Nom du cours :
Electromagnétisme
Ondes Electromagnétiques
Cursus/option :
1ère année
Date de mise à jour :
06 février 2008
Année scolaire
:
2007/2008 Auteur : Denis Boiron
Table des matières
0 Introduction
0.1 Equipe pédagogique et texte en ligne . . .
0.1.1 Equipe pédagogique – coordonnées
0.1.2 Texte en ligne . . . . . . . . . . . .
0.2 Contenu du cours . . . . . . . . . . . . . .
0.3 Bibliographie (non exhaustive !) . . . . . .
0.4 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.5 Annexes - calculs . . . . . . . . . . . . . .
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1 Equations de Maxwell dans le vide
1.1 Equations de Maxwell dans le vide . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Equations d’onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Notion de potentiels – condition de Lorentz . . . . . . . . . .
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5
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7
2 Rayonnement – Potentiels retardés
2.1 Potentiels retardés . . . . . . . . . .
2.2 Approximation des champs lointains
2.2.1 Calcul des potentiel . . . . . .
2.2.2 Calcul des champs EM . . . .
2.3 Aspect énergétique . . . . . . . . . .
2.4 Approximation dipolaire . . . . . . .
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3 Diffusion
3.1 Introduction à la polarisation de la matière
3.2 Polarisabilité électronique . . . . . . . . .
3.2.1 Modèles . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Polarisabilité électronique . . . . .
3.3 Diffusion – Notion de section efficace . . .
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3.4 Diffusion par un électron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.5 Diffusion par une molécule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.6 Diffusion par un gaz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4 Equations de Maxwell dans le matière
4.1 Position du problème - Exemple de la propagation d’une onde
plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Solution classique : notion d’indice de réfraction . . .
4.1.2 Modèle microscopique . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Description macroscopique de la matière . . . . . . . . . . .
4.2.1 Notations et définitions . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.2 Calcul de ρ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.3 Calcul de j . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Equations de Maxwell dans la matière . . . . . . . . . . . .
4.4 Relations constitutives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.1 Remarques générales . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.2 Exemples, définitions et ordre de grandeur . . . . . .
4.5 Explications des relations constitutives . . . . . . . . . . . .
4.5.1 Linéarité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.2 Espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.3 Temps-fréquence – relations de Kramers-Kronig . . .
4.6 Charges liées - charges libres . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.7 Constante diélectrique généralisée . . . . . . . . . . . . . . .
4.7.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.7.2 Réécriture des équations de Maxwell . . . . . . . . .
4.8 Retour sur la polarisabilité électronique . . . . . . . . . . . .
4.8.1 Diélectrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.8.2 Conducteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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38
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40
40
40
5 Propagation d’une onde dans la matière
5.1 Equation d’onde . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Indice de réfraction . . . . . . . . . . . .
5.2.1 Relation de dispersion . . . . . .
5.2.2 Cas général . . . . . . . . . . . .
5.3 Atténuation : absorption ou réflexion . .
5.4 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.1 Les conducteurs . . . . . . . . . .
5.4.2 Les diélectriques . . . . . . . . .
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5.5
Propagation dans un milieu dispersif–Etude de la propagation
d’une impulsion EM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
6 Réfraction–réflexion
6.1 Position du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Relations de continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Réflexion-réfraction à l’interface entre deux diélectriques parfaits
6.3.1 Position du problème et notation . . . . . . . . . . . .
6.3.2 Cas transverse électrique (TE) . . . . . . . . . . . . . .
6.3.3 Cas transverse magnétique (TM) . . . . . . . . . . . .
6.3.4 Récapitulatifs-comparaisons . . . . . . . . . . . . . . .
6.4 Coefficients de réflexion-réfraction en intensité . . . . . . . . .
6.5 Cas des métaux et diélectriques non parfaits . . . . . . . . . .
51
51
52
54
54
54
55
56
57
58
7 Ondes guidées
7.1 Exemple d’introduction : le guide métallique
7.2 Méthode générale d’étude . . . . . . . . . .
7.2.1 Décomposition des champs . . . . . .
7.2.2 Equations du problème . . . . . . . .
7.3 Guide métallique rectangulaire . . . . . . . .
7.3.1 Cas TM . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.2 Cas TE . . . . . . . . . . . . . . . .
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61
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64
64
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66
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8 Optique géométrique
67
8.1 Approximation des courtes longueurs d’onde . . . . . . . . . . 67
8.2 Rayon lumineux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
8.3 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
A Notation complexe
B Systèmes de coordonnée
B.1 Coordonnée cartésienne .
B.2 Coordonnée polaire . . .
B.3 Coordonnée cylindrique .
B.4 Coordonnée sphérique .
B.5 Abscisse curviligne . . .
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vii
C Calcul vectoriel
C.1 rot, grad, div . . . . . . . . . . . . . . . .
C.2 Calcul intégral . . . . . . . . . . . . . . . .
C.3 Représentation dans les différents systèmes
C.3.1 Coordonnées cartésiennes . . . . .
C.3.2 Coordonnées cylindriques . . . . .
C.3.3 Coordonnées sphériques . . . . . .
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. . . . . . . . .
de coordonnées
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ix
ix
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x
x
x
Chapitre 0
Introduction
0.1
0.1.1
Equipe pédagogique et texte en ligne
Equipe pédagogique – coordonnées
– Cours : Denis Boiron, maı̂tre de conférence à l’Institut d’OptiqueGraduate School
Groupe d’optique atomique du LCFIO .
Expérience de condensation de Bose-Einstein de l’hélium métastable
Adresse informatique : denis.boiron@institutoptique.fr
Bureau : pièce R2.46 ; tel : 01 64 53 33 54
Laboratoire : pièce R0.L3G
– Travaux dirigés : Alpha Gaétan, thésard optique quantique (alpha.gaetan@institutoptique.fr)
et Pierre Lugan, thésard optique atomique (pierre.lugan@institutoptique.fr).
0.1.2
Texte en ligne
Il ne s’agit pas ici de retranscrire le cours fait devant les élèves mais plutôt
d’un résumé indiquant les points clés abordés pendant le cours et leur donner
un sens physique permettant une meilleure assimilation des concepts abordés.
Tout commentaire sur ce texte est le bienvenu. Merci de le faire parvenir
à mon adresse informatique (denis.boiron@institutoptique.fr).
1
0.2
Contenu du cours
L’electromagnétisme est une matière déjà abondamment traitée que ce
soit à l’université ou en classes préparatoires. Certains des apects abordés
dans ce cours seront donc une répétition pour certains.
Les parties sans doute les plus neuves sont les chapitres sur le rayonnement, la dérivation des équations de Maxwell dans la matière, le problème
de la réfraction-réflexion dans des substrats non parfaits.
0.3
Bibliographie (non exhaustive !)
Les ouvrages cités se trouvent tous à la bibliothèque de l’Ecole.
1. ”Ondes électromagnétiques en radioélectricité et en optique”, PETIT
Bien, mais assez (trop ?) mathématique
2. ”Electrodynamics of continous media”, LANDAU et LIFSHITZ
Difficile
3. ”Electromagnétisme”, PEREZ
Assez simple, n’aborde pas tout le cours
4. ”Electrodynamique classique”, JACKSON
Très bien mais un peu difficile parfois, la bible en électromagnétisme
5. ”Principles of Optics”, BORN et WOLF
Bien
6. ”Micro-Ondes”, COMBES
De nombreux exemples, applications pratiques
0.4
Notation
Pour une meilleure lisibilité et une facilité de transcription ( !), les vecteurs
seront notés en gras.
De plus il pourra arriver que les notations suivantes soient utilisées :
1. grad(f ) = ∇f
2. rot(A) = ∇ ∧ A
3. div(A) = ∇ · A
2
4.
5.
0.5
∂f
= ∂t f
∂t
∂2f
= ∂t2 f
∂t2
Annexes - calculs
La notation complexe sera très utilisée tout au long de ce cours. Un rappel
est donné annexe A.
L’annexe B donne la définition d’un point dans différents systèmes de
coordonnées.
Divers expressions faisant intervenir div, grad, rot et leurs expressions en
coordonnées cartésiennes et sphériques sont données dans l’annexe C.
3
4
Chapitre 1
Equations de Maxwell dans le
vide – Potentiels vecteur et
scalaire
1.1
Equations de Maxwell dans le vide
Une onde électromagnétiques est définie par la donnée du champ électrique
E(r,t) et magnétique B(r,t).
Les équations de Maxwell dans le vide sont :

div(B) = 0



rot(E) = −∂t B
div(E) = ρ/0



rot(B) = µ0 j + µ0 0 ∂t E
Les quantités E, B, j et ρ sont des fonctions de l’espace et du temps.
Ces équations contiennent des sources ; ρ est la densité volumique de
charge et j la densité volumique de courant.
Il existe une solution unique à ces équations si on connait exactement les
sources ρ et j en tout point et à tout instant. Cette unicité n’est valable qu’en
rajoutant des conditions aux limites satisfaisantes : les champs EM doivent
tendre vers 0 à l’infini.
5
Pourquoi parler d’équations de Maxwell dans le vide alors qu’il y apparait
des charges et courants ! ! ! ?
→ En fait on fait l’hypothèse que les ”vraies” sources de courant et charge
sont des quantités ponctuelles (électrons, protons, ions ...), infiniment petites
par rapport aux autres échelles de longueur du problème. Donc à part des
endroits infiniment petits où la notion de champ décrite plus haut n’a plus
de sens, ces équations sont vraies partout, même dans la matière ! Ce point
sera repris dans le chapitre correspondant.
Alors, puisqu’on n’étudiera les champs que là où il n’y a pas de sources,
pourquoi ne pas égaler les équations de Maxwell à 0 ?
→ Les sources ρ et j n’interviennent en fait que comme ”conditions
ZZ aux li
mites”. Les équations intégrales de Maxwell donnent par exemple E.dΣ =
Q/0 où l’intégrale calcule le flux de E à travers une surface fermée contenant
la charge Q. On voit bien que la densité de charge ρ intervient même si on ne
s’intéresse à la valeur des champs EM qu’en des points où ρ = 0. Le terme
”source” veut bien dire ce qu’il veut dire, ce sont ρ et j qui créent les champs
EM.
Les équations de Maxwell contiennent implicitement l’équation de conservation de la charge.
→ Le courant correspond à une variation temporelle de charge : I = Q̇.
Microscopiquement cette équation s’écrit divj + ∂t ρ = 0. Cette équation est
bien vérifiée car div(rotB) = µ0 (divj + ∂t ρ) = 0 car div(rot) = 0 (cf annexe
C).
1.2
Equations d’onde
On peut transformer les éqn de Maxwell pour découpler les champs E et
B. On obtient alors des équations différentielles du deuxième ordre, appelé
équations d’onde ou équations de Helmholtz :
∆E − µ0 0 ∂t2 E = µ0 ∂t j + gradρ/0
∆B − µ0 0 ∂t2 B = −µ0 rotj
Vitesse de propagation :
6
→ On voit sur ces équations que la quantité √µ10 0 est homogène à une
vitesse ; c’est la vitesse de propagation de l’onde dans le vide c’est-à-dire la
vitesse de la lumière c.
Dans le système international d’unité, on a µ0 = 4π 10−7 SI et 0 =
1
10−9 SI
36π
Remarque : Une solution quelconque des équations d’onde n’est pas une
solution des eqns de Maxwell car on est passé des unes aux autres par une
dérivation. Il faut donc vérifier que cette solution vérifie Maxwell.
1.3
Notion de potentiels – condition de Lorentz
La résolution des éqns de Maxwell est très difficile à faire. L’introduction
de nouveaux champs, les potentiels, va permettre une résolution exacte de
ces équations.
On définit les quantités V (r, t) potentiel scalaire et A(r, t) potentiel vec
B = rotA
teur. Elles sont reliées aux champs par :
E = −∂t A − gradV
Les champs EM définis de cette manière vérifient directement les deux
équations de Maxwell indépendantes des sources.
L’introduction des deux définitions précédentes dans les deux équations
de Maxwell restantes donnent :
∆V − µ0 0 ∂t2 V = −ρ/0 − ∂t (divA + µ0 0 ∂t V )
∆A − µ0 0 ∂t2 A = −µ0 j + grad(divA + µ0 0 ∂t V )
On cherche donc une solution de ces deux équations. A priori cela semble
encore plus difficile que de résoudre les équations d’onde sur les champs EM.
Cependant il faut remarquer que la définition des potentiels n’est pas unique.
En effet quelle que soit la fonction f (r, t) les couples {A, V } et {A0 , V 0 } avec
V 0 = V − ∂t f et A0 = A + grad(f ) donnent les mêmes champs EM (cf.
annexe C). Cela signifie que l’on peut imposer une condition supplémentaire
aux potentiels. On choisit généralement :
7
divA + µ0 0 ∂t V = 0 : c’est la condition (jauge) de Lorentz
Il existe d’autres jauges ; l’une des plus courantes est la jauge de Coulomb divA = 0. Celle que l’on utilise a l’avantage de conserver des rôles
symétriques entre V et A.
En résumé, on cherche une solution des équations suivantes :

 divA + µ0 0 ∂t V = 0
∆V − µ0 0 ∂t2 V = −ρ/0

∆A − µ0 0 ∂t2 A = −µ0 j
Une telle solution existe, c’est la solution des potentiels retardés.
8
Chapitre 2
Rayonnement – Potentiels
retardés
2.1
Potentiels retardés
On cherche donc une solution de :

 divA + µ0 0 ∂t V = 0
∆V − µ0 0 ∂t2 V = −ρ/0

∆A − µ0 0 ∂t2 A = −µ0 j
Pour cela on va utiliser la fonction de Green G correspondant au problème.
Cette fonction vérifie ∆G − µ0 0 ∂t2 G = −δ(t)δ(r). On admettra ici qu’une
solution acceptable est
G(r, t) =
1
δ(t − r/c)
4πr
On peut vérifier par des arguments physiques que c’est raisonnable. En
effet G vérifie une équation d’onde dont la source s’allume en t = 0 et r = 0
pour s’éteindre aussitôt (fonction delta). La solution trouvée, elle, est nulle
à tout instant sauf pour t = r/c : c’est à quoi l’on s’attend pour une vitesse
d’onde de c. De plus G s’annule à l’infini. Finalement, le terme en 1/r est
également indispensable pour que la puissance rayonnée (cf 2.3) dans tout
l’espace soit indépendante de r. Cette solution est donc physiquement acceptable.
9
On va alors voir que les potentiels se déduisent très simplement de G par
convolution.
ZZZZ
1
dt0 dr0 G(r0 , t0 ) ρ(r − r0 , t − t0 )
V (r, t) =
0
ZZZZ
A(r, t) = µ0
dt0 dr0 G(r0 , t0 ) j(r − r0 , t − t0 )
On voit immédiatement que la condition de Lorentz est vérifiée car on a
divj + ∂t ρ = 0 (équation de conservation de la charge).
Pour montrer que les potentiels vérifient les deux autres équations il est
judicieux de faire un changement de variables : t00 = t − t0 et r00 = r − r0 .
Dans ces conditions ρ et j ne font plus intervenir t et r ; le laplacien et
dérivée seconde en temps sur V et A s’appliquent alors sur G. On vérifie
immédiatement que les potentiels scalaire et vecteur définis précédemment
sont solutions du système.
En remplaçant G par son expression on obtient :
ZZZ

1
1


V (r, t) =
dr0 ρ(r0 , t − R/c)


4π0
R


ZZZ
µ0
1


A(r, t) =
dr0 j(r0 , t − R/c)


4π
R


C’est la solution des potentiels retardés où R = |r − r0 |.
Remarques :
→ Le terme “potentiel retardé” vient du fait que la propagation d’une
onde n’est pas instantanée mais se fait à la vitesse c ; une modification de la
source en r0 à l’instant t se fait ressentir en r non pas à t mais à t + R/c.
→ Si l’évolution temporelle des sources est lente devant R/c on peut
négliger ce terme dans les équations précédentes ; c’est l’approximation quasistatique. On peut également se trouver dans cette situation si on s’intéresse
aux champs proches des sources.
→ On trouve une expression sur V et une sur A. Il faut bien se rappeler
que ces deux quantités sont couplées par la condition de Lorentz. En pratique on se contentera souvent de calculer l’un des deux potentiels et d’en
10
M
R
r
r'
O
Fig. 2.1 – Schéma de principe et notation. On cherche à connaı̂tre les propriétés de l’onde EM au point M , onde rayonnée par une source localisée
centrée en O.
déduire l’autre par cette condition. C’est en particulier ce que l’on fera dans
l’approximation des champs lointains ci-dessous.
2.2
2.2.1
Approximation des champs lointains
Calcul des potentiel
Le chapitre s’appelle ”rayonnement”. Cela sous-entend que l’on cherche
à connaı̂tre les champs EM loin de la source. Cela correspond à la plupart
des situations intéressantes : radar, antenne, diffusion atmosphérique, ... On
va alors faire des approximations sur les potentiels retardés : l’approximation
des champs lointains.
On va également se placer dans le cas d’une source monochromatique de
pulsation ω. Cela permet de simplifier les calculs qui vont suivre en gardant
toute la signification physique des résultats 1 .
1
L’étude d’une source polychromatique ne présente pas de difficulté particulière car
les équations de Maxwell sont linéaires (la somme de deux solutions des eqns de Maxwell
est également une solution de ces eqns). On décompose la source comme une somme de
sources monochromatiques (décomposition de Fourier). Chaque composante vérifie alors
les calculs qui sont exposés dans le texte. Il suffit ensuite de resommer les résultats pour
obtenir celui de la source polychromatique.
11
De plus on prendra l’origine des coordonnées à l’intérieur de la source.
En notant (voir annexe A) j(r0 , t − R/c) = j(r0 )e−iω(t−R/c) , il vient :
µ0 −iωt
e
A(r, t) =
4π
ZZZ
dr0
eiωR/c
j(r0 )
R
On cherche maintenant à simplifier l’expression précédente en approximant le terme eiωR/c /R.
ATTENTION , il y a trois échelles de longueur dans le problème :
– la taille typique de la source, notée L
– la distance d’observation, r
– et il ne faut pas oublier la longueur d’onde du rayonnement λ = 2πc/ω.
Si on s’intéresse aux champs loin de la source c’est que r L , i.e. R ≈ r
0
(comme l’origine
p est dans la
p source, r < L).
0
2
0
Or R = (r − r ) = r 1 − 2r.r /r2 + (r0 /r)2 .
√
02
0 )2
En utilisant 1 − x ∼ 1−x/2−x2 /8+... on trouve R ∼ r−u.r0 + r −(u.r
2r
où u = r/r représente la direction d’observation.
Si le terme en 1/R peut être remplacé par 1/r, il n’en est pas de même
du terme dans l’exponentiel ; il faut rajouter une condition
sur λ.
i ωc R
i ωc r
ω
e
e
0
Donc, si en plus L2 /r λ , on peut écrire :
∼
e−i c u.r .
R
r
On obtient alors :

des potentiels en champ lointain :

 Approximation−iω(t−r/c)
ZZZ


µ
e
0

0

 A(r, t) =
dr0 e−iωu.r /c j(r0 )
4π
r
−iω(t−r/c) ZZZ
1
e
0



V (r, t) =
dr0 e−iωu.r /c ρ(r0 )


4π0
r


avec comme hypothèse r L et r L2 /λ.
Remarques :
→ Les potentiels sont dans cette approximation reliés aux sources
par une transformée de Fourier. On en déduit donc qu’une source étendue
émettra un rayonnement directif alors qu’une source de petite taille émettra
12
un rayonnement de grande largeur angulaire. On reviendra sur ce dernier
point au 2.4.
→ L’approximation que l’on vient de faire est exactement la même que
l’approximation de Fraunhofer en diffraction. On pourra utiliser comme en
optique la notion de différence de marche.
→ Cela implique qu’il y aura des phénomènes d’interférence.
→ La dépendance en r est, comme attendue, celle d’une onde sphérique.
→ En toute rigueur, il est difficile d’être en champ lointain ; avec L =
1 cm, λ = 0.5 µm les deux conditions s’écrivent r 1 cm et 200 m ! ! !
2.2.2
Calcul des champs EM
Champ B : En utilisant l’expression exacte du potentiel vecteur en rayonnement monochromatique il vient :
µ0 −iωt
e
B(r, t) = rot[A(r, t)] =
4π
ZZZ
dr0 rotr [
eiωR/c
j(r0 )]
R
df
Or rotr [f (R)j(r0 )] = dR
(R) uR ∧ j(r0 ) où uR = R/R (cf annexe C).
df
Ici f = eiωR/c /R donc dR = (iω/c − 1/R) f (R).
En faisant l’approximation supplémentaire r λ on peut écrire
iω/c f (R). On obtient alors :
B=
df
dR
∼
iω
u∧A
c
Champ E : En utilisant gradr [f (R)ρ(r0 )] = ρ(r0 ) grad(f ) ∼ iω/c ρ(r0 ) f u,
il vient :
ω
grad(V ) ∼ i V u
c
De plus la condition de Lorentz s’écrit divA+µ0 0 ∂t V = 0, ce qui conduit
à V = c A.u (cf annexe A).
Donc E = −∂t A − gradV = iω[A − (A.u)u].
13
On écrit souvent cette expression avec la notation suivante :
E = iωA⊥
→ Cela signifie que E est nul dans toute direction telle que u est parallèle à
A. On reviendra sur ce point important dans la suite.
En résumé, dans l’approximation des champs lointains, avec la condition
supplémentaire r λ, les champs s’écrivent :

Champs EM en champ lointain :




 E = iωA⊥
B = iωc u ∧ A


avec r L, r λ et r L2 /λ



et L la taille typique de la source
Ce résultat est remarquable car il montre que tout rayonnement monochromatique est localement une onde plane. Le vecteur d’onde a
pour direction la direction d’observation u = r/r. Ceci est à rapprocher du
fait que les potentiels ont un comportement en onde sphérique et localement
le front d’onde y est alors plan (c’est ce que traduit la condition r L2 /λ).
2.3
Aspect énergétique
On définit le vecteur de Poynting par
S=
E∧B
µ0
ATTENTION : Cette définition ne s’applique que si les champs sont en
notation réelle.
Or (cf annexe C), divS = µ10 [B.rotE − E.rotB]
Donc, en utilisant les équations de Maxwell, on déduit
divS + ∂t [
B2
0 E 2
+
] = −j.E
2µ0
2
Cette équation montre que :
14
– en dehors des sources on retrouve bien une équation de conservation de
2
E2
] = 0,
l’énergie divS + ∂t [ µ02B + 2
0
0 E 2
B2
– 2µ0 + 2 est la densité volumique d’énergie EM,
– le vecteur de Poynting S représente le flux d’énergie
– et j.E la puissance volumique due aux sources.
En réalité on utilise plus souvent la moyenne temporelle du vecteur de
Poynting hSi. Si on utilise la notation complexe (cf annexe A) pour les champs
comme cela a été fait jusqu’à maintenant, alors
hSi =
Re(E ∧ B∗ )
2µ0
Dans l’approximation des champs lointains on a
hSi =
Re(E ∧ B∗ )
1
iω
ω2
=
iωA⊥ ∧ [ u ∧ A] =
|A⊥ |2 u
2µ0
2µ0
c
2µ0 c
Remarques :
→ On retrouve bien un résultat similaire aux ondes planes : le flux
d’énergie est dirigé par le vecteur d’onde.
→ Le flux de hSi à travers une surface est la puissance rayonnée à travers
celle-ci.
→ La puissance rayonnée dans un angle solide dΩ vaut hSir2 dΩ.
Ce flux est indépendant de r. On rappelle qu’en notation sphérique dΩ =
sin θdθdφ (cf annexe B).
→ La puissance rayonnée augmente avec ω ; le transport d’information à
haute fréquence coûte donc cher énergiquement, d’où des stratégies comme
le blindage, les guides d’onde (cf chapitre 7)
2.4
Approximation dipolaire
Dans l’approximation des champs lointains on n’a fait aucune hypothèse
sur la taille de la source par rapport à la longueur d’onde du rayonnement.
C’est ce que l’on va faire maintenant.
15
Il est tout à fait possible et physiquement acceptable qu’une source de
petite dimension émette un rayonnement de longueur d’onde supérieure à sa
taille. On conçoit bien que dans une telle situation les détails de la source
vont être gommés.
Remarque : un exemple d’une telle source est un atome. On retrouvera
donc cette approximation dans le cours de PHYSIQUE ATOMIQUE, partie
intéraction atome-rayonnement.
Si on part du calcul en champ lointain, on trouve dans l’intégrale un terme
0
en e−iωu.r /c . Si la source est petite devant la longueur d’onde, le terme de
phase sera quasiment nul.
0
L’approximation dipolaire, L λ, conduit à e−iωu.r /c = 1.
On en déduit alors :
ZZZ
µ0 e−iω(t−r/c)
A(r, t) =
dr0 j(r0 )
4π
r
Ce terme est réécrit en utilisant la notion de moment dipolaire :
ZZZ
p(t) =
dr0 ρ(r0 , t)r0
ZZZ
On montre que dp(t)/dt =
dr0 j(r0 , t), ce qui conduit en régime mono-
chromatique, avec p(t) = pe−iωt , à
A(r, t) = −iω
µ0 e−iω(t−r/c)
p
4π
r
Ainsi le potentiel vecteur devient indépendant de la direction d’observation et est colinéaire au dipôle.
Comme E = iωA⊥ on a donc E ∝ p⊥ . Ainsi E = 0 dans la direction
d’observation parallèle au moment dipolaire.
Un dipôle ne rayonne pas dans la direction de son moment dipolaire
16
Remarques :
– La dépendance angulaire de la puissance rayonnée dans un angle solide
est ici totalement contenue dans |p⊥ |2 . L’émission est donc très large
angulairement.
– L’approximation dipolaire consiste à faire le développement limité du
0
terme e−iωu.r /c à l’ordre 0. On peut évidemment poursuivre le développement ;
c’est le développement multipolaire.
µ0
– On trouve que la puissance rayonnée vaut P = 12πc
ω 4 p2 . Un dipole
rayonne plus à fréquence élevée.
17
18
Chapitre 3
Diffusion
Dans le précédent chapitre on a étudié le rayonnement émis par une
source. Ce rayonnement va polariser, aimanter la matière qu’il traverse. Cette
matière devient ainsi une source EM secondaire qui va rayonner à son tour.
Ce phénomène s’appelle la diffusion.
On va chercher à connaı̂tre les propriétés de l’onde diffusée par rapport
à l’onde incidente. Pour cela on va d’abord décrire l’effet d’une onde sur de
la matière ; on abordera dans ce chapitre des notions qui seront vues plus en
détail dans le chapitre 4 (équations de Maxwell dans la matière).
3.1
Introduction à la polarisation de la matière
La matière est faite d’atomes eux-mêmes composés d’électrons, et d’un
noyau (protons et neutrons). Electrons et noyaux étant chargés, ils seront
mis en mouvement par un champ électrique et/ou magnétique et de manière
différente car leur charge et masse sont différentes. Ainsi les atomes vont
être déformés et acquérir dans la plupart des cas un dipôle électrique et un
dipôle magnétique ; on parle de polarisation et d’aimantation de la matière.
Il faut savoir que l’aimantation est un phénomène bien souvent marginal et
qui affecte peu de matériaux 1 .
1
On peut comparer l’amplitude des deux forces |qE| et |qv ∧ B|. Comme B = E/c, le
rapport des forces est v/c vitesse de la charge par la vitesse de la lumière. Les énergies
internes des atomes étant de l’ordre de l’électron-volt (1 eV = 1.6 10−19 J), on est bien
dans le cas v c.
19
Un autre point mérite l’attention ; comme les noyaux sont beaucoup plus
lourds que les électrons ils seront beaucoup plus difficiles à mettre en mouvement. Ainsi si l’excitation est une onde EM dans le domaine optique, la
fréquence est trop élevée pour les noyaux et seuls les électrons vont contribuer à la polarisation. Ce ne sera plus le cas pour des ondes de fréquences
plus faibles. La polarisation électronique reste cependant importante et c’est
celle que nous allons étudier un peu plus en détail dans le reste du chapitre.
3.2
3.2.1
Polarisabilité électronique
Modèles
On ne va étudier que l’effet d’un champ électrique sur un électron. On
néglige ainsi l’effet du champ magnétique, ce qui est dans la plupart des cas
tout à fait raisonnable. Deux situations caractéristiques apparaissent : soit
l’électron est libre, soit il est lié à un atome. Dans le premier cas il est soumis
uniquement à une force −eE(r, t) alors que dans le deuxième le noyau exerce
également une force Fnoyau .
L’expression de cette force est de toute évidence compliquée et dépend de
la nature de l’atome (nombre d’électrons, problème d’écrantage des charges)
voire des atomes environnant (dans un solide et liquide). On va prendre un
modèle très simplificateur mais qui a un sens physique clair ; c’est le modèle
de l’électron élastiquement lié.
L’électron étant ”retenu” autour du noyau atomique il est soumis à un
potentiel de piégeage ; on va considérer ce potentiel comme harmonique 2 . La
force Fnoyau contient donc une force de rappel comme dans le cas d’une masse
au bout d’un ressort. On la note −mω02 r où m est la masse de l’électron et
ω0 la fréquence d’oscillation propre de l’oscillateur harmonique équivalent. Il
est bien connu que ce type de modèle conduit à un phénomène de résonance.
Il est nécessaire de rajouter une force de frottement pour éviter certaines divergences inhérentes à ce modèle. On obtient donc Fnoyau = −mω02 r − mν ṙ 3 .
2
Approximation valable si l’électron reste proche du minimum de potentiel. Or, le
champ électrique interne à l’atome vaut, avec r0 ∼ 10−10 m la distance moyenne de
l’électron au noyau, Eint = 4πe0 r2 ∼ 1011 V/m. Le champ électrique d’un faisceau de
0
puissance P = 1 W et de surface Σ = 1 mm2 vaut E = 2P
∼ 3 106 V/m. On a bien un
0 cΣ
effet faible, donc perturbatif par le faisceau incident.
3
Avec cette notation le paramètre ν est homogène à une pulsation. Dans la plupart des
20
On va effectuer des simplifications supplémentaires :
– Tout d’abord on néglige l’effet de la gravité par rapport aux autres
forces.
– De plus l’onde EM va induire sur l’électron un mouvement oscillant
dont l’amplitude dépend de l’amplitude du champ électrique. On va se
placer dans le cas où cette dernière est suffisamment faible pour que
l’amplitude du mouvement de l’électron soit faible devant la longueur
d’onde de l’onde EM : k.r ≈ r/λ ≈ 0. Le champ électrique sera donc
écrit comme E(r, t) ≈ Ee−iωt .
– Il y a évidemment un régime transitoire quand on allume l’onde EM. On
ne s’intéresse ici qu’au régime forcé, donc longtemps après l’établissement
du champ.
Electron libre : On obtient alors mr̈ = −eEe−iωt . On passe en notation
e
complexe pour la position de l’électron r = Re−iωt , d’où : R = mω
2E
Electron élastiquement lié :
e/m
R = ω2 −ω
2 +iνω E
mr̈ = −eEe−iωt − mω02 r − mν ṙ, d’où :
0
On retrouve bien dans les deux cas que l’amplitude est linéaire avec celle
du champ et qu’elle tend vers 0 pour ω → ∞ (le mouvement imposé par le
champ varie trop vite et l’électron n’arrive pas à suivre). On remarque enfin
le caractère résonnant de cette amplitude pour ω = ω0 dans le deuxième cas.
3.2.2
Polarisabilité électronique
Le moment dipolaire de cet électron libre ou de cet électron élastiquement
lié vaut p = −er.
On définit la polarisabilité électronique α par :
p = α0 E
On vérifiera que α à la dimension d’un volume. Plus la polarisabilité est
grande plus, comme son nom l’indique, le moment dipolaire induit est grand.
Electron libre :
2
α = − me0 ω2
cas on a ν ω0 .
21
Electron élastiquement lié :
2
e
α = − m0 (ω2 −ω
2 +iνω)
0
3.3
Diffusion – Notion de section efficace
On peut maintenant revenir au problème de diffusion. Soit une onde incidente caractérisée par son champ électrique Einc e−iωt . Ce champ induit un
dipole p = α0 Einc . Celui-ci va rayonner un champ appelé champ diffusé
Edif f ∝ Einc⊥ (cf 2.4). On voit donc que la polarisation n’est pas maintenue.
Pour quantifier l’importance de la diffusion on introduit la notion de
section efficace. La puissance totale diffusée (rayonnée) par le dipole vaut
µ0
ω 4 |p|2 . En introduisant la polarisabilité on trouve alors :
Pdif f = 12πc
Pdif f = hSinc i σ
2
ω 4
où σ = |α|
est la section efficace de diffusion
6π
c
et hSinc i est le vecteur de Poynting moyen du champ incident
La section efficace représente donc la surface équivalente qui, exposée au flux
incident, intercepterait un flux égal au flux diffusé. En d’autres termes, plus
σ est grand plus la diffusion est importante. On trouve bien une surface car
α est un volume, c/ω une longueur.
Si la notion de section efficace montre bien l’efficacité ou non de la diffusion, c’est une quantité très difficile à mesurer. On introduit donc la section
efficace différentielle qui est reliée non à la puissance totale mais à la puissance
diffusée dans un angle solide dΩ. La section efficace de diffusion différentielle,
notée dσ/dΩ est définie par dPdif f /dΩ = hSinc i × dσ/dΩ.
Elle vaut en notation sphérique,
|α|2 ω 4 2
dσ
=
sin θ
dΩ
16π 2 c
où θ est l’angle entre le champ incident Einc et la direction d’observation.
3.4
Diffusion par un électron
Si on reprend les deux modèles précédents on trouve.
22
4
Electron libre : σ(ω) = 6πme2 2 c4 .
0
La diffusion est indépendante de la fréquence. C’est la diffusion Thomson
que l’on note dans la suite σT h .
4
Electron lié : σ(ω) = σT h (ω2 −ω2ω)2 +(νω)2 .
0
On trouve ici 3 régimes différents :
– La diffusion Thomson à haute fréquence,
– la diffusion Rayleigh à basse fréquence, avec une dépendance en ω 4
– et la diffusion résonante à ω = ω0 4 .
Fig. 3.1 – Section efficace de diffusion en fonction de la fréquence pour un
amortissement tel que ν 2 = ω02 /10. Pour un atome, ν/ω0 est plutôt de l’ordre
de 10−8 ! ; la résonance est donc généralement beaucoup plus étroite que sur
cette figure de principe.
Rôle dans la couleur du ciel : L’air est essentiellement composé d’azote
et d’oxygène, molécules qui absorbent dans l’UV. La fréquence correspondante étant plus grande que les fréquences du spectre visible on se trouve en
diffusion Rayleigh. Ainsi le bleu est plus diffusé que le rouge. Ceci explique la
couleur du ciel quand on regarde dans une direction autre que celle du soleil.
Cela explique aussi la couleur rouge au coucher - lever de soleil : le bleu étant
diffusé la lumière qui traverse (donc non diffusée) est beaucoup plus rouge.
C’est d’autant plus vrai quand l’épaisseur d’air est plus grande (d’où couleur
plus rouge le soir que dans la journée).
4
En réalité il existe beaucoup de résonances pour un atome ou un gaz.
23
3.5
Diffusion par une molécule
On a considéré jusqu’ici la diffusion d’un électron. Dans la plupart des cas
les molécules en contiennent beaucoup plus. Cela change-t-il quelque chose
au problème ?
La réponse dépend de la taille de la molécule 5 . Si on suppose que la
molécule possède N électrons et si note E1e− le champ diffusé par un électron,
alors le champ diffusé par la molécule est
Emolec =
N
X
0
ω
0
eikinc .rj e−i c u.rj E1e−
j=1
Le premier terme de phase donne le déphasage dû à l’onde incidente et
le deuxième le déphasage sur l’onde diffusée. On en déduit que la section
efficace différentielle de la molécule vaut :
N
X
dσ
dσ
0
=
×|
eiq.rj |2
dΩ molec dΩ 1e−
j=1
avec q = kinc −
ω
u
c
Conséquences :
– Le module au carré ne peut être nul : il y a toujours de la diffusion.
– Ce module est borné ; la section efficace différentielle est au maximum
N 2 plus importante que pour un électron.
– Ce maximum est atteint si q.r0j ≈ 0 ∀r0j . Deux situations apparaissent :
– rj0 est petit devant la longueur d’onde incidente : situation d’une
molécule de petite taille.
– q ≈ 0 : la diffusion est maximale dans la direction de l’onde incidente ; c’est le phénomène de diffusion vers l’avant.
3.6
Diffusion par un gaz
La différence par rapport au cas précédent est qu’il faut en plus sommer
sur toutes les molécules. On peut dire que le nombre de diffuseur devient
5
Nous supposons ici que tous les électrons sont équivalents dans un atome. Ce n’est
évidemment qu’une approximation.
24
tellement important que l’on remplace la somme discrète par une intégrale.
On aboutit donc à
2
ZZZ
dσ
dσ
dσ
0 iq.r0 dr e =
∝
δ(q)
dΩ gaz
dΩ 1e−
dΩ 1e−
source
La diffusion est nulle sauf dans la direction de l’onde incidente : il n’y
a plus de phénomène de diffusion !. Ce paradoxe n’est qu’apparent car dans
notre modèle le gaz est homogène. Une toute petite inhomogénéité détruit
cet effet (cf TD correspondant).
25
26
Chapitre 4
Equations de Maxwell dans le
matière
4.1
Position du problème - Exemple de la
propagation d’une onde plane
On considère une onde plane incidente de longueur d’onde λ qui pénètre
dans un matériau. Quelle sera la structure de l’onde à l’intérieur du matériau ?
4.1.1
Solution classique : notion d’indice de réfraction
La réponse est connue : l’onde est toujours plane mais la longueur d’onde
est modifiée et vaut λ/n où n est l’indice de réfraction du matériau.
Mais que vaut n ?, d’où vient ce résultat ? Comment peut-on le justifier
et calculer n ?
4.1.2
Modèle microscopique
Calcul ab initio La réponse ne peut venir que des équations de Maxwell.
On a déjà dit que les eqn de Maxwell dans le vide sont en fait vraies partout.
Se pose pourtant la question des sources : il faudrait connaı̂tre la position et
le mouvement de toutes les charges du matériau ! Problème supplémentaire,
on a affaire à un système couplé : les charges créent les champs EM, mais
ceux-ci modifient la trajectoire des charges et donc les champs EM diffusés.
27
Conséquence : un calcul ”naı̈f”, ab initio, n’est pas possible ; il faut modéliser
la matière i.e. simplifier la structure microscopique des charges.
Modélisation de la matière Les champs EM agissent sur les particules
élémentaires chargées i.e. les protons et les électrons. Dans la plupart des
matériaux, ces charges ne sont pas libres mais appartiennent à des ensembles
plus grands (molécules, protéines, ions, ...). Ces grandes entités, notées A
dans la section 4.2 ont une taille caractéristique l.
On fait l’hypothèse que le phénomène physique en jeu, ici la propagation
d’une onde, ne fait pas intervenir des échelles de longueur inférieures ou de
l’ordre de l. Cela semble justifié si λ l. Cela veut dire que l’on va pouvoir
lisser toutes les variations spatiales plus courtes qu’une taille d légèrement
plus faible que λ ; mathématiquement cela s’effectue par une convolution :
ZZZ
C(r) = hCmicro (r)i =
dr0 f (r − r0 )Cmicro (r0 )
Dans cette équation C représente la valeur ”lissée”, par la fonction f de taille
caractéristique d, de la vraie valeur de ce champ, i.e. la valeur microscopique
notée Cmicro .
On utilisera cette procédure de lissage pour les charges et courants volumiques microscopiques. Cela permettra dans la section 4.2 de calculer de
”façon simple” ces valeurs lissées en effectuant un développement limité de
ρmicro et jmicro car l d. Les entités A seront alors caractérisées par quelques
nombres comme la charge, les moments dipolaires électrique et magnétique,
etc 1 ...
Equations de Maxwell dans la matière Ce lissage vaut aussi pour les
champs EM. Les vrais champs EM, Emicro et Bmicro , vérifient les équations de
Maxwell dans le vide, avec pour sources ρmicro et jmicro . On appelle équations
de Maxwell dans la matière les équations vérifiées par E = hEmicro i et B =
hBmicro i.
Ces équations feront intervenir des quantités caractéristiques du matériau
(en remplacement de ρmicro et jmicro ). Il faudra alors rajouter des équations
supplémentaires pour résoudre ces équations, nommées relations constitutives
et décrites dans la section 4.4.
1
La forme spécifique de la fonction f et la valeur de sa largeur d n’interviendront pas
dans le résultat final, à condition que la longueur caractéristique du phénomène étudié (ici
λ) soit grande devant d
28
Retour sur propagation d’une onde plane Certains matériaux peuvent
être caractérisés uniquement par le moment dipolaire électrique de ces entités
A, qui est alors proportionnel au champ électrique lissé E. On aboutit alors à
une équation, analogue à l’équation d’onde vue au 1.2, qui aboutit au résultat
énoncé au 4.1.1.
4.2
4.2.1
Description macroscopique de la matière
Notations et définitions
Les charges microscopiques (électrons, protons) appartiennent généralement
à des ensembles plus grands (atomes, molécules, ions...). On va indicer ces
ensembles plus grands par la lettre A. Une entité A contient alors des charges
indicées par {iA }.
Comme on choisit d grand devant les distances microscopiques, la position relative des charges iA par rapport à l’entité A sera petite ; en d’autres
termes, il sera légitime de faire un développement limité de la fonction f sur
ces positions relatives. C’est ce qui nous permettra de calcul ρ et j, valeurs
moyennes de ρmicro et jmicro .
Les définitions de base sont :
PP

δ[r − rA (t) − riA (t)] qiA
 ρmicro (r, t) =
i
A
A
PP
δ[r − rA (t) − riA (t)] qiA [viA (t) + vA (t)]
 jmicro (r, t) =
A iA
où la particule iA de l’entité A de charge qiA a pour position relative
riA (t) et pour vitesse relative viA (t) par rapport à la position rA (t) et vitesse
vA (t) de l’entité A. La fonction δ est la fonction delta de Dirac (hypothèse
de charges élémentaires de taille nulle).
On peut également
Pdéfinir des quantités propres aux entités A :
– la charge qA = qiA
iA
P
– le moment dipolaire électrique pA (t) = qiA riA (t)
iA
P
– le moment dipolaire magnétique mA (t) = 21 qiA riA (t) ∧ viA (t)
iA
En utilisant la fonction de lissage on obtient donc :
29
PP

f [r − rA (t) − riA (t)] qiA
 ρ(r, t) =
iA
A P
P
f [r − rA (t) − riA (t)] qiA [viA (t) + vA (t)]
 j(r, t) =
A iA
4.2.2
Calcul de ρ
On part de l’expression de ρ(r, t) donnée ci-dessus et on effectue le développement
limité de f :
f [r − rA (t) − riA (t)] ≈ f [r − rA (t)] − riA (t).grad(f [r − rA (t)])
On montre alors que :
ρ(r, t) = ρlie (r, t) + ρlibre (r, t)
où ρlie (r, t) = −divP(r, t)

P
 ρlibre (r, t) = f [r − rA (t)] qA , la densité volumique de charges libres
P A
avec
 P(r, t) = f [r − rA (t)] pA (t), la densité volumique de polarisation.
A
On reviendra sur l’interprétation de ces résultats dans le paragraphe 4.6.
4.2.3
Calcul de j
On procède de la même manière en partant de j. On aboutit au résultat
suivant :
j(r, t) = jlibre (r, t) + ∂t P(r, t) + rotM(r, t)

P
 jlibre (r, t) = f [r − rA (t)] qA vA (t)
PA
où
 M(r, t) = f [r − rA (t)] mA (t)
A
jlibre correspond à la densité volumique de courants libres et M à la densité
volumique d’aimantation.
Remarquons que les charges libres vérifient la relation de conservation de
la charge divjlibre + ∂t ρlibre = 0.
30
4.3
Equations de Maxwell dans la matière
On en déduit alors les équations vérifiées par les champs EM macroscopiques.
Il faut d’abord remarquer que la dérivée d’une fonction convoluée est
égale à la convoluée de la fonction dérivée. Autrement dit les opérations de
dérivation et de convolution commutent : ∂x hCmicro i = h∂x Cmicro i2 .
On obtient alors :

divB = 0



rotE = −∂t B
divE = 10 (ρlibre − divP)



rotB = µ0 (jlibre + ∂t P + rotM) + µ0 0 ∂t E
Ces équations de Maxwell dans la matière sont plus souvent écrites sous
la forme suivante :

Equations de Maxwell dans la matière :




 divB = 0
rotE = −∂t B


divD = ρlibre



rotH = jlibre + ∂t D
avec
4.4
4.4.1
D = 0 E + P
H = B/µ0 − M
Relations constitutives
Remarques générales
Il faut bien voir que les équations précédentes ont une similitude trompeuse avec les équations de Maxwell dans le vide : il y a deux champs
inconnus supplémentaires. En d’autres termes, il est impossible de résoudre
ces équations.
R
R
∂x hCmicro i = dx0 ∂x [f (x − x0 )]Cmicro (x0 ) = − dx0 ∂x0 [f (x − x0 )]Cmicro (x0 ) =
dx0 f (x − x0 )∂x0 [Cmicro (x0 )] + 0 = h∂x Cmicro i. Une intégration par partie a été utilisée
pour l’avant dernière étape.
2
R
31
La seule possibilité est d’avoir un modèle microscopique qui permette de
calculer P, M, jlibre et ρlibre en fonction des autres champs. Malheureusement
il n’existe pas de modèle valable pour tous les matériaux existants. Il est
cependant possible de ranger ceux-ci dans un nombre restreint de catégories.
Les relations ad-hoc entre les différents champs, spécifiques à chacune de ces
catégories, sont appelées relation constitutives. Remarquons que ces relations
évitent également d’avoir à ”choisir” une fonction f .
Nous allons étudier deux types de matériaux dans ce cours : les conducteurs et les diélectriques.
On peut citer d’autres catégories comme les plasmas (milieux chargés),
les ferromagnétiques (M 6= 0 même en l’abscence de champs EM externes),
les supraconducteurs (jlibre 6= 0 même en l’abscence de champs EM externes),
etc.
4.4.2
Exemples, définitions et ordre de grandeur
– Milieu conducteur : jlibre = σE , σ est la conductivité (en S/m).
– Milieu diélectrique : D = 0 r E , r est la permittivité ou constante
diélectrique relative (sans dimension).
On en déduit P = 0 χE , avec χ = r − 1 la susceptibilité électrique.
– Milieu magnétique : B = µ0 µr H, µr est la perméabilité relative (sans
dimension).
La plupart des matériaux sont très peu magnétiques (|µr −1| ≤ 0.01) ; c’est
la raison pour laquelle on négligera cet effet dans la suite du cours.
Au contraire la permittivité est couramment supérieure à l’unité 3 :
– L’eau : χ = 79, |µr − 1| = 10−5
– l’air : χ = 5.7 10−3 , |µr − 1| = 3.7 10−7
Il existe pour la polarisation comme pour l’aimantation deux grands types
de matériaux :
– Ceux qui sont constitués de particules ayant un moment dipolaire permanent, électrique ou magnétique.
Dans ce cas, sans champ externe, ces dipôles ont une orientation quelconque entre eux, d’où pas de polarisation ou aimantation permanente.
3
Les valeurs données ici sont les valeurs statiques (ω = 0), cf section 4.5.3.
32
En présence d’un champ externe, ces dipôles vont s’orienter dans la direction du champ (électrique ou magnétique). On parle de polarisation
ou d’aimantation d’orientation. Pour les matériaux magnétiques, on
parle de paramagnétisme.
Permittivité et perméabilité sont généralement importantes comme dans
le cas de l’eau pour la permittivité (l’eau est une molécule polaire).
– Ceux qui sont constitués de particules sans moment dipolaire permanent.
Dans ce cas, l’application d’un champ externe polarise ces particules.
On parle de polarisation ou d’aimantation induite. Pour les matériaux
magnétiques, on parle de diamagnétisme.
Permittivité et perméabilité sont alors beaucoup plus faibles (cas de
l’air).
4.5
Explications des relations constitutives
Les relations constitutives du paragraphe précédent ne faisaient aucune
mention de dépendance spatiale, temporelle ou fréquentielle. C’est l’objet de
ce paragraphe. On prendra pour exemple le cas d’un matériau diélectrique.
4.5.1
Linéarité
La relation P = 0 χE est une relation linéaire. C’est ce que l’on supposera
toujours dans ce cours. Evidemment pour des champs élevés on constate
expérimentalement que P dépend de E2 , voire de E3 . Cette situation se
rencontre assez facilement avec des lasers et ouvre la voie à l’optique non
linéaire qui a droit à un cours spécifique à l’école.
4.5.2
Espace
L’équation P = 0 χE cache plusieurs situations possibles :
– Matériau isotrope : χ est un nombre.
– Matériau anisotrope : χ est une matrice. Cela signifie que P et E ne sont
plus colinéaires ; dans le domaine de l’optique on parle d’un matériau
biréfringent.
– Matériau homogène : χ est indépendant de r.
– Matériau inhomogène : χ dépend de r.
33
4.5.3
Temps-fréquence – relations de Kramers-Kronig
Dépendance fréquentielle de la susceptibilité
Nous allons montrer que la relation P(t) = 0 χE(t) est forcément fausse.
La susceptibilité χ ne peut pas être une constante ; son spectre
en fréquence ne peut être plat. La relation P = 0 χE doit donc être
comprise comme P(ω) = 0 χ(ω)E(ω) où E(ω), comme P(ω), est un champ
monochromatique de pulsation ω (ou la composante de pulsation ω d’une
onde non monochromatique).
La raison en est simple : la mise en mouvement de la matière par le champ
excitateur (ici le champ électrique) ne peut être instantanée, le système
matériel a forcément une inertie. Cela signifie que χ ne peut être une constante
et doit refléter cette inertie. C’est le cas si χ a un spectre en fréquence non
plat.
Exemple analogue : une masse m, accrochée au bout d’un ressort
La masse joue le rôle de l’électron élastiquement lié qui va être excité
par un champ exterieur (cf 3.2). La relation P(t) = cste × E(t) se traduirait
ici par z(t) = cste × F (t) où z est la position de la masse par rapport à la
position de repos et F la force excitatrice.
L’équation du mouvement de la masse est
mz̈ = −mω02 z − mν ż + F (t)
avec ω0 la fréquence caractéristique du ressort et ν le coefficient de frottement
visqueux.
La résolution de cette équation différentielle dans le cas ν ω0 et avec
une force en échelon F (t) = 0 pour t < 0 et F (t) = F0 pour t ≥ 0 donne
z(t) ≈
F0
[1 − e−νt/2 cos(ω0 t)]
mω02
Ce résultat appelle plusieurs remarques :
– Si ν = 0 la masse oscille indéfiniment ; on n’a alors jamais z(t) =
cste × F (t).
– Pour ν fini, une situation stationnaire apparaı̂t 4 . Ce n’est qu’après un
temps de l’ordre de 1/ν que la position est proportionnelle à la force.
Plus ν est grand plus ce temps est court.
4
On voit bien là le rôle de ce coefficient : il traduit la dissipation d’énergie vers l’environnement.
34
0
10
ω0t
20
30
40
50
Fig. 4.1 – Oscillation z(t) du ressort en fonction du temps pour une force en
échelon. La courbe est tracée pour ν = 0.2 ω0 . La position du ressort n’est
proportionnelle à la force qu’au bout d’un temps ∼ 1/ν.
– Une généralisation à une force F (t) de forme temporelle quelconque
montrerait que, pourvu qu’un amortissement soit présent, on aura z(t) ≈
cste × F (t) si la fréquence caractéristique de F (t) est très faible devant
ν et ω0 .
– On voit donc que la relation entre z(t) et F (t) dépend du spectre de
F (t) ainsi que des propriétés spectrales du milieu.
On peut vérifier cela dans le cas F (t) = F0 cos(ωt). La solution forcée (on
néglige alors le régime transitoire), donne pour l’amplitude du mouvement,
en notation complexe :
F0 /m
Z= 2
ω0 − ω 2 − iνω
– On obtient bien une relation équivalente à P(ω) = 0 χ(ω)E(ω).
– On vérifie aussi l’effet de l’inertie. Si ω → ∞, Z → 0 ; autrement dit,
si l’excitation est trop rapide, la particule ne se met pas du tout en
mouvement, elle reste immobile. Par contre si ω → 0, Z → F0 /(mω02 ) :
la masse suit l’excitation sans retard.
– L’effet de l’amortissement se manifeste le plus pour ω ≈ ω0 ; l’amplitude du mouvement est maximale et en quadrature par rapport à
l’excitation. On parle de résonance.
35
– Donc, retard et dépendance en fréquence (c’est-à-dire dispersion) sont
intimement liés.
Relations de Kramers-Kronig
Remarquons enfin qu’écrire P(ω) = 0 χ(ω)E(ω) correspond par transformée de Fourier à écrire :
Z ∞
P(t) = 0
dt0 χ(t − t0 )E(t0 )
−∞
Cette écriture fait apparaı̂tre un point important. Comme il n’est pas question de violer la causalité, la polarisation ne peut dépendre que de la valeur
du champ à un temps antérieur. Autrement dit
χ(t − t0 ) = 0 pour t < t0
Cette condition impose une forte contrainte sur la forme de χ. On peut
montrer que cela conduit aux formules suivantes, dites relations de KramersKronig :

Z
χ0 (Ω)
1

00

dΩ
χ (ω) = − V P



π Z
Ω −ω
00
1
χ
(Ω)
χ0 (ω) = V P
dΩ



π
Ω−ω


avec χ = χ0 + iχ00 et où V P signifie valeur principale
Au-delà de cette forme, ce qu’il faut retenir c’est que :
- χ n’est pas une constante
- χ est une quantité forcément complexe
- Ses parties réelle et imaginaire sont liées
4.6
Charges liées - charges libres
On a défini la notion de charges libres et charges liées dans le paragraphe
4.2. Il faut bien comprendre ce que signifient ces termes.
La densité volumique de charges libres a pour expression
X
ρlibre (r, t) =
f [r − rA (t)] qA
A
36
Seules les entités A de charge qA 6= 0 contribuent donc ; il s’agit d’ions. Il
peut s’agir d’électrons libres dans un métal (électrons non piégés autour d’un
atome), comme d’ions dans un réseau cristallin. On voit bien sur ce dernier
exemple qu’une charge libre peut être immobile !
La densité volumique de charges liées est reliée à la densité volumique de
polarisation par
ρlie (r, t) = −divP
X
P(r, t) =
f [r − rA (t)] pA (t)
A
Une charge liée possède donc un moment dipolaire. Attention, ce moment
peut être permanent (existe même sans champ externe), comme une molécule
d’eau, ou il peut être induit dans le milieu (voir plus bas), comme une
molécule de dioxygène par exemple.
Ces deux types de charges sont en général reliées. Pour cela prenons
D. Cela
un diélectrique homogène, isotrope. Alors D = 0 r E ⇒ P = r−1
r
r −1
conduit donc à divP = r divD, d’où
ρlie =
1 − r
ρlibre
r
Ceci est illustré sur la figure 4.2 : une charge libre va automatiquement polarisée des charges liées autour d’elle. L’orientation des dipôles correspond
bien à l’équation ci-dessus (cf annexe C sur la divergence)
Ainsi les charges libres et liées sont reliées, on n’a pas l’un sans l’autre.
Ceci n’est en fait pas tout à fait exact car on a fait l’hypothèse d’un matériau
de la divergence.
homogène et isotrope. Cela a permis de sortir le terme r−1
r
De manière générale on a plutôt
ρlie =
1 − r
1 − r
ρlibre + D.grad[
]
r
r
On voit ainsi qu’un milieu sans charge libre peut contenir des charges liées
s’il est inhomogène. Le cas typique est une interface. Dans ce cas il n’y a de
charges liées qu’au niveau de cette interface. D’où la charge surfacique d’un
condensateur par exemple.
Remarque : Il ne faut pas faire de lien entre charges libres et conducteur,
ni entre charges liées et diélectrique. Ce qui compte pour un conducteur c’est
37
Fig. 4.2 – Orientation des dipoles des charges liées due à une charge libre ;
les deux types de charges ne sont pas indépendantes.
l’existence d’un courant, i.e. jlibre 6= 0 si E 6= 0 : il faut des charges libres, mais
surtout des charges libres mobiles. Pour un diélectrique il faut une densité
volumique de polarisation P 6= 0 si E 6= 0 ; cela est possible même si ρlie = 0.
4.7
4.7.1
Constante diélectrique généralisée
Définition
La distinction conducteur - isolant (diélectrique) est claire en statique ; cela
n’est plus du tout le cas en dynamique.
Statique : Appliquons une différence de potentiel U aux bornes d’un matériau
(supposé non magnétique). Si on mesure un courant I, le matériau est conducteur. Dans le cas contraire c’est un diélectrique et on peut alors mesurer sa
capacité C :
– Conducteur : Comme on est en statique, j = jlibre . Mesurer la résistance
par R = U/I est équivalent à mesurer la conductivité statique σ(ω = 0)
par σ = j/E.
– Isolant : La capacité est reliée à la charge aux bornes du diélectrique
par C = Q/U . Mesurer C revient à mesurer la constante diélectrique
statique r (ω = 0) par C = 0 er S avec S la surface et e l’épaisseur de la
capacité.
38
Dynamique : Du courant circule alors à travers une capacité comme dans
une résistance. L’isolant devient conducteur ! D’ailleurs en électricité on parle
alors d’impédance pour une résistance comme pour une capacité.
Comment distinguer encore un isolant d’un conducteur ? La différence
est plus tenue, mais dans notre exemple, l’impédance d’une capacité et d’une
résistance n’ont pas la même dépendance en fréquence. Il n’en reste pas moins
vrai que formellement on va pouvoir exprimer ces deux types de matériaux
dans le même formalisme : la constante diélectrique généralisée. On aurait
pu parler de conductivité généralisée mais l’usage en a décidé autrement.
En dynamique, il faut rajouter le terme ∂t P à j. En excitation monochromatique on a alors j = σ(ω)E − iωP = [σ(ω) − iω0 χ(ω)]E. On peut alors
écrire
j = −iω0 χeq (ω)E
avec la susceptibilité et la constante diélectrique généralisée (ou équivalente) :
σ(ω)
r eq (ω) = 1 + χeq (ω) = r (ω) + i
ω0
4.7.2
Réécriture des équations de Maxwell
L’utilisation de la constante diélectrique généralisée met sur le même
plan conducteur et diélectrique. Cela permet alors d’écrire les équations de
Maxwell dans la matière d’une façon plus concise.
Calculons par exemple div(0 r eq E) :
div(0 r eq E) = div(0 r E) + ωi div(σE) = divD + ωi divjlibre
En utilisant l’équation de conservation de la charge libre et l’équation de
Maxwell divD = ρlibre , on trouve :
div(0 r eq E) = 0
De même rotH = jlibre + ∂t D = σE − iω0 r E, donc :
rotH = ∂t (0 r eq E)
On voit ainsi, que pour des champs monochromatiques (et uniquement
dans ce cas là) on peut absorber les charges libres dans une redéfinition de
D:
39

divB = 0




 rotE = iωB
divDeq = 0


rotH = −iωDeq



avec Deq = 0 r eq E
4.8
4.8.1
Retour sur la polarisabilité électronique
Diélectrique
En reprenant le modèle de l’électron élastiquement lié vu au chapitre 3,
la polarisabilité vaut
e2
1
α=
2
m0 ω0 − ω 2 − iνω
La polarisabilité relie le moment dipolaire microscopique au champ électrique.
La densité volumique de polarisation P est, elle, reliée à ce champ par la susceptibilité. On a donc, avec n la densité volumique de ces électrons,
χ = nα =
ωp2
ω02 − ω 2 − iνω
Le terme ne2 /m0 est homogène à une fréquence au carré. On note ωp cette
fréquence, appelée fréquence plasma. Généralement ν est très faible devant
ω0 . Cela signifie que si |ω − ω0 | ν, la susceptibilité est quasiment réelle.
Proche de la résonance, c’est-à-dire pour ω ≈ ω0 , on peut faire un développement
limité de l’expression précédente et on trouve, en posant Ω = ω − ω0 :
ωp2
ν
pour : |Ω| ω0 , χ ≈
ν 2 (−Ω + i )
2
2ω0 [Ω + ( 2 ) ]
2
La partie imaginaire de χ est une Lorentzienne centrée en ω0 et de largeur ν.
La partie réelle a une forme dispersive autour de ω0 également de largeur ν.
On peut remarquer que cette relation entre partie réelle et imaginaire est
parfaitement conforme avec les relations de Kramers-Kronig vues au 4.5.3.
4.8.2
Conducteur
On a déjà utilisé le modèle de l’électron libre dans le chapitre sur la
diffusion. On va le réexaminer dans le contexte charge libre – charge liée.
40
χ (u.a.)
0
0.0
1.0
ω/ω
0
0.5
1.5
2.0
Fig. 4.3 – Partie réelle (tiret) et imaginaire de χ en fonction de la fréquence
en unité arbitraire. La courbe est tracée pour ν = 0.1 ω0 .
Point de vue charge libre : C’est le point de vue naturel quand on
parle d’un conducteur. En rajoutant l’amortissement au modèle de l’électron
libre 5 , on voit qu’en régime forcée, l’amplitude du mouvement de l’électron
vaut r = ωeE/m
2 +iνω .
La densité volumique de courant est alors jlibre = −neṙ = iωner. On en
déduit l’expression de la conductivité
σ=
ne2 /m
ν − iω
2
En particulier la conductivité statique vaut σ0 = ne
(6 107 S/m pour le
mν
cuivre par exemple). Un conducteur parfait a une susceptibilité infini, cela
correspond bien à une absence de frottement.
eE
Un traitement en statique donne mr̈ = −mν ṙ − eE → v = ṙ = − mν
à l’équilibre ; il y a bien circulation d’un courant pour un champ électrique
statique.
5
Il s’agit alors du modèle de Drude des conducteurs.
41
Point de vue charge liée : Prenons l’expression de la susceptibilité
trouvée plus haut et appliquons la dans ce cas précis. Il suffit de faire ω0 = 0
(pas de confinement). La densité volumique de polarisation contribue à la
densité volumique de courant par j = ∂t P. On en déduit alors une expression
de la conductivité σ = −iω0 χ ; c’est exactement la même que dans le point
de vue charge libre.
Cependant, en statique, P ne contribue pas au courant. Dans ce cas ce
modèle est caduque.
42
Chapitre 5
Propagation d’une onde dans la
matière
On va s’intéresser à la propagation dans un milieu isotrope, homogène,
non magnétique. Dans un premier temps on s’intéressera à la propagation
d’une onde plane monochromatique. On abordera la propagation d’une impulsion lumineuse dans le paragraphe 5.5.
5.1
Equation d’onde
On utilise la constante diélectrique généralisée ainsi que Deq . Donc :

divB = 0



rotE = iωB
divDeq = 0



rotH = −iωDeq
En utilisant l’annexe C, on déduit les équations d’onde (équations de
Helmholtz) :
ω2
∆E + 2 r eq E = 0
c
ω2
∆B + 2 r eq B = 0
c
On obtient les mêmes relations que dans le vide (cf chapitre 1) avec uniquement l’ajout de r eq . N’oublions pas toutefois que cette quantité est a priori
complexe et dépend de ω.
43
5.2
Indice de réfraction
5.2.1
Relation de dispersion
Indice de réfraction
Les équations d’onde étant du même type que dans le vide, on obtient
pour les ondes planes le même type de propriété : E, B et le vecteur d’onde
k sont orthogonaux entre eux, et
q
ω
: c’est la relation de dispersion
|k| = r eq (ω)
c
Ceci permet de définir l’indice de réfraction n et de donner son expression
en fonction de la constante diéléctrique généralisée :
n(ω) =
p
r eq (ω)
(5.1)
La vitesse de propagation de l’onde n’est plus c mais c/n.
Milieu dispersif
Un milieu est dit dispersif si n dépend de ω et non dispersif dans le cas
contraire. A part le vide, tout milieu est dispersif. Cependant il est possible
que, dans une zone de fréquence, l’indice ne varie que de façon négligeable ;
le milieu, soumis à une onde dont le spectre en fréquence se trouve dans cette
zone, pourra être considéré comme non dispersif.
5.2.2
Cas général
Comme r eq est complexe, l’indice l’est également. On note n0 et n00 ses
partie réelle et imaginaire. La propagation d’une onde plane dans la matière
a alors la forme suivante
00 ω z
c
E = E0 ei(kz−ωt) = E0 e−n
0 ω z−ωt)
c
ei(n
On constate que l’onde a une phase de type onde plane, avec un vecteur
d’onde relié à n0 , mais que l’amplitude du signal n’est pas constante et varie
exponentiellement avec n00 .
44
Remarques :
– Le terme en exp[−n00 ωc z] laisse supposer que suivant le signe de z il y
a atténuation ou amplification. Il n’en est rien. On a utilisé une onde
propressive dans le sens des z positifs ; il y a donc atténuation, pourvu
qu’on ait n00 > 0.
– Il est clair physiquement qu’il ne peut y avoir qu’atténuation et donc
que n00 doit être positif 1 .
En partant de Eq.(5.1), on peut déterminer les parties réelle et imaginaire de l’indice en fonction des parties réelle et imaginaire de la constante
diélectrique généralisée.
En écrivant n = n0 + in00 et r eq = 0 + i00 on trouve
r
1 0
n0 =
( + |r eq |)
2
00
n =p
00
2(0 + |r eq |)
On remarque que :
00
6= 0
00
p
n 6= 0 si :
00 = 0 avec 0 < 0. Dans ce cas n00 = |0 |
On voit donc apparaı̂tre deux situations physiques très différentes pour
lesquelles il y atténuation dans la matière. C’est le propos du prochain paragraphe.
Profondeur de peau On appelle profondeur de peau la distance c/ωn00
caractéristique de l’atténuation de l’onde dans le milieu.
5.3
Atténuation : absorption ou réflexion
Pour connaı̂tre la signification physique de l’atténuation on va se servir de
l’énergie. On avait écrit dans le paragraphe 2.3 la relation reliant le vecteur
La situation n00 < 0 peut cependant exister. Cela veut dire que le milieu fournit de
l’énergie à l’onde. C’est ce qui se passe dans une cavité laser par exemple. Mais en fait
l’énergie fournie provient d’une autre onde, dite onde pompe, qui a été absorbée dans
le milieu. Il y a en quelques sortes transfert d’énergie de l’onde pompe vers l’onde à
amplifier ; le milieu ne sert que d’intermédiaire.
1
45
de Poynting et la densité volumique d’énergie électromagnétique. En partant
des équations de Maxwell dans la matière on montre que la même équation
est toujours valable
divS + ∂t [
0 E 2
B2
+
] = −j.E
2µ0
2
mais ici on a j = jlibre + ∂t P + rotM.
Il y a transfert d’énergie à la matière, c’est-à-dire absorption, si le terme
j.E est non nul. Rappelons qu’en notation complexe (cf annexe A) ce terme
s’écrit 12 Re(j.E∗ ).
Dans un milieu non magnétique et en utilisant la susceptibilité généralisée
on a j = −iω0 χeq E, d’où 12 Re(j.E∗ ) = 21 ω0 χ00 |E|2 .
Donc il y a absorption si χ00 = 00 6= 0.
S’il n’y a pas d’absorption, l’énergie est conservée et pourtant l’onde
ne penètre que peu dans la matière. La seule autre alternative est alors la
réflexion.
Il y a réflexion si 00 = 0 avec 0 < 0. Le milieu se comporte comme un miroir.
5.4
5.4.1
Exemples
Les conducteurs
Reprenons le modèle de Drude (4.8.2) pour les conducteurs, avec la constante
diélectrique généralisée.
Conducteur parfait : La conductivité statique est infinie, donc r eq =
ω2
1 − ωp2 et est donc réelle. Il y a réflexion si ω < ωp et transmission sans
absorption si ω > ωp .
ω2
p
Conducteur réel : r eq = 1 − ω(ω+iν)
. Comme dans les cas pratiques on a
ν ωp on conçoit que cette partie imaginaire a peu d’influence pour ω ν
et que le conducteur peut être considéré comme parfait.
46
ω2
Au contraire si ω ν la partie imaginaire est importante et r eq ≈ i ωνp .
La profondeur de peau lp = ωnc 00 vaut alors
r
lp = c
20
pour ω ν
ωσ0
(5.2)
Ainsi dans toute la gamme ω < ωp l’onde est atténuée. Mais pour ω << ν
il s’agit d’absorption et pour ν ω < ωp principalement de réflexion.
lp (m)
10
10
0
10
10
-2
10
10
10
-4
10
10
-6
10
10
10
-8
10
10
0
10
3
6
9
10
10
10
Fréquence (Hz)
12
10
14
11
8
5
2
ε''
10
-1
-4
-7
-10
15
Fig. 5.1 – Echelle de gauche (trait plein) : Longueur de pénétration en mètre
en fonction de la fréquence d’excitation. Echelle de droite (pointillé) : partie
imaginaire de la constante diélectrique généralisée. Les calculs correspondent
au cuivre avec le modèle de Drude (électrons libres) pour lequel ν/2π ≈
7.5 1012 Hz et ωp /2π ≈ 9 1014 Hz. Dans la partie électronique (fréquence
jusqu’au GHz) 00 est grand ce qui signifie qu’il y a de l’absorption et la
profondeur de peau est très bien décrite par Eq.(5.2). Entre ν/2π et ωp /2π
la réflexion est très importante, l’absorption plus faible. Au-delà de ωp /2π,
le cuivre est de plus en plus transparent.
On peut dégager deux conséquences importantes (voir figure 5.1) :
47
– Dans le domaine optique un conducteur absorbe peu et peut être utiliser
comme miroir.
C’est en particulier le cas pour l’or, l’argent et l’aluminium. Plus la
longueur d’onde est grande (fréquence faible) plus un conducteur est
un bon miroir (jusqu’à ν).
Ces trois métaux sont utilisés couramment. Pour des raisons d’oxydation, de fragilité, ils ne sont quasiment jamais utilisés sans une couche
de diélectrique par dessus. Typiquement, l’argent est un bon miroir
(réflexion > 98%) au-delà de 0.5µm, l’or de 1µm. L’aluminium est un
peu moins bon (R > 80%) mais descend plus bas en longueur d’onde
(λ > 0.3µm).
– Dans la zone basse fréquence (très grande longueur d’onde), c’est l’absorption qui domine et qui contrôle la longueur de pénétration dans le
conducteur.
Conclusion : un conducteur peut être utilisé comme blindage électromagnétique.
– Un corrolaire est qu’il est très facile de blinder les hautes fréquences
mais beaucoup plus difficile par exemple de blinder un appareil contre
le 50 Hz. La conductivité statique du cuivre étant 6 107 S/m, la profondeur de peau y est de 9 mm. Il faudrait donc une plaque de plusieurs
centimètres d’épaisseur ! A 100 kHz, la profondeur de peau ne vaut plus
que 0.2 mm.
5.4.2
Les diélectriques
Le modèle utilisé au 4.8.1 montre que la constante diélectrique généralisée
est explicitement complexe. Cependant la partie complexe est très faible partout sauf proche de la résonance.
Autrement dit un diélectrique n’absorbe que pour des fréquences voisines
de sa (ses) fréquence(s) de résonance. En dehors de ces régions l’indice est
réel et un diélectrique ne peut donc pas être utilisé comme miroir.
Il faut faire cependant deux remarques :
– Si un gaz peut avoir peu de résonance et de largeur faible, ce n’est
généralement pas le cas d’un matériau solide. L’exemple parfait est la
silice utilisée dans les fibres optiques. On cherche évidemment à propager le signal sur la plus grande distance possible et donc à avoir
l’absorption la plus faible possible. Seule une bande étroite de longueur
d’onde autour de 1.5 µm convient (c’est l’eau adsorbée dans la silice
48
qui est génante).
– On verra au chapitre 6 qu’un empilement de différents diélectriques
peut faire un miroir par effet interférentiel et c’est la méthode actuellement utilisée pour faire les miroirs de très haute réflectivité 2 .
5.5
Propagation dans un milieu dispersif–Etude
de la propagation d’une impulsion EM
Une onde plane peut être décrite par un champ électrique du type E0 ei(kz−ωt) .
Cette onde a une amplitude constante dans le plan xOy mais également sur
Oz.
Nous allons étudier la propagation d’une onde qui a toujours une amplitude constante dans le plan xOy mais pas sur Oz. Sur cet axe l’amplitude
sera non nulle uniquement dans une région bien délimitée. Cela signifie aussi
que cette onde, à z fixé, a une amplitude non nulle pour une durée temporelle
finie ; autrement dit on va étudier une impulsion électromagnétique.
Mathématiquement il est très simple de voir que
Z
E = E0 dk g(k) ei(kz−ωt)
correspond à une impulsion si la fonction g est à support borné. Alors g(k)
correspond l’amplitude de l’onde plane de vecteur d’onde k qui compose
l’impulsion. La relation de ”définition” de l’impulsion est une transformée
de Fourier ; donc la largeur spatiale de l’impulsion est reliée à l’inverse de la
taille en vecteur d’onde de la fonction g.
Si l’indice de réfraction n dépend de la fréquence, les ondes planes qui
composent l’impulsion ne vont pas se propager à la même vitesse (cf 5.2.1).
De façon imagée on peut s’attendre à ce que la queue de l’impulsion n’ait
pas la même longueur d’onde que l’avant. On est alors amené à définir la
notion de vitesse de groupe vg (k0 ) = dω
|
. C’est la vitesse de propagation
dk k=k0
de l’impulsion. On peut la réécrire sous la forme vg (ω0 ) = n(ω )+ω c dn |
0
0 dω ω=ω0
On aboutit aux conclusions suivantes (vérification possible en prenant
une forme gaussienne pour g) :
2
Dans le domaine optique on peut atteindre des réflectivité de 99.999%.
49
– Dans un milieu non dispersif : vg (ω0 ) = c/n et est donc indépendant
de ω0 . L’impulsion se progage sans déformation.
– Dans un milieu faiblement dispersif : vg (ω0 ) dépend de ω0 mais la relation entre fréquence et vecteur d’onde est toujours linéaire. L’impulsion
n’est toujours pas déformée.
2
– Dans un milieu plus fortement dispersif. On introduit alors β = ddkω2 |k=k0 ;
on ne peut plus considérer une variation linéaire de la fréquence avec le
vecteur d’onde. On montre alors que l’impulsion s’élargit avec le temps,
d’autant plus vite que β est grand.
Les impulsions brèves ont acquis une grande importance dans divers domaines de la science car elles permettent de prendre des ”photos instantanées” de phénomènes très brefs (processus biologiques, réactions chimiques,
etc). Un exemple moins évident mais fort utile est la découpe de pièces
mécaniques.
Qui dit impulsion brève, dit, par transformée de Fourier, spectre très
large. Tout milieu autre que le vide doit généralement être considéré comme
dispersif avec des impulsions picosecondes et obligatoirement avec des impulsions femtosecondes (10−15 sec). Cela signifie que si on ne fait rien une
impulsion femtoseconde ne le reste pas longtemps ! Il existe deux grands types
de technique pour contrecarrer l’élargissement : l’ajout sur le trajet optique
de prismes ou de réseaux. L’idée consiste à rajouter exprès un élément dispersif mais qui disperse de sorte à recomprimer l’onde. Cela revient à augmenter
le trajet de la partie avant de l’impulsion par rapport à la partie arrière.
50
Chapitre 6
Réfraction–réflexion
6.1
Position du problème
On considère une interface plane entre deux matériaux isotropes, homogènes, non magnétiques. Une onde incidente, vérifiant à elle-seule les
équations de Maxwell, a un vecteur d’onde dirigée vers l’interface. Deux
ondes vont être générées : une onde réfléchie et une onde transmise.
Notations :
– L’interface est le plan z = 0.
– L’onde incidente se propage dans le milieu z < 0.
– Le demi-espace z < 0 contient un matériau d’indice de réfraction n− .
L’autre milieu a un indice n+ .
– Tout ce qui se rapporte à l’onde incidente a un indice i, à l’onde réfléchie
un indice r et à l’onde transmise un indice t.
z6
kt
n+
yd
-
ki
@
@kr
R
@
51
n−
x
Les champs EM dans le milieu z < 0 sont donc {Ei + Er , Bi + Br } et
dans le milieu z > 0 {Et , Bt }.
Les relations de continuité sont abordées dans le cas général (cf 6.2). On
s’intéressera au 6.3 et au 6.4 au cas de matériaux diélectriques parfaits, i.e.
d’indice de réfraction réel. La généralisation aux métaux et diélectriques non
parfaits sera traitée au 6.5.
6.2
Relations de continuité

divB = 0



rotE = −∂t B
Les équations de Maxwell dans la matière sont :
divD = ρlibre



rotH = jlibre + ∂t D
D = 0 E + P
avec :
H = B/µ0 − M
Au niveau de l’interface les champs peuvent être discontinus mais resteront bornés. En utilisant des contours ou surfaces traversant l’interface on
peut alors montrer que :
– La composante normale du champ magnétique est continue :
[Bi + Br ].ez = Bt .ez ∀(x, y, t) à z = 0
– La composante tangentielle du champ électrique est continue :
[Ei + Er ].ex = Et .ex ∀(x, y, t) à z = 0
[Ei + Er ].ey = Et .ey ∀(x, y, t) à z = 0
– La composante normale de D peut être discontinue s’il existe une densité surfacique de charges libres ρS :
[Di + Dr ].ez + ρS = Dt .ez ∀(x, y, t) à z = 0
52
– La composante tangentielle de H peut être discontinue s’il existe une
densité surfacique de courant libre jS :
[Hi + Hr ].ex + jS .ey = Ht .ex ∀(x, y, t) à z = 0
[Hi + Hr ].ey − jS .ex = Ht .ey ∀(x, y, t) à z = 0
Remarque : une densité surfacique est toujours une modélisation de la
réalité. Donc la composante normale de D et tangentielle de H sont continues, mais peuvent varier rapidement au niveau de l’interface. L’utilisation
de densités surfaciques se justifie et simplifie l’analyse si la variation de la
densité volumique au niveau de l’interface s’effectue sur une distance faible
par rapport à l’échelle caractéristique du problème (longueur d’onde ici).
Conclusions :
– Pour un diélectrique : il n’y a pas de densité surfacique de charge ou de
courant libre. La composante normale du champ D est continue. Donc,
si en plus le matériau est non magnétique,
Diélectrique :
le champ magnétique est continu
le champ électrique tangentiel est continu
la composante normale vérifie n2− [Ei + Er ].ez = n2+ Et .ez
– Pour un conducteur parfait : on peut modéliser par ρS 6= 0 et jS 6= 0.
Conducteur parfait :
le champ électrique tangentiel et le champ magnétique normal sont continus
le champ magnétique tangentiel et la composante normale de D sont discontinus.
– Pour un conducteur réel : on peut modéliser par ρS 6= 0 mais jS = 0
sinon la puissance dissipée au niveau de l’interface serait infinie.
Conducteur réel :
le champ électrique tangentiel et le champ magnétique sont continus
la composante normale de D est discontinue.
53
6.3
6.3.1
Réflexion-réfraction à l’interface entre deux
diélectriques parfaits
Position du problème et notation
On ne considérera que la cas où l’onde incidente est une onde plane. On
admettra (cf TD) que c’est également le cas des ondes réfléchies et transmises.
L’interface se situe en z = 0. Le vecteur d’onde de l’onde incidente n’étant
pas parallèle à ce plan, il forme avec l’axe Oz un plan : c’est le plan d’incidence.
On choisit l’axe Ox tel que le plan d’incidence soit Oxz.
Les champs électrique et magnétique sont orthogonaux au vecteur d’onde.
Nous allons traiter deux situations particulières
Cas transverse électrique (TE) : E⊥Oxz et B ∈ Oxz
Cas transverse magnétique (TM) : B⊥Oxz et E ∈ Oxz
Notations : les vecteurs d’onde et les fréquences sont :
– Onde incidente : ki = (αi , 0, γi ) et ωi .
– Onde réfléchie : kr = (αr , βr , γr ) et ωr .
– Onde transmise : kt = (αt , βt , γt ) et ωt .
Pour des raisons physiques évidentes, on a Re(γr ) < 0 et Re(γt ) > 0.
Les diélectriques étant parfaits, les indices n− et n+ sont réels ; il en de
même pour αi et γi .
6.3.2
Cas transverse électrique (TE)
On utilise les relations de dispersions dans chacun des milieux (cf 5.2.1)
et les relations de continuité vues plus haut pour les diélectriques (6.2), relations vraies quels que soient x, y et t. On aboutit aux résultats suivants :

ωi = ωr = ωt



 αi = αr = αt

βr = βt = 0
–


γr = −γp
i



γt = n1− n2+ γi2 + (n2+ − n2− )αi2
54
– Les champs Ei , Er et Et sont donc parallèles entre eux.
(T E)
– On peut alors définir des coefficients de réflexion rE et de transmis(T E)
(T E)
(T E)
sion tE par Er y (0) = rE Ei y (0) et Et y (0) = tE Ei y (0).
( (T E)
−γt
rE = γγii +γ
t
–
(T E)
2γi
tE = γi +γt
(T E)
(T E)
On a donc tE = 1 + rE .
– Les
ont pour expression :
 champs magnétiques
Ei i(αi x−γi z−ωi t)
B
(r,
t)
=
e
(−γi , 0, αi )

ωi
 i
(T E) Ei i(αi x+γi z−ωi t)
Br (r, t) = rE ωi e
(γi , 0, αi )

 B (r, t) = t(T E) Ei ei(αi x−γt z−ωi t) (−γ , 0, α )
t
i
t
E
ωi
6.3.3
Cas transverse magnétique (TM)
On aboutit aux résultats suivants :

ωi = ωr = ωt




 αi = αr = αt
βr = βt = 0
–


γr = −γp
i



γt = n1− n2+ γi2 + (n2+ − n2− )αi2
– Les champs Bi , Br et Bt sont donc parallèles entre eux.
(T M )
– On peut alors définir des coefficients de réflexion rB
et de transmis(T M )
(T M )
(T M )
sion tB
par Br y (0) = rB Bi y (0) et Bt y (0) = tB Bi y (0).

2
2
 r(T M ) = γi /n−2 −γt /n2+
B
γi /n− +γt /n+
–
2
 t(T M ) = 2γ2 i /n− 2
B
γi /n +γt /n
−
+
(T M )
tB
(T M )
On a donc
= 1 + rB .
– Les
ont pour expression :
 champs électriques
c2 Bi i(αi x−γi z−ωi t)

E
(r,
t)
=
e
(γi , 0, −αi )

n2− ωi
 i
2
(T M )
Er (r, t) = rB nc2 Bωii ei(αi x+γi z−ωi t) (−γi , 0, −αi )
−


 Et (r, t) = t(T M ) c22 Bi ei(αi x−γt z−ωi t) (γt , 0, −αi )
B
n+ ωi
55
6.3.4
Récapitulatifs-comparaisons
Lois de Snell-Descartes :
– Les fréquences sont égales.
– Les 3 vecteurs d’onde sont co-planaires , et sont donc dans le plan d’incidence.
– On peut alors utiliser une représentation polaire. En définissant les
angles par rapport à la normale à l’interface (ici axe Oz), il vient
α=
nω
nω
sin θ, γ =
cos θ
c
c
– On en déduit alors : θr = −θi et n− sin θi = n+ sin θt
Réflexion totale si n− > n+ :
Dans cette situation il existe alors un angle critique θc tel que sin θc =
n+
n−
Pour θi > θc , γt2 < 0 : γt est imaginaire pur. Il n’y a pas de propagation
(T E)
(T M )
dans le milieu n+ . On remarque d’ailleurs que |rE | = |rB | = 1 dans
cette situation.
Remarque : Les coefficients de transmission ne sont pourtant pas nuls.
On reviendra sur ce point dans le paragraphe 6.4.
Dans le milieu n+ l’onde s’atténue exponentiellement avec une longueur
caractéristique | γ1 | = n cω √ 2 1 2
− i
t
sin θi −sin θc
Application : pour θi > θc on voit qu’on peut simuler un miroir. Cette
situation est utilisée pour faire des miroirs dans le domaine X.
Déphasage dans le cas TE :
On peut retenir que dans le cas n− > n+ le champ réfléchi est déphasé
de π et le champ transmis est en phase par rapport au champ incident.
Dans la situation inverse le déphasage varie continuement avec l’angle
d’incidence.
Angle de Brewster dans le cas TM :
(T E)
(T M )
Le coefficient rE n’est jamais nul. Ce n’est pas le cas pour rB
se produit pour un angle appelé angle de Brewster.
56
. Cela
(T M )
On a rB
n+
n−
(θB ) = 0 avec tan θB =
Comme cos x ≤ 1 pour tout x, on a θB < θc . Autrement dit, l’angle de
Brewster existe toujours quels que soient les indices n− et n+ .
On peut retenir physiquement que Brewster apparaı̂t en TM et pas en TE
de la façon suivante. L’onde incidente crée un champ électrique dans le milieu
n+ . Ce champ polarise les dipôles de ce milieu. Ceux-ci vont donc rayonner
et créer un champ réfléchi. Or on sait qu’un dipôle ne rayonne pas dans sa
direction. Dans le cas TM, le champ électrique est dans le plan d’incidence,
donc il existe un angle pour lequel Et //kr . Cet angle correspond à l’angle de
Brewster. Dans le cas TE par contre, cela ne prête pas à conséquence car le
champ est transverse ; il ne peut donc jamais être parallèle au vecteur d’onde
réfléchi.
6.4
Coefficients de réflexion-réfraction en intensité
On a évoqué la continuité des champs électrique et magnétique mais pas
encore celle du vecteur de Poynting. Celui-ci étant défini par une équation de
continuité faisant intervenir sa divergence, on en conclut que sa composante
normale est continue.
On définit alors les coefficients de réflexion et de transmission en intensité
de la façon suivante :
R = | SSri zz | et T = | SSti zz |
En se souvenant que S =
1
Re(E
2µ0
∧ B∗ ), on montre facilement que :
(T E) 2
Dans le cas TE : R(T E) = |rE
| et T (T E) =
(T M ) 2
Dans le cas TM : R(T M ) = |rB
Re(γt ) (T E) 2
|tE |
γi
| et T (T M ) =
2
Re(γt ) n− (T M ) 2
|t
|
γi n2+ B
Remarques :
– Dans les deux situations on retrouve bien que T + R = 1 : l’énergie est
conservée.
57
– Pour θi > θc , γt est imaginaire pur. On trouve bien que T = 0 dans ce
cas (réflexion totale), alors que les coefficients en amplitude ne s’annulaient pas.
– En incidence normale, avec un indice à 1 et l’autre à 1.5 on retrouve
− 2
) ≈ 4% de réflexion par interface.
bien R = ( nn++ −n
+n−
La figure 6.1 montre des exemples de coefficients de réflexion pour divers
couples d’indices. On voit que R(T E) > R(T M ) mais que la différence devient
faible si l’écart d’indice est petit.
6.5
Cas des métaux et diélectriques non parfaits
Remarque : dans notre modélisation à une seule interface, il est nécessaire
que n− soit réel. Si ce n’était pas le cas il n’y aurait pas d’onde dans ce milieu.
Par contre n+ peut être quelconque.
Cas général :
On a signalé au 6.1 que les densités surfaciques n’étaient qu’une modélisation
de la réalité. Cela signifie tout simplement que quasiment toutes les équations
écrites plus hautes sont encore valables.
Cependant, si n+ est complexe, la notation angulaire n’a plus vraiment de
(T M )
sens. De plus il n’y a plus a priori d’angle de Brewster, car tB
ne peut plus
s’annuler. En pratique, il y aura quand même un minimum de réflexion pour
un angle donné. Les coefficients de réflexion et de transmission en amplitude
sont maintenant complexes et c’est leur module au carré qui intervient dans
les coefficients en intensité.
La seule équation qui change est l’expression du coefficient de transmission en intensité dans le cas TM. Comme n+ est complexe, il faut écrire
T (T M ) =
Re(γt /n2+ ) (T M ) 2
|tB |
γi /n2−
Conducteur parfait :
Pour ωi < ωp , n2+ < 0, donc n+ est imaginaire pur ⇒ γt l’est aussi. On
retrouve bien T = 0 : c’est un miroir (ouf !). Mais de nouveau cela ne veut
58
Fig. 6.1 – Coefficient de réflexion en intensité en fonction de l’angle d’incidence pour divers couples d’indices et dans les situations TE (pointillé) et
TM (trait plein).
59
pas dire que le champ soit nul dans le métal ; il s’atténue avec une longueur
caractéristique en 1/|γt |. Cette longueur tend vers 0 si ω → 0. Dans cette
limite on a alors un champ strictement nul à l’intérieur du matériau : c’est
un miroir parfait.
Déphasage à la réflexion en TE : Pour ωi ωp , n2+ → −∞, donc |γt | →
(T E)
ωp /c ωi /c, donc rE → −1 : l’onde est déphasée de π quand le conducteur
est un miroir.
60
Chapitre 7
Ondes guidées
Dans le chapitre sur le rayonnement on a vu que la simple conduction
d’un courant le long d’un fil conduit à l’émission d’une onde rayonnée. La
puissance de cette onde est d’autant plus forte que la fréquence est élevée.
Or fréquence élevée signifie débit d’informations élevé. Cela est vrai pour
les communications (internet, téléphone, télévision) comme pour les microprocesseurs ; en d’autres termes il faut trouver des stratégies pour contrer
cette déperdition d’énergie : c’est le terrain de chasse des guides.
Bien que les guides les plus populaires et les plus utilisés soient les fibres
optiques (guides diélectriques), leur étude conduit à des calculs mathématiques
souvent peu réjouissants. Il existe un cours spécifique d’optique guidée en
2A. Les idées physiques à retenir peuvent être dévoilée à nos yeux ébahis
“plus simplement” à travers les guides métalliques. Ce chapitre n’étudiera
que les propriétés de ceux-ci. On considérera en plus des guides creux (vide
à l’intérieur du guide).
7.1
Exemple d’introduction : le guide métallique
Avant d’étudier le cas général, on va s’intéresser au guide métallique unidimensionnel. On ne cherchera pas les solutions générales mais une souspartie de celles-ci. Cela nous suffira pour trouver simplement les idées clés à
retenir sur les guides.
On considère donc deux plaques métalliques parfaitement conductrices
(miroirs parfaits), parallèles et positionnées en y = ±b/2.
61
y6
6
b
-
x
?
z
Plaques métalliques distantes de b.
On va chercher des solutions telles que l’onde se propage suivant Oz,
polarisée suivant Ox et dont l’amplitude ne dépend que de y et z. Le champ
électrique est ainsi de la forme
E = E(y, z)e−iωt ex
Ce champ doit vérifier les conditions suivantes :
– L’équation de Helmholtz : ∂y2 E + ∂z2 E + ( ωc )2 E = 0.
– Les équations de continuité : E(b/2, z) = E(−b/2, z) = 0.
Le champ s’annulant sur l’axe Oy quel que soit t, il ne peut s’agir d’une
onde plane. Par contre une solution du type E(y, z) = cos(βy)eiγz conviendrait.
On obtient alors cos(βb/2) = 0 → βb/2 = (2p + 1)π/2 avec p entier. Ainsi
β > π/b.
L’équation d’onde donne γ 2 + β 2 = ( ωc )2 . Il y a propagation si γ est réel
donc si |β| < ωc .
Conséquences :
(i) Il n’y pas propagation quelle que soit ω.
Il faut ω > ωcoup. avec ωcoup. = cπ/b i.e. des longueurs d’onde λ < 2b.
(ii) β ne peut prendre que des valeurs discrètes.
β = (2p + 1)π/b où b est la taille du guide.
(iii)→pour ω donnée, il n’existe qu’un nombre fini de vecteurs
d’onde possibles. On parle de modes (ici d’indice p).
Remarque :
– Ces résultats sont en fait généraux et caractéristiques de tout guide.
62
Fig. 7.1 – Modes d’un guide plan. Pour la fréquence indiquée par la ligne en
pointillé il existe donc trois modes différents qui peuvent se propager dans le
guide.
– Pour ω < ωcoup. il n’y a pas d’onde propagative1 .
Pour ωcoup.
q < ω < 3ωcoup. , il n’y en a qu’une seule avec β = π/b et
ω
γ = π/b ( ωcoup.
)2 − 1.
Pour 3ωcoup. < ω < 5ωcoup. il y en a 2 (β = π/b et 3π/b), etc...
– Il est ainsi possible d’avoir la propagation que d’une seule onde si on
choisit la fréquence dans la zone ωcoup. < ω < 3ωcoup. . On parle de guide
monomode.
– La figure 7.1 illustre ce comptage de modes.
– la vitesse de phase de l’onde vaut ω/γ et va donc dépendre de p. Donc
des ondes avec des p différents ne vont pas se propager à la même vitesse. C’est pour cela que l’on privilégie souvent les guides monomodes.
1
Pas d’onde propagative ne signifie pas pas d’onde du tout ; il y a atténuation le long
du guide. Si celui-ci n’est pas trop long, une onde peut traverser ce guide (cf réflexion
totale frustrée ou effet tunnel en MECANIQUE QUANTIQUE)
63
7.2
7.2.1
Méthode générale d’étude
Décomposition des champs
Comme dans l’exemple précédent on va considérer des guides linéaires
suivant l’axe Oz. Cette onde a donc une partie propagative type onde plane
sur cette direction. Les champs sont alors de la forme
E = [E⊥ (x, y) + Ez (x, y)ez ] ei(γz−ωt)
B = [B⊥ (x, y) + Bz (x, y)ez ] ei(γz−ωt)
Remarques :
– On va montrer que E⊥ et B⊥ sont connus si Ez et Bz le sont.
– Cette décomposition n’est pas habituelle ; dans le vide les champs électriques
et magnétiques sont transverses, donc Ez = Bz = 0. Ce n’est plus le
cas pour des ondes guidées.
– Par définition E⊥ est transverse.
– Comme Ez ne dépend pas de z, gradEz est transverse.
– Comme E⊥ ne dépend pas de z, rotE⊥ est longitudinal.
En utilisant les résulats précédents, l’annexe C et les équations de Maxwell, on trouve :
(ω 2 /c2 − γ 2 )E⊥ = iγgradEz − iωez ∧ gradBz
(ω 2 /c2 − γ 2 )B⊥ = iγgradBz + iωez ∧ gradEz
7.2.2
Equations du problème
Des 6 composantes des champs électriques et magnétiques il ne reste donc
que deux inconnues. Elles seront déterminées par l’équation de Helmholtz
2
∆E + ωc2 E = 0 et la même pour le champ magnétique.
Les composantes longitudinales doivent donc vérifier les équations suivantes :
∆⊥ Ez + (ω 2 /c2 − γ 2 )Ez = 0
où ∆⊥ = ∂x2 + ∂y2 .
∆⊥ Bz + (ω 2 /c2 − γ 2 )Bz = 0
On va étudier deux situations :
64
Onde TE : Ez = 0 ; champ électrique transverse par rapport à la propagation.
Onde TM : Bz = 0 ; champ magnétique transverse par rapport à la propagation.
Attention : ici on parle de champ transverse par rapport à la direction de
propagation. Dans le chapitre 6 précédent, c’était défini par rapport au plan
d’incidence.
7.3
Guide métallique rectangulaire
On considère un guide invariant sur Oz, de taille a suivant x et b suivant
y. Le conducteur est parfait ; il n’existe donc pas de champ à l’extérieur du
guide.
y6
b
0
-
a
x
Section du guide métallique rectangulaire.
Vue la symétrie du problème, on va chercher des solutions de l’équation
d’Helmholtz à variable séparable f (x)g(y).
On en déduit
f¨/f + g̈/g + ω 2 /c2 − γ 2 = 0
Cette équation étant vraie quels que soient x et y, f¨/f = −α2 et g̈/g = −β 2
où α et β sont des constantes (on justifiera le fait qu’elles sont réelles dans
la suite).
D’où :

 f (x) = u cos αx + v sin αx
g(y) = u0 cos βy + v 0 sin βy

avec α2 + β 2 + γ 2 = ω 2 /c2
Les conditions aux limites sur les parois du guide vont imposer des conditions sur les variables α, β, u, u0 , v et v 0 .
65
7.3.1
Cas TM
En TM ; on cherche donc à connaı̂tre Ez .
La composante transverse du champ est continue, donc, comme l’axe Oz
est transverse aux parois du guide, on obtient
Ez (0, y) = Ez (a, y) = Ez (x, 0) = Ez (x, b) = 0

- Ez (x, y) = f (x)g(y)





 - α = pπ/a et f (x) = v0 sin αx
- β = qπ/b et g(y) = v sin βy
D’où :

)2 + ( qπ
)2 ]
- γ 2 = ω 2 /c2 − [( pπ

a
b

q


 - La fréquence de coupure vaut ωcoup. = cπ 12 +
a
1
b2
Ez , on peut en déduire les champs électrique et magnétique :
Connaissant
(ω 2 /c2 − γ 2 )E⊥ = iγgradEz
(ω 2 /c2 − γ 2 )B⊥ = iωez ∧ gradEz
On voit donc que (ez , E⊥ , B⊥ ) forme un trièdre direct.
7.3.2
Cas TE
On obtient des résultats similaires.
La continuité de la composante normale du champ magnétique donne
Bx (0, y) = Bx (a, y) = By (x, 0) = By (x, b) = 0. En utilisant les résultats du
paragraphe 7.2.1, on voit alors que
∂x Bz (0, y) = ∂x Bz (a, y) = ∂y Bz (x, 0) = ∂y Bz (x, b) = 0

- Bz (x, y) = f (x)g(y)





 - α = pπ/a et f (x) = u0 cos αx
- β = qπ/b et g(y) = u cos βy
D’où :

)2 + ( qπ
)2 ]
- γ 2 = ω 2 /c2 − [( pπ

a
b

q


 - La fréquence de coupure vaut ωcoup. = cπ 12 +
a
1
b2
Bz , on peut en déduire les champs électrique et magnétique :
Connaissant
(ω 2 /c2 − γ 2 )E⊥ = −iωez ∧ gradBz
(ω 2 /c2 − γ 2 )B⊥ = iγgradBz
On voit donc que (ez , E⊥ , B⊥ ) forme un trièdre direct.
66
Chapitre 8
Optique géométrique
L’optique n’est qu’une partie de l’électromagnétisme. Ce que l’on a étudié
dans ce cours se rapproche de ce qu’on nomme l’optique ondulatoire. On va
chercher ici le lien avec l’optique géométrique. Le passage de l’un à l’autre
correspond à la limite des petites longueurs d’onde. Pour simplifier et se
concentrer sur ce point on se place dans un milieu diélectrique parfait, isotrope et non magnétique. Par contre, le milieu est non homogène.
8.1
Approximation des courtes longueurs d’onde
On se place comme d’habitude en régime monochromatique. Par contre
on
rien sur la dépendance spatiale :
ne présuppose
E = E(r) e−iω(t+L(r)/c)
B = B(r) e−iω(t+L(r)/c)
Remarques :
– Toute la dépendance en fréquence est dans le terme de phase. Donc
E, B et L n’en dépendent pas.
– E et B peuvent être complexe (polarisation elliptique).
– On considère un milieu sans perte, donc L(r) est réel.
Exemple de fonction L(r) :
– Onde plane dans le vide : L(r) = k.r/k.
– Onde sphérique : L(r) = r.
67
On peut alors réécrire les équations de Maxwell en fonction de E et B.
On obtient, sans approximation :

divB + i ωc B.gradL = 0



 r divE + E.[i ω r gradL + gradr ] = 0
c
ω

rotE − i E ∧ gradL = iωB


 rotB − i ωc B ∧ gradL = −i ω E
c
c2 r
Si λ → 0, i.e. ω → ∞, les équations précédentes se simplifient :
B.gradL = 0
E ∧ gradL = −cB
et
E.gradL = 0
B ∧ gradL = cr E
On a négligé les variations spatiales de E et B. Cela signifie donc qu’on
néglige tout phénomène où ces champs varient rapidement : on néglige la diffraction (variation rapide de l’amplitude sur les bords d’un trou par exemple)1 .
Les deux couples d’équations que l’on a obtenus montrent que E, B et
gradL sont orthogonaux entre eux.
On en tire alors la relation suivante :
|gradL|2 = r = n2
donc
gradL = n(r)u(r) où u est un vecteur unitaire.
8.2
Rayon lumineux
On utilise couramment en optique géométrique la notion de rayon lumineux. On va lui donner un sens physique en disant que la direction du rayon
lumineux correspond à la direction du vecteur de Poynting hSi.
Dans notre approximation, cela conduit à hSi = hwi nc u où hwi est l’énergie
volumique électromagnétique.
1
Le cône de diffraction d’un objet de taille a est en λ/a. Si λ → 0, on supprime bien la
diffraction.
68
En conséquence le rayon lumineux est dirigé suivant gradL.
En utilisant l’abscisse curviligne (cf annexe B) ds =
on montre que
d
(nu)
ds
p
dx2 + dy 2 + dz 2 ,
= gradn : équation des rayons lumineux ou eikonale
Remarque : même si cette écriture est très jolie, les calculs pour trouver
la trajectoire d’un rayon lumineux ne sont généralement pas triviaux. On va
donner trois exemples dans le prochain et dernier paragraphe (sniff...).
8.3
Exemples
Milieu homogène : Dans ce cas, n est une constante, donc gradn = 0.
D’où nu(s) = C = constante → u est constant. Le rayon se propage en
ligne droite ; ce n’est pas une grande surprise.
Milieu discontinu : On cherche à trouver la modification de la trajectoire
d’un rayon par une interface entre deux diélectriques parfaits.
On sait que dans chacun des deux milieux la trajectoire est une droite.
Soit Oxz le plan d’incidence et Oxy le plan de l’interface. On caractérise la
trajectoire par son angle par rapport à l’axe Oz : u = cos θez + sin θex .
Comme n ne dépend pas de x, gradn.ex = 0. Donc,
d
(n sin θ) = 0
ds
On retrouve la loi de Descartes : n sin θ est une constante le long de la
trajectoire.
Milieu stratifié : Pour finir, un cas moins trivial. On considère un milieu
dont l’indice dépend de la position, mais uniquement à travers une coordonnée, ici z, tel que dn
= ṅ est constant. On note n = n(z) = n0 + ṅ(z − H).
dz
L’équation des rayons lumineux donne donc
nux = C1 , nuy = C2 et
69
dn
d
(nuz ) =
= ṅ
ds
dz
H
dn/dz > 0
Fig. 8.1 – Effet mirage. L’observateur se trouve en z = H à x = 0. Il croit
que la source lumineuse se trouve quelque part sur la trajectoire rectiligne (ici
en pointillé) alors qu’elle se trouve sur la trajectoire incurvée (trait plein).
où C1 et C2 sont deux constantes le long de la trajectoire. Or on peut toujours
changer de repère pour que uy (s = 0) = 0 et donc faire C2 = 0 ; le mouvement
sera dans le plan Oxz tout au long de la trajectoire.
Or le long de la trajectoire dr ∧ u = 0, donc uz dx = ux dz, d’où nuz =
dz
C1 dx .
p
√
dz
Soit f = dx
. En utilisant ds = dx2 + dz 2 = dx 1 + f 2 , on aboutit à
p
C1 df = ṅdx 1 + f 2 .
dz
Donc, le long de la trajectoire, on a dx
= f (x) = sinh( Cṅx1 + C3 ).
Si, en x = 0, uz (0) = − cos θ, ux (0) = sin θ, alors


 C1 = n0 sin θ
sinh(C3 ) = −1/ tan θ

 z = H + C1 [cosh( ṅx + C ) − cosh(C )]
ṅ
C1
3
3
dz
dx
Si ṅ = 0, alors
= sinh(C3 ) et donc z = H + sinh(C3 )x : le rayon est
bien une ligne droite.
Si ṅ > 0, z > H + sinh(C3 )x, le rayon est incurvé. C’est l’effet mirage
illustré sur la figure 8.1.
70
THIS IS THE END...
71
72
Annexe A
Notation complexe
Les eqn de Maxwell sont linéaires. Cela signifie que si les sources sont
deux fois plus intenses il en est de même pour les champs. Cela signifie aussi
que si les sources sont monochromatiques à la pulsation ω il en sera de même
pour les champs. Dans la majeure partie du cours les ondes sont considérées
comme monochromatiques. L’utilisation de la notation complexe est alors
très commode.
Soit f (t) = f0 cos(ωt). On associe à cette fonction sa représentation complexe souvent notée de la même façon
f (t) = f0 e−iωt
Noter la convention utilisée : −iωt
Faire attention en lisant un texte :
Il arrive fréquemment qu’on écrive f (t) = f e−iωt
et qu’on utilise indifféremment f et f (t).
On utilisera toujours cette convention dans le cours. Evidemment on passe
de la notation complexe à la notation réelle en prenant la partie réelle de la
première.
Une onde plane de vecteur d’onde k et de pulsation ω polarisée suivant
e sera donc notée E = E0 cos(k.r − ωt)e ou E = E0 ei(k.r−ωt) e.
Le calcul de la divergence et du rotationnel est particulièrement simple.
On obtient en notation complexe :
rotE = ik ∧ E
i
divE = ik.E
∂t E = −iωE
∆E = −k 2 E
Les éqn de Maxwell dans le vide s’écrivent alors :
k.B = 0
ik.E = ρ/0
ik ∧ B = µ0 j − iµ0 0 ωE
k ∧ E = ωB
On en déduit immédiatement que k, E et B sont trois vecteurs orthogonaux entre eux.
Remarque : toutes les relations précédentes sont vraies que k soit réel ou
non.
Aspect énergétique Une quantité non linéaire souvent utilisée est l’énergie
et son corrolaire le vecteur de Poynting. La notation complexe doit être prise
avec prudence dans ce cas.
Avec une onde plane telle que E = E0 ei(kz−ωt) ex , on déduit grâce à la
notation complexe que B = ωk E0 ei(kz−ωt) ey .
En utilisant la notation réelle il vient :
– Le vecteur de Poynting S = E∧B
= ωµk 0 E02 cos2 (kz − ωt)ez .
µ0
k
– Le vecteur de Poynting moyen (moyenne temporelle) hSi = 2ωµ
E02 ez .
0
En notation complexe :
∗)
– il faut utiliser hSi = Re(E∧B
.
2µ0
i(kz−ωt)
En effet avec E = E0 e
ex et B = ωk E0 ei(kz−ωt) ey , les exponentielles s’éliminent bien pour donner le résultat précédent.
On peut démontrer cela de façon plus générale. On indice les parties
réelles des champs par 0 et les parties imaginaires par 00 . Il vient alors
ii
Re(E ∧ B∗ ) = Re(E0 ∧ B0 +E00 ∧ B00 +iE00 ∧ B0 −iE0 ∧ B00 ) = E0 ∧ B0 +
E00 ∧ B00 = ωk E02 [cos2 (kz −ωt)+sin2 (kz −ωt)] = ωk E02 . On retrouve donc
∗)
bien hSi = Re(E∧B
.
2µ0
– Remarquons qu’ici E ∧ B∗ est réelle. Ce n’est pas le cas si le vecteur
d’onde est complexe (cf chapitre sur la propagation dans la matière).
0
00
00
Si on note k = k 0 + ik 00 , E ∧ B∗ = k +ik
E02 e−2k z ez et donc
ω
k0
00
hSi =
E02 e−2k z ez
2ωµ0
Il faut donc se rappeler que le vecteur de Poynting est dans tous les cas
une quantité réelle.
iii
iv
Annexe B
Systèmes de coordonnée
Cette annexe présente les différents systèmes de coordonnée. L’annexe C
contient le calcul des dérivées spatiales dans ces systèmes de coordonnée.
B.1
Coordonnée cartésienne
On choisit un repère de centre O et Oz et de vecteurs directeurs ex , ey et
ez . Un point M est repéré par ces coordonnées sur les trois axes x, y et z.
Fig. B.1 – Coordonnées cartésiennes.
B.2
Coordonnée polaire
On se place dans un plan, disons xOy. Le point M de coordonnée x et y
peut être repéré par ses coordonnées polaires (ρ, θ) telles que :
v

p
 ρ = x2 + y 2
avec ρ ≥ 0 et 0 ≤ θ ≤ 2π.
x = ρ cos θ

y = ρ sin θ
Fig. B.2 – Coordonnées polaires.
Les vecteurs directeurs de la base polaire sont :
eρ = cos θex + sin θey
eθ = − sin θex + cos θey
B.3
Coordonnée cylindrique
On se place dans l’espace. Un axe cartésien est privilégié ; par tradition
il s’agit le plus souvent de Oz. Un
 point
pM sera repéré par ses coordonnées
 ρ = x2 + y 2
avec ρ ≥ 0, 0 ≤ θ ≤ 2π et
cylindrique (ρ, θ, z) telles que :
x = ρ cos θ

y = ρ sin θ
−∞ < z < ∞.
Fig. B.3 – Coordonnées cylindriques.
vi
 Les vecteurs directeurs de la base cylindrique sont :
 eρ = cos θex + sin θey
eθ = − sin θex + cos θey

ez
B.4
Coordonnée sphérique
On se place dans l’espace. Un axe cartésien est privilégié ; par tradition
il s’agit le plus souvent de Oz. 
Un point
p M sera repéré par ses coordonnées
r = x2 + y 2 + z 2



x = r cos φ sin θ
sphériques (r, θ, φ) telles que :
avec r ≥ 0, 0 ≤ θ ≤ π
y = r sin φ sin θ



z = r cos θ
et 0 ≤ φ ≤ 2π.
Fig. B.4 – Coordonnées sphériques.
 Les vecteurs directeurs de la base sphérique sont :
 er = sin θ(cos φex + sin φey ) + cos θez
eθ = cos θ(cos φex + sin φey ) − sin θez

eφ = − sin φex + cos φey
B.5
Abscisse curviligne
L’abscisse curviligne s représente la coordonnée d’un point le long d’une
trajectoire.
p
Le vecteur ds est tangent à la trajectoire et ds = dx2 + dy 2 + dz 2
vii
Fig. B.5 – Coordonnée curviligne. Exemple dans le cas d’une courbe dans le
plan xOy
viii
Annexe C
Calcul vectoriel
C.1
rot, grad, div
– rot(gradf ) = 0
– div(rotC) = 0
– div(gradf ) = ∆f
– rot(rotC) = grad(divC) − ∆C
–
–
–
–
–
–
grad(f.g) = f grad(g) + ggrad(f )
div(f C) = C.grad(f ) + f divC
rot(f C) = grad(f ) ∧ C + f rotC
div(C ∧ F) = F.rotC − C.rotF
rot(C ∧ F) = div(F)C − div(C)F + (F.grad)C − (C.grad)F
grad(C.F) = C ∧ rotF + F ∧ rotC + (F.grad)C + (C.grad)F
Remarque : le terme (F.grad)C signifie (F.gradCx ) ex +(F.gradCy ) ey +
(F.gradCz ) ez
C.2
Calcul intégral
LeZZvecteur dΣZZ
est
Z un vecteur orienté par la normale sortante.
– C.dΣ =
divC dV
ix
ZZ
– f dΣ =
ZZZ
gradf dV
ZZZ
– C ∧ dΣ = −
rotC dV
ZZ
H
– C.dl = rotC.dΣ
ZZ
H
– f dl = − gradf ∧ dΣ
ZZ
C.3
C.3.1
Représentation dans les différents systèmes
de coordonnées
Coordonnées cartésiennes
Les vecteurs de bases sont notés ex , ey , ez .
– gradf = ∂x f ex + ∂y f ey + ∂z f ez
– ∆f = ∂x2 f + ∂y2 f + ∂z2 f
– divC = ∂x Cx + ∂y Cy + ∂z Cz
– rotC = (∂y Cz − ∂z Cy ) ex + (∂z Cx − ∂x Cz ) ey + (∂x Cy − ∂y Cx ) ez
C.3.2
Coordonnées cylindriques
Les vecteurs de bases sont notés eρ , eθ , ez .
– gradf = ∂ρ f eρ + ρ1 ∂θ f eθ + ∂z f ez
– ∆f = ρ1 ∂ρ (ρ∂ρ f ) + ρ12 ∂θ2 f + ∂z2 f
– divC = ρ1 ∂ρ (ρCρ ) + ρ1 ∂θ Cθ + ∂z Cz
– rotC = ( ρ1 ∂θ Cz − ∂z Cθ ) eρ + (∂z Cρ − ∂ρ Cz ) eθ + ρ1 (∂ρ (ρCθ ) − ∂θ Cρ ) ez
C.3.3
Coordonnées sphériques
Les vecteurs de bases sont notés er , eθ , eφ .
1
– gradf = ∂r f er + 1r ∂θ f eθ + r sin
∂ f eφ
θ φ
1 2
1
– ∆f = r ∂r (rf ) + r2 sin θ [∂θ (sin θ∂θ f ) + ∂φ2 f ]
1
– divC = r12 ∂r (r2 Cr ) + r sin
[∂ (sin θCθ ) + ∂φ Cφ ]
θ θ
1
– rotC = r sin θ [∂θ (sin θCφ ) − ∂φ Cθ ] er + 1r [ sin1 θ ∂φ Cr − ∂r (rCφ )] eθ +
1
[∂ (rCθ ) − ∂θ Cr ] eφ
r r
x