Solución de ecuaciones
diferenciales
Venegas Medina José Alfredo
17211517
Introduccion: Ecuaciones Diferenciales
Ordinarias
Las ecuaciones diferenciales se usan habitualmente para construir
modelos matemáticos de problemas de la ciencia y la ingeniería. A
menudo se da el caso de que no hay una solucion analitica conocida,
por lo que necesitamos aproximaciones numericas.
Las ecuaciones diferenciales tienen importancia fundamental en las
aplicaciones, ya que muchas leyes y relaciones físicas pueden
idealizarse matemáticamente en la forma de estas ecuaciones.
Ejemplos de Ecuaciones Diferenciales.
𝑑𝑦
= cos 𝑥
𝑑𝑥
(𝑥 2 + 𝑦 2 )dx + 2xydy = 0
𝑑2 𝑦
𝑑𝑥 2
𝑑𝑦
+ (𝑑𝑥 )³ - y = 0
Método de un paso – Método de Euler
Método de Euler
En matemática y computación, el método de Euler es un
procedimiento de integración numérica para resolver ecuaciones
diferenciales ordinarias a partir de un valor inicial dado.
El método de Euler no se suele utilizer en la practica debido a que la
solución que proporciona acumula errores apreciables a lo largo del
proceso; sin embargo, es importante porque es mas fácil llevar a cabo
el análisis del error de este método que el de otros mas exactos pero
mas complejos.
Método de un paso – Método de Euler
Resuelve Problemas de tipo:
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑓(𝑥, 𝑦)
PVI 𝑦 𝑥0 = 𝑦0
𝑦 𝑥𝑖 = ?
Consiste en el producto entre los intervalos que va de 𝑥0 a 𝑥𝑓 en n
subintervalos de ancho h:
ℎ=
𝑥𝑓 − 𝑥0
𝑛
De manera que se obtiene un conjunto discreto de n+1 puntos.
Método de un paso – Método de Euler
Ejemplo:
Supongamos que se depositan 100 euros durante cinco anos a un
interés compuesto continuamente de 10%. ¿Cual es el capital
cumulado al cabo de esos cinco anos?
Se utiliza aproximaciones de Euler con tamaños de paso h =1, 1/12 y
1/360 para aproximar y(5) en el problema de valor inicial
y’ = 0.1 y en [0,5] con y(0) = 1000
Método de un paso – Método de Euler
Los resultados de aplicar la formula 𝑦𝑘 = 𝑦0 (1 + ℎ𝑅)𝑘 con R=0.1 se
recogen en la siguiente tabla:
Tamaño de paso h
Número de
iteraciones, M
Aproximacion 𝒚𝑴 a y(5)
1
5
1000(1+
0.1 5
) =
1
1/12
60
1000(1+
0.1 60
) =
12
1/360
1800
1000(1+
0.1 1800
)
=
360
1610.51
1645.31
1648.61
Método de un paso – Método de Heun
Repitiendo el proceso se aproximación de Euler se genera una
sucesión de puntos que aproximan la solución y= y(t). En cada paso, la
aproximación dada por el método de Euler se usa como una
predicción del valor que queremos calcular y luego la regla del
trapecio se usa para hacer una correction y obtener el valor definitive.
El paso general del método de Heun es:
𝑝𝑘+1 = 𝑦𝑘 + ℎ𝑓 𝑡𝑘 , 𝑦𝑘 , 𝑡𝑘+1 = 𝑡𝑘 + ℎ,
ℎ
𝑦𝑘+1 = 𝑦𝑘 + 2 (𝑓 𝑡𝑘 , 𝑦𝑘 + 𝑓(𝑡𝑘+1 , 𝑝𝑘+1 ))
Método de pasos múltiples
Los métodos anteriormente descritos utilizan información en un solo
punto 𝑥𝑖 para predecir un valor de la variable dependiente 𝑦𝑖 + 1 en
un punto futuro 𝑥𝑖 + 1. Procedimientos alternativos, llamados
métodos multipaso, se basan en el conocimiento de que una vez
empezado el calculo, se tiene información valiosa de los puntos
anteriores y esta a nuestra disposición.
Método de pasos múltiples
Partimos de la ecuación diferencial con condiciones iniciales
y’ = f(t, y),
y(𝑡0 ) = 𝑦0 ,
que verifica tener unicidad de solución. Hasta ahora hemos visto
métodos numéricos de un paso, es decir, la sucesión que aproxima la
solución 𝑦𝑖 se genera de forma recursiva a partir de los términos
inmediatamente anteriores, esto es 𝑦𝑖−1 . En los métodos multipaso
esta sucesión se construye a partir de una ecuación en diferencias con
orden mayor que uno.
Sistemas de ecuaciones diferenciales
ordinarias
Se le conoce como Sistema de Ecuaciones Diferenciales es un
conjunto de ecuaciones diferenciales con varias funciones incógnitas y
un conjunto de condiciones de contorno. Una solución del mismo es
un conjunto de funciones diferenciables que satisfacen todas y cada
una de las ecuaciones del sistema. Según el tipo de ecuaciones
diferenciales puede tenerse un sistema de ecuaciones diferenciales
ordinarias o un sistema de ecuaciones en derivadas parciales.
Sistemas de ecuaciones diferenciales
ordinarias
Para ilustrar los conceptos, consideremos el problema de valor inicial:
𝑑𝑦
= 𝑓(𝑡, 𝑥, 𝑦)
𝑑𝑥
𝑑𝑦
= 𝑔(𝑡, 𝑥, 𝑦)
𝑑𝑥
Con: x(t0) = x0, y(to) = yo
Tenemos que la solución queda como
x(t) = 4𝑒 4𝑡 + 2𝑒 −𝑡 , y(t) = 6𝑒 4𝑡 - 2𝑒 −𝑡
Sistemas de ecuaciones diferenciales
ordinarias
Ejemplo: Consideremos el Sistema de ecuaciones diferenciales
𝑑𝑦
= 𝑥 + 2𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑦
= 3𝑥 + 2𝑦
𝑑𝑥
Con: x(0) = 6, y(o) = 4
Sistemas de ecuaciones diferenciales
ordinarias
Lo anterior puede verificarse sustituyendo directamente x(t) e y(t) en
el miembro derecho, calculando las derivadas y sustituyendo en
miembro izquierdo.
Esto sucede ya que esa solución del Sistema es un par de funciones
derivables que al sustituirse el resultado es igual a la derivada de x y y.
Conclusión
Como pudimos ver en esta presentación y para concluir, la resolución
de problemas de ingeniería está asociada, por lo general, a resultados
numéricos puesto que se requieren respuestas prácticas.
Como se ha mencionado, la mayor parte de las leyes de la ciencia se
expresan en términos de rapidez de variación de una variable con
respecto otra.
Y claro, su función principal es que proporcionan una herramienta
esencial para modelar muchos problemas en Ingeniería, Física,
Economía y Biología, puesto que estos, por lo general, requieren la
determinación de una función que satisface a una ecuación
diferencial.
Bibliografía
▪
Mathews, J. & Fink, K.. (2003). Métodos Numéricos con MATLAB.
España: Prentice Hall.
▪
Luthe, R., Olivera, A.,Schutz, F.. (1985). Métodos Numéricos.
México: Limusa.