‫מכניקה אנליטית ‪ /‬יצחק (צחי) אבנור‬
‫מכניקה אנליטית‬
‫סוכם ע"י צחי אבנור לפי הרצאות של ד"ר רון ליפשיץ‬
‫מושגי יסוד בעבודה ואנרגיה‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1  dr dr ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪m v  m( r r )  m ‬‬
‫אנרגיה קינטית‪ :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2  dr dt ‬‬
‫‪.T ‬‬
‫‪B‬‬
‫עבודה ואנרגיה פוטנציאלית‪ :‬אם הכוחות משמרים‪ WAB   F dr  VA  VB :‬וכן ) ‪. F  V ( r‬‬
‫‪A‬‬
‫חוק שימור האנרגיה‪ TB  TA  WAB  VA  VB :‬או בניסוח אחר ‪. TA  VA  TB  VB  Etotal  const‬‬
‫עבודה וירטואלית ועקרון דאלמבר‬
‫בזמן כלשהו ‪ t‬נקפיא את המערכת ונבצע הזזה וירטואלית ‪ ri  ri   ri‬רק בקונפיגורציה שלה (כלומר‪ ,‬רק‬
‫במיקום ולא בכוחות או במהירויות או באילוצים אחרים) מבלי לשנות שום גודל אחר ומבלי להפר את‬
‫האילוצים‪ .‬נחשב את העבודה הוירטואלית המתבצעת עקב הזזה וירטואלית זו‪.‬‬
‫אם ‪  ri‬הוא הזזת החלקיק ה ‪ i‬ו ‪ Fi‬הוא סך הכוחות כל הפועלים עליו‪ ,‬אזי העבודה תהייה‪:‬‬
‫‪ W   Fi  ri‬‬
‫(‪)1.0‬‬
‫‪i‬‬
‫נרשום כל כוח כסכום של כוחות אמיתיים (שמשפיעים על התנועה) וסכום של כוחות מאלצים‪:‬‬
‫) ‪Fi  Fi ( c )  Fi ( nc‬‬
‫כאשר ‪ c = constrain‬ו ‪( nc = non constrain‬כוחות לא מאלצים‪ ,‬כוחות "אמיתיים")‪.‬‬
‫מאחר שכוחות האילוץ ניצבים (עפ"י רוב) לכיוון התנועה‪ ,‬הם לא יתרמו לסך העבודה הכוללת ולכן‪:‬‬
‫‪ W   Fi ( nc )  ri‬‬
‫(‪)2.0‬‬
‫(‪)3.0‬‬
‫‪i‬‬
‫ברם‪ ,‬לפי החוק השני של ניוטון‬
‫‪dpi‬‬
‫‪Fi ‬‬
‫‪ pi‬‬
‫‪dt‬‬
‫ומהצבה של (‪ )4‬ב (‪ )1‬ואז מהשוואה ל (‪ )3‬נקבל‪:‬‬
‫) ‪( nc‬‬
‫‪ Fi  ri   W   pi  ri‬‬
‫‪i‬‬
‫(‪)4.0‬‬
‫(‪)5.0‬‬
‫‪i‬‬
‫או‪:‬‬
‫‪dpi ‬‬
‫‪  ri  0‬‬
‫‪dt ‬‬
‫‪‬‬
‫) ‪( nc‬‬
‫‪‬‬
‫‪  F‬‬
‫‪i‬‬
‫(‪)6.0‬‬
‫‪i‬‬
‫וזהו עקרון דאלמבר‪.‬‬
‫למעשה‪ ,‬עקרון זה מאפשר לנו להתעלם מהכוחות המאלצים תמורת כך שאנו לא מתייחסים לכל חלקיק בנפרד‬
‫אלא מסתכלים עליהם כעל מערכת‪.‬‬
‫במצב סטטי של שיווי משקל‪ Fi  pi  0 ,‬ולכן עקרון דאלמבר למצב הסטטי יראה כך‪:‬‬
‫‪ ri  0‬‬
‫) ‪( nc‬‬
‫‪F‬‬
‫‪i‬‬
‫‪i‬‬
‫‪1‬‬
‫(‪)7.0‬‬
‫מכניקה אנליטית ‪ /‬יצחק (צחי) אבנור‬
‫קואורדינטות מוכללות‬
‫תהי מערכת בת ‪ M‬חלקיקים שמסותיהם הן ‪ . m1,..., mM‬כדי לתארם דרושות ‪ 3M‬קואורדינטות‪.‬‬
‫כעת‪ ,‬נניח שיש בידינו ‪ S‬אילוצים הולונומיים‪ ,‬כלומר – אילוצים מהצורה ) ‪ . f s (r1,..., rm , t‬מספר דרגות‬
‫החופש של המערכת‪ ,‬שהוא מספר התזוזות הבלתי‪-‬תלויות שיכולה המערכת לבצע‪ ,‬הוא ‪. N  3M  S‬‬
‫מערכת בת ‪ N‬דרגות חופש אפשר לתאר באמצעות ‪ N‬קואורדינטות מוכללות ‪. q1,..., qk ,..., qN‬‬
‫כמו כן‪ ,‬קיימת טרנספורמציה בין ‪ r1,..., rM‬ל ‪: q1,..., qk ,..., qN‬‬
‫‪ri  ri  q1,..., qN , t ‬‬
‫הקואורדינטות המוכללות כבר מתחשבות באילוצים והן בלתי‪-‬תלויות אחת בשניה‪.‬‬
‫כעת‪ ,‬נרצה לקבל משוואות תנועה עבור הקואורדינטות המוכללות‪.‬‬
‫(‪)8.0‬‬
‫מהירות מוכללת‬
‫המהירות המוכללת היא הנגזרת הראשונה בזמן של הקואורדינטה המוכללת‪:‬‬
‫‪dq‬‬
‫‪k  1,..., N : vk  k  qk‬‬
‫(‪)9.0‬‬
‫‪dt‬‬
‫כעת‪ ,‬נעיר הערה חשובה מאוד‪ .‬אנחנו‪ ,‬במכניקה‪ ,‬מתייחסים למשתנים ) ‪ qk (t‬ו ) ‪ qk (t‬כאל שני משתנים‬
‫בלתי תלויים! הנימוק‪ :‬אנחנו מסתכלים על ) ‪ qk (t‬ו ) ‪ qk (t‬בזמן קפוא כלשהו ‪ t0‬וברגע בודד אין קשר בין‬
‫המקום ) ‪ qk (t0‬לבין המהירות ) ‪ qk (t0‬ברגע זה! אבל יש קשר יש בין המקום לתאוצה ואלה הם חוקי ניוטון‪.‬‬
‫עוד נעיר שתזוזה בקואורדינטה מוכללת אחת ‪ qk‬יכולה לשנות את מיקומם של מספר חלקיקים במערכת‪.‬‬
‫נבטא את השינוי ב ‪ ri‬כתלות בשינוי בקואורדינטה מוכללת ‪ qk‬באמצעות נגזרת חלקית‪:‬‬
‫‪ri‬‬
‫‪1  i  M ,1  k  N :‬‬
‫(‪)10.0‬‬
‫‪qk‬‬
‫כעת‪ ,‬נשתמש בטרנספורמציה (‪ )8‬ובכלל השרשרת כדי לקבל ביטוי עבור המהירות‪:‬‬
‫‪N‬‬
‫‪N‬‬
‫‪dri‬‬
‫‪ri d ( qk ) ri‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫(‪)11.0‬‬
‫‪ri ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪  i  qk  i‬‬
‫‪dt k 1 qk‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪t k 1 qk‬‬
‫‪t‬‬
‫כעת‪ ,‬אם נגזור את מש' (‪ )11‬גזירה חלקית לפי ‪ qk‬נקבל‬
‫‪ri‬‬
‫‪  N ri‬‬
‫‪r ‬‬
‫‪  r ‬‬
‫‪r‬‬
‫‪‬‬
‫‪ qk  i   0   i qk   0  i‬‬
‫‪‬‬
‫‪qk qk  k 1 qk‬‬
‫‪t ‬‬
‫‪q  qk ‬‬
‫‪qk‬‬
‫יש לשים לב שגזרנו את הביטוי כאילו ‪ q1,..., qk ,..., qN , q1,..., qk 1, qk 1,..., qN‬הם קבועים‪ ,‬וזאת בהתאם‬
‫להערת האי‪-‬תלות שציינו קודם שהיא הערה חשובה מאוד‪ .‬לא שיקרנו‪ .‬כמו כן‪ ,‬לא גזרנו לחינם‪ ,‬כי מהפיתוח‬
‫לעיל ניתן להסיק זהות מאוד חשובה ומאוד שימושית‪:‬‬
‫‪ri‬‬
‫‪r‬‬
‫‪ i‬‬
‫‪qk qk‬‬
‫זהות זו נקראת "כלל צמצום הנקודה"‪.‬‬
‫בזהות זו נשתמש בהמשך‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1  i  M : 1  k  N :‬‬
‫(‪)12.0‬‬
‫מכניקה אנליטית ‪ /‬יצחק (צחי) אבנור‬
‫כוחות מוכללים‬
‫נשתמש בעיקרון דלאמבר כדי לחשב את הכוחות המוכללים ש"פועלים" על הקואורדינטות המוכללות‪.‬‬
‫נבצע הזזה וירטואלית ונחשב את העבודה הוירטואלית‪:‬‬
‫‪M‬‬
‫‪M‬‬
‫‪ N r‬‬
‫‪‬‬
‫(‪)13.0‬‬
‫‪ W   Fi  ri   Fi   i  qk ‬‬
‫‪i 1‬‬
‫‪i 1‬‬
‫‪ k 1 qk‬‬
‫‪‬‬
‫בהזזה וירטואלית הזמן נשאר קבוע ולכן אין את התוספת ‪ . ri / t‬כמו כן‪ ,‬מכיוון שהקואורדינטות המוכללות‬
‫מקיימות את האילוצים‪ ,‬אפשר להסיר את הכוחות המאלצים ולהישאר אם האמיתיים‪. Fi  Fi ( nc ) :‬‬
‫כעת‪ ,‬נשנה את סדר הסכימה ובצירוף ההערות לעיל נקבל‪:‬‬
‫‪N‬‬
‫‪M‬‬
‫‪N‬‬
‫‪‬‬
‫‪r ‬‬
‫(‪)14.0‬‬
‫‪ W     Fi ( nc ) i   qk   Fk   qk‬‬
‫‪qk ‬‬
‫‪k 1  i 1‬‬
‫‪k 1‬‬
‫הגודל‬
‫‪M‬‬
‫‪‬‬
‫‪r ‬‬
‫(‪)15.0‬‬
‫‪Fk    Fi ( nc ) i ‬‬
‫‪qk ‬‬
‫‪i 1 ‬‬
‫הוא גודל סקלרי (לא וקטורי) שנקרא "כוח מוכלל"‪ .‬מאחר שלקואורדינטות המכללות לא תמיד יש יחידות‬
‫של אורך (הן יכולות להיות זוויות למשל)‪ ,‬לכוח המוכלל לא תמיד יש יחידות של אנרגיה‪ .‬אך תמיד למכפלה‬
‫של כוח מוכלל בקואורדינטה המוכללת המתאימה ‪ Fk   qk‬יהיו יחידות של אנרגיה (עבודה)‪.‬‬
‫אנרגיה קינטית בקואורדינטות מוכללות‬
‫‪1 M‬‬
‫בקואורדינטות רגילות ) ‪ mi (ri ri‬‬
‫‪2 i 1‬‬
‫הקינטית היא פונקציה של ‪ 2 N  1‬משתנים‪ .‬ראשית‪ ,‬נגדיר אופרטור גזירה חדש‪:‬‬
‫‪     ‬‬
‫‪r   x, y , z  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫‪r  x y z ‬‬
‫ובאמצעות אופרטור זו נגזור חלקית את האנרגיה לפי אחת מהקואורדינטות המוכללות באמצעות כלל‬
‫השרשרת‪:‬‬
‫‪M‬‬
‫‪M‬‬
‫‪M‬‬
‫‪ T r ‬‬
‫‪T‬‬
‫‪ri‬‬
‫‪r‬‬
‫(‪)16.0‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪  pi i‬‬
‫‪   mi ri‬‬
‫‪qk i 1  r qk  i 1‬‬
‫‪qk i 1‬‬
‫‪qk‬‬
‫‪ . T ‬בקואורדינטות מוכללות ) ‪ T ( q1,..., qN , q1,..., qN , t‬האנרגיה‬
‫וזאת כי ‪( mi ri  pi‬הגדרת התנע)‪.‬‬
‫כעת‪ ,‬נגזור חלקית את האנרגיה חלקית לפי המהירות המוכללת המתאימה‪:‬‬
‫‪ri ‬‬
‫‪‬‬
‫‪qk ‬‬
‫‪T‬‬
‫וזאת כי ‪ pi‬‬
‫‪ri‬‬
‫‪‬‬
‫)‪(12‬‬
‫‪M‬‬
‫‪ p‬‬
‫‪i‬‬
‫‪‬‬
‫‪i 1‬‬
‫‪M‬‬
‫‪ T ri  M ‬‬
‫‪T‬‬
‫‪ri  ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪p‬‬
‫‪  i‬‬
‫‪‬‬
‫‪qk i 1  ri qk  i 1  qk ‬‬
‫ואילו מעבר (‪ )12‬הוא לפי מש' (‪ )12‬הלא היא "כלל צמצום הנקודה"‪.‬‬
‫כעת נגזור את מש' (‪ )17‬נגזרת מלאה לפי הזמן ונראה שכר בעמלנו‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫(‪)17.0‬‬
‫מכניקה אנליטית ‪ /‬יצחק (צחי) אבנור‬
‫‪ M‬‬
‫‪ri  M‬‬
‫‪r‬‬
‫‪‬‬
‫‪p‬‬
‫‪  i‬‬
‫‪   pi‬‬
‫‪qk  i 1‬‬
‫‪qk‬‬
‫‪  i 1‬‬
‫אך לפי מש' (‪ )15‬ומש' (‪ )16‬קיבלנו ש‪:‬‬
‫‪d  T ‬‬
‫‪T‬‬
‫‪‬‬
‫‪  Fk ‬‬
‫‪dt  qk ‬‬
‫‪qk‬‬
‫ואם נעביר אגפים ונסדר את המשוואה נקבל‪:‬‬
‫‪ T‬‬
‫‪ Fk‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪q‬‬
‫‪k‬‬
‫‪‬‬
‫‪d  T‬‬
‫‪‬‬
‫‪dt  qk‬‬
‫‪d  T‬‬
‫‪‬‬
‫‪dt  qk‬‬
‫וזוהי משוואת הכוחות המוכללת‪.‬‬
‫נשים לב שהביטוי באגפה השמאלי הוא משוואת אוילר‪-‬לגראנז' עבור ואריאציה של פונקציונל‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫(‪)18.0‬‬
‫(‪)19.0‬‬
‫(‪)20.0‬‬