6
1. (a)
∞
n=−∞
z 変換 演習問題解答
nx(n)z −n = −z dX(z)
を利用する．x(n) = αn · u0 (n) の z 変換は X(z) = 1/(1 − αz −1
dz
であるから，
−αz −2
dX(z)
=
dz
(1 − αz −1 )2
(6.1)
よって
∞
nαn u0 (n)z −n = −z
n=−∞
=
dX(z)
dz
αz −1
(1 − αz −1 )2
(6.2)
(b)
∞
∞
1
1 −1 n
−n
u0 (n)z
(z )
=
n!
n!
n=−∞
n=0
= exp(z
−1
)
∞
1 n
W による
exp(W ) =
n!
n=0
(6.3)
(c)
∞
e
jωn
u0 (n)z
−n
=
n=−∞
∞
(ejω z −1 )n
n=0
=
1
1 − ejω z −1
(6.4)
(d)
∞
∞
1 jωn
(e
− e−jωn )z −n
2j
n=0
1
1
1
=
−
2j 1 − ejω z −1
1 − e−jω z −1
z −1 sin ω
=
1 − 2z −1 cos ω + z −2
sin ωn · u0 (n)z −n =
n=−∞
(e)
∞
n=−∞
cos ωn · u0 (n)z
−n
∞
1 jωn
(e
=
+ e−jωn )z −n
2
n=0
1
1
1
=
+
2 1 − ejω z −1
1 − e−jω z −1
(6.5)
2
6
z 変換 演習問題解答
1 − z −1 cos ω
1 − 2z −1 cos ω + z −2
=
2. (a)
∞
n=−∞
∗
∞
x∗ (n)z −n =
(6.6)
x(n)z n
n=−∞
= X ∗ (z −1 )
(6.7)
(b)
∞
−∞
x(−n)z −n =
n=−∞
=
x(m)z m
m=∞
∞
x(m)z m
m=−∞
−1
= X(z
(c)
∞
x(n)z
−n
=
n=−∞
=
=
)
(6.8)
∞
(−n)x(n)z
−(n+1)
n=−∞
∞
n(n + 1)x(n)z −(n+2)
n=−∞
∞
n2 x(n)z −(n+2) +
n=−∞
∞
nx(n)z −(n+2)
(6.9)
n=−∞
よって
∞
∞
d2 X(z)
−2
2
−n
−2
=
z
n
x(n)z
+
z
nx(n)z −n
d2 z
n=−∞
n=−∞
したがって
∞
n2 x(n)z −n = z 2
n=−∞
(6.10)
d2 X(z) dX(z)
+
d2 z
dz
(6.11)
(d)
x(0)z −0 + x(1)z −2 + x(2)z −4 + x(3)z −6 + · · · =
∞
n=−∞
2
= X(z )
(e) y(n) =
n
k=0
x(n)(z 2 )−n
(6.12)
x(k) とおくと，y(n) は以下のように書ける．
y(n) =
n
1n−k x(k)
(6.13)
k=0
すなわち，1n と x(n) のたたみこみによって y(n) は表されている．二つの信号のたたみこみの
z 変換は，それぞれの z 変換の積となることを利用すると
n
∞
1
1n−k x(k) z −n =
X(z)
1
−
z −1
n=0
k=0
(6.14)
3
ここで 信号 1n の z 変換は 1/(1 − z −1 ) であることを利用している．
3. (a)
∞
∞
(a1 x1 (n) + a2 x2 (n))z −n = a1
n=−∞
x1 (n)z −n + a2
n=−∞
∞
x2 (n)z −n
n=−∞
= a1 X1 (z) + a2 X2 (z)
(6.15)
(b) n − m = k とおくと
∞
∞
x(n − m)z −n =
n=−∞
x(k)z −(m+k)
k=−∞
∞
= z −m
x(k)z −k
k=−∞
=z
−m
X(z)
(6.16)
(c)
∞
∞
αn x(n)z −n =
n=−∞
x(n)(α−1 z)−n
n=−∞
−1
= X(α
(d)
∞
x(n)z −n
∞
=
n=−∞
z)
(6.17)
(−n)x(n)z −n−1
n=−∞
∞
= −z −1
nx(n)z −n
(6.18)
n=−∞
よって
∞
dX(z)
= −z −1
nx(n)z −n
dz
n=−∞
(6.19)
したがって
∞
nx(n)z −n = −z
n=−∞
dX(z)
dz
(e)
∞
y(n)z
−n
=
n=−∞
=
=
∞
n=−∞
∞
k=−∞
∞
∞
(6.20)
h(k)x(n − k) z −n
k=−∞
h(k)z −k
h(k)z −k
k=−∞
= H(z)X(z)
∞
x(n − k)z −(n−k)
n=−∞
∞
x(n )z −n
n =−∞
(6.21)
4
6
z 変換 演習問題解答
(f) x(n) は因果的であると仮定すると
lim X(z) = lim (x(0) + x(1)z −1 + x(2)z −2 + · · ·)
z→∞
z→∞
= x(0)
(6.22)
(g) x(n) は因果的であると仮定すると
lim (1 − z −1 )X(z) = lim X(z) − z −1 X(z)
z→1
∞
∞
−n
−n
= lim
x(n)z −
x(n − 1)z
z→1
z→1
=
∞
n=0
∞
x(n) −
n=0
n=0
x(n − 1)
n=0
= x(∞)
(6.23)
4. (a)
y(n) = h(n) ∗ x(n)
(6.24)
= [1, 1, 0, 6, 13, 9, 2]
(6.25)
(b)
H(z) = 1 + 3z −1 + 3z −1 + z −3
X(z) = 1 − 2z
−1
+ 3z
−2
+ 2z
(6.26)
−3
(6.27)
Y (z) = 1 + z −1 + 0z −2 + 6z −3 + 13z −4 + 9z −5 + 2z −6
(6.28)
ここで，H(z) と X(z) の積は以下のように求められる．
3z
−5
+z −3
+3z −2
+3z −1
+1
× +2z
−3
+3z
−2
−2z
−1
+1
z
−3
3z
−2
3z
−1
1
−6z
−3
−6z
−2
−2z
−1
9z
−3
3z
−2
−2z
−4
9z
−4
2z −6
6z −5
6z −4
2z −3
+2z −6
+9z −5
+13z −4
+6z −3
+0z −2
+z −1
(6.29)
+1
式 (6.28) と上式から，Y (z) = H(z)X(z) が成り立っていることがわかる．
5. (a) x(n) = δ(n) のとき，再帰的計算により，以下の単位インパルス応答 h(n) が求められる．
h(0) = 0.5 · 0 + 0.5δ(0) = 0.5
h(1) = 0.5h(0) + 0.5 · 0 = 0.52
h(2) = 0.5h(1) + 0.5 · 0 = 0.53
..
.
h(n) = 0.5n+1 ,
n>
=0
(6.30)
5
(b) 入力信号 x(n) が
x(n) = [1, 1, 1, 1]
¯
(6.31)
で与えられるとき，(a) と同様に，再帰的な計算により，以下のように出力 y(n) が求められる．
y(0) = 0.5 · 0 + 0.5x(0) = 0.5
y(1) = 0.5y(0) + 0.5x(1) = 0.75
y(2) = 0.5y(1) + 0.5x(2) = 0.875
y(3) = 0.5y(2) + 0.5x(3) = 0.9375
y(4) = 0.5y(3) + 0.5 · 0 = y(3) · 0.5
..
.
y(n) = y(3) · 0.5n−3
すなわち，
y(n) =
 n


0.5k+1 = 1 − 0.5n+1


k=0
n−3
0.5
− 0.5
n+1
(n = 0, 1, 2, 3)
(6.32)
(n ≥ 4)
(c) まず，単位インパルス応答 h(n) の z 変換 H(z) を求める．
H(z) =
=
=
∞
n=0
∞
n=0
∞
h(n)z −n
0.5n+1 z −n
n
0.5 · 0.5z −1
n=0
=
0.5
1 − 0.5z −1
(6.33)
入力 x(n) の z 変換 X(z) を求める．
X(z) =
=
∞
n=0
3
x(n)z −n
z −n
n=0
=
1 − z −4
1 − z −1
(6.34)
次に，y(n) の z 変換 Y (z) を求める．
Y (z) =
=
∞
n=0
3
n=0
y(n)z −n
(1 − 0.5n+1 )z −n +
∞
(0.5n−3 − 0.5n+1 )z −n
n=4
6
6
3
=
∞
z −n −
n=0
z 変換 演習問題解答
0.5n+1 z −n +
n=0
∞
0.5n−3 z −n
n=4
1 − z −4
0.5
0.5z −4
=
−
+
1 − z −1
1 − 0.5z −1 1 − 0.5z −1
0.5
1 − z −4
=
·
−1
1 − 0.5z
1 − z −1
= H(z)X(z)
(6.35)
6. (a)
X(z) = (1 + z −1 )N
=
N
N Cn 1
N −n
(6.36)
(z −1 )n
(6.37)
n=0
=
N
N Cn z
−n
(6.38)
n=0
(6.39)
よって
x(n) =
N Cn
· u0 (n)
(6.40)
(b)
e1/z =
∞
1 −n
z
n!
n=0
(6.41)
x(n) =
1
· u0 (n)
n!
(6.42)
よって
(c)
X(z) = log(1 − z −1 )
∞
1 −n
z
= −
n
n=1
よって

 0
x(n) =
 −1
n
W3
W2
+
− · · · による
log(1 + W ) = W −
2
3
n<
=0
n>0
(6.43)
(6.44)
(d)
X(z) = sin z −1
1
1
1
= z −1 − z −3 + z −5 + · · ·
1!
3!
5!
よって
x(n) = 0,
1
1
1
, 0, − , 0, , · · ·
1!
3!
5!
(6.45)
(6.46)
(6.47)
7
(e)
X(z) = cos z −1
1
1
1
= 1 − z −2 + z −4 − z −6 + · · ·
2!
4!
6!
よって
x(n) = 1, 0, −
(6.48)
(6.49)
1
1
1
, 0, , 0, − , · · ·
2!
4!
6!
(6.50)
7. (a)
1
X(z) =
1−
1 −4
16 z
4
16z
16z 4 − 1
=
(6.51)
よって，4 重の零点が z = 0 にある．また，16z 4 − 1 = 0 より，z = ±1/2, ±j/2 が得られ，こ
れらが極となる．図 6.1(a) には，零点と極が z 平面に示されている．
部分分数展開法を用いて，逆 z 変換 x(n) を求める． X(z) を以下のように部分分数に分解する．
1
X(z) =
1 −4
1 + 16
z
1
1
1
1
1
=
+
+
+
4 1 − 12 z −1
1 + 12 z −1
1 − j 12 z −1
1 + j 12 z −1
よって
1
x(n) =
4
n n n n 1
1
1
1
+ −
+ j
+ −j
2
2
2
2
(6.52)
(6.53)
次に，べき級数展開法を用いて，逆 z 変換 x(n) を求める． X(z) を以下のように．z −1 のべき
級数に展開する．
k
∞ 1 −4
z
X(z) =
16
k=0
∞ 4k
1
=
z −4k
2
(6.54)
k=0
よって
 n

 1
, n = 0, 4, 8, 12, · · ·
2
x(n) =


0,
その他
(6.55)
(b)
X(z) =
=
1
1+
(6.56)
1 −4
16 z
4
16z
16z 4 + 1
よって，4 重の零点が z = 0 にある．また，16z 4 + 1 = 0 より，z =
(6.57)
1±j
√ , −1±j
√
2 2
2 2
れらが極となる．図 6.1(b) には，零点と極が z 平面に示されている．
が得られ，こ
8
6
z 変換 演習問題解答
部分分数展開法を用いて，逆 z 変換 x(n) を求める． X(z) を以下のように部分分数に分解する．
1
X(z) =
1 −4
1 + 16
z
1
1
1
+
+
=
1−j
√ z −1
√
4 1 − 1+j
1 − 2 2 z −1
1−
2 2
よって
1
x(n) =
4
1+j
√
2 2
n
+
1−j
√
2 2
n
+
−1 + j
√
2 2
(6.58)
1
−1+j
√ z −1
2 2
n
+
+
1
1−
−1 − j
√
2 2
−1−j
√ z −1
2 2
(6.59)
n (6.60)
次に，べき級数展開法を用いて，逆 z 変換 x(n) を求める． X(z) を以下のように．z −1 のべき
級数に展開する．
k
∞ 1 −4
− z
X(z) =
16
k=0
4k
∞
1
=
(−1)k
z −4k
2
(6.61)
k=0
よって

n

 (−1)n/4 1
, n = 0, 4, 8, 12, · · ·
2
x(n) =


その他
0,
1
1
zeros
poles
zeros
poles
0.5
Imaginary Part
0.5
Imaginary Part
(6.62)
4
0
-0.5
-1
4
0
-0.5
-1
-1
-0.5
0
0.5
1
-1
-0.5
0
Real Part
Real Part
(a) 問題 7(a)
(b) 問題 7(b)
0.5
1
図 6.1 極零点の配置
【MATLAB6.1】
%X(z) の極と零点の配置
%(a)
Nz = [1 0 0 0 0];
Dz = [1 0 0 0 -1/16];
zr = roots(Nz)
pl = roots(Dz)
subplot(2,2,1)
zplane(Nz,Dz);
%分子係数
%分母係数
%零点の計算（N(z)=0 を解く）
%極の計算 （D(z)=0 を解く）
%極零点の図示
9
legend(’zeros’,’poles’);
%(b)
Nz = [1 0 0 0 0];
Dz = [1 0 0 0 1/16];
zr = roots(Nz)
pl = roots(Dz)
subplot(2,2,2)
zplane(Nz,Dz);
legend(’zeros’,’poles’);
%凡例
%分子係数
%分母係数
%零点の計算（N(z)=0 を解く）
%極の計算 （D(z)=0 を解く）
%極零点の図示
%凡例
————————————————
zr =
0
0
0
0
以下 ディスプレイの表示
————————————————
pl =
-0.5000
0.0000 + 0.5000i
0.0000 - 0.5000i
0.5000
zr =
0
0
0
0
pl =
-0.3536
-0.3536
0.3536
0.3536
+
+
-
0.3536i
0.3536i
0.3536i
0.3536i
8. (a) 図 6.2(a) に極と零点を示す．
教科書の例題 6.5 より
Z[αn sin ωn] =
αz −1 sin ω
1 − 2αz −1 cos ω + α2 z −2
(6.63)
Z[αn cos ωn] =
1 − αz −1 cos ω
1 − 2αz −1 cos ω + α2 z −2
(6.64)
また，
となる．ここで，X(z) を以下のように分解する．
1
1 − 0.9z −1 + 0.81z −2
1
=
−1
1 − 2(0.9)z cos π3 + (0.9)2 z −2
X(z) =
=
1 − (0.9)z −1 cos π3 + (0.9)z −1 cos π3
1 − 2(0.9)z −1 cos π3 + (0.9)2 z −2
10
6
=
z 変換 演習問題解答
(0.9)z −1 sin π3 · √13
1 − (0.9)z −1 cos π3
+
(6.65)
1 − 2(0.9)z −1 cos π3 + (0.9)2 z −2 1 − 2(0.9)z −1 cos π3 + (0.9)2 z −2
式 (6.63) と式 (6.64) より逆 z 変換 x(n) は以下のようになる．
(0.9)n
π
π
x(n) = (0.9)n cos n + √ sin n
3
3
3
1
π
π
= (0.9)n cos n + √ sin n
3
3
3
(b) 図 6.2(b) に極と零点を示す．
1
X(z) =
(1 − 0.5z −1 )2
(6.66)
(6.67)
X1 (z) = 1/(1 − 0.5z −1) の逆 z 変換は x1 (n) = (0.5)n u0 (n) である．X(z) = X1 (z)X1 (z) ←→
x(n) = x1 (n) ∗ x1 (n) より
x(n) = ((0.5)n u0 (n)) ∗ ((0.5)n u0 (n))
∞
=
(0.5)k u0 (k)(0.5)n−k u0 (n − k)
=
=
k=−∞
∞
(0.5)n u0 (n − k)
k=0
n
(0.5)n
k=0
= (n + 1)(0.5)n ,
n>
=0
(6.68)
(c) 図 6.2(c) に極と零点を示す．
z −3 − z −8
1 − z −1
z −3
z −8
=
−
1 − z −1
1 − z −1
−3
= z Z[u0 (n)] − z −8 Z[u0 (n)]
X(z) =
(6.69)
Z −1 [z −m X(z)] = x(n − m) より
x(n) = u0 (n − 3) − u0 (n − 8)
= [0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, · · ·]
【MATLAB6.2】
%X(z) の極と零点の配置
syms z
%(a)
Nz = [1 0 0 0 0];
Dz = [1 -0.9 +0.81];
zr = roots(Nz)
pl = roots(Dz)
(6.70)
%分子係数
%分母係数
%零点の計算（N(z)=0 を解く）
%極の計算 （D(z)=0 を解く）
11
1
1
0.5
Imaginary Part
0.5
Imaginary Part
zeros
poles
zeros
poles
2
0
-0.5
2
0
2
-0.5
-1
-1
-1
-0.5
0
0.5
-1
1
-0.5
0
0.5
1
Real Part
Real Part
(a) 問題 8(a)
(b) 問題 8(b)
1
zeros
poles
Imaginary Part
0.5
7
0
-0.5
-1
-1
-0.5
0
0.5
1
Real Part
(c) 問題 8(c)
図 6.2 極零点の配置
subplot(2,2,1)
zplane(Nz,Dz);
%極零点の図示
legend(’zeros’,’poles’); %凡例
%(b)
Nz = [1 0 0 0 0];
%分子係数
Dz = conv([1 -0.5], [1 -0.5]);
%分母係数
zr = roots(Nz)
%零点の計算（N(z)=0 を解く）
pl = roots(Dz)
%極の計算 （D(z)=0 を解く）
subplot(2,2,2)
zplane(Nz,Dz);
%極零点の図示
legend(’zeros’,’poles’); %凡例
%(c)
Nz = [0 0 0 1 0 0 0 0 -1]; %分子係数
Dz = [1 -1];
%分母係数
zr = roots(Nz)
%零点の計算（N(z)=0 を解く）
pl = roots(Dz)
%極の計算 （D(z)=0 を解く）
subplot(2,2,3)
zplane(Nz,Dz);
%極零点の図示
legend(’zeros’,’poles’);
%凡例
————————————————
zr =
0
以下 ディスプレイの表示
————————————————
12
6
z 変換 演習問題解答
0
0
0
pl =
0.4500 + 0.7794i
0.4500 - 0.7794i
zr =
0
0
0
0
pl =
0.5000
0.5000
zr =
-0.8090
-0.8090
0.3090
0.3090
1.0000
+
+
-
0.5878i
0.5878i
0.9511i
0.9511i
pl =
1
9. (a)
X(z) =
1 − 0.5z −1
(1 − z −1 )(1 + 0.5z −1 )
(6.71)
X(z)z n−1 は z = 1 と z = −0.5 で 1 位の極をもつ．z = 1 と z = −0.5 の留数はそれぞれ
(z − 1)(1 − 0.5z −1) n−1
z
z→1 (1 − z −1 )(1 + 0.5z −1 )
1
=
3
(z + 0.5)(1 − 0.5z −1) n−1
Res(−0.5) = lim
z
z→−0.5 (1 − z −1 )(1 + 0.5z −1 )
n
2
1
=
−
3
2
Res(1) = lim
したがって
n
1
,
−
2
x(n) =
1 2
+
3 3
X(z) =
z −2
(1 − z −1 )(1 + 0.5z −1 )
n>
=0
(6.72)
(6.73)
(6.74)
(b)
(6.75)
n = 0 のとき X(z)z n−1 = X(z)z −1 は z = 1, 0, −0.5 で 1 位の極をもつ． z = 1, 0, −0.5 の留
13
数はそれぞれ
(z − 1)z −2
z −1
z→1 (1 − z −1 )(1 + 0.5z −1 )
2
3
(z − 0)z −2
lim
z −1
z→0 (1 − z −1 )(1 + 0.5z −1 )
−2
(z + 0.5)z −2
z −1
lim
z→−0.5 (1 − z −1 )(1 + 0.5z −1 )
4
3
Res(1) = lim
=
Res(0) =
=
Res(−0.5) =
=
(6.76)
(6.77)
(6.78)
したがって
x(0) = 0
(6.79)
n−1
n>
は z = 1, −0.5 で 1 位の極をもつ． z = 1, −0.5 の留数はそれぞれ
= 1 のとき X(z)z
(z − 1)z −2
z n−1
z→1 (1 − z −1 )(1 + 0.5z −1 )
2
=
3
(z + 0.5)z −2
Res(−0.5) = lim
z n−1
z→−0.5 (1 − z −1 )(1 + 0.5z −1 )
n
4
1
=
−
3
2
Res(1) = lim
したがって
2 4
x(n) = +
3 3
以上より
10.
n
1
,
−
2
n>
=1

n

 2 + 4 −1
, n>
=1
3 3
2
x(n) =


0,
n=0
X(z) =
∞
x(k)z −k
(6.80)
(6.81)
(6.82)
(6.83)
(6.84)
k=0
X(z) を z −1 で n 回微分すると
n−1
∞
dn
X(z) = n!x(n) +
(k − l) x(k)z −(k−n)
d(z −1 )n
k=n+1
上式において，z −1 = 0 とおけば
dn
X(z)
= n!x(n)
−1
n
d(z )
z −1 =0
よって，
dn
1
x(n) =
X(z)
n! d(z −1 )n
−1
z
=0
(6.85)
l=0
(6.86)
(6.87)