3Calculo de Variaciones

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Calculo de Variaciones
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• Al querer optimizar algo, nos topamos con un
problema de máximos y/o mínimos que es un
problema común en las matemáticas.
• ¿qué precio deben tener las entradas de un
concierto para conseguir la mayor
recaudación posible?
• ¿Qué trayectoria debe seguir un avión que
vuela entre dos puntos para gastar la menor
cantidad posible de combustible?
cálculo de variaciones
• Se le da el nombre de cálculo de variaciones a un
conjunto de técnicas para encontrar extremos (max. y
min.) de funciones, definidas sobre funciones que
llamaremos funcionales.
• es una generalización de las técnicas que se usan para
encontrar extremos de funciones en  con la
diferencia de que la incógnita, el objeto óptimo que
buscamos no es un punto en  sino una función
definida en un rango.
• es una herramienta fundamental en la formulación de
las teorías actuales de la física, y da un nuevo punto de
vista en varios problemas.
Primeros ejemplos del cálculo de
variaciones
• Son muchas las situaciones reales en las que se
presentan problemas que se pueden resolver
empleando las técnicas del cálculo de variaciones: *El
problema de Dido (problemas isoperimétricos). *La
curva de longitud mínima que une dos puntos del
plano. *La catenaria. *Braquistócrona. *Geodésicas.
*Superficies mínimales de revolución. *Principio de
mínima acción.
• Todos estos ejemplos tienen en común la búsqueda de
una función que optimiza un determinado funcional.
Inicios del calculo variacional
• ¿Cuál es el camino más corto entre dos puntos del plano?
¿Y del espacio? ¿Y sobre una superficie cualquiera? ¿Qué
forma tiene el tobogán más rápido? ¿Cuál es la curva plana
que encierra mayor área entre todas las que tienen una
misma longitud?
• Estos son algunos problemas de optimización que se
consideran clásicos y supusieron, a finales del siglo XVII, la
génesis de una nueva rama de las matemáticas: el Cálculo
de Variaciones. En esta ocasión haremos una breve revisión
del problema de los isoperímetros desde la perspectiva de
esta nueva teoría y se determinarán sus soluciones que
son, respectivamente, las líneas geodésicas, la cicloide y,
naturalmente, la circunferencia.
la desigualdad isoperimétrica
• Teorema.
Dado un dominio compacto y regular   R 2 , su
área A y su perímetro L está relacionados por:
4A  L2 , " "   es un disco redondo
Dado A>0, ¿existe un dominio   R 2 con área A,
que tiene el menor perímetro de entre todos los
2
R
recintos de con área A? (a un dominio con esta
propiedad se le llama dominio isoperimétrico)..
• TALLER DE PROBLEMAS, El problema
isoperimétrico y el Cálculo de Variaciones,
suma, 39febrero 2002, pp. 99-102
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