หัวข้อการบรรยาย
เส้นเวลาของกระแสเงินสด (Cash Flow Time Line)
อัตราดอกเบีย้ หรืออัตราผลตอบแทน:วิธคี ดิ
กง.201 การเงินธุรกิจ (ภาค 2/2560)
- ดอกเบีย้ อย่างง่าย (Simple Interest)
- ดอกเบีย้ ทบต้น (Compound Interest)
การคํานวณค่าของเงิน
การวิเคราะห์กระแสเงินสดทอนค่า
- มูลค่าในอนาคต (Future Value)
- มูลค่าในปั จจุบนั (Present Value)
(Discounted Cash Flow Analysis)
เมือ่ กระแสเงินสด (Cash Flows) มีหลายลักษณะได้แก่
- เงินสดจํานวนเดียว (Single Sum)
- เงินสดเกิดขึน้ เป็ นงวด (Annuity) : ปลายงวดและต้นงวด
- เงินสดเกิดขึน้ เป็ นงวดไม่มเี วลาสิน้ สุด (Perpetuity)
(ใช้ทกุ กลุม่ )
1
หัวข้อการบรรยาย
2
เส้นเวลาของกระแสเงินสด (Cash Flow Time Line)
กระแสเงินสดเกิดขึน้ ไม่สมํ่าเสมอ (Uneven Cash Flows)
การทบต้นดอกเบีย้ มากกว่า 1 ครัง้ ในหนึ่ง
ประเภทของอัตราดอกเบีย้ ผลจากการทบต้นมากกว่า 1 ครัง้ ใน 1 ปี
เป็ นเครือ่ งมือสําคัญ สําหรับการวิเคราะห์คา่ ของเงินตามเวลา
แสดงจังหวะเวลาของกระแสเงินสดแต่ละจํานวนในอนาคต ว่าจะ
เกิดขึน้ เมือ่ ใด และจํานวนเท่าใด ทําให้งา่ ยและสะดวกต่อการหา
มูลค่าของเงินตามเวลาทีต่ อ้ งการ
- Nominal หรือ Quoted Rate
- Periodic Rate
- Effective Annual Rate
ตัว อย่าง 10: เส้น เวลาของกระแสเงิ
น3สด
1
2
ตัวอย่าง: การประยุกต์มลู ค่าของเงินตามเวลา
- Amortized Loan
…………………………….
n
ตัวเลขบนเส้นเวลา ระบุเวลาสิน้ งวด ซึง่ อาจเป็ นงวดปี งวดไตรมาส หรืองวดเดือนก็ได้
0 หมายถึงวันนี้
1 หมายถึงหนึ่งงวดจากวันนี้หรือสิน้ งวดทีห่ นึ่ง ในขณะเดียวกันก็หมายถึงต้นงวดที่ 2 เป็ นต้น
การคํานวณมูลค่าของเงินตามเวลาโดยการใช้คอมพิวเตอร์ Excel
3
4
เส้นเวลาของกระแสเงินสด (Cash Flow Time Line)
1. ดอกเบีย้ อย่า งง่า ย (Simple Interest)
ตัวอย่าง 2 : เส้นเวลาของกระแสเงินสด
เวลา:
กระแสเงินสด:
0
8%
1
วิธีคิดอัตราดอกเบี้ยหรืออัตราผลตอบแทน
2
-100
3
4
200
150
เป็ นการคิดดอกเบีย้ ให้กบั เงินต้นเริม่ แรกเท่านัน้ เมือ่ ครบกําหนดได้รบั
ดอกเบีย้ ผูล้ งทุนจะรับดอกเบีย้ ออกไป ทําให้มเี งินต้นเหลือคงเดิมตลอด
ดอกเบีย้ ในงวดต่อไปก็จะเท่าเดิมเนื่องจากคิดให้กบั เงินต้นจํานวนเดิม
2. ดอกเบีย้ ทบต้น (Compound Interest)
ดอกเบีย้ ทีเ่ กิดขึน้ ในแต่ละงวด จะทบไปกับเงินต้นในต้นงวดนัน้ ๆ เหมือน
การลงทุนต่อ ทําให้งวดต่อๆไป ดอกเบีย้ จะเพิม่ สูงขึน้ เนื่องจากได้รบั
ดอกเบี้ยบนดอกเบี้ย (Interest on Interest) ด้วย การคํานวณมูลค่า
ของเงินตามเวลา ใช้วธิ กี ารคิดดอกเบีย้ วิธนี ้ี ถือว่าผลตอบแทนทีเ่ กิดขึน้ มี
การนําไปลงทุนต่อจนสิน้ สุดระยะเวลาการลงทุน
o ตัวเลขข้างล่างเส้นเวลา บอกกระแสเงินสดทีเ่ กิดขึน้ ณ เวลานัน้
เครือ่ งหมาย – แสดงเงินสดทีจ่ า่ ยออก (cash outflow)
เครือ่ งหมาย + แสดงเงินสดทีร่ บั เข้า (cash inflow) อาจไม่มกี ารใส่เครือ่ งหมาย
การคํานวณค่าของเงินตามเวลา ไม่มกี ารนําเอาเครือ่ งหมายมาใช้
o ตัว เลข 8% บอกอัต ราดอกเบีย้ ต่อ ปี ที่ใ ช้ใ นการคํา นวณค่าของเงิ น ในแต่ล ะ
งวด (อัต ราคิ ด ลด หรือ Discount Rate)
5
ตัวอย่าง 3 : ลงทุนฝากเงิ น 100 บาท อัตราดอกเบี้ย 6% ต่อปี
เป็ นเวลา 3 ปี สิ้ นปี ที ่ 3 จะมีเงิ นรวมเท่าใด
วิ ธ ีก ารคิ ด ดอกเบีย้
เงิ น รวมทัง้ หมดสิ้ น ปี ที่ 3
ส่ว นที่เป็ น
ดอกเบีย้ รวม
Simple interest
(ดอกเบีย้ แต่ละปี เท่ากัน)
= 100 + (100 * .06) * 3
= 118
= 18
Compound interest
= 100 (1+.06)3
= 100 (1.1910)
= 119.10
= 1.10
= 19.10
ผลต่า งที่เกิ ด ขึน้ จาก
วิ ธ ีก ารคิ ด ดอกเบีย้
6
มูลค่าของเงินในอนาคต (Future Value)
เงิน 1 บาท ในวันนี้ มีคา่ มากกว่า 1 บาททีจ่ ะได้รบั ในอนาคต
เพราะเงินทีม่ วี นั นี้ สามารถนําไปลงทุน ได้รบั ดอกเบีย้ และจะมี
ค่ารวมมากกว่าเงินจํานวนเดียวกันทีจ่ ะได้รบั ในอนาคต
กระบวนการทีค่ าํ นวณค่าเงินวันนี้ (PV = Present Value) ให้
เป็ น เงินในอนาคต (FV = Future Value) เรียกว่า การทบต้น
ค่าของเงิน (Compounding)
จากตัวอย่างที่ 3 ทีไ่ ด้ทาํ ไป มีขนั ้ ตอน วิธกี ารทําดังนี้
= 1.10
7
8
เริม่ ด้วยการกําหนดค่าต่างๆทีเ่ กีย่ วข้อง
คํานวณมูลค่าของเงินในอนาคต (Future Value)
จากตัวอย่างสมมติขา้ งต้น :
PV = เป็ นมูลค่าเริม่ ต้นเงินจํานวนหนึ่ง หรือมูลค่าปั จจุบนั (Present Value)
FV1
=
PV + INT
=
PV + PV (k)
=
PV (1 + k)
=
100 (1 + .06) = 106 บาท
ถ้าฝากเงินต่อไปอีกจนถึงปี ท่ี 3 มูลค่ารวมจะเพิม่ ขึน้ เป็ นเท่าใด ให้
พิจารณาจากเส้นเวลาต่อไปนี้ :
โดยสมมติเริม่ ต้นที่ PV = 100 บาท
FVn = มูลค่ารวมในอนาคต (Future Value) ณ เวลา n งวด
k = อัตราผลตอบแทนหรืออัตราดอกเบีย้ ต่อปี ทไ่ี ด้รบั จากการลงทุนต่อวด
สมมติให้มกี ารจ่ายดอกเบีย้ ทุกๆ สิน้ งวดปี โดย k = 6% ต่อปี หรือ = 0.06
0
INT = ดอกเบีย้ รับจากการลงทุนงวดปี แรก = 100 (.06) = 6 บาท
ลงทุนเริม่ แรก
n = จํานวนงวดเวลาทีไ่ ด้รบั ดอกเบีย้ สมมติให้ n = 1
ดอกเบีย้ รับแต่ละปี
m = 1 เมือ่ m เป็ นจํานวนครัง้ ทีม่ กี ารคิดดอกเบีย้ ในหนึ่งปี
มูลค่ารวม ณ สิน้ งวด n
= FVn
ในภายหลังจะมีกรณี m > 1
(100)
6%
1
Int 100
2
int 106
3
int 112.36
6
6.36
6.74
106
112.36
119.10
10
9
คํานวณมูลค่าของเงินในอนาคต (Future Value)
วิธีการต่างๆในการคํานวณมูลค่าของเงินตามเวลา
มูลค่ารวมในสิน้ ปี ท่ี 2 และปี ท่ี 3 แสดงได้โดยสมการ :
FV2
FV3
=
=
=
=
FV1 (1+k)
PV (1+k) (1+k)
PV (1+k)2
100 (1.06)2 = 112.36
=
=
=
=
FV2 (1+k)
PV (1+k)2 (1+k)
PV (1+k)3
100 (1.06)3 = 119.10
1. โดยการใช้เครือ่ งคิดเลขธรรมดา
2. โดยการใช้ต ารางอัต ราดอกเบีย้
3. โดยการใช้เครือ่ งคิดเลขทีม่ ฟี ั งก์ชนทางการเงิ
ั่
น
4. โดยการใช้คอมพิวเตอร์ Excel หรือฟั งก์ชนทางการเงิ
ั่
น
จะได้วา่ เงินจํานวนหนึ่งในวันนี้ (PV) เมือ่ นําไปลงทุน ได้ผลตอบแทนใน
อัตรา k% ต่อปี เป็ นเวลา n งวดปี จะมีเงินรวมในอนาคตเท่ากับ:
FVn = PV (1 + k)n
Compounding factor ค่า
ในตาราง A-3
11
12
ความสัมพันธ์ระหว่างมูลค่าในอนาคต (FVn)
อัตราดอกเบี้ย (k) และระยะเวลา (n)
การใช้ตารางดอกเบี้ย A-3 (Interest Table)
ตาราง A-1 Future Value of $1 at the End of n
Periods: FVIF k,n = (1+k)n
k ยิง่ มีคา่ สูง อัตราการเติบโตก็ยงิ่
สูง อัตราดอกเบีย้ เปรียบเป็ น
อัตราการเติบโตนันเอง
่
เป็ นมูลค่าในอนาคต ของเงิน 1 บาท เมือ่ ทบต้นด้วยอัตราดอกเบีย้
เท่ากับ k% ต่อปี สิน้ สุดระยะเวลา n งวด
k, n มีค วามสัม พัน ธ์โดยตรงกับ ค่า FVn
อัต ราดอกเบีย้ (k) ยิ่ งสูง และระยะเวลา (n) ยิ่ งยาวนาน มูล ค่าใน
อนาคต (FVn) ยิ่ งมีค ่า มากขึน้
มูลค่าในอนาคตของเงิน 1 บาท
(FVn)
k=18%
4.00
k=11%
3.00
แนวคิดค่าของเงินตามเวลาจึง
สามารถประยุกต์ได้กบั ค่าของ
อะไรก็ตาม ทีม่ กี ารเติบโตหรือ
เพิม่ ค่า เช่น ยอดขาย จํานวน
ประชากร เป็ นต้น
2.00
k=5%
1.00
k=0%
2
4
6
8
งวดเวลา
(n)
13
มูลค่าปัจจุบนั (Present Value)
คํานวณมูลค่าปัจจุบนั (Present Value)
จากตัวอย่างที่ 3 ถ้าได้วา่ มูลค่ารวมในอนาคต ณ สิน้ ปี ท่ี 3
ของเงินจํานวนหนึ่งวันนี้ เมือ่ นําไปลงทุนได้ผลตอบแทนปี
ละ 6% ต่อปี เท่ากับ 119.10 บาท อยากทราบว่ามูลค่าเงิน
ลงทุนวั0นนี้เท่ากับเท่
าใด 2
1
3
หมายถึงมูลค่าในวันนี้ ของกระแสเงินสดทีจ่ ะเกิดขึน้ ในอนาคต เช่น 1
บาทในอนาคต จะมีมลู ค่าในวันนี้ลดน้อยลง ซึง่ จะมากน้อยเพียงใด
ขึน้ อยูก่ บั อัตราต้นทุนเสียโอกาส (Opportunity cost rate) หรือ อัตรา
ผลตอบแทนทีค่ วรได้รบั จากการลงทุนทีม่ คี วามเสีย่ งใกล้เคียงกัน
การคํานวณมูลค่าปั จจุบนั ทําได้โดยการคิดลดทอน (Discounting)
ดอกเบีย้ ออกจากเงินในอนาคตนัน้ เป็ นการทําตรงกันข้ามกับการคิดทบ
ต้น (Compounding) นันเอง
่
จากสมการ
FVn = PV (1+k)n
Compounding factor
จะได้
PV = FVn *
Discounting factor
1
(1+k)n
14
PV=?
119.10
PV = FV3 * 1
(1+.06)3
= 119.10 (0.8396) = 100
ค่า Discounting factor หรือ PVIFk,n ที่
ปรากฎในตารางดอกเบีย้ A-1 ต่อไป
15
16
ความสัมพันธ์ระหว่างมูลค่าปัจจุบนั (PV)
อัตราดอกเบี้ย (k) และระยะเวลา (n)
การใช้ตารางดอกเบี้ย A-1 (Interest Table)
ตาราง A-1 Present Value of $1 Due at the End of n
periods: PVIF k,n = 1
มูลค่าปั จจุบนั ของเงิน 1 บาท
(PV)
(1+k)n
1.00
เป็ นมูลค่าปั จจุบนั ของเงิน 1 บาท ทีเ่ กิดขึน้ ณ ปลายงวดที่ n เมือ่
ทอนค่าด้วย อัตราดอกเบีย้ เท่ากับ k% ต่อปี
k, n มีค วามสัม พัน ธ์ต รงกัน ข้ามกับ ค่า PV
อัต ราดอกเบีย้ (k) ยิ่ งสูง และระยะเวลา (n) ยิ่ งยาวนาน มูล ค่า
ปัจ จุบ นั (PV) ยิ่ งมีค ่าลดลง
k = 0%
k = 8%
k = 11%
2
4
6
8
งวดเวลา (n)
กราฟแสดงให้เห็นว่า เงิน
1 บาททีจ่ ะได้รบั ใน
อนาคต มีคา่ ยิง่ ลดน้อยลง
เมือ่ ระยะเวลา (n) ยิง่
ยาวนานขึน้ และ อัตรา
ดอกเบีย้ ยิง่ มีคา่ สูงขึน้
17
การคํานวณค่า k หรือ n
จากสมการ
18
คํานวณหาค่า k
ตัวอย่าง 4: ลงทุนวันนี้ 100,000 บาท เมือ่ ครบ 5 ปี จะได้เงิ นรวม 153,862 บาท
โดยคิ ดผลตอบแทนทบต้นปี ละครัง้ ถามว่าอัตราผลตอบแทนจากการลงทุน
ต่อปี = ? %
FVn = PV (1+k)n
ข้อมูลจากตัวอย่างข้างต้นมีดงั นี้
0 ?%
PV = FVn * 1
(100,000)
(1+k)n
5
153,862
เครือ่ งหมายบวก หรือ ลบ ระบุวา่ เป็ นเงินสดรับ หรือ จ่าย ไม่นํามาใช้ในการคํานวณ
วิธที บต้น (Compounding)
วิธที ่ี 1: 100,000 (FVIFk,5) = 153,862
ใช้ตาราง A-3 หาค่า k จะได้ k = 9%
วิธที ่ี 2: 153,862 (PVIFk,5) = 100,000
วิธที อนค่า (Discounting)
ใช้ตาราง A-1 หาค่า k จะได้ k = 9%
มีตวั แปร 4 ตัวทีใ่ ช้ในการคํานวณค่าของเงินตามเวลา
(Time Value of Money) เมือ่ รูต้ วั แปร 3 ตัวใด ก็จะ
สามารถหาค่าตัวที่ 4 ได้
ดังนัน้ เราจึงสามารถคํานวณค่า k หรือค่า n ได้เช่นกัน
19
20
ตอบโจทย์อตั ราการเติ บโต อัตราเติ บโตเฉลีย่ สะสมต่อปี
(Compounded Annual Growth Rate: CAGR)
Rule of 72
ตัวอย่าง 5: การลงทุนทีไ่ ด้รบั ผลตอบแทนในอัตรา 3% ต่อปี กว่าเงิ นต้นจะเพิ ม่
เป็ น 2 เท่าได้ ต้องใช้เวลานานถึง 24 ปี และถ้าเป็ น 4% ก็ใช้เวลานานถึง 18 ปี
แต่ถ้าอัตราผลตอบแทนเป็ น 9% ต่อปี จะใช้เวลาเพียง 8 ปี
บริ ษทั ก รายงานกําไรสุทธิ ในปี 2000 ที ่ 100,000 บาท หากกําไร
สุทธิ ของบริ ษทั เพิ ม่ ขึ้นปี ละ 9% เมือ่ ครบ 5 ปี บริ ษทั จะรายงาน
กําไรสุทธิ เท่าไร
ข้อมูลจากตัวอย่างข้างต้น มีดงั นี้
………………………….. n=?
.
2
X
ค่าของ n หาได้โดยวิธกี าร Compounding หรือ Discounting ตามตัวอย่าง 4 X
0 3% 1
2
และอาศัยตาราง A-3 หรือ A-1 ช่วยก็จะได้คา่ n = 24 ปี หรือ 18 ปี หรือ 8 ปี ตามที่
กล่าว
ให้สงั เกตุความพิเศษของตัวอย่างนี้ ทีเ่ จาะจงให้ตวั เลขในอนาคตเพิม่ เป็ น 2 เท่า กรณี
นี้จะมีตวั ช่วยพิเศษทําให้คดิ หาคําตอบได้รวดเร็ว นอกเหนือจากกระบวนการปกติใน
ตัวอย่างที่ 4 โดยการใช้
Rule of 72
21
Rule of 72
22
ตอบโจทย์ทางการเงินกับ Rule of 72
บอกว่ากรณีเงินจํานวนหนึ่ง หรือตัวเลขใดๆตัวหนึ่งในปั จจุบนั
(Present Value) มีคา่ เพิม่ เป็ น 2 เท่า ในเวลาใดเวลาหนึ่งใน
อนาคต (Future Value) หากทราบค่าตัวแปรตัวใดตัวหนึ่ง k
หรือ n จะสามารถคํานวณอีกค่าหนึ่งได้ โดยความสัมพันธ์
ต่อไปนี้:
k
=
72
n
=
72
n
k
ให้หาคําตอบจากโจทย์แต่ละข้อต่อไปนี้:
ค่า k (%) ค่า n (ปี )
1. ลงทุนในหุน้ กูอ้ ายุครบกําหนดไถ่ถอน 12 ปี วนั นี้ ในราคา
50% ของมูลค่าทีจ่ ะได้รบั คืนเมือ่ ครบกําหนดไถ่ถอน อัตรา
ผลตอบแทนเฉลีย่ ต่อปี จากการลงทุนนี้เท่ากับกี่ %
2. บริษทั ก จํากัด จ่ายเงินปั นผลหุน้ ละ 2.84 บาทในปี
2560 ถ้าคาดว่าอัตราการเพิม่ ของเงินปั นผลเฉลีย่ เป็ น 9%
ต่อปี ถามว่าผูล้ งทุนจะสามารถคาดหวังเงินปั นผลหุน้ ละ
5.68 บาทภายในกีป่ ี และเป็ นปี พศ.เท่าใด
3. หากบริษทั มีนโยบายให้เพิม่ ยอดขายเป็ น 2 เท่าภายใน 4
ปี บริษทั จะต้องเพิม่ ยอดขายต่อปี เฉลีย่ เท่ากับกี่ %
เมือ่ รูค้ า่ n หรือ
เมือ่ รูค้ า่ k
มีขอ้ จํากัดในการใช้ทต่ี อ้ ง มีคา่ เพิม่ เป็ น 2 เท่า เท่านัน้ ......
23
24
ค่าของเงิ น 100,000 บาท ในอนาคตด้วยอัตราผลตอบแทน 8.5% ต่อปี
แบบทบต้น (Compounded Interest) และแบบไม่ทบต้น (Simple Interest)
Rule of 72:ระยะเวลาทีเ่ งิ นจะเพิ ม่ เป็ นเท่าตัวทีอ่ ตั ราผลตอบแทนต่างๆ
ระยะเวลา (ปี )
20
18
16
14
12
10
อัต ราผลตอบแทน
แบบทบต้น (Compounded Interest)
8
6
4
2
บาท
ระยะเวลา (ปี )
แบบไม่ทบต้น (Simple Interest)
ระยะเวลา (ปี )
บาท
25
การหาค่าของเงินกรณี เงินสดมีลกั ษณะ
เป็ นเงินงวด (Annuity)
26
มูลค่ ารวมในอนาคตของเงินงวด (Future Value of Annuities)
ตัวอย่าง 6: กรณีเงิ นงวดปกติ ทีเ่ กิดขึน้ ทุกปลายงวด (Ordinary Annuities)
ล กั ษณะของเงิ น งวด (Annuity) :
1. เป็ นเงินสดจ่าย (payment) หรือเงินสดรับ (receipt) ทีม่ จี าํ นวนเงิน เท่าๆ
กันทุกงวด เช่น ผ่อนชําระค่าบ้านเท่ากันทุกเดือนเป็ นต้น
2. เงินสดแต่ละงวดทีเ่ กิดขึน้ มีระยะห่างกันเท่ากัน เช่น งวดปี งวดไตรมาส งวด
เดือน เป็ นต้น
3. มีระยะเวลาการเกิดขึน้ จํากัดแน่นอน เช่น 8 งวด 11 งวด หรือ 14 งวด
เป็ นต้น
 ในกรณีทเ่ี งินงวดเกิดขึน้ ทุก ปลายงวด เรียกว่า Ordinary Annuity (OA)
 แต่ถา้ เงินงวดเกิดขึน้ ทุก ต้น งวดจะเรียกว่า Annuity Due (AD)
0 4%
1
1,000
3
1,000
มูลค่ารวมในอนาคตของเงินงวด (FVA 4) =
4
1,000
1,040
1,081.6
1,124.9
4,246.5
A(1+k)0
A(1+k)1
A(1+k)2
A(1+k)3
FVA 4
เป็ นการทบต้นเงินงวดทีละจํานวน (A) ด้วยระยะเวลาทีเ่ กีย่ วข้อง โดยใช้ตาราง
A-3 ช่วย แล้วนําแต่ละค่าทีไ่ ด้มารวมกัน จะได้คา่ FVA n ทีต่ อ้ งการ
FVA n = A(1+k)0 + A(1+k)1 + A(1+k)2 + A(1+k)3
=A [
27
2
1,000
n
Ʃ (1+k)n-t ]
t=1
ผลรวมของเงินงวดๆละ 1 บาท
จํานวน n งวด ทบต้นตามระยะเวลา
ปรากฎตามตาราง A-4
28
การใช้ตารางดอกเบี้ย A-4 (Interest Table)
Annuities Due
ตัวอย่าง 7 กรณีเงิ นงวดไม่ปกติ ทีเ่ กิดขึน้ ทุกต้นงวด (Annuities Due) :
0 4% 1
1,000
1,000
ตาราง A-2 Future Value of an Annuity of $1 per Period for n
n
Ʃ (1+k)n-t
Periods: FVIFA k,n = t=1
ค่าในตาราง A-4 เป็ นมูลค่ารวมในอนาคต ของเงิ นงวดปกติ งวดละ 1
บาท n จํานวน ทบต้นด้วยอัตราดอกเบีย้ = k% ต่อปี ตามระยะเวลาที่
เกีย่ วข้อง
จากตัวอย่าง 6: FVA 4 = A (FVIFA k,n)
= 1,000(4.2465) = 4,246.5 บาท
ได้คา่ เท่ากัน กับกรณีหาค่าทีละจํานวน แล้วนํามารวมกัน ตาราง A-4
จึงทําให้การหาค่าของเงินทําได้งา่ ยและสะดวกขึน้
2
1,000
3
1,000
4
A(1+k)1
A(1+k)2
A(1+k)3
A(1+k)4
หรือ
หรือ
หรือ
หรือ
A(1+k)0
A(1+k)1
A(1+k)2
A(1+k)3
(1+k)
(1+k)
(1+k)
(1+k)
จะเห็นว่า AD แต่ละงวดจะได้ทบต้นดอกเบีย้ มากกว่ากรณี OA อยู่ 1 งวด
ทัง้ ๆทีเ่ ป็ นเงินงวดชุดเดียวกัน จึงสามารถใช้ประโยชน์จากตาราง A-4 ทีม่ ี
โดยการปรับคูณค่า FVA n ทีไ่ ด้ด้วย (1+k)
FVA 4 = A (FVIFA k,n) = 1,000(4.2465) = 4,246.50 บาท
FVA(DUE)4 = A (FVIFA k,n) (1+k) = 1,000(4.2465)(1+.04) = 4,416.36
บาท
ได้วา่ FVA n < FVA (DUE)n ของเงินงวดชุดเดียวกัน
29
คํานวณมูลค่ารวมในอนาคตของเงิ นงวด (Future Value of Annuities)
ตัวอย่าง 8: นาย ก วางแผนการสะสมเงิ นออม โดยจะนําเงิ นโบนัสทีไ่ ด้ ไป
ลงทุนทุกสิ้ นปี ปี ละ 80,000 บาท เมือ่ ครบ 5 ปี จะได้มีเงิ นก้อนหนึ ง่ ไว้ใช้ตาม
วัตถุประสงค์ ถ้าผลตอบแทนจากการลงทุนคงทีต่ ลอด ในอัตรา 5.0% ต่อปี ทบ
ต้นทุกปี ถามว่า เงิ นรวมทัง้ หมดจะเท่ากับเท่าใด ถ้า 1. เริ ม่ ฝากในอีก 1 ปี นับ
จากวันนี้ (OA) และ 2. เริ ม่ ฝากทันทีวนั นี้ (AD)
1. เงินงวดปกติ (OA) FVA 5 = A (FVIFA5%,5)
ฝากทุกปลายงวด
= 80,000 ( 5.5256)
= 442,048 บาท
2. เงินงวดไม่ปกติ
FVA (DUE)5 = A (FVIFA5%,5) (1+k)
(AD) ฝากทุกต้นงวด
= A (FVIFA5%,5) (1+.05)
= 80,000 ( 5.5256) (1.05)
= 464,150 บาท
30
มูลค่าปัจจุบนั ของเงินงวด (Present Value of Annuities)
กรณีเงิ นงวดปกติ เกิดขึน้ ทุกปลายงวด (Ordinary Annuities)
มูลค่าปั จจุบนั รวมของเงินงวด ทีเ่ กิดขึน้ ในวันปลายงวด (PVA n) มีคา่ เท่ากับ
ผลรวม PV ของเงินงวดแต่ละจํานวน คิดลดทอน (discount) ด้วยอัตราดอกเบีย้
(k) และระยะเวลาทีเ่ กีย่ วข้อง (n)
0
PVA n
PVA n = A * 1 1 + A
(1+k)
31
2 …………………….........
A
1
A
*
1 + ….. + A * 1
(1+k)2
(1+k)n
n
=
n
A
A [ t=1
Ʃ
1 ]
(1+k)t
ค่าทีอ่ ่านได้จาก
ตาราง A-2
32
การใช้ตารางดอกเบี้ย A-2 (Interest Table)
คํานวณมูลค่าปัจจุบนั ของเงิ นงวด (Present Value of Annuities)
ตัวอย่าง 9: นาย ก ทําสัญญาเช่าสํานักงานเป็ นเวลา 7 ปี จ่ายค่าเช่าเป็ นรายปี
ปี ละ 180,000 บาท ถ้าอัตราดอกเบี้ยเท่ากับ 9% ต่อปี ถามว่ามูลค่าปัจจุบนั ของ
ค่าเช่าทัง้ หมดรวมเท่ากับเท่าใด ถ้า 1. เริ ม่ จ่ายค่าเช่าในอีก 1 ปี นับจากวันนี้
(OA) และ 2. จ่ายค่าเช่างวดแรกทันทีวนั นี้ (AD)
ตาราง A-4 Present Value of an Annuity of $1 per Period for n
n
Ʃ 1
Periods: PVIFA k,n =
t=1 (1+k)t
ค่าในตาราง A-2 เป็ นมูลค่าปั จจุบนั รวมของเงิ นงวดปกติ งวดละ 1 บาท n จํานวน
ลดทอนด้วยอัตราดอกเบีย้ = k% ต่อปี ตามระยะเวลาทีเ่ กีย่ วข้อง
กรณี ทีเ่ ป็ นเงิ นงวดไม่ปกติ หรือเกิดขึน้ ในวันต้นงวด เราสามารถใช้ประโยชน์จาก
ตาราง A-2 ได้เช่นกัน แต่ตอ้ งมีการปรับค่า โดยการคูณผลทีไ่ ด้ดว้ ย (1+k) เนื่องจาก
เงินงวดต้นงวดทุกจํานวน จะถูกลดทอนดอกเบีย้ น้อยกว่า เป็ นจํานวนหนึ่งงวด จึงทําให้
มูลค่าปั จจุบนั รวมมีคา่ มากกว่า
ได้วา่ PVA n < PVA(DUE)n ของเงินงวดชุดเดียวกัน
1. เงินงวดปกติ (OA)
จ่ายทุกปลายงวด
PVA 7 = A (PVIFA9%,7)
= 180,000 (5.0330)
= 905,940 บาท
2. เงินงวดไม่ปกติ (AD) PVA(DUE)7 = A (PVIFA9%,7) (1+k)
จ่ายทุกต้นงวด
= 180,000 (5.0330) (1.09)
= 987,475 บาท
หากให้เลือกระหว่างจ่ายค่าเช่าก้อนเดียววันนี้ 800,000 บาท กับจ่ายเป็ นรายงวดทุกสิ้ นงวด
ควรจะเลือกทางเลือกใด?
33
เงินงวดทีม่ ีอายุไม่ส้ ิ นสุด (Perpetuities)
- ถ้ายืมเงิ นมาดอกเบี้ย 9% สิ้ นปี ที ่ 7 จ่ายคืน แบบจ่าย 800,000 จ่ายคืนน้ อยกว่า
- ถ้ามีเงิ นอยู่แล้วควรจ่าย 800,000 ไปเลย เพราะถ้าเอา 800,000 ไปลงทุนด้วยผลตอบแทน 9% จะ
ไม่พอทีจ่ ะจ่าย 180,000 รายปี 7 ปี
34
มูลค่าปัจจุบนั ของ Perpetuities
กรณีเงินสดรับ หรือเงินสดจ่ายทีเ่ กิดขึน้ มีลกั ษณะเหมือนเงิน
งวดทุกประการ ยกเว้น เงินงวดนัน้ เกิดขึน้ ตลอดไปหรือมีอายุ
ไม่จาํ กัด (n = ∞) เรียกเงินงวดนี้วา่ Perpetuities ซึง่ มี
2 ลักษณะ ดังนี้ :
1. กรณีเงินงวดทีม่ อี ายุไม่จาํ กัด เกิดขึน้ ทุกปลายงวด
เรียกว่า Regular Perpetuities
2. กรณีเงินงวดทีม่ อี ายุไม่จาํ กัด เกิดขึน้ ทุกต้นงวด
เรียกว่า Perpetuities Due
กรณีน้ี มูลค่าของเงินรวมในอนาคต ไม่ได้นําไปใช้
ประโยชน์ เนื่องจากอนาคตยาวไกลมาก จึงจะได้ศกึ ษาการ
คํานวณมูลค่าปั จจุบนั รวมเท่านัน้ เพือ่ นําไปใช้ประโยชน์ใน
การตัดสินใจทางการเงิน
เส้นเวลาแสดงกระแสเงินสดทีเ่ ป็ น Perpetuities ปกติ ที่เกิ ด ขึน้ ในวัน ปลายงวด
0
1
A
PVP = A * 1
=
3 ………………………………….. ∞
A
A
2
A
+ A * 1 + …………………………. + A * 1
(1+k)1
∞
A[Ʃ 1 ]
t=1 (1+k)t
(1+k)2
(1+k) ∞
= A
k
กรณีเป็ น Perpetuities ไม่ป กติ ที่เกิ ด ขึน้ ในวัน ต้น งวด จะคูณค่าทีไ่ ด้ดว้ ย (1+k)
เช่นกัน ด้วยเหตุผลเดียวกันกับกรณีเงินงวดต่างๆทีไ่ ด้ศกึ ษามาแล้ว
35
36
คํานวณมูลค่าปัจจุบนั ของ Perpetuities
คํานวณมูลค่าปัจจุบนั ของ Perpetuities
ตัวอย่างที ่ 10.2: นาย ข ลงทุนในหุ้นบุริมสิ ทธิ ของบริ ษทั สีขาว จํากัดจํานวน
15,000 หุ้น โดยมีเงิ นปันผลจ่ายหุ้นละ 2.94 บาททุกปี ถ้านาย ข ตัง้ ใจจะลงทุนใน
หุ้นนี้ ตลอดไปจนเป็ นมรดกให้ลกู หลาน ถามว่ามูลค่าปัจจุบนั รวม ของเงิ นปันผล
ทัง้ หมดทีจ่ ะได้รบั เท่ากับเท่าใด ถ้าอัตราผลตอบแทนทีต่ ้องการจากการลงทุน
เท่ากับ 6.0%
ตัวอย่าง 10.1: หุ้นบุริมสิ ทธิ ข์ องธนาคาร ก จ่ายเงิ นปันผลเท่ากับ 5.00 บาทต่อหุ้น
เท่ากันทุกปี หากนาย ก ต้องการอัตราผลตอบแทนจากการลงทุนในหุ้นธนาคาร ก
ที ่ 5% ต่อปี เขาควรซื้อหุ้นธนาคาร ก ต้นปี 2560 ทีร่ าคาไม่เกิ นเท่าไร
เมือ่ จะได้รบั เงินปั นผลในอีก 1 ปี
ข้างหน้า (สิน้ ปี 2560) และทุกๆปี
ตลอดไป
PVP = A / k
= 5.00 / 0.05
= 100 บาท
ควรลงทุนสูงสุดไม่เกิน 100 บาท
1. เงินปั นผลจากการลงทุนในหุน้ บุรมิ สิทธ์
ถือเป็ นกระแสเงินสดทีไ่ ด้รบั ทุกสิน้ ปี
ตลอดไปไม่มวี นั สิน้ สุด ถือเป็ น Ordinary
Perpetuities
PVP = A / k
= 2.94 / 0.06 = 49 บาทต่อหุน้
รวมทัง้ หมด = 49 * 15,000 = 735,000 บาท
2. สมมติได้รบั เงินปั นผลงวดแรกทันทีใน PVP(DUE) = [A / k] (1+k)
= [2.94 / .06] (1+.06)
วันนี้ และทุกปี ตลอดไปไม่มวี นั สิน้ สุด ถือ
= 51.94 บาทต่อหุน้
เป็ น Perpetuities Due
รวมทัง้ หมด = 51.94 * 15,000 = 779,100 บาท
37
กระแสเงิ นสดทีม่ ีรปู แบบไม่สมําเสมอ
่
(Uneven Cash Flows)
คํานวณมูลค่าปัจจุบนั ของ Perpetuities
ตัวอย่าง 11: ลุงประหยัด สนใจลงทุนในฟาร์มไก่ไข่ เพือ่ ไว้ให้ลกู หลานได้มีรายได้
เลี้ยงครอบครัวได้ตลอดไป จึงสนใจทีม่ ีการประกาศขายฟาร์ม ซึง่ คาดว่าหากลงทุน
วันนี้ จะสามารถเก็บเกีย่ วผลผลิ ต มีรายได้ทกุ ๆปี ตลอดไป เป็ นเงิ นสุทธิ จาก
ค่าใช้จ่ายต่างๆเฉลีย่ ปี ละ 330,400 บาท ถ้าอัตราผลตอบแทนทีต่ ้องการเท่ากับ
11.8% ลุงประหยัดควรลงทุนซื้อฟาร์มไข่ไก่น้ ี ด้วยราคาเท่าใด
1. เมือ่ จะได้รบั เงินจากผลผลิตแรก
ในอีก 1 ปี ขา้ งหน้า (Ordinary
Perpetuities) และทุกๆปี ตลอดไป
38
เป็ นลักษณะทีก่ ระแสเงินสดทีเ่ กิดขึน้ ไม่มรี ปู แบบทีแ่ น่นอน
ชัดเจน ไม่สามารถจัดให้อยูใ่ นรูปแบบใด รูปแบบหนึ่งตามที่
กล่าวมาแล้วได้ เช่นเงินปั นผลต่อหุน้ ของหุน้ สามัญ แต่ละปี
จะเป็ นเท่าใดขึน้ อยูก่ บั ผลการดําเนินงานของกิจการ ต่างจาก
เงินปั นผลต่อหุน้ ของหุน้ บุรมิ สิทธิ ทีจ่ ะมีการกําหนดแน่นอน
เท่ากันทุกปี เป็ นต้น
จึงต้องวิเคราะห์รปู แบบ ซึง่ อาจมีหลายรูปแบบในกระแสเงิน
สดชุดนัน้ ๆ อาจมีทงั ้ เงินก้อนเดียว เงินงวด เป็ นต้น จะได้
เลือกใช้ตารางดอกเบีย้ ทีม่ อี ยู่ ให้การคํานวณค่าเงินมี
ประสิทธิภาพทีส่ ดุ
PVP = A / k
= 330,400 / 0.118
= 2,800,000 บาท
ควรลงทุนสูงสุดไม่เกิน 2,800,000 บาท
2. เมือ่ ได้รบั เงินจากผลผลิตแรก
PVP(DUE) = [A / k] (1+k)
ทันที (Perpetuities Due) และทุกๆ
= [330,400 / 0.118] (1+0.118)
ปี ตลอดไป
= 3,130,400 บาท
ควรลงทุนสูงสุดไม่เกิน 3,130,400 บาท
39
40
กระแสเงิ นสดทีม่ ีรปู แบบไม่สมําเสมอ
่
(Uneven Cash Flows)
ตัวอย่าง 12: ถ้ากระแสเงิ นสดสําหรับระยะเวลา12 ปี มีดงั นี้ : ปี ที ่ 2-6 ปี ละ12,000 บาท
ปี ที ่ 8-11 ปี ละ 46,000 บาท และปี สุดท้าย 50,000 บาท ให้คาํ นวณ 1. มูลค่าในอนาคตรวม
2. มูลค่าปัจจุบนั รวม ของกระแสเงิ นสดชุดนี้ ถ้าอัตราดอกเบี้ยเฉลีย่ คงทีเ่ ท่ากับ 8% ต่อปี
0
1
2
3
4
5
6
ปี ละ 12,000
7
8
9
10
11
ปี ละ 46,000
12
50,000
1. FV
= 12,000 (FVIFA 8%,5)(FVIF 8%,6) + 46,000 (FVIFA 8%,4)(FVIF 8%,1) + 50,000 (FVIF 8%,0)
= 12,000(5.8666)(1.5869) + 46,000(4.5061)(1.08) + 50,000(1.00)
= 111,716.5 + 223,863.05 + 50,000
= 385,579.55 บาท
2. PV
= 12,000(PVIFA 8%,5)(PVIF 8%,1) + 46,000 (PVIFA 8%,4)(PVIF 8%,7) + 50,000 (PVIF 8%,12)
= 12,000(3.9927)(0.9259) + 46,000(3.3121)(0.5835) + 50,000(0.3971)
= 44,362.09 + 88,900.08 + 19,855
= 153,117.17 บาท
การทบต้นดอกเบี้ยมากกว่า 1 ครัง้ ในหนึ ง่ ปี
(Other Compounding Periods)
การคิดดอกเบีย้ ทบต้นทีผ่ า่ นมา ได้สมมติให้มกี ารคิดปี ละครัง้ (m=1) แต่ใน
ตลาดการเงิน การคิดดอกเบีย้ มากกว่าปี ละครัง้ เกิดขึน้ ในการลงทุนประเภทที่
ต่างกันไป
ธนาคารพาณิชย์คดิ ดอกเบีย้ รายวัน (daily) หรือคิดต่อเนื่องตลอดเวลา
(Continuous) ตราสารหนี้ประเภทหุน้ กูส้ ว่ นใหญ่คดิ เป็ นรายครึง่ ปี
(semiannually) ตราสารทุนประเภทหุน้ สามัญ มีการจ่ายเงินปั นผลรายไตรมาส
(quarterly) เป็ นต้น
เพือ่ ให้สามารถเปรียบเทียบการลงทุน หรือการกู้เงิ น ทีม่ กี ารทบต้นทีต่ ่างกัน
จําเป็ นต้องทําความเข้าใจความแตกต่างกัน ระหว่างอัตราดอกเบีย้ 2 ประเภท
คือ: 1. The Simple, or Quoted, Interest Rate หรือ Annual Percentage
Rate (APR) และ 2. The Effective Annual Rate (EAR)
41
ตัวอย่าง 13: หากอัตราดอกเบี้ยเงิ นฝากเท่ากับ 12% ต่อปี ถ้าฝากเงิ น 1 บาท
เงิ นรวม ณ วันสิ้ นปี จะเป็ นเท่าใด ถ้ามีการทบต้นดอกเบี้ยต่างกันดังนี้ :
ทําความเข้าใจระหว่าง APR VS EAR
The Simple หรือ Quoted, Interest Rate (k)
หรือ The Annual Percentage Rate (APR)
เป็ นอัตราดอกเบีย้ ทีก่ าํ หนด (%) สําหรับการ
ฝากเงิน การกูเ้ งิน การออกหุน้ กู้ การใช้บตั ร
เครดิต การกูเ้ พือ่ การศึกษา ฯลฯ
ถ้ามีการทบต้นดอกเบีย้ มากกว่าปี ละครัง้ อัตรา
ดอกเบีย้ ทีใ่ ช้ในการทบต้น จะปรับไปเป็ นต่อ
งวดของการทบต้นเรียกว่า k PER หรือ Periodic
Rate = k/m เมือ่ m คือจํานวนครัง้ ของการทบ
ต้นต่อปี
42
จํานวนครัง้
การทบต้นใน
1 ปี (m)
The Effective หรือ Equivalent Annual Rate
(EAR) เป็ นอัตราดอกเบีย้ ทีแ่ ท้จริง (%) ทีผ่ ู้
ลงทุนได้รบั จากการฝากเงิน หรือผูก้ ตู้ อ้ งจ่ายใน
การกูเ้ งิน อันเป็ นผล มาจากการคิดดอกเบีย้
มากกว่า 1 ครัง้ ในหนึ่งปี
1
อัตราดอกเบีย้ ทีแ่ ท้จริง (EAR) ใช้เป็ นหลักใน
การตัดสินใจทางเลือกต่างๆทางการเงิน จึงต้อง
มีการคํานวณค่า EAR โดยพิจารณาผลของการ
ทบต้นมากกว่า 1 ครัง้ ใน 1 ปี ดว้ ย
43
k PER = k/m
= 12/1 = 12%
เงินรวม ณ สิน้ ปี 1 (FV1) = ดอกเบีย้ ทีเ่ กิดขึน้
เงินต้น + ดอกเบีย้
จากเงินฝาก 1 บาท
= (1+.12)1 = 1.12
(1+.06)2
0.12
2
= 12/2 = 6%
=
= 1.1236
0.1236
4
= 12/4 = 3%
= (1+.03)4 = 1.1255
0.1255
12
= 12/12 = 1%
=
(1+.01)12
= 1.1268
0.1268
จากตารางข้างต้น เงินฝาก 1 บาทภายใน 1 ปี จะมีคา่ เพิม่ ขึน้ ต่างกัน อันเป็ นผลมาจาก
การคิดดอกเบีย้ ทบต้นทีต่ ่างกัน ยิง่ ทบบ่อยครัง้ ดอกเบีย้ จะยิง่ มากขึน้ เมือ่ เอาค่าใน
คอลัมน์สดุ ท้าย คูณด้วย 100 จะได้ % อัตราดอกเบีย้ ทีแ่ ท้จริงหรือ EAR ตามทีต่ อ้ งการ
44
คณิต..คิดเร็ว ..หาค่า EAR กัน
สูตรทีใ่ ช้ในการคํานวณ EAR
กําหนดให้: k = simple, quoted rate หรือ APR ต่อปี
m = จํานวนครัง้ ของการทบดอกเบีย้ ใน 1 ปี
EAR = อัตราดอกเบีย้ ทีแ่ ท้จริง
การทบ
ต้น
หาเงินรวมของเงินฝาก 1 บาท ณ สิน้ ปี ท่ี 1 อัตราดอกเบีย้ k% ต่อปี
ทบต้น m ครัง้ ต่อปี ให้เอาเงินต้น 1 บาทหักออก ทีเ่ หลือเป็ นดอกเบีย้
ของเงิน 1 บาท ต้องการ % ให้คณ
ู ด้วย 100 จะได้ EAR ตามที่
ต้องการ
m
ทุก 2
เดือน
ทุก 3
เดือน
ทุก 4
เดือน
ทุก 6
เดือน
EAR = (1 + k ) – 1.0
m
k)m
Hint: ค่า (1 + หรือ (FVIF k ,m
A-3 เมือ่ k = k และ n = m m
) mเป็ นค่าทีอ่ ่านได้จากตาราง
m
k = simple,
quoted rate
or APR ต่อปี
12%
EAR = (1+ k )m - 1
m
16%
15%
10%
45
ได้ค่า EAR แล้ว...ควรตัดสินใจอย่างไร ???
46
การหาค่าของเงิ น เมือ่ มีการทบต้นดอกเบี้ยมากกว่าปี ละครัง้
เป้ าหมายในการบริหารการเงิน คือการสร้างมูลค่าเพิม่
ของผูถ้ อื หุน้ ให้มคี า่ สูงสุด (Maximize Shareholder’s
Wealth) ดังนัน้
หากเป็ นการตัดสินใจลงทุน (Investment) ควรเลือก
ทางเลือกทีใ่ ห้อตั ราผลตอบแทนทีแ่ ท้จริง (EAR) สูงทีส่ ดุ
หากเป็ นการตัดสินใจจัดหาเงินทุน (Financing) ควร
เลือกทางเลือกทีจ่ ะเสียต้นทุนทีแ่ ท้จริง (EAR) ตํ่าทีส่ ดุ
ให้มกี ารปรับค่าตัวแปรทีเ่ กีย่ วข้อง นันคื
่ อ k และ n
โดยปรับ ค่า k% จากอัตราดอกเบีย้ รายปี (APR) ให้เป็ นอัตราดอกเบีย้ ต่องวด
ของการทบต้น (Periodic Rate) ก่อน = k PER = k / m เมือ่ m = จํานวนครัง้
ของการทบต้นในหนึ่งปี
ปรับ ค่า n ซึง่ เดิมหมายถึงงวดปี ให้เป็ นจํานวนงวดทัง้ หมดทีม่ กี ารทบต้น = n
* m งวดการทบต้น เช่นนําเงินไปลงทุน 3 ปี ธนาคารคิดดอกเบีย้ ทบต้นทุก
ไตรมาส จะได้วา่ ภายใน 3 ปี จะมีการคิดดอกเบีย้ ทบต้นให้รวม = n * m = 3 *
4 = 12 งวดไตรมาสเป็ นต้น
จากนัน้ สามารถหาค่าของเงินได้ โดยใช้สตู ร หรือ ตารางดอกเบีย้ ตามปรกติ
โดยกําหนดให้คา่ k และ m ต้องสอดคล้องกัน เช่นถ้า m เป็ นรายไตรมาส ค่า k
จะเป็ นรายไตรมาสด้วย
47
48
การหาค่าของเงิ น เมือ่ มีการทบต้นดอกเบี้ยมากกว่าปี ละครัง้
ตัวอย่าง 15: กู้เงิ นจากธนาคารพาณิ ชย์ จํานวน 1 ล้านบาท เป็ นเวลา 2 ปี
อัตราดอกเบี้ยเงิ นกู้ 12% ต่อปี กําหนดจ่ายคืนเงิ นต้นและดอกเบี้ยเมือ่ ครบ
กําหนด ถามว่าจะต้องคืนเงิ นรวมเท่าใด หากมีการทบต้นทีต่ ่างกัน
ตัวอย่าง 14: ฝากเงินวันนี้ จํานวน 100,000 บาท อัตราดอกเบีย้ 8% ต่อปี เมือ่
สิน้ สุดปี ท่ี 3 จะมีเงินรวมเท่าใด ตามเงือ่ นไขการทบต้นต่อไปนี้
การทบต้น n=n*m
k PER = k / m FVn = PV(FVIF k/m,nm)
รายปี
= 3*1 = 3
= 8/1 = 8%
= 100,000(1.2597) = 125,970
รายครึง่ ปี
= 3*2 = 6
= 8/2 = 4%
= 100,000(1.2653) = 126,530
รายไตรมาส = 3*4 = 12 = 8/4 = 2%
= 100,000(1.2682) = 126,820
Future Value เมือ่ มีการทบต้นดอกเบี้ยมากกว่าปี ละครัง้
การทบต้น n=n*m
k PER= k / m
รายปี
=12/1=12%
=1,000,000(FVIF 12%,2)
=1,000,000(1.2544) = 1,254,000 บาท
รายครึง่ ปี =2*2=4 =12/2 = 6% =1,000,000(FVIF 6%,4)
=1,000,000(1.2625) = 1,262,500 บาท
ราย 2 เดือน =2*6=12 =12/6 = 2% =1,000,000(FVIF 2%,12)
=1,000,000(1.2682) = 1,268,200 บาท
รายเดือน =2*12=24 =12/12 = 1% =1,000,000(FVIF 1%,24)
=1,000,000(1.2697) = 1,269,700 บาท
การทบต้นยิง่ บ่อยครัง้ จะยิง่ ทําให้เงินรวมในอนาคตมีคา่ เพิม่ มากขึน้
=2*1=2
FVn = PV(FVIF k/m,nm)
49
Present Value เมือ่ มีการทบต้นดอกเบี้ยมากกว่าปี ละครัง้
50
Annuity เมือ่ มีการทบต้นดอกเบี้ยมากกว่าปี ละครัง้
ตัวอย่าง 15: หากต้องการเงิ นจํานวน 100,000 บาทใน 5 ปี ข้างหน้ า
ถามว่าวันนี้ จะต้องนําเงิ นก้อนหนึ ง่ ไปลงทุนเท่าใด ถ้าได้อตั รา
ผลตอบแทน 6% ต่อปี ตามเงือ่ นไขการทบต้นต่อไปนี้
การทบต้น
n=n*m
k PER = k / m
PV = FV(PVIF k/m,nm)
ตัวอย่าง 16: ฝากเงิ นทุกไตรมาส งวดละ 10,000 บาทเป็ นเวลา 5 ปี อัตราดอกเบี้ย
4% ต่อปี ทบต้นทุกไตรมาส เมือ่ ครบกําหนดจะมีเงิ นรวมเท่าใด
k PER= 4/4 = 1% ต่อไตรมาส ตลอด 5 ปี มีการทบต้นดอกเบี้ย = 5*4 = 20 ครัง้
FVA 5 = 10,000 (FVIFA 1%, 20)
= 10,000 (22.019) = 220,190 บาท
รายปี
= 5*1 = 5
= 6/1 = 6%
ราย 4 เดือน = 5*3 =15
=6 /3 = 2%
PV = 100,000(PVIF 6%,5)
= 100,000(.7473) = 74,730
PV = 100,000(PVIF 2%,15)
= 100,000(.7430) = 74,300
PV = 100,000(PVIF 1%,30)
= 100,000(.7419) = 74,190
ตัวอย่างที ่ 17: ผ่อนเงิ นกู้ธนาคารเป็ นรายเดือน งวดละ 8,000 บาทเป็ นเวลา 2.5 ปี
อัตราดอกเบี้ย 12% ต่อปี ทบต้นทุกเดือน ถามว่าเงิ นกู้จากธนาคารมีจาํ นวน
เท่ากับเท่าใด (หามูลค่าปัจจุบนั ของเงิ นทีผ่ อ่ น)
k PER= 12/12 = 1% ต่อเดือน ผ่อนชําระเงิ นกู้ทงั ้ หมด = 2.5*12 = 30 งวด
PVA = 8,000 (PVIFA 1%, 30 )
= 8,000 (25.8077) = 206,462 บาท
ราย 2 เดือน = 5*6 = 30 = 6/6 = 1%
การทบต้นยิง่ บ่อยครัง้ จะยิง่ ทําให้เงินปั จจุบนั มีคา่ ลดน้อยลง
51
52
การประยุกต์มลู ค่าของเงินตามเวลา:
Amortized Loan
หาก…เงิ นงวด กับการทบต้นดอกเบี้ยไม่สอดคลองกัน
ตัวอย่าง 18: เงิ นงวดทุกสิ้ นปี ปี ละ 40,000 บาท เป็ นเวลา 3 ปี ถ้าอัตราดอกเบี้ยเท่ากับ 4%
ต่อปี ทบต้นทุกไตรมาส ให้หา 1. มูลค่ารวมในอนาคต 2. มูลค่ารวมในปัจจุบนั ของเงิ นงวด
ชุดนี้ ข้อสังเกตุ: กรณี น้ ี เงิ นงวดเกิ ดขึ้นเป็ นรายปี แต่การทบต้นไม่สอดคล้องกัน โดยทบ
ต้นรายไตรมาส จะหาค่าของเงิ นได้อย่างไร
วิธที ่ี 1. คํานวณแต่ละงวดต่างหากจากกัน โดยมี n = 3 และ k PER = k ต่อไตรมาส คือ
1% (ข้อ จํา กัด : หากมีเงิ น งวดมากจํา นวน จะเสีย เวลามาก)
FVA = 40,000(FVIF 1%,8) + 40,000(FVIF 1%,4) + 40,000(FVIF 1%,0)
= 40,000(1.0829) + 40,000(1.0406) + 40,000(1.0) = 124,940 บาท
PVA = 40,000(PVIF 1%,4) + 40,000(PVIF 1%,8) + 40,000(PVIF 1%12)
= 40,000(.9610) + 40,000(.9235) + 40,000(.8874) = 110,876 บาท
วิธที ่ี 2. คํานวณเป็ นเงินงวด (annuity) แต่ตอ้ งใช้คา่ EAR ในการคํานวณ
ข้อ จํา กัด : ค่า EAR ที่ได้ จะไม่ม ีใ นตาราง ต้อ งใช้วิ ธ ีอ ื่น เช่น Excel Function ช่ว ย
EAR = (1+k/m)m – 1 = (1+.01)4 – 1 = 0.0406 * 100 = 4.06%
FVA = 40,000(FVIFA 4.06%,3) = 124,938 บาท
PVA = 40,000(PVIFA 4.06%,3) = 110,877 บาท
จะเห็นว่าใช้วธิ ใี ดก็ได้ ค่าทีไ่ ด้ไม่ต่างกัน
Amortized Loan: one of the most important applications
of compound interest
ลักษณะการกูเ้ งิน ทีม่ กี ารผ่อนชําระเป็ นงวด งวดละ
เท่าๆกันตลอดอายุการกูย้ มื อาจเป็ นงวดเดือน งวด
ไตรมาส หรืองวดปี โดยแต่ละงวดทีผ่ อ่ นชําระ
ประกอบด้วย เงินต้นและดอกเบีย้
ตัวอย่างได้แก่ เงินกูเ้ พือ่ ทีอ่ ยูอ่ าศัย เงินกูเ้ พือ่
การศึกษา
53
54
Loan Amortization Schedule
Amortized Loan
ตัวอย่าง 19: นายสมรัก ได้ก้เู งิ นจากธนาคารแห่งหนึ ง่ จํานวน 200,000 บาท
เพือ่ ใช้ในการลงทุน อัตราดอกเบี้ย 10% ต่อปี กําหนดผ่อนชําระคืนเป็ นราย
ปี ทุกสิ้ นปี เป็ นเวลา 4 ปี ถามว่าจะต้องผ่อนคืนงวดละเท่าใด และแต่ละงวด
ประกอบด้วยเงิ นต้นและดอกเบี้ยอย่างละเท่าใด
เส้นเวลาของการผ่อนชําระมีดงั นี้
0 10%
1
A
2
A
3
A
4
A
กําหนดให้ A เป็ นเงินผ่อนชําระคืนเงินงวดๆละเท่าๆกัน ประกอบด้วยเงินต้นและ
ดอกเบีย้ จะได้วา่ A(PVIFA 10%,4) = 200,000
A(3.1699) = 200,000
A = 200,000 / 3.1699 = 63,094 บาท
โดยแต่ละงวดประกอบด้วยเงินต้นและดอกเบีย้ ดังนี้:
ปี ท่ี
เงินกู้ ณ วัน
ต้นปี
เงินงวดทีผ่ อ่ น
ชําระ
ดอกเบีย้ ของ ส่วนของเงินต้น เงินกูค้ งค้าง
งวด
ทีช่ าํ ระ
สิน้ ปี
1
200,000
63,094
20,000
43,094
156,906
2
156,906
63,094
15,691
47,403
109,503
3
109,503
63,094
10,950
52,144
57,359
4
57,359
63,094
5,736
57,358
0
ตารางการผ่อนชําระเงินกู้ แสดงให้เห็นดอกเบีย้ แต่ละงวดจะน้อยลง เนื่องจากมีการ
ทะยอยจ่ายเงินต้นทุกงวด เงินต้นต้นงวดต่อไปจะน้อยลง และทําให้สว่ นของเงินต้น
ในเงินงวดทีช่ าํ ระงวดต่อๆไปจะมีมากขึน้
55
56
Amortized Loan: คํานวณเงินผ่อนต่องวด
การคํานวณมูลค่าของเงิ นตามเวลาโดยการใช้คอมพิ วเตอร์ Excel
จากตัวอย่าง 21
ตัวอย่าง 20: นายสมใจนึ กวางแผนผ่อนคอนโดมีเนี ยม มูลค่า1,500,000 บาท
อัตราดอกเบี้ย 12%ต่อปี ชําระเป็ นรายเดือน เป็ นเวลา 50 เดือน ถามว่า
จะต้องผ่อนเดือนละเท่าใด ถ้า 1. ผ่อนทุกสิ้ นเดือน 2. ผ่อนทุกต้นเดือน
1.
2.
ผ่อนทุกสิน้ เดือน (Ordinary Annuity)
A(PVIFA 1%,50)
= 1,500,000
A(39.1961) = 1,500,000
A = 1,500,000 / 39.1961 = 38,269.11 บาท
ผ่อนทุกต้นเดือน (Annuity Due)
A(PVIFA 1%,50)(1+.01) = 1,500,000
A(39.1961)(1.01) = 1,500,000
A = 1,500,000 / 39.5881 = 37,890.17 บาท
57
มาลองทําโจทย์กนั ดู…
58
มาลองทําโจทย์กนั ดู..
1. การแข่งขันผูเ้ ข้าประกวดการกล่าวสุนทรพจน์ ได้ทา่ นเป็ นผูช้ นะเลิศ ท่านมี
ทางเลือกในการรับรางวัล 2 ทาง คือ 1. รับรางวัลในวันนี้ 195,000 บาท
หรือ 2. รับรางวัลในอีก 1 ปี ขา้ งหน้าเป็ นเงิน 200,000 บาท ท่านควรเลือก
ทางเลือกใด ด้วยเงือ่ นไขใด
2. ท่านกําลังจะตัดสินใจลงทุน ในหุน้ กูข้ องบริษทั แห่งหนึ่ง มูลค่าหุน้ กูฉ้ บับละ
1,000 บาท อัตราดอกเบีย้ หน้าตั ๋ว 6% ต่อปี จ่ายดอกเบีย้ ทุกครึง่ ปี ครบ
กําหนดไถ่ถอน 3 ปี ถ้าอัตราผลตอบแทนในตลาดการเงิน กับการลงทุนทีม่ ี
ความเสีย่ งใกล้เคียงกับการลงทุนในหุน้ กูน้ ้ีเท่ากับ 4% ต่อปี ท่านจะลงทุน
ในราคาเท่าใด
3. บริษทั มีกาํ ไรต่อหุน้ เท่ากับ 4.50 บาทในปี 2556 ถ้าบริษทั ต้องการ
ตัง้ เป้ าหมายให้กาํ ไรต่อหุน้ เป็ น 7.60 บาทในปี 2560 กําไรต่อหุน้ จะต้อง
เพิม่ ขึน้ เฉลีย่ ปี ละกี่ % จึงจะสามารถบรรลุเป้ าหมายทีต่ อ้ งการ
4. ท่านกําลังพิจารณากูเ้ งิน 100,000 บาท อัตราดอกเบีย้ 15% ต่อปี โดยให้
ผ่อนชําระคืนทุกงวด 4 เดือน งวดละเท่าๆกัน เป็ นเวลา 5 ปี แต่ละงวด
ประกอบด้วยเงินต้นและดอกเบีย้ ถามว่า
4.1 ท่านจะต้องผ่อนคืนงวดละกีบ่ าท
4.2 หากท่านผ่อนไปแล้ว 2 ปี ตอ้ งการจะชําระคืนเงินต้นทัง้ หมดทันทีในสิน้ ปี ท่ี
2 นี้ ถามว่าท่านจะต้องชําระเป็ นเงินเท่าใด หากผูใ้ ห้กยู้ นิ ยอมให้ทาํ ได้
4.3 หากผ่อนไปแล้ว 2 ปี ท่านต้องออกจากงานประจํา ไม่สามารถชําระ
เงินงวดตามทีป่ รากฎในข้อ 4.1 ได้ จึงได้เจรจาผ่อนผัน โดยขอชําระหนี้ทค่ี า้ ง
อยู่ งวดละ 5,800 บาท ถามว่าด้วยเงือ่ นไขนี้ ท่านจะต้องชําระหนี้ทเ่ี หลือให้
หมด ภายในกีง่ วด
4.4 อัตราดอกเบีย้ ทีแ่ ท้จริง (EAR) ของการกูเ้ งินครัง้ นี้เท่ากับกี่ %
59
60