STUDIO DEL SEGNO DI UN POLINOMIO
Studiare il segno di un polinomio vuol dire trovare i valori della x che, sostituiti , rendono
il polinomio positivo, negativo o nullo.
PROCEDURA
I) Se il polinomio è di grado maggiore di 2, per prima cosa devi scomporre in fattori, finchè
non lo avrai ridotto ad un prodotto di polinomi di primo e/o secondo grado.
II)
ora devi trovare, per ciascun fattore, gli zeri e studiarne il segno;
fattori di primo grado:
ax +b
ZERO
X1=-b/a
x1
SEGNO
Se a >0
Se a <0
ZERI
(con la
formula!)
SEGNO
Δ>0
x1, x2
La parabola interseca l’asse
x in due punti distinti)
(
x1
------------++++++++
+++++++--------------
Δ=0 x1= x2
(La parabola è tangente all’asse
Δ<0
non esistono sol reali
(La parabola non interseca l’asse x)
x)
x2
x1 = x2
a> 0
+++++------+++
++++++++++++
++++++++++++
x1
x2
x1 = x2
-----------------
a<0
III)
-----+++++----
----------------------
Componi gli studi del segno in un unico grafico e fai il prodotto
ESEMPIO 1 polinomio di secondo grado: P(X) = 2x2 -7x +3
per studiarne il segno dobbiamo applicare la procedura:
a. trova gli zeri
X1,2 = (7+ 5)/4 x1= ½ , x2=3
b. rappresenta la parabola (non in modo preciso, non serve conoscere il vertice! )
c.deduci il segno del trinomio
1/2
3
sopra
sopra
1/2
3
sotto
+++++----------+++
d.dal grafico che: il polinomio P(x) è positivo per i valori x<1/2 V x>3
il polinomio P(x) è negativo per i valori
½<x<3
il polinomio P(x) è nullo per i valori x = ½, 3
Seguendo la procedura e lo schema sopra indicato studia il segno dei seguenti polinomi
9x2 -12x +4 ; 12x +4 ; x2 +x +1 ;
-9x2 -6x -1 ;
-x2 +8x -16 ; 3-x2 ;
-6x -3
ESEMPIO 2 polinomio di grado >2: p(x) = (x4 – 16)(x3-5x2+6x)(5-x)
per studiarne il segno dobbiamo applicare la procedura:
a. Scomponi in fattori i polinomi con grado >2:
p(x) = (x2 – 4)(x2 + 4)x (x2-5x+6)(5-x)
b. Studio il segno di ogni singolo fattore:
I)
(x2 – 4) =0 x1,2 = + 2
-2
+2
+++------+++++
II)
(x2 + 4)= 0
MAI
+++++++
III)
X= 0
IV)
(x2-5x+6)= 0 x1,2 = 2,3
V)
(5-x)= 0
0
------++++++
2
3
++-----+++++
x= 5
5
+++++--------
c. Riporti su un unico grafico
-2
0
2
3
5
I) (x2 – 4) ++++++++--------------+++++++++++
II) (x2 + 4) ++++++++++++++++++++++++++
III) X
---------------------++++++++++++++
IV) (x2-5x+6)+++++++++++++++------+++++++
V) (5 – x)
++++++++++++++++++++------
-
+
-
- +
-
d. dal grafico che: il polinomio P(x) è positivo per i valori ………………..
il polinomio P(x) è negativo per i valori
…………………………….
il polinomio P(x) è nullo per i valori x = ………………………
Seguendo la procedura e lo schema sopra indicato studia il segno dei seguenti polinomi
1) (-x2 +2x -3)  ( 3x-6)
2) (x2 +6x +9)  ( x-3)
3) (-x2 +8x -12)  ( x2-4)
4) (x3 -1)(16-x2)(x - 4x2)
STUDIO DEL SEGNO DI UNA FRAZIONE ALGEBRICA
Data la frazione algebrica costituita dal rapporto di due polinomi
f ( x) 
p ( x)
q ( x)
Si procede allo studio del segno dei polinomi p(x) e q(x) (come da scheda precedente: scomponi in fattori di 1° e/o
2°, trova gli zeri, studia il segno) e si riportano su un unico grafico, distinguendo numeratore e denominatore.
Attenzione: i valori che annullano il numeratore , soluzioni di p(x) = 0, sono da considerare zeri della frazione
algebrica; i valori che annullano il denominatore, soluzioni di q(x) = 0 vanno esclusi dal campo di esistenza
della frazione, per essi la frazione algebrica non esiste.
f ( x) 
ESEMPIO
18  2 x 2
1 x2
1) Numeratore :
18-2x2
a. trovare gli zeri
18-2x2 = 0 ; 2x2 = 18
b. rappresentare la parabola e dedurre il segno
,
_
x2 = 9

+

-3
x1 = 3
_

3
2) Denominatore : 1-x2
(applichiamo la solita procedura..)
a. trovare gli zeri
1-x2 = 0 ; , x2 = 1
 x1 = 1 x2 = -1
b. rappresentare la parabola e dedurre il segno
3) Mettere i due studi di segno sullo stesso schema grafico:
segno del denominatore : 1-x2
segno del numeratore:
18-2x2
----------X++++++X---------------0++++++++++++++0------
segno della frazione
-+ 0 - x

-3

-1
concludendo abbiamo diviso l’intero asse reale in
+
x
_
_

-1
+

1
- 0 +
1
5
x2 = -3

3
intervalli
 x  3
 3  x  1

 1  x  1
1  x  3

 x  3
La frazione algebrica è _____________
La f razione algebrica è ______________
La frazione algebrica è _____________
La frazione algebrica è _____________
La frazione algebrica è _____________
Seguendo la procedura e lo schema sopra indicato studia il segno dei seguenti polinomi
x2  9
2x  6
;
x2
;
9x 2  4
x2 1
;
5x  2
2 x 2  8x  9
x2 1
x2  4
;
;
3x 2  7 x  21
x 2  2x  1 9  x 2
( x  5) 2  2 x  9
x 2  16
DISEQUAZIONI
Per risolvere una disequazione polinomiale o frazionaria (>, > , <, < ) si procede allo studio del segno e poi
nel grafico si considerano come insieme delle soluzioni S gli intervalli in cui la disequazione è verificata
>0 scegli i +
>0 scegli i + e i valori degli zeri (ATTENZIONE alle frazioni algebriche: mai gli zeri del denominatore!)
<0 scegli i <0 scegli i - e i valori degli zeri (ATTENZIONE alle frazioni algebriche: mai gli zeri del denominatore!)