מכניקה אנליטית תאוריה

‫מבוא‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1.1‬‬ ‫המכניקה הניוטונית‬ ‫הדינמיקה עוסקת בחקר התנועה של גופים‪ .‬כאשר פתרון מלא לתנועה של מערכת נתונה משמעו‬ ‫מציאת הקואורדינטות של הגופים המרכיבים את המערכת בכל זמן נתון‪ .‬עבור חלקיק שנע‬ ‫בשלושה ממדים נרצה לחזות את מיקום החלקיק )‪ r(t‬כפונקציה של הזמן‪ .‬הפתרון הזה ניתן לנו‬ ‫כסט של משוואות דפרנציאליות שנקראות משוואות תנועה‪ .‬הקורס הזה יתמקדם בפורמולציה‬ ‫כללית שממנה ניתן לגזור את משוואות התנועה‪ .‬פורמולציה זו הינה ‪. Lagrangian dynamics‬‬ ‫סיר אייזיק ניוטון‪ ,‬מי שהמציא את החשבון האינפיניטסימלי והניח את אבן היסוד של המכניקה‬ ‫הקלאסית ניסח שלושה חוקי תנועה שעיקרם‪:‬‬ ‫‪ 1.‬בהעדר כוחות חיצוניים‪ ,‬חלקיק ינוע בקו ישר במהירות קבועה‪.‬‬ ‫‪ 2.‬הכוח המופעל על גוף שווה לשינוי התנע של הגוף‪ ,‬או תנועתו של חלקיק שמופעל עליו כוח‬ ‫מקיימת את משוואת התנועה‪:‬‬ ‫‪)(1‬‬ ‫‪mẍ = −∂x V (x) = F‬‬ ‫‪ 3.‬הכוח שמפעיל חלקיק על משנהו שווה בגודלו והפוך בכיוונו לכוח שמופעל עליו‪.‬‬ ‫משוואות התנועה של ניוטון נותנות תיאור מלא של תנועה מכנית‪ ,‬גם מפרספקטיבה של ימינו אנו‪.‬‬ ‫למעשה השימוש בהן מוגבל רק ע״י מהירויות )במהירויות הקרובות למהירות האור יש לקחת‬ ‫בחשבון תיקונים יחסותיים(‪ ,‬וע״י תיאור קלאסי )הדינמיקה של גופים קטנים מושפעת מאפקטים‬ ‫קוונטים(‪ .‬מלבד אלו‪ ,‬משוואות התנועה של ניוטון לגמרי אפליקביליות‪ ,‬למרות שמדובר בתיאוריה‬ ‫מאוד ישנה‪ .‬אחת ההצלחות המרשימות של התיאוריה הניוטונית היא תיאור התנועה של כוכבי‬ ‫לכת‪ ,‬אבל האם התיאוריה הזו שימושית לתיאור של מערכות יותר ״ארציות״? השאלה הזו עולה‬ ‫כאשר באים לנתח מערכת מסוג ‪ :Atwood machine‬שני גופים הקשורים להם יחדיו באמצעות‬ ‫חוט חסר מסה המלופף סביב גלגלת חסרת חיכוך‪ .‬תנועת הגופים היא תנועה מאולצת‪ ,‬ונשאלת‬ ‫השאלה איך לתאר את האילוץ על התנועה במסגרת משוואות התנועה‪ .‬החשיבות של תיאור‬ ‫מערכות מסוג אלו מתבררת כאשר למשל חושבים על כל הרכיבים שנעים בתוך מנוע של מכונית‬ ‫לדוגמא שכמעט כולם כפופים לאילוץ‪ .‬למרות שיש דרכים להתמודד עם כוחות מאלצים במסגרת‬ ‫המכניקה הניוטונית‪ ,‬הטיפול בהם הוא מסורבל וכמעט בלתי אפשרי כאשר מדובר במערכות‬ ‫מורכבות‪ .‬הצורך למצוא תיאור יותר פשוט הינו אחד מהגורמים שהוביל לפיתוח של תיאור מודרני‬ ‫של המכניקה הקלאסית ‪ -‬היא המכניקה הלגרנג׳יאנית והמכניקה ההמילטוניאנית‪.‬‬ ‫‪1.2‬‬ ‫הטוב מבין כל העולמות או עקרון הפעולה המינימלית‬ ‫את המכניקה האנליטית ניתן בין השאר ליחס לפילוסוף ליבניץ‪ ,‬בן זמנו של ניוטון‪ ,‬ומי שבאופן‬ ‫בלתי תלוי המציא את החשבון האינפיניטסימלי‪ .‬ליבניץ טען שהיקום שבו אנו חיים הוא הטוב מבין‬ ‫כל העולמות‪.‬‬ ‫הרעיון מגיע מתחום אחר בפיסיקה ‪ -‬האופטיקה‪ .‬עקרון פרמה קובע שהזמן שלוקח לאור‬ ‫להגיע מנקודה ‪ A‬ל‪ B-‬הוא מינימלי‪ .‬כלומר אם נחשב את האינטגרל ‪:‬‬ ‫∫‬ ‫∫‬ ‫∫‬ ‫‪dt = n(s)ds‬‬ ‫‪)(2‬‬ ‫‪I = c γ dt = c γ(s) v1 ds‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪1‬‬ ‫לאורך מסלול‪ ,‬כאשר ‪ ds‬היא העתקה אינפיניטסימלית לאורך הקרן‪ v = ds/dt ,‬הינה מהירות‬ ‫האור בחומר ו‪ n = c/v -‬הוא מקדם השבירה של החומר‪ .‬אזי המסלול שאותו יעשה האור מנקודה‬ ‫‪ A‬ל‪ B -‬הוא זה שעבורו האינטגרל הנ”ל יהיה הקטן ביותר‪ .‬עבור מערכות המקיימות את משוואת‬ ‫התנועה ‪ ,)(1‬קיים עקרון דומה‪ .‬נקח חלקיק שמתחיל בנקודה ‪ A‬בזמן ‪ t1‬ונע במסלול שרירותי מ‪-‬‬ ‫‪ A‬ל‪ B-‬במהירות כלשהי כך שהוא מגיע לנקודה ‪ B‬בזמן ‪ .t2‬המסלול שבחרנו )‪ x(t‬מקיים‪:‬‬ ‫‪)(3‬‬ ‫‪x(t1 ) = A x(t2 ) = B‬‬ ‫המסלול השרירותי שבחרנו ככל הנראה לא יהיה המסלול שיתאר את תנועת החלקיק‪ .‬אולם‬ ‫עקרון הפעולה המינימלית קובע שניתן לתקן אותו כך שלבסוף הוא יהיה המסלול האמיתי‪ .‬לשם‬ ‫כך לכל מסלול כזה נחשב את האינטגרל‪:‬‬ ‫)‬ ‫‪∫ t2‬‬ ‫‪∫ t2 ( mv2‬‬ ‫‪S[x(t)] = t1 dt (T − V ) = t1 dt 2 − V (x) ,‬‬ ‫‪)(4‬‬ ‫זו הפעולה ‪ (action),‬שהיא פונקציונל‪ ,‬כלומר היא פונקציה של המסלול של החלקיק )‪ x(t‬שהוא‬ ‫בעצמו פונקציה של הזמן‪ .‬בפרט כפי שברור מהאינטגרל‪ S ,‬אינה פונקציה של הזמן אלא של‬ ‫המשתנים‪ .A, B, t1 , t2 :‬באותה צורה נוכל לחשב את הפעולה לאורך כל מסלול אפשרי בין‬ ‫שתי הנקודות ‪ A‬ו ‪ .B‬הערך של הפעולה ישתנה ממסלול למסלול‪ ,‬בחלקם יגדל ובחלקם יקטן‪.‬‬ ‫עקרון הפעולה המינימלית קובע שהמסלול שלאורכו הפעולה מקבלת את הערך הקיצון )לאו דווקא‬ ‫מינימום( הוא מסלול התנועה של החלקיק שמקיים את משוואת התנועה ‪.)(1‬‬ ‫המטרה של המכניקה הינה לחזות את המסלול של חלקיק על סמך מידע מינימלי‪ .‬אם כן‬ ‫קיימות שתי דרכים לעשות זאת‪ .‬האחת לפי המכניקה הניוטונית משתמשת במיקום החלקיק‬ ‫ומהירות החלקיק בנקודת ההתחלה ואילו המכניקה האנליטית עושה זאת באמצעות המיקום‬ ‫של החלקיק בנקודת ההתחלה ובנקודת הסיום‪ .‬הקשר בין השתיים מתברר כאשר שני הזמנים‬ ‫קרובים אינפיניטסימלית זה לזה ואז למעשה אנו מציינים את מיקום החלקיק ואת מהירותו בזמן‬ ‫‪.t1‬‬ ‫מדוע העקרון הפעולה המינימלית עובד? כמו באופטיקה אנחנו מחשבים גודל מסויים לאורך‬ ‫מסלול‪ ,‬כשמסלול התנועה הוא זה שבו גודל כלשהו מקבל את ערך הקיצון‪ .‬מה מיוחד אם כן בערך‬ ‫הקיצון? כאשר משנים את המסלול בעל ערך הקיצון במידה אינפיניטסימלית ‪ ϵ‬אזי המשתנה‬ ‫שתלוי במסלול משתנה ב‪ .ϵ2 -‬זו למעשה ההבחנה שבנקודת קיצון הנגזרת הראשונה מתאפסת‪.‬‬ ‫כלומר שינויים קלים במסלול בעל ערך הקיצון )בקירוב( אינם משנים את ערך המשתנה שתלוי‬ ‫בו‪ .‬באופטיקה אנו עוסקים בתורת גלים כאשר האופטיקה הגאומטרית היא קירוב שנכון כאשר‬ ‫המרחק בין ‪ A‬ל‪ B -‬גדול מאורך הגל‪ .‬במקרה כזה‪ ,‬אם ניקח שני מסלולים שונים‪ ,‬האור יגיע‬ ‫בהפרש פאזה בין המסלולים והתרומה של שני מסלולים שרירותיים תתבטל כתוצאה מהתאבכות‬ ‫הורסת‪ .‬המצב שונה עבור מסלולי קיצון שעבורם מסלולים שכנים יגיעו באותה הפאזה )שינוי‬ ‫אינפיניטסימלי במסלול יוצר שינוי זניח בזמן( ולכן התרומה של מסלולים אלו לא תתבטל‪.‬‬ ‫למעשה עקרון הפעולה המינימלית עובד בדיוק מאותה הסיבה שבגללה עובד עקרון פרמה‪,‬‬ ‫כפי שהתברר במאה העשרים‪ ,‬כיוון שהמכניקה הקלאסית‪ ,‬גם היא למעשה קירוב של תורת גלים‬ ‫)היא המכניקה הקוונטית( במקרים שבהם אורך הגל קצר בהרבה מאורך המסלול‪.‬‬ ‫‪1.3‬‬ ‫‪ :Interlude‬מדוע המסלולים הפיסיקלים הם מינימום של הפעולה?‬ ‫הראנו שמשוואות התנועה נגזרות מהדרישה שהפעולה מקבלת ערך מינימלי )או ליתר דיוק ערך‬ ‫קיצון(‪ .‬ניתן לשאול מדוע הפעולה היא הגודל שמקבל ערך מינימלי? ניתן כמובן להשתמש בנימוק‬ ‫‪2‬‬ ‫הפוך‪ :‬המסלול שעבורו הפעולה מקבלת ערך מינימלי מקיים את משוואות התנועה אשר‪ ,‬כפי‬ ‫שאנחנו יודעים מניסיון‪ ,‬מתארות את חוקי הטבע‪ .‬נתאר כאן הסבר נוסף‪ .‬ההסבר מתבסס על‬ ‫דברים שטרם למדתם‪ ,‬כגון מכניקת קוונטים ויחסות‪ ,‬הוא איננו הכרחי להבנת הקורס‪ ,‬ולכן ניתן‬ ‫לדלג עליו בקריאה ראשונה‪.‬‬ ‫כפי שנרמז בשיעור הראשון‪ ,‬ניתן לגזור את עקרון הפעולה המינימלית באנלוגיה לאופטיקה‬ ‫גאומטרית כאשר ניתן לחשוב על מכניקה קלאסית כעל גבול )של אורכים הגדולים בהרבה מאורך‬ ‫הגל( של תורת גלים היא המכניקה הקוונטית‪ .‬באופטיקה גאומטרית קרני האור במדיום לא‬ ‫הומוגני מקיימים את עקרון פרמה של הזמן המינימלי‪ .‬אם האמפליטודה של הגל ידועה בנקודה‬ ‫מסויימת אזי האמפליטודה בנקודה קרובה היא סכום כל התרומות של כל הנקודות במרחב כאשר‬ ‫כל תרומה מתאפיינת ע”י הפרש פאזה שהוא פרופורציוני לזמן שלוקח לקרן האור לעבור את‬ ‫המרחק שמתואר ע”י הנקודה הנבחרת‪ .‬רוב התרומות הללו מתבטלות כתוצאה מהתאבכות‬ ‫הורסת בין המסלולים‪ .‬בקרבת המסלול שבו הפרש הפאזה )שפרופורציוני לזמן( הוא מינימלי‪,‬‬ ‫תרומות ממסלולים קרובים מתאפיינים בהפרש פאזה זניח ‪ ϵ2 → 0‬ולכן אינם מבטלים זה את זה‪.‬‬ ‫לכן במסלולים ארוכים מאורך הגל‪ ,‬קרן האור נעה במסלול שלוקח את הזמן המינימלי‪.‬‬ ‫במכניקת קוונטים חלקיקים מתוארים כגלים בעלי אמפליטודה ופאזה‪ .‬כאשר חלקיק נע‬ ‫במרחב ובזמן‪ ,‬פונקצית הגל שלו צוברת הפרש פאזה‪ .‬הפרש הפאזה של החלקיק מורכב משתי‬ ‫תרומות‪ :‬תרומה שנובעת מההתקדמות במרחב וגודלה ליחידת זמן הוא ‪ pv‬כאשר ‪ v‬הוא המרחק‬ ‫שעבר החלקיק בזמן ‪ dt‬והתנע ‪ p‬פרופורציוני להפרש הפאזה ליחדת מרחק‪ .‬בנוסף פונקצית‬ ‫הגל צוברת הפרש פאזה גם אם החלקיק נייח בגלל ההתקדמות בזמן‪ .‬הפרש הפאזה כתוצאה‬ ‫מהשינוי בזמן ניתן ע”י ההמילטוניאן )או האנרגיה( והוא ‪ .−H‬מכאן שהפעולה פרופורציונית לסך‬ ‫הפרש הפאזה לאורך המסלול )במרחב המקום‪-‬זמן( של החלקיק‪:‬‬ ‫∫‬ ‫∫‬ ‫)‪S = dtL = dt (pv − H‬‬ ‫‪)(5‬‬ ‫כלומר עקרון המינימיזציה של הפעולה שקול לדרישה של הפרש הפאזה המינימלית לאורך‬ ‫המסלול‪.‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪pv‬‬ ‫‪La‬‬ ‫‪gr‬‬ ‫‪an‬‬ ‫‪gi‬‬ ‫‪an‬‬ ‫‪Ref: Feynman Rev. Mod. Phys. 20 367‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪Hamiltonian‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1.4‬‬ ‫במה נבדלת המכניקה האנליטית מהמכניקה הניוטונית?‬ ‫‪ 1.‬המכניקה הניטונית חוקרת חלקיק בודד בתוך המערכת בעוד שמכניקה אנליטית עוסקת‬ ‫במערכת כולה‪.‬‬ ‫‪ 2.‬במכניקה הניוטונית‪ ,‬כאשר חלקיק הוא חלק ממערכת המורכבת ממספר חלקיקים‪ ,‬כמו‬ ‫למשל בנוזל או בגוף קשיח‪ ,‬יש לבודד את החלקיק משאר המערכת ולקבוע את הכוחות‬ ‫הפועלים עליו כתוצאה מהחלקיקים הסובבים אותו‪ .‬אנליזה שיכולה לעיתים להיות מסורבלת‪.‬‬ ‫בגישה של מכניקה אנליטית החלקיק הוא חלק בלתי נפרד מהמערכת כולה שמתוארת על‬ ‫ידי פונקציה יחידה ‪ -‬היא האנרגיה הפוטנציאלית‪ .‬האנרגיה הפוטנציאלית מכילה את כל‬ ‫המידע על הכוחות הפועלים על החלקיקים שאותם ניתן למצוא ע”י גזירה‪.‬‬ ‫‪ 3.‬לעיתים ישנם כוחות חזקים שיוצרים אילוצים על התנועה‪ .‬למשל במוצק החלקיקים נעים‬ ‫כמו בגוף קשיח כך שהמרחק בין האטומים נשמר קבוע‪ .‬האילוצים הללו נובעים מכוחות‬ ‫חזקים שפועלים בין החלקיקים‪ ,‬שאותם צריך לקחת בחשבון כשבאים לכתוב את משוואות‬ ‫התנועה‪ .‬החשבון האנליטי לעומת זאת לא מחייב ידיעה של הכוחות‪ .‬מכניקה אנליטית‬ ‫משתמשת בידיעה האמפירית שקיים אילוץ על התנועה )כמו למשל העובדה שנוזל שומר‬ ‫על נפח קבוע( על ידי בחירה של מסלולים אשר מקיימים את האילוצים מבלי הצורך לדעת‬ ‫מהם הכוחות שמייצרים את האילוץ‪.‬‬ ‫‪ 4.‬במכניקה אנליטית‪ ,‬ניתן לפתח מערכת מורכבת ורבת משתנים ככל שתהיה של משוואות‬ ‫התנועה מעקרון יחיד והוא המינימיזציה של הפעולה‪.‬‬ ‫‪1.5‬‬ ‫קואורדינטות מוכללות‬ ‫נתאר מסה נקודתית ע”י וקטור הרדיוס )‪ .r(t‬מהירות המסה ניתנת ע”י ‪ .v = dr/dt‬כלומר תנועה‬ ‫של חלקיק נקודתי תתואר ע”י שלוש רכיבי הוקטור רדיוס ושלושת רכיבי המהירות‪ .‬השילוב של‬ ‫המרחב הרגיל ומרחב המהירויות מכונה מרחב הפאזות והוא שש ממדי‪.‬‬ ‫על מנת לתאר מערכת של ‪ N‬חלקיקים יש לציין ‪ 3N‬וקטורי מיקום כלומר ‪ 3N‬קואורדינטות‪.‬‬ ‫מספר היחידות הנדרשות על מנת לגדיר באופן חד ערכי את מיקום המערכת נקרא מספר דרגות‬ ‫החופש‪ .‬אלו לא חייבות להיות הקואורדינטות הקרטזיות של החלקיקים‪ .‬כל ‪ s‬יחידות ‪q1 , q2 ....qs‬‬ ‫המגדירות באופן יחודי את המיקום של מערכת עם ‪ s‬דרגות חופש‪ ,‬נקרא קואורדינטות מוכללות‪.‬‬ ‫הנגזרות של הקואורדינטות לפי הזמן ‪ q˙i‬נקראות מהירויות מוכללות‪.‬‬ ‫בהנתן סט הקואורדינטות המוכללות של המערכת‪ ,‬מצב המערכת עדיין איננו נקבע במובן‬ ‫שלא ניתן לחזות את מיקום המערכת בזמנים עוקבים‪ .‬הניסיון מורה לנו שידיעת הקואורדינטות‬ ‫והמהירויות בזמן נתון מאפשרת לחזות את מצב המערכת בכל רגע נתון‪ ,‬כלומר התאוצה בכל‬ ‫רגע נתון מוגדרת באופן יחיד‪.‬‬ ‫‪)(6‬‬ ‫‪r(t1 ) = r(t0 + ∆t) = r(t0 ) + v(t0 )∆t‬‬ ‫‪r(t2 ) = r(t1 ) + v(t1 )∆t‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫כל בחירה של ‪ s‬קואורדינטות מוכללות תתן משוואות תנועה שקולות‪ .‬ואולם לעיתים בחירה‬ ‫מסויימת מפשטת את הבעיה שאנחנו מנסים לפתור‪ .‬הדבר תקף לגבי צורת האנרגיה הפוטנציאלית‪.‬‬ ‫‪4‬‬ ‫כמו כן‪ ,‬במערכות מסויימות קיימים אילוצים ההופכים את הטיפול בבעיה לפשוט יותר עבור בחירה‬ ‫מסויימת של הקואורדינטות‪.‬‬ ‫נקח לדוגמה מערכת המורכבת משני אטומים במולקולה‪ .‬ניתן לתאר את המערכת בעזרת‬ ‫הקואורדינטות של שתי מסות נקודיות ‪ x1 , y1 , z1‬ו‪ ,x2 , y2 , z2 -‬הנמצאות במרחק קבוע ‪ a‬זו מזו‪:‬‬ ‫‪(x1 − x2 )2 + (y1 − y2 )2 + (z1 − z2 )2 = a2‬‬ ‫‪)(7‬‬ ‫כתוצאה מהאילוץ הזה לא ניתן לבחור את ‪ 6‬הקואורדינטות ‪ x1 , y1 , z1‬ו‪ x2 , y2 , z2 -‬באופן שרירותי‪.‬‬ ‫אחת תקבע מחמש האחרות דרך האילוץ‪ .‬ואולם הבחירה של אחת משש הקואורדינטות הקרטזיות‬ ‫להיות זו שתלויה באחרות לא משמרת את הסימטריה של הבעיה ולכן הפתרון יהיה מסורבל‬ ‫יתר על המידה‪ .‬בחירה יותר טבעית תהיה לתאר את המערכת בעזרת ‪ 3‬קוארדינטות קרטזיות‬ ‫המתארות את מרכז המסה ושתי זויות המתארות את הציר של המולקולה הדו‪-‬אטומית‪ .‬את‬ ‫הקואורדינטות המוכללות הללו ניתן לבטא באמצעות ‪ 6‬הקואורדינטות ‪.x1 ...z2‬‬ ‫במערכת של ‪ N‬חלקיקים שבה ‪ m‬אילוצים‪ ,‬ניתן לאפיין את המערכת באופן יחיד באמצעות‬ ‫‪s = 3N − m‬‬ ‫‪)(8‬‬ ‫משתנים בלתי תלויים‪:‬‬ ‫‪)(9‬‬ ‫‪q1 , q2 , ...qs‬‬ ‫נאמר שלמערכת כזו יש ‪ s‬דרגות חופש‪ ,‬כלומר תנאי הכרחי ומספיק לתיאור המערכת הוא‬ ‫הגדרתם של ‪ s‬משתנים‪.‬‬ ‫לדוגמה‪:‬‬ ‫‪ 1.‬מסה שנעה על משטח כדורי‪ x2 + y 2 + z 2 = R2 :‬מספר דרגות החופש הינו ‪.2‬‬ ‫‪ 2.‬שלוש מסות מחוברות למשולש קשיח‪ 6 .‬דרגות חופש כאשר שלושת האילוצים הינם‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪l12‬‬ ‫‪= (r1 − r2 )2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪l23‬‬ ‫‪= (r3 − r2 )2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪l13‬‬ ‫‪= (r1 − r3 )2‬‬ ‫‪)(10‬‬ ‫‪1.5.1‬‬ ‫דוגמה‪ :‬מטוטלת כפולה‬ ‫נניח מטוטלת כפולה כפי שמתואר באיור‪.‬‬ ‫בבעיה זו יש ‪ 2 ∗ 2 − 2 = 2‬דרגות חופש‪ .‬נבחר את הקואורדינטות המוכללות ‪ θ1 , θ2‬לתיאור‬ ‫הבעיה‪ .‬בקואורדינטות קרטזיות האנרגיה הקינטית והפוטנציאלית הינן‪:‬‬ ‫‪)(11‬‬ ‫‪)(12‬‬ ‫(‬ ‫‪) 1‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫‪1‬‬ ‫‪m1 ẋ21 + ẏ12 + m2 ẋ22 + ẏ22‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪U = m1 gy1 + m2 gy2‬‬ ‫= ‪T‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪l1‬‬ ‫‪m1‬‬ ‫‪θ1‬‬ ‫‪θ2‬‬ ‫‪l2‬‬ ‫‪m2‬‬ ‫על מנת לתאר את הבעיה במונחים של הקואורדינטות המוכללות ראשית נכתוב את הקואורדינטות‬ ‫הקרטזיות במונחים של ‪θ1 θ2‬‬ ‫‪)(13‬‬ ‫‪l1 sin θ1‬‬ ‫‪−l1 cos θ1‬‬ ‫‪x1 + l2 sin θ2 = l1 sin θ1 + l2 sin θ2‬‬ ‫‪y1 − l2 cos θ2 = −l1 cos θ1 − l2 cos θ2‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪x1‬‬ ‫‪y1‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪y2‬‬ ‫ומכאן שהמהירויות הינן‪:‬‬ ‫‪l1 θ̇1 cos θ1‬‬ ‫‪l1 θ̇1 sin θ1‬‬ ‫‪l1 θ̇1 cos θ1 + l2 θ̇2 cos θ2‬‬ ‫‪l1 θ̇1 sin θ1 + l2 θ̇2 sin θ2‬‬ ‫‪)(14‬‬ ‫במונחים אלו‪ ,‬האנרגיה הקינטית והפוטנציאלית הינן‪:‬‬ ‫]‬ ‫‪)(15‬‬ ‫) ‪l12 θ̇12 + l22 θ̇22 + 2l1 l2 θ̇1 θ̇2 cos(θ1 − θ2‬‬ ‫‪)(16‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪ẋ1‬‬ ‫‪ẏ1‬‬ ‫‪ẋ2‬‬ ‫‪ẏ2‬‬ ‫[‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪m1 l12 θ̇12 + m2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪U = −m1 gl1 cos θ1 − m2 gl1 cos θ1 − m2 l2 cos θ2‬‬ ‫= ‪T‬‬ ‫משוואות התנועה‬ ‫כעת נוכיח שניתן לקבל את משואות התנועה של ניוטון עבור מערכות שבהם פועלים כוחות‬ ‫משמרים מהדרישה שהפעולה‪ ,‬שהיא פונקציה של כל המסלולים של החלקיקים‪ ,‬תקבל ערך‬ ‫קיצון במסלול התנועה‪ .‬לשם כך ראשית נזכיר מהי וריאציה של פונקציה ושל פונקציונל )פונקציה‬ ‫של פונקציה(‪.‬‬ ‫‪2.1‬‬ ‫חשבון וריאציות‬ ‫וריאציה של פונקציה הינה השינוי בפונקציה כתוצאה משינוי אינפיניטסימלי של המשתנה של‬ ‫הפונקציה‪ ,‬או‪:‬‬ ‫‪)(17‬‬ ‫‪δf (x) ≡ f (x + δx) − f (x) = ∂x f (x)δx‬‬ ‫‪6‬‬ ‫כאשר בנקודת הקיצון )מינימום או מקסימום( של הפונקציה‪ ,‬הנגזרת מתאפסת‪ .‬וריאציה של‬ ‫פונקציה של כמה משתנים‪:‬‬ ‫‪)(18‬‬ ‫) ‪∑ ∂f (x1 , ...xN‬‬ ‫‪∂f‬‬ ‫‪∂f‬‬ ‫‪∂f‬‬ ‫‪δx1 +‬‬ ‫‪δx2 + ...‬‬ ‫‪δxi‬‬ ‫= ‪δxN‬‬ ‫‪∂x 1‬‬ ‫‪∂x2‬‬ ‫‪∂x N‬‬ ‫‪∂xi‬‬ ‫‪i‬‬ ‫= )‪δf (x‬‬ ‫נקודת קיצון )מינימום מקסימום או נקודת אוכף( של פונקציה של כמה משתנים‪:‬‬ ‫) ‪∂f (x1 , ...xN‬‬ ‫‪=0‬‬ ‫‪∂xi‬‬ ‫‪)(19‬‬ ‫‪δxi‬‬ ‫∑‬ ‫= )‪δf (x‬‬ ‫‪i‬‬ ‫עבור בחירה שרירותית של ‪ .δxi‬מכאן ש‪ )(19 -‬שקולה לדרישה שכל הנגזרות החלקיות לפי כל‬ ‫אחד מהמשתנים מתאפסת‪.‬‬ ‫ניתן לחשוב על פונקציונל של פונקציה )‪ q(t‬כפונקציה של מספר אינסופי של משתנים‪ ,‬כאשר‬ ‫למשל הזמן ‪ t‬הוא אינדקס רציף שמתייג את המשתנים שבהם תלויה הפונקציה‪ .‬אזי ניתן להחליף‬ ‫את הסכום ב‪ )(19 -‬באינטגרל ולכתוב‪:‬‬ ‫‪∫ t2‬‬ ‫‪δL‬‬ ‫= ])‪δS = S[q(t) + δq(t)] − S[q(t‬‬ ‫)‪dtδq(t‬‬ ‫‪)(20‬‬ ‫‪δq‬‬ ‫‪t1‬‬ ‫‪2.2‬‬ ‫משוואות אוילר לגראנג’‬ ‫על מנת לפתח את משוואות התנועה‪ ,‬נניח ש )‪ q(t‬הוא פונקציה שעבורו הפעולה מקבלת ערך‬ ‫קיצון‪ ,‬ונחשב את הוריאציה של הפעולה כתוצאה מוריאציה של המסלול )‪ .q(t) + δq(t‬כיוון שכל‬ ‫המסלולים מתחילים מנקודה נתונה ‪ q(t1 ) = qa‬ומסיימים בנקודה נתונה ‪ ,q(t2 ) = qb‬נובע‬ ‫שהוריאציה )‪ δq(t‬מקיימת‪:‬‬ ‫‪)(21‬‬ ‫‪δq(t1 ) = 0 δq(t2 ) = 0‬‬ ‫השינוי בפעולה כאשר משנים את המסלול מ ‪ q‬ל ‪ q + δq‬הוא‪:‬‬ ‫‪∫ t2‬‬ ‫‪∫ t2‬‬ ‫‪∫ t2‬‬ ‫‪δS = δ‬‬ ‫= )‪dtL(q, q̇, t‬‬ ‫‪dtL(q + δq, q̇ + δ q̇, t) −‬‬ ‫)‪dtL(q, q̇, t‬‬ ‫‪)(22‬‬ ‫‪t1‬‬ ‫‪t1‬‬ ‫‪t1‬‬ ‫כאשר מפתחים את הביטוי האלה בחזקות של ‪ δq‬האיברים המובילים הם האיברים הלינארים‪.‬‬ ‫המסלול המינימלי הוא כזה שעבורו הוריאציה הלינארית שווה לאפס או‪-‬‬ ‫‪∫ t2‬‬ ‫‪δS = δ‬‬ ‫‪dtL(q, q̇, t) = 0‬‬ ‫‪)(23‬‬ ‫‪t1‬‬ ‫אם נפתח לסדר לינארי‪:‬‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫‪t2‬‬ ‫‪∂L‬‬ ‫‪∂L‬‬ ‫‪δq +‬‬ ‫) ‪δ q̇ + O(δq 2‬‬ ‫‪∂q‬‬ ‫̇‪∂ q‬‬ ‫‪t‬‬ ‫)‬ ‫( ‪∫ 1t2‬‬ ‫‪∂L‬‬ ‫‪∂L dδq‬‬ ‫=‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪δq +‬‬ ‫‪∂q‬‬ ‫‪∂ q̇ dt‬‬ ‫‪t1‬‬ ‫( ‪]t 2 ∫ t 2‬‬ ‫[‬ ‫)‬ ‫‪∂L‬‬ ‫‪d ∂L‬‬ ‫‪∂L‬‬ ‫‪δq +‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪−‬‬ ‫=‬ ‫‪δq‬‬ ‫̇‪∂ q‬‬ ‫‪∂q‬‬ ‫̇‪dt ∂ q‬‬ ‫‪t1‬‬ ‫‪t1‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪)(24‬‬ ‫∫‬ ‫‪7‬‬ ‫= ‪δS‬‬ ‫כאשר האיבר הראשון מתאפס בגלל ‪ . )(21‬האיבר שנותר חייב להתאפס עבור כל בחירה של‬ ‫)‪ q(t‬ומכאן נובע‪:‬‬ ‫‪)(25‬‬ ‫‪d ∂L ∂L‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪= 0.‬‬ ‫̇‪dt ∂ q‬‬ ‫‪∂q‬‬ ‫כאשר למערכת שלנו יש מספר דרגות חופש ‪ ,m‬נקודת קיצון של הפעולה היא זו שעבורה האיבר‬ ‫הלינארי מתאפס עבור כל וריאציה בלתי תלויה בכל אחת מהקואורדינטות המוכללות‪.qi (t) ,‬‬ ‫הדרישה הזו נותנת ‪ m‬משוואות תנועה‪:‬‬ ‫‪)(26‬‬ ‫‪d ∂L ∂L‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪= 0.‬‬ ‫‪dt ∂ q̇i ∂qi‬‬ ‫משואות אלו נקראות משוואות אוילר לגראנג’ )‪(Euler-Lagrange‬‬ ‫‪8‬‬ ‫חופשי חלקיק של לגרנגיאן‬ ‫‪2.5‬‬ ‫‪d ∂L ∂L‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪= 0.‬‬ ‫‪dt ∂ q̇i ∂qi‬‬ ‫‪)(1‬‬ ‫משואות אלו נקראות משוואות אוילר לגראנג’ )‪ (Euler-Lagrange‬האם ניתן לתאר את כל‬ ‫המערכות בטבע בעזרת משוואות אלו? ישנן בעיות חשובות שלא מתוארות על ידי משוואות אוילר‬ ‫לגראנג’ בפרט מערכות שבהן יש איבוד אנרגיה כתוצאה למשל מחיכוך‪ .‬ואומנם‪ ,‬כוחות חיכוך‬ ‫אינן כוחות בסיסיים בטבע‪ .‬למעשה תיאור מלא של תנועה של גוף על מישור עם חיכוך כוללת את‬ ‫תנועת של האטומים המרכיבים את המשטח ואת מעבר האנרגיה אליהם‪ .‬מקובל לחשוב שכל‬ ‫המשוואות המתארות באופן בסיסי ומלא את המערכת ניתן לפתח ממשואות אוילר לגראנג’‪.‬‬ ‫‪2.4.1‬‬ ‫אינוריאנטיות של משוואות התנועה‬ ‫נניח‪:‬‬ ‫‪d‬‬ ‫)‪G(q, t‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪)(2‬‬ ‫‪L̃(q, q̇, t) = L(q, q̇, t) +‬‬ ‫אזי הפעולה‪:‬‬ ‫) ‪S̃[q(t)] = S[q(t)] + G(qb , tb ) − G(qa , ta‬‬ ‫‪)(3‬‬ ‫כיוון שההפרש ‪ S̃−S‬הינו פונקציה של נקודות הקצה בלבד‪) qa , qb ,‬ןלא של המסלול( אזי הוריאציה‬ ‫שלהם זהה‪ .δ S̃ = δS :‬מכאן נובע שמשוואות התנועה הנגזרות מ‪ L -‬ו‪ L̃ -‬זהות‪ .‬כלומר משוואות‬ ‫התנועה הן אינוריאנטיות לשינוי ה‪ Lagrangian-‬בפונקציה שהיא נגזרת שלמה של הזמן‪.‬‬ ‫‪2.5‬‬ ‫לגרנגיאן של חלקיק חופשי‬ ‫על מנת לתאר מערכות מכניות יש לבחור מערכת יחוס‪ .‬בחירה שרירותית של מערכת יחוס יכולה‬ ‫ליצור סיבוך מיותר של הבעיה כיוון שהמרחב לא יהיה בהכרח הומוגני או איזוטרופי‪ .‬למזלנו ניתן‬ ‫תמיד לבחור מערכת יחוס שבה המרחב הומוגני ואיזוטרופי והזמן הומוגני‪ .‬מערכת כזו נקראת‬ ‫מערכת יחוס אינרציאלית‪ .‬זו מערכת שבה חלקיק הנמצא במנוחה ישאר במנוחה‪ .‬נראה שניתן‬ ‫להסיק את ה‪ Lagrangian -‬של חלקיק חופשי מהבחירה של מערכת יחוס אינרציאלית‪ .‬ראשית‬ ‫כיוון שהמרחב והזמן הומוגניים‪ ,‬ה‪ Lagrangian-‬לא יהיה תלוי מפורשות במיקום ‪ r‬או בזמן ‪.t‬‬ ‫מכאן שהוא יכול להיות תלוי רק במהירות‪ .‬כמו כן‪ ,‬כיוון שהמרחב איזוטרופי ה‪ Lagrangian-‬לא‬ ‫יהיה תלוי מפורשות בכיוון המהירות ויהיה רק פונקציה של הגודל ‪: v 2‬‬ ‫) ‪L = L(v 2‬‬ ‫‪)(4‬‬ ‫אם כן‪ ,‬משוואת אוילר לגראנג’ מקיימת‪:‬‬ ‫‪d dL‬‬ ‫‪=0‬‬ ‫‪dt dv‬‬ ‫‪)(5‬‬ ‫כלומר‬ ‫‪)(6‬‬ ‫‪dL‬‬ ‫‪dv‬‬ ‫קבוע‪ ,‬ומכיוון שה‪ Lagrangian-‬הוא פונקציה של הגודל ‪ v 2‬נובע‬ ‫‪v = constant‬‬ ‫‪1‬‬ ‫חלקיקים רבת מערכת של לגרנגיאן‬ ‫‪2.6‬‬ ‫כלומר במערכת יחוס אינרציאלית‪ ,‬בהעדר כוחות חיצוניים התנועה היא במהירות קבועה‪ .‬כמו כן‬ ‫אם נבחר מערכת יחוס אחרת שנעה בקו ישר ובמהירות קבועה ביחס למערכת האינרציאלית‪ ,‬הרי‬ ‫שגם במערכת זו בהעדר כוחות חיצוניים המהירות תהיה קבועה‪ .‬מכאן שקיימות מספר אינסופי‬ ‫של מערכות יחוס אינרטיות שנעות ביחס זו לזו בקו ישר ובמהירות קבועה‪ .‬זהו עקרון היחסות‬ ‫של גלילאו‪.‬‬ ‫כעת נשתמש בעקרון היחסות של גלילאו על מנת למצוא את ה‪ Lagrangian-‬של חלקיק‬ ‫חופשי‪ .‬ניקח מערכת אינרציאלית שנעה ביחס למערכת המקורית במהירות אינפינטסימלית‪:‬‬ ‫‪v′ = v + ϵ‬‬ ‫‪)(7‬‬ ‫כיוון שמשוואות התנועה צריכות להיות זהות בשני המערכות אזי ה‪ Lagrangian -‬יכול להשתנות‬ ‫לכל היותר בנגזרת מלאה של הזמן‪ .‬ה‪ Lagrangian -‬של מערכת היחוס החדשה הינו‬ ‫‪)(8‬‬ ‫‪dL‬‬ ‫‪2vϵ‬‬ ‫‪dv 2‬‬ ‫‪L′ = L(v ′2 ) = L(v 2 + 2vϵ + ϵ2 ) ≈ L(v 2 ) +‬‬ ‫כאשר האיבר השני הוא נגזרת מלאה של הזמן רק אם הוא פונקציה לינארית של ‪ .v‬מכאן שה‪-‬‬ ‫‪ Lagrangian‬פרופורציוני ל‪ v 2 -‬וניתן ע”י‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪L = mv 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪)(9‬‬ ‫‪2.6‬‬ ‫לגרנגיאן של מערכת רבת חלקיקים‬ ‫ה‪ Lagrangian-‬מקיים תכונת חיבור כך שעבור שתי מערכות המתוארות ע”י ‪ LA‬ו‪ LB -‬שהמרחק‬ ‫ביניהן מאפשר להזניח את האינטרקציה ביניהם‪ ,‬ה‪ Lagrangian-‬של המערכת כולה מקיים = ‪L‬‬ ‫‪ .LA + LB‬אם כן‪ ,‬ניתן לכתוב את ה‪ Lagrangian-‬של מערכת של מספר חלקיקים שאינם עושים‬ ‫אינטרקציה זה אם זה‪:‬‬ ‫‪)(10‬‬ ‫∑‪1‬‬ ‫‪ma va2‬‬ ‫‪2 a‬‬ ‫=‪L‬‬ ‫על מנת לתאר מערכת סגורה מרובת חלקיקים‪ ,‬שעושים אינטרקציה זה עם זה‪ ,‬ניתן להוסיף‬ ‫ל‪ Lagrangian-‬של החלקיקים החופשיים פונקציה של הקואורדינטות של החלקיקים שתלויה‬ ‫באופי האינטרקציה ביניהם‪:‬‬ ‫‪)(11‬‬ ‫∑‪1‬‬ ‫) ‪ma va2 − V (r1 , r2 , ...., rN‬‬ ‫‪2 a‬‬ ‫=‪L‬‬ ‫מכאן ניתן לפתח את משוואות התנועה ‪:)(1‬‬ ‫‪)(12‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪ma v a + ∂a V = 0‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫כאשר ‪ F = −∂a V‬הינו הכוח המופעל על חלקיק ‪ .a‬אם כן הוכחנו )לפחות במקרה של כוחות‬ ‫משמרים( את הטענה המקורית שאומרת שניתן לפתח את משואות התנועה (??)‪ ,‬מהדרישה‬ ‫שפונקציונל הפעולה יקבל ערך קיצון‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫אילוצים עם מערכות‬ ‫‪2.7‬‬ ‫כמה מילים על העובדה שהאנרגיה הפוטנציאלית תלויה רק בקואורדינטות של החלקיקים‪.‬‬ ‫מכאן נובע ששינוי במיקום של חלקיק נתון יוצר שינוי מיידי באינטרקציה שהוא מפעיל על שאר‬ ‫החלקיקים‪ .‬כלומר האינטרקציה היא מיידית ‪ . Instantanous‬העובדה הזו קשורה לעקרון‬ ‫היחסות של גלילאו‪ .‬אם האינטרקציה היתה תלויה במהירות‪ ,‬הרי שזו משתנה בין מערכות יחוס‬ ‫הנמצאות בתנועה יחסית‪ ,‬וכתוצאה מכך הכוחות הפועלים בין החלקיקים היו שונים במערכות‬ ‫יחוס שונות מה שעומד בניגוד לעקרון היחסות‪.‬‬ ‫‪2.7‬‬ ‫מערכות עם אילוצים‬ ‫אחד היתרונות של פורמליזם לגרנג’יאן זה הטיפול במערכת עם אילוצים‪ .‬דוגמאות כמו המטוטלת‬ ‫או המטוטלות המצומדות מדגימות שבחירה נכונה של הקואורדינטות המוכללות מפשטת את‬ ‫הבעיה יחסית לשיטה הניוטונית שמחייבת למצוא את הכוח שיוצר את האילוץ‪ .‬לדוגמא‪ ,‬חלקיק‬ ‫שמאולץ לנוע על פני השטח של ספרה‪:‬‬ ‫‪x2 + y 2 + z 2 = 1‬‬ ‫‪)(13‬‬ ‫ניתן לבחור קואורדינטות פולריות ואז האילוץ הופך להיות ‪ r = 1‬והלגרנג’יאן הינו ‪:‬‬ ‫)‬ ‫‪m( 2‬‬ ‫=‪L‬‬ ‫‪θ̇ + sin2 θϕ̇2‬‬ ‫‪)(14‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ואולם גם אם אין פרמטריזציה פשוטה כמו במקרה זה‪ ,‬ניתן תמיד לפתור את משוואת האילוץ‪:‬‬ ‫√‬ ‫‪)(15‬‬ ‫‪z = z(x, y) = ± 1 − x2 − y 2‬‬ ‫ולהציב חזרה בפעולה‪:‬‬ ‫∫‬ ‫)‬ ‫‪m( 2‬‬ ‫‪ẋ + ẏ 2 + ż(x, y)2‬‬ ‫‪)(16‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ואולם הפתרון של מערכת אילוצים מורכבת עשוי להיות מסורבל‪ .‬כמו כן הפתרון הזה מתעלם‬ ‫מהכוחות המאלצים ולעיתים נרצה לדעת מה חוזק הכוחות שיוצרים את האילוץ‪ .‬את הבעיות‬ ‫הללו ניתן לפתור בשיטת כופלי לגראנג’‪.‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪2.7.1‬‬ ‫=‪S‬‬ ‫אילוצים הולונומים ולא הולונומים‬ ‫ניתן לסווג את האילוצים שפועלים על מערכת‪ .‬אילוץ שניתן לבטא באמצעות סט של משוואות‬ ‫התלויות בקואורדינטות של החלקיקים מהצורה‪:‬‬ ‫‪)(17‬‬ ‫‪Φ(q1 , q2 , ...qN ) = 0‬‬ ‫נקראים אילוצים הולונומים‪ .‬דוגמה לאילוץ שכזה הוא גוף קשיח‪:‬‬ ‫‪)(18‬‬ ‫‪(ri − rj )2 − c2ij = 0‬‬ ‫אילוצים שלא ניתן לבטא בצורה זו נקראים אילוצים לא הולונומים‪ .‬לדוגמה חלקיק שמונח על כדור‬ ‫בשדה גרביטציה ויכול להחליק ממנו‪:‬‬ ‫‪)(19‬‬ ‫‪r 2 − a2 ≥ 0‬‬ ‫הקושי באילוצים הוא כפול‪ :‬ראשית הקואורדינטות אינן בלתי תלויות‪ .‬ושנית הכוחות שיוצרים את‬ ‫האילוץ אינם ידועים והם חלק מהנעלמים של הבעיה‪ .‬הפורמליזם שנתאר כאן מטפל באילוצים‬ ‫הולונומים‪ .‬הטיפול באילוצים לא הולונומים יותר מורכב ואין פורמליזם יחיד שמטפל בכל המקרים‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫אילוצים עם מערכות‬ ‫‪2.7.2‬‬ ‫‪2.7‬‬ ‫כופלי לגראנג׳‬ ‫נראה שהקיצון של הפעולה‪:‬‬ ‫∫‬ ‫‪)(20‬‬ ‫)̇‪dtL0 (q, q‬‬ ‫= ]‪S[q‬‬ ‫תחת ואריאציות שמכבדות את האילוצים‪ ,‬שקולה למציאת הקיצון של הפעולה‬ ‫∫‬ ‫)‪S[q, λ] = dtL0 (q, q̇) + λ1 Φ1 (q) + ... + λm Φm (q‬‬ ‫‪)(21‬‬ ‫עבור ‪ m‬אילוצים ‪ .Φm‬כאשר ה ‪ λ‬נקראים כופלי לגראנג’ והם מתפקדים כמשתנים דינמיים חדשים‪.‬‬ ‫כלומר כאשר נבצע וריאציה של הפעולה ב‪ λ -‬נקבל את האילוצים כמשוואות התנועה‪ .‬כשנבצע‬ ‫וריאציה ב‪ ,q -‬משוואות התנועה יחילו את כופלי הגראנג’‪ .‬במקרה זה לא ברור כי המשוואות‬ ‫שמתקבלות קשורות למשוואות התנועה שאותם רצינו לפתור‪ .‬אבל הן כן ! נניח שאנחנו מחפשים‬ ‫את הקיצון של פונקציה )‪ f (q‬של ‪ n‬המשתנים ‪ ,q1 , ..qn‬תחת ‪ m‬האילוצים ‪ .Φ(q) = 0‬ראשית‬ ‫נניח שפתרנו את האילוצים עבור ‪ m‬מתוך ‪ n‬המשתנים ונקרא להם ‪ y‬ונותרו לנו ‪ n − m‬משתנים‬ ‫בלתי תלוים שנקרא להם ‪ .x‬נחשב את נקודת הקיצון של ‪ f‬כך‪:‬‬ ‫‪)(22‬‬ ‫‪0 = δf = δx∂x f + δy∂y f‬‬ ‫כאשר ‪ y‬הם פונקציה של ‪ x‬וניתנים ע”י‬ ‫‪)(23‬‬ ‫‪0 = δΦ = δx∂x Φ + δy∂y Φ‬‬ ‫כלומר יש לפתור את המשוואה עבור ‪ δy‬ולהציב בדפרנציאל של ‪ .f‬כיוון ש‪ δΦ = 0 -‬אזי נוכל‬ ‫לכתוב‪:‬‬ ‫‪)(24‬‬ ‫)‪0 = δf = δf + λδΦ = δx (∂x f + λ∂x Φ) + δy (∂y f + λ∂y Φ‬‬ ‫כעת נבחין שאם נבחר את המקדמים ‪ λ‬כך שמתקיים ‪ ∂y f + λ∂y Φ = 0‬אזי מהוריאציה של‬ ‫‪ f‬נובע גם ‪ ,∂x f + λ∂x Φ = 0‬כיוון שהחלוקה של המשתנים ‪ q‬ל‪ x, y-‬היתה שרירותית‪ ,‬נובע‬ ‫שוריאציות של פונקציה ‪ f‬שמקיימות את האילוץ ‪ Φ = 0‬שקולות לפתרון של ‪ n + m‬משוואות‪:‬‬ ‫‪)(25‬‬ ‫‪Φ(q) = 0 , ∂q f + λ∂q Φ = 0‬‬ ‫אלה בדיוק המשוואות שנקבל בשיטת כופלי לגראנג’‪ .‬עבור אילוצים התלוים בקואורדינטות ולא‬ ‫במהירויות ̇‪ ,q‬ההכללה לפונקציונל היא מיידית‪:‬‬ ‫∫‬ ‫)‪S[q, λ] = S0 [q] + λ dtΦ(q‬‬ ‫‪)(26‬‬ ‫ומשוואות התנועה הן‪:‬‬ ‫‪)(27‬‬ ‫‪)(28‬‬ ‫‪d ∂L‬‬ ‫‪∂L‬‬ ‫‪∂Φ‬‬ ‫=‬ ‫‪+λ‬‬ ‫‪dt ∂ q̇i‬‬ ‫‪∂qi‬‬ ‫‪∂qi‬‬ ‫‪Φ(q) = 0‬‬ ‫את המשוואות הללו ניתן להבין באופן הבא‪ :‬האילוץ מגדיר משטח במרחב הקונפיגורציות‪ .‬כאשר‬ ‫שינינו את המשוואות של המערכת הבלתי מאולצת ע”י הוספת הכוח ‪ λ∂i Φ‬למשוואות‪ .‬כיוון הכוח‬ ‫בכיוון הגרדיאנט של הפונקציה המאלצת‪ ,‬כלומר כוח שפועל בכיוון הניצב למישור האילוץ‪ .‬על מנת‬ ‫לודא שהמסלול מוגבל למשטח יש לבחור את חוזק הכוח ‪ λ‬בהתאם‪ .‬כלומר פתרון המשוואות‬ ‫הללו נותן לנו את חוזק הכוח המאלץ‪.‬‬ ‫‪4‬‬ ‫אילוצים עם מערכות‬ ‫‪2.7.3‬‬ ‫‪2.7‬‬ ‫דוגמה למערכת עם אילוצים‪ :‬שני גלילים שמתגלגלים זה על זה‬ ‫נניח מערכת שבה גליל בעל רדיוס ‪ a‬מתגלגל מעל גליל שני בעל רדיוס ‪ R‬ללא החלקה‪ .‬במערכת‬ ‫קיימים שני אילוצים‪ :‬הגלילים נמצאים במגע כלומר‪:‬‬ ‫‪Φ1 (r, θ1 , θ2 ) = r − R − a = 0‬‬ ‫‪)(29‬‬ ‫והגלילים מתגלגלים ללא החלקה‪:‬‬ ‫‪Φ2 (r, θ1 , θ2 ) = Rθ1 − a(θ2 − θ1 ) = 0‬‬ ‫‪)(30‬‬ ‫כאן ‪ r‬הינה הקואורדינטה של מרכז הגליל הנע‪ .‬הלגרנג’יאן הינו‪:‬‬ ‫‪) 1‬‬ ‫( ‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪L = T − V = M ṙ2 + r2 θ˙1 + I θ̇22 − M gr cos θ1‬‬ ‫‪)(31‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫כאשר ‪ M‬הינה המסה של הגליל המסתובב ו‪ I -‬הינו ממונט האינרציה‪ .‬האנרגיה הקינטית הינה‬ ‫סכום של הזזה של מרכז המסה וסיבוב מסביב למרכז המסה‪ .‬משוואות התנועה הינן‪:‬‬ ‫) (‬ ‫‪∂L‬‬ ‫‪d ∂L‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪= M r̈ − M rθ˙1 + M g cos θ1 = λ1‬‬ ‫‪)(32‬‬ ‫̇‪dt ∂ r‬‬ ‫‪∂r‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫‪d ∂L‬‬ ‫‪∂L‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪= M r2 θ¨1 + 2M rṙθ̇1 − M gr sin θ1 = (R + a)λ2‬‬ ‫‪)(33‬‬ ‫‪dt ∂ θ̇1‬‬ ‫‪∂θ1‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫‪d ∂L‬‬ ‫‪∂L‬‬ ‫‪= I θ̈2 = −aλ2‬‬ ‫‪)(34‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪dt ∂ θ̇2‬‬ ‫‪∂θ2‬‬ ‫יחד עם משוואות האילוצים קבלנו ‪ 5‬משוואות עבור ‪ 5‬הנעלמים } ‪ .{r, θ1 , θ2 , λ1 , λ2‬ראשית נפתור‬ ‫את משוואות האילוצים‪:‬‬ ‫‪)(35‬‬ ‫‪r = R+a‬‬ ‫כך שמתקיים ‪ .ṙ = 0‬ו‪-‬‬ ‫‪)(36‬‬ ‫‪θ̇2 = (1 + R/a)θ̇1‬‬ ‫ונציב בשלושת משוואות התנועה‪:‬‬ ‫‪)(37‬‬ ‫‪)(38‬‬ ‫‪)(39‬‬ ‫‪−M (R + a) θ̇12 + M g cos θ1 = λ1‬‬ ‫‪M (R + a)2 θ̈1 − M g (R + a) sin θ1 = (R + a) λ2‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫‪R+a‬‬ ‫‪I‬‬ ‫‪θ̈1 = −aλ2‬‬ ‫‪a‬‬ ‫מהמשוואה השלילשית וממשוואת האילוץ נובע‪:‬‬ ‫‪)(40‬‬ ‫‪I‬‬ ‫‪R+a‬‬ ‫‪λ2 = − θ̈2 = − 2 I θ̈1‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫אם נציב את הפתרון עבור ‪ λ2‬במשוואה השניה נקבל‪:‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫‪I‬‬ ‫‪M + 2 (R + a)2 θ̈1 − M g (R + a) sin θ1 = 0‬‬ ‫‪)(41‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪5‬‬ ‫נתר ומשפט שימור חוקי‬ ‫‪3‬‬ ‫אם נכפיל את המשוואה ב ‪ θ̇1‬נקבל דיפרנציאל שלם ואינטגרל שלו נותן‪:‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫‪1‬‬ ‫‪Mg‬‬ ‫‪I‬‬ ‫‪Mg‬‬ ‫‪θ̇12 +‬‬ ‫‪M 1+‬‬ ‫= ‪cos θ1‬‬ ‫‪cos θ10‬‬ ‫‪)(42‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪Ma‬‬ ‫‪R+a‬‬ ‫‪R+a‬‬ ‫כאשר השתמשנו בהנחה ש ‪ θ̇1 = 0‬כאשר ‪ θ1 = θ10‬כלומר שהגליל המתגלגל משוחרר ממנוחה‬ ‫ב‪ .θ1 = θ10 -‬כאשר מציבים את הפתרון הנל למשוואה הראשונה מקבלים את הכוח הרדיאלי של‬ ‫האילוץ‪:‬‬ ‫‪)(43‬‬ ‫}‬ ‫{ ‪Mg‬‬ ‫‪(3 + α) cos θ1 − 2 cos θ10‬‬ ‫‪1+α‬‬ ‫= ‪λ1 ≡ Qr‬‬ ‫עבור הפרמטר חסר הממדים ‪ .α = I/M a2‬קיבלנו את הרכיב הרדיאלי של הכוח בין הגלילים‪.‬‬ ‫כש ‪ Qr‬מתאפס‪ ,‬הגלילים מאבדים מגע והגליל העליון נשמט‪ .‬זה קורה כאשר הזווית‪:‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫‪2 cos θ10‬‬ ‫∗‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪)(44‬‬ ‫‪θ1 = cos‬‬ ‫‪3+α‬‬ ‫ניתן לראות כי זווית הניתוק ∗‪ θ1‬היא פונקציה עולה של ‪ α‬כלומר ‪ I‬גדול גורר ניתוק מאוחר של‬ ‫הגלילים‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫חוקי שימור ומשפט נתר‬ ‫ניקח חלקיק שנע בשני ממדים תחת השפעה של פוטנציאל )‪ .U (r‬הפוטנציאל הוא פונקציה של‬ ‫גודל הוקטור ‪ r‬בלבד‪ .‬מכאן שה‪ Lagrangian-‬הינו‪:‬‬ ‫‪)(45‬‬ ‫)‬ ‫( ‪1‬‬ ‫)‪L = T − U = m ṙ2 + r2 ϕ̇2 − U (r‬‬ ‫‪2‬‬ ‫כאשר בחרנו את הקואורדינטות המוכללות )‪ .(r, ϕ‬כעת אם נגזור את משוואות התנועה עבור‬ ‫המשתנה ‪ ϕ‬נמצא שרכיב הכוח בכיוון ‪ ϕ‬מתאפס‪) Fϕ = −∂ϕ U = 0 :‬מכיוון שה‪Lagrangian-‬‬ ‫איננו תלוי בקואורדינטה ‪ (.ϕ‬כיוון שהשינוי בזמן של התנע )הזויתי( שווה לכוח )מומנט כוח(‪ ,‬אזי‬ ‫למרות ש‪ r(t) -‬ו‪ ϕ(t) -‬תלויים בזמן‪ ,‬התנע הזויתי ̇‪ Mz = mr2 ϕ‬איננו תלוי בזמן והוא קבוע תנועה‪.‬‬ ‫אם אותו החלקיק נע בפוטנציאל )‪ U (y‬שאיננו תלוי ב‪ x-‬אזי הכוח ‪ Fx = −∂x U (y) = 0‬שווה‬ ‫לאפס ומכאן שהתנע בכיוון ‪ x‬נשמר‪ .‬דוגמה לשדה כזה הוא שדה הגרביטציה ‪.U (y) = mgy‬‬ ‫באופן כללי בכל פעם שהמערכת הינה בעלת סימטריה רציפה )כמו סמטריה להזזה בכיוון ‪ x‬או‬ ‫להזזה ב‪ ϕ-‬בדוגמאות שלמעלה‪ ,‬קיים מטען שנשמר או קבוע תנועה‪ .‬משפט זה נקרא משפט‬ ‫נתר‪.‬‬ ‫במהלך התנועה של מערכת מכנית‪ ,‬הגדלים הקובעים את מצב המערכת‪ qi ,‬ו‪ q̇i -‬משתנים‬ ‫לאורך המסלול‪ .‬ואולם ישנם פונקציות של המשתנים ‪ qi‬ו‪ q̇i -‬שנשארים קבועים במהלך התנועה‪.‬‬ ‫אלה נקראים קבועי תנועה‪ .‬ניתן להראות שבכל מערכת סגורה של ‪ n‬דרגות חופש ‪ qi‬כאשר‬ ‫‪ i = 1, ..., n‬ישנם ‪ 2n − 1‬קבועי תנועה‪ .‬אלה הם שני קבועי התנועה של כל אחת מ‪ n-‬משוואות‬ ‫התנועה )משוואות דיפרנציאליות מסדר שני(‪ ,‬כמו כן‪ ,‬כיוון שבמערכת סגורה משוואות התנועה‬ ‫לא תלויות מפורשות בזמן‪ ,‬ניתן לבחור את אחד מהקבועים הללו כקבוע שרירותי בזמן )שלא יהיה‬ ‫תלוי ב‪ qi -‬ו‪ q̇i -‬בגלל שמשוואות התנועה לא תלויות בזמן(‪ .‬מכאן שקיימים ‪ 2n − 1‬קבועי תנועה‪.‬‬ ‫‪6‬‬ ‫נתר ומשפט שימור חוקי‬ ‫אנרגיה שימור‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3.1‬‬ ‫למרות מספרם הרב של קבועי התנועה‪ ,‬חלק מקבועי התנועה נגזרים מעקרונות בסיסיים‬ ‫כגון ההומוגניות והאיזוטרופיות של המרחב והזמן ואלה בעלי חשיבות עמוקה ושימורם מאפשר‬ ‫הסקת מסקנות לא טרוויאליות על המערכת המכנית‪ .‬כל קבוע תנועה מוריד את מספר דרגות‬ ‫החופש בבעיה ולכן מקרב אותנו לפתרון‪ .‬קבועי תנועה אלו מקיימים את תכונת החיבור‪ ,‬כלומר‬ ‫במערכת המורכבת ממספר חלקים שהאינטרקציה בניהם זניחה‪ ,‬ערך קבוע התנועה שווה לסכום‬ ‫ערכיו בכל אחת מהמערכות הנפרדות‪ .‬התכונה הזו שימושית במיוחד כאשר חושבים על מערכת‬ ‫שבה החלקיקים עושים אינטרקציה לזמן קצוב‪ .‬הידיעה שערך קבוע התנועה לפני ואחרי זמן‬ ‫האינטרקציה שווה לסכום קבועי התנועה של החלקיקים הנפרדים מאפשר להסיק מסקנות לגבי‬ ‫מצב החלקיקים בסיום האינטרקציה מבלי לדעת את פרטים על אופי התנועה במהלך האינטרקציה‪.‬‬ ‫‪3.1‬‬ ‫שימור אנרגיה‬ ‫נתחיל ממהנחה שהזמן הוא הומוגני‪ .‬מכאן נובע ש‪ Lagrangian-‬של מערכת סגורה אינו תלוי‬ ‫מפורשות בזמן‪ .‬מכאן שמתקיים‪:‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫‪dL(q̇, q) ∑ ∂L‬‬ ‫‪∂L‬‬ ‫)‪dL(q̇, q, t‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪q˙i +‬‬ ‫‪qï‬‬ ‫‪)(46‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪∂qi‬‬ ‫‪∂ q˙i‬‬ ‫‪i‬‬ ‫כלומר כיוון שה‪ Lagrangian-‬אינו תלוי מפורשות בזמן השמטנו את הנגזרת החלקית לפי הזמן‪.‬‬ ‫ממשואת התנועה ‪ )(1‬נובע‪:‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫( ∑ )‬ ‫∑ ‪dL‬‬ ‫‪d ∂L ∂L‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪∂L‬‬ ‫=‬ ‫‪q˙i‬‬ ‫‪+‬‬ ‫= ‪qï‬‬ ‫̇‪q‬‬ ‫‪)(47‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪dt ∂ q˙i ∂ q˙i‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪∂ q˙i‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪i‬‬ ‫כלומר‪:‬‬ ‫)‬ ‫‪)(48‬‬ ‫‪=0‬‬ ‫‪∑ ∂L‬‬ ‫̇‪q‬‬ ‫‪−L‬‬ ‫∂‬ ‫‪q‬‬ ‫˙‬ ‫‪i‬‬ ‫‪i‬‬ ‫(‬ ‫‪d‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫מכאן שפונקצית האנרגיה של המערכת‪:‬‬ ‫‪∑ ∂L‬‬ ‫̇‪q‬‬ ‫‪−L‬‬ ‫‪∂ q˙i‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪)(49‬‬ ‫≡‪h‬‬ ‫נשארת קבועה‪ .‬כלומר במערכת סגורה האנרגיה היא קבוע תנועה‪ .‬למעשה הדבר נכון לכל‬ ‫מערכת שבה ה‪ Lagrangian-‬אינו תלוי מפורשות בזמן לדוגמה גם בנוכחות שדה קבוע‪ .‬מערכות‬ ‫שבהם פונקצית האנרגיה היא קבוע של התנועה נקראות מערכות משמרות‪ .‬תכונת החיבור של‬ ‫פונקצית האנרגיה במערכת זו נובע מתכונת החיבור של ה‪ Lagrangian-‬ומכך שהאנרגיה היא‬ ‫פונקציה לינארית של ה‪.Lagrangian-‬‬ ‫‪3.1.1‬‬ ‫דוגמה‬ ‫נניח מערכת שמתוארת ע”י ה‪:Lagrangian-‬‬ ‫‪)(50‬‬ ‫)‬ ‫( ‪1‬‬ ‫)‪L = m ẋ2 + ẏ 2 + ż 2 − V (x, y, z‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪7‬‬ ‫נתר ומשפט שימור חוקי‬ ‫אנרגיה שימור‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3.1‬‬ ‫אזי מהמשוואה‪ )(49 :‬נקבל‪:‬‬ ‫‪)(51‬‬ ‫)‬ ‫( ‪1‬‬ ‫)‪h = m ẋ2 + ẏ 2 + ż 2 + V (x, y, z‬‬ ‫‪2‬‬ ‫שהיא באמת האנרגיה הכוללת של המערכת‪ .‬באופן כללי ה‪ Lagrangian-‬של מערכת עם כוח‬ ‫קבוע הינו‬ ‫‪)(52‬‬ ‫)‪L = T (q̇, q) − V (q‬‬ ‫במערכות שבהן האנרגיה הקינטית הינה פונקציה של ריבוע המהירויות וכאשר האנרגיה הפוטנציאלית‬ ‫איננה תלויה במהירות אזי‪:‬‬ ‫∑‪1‬‬ ‫= )‪h = T (q̇, q) + V (q‬‬ ‫‪)(53‬‬ ‫‪ma va2 + V (r1 , r2 , ...., rN ) = E.‬‬ ‫‪2 a‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪3.1.2‬‬ ‫חלקיק טעון בשדה מגנטי‬ ‫דוגמה למערכת שבה פונקצית האנרגיה איננה ‪ . h ̸= T + U‬האנרגיה הפוטנציאלית של חלקיק‬ ‫טעון שנע בהשפעת שדה אלקטרומגנטי תלויה במהירות‪:‬‬ ‫‪q‬‬ ‫̇‪U (r, ṙ) = qϕ(r, t) − A(r, t) · r‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪)(1‬‬ ‫והאנרגיה הקינטית הינה ‪ .T = 21 mṙ2‬כאשר ‪ ϕ‬הוא הפוטנציאל הסקלארי ו‪ A-‬הוא הפוטנציאל‬ ‫הוקטורי‪ .‬השדה החשמלי והמגנטי הם נגזרות של הפוטנציאל‪:‬‬ ‫‪1 ∂A‬‬ ‫‪, B=∇×A‬‬ ‫‪c ∂t‬‬ ‫‪)(2‬‬ ‫‪E = −∇ϕ −‬‬ ‫האנרגיה היא‪:‬‬ ‫‪∂L‬‬ ‫‪· ṙ − L‬‬ ‫̇‪∂ r‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪= mṙ2 + A · ṙ − mṙ2 − A · ṙ + qϕ‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪= mṙ2 + qϕ‬‬ ‫‪)2‬‬ ‫‪q‬‬ ‫( ‪1‬‬ ‫)‪p − A(r, t) + qϕ(r, t‬‬ ‫=‬ ‫‪2m‬‬ ‫‪c‬‬ ‫= ‪H‬‬ ‫‪)(3‬‬ ‫והיא קבועה אם ‪ A‬ו‪ ϕ-‬אינם תלויים בזמן‪ .‬בשורה האחרונה השתמשנו בהגדרת התנע = ‪p‬‬ ‫‪ .∂L/∂ ṙ = mṙ + qA/c‬נגזור את משוואות התנועה‪:‬‬ ‫‪)(4‬‬ ‫‪q‬‬ ‫)̇‪∇(A · r‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪q‬‬ ‫)̇‪∇(A · r‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪q dA‬‬ ‫‪= −q∇ϕ +‬‬ ‫‪c dt‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪q ∂A ∑ q ∂A‬‬ ‫‪mr̈ +‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪ṙj = −q∇ϕ +‬‬ ‫‪c ∂t‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪∂r‬‬ ‫‪j‬‬ ‫‪j=1‬‬ ‫‪mr̈ +‬‬ ‫אם נכתוב את המשוואה האחרונה לפי רכיבים אזי‪:‬‬ ‫‪∂ϕ q ∂Aj‬‬ ‫‪q ∂Ai‬‬ ‫‪q ∂Ai‬‬ ‫‪−q‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪ṙj −‬‬ ‫‪ṙj‬‬ ‫‪c ∂t‬‬ ‫‪∂ri c ∂ri‬‬ ‫‪c ∂rj‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫‪q ∂Ai‬‬ ‫‪∂ϕ q ∂Aj‬‬ ‫‪∂Ai‬‬ ‫‪= −‬‬ ‫‪−q‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪ṙj‬‬ ‫‪c ∂t‬‬ ‫‪∂ri c ∂ri‬‬ ‫‪∂rj‬‬ ‫‪mr̈i = −‬‬ ‫‪)(5‬‬ ‫כאשר אם נשתמש בקשר‪:‬‬ ‫‪)(6‬‬ ‫‪∂Aj‬‬ ‫‪∂ri‬‬ ‫‪Bk = ϵijk‬‬ ‫וב‪-‬‬ ‫‪)(7‬‬ ‫‪ϵijk ϵimn = δjm δkn − δjn δkm‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪mr̈i‬‬ ‫נקבל‪:‬‬ ‫‪∂An‬‬ ‫‪∂rm‬‬ ‫‪∂An‬‬ ‫‪∂rm‬‬ ‫‪ϵijk Bi = ϵijk ϵimn‬‬ ‫) ‪= (δjm δkn − δjn δkm‬‬ ‫‪∂Ak ∂Aj‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪∂rj‬‬ ‫‪∂rk‬‬ ‫‪)(8‬‬ ‫=‬ ‫ונציב חזרה במשוואות התנועה‪:‬‬ ‫‪q ∂Ai‬‬ ‫‪∂ϕ q‬‬ ‫‪−q‬‬ ‫‪+ ϵkij Bk ṙj‬‬ ‫‪c ∂t‬‬ ‫‪∂ri c‬‬ ‫‪)(9‬‬ ‫‪mr̈i = −‬‬ ‫ובעזרת וקטורים‪:‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪q ∂A‬‬ ‫‪− q∇ϕ + ṙ × B‬‬ ‫‪c ∂t‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪= qE + ṙ × B‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪mr̈ = −‬‬ ‫‪)(10‬‬ ‫קיבלנו את כוח לורנץ‪.‬‬ ‫‪3.2‬‬ ‫שימור תנע‬ ‫חוק שימור נוסף נובע מההומוגניות של המרחב‪ .‬מההומוגניות נובע שתכונות המערכת אינוריאנטיות‬ ‫לתזוזה אחידה במרחב‪ .‬כלומר אם נחשב את הוריאציה של ה‪ Lagrangian-‬כתוצאה מתזוזה‬ ‫אחידה במרחב ‪ ϵ‬כאשר כל החלקיקים במערכת מוזזים בגודל קבוע ‪ ϵ‬והמהירויות נשארות קבועות‬ ‫אז נקבל‪:‬‬ ‫‪)(11‬‬ ‫‪∑ ∂L‬‬ ‫‪∑ ∂L‬‬ ‫· ‪· δra = ϵ‬‬ ‫‪=0‬‬ ‫‪∂ra‬‬ ‫‪∂ra‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫= ‪δL‬‬ ‫וממשואת התנועה (??) נובע‬ ‫‪)(12‬‬ ‫‪d ∑ ∂L‬‬ ‫‪=0‬‬ ‫‪dt a ∂ ṙa‬‬ ‫כלומר וקטור התנע‬ ‫‪)(13‬‬ ‫‪∑ ∂L‬‬ ‫∑‬ ‫=‬ ‫‪ma va‬‬ ‫∂‬ ‫̇‪r‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫=‪P‬‬ ‫הינו קבוע תנועה נוסף‪ .‬כמו כן בניגוד לאנרגיה‪ ,‬כפי שניתן לראות מ‪ )(13 -‬תכונת החיבור של‬ ‫התנע‪ ,‬כלומר שהתנע של כל המערכת שווה לסכום התנע של כל חלקיו‪ ,‬תקף גם אם האינטרקציה‬ ‫בין החלקים אינה זניחה‪ .‬כפי שראינו שימור התנע נובע מהדרישה‬ ‫‪)(14‬‬ ‫‪∑ ∂V‬‬ ‫∑‬ ‫‪∑ ∂L‬‬ ‫‪=−‬‬ ‫=‬ ‫‪Fa‬‬ ‫‪∂r‬‬ ‫‪∂r‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪2‬‬ ‫שסכום הכוחות על החלקיקים שווה לאפס‪ ,‬או העדר כוחות חיצוניים )מהחוק השלישי של ניוטון‬ ‫נובע שכל חלקיק שמפעיל כוח על חלקיק אחר מרגיש כוח בחוזק דומה בכיוון הופכי‪ ,‬מכאן שסכום‬ ‫הכוחות במערכת סגורה מתאפס(‪ .‬בהעדר כוחות חיצוניים‪ ,‬כל רכיבי התנע מתאפסים‪ ,‬ואולם‬ ‫גם בנוכחות שדות חיצוניים‪ ,‬יתכן שימור של חלק מרכיבי התנע אם האנרגיה הפוטנציאלית אינה‬ ‫תלויה בכל הקואורדינטות‪ .‬התכונות המכניות של המערכת אינן תלויות בהזזה לאורך ציר של‬ ‫קואורדינטה שאיננה מופיעה באנרגיה הפוטנציאלית‪ ,‬ומכאן שהתנע בכיוון זה נשמר‪.‬‬ ‫‪3.2.1‬‬ ‫דוגמא‬ ‫חלקיק שנע במהירות ‪ v1‬עובר מחצי המרחב שבו האנרגיה הפוטנציאלית שלו היא ‪ U1‬לחצי‬ ‫המרחב שבו האנרגיה הפוטנציאלית שלו היא ‪ .U2‬מהו השינוי בכיוון התנועה של החלקיק?‬ ‫ראשית נבחין כי האנרגיה הפוטנציאלית תלויה רק בכיוון הניצב לכיוון המשטח שמפריד בין שני‬ ‫חצאי המרחב‪ .‬מכאן שהתנעים בכיוונים המקבילים למשטח נשמרים‪ .‬משימור אנרגיה נובע‪:‬‬ ‫‪1 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪mv1 + U1 = mv22 + U2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪)(15‬‬ ‫כלומר‪:‬‬ ‫) ‪2(U1 − U2‬‬ ‫‪mv12‬‬ ‫‪)(16‬‬ ‫√‬ ‫‪1+‬‬ ‫‪v2 = v1‬‬ ‫כמו כן מתקיים‪:‬‬ ‫) ‪2(U1 − U2‬‬ ‫‪mv12‬‬ ‫‪)(17‬‬ ‫‪3.3‬‬ ‫√‬ ‫‪1+‬‬ ‫‪sin θ1‬‬ ‫‪v2‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪sin θ2‬‬ ‫‪v1‬‬ ‫מרכז מסה‬ ‫התנע של מערכת סגורה משתנה ממערכת אינרציאלית אחת לשניה‪ ,‬כאשר מהירויות החלקיקים‬ ‫מקיימות‪ .va = v′a + V :‬התנע בשני מערכות היחוס ניתן ע״י‬ ‫∑‬ ‫∑‬ ‫∑‬ ‫∑‬ ‫=‪P‬‬ ‫= ‪ma v a‬‬ ‫‪ma V +‬‬ ‫= ‪ma v′a‬‬ ‫‪ma V + P′‬‬ ‫‪)(18‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫בפרט תמיד ניתן לבחור מערכת אינרציאלית שעבורה‪ .P′ = 0 :‬נאמר שהמערכת הזו במנוחה‬ ‫באנלוגיה למקרה של חלקיק יחיד‪ .‬המהירות של המערכת ‪ P‬כולה מקיימת‪:‬‬ ‫‪)(19‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪a ma‬‬ ‫∑= ‪V‬‬ ‫הכולל שלה מתקיים אותו הקשר שמתקיים‬ ‫כלומר בין המהירות הכוללת של המערכת והתנע ∑‬ ‫עבור חלקיק יחיד ‪ p = mv‬עם מסה כוללת של ‪ .µ = a ma‬נגדיר את וקטור מרכז המסה כ‪:‬‬ ‫∑‬ ‫∑‬ ‫=‪R‬‬ ‫‪ma r a /‬‬ ‫‪ma‬‬ ‫‪)(20‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪δr‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪δφ‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪θ‬‬ ‫את חוק שימור התנע עבור מערכת סגורה ניתן להבין גם כחוק האנרציה עבור מרכז המסה של‬ ‫המערכת‪ :‬כלומר שמרכז המסה של מערכת סגורה ללא כוחות חיצוניים‪ ,‬נע בקו ישר ובמהירות‬ ‫קבועה‪ .‬כאשר ניתן לחשוב על תנועת מרכז המסה כתנועה של חלקיק נקודתי שממוקם במרכז‬ ‫המסה‪.‬‬ ‫האנרגיה של מערכת הנמצאת במנוחה נקראת האנרגיה הפנימית ‪ Ei‬והיא שווה לאנרגיה‬ ‫הקינטית כתוצאה מהתנועה היחסית של החלקיקים ולאנרגיה הפוטנציאלית כתוצאה מהאינטרקציות‬ ‫ביניהם‪ .‬מאידך האנרגיה של מערכת שנעה במהירות ‪ V‬היא‬ ‫‪1‬‬ ‫‪E = µV 2 + Ei .‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪)(21‬‬ ‫‪3.4‬‬ ‫שימור תנע זויתי‬ ‫חוק שימור שלישי נובע מכך שהמרחב איזוטרופי‪ ,‬כלומר מכך שהתכונות המכניות אינוריאנטיות‬ ‫לסיבוב של המערכת כולה‪ .‬על מנת למצוא את הוריאציה של ה‪ Lagrangian-‬כתוצאה מהסיבוב‬ ‫נגדיר וקטור סיבוב אינפיניטסימלי ‪⃗ = n̂δϕ‬‬ ‫‪ δ ϕ‬שגודלו הוא זוית הסיבוב וכיוונו הוא כיוון ציר הסיבוב‪.‬‬ ‫השינוי בוקטור הרדיוס כתוצאה מהסיבוב ניצב לכיוון של הוקטור הרדיוס ולכיוונו של ציר הסיבוב‪:‬‬ ‫‪)(22‬‬ ‫‪δr = ρδϕ = r sin θδϕ‬‬ ‫‪⃗×r‬‬ ‫‪δr = δ ϕ‬‬ ‫כתוצאה מהסיבוב‪ ,‬גם המהירות משנה כיוון‪ .‬השינוי בוקטור המהירות הינו‪:‬‬ ‫‪)(23‬‬ ‫‪⃗×v‬‬ ‫‪δv = δ ϕ‬‬ ‫מכאן שוריאציה של ה‪ Lagrangian-‬כתוצאה מהסיבוב הינה‪:‬‬ ‫[∑ )‬ ‫( ‪) ∂L‬‬ ‫])‬ ‫‪∂L‬‬ ‫‪∂L‬‬ ‫⃗ ( ‪∂L‬‬ ‫⃗‬ ‫‪)(24‬‬ ‫‪· δra +‬‬ ‫= ‪· δva‬‬ ‫‪· δ ϕ × ra +‬‬ ‫‪· δ ϕ × va‬‬ ‫‪∂ra‬‬ ‫‪∂va‬‬ ‫‪∂r‬‬ ‫‪∂v‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫אם נשתמש בזהות‪:‬‬ ‫‪)(25‬‬ ‫)‪A · (B × C) = B · (C × A) = C · (A × B‬‬ ‫‪4‬‬ ‫(∑‬ ‫‪a‬‬ ‫= ‪δL‬‬ ‫כדי לבודד את השינוי בזוית ‪ δϕ‬נקבל‪:‬‬ ‫]‬ ‫‪)(26‬‬ ‫‪∂L‬‬ ‫‪∂L‬‬ ‫× ‪ra‬‬ ‫× ‪+ va‬‬ ‫‪∂ra‬‬ ‫‪∂va‬‬ ‫[∑‬ ‫·⃗‬ ‫‪δL = δ ϕ‬‬ ‫‪a‬‬ ‫ונשתמש ביחס ‪ ∂L/∂va = pa‬ו‪ ∂L/∂ra = ṗa -‬נקבל‪:‬‬ ‫‪)(27‬‬ ‫∑‬ ‫‪⃗· d‬‬ ‫‪[ra × ṗa + va × pa ] = δ ϕ‬‬ ‫‪ra × p a = 0‬‬ ‫‪dt a‬‬ ‫∑‬ ‫·⃗‬ ‫‪δL = δ ϕ‬‬ ‫‪a‬‬ ‫מכאן שוקטור התנע הזויתי בכיוון זוית הסיבוב‪:‬‬ ‫‪ra × p a‬‬ ‫‪)(28‬‬ ‫∑‬ ‫=‪M‬‬ ‫‪a‬‬ ‫הינו קבוע תנועה‪ .‬כמו התנע הקווי הוא מקיים תכונת חיבור גם אם החלקיקים במערכת עושים‬ ‫אינרקציה זה עם זה‪.‬‬ ‫ניתן למצוא את הקשר בין התנע הזויתי בשתי מערכות יחוס הנעות במהירות ‪ V‬ביחס זו לזו‪:‬‬ ‫∑‬ ‫∑‬ ‫∑‬ ‫=‪M‬‬ ‫= ‪ma r a × v a‬‬ ‫‪ma ra × v′ a +‬‬ ‫‪ma ra × V = M′ + µR × V‬‬ ‫‪)(29‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫כאשר ‪ R‬הוא וקטור מרכז המסה ו‪ P-‬הוא התנע הזויתי הכולל של המערכת‪ .‬אם המערכת החדשה‬ ‫‪ K ′‬נמצאת במנוחה‪ ,‬אזי ‪ V‬הינה מהירות מרכז המסה יחסית למערכת היחוס ‪ K‬ו‪-‬‬ ‫‪M = M′ + R × P.‬‬ ‫‪)(30‬‬ ‫כלומר התנע הזויתי של מערכת מכנית הינו סכום התנע הזויתי הפנימי ‪ -‬במערכת יחוס שבה‬ ‫המערכת נמצאת במנוחה ‪ -‬והתנע הזויתי שהוא תוצר של תנועת המערכת כולה‪ .‬במערכת סגורה‬ ‫בהעדר כוחות חיצוניים‪ ,‬שלושת הרכיבים של התנע הזויתי נשמרים‪ .‬במערכת עם שדות חיצוניים‬ ‫שהם סימטריים לסיבוב מסביב לציר נתון‪ ,‬הרכיב של התנע הזויתי בכיוון הסימטריה נשמר‪ .‬דוגמה‬ ‫חשובה היא במערכות עם שדות מרכזיים )‪ (central fields‬שם המערכת סימטרית לסביב מסביב‬ ‫לכל ציר שעובר דרך המרכז‪.‬‬ ‫‪3.4.1‬‬ ‫דוגמאות‬ ‫איזה רכיבים של התנע והתנע הזויתי נשמרים במקרים הבאים‪:‬‬ ‫‪ 1.‬שדה שיוצר משטח הומוגני על ציר ‪ .x − y‬שימור תנע קוי ‪ px‬ו‪ py -‬ותנע זויתי ‪.Mz‬‬ ‫‪ 2.‬שדה שיוצר גליל הומוגני‪ .‬שימור תנע קווי ‪ pz‬ותנע זויתי ‪.Mz‬‬ ‫‪ 3.‬שדה של שתי נקודות שימור תנע זויתי לאורך הקו שמחבר את שתי הנקודות‪.‬‬ ‫‪ 4.‬שדה של חצי משטח הומוגני אינסופי‪ .‬שימור תנע קווי לאורך השפה‪.‬‬ ‫‪ 5.‬שדה של חרוט הומוגני‪ .‬שימור תנע זויתי לאורך החרוט‪.‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3.5‬‬ ‫משפט נתר )‪( Noether’s theorem‬‬ ‫לפי משפט נתר‪ ,‬בכל מערכת עם סימטריה רציפה‪ ,‬יש מטען שמור שהוא קבוע תנועה‪ .‬כאשר‬ ‫סימטריה משמעה שתחת הטרנספורמציה‬ ‫̃‪t → t‬‬ ‫‪qi → q̃i‬‬ ‫‪)(31‬‬ ‫הפעולה אינוריאנטית‪:‬‬ ‫‪)(32‬‬ ‫‪˙ q̃, t).‬‬ ‫‪dtL(q̃,‬‬ ‫‪t̃b‬‬ ‫∫‬ ‫‪tb‬‬ ‫∫‬ ‫=‪S‬‬ ‫= )‪dtL(q̇, q, t‬‬ ‫‪ta‬‬ ‫‪t̃a‬‬ ‫אם נבצע טרנספורמציה אינפיניטסימלית‪:‬‬ ‫‪)(33‬‬ ‫‪δt = t̃ − t‬‬ ‫)‪δq = q̃(t̃) − q(t) = q̃(t̃) − q̃(t) + q̃(t) − q(t) = q̇δt + δ̄q(t‬‬ ‫כלומר ‪ δq‬מודד את האפקט של השינוי ב‪ δt-‬והשינוי ב‪ .δ̄q-‬אזי השינוי בפעולה לסדר ראשון הינו‪:‬‬ ‫‪∫ t̃b‬‬ ‫‪∫ tb‬‬ ‫˙‬ ‫)‪dtL(q̇, q, t‬‬ ‫= ‪δS‬‬ ‫‪dtL(q̃, q̃, t) −‬‬ ‫‪ta‬‬ ‫‪t̃a‬‬ ‫‪] ∫ tb‬‬ ‫[ ‪∫ tb +δtb‬‬ ‫‪∂L‬‬ ‫‪∂L‬‬ ‫=‬ ‫‪dt L(q̇, q, t) +‬‬ ‫‪δ̄qi +‬‬ ‫‪δ̄ q̇i −‬‬ ‫)‪dtL(q̇, q, t‬‬ ‫‪∂qi‬‬ ‫‪∂ q̇i‬‬ ‫‪ta +δta‬‬ ‫‪ta‬‬ ‫]‬ ‫‪∫ tb +δtb‬‬ ‫‪∫ ta +δta‬‬ ‫[ ‪∫ tb‬‬ ‫‪∂L‬‬ ‫‪∂L‬‬ ‫‪δ̄qi +‬‬ ‫‪δ̄ q̇i‬‬ ‫=‬ ‫‪dtL −‬‬ ‫‪dtL +‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪∂qi‬‬ ‫‪∂ q̇i‬‬ ‫‪tb‬‬ ‫‪ta‬‬ ‫‪ta‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫]‬ ‫[ ‪∫ tb‬‬ ‫‪∂L‬‬ ‫‪d ∂L‬‬ ‫‪d ∂L‬‬ ‫‪= L(tb )δtb − L(ta )δta +‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪δ̄qi +‬‬ ‫‪δ̄qi −‬‬ ‫‪δ̄qi‬‬ ‫‪∂qi‬‬ ‫‪dt ∂ q̇i‬‬ ‫‪dt ∂ q̇i‬‬ ‫‪ta‬‬ ‫(‬ ‫]‬ ‫[ ‪) ∫ tb‬‬ ‫‪∫ tb‬‬ ‫‪∂L‬‬ ‫‪∂L‬‬ ‫‪d ∂L‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪δ̄qi‬‬ ‫‪Lδt +‬‬ ‫‪δ̄qi +‬‬ ‫‪−‬‬ ‫=‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪∂ q̇i‬‬ ‫‪∂qi dt ∂ q̇i‬‬ ‫‪ta‬‬ ‫‪ta‬‬ ‫([‬ ‫]‬ ‫)‬ ‫[ ‪] ∫ tb‬‬ ‫‪∫ tb‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪∂L‬‬ ‫‪∂L‬‬ ‫‪d ∂L‬‬ ‫‪∂L‬‬ ‫=‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪L−‬‬ ‫‪q̇i δt +‬‬ ‫‪δqi +‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪δ̄qi )(34‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪∂ q̇i‬‬ ‫‪∂ q̇i‬‬ ‫‪∂qi dt ∂ q̇i‬‬ ‫‪ta‬‬ ‫‪ta‬‬ ‫האיבר השני נופל בגלל משוואות התנועה‪ .‬כעת נגדיר שינוי אינפיניטסימלי קבוע כך ש‪:‬‬ ‫‪)(35‬‬ ‫אזי המטען‬ ‫‪)(36‬‬ ‫‪δt = A(q, t)ϵ‬‬ ‫‪δqi = Bi (q, t)ϵ‬‬ ‫)‬ ‫‪∂L‬‬ ‫‪∂L‬‬ ‫‪q̇i A(q, t) +‬‬ ‫)‪Bi (q, t‬‬ ‫‪L−‬‬ ‫‪∂ q̇i‬‬ ‫‪∂ q̇i‬‬ ‫(‬ ‫הינו קבוע תנועה‪ .‬המשפט הזה הינו הכללה של חוקי השימור שקיבלנו כאשר שימור אנרגיה‬ ‫הוא תוצאה של סימטריה בזמן ‪ A = 1‬ו‪ B = 0-‬בעוד ששימור תנע קווי וזויתי הינו תוצאה של‬ ‫סימטריה של הקואורדינטות ‪ A = 0‬ו‪.B − 1 -‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪3.5.1‬‬ ‫דוגמאות‬ ‫‪ 1.‬נניח מסה קשורה לקפיץ בעל אורך מנוחה השווה לאפס‪ .‬המערכת נמצאת במישור ‪.x − y‬‬ ‫מהו ה‪ ?Lagrangian-‬האם יש בבעיה סימטריה? מצא את קבוע התנועה‪ .‬הלגרנג’יאן‬ ‫הינו‪:‬‬ ‫‪) k( 2‬‬ ‫)‬ ‫‪m( 2‬‬ ‫‪ẋ + ẏ 2 −‬‬ ‫‪x + y2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪)(37‬‬ ‫=‪L‬‬ ‫בקואורדינטות קרטזיות ניתן לראות שהמערכת אינווריאנטית להזזה‪:‬‬ ‫‪x → x + ϵy‬‬ ‫‪y → y − ϵx‬‬ ‫‪)(38‬‬ ‫‪)(39‬‬ ‫בסדר ראשון ב‪ .ϵ -‬כלומר‬ ‫)‪B = (y, −x‬‬ ‫‪)(40‬‬ ‫התנע הנשמר הינו‪:‬‬ ‫‪∂L‬‬ ‫‪∂L‬‬ ‫‪Bx +‬‬ ‫)‪By = m(ẋy − ẏx‬‬ ‫̇‪∂ x‬‬ ‫̇‪∂ y‬‬ ‫‪)(41‬‬ ‫= ‪P‬‬ ‫בקואורדינטות פולריות קל לראות שהמערכת סימטרית לסיבוב סביב ציר ‪ z‬ולכן התנע‬ ‫השמור הינו תנע זויתי מסביב לציר ‪.z‬‬ ‫‪ 2.‬נניח מערכת שמתוארת ע”י הלגרנג’יאן‪:‬‬ ‫)‬ ‫‪m( 2‬‬ ‫)‪5ẋ − 2ẋẏ + 2ẏ 2 + C(2x − y‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪)(42‬‬ ‫=‪L‬‬ ‫המערכת אינווריאנטית להזזה‪:‬‬ ‫‪)(43‬‬ ‫)‪B = (1, 2‬‬ ‫והתנע הנשמר הינו‪:‬‬ ‫‪)(44‬‬ ‫‪3.6‬‬ ‫‪∂L ∂L‬‬ ‫‪+‬‬ ‫)̇‪2 = m(5ẋ − ẏ) + m(−ẋ + 2ẏ)2 = m(3ẋ + 3y‬‬ ‫̇‪∂ x‬‬ ‫̇‪∂ y‬‬ ‫= ‪P‬‬ ‫דמיון מכני‬ ‫הכפלת ה‪ Lagrangian-‬בקבוע איננה משנה את משוואות התנועה‪ .‬נראה שבמקרים מסויימים‬ ‫התכונה הזו מאפשרת הסקת מסקנות על אופי התנועה מבלי לפתור את משוואות התנועה‪ .‬אחד‬ ‫ממקרים אלו הוא כאשר האנרגיה הפוטנצאלית היא פונקציה הומוגנית של הקואורדינטות‪ ,‬כלומר‪:‬‬ ‫‪)(45‬‬ ‫) ‪U (αr1 , αr2 , ..., αrN ) = αk U (r1 , r2 , ..., rN‬‬ ‫‪7‬‬ ‫דוגמאות לפונקציות הומוגניות‪ f = x1 x2 x3 + x21 x2 :‬ו‪-‬‬ ‫√ = ‪ U‬דוגמאות לפונקציות‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x2 +y 2 +z 2‬‬ ‫שאינן הומוגניות הן ‪ U = rβ + C‬ו‪ .U = rβ + rγ -‬נניח שאנו מבצעים טרנספורמציה על‬ ‫הקואורדינטות ועל הזמן כך ש‪:‬‬ ‫‪⃗r → α⃗r‬‬ ‫‪t → βt‬‬ ‫‪)(46‬‬ ‫אזי אם האנרגיה הפוטנציאלית היא פונקציה הומוגנית של הקואורדינטות‪ ,‬נקבל‪:‬‬ ‫‪1 2‬‬ ‫‪mv → α2 β −2 T‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪→ αk V‬‬ ‫=‬ ‫‪)(47‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪V‬‬ ‫מכאן שאם ‪ β = α1−k/2‬אז התוצאה של הטרנספורמציה היא הכפלה של ה‪ Lagrangian-‬בקבוע‬ ‫ומשוואות התנועה אינן משתנות‪ .‬אם כן כאשר האנרגיה הפוטנציאלית היא פונקציה הומוגנית של‬ ‫הקואורדינטות‪ ,‬אזי משוואות התנועה זהות עבור מסלולים דומים גיאומטרית אבל בגדלים שונים‬ ‫כך שמתקיים היחס‪:‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫‪1−k/2‬‬ ‫‪t′‬‬ ‫‪l′‬‬ ‫=‬ ‫‪)(48‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪l‬‬ ‫כמו כן מתקיים‪:‬‬ ‫‪( ′ )k/2‬‬ ‫‪l‬‬ ‫=‬ ‫‪l‬‬ ‫‪( ′ )k‬‬ ‫‪l‬‬ ‫=‬ ‫‪l‬‬ ‫‪( ′ )1+k/2‬‬ ‫‪l‬‬ ‫=‬ ‫‪l‬‬ ‫‪)(49‬‬ ‫‪v′‬‬ ‫‪v‬‬ ‫‪E′‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪M′‬‬ ‫‪M‬‬ ‫דוגמאות‪:‬‬ ‫‪ 1.‬במערכת עם תנודות שבה האנרגיה הפוטנציאלית תלויה בקואורדינטות בריבוע‪ ,‬זמן המחזור‬ ‫אינו תלוי במשרעת‪.‬‬ ‫‪ 2.‬שדה אחיד )כגון כבידה( האנרגיה הפוטנציאלית היא פונקציה לינארית של הקואורדינטות‬ ‫‪ .k = 1‬מכאן ש‪:‬‬ ‫√‬ ‫‪t′‬‬ ‫‪l′‬‬ ‫=‬ ‫‪)(50‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪l‬‬ ‫מכאן נובע למשל שבנפילה חופשית‪ ,‬זמן הנפילה הוא פרופורציוני לשורש גובה הנפילה‪.‬‬ ‫‪ 3.‬אינטרקצית קולון‪ .‬האנרגיה הפוטנציאלית פרופורציונית ל‪ r−1 -‬מכאן ש‬ ‫‪( ′ )3/2‬‬ ‫‪l‬‬ ‫‪t′‬‬ ‫=‬ ‫‪)(51‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪l‬‬ ‫ומכאן נובע החוק השלישי של קפלר שהזמן בריבוע שלוקח לבצע מסלול אורביטלי שווה‬ ‫לאורכו בשלישית‪.‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪3.6.1‬‬ ‫התיאוריה הויריאלית‬ ‫לפי התיאוריה הויראלית‪ ,‬אם האנרגיה הפוטנציאלית היא פונקציה הומוגנית של הקואורדינטות‬ ‫ואם התנועה מתרחשת על פני איזור סופי במרחב‪ ,‬קיים יחס פשוט בין ממוצע האנרגיות‬ ‫הקיניטית והפוטנציאלית לפי הזמן‪ .‬מתאורית אוילר לפונקציות הומוגניות נובע‪:‬‬ ‫‪)(52‬‬ ‫‪∂f‬‬ ‫)‪= nf (x‬‬ ‫‪∂xi‬‬ ‫‪f (λx) = λn f (x) → xi‬‬ ‫ומכך שהאנרגיה הפוטנציאלית פרופורציונית לריבוע המהירות נובע‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫∑‬ ‫∑‬ ‫∑‬ ‫‪∂T‬‬ ‫∑ ‪d‬‬ ‫= ‪2T‬‬ ‫· ‪va‬‬ ‫=‬ ‫= ‪va · pa‬‬ ‫‪ra · ṗa‬‬ ‫‪)(53‬‬ ‫‪ra · p a −‬‬ ‫‪∂va‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫כעת אם נחשב את הממוצא בזמן שמוגדר כ‪-‬‬ ‫‪∫ τ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪f¯ = lim‬‬ ‫)‪dtf (t‬‬ ‫‪)(54‬‬ ‫‪τ →∞ τ 0‬‬ ‫ואם נשים לב שממוצא של פונקציה ‪ f‬שהיא נגזרת שלמה בזמן של פונקציה חסומה ‪F‬‬ ‫מתאפסת‬ ‫∫‬ ‫∫‬ ‫‪1 τ d‬‬ ‫)‪F (τ ) − F (0‬‬ ‫‪1 τ‬‬ ‫¯‬ ‫‪dtf (t) = lim‬‬ ‫‪dt F (t) = lim‬‬ ‫‪= 0 )(55‬‬ ‫‪f = lim‬‬ ‫‪τ →∞ τ 0‬‬ ‫‪τ‬‬ ‫∞→‬ ‫‪τ →∞ τ 0‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪τ‬‬ ‫מכאן שאם התנועה של המערכת מוגבלת לאיזור סופי במרחב עם מהירות שגודלה סופי‬ ‫אזי האיבר הראשון ב‪ )(53 -‬מתאפס‪ .‬כמו כן אם נשתמש במשוואות התנועה של ניוטון אזי‬ ‫‪ .ṗa = −∂V /∂ra‬מכאן שממשואה ‪ )(53‬נובע‪:‬‬ ‫‪)(56‬‬ ‫̄‪ra · ∂V /∂ra = k V‬‬ ‫∑‬ ‫= ̄‪2T‬‬ ‫‪a‬‬ ‫מכאן נובע למשל שעבור תנודות קטנות‪ ,‬ממוצא האנרגיה הפוטנציאלית שווה לממוצע‬ ‫האנרגיה הקינטית ̄‪ .T̄ = V‬כמו כן כיוון ש‪:Ē = T̄ + V̄ :‬‬ ‫‪)(57‬‬ ‫)‪T̄ = 2Ē/(2 + k‬‬ ‫)‪V̄ = k Ē/(2 + k‬‬ ‫‪9‬‬ ‫אינטגרציה של משוואות התנועה‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4.1‬‬ ‫איך לפתור בעיות‬ ‫הנה כמה כללים פשוטים לפתרון בעיות במכניקה‪:‬‬ ‫‪ 1.‬נבחר סט של קואורדינטות מוכללות )רצוי לבחור קואורדינטות שמשמרות את הסימטריות‬ ‫בבעיה(‪.‬‬ ‫‪ 2.‬נמצא את האנרגיה הקינטית )‪ T (q, q̇, t‬ואת האנרגיה הפוטנציאלית )‪ V (q, t‬ומהם נקבל‬ ‫את ה‪.L = T − V :Lagrangian-‬‬ ‫שימו לב‪ ,‬לעיתים כדאי לכתוב את האנרגיה הקינטית בקואורדינטות קרטזיות עבור כל‬ ‫חלקיק ורק אח”כ להמיר לקואורדינטות מוכללות‪.‬‬ ‫‪ 3.‬נמצא את התנע ‪ pi = ∂L/∂ q̇i‬ואת הכוחות ‪.Fi = ∂L/∂q‬‬ ‫‪ 4.‬נכתוב בעזרתם את משוואות התנועה‪ d/dt[∂L/∂ q̇] = ∂L/∂q :‬או ‪.ṗi = Fi‬‬ ‫‪ 5.‬נמצא את קבועי התנועה )מציאת קבועי התנועה עוזרת בפתרון הבעיה כיוון שהיא מפשטת‬ ‫את המשוואות(‪.‬‬ ‫‪5‬‬ ‫פורמליזם המילטוני‬ ‫כל סט של משוואות דיפרנציאליות ניתן לכתוב כמשוואות מסדר ראשון ע”י הוספת מספיק משתנים‪.‬‬ ‫הפורמולציה ההמילטונית היא הדרך לעשות זאת עבור משוואות אוילר לגרנג’‪ .‬היתרון בפורמולציה‬ ‫ההמילטוניאנית שהיא מדגישה את קווי הדימיון בין המכניקה הקלאסית למכניקה הקוונטית‪.‬‬ ‫נניח ראשית שאין תלות מפורשת בזמן‪ .‬המטרה של פורמליזם זה היא לשכתב את פונקצית‬ ‫האנרגיה ‪ h‬בצורה שתוביל למספר תוצאות שימושיות‪ .‬לשם כך נגדיר את התנע הקנוני‪pi = :‬‬ ‫‪ ∂L/∂ q̇i‬שהוא התנע הצמוד לקואורדינטה ‪ q‬כעת נכתוב את פונקצית האנרגיה ‪ h‬כפונקציה של‬ ‫המשתנים ‪ qi‬ו‪ pi -‬במקום ‪ qi‬ו‪ .q̇i -‬לשם כך נשתמש בטרנספורמציה ההפוכה שמגדירה את‬ ‫‪) .pi‬לרוב הטרנספורמציה ההפוכה היא פשוטה אולם קיימים מקרים שבו היא מורכבת ולעיתים‬ ‫בלתי אפשרית(‪ .‬פונקצית האנרגיה כפונקציה של הקואורדינטות והתנעים נקראת המילטוניאן‬ ‫‪ Hamiltonian‬שמסומן באות ‪:H‬‬ ‫∑‬ ‫≡ )‪H(q, p‬‬ ‫) ‪pi q̇i (qi , pi ) − L(qi , q̇i (qi , pi‬‬ ‫‪)(1‬‬ ‫נדגיש שבעוד שהלגרנג’יאן הוא פונקציה של ‪ qi‬ו‪ ,q̇i -‬ההמילטוניאן הוא פונקציה של ‪ qi‬ו‪ .pi -‬היתרון‬ ‫של השימוש במשתנים הללו יתברר בהמשך‪ .‬המעבר מהלגרנגיאן להמילטוניאן הוא מקרה פרטי‬ ‫של טרנספורמצית לג’נדר‪.‬‬ ‫‪5.1‬‬ ‫דוגמאות למציאת ההמילטוניאן‬ ‫אוסילטור הרמוני‪:‬‬ ‫‪)(2‬‬ ‫‪m 2 k 2‬‬ ‫‪ẋ − x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‪L‬‬ H = = = L= :‫ ומכאן‬p ≡ ∂L/∂ ẋ :‫התנע המוכלל הינו‬ m k pẋ − L = pẋ − ẋ2 + x2 2 2 p m ( p )2 k 2 p − + x m 2 m 2 2 2 p kx + )(3 2m 2 :‫דוגמה נוספת היא תנועה בכוח מרכזי בשני ממדים‬ ) m( 2 ṙ + r2 θ2 − V (r) )(4 2 :‫במקרה זה קיימים שני תנעים מוכללים‬ pr ≡ ∂L/∂ ṙ = mṙ pθ ≡ ∂L/∂ θ̇ = mr2 θ̇ H = ∑ )(5 )(6 :‫וההמילטוניאן הינו‬ pi q̇i − L i = pr ṙ + pθ θ̇ − [m ( ) ] ṙ + r θ − V (r) pr pθ m ( pr )2 mr2 ( pθ )2 = pr + pθ 2 − − + V (r) m mr 2 m 2 mr2 p2θ p2r + + V (r) )(7 = 2m 2mr2 :‫ צילינדריות וספריות‬,‫המילטוניאן של חלקיק יחיד בקואורדינטות קרטזיות‬ ) 1 ( 2 L(x, y, z) = m ẋ + ẏ 2 + ż 2 − U (x, y, z) 2 ) 1 ( 2 L(r, ϕ, z) = m ṙ + r2 ϕ̇2 + ż 2 − U (r, ϕ, z) 2 ) 1 ( 2 m ṙ + r2 θ̇2 + r2 ϕ̇2 sin2 θ − U (r, θ, ϕ) )(8 L(r, θ, ϕ) = 2 :‫התנע המוכלל הינו‬ px = mẋ py = mẏ pz = mż 2 pr = mṙ pϕ = mr ϕ̇ pz = mż )(9 2 2 2 pr = mṙ pθ = mr θ̇ pϕ = mr ϕ̇ sin θ 2 2 2 2 :‫ומכאן שההמילטוניאן הוא‬ ) 1 ( 2 px + p2y + p2z + U (x, y, z) 2m ( ) p2ϕ 1 2 2 H(r, ϕ, z) = + pz + U (r, ϕ, z) p + 2m r r2 ) ( p2ϕ 1 p2θ 2 H(r, θ, ϕ) = + + U (r, θ, ϕ) p + 2m r r2 r2 sin2 θ H(x, y, z) = 2 )(10 ‫‪5.2‬‬ ‫משוואות המילטון‬ ‫משכתבנו את ההמילטוניאן כפונקציה של הקואורדינטות והתנעים‪ ,‬נחשב את הנגזרות החלקיות‬ ‫של ההמילטוניאן כתלות במשתנים אלו‪:‬‬ ‫)) ‪∑ ∂(pj q̇j ) ∂L(qj , q̇j (qj , pj‬‬ ‫) ‪∂H(qi , pi‬‬ ‫=‬ ‫‪−‬‬ ‫‪∂pi‬‬ ‫‪∂p‬‬ ‫‪∂pi‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪j‬‬ ‫‪∂ q̇i ∂L(qj , q̇j (qj , pj )) ∂ q̇i‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪∂pi‬‬ ‫‪∂ q̇i‬‬ ‫‪∂pi‬‬ ‫‪∂ q̇i‬‬ ‫‪∂ q̇i‬‬ ‫‪= q̇i + pi‬‬ ‫‪− pi‬‬ ‫‪= q̇i‬‬ ‫‪∂pi‬‬ ‫‪∂pi‬‬ ‫‪= q̇i + pi‬‬ ‫‪)(11‬‬ ‫כאשר השתמשנו בהגדרת התנע המוכלל‪ .‬כמו כן‪:‬‬ ‫)) ‪∑ ∂(pj q̇j ) ∂L(qj , q̇j (qj , pj‬‬ ‫) ‪∂H(qi , pi‬‬ ‫=‬ ‫‪−‬‬ ‫‪∂qi‬‬ ‫‪∂qi‬‬ ‫‪∂qi‬‬ ‫‪j‬‬ ‫) ‪∂ q̇i ∂L(qj , q̇j ) ∂ q̇i ∂L(qj , q̇j‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪∂qi‬‬ ‫‪∂ q̇i‬‬ ‫‪∂qi‬‬ ‫‪∂qi‬‬ ‫) ‪∂L(qj , q̇j‬‬ ‫‪= −‬‬ ‫‪∂qi‬‬ ‫‪= −ṗi‬‬ ‫‪= pi‬‬ ‫‪)(12‬‬ ‫כאשר השתמשנו בהגדרת התנע המוכלל ובמשוואות התנועה‪:‬‬ ‫‪)(13‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪∂L/∂ q̇i = ∂L/∂qi‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫= ‪ṗi‬‬ ‫קיבלנו שתי משוואות‬ ‫‪)(14‬‬ ‫‪∂H‬‬ ‫‪∂H‬‬ ‫‪= −ṗi ,‬‬ ‫‪= q̇i‬‬ ‫‪∂qi‬‬ ‫‪∂pi‬‬ ‫אלה משוואות התנועה במונחים של המשתנים ‪ q‬ו ‪ .p‬משוואות אלו‪ ,‬הנקראות משוואות המילטון או‬ ‫משוואות קנוניות‪ ,‬מהוות סט של ‪ 2s‬משוואות מסדר ראשון עבור המשתנים )‪ q(t‬ו‪ p(t) -‬המחליפות‬ ‫את ‪ s‬המשוואות מסדר שני בפורמליזם ‪ Lagrangian.‬כלומר התנע הקנוני הוא המשתנה הנוסף‬ ‫שהוספנו לבעיה על מנת להפוך את ‪ s‬משוואות אוילר לגרנג’ ל‪ 2s -‬משוואות מסדר ראשון‪.‬‬ ‫נשים לב שלעיתים ההמילטוניאן או ה‪ Lagrangian‬יכולים להיות תלויים בפרמטרים אחרים‬ ‫מלבד המשתנים הדינמיים ‪ q‬ו ‪) p‬לדוגמה בזמן(‪ .‬במקרה זה אם נחשב את הדיפרנציאל של ה‪-‬‬ ‫‪: Lagrangian‬‬ ‫∑‬ ‫∑‬ ‫= ‪dL‬‬ ‫‪ṗi dqi +‬‬ ‫‪pi dq̇i + (∂L/∂λ)dλ‬‬ ‫‪)(15‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪i‬‬ ‫ואם נשתמש בפיתוח שלמעלה כדי לקבל את הדיפרנציאל של ההמילטוניאן‪:‬‬ ‫∑‬ ‫∑‬ ‫‪dH = −‬‬ ‫‪ṗi dqi +‬‬ ‫‪q̇i dpi − (∂L/∂λ)dλ‬‬ ‫‪)(16‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪i‬‬ ‫כלומר מתקיים‪:‬‬ ‫‪(∂H/∂λ)p,q = −(∂L/∂λ)q̇,q‬‬ ‫‪)(17‬‬ ‫ובפרט כאשר ה‪ Lagrangian-‬תלוי מפורשות בזמן‪ ,‬אזי הזמן הוא פרמטר שאיננו משתתף בטרנספורמציה‬ ‫ומתקיים‪:‬‬ ‫‪(∂H/∂t)p,q = −(∂L/∂t)q̇,q‬‬ ‫‪)(18‬‬ ‫אם נחשב את הנגזרת של ההמליטוניאן בזמן ונשתמש במשוואות המילטון נקבל‪:‬‬ ‫‪∑ ∂H‬‬ ‫‪∂H ∑ ∂H‬‬ ‫‪q̇i +‬‬ ‫‪ṗi‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪∂t‬‬ ‫‪∂qi‬‬ ‫‪∂pi‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪∂H ∑ ∂H ∂H ∑ ∂H ∂H‬‬ ‫‪∂H‬‬ ‫=‬ ‫‪−‬‬ ‫=‬ ‫‪+‬‬ ‫‪∂t‬‬ ‫‪∂qi ∂pi‬‬ ‫‪∂pi ∂qi‬‬ ‫‪∂t‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪i‬‬ ‫=‬ ‫‪)(19‬‬ ‫‪dH‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫מכאן שאם ההמילטוניאן איננו תלוי מפורשות בזמן אזי ‪ dH/dt = 0‬והאנרגיה של המערכת‬ ‫נשמרת‪.‬‬ ‫‪5.3‬‬ ‫דוגמאות למשוואות המילטון‬ ‫תנועה בשדה מרכזי בשני ממדים‪:‬‬ ‫‪)(20‬‬ ‫‪p2r‬‬ ‫‪p2θ‬‬ ‫=‪H‬‬ ‫‪+‬‬ ‫)‪+ V (r‬‬ ‫‪2m 2mr2‬‬ ‫משוואות המילטון הינן‪:‬‬ ‫‪)(21‬‬ ‫‪)(22‬‬ ‫‪)(23‬‬ ‫‪)(24‬‬ ‫‪∂H‬‬ ‫‪= pr /m‬‬ ‫‪∂pr‬‬ ‫‪∂H‬‬ ‫‪p2‬‬ ‫‪ṗr = −‬‬ ‫)‪= θ 3 − V ′ (r‬‬ ‫‪∂r‬‬ ‫‪mr‬‬ ‫‪pθ‬‬ ‫‪∂H‬‬ ‫= ̇‪θ‬‬ ‫=‬ ‫‪∂pθ‬‬ ‫‪mr2‬‬ ‫‪∂H‬‬ ‫‪ṗθ = −‬‬ ‫‪=0‬‬ ‫‪∂θ‬‬ ‫= ̇‪r‬‬ ‫אם נשתמש בהגדרת התנע הרדיאלי במשוואה השניה נקבל את משוואת התנועה עבור ‪:r‬‬ ‫‪)(25‬‬ ‫‪p2θ‬‬ ‫)‪− V ′ (r‬‬ ‫‪mr3‬‬ ‫= ̈‪mr‬‬ ‫ואילו המשואה הרביעית נותנת שימור תנע זויתי‪:‬‬ ‫) ‪d ( 2‬‬ ‫‪)(26‬‬ ‫‪mr θ̇ = 0‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5.4‬‬ ‫טרנספורמצית ‪Legendre‬‬ ‫ההגדרה של ההמילטוניאן איננה שרירותית‪ .‬למעשה ההמילטוניאן הוא דוגמה לטרנספורמצית‬ ‫‪ .Legendre‬נחשוב על פונקציה של משתנה יחיד )‪ .F (x‬נגדיר את הנגזרת של הפונקציה היא‬ ‫)‪ .dF (x)/dx = F ′ (x) ≡ s(x‬נוכל להפוך את הקשר על מנת לקבל את )‪ .x(s‬מטרתה של‬ ‫טרנספורמצית לג’נדר היא לבנות פונקציה חדשה )‪ G(s‬שמחליפה את התפקידים של ‪ s‬ו‪ x -‬כך‬ ‫ש‪:‬‬ ‫)‪dG(s‬‬ ‫)‪= x(s‬‬ ‫‪ds‬‬ ‫‪)(27‬‬ ‫‪ G‬נקראת טרנספורמצית לג’נדר של ‪ .F‬אם קיימת ‪ G‬כזו‪ ,‬אז נוכל לחבר את שתי המשוואות‪:‬‬ ‫‪)(28‬‬ ‫)‪d(F + G) = sdx + xds = d(xs‬‬ ‫ונובע שהסכום ‪ F + G = sx‬עד כדי קבוע שניקח להיות אפס‪ .‬אם כן טרנספורמציה לג’נדר הינה‪:‬‬ ‫‪G(s) = sx(s) − F (x(s)) ≡ F ′ x − F‬‬ ‫‪)(29‬‬ ‫באותה צורה ניתן לראות ש‪ F -‬הינה טרנספורמצית לג’נדר של ‪.G‬‬ ‫‪5.5‬‬ ‫סוגרי פואסון‬ ‫אם )‪ f (p, q, t‬הינה פונקציה של הקואורדינטות‪ ,‬התנע המוכלל והזמן‪ .‬אזי נגזרת שלמה בזמן של‬ ‫‪ f‬הינה‪:‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫‪df‬‬ ‫‪∂f ∑ ∂f‬‬ ‫‪∂f‬‬ ‫=‬ ‫‪+‬‬ ‫‪q̇i +‬‬ ‫‪ṗi‬‬ ‫‪)(30‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪∂t‬‬ ‫‪∂q‬‬ ‫‪∂p‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪i‬‬ ‫אם נציב את משוואות התנועה של המילטון נקבל‪:‬‬ ‫‪df‬‬ ‫‪∂f‬‬ ‫=‬ ‫]‪+ [f, H‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪∂t‬‬ ‫‪)(31‬‬ ‫כאשר הביטוי‪:‬‬ ‫‪)(32‬‬ ‫)‬ ‫‪∂H ∂f‬‬ ‫‪∂H ∂f‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪∂pi ∂qi‬‬ ‫‪∂qi ∂pi‬‬ ‫(∑‬ ‫≡ ]‪[f, H‬‬ ‫‪i‬‬ ‫נקרא סוגר פואסון‪ .‬מכאן ש‪ f -‬הוא קבוע תנועה אם‪:‬‬ ‫‪)(33‬‬ ‫‪∂f‬‬ ‫‪+ [f, H] = 0‬‬ ‫‪∂t‬‬ ‫ואם קבוע התנועה איננו תלוי מפורשות בזמן אזי‪:‬‬ ‫‪)(34‬‬ ‫‪[f, H] = 0‬‬ ‫כלומר עבור קבוע תנועה שאיננו תלוי מפורשות בזמן מתקיים שסוגר פואסון של קבוע התנועה‬ ‫וההמילטוניאן מתאפס‪.‬‬ ‫‪5‬‬ ‫נשים לב שאם ‪ f (q, p) = q‬אזי‬ ‫‪∂H‬‬ ‫‪∂H‬‬ ‫=‬ ‫‪∂pi‬‬ ‫‪∂pi‬‬ ‫‪)(35‬‬ ‫= ]‪q̇i = [qi , H‬‬ ‫וכמו כן‪:‬‬ ‫‪∂H‬‬ ‫‪∂qi‬‬ ‫‪)(36‬‬ ‫‪ṗi = [pi , H] = −‬‬ ‫ניתן להגדיר סוגרי פואסון עבור כל שתי פונקציות‪:‬‬ ‫)‬ ‫‪∑ ( ∂f ∂g‬‬ ‫‪∂f ∂g‬‬ ‫≡ ] ‪[g, f‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪)(37‬‬ ‫‪∂p‬‬ ‫‪∂q‬‬ ‫‪∂q‬‬ ‫‪∂p‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪i‬‬ ‫ניתן לודא שסוגרי פואסון מקיימים את התכונות הבאות‪:‬‬ ‫‪)(38‬‬ ‫‪)(39‬‬ ‫‪)(40‬‬ ‫‪)(41‬‬ ‫‪)(42‬‬ ‫] ‪− [g, f‬‬ ‫‪0‬‬ ‫]‪[f1 , g] + [f2 , g‬‬ ‫‪g1 [f, g2 ] + [f, g1 ] g2‬‬ ‫[‬ ‫[ ]‬ ‫]‬ ‫‪∂f‬‬ ‫‪∂g‬‬ ‫=‬ ‫‪, g + f,‬‬ ‫‪∂t‬‬ ‫‪∂t‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫]‪[f, g‬‬ ‫]‪[f, c‬‬ ‫]‪[f1 + f2 , g‬‬ ‫] ‪[f, g1 g2‬‬ ‫∂‬ ‫]‪[f, g‬‬ ‫‪∂t‬‬ ‫כמו כן מתקיים שאם אחד מהפונקציות ‪ f, g‬הוא התנע או הקואורדינטה‪ ,‬אזי סוגרי פואסון הופכים‬ ‫לנגזרת‪:‬‬ ‫‪)(43‬‬ ‫‪)(44‬‬ ‫‪[qj , f ] = ∂f /∂pj‬‬ ‫‪[pj , f ] = −∂f /∂qj‬‬ ‫ומכאן נובע שאם ‪ f‬הינו הקואורדינטה או התנע‪:‬‬ ‫‪)(45‬‬ ‫‪[qi , qj ] = 0 [pi , pj ] = 0 [qi , pj ] = δij‬‬ ‫עוד זהות של סוגרי פואסון נקראת זהות יעקובי‪:‬‬ ‫‪)(46‬‬ ‫‪5.5.1‬‬ ‫‪[f, [g, h]] + [g, [h, f ]] + [h, [f, g]] = 0‬‬ ‫דוגמה לשימוש בסוגרי פואסון‬ ‫חלקיק שנע בפוטנציאל מרכזי‪:‬‬ ‫‪)(47‬‬ ‫‪p2‬‬ ‫)‪+ V (r‬‬ ‫‪2m‬‬ ‫‪6‬‬ ‫=‪H‬‬ ‫נראה ש‪-‬‬ ‫‪∂H‬‬ ‫‪∂H‬‬ ‫‪∂H‬‬ ‫‪∂H‬‬ ‫‪− py‬‬ ‫‪−y‬‬ ‫‪+z‬‬ ‫‪∂py‬‬ ‫‪∂pz‬‬ ‫‪∂z‬‬ ‫‪∂y‬‬ ‫‪py‬‬ ‫‪pz‬‬ ‫‪∂r‬‬ ‫‪∂r‬‬ ‫)‪= pz − py − y V ′ (r) + z V ′ (r‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪∂z‬‬ ‫‪∂y‬‬ ‫‪z ′‬‬ ‫‪y ′‬‬ ‫‪= −y V (r) + z V (r) = 0‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪[Mx , H] = [ypz − zpy , H] = pz‬‬ ‫‪)(48‬‬ ‫באותו האופן יכולנו להראות ש ‪ My‬הוא קבוע תנועה‪ .‬נחשב את סוגרי פואסון‪:‬‬ ‫‪)(49‬‬ ‫] ‪[Mx , My ] = [ypz − zpy , zpx − xpz‬‬ ‫‪= y[pz , z]px + x[z, pz ]py = xpy − ypx = Mz‬‬ ‫מזהות יעקובי נובע‪:‬‬ ‫‪)(50‬‬ ‫‪[Mz , H] = 0‬‬ ‫כלומר אם תנע זויתי נשמר בשני כיוונים הוא נשמר גם בכיוון השלישי‪ .‬באופן כללי ניתן לומר כי‬ ‫אם‬ ‫‪)(51‬‬ ‫‪df‬‬ ‫‪= 0‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪dg‬‬ ‫‪= 0‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫הינם קבועי תנועה‪ ,‬אזי גם ]‪ h = [f, g‬הינו קבוע תנועה )מזהות יעקובי(‪:‬‬ ‫‪)(52‬‬ ‫]‪[h, H] = [[f, g], H‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪5.6‬‬ ‫טרנספורמציות קנוניות‬ ‫הפורמליזם ההמילטוני לרוב איננו מפשט את הקושי של פתרון הבעיות‪ .‬למעשה לרוב‪ ,‬הדרך‬ ‫לפתור את משוואות המילטון היא להעלים את משתנה התנע ולהציב במשוואת התנועה עבור‬ ‫הקואורדינטה כלומר לחזור למשוואות התנועה מסדר שני המתקבלות מהפורמליזם הלגראנג’י‪.‬‬ ‫היתרון של הפורמליזם ההמילטוני איננו ככלי חישובי‪ ,‬אלא בתרומה שלו להבנת המבנה של‬ ‫המכניקה‪ .‬הסימטריה בין הקואורדינטות והתנע בטיפול ההמילטוני מראה כי יש חופש מסויים‬ ‫בבחירת ה”קואורדינטות”‪ ,‬מה שנותן לנו דרך יותר מופשטת להציג את התוכן של הבעיות המכניות‪.‬‬ ‫ראינו שבפורמליזם לגראנג’ ניתן לעבור לקואורדינטות מוכללות‪:‬‬ ‫‪)(1‬‬ ‫)‪Qk = Qk (q, t‬‬ ‫אלה ‪ s‬טרנספורמציות עבור ‪ s‬משתנים בלתי תלויים‪ .‬אין שום הגבלה על בחירת הקואורדינטות‬ ‫המוכללות ובלבד שהן מתארות באופן יחיד את מיקום המערכת‪ .‬הצורה הפורמלית של משוואות‬ ‫לגראנג’ איננה תלויה בבחירה ובמובן זה‪ ,‬המשוואות הן אינוריאנטיות לטרנספורמציה‪ .‬מכאן‬ ‫גם נובע שמשוואות המילטון יהיו אינוריאנטיות לטרנספורמציה‪ .‬אבל בפורמליזם המילטון קיימים‬ ‫למעשה ‪ 2s‬משתנים בלתי תלויים ‪ pk , qk‬ומכאן שניתן להגדיר טרנספורמציות כלליות יותר מהצורה‪:‬‬ ‫‪)(2‬‬ ‫)‪Qk = Qk (p, q, t‬‬ ‫)‪Pk = Pk (p, q, t‬‬ ‫טרנספורמציות קנוניות הן טרנספורמציות שמשמרות את משוואות התנועה‪:‬‬ ‫‪)(3‬‬ ‫‪Q̇k = ∂H ′ /∂Pk‬‬ ‫‪Ṗk = −∂H ′ /∂Qk‬‬ ‫על מנת לקבל את התנאי על טרנספורמציות קנוניות‪ ,‬ראשית נשים לב שניתן לקבל את משוואות‬ ‫המילטון כתוצאה מהכללה של עקרון הוריאציה של הפעולה והדרישה שהפעולה מקבלת ערך‬ ‫קיצון לאורך מסלול התנועה‪:‬‬ ‫∑ ∫‬ ‫( ‪δ‬‬ ‫‪pi q̇i − H(q, p, t))dt = 0.‬‬ ‫‪)(4‬‬ ‫‪i‬‬ ‫על מנת לבדוק את נכונות האמירה הזו‪ ,‬נסמן )‪pi q̇i −H(q, p, t‬‬ ‫ב‪ qi -‬תגרור משוואות אוילר לגראנג’ עבור ‪:Λ‬‬ ‫‪)(5‬‬ ‫∑‬ ‫‪i‬‬ ‫= )‪ Λ(q, q̇, p‬כאשר ואריאציה‬ ‫‪d ∂Λ ∂Λ‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪=0‬‬ ‫‪dt ∂ q̇i ∂qi‬‬ ‫ואילו וריאציה ב‪ pi -‬תיתן‪:‬‬ ‫‪)(6‬‬ ‫‪∂Λ‬‬ ‫‪=0‬‬ ‫‪∂pi‬‬ ‫כיוון שההמילטוניאן איננו תלוי ב‪ q̇ -‬הראשונה מבין שתי המשוואות הללו תיתן‪:‬‬ ‫‪)(7‬‬ ‫‪∂H‬‬ ‫‪dpi‬‬ ‫‪=−‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪∂qi‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ואילו השנייה‪:‬‬ ‫‪∂H‬‬ ‫‪=0‬‬ ‫‪∂pi‬‬ ‫‪)(8‬‬ ‫‪q̇i −‬‬ ‫כלומר אם ‪ p‬ו‪ q-‬הם משתנים קנונים‪ ,‬אזי הם צריכים לקיים את עקרון הפעולה המינימלית המוכלל‪:‬‬ ‫∑ ∫‬ ‫( ‪δ‬‬ ‫‪pi q̇i − H(q, p, t))dt = 0.‬‬ ‫‪)(9‬‬ ‫‪i‬‬ ‫באופן דומה שעל מנת שהמשתנים החדשים ‪ P, Q‬יקיימו את משוואות המילטון‪ ,‬נדרוש את‬ ‫עקרון הפעולה המינימלית עבור המשתנים החדשים‪:‬‬ ‫∑ ∫‬ ‫‪Pi Q̇i − H ′ )dt = 0.‬‬ ‫‪)(10‬‬ ‫( ‪δ‬‬ ‫‪i‬‬ ‫הדרישה ששתי המשוואות הללו יתקיימו בו זמנית איננה מחייבת בהכרח שיוון של האינטגרנדים‪.‬‬ ‫נשים לב שאם נדרוש‪:‬‬ ‫)‪dF (q, Q, t‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪)(11‬‬ ‫‪Λ(q, q̇, p, t) = Λ′ (Q, Q̇, P, t) +‬‬ ‫אזי‪:‬‬ ‫‪Λ′ = δ [F (t2 ) − F (t1 )] = 0‬‬ ‫‪)(12‬‬ ‫∫‬ ‫∫‬ ‫‪Λ−δ‬‬ ‫‪δ‬‬ ‫כיוון שהוריאציה בנקודות הקצה מתאפסת‪ .‬טרנספורמציות המקיימות את התנאי הזה נקראות‬ ‫טרנספורמציות קנוניות‪ .‬כל טרנספורמציה כזו מתאפיינת ע”י ‪ F‬שנקראת הפונקציה היוצרת של‬ ‫הטרנספורמציה‪ .‬ניתן לכתוב את הפונקציה ‪ F‬כ‪-‬‬ ‫‪dF = Λ(q, q̇, p, t)dt − Λ′ (Q, Q̇, P, t)dt‬‬ ‫∑‬ ‫∑‬ ‫=‬ ‫‪pi dqi − Hdt −‬‬ ‫‪Pi dQi + H ′ dt‬‬ ‫‪)(13‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪i‬‬ ‫ומכאן ש‪:‬‬ ‫‪∂F‬‬ ‫‪∂t‬‬ ‫‪)(14‬‬ ‫‪∂F /∂qi = pi ∂F /∂Qi = −Pi H ′ = H +‬‬ ‫נשים לב שהפונקציה היוצרת במקרה זה הוגדרה כתלויה במשתנים ‪ .q, Q, t‬אם נרצה להגדיר‬ ‫פונקציה יוצרת מהצורה )‪ Φ(q, P, t‬נבצע טרנספורמצית לגנדר‪:‬‬ ‫∑ )‬ ‫(‬ ‫∑‬ ‫∑‬ ‫‪pi dqi − Hdt +‬‬ ‫‪Qi dPi + H ′ dt‬‬ ‫‪)(15‬‬ ‫‪d F+‬‬ ‫= ‪Pi Qi‬‬ ‫‪i‬‬ ‫כאשר נסמן ‪Pi Qi‬‬ ‫‪)(16‬‬ ‫∑‬ ‫‪i‬‬ ‫‪ Φ(q, P, t) = F +‬ומתקיים‪:‬‬ ‫‪∂Φ‬‬ ‫‪∂t‬‬ ‫‪∂Φ/∂qi = pi ∂Φ/∂Pi = Qi H ′ = H +‬‬ ‫תכונות של טרנספורמציות קנוניות‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 1.‬שומרות על משוואות התנועה‪:‬‬ ‫‪Q̇k = ∂H ′ /∂Pk‬‬ ‫‪Ṗk = −∂H ′ /∂Qk‬‬ ‫‪)(17‬‬ ‫‪ 2.‬שומרות על סוגרי פואסון‪:‬‬ ‫‪)(18‬‬ ‫‪[f, g]p,q = [f, g]P,Q‬‬ ‫‪ 3.‬שומרות על סוגרי פואסון בין הקואורדינטות‪:‬‬ ‫‪[Qi , Qj ] = 0‬‬ ‫‪[Pi , Pj ] = 0‬‬ ‫‪[Qi , Pj ] = δij‬‬ ‫‪)(19‬‬ ‫‪5.6.1‬‬ ‫דוגמה לטרנספורמציה קנונית‬ ‫כדוגמה לטרנספורמציה קנונית נחשוב על פונקציה יוצרת מהצורה‪:‬‬ ‫∑‬ ‫‪qk Qk‬‬ ‫‪)(20‬‬ ‫= )‪F (q, Q, t‬‬ ‫‪k‬‬ ‫אזי משוואות הטרנספורמציה הינן‪:‬‬ ‫‪∂F‬‬ ‫‪= Qi‬‬ ‫‪∂qi‬‬ ‫‪∂F‬‬ ‫‪= −‬‬ ‫‪= −qi‬‬ ‫‪∂Qi‬‬ ‫‪)(21‬‬ ‫= ‪pi‬‬ ‫‪)(22‬‬ ‫‪Pi‬‬ ‫כלומר זוהי טרנספורמציה שמחליפה את התנע והקואורדינטה‪ .‬הדוגמה הזו ממחישה את העובדה‬ ‫שהתנע והקואורדינטה בלתי תלויות‪ .‬ההבחנה בין השניים היא עניין סמנטי‪ .‬דוגמה נוספת היא‬ ‫עבור אוסילטור חד ממדי‪:‬‬ ‫‪)(23‬‬ ‫)‬ ‫‪p2‬‬ ‫‪kq 2‬‬ ‫‪1 ( 2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫=‬ ‫‪p + m2 ω 2 q 2‬‬ ‫‪2m‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2m‬‬ ‫=‪H‬‬ ‫בצורה זו ההמילטוניאן הוא סכום של שני ריבועים‪ .‬מכאן שאם נוכל למצוא טרנספורמציה קנונית‬ ‫מהצורה‪:‬‬ ‫‪)(24‬‬ ‫‪p = f (P ) cos Q‬‬ ‫) ‪f (P‬‬ ‫‪sin Q‬‬ ‫= ‪q‬‬ ‫‪mω‬‬ ‫אזי ההמילטוניאן במונחי הקואורדינטות החדשות יהיה‪:‬‬ ‫‪)(25‬‬ ‫‪f (P )2‬‬ ‫‪2m‬‬ ‫‪3‬‬ ‫= ‪H′‬‬ ‫כך שהקואורדינטה ‪ Q‬היא ציקלית‪ .‬נותר לנו למצוא את ) ‪ .f (P‬נשים לב שטרנספורמציה ציקלית‬ ‫משמרת את סוגרי פואסון‪:‬‬ ‫)‬ ‫‪∂p ∂q‬‬ ‫‪∂p ∂q‬‬ ‫‪f ′ (P )f (P ) ( 2‬‬ ‫‪−‬‬ ‫=‬ ‫‪cos Q + sin2 Q‬‬ ‫‪∂P ∂Q ∂Q ∂P‬‬ ‫‪mω‬‬ ‫= ‪1 = [q, p]Q,P‬‬ ‫) ‪f ′ (P )f (P‬‬ ‫‪mω‬‬ ‫‪)(26‬‬ ‫=‬ ‫כלומר‬ ‫‪f df = mωdP‬‬ ‫‪f2‬‬ ‫‪= mωP‬‬ ‫‪2‬‬ ‫√‬ ‫‪2mωP‬‬ ‫= ) ‪f (P‬‬ ‫‪)(27‬‬ ‫מכאן שהטרנספורמציה הינה‪:‬‬ ‫√‬ ‫‪2mωP cos Q‬‬ ‫√‬ ‫‪2P‬‬ ‫= ‪q‬‬ ‫‪sin Q‬‬ ‫‪mω‬‬ ‫‪)(28‬‬ ‫= ‪p‬‬ ‫ובמונחים אלו‪ ,‬ההמילטוניאן הינו‪:‬‬ ‫‪H ′ = ωP‬‬ ‫‪)(29‬‬ ‫משוואת התנועה עבור ‪ Q‬היא אם כן‪:‬‬ ‫‪)(30‬‬ ‫‪Q̇ = ∂H ′ /∂P = ω‬‬ ‫ופתרונה‪ .Q = ωt + ϕ :‬כמו כן כיוון ש ‪ Q‬הינה קואורדינטה ציקלית‪ ,‬אזי ‪ P‬הוא קבוע תנועה‪.‬‬ ‫כמו כן מהמשוואה עבור ההמילטוניאן נובע‪:‬‬ ‫‪)(31‬‬ ‫‪P = E/ω‬‬ ‫אם נציב במשתנים המקוריים נמצא‪:‬‬ ‫√‬ ‫= ‪p‬‬ ‫)‪2mE cos(ωt + ϕ‬‬ ‫√‬ ‫‪2E‬‬ ‫= ‪q‬‬ ‫)‪sin(ωt + ϕ‬‬ ‫‪)(32‬‬ ‫‪mω 2‬‬ ‫‪5.6.2‬‬ ‫‪Noether’s Theorem Revisited‬‬ ‫בפורמליזם הלגראנג׳י ראינו קשר בין סימטריות לחוקי שימור‪ .‬איך הקשר הזה עובד בפורמליזם‬ ‫ההמילטוני? ניקח טרנספורמציה קנונית אינפיניטסימלית שנוצרת ע״י הפונקציה היוצרת ‪.G‬‬ ‫טרנספורמציה קנונית אינפיניטסימלית מקיימת‪:‬‬ ‫‪)(33‬‬ ‫‪)(34‬‬ ‫)‪Qi = qi + αFi (q, p, t‬‬ ‫)‪Pi = pi + αEi (q, p, t‬‬ ‫‪4‬‬ ‫וכדי שזו תהיה קנונית חייב להתקיים‪:‬‬ ‫‪∂Qi ∂Pj‬‬ ‫‪∂Qi ∂Pj‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪∂q ∂p‬‬ ‫‪∂pk ∂qk‬‬ ‫‪(k k‬‬ ‫()‬ ‫)‬ ‫‪∂Fi‬‬ ‫‪∂Ej‬‬ ‫=‬ ‫‪δik + α‬‬ ‫‪δjk + α‬‬ ‫) ‪+ O(α2‬‬ ‫‪∂qk‬‬ ‫‪∂p k‬‬ ‫‪= δij‬‬ ‫= ‪[Qi , Pj ]q,p‬‬ ‫‪)(35‬‬ ‫ומכאן‪:‬‬ ‫‪∂Ei‬‬ ‫‪∂Fi‬‬ ‫‪=−‬‬ ‫‪∂qk‬‬ ‫‪∂p k‬‬ ‫‪)(36‬‬ ‫שמתקיים עבור‪:‬‬ ‫‪∂G‬‬ ‫‪∂pi‬‬ ‫‪∂G‬‬ ‫‪= −‬‬ ‫‪∂qi‬‬ ‫‪)(37‬‬ ‫= ‪Fi‬‬ ‫‪)(38‬‬ ‫‪Ei‬‬ ‫כאשר ‪ G‬היא יוצרת הטרנספורמציה‪ .‬אזי השינוי בהמילטוניאן כתוצאה מהטרנספורמציה הינו‪:‬‬ ‫‪)(39‬‬ ‫‪)(40‬‬ ‫‪∂H‬‬ ‫‪∂H‬‬ ‫‪δqi +‬‬ ‫‪δpi‬‬ ‫‪∂qi‬‬ ‫‪∂pi‬‬ ‫‪∂H ∂G‬‬ ‫‪∂H ∂G‬‬ ‫‪= α‬‬ ‫‪−α‬‬ ‫]‪= α[H, G‬‬ ‫‪∂qi ∂pi‬‬ ‫‪∂pi ∂qi‬‬ ‫= ‪δH‬‬ ‫אזי ‪ G‬נקראת יוצרת של סימטריה אם השינוי בהמילטוניאן מתאפס‪ .δH = 0 :‬כלומר = ]‪[H, G‬‬ ‫‪ ,0‬אבל מכאן נובע גם‪:‬‬ ‫‪)(41‬‬ ‫‪Ġ = [G, H] = 0‬‬ ‫כלומר ‪ G-‬נשמר‪ .‬כלומר אם יש לנו גודל שנשמר‪ ,‬נוכל ליצר ממנו טרנספורמציה קנונית שהיא‬ ‫סימטריה‪.‬‬ ‫‪5.7‬‬ ‫משפט ‪Liouville‬‬ ‫לעיתים על מנת לקבל תמונה גאומטרית של הבעיה המכנית נשתמש במרחב הפאזות‪ .‬זהו‬ ‫מרחב ‪ 2s‬ממדי שהקואורדינטות שלו הם ‪ s‬הקואורדינטות ו‪ s-‬התנעים של המערכת‪ .‬לכן כל‬ ‫נקודה במרחב הפאזות מייצגת מצב נתון של המערכת‪ .‬כאשר המערכת נעה‪ ,‬הנקודה שמתארת‬ ‫את מצב המערכת מסרטטת קו )‪ (curve‬שנקרא שביל הפאזה‪ .‬בהצגה גאומטרית זו‪ ,‬מכפלת‬ ‫הדיפרנציאלים ‪ dV = dq1 dq2 ....dp1 ...dps‬מיצגת אלמנט נפח במרחב הפאזות‪ .‬האינטגרל על‬ ‫הנפח באיזור נתון של מרחב הפאזות אינטריאנטי לטרנספורמציות קנוניות‪:‬‬ ‫∫‬ ‫∫‬ ‫∫‬ ‫∫‬ ‫‪... dq1 ...dqs dp1 ...dps = ... dQ1 ...dQs dP1 ...dPs‬‬ ‫‪)(42‬‬ ‫‪5‬‬ ‫כיוון שהטרנספורמציה של משתני אינטגרציה ניתנת ע”י היעקוביאן‪ ,‬נובע כי היעקוביאן של טרנספורמציות‬ ‫קנוניות הינו ‪ .J = 1‬על מנת להוכיח את הטענה נסתכל על היעקוביאן‪:‬‬ ‫‪)(43‬‬ ‫‪J = ∂Q1 ...∂Qs ∂P1 ...∂Ps /∂q1 ...∂qs ∂p1 ...∂ps‬‬ ‫‪∂Q1 ...∂Qs ∂P1 ...∂Ps ∂q1 ...∂qs ∂p1 ...∂ps‬‬ ‫=‬ ‫‪/‬‬ ‫‪∂q1 ...∂qs ∂P1 ...∂Ps ∂q1 ...∂qs ∂P1 ...∂Ps‬‬ ‫תכונה של היעקוביאן היא כאשר אותם משתנים חוזרים על עצמם במונה ובמכנה ניתן לכתוב את‬ ‫היעקוביאן כפונקציה שתלויה בפחות משתנים‪ ,‬כאשר המשתנים שחוזרים על עצמם הם קבועים‬ ‫תחת הנגזרת‪:‬‬ ‫‪∂Q1 ...∂Qs ∂P1 ...∂Ps ∂q1 ...∂qs ∂p1 ...∂ps‬‬ ‫‪/‬‬ ‫= ‪J‬‬ ‫‪∂q1 ...∂qs ∂P1 ...∂Ps ∂q1 ...∂qs ∂P1 ...∂Ps‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫‪∂Q1 ...∂Qs‬‬ ‫‪∂p1 ...∂ps‬‬ ‫=‬ ‫‪/‬‬ ‫‪)(44‬‬ ‫‪∂q1 ...∂qs P =const‬‬ ‫‪∂P1 ...∂Ps q=const‬‬ ‫כעת אם נשתמש בהגדרה של הפונקציה היוצרת של הטרנספורמציה הקנונית ) ‪:Φ(q, P‬‬ ‫‪)(45‬‬ ‫‪)(46‬‬ ‫‪pi = ∂Φ/∂qi‬‬ ‫‪Qi = ∂Φ/∂Pi‬‬ ‫אזי‪:‬‬ ‫‪)(47‬‬ ‫‪)(48‬‬ ‫‪∂Qi /∂qj = ∂ 2 Φ/∂Pi ∂qj‬‬ ‫‪∂pi /∂Pj = ∂ 2 Φ/∂qi ∂Pj‬‬ ‫כלומר המונה שהוא בהגדרתו דטרמיננטה של המטריצה שאיבריה הם‪:‬‬ ‫‪)(49‬‬ ‫‪Nij = ∂ 2 Φ/∂Pi ∂qj‬‬ ‫ואילו המכנה הוא דטרמיננטה של מטריצה‪:‬‬ ‫‪)(50‬‬ ‫‪Dij = ∂ 2 Φ/∂qi ∂Pj = NijT‬‬ ‫כיוון שהדטרמיננטה אינה משתנה תחת פעולה ה‪ ,Transpose-‬קיבלנו שהיעקוביאן הוא היחידה‪.‬‬ ‫כלומר התוצאה של החישוב שלנו אומרת שהנפח במרחב הפאזות נשמר תחת טרנספורמציה‬ ‫קנונית‪.‬‬ ‫כמו כן האבולוציה בזמן היא טרנספורמציה קנונית‪ .‬אם נקח נפח במרחב הפאזות שמתפתח‬ ‫בזמן‪ ,‬למרות שהצורה הגיאומטרית במרחב הפאזות עשוי להשתנות עם ההתפתחות בזמן‪,‬‬ ‫משפט ליוביל טוען שהנפח ישאר קבוע‪.‬‬ ‫על מנת להוכיח את המשפט ניקח נפח אינפיניטסימלי במרחב הפאזות שנע בזמן אינפיניטסימלי‪.‬‬ ‫בנקודת ההתחלה הנפח הוא סביב הנקודה ) ‪: (qi , pi‬‬ ‫‪)(51‬‬ ‫‪dV = dq1 ...dqn dp1 ...dpn‬‬ ‫לאחר זמן ‪dt‬‬ ‫‪)(52‬‬ ‫‪)(53‬‬ ‫‪∂H‬‬ ‫‪dt ≡ q̃i‬‬ ‫‪∂pi‬‬ ‫‪∂H‬‬ ‫‪pi → pi + ṗi dt = pi −‬‬ ‫‪dt ≡ p̃i‬‬ ‫‪∂qi‬‬ ‫‪qi → qi + q̇i dt = qi +‬‬ ‫‪6‬‬ ‫כך שהנפח במרחב הפאזות לאחר זמן ‪ dt‬הינו‪:‬‬ ‫‪)(54‬‬ ‫‪dṼ = dq̃1 ...dq̃n dp̃...dp̃n = (det J ) V‬‬ ‫כאשר ‪ J‬הוא היעקוביאן של הטרנספורמציה‪:‬‬ ‫)‬ ‫‪∂ q̃i /∂pj‬‬ ‫‪)(55‬‬ ‫‪∂ p̃i /∂pj‬‬ ‫‪∂ q̃i /∂qj‬‬ ‫‪∂ p̃i /∂qj‬‬ ‫(‬ ‫= ‪J‬‬ ‫כעת נראה שעבור זמנים קצרים ‪ dt‬הדטרמיננטה היא ‪:1‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫‪δij + (∂ 2 H/∂pi ∂qj ) dt‬‬ ‫‪(∂ 2 H/∂pi ∂pj ) dt‬‬ ‫‪det J = det‬‬ ‫‪)(56‬‬ ‫‪(∂ 2 H/∂qi ∂qj ) dt‬‬ ‫‪δij − (∂ 2 H/∂pj ∂qi ) dt‬‬ ‫על מנת לחשב את הדטרמיננטה נשתמש בקירוב‪ det(1 + ϵM ) = 1 + ϵTrM + O(ϵ2 ) :‬שנכון‬ ‫עבור כל מטריצה ‪ M‬ו ‪ .ϵ → 0‬מכאן‪:‬‬ ‫)‬ ‫‪∑ ( ∂ 2H‬‬ ‫‪∂ 2H‬‬ ‫‪det J = 1 +‬‬ ‫‪−‬‬ ‫) ‪dt + O(dt2 ) = 1 + O(dt2‬‬ ‫‪)(57‬‬ ‫‪∂p‬‬ ‫‪∂q‬‬ ‫‪∂q‬‬ ‫‪∂p‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪i‬‬ ‫מה שמוכיח את הטענה‪ .‬דרך אחרת להראות את הטענה היא לשים לב שאבולוציה בזמן הינה‬ ‫טרנספורמציה קנונית‪ :‬אם )‪ qi (t), pi (t‬הם התנע והקוארדינטה בזמן ‪ t‬אזי בזמן ‪ t+τ‬הם פונקציות‬ ‫של הערך בזמן ‪:t‬‬ ‫‪)(58‬‬ ‫‪)(59‬‬ ‫) ‪qt+τ = q(qt , pt , t, τ‬‬ ‫) ‪pt+τ = q(qt , pt , t, τ‬‬ ‫אם נתיחס למשוואות הללו כטרנספורמציה מהמשתנים )‪ q(t), p(t‬למשתנים החדשים ) ‪,q(t + τ‬‬ ‫) ‪ p(t + τ‬אזי הדיפרנציאל של הפעולה לאורך המסלול שעובר בנקודות )‪ q(t‬בזמן ‪ t‬ו‪q(t + τ )-‬‬ ‫בזמן ‪ t + τ‬הוא‪:‬‬ ‫∑‬ ‫= ‪dS‬‬ ‫‪pt+τ dqt+τ − pt dqt − (Ht+τ − Ht ) dt‬‬ ‫‪)(60‬‬ ‫אשר מקיים את המשוואה לטרנספורמציה קנונית‪ )(13 :‬כאשר פונקציה היוצרת היא ‪ .−S‬מכאן‬ ‫שהיעקוביאן של האבולוציה בזמן הוא ‪ 1‬ולמרות שכל נקודה במרחב הפאזות נעה בזמן כתוצאה‬ ‫ממשוואות התנועה‪ ,‬הנפח של איזור שנע בזמן נשמר‪.‬‬ ‫∫‬ ‫‪dV = constant‬‬ ‫‪)(61‬‬ ‫מה המשמעות של נפח במרחב הפאזה? נחשוב על אנסמבל של מערכות מכניות המתוארות‬ ‫ע”י פונקצית צפיפות במרחב הפאזות )‪ .ρ(q, p, t‬האנסמבל יכול לתאר‪:‬‬ ‫‪ 1.‬מקרה שבו לא ידוע מצב המערכת במדויק‪ .‬במקרה זה פונקצית הצפיפות במרחב הפאזות‬ ‫תהיה דרך לכמת את מידת חוסר הידע על המערכת ‪ -‬מעין טווח השגיאה‪ .‬ואז מתקיים‪:‬‬ ‫∫‬ ‫∏‬ ‫)‪ρ(q, p, t‬‬ ‫‪dqi dpi = 1‬‬ ‫‪)(62‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪ 2.‬במערכת שבה מספר רב של חלקיקים זהים כאשר אנחנו רוצים לדעת התנהגות ממוצעת‪.‬‬ ‫אז פונקצית הצפיפות מקיימת‪:‬‬ ‫∫‬ ‫∏‬ ‫)‪ρ(q, p, t‬‬ ‫‪dqi dpi = N‬‬ ‫‪)(63‬‬ ‫‪i‬‬ ‫במקרה זה כיוון שחלקיקים אינם נעלמים או נוצרים מעצמם‪ ,‬אזי מספר החלקיקים בנפח‬ ‫במרחב הפאזה הוא קבוע בזמן‪ .‬כיוון שממשפט ליוביל הנפח נשאר קבוע גם כן נובע‬ ‫שהצפיפות קבועה בזמן ‪ dρ/dt = 0‬ומכאן‪:‬‬ ‫‪∂ρ‬‬ ‫‪+ [ρ, H] = 0.‬‬ ‫‪∂t‬‬ ‫‪)(64‬‬ ‫הערה אחרונה היא על הקשר בין משפט ליוביל למכניקת קוונטים‪ .‬משפט ליוביל קובע‬ ‫שאם יש לנו מערכת של חלקיקים שמפוזרים באופן שרירותי במרובע ‪ ∆q∆p‬במרחב‬ ‫הפאזות‪ ,‬אזי אם נרצה לצמצם את הפיזור במיקום החלקיקים הדבר ידרוש הגדלת הפיזור‬ ‫בתנע‪ .‬התכונה הזו מזכירה את עקרון אי הוודאות של איזנברג שקובע שהגודל ‪∆q∆p‬‬ ‫הוא קבוע‪ .‬למרות הדמיון יש הבדל עמוק בין שני הדברים‪ .‬בעוד שההתפלגות במקרה‬ ‫הקלאסי משקפת את חוסר הידע שלנו‪ ,‬במקרה הקוונטי מדובר באי ודאות פנימית‪ .‬כלומר‬ ‫במקרה הקלאסי ניתן לעקוף את תיאורית ליוביל אם נשים לב שמערכת קלאסית מתוארת‬ ‫למעשה ע”י אוסף של נקודות במרחב הפאזה ולא התפלגות רציפה כפי שהנחנו למעלה‪.‬‬ ‫במצב כזה ניתן תמיד לקרב את הנקודת ע”י דחיקת המרוחים ביניהן‪.‬‬ ‫‪5.8‬‬ ‫המילטון יעקובי‬ ‫בפרק שעבר למדנו על החשיבות של טרנספורמציות קנוניות‪ .‬בפרט ראינו שניתן להחליף בין‬ ‫קואורדינטות לתנע וכי ההבחנה בין השניים היא עניין של קונבנציה בלבד‪ .‬כעת נברר האם‬ ‫יש טרנספורמציה קנונית מועדפת במובן שהטרנספורמציה הזו מייצרת את משוואות התנועה‬ ‫הפשוטות ביותר‪ .‬ראינו שהצורה הכללית של טרנספורמציות קנוניות היא‪:‬‬ ‫‪)(65‬‬ ‫‪∂F‬‬ ‫‪∂t‬‬ ‫‪H̃(Q, P ) = H(q, p) +‬‬ ‫כאשר‪:‬‬ ‫‪∂F /∂qi = pi , ∂F /∂pi = 0‬‬ ‫‪∂F /∂Qi = −Pi , ∂F /∂Pi = 0‬‬ ‫כעת נדרוש שההמילטוניאן החדש הינו הפשוט ביותר כלומר ‪ .H̃(Q, P ) = 0‬מכאן שהפונקציה‬ ‫היוצרת מקיימת‪:‬‬ ‫‪)(66‬‬ ‫‪∂F /∂qi = pi , ∂F /∂t = −H‬‬ ‫הפונקציה היוצרת במקרה זה היא הפעולה ‪.S‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪5.8.1‬‬ ‫הפעולה כפונקציה של הקואורדינטות והזמן‬ ‫הראנו בעבר שהפעולה הינה פונקציונל של המסלול )‪ q(t‬ופונקציה של נקודות ההתחלה והסיום‪:‬‬ ‫} ‪ {qa , ta‬ו‪ ,{qb , tb } -‬רק אחד מכל המסלולים הללו הוא מסלול התנועה‪ .‬כעת נתייחס לפעולה‬ ‫כתכונה של התנועה לאורך המסלול האמיתי‪ ,‬ונשווה ערכים של ‪ S‬עבור מסלולים שמתחילים‬ ‫בנקודת ההתחלה } ‪ {qa , ta‬ומסתיימים בנקודות אחרות בזמן ‪ .t‬כלומר נחשוב על אינטגרל‬ ‫הפעולה עבור המסלול הפיסיקלי כפונקציה של הקואורדינטות בגבול העליון‪:‬‬ ‫‪∫ t‬‬ ‫= )‪S(q, t‬‬ ‫) ‪dt′ L(q, q̇, t′‬‬ ‫‪)(67‬‬ ‫‪ta‬‬ ‫כאן המסלול )‪ q(t‬מתחיל בנקודת ההתחלה } ‪ {qa , ta‬ומסתיים בנקודה }‪ .{q, t‬כמו כן המסלול‬ ‫מקיים את משוואות לגראנג’‪:‬‬ ‫‪∂L‬‬ ‫‪d ∂L‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪=0‬‬ ‫̇‪∂qi dt ∂ q‬‬ ‫‪)(68‬‬ ‫כעת נחשוב על מסלול )‪ q̃(t‬נוסף שמתחיל ב‪ {qa , ta } -‬ומסתיים ב‪ {q + dq, t + dt} -‬וגם מקיים‬ ‫את משוואות התנועה‪ .‬אזי הדיפרנציאל של ‪ S‬הינו‪:‬‬ ‫‪∫ t+dt‬‬ ‫‪∫ t‬‬ ‫‪′‬‬ ‫‪′‬‬ ‫˙‬ ‫= ])‪dS = S[q̃(t)] − S[q(t‬‬ ‫‪dt L(q̃, q̃, t ) −‬‬ ‫) ‪dt′ L(q, q̇, t′‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪ta‬‬ ‫∑ ‪∫ ta‬‬ ‫[ ‪∑ ∂L‬‬ ‫]‬ ‫‪∂L‬‬ ‫˙‬ ‫‪[q̃i (t′ ) − qi (t′ )] +‬‬ ‫) ‪q̃˙i (t′ ) − q̇i (t′‬‬ ‫‪= L(q̃(t), q̃(t),‬‬ ‫‪t)dt +‬‬ ‫‪dt′‬‬ ‫‪∂qi‬‬ ‫‪∂ q̇i‬‬ ‫‪ta‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪i‬‬ ‫)‬ ‫(∑ ‪∫ t‬‬ ‫‪∑ ∂L‬‬ ‫‪∂L‬‬ ‫‪d ∂L‬‬ ‫˙‬ ‫‪= L(q̃(t), q̃(t),‬‬ ‫‪t)dt +‬‬ ‫‪− ′‬‬ ‫‪[q̃i (t′ ) − qi (t′ )] +‬‬ ‫‪dt′‬‬ ‫])‪[q̃i (t) − qi (t‬‬ ‫‪∂q‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫∂‬ ‫̇‪q‬‬ ‫∂‬ ‫̇‪q‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪ta‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪i‬‬ ‫∑‬ ‫˙‬ ‫‪= L(q̃(t), q̃(t), t)dt +‬‬ ‫])‪pi (t) [q̃i (t) − qi (t‬‬ ‫‪)(69‬‬ ‫‪i‬‬ ‫נשים לב כי‪:‬‬ ‫)‪dqi = q̃i (t + dt) − qi (t‬‬ ‫)‪= q̃i (t + dt) − q̃i (t) + q̃i (t) − qi (t‬‬ ‫)‪= q̇i dt + q̃i (t) − qi (t) + O(δq · dt‬‬ ‫‪)(70‬‬ ‫כך שקיבלנו‪:‬‬ ‫‪pi dqi‬‬ ‫∑‬ ‫‪i‬‬ ‫‪)(71‬‬ ‫]‬ ‫‪pi q̇i dt +‬‬ ‫∑‬ ‫[‬ ‫˙‬ ‫‪L(q̃(t), q̃(t),‬‬ ‫‪t) −‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪pi dqi − Hdt‬‬ ‫∑‬ ‫‪i‬‬ ‫ומכאן‪:‬‬ ‫‪)(72‬‬ ‫‪∂S/∂t = −H , ∂S/∂qi = pi‬‬ ‫‪9‬‬ ‫= ‪dS‬‬ ‫=‬ ‫ומכיוון שהפעולה היא פונקציה של הקואורדינטות והזמן אזי‪:‬‬ ‫∑‬ ‫‪dS‬‬ ‫‪∂S ∑ ∂S‬‬ ‫‪pi q̇i − H = L‬‬ ‫=‬ ‫‪+‬‬ ‫= ‪q̇i‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪∂t‬‬ ‫‪∂q‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪)(73‬‬ ‫מההגדרה של טרנספורמציות קנוניות‪ )(65 ,‬ומהקשר‪ )(72 :‬נובע שהפעולה הינה הפונקציה‬ ‫היוצרת של טרנספורמציה קנונית הפשוטה ביותר שבה ‪ H̃ = 0‬כלומר‪:‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫‪∂S‬‬ ‫‪∂S‬‬ ‫‪∂S‬‬ ‫‪H q1 , ..., qn ,‬‬ ‫‪, ...,‬‬ ‫‪,t +‬‬ ‫‪=0‬‬ ‫‪)(74‬‬ ‫‪∂q1‬‬ ‫‪∂qn‬‬ ‫‪∂t‬‬ ‫זוהי משוואת המילטון יעקובי‪ .‬כיוון ש ‪ H̃ = 0‬אזי משוואות התנועה טרויאליות‪:‬‬ ‫‪)(75‬‬ ‫‪Qi (t) = const. , Pi (t) = const.‬‬ ‫משוואות המילטון יעקובי הינה משוואה דיפרנציאלית חלקית מסדר ראשון ב‪ n + 1 -‬משתנים‪,‬‬ ‫אלה ‪) .q1 ..qn , t‬ברור כי הפתרון של המשוואה לא יתן לנו מידע על התלות של הפעולה בתנעים‬ ‫החדשים ‪ (.P‬הפתרון למשוואה יכיל ‪ n + 1‬קבועי אינטגרציה‪ .‬נבחין כי הפעולה בעצמה איננה‬ ‫מופיעה במשוואת המילטון יעקובי ומכאן שאחד מקבועי האינטגרציה הוא קבוע אדטיבי )אם ‪S‬‬ ‫הינה פתרון אזי גם ‪ S + A‬הוא פתרון(‪ .‬ואולם קבוע אדטיבי כזה איננו משנה את משוואות‬ ‫הטרנספורמציה‪ .‬לכן פתרון מלא של משוואת המילטון יעקובי יהיה מהצורה‪:‬‬ ‫‪)(76‬‬ ‫‪S = S(q1 , ...qn ; α1 , ...αn ; t) + A‬‬ ‫כאשר הפעולה היא פונקציה של ‪ n‬קואורדינטות‪ ,‬הזמן‪ ,‬ו‪ n‬קבועים בלתי תלויים ‪ .α‬ניתן אם כן‬ ‫לבחור את הקבועים הללו להיות התנעים הקבועים החדשים‪:‬‬ ‫‪)(77‬‬ ‫‪Pi = αi‬‬ ‫אם כן משוואות הטרנספורמציה הן‪:‬‬ ‫)‪∂S(q, P, t‬‬ ‫‪∂qi‬‬ ‫)‪∂S(q, P, t‬‬ ‫=‬ ‫‪∂Pi‬‬ ‫‪)(78‬‬ ‫= ‪pi‬‬ ‫‪)(79‬‬ ‫‪Qi‬‬ ‫הטרנספורמציה שמעבירה להמילטוניאן טריואלי היא למעשה מעבר לסט של משתנים קבועים‬ ‫שעשויים להיות תנאי ההתחלה‪ .‬במקרה זה הטרנספורמציה היא בעצמה פתרון משוואות התנועה‪.‬‬ ‫הפתרון של בעית תנועה לפי המילטון יעקובי הוא אם כן‬ ‫‪ 1.‬מההמילטוניאן ‪ -‬לכתוב את משוואת המילטון יעקובי‪:‬‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫‪∂S‬‬ ‫‪∂S‬‬ ‫‪∂S‬‬ ‫‪, ...,‬‬ ‫‪,t +‬‬ ‫‪=0‬‬ ‫‪)(80‬‬ ‫‪H q1 , ..., qn ,‬‬ ‫‪∂q1‬‬ ‫‪∂qn‬‬ ‫‪∂t‬‬ ‫‪ 2.‬למצוא את האינטגרל השלם של המשוואה‪:‬‬ ‫‪)(81‬‬ ‫‪S = S(q1 , ...qn ; α1 , ...αn ; t) + A‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪ 3.‬הדיפרנציאל לפי הקבועים ‪ Pi‬נותן משוואות אלגבריות עבור הקואורדינטות ‪ qi‬במנוחים של‬ ‫‪ 2n‬קבועים ‪.Pi , Qi‬‬ ‫‪ 4.‬את המשוואות עבור התנע ניתן לקבל מהקשר‪:‬‬ ‫‪)(82‬‬ ‫)‪∂S(q, P, t‬‬ ‫‪∂qi‬‬ ‫‪11‬‬ ‫= ‪pi‬‬ ‫‪5.8‬‬ ‫המילטון יעקובי‬ ‫כאשר ההמילטוניאן איננו תלוי מפורשות בזמן‪ ,‬ניתן לכתוב את הפעולה כך‪:‬‬ ‫‪S(q, t) = S0 (q) − Et‬‬ ‫‪)(1‬‬ ‫כאשר )‪ S0 (q‬נקראת ‪.Hamilton’s characteristic function‬‬ ‫אם נציב את הפעולה הזו במשוואת המילטון יעקובי נקבל‪:‬‬ ‫‪∂S0‬‬ ‫‪∂S0‬‬ ‫‪, ...,‬‬ ‫‪)=E‬‬ ‫‪∂q1‬‬ ‫‪∂qn‬‬ ‫‪)(2‬‬ ‫‪5.8.1‬‬ ‫; ‪H(q1 , ...qn‬‬ ‫דוגמה לשימוש במשוואת המילטון יעקובי‬ ‫נדגים את הטכניקה של השימוש בהמילטון יעקובי ע”י פתרון של אוסילטור הרמוני חד ממדי‪:‬‬ ‫‪)(3‬‬ ‫)‬ ‫‪1 ( 2‬‬ ‫‪p + m2 ω 2 q 2‬‬ ‫‪2m‬‬ ‫=‪H‬‬ ‫על מנת לקבל את משוואות המילטון יעקובי נציב ‪ p = ∂S/∂q‬בהמילטוניאן והדרישה שההמילטוניאן‬ ‫החדש מתאפס הינה‪:‬‬ ‫) ([‬ ‫]‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪∂S‬‬ ‫‪∂S‬‬ ‫‪+ m2 ω 2 q 2 +‬‬ ‫‪=0‬‬ ‫‪)(4‬‬ ‫‪2m‬‬ ‫‪∂q‬‬ ‫‪∂t‬‬ ‫כיוון שההמילטוניאן איננו תלוי מפורשות בזמן‪ ,‬נשתמש בצורה ‪ )(1‬ונקבל‪:‬‬ ‫([‬ ‫]‬ ‫‪)2‬‬ ‫‪∂S0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2 2 2‬‬ ‫‪+m ω q =E‬‬ ‫‪)(5‬‬ ‫‪2m‬‬ ‫‪∂q‬‬ ‫כאשר קבוע האינטגרציה בזמן‪ E ,‬הינו האנרגיה של המערכת‪ .‬ניתן לבצע את האינטגרציה על‬ ‫המשוואה שלמעלה כדי לקבל‪:‬‬ ‫∫‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫‪S0 = 2mE dq 1 − mω 2 q 2 /2E‬‬ ‫‪)(6‬‬ ‫כך שהפעולה הינה‪:‬‬ ‫‪)(7‬‬ ‫∫‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫‪S = 2mE dq 1 − mω 2 q 2 /2E − Et‬‬ ‫המשוואה עבור הקואורדינטה החדשה‪:‬‬ ‫‪)(8‬‬ ‫‪dq‬‬ ‫√‬ ‫‪−t‬‬ ‫‪2 2‬‬ ‫‪1 − mω2Eq‬‬ ‫∫‬ ‫‪1‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪2E‬‬ ‫√‬ ‫= ‪Q = ∂S/∂E‬‬ ‫ואינטגרציה שלה נותנת‪:‬‬ ‫‪mω 2‬‬ ‫‪2E‬‬ ‫‪)(9‬‬ ‫√‬ ‫‪1‬‬ ‫‪arcsin q‬‬ ‫‪ω‬‬ ‫=‪t+Q‬‬ ‫ואם נהפוך את הטרנספורמציה נקבל את ‪ q‬כתלות בקבוע ‪:Q‬‬ ‫√‬ ‫‪2E‬‬ ‫=‪q‬‬ ‫)‪sin(ωt + Q‬‬ ‫‪)(10‬‬ ‫‪mω 2‬‬ ‫כמו כן‪:‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫)‪2mE 1 − sin2 (ωt + Q‬‬ ‫‪)(11‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6.1‬‬ ‫√‬ ‫√ ‪∂S‬‬ ‫= ‪= 2mE − m2 ω 2 q 2‬‬ ‫‪∂q‬‬ ‫√‬ ‫=‬ ‫)‪2mE cos(ωt + Q‬‬ ‫= ‪p‬‬ ‫בעית הכח המרכזי‬ ‫תנועה במימד אחד‬ ‫כאשר למערכת יש דרגת חופש אחת אזי התנועה מתרחשת במימד אחד )יתכן שהמערכת נעה‬ ‫בשלושה מימדים אבל קיימים אילוצים על התנועה ‪ -‬לדוגמה תנועה של חרוז על חישוק(‪ .‬ה‪-‬‬ ‫‪ Lagrangian‬של המערכת בקואורדינטות קרטזיות הינו‪:‬‬ ‫‪)(12‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪L = mẋ2 − V (x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫את מסלול התנועה נוכל למצוא ע”י פתרון משוואות התנועה )משואה מסדר שני(‪ ,‬אבל במקרה‬ ‫זה נוכל להשתמש בחוק שימור האנרגיה שנותן‪:‬‬ ‫‪)(13‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪E = mẋ2 + V (x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫כאשר ‪ E‬הוא קבוע‪ .‬את המשוואה הזו‪ ,‬משוואה מסדר ראשון נוכל לפתור ע”י אינטגרציה ישירה‪:‬‬ ‫√‬ ‫‪dx‬‬ ‫√‪2‬‬ ‫=‬ ‫))‪(E − V (x‬‬ ‫‪)(14‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪m‬‬ ‫ומכאן‬ ‫‪)(15‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+ constant‬‬ ‫√ ‪dx‬‬ ‫))‪(E − V (x‬‬ ‫∫‬ ‫‪m‬‬ ‫‪2‬‬ ‫√‬ ‫=‪t‬‬ ‫כמו כן כיוון שהאנרגיה הקינטית חיובית מיסודה‪ ,‬אזי האנרגיה הכוללת תמיד מקיימת ‪E > V‬‬ ‫כלומר התנועה אפשרית רק באיזורים במרחב שבהם מתקיים ‪ .E > V‬מכאן שאם נצייר קווים‬ ‫מאוזנים עבור ערך נתון של האנרגיה ‪ E‬אזי התנועה אפשרית רק באיזורים בהם הפוטנציאל קטן‬ ‫מהקו כלומר רק בין ‪ A‬ל‪ B -‬ומימין ל‪: C-‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪A‬‬ ‫)‪V(x‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪x1‬‬ ‫הנקודות ‪ A, B, C‬אשר בהן )‪ E = V (x‬נקראות ‪ Turning points‬בהן המהירות מתאפסת‪.‬‬ ‫תנועה שחסומה ע”י שתי נקודות כאלו נקראת תנועה חסומה )לדוגמה התנועה בין הנקודות ‪(.AB‬‬ ‫תנועה שחסומה ע”י נקודה אחת כזו או בכלל לא נקראת תנועה שאיננה חסומה‪ ,‬כיוון שהתנועה‬ ‫אינה מוגבלת לנתח סופי במרחב )מימין לנקודה ‪ (.C‬ניתן לראות שתנועה חסומה במימד אחד‬ ‫הינה תנועה מחזורית )מסלול החלקיק הוא ‪ (. x1 → x2 → x1 ..‬ניתן לחשב את זמן המחזור‬ ‫ששווה לפעמים זמן התנועה מהנקודה ‪ x1‬ל ‪:x2‬‬ ‫‪√ ∫ x2‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪T (E) = 2‬‬ ‫‪)(16‬‬ ‫√ ‪dx‬‬ ‫‪2 x1‬‬ ‫))‪(E − V (x‬‬ ‫כאשר ‪ x1‬ו‪ x2 -‬הינם הזמנים שעבורם )‪ E = V (x‬באנרגיה נתונה‪.‬‬ ‫דוגמה‪ :‬זמן המחזור של מטוטלת שהזוית המקסימלית שלה היא ‪ .θ0‬האנרגיה של המטוטלת‬ ‫היא‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪E = ml2 θ̇2 − mgl cos θ = −mgl cos θ0‬‬ ‫‪)(17‬‬ ‫‪2‬‬ ‫כאשר במשראת המקסימלית האנרגיה הקינטית מתאפסת‪ .‬זמן המחזור שווה לארבע פעמים‬ ‫הזמן שנדרש להגיע מ‪ θ = 0-‬ל‪:θ = θ0 -‬‬ ‫√‬ ‫‪∫ θ0‬‬ ‫‪ldθ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫√‬ ‫‪T (E) = 4‬‬ ‫‪2gl 0‬‬ ‫) ‪(cos θ − cos θ0‬‬ ‫∫ √‬ ‫‪l θ0‬‬ ‫‪dθ‬‬ ‫(√‬ ‫‪= 2‬‬ ‫)‬ ‫‪g 0‬‬ ‫‪sin2 θ20 − sin2 2θ‬‬ ‫√‬ ‫‪l‬‬ ‫‪)(18‬‬ ‫‪≈ 2π‬‬ ‫‪g‬‬ ‫כאשר בשורה האחרונה השתמשנו בקירוב של זויות קטנות ‪sin θ < sin θ0 ≈ θ0 ≪ 1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪6.1.1‬‬ ‫בעיות‬ ‫מהי התלות של מחזור האוסילציות באנרגיה כאשר חלקיק בעל מסה ‪ m‬נע תחת השפעת הפוטנציאל‬ ‫‪ .U = A|x|n‬לפי חוק הדמיון המכני זמן המחזור מקיים‪:‬‬ ‫‪( ′ )1−n/2‬‬ ‫‪t′‬‬ ‫‪l‬‬ ‫=‬ ‫‪)(19‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪l‬‬ ‫‪( ′ )1/n‬‬ ‫‪l′‬‬ ‫‪E‬‬ ‫=‬ ‫‪)(20‬‬ ‫‪l‬‬ ‫‪E‬‬ ‫מכאן נובע‪:‬‬ ‫‪T (E) ∝ (E)1/n−1/2‬‬ ‫‪)(21‬‬ ‫ואם נרצה לחשב את האינטגרל‪:‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫√‬ ‫‪E − Axn‬‬ ‫‪)(22‬‬ ‫‪(E/A)1/n‬‬ ‫∫‬ ‫√‬ ‫‪T = 2 2m‬‬ ‫‪0‬‬ ‫נגדיר ‪ y n = Axn /E‬כך ש‪dy = dx(A/E)1/n :‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪)(23‬‬ ‫‪)(24‬‬ ‫‪)(25‬‬ ‫‪6.2‬‬ ‫‪6.2.1‬‬ ‫∫‬ ‫√‬ ‫‪dy(E/A)1/n‬‬ ‫√‬ ‫‪1 − yn‬‬ ‫‪0‬‬ ‫√‬ ‫‪( )1/n ∫ 1‬‬ ‫‪2m E‬‬ ‫‪dy‬‬ ‫√‬ ‫‪= 2‬‬ ‫‪E A‬‬ ‫‪1 − yn‬‬ ‫‪0‬‬ ‫√‬ ‫√ ‪( )1/n‬‬ ‫)‪Γ(1/n‬‬ ‫‪2m E‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪= 2‬‬ ‫‪E A‬‬ ‫)‪n Γ(1/2 + 1/n‬‬ ‫‪2m‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪T = 2‬‬ ‫בעיית שני הגופים‬ ‫מסה מצומצמת‬ ‫‪r‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪r2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪r1‬‬ ‫אחת ההצלחות הגדולות של הפיסיקה הינה תיאור התנועה של שני גופים שעושים אינטרקציה‬ ‫זה עם זה‪ .‬בעיה שמופיעה למשל בתיאור התנועה של כוכבי לכת מסביב לשמש‪ .‬כצעד ראשון‬ ‫לפתרון נראה כי ניתן לפשט את הבעיה אם נבחר את שש דרגות החופש )הקואורדינטות של שני‬ ‫החלקיקים( לתאר את תנועת מרכז המסה ואת התנועה היחסית‪ .‬ה‪ Lagrangian-‬של מערכת‬ ‫של שני גופים שעושים אינטרקציה זה עם זה ניתן ע”י‪:‬‬ ‫‪)(26‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)| ‪L = m1 ṙ21 + m2 ṙ22 − V (|r1 − r2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫כאשר האנרגיה הפוטנצאלית תלויה רק במרחק בין החלקיקים כלומר בגודל הפרש וקטורי הרדיוס‪.‬‬ ‫נגדיר את הקואורדינטה היחסית‪ ,r = r1 − r2 :‬ונבחר את ראשית הצירים במרכז המסה כך‬ ‫שמתקיים‪:‬‬ ‫‪)(27‬‬ ‫‪m1 r 1 + m2 r 2 = 0‬‬ ‫נפתור את שתי המשוואות הללו עבור ‪ r1‬ו‪ r2 -‬ונקבל‪:‬‬ ‫‪m2‬‬ ‫=‬ ‫‪r‬‬ ‫‪m1 + m2‬‬ ‫‪m1‬‬ ‫‪= −‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪)(28‬‬ ‫‪m1 + m2‬‬ ‫‪r1‬‬ ‫‪r2‬‬ ‫כאשר נציב את הביטויים הללו ב‪ )(26 Lagrangian-‬נקבל‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)|‪L = mr2 − V (|r‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪)(29‬‬ ‫כאשר המסה ) ‪ m = m1 m2 /(m1 + m2‬נקראת המסה המצומצמת‪ .‬מכאן שפורמלית בעית שני‬ ‫הגופים זהה לבעיה של חלקיק יחיד שנע בהשפעת שדה מרכזי‪ .‬כאשר מפתרון התנועה של בעית‬ ‫התנועה בשדה מרכזי ‪ r‬נוכל לקבל את פתרון בעית שני הגופים מהמשוואות‪.)(28 :‬‬ ‫‪6.2.2‬‬ ‫תנועה בשדה מרכזי‬ ‫בעית התנועה בשדה מרכזי מתוארת ע”י אנרגיה פוטנצאלית שתלויה רק במרחק מנקודה נתונה‪.‬‬ ‫כמו כן הכוח שפועל על החלקיק תלוי רק במרחק ‪ r‬והינו בכיוון וקטור הרדיוס‪:‬‬ ‫‪)(30‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪F = −∂V /∂r = −∂V /∂r‬‬ ‫מכוון שהפוטנציאל תלוי רק בוקטור הרדיוס‪ ,‬כל סיבוב משאיר את המערכת אינוריאנטית‪ .‬מכאן‬ ‫שהתנע יחסית למרכז הכוח נשמר ‪ .M = r × p‬כיוון ש ‪ M‬ניצב ל‪ r‬ומכיוון ש ‪ M‬הוא קבוע של‬ ‫התנועה הרי שהתנועה של הוקטור ‪ r‬מוגבלת לתנועה על פני מישור שהנורמל שלו מקביל לכיוון‬ ‫של התנע הזויתי‪ .‬נבחר אם כן לתאר את התנועה בעזרת קואורדינטות ספריות‪ ,‬כאשר ציר ‪ z‬הוא‬ ‫בכיוון הוקטור ‪ .M‬תנועה במישור שניצב לתנע הזויתי הינה תנועה שבה הזוית ‪ θ = π/2‬ונוכל‬ ‫לתאר את הבעיה באמצעות קואורדינטות פולריות‪:‬‬ ‫‪)(31‬‬ ‫‪)(32‬‬ ‫‪)(33‬‬ ‫‪x = r sin θ cos ϕ = r cos ϕ‬‬ ‫‪y = r sin θ sin ϕ = r sin ϕ‬‬ ‫‪z = r cos θ = 0.‬‬ ‫‪5‬‬ ‫ה‪ Lagrangian-‬הינו‪:‬‬ ‫‪)(34‬‬ ‫)‬ ‫‪1‬‬ ‫( ‪1‬‬ ‫)‪L = mṙ2 − V (r) = m ṙ2 + r2 ϕ̇2 − V (r‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫הראינו שניתן לעשות רדוקציה של בעיית שני גופים לתנועה בשדה מרכזי‪ .‬כמו כן הראנו כי שימור‬ ‫תנע זויתי מגביל את התנועה למישור הניצב לכיוון התנע הזויתי ועל כן הלגרנגיאן הינו‪:‬‬ ‫‪)(35‬‬ ‫)‬ ‫‪1‬‬ ‫( ‪1‬‬ ‫)‪L = mṙ2 − V (r) = m ṙ2 + r2 ϕ̇2 − V (r‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ניתן לראות כי הקואורדינטה המוכללת ‪ ϕ‬איננה מופיעה ב‪ .Lagrangian-‬ממשאות התנועה‬ ‫נובע ישירות שהתנע המוכלל נשמר‪:‬‬ ‫‪)(36‬‬ ‫‪d dL‬‬ ‫‪= 0 → mr2 ϕ̇ = Mz = constant‬‬ ‫̇‪dt dϕ‬‬ ‫נבחין כי הגודל )‪ df = 12 r(rdϕ‬הינו הגודל המשטח שכלוא בין וקטור הרדיוס בהפרש זמנים‬ ‫‪.dt‬‬ ‫‪r dφ‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪dφ‬‬ ‫מכאן שמשימור התנע הזויתי נובע שימור המהירות הסקטוריאלית ‪( Sectorial velocity or‬‬ ‫)‪:Areal velocity‬‬ ‫‪)(37‬‬ ‫‪Mz = 2mf˙ = constant‬‬ ‫כלומר שימור התנע הזויתי גורר שימור המהירות הסקטוריאלית זהו חוק השטחים השווים )החוק‬ ‫השני של קפלר( וקטור הרדיוס מכסה שטחים שווים במרווחי זמן שווים‪.‬‬ ‫חוק שימור התנע הזויתי מפשט את פתרון הבעיה בכך שהוא מוריד דרגת חופש אחת והופך‬ ‫את תיאור התנועה בשדה מרכזי לפתרון בעיה של חלקיק שנע במימד אחד‪ .‬למעשה עבור תנועה‬ ‫בשדה מרכזי הדרך הפשוטה ביותר לפתור את הבעיה היא באמצעות חוקי השימור ואין צורך‬ ‫להשתמש במשוואות התנועה‪ .‬אם נבטא את ̇‪ ϕ‬במונחי התנע הזויתי‪ ,‬אזי האנרגיה‪:‬‬ ‫)‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 M2‬‬ ‫( ‪1‬‬ ‫)‪+ V (r‬‬ ‫‪)(38‬‬ ‫‪E = m ṙ2 + r2 ϕ̇2 + V (r) = mṙ2 +‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2 mr2‬‬ ‫‪6‬‬ ‫ביטוי זה מראה שהתנועה הרדיאלית מתרחשת במימד אחד עם אנרגיה פוטנציאלית אפקטיבית‪:‬‬ ‫‪1 M2‬‬ ‫)‪+ V (r‬‬ ‫‪2 mr2‬‬ ‫‪)(39‬‬ ‫= ‪Veff‬‬ ‫כאשר האיבר הראשון נקרא האנרגיה הצנטריפוגלית‪ .‬אם נפתור את המשוואה עבור ‪ r‬נקבל‪:‬‬ ‫√ √‬ ‫‪1 M2‬‬ ‫‪dr‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪E−‬‬ ‫)‪− V (r‬‬ ‫‪)(40‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪2 mr2‬‬ ‫ואינטגרל של המשוואה נותן‪:‬‬ ‫‪)(41‬‬ ‫‪dr‬‬ ‫‪+ constant‬‬ ‫√ √‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1 M2‬‬ ‫)‪E − 2 mr2 − V (r‬‬ ‫‪m‬‬ ‫∫‬ ‫=‪t‬‬ ‫היכולת לפתור את האינטגרל בעזרת פונקציות בסיסיות תלויה בבחירה של הפוטנציאל )‪,V (r‬‬ ‫אבל כך או כך משוואה זו נותנת את משוואת המסלול )‪ r(t‬ומכאן שהיא פותרת את הבעיה‪.‬‬ ‫כמו כן אם נשתמש בקשר בין הזוית לזמן שנובע משימור התנע הזויתי ‪ )(36:‬נקבל את משוואת‬ ‫המסלול‪:‬‬ ‫∫‬ ‫‪M dr‬‬ ‫√‬ ‫‪)(42‬‬ ‫=‪ϕ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪r 2m (E − V (r)) − M 2 /r2‬‬ ‫נציין שמשימור התנע הזויתי גם נובע שהזוית משתנה בצורה מונוטונית בזמן כיוון ש ‪ dϕ‬לא משנה‬ ‫סימן‪ .‬פתרון המשוואה עבור ‪ ϕ‬נותן לנו את )‪ r(ϕ‬ומכאן את משוואת המסלול‪ .‬נבחין שעבור‬ ‫המקרה הפשוט שבו ‪ V (r) = 0‬כלומר בהעדר כוח‪ ,‬אזי הפוטנציאל האפקטיבי הוא פוטנציאל‬ ‫דוחה‪ .‬החלקיק מגיע מאינסוף וחוזר לאינסוף כלומר אין מסלולים חסומים‪.‬‬ ‫הרדיוסים שעבורם מתקיים‪:‬‬ ‫‪)(43‬‬ ‫‪1 M2‬‬ ‫)‪+ V (r‬‬ ‫‪2 mr2‬‬ ‫=‪E‬‬ ‫נקראים נקודות המפנה ‪ Turning points‬בנקודות אלו ‪ .ṙ = 0‬ואולם החלקיק אינו נמצא במנוחה‬ ‫בנקודות אלו כיוון שהמהירות הזויתית ̇‪ ϕ‬איננה מתאפסת‪ .‬נקודות המפנה בתנועה בשדה מרכזי‬ ‫הן הנקודות שבהן הרדיוס משנה מגמה כלומר במקום לגדול הוא קטן או במקום לקטון הוא גדל‪.‬‬ ‫בדומה לתנועה במימד אחד‪ ,‬אם וקטור הרדיוס מוגבל רק ע”י נקודת מפנה אחת ‪ r ≥ rmin‬אזי‬ ‫התנועה אינה חסומה‪ .‬החלקיק מגיע מאינסוף וחוזר לאינסוף‪ .‬אם וקטור הרדיוס מוגבל ע”י שתי‬ ‫נקודות מפנה אזי התנועה חסומה‪ .‬אולם בניגוד לתנועה במימד אחד‪ ,‬תנועה חסומה בשדה מרכזי‬ ‫איננה בהכרח תנועה סגורה )מחזורית(‪.‬‬ ‫מסלולים מעגליים הם אלו שעבורם ‪ ṙ = 0‬באופן זהותי‪ .‬מהם אם כן המסלולים שהם כמעט‬ ‫מעגליים? האם הם יוצרים תנועה אליפטית או תנועה מורכבת יותר? במילים אחרות האם בזמן‬ ‫שהחלקיק משלים אוסילציה מלאה בין הרדיוס המינימלי למקסימלי‪ ,‬האם הוא גם משלים סיבוב‬ ‫שלם ב‪?ϕ -‬‬ ‫במהלך הזמן שרדיוס הוקטור נע בין שתי נקודות המפנה הזוית משתנה ב‪-‬‬ ‫‪∫ rmax‬‬ ‫‪M dr‬‬ ‫√‬ ‫‪)(44‬‬ ‫‪∆ϕ = 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2m (E − V (r)) − M 2 /r2‬‬ ‫‪rmin r‬‬ ‫‪7‬‬ ‫הדרישה למסלול סגור זהה לדרישה שהפרש הזוויות הנו פונקציה רציונלית של ‪ ,2π‬כלומר = ‪∆ϕ‬‬ ‫‪ ,2πp/q‬עבור ‪ p, q‬שלמים‪ .‬כך שאחרי ‪ q‬מחזורים‪ ,‬וקטור הרדיוס ישלים ‪ p‬סיבובים שלמים‪.‬‬ ‫המקרים הללו נדירים ובדר”כ התנועה חסומה אבל לא סגורה ראה איור‪.‬‬ ‫ישנם שני סוגי שדות מרכזיים שבהם המסלולים הסופיים הם גם סגורים ואלו המקרים בהם‬ ‫האנרגיה הפוטנציאלית מקבלת את הצורה‪ 1/r :‬או ‪ .r2‬בנקודות המפנה‪ ,‬השינוי בוקטור הרדיוס‬ ‫ומכאן השורש ב‪ )(40 -‬ו‪ )(42 -‬משנה סימן‪ .‬אם מודדים את ‪ ϕ‬מהרדיוס וקטור עד לנקודת המפנה‪,‬‬ ‫אזי המסלול של החלקיק מורכב מסגמנט בין ה‪ rmin -‬ל‪ rmax -‬ואחכ העתקתו של אותו המסלול‬ ‫עבור הזויות השליליות‪) .‬אותו הדבר נכון לגבי מסלולים שאינם חסומים(‪.‬‬ ‫האנרגיה הצנטרפוגית שמתבדרת כאשר ‪ r → 0‬מונעת לרוב את הגעת החלקיק למרכז‬ ‫השדה‪ .‬מהאי שיוויון‪:‬‬ ‫‪)(45‬‬ ‫‪1 2‬‬ ‫‪mṙ = E − V (r) − M 2 /2mr2 > 0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪Er2 > V (r)r2 + M 2 /2m‬‬ ‫נובע ש‪ r‬יכול להגיע למרכז השדה רק אם האנרגיה הפוטנציאלית מתבדרת מספיק מהר ליד‬ ‫הראשית כלומר‪:‬‬ ‫‪)(46‬‬ ‫‪V (r)r2 |r→0 < −M 2 /2m‬‬ ‫כלומר או ש ‪ V (r) ∼ α/r2‬עם ‪ α > M 2 /2m‬או ש‪ V (r) ∝ −1/rn -‬עבור ‪.n > 2‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪E‬‬ ‫)‪V(r‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪6.3‬‬ ‫בעית קפלר‬ ‫אחת הבעיות החשובות בפיסיקה היא תנועה בשדה מרכזי שבו הפוטנציאל פרופורציוני הפוך‬ ‫לוקטור הרדיוס‪ ,‬או‪:‬‬ ‫‪V (r) = −α/r‬‬ ‫‪)(47‬‬ ‫שמתאר בין השאר משיכה גרביטציונית או משיכה‪/‬דחיה קולונית‪ .‬במקרה של משיכה‪ α ,‬חיובי‬ ‫והפוטנציאל האפקטיבי הוא‬ ‫‪α‬‬ ‫‪M2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪2mr2‬‬ ‫‪)(48‬‬ ‫‪Veff = −‬‬ ‫לפוטנציאל האפקטיבי יש נקודת מינימום ב‪ r0 = M 2 /mα -‬וערכו‪.V0 = −mα2 /2M 2 :‬‬ ‫על מנת למצוא את צורת המסלול נציב את הביטוי לפוטנציאל ב‪ )(42 -‬ונעשה אינטגרציה‪.‬‬ ‫ראשית נשנה את משתנה האינטגרציה ל‪ u = 1/r -‬כך ש‪ du = −1/r2 dr :‬והאינטגרל הינו‪:‬‬ ‫∫‬ ‫‪du‬‬ ‫√ ‪ϕ=−‬‬ ‫‪)(49‬‬ ‫‪2m‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪(E‬‬ ‫‪+‬‬ ‫)‪αu‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪M2‬‬ ‫ונשתמש ב‪-‬‬ ‫‪)(50‬‬ ‫]‬ ‫[‬ ‫‪1‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪b + 2cx‬‬ ‫√ ‪= √ arccos −‬‬ ‫‪−c‬‬ ‫‪b2 − 4ac‬‬ ‫‪a + bx + cx2‬‬ ‫∫‬ ‫√‬ ‫עבור ‪ b = 2mα/M 2 ,a = 2mE/M 2‬ו‪. c = −1 -‬‬ ‫[‬ ‫]‬ ‫‪M /r − mα/M‬‬ ‫√ ‪ϕ = arccos‬‬ ‫‪+ ϕ0‬‬ ‫‪)(51‬‬ ‫‪m2 α2 /M 2 + 2mE‬‬ ‫‪9‬‬ ‫כעת אם נגדיר‪:‬‬ ‫‪p = M 2 /mα‬‬ ‫√‬ ‫= ‪e‬‬ ‫‪1 + 2EM 2 /mα2‬‬ ‫‪)(52‬‬ ‫נקבל‪:‬‬ ‫]‬ ‫[‬ ‫‪p/r − 1‬‬ ‫‪= arccos‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪)(53‬‬ ‫‪ϕ − ϕ0‬‬ ‫̃‪p/r = 1 + e cos ϕ‬‬ ‫זוהי משוואה של חתכי חרוט )אליפסה עיגול היפרבולה‪ .(...‬בבעיית שני הגופים המקורית‪,‬‬ ‫המסלול של כל אחד משני החלקיקים מתאים לחתך החרוט כאשר אחד המוקדים של התנועה‬ ‫נמצא במרכז המסה של שני הגופים‪ .‬על מנת לחקור את צורת המסלולים נכתוב את משוואת‬ ‫המסלול באופן הבא‪:‬‬ ‫√‬ ‫=‬ ‫‪x2 + y 2 + ex‬‬ ‫‪= x2 + y 2‬‬ ‫‪= p2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 − e2‬‬ ‫‪= p2‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪(p − ex)2‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫‪x2 1 − e2 + 2pex + y 2‬‬ ‫‪)2‬‬ ‫(‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫‪pe‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪+ y2‬‬ ‫‪1−e‬‬ ‫‪x+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1−e‬‬ ‫‪(x + ea)2 y 2‬‬ ‫‪+ 2 =1‬‬ ‫‪a2‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪)(54‬‬ ‫כאשר ‪ a‬ו‪ b -‬מקיימים‪:‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪α‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1−e‬‬ ‫|‪2|E‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪M‬‬ ‫√ = ‪b‬‬ ‫√=‬ ‫‪1 − e2‬‬ ‫|‪2m|E‬‬ ‫= ‪a‬‬ ‫‪)(55‬‬ ‫כעת נבחן את הפתרון‪:‬‬ ‫‪ 1.‬עבור ‪ E < V0 = −mα2 /2M 2‬אין פתרון לבעיה‪.‬‬ ‫‪ 2.‬עבור ‪ E = V0‬נקבל ‪ e = 0‬והתנועה הינה מעגל‪.‬‬ ‫‪ 3.‬עבור ‪ 0 > E > V0‬נקבל ‪ e < 1‬והתנועה היא אליפסה‪.‬‬ ‫המרחק המינימלי והמקסימלי ממרכז הכוח )שהוא המוקד של האליפסה( הם פתרונות‬ ‫המשוואה ‪ Vef f = E‬והם‪:‬‬ ‫‪)(56‬‬ ‫)‪rmin = a(1 − e‬‬ ‫)‪rmax = a(1 + e‬‬ ‫‪10‬‬ ‫כדי למצוא את זמן המחזור של התנועה במסלול אליפטי נשתמש בשימור התנע הזויתי‬ ‫המנוסח בעזרת המהירות הזויתית ‪ )(37‬ונעשה אינטגרציה על הזמן‪:‬‬ ‫√‬ ‫‪2mf‬‬ ‫‪2mπab‬‬ ‫‪2mπp2‬‬ ‫‪m‬‬ ‫√‬ ‫= ‪T‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪= πα‬‬ ‫‪)(57‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪2|E|3‬‬ ‫) ‪M( 1 − e‬‬ ‫כאשר ‪ f‬הוא שטח המסלול‪ .‬את התלות של זמן המחזור באנרגיה יכולנו לקבל גם משיקולים‬ ‫של דמיון מכני עבור ‪.k = −1‬‬ ‫‪ 4.‬כאשר האנרגיה גדולה או שווה לאפס המסלולים אינם חסומים‪ .‬עבור ‪ E = 0‬נקבל ‪e = 1‬‬ ‫והתנועה פרבולית‪.‬‬ ‫‪ 5.‬עבור ‪ E > 0‬נקבל ‪ e > 1‬והתנועה היא היפרבולה‪.‬‬ ‫המרחק המינימלי ממרכז הכוח מתקבל מהשוואת האנרגיה לאנרגיה הפוטנציאלית =‬ ‫‪ E‬והוא‪:‬‬ ‫‪Vef f‬‬ ‫)‪rmin = a(e − 1‬‬ ‫‪)(58‬‬ ‫על מנת לקבל משוואת המסלול עבור האליפסה‪ ,‬נכתוב את האינטגרל עבור הזמן במונחים של ‪a‬‬ ‫ו‪:e -‬‬ ‫∫‬ ‫√‬ ‫‪m‬‬ ‫‪rdr‬‬ ‫√‬ ‫= ‪t‬‬ ‫‪2‬‬ ‫|‪2|E‬‬ ‫)|‪−r + (α/|E|)r − (M 2 /2m|E‬‬ ‫√‬ ‫∫‬ ‫‪ma‬‬ ‫‪rdr‬‬ ‫√‬ ‫=‬ ‫‪)(59‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪α‬‬ ‫‪a e − (r − a)2‬‬ ‫כעת אם נציב ‪ r − a = −ae cos ξ‬נקבל‪:‬‬ ‫‪)(60‬‬ ‫‪ma3‬‬ ‫‪(ξ − e sin ξ) + const‬‬ ‫‪α‬‬ ‫√‬ ‫∫‬ ‫= ‪(1 − e cos ξ)dξ‬‬ ‫‪ma3‬‬ ‫‪α‬‬ ‫√‬ ‫=‪t‬‬ ‫כאשר אם מודדים את הזמן כך שהקבוע מתאפס‪ ,‬אז יש לנו תלות פרמטרית בין ‪ r‬ל‪:t -‬‬ ‫‪)(61‬‬ ‫)‪r = a(1 − e cos ξ‬‬ ‫√‬ ‫‪ma3‬‬ ‫= ‪t‬‬ ‫)‪(ξ − e sin ξ‬‬ ‫‪α‬‬ ‫כמו כן ניתן לבטא את הקואורדינטות הקרטזיות ‪ x = rcosϕ‬ו‪ y = r sin ϕ -‬בעזרת ‪:ξ‬‬ ‫‪)(62‬‬ ‫)‪x = (p − r)/e = a(cos ξ − e‬‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫= ‪y‬‬ ‫‪r2 − x2 = a 1 − e2 sin ξ.‬‬ ‫במקרה של מסלולים היפרבולים התוצאה היא‪:‬‬ ‫‪)(63‬‬ ‫)‪r = a(e cosh ξ − 1‬‬ ‫√‬ ‫‪ma3‬‬ ‫= ‪t‬‬ ‫)‪(e sinh ξ − ξ‬‬ ‫‪α‬‬ ‫)‪x = a(e − cosh ξ‬‬ ‫√‬ ‫‪y = a 1 − e2 sinh ξ‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪7.1‬‬ ‫התנגשויות אלסטיות‬ ‫מערכת מרכז המסה‬ ‫התנגשות בין חלקיקים נקראת אלסטית אם היא אינה משנה את המצב הפנימי של החלקיקים‪.‬‬ ‫לכן‪ ,‬כאשר נשתמש בשימור האנרגיה נוכל להזניח את האנרגיה הפנימית של המערכת )שנשמרת‬ ‫באופן בלתי תלוי(‪ .‬נוח לתאר התנגשות אלסטית במערכת מרכז המסה )המערכת שבה מרכז‬ ‫המסה נמצא במנוחה(‪ .‬המהירויות של החלקיקים במערכת זו קשורות למהירויות במערכת‬ ‫המעבדה בקשר‪:‬‬ ‫‪)(64‬‬ ‫‪m2 v‬‬ ‫‪m1 v‬‬ ‫‪=−‬‬ ‫‪, vCM‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪m1 + m2‬‬ ‫‪m1 + m2‬‬ ‫=‬ ‫‪vCM‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪CM‬‬ ‫‪) .v = v1 − v2 = vCM‬הזכרו בפרק על תנועה בשדה מרכזי(‪ .‬שימו לב שהתנע‬ ‫כאשר‬ ‫‪1 − v2‬‬ ‫במערכת מרכז המסה מקיים‪:‬‬ ‫‪)(65‬‬ ‫‪pCM‬‬ ‫‪= m1 vCM‬‬ ‫‪= µv = −m2 vCM‬‬ ‫‪= −pCM‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪CM‬‬ ‫‪ .pCM‬נגדיר‪:‬‬ ‫כאשר ) ‪ .µ = m1 m2 /(m1 + m2‬מכאן שבמערכת מרכז המסה מתקיים ‪= 0‬‬ ‫‪1 + p2‬‬ ‫‪pCM‬‬ ‫‪≡ p0 n‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪CM‬‬ ‫‪p2 ≡ −p0 n‬‬ ‫‪)(66‬‬ ‫כיוון שלא פועלים כוחות חיצוניים‪ ,‬אזי משימור התנע נובע שהתנע של החלקיקים נשאר שווה‬ ‫והפוך בכיוונו לאחר ההתנגשות‪ .‬כמו כן משימור האנרגיה‪:‬‬ ‫‪)(67‬‬ ‫‪p20‬‬ ‫‪p2‬‬ ‫‪p2‬‬ ‫‪+ 0 = 0‬‬ ‫‪2m1 2m2‬‬ ‫‪2µ‬‬ ‫= ‪E CM‬‬ ‫)האנרגיה מחושבת כאשר החלקיקים רחוקים זה מזה ולכן האנרגיה הפוטנציאלית זניחה(‪ .‬נובע‬ ‫שגודל התנע של החלקיקים נשאר קבוע‪ .‬מכאן שבמערכת מרכז המסה השינוי היחיד כתוצאה‬ ‫מההתנגשות הינו סיבוב של המהירויות‪ .‬מכאן שאחרי ההתנגשות מתקיים‪:‬‬ ‫‪)(68‬‬ ‫‪≡ p0 n′ ≡ −p′ 2‬‬ ‫‪CM‬‬ ‫‪p′ 1‬‬ ‫‪CM‬‬ ‫כאשר הזוית בין ‪ n‬ל‪ n′ -‬נקראת זוית הפיזור‪:‬‬ ‫‪)(69‬‬ ‫‪cos χ = n · n′‬‬ ‫הערך של זוית הפיזור תלוי בפרטי האינטרקציה )‪ V (r‬בין החלקיקים‪.‬‬ ‫‪7.1.1‬‬ ‫דוגמה‪ :‬התנגשות בין שתי ספרות קשיחות‬ ‫נחשוב על התנגשות בין שתי ספרות קשיחות בעלות רדיוס ‪ .a, b‬הפוטנציאל הינו‪:‬‬ ‫{‬ ‫‪∞ ifr ≤ a + b‬‬ ‫= )‪V (r‬‬ ‫‪)(70‬‬ ‫‪0 ifr > a + b‬‬ ‫‪12‬‬ p’1 CM p1CM χ a b φ φ p2CM χ p’2 CM 13 p’1 p0 n’ m2V m 1V A O θ1 p’ ϕ p0 n 2 B χ θ2 p 2 p1 :‫במערכת המעבדה מתקיים‬ p ′ 1 = m1 V + p 0 n ′ p′ 2 = m2 V − p0 n′ p1 = m1 V + p0 n p2 = m2 V − p0 n )(71 2 v2 ‫כאשר‬ ‫ האיור הבא מדגים את הגיאומטרה של‬.‫ הינה מהירות מרכז המסה‬V = m1mv11 +m +m2 2 2 2 ‫ אז ניתן לקבל את כל‬,c = a + b − 2ab cos θ ‫ אם נעשה שימוש במשפט הקוסינוסים‬.‫הבעיה‬ :v, V, φ, χ ‫התנעים באמצעות‬ √ p1 = m21 V 2 + µ2 v 2 + 2m1 V µv cos φ )(72 √ p′1 = m21 V 2 + µ2 v 2 + 2m1 V µv cos (χ − φ) )(73 √ p2 = m22 V 2 + µ2 v 2 − 2m2 V µv cos φ )(74 √ p′2 = m22 V 2 + µ2 v 2 − 2m2 V µv cos (χ − φ) )(75 :‫וזויות הפיזור הינן‬ ) µv sin φ µv sin (χ − φ) = arctan + arctan µv cos φ + m1 V µv cos (χ − φ) + m1 V ( ) ( ) µv sin φ µv sin (χ − φ) = arctan + arctan µv cos φ − m2 V µv cos (χ − φ) − m2 V )(76 ( θ1 θ2 ) 14 ( ‫‪p’1‬‬ ‫’‪p0 n‬‬ ‫’‪p‬‬ ‫‪χ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪θ2‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪m2V‬‬ ‫‪ϕ‬‬ ‫‪m 1V‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪θ1‬‬ ‫‪p0 n‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪p1‬‬ ‫‪7.1.1‬‬ ‫דוגמה‪ :‬התנגשות בין שתי ספרות קשיחות‬ ‫נחשוב על התנגשות בין שתי ספרות קשיחות בעלות רדיוס ‪ .a, b‬הפוטנציאל הינו‪:‬‬ ‫{‬ ‫‪∞ ifr ≤ a + b‬‬ ‫‪)(1‬‬ ‫= )‪V (r‬‬ ‫‪0 ifr > a + b‬‬ ‫‪)(2‬‬ ‫‪p ′ 1 = m1 V + p 0 n ′‬‬ ‫‪p′ 2 = m2 V − p0 n′‬‬ ‫‪p1 = m1 V + p0 n‬‬ ‫‪p2 = m2 V − p0 n‬‬ ‫‪2 v2‬‬ ‫‪ V = m1mv11 +m‬הינה מהירות מרכז המסה‪ .‬האיור הבא מדגים את הגיאומטרה של‬ ‫כאשר‬ ‫‪+m2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫הבעיה‪ .‬אם נעשה שימוש במשפט הקוסינוסים ‪ ,c = a + b − 2ab cos θ‬אז ניתן לקבל את כל‬ ‫התנעים באמצעות ‪:v, V, φ, χ‬‬ ‫√‬ ‫= ‪p1‬‬ ‫‪m21 V 2 + µ2 v 2 + 2m1 V µv cos φ‬‬ ‫‪)(3‬‬ ‫√‬ ‫‪)(4‬‬ ‫= ‪p′1‬‬ ‫)‪m21 V 2 + µ2 v 2 + 2m1 V µv cos (χ − φ‬‬ ‫√‬ ‫= ‪p2‬‬ ‫‪m22 V 2 + µ2 v 2 − 2m2 V µv cos φ‬‬ ‫‪)(5‬‬ ‫√‬ ‫= ‪p′2‬‬ ‫)‪m22 V 2 + µ2 v 2 − 2m2 V µv cos (χ − φ‬‬ ‫‪)(6‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪p’1‬‬ ‫’‪p0 n‬‬ ‫‪p’2‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪θ2‬‬ ‫‪χ‬‬ ‫‪θ1‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪p0‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪m 1 /m2 p0‬‬ ‫וזויות הפיזור הינן‪:‬‬ ‫)‬ ‫‪µv sin φ‬‬ ‫)‪µv sin (χ − φ‬‬ ‫‪= arctan‬‬ ‫‪+ arctan‬‬ ‫‪µv cos φ + m1 V‬‬ ‫‪µv cos (χ − φ) + m1 V‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫‪µv sin φ‬‬ ‫)‪µv sin (χ − φ‬‬ ‫‪= arctan‬‬ ‫‪+ arctan‬‬ ‫‪µv cos φ − m2 V‬‬ ‫‪µv cos (χ − φ) − m2 V‬‬ ‫‪)(7‬‬ ‫(‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫‪θ1‬‬ ‫‪θ2‬‬ ‫כעת נתמקד במקרה שבו אחד משני החלקיקים נמצא בתחילה במנוחה ‪ .v2 = 0‬מכאן נובע‬ ‫ש‪ m2 V = µv1 = p0 -‬מכאן שהנקודה ‪ B‬נמצאת על העיגול‪ .‬כמו כן‪ ,‬אם ‪ m1 > m2‬אזי‬ ‫הנקודה ‪ A‬נמצאת מחוץ לעיגול‪ ,‬ואם ‪ m1 < m2‬אזי הנקודה ‪ A‬נמצאת בתוך העיגול‪ .‬ניתן לראות‬ ‫שבמקרה זה זויות הפיזור במערכת המעבדה ‪ θ1‬ו‪ θ2 -‬מקיימות‪:‬‬ ‫‪sin χ‬‬ ‫‪+ cos χ‬‬ ‫= ‪tan θ1‬‬ ‫‪m1‬‬ ‫‪m2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪(π − χ‬‬ ‫‪)(8‬‬ ‫‪2‬‬ ‫כאשר השתמשנו בכך ש‪ .p′2 = 2p0 sin χ/2 -‬כמו כן כאמור מתקיים‪:‬‬ ‫= ‪θ2‬‬ ‫]‬ ‫‪)(9‬‬ ‫‪m1‬‬ ‫‪+2‬‬ ‫‪cos χ‬‬ ‫‪m2‬‬ ‫‪)2‬‬ ‫‪m1‬‬ ‫‪m2‬‬ ‫(‬ ‫[‬ ‫‪1+‬‬ ‫‪p20‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪p′ 1‬‬ ‫‪p′2 = 2p0 sin χ/2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫שנותן עבור המהירויות‪:‬‬ ‫√‬ ‫‪m21 + m22 + 2m1 m2 cos χ‬‬ ‫=‬ ‫‪v‬‬ ‫‪m1 + m2‬‬ ‫‪m1‬‬ ‫‪χ‬‬ ‫=‬ ‫‪2v sin‬‬ ‫‪)(10‬‬ ‫‪m1 + m2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪v′1‬‬ ‫‪v′2‬‬ ‫הזוית בין כיווני התנועה של החלקיקים לאחר ההתנגשות הינה ‪ .θ1 + θ2‬כאשר אם ‪m1 < m2‬‬ ‫אזי ‪ ,θ1 + θ2 > π/2‬ואם ‪ m1 > m2‬אזי ‪ .θ1 + θ2 < π/2‬כמו כן ניתן לראות שבמקרה ‪m1 > m2‬‬ ‫זוית הסטיה של החלקיק ‪ 1‬מוגבלת ע”י ‪θmax‬‬ ‫‪7.2‬‬ ‫פיזור‬ ‫על מנת לפתור את בעית ההתנגשות בין שני חלקיקים נפתור ראשית את הבעיה השקולה של‬ ‫פיזור של חלקיק עם מסה מצומצמת ‪ m‬הנע בשדה מרכזי כאשר מרכז המסה של השדה המרכזי‬ ‫נמצא במנוחה )והוא מרכז המסה של שני החלקיקים בבעיה המקורית(‪ .‬בעיות פיזור הן חשובות‬ ‫כיוון שרוב המדידות הפיזיקליות הן פיזורים‪ .‬מדידה ע”י אור ‪ -‬פוטונים שמפוזרים ע”י אובייקט‪.‬‬ ‫מדידה ע”י מיקרוסקופ אלקטרוני יכולה להיות מתוארת כאלקטרונים שמפוזרים ע”י אובייקט‪ .‬פיזור‬ ‫של קרן פרוטונים וכו’‪ .‬למרות שהתיאור הקלאסי איננו מושלם הוא נותן בהרבה מקרים קירוב טוב‬ ‫לבעיה‪ .‬כמו כן‪ ,‬באפליקציות פיסיקליות רבות במקום לחשב פיזור של חלקיק יחיד אנו עוסקים‬ ‫בפיזור של קרן אחידה של חלקיקים בעלי אותה מסה ואותה אנרגיה אשר מפוזרים ע”י שדה‬ ‫מרכזי‪ .‬נניח כי במרחקים גדולים השדה דועך לאפס‪ .‬כאשר החלקיקים עוברים בקרבת מרכז‬ ‫הכוח‪ ,‬הם מרגישים משיכה או דחיה שמסיטה את הקרן מהמסלול ההתחלתי‪ .‬כאשר החלקיקים‬ ‫מתרחקים ממרכז הכוח‪ ,‬הכוח נחלש ומסלול הקרן מתקרב אסימפטוטית למסלול בקו ישר‪ .‬כפי‬ ‫שהראנו בתנועה של חלקיק בשדה מרכזי‪ ,‬מסלול התנועה סימטרי יחסית לקו שמחבר בין מרכז‬ ‫הכוח לנקודה הקרובה ביותר‪ .‬מכאן שאסימפטוטות התנועה של הקרן הפוגעת והקרן המפוזרת‬ ‫יוצרות זויות שוות ‪ ϕ0‬עם קו זה‪ .‬נקרא לזוית הפיזור בין כיוון הקרן הפוגעת לכיוון הקרן המפוזרת‬ ‫‪ .χ‬ניתן לראות שזוית זו מקיימת‪:‬‬ ‫‪)(11‬‬ ‫| ‪χ = |π − 2ϕ0‬‬ ‫את תנועה קרן החלקיקים נוח לתאר בעזרת המהירות באינסוף ∞‪ v‬ופרמטר הפגיעה ‪Impact‬‬ ‫‪ ρ = r sin γ parameter‬שהינו המרחק של המסלול האסימפטוטי מקו שמקביל אליו ועובר במרכז‬ ‫הכוח‪ .‬ניתן לבטא את קבועי התנועה‪ ,‬האנרגיה והתנע הזויתי בעזרת שני הפרמטרים הנ”ל‪:‬‬ ‫‪1 2‬‬ ‫‪mv‬‬ ‫∞ ‪2‬‬ ‫∞‪M = ρmv‬‬ ‫= ‪E‬‬ ‫‪)(12‬‬ ‫כמונחים אלו ‪ ϕ0‬ניתנת ע”י האינטגרל )‪:(163‬‬ ‫‪)(13‬‬ ‫‪ρdr‬‬ ‫√‬ ‫‪2 − ρ2 /r 2‬‬ ‫∞‪r2 1 − 2V (r)/mv‬‬ ‫∞‬ ‫∫‬ ‫= ‪ϕ0‬‬ ‫‪rmin‬‬ ‫ננסה לכמת את הפיזור‪ .‬נניח שאנחנו זורקים כדורים על מטרה‪ .‬מספר הכדורים הכולל‬ ‫ליחידת שטח ליחידת זמן הוא ‪ .Intensity‬מספר הפגיעות במטרה פרופורציוני לשטח שלה‪:‬‬ ‫‪)(14‬‬ ‫‪Nhits = balls/sec = I · σ = Intensity · Target’s cross section‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪χ‬‬ ‫‪φ φ‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪γ‬‬ ‫‪ρ‬‬ ‫‪Ο‬‬ ‫נניח שהמטרה היא ספרה קשיחה‪ .‬נרצה לדעת לאיזה כיוון הכדורים מתפזרים‪ .‬מספר‬ ‫הכדורים שמתפזרים ליחידת זמן לתוך זווית מרחבית ‪ dΩ‬בסביבה של הזווית ‪.Ω‬‬ ‫‪)(15‬‬ ‫‪N = Iσ(Ω)dΩ‬‬ ‫כאשר )‪ σ(Ω‬הוא חתך הפעולה הדיפרנציאלי‪ .‬אם נניח זוית פיזור ‪ χ‬כיוון שיש סימטריה סיבובית‬ ‫בבעיה אזי‬ ‫‪)(16‬‬ ‫‪σ(Ω)dΩ = σ(χ) sin χdχdϕ‬‬ ‫מספר הכדורים שמתפזרים בין הזוית ‪ χ‬ל‪ χ + dχ-‬הינו‪:‬‬ ‫‪2π‬‬ ‫‪)(17‬‬ ‫∫‬ ‫=‪N‬‬ ‫‪dϕIσ(χ) sin χdχ = Iσ(χ)2π sin χdχ‬‬ ‫‪0‬‬ ‫מכניקה קלאסית היא דטרמיניסטית‪ .‬זוית הפגיעה ‪ χ‬נקבעת ע”י פרמטר הפגיעה ‪ .ρ‬ההסתברות‬ ‫להתפזר בין ‪ χ‬ל‪ χ + dχ-‬פרופורציונית לשטח הטבעת שמוגדרת ע”י פרמטר הפגיעה‪:‬‬ ‫‪)(18‬‬ ‫‪2πρdρ = σ(χ)2π sin χdχ‬‬ ‫ומכאן‪:‬‬ ‫‪)(19‬‬ ‫‪ρ dρ‬‬ ‫‪sin χ dχ‬‬ ‫‪4‬‬ ‫= )‪σ(χ‬‬ ‫נראה שההגדרה הזו מתאימה להבנה שלנו של מהו חתך הפעולה לפיזור במקרה של פיזור‬ ‫מספרה קשיחה‪:‬‬ ‫∫‬ ‫‪∫ π‬‬ ‫‪∫ a‬‬ ‫= ‪σTotal = σ(Ω)dΩ‬‬ ‫= ‪2π sin χσ(χ)dχ‬‬ ‫‪2πρdρ = πa2‬‬ ‫‪)(20‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫כלומר במקרה של ספרה קשיחה חתך הפעולה הוא השטח הכולל של הספירה‪) .‬שימו לב שלחתך‬ ‫הפעולה יש יחידות של שטח(‪.‬‬ ‫מה קורה במקרה של פיזור מפוטנציאל מרכזי? נשתמש במשוואה עבור הפרש הזוית של‬ ‫מסלול של חלקיק שנע מאינסוף ועד לנקודה ‪:rmin‬‬ ‫∞ ∫‬ ‫‪ρdr‬‬ ‫√‬ ‫= ‪ϕ0‬‬ ‫‪)(21‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2 − ρ2 /r 2‬‬ ‫∞‪1 − 2V (r)/mv‬‬ ‫‪rmin r‬‬ ‫כאשר זוית הפיזור ניתנת באמצעות ‪ ϕ0‬ו‪.)(11 -‬‬ ‫זהו חתך הפעולה במערכת מרכז המסה‪ .‬על מנת לתאר את הבעיה המקורית של פיזור של‬ ‫קרן חלקיקים ע”י חלקיקים אחרים שנמצאים במנוחה נשתמש בקשר ‪.)(8‬‬ ‫‪7.3‬‬ ‫‪Rutherford’s formula‬‬ ‫אחד השימושים החשובים בחתך הפעולה לפיזור הוא עבור פיזור של חלקיקים טעונים בשדה‬ ‫קולון‪ .‬נציב את הפוטנציאל ‪ V = − αr‬ב‪ ,)(21 -‬ראינו שהפתרון של האינטגרל נותן‪:‬‬ ‫‪)(22‬‬ ‫‪2‬‬ ‫∞‪α/mv‬‬ ‫‪ρ‬‬ ‫‪2 ρ)2‬‬ ‫∞‪1 + (α/mv‬‬ ‫√ = ‪cos ϕ0‬‬ ‫כאשר מדדנו את הזוית יחסית לזוית ב ‪ .rmin‬ואם נפתור עבור פרמטר הפגיעה‪:‬‬ ‫‪)(23‬‬ ‫‪χ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫∞‪ρmv‬‬ ‫‪/α = tan ϕ0 = cot‬‬ ‫נגזור לפי ‪ χ‬ונציב במשוואה עבור חתך הפעולה נקבל את משוואת ‪ Rutherford‬לפיזור‬ ‫‪)(24‬‬ ‫‪)(25‬‬ ‫‪α2‬‬ ‫‪dΩ‬‬ ‫‪4‬‬ ‫∞‪4m2 v‬‬ ‫‪sin4 χ2‬‬ ‫‪1 ( α )2 dΩ‬‬ ‫=‬ ‫‪4 2E sin4 χ2‬‬ ‫= ‪σ(Ω)dΩ‬‬ ‫אם הפיזור הוא של חלקיקים בעלי מטען ‪ Z ′ e‬עם חלקיקים בעלי מטען ‪ Ze‬אז ‪ α = ZZ ′ e2‬ונקבל‪:‬‬ ‫(‬ ‫‪)2‬‬ ‫‪1 ZZ ′ e2‬‬ ‫‪dΩ‬‬ ‫‪)(26‬‬ ‫= ‪σ(Ω)dΩ‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2E‬‬ ‫‪sin4 χ2‬‬ ‫הניסוי שהוביל לגילוי הגרעין באטום‪ :‬פיזור של חלקיקי ‪) α‬גרעין של הליום( על עלה זהב‪.‬‬ ‫לפני הניסוי היה ידוע על אלקטרונים ושיש מטען חיובי באטומים אבל לא היה ידוע איך המטען‬ ‫החיובי מתפלג‪ .‬בניסוי רוב החלקיקים עברו ללא פיזור בכלל וחלק קטן מהחלקיקים התפזר בזויות‬ ‫‪5‬‬ ‫גדולות‪ .‬הניסוי הראה שהפיזור הוא כמו זה מחלקיק יחיד בעל מטען ‪ .Ze‬אם לדוגמה הפיזור‬ ‫היה מ ‪ Z‬חלקיקים עם מטען ‪ e‬אז הניסוי היה נותן‪:‬‬ ‫‪dΩ‬‬ ‫‪sin4 χ2‬‬ ‫‪)(27‬‬ ‫‪)2‬‬ ‫‪Z ′ e2‬‬ ‫‪2E‬‬ ‫(‬ ‫‪Z‬‬ ‫= ‪σ(Ω)dΩ‬‬ ‫‪4‬‬ ‫נשים לב שאם נחשב את החתך הפעולה הכולל‪:‬‬ ‫(‬ ‫‪)2‬‬ ‫‪1 ZZ ′ e2‬‬ ‫‪dχ‬‬ ‫=‬ ‫‪σ(Ω)dΩ = sin χ‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2E‬‬ ‫‪sin4 χ2‬‬ ‫(‬ ‫) ‪)2 ∫ 1 ( χ‬‬ ‫‪d sin 2‬‬ ‫‪ZZ ′ e2‬‬ ‫‪= 2π‬‬ ‫∞→‬ ‫‪2E‬‬ ‫‪sin3 χ2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫∫‬ ‫‪)(28‬‬ ‫∫‬ ‫‪σTotal‬‬ ‫ההתבדרות הזו קשורה לעובדה שפוטנציאל קולון הוא פוטנציאל ארוך טווח‪ .‬במציאות האלקטרונים‬ ‫יוצרים מיסוך ולכן חתך הפעולה הוא סופי‪.‬‬ ‫‪7.3.1‬‬ ‫דוגמה‪ :‬פיזור מבור פוטנציאל‬ ‫חלקיק נע תחת השפעת פוטנציאל‪:‬‬ ‫‪)(29‬‬ ‫‪r<a‬‬ ‫‪r>a‬‬ ‫‪−V‬‬ ‫‪0‬‬ ‫{‬ ‫= )‪U (r‬‬ ‫‪Veff‬‬ ‫‪r‬‬ ‫מהם מסלולי התנועה?‬ ‫√‬ ‫בעלת רדיוס ‪ a‬החלקיק נע במהירות ‪ . 2E/m‬בתוך הספירה המהירות הינה‬ ‫מחוץ לספירה √‬ ‫‪ . 2(E + V )/m‬סוגי המסלולים האפשריים תלויים בקשר שבין האנרגיה ‪ E‬והתנע הזויתי ‪.M‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪ 1.‬עבור אנרגיות המקיימות‬ ‫‪)(30‬‬ ‫‪M 2 /2ma2 − V < E < M 2 /2ma2‬‬ ‫ישנם שני סוגי תנועה‪ :‬החלקיק יכול לנוע במסלול קשור בתוך הכדור ולהיות מוחזר מהשפה‬ ‫שלו או אם ‪ E > 0‬לנוע במסלול אינסופי בקו ישר ראה איור‪ .‬שימו לב‪ -‬עבור כל רדיוס נתון‬ ‫החלקיק נע תחת פוטנציאל אפקטיבי שהוא הפוטנציאל הצינטרפוגלי עד כדי קבוע שמנרמל‬ ‫את האנרגיה‪ .‬כלומר עבור כל רדיוס נתון החלקיק נע ללא השפעת כוח חיצוני ולכן התנועה‬ ‫היא בקו ישר‪ .‬כאשר החלקיק חוצה את הרדיוס ‪ a‬יש שינוי לא רציף בפוטנציאל שגורר‬ ‫שינוי לא רציף במהירות הרדיאלית ולכן שינוי בכיוון התנועה‪.‬‬ ‫‪ 2.‬עבור אנרגיות המקיימות ‪ E > M 2 /2ma2‬נקבל מסלולים מעוקמים ‪.refracted‬‬ ‫נרצה לחשב את חתך הפעולה לפיזור‪ .‬במקרה זה רק המסלולים בעלי ‪E > M 2 /2ma2‬‬ ‫מתפזרים‪ .‬נשתמש בחוק סנל עבור הקשר בין המהירויות לבין זויות הפיזור‪:‬‬ ‫√‬ ‫√ ‪2(E + V )/m‬‬ ‫‪sin α‬‬ ‫‪vin‬‬ ‫‪2‬‬ ‫√‬ ‫=‪=n‬‬ ‫=‬ ‫∞‪= 1 + 2V /mv‬‬ ‫‪)(31‬‬ ‫‪sin β‬‬ ‫‪vout‬‬ ‫‪2E/m‬‬ ‫)ניתן לקבל את שינוי הזוית מהיחס בין המהירויות ומשימוש בעובדה שהמהירות הזויתית איננה‬ ‫משתנה )שימור תנע זויתי( בעוד המהירות הרדיאלית משתנה כאשר החלקיק חוצה את ‪r = a‬‬ ‫‪ ).‬כאשר זוית הפיזור ‪ χ‬במקרה זה הינה‪:‬‬ ‫‪)(32‬‬ ‫)‪χ = 2(α − β‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪χ‬‬ ‫אזי‪:‬‬ ‫‪)(33‬‬ ‫‪sin β‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪sin(α − χ/2‬‬ ‫= =‬ ‫‪= cos χ/2 − cot α sin χ/2‬‬ ‫‪sin α‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪sin α‬‬ ‫כמו כן מתקיים הקשר ‪ .ρ = a sin α‬נציב עבור פרמטר הפגיעה ונקבל‪:‬‬ ‫‪)(34‬‬ ‫‪n2 sin2 χ/2‬‬ ‫‪ρ =a 2‬‬ ‫‪n + 1 − 2n cos χ/2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫אם נגזור את הביטוי אחרי קצת אלגברה נקבל‪:‬‬ ‫‪)(35‬‬ ‫)‪a2 n2 (n cos χ/2 − 1) (n − cos χ/2‬‬ ‫‪dΩ‬‬ ‫‪4 cos χ/2‬‬ ‫‪(n2 + 1 − 2n cos χ/2)2‬‬ ‫= ‪σ(Ω)dΩ‬‬ ‫כאשר הזוית ‪ χ‬משתנה בין ‪ χ = 0‬עבור ‪ ρ = 0‬ועד ‪ cos χmax /2 = 1/n‬עבור ‪ .ρ = a‬אם נחשב‬ ‫את חתך הפעולה הכולל ע”י אינטגרציה על כל הזויות נקבל את חתך הפעולה הגיאומטרי ‪.πa2‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪7.3‬‬ ‫‪Rutherford’s formula‬‬ ‫הנוסחה‬ ‫‪2‬‬ ‫‪α‬‬ ‫‪dΩ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4m v∞ sin4 χ2‬‬ ‫‪1 ( α )2 dΩ‬‬ ‫=‬ ‫‪4 2E sin4 χ2‬‬ ‫= ‪σ(Ω)dΩ‬‬ ‫‪)(1‬‬ ‫נותנת את חתך הפעולה לפיזור במערכת שבה מרכז המסה של החלקיקים המתנגשים נמצא‬ ‫במנוחה ‪ .⃗v2 = 0‬על מנת לקבל את חתך הפעולה במערכת המעבדה נשתמש בקשר שבין הזוית‬ ‫‪ χ‬לזויות ‪ θ1‬ו‪ .θ2 -‬עבור חלקיקים שנמצאים במנוחה מתקיים ‪ ,χ = π − 2θ2‬וחתך הפעולה הינו‪:‬‬ ‫(‬ ‫‪)2‬‬ ‫‪α‬‬ ‫‪dθ2‬‬ ‫‪σ2 (Ω2 )dΩ2 = 2π‬‬ ‫‪sin θ2 3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫∞‪mv‬‬ ‫‪cos θ2‬‬ ‫(‬ ‫‪)2‬‬ ‫‪α‬‬ ‫‪dΩ2‬‬ ‫=‬ ‫‪)(2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫∞‪mv‬‬ ‫‪cos3 θ2‬‬ ‫את חתך הפעולה עבור החלקיקים הפוגעים ניתן לקבל מהקשר בין ‪ χ‬ל‪ ,θ1 -‬ונותן לרוב ביטוי‬ ‫מורכב‪ .‬במקרים מסויימים ניתן לפשט את הפתרון‪.‬‬ ‫אם מסת החלקיק המפזר ‪ m2‬גדולה בהרבה מזו של החלקיק המפוזר ‪ ,m2 ≫ m1‬אזי‪:‬‬ ‫‪)(3‬‬ ‫‪m2 sin χ‬‬ ‫‪≈ tan χ‬‬ ‫‪m1 + m2 cos χ‬‬ ‫כלומר ‪ χ ≈ θ1‬ו‪ m ≈ m1 -‬כך שמתקיים‪:‬‬ ‫‪)(4‬‬ ‫‪dΩ1‬‬ ‫‪sin4 θ1 /2‬‬ ‫‪)2‬‬ ‫‪α‬‬ ‫‪4E1‬‬ ‫= ‪tan θ1‬‬ ‫(‬ ‫= ‪σ1 (Ω1 )dΩ1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫∞‪.E1 = 1/2mv‬‬ ‫כאשר האנרגיה של החלקיק המפוזר הינה‬ ‫מקרה נוסף שנותן ביטוי פשוט הוא עבור חלקיקים בעלי מסה זהה ‪.m1 = m2 = 1/2m‬‬ ‫מכאן ש‪:-‬‬ ‫‪)(5‬‬ ‫‪sin χ‬‬ ‫‪= tan χ/2‬‬ ‫‪1 + cos χ‬‬ ‫כלומר ‪ ,θ1 = χ/2‬וחתך הפעולה הינו‪:‬‬ ‫‪dθ1‬‬ ‫‪sin3 θ1‬‬ ‫‪dΩ1‬‬ ‫‪cos θ1 4‬‬ ‫‪sin θ1‬‬ ‫‪cos θ1‬‬ ‫‪)(6‬‬ ‫‪)2‬‬ ‫‪α‬‬ ‫‪E1‬‬ ‫‪)2‬‬ ‫= ‪tan θ1‬‬ ‫(‬ ‫‪σ1 (Ω1 )dΩ1 = 2π‬‬ ‫(‬ ‫‪α‬‬ ‫=‬ ‫‪E1‬‬ ‫אם החלקיקים זהים ולא ניתן להבחין בניהם לא ניתן לזהות את החלקיק שהיה בתחילה במנוחה‪,‬‬ ‫אזי חתך הפעולה הכללי הינו סכום של חתכי הפעולה ‪ σ1‬ו‪ .σ2 -‬אם נכתוב אותו באמצעות הזוית‬ ‫‪:θ‬‬ ‫[ ‪( )2‬‬ ‫]‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪α‬‬ ‫‪+‬‬ ‫= ‪σ(Ω)dΩ‬‬ ‫‪cos θdΩ‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪E1‬‬ ‫‪sin θ cos4 θ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫כפי שנובע מ‪:‬‬ ‫‪θ1 = π/2 − θ2‬‬ ‫‪)(7‬‬ ‫על מנת למצוא את התפלגות החלקיקים המפוזרים לפי האנרגיה שאבדה בהתנגשות במקרה‬ ‫שמסת החלקיק המפוזר ‪ m1‬וזו של החלקיק הנייח ‪ m2‬מקיימות ‪ ,m1 ̸= m2‬אזי המהירות של‬ ‫החלקיק המפזר לאחר ההתנגשות הינה‬ ‫‪χ‬‬ ‫‪m1‬‬ ‫‪2v∞ sin‬‬ ‫‪m1 + m2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪)(8‬‬ ‫= ‪v2′‬‬ ‫מכאן שהאנרגיה שקיבל החלקיק המפזר ‪ m2‬שווה לזו שאיבד החלקיק המפוזר ‪ m1‬והיא‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪χ‬‬ ‫‪2m2 2‬‬ ‫= ‪ϵ = m2 v2′2‬‬ ‫‪v∞ sin2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪m2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪)(9‬‬ ‫אם נציב את הזוית ‪ sin χ/2‬בביטוי עבור חתך הפעולה נקבל את חתך הפעולה כתלוי באנרגיה‬ ‫שאבדה בהתנגשות‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫∞‪σ(ϵ)dϵ = 2π(α2 /m2 v‬‬ ‫‪)dϵ/ϵ2‬‬ ‫‪)(10‬‬ ‫‪2‬‬ ‫∞‪.0 < ϵ < ϵmax = 2m2 v‬‬ ‫ניתן לראות כי האנרגיה שאבדה בהתנגשות מקבלת את הערכים ‪/m2‬‬ ‫‪7.4‬‬ ‫פיזור בזויות קטנות‬ ‫כאשר פרמטר הפגיעה גדול כך שהשדה המפזר הוא קטן וזויות הפיזור הן קטנות‪ ,‬חישוב חתך‬ ‫הפעולה הופך פשוט יותר‪ .‬נתמקד במערכת המעבדה ונבחר את ציר ‪ x‬להיות כיוון התנע‬ ‫ההתחלתי של החלקיק המפוזר בעל מסה ‪ m1‬וניקח את מישור הפיזור להיות מישור ‪.x − y‬‬ ‫התנע הסופי של החלקיק הינו ‪ .p′1‬נוכל לראות שמתקיים‪:‬‬ ‫‪p′1y‬‬ ‫‪p′1‬‬ ‫‪)(11‬‬ ‫= ‪sin θ1‬‬ ‫כיוון שזוית הפיזור קטנה‪ ,sin θ1 ≈ θ1 ,‬ומשימור תנע‪ p′1 = p1 = m1 v∞ :‬אזי‪:‬‬ ‫∞‪θ1 ≈ p′1y /m1 v‬‬ ‫‪)(12‬‬ ‫כמו כן מתקיים‪:‬‬ ‫‪)(13‬‬ ‫‪dU y‬‬ ‫‪dr r‬‬ ‫∞‬ ‫∫‬ ‫‪dt‬‬ ‫∞‪−‬‬ ‫‪dU ∂r‬‬ ‫‪=−‬‬ ‫‪dr ∂y‬‬ ‫∞‬ ‫∫‬ ‫‪dt‬‬ ‫∞‪−‬‬ ‫‪dt∂U /∂y = −‬‬ ‫∞‬ ‫∫‬ ‫∞‪−‬‬ ‫‪dtFy = −‬‬ ‫∞‬ ‫∫‬ ‫∞‪−‬‬ ‫= ‪p′1y‬‬ ‫כמו כן‪ ,‬בסדר מוביל בפרמטר הקטן ‪ U‬אזי ניתן להניח כי החלקיק איננו מפוזר כלל ומכאן שהוא‬ ‫נע בקו ישר ‪ y = ρ‬ובמהירות קבועה ‪ .v∞ = dx/dt‬ולכן‪:‬‬ ‫∞ ∫‬ ‫∞ ∫‬ ‫‪ρ‬‬ ‫‪dU dx‬‬ ‫‪dU y‬‬ ‫‪′‬‬ ‫‪=−‬‬ ‫‪)(14‬‬ ‫‪p1y = −‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪dr r‬‬ ‫‪v∞ −∞ dr r‬‬ ‫∞‪−‬‬ ‫‪2‬‬ ‫√‬ ‫כעת נשתמש ביחס ‪r2 − ρ2 /r‬‬ ‫‪)(15‬‬ ‫= ‪ dr/dx = x/r‬ובכך שכאשר ‪ x → 0‬אזי ‪ r → ρ‬ונקבל‪:‬‬ ‫∫‬ ‫‪2ρ ∞ dU‬‬ ‫‪dr‬‬ ‫‪′‬‬ ‫√‬ ‫‪p1y = −‬‬ ‫‪v∞ ρ dr r2 − ρ2‬‬ ‫ואם נציב חזרה עבור הזוית ‪ ,θ1‬נקבל‬ ‫‪dU‬‬ ‫‪dr‬‬ ‫√‬ ‫‪2‬‬ ‫‪dr r − ρ2‬‬ ‫‪)(16‬‬ ‫∫‬ ‫∞‬ ‫‪ρ‬‬ ‫‪2ρ‬‬ ‫‪θ1 = −‬‬ ‫‪2‬‬ ‫∞‪m1 v‬‬ ‫ביטוי זה נותן את )‪ .θ1 (ρ‬כעת אם נחשב את חתך הפעולה לפיזור במערכת המעבדה ממשואה‬ ‫(??) ונשתמש בקירוב של זויות קטנות ‪ sin θ1 ≈ θ1‬נקבל‪:‬‬ ‫) ‪dρ ρ(θ1‬‬ ‫‪dΩ1‬‬ ‫‪dθ1 θ1‬‬ ‫‪)(17‬‬ ‫‪8‬‬ ‫= ‪σ(Ω1 )dΩ1‬‬ ‫אוסילציות קטנות‬ ‫בעיות הדנות באוסילציות קטנות עוסקות בסטיות קטנות ממצב של שיוו משקל‪ ,‬ומכאן חשיבותן‪.‬‬ ‫מערכת בשיווי משקל הינה מערכת שבה לא פועלים כוחות חיצוניים‪:‬‬ ‫‪)(18‬‬ ‫‪∂V‬‬ ‫‪=0‬‬ ‫‪∂qi‬‬ ‫‪Fi = −‬‬ ‫כלומר מצב של שיווי משקל יציב מתואר ע”י מנימום של האנרגיה הפוטנציאלית ‪.q01 , q02 , ..q0n‬‬ ‫)‪.− ∂V∂q(q‬‬ ‫סטייה ממצב של שיווי משקל מיצרת כוח שפועל להחזיר את המערכת לשיווי משקל‬ ‫‪i‬‬ ‫מערכת שנמצאת במצב שיווי משקל ללא מהירות התחלתית תשאר במצב שיווי משקל‪) .‬מצב של‬ ‫שיווי משקל לא יציב הוא זה שעבורו סטייה אינפיניטסימלית מנקודת שיווי המשקל מייצרת תנועה‬ ‫שאיננה חסומה‪ .‬משימור אנרגיה ניתן לראות שאם לפוטנציאל יש מינימום אזי אם המערכת‬ ‫מקבלת אנרגיה ‪ dE‬מעל אנרגית שיווי המשקל אזי תזוזה מנקודת שיווי המשקל תגרור מהירויות‬ ‫הולכות וקטנות בעוד שבשיווי משקל לא יציב )מקסימום של הפוטנציאל( אז תזוזה מנקודת שיווי‬ ‫המשקל מייצרת מהירויות הולכות וגדלות‪ .‬אנחנו נתמקד בתיאור של מערכות שנמצאות בקרבה‬ ‫של שיווי משקל יציב‪.‬‬ ‫נגדיר את נקודת מינימום הפוטנציאל כ‪ qoi -‬ונפתח את הפוטנציאל מסביב לנקודת המינימום‬ ‫כאשר נסמן את הסטייה משיווי המשקל ב‪:xi -‬‬ ‫) ‪( 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪∂ V‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪V (q1 , q2 ...qn ) = V (q01 , q02 ...q0n ) +‬‬ ‫‪|0 xi xj ≡ V0 + kij xi xj‬‬ ‫‪)(19‬‬ ‫‪2 ∂qi ∂qj‬‬ ‫‪2‬‬ ‫כאשר הסדר הראשון מתאפס מהגדרת המינימום והקבועים ‪ kij‬הם הנגזרות השניות של הפוטנציאל‬ ‫בנקודת המינימום‪ .‬כמו כן אנו נתעלם מהקבוע ‪ V0‬שהוא ערך המינימום של הפוטנציאל על ידי‬ ‫הגדרה מחדש של נקודת האפס של הפוטנציאל‪ .‬ניתן לראות מההגדרה שהמטריצה ‪ kij‬היא‬ ‫סימטרית‪) .‬אם ‪ kij‬מתאפס עבור קואורדינטות מסויימות נאמר שזהו מינימום ‪). indiferent‬‬ ‫באותו האופן‪ ,‬ניתן לקרב את האנרגיה הקינטית לסדר המוביל בסטייה משיווי המשקל )כאשר‬ ‫‪3‬‬ ‫אנחנו מניחים שהטרנספורמציה שמגדירה את הקואורדינטות המוכללות איננה תלויה מפורשות‬ ‫בזמן(‪:‬‬ ‫‪)(20‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪T = mij (q1 , ...qn )q̇i q̇j ≈ mij (q01 , ...q0n )ẋi ẋj ≡ mij ẋi ẋj‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫כאשר המטריצה ‪ mij‬היא סימטרית‪ .‬מכאן שה‪ Lagrangian -‬של המערכת הינו‪:‬‬ ‫∑‪1‬‬ ‫) ‪(mij ẋi ẋj − kij xi xj‬‬ ‫‪2 ij‬‬ ‫‪)(21‬‬ ‫=‪L‬‬ ‫את משוואות התנועה נקבל ע”י וריאציה של ה‪:Lagrangian-‬‬ ‫∑‪1‬‬ ‫) ‪(mij ẋi dẋj + mij dẋi ẋj − kij dxi xj − kij xi dxj‬‬ ‫‪2 ij‬‬ ‫∑‬ ‫) ‪(mij dẋi ẋj − kij dxi xj‬‬ ‫=‬ ‫= ‪L‬‬ ‫‪)(22‬‬ ‫‪ij‬‬ ‫כאשר בשורה השניה שינינו את אינדקסי הסכימה והשתמשנו בתכונת הסימטריות של המטריצות‬ ‫̂‪ .K̂, M‬כעת ניתן לראות ש‪:‬‬ ‫‪)(23‬‬ ‫‪)(24‬‬ ‫∑‬ ‫‪∂L‬‬ ‫‪= −‬‬ ‫‪kij xj‬‬ ‫‪∂xi‬‬ ‫‪j‬‬ ‫∑‬ ‫‪∂L‬‬ ‫=‬ ‫‪mij ẋj‬‬ ‫‪∂ ẋi‬‬ ‫‪j‬‬ ‫כך שמשוואות התנועה הינן‪:‬‬ ‫‪)(25‬‬ ‫‪(mij ẍj + kij xj ) = 0‬‬ ‫∑‬ ‫‪j‬‬ ‫נניח ‪ N‬פתרונות מהצורה ‪ ,xj = Aj eiωt‬נציב ונקבל‪:‬‬ ‫(∑‬ ‫)‬ ‫‪−ω 2 mij + kij Aj = 0‬‬ ‫‪)(26‬‬ ‫‪j‬‬ ‫זוהי למעשה משוואה מטריציונית של ערכים עצמיים‪:‬‬ ‫)‬ ‫‪2‬‬ ‫‪⃗=0‬‬ ‫‪−ω M̂ + K̂ A‬‬ ‫‪)(27‬‬ ‫(‬ ‫כאשר קיימים פתרונות שאינם מתאפסים לוקטור ⃗‬ ‫‪ A‬אם ורק אם הדטרמיננטה של המטריצה‬ ‫מתאפסת‪:‬‬ ‫‪)(28‬‬ ‫‪−ω 2 mij + kij = 0‬‬ ‫זהו פולינום מסדר ‪ N‬ב‪ ,ω 2 -‬והיא בעלת ‪ N‬פתרונות‪ .‬מסיבות פיסיקליות )כמו גם מהעובדה‬ ‫ש‪ M̂ , K̂-‬ממשיות וסימטריות( נובע שהפתרונות הינן ממשיים וחיוביים‪ ,‬כיוון שאם ל‪ ω-‬יהיה חלק‬ ‫‪4‬‬ ‫מדומה אזי יהיו פתרונות של הקואורדינטות ומהירויות שדועכים או גדלים ללא הגבלה ומכאן‬ ‫שהאנרגיה של המערכת לא נשמרת‪) .‬יש לזכור כי המערכות שאנחנו ממדלים בעזרת המטריצות‬ ‫̂‪ M̂ , K‬הינן מערכות פיסיקליות‪ ,‬ולכן המטריצות הללו אינן שרירותיות ומקיימות תנאים מסויימים(‪.‬‬ ‫את הטענה הזו ניתן גם להוכיח באופן מתמטי כאשר אם נכפול את משוואת התנועה ב‪ A∗i -‬ונסכום‬ ‫על האינדקסים ‪ i‬ו‪: j -‬‬ ‫(∑‬ ‫)‬ ‫‪−ω 2 mij + kij Aj = 0‬‬ ‫‪)(29‬‬ ‫)‬ ‫‪−ω 2 mij + kij A∗i Aj = 0‬‬ ‫‪j‬‬ ‫(∑‬ ‫‪ij‬‬ ‫נקבל‪:‬‬ ‫‪)(30‬‬ ‫∑‬ ‫‪kij A∗i Aj‬‬ ‫‪2‬‬ ‫∑= ‪ω‬‬ ‫‪mij A∗i Aj‬‬ ‫כעת אם נסתכל על הצמוד הקומפלקסי‪:‬‬ ‫∑‬ ‫∑‬ ‫∑‬ ‫∗‬ ‫∗‬ ‫∗‬ ‫‪k‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪kji Ai A∗j‬‬ ‫(‬ ‫‪k‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪A‬‬ ‫)‬ ‫‪ij‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪ij‬‬ ‫‪j‬‬ ‫‪j‬‬ ‫‪i‬‬ ‫∑‬ ‫∑‬ ‫=‬ ‫‪= ω2‬‬ ‫‪)(31‬‬ ‫∑ = ∗) ‪(ω 2‬‬ ‫=‬ ‫∗) ‪( mij A∗i Aj‬‬ ‫‪mij Ai A∗j‬‬ ‫‪mji Ai A∗j‬‬ ‫על מנת לראות שהערכים העצמיים חיוביים‪ ,‬נכתוב את המספרים הקומפלקסים‪Ai = αi + iβi :‬‬ ‫ואז‪:‬‬ ‫∑‬ ‫∑‬ ‫= ) ‪kij (αi + iβi )(αj − iβj‬‬ ‫) ‪kij (αi αj + βi βj ) + ikij (βi αj − αi βj‬‬ ‫‪)(32‬‬ ‫כאשר האיבר השני מתאפס בגלל ש‪ K̂-‬סימטרית‪ .‬מכאן שהמונה והמכנה הינם סכום של שני‬ ‫מספרים חיוביים‪.‬‬ ‫‪ N‬הפתרונות של המשוואה ‪ )(28‬הינן התדירויות העצמיות או התדירויות האופייניות‪ .‬אחרי‬ ‫מציאת הפתרונות‪ ,‬נציב את ‪ ωα‬במשוואה עבור המקדמים ‪ .Aj‬אם כל הערכים העצמיים שונים‪,‬‬ ‫אזי המקדמים ‪ Aj‬פרופורציונים למינורים של הדטרמיננטה עם ‪ .∆jα ,ω = ωα‬המקדם יקבע עד‬ ‫כדי קבוע מרוכב ‪ .cj‬סכום הפתרונות הללו עם מקדמים מרוכבים יהווה את הפתרון הכללי לבעיה‪:‬‬ ‫∑‬ ‫∑‬ ‫‪xj = ℜ‬‬ ‫= ‪cα ∆jα eiωα t‬‬ ‫‪∆jα Θα‬‬ ‫‪)(33‬‬ ‫‪α‬‬ ‫‪α‬‬ ‫עבור ] ‪ .Θα = ℜ [cα eiωα t‬כלומר הפתרון הכללי הינו סכום של אוסילציות מחזוריות בתדירויות‬ ‫העצמיות עם אמפליטודה ופאזה שרירותיות‪.‬‬ ‫למעשה‪ ,‬את משוואה ‪ )(33‬אפשר לקרוא כמשוואה עבור ‪ N‬משתנים‪ Θα :‬שתלויים בקואורדינטות‪.‬‬ ‫מכאן ש ‪ Θα‬הינן קואורדינטות מוכללות‪ .‬כמו כן מהגדרתן ] ‪ Θα = ℜ [cα eiωα t‬נובע שהן מקיימות‪:‬‬ ‫‪)(34‬‬ ‫‪Θ̈α + ωα2 Θα = 0‬‬ ‫מכאן שהקואורדינטות הנורמליות ‪ Θα‬מקיימות משוואות בלתי תלויות )בניגוד למשוואות המצומדות‬ ‫של הקואורדינטות ‪ ,xi‬כך שה‪ Lagrangian -‬מקיים‪:‬‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫∑‪1‬‬ ‫‪)(35‬‬ ‫=‪L‬‬ ‫‪mα Θ̇2α − ωα2 Θ2α‬‬ ‫‪2 α‬‬ ‫‪5‬‬ ‫או במילים אחרות‪ ,‬הטרנספורמציה ‪ )(33‬מלכסנת סימולטנית את האנרגיה הפוטנציאלית והקינטית‪.‬‬ ‫)למי שזה נראה מוזר שהצלחנו ללכסן שתי מטריצות ישים לב שהטרנספורמציה ‪ )(33‬איננה‬ ‫טרנספורמצית סיבוב בלבד‪ ,‬וכי גם הכפלנו את התדירויות העצמיות בקבוע(‪ .‬הסיבה שהדבר‬ ‫הזה אפשרי נובעת מכך ש‪ M̂ -‬ו‪ K̂ -‬שתיהן מטריצות סימטריות‪ ,‬לכן ניתן ללכסן אותן יחדיו‪:‬‬ ‫ראשית כיוון ש ̂‪ M‬סימטרית‪ ,‬ניתן ללכסן אותה באמצעות טרנספומציה אורתוגונלית ‪ O1‬כך ש‪:‬‬ ‫‪O1T M̂ O1 = M̂d‬‬ ‫‪)(36‬‬ ‫שנית ניתן להניח ש‪ M̂ -‬היא בעלת ערכים חיוביים )שאם לא כן אז האנרגיה הקינטית יכולה להפוך‬ ‫להיות שלילית(‪ .‬לכן נוכל להגדיר מטריצה אלכסונית שהאיברים שלה הם השורשים של הערכים‬ ‫‪−1/2‬‬ ‫‪−1/2‬‬ ‫‪ O1 M̂d‬הופכת את ̂‪ M‬למטריצת היחידה‪:‬‬ ‫‪ .M̂d‬אז הטרנספורמציה‬ ‫העצמיים‬ ‫‪)(37‬‬ ‫‪=1‬‬ ‫‪−1/2‬‬ ‫‪O1T M̂ O1 M̂d‬‬ ‫‪−1/2‬‬ ‫‪M̂d‬‬ ‫באופן כללי כל מה שאנחנו יודעים על הטרנספורמציה שהגדרנו היא שהמטריצה‪:‬‬ ‫‪ˆ ≡ M̂ −1/2 OT K̂O M̂ −1/2‬‬ ‫̃‪K‬‬ ‫‪1 d‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪)(38‬‬ ‫גם היא סימטרית כיוון ש‪:‬‬ ‫‪]T‬‬ ‫[‬ ‫‪−1/2‬‬ ‫‪−1/2‬‬ ‫‪−1/2‬‬ ‫‪−1/2‬‬ ‫‪−1/2‬‬ ‫‪−1/2 T‬‬ ‫‪= M̂d O1T K̂O1 M̂d‬‬ ‫‪= M̂d O1T K̂ T O1 M̂d‬‬ ‫‪M̂d O1 K̂O1 M̂d‬‬ ‫מכאן שניתן ללכסן את ˆ‬ ‫̃‪ K‬עם טרנספורמציה אורתוגנלית ‪ .O2‬כיוון ש‪ M̃ = 1 -‬היא מטריצת‬ ‫היחידה הטרנספורמציה ‪ O2‬איננה משנה אותה ומכאן שהוכחנו‪:‬‬ ‫‪)(39‬‬ ‫‪)(40‬‬ ‫‪8.1‬‬ ‫)‬ ‫‪ω12 , ..., ωn2‬‬ ‫(‬ ‫‪= 1‬‬ ‫‪= Diag‬‬ ‫‪−1/2‬‬ ‫‪O1T M̂ O1 M̂d‬‬ ‫‪−1/2‬‬ ‫‪O2‬‬ ‫‪−1/2‬‬ ‫‪−1/2 T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪O2 M̂d O1 K̂O1 M̂d O2‬‬ ‫‪O2T M̂d‬‬ ‫דוגמה‪ :‬שתי מטוטלות מצומדות‬ ‫נתונות שתי מטוטלות בעלות מסה זהה‪ ,‬מחוברות בחוט אלסטי‪ .‬נניח תנודות קטנות מסביב‬ ‫לנקודת שיווי המשקל‪ .‬האנרגיה הקינטית הינה‪:‬‬ ‫‪)(41‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪Ti = mẋ2i = l2 θ̇i2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫כאשר ‪ .i = 1, 2‬בהעדר החוט האלסטי האנרגיה הפוטנציאלית של כל מטוטלת הינה‪:‬‬ ‫‪)(42‬‬ ‫‪Ui = −mgl cos θi‬‬ ‫כאשר נקודת שיווי המשקל היא סביב ‪ .θi = 0‬אם נפתח את האנרגיה הפוטנציאלית מסביב‬ ‫לנקודת שיווי המשקל נמצא שהנגזרת הראשונה מתאפסת )מהגדרת נקודת שיווי המשקל(‪.‬‬ ‫והאיבר המוביל הוא מסדר שני בהזזה משיווי משקל‪:‬‬ ‫‪)(43‬‬ ‫‪m 2‬‬ ‫‪glθi‬‬ ‫‪2‬‬ ‫≈ ‪Ui = −mgl cos θi‬‬ ‫‪6‬‬ ‫)שימו לב שאילו היינו מפתחים סביב נקודה שרירותית אז הנגזרת הראשונה לא מתאפסת(‪ .‬כמו‬ ‫כן האנרגיה הפוטנציאלית כתוצאה מהתנועה היחסית הינה‪:‬‬ ‫‪)(44‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪U1,2 = k (x1 − x2 )2 ≈ kl2 (θ1 − θ2 )2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ה‪ Lagrangian-‬הינו‪:‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫‪m 2 2‬‬ ‫‪g 2 g 2‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫) ‪l θ̇1 + θ̇2 − θ1 − θ2 − (θ1 − θ2‬‬ ‫‪)(45‬‬ ‫= ‪L‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪l‬‬ ‫‪l‬‬ ‫‪m‬‬ ‫])‬ ‫‪g( 2‬‬ ‫‪m 2[ 2‬‬ ‫=‬ ‫‪l θ̇1 + θ̇22 −‬‬ ‫‪θ1 + θ22 + r(θ1 − θ2 )2‬‬ ‫‪)(46‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪l‬‬ ‫עם ‪ r = kl/mg‬וכאשר זרקנו קבועים מיותרים‪ .‬ניתן לראות כי הטרנספורמציה הבאה‪:‬‬ ‫‪)(47‬‬ ‫‪1‬‬ ‫) ‪q1 = √ (θ1 + θ2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫) ‪q2 = √ (θ1 − θ2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫מלכסנת את האנרגיה הפוטנציאלית והקינטית‪ .‬במונחים אלו ה‪ Lagrangian-‬הינו סכום של‬ ‫שתי תנודות בלתי תלויות‪:‬‬ ‫[‬ ‫]‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫‪m 2 2‬‬ ‫‪g 2‬‬ ‫= ‪L‬‬ ‫‪l q̇1 + q̇22 −‬‬ ‫‪q1 + q22 + 2rq22‬‬ ‫‪)(48‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪l‬‬ ‫לתנודות האופייניות יש משמעות פשוטה ‪ -‬אם ‪ q2 = 0‬המטוטלות נעות בלי הפרש פאזה‬ ‫ביניהן ומכאן שהחוט האלסטי איננו משפיע על התנודה ותדירות התנועה שווה לתדירות התנועה‬ ‫של מטוטלת פשוטה‪ .‬אם ‪ q1 = 0‬אז המטוטלות נעות בפאזה הפוכה‪ .‬במקרה זה תדירות‬ ‫התנודה גדלה כתוצאה מהחוט האלסטי שמחבר בינהן‪ .‬פתרון כללי של הבעיה הוא אם כן‬ ‫סכום של שתי הרמוניות אלו‪ .‬תדירות התנודה הראשונה ידועה מתנועה של מטוטלת יחידה‬ ‫והיא ‪ .ω12 = g/l‬תדירות התנודה השניה )כפי שניתן לראות מהצורה של ה‪(Lagrangian-‬‬ ‫הינה‪.ω22 = g/l + 2k/m:‬‬ ‫איך משתנה התנועה אם אחת המטוטלות היא בעלת אורך ‪ L ≫ l‬בגבול שבו הצימוד קטן‬ ‫‪?k/m ≪ g/L‬‬ ‫הסדר המוביל בצימוד קטן הוא צימוד אפס‪ .‬במקרה זה כל מטוטלת תנוע באופן בלתי תלוי‬ ‫והתדירויות העצמיות יהיה ‪ ω12 = g/l‬ו‪.ω22 = g/L-‬‬ ‫איך משתנה התנועה אם אחת המטוטלות היא בעלת מסה‪?M > m :‬‬ ‫ראשית ברור כי התנועה הראשונה בה שתי המסות נעות ביחד איננה תלויה במסה‪ ,‬כפי שניתן‬ ‫לראות מתדירות התנועה‪.ω12 = g/l :‬‬ ‫מה קורה לתנועה היחסית כאשר ‪ ? M ≫ m‬ראשית אפשר לנחש‪ :‬במקרה זה המטוטלת‬ ‫הכבדה כמעט שאיננה נעה וניתן לחשוב על המערכת כזו שבה מטוטלת אחת מחוברת לקיר‪.‬‬ ‫התנועה היחסית תהיה אם כן תנועה של מסה אחת מחוברת לקיר כאשר ההבדל יהיה שהמסה‬ ‫המצומצמת ‪ ,m/2‬תהפוך להיות ‪ m‬ואז ‪ .ω22 = g/l + k/m‬נוכל גם לקבל את הקשר הזה‬ ‫מפתרון משוואות התנועה‪ ,‬כאשר ננחש פתרון מהצורה ‪ .θi (t) = Ai eiωt‬קיים פתרון שאיננו אפס‬ ‫אם הדטרמיננטה מתאפסת‪:‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫‪2‬‬ ‫‪k + gm/l − mω‬‬ ‫‪−k‬‬ ‫‪det‬‬ ‫‪=0‬‬ ‫‪)(49‬‬ ‫‪−k‬‬ ‫‪k + gM /l − M ω 2‬‬ ‫‪7‬‬ ‫כעת אם נגדיר‪ y = g/l − ω 2 :‬נקבל‪:‬‬ ‫‪(my + k)(M y + k) − k 2 = 0‬‬ ‫‪y(mM y + k(m + M )) = 0‬‬ ‫‪)(50‬‬ ‫והפתרון מקיים‪:‬‬ ‫‪)(51‬‬ ‫‪8.2‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪m/M →0‬‬ ‫‪(m/M + 1) −−−−−→= −‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪y=−‬‬ ‫דוגמה ‪ -‬מולקולה תלת אטומית‬ ‫‪m‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪m‬‬ ‫המולקולה התלת‪-‬אטומית בציור הינה קירוב טוב למולקולה של פחמן ‪ .CO2‬נתמקד בתנועה‬ ‫לאורך ציר המולקולה‪ .‬ה‪ Lagrangian -‬של הבעיה הינו‪:‬‬ ‫‪)(52‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫) ‪L = mẋ21 + M ẋ22 + mẋ23 − V (x1 − x2 ) − V (x2 − x3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫כאשר ‪ V‬הינו הפוטנציאל הבין אטומי‪ .‬למרות שבאופן כללי הפוטנציאל הבין אטומי הוא פונקציה‬ ‫מורכבת‪ ,‬אנחנו מעוניינים בתנודות מסביב לשיווי משקל ולכן אם נפתח את הפוטנציאל בטור‬ ‫טיילור מסביב לנקודת שיווי המשקל ‪ xi = x0i + ηi :‬ונשתמש בסימטריה של המולקולה ‪|x01 −‬‬ ‫‪:x02 | = |x03 − x02 | = r0‬‬ ‫‪)(53‬‬ ‫‪∂V‬‬ ‫‪1 ∂ 2V‬‬ ‫‪|r=r0 (r − r0 ) +‬‬ ‫‪|r=r0 (r − r0 )2 + ...‬‬ ‫‪∂r‬‬ ‫‪2 ∂r2‬‬ ‫‪V (r) = V (r0 ) +‬‬ ‫נקבל‪:‬‬ ‫‪)(54‬‬ ‫]‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫[‪k‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪L ≈ mη̇12 + M η̇22 + mη̇32 −‬‬ ‫‪(η1 − η2 )2 + (η2 − η3 )2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫כאשר ‪ .k = ∂ 2 V (0)/∂r2‬משוואות התנועה הן‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪m 0 0‬‬ ‫‪−k‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪η̈1‬‬ ‫‪η1‬‬ ‫‪ 0 M 0   η̈2  =  k −2k k   η2 ‬‬ ‫‪)(55‬‬ ‫‪η̈3‬‬ ‫‪η3‬‬ ‫‪0 0 m‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪k −k‬‬ ‫‪8‬‬ ‫אם ננחש פתרונות מהצורה ‪ ηi = Ai eiω‬אז המשוואה תקבל את הצורה‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪mω 2 − k‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪A1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  A2  = 0‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪M ω 2 − 2k‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪)(56‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪mω − k‬‬ ‫‪A3‬‬ ‫אם נפתור את משוואת הערכים העצמיים‪:‬‬ ‫‪(mω 2 − k)[(M ω 2 − 2k)(mω 2 − k) − 2k 2 ] = 0‬‬ ‫‪ω 2 (mω 2 − k)[M mω 2 − k(2m + M )] = 0‬‬ ‫כאשר הערכיים העצמיים הינם‪:‬‬ ‫‪ω12 = 0‬‬ ‫‪k‬‬ ‫= ‪ω22‬‬ ‫‪M‬‬ ‫) ‪k(2m + M‬‬ ‫= ‪ω32‬‬ ‫‪mM‬‬ ‫‪)(57‬‬ ‫הערך העצמי ‪ ω1 = 0‬מתאים לוקטור העצמי ‪ .v⃗1 = (1, 1, 1)T‬זו איננה תנודה אלא הזזה של‬ ‫המולקולה‪ .‬האנרגיה הפוטנציאלית איננה משתנה כתוצאה מהזזה של כל המולקולה‪ .‬כיוון שאין‬ ‫כוח ”מחזיר” אז גם תדירות התנודה מתאפסת‪ .‬למעשה הנחנו שקיימות שלוש דרגות חופש של‬ ‫תנודות כאשר למעשה אחת מדרגות החופש איננה תנודה אלא הזזה‪ .‬אם היינו עוברים למערכת‬ ‫מרכז המסה‪ m(x1 + x3 ) + M x2 = 0 ,‬ומשתמשים בקשר הזה היינו נותרים עם שתי דרגות‬ ‫החופש של התנודות‪ .‬התנודה בתדירות ‪ ω22 = Mk‬מתאימה לוקטור העצמי ‪.v⃗2 = (1, 0, −1)T‬‬ ‫בתנודה זו שתי המסות החיצוניות מתנדנדות בפאזה הפוכה כאשר המסה האמצעית איננה זזה‪.‬‬ ‫)‬ ‫‪ ω32 = k(2m+M‬מתאימה לוקטור ‪ v⃗3 = (1, −2m/M, 1)T‬והיא מתארת‬ ‫והתנודה בתדירות‬ ‫‪mM‬‬ ‫תנודה שבה שתי המסות החיצוניות נעות בכיוון אחד והמסה האמצעית נעה בכיוון ההפוך‪ .‬מכאן‬ ‫שתנועה כללית שמתארת סטיית קטנה משיווי משקל היא סכום של התנודות העצמיות‪:‬‬ ‫‪)(58‬‬ ‫‪8.3‬‬ ‫)) ‪⃗η (t) = v⃗1 (A + Bt) + v⃗2 C cos(ω2 (t − t2 )) + v⃗3 D cos(ω3 (t − t3‬‬ ‫תנודות של מולקולות‬ ‫כפי שראינו בדוגמה האחרונה‪ ,‬עבור אוסף של חלקיקים שביניהם פועלת אינטרקציה‪ ,‬לא כל‬ ‫דרגות החופש מייצגות תנודות‪ .‬בדוגמה של מולקולות בנוסף לתנודות מסביב לנקודת שיווי‬ ‫המשקל‪ ,‬המולקולה כולה יכולה לבצע הזזה או סיבוב‪ .‬בדרך כלל ישנן שלוש דרגות חופש‬ ‫הקשורות להזזה )בשלושת הצירים( ושלוש דרגות חופש הקשורות לסיבוב של המולקולה‪ ,‬כך‬ ‫שבאופן כללי במולקולה המורכבת מ‪ n-‬אטומים ישנן ‪ 3n − 6‬דרגות חופש של תנודות‪ .‬המקרה‬ ‫היוצא דופן כפי שראינו בדוגמה הוא זה שבו האטומים מסודרים לאורך קו אחד )‪(colinear‬‬ ‫במקרה זה אין משמעות לסיבוב מסביב לציר המולקולה וקיימות ‪ 3n − 5‬דרגות חופש של‬ ‫תנודות‪ .‬כאשר פותרים בעיות של תנודות מולקולות‪ ,‬נוח להוריד מראש את דרגות החופש‬ ‫שקשורות להזזות וסיבובים‪ .‬את דרגות החופש שקשורות להזזה ניתן להסיר ע”י הדרישה שמרכז‬ ‫המסה נמצא במנוחה או שהתנע הכולל מתאפס‪ .‬אם נגדיר את וקטור הרדיוס של האטום ‪ a‬כך‪:‬‬ ‫∑ אזי הדרישה למעבר למערכת מרכז‬ ‫הרדיוס בשיווי משקל‪,‬‬ ‫כאשר ‪ r0a‬הוא וקטור∑‬ ‫‪∑ra = r0a + ua‬‬ ‫= ‪ ma ra = const‬נותן ‪. ma ua = 0‬‬ ‫המסה ‪ma r0a‬‬ ‫‪9‬‬ ‫על מנת להסיר את דרגות החופש הסיבוביות‪ ,‬יש לדרוש שהתנע הזויתי הכולל מתאפס‪.‬‬ ‫באופן כללי כיוון שהתנע הזויתי הוא לא נגזרת שלמה של פונקציה כלשהי של הקואורדינטות‪ ,‬אי‬ ‫אפשר לנסח את הדרישה הזו כדרישה שפונקציה כלשהי של הקואורדינטות מתאפסת‪ ,‬אבל קרוב‬ ‫לשיווי משקל‪ ,‬בסדר מוביל ב‪ ua -‬הדבר מתאפשר ואנו מקבלים את הדרישה‪:‬‬ ‫‪)(59‬‬ ‫∑ ‪d‬‬ ‫‪ma r0a × ua‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫= ‪ma r0a × u̇a‬‬ ‫∑‬ ‫≈ ‪ma ra × va‬‬ ‫∑‬ ‫=‪M‬‬ ‫התנאי שהתנע הזויתי מתאפס גורר )באותו הסדר של הקירוב( את התאפסות הגודל‪:‬‬ ‫∑‬ ‫‪ma r0a × ua = 0‬‬ ‫‪)(60‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪8.3‬‬ ‫תנודות של מולקולות‬ ‫כפי שראינו בדוגמה האחרונה‪ ,‬עבור אוסף של חלקיקים שביניהם פועלת אינטרקציה‪ ,‬לא כל‬ ‫דרגות החופש מייצגות תנודות‪ .‬בדוגמה של מולקולות בנוסף לתנודות מסביב לנקודת שיווי‬ ‫המשקל‪ ,‬המולקולה כולה יכולה לבצע הזזה או סיבוב‪ .‬בדרך כלל ישנן שלוש דרגות חופש‬ ‫הקשורות להזזה )בשלושת הצירים( ושלוש דרגות חופש הקשורות לסיבוב של המולקולה‪ ,‬כך‬ ‫שבאופן כללי במולקולה המורכבת מ‪ n-‬אטומים ישנן ‪ 3n − 6‬דרגות חופש של תנודות‪ .‬המקרה‬ ‫היוצא דופן כפי שראינו בדוגמה הוא זה שבו האטומים מסודרים לאורך קו אחד )‪(colinear‬‬ ‫במקרה זה אין משמעות לסיבוב מסביב לציר המולקולה וקיימות ‪ 3n − 5‬דרגות חופש של‬ ‫תנודות‪ .‬כאשר פותרים בעיות של תנודות מולקולות‪ ,‬נוח להוריד מראש את דרגות החופש‬ ‫שקשורות להזזות וסיבובים‪ .‬את דרגות החופש שקשורות להזזה ניתן להסיר ע”י הדרישה שמרכז‬ ‫המסה נמצא במנוחה או שהתנע הכולל מתאפס‪ .‬אם נגדיר את וקטור הרדיוס של האטום ‪ a‬כך‪:‬‬ ‫∑ אזי הדרישה למעבר למערכת מרכז‬ ‫הרדיוס בשיווי משקל‪,‬‬ ‫כאשר ‪ r0a‬הוא וקטור∑‬ ‫‪∑ra = r0a + ua‬‬ ‫= ‪ ma ra = const‬נותן ‪. ma ua = 0‬‬ ‫המסה ‪ma r0a‬‬ ‫על מנת להסיר את דרגות החופש הסיבוביות‪ ,‬יש לדרוש שהתנע הזויתי הכולל מתאפס‪.‬‬ ‫באופן כללי כיוון שהתנע הזויתי הוא לא נגזרת שלמה של פונקציה כלשהי של הקואורדינטות‪ ,‬אי‬ ‫אפשר לנסח את הדרישה הזו כדרישה שפונקציה כלשהי של הקואורדינטות מתאפסת‪ ,‬אבל קרוב‬ ‫לשיווי משקל‪ ,‬בסדר מוביל ב‪ ua -‬הדבר מתאפשר ואנו מקבלים את הדרישה‪:‬‬ ‫‪)(1‬‬ ‫∑ ‪d‬‬ ‫‪ma r0a × ua‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫= ‪ma r0a × u̇a‬‬ ‫∑‬ ‫≈ ‪ma ra × va‬‬ ‫∑‬ ‫=‪M‬‬ ‫התנאי שהתנע הזויתי מתאפס גורר )באותו הסדר של הקירוב( את התאפסות הגודל‪:‬‬ ‫∑‬ ‫‪ma r0a × ua = 0‬‬ ‫‪)(2‬‬ ‫את התנודות של המולקולות ניתן לחלק לקבוצות בהתאם לסימטריה של הבעיה‪ .‬לדוגמה אם‬ ‫כל ‪ n‬האטומים נמצאים על מישור אזי ניתן לסווג את התנודות של המולקולה כתנודות במישור או‬ ‫מחוצה לו‪ .‬כיוון שבמישור ישנם ‪ 2n‬דרגות חופש‪ ,‬מתוכן שתי דרגות של הזזה ואחת של סיבוב‬ ‫ישנם סך הכל ‪ 2n − 3‬דרגות חופש של תנודות במישור המולקולה ו‪-‬‬ ‫‪ 3n − 6 − (2n − 3) = n − 3‬דרגות חופש של תנודות מחוץ למישור‪ .‬דוגמה נוספת היא‬ ‫עבור מולקולה שבה כל האטומים נמצאים על קו אחד‪ .‬כיוון שמספר דרגות החופש לאורך קו הוא‬ ‫‪ n‬מתוכם דרגת חופש אחת של הזזה‪ .‬מכאן שיש ‪ n − 1‬דרגות חופש של תנודות לאורך הקו‬ ‫ו‪ 2n − 4-‬תנודות בניצב לציר המולקולה‪ .‬אולם בדוגמה זו בגלל הסימטריה של הבעיה ישנן רק‬ ‫‪ n − 2‬תדירויות של התנודה בניצב לציר כיוון שכל תנודה יכולה להתבצע בשני מישורים ניצבים‬ ‫לציר ומסמטריה ברור שהתדירות תהייה זהה‪.‬‬ ‫‪8.4‬‬ ‫תנודות מאולצות במערכת של הרבה דרגות חופש‬ ‫תנודות חופשיות הן תוצר של מערכת שבתחילת התנועה מוזזת משיווי משקל‪ ,‬ואז המערכת‬ ‫מבצעת אוסילציות מסביב לשיווי משקל‪ .‬כעת נטפל במערכת שעושה אוסילציות ושפועל בה כוח‬ ‫חיצוני משתנה בזמן שמאלץ את האוסילציות‪ .‬כמו בפרק הקודם אנו מניחים שהאוסילציות קטנות‬ ‫ומכאן שהכוח הפועל קטן גם הוא‪ .‬כוח גדול מדי עלול לגרום לתזוזות גדולות של הקואורדינטות‬ ‫מנקודת המינימום‪ .‬במערכת זו‪ ,‬בנוסף לאנרגיה הפוטנציאלית ‪ V ({qi }) = 12 kij xi xj‬קיימת‬ ‫‪1‬‬ ‫אנרגיה פוטנציאלית שנובעת מהכוח החיצוני‪ .‬אם נפתח את הפוטנציאל החיצוני בסדר מוביל‬ ‫בסטייה משיווי משקל‪:‬‬ ‫∑‬ ‫‪Ve ({qi }, t) ≊ Ve ({q0i }, t) +‬‬ ‫] ‪xi [∂Ve ({q0i }, t)/∂xi‬‬ ‫‪)(3‬‬ ‫כאשר האיבר הראשון תלוי רק בזמן ולכן הוא אינו משנה את משוואות התנועה‪ ,‬ומכאן שניתן‬ ‫להסיר אותו מה‪) .Lagrangian-‬כיוון שהוא תלוי רק בזמן הוא מהווה נגזרת שלמה לפי הזמן של‬ ‫פונקציה אחרת של הזמן(‪ .‬האיבר השני הינו הכוח שפועל בנקודת שיווי המשקל )‪ .Fi (t‬מכאן‬ ‫שה‪ Lagrangian-‬של המערכת יהיה‪:‬‬ ‫∑‬ ‫‪L = L0 +‬‬ ‫‪Fi (t)xi‬‬ ‫‪)(4‬‬ ‫‪i‬‬ ‫כעת אם נשתמש בטרנספורמציה שמעבירה לקואורדינטות של התנודות הנורמליות ‪:)(8‬‬ ‫∑‬ ‫= ‪xj‬‬ ‫‪∆ja Θa‬‬ ‫‪)(5‬‬ ‫‪a‬‬ ‫אזי נקבל את הכוח בקואורדינטות הנורמליות‪:‬‬ ‫∑‬ ‫∑‬ ‫= ‪Fi (t)xi‬‬ ‫‪fa (t)Θa‬‬ ‫‪)(6‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪i‬‬ ‫∑‬ ‫כאשר ‪ fa (t) = i Fi (t)∆ia‬ומכאן שמשוואות התנועה בבסיס של התנודות הנורמליות מתארות‬ ‫סדרה של תנודות חד ממדיות בהשפעת כוח מאלץ‪:‬‬ ‫‪)(7‬‬ ‫‪Θ̈a + ωa2 Θa = fa /ma‬‬ ‫הפתרון של המשוואות הלא הומוגניות הינו סכום של פתרון כללי ‪ Θ0a‬שניתן במשוואה‪:‬‬ ‫∑‬ ‫∑‬ ‫‪xj = ℜ‬‬ ‫= ‪cα ∆jα eiωα t‬‬ ‫‪∆jα Θα‬‬ ‫‪)(8‬‬ ‫‪α‬‬ ‫‪α‬‬ ‫ופתרון פרטי ‪ .Θ1a‬נתמקד בכוח מאלץ שהינו בעצמו פונקציה מחזורית של הזמן‪ ,‬עם תדירות ‪:Ω‬‬ ‫‪)(9‬‬ ‫) ‪fa (t) = fa cos (Ωt + βa‬‬ ‫וננחש פתרון מהצורה‬ ‫‪)(10‬‬ ‫) ‪Θ1a = Ba cos (Ωt + βa‬‬ ‫כאשר את המקדם ‪ B‬נמצא ע”י הצבה במשוואת התנועה ) ‪ .Ba = fa /ma (ωa2 − Ω2‬מכאן‬ ‫שהפתרון הכולל של משוואת התנועה מקיים‪:‬‬ ‫[‬ ‫]‬ ‫∑‬ ‫‪fa‬‬ ‫= ‪xj‬‬ ‫‪∆ja ca cos (ωa t + αa ) +‬‬ ‫) ‪cos (Ωt + βa‬‬ ‫‪)(11‬‬ ‫) ‪2 − Ω2‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪(ω‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫כלומר בנוכחות כוח מאלץ מחזורי בזמן המערכת מבצעת תנועה שמורכבת משני אוסילציות‪,‬‬ ‫האחת בתדירות הפנימית והשניה בתדירות הכוח המאלץ‪ .‬ניתן לראות שגם אם הכוח הוא בעל‬ ‫‪2‬‬ ‫משרעת קטנה‪ ,‬המשרעת של הפתרון יכולה לגדול מאוד אם תדירות התנודות של הכוח המאלץ‬ ‫קרובה לתדירות הפנימית )מצב שנקרא רזוננס(‪.‬‬ ‫ישנם שני גורמים הקובעים באיזה מידה הכוח החיצוני יאלץ תנודה נורמלית כלשהי‪ :‬האחד‬ ‫קשור לאמפליטודת הכוח כאשר אם לכוח המאלץ אין רכיב שפועל בכיוון של תנודה נורמלית כלשהי‬ ‫אזי האמפליטודה של הכוח בכיוון התנודה הנורמלית יתאפס ‪ .fa = 0‬כלומר כוח חיצוני יכול לאלץ‬ ‫תנודה נורמלית נתונה רק אם הוא מזיז את החלקיקים בכיוון התנודה‪ .‬הגורם השני מידת הקרבה‬ ‫של תדירות התנודה הנורמלית וזו של הכוח המאלץ‪ .‬כפי שניתן לראות ב‪ )(11 -‬האמפליטודה של‬ ‫התנודה הנורמלית הולכת וגדלה ככל שתדירות הכוח המאלץ קרובה לתדירות של אותה התנודה‪.‬‬ ‫הפתרון ‪ )(11‬איננו תקף ברזוננס כלומר כאשר ‪ ωa = Ω‬כיוון שהנחנו אוסילציות קטנות וההנחה‬ ‫הזו נשברת ליד רזוננס‪ .‬כמו כן במערכות אמיתיות ישנם כוחות שיוצרים חיכוך ומדעיכים את‬ ‫התנועה‪.‬‬ ‫‪8.5‬‬ ‫תנודות בהשפעת כוח מרסן‬ ‫עד עכשיו הזנחנו את הסביבה שבה מתרחשת התנועה והנחנו שהתנועה מתרחשת בואקום‪.‬‬ ‫לרוב‪ ,‬כאשר גוף נע במדיום אזי המדיום מפעיל התנגדות שפועלת להאיט את התנועה‪ .‬תנועה‬ ‫במדיום צמיגי הינה למעשה מערכת עם הרבה דרגות חופש‪ ,‬שאינה תהליך מכני טהור ויש לקחת‬ ‫בחשבון גם את התנועה של המדיום וגם את השינוי של המצב התרמי של הגוף ושל המדיום גם‬ ‫יחד‪ .‬ואולם קיימת תת קבוצה של בעיות של אוסילציות בתדירויות שקטנות מאלו שאחראיות על‬ ‫תהליך הדיסיפציה‪ ,‬שאותן ניתן לתאר באמצעות כוח חיכוך אפקטיבי שתלוי רק במהירות הגוף‪.‬‬ ‫לרוב הכוחות המרסנים פרופורציונים למהירות החלקיק‬ ‫∑‬ ‫‪Fik ẋk‬‬ ‫‪)(12‬‬ ‫‪ff r = −‬‬ ‫‪k‬‬ ‫משיקולים מכניים טהורים לא ניתן לומר דבר על המקדמים ‪ Fik‬אבל ממכניקה סטטיסטית ניתן‬ ‫להראות ש‪ Fik = Fki -‬מכאן שניתן לגזור את כוחות החיכוך מפונקציה ריבועית שנקראת ‪-‬‬ ‫‪:dissipation function‬‬ ‫‪)(13‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪F = Fij ẋi ẋj‬‬ ‫‪2‬‬ ‫מההגדרה ברור כי ‪ Fij = Fji‬סימטרית‪ .‬כמו כן באופן כללי המקדמים ‪ Fij‬יהיו תלויים בקואורדינטות‪,‬‬ ‫ואולם קרוב לנקודת שיווי משקל נוכל לפתח את ‪ F‬בתור ולשמור את הסדר המוביל )קבוע(‪.‬‬ ‫בנוכחות כוח חיכוך משוואות התנועה משתנות באופן הבא‪:‬‬ ‫‪)(14‬‬ ‫‪Mij x¨j + Fij ẋ + Kij xj = 0‬‬ ‫או‪:‬‬ ‫‪)(15‬‬ ‫‪d ∂L‬‬ ‫‪∂L‬‬ ‫‪∂F‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪=0‬‬ ‫‪dt ∂ ẋj‬‬ ‫‪∂xj ∂ ẋj‬‬ ‫‪3‬‬ ‫קצב איבוד האנרגיה של המערכת ניתן על ידי פונקציית הדיסיפציה‪:‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫‪dE‬‬ ‫‪d ∑ ∂L‬‬ ‫=‬ ‫‪ẋi‬‬ ‫‪−L‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪∂ ẋi‬‬ ‫‪i‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫‪∑ ∂L‬‬ ‫‪d ∂L‬‬ ‫‪∂L‬‬ ‫‪∂L‬‬ ‫=‬ ‫‪ẍi‬‬ ‫‪+ ẋi‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪ẍi −‬‬ ‫‪ẋi‬‬ ‫‪∂ ẋi‬‬ ‫‪dt ∂ ẋi ∂ ẋi‬‬ ‫‪∂xi‬‬ ‫‪i‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫‪∑ d ∂L‬‬ ‫‪∂L‬‬ ‫=‬ ‫‪ẋi‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪ẋi‬‬ ‫‪dt ∂ ẋi ∂xi‬‬ ‫‪i‬‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫‪∑ ∂L‬‬ ‫‪∂F‬‬ ‫‪∂L‬‬ ‫‪ẋi −‬‬ ‫‪ẋi −‬‬ ‫‪ẋi‬‬ ‫=‬ ‫‪∂xi‬‬ ‫‪∂ ẋi‬‬ ‫‪∂xi‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪∑ ∂F‬‬ ‫‪= −‬‬ ‫‪ẋi‬‬ ‫‪)(16‬‬ ‫‪∂ ẋi‬‬ ‫‪i‬‬ ‫כאשר השתמשנו במשוואות התנועה בנוכחות חיכוך‪ .‬קיבלנו‪:‬‬ ‫‪∑ ∂F‬‬ ‫‪dE‬‬ ‫‪=−‬‬ ‫‪ẋi‬‬ ‫‪= −2F‬‬ ‫‪)(17‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫∂‬ ‫̇‪x‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪i‬‬ ‫כאשר השתמשנו בתאורית אוילר לפונקציות הומוגניות‪ .‬כלומר קצב איבוד האנרגיה שווה ל‪2F -‬‬ ‫ומכאן ש ‪ F‬תמיד חיובית‪.‬‬ ‫אם נחזור למשוואת התנועה ‪)(14:‬‬ ‫‪)(18‬‬ ‫‪Mij x¨j + Fij ẋ + Kij xj = 0‬‬ ‫כעת מציאת התנודות הנורמליות מחייבת לכסון של ‪ 3‬מטריצות סימטריות דבר שאיננו תמיד‬ ‫אפשרי‪ .‬כלומר לא ניתן למצוא תנודות נורמליות עבור כל פונקצית דיסיפציה ‪.dissipation function‬‬ ‫המקרה היוצא מן הכלל הוא זה שבו ניתן ללכסן את האנרגיה הקינטית ̂‪ M‬ואת פונקצית הדיסיפציה‬ ‫̂‪ F‬בו זמנית )למשל כאשר ‪ F‬פרופורציות למהירות החלקיק ולמסה(‪ .‬במקרה זה משוואות‬ ‫התנועה עבור התנודות הנורמליות יהיו‪:‬‬ ‫‪)(19‬‬ ‫‪Θ̈i + Fi Θ̇i + ωi2 Θi = 0‬‬ ‫את המשוואות הללו ניתן לפתור באמצעות פונקציות מהצורה‪ Θi = Ci eri t :‬כאשר ‪ ri‬מקיימים‬ ‫את המשוואות‬ ‫‪)(20‬‬ ‫‪ri2 + ri Fi + ωi2 = 0‬‬ ‫שפתרונותיהם‪:‬‬ ‫‪)(21‬‬ ‫‪Fi2 Fi‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫√‬ ‫‪ωi2 −‬‬ ‫‪ri = ±i‬‬ ‫ניתן לראות שהפתרונות דועכים בזמן )כיוון ש ‪ Fi‬איננו שלילי( כלומר פתרונות המשוואה מקיימות‬ ‫תנועה של אוסילציות מרוסנות‬ ‫‪)(22‬‬ ‫‪′‬‬ ‫‪Θi = Ci e−Fi t/2 e−iωi t‬‬ ‫‪4‬‬ ‫משרעת שדועכת אקספוננציאלית‪ .‬קצב הדעיכה ניתן ע”י ‪Fi‬‬ ‫כלומר אוסילציות הרמוניות בעלות‬ ‫√‬ ‫‪F2‬‬ ‫‪′‬‬ ‫ותדירות התנודות הינו ‪ .ωi = ωi2 − 4i < ωi‬הקטנת התדירות צפויה בגלל שהחיכוך מעכב‬ ‫את התנועה‪ .‬כאשר ‪ Fi ≪ ωi‬השינוי במשרעת כתוצאה מהדעיכה בזמן מחזור ‪ 2π/ωi‬הוא זניח‪.‬‬ ‫כאשר לא ניתן ללכסן את האנרגיה הקינטית ואת פונקצית הדיסיפציה בו זמנית‪ ,‬הפתרון הכללי‬ ‫יהיה יותר מסובך אבל אופי התנועה של תנודות מרוסנות כלומר תנודות עם אלמנט הדעכה ישאר‬ ‫דומה‪.‬‬ ‫נחזור למקרה הכללי של המשוואה‪ )(14 :‬ונחפש פתרון מהצורה‪:‬‬ ‫‪xj = Aj ert‬‬ ‫‪)(23‬‬ ‫אם נציב את הפתרון במשוואות התנועה נקבל‪:‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫‪Mij r2 + rFij + Kij Aj = 0‬‬ ‫‪)(24‬‬ ‫כאשר פתרון לא טריויאלי ידרוש את התאפסות הדטרמיננטה‪:‬‬ ‫‪M̂ r2 + F̂ r + K̂ = 0‬‬ ‫‪)(25‬‬ ‫זוהי משוואה עבור ‪ r‬מסדר ‪ 2n‬כיוון שכל המקדמים ממשיים אז השורשים יהיו ממשיים או זוגות‬ ‫קומפלקסים‪ .‬כמו כן ברור שהחלק הממשי חייב להיות שלילי כיוון שאחרת נקבל פתרונות שגדלים‬ ‫אקספוננציאלית בזמן‪.‬‬ ‫‪9‬‬ ‫חבורת הסיבובים‬ ‫כל סיבוב במישור מאופיין באופן יחיד ע”י זוית הסיבוב ‪ .ϕ‬פעולת הסיבוב על הקואורדינטות‬ ‫מתוארת באמצעות מטריצת סיבוב‪:‬‬ ‫( ) ‪( ′‬‬ ‫) ()‬ ‫‪x‬‬ ‫‪cos ϕ sin ϕ‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪)(26‬‬ ‫‪′‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪− sin ϕ cos ϕ‬‬ ‫‪y‬‬ ‫קבוצת הסיבובים מגדירה חבורה ‪ (group).‬כאשר חבורה הינה אוסף של אלמנטים ‪g1 , g2 , ...‬‬ ‫שמוגדר עליה חוק כפל שמקיים ‪ g1 ◦ g2 = g3‬כאשר גם ‪ g3‬הינו אלמנט בחבורה‪ .‬חוק זה הינו‬ ‫אסוציאטיבי ‪ . g1 ◦ (g2 ◦ g3 ) = (g1 ◦ g2 ) ◦ g3‬אחד מאלמנטי החבורה הינו אלמנט היחידה‬ ‫שהוא בעל התכונה ‪ .e ◦ g = g ◦ e = g‬לכל אלמנט ‪ .g‬ולכל אלמנט ‪ g‬קיים הופכי ‪ g −1‬כך ש‬ ‫‪ .g ◦ g −1 = e‬חבורת הסיבובים במישור הינה חבורת לי )‪ (Lie-group‬מה שאומר שהפרמטר‬ ‫הרציף של המכפלה הינו פונקציה אנליטית של הפרמטרים של הגורמים שלה‪ .‬כאן‪:‬‬ ‫‪)(27‬‬ ‫)) ‪g(ϕ1 ) ◦ g(ϕ2 ) = g(ϕ3 (ϕ1 + ϕ2‬‬ ‫‪ϕ3 = ϕ1 + ϕ2‬‬ ‫כל חבורות הסיבובים הינן חבורות ‪Lie.‬‬ ‫סיבובים בשלושה מימדים יותר מורכבים‪ ,‬בפרט כיוון שאינן מתחלפים‪ .‬ניתן ליצג סיבובים‬ ‫באמצעות מטריצה שפועלת על וקטורים‪:‬‬ ‫‪)(28‬‬ ‫‪x′i = Rij xj‬‬ ‫‪5‬‬ ‫פעולה זו הינה סיבוב אם אינה משנה את האורכים של הוקטורים‪ .‬כלומר מתקיים‪:‬‬ ‫‪x′i x′i = xi xi‬‬ ‫‪)(29‬‬ ‫מכאן שקיימות הגבלות על המטריצות ‪ .R‬כדי להבין מהן האילוצים על בחירת מטריצת סיבוב‬ ‫נשים לב שסיבוב שומר על מכפלה סקלרית‪:‬‬ ‫‪)(30‬‬ ‫‪x′i yi′ = Rik xk Rij yj = xk δkj yj‬‬ ‫כיוון שהוקטורים הם שרירותיים נובע‪:‬‬ ‫‪)(31‬‬ ‫‪Rik Rij = δkj‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪Rij = δkj‬‬ ‫‪Rki‬‬ ‫‪RT R = I‬‬ ‫כלומר מטריצות הסיבוב הן אורטוגונליות ‪ (Orthogonal).‬מהגדרה ברור כי סיבובים בשלושה‬ ‫מימדים מרכיבים חבורה )למה?(‪ .‬נבדוק שמטריצות הסיבוב כפי שהגדרנו אותן מרכיבות חבורה‪.‬‬ ‫ראשית ברור שהכפלת מטריצות הינה אסוציאטיבית‪ .‬כמו כן אם ‪ R1 , R2‬הינם אלמטים בחבורה‬ ‫אזי‪:‬‬ ‫‪)(32‬‬ ‫‪R3 = R1 R2‬‬ ‫מקיים‪:‬‬ ‫‪)(33‬‬ ‫‪R3T R3 = R2T R1T R1 R2 = I‬‬ ‫כלומר ‪ R3‬הוא גם אלמנט בחבורה‪ .‬כמו כן קיים איבר יחידה ‪ I‬ולכל אלמנט ‪ R‬קיים איבר הופכי‬ ‫‪ .RT‬ניתן לראות כי‪:‬‬ ‫‪)(34‬‬ ‫‪1 = det I = det RRT = det R det RT = (det R)2‬‬ ‫כלומר הדטרמיננטה של המטריצות האורטוגונליות יכולה להיות ‪ .±1‬עבור חבורת הסיבובים‬ ‫הדטרמיננטה מקיימת ‪ .det R = 1‬המטריצות האורטוגונליות עם ההגבלה על הדטרמיננטה‬ ‫נקראות ) ‪ .Special orthogonal group SO(N‬אם נאפשר גם מטריצות עם דטרמיננטה ‪−1‬‬ ‫נקבל גם שיקופים‪.‬‬ ‫משפט אוילר‪ :‬כל סיבוב בשלושה מימדים הינו סיבוב מסביב לציר קבוע‪ .‬כדי להוכיח את‬ ‫המשפט ראשית נבחין שמטריצה אורטוגונלית היא גם מטריצה אוניטרית ‪ -‬כלומר הערכים העצמיים‬ ‫שלה הם מהצורה‪:‬‬ ‫‪)(35‬‬ ‫‪λ = eiϕ‬‬ ‫)נובע מלכסון של מטריצה אוניטרית(‪ .‬ואולם בניגוד למטריצה אוניטרית כללית‪ ,‬מטריצה אורטוגונלית‬ ‫היא ממשית‪ .‬מכאן ש‪:‬‬ ‫‪)(36‬‬ ‫‪det (R − λI) = det (R − λI)∗ = det (R − λ∗ I) = 0‬‬ ‫כלומר ערכים עצמיים מרוכבים באים בזוגות קומפלקסים‪ .‬כיוון שלמטריצת סיבוב בשלושה‬ ‫מימדים יש שלושה ערכים עצמיים אחד מהם חייב להיות ממשי ושווה לאחד‪ .‬הוקטור העצמי‬ ‫שמתאים לערך עצמי זה הוא ציר הסיבוב‪.‬‬ ‫‪6‬‬ ‫פרמטריזציה כללית של מטריצת סיבוב ניתנת ע”י זויות אוילר‪ .‬כאשר כפי שנראה בהמשך‬ ‫ניתן לייצג סיבוב כללי בצורה‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0 ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪sin ψ sin θ‬‬ ‫‪cos ψ sin θ ‬‬ ‫‪cos θ‬‬ ‫‪)(37‬‬ ‫)‪R(ϕ, θ, ψ) = R(x′′3 , ψ)R(x′1 , θ)R(x3 , ϕ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪cos ψ sin ψ 0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪cos ϕ sin ϕ‬‬ ‫‪=  − sin ψ cos ψ 0   0 cos θ sin θ   − sin ϕ cos ϕ‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0 − sin θ cos θ‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪cos ψ cos ϕ − sin ψ cos θ sin ϕ cos ψ sin ϕ + sin ψ cos θ cos ϕ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪− cos ψ cos θ sin ϕ − sin ψ cos ϕ cos ψ cos θ cos ϕ − sin ψ sin ϕ‬‬ ‫=‬ ‫‪sin θ sin ϕ‬‬ ‫‪− sin θ cos ϕ‬‬ ‫כאשר ניתן לבדוק שוקטורי העמודה של המטריצה מגדירים שלושה וקטורים אורטונורמלים ומכאן‬ ‫שהפרמטריזציה הזו נותנת מטריצה אורטוגונלית כללית‪.‬‬ ‫‪9.1‬‬ ‫סיבובים אינפיניטסימלים והיוצרים‬ ‫ניתן ללמוד הרבה על חבורות ‪ Lie‬מההתנהגות שלהם קרוב ליחידה‪ .‬נשים לב שמטריצה אורטוגונלית‬ ‫כללית ניתן לכתוב גם כ‪-‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪R = eA = I + A + A2 + ...‬‬ ‫‪)(38‬‬ ‫!‪2‬‬ ‫עבור מטריצה ‪ A‬שהיא אנטיסימטרית כלומר‬ ‫‪)(39‬‬ ‫‪AT = −A‬‬ ‫על מנת להוכיח זאת ראשית נבחין שהדבר נכון לגבי סיבובים במישור )מסביב לציר שניצב‬ ‫למישור(‪:‬‬ ‫)‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫])‬ ‫(‬ ‫( [‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0 1‬‬ ‫‪0 1‬‬ ‫‪0 1‬‬ ‫‪+ ...‬‬ ‫‪+ ϕ2 I + ϕ3‬‬ ‫‪= 1+ϕ‬‬ ‫‪exp ϕ‬‬ ‫‪−1 0‬‬ ‫‪−1 0‬‬ ‫‪−1 0‬‬ ‫!‪2‬‬ ‫!‪3‬‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫‪cos ϕ sin ϕ‬‬ ‫‪)(40‬‬ ‫=‬ ‫‪− sin ϕ cos ϕ‬‬ ‫אח”כ נשתמש במשפט אוליר כדי ליצג כל סיבוב בשלושה ממדים כסיבוב במישור מסביב לציר‬ ‫קבוע כאשר נבחר את מערכת הצירים כך שציר הסיבוב הוא בכיוון ציר ‪.z‬‬ ‫בשלושה מימדים כל מטריצה אנטי סימטרית ניתן ליצג ע”י קומבינציה לינארית של שלוש‬ ‫מטריצות‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 0 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 0 −1 ‬‬ ‫= ‪M1‬‬ ‫‪)(41‬‬ ‫‪0 1 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 0 1‬‬ ‫‪M2 =  0 0 0 ‬‬ ‫‪)(42‬‬ ‫‪−1 0 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 −1 0‬‬ ‫‪M3 =  1 0 0 ‬‬ ‫‪)(43‬‬ ‫‪0 0 0‬‬ ‫‪7‬‬ ‫אלה מקיימים‪:‬‬ ‫‪)(44‬‬ ‫‪[Mi , Mj ] = ϵijk Mk‬‬ ‫אלה נקראים היוצרים האינפיניטסימלים של החבורה והם מהווים בסיס עבור האלגברה של‬ ‫החבורה‪ .‬אם כן‪ ,‬ניתן לכתוב אלמנט כלשהו באלגברה כ‪-‬‬ ‫‪)(45‬‬ ‫‪)(46‬‬ ‫‪A = ϕ1 M1 + ϕ2 M2 + ϕ3 M3‬‬ ‫‪Aij = ϵikj ϕk‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪9.2‬‬ ‫תנועה במערכת יחוס לא אינרציאלית‬ ‫עד כה עסקנו בתיאור המערכת המכנית באמצעות מערכות יחוס אינרציאליות‪ .‬איך יראו משוואות‬ ‫התנועה במערכות לא אינרציאליות? העקרון המנחה הינו שוב עקרון הפעולה המינימלית שאיננו‬ ‫תלוי בבחירת מערכת היחוס‪ .‬מכאן שמשוואות התנועה ניתנות ע”י‪:‬‬ ‫‪d ∂L‬‬ ‫‪∂L‬‬ ‫=‬ ‫‪dt ∂v‬‬ ‫‪∂r‬‬ ‫‪)(1‬‬ ‫אולם ה‪ Lagrangian-‬משתנה במערכת יחוס לא אינרציאליות‪.‬‬ ‫‪9.3‬‬ ‫מערכת יחוס מאוצת‬ ‫מערכת יחוס ‪ K ′‬שנעה במהירות שאיננה קבועה )‪ V(t‬יחסית למערכת אינרציאלית ‪ .K0‬המהירות‬ ‫במערכת האינרציאלית ‪ v0‬וזו במערכת המואצת ‪ ,v′‬קשורות ע”י‪:‬‬ ‫)‪v0 = v′ + V(t‬‬ ‫‪)(2‬‬ ‫ומכאן שה‪ Lagrangian-‬במערכת היחוס ‪ K ′‬הינו‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪L = mv ′2 + mv′ · V + mV (t)2 − U‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪)(3‬‬ ‫נבחין ש‪ V (t)2 -‬היא פונקציה כלשהי של הזמן שניתן לכתוב אותה כנגזרת שלמה לפי הזמן של‬ ‫פונקציה אחרת ולכן ניתן להשמיט את האיבר השלישי‪ .‬כמו כן את האיבר השני ניתן לכתוב כסכום‬ ‫של נגזרת שלמה ואיבר התלוי בקואורדינטה‪:‬‬ ‫‪)(4‬‬ ‫‪mv′ · V = m (dr′ /dt) · V = d (mr′ · V) /dt − mr′ · dV/dt‬‬ ‫ה‪ Lagrangian-‬הינו‪:‬‬ ‫‪)(5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪L = mv ′2 − mW(t) · r′ − U‬‬ ‫‪2‬‬ ‫כאשר ‪ W‬היא התאוצה של מערכת היחוס ‪ .K ′‬משוואות התנועה הן‪:‬‬ ‫‪)(6‬‬ ‫‪dv′‬‬ ‫)‪= −∂U /∂r′ − mW(t‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪m‬‬ ‫מכאן שההשפעה של מערכת יחוס שנמצאת בתאוצה על משוואות התנועה של חלקיק דומה‬ ‫להפעלת כוח אחיד השווה למסת החלקיק כפול תאוצת מערכת היחוס ‪ W‬בכיוון ההפוך לתאוצה‪.‬‬ ‫‪9.4‬‬ ‫מערכת יחוס מסתובבת‬ ‫מערכת יחוס ‪ K‬שראשיתה נעה עם המערכת ‪ K ′‬ומבצעת סיבוב במהירות זויתית )‪ .Ω(t‬ראשית‬ ‫נניח מערכת יחוס אינרציאלית עם מערכת צירים ‪ x0i‬ומערכת מסתובבת ‪ ,xi‬ניתן לכתוב כל וקטור‬ ‫‪ V‬במונחים של שני הבסיסים האינרציאלי והמסתובב‪:‬‬ ‫∑‬ ‫∑‬ ‫=‪V‬‬ ‫= ‪Vi0 x0i‬‬ ‫‪Vi xi‬‬ ‫‪)(7‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪1‬‬ ‫כאשר ‪ Vi0 = V · x0i‬ו‪ .Vi = V · xi -‬כעת אם נחשב את הנגזרת בזמן של הוקטור ‪ V‬נקבל‪:‬‬ ‫‪)(8‬‬ ‫‪dxi‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪Vi‬‬ ‫∑‬ ‫‪xi +‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪∑ dVi‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫= ‪x0i‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪∑ dV 0‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪i‬‬ ‫כאשר האיבר הראשון מייצג את הנגזרת בזמן של הוקטור ‪ V‬במערכת היחוס המסתובבת‪.‬‬ ‫כעת נבחן את האיבר השני‪ .‬נפתח את השינוי בבסיס של מערכת היחוס המסתובבת‪:‬‬ ‫∑‬ ‫= ‪dxi‬‬ ‫‪Aij xj‬‬ ‫‪)(9‬‬ ‫‪j‬‬ ‫כאשר ‪ .Aij ≡ dxi · xj‬כמו כן נבחין כי ‪ Aij‬היא מטריצה אנטיסימטרית‪:‬‬ ‫‪)(10‬‬ ‫‪0 = d (xi · xj ) = dxi · xj + xi · dxj = Aij + Aji‬‬ ‫כלומר ‪ .Aij = −Aji‬וזאת כיוון ש‪ xi · xj = δij :‬הינו קבוע‪ .‬כפי שראינו מטריצה אנטיסימטרית‬ ‫כללית בשלושה ממדים ניתן לכתוב כקומבינציה לינארית של שלושת היוצרים של חבורת הסיבובים‬ ‫‪ ,Mi‬כלומר ניתן לכתוב ‪ .Aij = ϵijk ϕk‬כלומר שינוי אינפיניטסמלי במערכת היחוס ‪ X‬הינו סיבוב‬ ‫אינפיניטסימלי וניתן ע”י היוצרים של חבורת הסיבובים‪ .‬אם נציב את הפרמטריזציה הזו נקבל‪:‬‬ ‫∑‬ ‫∑‬ ‫‪ϵijk ϕk xj‬‬ ‫‪)(11‬‬ ‫= ‪dxi‬‬ ‫= ‪Aij xj‬‬ ‫‪j‬‬ ‫‪jk‬‬ ‫או‬ ‫‪dx = ϕ × x‬‬ ‫‪)(12‬‬ ‫ומכאן‪:‬‬ ‫⃗ ‪dx‬‬ ‫‪=Ω×x‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪)(13‬‬ ‫כאשר ‪⃗ = dϕ/dt‬‬ ‫‪ Ω‬הינה המהירות הזויתית‪ .‬מכאן אנו מקבלים את התוצאה החשובה שהשינוי‬ ‫בזמן של וקטור כללי מקיים‪:‬‬ ‫‪)(14‬‬ ‫‪⃗ ×V‬‬ ‫‪+Ω‬‬ ‫‪rotating‬‬ ‫‪dV‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫=‬ ‫‪intertial‬‬ ‫‪dV‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫אם נשתמש בתוצאה זו על הוקטור ‪ r‬נקבל שהמהירויות במערכת האינרציאלית ‪ v0‬ובמערכת‬ ‫המסתובבת ‪ v‬מקיימות‪:‬‬ ‫‪)(15‬‬ ‫‪⃗ ×r‬‬ ‫‪v0 = v + Ω‬‬ ‫כך שה‪ Lagrangian-‬במערכת המסתובבת והמואצת הינו‪:‬‬ ‫(‬ ‫‪)2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪⃗ × r) + 1 m Ω‬‬ ‫‪⃗ × r − mW(t) · r − U‬‬ ‫‪)(16‬‬ ‫‪L = mv 2 + mv · (Ω‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫זוהי הצורה הכללית של ה‪ Lagrangian-‬במערכת יחוס שאיננה בהכרח אינרציאלית‪ .‬כתוצאה‬ ‫מהסיבוב מופיע גם איבר לינארי במהירות‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫כדי לחשב את משוואות התנועה ראשית נחשב מהו הדיפרנציאל של ה‪.Lagrangian-‬‬ ‫‪⃗ × r) + mv · (Ω‬‬ ‫)‪⃗ × dr‬‬ ‫‪dL = mv · dv + mdv · (Ω‬‬ ‫‪⃗ × r) · (Ω‬‬ ‫‪⃗ × dr) − mW(t) · dr − (∂U /∂r)dr‬‬ ‫‪+ m(Ω‬‬ ‫‪)(17‬‬ ‫‪⃗ × r) + mdr · v × Ω‬‬ ‫⃗‬ ‫‪= mv · dv + mdv · (Ω‬‬ ‫‪⃗ × r) × Ω‬‬ ‫‪⃗ · dr − mW(t) · dr − (∂U /∂r)dr‬‬ ‫‪+ m(Ω‬‬ ‫כאשר השתמשנו בתכונת הציקלית‪:‬‬ ‫‪)(18‬‬ ‫‪A·B×C=B·C×A=C·A×B‬‬ ‫מכאן ניתן לגזור את משוואות התנועה‪:‬‬ ‫‪)(19‬‬ ‫‪⃗˙ + 2mv × Ω‬‬ ‫‪⃗ + mΩ‬‬ ‫)‪⃗ × (r × Ω‬‬ ‫⃗‬ ‫‪mdv/dt = −∂U /∂r − mW + mr × Ω‬‬ ‫שני האברים האחרונים מופיעים גם עבור סיבוב אחיד‪ .‬האיבר ⃗‬ ‫‪ 2mv × Ω‬נקרא כוח קוריוליס‬ ‫ו‪⃗ × (r × Ω)-‬‬ ‫⃗‬ ‫‪ mΩ‬נקרא כוח צנטריפוגי‪ .‬ההבחנה העיקרית בינהם היא שכח קוריוליס פועל רק על‬ ‫גופים נעים‪.‬‬ ‫‪9.5‬‬ ‫מערכת יחוס מסתובבת‬ ‫נתמקד במערכת יחוס מסתובבת במהירות קבועה ‪⃗ = const‬‬ ‫‪ Ω‬ללא תאוצה קווית ‪.W = 0‬‬ ‫הלגרנגיאן הינו‪:‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪⃗ × r + 1m Ω‬‬ ‫‪⃗ ×r −U‬‬ ‫‪L = mv 2 + mv · Ω‬‬ ‫‪)(20‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ומשואות התנועה הן‪:‬‬ ‫‪)(21‬‬ ‫‪⃗ + mΩ‬‬ ‫)‪⃗ × (r × Ω‬‬ ‫⃗‬ ‫‪mdv/dt = −∂U /∂r + 2mv × Ω‬‬ ‫נחשב את האנרגיה במערכת המסתובבת‪ .‬לשם כך נבחין ש‪:‬‬ ‫‪)(22‬‬ ‫‪⃗ ×r‬‬ ‫‪p = ∂L/∂ ṙ = ∂L/∂v = mv + mΩ‬‬ ‫כך ש‪:‬‬ ‫)‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪⃗ ×r +U‬‬ ‫‪)(23‬‬ ‫‪E = p · v − L = mv 2 − m Ω‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫האיבר הנוסף באנרגיה נקרא אנרגיה פוטנציאלית צנטריפוגלית‪ .‬ניתן לראות כי התנע הקווי‬ ‫והזויתי שווים במערכות היחוס ‪ K‬ו‪K0 : -‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫‪⃗ ×r =p‬‬ ‫‪p0 = mv0 = m v + Ω‬‬ ‫‪)(24‬‬ ‫(‬ ‫‪)(25‬‬ ‫‪M0 = r × p0 = r × p = M‬‬ ‫ואולם האנרגיה איננה זהה בשתי מערכות היחוס‪ .‬אם נציב את הביטוי למהירות ‪⃗ × r‬‬ ‫‪v = v0 − Ω‬‬ ‫בביטוי עבור האנרגיה נקבל‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪⃗ × r = E0 − M · Ω‬‬ ‫⃗‬ ‫‪)(26‬‬ ‫‪E = mv02 + U − mv0 · Ω‬‬ ‫‪2‬‬ ‫שמגדיר את הטרנספורמציה של האנרגיה למערכת מסתובבת‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪10‬‬ ‫תנועה של גוף קשיח‬ ‫תנועה של גוף קשיח הינה בעיה חשובה במכניקה קלאסית המתארת בעיות מגוונות החל מתנועה‬ ‫של סביבונים וזריקת כדור פוטבול‪ ,‬וכלה בתנועת כדור הארץ סביב צירו‪ ,‬תנועת כוכבי הלכת סביב‬ ‫השמש וסיבוב השמש ושאר הכוכבים בשביל החלב‪.‬‬ ‫נגדיר גוף קשיח כמערכת של חלקיקים‪ ,‬כך שהמרחק בין החלקיקים נשאר קבוע ואינו משתנה‪.‬‬ ‫מובן שבמערכות הקיימות בטבע‪ ,‬התנאי הזה מתקיים רק באופן מקורב‪ ,‬שכן אפילו במוצקים‬ ‫האטומים המרכיבים את המוצק נעים מסביב לנקודת שיווי המשקל בכל טמפרטורה שאיננה האפס‬ ‫המוחלט‪ .‬ואולם במקרים רבים‪ ,‬שינוי הצורה של המוצק כתוצאה מתנועה יחסית של החלקיקים‬ ‫המרכיבים אותו הוא קטן וניתן להזנחה כאשר חוקרים את תנועת הגוף בכללותו‪.‬‬ ‫על מנת לפשט את הבעיה‪ ,‬אנחנו נניח שגוף קשיח מורכב מאוסף דיסקרטי של חלקיקים‪.‬‬ ‫למרות שרוב הגופים הקשיחים הינם רציפים‪ ,‬ניתן לעבור מהטיפול הדיסקרטי לזה הרציף ע”י‬ ‫ההחלפה של מסת חלקיק בדיד‪ ,‬באלמנט המסה ‪ ndV‬המוכל באלמנט הנפח ‪ ,dV‬והחלפת‬ ‫הסכום על החלקיקים באינטגרל על הנפח‪.‬‬ ‫‪10.1‬‬ ‫מהירות זויתית‬ ‫נשתמש בשתי מערכות צירים על מנת לתאר את התנועה של גוף קשיח‪ .‬אחת הינה מערכת‬ ‫צירים קבועה )נייחת( ‪ X, Y, Z‬והשנייה הינה מערכת צירים שנעה עם הגוף ‪ .x1 , x2 , x3‬נגדיר‬ ‫את הוקטור ‪ R‬כוקטור המחבר את הראשית של מערכת הצירים המסתובבת לזו הנייחת‪ .‬כמו כן‬ ‫את האוריאנטציה היחסית של מערכת הצירים המסתובבת עם הגוף ניתן לתאר בעזרת שלושה‬ ‫זויות סיבוב‪ .‬מכאן שגוף קשיח הינו בעל ‪ 6‬דרגות חופש‪ :‬שלושת הרכיבים של הוקטור ‪ R‬ושלושת‬ ‫הזויות המתארות את האוריאנטציה של מערכת הצירים המסתובבת יחסית לזו הנייחת‪.‬‬ ‫כל תנועה אינפיניטסימלית של גוף קשיח ניתן לחלק לטרנסלציה של מרכז המסה וסיבוב‬ ‫אינפיניטסמלי מסביב למרכז המסה‪ .‬ניקח נקודה ‪ p‬שמיקומה יחסית לראשית המסתובבת ‪O‬‬ ‫ניתן ע”י ‪ .rp‬אזי תזוזה אינפיניטסמלית של הנקודה ‪ p‬תהיה‪:‬‬ ‫‪)(27‬‬ ‫‪⃗ × rp‬‬ ‫⃗‪d‬‬ ‫‪ρp = dR + dϕ‬‬ ‫אם נחלק את המשוואה בזמן שבו מתרחשת התנועה ‪ ,dt‬נקבל‪:‬‬ ‫‪)(28‬‬ ‫‪⃗ × rp‬‬ ‫‪vp = V + Ω‬‬ ‫⃗‬ ‫ו‪⃗ = dϕ/dt-‬‬ ‫‪ Ω‬נקראת המהירות‬ ‫⃗‪ vp = d‬ומהירות מרכז המסה היא ‪V = dR/dt‬‬ ‫כאשר ‪ρp /dt‬‬ ‫הזויתית וכיוונה הוא כיוון ציר הסיבוב‪ .‬כלומר המהירות של כל נקודה על הגוף הקשיח הינה סכום‬ ‫מהירות ההטרנסלציה והמהירות הזויתית‪.‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪x1‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪x3‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪10.2‬‬ ‫‪ Moment of Inertia‬מומנט ההתמד‬ ‫האנרגיה הקינטית של מערכת המורכבת מחלקיקים דיסקרטים הינה‪:‬‬ ‫‪)2‬‬ ‫‪∑1‬‬ ‫( ‪∑1‬‬ ‫‪⃗ × rp‬‬ ‫= ‪mp vp2‬‬ ‫‪m V+Ω‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪p‬‬ ‫(‬ ‫‪)2‬‬ ‫∑‬ ‫‪∑1‬‬ ‫‪∑1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫⃗‬ ‫⃗‬ ‫‪mp V +‬‬ ‫‪mp V · Ω × r p +‬‬ ‫‪mp Ω × rp‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪p‬‬ ‫[‬ ‫(‬ ‫] ‪)2‬‬ ‫‪∑1‬‬ ‫∑ ‪1 2‬‬ ‫‪2 2‬‬ ‫⃗‬ ‫⃗‬ ‫‪µV +‬‬ ‫‪mp rp · V × Ω +‬‬ ‫‪mp Ω r p − Ω · r p‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪p‬‬ ‫[‬ ‫(‬ ‫] ‪)2‬‬ ‫‪1 2 ∑1‬‬ ‫‪2 2‬‬ ‫‪⃗ · rp‬‬ ‫‪µV +‬‬ ‫‪mp Ω rp − Ω‬‬ ‫‪= Ttran + Trot‬‬ ‫‪)(29‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪p‬‬ ‫= ‪T‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫∑‬ ‫∑‬ ‫כאשר ‪ µ = p mp‬ובמערכת מרכז המסה ‪ . p mp rp = 0‬כלומר אם נבחר את ראשית הצירים‬ ‫להיות במרכז המסה‪ ,‬האנרגיה הקינטית במערכת מתפרקת לשני חלקים‪ .‬אנרגיה קינטית של‬ ‫טרנסלציה שהיא זהה לאנרגיה הקינטית שהיתה אם כל המסה היתה מרוכזת בנקודת מרכז‬ ‫המסה‪ ,‬ואנרגיה קינטית של סיבוב מסביב לציר שעובר במרכז המסה במהירות זויתית ‪ .Ω‬אם‬ ‫‪5‬‬ ‫נכתוב את האנרגיה הקינטית במונחי הרכיבים‪:‬‬ ‫[∑‬ ‫]‬ ‫‪Ω2i x2pk − Ωi Ωk xpi xpk‬‬ ‫]‬ ‫‪x2pl δik − xpi xpk‬‬ ‫‪)(30‬‬ ‫[‬ ‫∑‬ ‫‪l‬‬ ‫‪mp‬‬ ‫‪i,k‬‬ ‫‪mp‬‬ ‫‪∑1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪∑1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪Ωi Ωk‬‬ ‫∑‬ ‫‪p‬‬ ‫=‬ ‫‪i,k‬‬ ‫∑‪1‬‬ ‫‪Iik Ωi Ωk‬‬ ‫‪2 i,k‬‬ ‫‪)(31‬‬ ‫= ‪Trot‬‬ ‫=‬ ‫אם כן‪ ,‬ה‪ Lagrangian-‬של גוף קשיח הינו‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪L = µV 2 + Iik Ωi Ωk − U‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪)(32‬‬ ‫הטנזור ‪ Iik‬נקרא טנזור ההתמד‪:‬‬ ‫]‬ ‫‪x2pl δik − xpi xpk‬‬ ‫‪)(33‬‬ ‫∑‬ ‫[‬ ‫‪mp‬‬ ‫∑‬ ‫= ‪Iik‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪l‬‬ ‫כפי שנובע מהגדרתו זהו טנזור אדיטיבי סימטרי‪:‬‬ ‫‪)(34‬‬ ‫‪Iik = Iki‬‬ ‫ורכיביו הם‪:‬‬ ‫∑ ‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫∑‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪m(y‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪z‬‬ ‫)‬ ‫‪−‬‬ ‫‪mxy‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪mxz‬‬ ‫∑‬ ‫∑‬ ‫∑‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪− ∑ mxy‬‬ ‫‪m(x‬‬ ‫‪∑ + z ) ∑− 2myz 2‬‬ ‫‪− mxz‬‬ ‫‪− myz‬‬ ‫) ‪m(x + y‬‬ ‫∑‬ ‫‪)(35‬‬ ‫‪‬‬ ‫הרכיבים ‪ Ixx , Iyy , Izz‬נקראים ממונטי ההתמד‪ .‬אם הגוף הוא רציף אז הסכום הופך לאינטגרל‪:‬‬ ‫]‬ ‫∑[ ∫‬ ‫‪Iik = ρ‬‬ ‫‪x2l δik − xi xk dV‬‬ ‫‪)(36‬‬ ‫‪l‬‬ ‫‪10.2.1‬‬ ‫דוגמה‪ :‬מומנט ההתמד של משולש ישר זוית‬ ‫נחשב את מומנט ההתמד של משולש יחסית למערכת צירים שיושבת בראשית )‪:(0, 0, 0‬‬ ‫ראשית כיוון שהמשולש יושב במישור אזי ‪ z = 0‬בכל מקום‪ .‬מכאן נובע‪:‬‬ ‫‪)(37‬‬ ‫‪Izx = Ixz = 0‬‬ ‫‪Izy = Iyz = 0‬‬ ‫‪Izz = Ixx + Iyy‬‬ ‫‪6‬‬ ‫)‪(0,b‬‬ ‫‪ymax‬‬ ‫)‪= b (1-x/a‬‬ ‫)‪(a,0‬‬ ‫)‪(0,0‬‬ ‫כעת נחשב את הרכיבים הנותרים‪:‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫(‪1 3‬‬ ‫‪x )3‬‬ ‫‪= ρ‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪dyy 2 = ρ‬‬ ‫‪b 1−‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0 3‬‬ ‫‪∫ 10‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪ρab3‬‬ ‫‪du (1 − u)3 = ρab3 = M b2‬‬ ‫‪)(38‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪Ixx‬‬ ‫כאשר המסה הכוללת הינה ‪ .M = 21 ρab‬כמו כן‪:‬‬ ‫‪∫ a‬‬ ‫) ‪∫ a ∫ b(1− x‬‬ ‫(‬ ‫‪a‬‬ ‫)‪x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪dyx = ρ‬‬ ‫‪= ρ‬‬ ‫‪x b 1−‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪∫ 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪)(39‬‬ ‫‪= ρa3 b‬‬ ‫‪duu2 (1 − u) = ρa3 b = M a2‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪Iyy‬‬ ‫∫‬ ‫‪b(1− x‬‬ ‫)‬ ‫‪a‬‬ ‫∫‬ ‫∫‬ ‫(‬ ‫‪1 2 a‬‬ ‫‪x )2‬‬ ‫‪= −ρ‬‬ ‫‪dyxy = − ρb‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪dxx 1 −‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪∫ 01‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪= − ρa2 b2‬‬ ‫‪duu (1 − u)2 = − ρa2 b2 = − M ab‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪0‬‬ ‫)‬ ‫‪b(1− x‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪)(40‬‬ ‫∫‬ ‫∫‬ ‫‪‬‬ ‫‪)(41‬‬ ‫‪10.2.2‬‬ ‫‪a‬‬ ‫∫‬ ‫‪‬‬ ‫‪b2‬‬ ‫‪− 12 ab‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪M 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪− 2 ab‬‬ ‫‪a2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫=‪I‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪a +b‬‬ ‫‪Ixy‬‬ ‫ומכאן‪:‬‬ ‫דוגמה‪ :‬מומנט ההתמד של דיסקה‬ ‫מומנט ההתמד של דיסקה‪ :‬נבחר את ציר ‪ z‬להיות הציר הניצב לדיסקה ונחשב את ‪ I‬יחסית‬ ‫למרכז המסה‪ .‬כיוון שהדיסקה במישור אז‪:‬‬ ‫‪)(42‬‬ ‫‪Izx = Ixz = 0‬‬ ‫‪Izy = Iyz = 0‬‬ ‫‪Izz = Ixx + Iyy‬‬ ‫‪7‬‬ ‫כמו כן בגלל שבחרנו את ציר הסיבוב להיות מרכז המסה מסימטריה נובע‪:‬‬ ‫‪)(43‬‬ ‫) ‪I = Diag (I1 , I2 , I3‬‬ ‫כמו כן מסימטריה ‪ .I1 = I2‬צפיפות הדיסקה הינה ‪ ρ = M /πR2‬כך ש‪:‬‬ ‫∫‬ ‫∫‬ ‫∫‬ ‫‪ρ 3‬‬ ‫‪2 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫= ‪ρy d r = ρr sin θ rdrdθ‬‬ ‫‪r (1 − cos 2θ) dθdr‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪π 4 1‬‬ ‫=‬ ‫‪ρR = M R2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫∫‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪ρx2 d2 r = M R2‬‬ ‫‪)(44‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪I1‬‬ ‫‪I2‬‬ ‫ניתן ללכסן את טנזור ההתמד באמצעות סיבובים )טנזור ההתמד הינו מטריצה סימטרית(‪.‬‬ ‫כלומר ניתן לבחור צירים הנקראים צירים ראשיים ‪ principal axis‬שעבורם הטנזור ‪ I‬מלוכסן‬ ‫ורכיביו נקראים ממונטי ההתמד הראשיים‪ .‬בבסיס זה האנרגיה הקינטית של הסיבובים נראית‬ ‫כך‪:‬‬ ‫)‬ ‫(‪1‬‬ ‫= ‪Trot‬‬ ‫‪I1 Ω21 + I2 Ω22 + I3 Ω23‬‬ ‫‪)(45‬‬ ‫‪2‬‬ ‫כל אחד משלושת רכיבי ממונט ההתמד הראשיים קטן מסכום השניים האחרים‪:‬‬ ‫∑‬ ‫∑‬ ‫= ‪I1 + I2‬‬ ‫≥ ) ‪m(x21 + x22 + 2x23‬‬ ‫‪m(x21 + x22 ) = I3‬‬ ‫‪)(46‬‬ ‫גוף שכל שלושת מומנטי ההתמד הראשיים שלו שונים נקרא סביבון אסימטרי‪ .‬גוף סיבוב ששנים‬ ‫ממומנטי ההתמד שלו שווים ‪ I1 = I2 ̸= I3‬נקרא סביבון סימטרי‪ .‬כאשר לגוף הסיבוב יש‬ ‫סימטריה ברורה‪ ,‬מציאת הצירים הראשיים פשוטה יותר‪.‬‬ ‫דוגמה‪ :‬גוף בעל סימטריה לשיקוף במישור‪ .‬ברור כי מרכז המסה חייב להיות על המשטח‪ .‬כמו‬ ‫כן שניים מהצירים הראשיים שלו נמצאים במשטח והשלישי מאונך למשטח‪ .‬באופן כללי אם לגוף‬ ‫יש ציר סימטריה‪ ,‬אז מרכז המסה נמצא על ציר הסימטריה וזהו גם אחד מצירי ההתמד הראשיים‬ ‫∑הוא מערכת שבה כל החלקיקים∑נמצאים‬ ‫דוגמה למקרה כזה‬ ‫)והשניים האחרים ניצבים לו(‪.‬‬ ‫∑‬ ‫= ‪.I3‬‬ ‫= ‪ I2‬ו‪m(x21 + x22 ) = I1 + I2 -‬‬ ‫= ‪mx21 ,I1‬‬ ‫במישור‪ .x3 = 0 .‬במקרה זה ‪mx22‬‬ ‫דוגמה‪ :‬גוף בעל ציר סימטריה‪ ,‬מרכז המסה שלו נמצא על ציר הסימטריה‪ ,‬שהוא גם אחד‬ ‫הראשיים‪ .‬דוגמה לכך היא מערכת שבה כל החלקיקים נמצאים על קו אחד‪x1 = x2 = :‬‬ ‫מהצירים‬ ‫∑‬ ‫‪2‬‬ ‫= ‪ I1 = I2‬ו‪ .I3 = 0 -‬מערכת זו נקראת רוטטור‪ .‬תכונה שמבדילה רוטטור‬ ‫‪ 0‬מכאן ‪mx3‬‬ ‫מגוף קשיח אחר הוא שיש לו רק שתי דרגות חופש של סיבוב‪ .‬אין משמעות לסיבוב סביב ציר ‪.x3‬‬ ‫‪10.2.3‬‬ ‫דוגמאות למציאת הצירים הראשיים‬ ‫מהם הצירים הראשיים של מולקולה תלת‪-‬אטומית )ניתן להניח כי המסות נמצאות במרחק קבוע‬ ‫זו מזו‪ :‬מרכז המסה נמצא על הציר הסימטריה של המשולש בגובה של ‪ X2 = m2 h/µ‬מבסיס‬ ‫המשולש )כאשר ‪ h‬הינו גובה המולקולה ו ‪ ).µ = 2m1 + m2‬מומנטי ההתמד הינם‪:‬‬ ‫‪)(47‬‬ ‫‪I1 = 2m1 m2 h2 /µ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪m1 a2‬‬ ‫= ‪I2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪I3 = I1 + I2‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪m2‬‬ ‫‪h‬‬ ‫‪x1‬‬ ‫‪m1‬‬ ‫‪10.3‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪Parallel axis theorem‬‬ ‫אם נרצה לחשב את מומנט ההתמד ביחס לנקודה אחרת ‪ r − d‬אזי מתקיים‪:‬‬ ‫∑‬ ‫[‬ ‫]‬ ‫= )‪Iik (d‬‬ ‫) ‪mp (xpl − dl )2 δik − (xpi − di ) (xpk − dk‬‬ ‫‪)(48‬‬ ‫‪( 2‬‬ ‫)‬ ‫‪= Iik (0) + M d δik − di dk‬‬ ‫‪)(49‬‬ ‫∑‬ ‫כאשר בחרנו את ‪ r‬להיות וקטור הרדיוס במערכת מרכז המסה ‪. p mp rp = 0‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪m1‬‬ ‫‪10.4‬‬ ‫תנע זויתי של גוף קשיח‬ ‫התנע הזויתי של מערכת תלוי בבחירת ראשית הצירים‪ .‬במכניקה של גוף קשיח‪ ,‬נוח לבחור את‬ ‫הראשית במרכז המסה של הגוף‪ .‬עבור בחירה זו‪ ,‬התנע הזויתי הינו התנע הזויתי הפנימי של‬ ‫המערכת ‪ ,M‬כתוצאה מהתנועה יחסית למרכז המסה )במקרה זה ‪ -‬הסיבוב(‪ .‬מכאן ש‪:‬‬ ‫(‬ ‫∑ )‬ ‫[‬ ‫]‬ ‫∑‬ ‫∑‬ ‫= ‪⃗ × rp‬‬ ‫)‪⃗ − rp (rp · Ω‬‬ ‫⃗‬ ‫=‪M‬‬ ‫= ‪mp rp × vp‬‬ ‫‪mp r p × Ω‬‬ ‫‪mp rp2 Ω‬‬ ‫‪)(1‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪p‬‬ ‫אם נכתוב את הביטוי בצורה טנזורית‪:‬‬ ‫∑‬ ‫[‬ ‫]‬ ‫=‬ ‫‪mp x2pl Ωi − xpi xpk Ωk‬‬ ‫[‬ ‫]‬ ‫‪mp x2pl δik − xpi xpk‬‬ ‫∑‬ ‫‪p‬‬ ‫‪Mi‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪= Ωk‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪)(2‬‬ ‫‪= Iik Ωk‬‬ ‫∑‬ ‫כאשר אנחנו מניחים קונבנציית סכימה של אינדקס כפול‪ .xk yk = k xk yk = x · y :‬ניתן לראות‬ ‫כי עבור סביבון סימטרי שבו שלושת מומנטי ההתמד הראשיים שווים מתקיים‪:‬‬ ‫⃗‬ ‫‪M = IΩ‬‬ ‫‪)(3‬‬ ‫ואולם באופן כללי‪ ,‬כיוון התנע הזויתי איננו בכיוון המהירות הזויתית כפי שעולה ממשואה ‪. )(2‬‬ ‫‪10.5‬‬ ‫זויות אוילר‬ ‫סיבוב הינה טרנספורמציה אורטוגונלית )ממשית המשמרת את וקטור הרדיוס(‪ .‬מספר דרגות‬ ‫‪2‬‬ ‫החופש של מטריצה אורטוגונלית ב‪ d-‬מימדים הינו ‪ , d 2−d‬כך שסיבוב כללי ב‪ 3-‬ממדים ניתן להגדיר‬ ‫ע”י שלוש זויות‪ .‬זויות אוילר הינן בחירה ספציפית של שלושת הזויות הללו‪ .‬נוח להגדיר את זויות‬ ‫אוילר ובעזרתן ‪ -‬סיבוב כללי של גוף קשיח ‪ -‬בשלושה שלבים‪ .‬נגדיר ‪ x1 , x2 , x3‬שלושת הצירים‬ ‫של המערכת לפני הסיבוב )כרגיל נבחר את ראשית הצירים במרכז המסה של הגוף(‪.‬‬ ‫‪ 1.‬בשלב הראשון נסובב את המערכת בזוית ‪ ϕ‬מסביב לציר ‪ .x3‬מטריצת הסיבוב הינה‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪cos ϕ sin ϕ 0‬‬ ‫‪R(x3 , ϕ) =  − sin ϕ cos ϕ 0 ‬‬ ‫‪)(4‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 2.‬בשלב השני נסובב את המערכת בזוית ‪ θ‬מסביב לציר החדש ‪:x′1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪R(x′1 , θ) =  0 cos θ sin θ ‬‬ ‫‪)(5‬‬ ‫‪0 − sin θ cos θ‬‬ ‫‪1‬‬ x’3 = x3 x’2 φ x’1 x3 x’’ 3 θ x’’ 2 φ x’’= x’1 1 x′′3 ‫ בשלב האחרון נסובב את מערכת הצירים שהתקבלה מסביב לציר החדש‬3.   cos ψ sin ψ 0 )(6 R(x′′3 , ψ) =  − sin ψ cos ψ 0  0 0 1 :‫הסיבוב הכללי הינו אם כן‬ R(ϕ, θ, ψ) = R(x′′3 , ψ)R(x′1 , θ)R(x3 , ϕ)    cos ϕ sin ϕ 1 0 0 cos ψ sin ψ 0      0 cos θ sin θ − sin ϕ cos ϕ − sin ψ cos ψ 0 = 0 0 1 0 − sin θ cos θ 0 0  cos ψ cos ϕ − sin ψ cos θ sin ϕ cos ψ sin ϕ + sin ψ cos θ cos ϕ  − cos ψ cos θ sin ϕ − sin ψ cos ϕ cos ψ cos θ cos ϕ − sin ψ sin ϕ = sin θ sin ϕ − sin θ cos ϕ  0 0  1  sin ψ sin θ cos ψ sin θ  cos θ )(7 .‫כעת נרצה לבטא את הרכיבים של המהירות הזויתית במונחים של הנגזרות בזמן של הזויות‬ :‫לשם כך נכתוב‬ ′′′ ′′′ Ω = ϕ̇ê′′′ ϕ + θ̇êθ + ψ̇êψ 2 )(8 ‫‪x3‬‬ ‫’’’‪x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫’’’‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪θ‬‬ ‫‪ψ‬‬ ‫’’‪x’’’=x‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪φ‬‬ ‫‪.x′′′‬‬ ‫נתחיל עם הזוית ‪ ,ψ‬ציר הסיבוב הינו ציר ה‪3 -‬‬ ‫‪′′′‬‬ ‫‪ê′′′‬‬ ‫‪ψ = ê3‬‬ ‫‪)(9‬‬ ‫‪′‬‬ ‫‪ x′′′‬והוא‬ ‫ציר הסיבוב בזוית ‪ θ‬הינו סיבוב מסביב לציר ‪ .x1‬ציר זה נמצא על המישור שניצב ל‪3 -‬‬ ‫בזוית ‪ ψ‬מהצירים‪:‬‬ ‫‪′′′‬‬ ‫‪′′′‬‬ ‫‪ê′′′‬‬ ‫‪θ = cos ψê1 − sin ψê2‬‬ ‫‪)(10‬‬ ‫ואילו ציר הסיבוב ‪ ϕ‬הינו הציר ‪:x3‬‬ ‫‪)(11‬‬ ‫‪′′′‬‬ ‫‪′′′‬‬ ‫‪′′′‬‬ ‫‪ê′′′‬‬ ‫‪ϕ = x3 = sin θ sin ψê1 + sin θ cos ψê2 + cos θê3‬‬ ‫‪: êi ≡ ê′′′‬‬ ‫כלומר אם נכתוב את הרכיבים לפי הצירים ‪i‬‬ ‫‪Ω1 = θ̇ cos ψ + ϕ̇ sin θ sin ψ‬‬ ‫‪Ω2 = −θ̇ sin ψ + ϕ̇ sin θ cos ψ‬‬ ‫‪Ω3 = ψ̇ + ϕ̇ cos θ‬‬ ‫‪)(12‬‬ ‫כאשר‪:‬‬ ‫‪ϕ̇ → precession‬‬ ‫‪θ̇ → nutation‬‬ ‫‪ψ̇ → axial rotation‬‬ ‫‪)(13‬‬ ‫‪10.6‬‬ ‫זויות אוילר‬ ‫אם ניקח את הצירים ‪ x1 , x2 , x3‬להיות הצירים הראשיים אזי האנרגיה הקינטית של הסיבוב ניתנת‬ ‫ע”י‬ ‫‪)(14‬‬ ‫)‬ ‫(‪1‬‬ ‫‪I1 Ω21 + I2 Ω22 + I3 Ω23‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫= ‪Trot‬‬ ‫לדוגמה במקרה של סביבון סימטרי ‪I1 = I2 ̸= I3‬‬ ‫( ‪)2‬‬ ‫] ‪)2‬‬ ‫‪θ̇ cos ψ + ϕ̇ sin θ sin ψ + −θ̇ sin ψ + ϕ̇ sin θ cos ψ‬‬ ‫([‬ ‫‪I1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪)2‬‬ ‫( ‪I3‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪ψ̇ + ϕ̇ cos θ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫( ‪) I‬‬ ‫‪)2‬‬ ‫‪I1 ( 2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫=‬ ‫‪θ̇ + ϕ̇2 sin2 θ +‬‬ ‫‪ψ̇ + ϕ̇ cos θ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪)(15‬‬ ‫= ‪Trot‬‬ ‫)את התוצאה הזו היה ניתן לקבל בצורה יותר פשוטה אם נבחין שעבור סביבון סימטרי‪ ,‬הבחירה‬ ‫של הצירים ‪ x1 , x2‬היא שרירותית‪ ,‬ולכן יכולנו לבחור את ‪ ψ = 0‬כך שהתוצאה הזו היתה מתקבלת‬ ‫מיד‪.‬‬ ‫דוגמה‪ :‬שימוש בזויות אוילר לשם קביעת התנועה של סביבון סימטרי ‪ .I1 = I2 ̸= I3‬כיוון‬ ‫שלא פועלים כוחות‪ ,‬התנע הזויתי ‪ M‬נשמר‪ .‬נבחר את כיוון ציר ‪ Z‬של המערכת הנייחת להיות‬ ‫בכיוון התנע הזויתי הקבוע של הסביבון ‪ .M‬כמו כן נבחר את הראשית המסתובבת עם הגוף כך‬ ‫ש ‪ x3 -‬הוא לאורך ציר ראשי של הסביבון‪ .‬כיוון שזהו סביבון סימטרי ניתן לבחור את ‪ x1 , x2‬באופן‬ ‫שרירותי ונבחר אותם כך שהזוית ‪ .ψ = 0‬מכאן נקבל שרכיבי התנע הזויתי מקיימים‪:‬‬ ‫‪)(16‬‬ ‫̇‪M1 = I1 Ω1 = I1 θ‬‬ ‫‪M2 = I1 Ω2 = I1 ϕ̇ sin θ‬‬ ‫)̇‪M3 = I3 Ω3 = I3 (ϕ̇ cos θ + ψ‬‬ ‫כמו כן‪ ,‬הציר ‪ x1‬ניצב לראשית הנייחת )זהו ‪ line of nodes‬והוא קו החיתוך בין מישור ‪X, Y‬‬ ‫של המערכת הנייחת ל‪ x1 , x2 -‬של המערכת המסתובבת(‪ .‬מכאן נובע שהרכיב של התנע הזויתי‬ ‫בכיוון זה מתאפס‪ .‬כמו כן‪ ,‬במערכת המסתובבת רכיבי התנע הזויתי הינם ‪ M2 = M sin θ‬ו‪-‬‬ ‫‪ .M3 = M cos θ‬אם נשווה את הביטויים נקבל‪:‬‬ ‫‪θ̇ = 0‬‬ ‫‪I1 ϕ̇ = M‬‬ ‫‪I3 (ϕ̇ cos θ + ψ̇) = M cos θ‬‬ ‫‪)(17‬‬ ‫מכאן אנחנו למדים שהזוית בין התנע הזויתי ‪ M‬לציר הסביבון ‪ θ‬קבועה‪ .‬כמו כן המהירות הזויתית‬ ‫של הפרסציה הינה ‪ ,ϕ̇ = M/I1‬והמהירות הזויתית שאיתה מסתובב הסביבון סביב צירו‪⃗ 3 = :‬‬ ‫‪Ω‬‬ ‫‪ .M cos θ/I3‬את המשוואה האחרונה ניתן לכתוב‪:‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ψ̇ = M cos θ‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪I3 I1‬‬ ‫‪ψ̇ = −Ω3 (I3 − I1 )/I1‬‬ ‫‪)(18‬‬ ‫‪10.6.1‬‬ ‫הצלחת המסתובבת‬ ‫מרוב תסכול מתוצאות המבחן באנליטית‪ ,‬סטודנט בקפיטריה מרים צלחת וזורק אותה באויר‪.‬‬ ‫סטודנט שני שעוד לא הסתכל על הציונים‪ ,‬מנסה להחליט מה יותר מהיר? מהירות הסיבוב או‬ ‫מהירות הפרסציה?‬ ‫‪4‬‬ ‫ממשוואה ‪ )(16‬נובע‪:‬‬ ‫‪Ω3 I3‬‬ ‫‪I1 cos θ‬‬ ‫‪)(19‬‬ ‫= ̇‪ϕ‬‬ ‫וכמו כן מ‪ )(18 :‬נובע‪:‬‬ ‫) ‪Ω3 (I3 − I1‬‬ ‫‪I1‬‬ ‫‪)(20‬‬ ‫‪ψ̇ = −‬‬ ‫כדי לחשב את מהירות הפרסציה אנחנו צריכים לדעת את מומנטי האינרציה של הצלחת‪ .‬אבל‬ ‫כבר הראנו שעבור דיסקה מתקיים‪ I3 = 2I1 :‬ומכאן‪:‬‬ ‫‪2Ω3‬‬ ‫‪cos θ‬‬ ‫‪)(21‬‬ ‫= ̇‪ϕ‬‬ ‫מכאן שעבור זויות קטנות ‪ θ‬מתקיים‪:‬‬ ‫̇‪ϕ̇ ≈ −2ψ‬‬ ‫‪)(22‬‬ ‫‪10.7‬‬ ‫משוואות אוילר‬ ‫מכוון שלגוף קשיח יש ‪ 6‬דרגות חופש‪ ,‬קיימות ‪ 6‬משוואות תנועה‪ .‬ניתן לכתוב אותן בתור הנגזרת‬ ‫בזמן של התנע הקווי והתנע הזויתי‪ .‬ה‪ Lagrangian-‬הינו‪:‬‬ ‫‪)(23‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪L = µV2 + Iik Ωi Ωk − U‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫משוואות התנועה עבור ‪ 3‬דרגות החופש של מרכז המסה הינן‪:‬‬ ‫‪∂L‬‬ ‫‪d ∂L‬‬ ‫=‬ ‫‪∂Ri‬‬ ‫‪dt ∂Vi‬‬ ‫‪d‬‬ ‫= ‪Fi = −∂U /∂Ri‬‬ ‫‪µVi = Ṗi‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪)(24‬‬ ‫כאשר השינוי האינפיניטסימלי בפוטנציאל כתוצאה מהזזה אינפיניטסימלית של מרכז המסה הינו‪:‬‬ ‫∑‬ ‫∑‬ ‫∑‬ ‫= ‪δU‬‬ ‫⃗‪δU /δ‬‬ ‫⃗‪ρp · δ‬‬ ‫· ‪ρp = δR‬‬ ‫⃗‪δU /δ‬‬ ‫· ‪ρp = −δR‬‬ ‫‪fp = −δR · F‬‬ ‫‪)(25‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪p‬‬ ‫כמו כן משוואות התנועה עבור קואורדינטות הסיבוב הינן‪:‬‬ ‫‪∂L‬‬ ‫‪d ∂L‬‬ ‫=‬ ‫‪∂ϕi‬‬ ‫‪dt ∂Ωi‬‬ ‫‪)(26‬‬ ‫על מנת למצוא את הפתרון של הצד השמאלי של המשוואה ‪= −∂U /∂ϕi‬‬ ‫האינפיניטסמלי בפוטנציאל כתוצאה מסיבוב אינפיניטסימלי‪:‬‬ ‫∑‬ ‫∑‬ ‫∑‬ ‫‪⃗ × rp = −δ ϕ‬‬ ‫·⃗‬ ‫⃗‬ ‫‪δU = −‬‬ ‫⃗‪fp · δ‬‬ ‫‪ρp = −‬‬ ‫‪fp · δ ϕ‬‬ ‫‪rp × fp = −Kδ ϕ‬‬ ‫‪)(27‬‬ ‫‪∂L‬‬ ‫‪∂ϕi‬‬ ‫נחשב מהו השינוי‬ ‫‪p‬‬ ‫‪∂L‬‬ ‫‪ . ∂ϕ‬כאשר ‪ K‬הוא ה‪ .Torque-‬כך שמשוואות התנועה עבור‬ ‫ומכאן שממונט הכוח‪= Ki -‬‬ ‫‪i‬‬ ‫קואורדינטות הסיבוב הן‬ ‫‪)(28‬‬ ‫‪Ṁi = Ki‬‬ ‫אם כן‪ ,‬ששת משוואות התנועה עבור גוף קשיח הינן‪:‬‬ ‫‪)(29‬‬ ‫‪)(30‬‬ ‫‪Ṗ = F‬‬ ‫‪Ṁ = K‬‬ ‫משוואות אלו מייצגות את קצב שינוי התנע הזויתי והקווי ביחס למערכת צירים נייחת‪ .‬ואולם‬ ‫לרוב נוח לתאר את קצב שינוי התנע הזויתי ביחס למערכת הנעה עם הגוף שציריה הם הצירים‬ ‫הראשיים של הסיבוב )בפרט‪ ,‬טנזור ההתמד בלתי תלוי בזמן במערכת שמסתובבת עם הגוף(‪.‬‬ ‫אם נבחין כי בדומה להגדרת המהירות ביחס למערכת המסתובבת ‪ -‬השינוי בזמן של כל וקטור‬ ‫הינו‪:‬‬ ‫‪)(31‬‬ ‫‪⃗ ×A‬‬ ‫‪+Ω‬‬ ‫‪body‬‬ ‫‪dA‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫=‬ ‫‪inertial‬‬ ‫‪dA‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫ומכאן נקבח שמשוואות התנועה במערכת שנעה עם הגוף מקיימות‪:‬‬ ‫‪⃗ ×P = F‬‬ ‫‪+Ω‬‬ ‫‪body‬‬ ‫‪)(32‬‬ ‫‪⃗ ×M = K‬‬ ‫‪+Ω‬‬ ‫‪body‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪dP‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪dM‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫אם נגדיר ‪ Ai‬עבור ‪ i = 1, 2, 3‬להיות רכיב הוקטור ‪ A‬בכיוון הציר ‪) xi‬כאשר ‪ x1 , x2 x3‬הינה‬ ‫מערכת הצירים שנעה עם הגוף( ואם נבחר את מערכת הצירים להיות הצירים הראשיים אז‬ ‫משוואות התנועה הינן‪:‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫‪dV1‬‬ ‫‪µ‬‬ ‫‪+ Ω2 V3 − Ω3 V2‬‬ ‫‪= F1‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫‪dV2‬‬ ‫‪µ‬‬ ‫‪+ Ω3 V1 − Ω1 V3‬‬ ‫‪= F2‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫‪dV3‬‬ ‫‪µ‬‬ ‫‪= F3‬‬ ‫‪)(33‬‬ ‫‪+ Ω1 V2 − Ω2 V1‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪dΩ1‬‬ ‫‪+ Ω2 Ω3 (I3 − I2 ) = K1‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪dΩ2‬‬ ‫‪I2‬‬ ‫‪+ Ω1 Ω3 (I1 − I3 ) = K2‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪dΩ3‬‬ ‫‪I3‬‬ ‫‪+ Ω1 Ω2 (I2 − I1 ) = K3‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪I1‬‬ ‫‪)(34‬‬ ‫אלה משוואות אוילר‪.‬‬ ‫דוגמה‪ :‬סביבון סימטרי ללא כוחות חיצוניים ‪ .K = 0‬נבחר ‪ .I1 = I2 ̸= I3‬נקבל ‪Ω̇3 = 0‬‬ ‫כלומר ‪ . Ω3 = const‬אם נגדיר ‪ ,ω = Ω3 (I3 − I1 )/I1‬אזי‬ ‫‪Ω̇1 = −ωΩ2‬‬ ‫‪Ω̇2 = ωΩ1‬‬ ‫‪)(35‬‬ ‫נקבל‬ ‫‪)(36‬‬ ‫) ‪d(Ω1 + iΩ2‬‬ ‫) ‪= iω(Ω1 + iΩ2‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫עם הפתרון ‪ Ω1 + iΩ2 = Aeiωt‬כאשר ניתן עם בחירה נוחה של ראשית הזמן‪ ,‬לבחור את ‪A‬‬ ‫ממשי כך שנקבל‪:‬‬ ‫‪Ω1 = A cos ωt‬‬ ‫‪Ω2 = A sin ωt‬‬ ‫‪)(37‬‬ ‫מכאן שהוקטור המהירות הזויתי ⃗‬ ‫‪ Ω‬מסתובב במהירות זויתית ‪ ω‬מסביב לציר ‪ x3‬של הסביבון‪.‬‬ ‫הפתרון הזה מתאים ל‪)(18. -‬‬ ‫‪10.8‬‬ ‫הסביבון האסימטרי‬ ‫במקרה של סביבון לא‪-‬סימטרי‪ ,‬חופשי‪ I1 ̸= I2 ̸= I3 :‬ו‪ .K = 0 -‬בבעיה ישנם שני גדלים‬ ‫שמורים‪:‬‬ ‫‪)(38‬‬ ‫)‬ ‫(‪1‬‬ ‫‪I1 Ω21 + I2 Ω22 + I3 Ω23 = const‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪7‬‬ ‫=‪E‬‬ ‫והגודל של התנע הזויתי‪:‬‬ ‫‪)(39‬‬ ‫‪M 2 = I12 Ω21 + I22 Ω22 + I32 Ω23 = const‬‬ ‫לא נפתור את הבעיה במדויק אבל ניתן ללמוד על אופי התנועה‪ .‬תנועה קבועה תתקבל כאשר‬ ‫‪ ,Ω̇1 = Ω̇2 = Ω̇3 = 0‬וממשואות אוילר‪:‬‬ ‫‪)(40‬‬ ‫‪Ω1 Ω2 = 0‬‬ ‫‪Ω1 Ω3 = 0‬‬ ‫‪Ω3 Ω2 = 0‬‬ ‫על מנת ששלושת המשוואות הללו יתקיימו שניים מתוך שלושת הרכיבים של המהירות הזויתית‬ ‫צריכים להתאפס‪ .‬כלומר תנועה קבועה היא תנועה מסביב לציר ראשי‪ ,‬וכל תנועה שמערבבת‬ ‫יותר מציר ראשי אחד גוררת מהירות זויתית שאיננה קבועה‪.‬‬ ‫על מנת ללמוד על יציבות התנועה ראשית נניח שהסיבוב הינו סביב אחד הצירים הראשיים‪,‬‬ ‫נניח ציר ‪:e1‬‬ ‫‪)(41‬‬ ‫‪Ω1 = Ω‬‬ ‫‪Ω2 = Ω3 = 0‬‬ ‫ניתן לראות כי התנועה הזו פותרת את משוואות אוילר והתנועה יציבה‪ .‬כעת נשאל מה קורה אם‬ ‫הסיבוב מוסט במעט מהכיוון הזה? על מנת לענות על השאלה נניח סטייה קטנה מסביב לכיוון‬ ‫הסיבוב‪:‬‬ ‫‪)(42‬‬ ‫‪Ω1 = Ω + η1‬‬ ‫‪Ω2 = η2‬‬ ‫‪Ω3 = η3‬‬ ‫כאשר ‪ ηi‬קטן‪ .‬נציב במשוואות אוילר ונפתח לסדר מוביל בהפרעה‪:‬‬ ‫‪)(43‬‬ ‫‪I1 η̇1 = 0‬‬ ‫) ‪I2 η̇2 = Ωη3 (I3 − I1‬‬ ‫) ‪I1 η̇3 = Ωη2 (I1 − I2‬‬ ‫נגזור את המשוואה השניה ונציב את המשוואה השלישית‪:‬‬ ‫‪)(44‬‬ ‫‪Ω2‬‬ ‫‪(I3 − I1 ) (I1 − I2 ) η2 ≡ Aη2‬‬ ‫‪I3‬‬ ‫= ‪I2 η̈2‬‬ ‫מכאן אנו רואים שניתן ללמוד על יציבות הפתרון לפי הסימן של ‪.A‬‬ ‫אם ‪ :A < 0‬ההפרעה תבצע אוסילציות מסביב לתנועה הקבועה‪.‬‬ ‫אם ‪ :A > 0‬ההפרעה תגדל אקספוננציאלית‪.‬‬ ‫אם נסתכל על ההגדרה של ‪ A‬ניתן לראות כי התנועה איננה יציבה אם‬ ‫‪)(45‬‬ ‫‪I2 < I1 < I3 or I3 < I1 < I2‬‬ ‫כלומר הגוף יבצע אוסילציות מסביב לציר הראשי עם מומנט ההתמד הגדול ביותר או הקטן ביותר‬ ‫אבל לא סביב הציר הראשי בעל מומנט ההתמד האמצעי‪.‬‬ ‫‪8‬‬ ‫סביבון סמטרי תחת כוח כבידה‬ 238 1 CHAPTER 13. RIGID BODY MOTION AND ROTATIONAL DYNAMICS Figure 13.7: A dreidl is a symmetric top. The four-fold symmetry axis guarantees I1 = I2 . The blue diamond represents the center-of-mass. :‫ הלגרנגיאן הינו‬torque. that pψ = L · êψ = L cos θ. Finally, êφ · êθ = 0, which means pθ = L · êθ = 0. From the equations of motion, ! " ṗθ = I1 θ̈ ‫שנע‬ = I1 φ̇ cos θ − p‫סביבון‬ , (13.90) ‫בהשפעת כוח כבידה שמפעיל‬ ‫סמטרי‬ ‫עבור‬ ψ φ̇ sin θ hence we must have pψ 1 1 φ̇ =θ L = I1 (θ̇2 + ϕ̇2 sin2 θ) + I3 (ϕ̇ cos θ + ψ̇)2 −θ̇ =M0 gl, cos I1 cos θ 2 2 . )(1 (13.91) Note that θ̇ = 0 follows from conservation of p = L cos θ. From the equation for pψ , we ψ ‫הסביבון ומומנט האינרציה מוגדר לאורך‬ ‫של‬conclude ‫מרחק מרכז המסה מנקודת המגע‬ ‫ הוא‬l ‫כאשר‬ may now # $ pψ ‫הגוף‬ pψ ‫של‬I3 ‫הראשיים‬ − I1 ψ -‫ ו‬ϕ ‫ הלגרנגיאן הוא ציקלי בקוארדינטות‬.‫יחסית לנקודת המגע‬ ψ̇ = − = ω3 , ‫הצירים‬ I3 I1 I3 :‫והתנעים השמורים הם‬ (13.92) which recapitulates (13.52), with ψ̇ = Ω. pϕ = (I1 sin2 θ + I3 cos2 θ)ϕ̇ + I3 cos θψ̇ pψ = I3 cos θϕ̇ +Symmetric I3 ψ̇ 13.6.2 top with one point fixed )(2 )(3 Consider the case of a symmetric top :‫לבטא‬ with one ‫ניתן‬ point‫אלה‬ fixed,‫באמצעות‬ as depicted in Fig. 13.7. The Lagrangian is (pϕ − pψ cos θ) 1 ! 2 2 2 " 1 ! "2 cos θ . (13.93) L = 2 I1 θ̇ + φ̇ sin θ + 2 I3 φ̇ cos θ + ψ̇ − M gℓ )(4 2 I1 sin θ Here, ℓ is the distance from the fixed point to the CM, and the inertia tensor is defined along pψ (p cosatθthe fixed point (not the CM!). Gravity now supplies a ϕ − pψ cos θ)lies principal ψ̇ = − axes whose origin )(5 2 I3 I1 sin θ ϕ̇ = :‫כמו כן האנרגיה של המערכת נשמרת‬ p2ψ 1 2 (pϕ − pψ cos θ)2 θ̇ + + + M gl cos θ E = T + U = I1 2 2I3 2I1 sin2 θ 1 )(6 ‫מכאן שהבעיה הופכת לבעיה חד ממדית של )‪ θ(t‬תחת השפעת הפוטנציאל האפקטיבי‪:‬‬ ‫‪p2ψ‬‬ ‫‪(pϕ − pψ cos θ)2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+ M gl cos θ‬‬ ‫‪2I3‬‬ ‫‪2I1 sin2 θ‬‬ ‫‪)(7‬‬ ‫כאשר הפתרון של הבעיה ניתן ע״י‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪E − Uef f (θ‬‬ ‫‪)(8‬‬ ‫√ ‪dθ‬‬ ‫‪θ‬‬ ‫∫‬ ‫‪θ0‬‬ ‫‪I1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= )‪Uef f (θ‬‬ ‫√‬ ‫‪t(θ) = t(θ0 ) ±‬‬ ‫בנוסף ניתן ללמוד על התנועה מחקירת הפוטנציאל האפקטיבי בגבולות הפיזיקאלים‪.θ ∈ [0, π] :‬‬ ‫ראשית ניתן לראות כי ‪ Uef f (0) = Uef f (∞) = 0‬ומכאן שהתנועה חסומה‪ .‬אולם לא ברור מכאן‬ ‫אם ל ‪ Uef f‬יש מינימום יחיד בתחום התנועה‪ .‬נוח להגדיר ‪ u = cos θ‬ומהמשוואה עבור האנרגיה‬ ‫נובע‪:‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫‪2‬‬ ‫‪p2ψ‬‬ ‫‪2E‬‬ ‫‪2M gl‬‬ ‫‪pϕ − pψ u‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= ̇‪u‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪(1 − u ) −‬‬ ‫‪(1 − u )u −‬‬ ‫)‪≡ f (u‬‬ ‫‪)(9‬‬ ‫‪I1‬‬ ‫‪I1 I3‬‬ ‫‪I1‬‬ ‫‪I1‬‬ ‫‪239‬‬ ‫כאשר נקודות המפנה קורות עבור ‪ .f (u) = 0‬הפונקציה )‪ f (u‬היא פולינום מדרגה שלוש כאשר‬ ‫המקדם של האיבר הקובי )‪ (cubic‬הוא ‪ .2M gl/I1 > 0‬כמו כן ניתן לראות כי = )‪f (u = ±1‬‬ ‫‪EULER’S‬‬ ‫‪ANGLES‬‬ ‫‪ f (u) 13.6.‬באינטרוול )∞ ‪.u ∈ [1,‬‬ ‫שעבורו ‪= 0‬‬ ‫אחד‬ ‫‪ −(pϕ ∓ pψ )2 /I12 < 0‬ומכאן שיש לפחות פתרון‬ ‫כמו כן כיוון שהפונקציה היא פולינום מדרגה שלוש‪ ,‬יש לכל היותר ‪ 3‬פתרונות ממשיים‪ ,‬מכאן‬ ‫שבאינטרוול ]‪ u ∈ [−1, 1‬יש לכל היותר ‪ 2‬נקודות מפנה‪ .‬ולכן הפוטנציאל נראה כמו בציור‪:‬‬ ‫‪Figure 13.8: The effective potential of eq. 13.102.‬‬ ‫על מנת ללומד על התנועה במערכת האינרציאלית נשים לב כי‪:‬‬ ‫‪torque, but as‬‬ ‫‪the torque-free‬‬ ‫‪case, the Lagrangian‬‬ ‫‪is still cyclic in φ and ψ, so‬‬ ‫‪)(10‬‬ ‫‪cos θê03‬‬ ‫‪θ cos ϕê02 +‬‬ ‫‪ê3 = sin‬‬ ‫‪θ sin ϕê01 −in sin‬‬ ‫)‪(13.94‬‬ ‫)‪(13.95‬‬ ‫̇‪pφ = (I1 sin2 θ + I3 cos2 θ) φ̇ + I3 cos θ ψ‬‬ ‫עושה אוסילציות בין שני נקודות מפנה ‪ θa‬ו‪ .θb -‬כמו כן‬ ‫לכן התנועה נקבעת ע״י ‪ .ϕ, θ‬ראינו ש‪θ -‬‬ ‫̇‪pψ = I3 cos θ φ̇ + I3 ψ‬‬ ‫ראינו ש‪:‬‬ ‫‪are each conserved. We can invert these relations to obtain φ̇ and ψ̇ in terms of {pφ , pψ , θ}:‬‬ ‫)‪(13.96‬‬ ‫‪pψ‬‬ ‫‪(pφ − pψ cos θ) cos)(11‬‬ ‫‪θ‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪I3‬‬ ‫‪I1 sin2 θ‬‬ ‫‪)(12‬‬ ‫‪In addition, since ∂L/∂t = 0, the total energy is conserved:‬‬ ‫)‪Ueff (θ‬‬ ‫)‪(13.97‬‬ ‫= ̇‪ψ‬‬ ‫‪,‬‬ ‫)‪(pϕ − pψ cos θ‬‬ ‫‪pφ − pψ cos θ‬‬ ‫‪φ̇ =I1 sin2 θ 2‬‬ ‫‪I1 sin θ‬‬ ‫= ̇‪ϕ‬‬ ‫‪"#‬‬ ‫‪$‬‬ ‫!‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪(p‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪cos‬‬ ‫)‪θ‬‬ ‫‪ψ‬‬ ‫‪φ‬‬ ‫‪ψ‬‬ ‫‪E = T + U = 21 I1 θ̇ 2 +‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+ M gℓ cos θ ,‬‬ ‫‪2I3‬‬ ‫‪2I1 sin2 θ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪where the term under the brace is the effective potential Ueff (θ).‬‬ ‫‪The problem thus reduces to the one-dimensional dynamics of θ(t), i.e.‬‬ ‫‪∂U‬‬ ‫לעומת‬ ‫ אם‬.‫התנועה‬ ‫ עבור כל‬OF ‫חיובי‬REAL ‫ ישאר‬ϕ̇ ‫ אזי‬pϕ > pψ cos θa ‫מכאן שאם‬241 13.7. ROLLING:‫זאת‬ AND SKIDDING MOTION TOPS pψ cos θb < pϕ < pψ cos θa )(13 .‫ משנה סימן בין שתי נקודות המפנה‬ϕ̇ ‫אזי‬ Figure 13.9: Precession and nutation of the symmetry axis of a symmetric top. 13.7 ‫מרכזי‬ ‫מפוטנציאל‬ Rolling and Skidding Motion of Real Tops ‫פיזור‬ 2 :‫נתון כוח דוחה מהצורה‬ The material in this section is based on the −3 corresponding sections from V. Barger and f = krPerspective. This is an excellent book)(14 M. Olsson, Classical Mechanics: A Modern which contains many interesting applications and examples. :‫הראה שחתך הפעולה הדיפרנציאלי הינו‬ σ(χ)dχ = 13.7.1 Rolling tops k 1−x dx 2 2E x (2 − x)2 sin πx )(15 .x = χ/π ‫כאשר‬ :‫הינה‬ ‫הרדיוס‬ ‫עבור‬ ‫התנועה‬ ‫משוואת‬ In most tops, the point of contact rolls or skids along the surface. Consider the‫ראשית‬ peg end top 2 of Fig. 13.10, executing a circular rolling motion, as sketched in Fig. 13.11. There are three M + f (r) )(16and mr̈ = components to the force acting on the top: the normal force from the surface, 3 mrgravity, friction. The frictional force is perpendicular to the CM velocity, and results in centripetal :‫נרצה לעבור לתיאור של משוואת המסלול ע״י שימוש בקשר‬ acceleration of the top: 2 d M ΩM d f= (13.108) = ρ2≤ µM g , )(17 dt mr dθ where Ω is the frequency of the CM motion and µ is the coefficient of friction.:‫ונקבל‬ If the‫נציב‬ above inequality is violated, the top starts to slip. ( ) M d M dr M2 = fa(r) − The frictional and normal forces torque N = M gℓ sin θ − )(18 f ℓ cos θ 2 dθ combine 2 dθ to produce 3 r mr mr 2 about the CM . This torque is tangent to the circular path of the CM, and causes L to = 1/rpoints ‫ואם נציב‬ precess. We assume that the top is spinning rapidly, so that L :‫נקבל‬ very u nearly along ( ) the symmetry axis of the top itself. d2 u (As we’ll mksee, this is true for slow precession but not + 1 + uis=proportional 0 )(19 is for fast precession, where the precession frequency to ω3 .) The precession dθ2 M2 then governed by the equation 2 3 N = M gℓ sin θ − f ℓ cos θ ! ! ! ! = !L̇! = !Ω × L! ≈ Ω I3 ω3 sin θ , Gravity of course produces no net torque about the CM. (13.109) ‫כאשר הפתרון של המשוואה הוא‪:‬‬ ‫‪)(20‬‬ ‫√‬ ‫‪mk‬‬ ‫= ‪ .γ‬על מנת למצוא את הקבועים נגדיר את הזוית כך שהחלקיק נמצא‬ ‫‪1+ M‬‬ ‫כאשר ‪2‬‬ ‫בתחילה ב‪ θ = π-‬ורחוק מאוד ממרכז הכוח כך שמתקיים ‪ u(π) = 0‬ומכאן‪:‬‬ ‫‪u = A cos γθ + B sin γθ‬‬ ‫‪A = −B tan γπ‬‬ ‫‪)(21‬‬ ‫כמו כן לאחר הפיזור החלקיק מתרחק שוב ממרכז הפוטנציאל וכעת הוא בזווית חדשה ‪ θs‬כלומר‪:‬‬ ‫‪ u(θs ) = 0‬כלומר‪:‬‬ ‫‪)(22‬‬ ‫‪A cos γθs + B sin γθs = 0‬‬ ‫כאשר שימוש בתנאי ההתחלה נותן‪:‬‬ ‫‪)(23‬‬ ‫‪)(24‬‬ ‫‪)(25‬‬ ‫‪− sin γπ cos γθs + sin γθs cos γπ = 0‬‬ ‫‪sin γ(θs − π) = 0‬‬ ‫‪γ(θs − π) = π‬‬ ‫ואם נגדיר משתנה ‪ x = θ/π‬אז קיבלנו‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x−1‬‬ ‫‪)(26‬‬ ‫=‪γ‬‬ ‫ומכאן‪:‬‬ ‫‪mk‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪(x − 1)2‬‬ ‫‪)(27‬‬ ‫‪γ2 = 1 +‬‬ ‫)שימו לב שהזוית ‪ θ‬כאן שונה מזו שהגדרנו בכיתה‪ .‬השאלה הזו לקוחה מהספר של גולדשטיין‪.‬‬ ‫לפי ההגדרה כאן‪ ,‬לוקחים את הזוית ההתחלתית להיות ‪ θ = π‬ואת הזוית הסופית להיות ‪θ = θs‬‬ ‫אזי מההגדרה הזו ‪ -‬זוית הפיזור שאותה אנו מחפשים היא למעשה ‪(.θs‬‬ ‫כיוון שהתנע הזויתי תלוי בפרמטר הפגיעה‪:‬‬ ‫√‬ ‫‪M = mv0 s = 2mEs‬‬ ‫‪)(28‬‬ ‫אז קיבלנו‪:‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2Es‬‬ ‫‪(x − 1)2‬‬ ‫‪)(29‬‬ ‫‪1+‬‬ ‫או‬ ‫)‪k (x − 1‬‬ ‫)‪2E x(x − 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪)(30‬‬ ‫‪s2 = −‬‬ ‫ולאחר קצת אלגברה ניתן לוודא כי‪:‬‬ ‫)‪k 2(1 − x‬‬ ‫‪2E x2 (x − 2)2‬‬ ‫‪)(31‬‬ ‫‪2sds = −‬‬ ‫ומכאן שחתך הפעולה לפיזור הינו‪:‬‬ ‫‪)(32‬‬ ‫|‪|sds‬‬ ‫‪k‬‬ ‫)‪(1 − x‬‬ ‫‪=−‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪sin θs‬‬ ‫‪2E x2 (x − 2)2 sin πx‬‬ ‫‪4‬‬ ‫= ‪σ(θs )dθs‬‬

מכניקה אנליטית תאוריה

Products

Support

מכניקה אנליטית תאוריה

Add this document to collection(s)

Add this document to saved

Suggest us how to improve StudyLib