44 -10196,55 50147,57 11143,90 11 -8023,44 -10698,27 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 8023,44 10698,27 11143,90 22287,81 12 1 -10698,27 2 Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 106 Vector de fuerzas actuantes en la estructura para cada grado de libertad gdl fuerzas 1 Ax 2 Ay - 37,5 3 Dx 4 Dy 5 MD 6 0,0 7 -30,0 8 -10,0 9 0,0 10 -67,5 11 -2,5 12 Donde las fuerzas comprendidas entre los gdl entre 1 a 5 corresponden a las fuerzas desconocidas (reacciones). 12,5 Vector de desplazamientos La rigidez (K) será igual a F U [U]= [K]-1 [F] πΎ= Se sustrae la sub matriz de rigidez donde actúan las fuerzas conocidas (K00) para calcular sus desplazamientos como sigue Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 107 6 7 939356,86 0,00 0,00 763821,79 20894,82 -13372,69 20894,82 50147,57 0,00 0,00 [K00] = -928658,71 8 9 10 11 12 0,00 0,00 0,00 6 0,00 -20894,82 20894,82 0,00 7 0,00 -20894,82 13929,88 0,00 8 8023,44 8023,44 9 -13372,69 -928658,71 1407994,32 -351466,62 0,00 -20894,82 -20894,82 -351466,62 295184,33 -10196,55 10698,27 10 0,00 20894,82 13929,88 8023,44 -10196,55 50147,57 11143,90 11 0,00 0,00 0,00 8023,44 10698,27 11143,90 22287,81 12 Obteniendo la inversa de la matriz Kc [K00] -1 = 6 7 8 9 10 11 0,000051 0,000001 0,000039 0,000050 0,000064 0,000006 -0,000052 6 12 0,000001 0,000001 0,000000 0,000001 0,000001 0,000000 0,000000 7 0,000039 0,000000 0,000052 0,000038 0,000051 -0,000002 -0,000037 8 0,000050 0,000001 0,000038 0,000050 0,000064 0,000006 -0,000052 9 0,000064 0,000001 0,000051 0,000064 0,000086 0,000008 -0,000069 10 0,000006 0,000000 -0,000002 0,000006 0,000008 0,000026 -0,000019 11 -0,000052 0,000000 -0,000037 -0,000052 -0,000069 -0,000019 0,000106 12 Los desplazamientos en los grados de libertad serán [U] = 6 7 8 9 10 11 12 0,000051 0,000001 0,000039 0,000050 0,000064 0,000006 -0,000052 0,000001 0,000001 0,000000 0,000001 0,000001 0,000000 0,000000 0,000039 0,000000 0,000052 0,000038 0,000051 -0,000002 -0,000037 0,000050 0,000001 0,000038 0,000050 0,000064 0,000006 -0,000052 0,000064 0,000001 0,000051 0,000064 0,000086 0,000008 -0,000069 0,000006 0,000000 -0,000002 0,000006 0,000008 0,000026 -0,000019 -0,000052 0,000000 -0,000037 -0,000052 -0,000069 -0,000019 0,000106 Fuerzas 0 -30 -10 x 0 -67,5 -2,5 12,5 Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 6 7 8 9 10 11 12 108 U6= U7= U8= U9= U10= U11= U12= -0,00541 -0,00009 -0,00439 -0,00541 -0,00724 -0,000819 0,00639 m m rad m m rad rad El desplazamiento horizontal y vertical en el Nodo B y C será: Nodo B U9=-0,00541m≈ 5,41mm HβΊ U10= -0,00724m≈7,24mm V βΌ Nodo C U6=-0,00541m≈ 5,41mm HβΊ U7= -0,00009m≈0,09mm V βΌ Figura 4.2-f. Deformada de la estructura por la acción de las cargas externas. Reacciones de la estructura Las reacciones en la base será el producto de la sub matriz asociada al vector de fuerzas, con los desplazamientos calculados como se ha visto en los ejercicios anteriores: [F]= [Kto]*[U] Donde Kto será Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 109 [Kto] = 6 7 8 9 10 11 12 0,00 0,00 0,00 -479335,61 351466,62 -8023,44 -8023,44 0,00 0,00 0,00 351466,62 -274289,51 -10698,27 -10698,15 0,00 13372,69 0,00 0,00 0,00 0,00 3 0,00 -742926,97 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 4 -13372,69 0,00 11143,90 0,00 0,00 0,00 0,00 5 1 -10698,27 2 5x7 Y es la sub matriz de la global que asocia las fuerzas con los desplazamientos ya calculados mostrado en el ejercicio 1.1. [U] [F]= -0,00541 U6 1 -0,00009 U7 -10698,27 2 -0,00439 U8 -0,00541 U9 6 7 8 9 10 11 12 0,00 0,00 0,00 -479335,61 351466,62 -8023,44 -8023,44 0,00 0,00 0,00 351466,62 -274289,51 -10698,27 -10698,15 0,00 13372,69 0,00 0,00 0,00 0,00 3 0,00 -742926,97 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 4 -0,00724 U10 -13372,69 0,00 11143,90 0,00 0,00 0,00 0,00 5 -0,00082 U11 0,00639 U12 5x7 X 7x1 Por lo tanto las fuerzas serán Ax = 0,89kN Ay - 37,5 =27,02kN Dx =-0,89kN Dy = 70,48kN MD = 23,36kN.m A diferencia de las demás reacciones, La vertical en A será a Ay menos la fuerza equivalente que actúa en ese punto y esta diferencia será igual a la fuerza encontrada correspondiente a f2 como sigue f2 – Ay = 27,02 f2 – 37,5 = 27,02 f2 = 27,02 + 37,5 f2 = 64,52 kN Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 110 Figura 4.2-g. Reacciones de la estructura Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 111 Capítulo 5 INTRODUCCIÓN A LOS ELEMENTOS FINITOS El método de los elementos finitos es un método poderoso para analizar los esfuerzos y deformaciones en componentes y sistemas estructurales. Este aproxima las ecuaciones diferenciales gobernantes para sistemas continuos con ecuaciones mediante un número finito de variables discretas que miden los desplazamientos y fuerzas en los nodos. El método funciona dividendo la estructura en elementos conectados por nodos, pueden ser de tipo plano o tridimensional dependiendo del componente estructural que se vaya a analizar. Se pueden emplear elementos finitos unidimensionales para modelar una estructura aporticada con muros (Fig. 5.1). Fig. 5.1 Abstracción o idealización de una estructura aporticada a través de elementos finitos En este capítulo se realizan una serie de ejercicios por el método de la rigidez, que representan de forma general la filosofía de los elementos finitos y una forma introductoria a su comprensión. Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 112 5.1 Análisis de una viga con inercia variable y sección trapezoidal. Se desea diseñar una viga en concreto reforzado para un puente bajo la solicitación de las cargas dadas según la figura 5.1-a, por lo que se necesita conocer sus reacciones, la deflexión en los puntos de aplicación de las cargas y en el punto medio de la viga. El concreto posee una resistencia a la compresión de 28 MPa y módulo de elasticidad de 20 GPa. Figura 5.1-a Resolución: La viga representa un problema para su cálculo por la variación lineal de la sección a lo largo de toda su longitud, recordemos que la matriz de rigidez está en función de la inercia del elemento y esta a su vez del ancho y altura por lo que toda la matriz quedaría en función de una ecuación que representa esa variación y el cálculo sería muy complejo. La solución a este problema está en dividir la viga en una serie de elementos finitos de forma cubica con una única altura equivalente (he) unidos por nodos como se aprecia en la Figura 5.1-b, el número de elementos se puede establecer de manera arbitraria siempre dependiendo de la aproximación que se dese del problema. Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 113 La inercia de cada elemento se calcula con una altura equivalente de tal manera que la inercia equivalente y analítica sea igual y no afecte el cálculo de la viga. Discretización de la viga Para el presente ejercicio se asumió un número de elementos iguales a 8 unidos por nodos que tendrán dos posibilidades de desplazamiento; vertical y de giro como se muestra a continuación. Figura 5.1-b. Idealización de la viga en elementos finitos Para calcular la inercia de cada elemento se realiza con la altura equivalente en el punto medio de cada uno, por ejemplo para el elemento 1 será como se muestra en la figura 5.1-c. Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 114 Figura 5.1-c Por lo tanto la inercia para este elemento seria: = ∗ 0, ∗ 0, 5 I= 0,00969 m4 Realizando el cálculo de manera analítica (ver figura 5.1-d) Figura 5.1-d h varia respecto a x; el ancho de la viga es constante e igual a 0,4 m. Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 115 La función que describe esta variación será π= 0,7 − 0, (ππππππππ‘π) m=0,075 x La ecuación será entonces: h= hi – 0,075 x donde hi es la altura inicial de la viga de 0,7 m h= 0,7 – 0,075x La inercia de la sección será: = ∗ 0, ∗ ∫0 (0,7 − 0,075π) ππ₯ = ∗ 0, ∗ ∫ (0,3 3 − 0, Resolviendo el polinomio, 0 5π₯ + 0,0 8π₯ − 0,000 π₯ )ππ₯ 0 = 30 ∗ [0,3 3π₯ − 0,055 π₯ + 0,00393 − 0,000 05 π₯ 4 ]0 I = 0,00972 m4 Se observa entonces que la variación entre la inercia a partir de una altura equivalente y la analítica es muy pequeña. IPOR he= 0,00970 m4 y IANALITICA= 0,00972 m4 Por lo tanto se calcularan las inercias de los demás elementos con la equivalente para la facilidad del ejercicio, las cuales se resumen en la siguiente tabla: Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 116 Ancho (m) he Inercia (Iz) Elemento 1 0,4 0,6625 0,0097 Elemento 2 0,4 0,5875 0,0068 Elemento 3 0,4 0,5125 0,0045 Elemento 4 0,4 0,4375 0,0028 Elemento 5 0,4 0,4375 0,0028 Elemento 6 0,4 0,5125 0,0045 Elemento 7 0,4 0,5875 0,0068 Elemento 8 0,4 0,6625 0,0097 No obstante, para un cálculo más estricto seria con las inercias calculadas analíticamente para cada elemento como se expuso en el paso anterior. Matriz de rigidez local y global de los elementos La viga no presenta solicitaciones de carga que generen fuerzas axiales internas en los elementos, además solo se desean conocer sus giros y desplazamientos verticales en los puntos de aplicación de las cargas y en su centro. La matriz de rigidez local será para elemento tipo viga es la presentada en la figura 5.1-e 1 2 [k] = - 3 4 - 1 - 2 - - 3 4 Figura 5.1-e Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 117 ο§ Elemento 1 E= 20000000,00 KPa L= 1,00 m B 0,40 m H 0,66250 m A= 0,2650000 I= 0,0096925 Ρ²= 0,00 ° Matriz de rigidez local en kN/m [ k1 ] = 1 2 3 4 2326203,13 1163101,56 -2326203,13 1163101,56 1 1163101,56 775401,04 -1163101,56 387700,52 2 -2326203,13 -1163101,56 2326203,13 1163101,56 387700,52 -1163101,56 -1163101,56 3 775401,04 4 Matriz de rigidez asociado a sus grados de libertad globales [ K1 ] = 1 2 5 6 2326203,13 1163101,56 -2326203,13 1163101,56 1 1163101,56 775401,04 -1163101,56 387700,52 2 -2326203,13 -1163101,56 2326203,13 1163101,56 387700,52 -1163101,56 -1163101,56 5 775401,04 6 Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 118 ο§ Elemento 2 E= 20000000,00 KPa L= 1,00 m B 0,40 m H 0,59 m A= 0,2350000 I= 0,0067593 Ρ²= 0,00 ° Matriz de rigidez local en kN/m [ k2 ] = 1 2 3 4 1622234,38 811117,19 -1622234,38 811117,19 1 811117,19 540744,79 -811117,19 270372,40 2 -1622234,38 -811117,19 1622234,38 -811117,19 3 811117,19 270372,40 -811117,19 540744,79 4 5 6 7 8 1622234,38 811117,19 -1622234,38 811117,19 5 811117,19 540744,79 -811117,19 270372,40 6 -1622234,38 -811117,19 1622234,38 -811117,19 7 811117,19 270372,40 -811117,19 540744,79 8 Matriz de rigidez global [ K2 ] = Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 119 ο§ Elemento 3 E= 20000000,00 KPa L= 1,00 m B 0,40 m H 0,51 m A= 0,2050000 I= 0,0044870 Ρ²= 0,00 ° Matriz de rigidez local en kN/m [ k3 ] = 1 2 3 4 1076890,63 538445,31 -1076890,63 538445,31 1 538445,31 358963,54 -538445,31 179481,77 2 -1076890,63 -538445,31 1076890,63 -538445,31 3 538445,31 179481,77 -538445,31 358963,54 4 Matriz de rigidez global [ K3 ] = 7 8 9 10 1076890,63 538445,31 -1076890,63 538445,31 7 538445,31 358963,54 -538445,31 179481,77 8 -1076890,63 -538445,31 1076890,63 -538445,31 9 538445,31 179481,77 -538445,31 358963,54 10 Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 120 ο§ Elemento 4 E= 20000000,00 KPa L= 1,00 m B 0,40 m H 0,4375 m A= 0,1750000 I= 0,0027913 Ρ²= 0,00 ° Matriz de rigidez local en kN/m [ k4 ] = 1 2 3 4 669921,88 334960,94 -669921,88 334960,94 1 334960,94 223307,29 -334960,94 111653,65 2 -669921,88 -334960,94 669921,88 -334960,94 3 334960,94 111653,65 -334960,94 223307,29 4 Matriz de rigidez global [ K4 ] = 9 10 11 12 669921,88 334960,94 -669921,88 334960,94 9 334960,94 223307,29 -334960,94 111653,65 10 -669921,88 -334960,94 669921,88 -334960,94 11 334960,94 111653,65 -334960,94 223307,29 12 Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 121 ο§ Elemento 5 E= 20000000,00 KPa L= 1,00 m B 0,40 m H 0,4375 m A= 0,1750000 I= 0,0027913 Ρ²= 0,00 ° Matriz de rigidez local en kN/m [ k5 ] = 1 2 3 4 669921,88 334960,94 -669921,88 334960,94 1 334960,94 223307,29 -334960,94 111653,65 2 -669921,88 -334960,94 669921,88 -334960,94 3 334960,94 111653,65 -334960,94 223307,29 4 Matriz de rigidez global [ K5 ] = 11 12 13 14 669921,88 334960,94 -669921,88 334960,94 11 334960,94 223307,29 -334960,94 111653,65 12 -669921,88 -334960,94 669921,88 -334960,94 13 334960,94 111653,65 -334960,94 223307,29 14 Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 122 ο§ Elemento 6 E= 20000000,00 KPa L= 1,00 m B 0,40 m H 0,51 m A= 0,2050000 I= 0,0044870 Ρ²= 0,00 ° Matriz de rigidez local en kN/m [ k6 ] = 1 2 3 4 1076890,63 538445,31 -1076890,63 538445,31 1 538445,31 358963,54 -538445,31 179481,77 2 -1076890,63 -538445,31 1076890,63 -538445,31 3 538445,31 179481,77 -538445,31 358963,54 4 13 14 15 16 1076890,63 538445,31 -1076890,63 538445,31 13 538445,31 358963,54 -538445,31 179481,77 14 -1076890,63 -538445,31 1076890,63 -538445,31 15 538445,31 179481,77 -538445,31 358963,54 16 Matriz de rigidez global [ K6 ] = Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 123 ο§ Elemento 7 E= 20000000,00 KPa L= 1,00 m B 0,40 m H 0,59 m A= 0,2350000 I= 0,0067593 Ρ²= 0,00 ° Matriz de rigidez local en kN/m [ k7 ] = 1 2 3 4 1622234,38 811117,19 -1622234,38 811117,19 1 811117,19 540744,79 -811117,19 270372,40 2 -1622234,38 -811117,19 1622234,38 -811117,19 3 811117,19 270372,40 -811117,19 540744,79 4 15 16 17 18 1622234,38 811117,19 -1622234,38 811117,19 15 811117,19 540744,79 -811117,19 270372,40 16 -1622234,38 -811117,19 1622234,38 -811117,19 17 811117,19 270372,40 -811117,19 540744,79 18 Matriz de rigidez global [ K7 ] = Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 124 ο§ Elemento 8 E= 20000000,00 KPa L= 1,00 m B 0,40 m H 0,66 m A= 0,2650000 I= 0,0096925 Ρ²= 0,00 ° Matriz de rigidez local en kN/m [ k8 ] = 1 2 3 4 2326203,13 1163101,56 -2326203,13 1163101,56 1 1163101,56 775401,04 -1163101,56 387700,52 2 -2326203,13 -1163101,56 2326203,13 1163101,56 387700,52 -1163101,56 775401,04 17 18 3 4 2326203,13 1163101,56 -2326203,13 1163101,56 17 1163101,56 775401,04 -1163101,56 387700,52 18 -2326203,13 -1163101,56 2326203,13 1163101,56 387700,52 -1163101,56 -1163101,56 3 4 Matriz de rigidez global [ K8 ] = -1163101,56 3 775401,04 4 Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 125 Matriz de rigidez de la viga (kN/m) [Ke] = 1 2 3 4 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 2326203 1163102 0 0 -2326203 1163102 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1163102 775401 0 0 -1163102 387701 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 2326203 -1163102 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -2326203 -1163102 3 0 0 -1163102 775401 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1163102 387701 4 -2326203 -1163102 0 0 3948438 -351984 -1622234 811117 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 1163102 387701 0 0 -351984 1316146 -811117 270372 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6 0 0 0 0 -1622234 -811117 2699125 -272672 -1076891 538445 0 0 0 0 0 0 0 0 7 0 0 0 0 811117 270372 -272672 899708 -538445 179482 0 0 0 0 0 0 0 0 8 0 0 0 0 0 0 -1076891 -538445 1746813 -203484 -669922 334961 0 0 0 0 0 0 9 0 0 0 0 0 0 538445 179482 -203484 582271 -334961 111654 0 0 0 0 0 0 10 0 0 0 0 0 0 0 0 -669922 -334961 1339844 0 -669922 334961 0 0 0 0 11 0 0 0 0 0 0 0 0 334961 111654 0 446615 -334961 111654 0 0 0 0 12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -669922 -334961 1746813 203484 -1076891 538445 0 0 13 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 334961 111654 203484 582271 -538445 179482 0 0 14 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1076891 -538445 2699125 272672 -1622234 811117 15 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 538445 179482 272672 899708 -811117 270372 16 0 0 -2326203 1163102 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1622234 -811117 3948438 351984 17 0 0 -1163102 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 387701 5 6 811117 270372 351984 1316146 18 Kn La matriz es de 18x18 que es el número de grados de libertad establecidos en la discretización de la viga y está en unidades de kN/m. Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 126 Vector de fuerzas externas gdl FUERZAS 1 Ay 2 MA 3 Iy 4 MI 5 0 6 0 7 -49,05 8 0 9 0 10 0 11 0 12 0 13 0 14 0 15 -73,575 16 0 17 0 18 0 Estas son las fuerzas externas en kN asociadas a los grados de libertad de la viga según la discretización. Vector de desplazamientos La rigidez (K) será igual a: πΎ= F U [U]= [K]-1 [F] Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 127 Se sustrae la sub matriz de rigidez asociada a las fuerzas conocidas (K00) para calcular sus desplazamiento aplicando la ecuación [U]= [K 00]-1 [F] 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 3948438 -351984 -1622234 811117 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 -351984 1316146 -811117 270372 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6 -1622234 -811117 2699125 -272672 -1076891 538445 0 0 0 0 0 0 0 0 7 811117 270372 -272672 899708 -538445 179482 0 0 0 0 0 0 0 0 8 0 0 -1076891 -538445 1746813 -203484 -669922 334961 0 0 0 0 0 0 9 0 0 538445 179482 -203484 582271 -334961 111654 0 0 0 0 0 0 10 0 0 0 0 -669922 -334961 1339844 0 -669922 334961 0 0 0 0 11 0 0 0 0 334961 111654 0 446615 -334961 111654 0 0 0 0 12 0 0 0 0 0 0 -669922 -334961 1746813 203484 -1076891 538445 0 0 13 0 0 0 0 0 0 334961 111654 203484 582271 -538445 179482 0 0 14 0 0 0 0 0 0 0 0 -1076891 -538445 2699125 272672 -1622234 811117 15 0 0 0 0 0 0 0 0 538445 179482 272672 899708 -811117 270372 16 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1622234 -811117 3948438 351984 17 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 811117 270372 351984 15 16 17 [ K00 ] = 1316146 18 Obteniendo la inversa de la matriz [K00] resulta -1 [ K00 ] = 5 6 7 8 9 10 0,00000133 0,00000182 0,00000270 0,00000098 0,00000320 0,00000008 0,00000280 -0,00000078 0,00000185 -0,00000103 0,00000089 -0,00000082 0,00000023 -0,00000044 5 0,00000182 0,00000369 0,00000466 0,00000206 0,00000579 0,00000031 0,00000517 -0,00000136 0,00000344 -0,00000191 0,00000166 -0,00000154 0,00000044 -0,00000082 6 0,00000270 0,00000466 0,00000803 0,00000492 0,00001096 0,00000119 0,00001014 -0,00000244 0,00000685 -0,00000373 0,00000333 -0,00000307 0,00000089 -0,00000166 7 0,00000098 0,00000206 0,00000492 0,00000597 0,00000886 0,00000215 0,00000889 -0,00000170 0,00000621 -0,00000326 0,00000307 -0,00000279 0,00000082 -0,00000154 8 0,00000320 0,00000579 0,00001096 0,00000886 0,00001884 0,00000559 0,00001950 -0,00000339 0,00001380 -0,00000714 0,00000685 -0,00000621 0,00000185 -0,00000344 9 0,00000008 0,00000031 0,00000119 0,00000215 0,00000559 0,00000699 0,00000891 0,00000022 0,00000714 -0,00000321 0,00000373 -0,00000326 0,00000103 -0,00000191 10 0,00000280 0,00000517 0,00001014 0,00000889 0,00001950 0,00000891 0,00002471 0,00000000 0,00001950 -0,00000891 0,00001014 -0,00000889 0,00000280 -0,00000517 11 -0,00000078 -0,00000136 -0,00000244 -0,00000170 -0,00000339 0,00000022 0,00000000 0,00000722 0,00000339 0,00001950 0,00000339 0,00001884 -0,00000559 0,00001096 -0,00000886 0,00000320 -0,00000579 13 0,00000185 0,00000344 0,00000685 0,00000621 0,00001380 0,00000714 11 12 13 14 0,00000022 18 0,00000244 -0,00000170 0,00000078 -0,00000136 12 -0,00000103 -0,00000191 -0,00000373 -0,00000326 -0,00000714 -0,00000321 -0,00000891 0,00000022 -0,00000559 0,00000699 -0,00000119 0,00000215 -0,00000008 0,00000031 14 0,00000089 0,00000166 0,00000333 0,00000307 0,00000685 0,00000373 0,00001014 0,00000244 0,00001096 -0,00000119 0,00000803 -0,00000492 0,00000270 -0,00000466 15 -0,00000082 -0,00000154 -0,00000307 -0,00000279 -0,00000621 -0,00000326 -0,00000889 -0,00000170 -0,00000886 0,00000215 -0,00000492 0,00000597 -0,00000098 0,00000206 16 0,00000023 0,00000044 0,00000089 0,00000082 0,00000185 0,00000103 0,00000280 0,00000078 0,00000320 -0,00000008 0,00000270 -0,00000098 0,00000133 -0,00000182 17 -0,00000044 -0,00000082 -0,00000166 -0,00000154 -0,00000344 -0,00000191 -0,00000517 -0,00000136 -0,00000579 0,00000031 -0,00000466 0,00000206 -0,00000182 0,00000369 18 Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 128 Los desplazamientos en los grados de libertad serán: [U]= [Kc]-1 [P] = 6 7 8 9 10 0,000002 0,000003 0,000001 0,000003 0,000000 0,000003 -0,000001 0,000002 -0,000001 0,000001 -0,000001 0,000000 0,000000 5 0 5 0,000002 0,000004 0,000005 0,000002 0,000006 0,000000 0,000005 -0,000001 0,000003 -0,000002 0,000002 -0,000002 0,000000 -0,000001 6 0 6 0,000003 0,000005 0,000008 0,000005 0,000011 0,000001 0,000010 -0,000002 0,000007 -0,000004 0,000003 -0,000003 0,000001 -0,000002 7 -49,05 7 0,000001 0,000002 0,000005 0,000006 0,000009 0,000002 0,000009 -0,000002 0,000006 -0,000003 0,000003 -0,000003 0,000001 -0,000002 8 0 8 0,000003 0,000006 0,000011 0,000009 0,000019 0,000006 0,000020 -0,000003 0,000014 -0,000007 0,000007 -0,000006 0,000002 -0,000003 9 0 9 0,000000 0,000000 0,000001 0,000002 0,000006 0,000007 0,000009 0,000000 0,000007 -0,000003 0,000004 -0,000003 0,000001 -0,000002 10 0 10 0,000003 0,000005 0,000010 0,000009 0,000020 0,000009 0,000025 0,000000 0,000020 -0,000009 0,000010 -0,000009 0,000003 -0,000005 11 0 11 -0,000001 -0,000001 -0,000002 -0,000002 -0,000003 0,000000 0,000000 0,000007 0,000003 0 12 0,000002 0,000020 0,000003 0,000019 -0,000006 0,000011 -0,000009 0,000003 -0,000006 13 0 13 0 14 -73,575 15 -0,000001 -0,000002 -0,000003 -0,000003 -0,000006 -0,000003 -0,000009 -0,000002 -0,000009 0,000002 -0,000005 0,000006 -0,000001 0,000002 16 0 16 0,000000 0,000003 -0,000001 0,000001 -0,000002 17 0 17 0,000000 -0,000001 -0,000002 -0,000002 -0,000003 -0,000002 -0,000005 -0,000001 -0,000006 0,000000 -0,000005 0,000002 -0,000002 0,000004 18 0 18 0,000003 0,000007 0,000006 0,000014 0,000007 11 12 13 14 0,000000 15 16 0,000002 0,000000 0,000003 0,000001 0,000003 0,000001 0,000007 0,000002 0,000004 0,000001 0,000010 0,000003 0,000002 0,000001 18 0,000002 -0,000002 0,000001 -0,000001 12 -0,000001 -0,000002 -0,000004 -0,000003 -0,000007 -0,000003 -0,000009 0,000000 -0,000006 0,000007 -0,000001 0,000002 0,000001 17 Fuerzas 5 0,000001 0,000000 0,000000 14 0,000011 -0,000001 0,000008 -0,000005 0,000003 -0,000005 15 0,000003 0,000000 [U] U5= -0,000198 m U6= -0,000351 rad U7= -0,000639 m U8= -0,000467 rad U9= -0,001042 m U10= -0,000333 rad U11= -0,001243 m El desplazamiento vertical en los puntos de aplicación de las cargas y el centro de la viga corresponden a los grados de libertad 7,11 y 15: U7=-0,000639m≈0,639 mm V βΌ U11= -0,001243m≈1,243mm V βΌ U15= -0,000754m≈0,76mm V βΌ U12= -0,000060 rad U13= -0,001143 m U14= 0,000271 rad U15= -0,000754 m U16= 0,000512 rad U17= -0,000242 m U18= 0,000424 rad Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos X 129 Figura 5.1-f. Deformada de la viga por la acción de las cargas externas. Reacciones en los empotramientos de la viga Las reacciones en la base será el producto de la sub matriz asociada al vector de fuerzas (Kt0), con los desplazamientos calculados como se observó en los ejercicios anteriores [f]= [Kto]*[U] Donde Kt0 será [ Kt0 ] = 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 -2326203,13 1163101,56 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,00 0,00 1 -1163101,56 387700,52 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,00 0,00 2 0,00 0,00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -2326203,13 0,00 0,00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1163101,56 -1163101,56 3 387700,52 4 4 x 14 Y es la sub matriz de la global que asocia las fuerzas con los desplazamientos ya calculados. Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 130 U globales -0,0002 5 -0,00035 6 -0,00064 7 -0,00047 8 [ Kt0 ] = -0,00104 9 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 -2326203,13 1163101,56 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,00 0,00 1 -1163101,56 387700,52 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,00 0,00 2 0,00 0,00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -2326203,13 0,00 0,00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1163101,56 -1163101,56 3 387700,52 -0,00033 10 x 4 4 x 14 -0,00124 11 -6E-05 12 -0,00114 13 0,00027 14 -0,00075 15 0,00051 16 -0,00024 17 0,00042 18 14 x 1 Las fuerzas calculadas a partir del producto de la sub matriz K t0 por los desplazamientos conocidos son las se muestran en la tabla 5.1. Fuerza Fuerza kN,m Fuerza ton,m f1 52,27 5,33 f2 94,12 9,60 f3 70,36 7,18 f4 -117,43 -11,98 Tabla 5.1 Figura 5.1-g. Reacciones en los apoyos de la viga Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 131 5.2 Ejercicio 5.1 realizado en sap2000 versión académica Se desea diseñar una viga en concreto reforzado para un puente bajo la solicitación de las cargas dadas según la figura 5.1-a, por lo que se necesita conocer sus reacciones, la deflexión en los puntos de aplicación de las cargas y en el punto medio de la viga. El concreto posee una resistencia a la compresión de 28 MPa y módulo de elasticidad de 20 GPa. Figura 5.2-a Resolución: A continuación se presenta el análisis de la viga mediante el programa sap2000 versión académica, a modo de comprobación y uso de este reconocido programa de análisis y diseño. Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 132 Espacio y generación de la cuadricula de trabajo Click en New Model (ver figura 5.2-b). Figura 5.2-b Se designan las unidades (kN,m) y se seleccionan el modelo de viga (Beam) como se muestra en la figura 5.2-b, Como son ocho elementos de un metro de longitud, se establecen en el programa (Number of Spans=8) y la longitud de cada vano será un metro, y se le da ok (ver figura 5.2-c y 5.2-d). Figura 5.2-c Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 133 Figura 5.2-d Sap2000 trabaja en los planos x,z donde x es el plano horizontal y z el vertical. Se seleccionan todos los elementos, luego click en borrar, y de manera sencilla se tiene la cuadricula de trabajo para la viga como se observa en la figura 5.2-e. Figura 5.2-e Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 134 Generación de las propiedades de la viga En el menú Define dando click en Materials, se establece las propiedades del material de la viga (ver figura 5.2-g). Figura 5.2-f Se da click en Add New Material y se asignan las propiedades del concreto; Modulo de elasticidad (Ec=20GPa) y resistencia del concreto a la compresión (28MPa), en unidades de N,mm que son equivalentes a MPa y se le asigna el nombre de concreto de 28 MPa, los demás datos se dejan por defecto (ver figura 5.2-g y 5.2-h). Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 135 Figura 5.2-h Geometría de la viga En el mismo menú Define se establecen también las propiedades geométricas de la viga como se aprecia en la figura 5.2-i. Figura 5.2-h Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 136 Se da click en section propierties y luego en Frame Sections, inmediatamente se despliega el cuadro frame propierties (ver figura 5.2-j). Figura 5.2-j Se selecciona en frame section property type, la opcion concreto luego se selecciona el icono de secciones rectangulares, como se aprecia en la figura 5.2k. Figura 5.2-k Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 137 Seleccionada la seccion rectangular, se crea una seccion inicial de 0,4m x 0,7m que es la geometria de la viga en el empotramiento, luego se genera otra seccion de viga cuadrada de 0,4m x 0,4m que tiene lugar en el centro de la viga como se aprecia en las figuras 5.2-L y 5.2-n, con el material asignado de “CONCRETO 28 MPa” y en property Modifiers se modifican las propiedades de la viga asiganado solo al momento de inercia alrededor del eje 3, como se muestra en la figura 5.2-m Figura 5.2-L Figura 5.2-m Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 138 Figura 5.2-n. Cuadro de frame propierties con la sección de 0,4m x 0,7m creada. Figura 5.2-o. Sección de 0,4m x 0,4m Una vez creadas las dos secciones, Se selecciona en frame section property type, la opción other luego se selecciona el icono de secciones no prismáticas (Nonprimatic), como se aprecia en la figura 5.2-p y 5.2-q. Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 139 Figura 5.2-p. Figura 5.2-q Dentro del cuadro de dialogo Nonprismatic section Definition se genera una sección única nombrada sección 1, en la cual la sección de inicio (star section) será de 0,4m x 0,7m y al final (End section) de 0,4m x 0,4m la variación de la inercia será designada lineal , como se muestra en la figura 5.2-r. Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 140 Figura 5.2-r Figura 5.2-s. sección 1 con la inercia variable generada. Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 141 Dibujo de la viga Pasamos luego a dibujar la viga en el menú Draw frame (ver figura 5.2-t). Figura 5.2-t Asignamos sección 1para poderla dibujar, recordando que la viga inicia con una sección de 0,4m x 07 m donde primero se da el click, donde finalice será una sección de 0,4m x 0,4m que corresponde al centro de la viga (ver figura 5.2-u) Figura 5.2-u Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 142 Figura 5.2-v. Dibujando la sección 1 desde A,1 hasta E,1. Figura 5.2-w. sección 1 dibujada en la hasta la mitad de la viga. Se puede observar como sap2000, asimila la variación lineal de la inercia de la viga de manera trapezoidal, esto no difiere en los cálculos teniendo en cuenta el esquema inicial de la viga expuesto en el planteamiento del ejercicio donde solamente el lado inferior de la viga es a que varía linealmente. Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 143 Figura 5.2-x. Dibujo de la sección faltante de la viga iniciando desde I,1 hasta E,1. Figura 5.2-y. Viga dibujada. Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 144 Figura 5.2-z. selección de los nodos extremos de la viga Figura 5.2-aa. Asignación de la condición d empotramiento en los extremos de la viga Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 145 Figura 5.2-ab. Asignación de la condición de empotramiento en los extremos de la viga Figura 5.2-ac. Viga con sección asignada y bien empotrada Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 146 Luego se divide la viga en sus 8 secciones de un metro de longitus, para ellos se entra al menu Edit, Edit lines y Divide Frame somo se muestra en la figura 5.2-ad. Figura 5.2-ad. Una vez ingresado en el cuadro divide frames, se divide las dos secciones dibujadas manualmente en 4 de un metro de longitud cada una (ver figura 5.2-ae). Figura 5.2-ae Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 147 Finalmente se puede observar la viga dividida en los 8 vanos conectados por sus nodos y de un metro de longitud como se muestra en la figura 5.2-af. Figura 5.2-af Asignación de cargas actuantes En el planteamiento del ejercicio se observa que existen solo dos fuerzas que actúan en la dirección gravitatoria a dos metros desde los extremos de la viga. Primero se entra en el menú Assign, join loads y forces ver figura 5.2-ag. Figura 5.2-ag Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 148 Luego se asignan las fuerzas en los nodos indicados según el ejercicio para ello se cambia en el cuadro de dialogo joint forces las unidades a ton,m, y se asignas las fuerzas actuantes (ver figura 5.2-ah). Figura 5.2-ah Figura 5.2-ai. Cargas actuantes sobre la viga en kN Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 149 Análisis de la viga Finalmente se analiza la viga con las secciones, materiales y condiciones de carga estipuladas anteriormente, para ello se adentra en el menú Analyze, Set Analysis options (ver figura 5.2-aj). Figura 5.2-aj Dentro del cuadro de dialogo del analysis options se le dice a Sap2000 que solo realice el análisis en los plans XZ, para facilidad y operación del programa ya que no existe la necesidad de realizar el análisis en tres dimensiones (ver figura 5.2-ak). Figura 5.2-ak Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 150 Finalmente se le da correr al programa para que lleve a cabo el análisis de la viga en el menú Analyze o con la tecla F5 (ver figura 5.2-aL). Figura 5.2-aL Figura 5.2-am corrida del programa Sap2000 Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 151 Resultados del analisis d ela viga Figura 5.2-an. Diagrama de deformación de la viga debido a las cargas impuestas Figura 5.2-an. Diagrama de Momentos de la viga en ton,m Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 152 Figura 5.2-ao. Reacciones de la viga en ton,m Figura 5.2-ap. Desplazamientos en el centro de la viga debido a las cargas impuestas Se puede observar que la variación con la resolución analítica de la viga y asumiendo secciones rectangulares con alturas equivalentes asumidas en el ejercicio 5.1 es mínima, por lo tanto se puede concluir que el programa realizó el análisis de manera acertada o quizás con mayor precisión por tener en cuenta de manera más analítica la variación inercial de la viga. Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 153 5.3 Análisis sísmico de pórtico bidimensional de concreto con base en el reglamento NSR-10. Se desea diseñar el pórtico de la figura 5.3-a, para lo cual es necesario conocer los desplazamientos relativos de piso debido a la carga sísmica de análisis en la dirección x del sistema de coordenadas establecido. Datos generales Ciudad: Cúcuta Grupo de uso: III Perfil del suelo: Tipo E Periodo efectivo en la dirección x: 0,45 s Frecuencia: 2,21 Hz Carga Muerta: 1,5 ton/m Carga viva: 0,5 ton/m Figura 5.3-a Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 154 ο§ Propiedad del concreto y sección transversal: Módulo de elasticidad del concreto (Ec): 20 GPa Área: 0,09 m2 Inercia de la sección: 0,000675 m4 Resolución: ο§ Movimientos sísmicos de diseño para la ciudad de Cúcuta (A.2.2) Con las especificaciones del reglamento se obtiene los coeficientes que están asociados para los movimientos sísmicos de diseño (Aa, Av, Fa y Fv). CIUDAD Cúcuta CÓDIGO DEL MUNICIPIO 54001 Aa Av ZONA DE AMENAZA Ae Ad 0,35 0,25 Alta 0,25 0,10 ο§ Espectro elástico de análisis (A.2.6.1) La forma del espectro elástico de aceleraciones, Sa expresada como fracción de la gravedad, para un coeficiente de cinco por ciento (5%) del amortiguamiento crítico, que se debe utilizar en el diseño, se da en la figura A.2.6-1. Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 155 ο§ Resumen de los Movimientos sísmicos de diseño Ciudad Coeficiente de Importancia (Uso III) Zona Sísmica Tipo de Perfil Aa Av Ae Ad Fa Fv Tc Tl To Cúcuta 1,25 Alta E 0,35 0,25 0,25 0,10 1,05 3,00 0,98 7,20 0,20 Espectro elástico de aceleraciones Se obtiene entonces que para el periodo de 0,45 s, la aceleración efectiva es igual a: Sa= 1,15. Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 156 ο§ Determinación de las fuerzas sísmicas Las cargas sísmicas se calculan a partir de la fuerza horizontal equivalente como está establecido en el capítulo A.4 del reglamento NSR-10. El cortante sísmico en la base (Vs) equivalente a la totalidad de los efectos inerciales horizontales producidos por los movimientos sísmicos de diseño, en la dirección en estudio, se obtiene por medio de la siguiente ecuación: Vs = Sa g M donde M es la masa total de la estructura. o Cálculo de la masa total de la estructura Asumiendo un peso específico de 2,4 ton/m3 para concreto reforzado se obtiene: Columnas: Vigas: Carga muerta: 6,15 x (0,3 x 0,3) x 2 x 2,4= 2,6568 ton 5,2 x (0,3 x 0,3) x 2 x 2,4= 2,2464 ton 5,2 x 1,5 x 2= 15,16 ton Masa total= 20,07 toneladas ≈ 20.070 kg Por lo tanto el cortante sísmico, Vs, será igual a: Vs= 1,15 x 9,81m/s2 x 20.070 kg Vs=23,1 ton Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 157 o Distribución de las masa por entrepiso Figura 5.3-b. Distribución de las masas en los entrepisos del pórtico A partir de la figura anterior, Se obtiene que la masa que se concentra a 3 y 6 metros será igual a 10,032 ton y 9,3642ton respectivamente. o Calculo de la fuerza sísmica horizontal A.4.3.2 — La fuerza sísmica horizontal, Fx, en cualquier nivel x, para la dirección en estudio, debe determina a partir de la siguiente ecuación: Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 158 Donde k es un exponente relacionado con el período fundamental, T, de la edificación como sigue (a) Para T menor o igual a 0.5 segundos, k = 1.0 (b) Para T entre 0.5 y 2.5 segundos, k = 0.75 + 0.5*T y (c) Para T mayor que 2.5 segundos, k = 2.0 Para T ≤ 0,5 segundos el exponte k será 1.0, ya que T=0,45 s < 0,5 s hi (m) mi mi*(hi^k) Cvi 6 3,0 9,3642 10,032 56,19 30,10 86,28 0,65 0,35 1,00 Ζ© fi (ton) Ci (ton) 15,042 8,058 15,0424 23,1 Distribución de las fuerzas sísmicas sobre el pórtico Figura 5.3-c. Distribución de las fuerzas sísmicas en el pórtico Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 159 Análisis de la estructura ο§ Discretización del pórtico Se numera los grados de libertad de tal manera que las reacciones resulten agrupadas, como se aprecia en la figura 5.3-d. Figura 5.3-d. Discretización del pórtico Cabe mencionar que el análisis se realiza sin tener en cuenta las cargas muertas de la estructura, ya que se pretende mediante el análisis dar la rigidez suficiente para controlar las derivas de piso. Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 160 Matriz de rigidez local y global de los elementos de la estructura Elemento 1 Angulo de rotación 90° (1,57 rad). L=3,0 m E= 20000000 kpa L= 3,00 m B 0,30 m H 0,30 m A= 0,0900 I= 0,0006750 Ρ²= 90,00 ° Ρ²= 1,57 rad Matriz de rigidez en coordenadas locales en kN/m [ k1 ] = 1 2 3 4 5 6 600000,0 0,0 0,0 -600000,0 0,0 0,0 1 0,0 6000,0 9000,0 0,0 -6000,0 9000,0 2 0,0 9000,0 18000,0 0,0 -9000,0 9000,0 3 -600000,0 0,0 0,0 600000,0 0,0 0,0 4 0,0 -6000,0 -9000,0 0,0 6000,0 -9000,0 5 0,0 9000,0 9000,0 0,0 -9000,0 18000,0 6 Para un Angulo de rotación de 90° y sustituyendo en la matriz de rotación del para un elemento pórtico se obtiene Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 161 [T]= 0,0 1,0 0,0 0,0 0,0 0,0 -1,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 1,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 1,0 0,0 0,0 0,0 0,0 -1,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 1,0 Realizando la operación matricialmente K global= [T’][K local][T] se obtiene la matriz de rigidez global del elemento (girado los 90°), y asociada a los grados de libertad globales del pórtico. [ K1 ] = 1 2 3 10 11 12 6000,00 0,00 -9000,00 -6000,00 0,00 -9000,00 1 0,00 600000,00 0,00 0,00 -600000,00 0,00 2 -9000,00 0,00 18000,00 9000,00 0,00 9000,00 3 -6000,00 0,00 9000,00 6000,00 0,00 9000,00 10 0,00 -600000,00 0,00 0,00 600000,00 0,00 11 -9000,00 0,00 9000,00 9000,00 0,00 18000,00 12 Elemento 2 Angulo de rotación 90° (1,57 rad). L=3,0 m E= 20000000 kpas L= 3,00 m B 0,30 m H 0,30 m A= 0,0900 I= 0,0006750 Ρ²= 90,00 ° Ρ²= 1,57 rad Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 162 Matriz de rigidez en coordenadas locales en kN/m [ k2 ] = 1 2 3 4 5 6 600000,00 0,00 0,00 -600000,00 0,00 0,00 1 0,00 6000,00 9000,00 0,00 -6000,00 9000,00 2 0,00 9000,00 18000,00 0,00 -9000,00 9000,00 3 -600000,00 0,00 0,00 600000,00 0,00 0,00 4 0,00 -6000,00 -9000,00 0,00 6000,00 -9000,00 5 0,00 9000,00 9000,00 0,00 -9000,00 18000,00 6 Para un Angulo de rotación de 90° y sustituyendo en la matriz de rotación del para un elemento pórtico se obtiene [T]= 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 Realizando la operación matricialmente K global= [T’][k2][T] se obtiene la matriz de rigidez global del elemento (girado los 90°), y asociada a los grados de libertad globales del pórtico. [ K2 ] = 4 5 6 7 8 9 6000,00 0,00 -9000,00 -6000,00 0,00 -9000,00 4 0,00 600000,00 0,00 0,00 -600000,00 0,00 5 -9000,00 0,00 18000,00 9000,00 0,00 9000,00 6 -6000,00 0,00 9000,00 6000,00 0,00 9000,00 7 0,00 -600000,00 0,00 0,00 600000,00 0,00 8 -9000,00 0,00 9000,00 9000,00 0,00 18000,00 9 Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 163 Elemento 3 Angulo de rotación 90° (1,57 rad). L=3,0 m E= 20000000 kpas L= 3,00 m B 0,30 m H 0,30 m A= 0,0900 I= 0,0006750 Ρ²= 90,00 ° Ρ²= 1,57 rad Matriz de rigidez en coordenadas locales en kN/m [ k3 ] = 1 2 3 4 5 6 600000,00 0,00 0,00 -600000,00 0,00 0,00 1 0,00 6000,00 9000,00 0,00 -6000,00 9000,00 2 0,00 9000,00 18000,00 0,00 -9000,00 9000,00 3 -600000,00 0,00 0,00 600000,00 0,00 0,00 4 0,00 -6000,00 -9000,00 0,00 6000,00 -9000,00 5 0,00 9000,00 9000,00 0,00 -9000,00 18000,00 6 Para un Angulo de rotación de 90° y sustituyendo en la matriz de rotación del para un elemento pórtico se obtiene: [T]= 0,0 1,0 0,0 0,0 0,0 0,0 -1,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 1,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 1,0 0,0 0,0 0,0 0,0 -1,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 1,0 Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 164 Realizando la operación matricialmente K global= [T’][k3][T] se obtiene la matriz de rigidez global del elemento (girado los 90°), y asociada a los grados de libertad globales del pórtico. [ K3 ] = 10 11 12 16 17 18 6000,00 0,00 -9000,00 -6000,00 0,00 -9000,00 10 0,00 600000,00 0,00 0,00 -600000,00 0,00 11 -9000,00 0,00 18000,00 9000,00 0,00 9000,00 12 -6000,00 0,00 9000,00 6000,00 0,00 9000,00 16 0,00 -600000,00 0,00 0,00 600000,00 0,00 17 -9000,00 0,00 9000,00 9000,00 0,00 18000,00 18 Elemento 4 Angulo de rotación 90° (1,57 rad). L=3,0 m E= 20000000 kpas L= 3,00 m B 0,30 m H 0,30 m A= 0,0900 I= 0,0006750 Ρ²= 90,00 ° Ρ²= 1,57 rad Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 165 Matriz de rigidez en coordenadas locales en kN/m [ k4 ] = 1 2 3 4 5 6 600000,00 0,00 0,00 -600000,00 0,00 0,00 1 0,00 6000,00 9000,00 0,00 -6000,00 9000,00 2 0,00 9000,00 18000,00 0,00 -9000,00 9000,00 3 -600000,00 0,00 0,00 600000,00 0,00 0,00 4 0,00 -6000,00 -9000,00 0,00 6000,00 -9000,00 5 0,00 9000,00 9000,00 0,00 -9000,00 18000,00 6 Para un Angulo de rotación de 90° y sustituyendo en la matriz de rotación del para un elemento pórtico se obtiene: [T]= 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 Realizando la operación matricialmente K global= [T’][k4][T] se obtiene la matriz de rigidez global del elemento (girado los 90°), y asociada a los grados de libertad globales del pórtico. [ K4 ] = 7 8 9 13 14 15 6000,00 0,00 -9000,00 -6000,00 0,00 -9000,00 7 0,00 600000,00 0,00 0,00 -600000,00 0,00 8 -9000,00 0,00 18000,00 9000,00 0,00 9000,00 9 -6000,00 0,00 9000,00 6000,00 0,00 9000,00 13 0,00 -600000,00 0,00 0,00 600000,00 0,00 14 -9000,00 0,00 9000,00 9000,00 0,00 18000,00 15 Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 166 Elemento 5 Angulo de rotación 0° (1,57 rad). L=3,0 m E= 20000000 kpas L= 5,50 m B 0,30 m H 0,30 m A= 0,0900 I= 0,0006750 Ρ²= 0,00 ° Ρ²= 0,00 rad Matriz de rigidez en coordenadas locales en kN/m [ k5 ] = 1 2 3 4 5 6 327272,73 0,00 0,00 -327272,73 0,00 0,00 1 0,00 973,70 2677,69 0,00 -973,70 2677,69 2 0,00 2677,69 9818,18 0,00 -2677,69 4909,09 3 -327272,73 0,00 0,00 327272,73 0,00 0,00 4 0,00 -973,70 -2677,69 0,00 973,70 -2677,69 5 0,00 2677,69 4909,09 0,00 -2677,69 9818,18 6 Dado que no existe rotación del sistema para este elemento, la matriz de rigidez global es la misma local, siempre y cuando se asocien los grados de libertad globales del pórtico a elemento como se muestra en la siguiente matriz. [ K5 ] = 16 17 18 13 14 15 327272,73 0,00 0,00 -327272,73 0,00 0,00 16 0,00 973,70 2677,69 0,00 -973,70 2677,69 17 0,00 2677,69 9818,18 0,00 -2677,69 4909,09 18 -327272,73 0,00 0,00 327272,73 0,00 0,00 13 0,00 -973,70 -2677,69 0,00 973,70 -2677,69 14 0,00 2677,69 4909,09 0,00 -2677,69 9818,18 15 Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 167 Elemento 6 Angulo de rotación 0° (1,57 rad). L=3,0 m E= 20000000 kpas L= 5,50 m B 0,30 m H 0,30 m A= 0,0900 I= 0,0006750 Ρ²= 0,00 ° Ρ²= 0,00 rad Matriz de rigidez con coordenadas locales en kN/m [ k6 ] = 1 2 3 4 5 6 327272,73 0,00 0,00 -327272,73 0,00 0,00 1 0,00 973,70 2677,69 0,00 -973,70 2677,69 2 0,00 2677,69 9818,18 0,00 -2677,69 4909,09 3 -327272,73 0,00 0,00 327272,73 0,00 0,00 4 0,00 -973,70 -2677,69 0,00 973,70 -2677,69 5 0,00 2677,69 4909,09 0,00 -2677,69 9818,18 6 Al igual que el elemento 5, para este no existe rotación del sistema por lo tanto la matriz de rigidez global es la misma local, siempre y cuando se asocien los grados de libertad globales del pórtico a elemento como se muestra en la siguiente matriz. [ K6 ] = 10 11 12 7 8 9 327272,73 0,00 0,00 -327272,73 0,00 0,00 10 0,00 973,70 2677,69 0,00 -973,70 2677,69 11 0,00 2677,69 9818,18 0,00 -2677,69 4909,09 12 -327272,73 0,00 0,00 327272,73 0,00 0,00 7 0,00 -973,70 -2677,69 0,00 973,70 -2677,69 8 0,00 2677,69 4909,09 0,00 -2677,69 9818,18 9 Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 168 Matriz de rigidez del pórtico (kN/m) [Kp] = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 6000 0 -9000 0 0 0 0 0 0 -6000 0 -9000 0 0 0 0 0 0 1 0 600000 0 0 0 0 0 0 0 0 -600000 0 0 0 0 0 0 0 2 -9000 0 18000 0 0 0 0 0 0 9000 0 9000 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 6000 0 -9000 -6000 0 -9000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 600000 0 0 -600000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 -9000 0 18000 9000 0 9000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6 0 0 0 -6000 0 9000 339273 0 0 -327273 0 0 -6000 0 -9000 0 0 0 7 0 0 0 0 -600000 0 0 1200974 -2678 0 -974 -2678 0 -600000 0 0 0 0 8 0 0 0 -9000 0 9000 0 -2678 45818 0 2678 4909 9000 0 9000 0 0 0 9 -6000 0 9000 0 0 0 -327273 0 0 339273 0 0 0 0 0 -6000 0 -9000 10 0 -600000 0 0 0 0 0 -974 2678 0 1200974 2678 0 0 0 0 -600000 0 11 -9000 0 9000 0 0 0 0 -2678 4909 0 2678 45818 0 0 0 9000 0 9000 12 0 0 0 0 0 0 -6000 0 9000 0 0 0 333273 0 9000 -327273 0 0 13 0 0 0 0 0 0 0 -600000 0 0 0 0 0 600974 -2678 0 -974 -2678 14 0 0 0 0 0 0 -9000 0 9000 0 0 0 9000 -2678 27818 0 2678 4909 15 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -6000 0 9000 -327273 0 0 333273 0 9000 16 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -600000 0 0 -974 2678 0 600974 2678 17 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -9000 0 9000 0 -2678 4909 9000 2678 27818 18 La matriz es simétrica de 18x18 que es el número de grados de libertad establecidos en la discretización de la estructura y está en unidades de kN/m. Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 169 Vector de fuerzas externas gdl Fuerzas 1 Ax 2 Ay 3 MA 4 Bx 5 By 6 MB 7 39,5 8 0 9 0 10 39,5 11 0 12 0 13 73,706 14 0 15 0 16 73,706 17 0 18 0 Estas son las fuerzas externas en kN asociadas a los grados de libertad de la estructura según la discretización (ver figuras 5.2-b y 5.2-c). Vector de desplazamientos La rigidez (K) está dada por πΎ= F U [U]= [K]-1 [F] Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 170 Se sustrae la sub matriz de rigidez asociada a las fuerzas conocidas (K00) para calcular sus desplazamiento aplicando la ecuación [U]= [K 00]-1 [F] 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 339272,7 0,0 0,0 -327272,7 0,0 0,0 -6000,0 0,0 -9000,0 0,0 0,0 0,0 7 0,0 -973,7 -2677,7 0,0 -600000,0 0,0 0,0 0,0 0,0 8 45818,2 0,0 2677,7 4909,1 9000,0 0,0 9000,0 0,0 0,0 0,0 9 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 -6000,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 -600000,0 0,0 9000,0 0,0 0,0 1200973,7 -2677,7 0,0 -2677,7 -327272,7 0,0 0,0 339272,7 0,0 -973,7 2677,7 0,0 0,0 -2677,7 4909,1 0,0 2677,7 45818,2 0,0 0,0 -6000,0 0,0 9000,0 0,0 0,0 0,0 333272,7 0,0 0,0 -600000,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 -9000,0 0,0 9000,0 0,0 0,0 0,0 9000,0 0,0 0,0 0,0 -6000,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 -600000,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 -9000,0 0,0 9000,0 0,0 -2677,7 [K00] = 1200973,7 2677,7 9000,0 -327272,7 9000,0 -327272,7 600973,7 -2677,7 0,0 -9000,0 10 0,0 11 9000,0 12 0,0 13 0,0 -973,7 -2677,7 14 27818,2 0,0 2677,7 4909,1 15 0,0 0,0 333272,7 0,0 9000,0 16 -973,7 2677,7 0,0 600973,7 2677,7 17 4909,1 9000,0 2677,7 27818,2 18 -2677,7 Obteniendo la inversa de la matriz K00 resulta [K00]-1 = 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0,00013 0,00000 -0,00003 0,00013 0,00000 -0,00003 0,00019 0,00000 -0,00001 0,00019 0,00000 -0,00001 7 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 8 -0,00003 0,00000 0,00004 -0,00003 0,00000 0,00001 -0,00007 0,00000 0,00000 -0,00007 0,00000 0,00001 9 0,00013 0,00000 -0,00003 0,00013 0,00000 -0,00003 0,00019 0,00000 -0,00001 0,00019 0,00000 -0,00001 10 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 11 -0,00003 0,00000 0,00001 -0,00003 0,00000 0,00004 -0,00007 0,00000 0,00001 -0,00007 0,00000 0,00000 12 0,00019 0,00000 -0,00007 0,00019 0,00000 -0,00007 0,00048 0,00000 -0,00006 0,00047 0,00000 -0,00006 13 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 14 -0,00001 0,00000 0,00000 -0,00001 0,00000 0,00001 -0,00006 0,00000 0,00005 -0,00006 0,00000 0,00000 15 0,00019 0,00000 -0,00007 0,00019 0,00000 -0,00007 0,00047 0,00000 -0,00006 0,00048 0,00000 -0,00006 16 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 17 -0,00001 0,00000 0,00001 -0,00001 0,00000 0,00000 -0,00006 0,00000 0,00000 -0,00006 0,00000 0,00005 18 Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 171 Los desplazamientos en los grados de libertad serán: [U]= [K00]-1 [F] [U] = Fuerzas 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0,00013 0,00000 -0,00003 0,00013 0,00000 -0,00003 0,00019 0,00000 -0,00001 0,00019 0,00000 -0,00001 7 39,50 7 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 8 0,00 8 -0,00003 0,00000 0,00004 -0,00003 0,00000 0,00001 -0,00007 0,00000 0,00000 -0,00007 0,00000 0,00001 9 0,00 9 0,00013 0,00000 -0,00003 0,00013 0,00000 -0,00003 0,00019 0,00000 -0,00001 0,00019 0,00000 -0,00001 10 39,50 10 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 11 0,00 11 -0,00003 0,00000 0,00001 -0,00003 0,00000 0,00004 -0,00007 0,00000 0,00001 -0,00007 0,00000 0,00000 12 0,00 12 0,00019 0,00000 -0,00007 0,00019 0,00000 -0,00007 0,00048 0,00000 -0,00006 0,00047 0,00000 -0,00006 13 X 73,706 13 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 14 0,00 14 -0,00001 0,00000 0,00000 -0,00001 0,00000 0,00001 -0,00006 0,00000 0,00005 -0,00006 0,00000 0,00000 15 0,00 15 0,00019 0,00000 -0,00007 0,00019 0,00000 -0,00007 0,00047 0,00000 -0,00006 0,00048 0,00000 -0,00006 16 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 17 0,00 17 -0,00001 0,00000 0,00001 -0,00001 0,00000 0,00000 -0,00006 0,00000 0,00000 -0,00006 0,00000 0,00005 18 0,00 18 12 x 12 73,706 16 12 x 1 Los desplazamientos se la estructura para cada grado de libertad serán: U7= 0,03922 m U8= -0,00020 m U9= -0,01357 rad U10= 0,03922 m U11= 0,00020 m U12= -0,01357 rad U13= 0,08536 m U14= -0,00028 m U15= -0,00900 rad U16= 0,08536 m U17= 0,00028 m U18= -0,00900 rad Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 172 Figura 5.3-e. deformada de la viga por la acción de las cargas externas. Reacciones en los empotramientos de la viga Las reacciones en la base será el producto de la sub matriz asociada al vector de fuerzas (Kto), con los desplazamientos calculados resulta [F]= [Kf]*[U] Donde Kto será [ Kto ] = 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0,0 0,0 0,0 -6000,0 0,0 -9000,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 1 0,0 0,0 0,0 0,0 -600000,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 2 0,0 0,0 0,0 9000,0 0,0 9000,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 3 -6000,0 0,0 -9000,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 4 0,0 -600000,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 5 9000,0 0,0 9000,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 6 6 x 12 Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 173 Las reacciones en la base del pórtico serán entonces: [U] [ Kto ] = 0,03922 7 -0,00020 8 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 -0,01357 9 0,0 0,0 0,0 -6000,0 0,0 -9000,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 1 0,03922 10 0,0 0,0 0,0 0,0 -600000,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 2 0,00020 11 0,0 0,0 0,0 9000,0 0,0 9000,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 3 -0,01357 12 -6000,0 0,0 -9000,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 4 0,08536 13 0,0 -600000,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 5 -0,00028 14 9000,0 0,0 9000,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 6 -0,00900 15 0,08536 16 0,00028 17 -0,00900 18 X 6 x 12 12 x 1 Por lo tanto las fuerzas serán Fuerza Fuerza (kN,m) Fuerza (ton,m) Ax -113,21 -11,55 Ay -119,95 -12,24 MA 230,87 23,56 Bx -113,21 -11,55 By 119,95 12,24 MB 230,87 23,56 Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 174 Figura 5.3-f. Reacciones en la base del pórtico El concreto es un material que soporta eficientemente esfuerzos a compresión, pero cuando se exige a tensión su respuesta es deficiente por eso la necesidad del concreto reforzado con barras de acero. El módulo de elasticidad del concreto está dado por la ecuación 5.1 según el reglamento NSR-10 Ec= 4700√π´π en MPa ecu. 5.1 Una alternativa es estimarlo a partir del modelo matemático expuesto en los comentarios oficiales del reglamento, en el cual se establece que el módulo de elasticidad del concreto será el expresado en la ecuación 5.2. Ec= 3900√π´π en MPa ecu. 5.2 Y es el producto de la investigación realizada por la universidad de los Andes y Javeriana con diversos agregados del país, cuya expresión es el valor medio Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 175 para toda la información experimental nacional, sin distinguir el tipo de agregado debido a su origen geológico (sedimentario, ígneo o metamórfico). Figura 5.2-g. Curvas de esfuerzo deformación del concreto sometido a esfuerzos de compresión Ahora bien, este módulo de elasticidad se obtiene a partir de ensayos a compresión en el concreto (ver figura 5.3-g), surge entonces un interrogante ¿el módulo de elasticidad del concreto a compresión es el mismo si se calcula a partir de ensayo a tensión? Se ha demostrado a través de ensayos a tensión de cilindros de concreto, que el módulo de elasticidad del concreto a tensión en tan pequeño que tiende a cero, como se observa en la figura 5.3-h Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 176 Figura 5.3-h. Concreto sometido a esfuerzos de tensión Revisando la matriz de rigidez de los elementos que involucra esta variable, se aprecia que su valor es constante, como se ha desarrollado en los ejercicios del texto. 1 [K] 2 3 0 0 4 - 5 6 0 0 1 0 0 - 2 0 0 - 3 = 0 0 0 - 0 - 0 0 0 0 - 4 5 6 Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 177 No importa si los elementos se deformen por compresión o tensión, el módulo de elasticidad dentro de la matriz de rigidez siempre será constante, por lo tanto cuando las fuerzas internas de elementos en concreto resulten a tensión como el ejercicio anterior, en el cual una de las columnas estará sometida a tensión y la otra a compresión para conservar el equilibrio estático, automáticamente se calculan desplazamientos a partir de un módulo de elasticidad que para ciertos elementos no resulta real. Cuando se analizan estructuras de concreto como la anterior, para controlar derivas y calcular posteriormente las fuerzas internas de diseño teniendo en cuenta la ductilidad de la estructura, se presentan variaciones en las propiedades mecánicas del concreto ante diversos regímenes de esfuerzos. Una forma de disminuir la incertidumbre, es obtener comparaciones estratégicas de las cargas axiales por sismo y cargas muertas de la estructura, es decir, que la fuerza axial que concentra un elemento por las cargas muertas sea mayor o igual a las fuerzas de tensión que se calculan a partir del análisis sísmico de la estructura dividida entre un factor de seguridad que será mayor o igual a 1,0. PD ≥ PS fs Dónde: PD: fuerza axial por cargas muertas PS: fuera axial de tensión por sismo fs: Factor de seguridad (fs≥ 1,0) De esta manera se podría tener una aproximación de los desplazamientos de la estructura o se realizaría el análisis de la estructura con las cargas de sismo y cargas muertas, como se observa en la figura 5.3-i. Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 178 Figura 5.3-i. Cargas muertas y de sismo en el pórtico Aun así es necesario establecer nuevas metodologías de análisis para estructuras en concreto que realmente reflejen estas fluctuaciones de las propiedades mecánicas del concreto bajo diferentes estados de esfuerzos y llegar a una aproximación más real del comportamiento de la estructura por la acción de cargas externas, principalmente de sismo. Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 179 5.4 Análisis de la sección trasversal de un puente apoyado sobre una columna. Se desea conocer las reacciones y deflexiones de los extremos de los voladizos para las cargas externas a las cuales está sometida la estructura. El concreto posee una resistencia a la compresión de 28 MPa y módulo de elasticidad de 20 GPa, el ancho de los todos los elementos es de 0,7 m. no considere el peso propio. Figura 5.4-a Resolución: E= 20 000 000 KPa b= 0,7 m h= variable Inercia (elem. 1, 2 y 5)= πβ (ver figura 5.3-b) Inercia elementos 3 y 4= variable Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 180 Discretización de la estructura Para el presente ejercicio se asumió un número de elementos iguales a 5 unidos por nodos que tendrán tres posibilidades de desplazamiento; horizontal, vertical y de giro como se muestra a continuación. Figura 5.4-b. Discretización de la estructura Las variables necesarias para construir la matriz de rigidez local de los elementos están establecidas como lo es E y A pero la inercia de los elementos 3 y 4 son variables, será necesario su cálculo de manera analítica para sustituir luego en la matriz de rigidez de estos elementos. Realizando el cálculo de manera analítica de los elementos 3 y 4 resulta Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 181 h varia respecto a x; el ancho de la viga es constante e igual a 0,7 m. La función que describe esta variación será de la forma y= ax2+bx+c Evaluando la ecuación para cada punto se obtienen los coeficientes a, b y c. Punto No 1: (x,y) = (0,0) 0=a(0)+b(0)+c Por lo tanto c= 0 Punto No 2: (x,y) = (1.21,0.51) 0,51=a(1,21)2+b(1,21) 1,464a+1,21b= 0,51 Ec. 1 Punto No 3: (x,y) = (2.5,0.75) 0,75=a(2,5)2+b(2,5) 6,25a+2,5b= 0,754 Ec. 2 Resolviendo el sistema de ecuaciones se obtiene: 1,464a+1,21b= 0,51 6,25a+2,5b= 0,754 a= -0,0938 b= 0,535 Por lo tanto la ecuación que describe la variación de la altura del elemento en función de x será: h=1,25 - (-0,0938x2 + 0,535x) h= 1,25 + 0,0938x2 -0,535x La inercia de la sección será ,5 = ∗ 0,7 ∗ ∫0 (π, ππ + π, πππππ±π − π, ππππ±) ππ₯ = ∗ 0,7 ∗ ( , 7) Resolviendo la integral, I= 0,0858 m4 ,5 A= bh= 0,7*∫0 (π, ππ + π, πππππ±π − π, ππππ±)ππ₯= 1,36 m2 A= 1,36 m2 Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 182 Matriz de rigidez local y global de los elementos de la estructura Elemento 1: Angulo de rotación 90° (1,57 rad). L=3,0 m E= 20000000 kpas L= 5,50 m B 0,70 m H 1,00 m A= 0,7000 I= 0,05833 m4 Ρ²= 90,00 ° Sustituyendo los valores de E, A y I se obtiene la Matriz de rigidez en coordenadas locales presentada en capítulo 1 del presente texto: [ k1 ] = 1 2 3 4 5 6 2545454,55 0,00 0,00 -2545454,55 0,00 0,00 1 0,00 84147,26 231404,96 0,00 -84147,26 231404,96 2 0,00 231404,96 848484,85 0,00 -231404,96 424242,42 3 -2545454,55 0,00 0,00 2545454,55 0,00 0,00 4 0,00 -84147,26 -231404,96 0,00 84147,26 0,00 231404,96 424242,42 0,00 -231404,96 -231404,96 5 848484,85 6 Para un Angulo de rotación de 90° y sustituyendo en la matriz de rotación del para un elemento pórtico se obtiene: [ T] = 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 183 Realizando la operación matricialmente K global= [T’]*[K local]*[T] se obtiene la matriz de rigidez global del elemento 1 (girado los 90°), y asociada a los grados de libertad globales de la estructura. [ K1 ] = 1 2 3 10 11 12 84147 0 -231405 -84147 0 -231405 1 0 2545455 0 0 -2545455 0 2 -231405 0 848485 231405 0 424242 3 -84147 0 231405 84147 0 231405 10 0 -2545455 0 0 2545455 0 11 -231405 0 424242 231405 0 848485 12 Elemento 2: Angulo de rotación 0°.L=2,5 m E= 20000000 kpas L= 2,50 m B 0,70 m H 0,50 m A= 0,3500 m2 I= 0,00729 m4 Ρ²= 0,00 ° Matriz de rigidez en coordenadas locales [ k2] = 1 2 3 4 5 6 2800000 0 0 -2800000 0 0 1 0 112000 140000 0 -112000 140000 2 0 140000 233333 0 -140000 116667 3 -2800000 0 0 2800000 0 0 4 0 -112000 -140000 0 112000 -140000 5 0 140000 116667 0 -140000 233333 6 Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 184 Para un Angulo de rotación de 0° y sustituyendo en la matriz de rotación del para un elemento pórtico se obtiene la matriz identidad significa que no hay giro pues el Angulo es 0°. [ T] = 1,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 1,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 1,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 1,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 1,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 1,0 Realizando la operación matricialmente K global= [T’]*[K local]*[T] se obtiene la matriz de rigidez global del elemento que coincide con la local, pero asociado a los grados de libertad globales. [ K2] = 4 5 6 7 8 9 2800000 0 0 -2800000 0 0 4 0 112000 140000 0 -112000 140000 5 0 140000 233333 0 -140000 116667 6 -2800000 0 0 2800000 0 0 7 0 -112000 -140000 0 112000 -140000 8 0 140000 116667 0 -140000 233333 9 Elemento 3: Angulo de rotación 0°.L=2,5 m E= 20000000 kpas L= 2,50 m B 0,70 m H variable A= 1,3600 m2 I= 0,08580 m4 Ρ²= 0,00 ° Ρ²= 0,00 rad Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 185 Matriz de rigidez en coordenadas locales [ k3] = 1 2 3 4 5 6 13600000,0 0,0 0,0 -13600000,0 0,0 0,0 1 0,0 2574000,0 2574000,0 0,0 -2574000,0 2574000,0 2 0,0 2574000,0 3432000,0 0,0 -2574000,0 1716000,0 3 -13600000,0 0,0 0,0 13600000,0 0,0 0,0 4 0,0 -2574000,0 -2574000,0 0,0 2574000,0 -2574000,0 5 0,0 2574000,0 1716000,0 0,0 -2574000,0 3432000,0 6 Para un Angulo de rotación de 0° y sustituyendo en la matriz de rotación del para un elemento pórtico se obtiene la matriz identidad significa que no hay giro pues el Angulo es 0°. [ T] = 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 Realizando la operación matricialmente K global= [T’]*[K local]*[T] se obtiene la matriz de rigidez global del elemento que coincide con la local, pero asociado a los grados de libertad globales. [ K3] = 7 8 9 10 11 12 13600000,0 0,0 0,0 -13600000,0 0,0 0,0 7 0,0 2574000,0 2574000,0 0,0 -2574000,0 2574000,0 8 0,0 2574000,0 3432000,0 0,0 -2574000,0 1716000,0 9 -13600000,0 0,0 0,0 13600000,0 0,0 0,0 0,0 -2574000,0 -2574000,0 0,0 2574000,0 -2574000,0 11 0,0 2574000,0 1716000,0 0,0 -2574000,0 3432000,0 Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 10 12 186 Elemento 4: Angulo de rotación 0°.L=2,5 m E= 20000000 kpas L= 2,50 m B 0,70 m H variable A= 1,3600 m2 I= 0,08580 m4 Ρ²= 0,00 ° Ρ²= 0,00 rad Matriz de rigidez en coordenadas locales [ k4] = 1 2 3 4 5 6 13600000,0 0,0 0,0 -13600000,0 0,0 0,0 1 0,0 2574000,0 2574000,0 0,0 -2574000,0 2574000,0 2 0,0 2574000,0 3432000,0 0,0 -2574000,0 1716000,0 3 -13600000,0 0,0 0,0 13600000,0 0,0 0,0 4 0,0 -2574000,0 -2574000,0 0,0 2574000,0 -2574000,0 5 0,0 2574000,0 1716000,0 0,0 -2574000,0 3432000,0 6 Para un Angulo de rotación de 0° y sustituyendo en la matriz de rotación del para un elemento pórtico se obtiene la matriz identidad significa que no hay giro pues el Angulo es 0°. [ T] = 1,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 1,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 1,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 1,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 1,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 1,0 Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 187 Realizando la operación matricialmente K global= [T’]*[K local]*[T] se obtiene la matriz de rigidez global del elemento que coincide con la local, pero asociado a los grados de libertad globales. [ K4] = 10 11 12 13 14 15 13600000,0 0,0 0,0 -13600000,0 0,0 0,0 10 0,0 2574000,0 2574000,0 0,0 -2574000,0 2574000,0 11 0,0 2574000,0 3432000,0 0,0 -2574000,0 1716000,0 12 -13600000,0 0,0 0,0 13600000,0 0,0 0,0 13 0,0 -2574000,0 -2574000,0 0,0 2574000,0 -2574000,0 14 0,0 2574000,0 1716000,0 0,0 -2574000,0 3432000,0 15 Elemento 5: Angulo de rotación 0°.L=2,5 m E= 20000000 kpas L= 2,50 m B 0,70 m H 0,50 m A= 0,3500 m2 I= 0,00729 m4 Ρ²= 0,00 ° Matriz de rigidez en coordenadas locales [ k5] = 1 2 3 4 5 6 2800000,0 0,0 0,0 -2800000,0 0,0 0,0 1 0,0 112000,0 140000,0 0,0 -112000,0 140000,0 2 0,0 140000,0 233333,3 0,0 -140000,0 116666,7 3 -2800000,0 0,0 0,0 2800000,0 0,0 0,0 4 0,0 -112000,0 -140000,0 0,0 112000,0 -140000,0 5 0,0 140000,0 116666,7 0,0 -140000,0 233333,3 6 Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 188 Para un Angulo de rotación de 0° y sustituyendo en la matriz de rotación del para un elemento pórtico se obtiene la matriz identidad significa que no hay giro pues el Angulo es 0°. [ T] = 1,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 1,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 1,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 1,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 1,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 1,0 Realizando la operación matricialmente K global= [T’]*[K local]*[T] se obtiene la matriz de rigidez global del elemento que coincide con la local, pero asociado a los grados de libertad globales. [ K5] = 13 14 15 16 17 18 2800000,0 0,0 0,0 -2800000,0 0,0 0,0 13 0,0 112000,0 140000,0 0,0 -112000,0 140000,0 14 0,0 140000,0 233333,3 0,0 -140000,0 116666,7 15 -2800000,0 0,0 0,0 2800000,0 0,0 0,0 16 0,0 -112000,0 -140000,0 0,0 112000,0 -140000,0 17 0,0 140000,0 116666,7 0,0 -140000,0 233333,3 18 Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 189 Matriz de rigidez del pórtico [ Ke] = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 84147 0 -231405 0 0 0 0 0 0 -84147 0 -231405 0 0 0 0 0 0 1 0 2545455 0 0 0 0 0 0 0 0 -2545455 0 0 0 0 0 0 0 2 -231405 0 848485 0 0 0 0 0 0 231405 0 424242 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 2800000 0 0 -2800000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 112000 140000 0 -112000 140000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 140000 233333 0 -140000 116667 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6 0 0 0 -2800000 0 0 13680000 0 0 -10880000 0 0 0 0 0 0 0 0 7 0 0 0 0 -112000 -140000 0 1429888 1507360 0 -1317888 1647360 0 0 0 0 0 0 8 0 0 0 0 140000 116667 0 1507360 2978933 0 -1647360 1372800 0 0 0 0 0 0 9 -84147 0 231405 0 0 0 -10880000 0 0 21844147 0 231405 -10880000 0 0 0 0 0 10 0 -2545455 0 0 0 0 0 -1317888 -1647360 0 5181231 0 0 -1317888 1647360 0 0 0 11 -231405 0 424242 0 0 0 0 1647360 1372800 231405 0 6339685 0 -1647360 1372800 0 0 0 12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -10880000 0 0 13680000 0 0 -2800000 0 0 13 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1317888 -1647360 0 1429888 -1507360 0 -112000 140000 14 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1647360 1372800 0 -1507360 2978933 0 -140000 116667 15 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -2800000 0 0 2800000 0 0 16 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -112000 -140000 0 112000 -140000 17 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 140000 116667 0 -140000 233333 18 La matriz es simétrica de 18x18 que es el número de grados de libertad establecidos en la discretización de la viga y está en unidades de kN/m. Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 190 Vector de fuerzas externas gdl fuerzas 1 F1 2 F2 3 F3 4 0 5 -4,9 6 0 7 0 8 -147 9 0 10 0 11 0 12 0 13 0 14 -98 15 0 16 0 17 -4,9 18 0 Estas son las fuerzas externas en kN asociadas a los grados de libertad de la viga según la discretización. Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 191 Vector de desplazamientos La rigidez (K) está dada por πΎ= F U [U]= [K]-1 [F] Se sustrae la sub matriz de rigidez asociada a las fuerzas conocidas para calcular sus desplazamiento aplicando la ecuación [U]= [K]-1 [F] [K00] = 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 2800000,0 0,0 0,0 -2800000,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 4 0,0 112000,0 140000,0 0,0 -112000,0 140000,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 5 0,0 140000,0 233333,3 0,0 -140000,0 116666,7 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 6 -2800000,0 0,0 0,0 13680000,0 0,0 0,0 -10880000,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 7 0,0 -112000,0 -140000,0 0,0 1429888,0 1507360,0 0,0 -1317888,0 1647360,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 8 0,0 140000,0 116666,7 0,0 1507360,0 2978933,3 0,0 -1647360,0 1372800,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 9 0,0 0,0 0,0 -10880000,0 0,0 0,0 21844147,3 0,0 231405,0 -10880000,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 10 0,0 0,0 0,0 0,0 -1317888,0 -1647360,0 0,0 5181230,5 0,0 0,0 -1317888,0 1647360,0 0,0 0,0 0,0 11 0,0 0,0 0,0 0,0 1647360,0 1372800,0 231405,0 0,0 6339684,8 0,0 -1647360,0 1372800,0 0,0 0,0 0,0 12 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 -10880000,0 0,0 0,0 13680000,0 0,0 0,0 -2800000,0 0,0 0,0 13 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 -1317888,0 -1647360,0 0,0 1429888,0 -1507360,0 0,0 -112000,0 140000,0 14 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 1647360,0 1372800,0 0,0 -1507360,0 2978933,3 0,0 -140000,0 116666,7 15 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 -2800000,0 0,0 0,0 2800000,0 0,0 0,0 16 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 -112000,0 -140000,0 0,0 112000,0 -140000,0 17 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 140000,0 116666,7 0,0 -140000,0 233333,3 18 Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 192 Obteniendo la inversa de la matriz K00, resulta [K00]-1= 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0,000048 0,000065 -0,000013 0,000048 0,000032 -0,000013 0,000048 0,000000 -0,000013 0,000048 -0,000032 -0,000013 0,000048 -0,000065 -0,000013 4 0,000065 0,000175 -0,000050 0,000065 0,000067 -0,000029 0,000065 0,000000 -0,000024 0,000065 -0,000059 -0,000024 0,000065 -0,000117 -0,000024 5 -0,000013 -0,000050 0,000023 -0,000013 -0,000014 0,000006 -0,000013 0,000000 0,000005 -0,000013 0,000012 0,000005 -0,000013 0,000024 0,000005 6 0,000048 0,000065 -0,000013 0,000048 0,000032 -0,000013 0,000048 0,000000 -0,000013 0,000048 -0,000032 -0,000013 0,000048 -0,000065 -0,000013 7 0,000032 0,000067 -0,000014 0,000032 0,000033 -0,000014 0,000032 0,000000 -0,000012 0,000032 -0,000029 -0,000012 0,000032 -0,000059 -0,000012 8 -0,000013 -0,000029 0,000006 -0,000013 -0,000014 0,000006 -0,000013 0,000000 0,000005 -0,000013 0,000012 0,000005 -0,000013 0,000024 0,000005 9 0,000048 0,000065 -0,000013 0,000048 0,000032 -0,000013 0,000048 0,000000 -0,000013 0,000048 -0,000032 -0,000013 0,000048 -0,000065 -0,000013 10 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 11 -0,000013 -0,000024 0,000005 -0,000013 -0,000012 0,000005 -0,000013 0,000000 0,000005 -0,000013 0,000012 0,000005 -0,000013 0,000024 0,000005 12 0,000048 0,000065 -0,000013 0,000048 0,000032 -0,000013 0,000048 0,000000 -0,000013 0,000048 -0,000032 -0,000013 0,000048 -0,000065 -0,000013 13 -0,000032 -0,000059 0,000012 -0,000032 -0,000029 0,000012 -0,000032 0,000000 0,000012 -0,000032 0,000033 0,000014 -0,000032 0,000067 0,000014 14 -0,000013 -0,000024 0,000005 -0,000013 -0,000012 0,000005 -0,000013 0,000000 0,000005 -0,000013 0,000014 0,000006 -0,000013 0,000029 0,000006 15 0,000048 0,000065 -0,000013 0,000048 0,000032 -0,000013 0,000048 0,000000 -0,000013 0,000048 -0,000032 -0,000013 0,000048 -0,000065 -0,000013 16 -0,000065 -0,000117 0,000024 -0,000065 -0,000059 0,000024 -0,000065 0,000000 0,000024 -0,000065 0,000067 0,000029 -0,000065 0,000175 0,000050 17 -0,000013 -0,000024 0,000005 -0,000013 -0,000012 0,000005 -0,000013 0,000000 0,000005 -0,000013 0,000014 0,000006 -0,000013 0,000050 0,000023 18 Los desplazamientos en los grados de libertad serán: [U]= [Kc]-1 [P] Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 193 [U] = 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0,000048 0,000065 -0,000013 0,000048 0,000032 -0,000013 0,000048 0,000000 -0,000013 0,000048 -0,000032 -0,000013 0,000048 -0,000065 -0,000013 4 0,0 4 0,000065 0,000175 -0,000050 0,000065 0,000067 -0,000029 0,000065 0,000000 -0,000024 0,000065 -0,000059 -0,000024 0,000065 -0,000117 -0,000024 5 -4,9 5 -0,000013 -0,000050 0,000023 -0,000013 -0,000014 0,000006 -0,000013 0,000000 0,000005 -0,000013 0,000012 0,000005 -0,000013 0,000024 0,000005 6 0,0 6 0,000048 0,000065 -0,000013 0,000048 0,000032 -0,000013 0,000048 0,000000 -0,000013 0,000048 -0,000032 -0,000013 0,000048 -0,000065 -0,000013 7 0,0 7 0,000032 0,000067 -0,000014 0,000032 0,000033 -0,000014 0,000032 0,000000 -0,000012 0,000032 -0,000029 -0,000012 0,000032 -0,000059 -0,000012 8 -147,0 8 -0,000013 -0,000029 0,000006 -0,000013 -0,000014 0,000006 -0,000013 0,000000 0,000005 -0,000013 0,000012 0,000005 -0,000013 0,000024 0,000005 9 0,0 9 0,000048 0,000065 -0,000013 0,000048 0,000032 -0,000013 0,000048 0,000000 -0,000013 0,000048 -0,000032 -0,000013 0,000048 -0,000065 -0,000013 10 0,0 10 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 11 0,0 11 -0,000013 -0,000024 0,000005 -0,000013 -0,000012 0,000005 -0,000013 0,000000 0,000005 -0,000013 0,000012 0,000005 -0,000013 0,000024 0,000005 12 0,0 12 0,000048 0,000065 -0,000013 0,000048 0,000032 -0,000013 0,000048 0,000000 -0,000013 0,000048 -0,000032 -0,000013 0,000048 -0,000065 -0,000013 13 0,0 13 -0,000032 -0,000059 0,000012 -0,000032 -0,000029 0,000012 -0,000032 0,000000 0,000012 -0,000032 0,000033 0,000014 -0,000032 0,000067 0,000014 14 -98,0 14 -0,000013 -0,000024 0,000005 -0,000013 -0,000012 0,000005 -0,000013 0,000000 0,000005 -0,000013 0,000014 0,000006 -0,000013 0,000029 0,000006 15 0,0 15 0,000048 0,000065 -0,000013 0,000048 0,000032 -0,000013 0,000048 0,000000 -0,000013 0,000048 -0,000032 -0,000013 0,000048 -0,000065 -0,000013 16 0,0 16 -0,000065 -0,000117 0,000024 -0,000065 -0,000059 0,000024 -0,000065 0,000000 0,000024 -0,000065 0,000067 0,000029 -0,000065 0,000175 0,000050 17 -4,9 17 -0,000013 -0,000024 0,000005 -0,000013 -0,000012 0,000005 -0,000013 0,000000 0,000005 -0,000013 0,000014 0,000006 -0,000013 0,000050 0,000023 18 0,0 18 Los desplazamientos se la estructura para cada grado de libertad serán: U4= -0,0015881 m U5= -0,0043821 m U6= 0,0009770 rad U7= -0,0015881 m U8= -0,0020272 m U9= 0,0008720 rad U10= -0,0015881 m U11= -0,0001001 m U12= 0,0005775 rad U13= -0,0015881 m U14= 0,0010090 m U15= 0,0003723 rad U16= -0,0015881 m U17= 0,0017647 m U18= 0,0002673 rad Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos Fuerzas X 194 Figura 5.4-c. Deformada de la estructura por la acción de las cargas externas Reacciones en los empotramientos de la viga Las reacciones en la base será el producto de la sub matriz asociada al vector de fuerzas (Kt0), con los desplazamientos calculados [F]= [Kto]*[U] Donde Kto será igual a: [Kto] = 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 0 0 0 0 0 -84147,3 0 -231405,0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 -2545454,5 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 231405,0 0 424242,4 0 0 0 0 0 0 3 Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 195 Las reacciones en la base del pórtico serán entonces [U] -0,00158812 4 -0,00438213 5 0,00097697 6 -0,00158812 7 -0,0020272 8 [F] = 0,00087197 9 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 0 0 0 0 0 -84147,3 0 -231405,0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 -2545454,5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 231405,0 0 424242,4 0 0 0 0 0 0 3 2 -0,00158812 10 X -0,0001001 11 0,0005775 12 -0,00158812 13 0,00100902 14 0,00037226 15 -0,00158812 16 0,00176468 17 0,00026726 18 De la operación matricial anterior resulta Fuerza Asociada Fuerza kN,m Fuerza ton,m F1 0,0 0,0 F2 254,80 26,0 F3 -122,50 -12,50 Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 196 Figura 5.4-d. Reacciones en la base del pórtico Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 197 Apéndice A Momentos de empotramiento en vigas Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 198 BIBLIOGRAFIA ROJAS, Rafael M. y PADILLA, Helia M. Análisis Estructural con matrices. 1 ed. México D.F.: Trillas, 2009. p 133 – 271. BLANCO, José L; GONZALES Antonio y GARCIA-MANRIQUE José M. Análisis estático de estructuras por el método matricial. Universidad de Málaga. McCORMAC, Jack. Análisis de Estructuras: métodos clásico y matricial. Alfaomega, 4 ed. 2010. p 241 – 525. GUZMÁN, Andrés. Notas de clase Análisis de estructuras. Norte. 2014. Universidad del HIBBELER, Russell. Análisis Estructural. 3 ed. México D.F.: Prentice-hall, 2005. p 653 – 711. ASOCIACION COLOMBIANA DE INGENIERIA SISMICA,AIS. Normas colombianas de diseño y construcción sismo resistente NSR-10. AIS, Bogotá, 2010. COMPUTER AND STRUCTURES, INC. SAP2000, Structural analysis program. Berkeley, California, 2015. MOAVENID, Saeed. FINITE ELEMENT ANALYSIS: Theory and application with ANSYS. Minnesota State University. 1999. p 9 – 27. MALDONADO, Esperanza y CHIO CHO, Gustavo. Análisis sísmico edificaciones. Universidad industrial de Santander. 2004. p 231 – 245. de MERLANO, Antonio. Notas de clase diseño avanzado de estructuras. Universidad del Norte. 2015. Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 199 Análisis matricial de estructuras por el método de la rigidez Apuntes Resolución de problemas e Introducción a los Elementos finitos Esta primera edición, mantiene el propósito del módulo de análisis estructural de la especialización en análisis y diseño de estructuras de la universidad del Norte y del autor, de presentar un texto que facilite el trabajo de estudiantes y profesores en la compresión y realización de análisis de estructuras como pórticos, cerchas y vigas mediante matrices y basado en el método de la rigidez y saber cómo operan los programas computacionales más usados hoy en día en el diseño estructural que se basan en esta teoría. De esta manera el ingeniero estructural puede comprobar su funcionamiento y no limitarse a confiar en los resultados que estos arrojan para sus proyectos de diseño. Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos