フィードバック制御入門 第8章
第 8 章 ：フィードバック制御系の設計法
第 8 章 ：フィードバック制御系の設計法
8.1 設計手順と性能評価
8.2 PID 補償による制御系設計
キーワード ： 設計手順，性能評価
キーワード ： P（比例），I（積分），D（微分）
学習目標 ： 一般的な制御系設計における手順と制御系
の性能評価について学ぶ．
学習目標 ： PID 補償の有効性について理解し，
その設計手順を習得する．
1
2
8. フィードバック制御系の設計法
第 8 章 ：フィードバック制御系の設計法
8.1 設計手順と性能評価
制御系の設計手順
8.3 位相進み‐遅れ補償による制御系設計
レギュレータ問題（定置制御）
キーワード ： 位相遅れ補償，位相進み補償
：一定の値に保持 （制）
人工衛星の姿勢制御など
学習目標 ： ループ整形の考え方を用いて, 位相遅れ補償，
サーボ問題（追従制御）
：目標値に良好に追従 （御）
位相進み補償による制御系設計を習得する．
航空機の自動操縦など
3
制御系の設計手順
［ステップ１］
制御対象の数学的
モデルを求める.
［ステップ２］
制御目的から,
性能仕様を決める.
［ステップ３］
性能仕様
制御目的
制御対象
実装
コントローラ
現実の世界
（ 広い意味では ）
• センサ・アクチュエータの選択・配置
数学的
モデル
モデリング
• 制御量・操作量の決定
設計
実現
4
• 動作環境・拘束条件の分析… など
コントローラ
光センサ
紙の上の世界
性能仕様を満たすように, コントローラを設計する.
［ステップ４］
シミュレーションにより, 設計された制御系を評価する. 必要なら
ば以上のステップを繰り返し設計をやり直す.
ＬＥＧＯ
［ステップ５］
コントローラを実装し, ハードウェアを用いてテストする.
5
タッチセンサ
6
1
フィードバック制御入門 第8章
制御系の性能評価
制御系の性能評価
定常特性
定常特性
過渡特性
過渡特性
定常特性（§4.2 ）
L( s) = P( s) K ( s)
d =0
u +
r + e
P(s)
K (s )
es : 定常位置偏差
y
−
Tp
r (t ) = t
r (t ) = t 2 / 2
0型
1
1+ K p
∞
∞
1型
0
1
Kv
∞
2型
オーバーシュート Amax
es
0.5
0
1
Ka
0
0
行過ぎ時間 T p
1
t
10
過渡特性
時間応答に基づく性能評価（§3.3 ）
ω n ：自然角周波数
ωn2
2次系 P = 2
s + 2ζω n s + ωn2 ζ ：減衰係数（2次系）
y(t)
×
ζ = 0. 1
0
15
5 ω t 10
n
図3.7 2次系のステップ応答
定常特性
過渡特性
Im
ωn
ωn 1 − ζ 2
Re
図3.8 2次系の極の位置
速応性
減衰特性
に基づく性能評価
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
Re
9
K (s )
時間応答
閉ループ
周波数応答
バンド幅
ω bw : − 3dB
P (s )
開ループ
定常特性
過渡特性
伝達関数に基づく性能評価
1
GM
［ゲイン/位相］交差周波数
Im
（速応性）：ゲイン交差周波数 ω gc
1
3dB
速応性
ピークゲイン
M r : M r = 1.1 ~ 1.5 ( M r = 1.3)
減衰特性
共振周波数 ω r
閉ループ
開ループ 伝達関数に基づく性能評価
安定余裕 ［ゲイン余裕 / 位相余裕］
| T ( jω ) |
y
時間応答
周波数応答
開ループ伝達関数に基づく性能評価
| T (0) |= 0 の場合
Mr
1
倍
2
10
図3.9 極の位置とインパルス応答
制御系の性能評価
閉ループ伝達関数に基づく性能評価
+
周波数応答
Im
制御系の性能評価
−
時間応答
×
0
r
8
過渡特性
時間応答に基づく性能評価（続き） （§3.4 ）
0
ζ =1
0 .5
過渡特性
θ
− ω n − ζω n
1
定常特性
速応性
減衰特性
に基づく性能評価
周波数応答
1 .5
t
Tr
図3.10 過渡応答と諸特性値
7
制御系の性能評価
時間応答
過渡特性
Ts
0.1
15
図4.4 定常位置偏差
Td
整定時間 Ts
制御系の性能評価
定常特性
1
0. 9
0.5
減衰比
5
0
± 2%
Amax
遅れ時間 Td
1.5
y(t )
制御系の型 r (t ) = 1
過渡特性
時間応答に基づく性能評価（§3.4 ）
立上り時間 Tr
K p : 位置偏差定数 K p = L(0)
表4.1 制御系の型と定常偏差
周波数応答
速応性
減衰特性
に基づく性能評価
y (t )
1
es =
1 + L ( 0)
時間応答
（減衰特性）：位相余裕
PM
ω gc ≤ ω bw
(PM ≤ 90°)
⎛ 1 ⎞
PM ≥ 2 sin ⎜⎜
⎟⎟
⎝ 2M r ⎠
−1
PM
P
G
O
Re
−1
ω bw
ωr
経験的指針
追従制御 ： PM = 40 ~ 60°, GM = 10dB ~ 20dB
図8.1 閉ループゲイン特性
感度関数 S についても： M r (< 2)
定置制御 ： PM ≥ 20°, GM = 3dB ~ 10dB
11
2次系の場合 ： PM ≈ 100 × ζ
12
2
フィードバック制御入門 第8章
ボード線図での読み取り
（a） 位相が − 180o より進む
（b） 位相が − 180o ちょうど
（c） 位相が − 180o より遅れる
⇒
⇒
⇒
（a） ゲインが 0 dB より低い ⇒ 安定
安定
（b） ゲインが 0 dB ちょうど
安定限界
ゲイン交差周波数 ω gc で PM を読み取る．
Im
1
−1
ゲイン
−1
ω
0 dB
GM
位相
− 180o
PM
ω pc
ω
0 dB
− 180o
0 dB
ゲイン
ω
0 dB
位相
o
ω − 180
ω gc = ω pc
（a） 安定
（b） 安定限界
ω pc
位相
− 180o
ω
（c） 不安定
13
20
ゲイン［dB］
K
s ( s + 1)( s + 2)
( K = 3)
ゲイン交差周波数
ω gc ≅ 0.97
PM
ω pc
0 dB
ω
− 180o
−1
ゲイン
ω
位相
（a） 安定
ω gc = 0.97
0
ω gc
0 dB
ω
位相
o
ω − 180
ω gc = ω pc
（b） 安定限界
ω
ω pc
（c） 不安定
14
ボード線図
ナイキスト線図（ベクトル軌跡）
GM(≅ 6dB)
− 20
− 40
− 60
10 −1
ω pc = 1.41 101
10 0
ω ［rad/s
位相余裕
］
PM ≅ 20o
ステップ応答
位相［ ］
− 100
位相交差周波数
o
ω pc ≅ 1.41
ゲイン余裕
− 140
極・零点配置
ω pc = 1.41
PM(≅ 20o )
− 180
閉ループゲイン特性
− 220
− 260
GM ≅ 6dB
10 −1
ω
10 0
［rad/s
］
101
15
（偏差の）
比例（Proportional）
e
r
+−
積分（Integral）
微分（Derivative）
PID制御
積分
+u
+ +
ゲイン
20 log | K PI ( jω ) | [dB]
コントローラ
PID 補償
比例
16
PI 補償
8.2 PID補償による制御系設計
K PI ( s ) = K P +
y
制御対象
微分
図8.2 PID 補償
− 20dB/dec,
KI
s
⎛
1 ⎞
⎟⎟
= K P ⎜⎜1 +
T
Is⎠
⎝
K
TI = P （積分時間）
KI
20 log K P
位相
定常特性の改善
低周波： − 20dB/dec,
P 補償
コントローラ
ω
O Re
制御系の性能評価 LTIview
［ 例 6.6 ］ （虚軸上に極がある場合）
L( s ) =
−1
Im
G
−1
Re
ゲイン
ω gc
GM
位相
ω
P
O
Re
−1
ω gc
1
−1
O
G
−1
ゲイン
ゲイン
ω gc
1 Im
−1 P
O Re
−1
Re
Im
1
G
P
O
Re
Im
1
−1
O
G
安定限界
位相交差周波数 ω pc で GM を読み取る．
1 Im
−1 P
⇒
（c） ゲインが 0 dB より高い ⇒ 不安定
不安定
ゲイン大,ω → 0 で ∞
K P ( s ) = K P 比例ゲイン （ 定数 ）
・定常位置偏差を（必ずしも） 0 にできない （ 積分器が必要 ：型 ）
・ゲインの増大
不安定になり得る
17
“偏差が残っている限り, これが
積分されて操作量に反映される”
∠K PI ( jω )
1 TI
ω [ rad / s]
1 TI
ω [ rad / s]
o
0
− 90
o
図8.3 PI 補償のボード線図
18
3
フィードバック制御入門 第8章
PD 補償
［ 例 8.1 ］
ω gc = 1.0
− 20
−2
0
10
2
K PD ( s) = K P + K D s
= K P (1 + TD s )
KD
TD =
（微分時間）
KP
PI
0.2
0
1
2
3
t [s]
5
4
図8.4 開ループゲイン
とステップ応答
K ' PD =
19
+ 90
コントローラ
制御対象
10
P( s) =
( s + 1)( s + 10)
コントローラ
K
K PID ( s ) = K P + I + K D s
s
1 ( s + 1)( s + 10)
=
s
4
K P = 2.75, K I = 2.5, K D = 0.25
2.5
LPID = PK PID =
s
定常特性： L(0) = ∞
1 TD
N TD
ω [ rad / s]
∠K PID ( jω )
KP
（積分時間）
KI
K
TD = D （微分時間）
KP
TI =
+ 90
o
0o
− 90
o
ω [ rad / s]
図8.6 PID 補償のボード線図
定常特性と過渡特性を改善
21
［ 例 8.2 ］（続き）
位相余裕 PM
PM を十分に確保する
PI
20
PID
P
0
− 20
ω gc = 2.5
− 40
− 60
−2
10
0
10
10
ω [rad / s]
2
PID
P
1
0.8
0.6
0.4
低周波ゲインが大きい
0.2
過渡特性（速応性）：
ゲイン交差周波数 ω gc
PI 補償と比べて高い
0
PI
0
1
2
3
t [s]
5
4
図8.7 開ループゲインと
ステップ応答
20
0
Ziegler and Nichols （1942）
PID
ω gc = 2.5
~
P (s) =
（1） 限界感度法
P
限界ゲイン K u ,
− 20
22
0
10
ω [rad / s]
10
コントローラ
0
− 90
− 180
−2
10
10
2
TI
P
0. 5 K u
PI
0.45 K u Pu 1.2
PID
0
10
ω [rad / s]
KP
0. 6 K u
0.5 Pu
K = 17
4
3 限界ゲイン : K u
表 8.1 限界感度法
2
1
4
⋅
5s + 1 s 2 + 2 s + 4
限界周期 Pu
− 40
90
位相 ［° ］
減衰特性：
PI
− 60
−2
10
ゲイン交差周波数 ω gc
ω gc を大きくする
40
TD
Pu 8
y (t )
過渡特性（速応性）：
40
ゲイン ［ dB ］
低周波ゲインが大きい
20
PID チューニング （調整）
定常特性：
L ( 0) = ∞
図8.5 PD 補償のボード線図
K P (1 + TD s )
1 + (TD / N ) s
( −3 ≤ N ≤ 20)
［ 例 8.2 ］
位相
K′PD
ω [ rad / s]
20 log | K PID ( jω ) | [dB]
− 20dB/dec + 20dB/dec
K PD
o
0o
ゲイン
KI
+ KDs
s
⎛
⎞
1
= K P ⎜⎜1 +
+ TD s ⎟⎟
⎝ TI s
⎠
K′PD
N T D ω [ rad / s]
1 TD
∠K PD ( jω )
PID 補償
K PID ( s ) = K P +
+ 20dB/dec
位相
［注］ 理想的な微分器は実現困難
0
K PD
20 log K P
“ 偏差が増加（減少）しつつ
あるとき, その先を見越して
操作量を大きく（小さく）する ”
es
0.6
0.4
20 log NK P
過渡特性の改善
0.8
y (t )
s +1
1
= 1+
KI = 1
s
s
10
= PK PI =
s ( s + 10)
定常偏差 ＝ 0
低周波ゲインが大きい
（ しかし応答は遅い）
交差周波数が低い
10
10
ω [rad / s]
P
1
KP = 1
K PI =
LPI
P
100
( s + 1)( s + 10)
PI 補償
コントローラ
20
0
ゲイン
20 log | K PD ( jω ) | [dB]
ゲイン ［ dB ］
K P = 10,
PI
y (t )
P 補償
LP = PK P =
40
ゲイン ［ dB ］
10
制御対象 P( s ) =
( s + 1)( s + 10)
2
1
0
−1
−2
0
K = 11
K =1
Pu
2
4
t
6
8
図 7.2 （b） 閉ループ系のステップ応答
23
24
4
フィードバック制御入門 第8章
（2） ステップ応答法
傾き
K
R =
K
T
y (t )
プロセス応答曲線
“1次遅れ+むだ時間” で近似
（定位プロセス）
L
−1
O
KP
P
1 RL
PI
0.9 RL L 0.3
限界周期 Pu =
2L
コントローラ
KP
P
0.5 K u
Pu ≈ 3.63
PI
K P = 0.6 × K u = 4.8
0.6 K u
2π
≈ 3.63
ωu
定常特性：
0.5Pu
低周波ゲインが大きい
Pu 8
TI = 0.5 × Pu ≈ 1.81
ゲイン交差周波数 ω gc
TD = Pu / 8 ≈ 0.45
ω gc を大きくする
KI
+ KDs
s
⎛
⎞
1
= K P ⎜⎜1 +
+ TD s ⎟⎟
⎝ TI s
⎠
1
減衰特性：
PM を十分に確保する
位相遅れ補償
5
10
t [s]
5
15
10
t [s]
20 26
15
ω gc = 1.4
0
− 50
− 100
−2
10
− 90
0
10
ω [rad / s]
10
2
10
2
− 135
位相余裕 PM
0 0
0
50
L(0) = ∞
過渡特性（速応性）：
K PID ( s) = K P +
0
［step3］性能評価
TD
TI
0.45 K u Pu 1.2
PID
1
0.5L 25
表 8.1 限界感度法
限界ゲイン K u = 8
K u = 8,
ωu = 3
1.2 RL
［step2］PIDゲインの設定
限界ゲイン
ゲイン ［ dB ］
PID
Pu
TD
TI
コントローラ
Re
−1
K u = (3ωu2 − 1) − jωu (3 − ωu2 )
表 8.2 ステップ応答法
システム同定, 適応制御へ
− 180
−2
10
20
PM = 30.3o
0
10
ω [rad / s]
27
28
ゲイン
20 log K ( jω ) [dB]
定常特性の改善
+ 20 log α [dB]
K (0) = αK , K (∞) = K
ゲイン
(α > 1)
[dB]
− 20dB / dec
20 log αK
20 logα
20 log K
1 αT
位相
1T
0
ω gc
ω [ rad / s]
∠K ( jω )
0o
[o ]
o
− 90
ω [ rad / s]
図8.10 位相遅れ補償のボード線図
［注］ 位相遅れ：（安定性の劣化の原因）
折点角周波数 1 T を適切に
位相
コントローラ
α (Ts + 1)
K ( s) = K
αTs + 1
1
P(ωu ) K u = −1 ⇔ K u = −( jωu + 1) 3
t [s ]
T
図 8.8 プロセス反応曲線
1
4
（ひとつの性能仕様）
限界周期
1
( s + 1) 3
y
P (s )
K (s)
安定限界のとき， (−1,0) を通過
0
R − Ls
e
s
（無定位プロセス）
減衰比：
−
［step1］限界ゲイン K u の設定
K − Ls
e
1 + Ts
cf : P ( s ) =
P( s) =
T
K
+
r
位相 ［° ］
P(s) =
［ 例 ］ 限界感度法
− 180
ω [rad / s]
29
30
5
フィードバック制御入門 第8章
［ 例 8.3 ］
位相遅れ補償の設計手順
制御対象
［ステップ1］ 位相余裕やゲイン交差周波数に着目し, 望ましい
過渡応答特性が得られるようにゲイン補償 K を決める.
［ステップ2］ ［ステップ1］の K を用いて開ループ伝達関数のボード
線図を描き, その低周波ゲインを評価する.
［ステップ1］ 位相余裕やゲイン交差周波数に着目し, 望ましい
過渡応答特性が得られるようにゲイン補償 K を決める.
［ステップ3］ 低周波ゲインが + 20 log α [dB] 上がることを考慮し,
定常特性に関する仕様を満たすようにパラメータ α
の値を定める.
ω gc ≈ 0.8 [rad/sec]
性能仕様は K v ≥ 10
40
20
0
− 20
L'
− 90
20 log K
PM = 47
2−
101 −
10
0
ω [rad / s]
1
10
位相 ［ ］ ゲイン ［dB］
ゲイン
T = 10 (ω = 0.1) と選べば，ゲイン交差周波数 ω gc より十分に小さい．
1
1
= 0 .1
折点角周波数
= 0.01,
T
αT
1/ T
1 / αT
[dB]
1/ T
o
位相
[o ]
− 180
ω [ rad / s ]
L'
0o
o
− 90
0
− 20
− 90
− 180
PM = 47
2−
10
101 −
10
0
1
PM = 47o
2−
101 −
10
1
0
10
1035
o
40
20
ω gc = 0.8
P
L'
0
− 20
− 90
− 120
− 150
− 180
PM = 47 o
2−
101 −
10
10
1
0
1034
ω [rad / s]
位相遅れ補償
K ( s) = K
α (Ts + 1)
αTs + 1
K = 1, α = 10, T = 10
位相余裕 PM ≥ 40
1 / αT
o
ゲイン交差周波数 ω gc = 0.8
o
ω [rad / s]
− 180
［ステップ5］ 以上で設計パラメータ K ,α , T が定められたので, 位相
遅れ補償を構成する.
− 120
− 150
− 150
20 log α
[dB]
ω [rad / s]
10(10 s + 1)
K ( s) = 1⋅
10 ⋅10s + 1
s + 0 .1
=
s + 0.01
ω gc = 0.8
P
ω [rad / s]
1T
∠K ( jω )
図8.11 位相遅れ補償と開ループ特性
33
40
20
1 αT
位相
o
［ステップ4］ 位相遅れにより安定性が劣化しないように, 折点角周波数
ω = 1 T をゲイン交差周波数より 1dec 程度下になるように
選ぶ. もうひとつの折点角周波数を ω = 1 /(αT ) と定める.
1 / αT
− 20dB / dec
20 log α
− 120
− 180
− 120
ω [rad / s]
図8.11 位相遅れ補償と開ループ特性32
ゲイン
20 log K ( jω ) [dB]
20 log αK
− 150
ω gc = 0.8
0
− 20
− 90
10
α = 10
ω gc = 0.8
P
10
低周波ゲイン10倍以上必要
0
K =1
位相 ［ ］ ゲイン ［dB］
o
10
=1
( s + 1)( s + 10)
ω gc
OK
位相 ［ ］ ゲイン ［dB］
位相 ［ ］ ゲイン ［dB］
( K = 1)
s →0
s →0
o
PM ≥ 40° を満たす
低周波ゲイン10倍で
速度偏差定数 K v = 10
10
s ( s + 1)( s + 10)
K v ' = lim sL' ( s )
= lim
PM = 47°
P
40
20
［ステップ3］ 低周波ゲインが + 20 log α [dB] 上がることを考慮し,
定常特性に関する仕様を満たすようにパラメータ α
の値を定める.
開ループ伝達関数
速度偏差定数
位相余裕
31
［ステップ2］ ［ステップ1］の K を用いて開ループ伝達関数のボード
線図を描き, その低周波ゲインを評価する.
L′ = PK =
位相 ［ ］ ゲイン ［dB］
ゲイン交差周波数
［ステップ4］ 位相遅れにより安定性が劣化しないように, 折点角周波数
ω = 1 T をゲイン交差周波数より 1dec 程度下になるように
選ぶ. もうひとつの折点角周波数を ω = 1 /(αT ) と定める.
［ステップ5］ 以上で設計パラメータ K , α , T が定められたので, 位相
遅れ補償を構成する.
性能仕様
速度偏差定数（定常特性） K v ≥ 10
位相余裕（減衰特性） PM ≥ 40°
10
P( s ) =
s ( s + 1)( s + 10)
o
1/ T
L
40
20
0
− 20
L'
ω gc = 0.8
P
− 90
PM = 40.7 o
− 120
− 150
− 180
PM = 47
2−
10
101 −
o
10
ω [rad / s]
0
1
10
36
6
フィードバック制御入門 第8章
1.5
［CHECK］
y(t )
性能仕様
速度偏差定数（定常特性） K v ≥ 10
0
L( s ) = P ( s ) K ( s )
10( s + 0.1)
s ( s + 0.01)( s + 1)( s + 10)
1
K v = lim sL( s ) =
= 10
s →0
0.1
PM ≥ 40°
ω gc ≈ 0.8
K (s) = K
y(t )
20 log K ( jω ) [dB]
Ts + 1
(α < 1)
αTs + 1
過渡特性の改善, 安定化
10
0
20
t [s]
ステップ応答
30
20 log K
∠K ( jω )
ω max 1 αT
o
10
20
t [s]
ランプ応答
位相進みの最大値 sin φmax
37
ω [ rad / s]
1
図8.13 位相進み補償
αT
のボード線図
1 − sin φmax
1−α
⇒α =
=
1 + sin φmax
1+α
8章演習問題［4］
位相が最も進む角周波数 ω max =
0
φmax
0o
ノイズ増幅
ロバスト安定性の劣化
10
0
1T
［注］ 高周波ゲイン→大
OK
ステップ応答, ランプ応答 OK
+ 20dB / dec
20 log( K / α )
位相
1
1
<ω <
T
αT
位相進み
20 log(K / α )
90
20
OK
ゲイン
コントローラ
1
0.5
位相余裕（減衰特性） PM ≥ 40
=
位相進み補償
38
ベクトル軌跡で見る位相進み補償
[dB]
制御対象 P(s )
位相余裕を増加させる
K : ゲイン補償
Im
−1
−1
L̂
ω gc ω gc
0
Im
Re
K = 10
ゲイン
Lˆ = PK ,
位相進み補償
Re
ゲイン補償のみ
[o ]
K =2
K→大
位相進み補償
位相
PM
K =3
K =1
− 180
K =1
ω [rad / s]
39
位相進み補償の設計手順
40
［ステップ4］ 位相進み補償では最も位相が進む角周波数で,
ゲインが 1 α 倍に上がる.
［ステップ1］ 速応性や定常特性に対する仕様が満たされるように,
ゲイン補償 Kの値を決める.
⟨
［ステップ2］ ［ステップ1］の K を用いて開ループ伝達関数 Lˆ ( s ) = KP( s )
のボード線図を描き, その位相余裕 PM を評価する.
そこで Lˆ ( jω ) が α （ = 20 log α [dB] ）である角周波
数を, 補償後の新しいゲイン交差周波数 ω max とおく.
⟨
⟨
与えられた位相余裕 PM とこの PM との差 φˆ = PM − PM
が, 必要な位相進み量となる.
［ステップ5］ ω max = 1
αT
から, パラメータ T の値を決める.
このとき位相進み補償の折点角周波数は,
1 / T = ω max α , 1 /(αT ) = ω max / α となる.
これに適当な（例えば 5° 以上の）余裕を考慮し,
= φˆ + 5° .
（φ max以上）と定める
［ステップ6］ 以上で設計パラメータ K , α , T が定められたので,
Ts + 1
K ( s) = K
から, 位相進み補償を構成する.
αTs + 1
1 − sin φmax
［ステップ3］ α =
から, パラメータ α の値を決める.
1 + sin φmax
41
42
7
フィードバック制御入門 第8章
［ 例 8.4 ］
性能仕様
ゲイン交差周波数（速応性） ω gc ≥ 2
位相余裕（減衰特性） PM ≈ 40°
が, 必要な位相進み量となる.
これに適当な（例えば 5° 以上の）余裕を考慮し,
= φˆ + 5° .
（φ max以上）と定める
［ステップ1］ 速応性や定常特性に対する仕様が満たされるように,
50
s ( s + 1)( s + 10)
o
ゲイン交差周波数
ωˆ gc = 2.1 > 2
ω gc ≥ 2 を満たす OK
− 20
φˆ = PM − PM
= 40 − 13.6 = 26.4°
− 40
− 90
− 120
− 150
− 180
1−
o
（必要な位相進み量）
PM = 13.6o
10
10
φmax = φˆ + 10° = 36.4°
1
0
ω [rad / s]
図8.14 開ループ特性
10
40
L̂
20
0
ωˆ gc = 2.1
P
− 20
− 40
− 90
− 120
− 150
− 180
PM = 13.6o
1−
10
（マージン）
43
1 − sin φmax
から, パラメータ α の値を決める.
1 + sin φmax
10
1
0
10
ω [rad / s]
図8.14 開ループ特性
44
［ステップ4］ 位相進み補償では最も位相が進む角周波数で,
ゲインが 1 α 倍に上がる.
そこで Lˆ ( jω ) が α （ = 20 log α [dB] ）である角周波
数を, 補償後の新しいゲイン交差周波数 ω max とおく.
Ts + 1
αTs + 1
Lˆ ( jω max ) = α = 0.505
1 − sin φmax
1 + sin φmax
位相 ［ ］ ゲイン ［dB］
α=
性能仕様は PM ≈ 40°
P
φmax = 36.4°
α = 0.255
o
40
L̂
20
0
αT
ωˆ gc = 2.1
P
− 20
ω gc
0
o
− 120
− 150
− 180
ωˆ gc = 2.1
0 [dB]
20 log α [dB]
ω max = 3.0
[dB]
− 40
− 90
[o ]
PM = 13.6o
1−
10
［ステップ5］ ω max = 1
に下がっている.
（後で 0dB に上がる. ）
ゲイン
K (s) = K
0
位相余裕 PM = 13.6o
ωˆ gc = 2.1
位相 ［ ］ ゲイン ［dB］
［ステップ3］ α =
L̂
20
10
1
0
ω [rad / s]
図8.14 開ループ特性
10
PM
位相
Lˆ ( s ) =
40
位相 ［ ］ ゲイン ［dB］
開ループ伝達関数
位相 ［ ］ ゲイン ［dB］
ゲイン補償 K の値を決める.
ゲイン補償 K = 5
⟨
10
s ( s + 1)( s + 10)
⟨
P( s) =
⟨
制御対象
［ステップ2］ ［ステップ1］の K を用いて開ループ伝達関数 Lˆ ( s ) = KP( s )
のボード線図を描き, その位相余裕 PM を評価する.
与えられた位相余裕 PM とこの PM との差 φˆ = PM − PM
− 180
ωmax = 3.0
40
L̂
20
0
ωˆ gc = 2.1
P
20 log α
− 20
− 40
− 90
− 120
− 150
− 180
PM = 13.6o
1−
10
45
ω [rad / s ]
10
1
0
ω [rad / s]
図8.14 開ループ特性
10
46
［ステップ6］ 以上で設計パラメータ K , α , T が定められたので,
Ts + 1
K ( s) = K
から, 位相進み補償を構成する.
αTs + 1
から, パラメータ T の値を決める.
このとき位相進み補償の折点角周波数は,
1 / T = ω max α , 1 /(αT ) = ω max / α となる.
位相進み補償
αT
⇒T =
1
α ωmax
ωmax = 3.0, α = 0.255
T = 0.660
折点角周波数
1
1
= 1.52,
= 5.94
T
αT
o
1/ T
40
L̂
20
0
K (s) = K
1 / αT
ωˆ gc = 2.1
K = 5,α = 0.255, T = 0.660
P
− 20
0.66 s + 1
K ( s) = 5 ⋅
0.255 ⋅ 0.66s + 1
19.6( s + 1.52)
=
s + 5.94
20 log α
− 40
− 90
− 120
− 150
− 180
PM = 13.6o
1−
10
10
Ts + 1
αTs + 1
0
ω [rad / s]
図8.14 開ループ特性
10
ゲイン交差周波数 ω gc = 3.0
47
位相余裕 PM = 38o
1
o
ωˆ gc = 2.1
L
40
位相 ［ ］ ゲイン ［dB］
1
位相 ［ ］ ゲイン ［dB］
ωmax =
L̂
20
0
ωmax = 3.0
P
− 20
− 40
− 90
− 120
PM = 38o
− 150
− 180
PM = 13.6
1−
10
o
1
10 1 / T
1 / αT 10
ω [rad / s]
図8.14 開ループ特性 48
0
8
フィードバック制御入門 第8章
［CHECK］
位相進みｰ遅れ補償
⎛ T1s + 1 ⎞ ⎛α 2 (T2 s + 1) ⎞
⎟⎟
⎟⎟ ⎜⎜
K ( s ) = K ⎜⎜
⎝α1T2 s + 1⎠ ⎝ α 2T2 s + 1 ⎠
1.5
性能仕様
ゲイン交差周波数（速応性）
y(t )
ω gc ≥ 2
位相余裕（減衰特性）
PM ≈ 40°
1
位相進み
(α1 < 1, α 2 > 1)
0.5
位相遅れ ゲイン20 log | K ( jω ) | [dB]
20 log(α 2 K )
20 log( K / α1 )
20 log K
［注］ 多段にしても良い
0
ω gc = 3.0 (= ω max ) OK
0
2
4
t [s]
位相
定常特性・過渡特性の改善
PM ≅ 38°
OK
+ 20 log α 2 [dB]
ステップ応答
OK
位相進み：
− 20dB / dec
+ 20dB / dec
1 /(α 2T2 ) 1 / T2 1 / T1 1 /(α1T1 )
ω [rad / s]
∠K ( jω )
90o
0o
− 90o
1
1
<ω <
T1
α1T1
ω [rad / s]
［注］ 位相遅れ, 高周波ゲイン
図 8.16 位相進みｰ遅れ補償
50
のボード線図
制御対象のモデル
ゲイン
[dB]
P(s) =
ωωgcgc
0
0.01
s 2 + 0.04 s + 0.01
位相遅れ（ PI 補償）
K PI ( s ) = 100
s + 0.1
s
L1 = PK PI 低周波ゲイン：大
位相進み
位相
[o ]
K L (s) =
− 180
PM
ω [rad / s]
51
100
50
0
− 50
− 100
L2
P
L1
0
o − 90 L
1
− 180
− 270
− 360
10−2
P
位相 ［ ］
［ 例 8.5 ］
ゲイン ［dB］
49
10−1
14.3( s + 0.53)
s + 7.52
1.4
1.2
位相進み－遅れ補償
1
1430( s + 0.1)( s + 0.53)
0.8
K LL (s ) =
0.6
s ( s + 7.52)
0.4
L2 = PK LL
ゲイン交差周波数：大
0.2
傾き：緩
0
位相余裕：十分
0
2
L2
100
ω [rad / s]
4
t 6
101
8
102
10 52
付録
[dB]
ゲイン
［ 例 8.5 ］ ロール・オフ フィルタ
143000( s + 0.1)( s + 0.53)
10
=
s 2 + 10 s + 100 s ( s + 7.52)( s 2 + 10 s + 100)
ロール・オフ特性
K (s ) = K LL (s ) ×
y (t )
1
0.5
0
0
2
6
4
t [s]
8
100
50
0
− 50
− 100
L
L2
P
0
o − 90 L
1
− 180
− 270
10
− 360 −2
10
位相 ［ ］
1.5
[o ]
L1
P
L2
100
ω [rad / s]
101
− 180
PM
ω [rad / s]
L
10−1
位相
ゲイン ［dB］
L = PK
ω gc
0
2
10
53
54
9
フィードバック制御入門 第8章
3
~
P K LL
~
PK
−1
0
1.5
1
y(t )
実際の制御対象：
0.01
~
152
P ( s) = 2
⋅
s + 0.04 s + 0.01 s 2 + 2 × 0.01×15s + 152
振動モード
0.5
b ） ロール・オフ特性を有する
位相進み－遅れ補償： K
10
s 2 + 10 s + 100
−3
−3
55
0 1 2
3
~
P K LL
~
P
~
P K LL
10−1
100
~
P K LL
~
PK N
8
10
56
~
PK N
1
0.5
1430( s + 0.1)( s + 0.53)
s( s + 7.52)
ゲイン ［dB］
c ） ノッチフィルタを備えた位相進み－遅れ補償：
s 2 + 2ζ ′ω n s + ω n2
s 2 + 2ζω n s + ω n2
s 2 + 2 × 0.03 ×15s + 152
K N ( s ) = K LL ⋅ 2
s + 2 × 0.1×15s + 152
6
t [s]
1.5
~
PK
−1
4
−3
−3
− 50
− 100
0
− 90
o
− 180
− 270
− 360
位相 ［ ］
0 [dB]
100
50
0
ω [rad / s]
57
~
P
10−2
0
0
~
PK N
0 1 2
3
~
P K LL
4
t [s]
6
8
10
6
8
10
1600
~
P
1200
~
PK
~
P
~
P K LL
100
ω [rad / s]
101
800
400
0
~
PK
10−1
u (t )
K LL (s) =
10
800
102
振動モード
a ） 位相進み－遅れ補償： K LL
8
400
− 400
0 1 2
101
ω [rad / s]
3
0
6
0
~
PK
10−2
t [s]
1200
~
PK
0
− 90
o
− 180
− 270
− 360
4
1600
~
P
− 50
− 100
実際の制御対象：
0.01
~
152
P ( s) = 2
⋅ 2
s + 0.04 s + 0.01 s + 2 × 0.01×15s + 152
0
0
位相 ［ ］
K (s) = K LL (s ) ×
100
50
0
u (t )
ゲイン ［dB］
1430( s + 0.1)( s + 0.53)
K LL (s ) =
s( s + 7.52)
y(t )
a ） 位相進み－遅れ補償： K LL
~
P
− 400
0 1 2
102
4
t [s]
58
10