3Calculo de Variaciones

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Calculo de Variaciones

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• • • Al querer optimizar algo, nos topamos con un problema de máximos y/o mínimos que es un problema común en las matemáticas.

¿qué precio deben tener las entradas de un concierto para conseguir la mayor recaudación posible?

¿Qué trayectoria debe seguir un avión que vuela entre dos puntos para gastar la menor cantidad posible de combustible?

cálculo de variaciones

• • • Se le da el nombre de cálculo de variaciones a un conjunto de técnicas para encontrar extremos (max. y min.) de funciones, definidas sobre funciones que llamaremos funcionales. es una generalización de las técnicas que se usan para encontrar extremos de funciones en buscamos no es un punto en 𝑅 𝑛 𝑅 𝑛 con la diferencia de que la incógnita, el objeto óptimo que sino una función definida en un rango.

es una herramienta fundamental en la formulación de las teorías actuales de la física, y da un nuevo punto de vista en varios problemas.

Primeros ejemplos del cálculo de variaciones

• • Son muchas las situaciones reales en las que se presentan problemas que se pueden resolver empleando las técnicas del cálculo de variaciones: *El problema de Dido (problemas isoperimétricos). *La curva de longitud mínima que une dos puntos del plano. *La catenaria. *Braquistócrona. *Geodésicas. *Superficies mínimales de revolución. *Principio de mínima acción. Todos estos ejemplos tienen en común la búsqueda de una función que optimiza un determinado funcional.

Inicios del calculo variacional

• • ¿Cuál es el camino más corto entre dos puntos del plano? ¿Y del espacio? ¿Y sobre una superficie cualquiera? ¿Qué forma tiene el tobogán más rápido? ¿Cuál es la curva plana que encierra mayor área entre todas las que tienen una misma longitud? Estos son algunos problemas de optimización que se consideran clásicos y supusieron, a finales del siglo XVII, la génesis de una nueva rama de las matemáticas: el Cálculo de Variaciones. En esta ocasión haremos una breve revisión del problema de los isoperímetros desde la perspectiva de esta nueva teoría y se determinarán sus soluciones que son, respectivamente, las líneas geodésicas, la cicloide y, naturalmente, la circunferencia.

la desigualdad isoperimétrica

Teorema.

Dado un dominio compacto y regular   R 2 , su área A y su perímetro L está relacionados por: 4  A  L 2 , "  "   es un disco redondo que tiene el menor perímetro de entre todos los propiedad se le llama dominio isoperimétrico)..

• TALLER DE PROBLEMAS, El problema isoperimétrico y el Cálculo de Variaciones, suma, 39febrero 2002, pp. 99-102

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