• Les 12 divisions de l’as : leur emploi chez Calcidius et chez Boèce •
– 1–
• Colloquia Aquitana II – 2006 Boèce, l’homme, le philosophe, le scientifique, son œuvre et son rayonnement •
• Paris (Éditions Le Manuscrit), 2009, Tome 2, pages 261-274 •
• ILLO HUMPHREY | PH. D.-HDR •
• Couverture : Boethii De arithmetica | Bamberg | Staatsbibliothek | Class. 5 | Tours | ca. 844 | f. 9V° •
COLLOQUIA AQUITANA II – 2006
BOECE,
([Boethius], Rome, ca. 480 - Pavie, 524)
l'homme, le philosophe, le scientifique, son oeuvre et son rayonnement
colloque international tenu à Duras France-47120 du 3 au 5 août 2006
• http://www.colloquiaaquitana.com/?cat=9 •
• http://www.colloquiaaquitana.com/?page_id=28 •
TOME 2
PARIS, ÉDITIONS LE MANUSCRIT, 2009
(520 pages)
• http://www.manuscrit.com/Book.aspx?id=10178 •
• ISBN : 978-2-304-00566-0 (livre imprimé) •
• ISBN 13 : 9782304005660 (livre imprimé) •
• ISBN : 978-2-304-00567-7 (livre numérique) •
• ISBN 13 : 9782304005677 (livre numérique) •
• https://u-bordeaux3.academia.edu/IlloHumphrey/Papers •
• https://www.researchgate.net/profile/Illo_Humphrey/publications •
• http://orcid.org/0000-0002-1130-0397 •
• Les 12 divisions de l’as : leur emploi chez Calcidius et chez Boèce •
– 2–
• Colloquia Aquitana II – 2006 Boèce, l’homme, le philosophe, le scientifique, son œuvre et son rayonnement •
• Paris (Éditions Le Manuscrit), 2009, Tome 2, pages 261-274 •
• ILLO HUMPHREY | PH. D.-HDR •
CHAPITRE 12 :
Les 12 divisions de l’as :
leur emploi chez Calcidius et chez Boèce
[Colloquia Aquitana II-2006 | Vol. 2 | p. 261]
1.
L’As (ou libra)
L’As (ou libra) est une unité qui contient 12 divisions1.
Dans le système économique romain et par la suite
dans celui de la période mérovingienne2 et
carolingienne3, l’as représentait à tour de rôle une unité
pondérale4, une unité monétaire5 puis en même temps
un procédé arithmétique pour exprimer des
proportions6, des pourcentages7 et des fractions8. En
effet, ce fut en tant que système duodécimal que l’as a
été employé au Ve siècle par Calcidius dans le chapitre
« De numeris » de son commentaire sur le Tímaios de
Pláton, et au VIe siècle par Boèce dans son De
institutione musica III, 2 • III, 3 • III, 4 • III, 13.
2. Calcidius • Commentaire sur le Tímaios de
Pláton : « De numeris »
(cf. § XLVIIII : Descriptio tertia • quae est harmonica •
iuxta epogdoam rationem modulans
utraque symphoniam diatessaron et diapente)
[Colloquia Aquitana II-2006 | Vol. 2 | p. 262]
Le
néo-pythagoricien et
néoplatonicien
Calcidius9, évoluant dans la même mouvance
philosophique que Plotînos-Porphýrios • Iámblichos •
Macrobius • Próklos • etc., nous a laissé une
traduction latine avec commentaire du Tímaios
de Pláton10.
Dans le chapitre intitulé « De
numeris » : § XLVIIII de son commentaire, Calcidius
nous propose un diagramme pédagogique de forme
pyramidale qu’il nomme « descriptio tertia… ». Dans
cette descriptio, Calcidius indique une suite de neuf
valeurs numériques qui correspondent aux secondes
majeures (i.e. epogdooi) et demi-tons (i.e. semitonia)
intervenant
dans
une
échelle
diatonique
pythagoricienne, dont l’étendue est d’une octave et un
ton. Ces neuf valeurs numériques, situées à l’intérieur
de la pyramide, se déclinent de haut en bas de 192 à
432, et s’agencent du grave à l’aigu de la manière
suivante : CXCII(192) • CCXVI(216) • CCXLIII(243)
•
CCLVI(256)
•
CCLXXXVIII(288)
•
CCCXXIIII(324)
•
CCCLXIIIIS(364½)
•
CCCLXXXIIII(384)
•
CCCCXXXII(432).
À
l’extérieur de la pyramide, côté droit, on découvre huit
valeurs numériques, à savoir : XXIIII(24) • XXVII(27)
• XIII(13) • XXXII(32) • XXXVI(36) • XLS(40½) •
XVIIIIS(19½) • XLVIII(48), lesquelles représentent la
différence entre chaque paire successive des neuf
valeurs numériques se trouvant à l’intérieur de la
pyramide, puis du côté gauche, on lit T T S T T T
• Les 12 divisions de l’as : leur emploi chez Calcidius et chez Boèce •
– 3–
• Colloquia Aquitana II – 2006 Boèce, l’homme, le philosophe, le scientifique, son œuvre et son rayonnement •
• Paris (Éditions Le Manuscrit), 2009, Tome 2, pages 261-274 •
• ILLO HUMPHREY | PH. D.-HDR •
S T11, ce qui correspond parfaitement à la succession
de tons (i.e. toni) et demi-tons (i.e. semitonia) compris
dans une échelle diatonique pythagoricienne. Ainsi,
pour exprimer les valeurs numériques XLS(40½),
CCCLXIIIS(364½) et XVIIIIS(19½),
Calcidius,
comme l’on peut voir, fait appel tout simplement aux
divisions de l’as, et dans ce cas précis au signe qui
correspond à la proportion 0,5 (le semis), c’est-à-dire 6
douzièmes (cf. infra, Tableau synoptique).
[Colloquia Aquitana II-2006 | Vol. 2 | p. 263]
3. Analyse
La descriptio tertia de Calcidius ne figure pas
dans la tradition manuscrite du IXe siècle du Boethii
De institutione musica ; seuls, semble-t-il, les manuscrits
du commentaire de Calcidius sur le Tímaios de Pláton
la contiennent. Toutefois, il faut préciser que Boèce
dans son De musica I, 18, nous propose une descriptio en
prose qui est identique à la moitié supérieure du
diagramme de Calcidius, c’est-à-dire CXCII(192) •
CCXVI(216) • CCXLIII(243) • CCLVI(256) •
CCLXXXVIII(288)12. Étant donné le raisonnement
basé sur le régime de l’octave (Soit f la fonction
prenant en paramètres : v allant de + 0 → ∞ (v Є N) •
n allant de + 0 → ∞ (n Є N) f (v, n) = = v / (2n) = = v
p a f (27 648, 14) = = 27 648 / 214 = = 1 → 1, 6875
• [v = valeur quelconque • v p a = valeur proportionnelle
absolue]), caractérisé par le rapport 1 → 2, on est en
mesure de comprendre le sens de ce diagramme d’un
point de vue solfégique. Il convient à présent, au sujet
de la descriptio tertia, de s’exercer à un raisonnement
arithmétique pythagoricien, prenant l’unité absolue (i.e.
le nombre 1) comme point de départ.
• Les 12 divisions de l’as : leur emploi chez Calcidius et chez Boèce •
– 4–
• Colloquia Aquitana II – 2006 Boèce, l’homme, le philosophe, le scientifique, son œuvre et son rayonnement •
• Paris (Éditions Le Manuscrit), 2009, Tome 2, pages 261-274 •
• ILLO HUMPHREY | PH. D.-HDR •
[Colloquia Aquitana II-2006 | Vol. 2 | p. 264]
Descriptio tertia • quae est harmonica •
iuxta epogdoam rationem modulans
utraque symphoniam diatessaron et diapente13
Enfin, cette vérification minutieuse met en
évidence l’étonnante précision des intervalles de
l’échelle diatonique pythagoricienne de la descriptio tertia
de Calcidius, précision qui est rendue possible grâce à
l’emploi de la 6e division de l’as, i.e. le semis (XLS :
40½ • CCCLXIIIS : 364½ • XVIIIIS : 19½).
[Colloquia Aquitana II-2006 | Vol. 2 | p. 265]
4. Boethii • De institutione musica libri quinque :
III, 2 • III, 3 • III, 4 • III, 13
Le Livre III du Boethii De institutione musica libri
quinque, qui comporte seize chapitres, est consacré
principalement à la réfutation de la théorie empirique
d’Aristóxenos († vers –318)14 comme quoi ἡ διὰ
τεσσάρων
χορδῶν συμϕωνία (la quarte
parfaite : 1 → 1, 333333333)15 serait composée de deux
ἐπόγδοοι (ce qui est juste)16 plus la moitié d’un ton
(ce qui est inexact d’un point de vue strictement
arithmétique)17, enfin, comme quoi ἡ διὰ πασῶν
χορδῶν συμϕωνία (l’octave parfaite : 1 → 2)
serait composée de 6 ἐπόγδοοι (ce qui est également
inexact d’un point de vue strictement arithmétique)18.
• Les 12 divisions de l’as : leur emploi chez Calcidius et chez Boèce •
– 5–
• Colloquia Aquitana II – 2006 Boèce, l’homme, le philosophe, le scientifique, son œuvre et son rayonnement •
• Paris (Éditions Le Manuscrit), 2009, Tome 2, pages 261-274 •
• ILLO HUMPHREY | PH. D.-HDR •
Dans le Livre III, aux chapitres 2, 3, 4 et 13 de son De
institutione musica libri quinque19, Boèce, comme Calcidius
avant lui, fait appel 16 fois aux divisions de l’as pour
exprimer des valeurs numériques avec fractions, en
l’occurrence : XIII½, CCLVI½20, •CɸCɸCɸXɸLɸVɸIɸIɸIɸIɸ•
DXXV⅓ (i.e. 348525⅓), •IɸIɸIɸIɸ• DCCLXVIII⅔ (i.e.
4768⅔)21, ⅔, ⅔, •IɸIɸ• CCCLXXXIIII⅓ (i.e. 2384⅓),
•CɸCɸCɸXɸLɸVɸIɸIɸIɸIɸ•
DXXV⅓
(i.e.
349525⅓),
•CɸɸLɸXɸXɸIɸIɸIɸIɸ• DCCLXII⅔ (i.e. 174762⅔), XVIIII½
(i.e. 19½)22. En se reportant donc au tableau des 12
Divisions de l’as on constate, par rapport à l’unité
absolue (i.e. 1), que la graphie pour triens (i.e. 4
douzièmes) correspond à 1/3, que celle pour semis (i.e.
6 douzièmes) correspond à 1/2, enfin, que celle pour
bisse ou bessis (i.e. 8 douzièmes) correspond à 2/3.
[Colloquia Aquitana II-2006 | Vol. 2 | p. 266]
5. Observations
Suivant le même raisonnement employé dans
l’analyse de la descriptio tertia de Calcidius, les valeurs
numériques chez Boèce rentrent dans la logique
proportionnelle comprise entre 1 et 2. Pour réduire ces
valeurs à leur plus petite expression entre 1 et 2, il
suffit de les diviser par la valeur 2n qui leur est
immédiatement inférieure. L’as, enfin, dont les 12
divisions équivalent à 1 divisé en 12 parties égales, est
donc égale à l’unité absolue, c’est-à-dire 1, d’où son
intérêt pour les calculs pythagoriciens et platoniciens,
autrement dit, pour l’étude des quattuor matheseos
disciplinae, i.e. le quadruvium.
6. À propos du tableau des 12 Divisions de l’As
Divisé en six colonnes, le tableau des 12
Divisions de l’as se lit de gauche à droite. La 1ère
colonne donne le nom de chacune des 12 divisions, la
colonne 2 donne les douze graphies, la colonne 3
indique les douze fractions correspondant aux douze
graphies, puis la colonne 4 donne les pourcentages par
rapport à 1 de chaque division par rapport à 12. Dans
la colonne 5, sont indiquées les douze proportions par
rapport à 1, accompagnées de leurs noms en grec ou
en latin ; ces proportions correspondent chacune aux
douze pourcentages de la colonne 4. La colonne 6,
enfin, donne les noms des intervalles musicaux en
langue grecque ou latine, leurs proportions
numériques par rapport à 1, puis leurs grandeurs par
rapport à 1.
Ce tableau synoptique, transformé pour l’occasion en
outil de recherche au service de l’ars arithmetica et l’ars
musica, nous aide à mieux comprendre le rapport entre
• Les 12 divisions de l’as : leur emploi chez Calcidius et chez Boèce •
– 6–
• Colloquia Aquitana II – 2006 Boèce, l’homme, le philosophe, le scientifique, son œuvre et son rayonnement •
• Paris (Éditions Le Manuscrit), 2009, Tome 2, pages 261-274 •
• ILLO HUMPHREY | PH. D.-HDR •
nombre et proportion, entre proportions et intervalles
musicaux. Par ailleurs, il est utile de rappeler que les 12
divisions de l’as figurent, entre autres, dans le traité
Calculus de Victorius d’Aquitaine vers 46523, dans le De
[Colloquia Aquitana II-2006 | Vol. 2 | p. 267] computo et
ponderibus de l’astronome irlandais Dicuil : † vers 82524,
ainsi que dans le commentaire du savant Abbon de
Fleury De numero mensura et pondere olim edidi super
Calculum Victorii 25, lequel est conservé dans plusieurs
manuscrits datés entre le Xe et le XIIIe siècle26.
© Tableau conçu et réalisé par Illo Humphrey, le samedi 8 avril 2000.
• Les 12 divisions de l’as : leur emploi chez Calcidius et chez Boèce •
– 7–
• Colloquia Aquitana II – 2006 Boèce, l’homme, le philosophe, le scientifique, son œuvre et son rayonnement •
• Paris (Éditions Le Manuscrit), 2009, Tome 2, pages 261-274 •
• ILLO HUMPHREY | PH. D.-HDR •
[Colloquia Aquitana II-2006 | Vol. 2 | p. 268]
7. Conclusion
Enfin, une étude attentive des 12 divisions de
l’as, tel qu’elles ont été employées par Calcidius et,
surtout, par Boèce27 comme outil de calcul pour
exprimer avec précision des fractions, pourcentages et
proportions, met en évidence, d’une part, que ars
arithmetica (i.e. la philosophie des nombres et des
proportions) et ars musica (i.e. la philosophie de la
formation des intervalles musicaux) émanent toutes
deux du concept de la « principalitas unitatis » (Boethii
De institutione arithmetica I, 7 ; II, 2), puis montre une
fois de plus que l’unité absolue (en grec : τὸ ἕν, τοῦ
ἑνός), c’est-à-dire le nombre 1, lequel est divisible
jusqu’à l’infini vers plus zéro, est à la base de toute
réflexion scientifique-philosophique pythagoricienne
et platonicienne, et, de ce fait, se trouve au cœur du
principe fondamental de la « substantia numeri » (cf.
Boethii De institutione arithmetica I, 2). • Explicit •
• Illo Humphrey, Ph. D. | HDR •
NOTES :
1 L’As est une unité duodécimale, c’est-à-dire un système de
calcul fondé sur la base de 12, dont voici les noms des 12
divisions : AS = 12 / 12e • deunx = 11/ 12e • decunx = 10 / 12e
• dodrans = 9 / 12e • bisse = 8 / 12e • septunx = 7 / 12e • semis
= 6 / 12e • quincunx = 5 / 12e • triens = 4 / 12e • quadrans = 3
/ 12e • sextans = 2 / 12e • uncia = 1 / 12e • Nota bene : Bisse
(i.e. 8 / 12e) est appelé également « bessis » • Cf. W. Christ,
« Über das Argumentum calculandi des Victorius und dessen
Commentar », dans Sitzungsberichte des bauerischen Akademie der
Wissenschaften zu Mûnchen, München, 1863, t. I, p. 136-143 ; Ernest
Babelon, Traité des monnaies grecques et romaines, 1ère partie : Théorie et
doctrine, t. 1, Paris, 1901, colonnes 747-749 ; G. Friedlein, Boetii De
institutione libri duo • De institutione musica libri quinque, Leipzig, 1867,
p. 268-300, désormais (G.F.) ; C. Bower, Fundamentals of Music,
[Colloquia Aquitana II-2006 | Vol. 2 | p. 269] (i.e. traduction
critique en langue anglaise du Boethii De institutione musica libri
quinque), New Haven / London, 1989, p. 93, désormais (C.B.) ; I.
Humphrey, Thèse de l’École Pratique des Hautes Études, IVe Section
(Sorbonne), à paraître, Paris, 1993-1994, t. I, p. 32, 33, t. II, p. 9699, t. III, planche 29a, désormais (I.H., Thèse de l’É.P.H.É.).
2
Cf. Paris, B.n.F., nouvelles acquisitions latines 2654 (VIIe s., 2e
moitié) : il s’agit de 31 documents comptables en parchemin
provenant de l’abbaye Saint-Martin de Tours (i.e. des registres de
redevances des tenanciers de l’abbaye), dont 27 datables du VIIe
siècle. Les documents 1, 6, 7, 12 mentionnent un certain Agyricus
qui gouverna le monastère vers la fin du VIIe siècle ; P. Gasnault,
J. Vezin, D. Muzerelle, Documents comptables de Saint-Martin deTours,
Paris, 1975, p. 190-191 ; H. Atsma et J. Vezin, Chartae latinae
antiquiores, édition en facsimile des chartes en langue latine écrites
sur papyrus ou sur parchemin avant l’an 800, t. XIII-XIX (pour la
France t. I-VII), Urs Graf Verlag, Dietikon-Zürich, 1981-1987,
cf. n° 659 : Paris, B.n.F., n.a.l. 2654. Nota bene : On rencontre
• Les 12 divisions de l’as : leur emploi chez Calcidius et chez Boèce •
– 8–
• Colloquia Aquitana II – 2006 Boèce, l’homme, le philosophe, le scientifique, son œuvre et son rayonnement •
• Paris (Éditions Le Manuscrit), 2009, Tome 2, pages 261-274 •
• ILLO HUMPHREY | PH. D.-HDR •
le signe pour semis dans les documents : I, III, V, XI, XII, XIII,
XV, XVIIII, XX, XXII, XXVI ; cf. P. Gasnault, p. 191.
3
Cf. Paris, B.n.F., Fonds latin 7200 : (Boethii De institutione musica
libri quinque, IXe siècle, 1ère moitié, provenance : Fleury-sur –
Loire ?), f. 43r° à 44r° ; Paris, B.n.F., Fonds latin 7297 : (Boethii
De institutione musica libri quinque, IXe siècle, 2e moitié, provenance :
Fleury-sur –Loire ?), f. 72v° ; I.H., Thèse de l’É.P.H.É.) t. II, p. 9699, t. III, planche 29a.
4
En effet, au début du IXe siècle, chez l’astronome irlandais
Dicuil († vers 825), évoluant dans l’entourage de Charlemagne,
puis dans celui de Louis le Pieux, on rencontre les divisions de l’as
décrites dans un poème d’environ 255 vers. Il s’agit d’un
fragment de son traité De computo et ponderibus, cf. Paris, B.n.F.,
nouvelles acquisitions latines 1645 (olim Libri 88), IXe s., f. 7v°14v° ; cf. L. Delisle, Catalogue des manuscrits des fonds Libri et Barrois,
Paris, 1888, p. 78-79 ; éd. J. Tierney, Dicuili Liber de mensura orbis
terrae, Dublin, 1967, p. 11-17 ; G. Hacquard • J. Dautry • O.
Maisani, Guide romain antique, Paris, 1952, p. 103-105, 165.
5
Cf. G. Hacquard • J. Dautry • O. Maisani, op. cit., p. 103-105,
165 ; il s’sgit d’une monnaie de bronze à poids variable. On
distingue entre l’as libralis (ca. 272 gr.) l’as trientalis (ca. 109 gr.) l’as
uncialis (ca. 27 gr.) l’as sestertius (ca. 36,38 gr.). [Colloquia
Aquitana II-2006 | Vol. 2 | p. 270]
6
Cf. Boethii De institutione musica, III, 2 • III, 3 • III, 4, éd. G.F.,
p. 272-276 ; C. Bower, Fundamentals of Music, p. 91-95 ; C. Meyer,
p. 176-182.
7
Cf. Boethii De institutione musica, III, 2 • III, 3 • III, 4, éd. G.F.,
p. 272-276 ; C. Bower, Fundamentals of Music, p. 91-95 ; C. Meyer,
p. 176-182.
8
Cf. Boethii De institutione musica, III, 2 • III, 3 • III, 4, éd. G.F.,
p. 272-276 ; C. Bower, Fundamentals of Music, p. 91-95 ; C. Meyer,
p. 176-182.
9
Cf. Calcidius (Ve s. a.D.), éd. J. H. Waszink, « Timaeus » a Calcidio
translatus commentarioque instructus, (Plato latinus IV), London /
Leiden, 1972, 2e édition : 1975, p. IX-XVII : « De Calcidio », p.
CVI-CXXX : « Elenchus codicum ; cf. Manuscrits : Lyon, B. m.,
324 (257) IXe s., et Valenciennes, B. m., 293 (283), IXe s. ; E.
Mensching, « Zur Calcidius Überlieferung », dans Vigiliae
christianae n° 19, 1965, 43-50 ; J. Marenbn, From the Cercle of Alcuin
to the School of Auxerre : Logiqic, Theology and Philosophy in the Early
Middle Ages, Cambridge (G.B.), London, etc., 1981, p. 57 et 167 ;
G. Madec, Jean Scot et ses auteurs : annotations érigéniennes, Paris, 1988,
p. 32 (Calcidius) : Annotationes in Marcianum 10 : 16, p. 49 (Plato) :
Annotationes in Marcianum 10 : 16 ; M. Huglo, « La réception de
Calcidius et des Commentarii de Macrobe à l’époque
carolingienne », dans Scriptorium, t. XLIV, 1990, 1, p. 3-20, voir p.
4-10. Le Timaeus Platonis et Commentarius constituent les seuls
ouvrages qu’il nous soient parvenus de Calcidius, semble-t-il.. Ils
étaient connus dès le VIe siècle en Gaule et en Espagne ; ils
étaient connus également, semble-t-il, d’Alcuin au VIIIe siècle,
puis cités plus tard, au milieu du IXe siècle, par Jean Scot Érigène
dans ses Annotationes in Marcianum, 10 : 16.
10
Cf. Calcidius (Ve s.), éd. J. H. Waszink, p. 1-52 : Timaeus
Platonis • p. 53-346 : Commentarius • p. 98 : « De numeris »
§XLIX, Descriptio tertia. Notons que la traduction de Calcidius,
inachevée, correspond au Tímaios de Pláton 17a-53c, alors que le
traité complet commence à 17a et se termine à 92c ; cf. Th.-H.
Martin, Études sur le Timée de Platon, Paris, 1841 / (Vrin –
Reprise), 1981, t. I, p. 57-244, t. II, p. 389, 398-399.
11
Cf. M. Huglo, « La réception de Calcidius… », p. 4 : n. 5 ; ici,
d’un point de vue strictement philologique, Huglo critique avec
raison Waszink d’avoir ‘retenu à tort les lettres T et S ajoutées au
• Les 12 divisions de l’as : leur emploi chez Calcidius et chez Boèce •
– 9–
• Colloquia Aquitana II – 2006 Boèce, l’homme, le philosophe, le scientifique, son œuvre et son rayonnement •
• Paris (Éditions Le Manuscrit), 2009, Tome 2, pages 261-274 •
• ILLO HUMPHREY | PH. D.-HDR •
IXe siècle par les copistes..’.
Toutefois, d’un point de vue
pédagogique et
didactique, ces interpolations sont précises, et, pour ma part,
bienvenues.
12
Cf. Boethii De institutione musica libri quinque, I, 18, éd. G.F., p.
204 : 10 à 205 : 3 ; C. B., p. 28-29 ; I.H., Thèse de l’É.P.H.É., t. II,
p. 64.
13
Analyse des intervalles musicaux de la Descriptio tertia :
Mi0 par rapport à la Fondamentale DO0 constitue une tierce
dite « pythagoricienne » réduite à sa plus petite valeur au-dessus
de 1 (soit une proportion de 1 → 1,265625 = 26 → 34 = 64 →
81) ;
[Colloquia Aquitana II-2006 | Vol. 2 | p. 271]
Si♮
♮0 par rapport au DO1 constitue un λεῖμμα (demi-ton
mineur ou diesis) (soit une proportion de 1,8984375 → 2 ⇔ 1
→1,0534979423868312757201640) ;
La7 par rapport au Sol7 constitue une seconde majeure (epogdoos)
(soit une proportion de 192 → 216 = 24 → 27 = 1,5 →1,6875
⇔ 8 → 9 = 1 → 1,125) ;
Si♮
♮7 par rapport au DO8 constitue un λεῖμμα (demi-ton
mineur) (soit une proportion de 35 → 28 = 243 → 256 =
1,8984375 → 2 ⇔ 1 →1,053497942386…) ;
Mi8 par rapport au DO8 constitue une
« pythagoricienne » (soit une proportion de
34 = 64 → 81 = 1 → 1,265625) ;
28
tierce
→ 324 ⇔
dite
26
→
Fa♯
♯8 par rapport au DO8constitue une quarte augmentée (soit
une proportion de 28 → 364½ = 256 → 364½ = 1 →
1,423828125) ; puis une tierce dite « pythagoricienne » par rapport
8
au Ré (soit une proportion de 288 → 364½ = 1,125 →
1,423828125 = 1 → 1,265625) ;
Sol8 : par rapport au Sol7 constitue une octave parfaite (soit
une proportion de 192 → 384 = 1,5 → 3) ; puis un λεῖμμα
(demi-ton mineur ) par rapport au
Fa♯
♯8 (soit une proportion
de 364½
→ 384
=
1,423828125
→ 1,5
⇔ 1
→1,053497942386…).
14
Ἀριστόξενος ὁ Ταραντῖνος ὁ Μουσικός, ἡ
Ἁρμονική (Aristóxenos o Tarantînos, musicien-philosophe,
disciple d’Aristotélis, vers 318 av. J.-C.), Harmonica, I, 25, II, 3334, II, 56 ; ed. Henry Marcan, The Harmonics of Aristoxenus,
(traduction anglaise), Oxford, 1902, Hildesheim 1974, p. 182-183,
207 ; cf. R.I.S.M. [grec], éd. T. J. Mathiesen : n° 89, p. 230,
(Paris, B.n.F., Fonds grec 2460, XVIe s., f. 58v-78v), n° 273, p.
709-710 vue [Colloquia Aquitana II-2006 | Vol. 2 | p. 272]
(Venetus Marcianus gr. app. cl. VI n° 3, XIIe s., f. 17r°-66v°) ; M.
Litchfield, « Aristoxenus and Empiricism : a reevaluation based
on his theories », dans Journal of Music Theory, Spring 1988, vol.
32.1, p. 51- 73.
15
C’est-à-dire la quarte parfaite, soit : 3 → 4 ou bien en
proportions absolues 1 → 1,333333333333333333333333333.
16
C’est-à-dire 2 secondes majeures parfaites, soit : 8 → 9 + 8 →
9 ou bien en proportions absolues 1 → 1,125 + 1 → 1,125.
17
Le ton, selon Boèce, se divise en 2 parties inégales, i.e. en
λεῖμμα
(243
→
256
=
1→
1,
11
0534979423868312757201646090535), puis en ἁποττομή (2 →
2187 = 2048 → 2187 = 1 → 1,06787109375) ; cf. Boethii De
• Les 12 divisions de l’as : leur emploi chez Calcidius et chez Boèce •
– 10 –
• Colloquia Aquitana II – 2006 Boèce, l’homme, le philosophe, le scientifique, son œuvre et son rayonnement •
• Paris (Éditions Le Manuscrit), 2009, Tome 2, pages 261-274 •
• ILLO HUMPHREY | PH. D.-HDR •
institutione musica libri quinque II, 29 et II, 30 ; éd. G.F., p. 262 : 1 et
264 : 14 ; C.B., p. 83-85 ; I.H., Thèse de l’É.P.H.É., t. II, p. 91-92.
18
Cf. Boethii De institutione musica III, 3 : « Adversum
Aristoxenum demonstratines diatessaron consonantiam ex
duobus tonis et semitonio non constare integro nec diapason
tonis sex » ; éd. G.F., p. 273 : 15 ; C.B., p. 92 ; I.H., Thèse de
l’É.P.H.É., t. II, p. 97.
19
Cf. Paris, B.n.F., Fonds latin 7200 (Boethii De institutione musica
libri quinque, IXe s.), f. 43v°- 44.
20
Cf. Boethii De institutione musica libri quinque III, 2 : « Ex
sesquitertia proportione sublatis duobus tonis toni dimicium non
relinqui » • ; cf. éd. G.F., p. 273 : 4, 5 ; C.B., p. 91 ; I.H., Thèse de
l’É.P.H.É., t. II, p. 96. Nota bene : 243 → 256,5 = 35 → 256,5
= 18 → 19 = 1 → 1,055555555555555555555555555555556 ;
puis 243
→
256
=
35 → 28 = 1 →
1,0534979423868312752016460).
21
Cf. Boethii De institutione musica libri quinque III, 3 : « Adversum
Aristonxenum demonstrationes diatessaron consonantiam ex
duobus tonis et semitonio non constare integro nec diapason
tonis sex » • ; cf. éd. G.F., p. 274 : 13, 19 et p. 275 : 4 ; C.B., p.
93-94. Ici, on observe que le surlignement d’un chiffre romain
multiplie celui-ci par mille ; I.H., Thèse de l’É.P.H.É., t. II, p. 9798 ; cf. E. Babelon, supra ; note 1, colonnes 745-746. Il faut
préciser, toutefois, que le surlignement de M̅, qui signifie
normalement 1000 x 1000, peut signifier aussi l’abréviation pour
millia ou milia, -ium (i.e. miliers). On rencontre cette abréviation au
XIe siècle dans le De geometria du Pseudo-Boèce conservé à vue
[Colloquia Aquitana II-2006 | Vol. 2 | p. 273] Erlangen,
Universitätsbibliothek, 379, f. 35v° ; cf. éd. M. Folkerts, Boethius
Geometrie II, p. 139-140, 228 ; G. Beaujouan, « l’abaque du
Pseudo-Boèce. IXe siècle » (cf. supra, Bibliographie I : n° 31), p.
322-328.
22
Boethii De institutione musica libri quinque III, 4 : « Diapason
consonantiam a sex tonis … » • III, 13 « Quod semitonium
minus… ; éd. G.F., p. 275 : 9, 11,12, et p. 276 : 3 ; C.B., p. 94-95 ;
C.B., p. 108 ; I.H., Thèse de l’É.P.H.É., t. II, p. 98-99 ; G.F., 291 ;
C.B., p. 108.
23
Cf. W. Christ, « Über das Argumentum calculandi des Victorius
und dessen Commentar », dans Sitzungsberichte des bauerischen
Akademie der Wissenschaften zu Mûnchen, München, 1863, t. I, p.
136-143.
24
Cf. Paris, B.n.F., n.a.l. 1645 (olim Libri 88), IXe s., f. 7v°-14v° =
fragment ; cf. L. Delisle, Catalogue des manuscrits des fonds Libri et
Barrois, Paris, 1888, p. 78-79 ; cf. Dicuili Liber de mensura orbis terrae,
éd. J. Tierney, Dublin, 1967, p. 11-17.
25
Abbon de Fleury (écolâtre à Fleury de 970-975, écolâtre à
Ramsey en Angleterre de 985 à 987, élu abbé de Fleury en 988, †
idibus novembris 1004) ; cf. Regesta imperii : http://regestaimperii.uni-giessen.de/guest-lit/titelindex_r.php?p=abbon
;
André Van De Vyver, « Les œuvres inédites d’Abbon de
Fleury », Revue bénédictine (t. 47), 1935, p. 125-169 ; A. GuerreauJalabert (éditrice), Abbo Floriacenisis Questiones grammaticales,
(Auteurs latins du Moyen âge), Paris, 1982 ; Gillian R. Evans et
Alison M. Peden, « Natural Science and the Liberal Arts in Abbo
of Fleury’s Commentary on the Calculus of Victorius of Aquitaine »,
dans Viator, , n° 16, 1985, p. 109-127 ; Alison M. Peden, Abbo of
Fleury and Ramsey: Commentary on Calculus of Victorius of Aquitaine,
Oxford, Oxford University Press, 2003 (Auctores Britannici
Medii Aevi, XV), LIV - 160 p. ; Pierre Riché, Abbon abbé de Fleury
(950-1004). Un moine combatif et savant, Brepols, 2004, 312 p. ;
Abbon de Fleury : un abbé de l’an mille, Orléans et Saint-Benoît-sur-
• Les 12 divisions de l’as : leur emploi chez Calcidius et chez Boèce •
– 11 –
• Colloquia Aquitana II – 2006 Boèce, l’homme, le philosophe, le scientifique, son œuvre et son rayonnement •
• Paris (Éditions Le Manuscrit), 2009, Tome 2, pages 261-274 •
• ILLO HUMPHREY | PH. D.-HDR •
Loire,
10-12
juin
2004 :
http://www.irht.cnrs.fr/actualites/coloque_abbon_programme.h
tm ; Annick Notter, Aurélie Bosc (éditrices), Lumières de l’an mil en
Orléanais autour du millénaire d’Abbon de Fleury, Brepols, 2004, 368 p.
26 Cf. Michel Huglo, « D’Helisachar à Abbon de Fleury », Revue
bénédictine (t. 104 : n° 1-2), 1994, p. 204-229, v. p. 220-225 :
Bamberg, Staatsbibliothek, Class. 53 (Xe – XIe s.), f. 30 • Berlin, S.
P. K. 138 (Phillips 1833) (Xe – XIe s.), f. 5 • Bern, vue
[Colloquia Aquitana II-2006 | Vol. 2 | p. 274] Bürgerbibliothek
250 (Xe s.), f. 1v° ; Marco Mostert, The Library of Fleury. A
provisional list of Manuscripts, Hilversum, 1989, p. 46, 47, 68.
27
Il faut préciser que Boèce ne s’est jamais servi des 12 divisions
de l’as dans son traité De arithmetica. Pour exprimer l’idée de
« moitié », par exemple, Boèce n’utilise ni la graphie pour semis, ni
le terme semis, mais fait appel plutôt aux termes « medietas » •
« media pars » • « media portio » ; cf. Boethii De institutione arithmetica
I, 7 : « De principalitate unitatis » ; éd. G.F., p. 16 : 5, 21-23 ; J.Y.G., p. 15 : 12, p ; 16 : 2, 4 ; Illo Humphrey, Boethius De
institutione arithmetica libri duo. Édition proto-philologique intégrale
princeps d’un manuscrit du IXe siècle (Paris, B.n.F., Fonds latin
14064), texte, gloses, notes tironiennes, signes de renvoi, planches
hors-texte, glossaires, Indices, (Thèse de Doctorat Université de
Paris X-Nanterre, 2004, t. II, édition p. 15, 16, cf. FCT : Fichier
Centrale des Thèses n° 9413058J), Institute of Medieval Music
(IMM), Musicological Studies Volume LXXXVII, IBSN :
978-1-896926-90-2, Ottawa, Canada, septembre 2007, f. 6 :
26 à 6v° : 1, f. 6v° : 14, 15. • IH | ih | Ph. D. | HDR | Explicit •
~•~
• « Les 12 divisions de l’as : leur emploi chez Calcidius et chez Boèce » •
• Colloquia Aquitana II – 2006 Boèce ([Boethius], Rome, ca. 480 - Pavie, 524) :
l’homme, le philosophe, le scientifique, son œuvre et son rayonnement
• Paris (Éditions Le Manuscrit), 2009, Volume 2, pages 469-476 •
éd.
• ILLO HUMPHREY | PH. D.-HDR •
(Nota bene : Cet article a été revu, corrigé et augmenté par l’auteur le 22-IX-2016)
____________
• ISBN : 978-2-304-00566-0 (livre imprimé) • ISBN 13 : 9782304005660 (livre imprimé) •
• ISBN : 978-2-304-00567-7 (livre numérique) • ISBN 13 : 9782304005677 (livre numérique) •
• http://www.manuscrit.com/Blog_Auteur.aspx?id=6280
• http://www.manuscrit.com/Book.aspx?id=10178 •
• http://www.colloquiaaquitana.com/?page_id=28 •
•
• http://sorbonne.academia.edu/IlloHumphrey/Books
• https://u-bordeaux3.academia.edu/IlloHumphrey/Papers •
• https://www.researchgate.net/profile/Illo_Humphrey/publications •
• http://orcid.org/0000-0002-1130-0397 •