FINANZAS PARA EMPRENDEDORES
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CAPÍTULO 6 – BALANCEAR RIESGO Y RETORNO ESPERADO
“A lot of people approach risk as if it's the enemy when it's really fortune's accomplice”
-Sting (1951-), English rock singer
LA TEORÍA DE MARKOWITZ
¿Ha considerado usted invertir en la bolsa? Con una conexión a internet, hoy puede hacerlo sin moverse
de su casa. Distintos sitios web ofrecen alternativas de inversión incluso para inversores pequeños, que
con no mucho más que 5,000 dólares ya pueden abrir una cuenta y operar.
Si lo entusiasmó la idea, permítame poner a prueba su criterio para elegir inversiones. Le haré 3
preguntas.
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1. ¿En qué empresa invertiría: Coca-Cola o Fulanita? (Figura 63)
Figura 63 - ¿Coca-Cola o Fulanita?
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2. ¿En qué empresa invertiría: Coca-Cola o Menganita? (Figura 64)
Figura 64 - ¿Coca-Cola o Menganita?
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3. ¿En qué empresa invertiría: Coca-Cola o Apple? (Figura 65)
Figura 65 - ¿Coca-Cola o Apple?
La pregunta 1 se refiere a dos empresas que tienen el mismo nivel de riesgo, pero distinta rentabilidad.
Probablemente usted eligió Coca-Cola, que es la que ofrece mayor rentabilidad (si eligió Fulanita, por
favor escríbame y cuénteme por qué). La pregunta 2 se refiere a dos empresas que ofrecen la misma
rentabilidad, pero tienen distinto riesgo. Probablemente usted eligió Coca-Cola, que es la que tiene menor
riesgo. La pregunta 3 es más difícil: las dos empresas son distintas tanto en la rentabilidad como también
en el riesgo. Podríamos decir que, en este caso, para ganar más hay que arriesgar más. ¿Puede usted
asegurar que alguna de las dos es mejor?
A principios de los años ’50, Harry Markowitz revolucionó las finanzas con una teoría de inversiones que
ofrece algunas respuestas a las preguntas anteriores. Si usted contestó 1) Coca-Cola, 2) Menganita y 3) No
sé, Markowitz le diría que tiene una mala estrategia en las tres situaciones.
Asumiendo a los retornos como variables aleatorias y con distribución normal, Markowitz (1952, p. 80)
calculó dos de sus parámetros: la media (el retorno esperado) y la desviación estándar (el riesgo).
Encontró que al combinar distintos activos financieros, el retorno de la cartera resultante es el promedio
de los retornos (ponderado por las cantidades invertidas en cada activo), pero el riesgo no lo es. El riesgo
de una cartera, de acuerdo con su teoría, depende de las covarianzas entre los activos. En otras palabras,
¿quiere usted formar un equipo con Messi, Tevez, Forlán, Neymar, Higuaín, Di María, Rooney, Van
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Nistelrooy, Chicharito Hernández, el niño Torres y Cristiano Ronaldo? Son todos muy buenos jugadores,
es cierto, pero ¡son todos delanteros! ¿No sería mejor quitar algún delantero, y en su lugar poner un
portero? ¿No sería mejor sacar seis o siete delanteros más, y reemplazarlos por defensores y
mediocampistas? (por ejemplo, si usted quiere jugar 4-3-1-2). Para Markowitz, en términos de riesgo, no
son tan importantes las características individuales, sino el juego en equipo, por eso busca covarianzas:
quiere saber cómo los pares de activos se mueven juntos. Por ejemplo, dos delanteros se mueven en el
mismo sentido, ambos tratan de hacer goles (sería el equivalente a una correlación +1). Un delantero y un
portero, en cambio, se mueven en sentidos opuestos (correlación -1). Un delantero y un mediocampista,
se mueven en sentidos distintos (correlación 0, 0.5, -0.3, etcétera).
Observe ahora en una gráfica la covarianza entre Coca-Cola y Fulanita (Figura 66). Es negativa: en
general, los retornos buenos de Fulanita ocurren cuando Coca-Cola tiene sus retornos malos. Uno de los
activos financieros tiene la capacidad de actuar como una especie de “seguro” del otro. Es decir que son
buenas inversiones para combinar juntas en un portafolio.
Figura 66 - Covarianza entre Coca-Cola y Fulanita
La covarianza tiene efectos interesantes. Si usted tuviera, por ejemplo, todo su dinero invertido en
Fulanita, podría mejorar tanto su rentabilidad como también su riesgo, agregando a su portafolio
acciones de Coca-Cola. Por ejemplo, puede distribuir su cartera en partes iguales, dejando la mitad en
Fulanita (por la cual esperaba una rentabilidad de 0.49%, asumiendo un riesgo de 4.31%) y la otra mitad
en Coca-Cola. El resultado es que en la nueva cartera, su rentabilidad aumenta un 126% (de 0.49% a
1.11%), en tanto que su riesgo, en lugar de aumentar, ¡disminuye! (Figura 67).
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Por efecto de la covarianza negativa, la combinación de dos inversiones que tienen el mismo riesgo
(4.31%, medido como desviación estándar), resulta en una cartera con menos de la mitad de riesgo que
cualquiera de las dos (1.90%). En otras palabras, para Markowitz, no siempre para ganar más hay que
arriesgar más.
Figura 67 - Portafolio Coca-Cola + Fulanita
Considere ahora que usted tiene todo su dinero invertido en Coca-Cola. Está contento obteniendo un
retorno de 1.73%, con un riesgo de 4.31%. No parece tener mucho sentido considerar una inversión
como Menganita, que ofrece la misma rentabilidad (1.73%) pero con un riesgo mayor (4.66%). Además,
la covarianza entre ambas inversiones es positiva. ¡Nada de eso! Markowitz le diría que por favor sí
considere a Menganita. Es cierto, la covarianza es positiva, pero no sabemos qué tan alta es. Podemos
estandarizarla, dividiéndola por el producto de las desviaciones estándar de las dos inversiones, y así
obtener el coeficiente de correlación; que es una covarianza que como máximo va a tomar un valor +1, y
como mínimo -1. Mientras el coeficiente de correlación sea inferior a 1, los activos no se mueven
exactamente en el mismo sentido, y por lo tanto alguna diversificación de riesgos es posible.
En este caso, la correlación es cercana a cero. Los retornos de Coca-Cola y Menganita se mueven de modo
independiente. De tal forma que si usted tiene todo su dinero invertido en Coca-Cola, puede mantener la
misma rentabilidad que tenía pero reducir el riesgo. Efectivamente, según Markowitz, usted puede lograr
eso agregando a su portafolio una inversión que es individualmente más riesgosa que Coca-Cola, pero que
combinadas, funcionan bien. Por ejemplo, si usted mantiene en su cartera un 54% de Coca-Cola,
mezclándola con un 46% de Menganita, obtiene una cartera con la misma rentabilidad que Coca-Cola
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(1.73%), pero con menor desviación estándar (3.26%). Así es: el agregado de una inversión más riesgosa
que lo que teníamos no implica, necesariamente, que el riesgo total aumentará. Esto explica por qué
algunas inversiones, como por ejemplo bonos de países emergentes –que individualmente serían
percibidos como muy riesgosos- a veces son muy buscados por los inversores. En tanto tengan una
correlación baja con el resto de los activos de la economía, son interesantes para incluir en una cartera.
Figura 68 - Portafolio Coca-Cola + Menganita
Finalmente: Coca-Cola y Apple. ¿Qué inversión eligió usted originalmente? Es difícil encontrar un criterio,
puesto que las dos tienen distintos niveles de rentabilidad esperada y también de riesgo. Ya es posible
adivinar qué diría Markowitz: no se decida por ninguna de las dos. Lo mejor es combinarlas. La mejor
alternativa, según su teoría, sería comprar un 81% de Coca-Cola y un 19% de Apple; obteniendo una
cartera que ofrece más retorno que Coca-Cola (2.16%), y menos riesgo que ambas (4.14%). La línea
naranja de la Figura 69 muestra portafolios con distintas cantidades de las dos inversiones. Comprando
un 100% de Coca-Cola, el retorno esperado es 1.73% y el riesgo 4.31% (punto azul). Comprando un
100% de Apple, el retorno esperado sube a 3.99%, pero a costa de un mayor riesgo (6.63%, punto
violeta). La cartera óptima, según Markowitz, es la que minimiza el riesgo a la vez que maximiza el
retorno: comprar un 81% de Coca-Cola y un 19% de Apple tiene el efecto de llevar la rentabilidad
esperada a 2.16% y reducir el riesgo a un nivel inferior al que tendrían individualmente cualquiera de las
dos acciones (4.14%, punto verde).
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Figura 69 - Combinaciones de Coca-Cola y Apple
En este punto, usted puede preguntarse cómo llegamos a obtener las cantidades óptimas de Coca-Cola y
Apple. La Figura 70 muestra el soporte de cálculos para este caso, pero en la sección que sigue se lo
contamos con más detalle, desarrollando paso a paso la teoría de Markowitz.
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Figura 70 - Portafolio Coca-Cola y Apple
¿QUÉ ES EL RIESGO?
En su noción más simple, el riesgo es entendido como la probabilidad de tener una pérdida. Abarca dos
conceptos: el daño y la chance de que éste ocurra. La teoría de Finanzas incluye distintas definiciones de
riesgo. Markowitz (1952) introdujo una de las primeras, al medir el riesgo de un activo individual con la
varianza y desviación estándar de sus retornos. Posteriormente, Sharpe (1964) consideró el “beta” como
medida de riesgo relevante: la importancia de las covarianzas resaltada por Markowitz hizo que la forma
de estimar el riesgo no estuviera centrada en el riesgo individual de una inversión u otra, sino es su
correlación con otros activos de la economía.
Aún cuando las finanzas modernas descansan en el supuesto de que los inversores son racionales (en
cuanto a que eligen siempre mayor retorno y menor riesgo), ello no significa que rechazan el riesgo sino
que buscan un retorno esperado suficiente para compensarlo.
Cuando existe riesgo, el retorno esperado puede ser distinto del real. Si hubiera un único resultado
posible (y por lo tanto tuviera un 100% de probabilidad de ocurrir) entonces no habría riesgo sino
certeza o certidumbre. Por el contrario, cuando hay una serie de posibles resultados (y cada uno de ellos
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tiene una determinada probabilidad de ocurrir) existe riesgo o incertidumbre: más cosas pueden suceder
de las que van a suceder.
Dentro de las finanzas neoclásicas, Jorion (2007, p. 3), define al riesgo como la volatilidad de resultados no
esperados (“the volatility of unexpected outcomes”), que pueden representar el valor de distintos activos
financieros. Esta definición está en línea con Markowitz: cada vez que estimamos el riesgo empleando su
teoría, estamos asumiendo que conocemos los posibles resultados futuros, estamos calculando un
resultado “esperado” en base a ellos; y finalmente evaluando qué tanto se aleja cada posible resultado de
dicho valor esperado. Eso es lo que hacen exactamente una varianza, o una desviación estándar.
El concepto práctico del riesgo es algo más complejo. Las personas en el fondo “saben” que no conocen
todos los posibles resultados (mucho menos sus probabilidades), y por ello observan rápidamente que la
aparente objetividad de estos cálculos desaparece en el momento de elegir los datos (¿hay que usar
retornos anuales, mensuales o diarios? ¿desde qué fecha?) o de estimar las probabilidades (¿por qué
asumimos que todos los retornos tienen la misma probabilidad de ocurrir?).
Simon Benninga (2006, p. 312), de Wharton Business School, recuerda que el riesgo es la “palabra
mágica” en Finanzas. Cada vez que una persona no puede explicar algo, lo único que debe hacer es lucir
confiado y decir “debe ser el riesgo”. Recomienda un modo de parecer inteligente en una presentación
financiera: simplemente lucir escéptico y preguntar “¿Ha considerado usted los riesgos?”.
Los economistas austríacos, en cambio, son más prudentes en el tratamiento de las predicciones. Saben
que ninguna teoría rigurosa puede adjudicarse la capacidad de predecir el futuro. Por ello distinguen
entre “riesgo” e “incertidumbre”, alertando sobre aquello que siempre escapa a lo que podemos anticipar.
Por lo general, siguen un trabajo clásico de Frank Knight (1921, p. I.I. 26), llamado “Risk, Uncertainty, and
Profit”. Para Knight, el riesgo es susceptible de medición, en tanto que la incertidumbre no lo es:
But Uncertainty must be taken in a sense radically distinct from the familiar notion of Risk,
from which it has never been properly separated. The term "risk," as loosely used in
everyday speech and in economic discussion, really covers two things which, functionally at
least, in their causal relations to the phenomena of economic organization, are categorically
different. The nature of this confusion will be dealt with at length in chapter VII, but the
essence of it may be stated in a few words at this point. The essential fact is that "risk"
means in some cases a quantity susceptible of measurement, while at other times it is
something distinctly not of this character; and there are far-reaching and crucial differences
in the bearings of the phenomenon depending on which of the two is really present and
operating. There are other ambiguities in the term "risk" as well, which will be pointed out;
but this is the most important. It will appear that a measurable uncertainty, or "risk" proper,
as we shall use the term, is so far different from an unmeasurable one that it is not in effect
an uncertainty at all. We shall accordingly restrict the term "uncertainty" to cases of the
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nonquantitive type. It is this "true" uncertainty, and not risk, as has been argued, which
forms the basis of a valid theory of profit and accounts for the divergence between actual
and theoretical competition.
Para cualquier modelo financiero, evidentemente, “asumimos” que en el mundo real hay riesgo, en
términos de Knight. De otro modo, no podríamos hacer ningún cálculo. El problema está en confiar, con
cierta ingenuidad, en que los modelos de estimación de riesgo darán resultados exactos, cuando en
realidad hay una eternidad de factores que les escapan. Tanto en presencia de riesgo como de
incertidumbre, los resultados esperados pueden ser distintos a los reales. Sin embargo el concepto de
riesgo implica asumir que se conocen los posibles resultados (y como consiguiente su probabilidad de
ocurrencia), en cambio en incertidumbre ni los posibles resultados ni sus probabilidades son conocidas
(Figura 71).
Figura 71 - Riesgo e Incertidumbre
Poniendo atención a la teoría de Markowitz, podemos ver que él está usando dos medidas que son
parámetros de una distribución normal: la media y la varianza (o desviación estándar). De tal forma que
como mínimo está haciendo dos supuestos muy importantes: 1) que se conocen los posibles retornos y
sus probabilidades de ocurrencia, y 2) que los mismos se distribuyen normalmente.
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RIESGO Y RETORNO DE UN ACTIVO INDIVIDUAL
RETORNO DE UN ACTIVO INDIVIDUAL
El retorno de una inversión es la ganancia o pérdida que ella experimenta durante un período
determinado, en relación al capital invertido. Puede calcularse como la variación en el precio del activo
financiero (ganancia o pérdida de capital) más los flujos de caja producidos (dividendos, intereses),
expresados como un porcentaje en relación al capital invertido al inicio del período para generarlos. En
otras palabras, una medida de retorno relaciona una ganancia con una inversión. Por ejemplo, si ganamos
$20 con una inversión de $100, hemos tenido un retorno del 20% ($20/$100).
Podemos calcular retornos para acciones, bonos, o para cualquier activo financiero. El retorno de una
acción es el porcentaje que surge de comparar –por un determinado período- la variación de su precio
(ganancia o pérdida de capital) más los dividendos con el precio al inicio del período (Ecuación 39).
Ecuación 39 - Retorno de una acción
donde:
Ri= Retorno de la acción i
PT= Precio de la acción en el momento T
PT-1= Precio de la acción en el momento T-1
DT= Dividendos durante el período desde T-1 hasta T
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Figura 72 - Retorno trimestral de acciones de GE
Por lo tanto no es posible estimar cuál fue el retorno de una acción simplemente observando su gráfica de
precios. Hay que considerar también los dividendos, que son sumas de dinero que el accionista recibe y
que forman parte de su rentabilidad. Por ejemplo, el retorno para acciones de General Electric en un
período de 3 meses entre diciembre de 2008 y marzo de 2009 fue negativo (-38,71%). Durante dicho
período la empresa pagó un dividendo de $0,31, el cual comparado con el precio pagado por la acción
resultó en un rendimiento parcial (“dividend yield”) de 1,9%, pero el mismo no es suficiente para
compensar la pérdida de capital por haber vendido a $9,54 una acción que se había comprado tres meses
antes a $16,07 (Figura 72).
El retorno de un accionista tiene 2 componentes, que se evidencian en el ejemplo: 1) la ganancia o
pérdida de capital y 2) el dividend yield. La comparación entre rendimientos de distintas acciones debe
considerar siempre ambos componentes: por ejemplo si se compara GE con otra empresa que no paga
dividendos se llegará erróneamente a la conclusión que el retorno de GE es más alto, sin embargo el
precio de las acciones de la otra empresa podría haber subido, superando el retorno total de GE.
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Al tratarse de una medida de rendimiento histórica, el retorno anterior es un retorno ex-post. Este tipo de
retorno no asume nada acerca de la distribución de posibles resultados ni sus probabilidades. En la
valuación de activos financieros los retornos ex-post sólo son relevantes si se espera que la historia se
repita: la valuación se construye sobre retornos esperados (ex-ante). Por ello se hacen supuestos sobre
los retornos tales como probabilidades o distribución (Figura 73).
Figura 73 - Retornos ex ante y ex post
La fórmula que presenta Markowitz para calcular retornos (Ecuación 40) no es un promedio simple, sino
un promedio calculado a partir de las probabilidades. Cada posible retorno (Rj) es multiplicado por su
probabilidad de ocurrencia (Pj). Evidentemente, las dos metodologías coinciden cuando la probabilidad
de ocurrencia de todos los retornos es la misma (equiprobabilidad). En esos casos, es posible llegar al
mismo resultado multiplicando cada posible retorno por su probabilidad, que sumándolos todos y
dividiendo por el número de retornos (por eso se hace posible usar la función “PROMEDIO” de Excel).
Ecuación 40 - Retorno esperado de 1 activo
donde:
Rj = Posibles retornos de cada período (desde 1 hasta n)
Pj = Probabilidad de cada posible retorno
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Riesgo y retorno esperado pueden representarse graficando los posibles retornos y sus probabilidades
de ocurrencia. El promedio de los posibles retornos (ponderado por probabilidad) es una medida del
retorno esperado de la inversión, y la dispersión de los posibles retornos con respecto al promedio
constituye una medida de su riesgo.
Por ejemplo para una inversión se vislumbran 3 posibles retornos: si el mercado está en alza, el retorno
será 12%, si el mercado se mantiene normal el retorno será 9% y si el mercado cae, el retorno será 6%.
No hay otras posibilidades: los tres escenarios agotan todo lo que puede ocurrir en la realidad. Los 3
escenarios se asumen igualmente probables. La probabilidad de cada uno es 1/3 (o 33,3%). La suma de
todas las probabilidades es, evidentemente, 100% (Figura 74).
En este ejemplo, puesto que las probabilidades son todas iguales, hay dos formas para calcular el retorno
esperado:
1. Multiplicar cada posible retorno por su probabilidad de ocurrencia y luego sumar (ésta es la
elegida por Markowitz)
2. Sumar todos los posibles retornos y dividir por 3
Figura 74 - Retorno esperado y probabilidades
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La fórmula de Markowitz requiere multiplicar cada posible retorno por su probabilidad, sin embargo en
este ejemplo como todas las probabilidades son iguales (equiprobabilidad), el mismo resultado se obtiene
sumando todo y dividiendo por 3:
La función “PROMEDIO” o “AVERAGE” de Excel permite calcular el retorno esperado pero asume que
todas las probabilidades de ocurrencia son iguales, por lo tanto si las probabilidades asignadas a cada
posible escenario difieren no podrá usarse esta función sino que deberá emplearse la fórmula general
(Ecuación 40).
RIESGO DE UN ACTIVO INDIVIDUAL
Dos negocios pueden tener el mismo retorno esperado y sin embargo ser distintos en términos de riesgo.
Por ejemplo, considere dos negocios para los cuales se espera una rentabilidad del 9% (Figura 75). Si
bien el retorno esperado es el mismo, en el negocio verde existe la posibilidad de ganar más dinero que
en el rojo, y también la de perder más dinero: la dispersión con respecto al retorno esperado es mayor.
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Figura 75 - Igual retorno esperado pero distinto riesgo
La comparación entre cada posible retorno y el esperado ofrece una idea del riesgo: en el negocio verde
la rentabilidad podría ser 5% inferior a la esperada (4%-9%), en tanto que en el negocio rojo sólo puede
alejarse un 3% (6%-9%). Gráficamente, estas diferencias pueden verse en la longitud de los segmentos
verde y rojo (Figura 76). Dado que el cuadrado de cualquier número es siempre un número positivo,
elevando al cuadrado cada una de estas diferencias se evita que diferencias positivas y negativas se
cancelen mutuamente. Finalmente promediándolas con su probabilidad se llega a una medida de riesgo
de los retornos, la varianza.
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Figura 76 - Igual retorno esperado pero distinto riesgo
La varianza de los retornos es siempre un número positivo. Está expresada en una unidad diferente a los
retornos: por ejemplo si los retornos están en dólares, la varianza estará expresada en dólares al
cuadrado. Por eso en Finanzas se utiliza generalmente la desviación estándar, una medida de riesgo que
no difiere conceptualmente de la varianza, pero que es su raíz cuadrada -y por lo tanto está expresada en
la misma unidad de medida que los retornos.
En resumen, la varianza de los retornos de un activo financiero es un valor esperado, que pondera las
diferencias de cada posible retorno con respecto al retorno esperado, previamente elevadas al cuadrado
(Ecuación 41).
Ecuación 41 - Varianza de 1 activo i
donde:
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Para calcular la varianza de un activo financiero podemos armar una planilla de cálculo simple en 3
pasos:
1. Calcular las diferencias de cada posible retorno con respecto al retorno esperado
2. Elevar las diferencias al cuadrado, para que se transformen en números positivos y no se
compensen entre ellas
3. Promediar multiplicando cada cuadrado por su probabilidad de ocurrencia y sumar
Aplicando estos tres pasos para los negocios rojo y verde, llegamos a que las varianzas son 0.06% y
0.17% respectivamente (Figura 77).
Figura 77 - Varianza de activos individuales en Excel
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La función “VARP”13 de Excel permite calcular la varianza de los retornos de un activo, sin embargo
asume equiprobabilidad, por lo cual no es aplicable cuando los retornos tienen distinta probabilidad de
ocurrencia.
Pasemos ahora a la desviación estándar. Una vez calculada la varianza, la desviación estándar surge
simplemente de computar su raíz cuadrada (Ecuación 42).
Ecuación 42 – Desviación estándar de un activo i, a partir de la varianza
En caso que usted quiera usar Excel, la función “DESVESTP” (o “STDEVP”, en inglés) evita calcular
previamente la varianza, ya que se aplica directamente sobre los retornos. Recuerde que también asume
equiprobabilidad. Hay otra función similar en Excel, (“DESVEST”, o “STDEV”), que al no tener la “P” final,
asume que usted está trabajando con una muestra, y por lo tanto hace un ajuste para inferir a toda la
población. En este caso, puesto que la suma de las probabilidades siempre debe ser igual a 1, estamos
asumiendo que conocemos “todos” los posibles eventos futuros, y por ello indirectamente asumimos que
trabajamos con la población completa. Las funciones para muestra no terminan en los mismos resultados
que las fórmulas de Markowitz.
RIESGO Y RETORNO DE UN PORTAFOLIO
RETORNO DE UN PORTAFOLIO
Las medidas de riesgo y rentabilidad esperada presentadas en la sección anterior son apropiadas para
aquellos inversores que tienen todo su dinero concentrado en un único activo financiero, pero no sirven
para quienes tienen un grupo de activos, que conforman una cartera o portafolio.
Puesto que Markowitz definió a los retornos como variables aleatorias, encontró que al combinarlas, la
media del portafolio era un promedio ponderado de las medias de los activos, pero no la varianza. Para el
13
Existe en Excel una función parecida, “VAR”. La diferencia entre las funciones “VAR” y “VARP” es que “VARP” se aplica al
trabajar con toda la población, en tanto que “VAR” asume que se está trabajando solamente con una muestra y hace por lo tanto un
ajuste para la población. Ambas dividen directamente por el número de observaciones, con lo cual no admiten distintas probabilidades
de ocurrencia. Las fórmulas que utiliza Excel en cada caso son las siguientes:
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retorno esperado necesita simplemente la fórmula de un promedio ponderado, en tanto que para la
varianza debe emplear una matriz de covarianzas. Comenzaremos con el primero de ellos: el retorno
esperado de un portafolio p, compuesto por 2 activos A y B, es el promedio de los retornos esperados de
A y de B, ponderado por la proporción en la que cada uno integra el portafolio (Ecuación 43).
Ecuación 43 - Retorno esperado de un portafolio
donde:
y
wA + w B = 1
La suma de las proporciones invertidas en cada activo debe ser siempre 100%, por ejemplo wA=40% y
wB=60%. Una de las proporciones podría ser negativa, indicando que se trata de una venta corta (“short
sale”14), por ejemplo wA= -30% y wB=130%.
Por ejemplo, si usted tiene 100,000 dólares y piensa invertir el 70% en acciones de Wal-Mart, por las
cuales espera una rentabilidad del 10% anual; y el 30% restante en un plazo fijo, por el cual espera un
rendimiento del 5% anual, entonces el rendimiento esperado total de su cartera será 8,5% (
Figura 78).
14
Una venta corta o “short sale” es la venta de un activo que no se posee. Vea por favor nuestra sección al respecto.
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Figura 78 - El Retorno de un portafolio es el promedio de los retornos
RIESGO DE UN PORTAFOLIO
El riesgo del portafolio, por otra parte, no es el promedio de las varianzas. Tampoco de las desviaciones
estándar (Figura 79). Cuando un inversor tiene todo su dinero concentrado en un único activo, el hecho
de agregar a su cartera un segundo tipo de activo generalmente reducirá el riesgo total de la cartera,
aunque individualmente el segundo activo tuviera una mayor varianza que el que originalmente tenía. La
posibilidad de diversificar riesgos hace necesario evaluar, al momento de calcular el riesgo de un
portafolio, no solamente las varianzas individuales de cada activo sino la covarianza entre ellos.
Figura 79 – El riesgo de un portafolio no es el promedio de las desviaciones estándar
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Nuevamente, puesto que los retornos están definidos como variables aleatorias, la varianza de un
portafolio P de 2 activos es el valor esperado de las diferencias con respecto a la media del portafolio,
elevados al cuadrado:
Sustituyendo con la Ecuación 43 - Retorno esperado de un portafolio, queda:
Teniendo en cuenta que el cuadrado de una suma es igual a:
la ecuación de la varianza del portafolio se transforma en:
gracias a las propiedades que tienen los valores esperados, puede expresarse como:
Dentro del segundo término hay un retorno esperado que es en realidad la covarianza entre los retornos
de los dos activos (Ecuación 44):
Ecuación 44 - Covarianza entre 2 activos
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Sustituyendo en la fórmula de la varianza del portafolio, se obtiene que la varianza de un portafolio de 2
activos depende de las proporciones (WA, WB), de las varianzas individuales (VARPA, VARPB) y de la
Covarianza entre ambos activos (COVARA,B). La varianza del portafolio de 2 activos queda entonces como
muestra la Ecuación 45:
Ecuación 45 - Varianza de un portafolio de dos activos A y B
donde:
La desviación estándar del portafolio es simplemente la raíz cuadrada de su varianza (Ecuación 46).
Ecuación 46 – Desviación estándar de un portafolio
En resumen, hemos calculado -en primer lugar -medidas de retorno esperado y riesgo para activos
individuales, para los cuales ponderamos posibles retornos con sus respectivas probabilidades de
ocurrencia. Luego hemos combinado activos individuales para formar portafolios, y en ellos el retorno
esperado puede calcularse como el promedio ponderado de los retornos; pero el riesgo depende de la
covarianza. Por ello, lo importante para saber cuánto riesgo tiene una cartera no es qué tan riesgosas sean
individualmente las inversiones que la componen; sino cómo se mueven en conjunto sus retornos.
EJEMPLO: RIESGO Y RETORNO, PASO A PASO
INTRODUCCIÓN
Esta sección presenta un ejemplo completo de cálculo de retornos esperados y riesgo para dos
compañías: Coca-Cola (“KO”) y Pfizer (“PFE”), para un período de tiempo determinado (enero 2006-abril
2007). Sabemos que el período puede resultar muy breve para tomar decisiones de inversión sobre estas
dos empresas, tenga en cuenta por favor que ha sido seleccionado simplemente para ilustrar las fórmulas
117
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de Markowitz y las funciones de Excel correspondientes. Aplicaremos al ejemplo de Coca-Cola y Pfizer
todas las fórmulas mencionadas en el capítulo:
1. Riesgos y Retornos Individuales
a. Retorno esperado de KO
b. Retorno esperado de PFE
c. Varianza de KO
d. Varianza de PFE
e. Desviación estándar de KO
f. Desviación estándar de PFE
2. Relación entre los dos activos
a. Covarianza entre KO y PFE
b. Coeficiente de correlación entre KO y PFE
3. Riesgos y Retornos de un Portafolio integrado por KO y PFE
a. Retorno esperado del portafolio
b. Varianza del portafolio
c. Desviación estándar del portafolio
RIESGOS Y RETORNOS INDIVIDUALES (KO, PFE)
Para comenzar nuestro análisis, necesitamos datos históricos. El alcance del trabajo de Markowitz no
incluye indicar cómo hace cada inversor para encontrar los posibles retornos y sus probabilidades. Una
forma “podría ser” (dice Markowitz) usando retornos históricos. Por supuesto, al comenzar a usar su
teoría nos encontramos con el gran tema del riesgo y la incertidumbre, que ya hemos mencionado.
Haciendo el aludido supuesto de que la historia se va a repetir, analizaremos los retornos de las dos
empresas en las cuales nos interesa invertir: Coca-Cola y Pfizer.
Si usted tuviera que decirme, a ciegas, qué rentabilidad esperaría por invertir en Pfizer ¿qué me
respondería? Es difícil saber. Ahora, si le digo que en los últimos 15 meses (2006/2007) rindió menos
que un 1% mensual en dólares ¿esperaría usted un 8% de rentabilidad para el mes que viene? Debería,
probablemente, justificarlo con algún hecho especial. Lo primero que vamos a hacer entonces es analizar
los datos históricos de las dos empresas. Comenzaremos con los precios de Coca-Cola y Pfizer desde
enero de 2006 hasta abril de 2007, en intervalos mensuales (Figura 80).
La columna “Close” presenta el precio de cierre de las acciones, en tanto que la columna “Adjusted Close”
tiene los precios ajustados por splits y dividendos, incorporando no solamente la variación del precio sino
también los dividendos recibidos (y los stock splits, que reducen artificialmente el precio de las acciones).
La última columna es por lo tanto la que necesitamos, puesto que permite en un único número la
ganancia de capital y el dividend yield, los dos componentes que tiene la rentabilidad de un accionista.
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Figura 80 - Precios históricos de KO y PFE
El primer paso para calcular el retorno esperado es calcular cada uno de los retornos mensuales. El
retorno esperado será su promedio. Cada retorno compara la variación del precio con el precio anterior.
Por ejemplo el retorno del período 1 es: (P1-P0)/P0. O bien, P1/P0-1. Ambas fórmulas llegan al mismo
resultado. También podríamos calcular retornos compuestos continuamente, con la fórmula en Excel
=LN(P1/P0), lo cual es conveniente por algunas propiedades de los logaritmos (Benninga, 2006, p. 331).
En este caso nos quedaremos con la forma más simple (P1/P0-1). Por ejemplo el retorno de las acciones
de Pfizer entre marzo y abril de 2007 fue: 23,47/22,41-1= 4,73%. El retorno de las acciones de Coca-Cola
para el mismo período fue: 49,28/45,33-1= 8,71% (Figura 81).
Seguimos ahora con el cálculo del retorno esperado para cada activo. Es simplemente el promedio de los
retornos mensuales, ponderado por su probabilidad de ocurrencia. Como en este caso asumimos
equiprobabilidad, podemos calcular el retorno esperado de 2 formas:
1. Multiplicando cada posible retorno por la probabilidad de ocurrencia y sumando (en el ejemplo
hay 15 retornos, por lo tanto cada probabilidad será 1/15).
2. Utilizando la función “PROMEDIO” (o “AVERAGE”, en inglés) de Excel.
En ambos casos el resultado es idéntico. Para Pfizer el retorno esperado está en la celda D22. Los datos
necesarios para usar la función de Excel son los retornos mensuales (celdas D6 a D20) y el resultado es
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0,64%. Es decir que si la historia se repite, estaremos ganando un 1.83% mensual en dólares por invertir
en Coca-Cola, y un 0.64% por invertir en Pfizer.
Figura 81 - Retornos esperados de PFE y KO
Observando los retornos con más detalle, podemos ver que si hubiéramos invertido en Pfizer en
Mayo/Junio de 2006, podríamos haber ganado más de un 10% en un mes. Para el mismo período, CocaCola también tuvo buenos retornos, pero el retorno más alto mensual no llegó a esa cifra (8.71%, en
Febrero/Marzo de 2007). Los malos retornos de Pfizer también fueron más extremos: si hubiéramos
invertido en esta empresa en Agosto/Septiembre de 2006, hubiéramos perdido más del 6% de nuestro
dinero en un mes. En cambio en Coca-Cola, el retorno mínimo no llegó al 3% en un mes. Lo que estamos
haciendo es evaluar, además del retorno promedio, alguna medida de qué tan dispersos están los
posibles retornos.
Gráficamente (Figura 82), vemos que los puntos azules representan los retornos históricos de Pfizer, y los
rojos los de Coca-Cola. Las rentabilidades esperadas están representadas por la línea verde (0,64%) y la
naranja (1,83%). A simple vista podemos observar que los retornos de Coca-Cola están mucho más
concentrados sobre el promedio que los de Pfizer. Su varianza seguramente es menor.
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Figura 82 - Retornos esperados de PFE y KO, gráfico
El cálculo de la varianza requiere comparar cada posible retorno con el retorno esperado, elevando al
cuadrado dicha diferencia. En otras palabras, tenemos que buscar una expresión numérica que muestre
qué tanto se alejan los puntos azules de la línea verde (para Pfizer), o bien qué tanto se alejan los puntos
rojos de la línea naranja (para Coca-Cola). Pasemos al Excel (Figura 83). En la columna “A” tenemos los
retornos para cada empresa, en la “B” las probabilidades, y en la “C” las diferencias con el promedio,
elevadas al cuadrado. Por ejemplo, en el caso de Pfizer, el primer posible retorno es 4.73%. Le restamos el
promedio, que es 0.64%, y luego elevamos al cuadrado: (4,73%-0,64%)^2= 0,17%. Para Coca-Cola:
(8,71%-1,83%)^2=0,47%.
Luego es necesario ponderar por la probabilidad: multiplicamos cada uno de los números de la columna
C por su probabilidad, y sumamos. Por ejemplo para Pfizer: 0,17% * 1/15 + 0,00% * 1/15 + 0,20% * 1/15
+ ... + 0,06% * 1,15 = 0,24%.
El mismo resultado puede obtenerse multiplicando uno a uno y sumando o utilizando la función de Excel
“SUMA.PRODUCTO” (o “SUMPRODUCT”, en inglés). Es una función para multiplicar matrices. Requiere
simplemente seleccionar los dos grupos de datos que se quiere multiplicar entre sí, y que deben ser del
mismo tamaño. Para el cálculo del retorno esperado, esas matrices son las columnas A y B, en tanto que
para la varianza las matrices son las columnas B y C.
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Figura 83 - Varianza y Desviación Estándar, PFE y KO
La desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza. Para Pfizer (celda D24) es 4,91%. Utilizando la
función de Excel “RAIZ” (o “SQRT”, en inglés) se puede obtener la desviación estándar a partir de la
varianza calculada. La función requiere el ingreso de una única celda, que es el número para el cual se
quiere calcular la raíz (en el caso de Pfizer, la celda D23, que es la que contiene a la varianza).
Como hay equiprobabilidad, podemos llegar a los mismos resultados usando las funciones de Excel. La
varianza de Pfizer utilizando la función “VARP” es 0,24% (celda D23 de la Figura 84), el mismo resultado
que se había obtenido aplicando la fórmula de las probabilidades. Del mismo modo, la varianza de los
retornos de Coca-Cola es 0,08% (celda J23). La desviación estándar de Pfizer utilizando la función
“DESVESTP” (o “STDEVP”, en inglés) es 4,91%, al igual que en el cálculo anterior. Igualmente la de CocaCola, 2,80%.
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Figura 84 - Varianza y Desviación estándar de PFE y KO usando Excel
RELACIÓN ENTRE KO Y PFE: COVARIANZA Y CORRELACIÓN
Ya hemos resaltado que, en la determinación del riesgo de la cartera, es necesario no solamente contar
con las proporciones y los riesgos individuales de los dos activos, sino también con una medida de cómo
los retornos de los dos activos varían juntos (Figura 85). Necesitamos la covarianza.
La covarianza entre los retornos de Coca-Cola y Pfizer requiere comparar los retornos de cada activo con
su retorno esperado: en el caso de Pfizer los retornos están representados con los puntos azules y el
retorno esperado es la línea verde, en tanto que en el caso de Coca-Cola los retornos están representados
con los puntos rojos y son comparados con el retorno esperado, que es la línea naranja. Ya habíamos
hecho estas comparaciones en el momento de calcular la varianza, pero las habíamos elevado al
cuadrado. Ahora necesitamos las mismas diferencias, pero sin el cuadrado.
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Figura 85 - Covarianza PFE-KO, gráficamente
La covarianza entre Coca-Cola y Pfizer fue calculada en 3 pasos:
1. Cálculo de las diferencias de los retornos de cada activo con respecto a su media (columna A para
Pfizer y B para Coca-Cola)
2. Multiplicación entre las diferencias de los dos activos (columna “A*B”)
3. Cálculo de un valor esperado ponderado por probabilidades (si se asumen todas iguales, puede
usarse la función “PROMEDIO” (o “AVERAGE”, en inglés). El resultado siguiendo esta forma de
cálculo es 0,01% (celda M22)
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Figura 86 - Covarianza PFE-KO
Podemos llegar al mismo resultado con la función de Excel “COVAR”, que no requiere calcular las
diferencias y multiplicarlas sino que trabaja directamente sobre los retornos. Los inputs que pide Excel
son las dos matrices con los retornos de los activos, en este caso la columna A (Pfizer) y B (Coca-Cola). El
resultado obtenido es el mismo que con la fórmula anterior, 0,01% (celda M26).
RIESGO Y RETORNO DE PORTAFOLIOS (KO, PFE)
Llegó el momento de combinar las dos inversiones para evaluar cómo quedarían distintas carteras. Para
eso necesitamos determinar las cantidades que se invertirán en cada activo (Figura 87). Por ejemplo,
podemos armar una cartera en la cual Pfizer represente el 20% (WPFE) y Coca-Cola el 80% restante
(WKO).
El retorno esperado del portafolio es el promedio de los retornos esperados, de modo que para calcularlo
sólo hacen falta:
1. Las proporciones invertidas en Pfizer (20%) y en Coca-Cola (80%)
2. Los retornos esperados de Pfizer (0,64%) y Coca-Cola (1,83%)
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Evidentemente al ser un promedio, el retorno esperado del portafolio es más bajo que el de Coca-Cola
pero más alto que el de Pfizer: 1,60% (celda M22).
Figura 87 - Riesgo y retorno de un portafolio 20% PFE y 80% KO
La varianza del portafolio, en cambio, no es el promedio ponderado. Surge de una fórmula que tiene 3
términos, dos de ellos son siempre positivos y uno puede ser positivo o negativo (el término de la
covarianza). Para calcular la varianza del portafolio hacen falta 3 grupos de datos:
1. Las proporciones invertidas en Pfizer (20%) y en Coca-Cola (80%)
2. Los riesgos de Pfizer (varianza 0,24% o desviación estándar 4,91%) y Coca-Cola (varianza 0,08% o
desviación estándar 2,80%)
3. La relación entre Pfizer y Coca-Cola (covarianza 0,01% o coeficiente de correlación 0,07)
Con estos datos y la aplicación de la Ecuación 45 - Varianza de un portafolio de dos activos A y B, la
varianza del portafolio es 0,06% (celda M23). El riesgo del portafolio en este caso es inferior al riesgo de
Pfizer (024%) pero también –a causa de la diversificación- es inferior al riesgo de Coca-Cola (0,08%).
LA MATRIZ DE COVARIANZAS
Un modo muy conveniente de calcular la varianza de un portafolio es utilizando la matriz de covarianzas
(Figura 88). La matriz contiene la misma fórmula que la varianza del portafolio y llega al mismo
resultado, pero al organizar el cálculo en casillas permite incorporar un mayor número de activos (la
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fórmula es sólo para dos), y reduce errores de cálculo. Dentro de cada celda sólo hay potencias y
multiplicaciones, y para hallar la varianza, todas las celdas deben ser sumadas al final. Para el ejemplo de
Coca-Cola y Pfizer, la matriz de covarianzas permite llegar al riesgo de la cartera (que es la suma de sus
cuatro casillas), 0.06%.
Figura 88 - Matriz de Covarianzas, PFE-KO
La matriz de covarianzas anterior responde exactamente a la fórmula del riesgo de la cartera para dos
activos: la celda superior izquierda es el primer término de la fórmula, la celda inferior derecha es el
segundo término, y las dos celdas de la diagonal que falta componen el tercer término. Ahora podemos
plantear una forma general para resolver todas las casillas, que nos permitirá ampliar la matriz de
covarianzas a “n” activos, calculando así el riesgo de cualquier cartera.
La matriz de covarianzas tendrá la forma de la Ecuación 47:
Ecuación 47 - Matriz de covarianzas
Es decir que para cada celda utilizaremos una ecuación idéntica: la multiplicación de las cantidades de
dos activos, por la covarianza entre ellos (Ecuación 48):
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Ecuación 48 - Celda de la matriz de covarianzas
En algunas celdas tendremos que multiplicar la cantidad invertida en uno de los activos por sí misma, lo
cual antes hacíamos elevando w al cuadrado. En esas celdas también tendremos que calcular la
covarianza de los retornos de un activo con sí mismos, que es su varianza. De modo que con eso podemos
ver que en realidad estamos haciendo matemáticamente lo mismo que antes, pero con una fórmula más
general. Para el ejemplo de Coca-Cola y Pfizer, esta segunda matriz llegaría también a una varianza de
0.06% (Figura 89).
Figura 89 – Matriz de Covarianzas, fórmula general
LA CARTERA DE MÍNIMA VARIANZA
El portafolio entre Pfizer y Coca-Cola fue elegido arbitrariamente. Las proporciones invertidas en cada
activo no seguían ningún criterio en particular. Para aprovechar al máximo los beneficios de la
diversificación, es posible calcular cuál es el portafolio que tiene el mínimo riesgo, la cartera de mínima
varianza. Dado que WA+WB tiene que ser igual a 1, es posible despejar sólo una de las proporciones y
luego calcular la otra por diferencia. Nos queda entonces una ecuación para obtener la cantidad óptima
del activo A (Ecuación 49):
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Ecuación 49 - Cartera de mínima varianza
Las cantidades óptimas para Pfizer y Coca-Cola son 23% y 77% respectivamente, las cuales deberían
resultar en el portafolio de menor varianza y desviación estándar, dentro de todos los portafolios que es
posible conformar con estos dos activos (Figura 90).
Figura 90 - Portafolio de mínima varianza
Las proporciones obtenidas pueden comprobarse utilizando la fórmula de la varianza del portafolio y la
función “SOLVER” de Excel15. La función permite encontrar el mínimo para la fórmula de la varianza del
portafolio, cambiando la celda WA (en el ejemplo, WPFE). Es decir, permite encontrar la cantidad del activo
A que hará mínimo el riesgo del portafolio. Por diferencia es posible calcular luego la cantidad del activo
B, para que la suma de ambos sea 100%.
Las fórmulas para trabajar con la función “SOLVER” son por lo tanto:
1. La varianza del portafolio (Ecuación 45 - Varianza de un portafolio de dos activos A y B)
2. La restricción: WA + WB = 1 (por lo tanto WB = 1 - WA)
En el ejemplo para Pfizer y Coca-Cola, las dos fórmulas anteriores se incluyeron en:
15
La función “SOLVER” es un complemento de Excel, por lo cual puede no estar instalada dentro de las funciones básicas. Es posible
instalarla dentro del menú principal de Excel, en la sección “Options”; o bien en la sección “Herramientas de Análisis”.
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1. Varianza del portafolio: celda M23
2. WB = 1 - WA : celda M27
Luego se empleó la función “SOLVER”, que está dentro del menú “Herramientas” “Análisis de Datos” (o
“Data” “Data Analysis”, en inglés). La ecuación definida como target es la varianza del portafolio (celda
M23), la cual se quiere minimizar, cambiando la proporción del activo A (celda M26). El resultado
obtenido es idéntico al calculado analíticamente (Figura 91).
Figura 91 - Mínima varianza, usando Solver
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