Ejercicios en R2
1.- Determinar cuales de las siguientes aplicaciones son lineales:
(i) f : R3 → R2 definida por f((x; y; z)) = (x − y; y + 2z).
(ii) f : R3 → R2 definida por f((x; y; z)) = (x − y2 ; y + 2z).
Solución.
Es lineal ya que, para todo (x1; y1; z1);(x2; y2; z2) ∈ R3 y para todo α,β ∈ R, se cumple
f((α(x1; y1; z1) +β (x2; y2; z2)) = f ((αx1 + βx2; αy1 + βy2; αz1 + βz2)) =
= (αx1 + βx2 −α y1 −β y2; αy1 + βy2 + 2αz1 + 2βz2) =
= (αx1 −α y1; αy1 + 2αz1) + (βx2 −β y2; βy2 + 2βz2) =
= α (x1 − y1; y1 + 2z1) + β(x2 − y2; y2 + 2z2) =
= f ((x1; y1; z1)) +f ((x2; y2; z2))
(ii) No es lineal ya que
f((0; 1; 0) + (0; 2; 0)) = f((0; 3; 0)) = (−9; 3) = ( ̸ −1; 1) + (−4; 2) = f((0; 1; 0)) + f((0; 2; 0)).
Vectores en R3.
Ejemplo 1-1
La terna (2, 3, -6); representa un vector o punto en R 3.
La terna (-1, 4, -2, 8, 10); representa un vector o punto en R 5.
Convenimos con los lectores en usar letras mayúsculas para representar magnitudes
vectoriales (excepto i, j, k que se usan para representar los vectores unitarios en R3 y ei que
usaremos para representar vectores unitarios en Rn), y minúsculas para representar magnitudes
escalares. Con este criterio escribiremos al vector V en R3 como: V = (x, y, z) o al vector V en Rn
como: V = (x1, x2, x3,……., xn) recordar que en la terna el orden de los números reales que la
componen no puede cambiar.
Ejemplo 1-2
Encontrar un vector unitario en la dirección del vector V = (2, -4, 1)
Si
es un vector de componentes (3, 4), hallar un vector unitario de
su misma dirección y sentido.
Producto de un vector:
Ejemplo
suma
(3, 2, -5) + (2,1,3) = (3+2, 2+1, -5+3) = (5, 3, -2)