‫לאגראנג'יאן ראשון‬
‫נתר‬
‫המילטוניאן‬
𝐿ሺ𝑞, 𝑞ሶ , 𝑡ሻ
𝐹𝑖 + 𝑅𝑖 − 𝑚𝑟Ԧሷ = 0
∑൫𝑚𝑟Ԧሷ − 𝐹𝑖 ൯𝛿𝑟 − ∑𝑅𝑖 𝛿𝑟 = 0
𝛿𝑟𝑖 = ∑
𝜕𝑟𝑖
𝛿𝑞
𝜕𝑞𝑗 𝑗
∗∗
𝑚൤
𝑄=
𝜕𝑇
𝜕𝑟ሶ
𝜕𝑟
= 𝑚𝑟ሶ
= 𝑚𝑟ሶ
𝜕𝑞ሶ
𝜕𝑞ሶ
𝜕𝑞
𝜕𝑟
𝜕𝑟
𝑑 𝜕𝑟
= 𝑚𝑟Ԧሷ ∙
= 𝑚
𝑟ሶ
𝜕𝑞
𝜕𝑞
𝑑𝑡 𝜕𝑞
‫ 𝜑 = 𝑞 ∶ זוויתי תנע‬+ 𝜀ሺ𝜑ො 𝑥 𝑟ሻ
𝑑 𝜕𝐿
൬ 𝑞ሶ − 𝐿൰ = 0
𝑑𝑡 𝜕𝑞ሶ
𝐻=
‫אויילר לאגראנג' ווריאציות‬
𝜕𝐿
𝑞ሶ − 𝐿
𝜕𝑞ሶ
𝑠 = න 𝐿𝑑𝑡 = 0
𝛿𝑠 = න ൬
‫כוח מוכלל‬
𝑑 𝜕𝑇 𝜕𝑇
𝜕
ሬሬԦ𝛿𝑟ሬԦ
−
= 𝑄𝑗 =
∑𝐹
𝑑𝑡 𝜕𝑞ሶ 𝜕𝑞
𝜕𝑞𝑗 𝑖 𝑖
𝑑
𝜕𝑟
𝜕𝑟ሶ
൬𝑟ሶ
൰ − 𝑟ሶ
൨=𝑄
𝑑𝑡
𝜕𝑞
𝜕𝑞
∗
𝛿𝑠 = න ൬
𝑝𝑑𝑞 − 𝑃𝑑𝑄‫דיפרנציאל שלם בודקים ב‬
𝑑𝑤 = − △ 𝑢𝑑𝑟 = −𝑑𝑢
𝑑𝑤
𝑑𝑢
𝑑 𝜕𝑇
𝜕𝑇
=−
= ൬ ൰−
𝑑𝑞
𝑑𝑞 𝑑𝑡 𝜕𝑞ሶ
𝜕𝑞
𝑑 𝜕𝑇
𝑑𝑇 𝑑𝑢
൬ ൰−
+
=0
𝑑𝑡 𝜕𝑞ሶ
𝑑
𝑑𝑞
𝑑 𝜕𝑇 𝑑𝑢
𝑑𝑇 𝑑𝑢
൬
− ൰−൬ + ൰= 0
𝑑𝑡 𝜕𝑞ሶ 𝑑𝑞ሶ
𝑑𝑞 𝑑𝑞
𝑇−𝑈=𝐿
𝑎 × ሺ𝑏 × 𝑐ሻ = ሺ𝑎 ∙ 𝑐ሻ ∙ 𝑏 − ሺ𝑎 ∙ 𝑏ሻ ∙ 𝑐
ሺ𝑎 × 𝑏ሻሺ𝑐 × 𝑑ሻ = 𝑎ሾ𝑏 × ሺ𝑐 × 𝑑ሻሿ = ሺ𝑎 ∙ 𝑐ሻሺ𝑏 ∙ 𝑑ሻ − ሺ𝑎 ∙ 𝑑ሻሺ𝑏 ∙ 𝑐ሻ
‫משוואת התנועה של המילטון‬
𝜕𝐿
𝜕𝐿
𝑑𝑞 + ෍
𝑑𝑞ሶ
𝜕𝑞
𝜕𝑞ሶ
𝜕𝐿
,
𝜕𝑞ሶ
𝑑𝐺 = 𝑑𝑇 =
𝜕𝑇
𝜕𝑇
𝜕𝑇
𝑑𝑡 +
𝑑𝑞 +
𝑑𝑄
𝜕𝑡
𝜕𝑞
𝜕𝑄
𝑑𝐺 − 𝑑ሺ𝑞𝑝ሻ = 𝑑𝑈 =
𝑝ሶ =
‫משוואות קנוניות‬
𝜕𝑈
𝜕𝑈
𝜕𝑈
𝑑𝑡 +
𝑑𝑄 +
𝑑𝑝
𝜕𝑡
𝜕𝑄
𝜕𝑝
𝑑𝐺
−= 𝐿ሺ𝑞, 𝑞ሶ , 𝑡ሻ − 𝐿൫𝑄, 𝑄ሶ , 𝑡൯ = 𝑝𝑞ሶ − 𝐻 − 𝑃𝑄ሶ + 𝐻0
𝑑𝑡
𝑑𝐺
−= 𝐿ሺ𝑞, 𝑞ሶ , 𝑡ሻ − 𝐿൫𝑄, 𝑄ሶ , 𝑡൯ = 𝑝𝑞ሶ − 𝐻 − 𝑃𝑄ሶ + 𝐻0
𝑑𝑡
𝜕𝑇
𝜕𝑇
𝜕𝑇
𝑑𝑡 +
𝑑𝑞 +
𝑑𝑄 = ሺ𝐻0 − Hሻ𝑑𝑡 + 𝑝𝑑𝑞 − 𝑃𝑑𝑄
𝜕𝑡
𝜕𝑞
𝜕𝑄
𝑑𝐺 = 𝑝𝑑𝑞 + 𝑞𝑑𝑝 − ሺ𝑞𝑑𝑝 + 𝑃𝑑𝑄ሻ + ሺ𝐻0 − 𝐻ሻ𝑑𝑡
𝑑𝐺 − 𝑑ሺ𝑞𝑝ሻ + 𝑑ሺ𝑄𝑃ሻ = 𝑑𝑉 =
𝑑𝐺 − 𝑑ሺ𝑞𝑝ሻ = −𝑞𝑑𝑝 − 𝑃𝑑𝑄 + ሺ𝐻0 − 𝐻ሻ𝑑𝑡
𝜕𝑉
𝜕𝑉
𝜕𝑉
𝑑𝑡 +
𝑑𝑝 +
𝑑𝑃
𝜕𝑡
𝜕𝑝
𝜕𝑃
𝑑𝐺
−= 𝐿ሺ𝑞, 𝑞ሶ , 𝑡ሻ − 𝐿൫𝑄, 𝑄ሶ , 𝑡൯ = 𝑝𝑞ሶ − 𝐻 − 𝑃𝑄ሶ + 𝐻0
𝑑𝑡
𝑎 ∙ ሺ𝑏 × 𝑐ሻ = 𝑏 ∙ ሺ𝑐 × 𝑎ሻ = 𝑐 ∙ ሺ𝑎 × 𝑏ሻ
𝑝=
𝜕𝐿
𝑑 𝜕𝐿
𝑑 𝜕𝐿
𝛿𝑞ሶ = ൬ 𝛿𝑞൰ − ൬ ൰ 𝛿𝑞
𝜕𝑞ሶ
𝑑𝑡 𝜕𝑞ሶ
𝑑𝑡 𝜕𝑞ሶ
𝜕𝐿
𝑑 𝜕𝐿
+ ൬ ൰=0
𝜕𝑞 𝑑𝑡 𝜕𝑞ሶ
𝜕𝑢
=0
𝜕𝑞ሶ
𝑑𝐿 = ෍
𝜕𝐿
𝜕𝐿
𝛿𝑞 +
𝛿𝑞ሶ ൰ 𝑑𝑡 = 0
𝜕𝑞
𝜕𝑞ሶ
𝜕𝐿
𝑑 𝜕𝐿
𝑑 𝜕𝐿
𝜕𝐿
𝑡𝑓
𝜕𝐿
𝑑 𝜕𝐿
𝛿𝑞 + ൬ 𝛿𝑞൰ − ൬ ൰ 𝛿𝑞൰ 𝑑𝑡 =
𝛿𝑞| + න ൭
+ ൬ ൰൱ 𝛿𝑞𝑑𝑡 = 0
𝜕𝑞
𝑑𝑡 𝜕𝑞ሶ
𝑑𝑡 𝜕𝑞ሶ
𝜕𝑞ሶ
𝑡𝑖
𝜕𝑞 𝑑𝑡 𝜕𝑞ሶ
𝑑
𝜕𝑟
𝜕𝑟ሶ
𝑑 𝜕𝑇 𝜕𝑇
൬𝑚 𝑟ሶ
൰ − 𝑚𝑟ሶ
=
−
𝑑𝑡
𝜕𝑞
𝜕𝑞 𝑑𝑡 𝜕𝑞ሶ 𝜕𝑞
𝑄=
𝜕𝑞
= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡
𝜕𝜀
‫ 𝑟 = 𝑞 ∶ קוי תנע‬+ 𝜀𝑟Ƹ
𝑑𝐿
𝑑 𝜕𝐿
= ൬ 𝑞ሶ ൰
𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝜕𝑞ሶ
𝜕𝑇
𝜕 1
𝜕𝑟ሶ
=
∑𝑚𝑟ሶ 𝑟ሶ = ∑𝑚𝑟ሶ
𝜕𝑞 𝜕𝑞 2
𝜕𝑞
𝐹∙
𝜕𝐿
𝑑 𝜕𝐿
𝑑 𝜕𝐿
𝑞ሷ = ൬ 𝑞ሶ ൰ − ൬ ൰ 𝑞ሶ
𝜕𝑞ሶ
𝑑𝑡 𝜕𝑞ሶ
𝑑𝑡 𝜕𝑞ሶ
𝑝
𝜕𝑟ሶ𝑖
𝜕 𝜕𝑟𝑖
𝜕 𝜕𝑟𝑖
𝜕 𝜕𝑟𝑖
𝜕 𝜕𝑟𝑖
∗∗
=
ቆ
ቇ 𝑞ሶ +
൬ ൰=
𝑞ሶ +
𝜕𝑞𝑘 𝜕𝑞𝑘 𝜕𝑞𝑗 𝑗 𝜕𝑞𝑘 𝜕𝑡
𝜕𝑞𝑗 𝜕𝑞𝑘 𝑗 𝜕𝑡 𝜕𝑞𝑘
𝜕 𝜕𝑟𝑖
𝜕 𝜕𝑟𝑖
𝜕 𝜕𝑟𝑖
=
+
=
𝜕𝑡 𝜕𝑞𝑘 𝜕𝑡 𝜕𝑞𝑘 𝜕𝑡 𝜕𝑞𝑘
∗∗∗∗
𝑑 𝜕𝐿 𝜕𝑞
൬
൰=0
𝑑𝑡 𝜕𝑞ሶ 𝜕𝜀
𝑑𝐿
𝑑 𝜕𝐿
𝑑 𝜕𝐿
𝑑 𝜕𝐿
=
𝑞ሶ + ൬ 𝑞ሶ ൰ − ൬ ൰ 𝑞ሶ
𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝜕𝑞ሶ
𝑑𝑡 𝜕𝑞ሶ
𝑑𝑡 𝜕𝑞ሶ
𝜕𝑞𝑗
𝜕𝑟𝑖ሶ
𝜕𝑟𝑖 𝜕𝑡
𝜕 𝜕𝑟𝑖
𝜕𝑟𝑖 𝜕𝑞𝑗
𝜕𝑟𝑖
=
+
൬ ൰=
=
𝜕𝑞ሶ 𝑘 𝜕𝑞ሶ 𝑗 𝜕𝑞𝑘 𝜕𝑞ሶ 𝑘 𝜕𝑡
𝜕𝑞𝑗 𝜕𝑞𝑘 𝜕𝑞𝑘
𝜕𝑡
∗∗∗
𝑑𝐿 𝜕𝐿 𝜕𝑞 𝜕𝐿 𝜕𝑞ሶ 𝜕𝐿 𝜕𝑞 𝜕𝐿 𝑑 𝜕𝑞
𝑑 𝜕𝐿 𝜕𝑞
𝜕𝑞 𝜕𝐿
𝑑 𝜕𝐿
=
+
=
+
= ൬
൰+
ቆ −
ቇ=0
𝑑𝜀 𝜕𝑞 𝜕𝜀 𝜕𝑞ሶ 𝜕𝜀 𝜕𝑞 𝜕𝜀 𝜕𝑞ሶ 𝑑𝑡 𝜕𝜀
𝑑𝑡 𝜕𝑞ሶ 𝜕𝜀
𝜕𝜀 𝜕𝑄 𝑑𝑡 𝜕𝑄ሶ
𝜕𝐿
𝑑 𝜕𝐿
∗
=
𝜕𝑞 𝑑𝑡 𝜕𝑞ሶ
𝜕𝑟𝑖
∑൫ 𝑚𝑟Ԧሷ − 𝐹𝑖 ൯
𝛿𝑞 = 0
𝜕𝑞𝑗 𝑗
∗
𝐿ሺ𝑞, 𝑞ሶ , 𝑡ሻ
𝑑𝐿 𝜕𝐿
𝜕𝐿
𝜕𝐿
=
𝑞ሶ +
𝑞ሷ +
𝑑𝑡 𝜕𝑞
𝜕𝑞ሶ
𝜕𝑡
𝜕𝑈
𝜕𝑈
𝜕𝑈
𝑑𝑡 +
𝑑𝑄 +
𝑑𝑝 = ሺ𝐻0 − 𝐻ሻ𝑑𝑡 − 𝑃𝑑𝑄 − 𝑞𝑑𝑝
𝜕𝑡
𝜕𝑄
𝜕𝑝
𝑑𝐺 + 𝑑ሺ𝑃𝑄ሻ = 𝑑𝑆 =
𝑑𝐺 = 𝑝𝑑𝑞 + 𝑞𝑑𝑝 − ሺ𝑞𝑑𝑝 + 𝑃𝑑𝑄ሻ + ሺ𝐻0 − 𝐻ሻ𝑑𝑡
𝜕𝑆
𝜕𝑆
𝜕𝑆
𝑑𝑡 +
𝑑𝑞 +
𝑑𝑃
𝜕𝑡
𝜕𝑞
𝜕𝑃
𝑑𝐺
−= 𝐿ሺ𝑞, 𝑞ሶ , 𝑡ሻ − 𝐿൫𝑄, 𝑄ሶ , 𝑡൯ = ∑𝑝𝑞ሶ − 𝐻 − ∑𝑃𝑄ሶ + 𝐻0
𝑑𝑡
𝑑𝐺 − 𝑑ሺ𝑞𝑝ሻ = −𝑞𝑑𝑝 − 𝑃𝑑𝑄 + ሺ𝐻0 − 𝐻ሻ𝑑𝑡
𝑑𝐺 − 𝑑ሺ𝑞𝑝ሻ = −𝑞𝑑𝑝 + 𝑄𝑑𝑃 − ሺ𝑄𝑑𝑃 + 𝑃𝑑𝑄ሻ
+ ሺ𝐻0 − 𝐻ሻ𝑑𝑡
𝑑𝐺 − 𝑑ሺ𝑞𝑝ሻ + 𝑑ሺ𝑃𝑄ሻ = −𝑞𝑑𝑝 + 𝑄𝑑𝑃 + ሺ𝐻0 − 𝐻ሻ𝑑𝑡
𝜕𝑉
𝜕𝑉
𝜕𝑉
𝑑𝑡 +
𝑑𝑝 +
𝑑𝑃 = ሺ𝐻0 − 𝐻ሻ𝑑𝑡 − 𝑞𝑑𝑝 + 𝑄𝑑𝑃
𝜕𝑡
𝜕𝑝
𝜕𝑃
𝑑𝐺 = 𝑝𝑑𝑞 + 𝑄𝑑𝑃 − ሺ𝑄𝑑𝑃 + 𝑃𝑑𝑄ሻ + ሺ𝐻0 − 𝐻ሻ𝑑𝑡
𝑑𝐺 + 𝑑ሺ𝑃𝑄ሻ = 𝑝𝑑𝑞 + 𝑃𝑑𝑄 + ሺ𝐻0 − 𝐻ሻ𝑑𝑡
𝜕𝑆
𝜕𝑆
𝜕𝑆
𝑑𝑡 +
𝑑𝑞 +
𝑑𝑃 = ሺ𝐻0 − 𝐻ሻ𝑑𝑡 + 𝑝𝑑𝑞 + 𝑄𝑑𝑃
𝜕𝑡
𝜕𝑞
𝜕𝑃
𝜕𝐿
𝜕𝑞
‫כוחות מדומים‬
𝑣′ = 𝑣 + 𝜔 × 𝑅
𝑑𝐿 = ෍ 𝑝ሶ 𝑑𝑞 + ෍ 𝑝𝑑𝑞ሶ
𝑑
𝜕𝐿
𝜕𝐿
൬෍ ൬ ൰ 𝑑𝑞ሶ − 𝐿൰ +
=0
𝑑𝑡
𝜕𝑞ሶ
𝜕𝑡
𝑑
𝜕𝐿
𝜕𝐿
൬෍ ൬ ൰ 𝑑𝑞ሶ − 𝐿൰ = −
𝑑𝑡
𝜕𝑞ሶ
𝜕𝑡
𝑑𝐻 = ෍ 𝑞ሶ 𝑑𝑝 + ෍ 𝑝𝑑𝑞 − 𝑑𝐿
1
1
1
𝑚𝑣 ′2 = 𝑚ሺ𝑣 + 𝜔 × 𝑅ሻ2 = 𝑚ሺ𝑣 2 + 2𝑣 ⋅ ሺ𝜔 × 𝑅ሻ + ሺ𝜔 × 𝑅ሻ2 ሻ
2
2
2
𝑑 𝜕𝐿
൬ ൰ = 𝑚𝑣ሶ + 𝑚ሺ𝜔ሶ × 𝑅ሻ + 𝑚ሺ𝜔 × 𝑣ሻ
𝑑𝑡 𝜕𝑣
𝜕𝐿
= 𝑚ሺ𝑣 × 𝜔ሻ + 𝑚𝜔 × ሺ𝜔 × 𝑅ሻ
𝜕𝑅
𝑑𝐻 = ෍ 𝑞ሶ 𝑑𝑝 + ෍ 𝑝𝑑𝑞 − ෍ 𝑝ሶ 𝑑𝑞 − ෍ 𝑝𝑑𝑞ሶ
𝑑 𝜕𝐿
𝜕𝐿
൬ ൰=
𝑑𝑡 𝜕𝑣
𝜕𝑅
𝑑𝐻 = ෍ 𝑞ሶ 𝑑𝑝 − ෍ 𝑝ሶ 𝑑𝑞
𝑚𝑣ሶ + 𝑚ሺ𝜔ሶ × 𝑅ሻ + 𝑚ሺ𝜔 × 𝑣ሻ = 𝑚ሺ𝑣 × 𝜔ሻ + 𝑚𝜔 × ሺ𝜔 × 𝑅ሻ
𝜕𝐻
= −𝑝ሶ
𝜕𝑞
,
𝑞ሶ =
𝜕𝐻
𝜕𝑝
𝑚𝑣ሶ = −𝑚ሺ𝜔ሶ × 𝑅ሻ − 𝑚ሺ𝜔 × 𝑣ሻ + 𝑚ሺ𝑣 × 𝜔ሻ + 𝑚𝜔 × ሺ𝜔 × 𝑅ሻ
𝑚𝑣ሶ = 𝑚ሺ𝑅 × 𝜔ሶ ሻ + 2𝑚ሺ𝑣 × 𝜔ሻ + 𝑚𝜔 × ሺ𝜔 × 𝑅ሻ
‫אויילר‬
‫קוריוליס‬
‫צנטרפו‬
‫משוואת מסלול‪.‬או כוח‬
‫בעיית קפלר‪:‬‬
‫𝛼‬
‫𝑟‬
‫= ‪𝑈ሺ𝑟ሻ‬‬
‫‪𝑚 2 𝑚𝑟 2 2‬‬
‫‪𝑟ሶ +‬‬
‫‪𝜃ሶ − 𝑈ሺ𝑟ሻ = 0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫בעיה עם פוטנציאל מסוג‬
‫‪𝑙2‬‬
‫𝛼‬
‫‪+‬‬
‫𝑟 ‪2𝜇𝑟 2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪𝑙2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪𝐸 = 𝜇𝑟 2ሶ +‬‬
‫𝑓𝑓𝑒𝑈 ‪+ 𝑈ሺ𝑟ሻ = 𝜇𝑟 2ሶ +‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2𝜇𝑟 2‬‬
‫‪2‬‬
‫= 𝑓𝑓𝑒𝑈‬
‫𝐿𝜕‬
‫‪𝜕𝑈ሺ𝑟ሻ‬‬
‫‪= 𝑚𝑟𝜃ሶ 2 −‬‬
‫𝑟𝜕‬
‫𝑟𝜕‬
‫‪1‬‬
‫𝑟‬
‫בנקודות בהן ‪ 𝑟ሶ = 0‬התנועה משנה כיוון ו ‪E = Ueff‬‬
‫‪ E>0‬חלקיק מגיע מאינסוף ל ‪ r1‬וזאת נק' מפנה‪.‬‬
‫‪ E=0‬אז המצב דומה והחלקיק מגיע לנקודה שבה ‪ E=0‬וגם ‪Ueff =0‬‬
‫‪1‬‬
‫𝛼‬
‫𝑟‬
‫𝑟‬
‫‪)3‬‬
‫‪ E<0‬אז 𝑓𝑓𝑒𝑈 = 𝐸 ‪= 0‬‬
‫‪2𝜇𝑟 2ሶ‬‬
‫‪𝑙2‬‬
‫𝛼‬
‫‪2𝜇𝑟 2‬‬
‫𝑟‬
‫‪𝐸+ −‬‬
‫‪1‬‬
‫𝑟‬
‫𝑎 𝑑‬
‫𝑎𝜕 𝜕‬
‫𝜕‬
‫‪𝑚𝑟ሶ‬‬
‫𝑑 𝑡𝑑‬
‫‪𝑚𝑟ሶ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪𝑚𝑟ሷ‬‬
‫=‬
‫=‪൬ ൰‬‬
‫‪൬−‬‬
‫=‪൰‬‬
‫‪൬−‬‬
‫‪൰ = ൬−‬‬
‫‪൰‬‬
‫𝜃𝜕 𝜃𝜕 ‪𝑑𝜃 2‬‬
‫𝜃𝜕‬
‫𝐿‬
‫𝑡𝑑 𝜃𝑑‬
‫𝐿‬
‫𝐿‬
‫‪𝜃ሶ‬‬
‫=𝑎‬
‫פתרונות עבור ‪ a1,2‬שהם ‪ rmin‬ו ‪𝑎 = 0 : rmax‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪𝑑 2𝑎 𝐿2 2 1 𝐿 2 2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪𝑎 − ൬ 𝑎 ൰ ቇ = 𝐹൬ ൰‬‬
‫‪𝑑𝜃 2 𝑚2‬‬
‫𝑚 𝑎‬
‫𝑎‬
‫𝑎‪𝑑 2‬‬
‫𝑚 ‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪− 𝑎ቇ = 2 2 𝐹 ൬ ൰‬‬
‫‪𝑑𝜃 2‬‬
‫𝐿 𝑎‬
‫𝑎‬
‫‪ቆ−‬‬
‫‪𝑚 ቆ−‬‬
‫𝑉𝜕‬
‫𝑉𝜕‬
‫𝑉𝜕‬
‫𝑞‪= −‬‬
‫‪= 𝑄 𝐻0 = 𝐻 +‬‬
‫𝑝𝜕‬
‫𝑃𝜕‬
‫𝑡𝜕‬
‫‪2π‬‬
‫𝑇‬
‫‪𝑇 = න 𝑑𝑡 = න‬‬
‫‪𝑟2‬‬
‫‪=0‬‬
‫𝑟𝑑‬
‫‪𝑑 2𝑎 𝐿2‬‬
‫‪𝑟ሷ = − 2 2 𝑎2‬‬
‫𝑚 𝜃𝑑‬
‫𝑈𝜕‬
‫𝑈𝜕‬
‫𝑈𝜕‬
‫‪=𝑞 −‬‬
‫‪= 𝑃 𝐻0 = 𝐻 +‬‬
‫𝑝𝜕‬
‫𝑄𝜕‬
‫𝑡𝜕‬
‫‪−‬‬
‫𝛼‬
‫‪−‬‬
‫חוק שני קפלר 𝑡𝑠𝑛𝑜𝑐 =‬
‫𝑡𝑑‬
‫‪𝜇𝑟 3‬‬
‫= 𝑒אקסטנצריות‬
‫𝑡𝑑‬
‫𝜋‪𝑚 2‬‬
‫𝜃𝑑 ‪𝑑𝜃 = න 𝑟 2‬‬
‫𝜃𝑑‬
‫‪𝐿 0‬‬
‫𝑠𝑑‬
‫‪𝑙2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪𝑙2‬‬
‫‪ቆ𝛼 − ቇ = 0‬‬
‫‪2‬‬
‫𝑟‬
‫𝑟𝜇‬
‫𝑛𝑖𝑚𝑟‬
‫𝑛𝑖𝑚𝑟 ‪𝑐 𝑟𝑚𝑎𝑥 −‬‬
‫=‬
‫𝑛𝑖𝑚𝑟 ‪𝑎 𝑟𝑚𝑎𝑥 +‬‬
‫𝜇‪2‬‬
‫‪𝑒 + 𝛼𝑎 −‬‬
‫𝑓𝑓𝑒𝑈𝑑‬
‫𝑎‪𝑑 2‬‬
‫‪𝑚𝑟 2 𝑚𝑟ሷ 𝑚2𝑟 2‬‬
‫‪=−‬‬
‫‪= 2 𝑟ሷ‬‬
‫‪𝑑𝜃 2‬‬
‫𝐿 𝐿‬
‫𝐿‬
‫𝑆𝜕‬
‫𝑆𝜕‬
‫𝑆𝜕‬
‫𝑝=‬
‫‪= 𝑄 𝐻0 = 𝐻 +‬‬
‫𝑞𝜕‬
‫𝑃𝜕‬
‫𝑡𝜕‬
‫אם )‪ E=min(Ueff‬אז התנועה מעגלית ו‪:‬‬
‫‪=0‬‬
‫‪𝑙2‬‬
‫𝑇𝜕‬
‫𝑇𝜕‬
‫𝑇𝜕‬
‫‪=𝑝 −‬‬
‫‪= 𝑃 𝐻0 = 𝐻 +‬‬
‫𝑞𝜕‬
‫𝑄𝜕‬
‫𝑡𝜕‬
‫‪)4‬‬
‫𝑡𝜕 𝑎𝜕 𝑎𝑑‬
‫‪1 𝑟2‬‬
‫=‬
‫‪=− 2‬‬
‫𝜃𝜕 𝑡𝜕 𝜃𝑑‬
‫‪𝑟 𝜃ሶ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪𝑙2‬‬
‫=‬
‫𝜇𝛼‬
‫= 𝑎 ∗∗ ‪∗ 𝐿 = 𝑚𝑟 2𝜃ሶ‬‬
‫𝑎𝑑‬
‫‪1 𝑟ሶ 𝑚𝑟 2‬‬
‫‪𝑚𝑟ሶ‬‬
‫‪=− 2‬‬
‫‪=−‬‬
‫𝜃𝑑‬
‫𝐿 ‪𝑟 1‬‬
‫𝐿‬
‫‪𝑙2‬‬
‫הפתרון עבור הוא ‪− = 0‬‬
‫𝐿𝜕 𝑑‬
‫‪= 𝑚𝑟ሷ‬‬
‫‪𝑑𝑡 𝜕𝑟ሶ‬‬
‫‪𝑚൫𝑟ሷ − 𝑟𝜃ሶ 2൯ = 𝐹ሺ𝑟ሻ‬‬
‫‪1 2‬‬
‫𝑓𝑓𝑒𝑈 ‪𝜇𝑟 ሶ = 𝐸 −‬‬
‫‪2‬‬
‫‪)1‬‬
‫‪)2‬‬
‫=‪L‬‬