Polar Equations - Classwork
&' (')* +,- .'/0) 1'')2340+- 565+-*7 8- (39 0 .'34+ O 10//-2 +,- .'/- ') +,- ')3:34; <01, .'34+ P 34 +,- ./04- 104
=- 0553:4-2 .'/0) 1'')2340+-5 ( r,! ) 05 ('//'85> r 35 +,- 23)-1+-2 235+041- ()'* O +' P 042 ! 35 +,- 23)-1+-2 04:/-27
1'?4+-)1/'1@835- ()'* .'/0) 0935 +' 5-:*-4+ OP ; &,- 230:)0* =-/'8 5,'85 +,)-- .'34+5 '4 +,- .'/0) 1'')2340+565+-*; A+ 35 1'4B-43-4+ +' /'10+- .'34+5 83+, )-5.-1+ +' 0 :)32 '( 1'41-4+)31 13)1/-5 34+-)5-1+-2 =6 )0230/ /34-5
+,)'?:, +,- .'/-; &,- /34- ! = 0 35 10//-2 +,- polar axis.
!/2
(4,2!/3)
(3,!/6)
0
!
(4, -!/4) or (-4,3!/4)
3!/2
&' 1'4B-)+ +' 042 ()'* +,- .'/0) 565+-* +' +,- 1'')2340+- 565+-*7 6'? *?5+ @4'8 +,- ('//'834: )-/0+3'45,3.5;
( x .y ) or (r,! )
x = r cos!
r
y
y = r sin !
y
x
2
2
r = x + y2
tan ! =
!
x
<90*./- #) D'4B-)+ +,- ('//'834: .'/0) .'34+5 +' )-1+04:?/0) 1'')2340+-5;
#
"&
0; (5,")
=; %2 3 , (
6'
$
<90*./- E) D'4B-)+ +,- ('//'834: )-1+04:?/0) .'34+5 +' .'/0) 1'')2340+-5;
0; ("G7 "G)
=; (%7 "E)
<90*./- H) D'4B-)+ +,- ('//'834: )-1+04:?/0) -I?0+3'45 +' .'/0) -I?0+3'45;
2"
0) r = E
=) ! =
3
<90*./- K) D'4B-)+ +,- ('//'834: .'/0) -I?0+3'45 +' )-1+04:?/0) -I?0+3'45;
3
0) r = )2csc !
=) r =
1 + sin !
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" #$% "
Stu Schwartz
&' (342 +,- 5/'.- '( 0 +04:-4+ /34- +' 0 .'/0) :)0.,7 5?..'5- 8- ,0B- 0 23((-)-4+30=/- (?41+3'4 :3B-4 =6 r = f (! ) ;
&' 1'4B-)+ +' .'/0) (')*7 8- @4'8 +,0+ x = r cos! and y = r sin ! ; L'7 3+ ('//'85 +,0+>
x = r cos! = f (! ) cos! and y = r sin ! = f (! ) sin !
dy
:3B-4 34 +,- .)-B3'?5 5-1+3'47 the slope of a differentiable function '( ! =
dx
f (! ) cos! + f *(! ) sin !
dy
dy d!
dx
+ 0 at ( r,! )
=
=
provided that
dx
dx d!
d!
) f (! ) sin ! + f *(! ) cos!
M534: +,- .0)0*-+)31 (')* '(
N)'* +,- 0='B- +,-')-*7 8- 104 *0@- +,- ('//'834: '=5-)B0+3'45>
dy
dx
= 0 provided that
+0
O +' (342 ,')3P'4+0/ +04:-4+5 +' .'/0) -I?0+3'457 5-+
d!
d!
dx
dx
O +' (342 B-)+310/ +04:-4+5 +' .'/0) -I?0+3'457 5-+
= 0 provided that
+0
d!
d!
dy
dx
O 3(
and
0)- simultaneously P-)'7 4' 1'41/?53'4 104 =- 2)084 0='?+ +04:-4+ /34-5;
d!
d!
<90*./- G) N342 ,')3P'4+0/ 042 B-)+310/ +04:-4+ /34-5 +'
0; r = 2 sin !, 0 , ! , "
=; r = 2(1 ) sin ! )
If r = f (! ) = 0 at ! = - and f *(- ) + 0, then the line ! = - is tangent to the pole.
<90*./- $) N342 +,- +04:-4+ /34-5 0+ +,- .'/- +' r = 4 cos 3! ; D'4(3)* :)0.,310//6;
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" #$# "
Stu Schwartz
Polar Equations - Homework
N') -01, '( +,- ('//'834: .'/0) 1'')2340+-57 (342 +,- 1'))-5.'4234: )-1+04:?/0) 1'')2340+-5;
# "&
# 7" &
E; %)1, (
#; %6, (
H;
$ 2'
$
4'
N') -01, '( +,- ('//'834: )-1+04:?/0) 1'')2340+-57 (342 two 1'))-5.'4234: .'/0) 1'')2340+-5;
#1 ) 3&
K; ("H7 H)
G; % ,
$;
(
$2 2 '
# )" &
%)4, (
$
3'
(%7 "K)
N') -01, '( +,- ('//'834: )-1+04:?/0) -I?0+3'457 1,04:- 3+ +' .'/0) (')* 042 1'4(3)* '4 6'?) 10/1?/0+');
Q; 5 x ) y = 7
S;
( x ) 1)
2
R; xy = 12
#%; x 2 + y 2 + 4 x = 0
+ y2 =1
N') -01, '( +,- ('//'834: .'/0) -I?0+3'457 1,04:- 3+ +' )-1+04:?/0) (')* 042 1'4(3)* '4 6'?) 10/1?/0+');
##; r!= K
#E; tan 2 ! = 9
#H; r = 4 sin !
#K; r =
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" #$E "
1
1 ) cos!
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N') r = 2 + 3sin ! 7 (342
#G;
dy
042 +,- 5/'.- '( +,- +04:-4+ /34- 0+ +,- ('//'834: .'/0) .'34+5;
dx
(5,5" 2)
(
#$; )1, 3" 2
)
#Q; (2,")
N') -01, '( +,- ('//'834:7 (342 +,- .'34+5 '( ,')3P'4+0/ 042 B-)+310/ +04:-416 (3( 046)
#R; r = 3 + sin !
#S; r = sin ! cos2 !,
0 ,! %"
N342 +,- /34-5 +04:-4+5 0+ +,- .'/- +'
E%; r = 4 (1 ) cos! )
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E#; r = 3 sin 2!
" #$H "
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