International Journal of Civil Engineering and Technology (IJCIET)
Volume 10, Issue 1, January 2019, pp.255–273,
pp.
Article ID: IJCIET_10_01_025
Available online at http://www.iaeme.com/IJCIET/issues.asp?JType=IJCIET&VType=10&IType=1
ISSN Print: 0976-6308 and ISSN Online: 0976-6316
0976
©IAEME Publication
Scopus Indexed
GENERALIZED TUPLED COMMON
OMMON FIXED
POINT
OINT THEOREMS FOR WEAKLY
COMPATIBLE
OMPATIBLE MAPPINGS IN FUZZY METRIC
ME
SPACE
Zena Hussein Maibed
Department of Mathematics, College of Education for Pure Science Ibn Al-Haitham,
Al
University of Baghdad, Ministry of Higher Education and Scientific Research,
Research Iraq
ABSTRACT
In this paper, a new type of generalized tupled common fixed point and weakly
compatible mappings in Fuzzy metric space are introduced and studied, we also
discuss the existence and uniqueness for generalized tupled common fixed point of
mappings having weakly compatible. A generalized tuplet common fixed point
theorems for these mappings are established.
Tupled Common Fixed Point
Cite this Article: Zena Hussein Maibed, Generalized Tupled
Theorems For Weakly Compatible Mappings In Fuzzy Metric Space,
Space International
Journal of Civil Engineering and Technology (IJCIET),
(IJCIET), 10 (1), 2018, pp. 255–273.
http://www.iaeme.com/IJCIET/issues.asp?JType=IJCIET&VType=10&IType=1
1. INTRODUCTION
Fuzzy set was defined byiZadeh
Zadeh [14].
[14 Kramosil and Michalek [6] introducediFuzzy
introduced
metric
space, George and Veermain [4]
[4 modified the motion of Fuzzy metric space with the help of
continuous t-norms.
norms. Many researchers have obtained common fixed point theorems for
mappings. Pant [9] introduced the new concept reciprocally continuous mapping and
established some common fixed point in Fuzzy metric space can be viewed in [1, 2, 5,13, 10,
11, 15and 7].Were call some definitions and known results in Fuzzy metric
tric space.
Definition (1.1) [12]
A binaryo Generalized Tupled Common Fixed Point Theorems For Weakly Compatible
Mappings In Fuzzy Metric Space
pe rationð: 0,1 → 0,1 is called continuous t – normif the following conditions are satisfy
i.
ðIsanassociativeand
Isanassociativeand commutative.
ii.
iii.
ð1
ð
∀ ∈ 0,1 .
ð Whenever
&
http://www.iaeme.com/IJMET/index.
IJMET/index.asp
, ∀ , , , ∈ 0,1 .
255
editor@iaeme.com
Zena Hussein Maibed
ðIs continuous.
iv.
A triple Ε, , ð is called fuzzy metric space ifΕ ≠ 0, ð is continuousit – norm and : Ε × Ε ×
0, ∞ → 0,1 is a fuzziest and satisfying the following conditions.
1.
, , >0
Definition (1.2). [4]
, ,
2.
, ,
3.
, ,.
4.
1 ; ! "
: 0, ∞ → 0,1 Is continuous.
,%, &'
5.
, ,
#
≥
, ,
ð
∀ ), * > 0
,%,'
We will addthe condition lim
→.
1 ∀", # ∈ Ε
, ,
Lemma (1.3). [3]
In any fuzzy metric space Ε, , ð , where ð is a continuous t – norm of H – type. If thereexit∅ ∈ ɸ
such that
, ,∅ 1
, ,
, ∀ ) > 0Then"
#.
For any ∈ 0,1 , thesequence< ð3 >. 345 be defined by:
Definition(1.4). [8]
ð5
678 ð3
ð395 ð . Then a t – norm ð is said to be of H – type if thesequence<
3
.
ð > 345 is equip continuousat
1.
Let Ε, , ð be afuzzy metric space.then
Definition (1.5).[4]
(i)
(i)
A sequence in
lim
→.
:,
,
A sequence in
3
inΕ is said tobe convergentto a point
1for all) > 0.
3
inΕ is calleda Cauchy sequence if for each 0 < ; <
1 678 ) > 0,thereiexists a positive integer 7< such that
each 7, ? ≥ 7<
∈ Εif
:, =,
> 1 − ; for
2. MAIN RESULTS
Now, we will give the following concepts.
http://www.iaeme.com/IJCIET/index.asp
256
editor@iaeme.com
Generalized Tupled Common Fixed Point Theorems For Weakly Compatible Mappings In Fuzzy
Metric Space
Definition (2.1)
Let ℛ5 : Ε 3 → 2B be a multi-valued mapping and ℛ , … … , ℛ3 are self-map on Ε 3 . Any element
"5 , " , … … , "3 ∈ Ε 3 is called a generalized tupled fixed point of these mappings
ifℛ5 Dℛ E… … Eℛ3 F , G ,…, : H … . . HI ∋ "5
ℛ5 Dℛ E… … Eℛ3
ℛ5 Dℛ E… … Eℛ3
G , K ,…, F
H … . . HI ∋ "
: , F ,…, :LF
H … . . HI ∋ "3
Definition (2.2).
Let ℛ5 : Ε 3 → 2B be a multi-valued mapping, ℛ , … … , ℛ3 are self-map on Ε 3 678 M5 , M , … … , M3 are
self-map on N.any element "5 , " , … … , "3 ∈ Ε 3 is called generalized tupled coincidence point of
these mappings if
ℛ5 Dℛ E… … Eℛ3
ℛ5 Dℛ E… … Eℛ3
ℛ5 Dℛ E… … Eℛ3
F , G ,…, :
G , K ,…, F
H … . . HI ∋ M5 DM E… … EM3
H … . . HI ∋ M5 DM E… … EM3
: , F ,…, :LF
F
⋮
G
H … . . HI ∋ M5 DM E… … EM3
H … . . HI
H … . . HI
:
H … . . HI
Definition (2.3).
Let ℛ5 : Ε 3 → 2B be a multi-valued mapping, ℛ , … … , ℛ3 are self-map on Ε 3 678 M5 , M , … … , M3 are
self-map onN. Any element "5 , " , … … , "3 is called generalized tupled common fixed point if
ℛ5 Dℛ E… … Eℛ3
ℛ5 Dℛ E… … Eℛ3
⋮
ℛ5 Dℛ E… … Eℛ3
F , G ,…, :
G , K ,…, F
H … . . HI ∋ M5 DM E… … EM3
H … . . HI ∋ M5 DM E… … EM3
: , F ,…, :LF
H … . HI ∋ M5 DM E… … EM3
F
G
H … . . HI
H … . . HI
:
H … . . HI
"5
"
"3
Definition (2.4):
Let ℛ5 : Ε 3 → 2B , ℛ , … … , ℛ3 : Ε 3 → Ε 3 678 M5 , M , … … , M3 : Ε → Ε are mappings. These mappings
are weakly compatible at the point "5 , " , … … , "3 if
M5 PM D… … DM3 Qℛ5 Dℛ E… … Eℛ3
F , G ,…, :
H … . . HIRI … . . IS ∈
ℛ3 M5 DM E… … EM3 F H … . . HI , M5 DM E… … EM3
ℛ5 Tℛ U… … U
… … , M5 DM E… … EM3 : H … . . HI
http://www.iaeme.com/IJCIET/index.asp
257
G
H … . . HI ,
V … . . VW.
editor@iaeme.com
Zena Hussein Maibed
In this paper, we consider Ψ is the set of all mappings Y: 0, ∞ → 0, ∞ such that:
YIs non – decreasing.
YIs upper semi – continuous from the right.
i.
ii.
3
∑.
34< Y
iii.
< ∞, ∀) > 0 [ \]\ Y 3&5
Y DY 3
I , 7 ∈ ^.
Theorem (2.5):
Let ℛ5 : Ε 3 → 2B be a multi-valued mapping, ℛ , … … , ℛ3 are self-map on Ε 3 678 M5 , M , … … , M3 are
self-map on N.if Ε, , ð be a fuzzy metric space such that ð is a t – norm of H – type,
M5 EM … … M3 … . . H contained ℛ5 Eℛ … … ℛ3 … . . HandY ∈ Ψ satisfying:
ℋ ℛ5 Dℛ E… … Eℛ3
F , G ,…, :
QM5 DM E… … EM3
QM5 DM E… … EM3
QM5 DM E… … EM3
:
G
H … . . HI , ℛ5 Dℛ E… … Eℛ3
F
H … . . HI , M5 DM E… … EM3
H … . . HI , M5 DM E… … EM3
H … . . HI , M5 DM E… … EM3
Where ) > 0 and "` , #` ∈ Ε
∀a
F , G ,…, :
1,2, … … , 7
:
H … . . HI , Y
H … . . HI , )R ð
F
≥
H … . . HI , )R ð … … ð
G
H … . . HI , )R(1)
If M5 DM E… … EM3 b H … . . HI is complete subspace of Ε. Then these mappings have a
generalized tupled coincidence point of compose these mappings.
Proof:
Consider"<5 , "< , … … , "5 3 ∈ Ε, since M5 EM … … M3 … . . Hcontainedℛ5 Eℛ … … ℛ3 … . . H, that
there exists "55 , "5 , … … , "5 3 ∈ Ε such that
M5 PM D… … DM3E
M5 PM D… … DM3E
Also,
M5 DM E… … EM3
M5 PM D… … DM3E
M5 PM D… … DM3E
M5 DM E… … EM3
G
G
G
FH
GH
:
F
F
FH
GH
F
:
I … . . IS ∈ ℛ5 Pℛ D… … Dℛ3E
I … . . IS ∈ ℛ5 Pℛ D… … Dℛ3E
c
⋮
H … . . HI ∈ ℛ5 Pℛ D… … Dℛ3E
I … . . IS ∈ ℛ5 Pℛ D… … Dℛ3E
I … . . IS ∈ ℛ5 Pℛ D… … Dℛ3E
H … . . HI ∈ ℛ5 Pℛ D… … Dℛ3E
http://www.iaeme.com/IJCIET/index.asp
F
F
F
F,
G,
:,
258
F
⋮
F
F
G ,…,
K ,…,
F ,…,
F
F
F
:H
:,
c
G,
c
F,
:,
c
c
G ,…,
K ,…,
c
F ,…,
c
c
c
:,
:H
c
I … . . IS
FH
:LF H
I … . . IS
I … . . IS
I … . . IS
F
:LF H
FH
I … . . IS
I … . . IS
editor@iaeme.com
Generalized Tupled Common Fixed Point Theorems For Weakly Compatible Mappings In Fuzzy
Metric Space
< M5 PM D… … DM3E
I … . . IS >, < M5 PM D… … DM3E
In general, we can construct the sequences,
d
FH
678 < M5 DM E… … EM3
d
:
H … . . HI > as
M5 PM D… DM3E
M5 PM D… DM3E
d
M5 DM E… EM3
d
GH
d
:
FH
d
GH
I … . . IS >, …,
I … IS ∈ ℛ5 Pℛ D… Dℛ3E
I … IS ∈ ℛ5 Pℛ D… Dℛ3E
⋮
H … HI ∈ ℛ5 Pℛ D… Dℛ3E
dLF
dLF
G,
dLF
F,
dLF
dLF
:,
G ,…,
dLF
:H
I . . IS
K ,…,
F
:,
dLF
F ,…,
dLF
:LF H
dLF
FH
I … IS
I … IS
We want to show that the above sequences are Cauchy sequences in Ε, , ð , since ðis t –
norm of H – type, this implies
∀ ʎ > 0 ∃ g > 0Such that:
1 − g ð 1 − g ð … ð 1 − g ≥ 1 − ʎ, ∀7 ∈ ^. On other hand. For all ", # ∈ Ε,
continuous and lim →. ", #, )
1 then there exists )° > 0 such that.
QM5 PM D… … DM3E
⋮(2)
QM5 PM D… … DM3E
QM5 DM E… … EM3
c
c
FH
GH
i
:
I … IS , M5 PM D… … DM3E
I … IS , M5 PM D… … DM3E
H … HI , M5 DM E… … EM3
By using (1), we get:
QM5 PM D… … DM3E
ℋ Qℛ5 Pℛ D… Dℛ3E
≥
F
c
F,
QM5 PM D… … DM3E
QM5 PM D… … DM3E
QM5 DM E… … EM3
QM5 PM D… … DM3E
c
c
F
c
G ,…,
FH
c
:H
c
F
I … IS , M5 PM D… … DM3E
c
GH
FH
I … IS , M5 PM D… … DM3E
I … IS , M5 PM D… … DM3E
G,
G
c
K ,…,
I … IS , Y
I … IS , ℛ5 Pℛ D… Dℛ3E
H … HI , M5 DM E… … EM3
GH
QM5 PM D… … DM3E
I … IS , M5 PM D… … DM3E
c
GH
:
ℋ Qℛ5 Pℛ D… Dℛ3E
≥
FH
c
:,
c
FH
F
F
:
G
F
FH
F
F,
F
F
F
GH
:
c
G ,…,
I … IS , )< R ≥ 1 − g
I … IS , )< R ≥ 1 − g
H … HI , )< R ≥ 1 − g
R≥
F
:H
I … IS , )< R ð
I … IS , Y
GH
I … IS , )< R ð … … ð
GH
I … IS , Y
H … HI , )< R
c
I … IS , ℛ5 Pℛ D… Dℛ3E
I … IS , M5 PM D… … DM3E
http://www.iaeme.com/IJCIET/index.asp
FH
F
259
GH
", #, . is
R≥
F
G,
I … IS , )< R ð
c
R
Also,
F
K ,…,
F
:,
c
FH
I … IS , Y
c
R
editor@iaeme.com
Zena Hussein Maibed
QM5 PM D… … DM3E
QM5 DM E… … EM3
c
c
KH
:
I … IS , M5 PM D… … DM3E
H … HI , M5 DM E… … EM3
We continue this process in the same way
QM5 DM E… … EM3
ℋ Qℛ5 Pℛ D… Dℛ3E
≥
F
:
c
QM5 DM E… … EM3
QM5 PM D… … DM3E
QM5 PM D… … DM3E
:,
H … HI , M5 DM E… … EM3
c
c
c
F
FH
c
:
F ,…,
c
:LF H
:
G
KH
I … IS , )< R ð … … ð
H … HI , )< R
H … HI , Y
:
I … IS , ℛ5 Pℛ D… Dℛ3E
H … HI , M5 DM E… … EM3
I … IS , M5 PM D… … DM3E
:LF H
F
F
F
I … IS , M5 PM D… … DM3E
ℋ Qℛ5 Pℛ D… Dℛ3E
≥
F
F,
F
G ,…,
FH
QM5 PM D… … DM3E
QM5 PM D… … DM3E
≥
F
QM5 DM E… … EM3
GH
c
GH
QM5 DM E… … EM3
QM5 PM D… … DM3E
ℋ Qℛ5 Pℛ D… Dℛ3E
≥
F
G
GH
F
G,
F
:LF H
:H
F
I … IS , ℛ5 Pℛ D… Dℛ3E
FH
c
FH
K ,…,
:,
QM5 PM D… … DM3E
QM5 PM D… … DM3E
F
QM5 DM E… … EM3
F
KH
G
F
FH
GH
G
:
http://www.iaeme.com/IJCIET/index.asp
I … IS , )< R
F
GH
K
GH
G
FH
G ,…,
:H
:
F
I … IS , Y
c
H … HI , Y
FH
R≥
c
I … IS , Y
c
Rð
c
R
Rð…ð
c
R
3
I … IS , )< R ð
3
I … IS , )< R ð … … ð
F
:
3
H … HI , )< R
I … IS , Y
I … IS , ℛ5 Pℛ D… Dℛ3E
I … IS , M5 PM D… … DM3E
G
H … HI , M5 DM E… … EM3
260
G
I … IS , Y
GH
I … IS , M5 PM D… … DM3E
F
:LF H
I … IS , Y
F,
G
H … HI , M5 DM E… … EM3
:
F
FH
I … IS , M5 PM D… … DM3E
I … IS , M5 PM D… … DM3E
c
G
H … HI , M5 DM E… … EM3
:
K
I … IS , M5 PM D… … DM3E
I … IS , M5 PM D… … DM3E
F
F
I … IS , )< R
I … IS , M5 PM D… … DM3E
F
F ,…,
I … IS , M5 PM D… … DM3E
QM5 PM D… … DM3E
QM5 PM D… … DM3E
•
G
F
I … IS , )< R ð … … ð
As the same way and by using above inequalities,
QM5 PM D… … DM3E
:,
R≥
H … HI , )< R ð
:
FH
F
c
KH
G
G
c
G,
GH
G
R≥
K ,…,
G
I … IS , Y
I … IS , Y
G
:
:,
c
H … HI , Y
F
FH
I … IS , Y
c
Rð
Rð…ð
c
R
editor@iaeme.com
c
R
Generalized Tupled Common Fixed Point Theorems For Weakly Compatible Mappings In Fuzzy
Metric Space
≥
QM5 DM E… … EM3
QM5 PM D… … DM3E
c
QM5 PM D… … DM3E
FH
ℋ Qℛ5 Pℛ D… Dℛ3E
≥
G
:,
G
F ,…,
QM5 DM E… … EM3
QM5 PM D… … DM3E
QM5 PM D… … DM3E
≥
Similarly
•
G
G
:LF H
FH
G
G
:
:LF H
QM5 PM D… … DM3E
c
c
GH
… … ð QM5 DM E… … EM3
ℋ Qℛ5 Pℛ D… Dℛ3E
≥
dLF
d
F,
FH
QM5 PM D… … DM3E
QM5 PM D… … DM3E
G ,…,
dLF
QM5 DM E… … EM3
≥
GH
c
GH
:
c
:H
djF
:
K
d
GH
⋮
I … IS , M5 PM D… … DM3E
http://www.iaeme.com/IJCIET/index.asp
261
F
GH
F
F ,…,
K
GH
I … IS , Y
c
:
F
d
c
R
Rð…ð
I … IS , Y
R
c
3
I … IS , )< R ð
3
:
H … HI , )< R
F,
d
G ,…,
d
c
:H
R≥
I … IS , Y k95
I … IS , )< R
I … IS , )< R
3dLF
3
I … IS , Y k
c
H … HI , Y k95
FH
3
I … IS , )< R ð
F
FH
Rð
c
I … IS , Y k
d
R≥
c
:H
H … HI , Y
FH
I … IS , )< R
:LF H
I … IS , Y k95
d
I … IS , M5 PM D… … DM3E
K
:LF H
F
F
FH
I … IS , M5 PM D… … DM3E
3
I … IS , )< R ð … … ð
I … IS , Y
I … IS , ℛ5 Pℛ D… Dℛ3E
H … HI , M5 DM E… … EM3
FH
FH
K
:,
H … HI , M5 DM E… … EM3
I … IS , M5 PM D… … DM3E
dLF
K
I … IS , M5 PM D… … DM3E
c
FH
K
I … IS , M5 PM D… … DM3E
:
FH
3
H … HI , )< R ð
:
H … HI , Y
:
I … IS , M5 PM D… … DM3E
dLF
dLF
QM5 PM D… … DM3E
QM5 PM D… … DM3E
H … HI , M5 DM E… … EM3
I … IS , M5 PM D… … DM3E
dLF
K
I … IS , ℛ5 Pℛ D… Dℛ3E
FH
F
F
I … IS , M5 PM D… … DM3E
I … IS , M5 PM D… … DM3E
QM5 PM D… … DM3E
QM5 PM D… … DM3E
:LF H
H … HI , M5 DM E… … EM3
:
G
I … IS , M5 PM D… … DM3E
c
Continue this process, we get
QM5 DM E… … EM3
c
H … HI , M5 DM E… … EM3
:
c
Rð
c
R
Rð…ð
c
3dLF
R
ð
ð……ð
editor@iaeme.com
Zena Hussein Maibed
l QM5 DM E… … EM3
QM5 PM D… … DM3E
c
GH
d
H … HI , M5 DM E… … EM3
:
I … IS , M5 PM D… … DM3E
ℋ Qℛ5 Pℛ D… Dℛ3E
ℛ5 Pℛ D… Dℛ3E
≥
QM5 PM D… … DM3E
QM5 PM D… … DM3E
≥
KH
dLF
QM5 PM D… … DM3E
dLF
QM5 PM D… … DM3E
QM5 PM D… … DM3E
c
GH
dLF
KH
d
dLF
G,
d
G,
dLF
K ,…,
d
K ,…,
:,
d
dLF
FH
c
:,
dLF
I … IS , M5 PM D… … DM3E
c
d
KH
I … IS , ℛ5 Pℛ D… … Dℛ3E
I … IS , M5 PM D… … DM3E
FH
F
KH
≥
QM5 DM E… … EM3
QM5 PM D… … DM3E
c
QM5 PM D… … DM3E
FH
c
d
:
c
I … IS , M5 PM D… … DM3E
H … HI , M5 DM E… … EM3
H … HI , M5 DM E… … EM3
:
I … IS , M5 PM D… … DM3E
:LF H
≥
nM5 DM E… … EM3
≥
d
d
:
:
QM5 DM E… … EM3
QM5 DM E… … EM3
djF
:
H … HI , M5 DM E… … EM3
:
d
F
=
:
=
:
H … HI , M5 DM E… … EM3
H … HI , M5 DM E… … EM3
http://www.iaeme.com/IJCIET/index.asp
262
F
FH
GH
F
FH
:
:
I … IS , )< R
djG
3dLF
.
k43c
H … HI , o
q95
k43c
H … HI , Y k
H … HI , Y k&5
ð
R
c
ð
ð……ð
I … IS , )< R
H … HI , o
:
R
ð……ð
3dLF
H … HI , )< R
:
c
Rð…ð
3dLF
H … HI , Y k
:LF H
djF
Rð
3dLF
3dLF
I … IS , )< R
I … IS , )< R
F
c
c
I … IS , Y k95
7 < ?, we have
H … HI , M5 DM E… … EM3
d
I … IS , Y k95
F
FH
c
I … IS , Y k95
Also,
R≥
c
I … IS ,m
GH
djF
I … IS , M5 PM D… … DM3E
Now, by using above inequalities and for each7<
nM5 DM E… … EM3
d
3dLF
I … IS , Y k
I … IS , )< R
Continue this process, as the same way we get
QM5 DM E… … EM3
FH
⋮
GH
GH
I … IS , Y k
I … IS , M5 PM D… … DM3E
QM5 PM D… … DM3E
djF
I … IS , M5 PM D… … DM3E
FH
F
H … HI , )< R
:
3dLF
Yk
c
Y k&5
c
c
R∗
p
c
p
Rð…ð
editor@iaeme.com
Generalized Tupled Common Fixed Point Theorems For Weakly Compatible Mappings In Fuzzy
Metric Space
QM5 DM E… … EM3
=LF
QM5 DM E… … EM3
≥
QM5 PM D… … DM3E
QM5 PM D… … DM3E
c
FH
c
c
QM5 PM D… … DM3E
c
c
FH
c
… ð QM5 DM E… … EM3
QM5 PM D… … DM3E
Let s
c
QM5 PM D… … DM3E
FH
c
maxv7k95 , 7k , 7q9 w
≥
:LF H
QM5 PM D… … DM3E
c
QM5 DM E… … EM3
QM5 PM D… … DM3E
c
FH
c
QM5 PM D… … DM3E
c
FH
:
:
:
H … HI , M5 DM E… … EM3
F
H … HI , M5 DM E… … EM3
I … IS , M5 PM D… … DM3E
:LF H
F
F
263
:LF H
F
FH
F
F
ð……ð
I … IS , )< R
3d
3=LG
3=LG
ð
ð
ð……ð
I … IS , )< R
3=LG
x
H … HI , )< R ð
x
:LF H
x
I … IS , )< R ð
x
:
H … HI , )< R ð
:
H … HI , )< R ð
x
I … IS , )< R ð … … ð
F
FH
:
ð
ð
I … IS , )< R ð … … ð
F
FH
3d
3dLF
3d
H … HI , )< R
:
:LF H
x
x
I … IS , )< R ð … … ð
I … IS , M5 PM D… … DM3E
http://www.iaeme.com/IJCIET/index.asp
H … HI , )< R
ð
ð……ð
I … IS , )< R
I … IS , )< R
F
3dLF
R
c
3dLF
I … IS , )< R
I … IS , M5 PM D… … DM3E
I … IS , M5 PM D… … DM3E
H … HI , )< R
:
H … HI , M5 DM E… … EM3
I … IS , M5 PM D… … DM3E
c
FH
F
:
F
I … IS , M5 PM D… … DM3E
c
c
F
FH
H … HI , M5 DM E… … EM3
H … HI , Y q95
:LF H
F
F
:
I … IS , )< R
I … IS , M5 PM D… … DM3E
:LF H
QM5 DM E… … EM3
QM5 PM D… … DM3E
:
:LF H
FH
FH
H … HI , M5 DM E… … EM3
:
c
F
I … IS , M5 PM D… … DM3E
I … IS , M5 PM D… … DM3E
c
F
I … IS , M5 PM D… … DM3E
QM5 DM E… … EM3
QM5 PM D… … DM3E
H … HI , M5 DM E… … EM3
:
:LF H
=
⋮
I … IS , M5 PM D… … DM3E
QM5 DM E… … EM3
QM5 PM D… … DM3E
H … HI , M5 DM E… … EM3
:
F
:LF H
I … IS , )< R
x
editor@iaeme.com
Zena Hussein Maibed
>
QM5 DM E… … EM3
QM5 PM D… … DM3E
c
QM5 PM D… … DM3E
FH
c
c
H … HI , M5 DM E… … EM3
:
I … IS , M5 PM D… … DM3E
:LF H
F
FH
F
H … HI , )< R
:
I … IS , )< R
I … IS , M5 PM D… … DM3E
F
:LF H
qx
qx
ð……ð
I … IS , )< R
≥ 1 − g ∗ 1 − g ∗ ……∗ 1 − g ≥ 1 − ʎ
And hence,
QM5 DM E… … EM3
So, < M5 DM E… … EM3
d
:
As the same way, we get
d
:LF H
H … HI , M5 EM E… … EM3
:
H … HI > is Cauchy sequence.
< M5 PM D… … DM3E
< M5 PM D… … DM3E
d
d
FH
=
:
ð
qx
H … H, )HR > 1 − ʎ
I … IS >, < M5 PM D… … DM3E
I … IS > are Cauchy sequences
d
GH
I … IS > 678
Now, to prove that the mappings aregeneralized tuplet common fixed point.
Since M5 DM E… … EM3
M5 DM E… … EM3
b
b
H … HI is complete subspace of Ε then there exists "5 , " , … … , "3 ∈
H … HI and 65 , 6 , … … , 63 ∈ Ε such that
lim M5 PM D… … DM3E
k→.
k→.
lim M5 PM D… … DM3E
I … IS
d
GH
dLF
I … IS
≥ lim ℛ5 Pℛ D… Dℛ3E
k→.
lim M5 DM E… … EM3
Now,
FH
≥ lim ℛ5 Pℛ D… Dℛ3E
k→.
k→.
d
d
:
H … HI
≥ lim ℛ5 Pℛ D… Dℛ3E
k→.
ℋ Qℛ5 Pℛ D… Dℛ3E
≥
dLF
F,
dLF
G ,…,
QM5 PM D… … DM3E
QM5 PM D… … DM3E
dLF
dLF
GH
QM5 DM E… … EM3
dLF
dLF
dLF
F ,…,
FH
G ,…,
⋮
: ,…,
:H
dLF
:H
dLF
dLF
I … IS ⟶ M5 DM E… … EM3
zF
H … HI
"5
I … IS → M5 DM E… … EM3
zG
H … HI
"
FH
:LF H
I … IS → M5 DM E… … EM3
I … IS , ℛ5 Dℛ E… Eℛ3
I … IS , M5 DM E… … EM3
I … IS , M5 DM E… … EM3
dLF
http://www.iaeme.com/IJCIET/index.asp
:
zG
zF ,zG ,….,z:
zF
H … HI
H … HI , Y
H … HI , )R ð
"3
R
H … HI , )R ð … ð
H … HI , M5 DM E… … EM3
264
z:
z:
H … HI , )R
editor@iaeme.com
Generalized Tupled Common Fixed Point Theorems For Weakly Compatible Mappings In Fuzzy
Metric Space
As 7 → ∞ and by continuity of l, we get
QM5 DM E… … EM3
Also,ℋ Qℛ5 Pℛ D… Dℛ3E
≥
dLF
H … HI , M5 DM E… EM3
zF
G,
dLF
QM5 PM D… … DM3E
QM5 PM D… … DM3E
As 7 → ∞,
Continuity
K ,…,
dLF
dLF
QM5 PM D… … DM3E
QM5 DM E… … EM3
ℋ Qℛ5 Pℛ D… … Dℛ3E
≥
dLF
:,
zG
F ,…,
QM5 DM E… … EM3
QM5 PM D… … DM3E
As7 → ∞, we get
QM5 DM E… … EM3
⟹ "5
z:
KH
GH
FH
I … IS , M5 DM E… … EM3
I … IS , M5 DM E… … EM3
dLF
FH
dLF
dLF
dLF
FH
dLF
:LF H
:
zG ,zK ,…,z:
zF
z:
I … IS , M5 DM E… … EM3
z:LF
1
zF
H … HI , )R
H … HI , )R ð … ð
1
R
H … HI , )R ð
R
H … HI , )R
H … HI , Y
zF ,zG ,…,z:
R
H … HI
"
M5 DM E… … EM3
zG
H … HI ∈ ℛ5 Dℛ E… Eℛ3
zG ,zK ,…,zF
H … HI
"3
M5 DM E… … EM3
z:
H … HI ∈ ℛ5 Dℛ E… Eℛ3
z: ,…,z:LF
H … HI
⋮
H … HI , Y
H … HI , )R ð … ð
z: ,zF ,…,z:LF
H … HI ∈ ℛ5 Dℛ E… Eℛ3
H … HI , )R ð
z: ,zF ,…,z: 95
H … HI , M5 DM E… … EM3
zF
zG
H … HI , Y
I … IS , ℛ5 Dℛ E… Eℛ3
H … HI , ℛ5 Dℛ E… Eℛ3
M5 DM E… … EM3
zK
I … IS , M5 DM E… … EM3
I … IS , M5 DM E… … EM3
:LF H
H … HI , Y R
I … IS , ℛ5 Dℛ E… Eℛ3 zF ,zG ,…,z: H … HI , Y R
H … HI , ℛ5 Dℛ E… Eℛ3
dLF
QM5 PM D… … DM3E
dLF
zF ,zG ,…,z:
1
Therefore, 65 , 6 , … … , 63 isgeneralized tupled coincidence point.
http://www.iaeme.com/IJCIET/index.asp
265
editor@iaeme.com
Zena Hussein Maibed
Let Ε, , ð be a fuzzy metric space .Under the same assumptions of theorem(2.5) and all
mappings are weakly compatible at the coincidence point. Then these mappings have a unique
generalized tupled common fixed point of compose these mappings.
Theorem (2.6):
Proof:
M5 PM D… … DM3 Qℛ5 Dℛ E… Eℛ3
H … HIRI … IS ∈
Since the mappings lies in A and B are weakly compatible, this implies
•
zF ,zG ,…,z:
M5 DM E… … EM3 zF H … HI , M5 DM E… … EM3
ℛ5 Tℛ U… Uℛ3 |
… … , M5 DM E… … EM3 z: H … HI
•
M5 PM D… … DM3 Qℛ5 Dℛ E… Eℛ3
zG ,zK ,…,zF
•
M5 PM D… … DM3 Qℛ5 Dℛ E… Eℛ3
H … HI ,
zK
H … HI ,
H … HIRI … IS ∈
M5 DM E… … EM3 zG H … HI , M5 DM E… … EM3
ℛ5 Tℛ U… Uℛ3 |
… … , M5 DM E… … EM3 zF H … HI
Continue,
zG
z: ,zF ,…,z:LF
}V … VW
}V … VW
H … HIRI … IS ∈
M5 DM E… … EM3 z: H … HI , M5 DM E… … EM3 zF H … HI ,
ℛ5 Tℛ U… Uℛ3 |
}V … VW
… … , M5 DM E… … EM3 z:LF H … HI
By above inquisitions, we have
•
•
•
M5 DM E… … EM3
M5 DM E… … EM3
M5 DM E… … EM3
F
G
:
H … HI ∈ ℛ5 Dℛ E… Eℛ3
F , G ,…, :
H … HI ∈ ℛ5 Dℛ E… Eℛ3
G , K ,…, F
⋮
F
H … HI "5
M5 DM E… … EM3
M5 DM E… … EM3
http://www.iaeme.com/IJCIET/index.asp
H … HI
(3)
H … HI ∈ ℛ5 Dℛ E… Eℛ3
Now, we will prove thatM5 DM E… … EM3
H … HI
266
⋮
: , F ,…, :LF
G
:
H … HI
H … HI
H … HI
editor@iaeme.com
Generalized Tupled Common Fixed Point Theorems For Weakly Compatible Mappings In Fuzzy
Metric Space
Since ð is a t – norm of H – type, we have, ∀ ʎ > 0 ∃ g > 0 such that
1 − g ð … … ð 1 − g ≥ 1 − ʎ .But
then there exits )< > 0 such that
", #, ð is continuous and lim
DM5 DM E… … EM3
DM5 DM E… … EM3
DM5 DM E… … EM3
3
SinceY ∈ Ψ, by properties of Ψ we get,∑.
345 Y
k
that, ) > ∑.
k43c Y
c
DM5 DM E… … EM3
On other hand,
•
Dℛ5 Dℛ E… Eℛ3
≥
F
F , G ,…, :
DM5 DM E… … EM3
Dℛ5 Dℛ E… Eℛ3
≥
G
c
⋮
H … HI , "5 , )< I ≥ 1 − g
< ∞ which is implies, ∀ ) > 0 ∃ 7< ∈ ^ such
G
F
H … HI , M5 PM D… DM3E
⋮
:
G , K ,…, F
K
G
dLF
G,
dLF
KH
d
KH
F
K ,…,
dLF
GH
dLF
H … HI , M5 PM D… … DM3E
267
d
I
dLF
FH
I … IS , Y
c
I
I … IS , )< I ð … … ð
dLF
FH
dLF
•H
c
I … IS , )< I ð
I … IS , )< I
I … IS , Y
H … HI , M5 PM D… … DM3E
http://www.iaeme.com/IJCIET/index.asp
dLF
K,
H … HI , M5 PM D… … DM3E
⋮
:
I … IS , Y
H … HI , M5 PM D… … DM3E
H … HI , M5 PM D… DM3E
DM5 DM E… … EM3
GH
H … HI , ℛ5 Pℛ D… Dℛ3E
DM5 DM E… … EM3
DM5 DM E… … EM3
d
H … HI , M5 PM D… … DM3E
H … HI , M5 PM D… … DM3E
DM5 DM E… … EM3
Continues,
:
H … HI , "~ , )< I ≥ 1 − g
H … HI , ℛ5 Pℛ D… Dℛ3E
DM5 DM E… … EMM3
DM5 DM E… … EM3
G
1 , ∀ ", # ∈ Ε
, ,
H … HI , " , )< I ≥ 1 − g
H … HI , M5 PM D… … DM3E
DM5 DM E… … EM3
•
F
→.
c
I
dLF
• ,…,
dLF
KH
dLF
GH
I … IS , Y
I … IS , )< I ð
c
I … IS , )< I ð … … ð
dLF
FH
GH
I … IS , )< I
I … IS , Y
c
I
editor@iaeme.com
I
Zena Hussein Maibed
Dℛ5 Dℛ E… Eℛ3
≥
: , F ,…, :LF
DM5 DM E… … EM3
DM5 DM E… … EM3
F
DM5 DM E… … EM3
H … HI , ℛ5 Pℛ D… Dℛ3E
:
DM5 DM E… … EM3
F
DM5 DM E… … EM3
iii.
G
DM5 DM E… … EM3
G
H … HI , M5 PM D… DM3E
:LF
⋮
DM5 DM E… … EM3
v.
:
DM5 DM E… … EM3
ð DM5 DM E… … EM3
vi.
:
H … HI , "~ , Y
F
≥
QM5 DM E… … EM3
:
FH
dLF
DM5 DM E… … EM3
c
I≥
c
:LF
H … HI , "~ , Y
:
c
H … HI , "5 , Y
H … HI , " , Y
F
3
H … HI , " , Y k
c
H … HI , "5 , Y k95
c
c
3
H … HI , "5 , Y k
R ð QM5 DM E… … EM3
QM5 DM E… … EM3
http://www.iaeme.com/IJCIET/index.asp
:
:LF
H … HI , "3 , Y k95
268
I
H … HI , "5 , )< I ð
:
:LF
Ið
H … HI , "3 , Y
I ð DM5 DM E… … EM3
DM5 DM E… … EM3
c
H … HI , )< I
:
R ð QM5 DM E… … EM3
:LF
I … IS , Y
I … IS , )< I ð
I ð … … ð DM5 DM E… … EM3
c
:H
H … HI , "3 , )< I
H … HI , " , )< I ð … …
F
H … HI , "3 , )< I
DM5 DM E… … EM3
dLF
H … HI , "€ , )< I ð
K
I≥
ð … … ð QM5 DM E… … EM3
F
G ,…,
I … IS , )< I ð … … ð
H … HI , "5 , )< I ð DM5 DM E… … EM3
QM5 DM E… … EM3
DM5 DM E… … EM3
dLF
H … HI , M5 DM E… … EM3
H … HI , " , )< I
H … HI , "5 , Y
G
By induction,
GH
H … HI , "~ , )< I ð DM5 DM E… … EM3
By i, ii and iii we have
DM5 DM E… … EM3
dLF
dLF
H … HI , " , )< I ð … … ð DM5 DM E… … EM3
… … ð DM5 DM E… … EM3
iv.
F,
H … HI , M5 PM D… … DM3E
As 7 → ∞ in the above equalities, we obtain
i.
DM5 DM E… … EM3 F H … HI , " , Y c I ≥
ii.
dLF
G
c
F
c
3
H … HI , "5 , Y
H … HI , " , Y
R
3
H … HI , "~ , Y k
I
F
c
c
H … HI , " , Y k95
3
R
c
c
I≥
3
R
Ið……ð
c
3
R ð……ð
editor@iaeme.com
Generalized Tupled Common Fixed Point Theorems For Weakly Compatible Mappings In Fuzzy
Metric Space
≥
QM5 DM E… … EM3
3
But∑.
345 ∅
QM5 DM E… … EM3
c
F
:
H … HI , "5 , )< R
< ) , ∀ 7 ∈ ^, we get
3d
H … HI , " , )R
ð QM5 DM E… … EM3
7•
∞
:LF
F
3d
H … HI , "3 , )< R
3d
H … HI , "~ , )R
3d
H … HI , " , )< R
ð
ð……
∞
UM1 DM2 E… … EM7 "1 H … HI , "2 , o Y ) V ð UM1 DM2 E… … EM7 "2 H … HI , "3 , o Y ) V ð …
0
0
•
• 70
… ð UM5 DM E… … EM3
≥
DM5 DM E… … EM3
≥
QM5 DM E… … EM3
:
F
:
.
H … HI , "5 , o Y k
k43c
H … HI , " , Y 3c
ð … … ð DM5 DM E… … EM3
:
c
:LF
3:c
H … HI , "3 , )< R
DM5 DM E… … EM3
That is,M5 DM E… … EM3
M5 DM E… … EM3
F
⋮
I
3:c
F
G
H … HI
H … HI
G, K, c
F
G
H … HI , "~ , Y 3c
:
"
"~
H … HI
:
c
•
I
3:c
H … HI , " , )< R
H … HI , " , )I ð DM5 DM E… … EM3
Now, we will show that "5
continuous and lim →. , ,
1
≥ 1 − g,
c
DM5 DM E… … EM3
M5 DM E… … EM3
F , G, c
V
c
ð QM5 DM E… … EM3
≥ 1 − g ð 1 − g ð……ð 1 − g ≥ 1 − ʎ
Therefore,
• 70
I ð DM5 DM E… … EM3
H … HI , "5 , Y 3c
H … HI , "5 , )< R
ð … … ð QM5 DM E… … EM3
⋮
ð QM5 DM E… … EM3
… … ð QM5 DM E… … EM3
ð QM1 DM2 E… … EM7 "7 H … HI , "1 , )R
≥
3d
⋮
G
H … HI , "~ , )I ð … … ð
H … HI , "5 , )I ≥ 1 − ʎ
(4)
"5
" . . . … "3 .As that same way, since
∀ ", # ∈ Ε ⟹ ∃ )< > 0 such that
≥1−g
http://www.iaeme.com/IJCIET/index.asp
269
", #, .
editor@iaeme.com
is
Zena Hussein Maibed
:, F, c
≥1−g
3
But ∑.
345 Y
c
Now,
•
k
< ∞ ⟹ ∑.
k43c Y
DM5 PM D… … DM3E
Dℛ5 Pℛ D… Dℛ3E
≥
Also,
•
•
F ,…,
dLF
d
GH
dLF
G ,…,
dLF
DM5 PM D… … DM3E
Dℛ5 Pℛ D… Dℛ3E
dLF
:
: ,…,
c
E" , "~ , Y
E"3 , "5 , Y
c
c
GH
:
dLF
H≥
H≥
H≥
d
KH
FH
d
FH
dLF
" , "~ , )< ð
"3 , "5 , )< ð
http://www.iaeme.com/IJCIET/index.asp
KH
dLF
FH
"5 , " , )< ð … … ð
270
FH
c
I
c
GH
I … IS , Y
c
I
I … IS , )< I
F ,…,
c
dLF
I
:H
I … IS , Y
I … IS , )< I ð … … ð
:
I
I … IS„
dLF
GH
dLF
"~ , "€ , )< ð … … ð
I … IS , Y
I … IS , )< I ð … … ð
dLF
dLF
FH
I … IS„ ð … … ð
K ,…,
" , "~ , )< ð … … ð
⋮
dLF
I … IS , Y
I … IS , M5 DM E… … EM3
"5 , " , )< ð
GH
dLF
dLF
I … IS , ℛ5 Pℛ D… Dℛ3E
:LF H
G ,…,
dLF
I … IS , M5 PM D… … DM3E
H … HI , M5 PM D… … DM3E
dLF
dLF
I
c
I … IS , Y
I … IS , ℛ5 Pℛ D… Dℛ3E
:LF H
:
I … IS , Y
H … HI , M5 PM D… … DM3E
I … IS , M5 PM D… … DM3E
dLF
dLF
DM5 PM D… … DM3E
E"5 , " , Y
FH
GH
I … IS , M5 PM D… … DM3E
H … HI , M5 PM D… … DM3E
DM5 DM E… … EM3
As7 → ∞, we get,
FH
dLF
dLF
d
I … IS , ℛ5 Pℛ D… Dℛ3E
I … IS , M5 PM D… … DM3E
DM5 PM D… … DM3E
d
:H
dLF
ƒM5 DM E… … EM3
DM5 DM E… … EM3
≥
I … IS , M5 PM D… … DM3E
ƒM5 PM D… … DM3E
Dℛ5 Pℛ D… Dℛ3E
Continue,
FH
dLF
DM5 PM D… … DM3E
≥
d
< ∞,for some 7< ∈ ^.
c
c
I
H … HI , )< I
"3 , "5 , )<
"5 , " , )<
"395 , "3 , )<
editor@iaeme.com
Generalized Tupled Common Fixed Point Theorems For Weakly Compatible Mappings In Fuzzy
Metric Space
And hence,
E"5 , " , Y
"5 , " , )<
By induction
D"5 , " , Y k
Q D"5 , " , Y k95
But,
≥
3
∑.
345 Y
≥
⟹
Hð E" , "~ , Y
c
"5
c
c
3
"
≥
3
3d
ð……ð
c
c
⋮
3d
3:c
ð
" , "~ , )<
…
F
M5 DM E… … EM3
c
3
ð……ð
c
c
G
:
"3
H … . . HI
3:c
E"5 , "5̀ , Y
H
Dℛ5 Dℛ E… … Eℛ3
≥
"3 , "5 , )<
"3 , "5 , )
Ið …… ð
ð……ð
ℛ5 Dℛ E… … Eℛ3
H … . . HI
⋮
H … . . HI
(5)
F , G ,…, :
DM5 DM E… … EM3
ℛ5 Dℛ E… … Eℛ3
ℛ5 Dℛ E… … Eℛ3
H … . . HI , ℛ5 Dℛ E… … Eℛ3
F
DM5 DM E… … EM3
F , G ,…, :
G , K ,…, F
F̀ , G̀ ,…, :̀
F̀
H … . . HI , M5 DM E… … EM3
http://www.iaeme.com/IJCIET/index.asp
271
c
IR
3
3d
k
D"3 , "5 , ∑.
k43c Y
"3 , "5 , )<
H … . . HI
H … . . HI
: , F ,…, :LF
H … . . HI , M5 DM E… … EM3
:
I≥
c
I ð … … ð D"3 , "5 , Y 3c
Finally, we shall prove the uniqueness suppose that
"5̀ , " ̀ , … … , "3̀ ∈ ‹ Satisfy (5)
3
IR ð … … ð Q D"3 , "5 , Y k95
" , "~ , ) ð … … ð
I ð D" , "~ , Y 3c
"3 , "5 , )<
H≥
I ð … … ð D"3 , "5 , Y k
k
I ð D" , "~ , ∑.
k43c Y
c
c
≥ 1 − g ð 1− g ð……ð 1 − g ≥ 1 − ʎ
M5 DM E… … EM3
M5 DM E… … EM3
" , "~ , )<
"5 , " , ) ð
"5 , " , )<
And hence, by (3) & (4)
ð
and hence
D"5 , " , Y 3c
"~
3
IR ð Q D" , "~ , Y k95
k
D"5 , " , ∑.
k43c Y
≥
" , "~ , )<
Hð … … ð E"3 , "5 , Y
I ð D" , "~ , Y k
c
"5 , " , )<
<)
ð
c
3:c
I
"5
"
H … . . HI
H … . . HI , Y
c
"3
I
H … . . HI , )I ð … … ð
:̀
H … . . HI , )I
editor@iaeme.com
c
I
Zena Hussein Maibed
"5 , "5̀ , ) ð … … ð
By lemma (1.3), we get"5
"3 , "3̀ , ) >
"5 , "5̀ , )
"5̀ . As the same way, we get
"
" ̀ , … 678 "3
"3̀
Let Ε, , ð be a fuzzy metric space .Under the same assumptions of theorem (2.5) but
Corollary (2.7)
Qℛ5 Dℛ E… … Eℛ3
≥
F , G ,…, :
H … . . HI , ℛ5 Dℛ E… … Eℛ3
QM5 DM E… … EM3
QM5 DM E… … EM3
G
F
H … . . HI , M5 DM E… … EM3
H … . . HI , M5 DM E… … EM3
QM5 DM E… … EM3
:
H … . . HI , •)R
F , G ,…, :
G
F
H … . . HI , )R ð
H … . . HI , )R ð … … ð
H … . . HI , M5 DM E… … EM3
:
H … . . HI , )R
Where • ∈ 0,1 , ) > 0 and "` , #` ∈ Ε
∀ a 1,2, … … , 7.Then there exists a unique Œ. 7 – tupled
common fixed point of compose the mappings in • 678 Ž.
Let Ε, , ð be a fuzzy metric space .Under the same assumptions of theorem (2.5) but
Corollary (2.8)
Qℛ5 Dℛ E… … Eℛ3
≥
F , G ,…, :
H … . . HI , ℛ5 Dℛ E… … Eℛ3
QM5 DM E… … EM3
QM5 DM E… … EM3
G
F
H … . . HI , M5 DM E… … EM3
H … . . HI , M5 DM E… … EM3
QM5 DM E… … EM3
:
F , G ,…, :
G
H … . . HI , Y ) R
F
H … . . HI , )R
H … . . HI , M5 DM E… … EM3
:
H … . . HI , )R
zG
zF
ð……ð
H … . . HI , )R
ð
z:
Where ∑3̀45 6` 1, ) > 0 and "` , #` ∈ Ε , ∀ a 1,2, … … , 7.Then there exists a unique
Œ. 7 – tupled common fixed point of compose the mappings in• 678 Ž.
Let Ε, , ð be a fuzzy metric space .Under the same assumptions of theorem(2.5) but
Corollary (2.9)
Qℛ5 Dℛ E… … Eℛ3
≥
F , G ,…, :
H … . . HI , ℛ5 Dℛ E… … Eℛ3
QM5 DM E… … EM3
QM5 DM E… … EM3
G
F
H … . . HI , M5 DM E… … EM3
H … . . HI , M5 DM E… … EM3
QM5 DM E… … EM3
:
F , G ,…, :
G
H … . . HI , •)R
F
H … . . HI , )R
H … . . HI , M5 DM E… … EM3
:
H … . . HI , )R
zG
ð……ð
H … . . HI , )R
zF
ð
z:
Where ∑3̀45 6` 1 , • ∈ 0,1 , and "` , #` ∈ Ε
∀ a 1,2, … … , 7.Then there exists a
unique Œ. 7 – tupled common fixed point of compose the mappingsin• 678 Ž.
http://www.iaeme.com/IJCIET/index.asp
272
editor@iaeme.com
Generalized Tupled Common Fixed Point Theorems For Weakly Compatible Mappings In Fuzzy
Metric Space
Let Ε, , ð be a fuzzy metric space .Under the same assumptions of theorem(2.5) but
Corollary (2.10):
≥
Qℛ5 Dℛ E… … Eℛ3
"5 , #5 , ) ð
F , G ,…, :
H … . . HI , ℛ5 Dℛ E… … Eℛ3
" ,# ,) ð……ð
"3 , #3 , )
∀a
Where • ∈ 0,1 , ) > 0 and "` , #` ∈ Ε
fixed point of compose the mappings in •.
F , G ,…, :
H … . . HI , •)R
1,2, … … , 7.Then there exists a unique Œ. 7 – tupled
CONCLUSION
We have introduced the new concepts of generalized tupled common fixed point and weakly
compatible mapping and established some common fixed point theorems in Fuzzy metric
space. In the end, we must say that, this paper is just a beginning of a new structure and we
have studied many of ideas , it will be necessary to carry out more theoretical research to
establish a general framework for the practical application.
REFERENCES
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
[6]
[7]
[8]
[9]
[10]
[11]
[12]
[13]
[14]
[15]
.T.Aage, J.N.Salunke,"Common Fixed Point Theorems in Fuzzy Metric Space",Int.Journal
of pureand applied math,56(2)2009(155_164).
G.T.Aage, J.N.Salunke,"Some Fixed Point Theorems in Fuzzy Metric Space ", Int.Journal
of pure and applied math, 56(3)2009, (311_320).
J.X.Fang,Common Fixed Theorems of Compatible and Weakly Compatible Maps in
Menger Space ,Nonlinear .Anal,71,2009,(1833_1843)2.9.
A.George ,P.Veeramani,"On Some Result in Fuzzy Metric Space ,fuzzy set and systems
,64,1994,(395_399).1,2,2.3,2.4.
M. Imdad and J. Ali," Some Common Fixed Point Theorems in Fuzzy Metric
Space",Math .comm,2006,(153_163)153.
O.Kramosiland J.Michalek,"Fuzzy Metric and Statistical Metric Spaces,"
kybernetika,1975(326_334).
7.S.Kutukcu,S.Sharmal and H.Tokgoz,"A Fixed Point Theorem in Fuzzy Metric Space,
"Int .Journal of math .Analysis,Vol 1,2007,(861_872),No
R.A.Martinezand M.J.Roldan,"Tripled Fixed Point Theorems in Fuzzy Metric Spaces and
Applications," fixed point theory,2013(29)2013.
R.P.Pant,K.Jha,"A Remarke on Common Fixed Points of Four Mappings in Fuzzy Metric
Space,"J.Fuzzy Math .12(2),2004,(433-437).
A.Roldan,J.Martinez-Moreno, G.Roldan,"Tripled Fixed Point Theorem in Fuzzy Metric
Spaces and Applications,' fixed point theory,2013,13,(3,3.4,3.11).
S.Sedghi,I.Altun ,N.Shabe,"Coupled Fixed Point Theorems for Contractions in Fuzzy
Metric Spaces,"Nonlinear Anal,72(2010)(1298_1304).1,2.8,3,3.1.
R.Saadati, P.Kumam and S.Y.Jang,"On the Tripled Fixed Point and Tripled Coincidence
Point Theorems in Fuzzy Normed Space," fixed point theory and appl.(2014)136(1_16).
J.F.Tian, X.M.Hu and H.S.Zhao,"Common Tripled Fixed Point Theorem for W_
Compatible Mappings in Fuzzy Metric Space", J.Nonlinear Sci.Appl.9 (2016),(806_818).
L.A.Zadeh, Fuzzy Sets, Inform and control 8(1965),(338_353).
X.Zhu,J.Xiao,"Note on Coupled Fixed Point Theorems For Contractions in Fuzzy Metric
Spaces", Nonlinear Anal,74(2011),5475_5479.1,3,3.3.
http://www.iaeme.com/IJCIET/index.asp
273
editor@iaeme.com