 Introducción:
Método de Cross:
El método de Hardy Cross es un método iterativo que sirve para determinar los
momentos flexionantes en las secciones o cortes más interesantes de una viga, claro
o marco. Cuando las secciones son constantes, se calculan las rígideces lineales, los
factores de distribución, los momentos de empotramiento perfecto y los factores de
transporte, para luego proceder a la distribución de momento a los tramos y
su posterior transporte. Este ciclo iterativo se realiza hasta llegar a cifras despreciables
(0,1 t-m, 100 Kg-m o a un 5% de los momentos de empotramientos iniciales), luego se
puede calcular las fuerzas cortantes que también son importante para el diseño
estructural. En el caso de elementos estructurales de secciones variables, se tendrían
que calcular previamente las deformaciones por rotación debido a la variación del
momento de inercia, en esta ocasión se le presenta el cálculo por un método numérico
llamado de Nexwark, aunque se puede hacer por los métodos de las deformaciones o
de las fuerzas, luego de haber obtenidos los momentos de empotramiento perfecto
Este método desarrollado por Hardy Cross en 1932, parte de una estructura ideal
cuyos nodos están perfectamente rígidos, lo que obliga que para llegar a la estructura
real. Básicamente es un método de análisis numérico de aproximaciones sucesivas
que evita tener que resolver ecuaciones simultáneas en un número elevado. Es
necesario realizar dos pasos:
1. Distribuir los momentos de desequilibrio que se presentan en cada nodo.
2. Estos momentos de desequilibrio distribuidos afectan el otro extremo de la barra. Su
cuantificación se hace a través de un factor de transporte. Al realizar este transporte se
vuelve a desequilibrar la viga lo que obliga a realizar una nueva distribución. Este
proceso termina cuando el momento distribuido, sea tan pequeño que no afecte el
resultado del momento final.
 Objetivo:
Los objetivos en esta práctica constan:
Comparar los valores de la reacción 𝑅𝐵 y el desplazamiento 𝛿𝐶 con los determinados
por el Método de Cross.
 Materiales y equipo:
El material y el equipo empleados en la realización de esta práctica fueron:


Marco general de prácticas en laboratorio.
Equipo de viga empotrada:
 Soportes verticales.
 Viga metálica.
 Dinamómetros (medidores de
desplazamiento).
 Medidor de reacción.
 Tara monta pesas.
 Pesas graduadas (8N).
 Procedimiento a seguir:
El procedimiento que se siguió para la obtención de los datos en laboratorio, fue el
siguiente:
o Fase de laboratorio:
1.- Tomar las medidas de los claros con cinta y vernier.
2.- Colocar en ceros el medidor de reacción y los medidores de desplazamiento con el
peso propio de la viga solamente (incluyendo la tara de carga). Para esto se deberá
aplicar una pequeña vibración en la base para eliminar pequeñas fricciones existentes
dentro del sistema de prueba.
3.- Aplicar una de las cargas de 8N en el punto C lentamente para facilitar la lectura. Y
tomar las lecturas del desplazamiento en C y en B, asi como la de la reacción bajo B.
Nota: Cada vuelta en los medidores de desplazamiento son 100 centésimas.
4.- Colocar de manera análoga al paso anterior una segunda pesa de 8N en el punto C,
tomando las mismas medidas para el nuevo caso.
Nota: De esta manera es que se confirmara la linealidad al cotejar los resultados en
cada iteración.
5.- Repetir de nuevo el orden de trabajo seguido en los últimos dos pasos para una
tercera pesa de 8N adicional.
6.- Corroborar la elasticidad registrando también las lecturas de los dinamómetros y el
medidor de reacción al ir quitando cada peso cuidadosamente tras tomar las primeras
tres mediciones, corrigiendo en cada caso con una pequeña vibración del marco igual
que en los primeros pasos.
Nota: Corroborar que al final las mediciones todas vuelvan a marcar cero.
 Hipótesis:
Las hipótesis formuladas por la brigada previo a la ejecución de la practica son:
1.- Las mediciones y datos obtenidos por el ensayo en el laboratorio nos ayudaran a
comprender la elasticidad de materiales como lo es el acero (material del que se
compone la viga ensayada), ya que no se excederán los limitantes de su
comportamiento elástico y al regresar el sistema a su estado original podremos
observar que no sufrió alteraciones permanentes.
2.- Los resultados que obtengamos al ensayar la viga en el laboratorio, tras ser
cotejados con lo obtenido mediante la implementación del Método de Cross en un
problema teórico con los mismos datos que el caso real, serán los mismos, o
posiblemente varíen muy poco debido a la naturaleza distinta de ambas situaciones.
3.- Una vez que ingresemos los datos del caso práctico a un problema teórico resuelto
por el Método de Cross, observaremos las pequeñas variaciones entre lo calculado y lo
que se da en casos reales similares, y asi podremos comprender las implicaciones de
los errores de cálculo, tan pequeños como sean.
 Memoria de cálculo:
Nombre del análisis: Viga hiperestática.
Localización: Instituto Tecnológico de Mata
moros
.
Equipo No:
Fecha:
(DEPENDENCIA)
2
_
24 de Agosto del 2018.
MÉTODO DE CROSS
Tabla de registro:
Registro de iteraciones
Deflexiones: (mm)
Reacción: (N)
Iteración:
Peso:
𝜹𝑩
𝜹𝑪
𝑹𝑩
1.8
0.395
2.960
12.000
2.16
0.765
5.900
24.500
3.24
1.145
8.840
36.500
4.16
0.780
5.940
25.000
5.8
0.405
3.000
13.000
6.0
0.010
0.010
0.100
Nota: Todos los datos de la tabla de registro anterior fueron obtenidos directamente de
los dinamómetros medidores en la viga empotrada.
Gráficos ilustrativos:
Observaciones: ___En las medidas al colocar los pesos en el punto C y al quitar los
mismos posteriormente, se nota una desviación mínima en los valores, por lo que
podemos confirmar la elasticidad de la viga, y asi mismo, que su deformación fue lineal.
 Memoria de cálculo:
o Datos de la viga empotrada:
20.35𝑚𝑚
20.35𝑚𝑚+20.45𝑚𝑚+20.15𝑚𝑚
 Base; b={20.45𝑚𝑚 , b=
= 20.316mm
3
20.15𝑚𝑚
6.13𝑚𝑚
6.13𝑚𝑚+6.11𝑚𝑚+6.07𝑚𝑚
 Grosor; t= {6.11𝑚𝑚 , b=
= 6.103mm
3
6.07𝑚𝑚

 Módulo de Elasticidad; E = 2.04x106 kg/𝑐𝑚2 (El mismo utilizado en aceros de
varillas de refuerzo).

Momento de Inercia; I =

Diagrama:
𝑏 𝑡3
12
=
20.316𝑚𝑚 6.103𝑚𝑚3
12
Sección:
=
384.846𝑚𝑚4
REACCIÓN RB.
𝐼=
(20.31𝑚𝑚)(6.103𝑚𝑚)3
= 384.732 𝑚𝑚4
12
𝐸 = 2.04 𝑥106
𝑘𝑔
𝑁
= 200000
2
𝑐𝑚
𝑚𝑚2
 Caso 1: P=8 N
Para la carga de 8 N en C, la reacción RB es igual a 14 N.
 Caso 2: P=16 N
Para la carga de 16 N en C, la reacción RB es igual a 28 N.
 Caso 3: P=24 N.
Para la carga de 24 N en C, la reacción RB es igual a 42 N.
DESPLAZAMIENTOS EN C
Viga Real
Viga virtual
 Caso 1: P = 8 N; RB = 14 N.
Tramo
X=0
CB
C
BA
B
300
∆𝑐 =
∫0
M (N-mm)
8x
8(x+300) – 14x
M’(mm)
X
X + 300
600
(8(𝑥 + 300) − 14𝑥)(𝑥 + 300)𝑑𝑥
𝑁
(384.732𝑚𝑚4 )
200000
𝑚𝑚2
8𝑥(𝑥)𝑑𝑥 + ∫0
∆𝑐 = 2.33 𝑚𝑚
 Caso 2: P=16 N; RB = 28 N.
Tramo
X=0
CB
C
BA
B
300
∆𝑐 =
∫0
M (N-mm)
16x
16(x+300) – 28x
M’(mm)
X
X + 300
600
(16(𝑥 + 300) − 28𝑥)(𝑥 + 300)𝑑𝑥
𝑁
(384.732𝑚𝑚4 )
200000
𝑚𝑚2
16𝑥(𝑥)𝑑𝑥 + ∫0
∆𝑐 = 4.68 𝑚𝑚
 Caso 3: P=24 N; RB = 42 N.
Tramo
X=0
CB
C
BA
B
300
∆𝑐 =
∫0
M (N-mm)
24x
24(x+300) – 42x
600
M’(mm)
X
X + 300
(24(𝑥 + 300) − 42𝑥)(𝑥 + 300)𝑑𝑥
𝑁
(384.732𝑚𝑚4 )
200000
𝑚𝑚2
24𝑥(𝑥)𝑑𝑥 + ∫0
∆𝑐 = 7.02 𝑚𝑚
 Localización de la practica:
La ubicación de la practica realizada, fue la siguiente:
 Posibles errores y recomendaciones:
 NOTA: La lista de errores descrita representan errores que pudieran darse al
realizar la práctica debido al procedimiento y a errores de naturaleza humana
principalmente.
Uno de los posibles errores durante la practica puede darse si no se asiste al sistema
de la viga dándole ligeros golpeteos previo a las lecturas, ya que al no contar o prever
las pequeñas fricciones en el sistema las lecturas tomadas no serían las reales, y por
ello tanto podrían excederse de las cantidades reales o estar en un déficit.
Otro error posible durante la práctica es el de no observar cada medidor al mismo
tiempo al realizar una alteración (colocar o remover algún peso), ya que asi se puede
perder fácilmente alguna de las mediciones y se tendría que volver a comenzar desde
cero.
También se recomienda que en la fase de ajuste inicial de los dinamómetros se ajusten
todos en un cierto orden y luego se revisen en el mismo sentido para los ajustes finales
dados por las vibraciones que pudieran ser comunicadas al sistema ya en balance.
Por último, se recomienda que la mesa o la base sobre la que se monta el marco de
ensayo se mantenga libre de movimientos o vibraciones innecesarias ya que esto
podría alterar los resultados de la práctica.
 Conclusiones:
Iteració
n
1
2
3
2
1
Peso
aplicado(N
)
8
16
24
16
8
Práctico
s
Teórico
s
Práctico
s
Teórico
s
Práctico
s
Teórico
s
ᵟ𝐵 (mm)
0.385
0.765
1.145
0.78
0.405
ᵟ𝐵 (mm)
-
𝑅𝐵 (N)
12
24.5
36.5
25
13
𝑅𝐵 (N)
14
28
42
28
14
ᵟ𝐶 (mm)
2.96
5.9
8.89
5.9
3
ᵟ𝐶 (mm)
2.33
4.68
7.02
4.68
2.33
Porcentaje de error
Iteración
1
2
3
2
1
𝑅𝐵 (%)
14.28
12.5
13.09
10.71
7.14
ᵟ𝐵 (%)
27.03
26.06
26.63
26.92
28.75
Conclusión
En la observación de los resultados obtenidos en los micrómetros en el laboratorio así
como también la resolución de esta viga por el método de Cross, al comparar los
resultados de la reacción en el punto B ( 𝑅𝐵 de la práctica y 𝑅𝐵 del método de
Cross) vemos que hay una diferencia en estos y obtenemos un porcentaje de error
promedio de 9.40% y al comparar el desplazamiento obtenido en el punto B ( ᵟ𝐵 de la
práctica y ᵟ𝐵 del método de Cross) se observa una diferencia en estos dos y obtuvimos
un porcentaje de error de 27.07% este error pudo haber sido causado por las
diferentes movimientos que se tenía en la mesa donde se realizó la práctica, entre
otros factores. Cabe mencionar que en los resultados obtenidos en la práctica con las
diferentes cargas aplicadas en la viga fueron aproximadamente lineales y muy
aproximados a los valores obtenidos con el método de Cross por lo que decimos que
los valores de la práctica en cierta manera son satisfactorios.
 Anexo 1: Fotografías del proceso seguido.
- Forma en la que se colocó el
dispositivo de práctica.
- Dinamómetros y medidor de
reacciones recién calibrados.
- Dinamómetros de medición de
desplazamiento y reacción en el
punto B (primera iteración).
- Colocación de pesas de 8N en tara
en el punto C.
- Medición de deflexión en el punto C
(primera iteración).
- Medición de deflexión en el punto B
(primera iteración).
- Medición de la deflexión en el punto B
(segunda iteración) durante calibrado
entre iteraciones.
- Colocación de pesos subsecuentes
en el punto C.
- Remoción de pesas individualmente
para la toma de datos y confirmación
de la elasticidad de la viga.
- Inducción de pequeñas vibraciones
al marco de practica para corrección
de las mediciones.
- Remoción de la última pesa de 8N
para devolver el sistema a su estado
inicial y corroborar la elasticidad.
 Bibliografía:
Consulta física:


McCormac-Structural Analysis Using Classical and Matrix Methods
Apuntes de la clase.