Conceptos asociados al
análisis de confiabilidad
Dr. Eduardo Salamanca
GESTIÓN DE ACTIVOS FÍSICOS (ME5702)
Al terminar este capitulo, deberiamos:
Conocer
Los parámetros que
determinan los
comportamientos de falla a
través de su incertidumbre
criterios de modelación
Criterios de aceptación
Herramientas para toma de
decisiones
Indicadores que representan
los mecanismos de falla
Evaluación
Síntesis
Análisis
Aplicación
Comprensión
Conocimiento
El Mercurio, 5 de enero de 2007
Motivación
Diseño de un programa eficiente de
mantenimiento
comprensión de los fenómenos de falla
Fallas
aleatorias,
Estudiaremos
Ingeniería de la confiabilidad
Objetivos
Reducir costo global
Definir programas
Preventivos
predictivos
Reemplazo de equipos
Agrupamiento de intervenciones
controlar y mejorar la confiabilidad,
overhaul
Indicadores
…
Dificultades
incertidumbre
efectos de cambios en el comportamiento
Escasez de datos
Tipos de intervenciones
Tipo
Correctivas
Preventivas
M.P. Sistemático
centrado en la condición
Calidad
Perfectas
Mínimas
Como nuevo
Como antes
Imperfectas
Leyes de Probabilidad
eventos discretos
(numero de fallas..)
eventos continuos
cantidades físicas
masa, temperatura,..
Etapas en la vida de un equipo
infancia
madurez
vejez
λ(t)
fallas/ut
0
0
tiempo
ut:unidad de tiempo
Infancia
tasa de falla decrece con el tiempo
componentes defectuosos
de fabrica,
tras el montaje.
Para reducir la niñez
Establecer una etapa de marcha blanca,
componentes defectuosos fallen
y sean reemplazados;
Aplicar ensayos no destructivos rigurosos.
Madurez
Los sistemas eléctricos
λ(t) constante, no hay desgaste;
Los sistemas mecánicos
incrementan λ(t) cont t
mantenimiento preventivo
Vejez
Aumento de la tasa de fallas
degradación importante;
inspecciones frecuentes necesarias.
mantenimiento sintomático
reemplazo
Tasa de falla componentes Boeing 707
Ley de Poisson
Describe
numero de ocurrencias de eventos aleatorios
Input: promedio de eventos/intervalo de tiempo
probabilidad que ocurra un determinado número
de eventos durante cierto periodo de tiempo
Poisson
probabilidad de que k eventos ocurran en el
intervalo T:
k número de ocurrencias del evento
m número de veces que se espera que
ocurra el fenómeno durante un intervalo dado
m=λT
Valor esperado de x
m
T
t
En excel,
POISSON(x;media;acumulado)
Tiene gran aplicación en análisis de confiabilidad
cuando se está interesado en la ocurrencia de un
número de eventos del mismo tipo
Probabilidad acumulada
Ejercicio Poisson
probabilidad de que
una máquina no falle durante un día
si
Promedio: 10 fallas/semana laboral (5 días)?
λ=10 fallas/semana laboral
Solución
T:1 día
Ley gaussiana
Densidad de probabilidad
m , media
, varianza
Probabilidad acumulada
Obs
F(x)
se evalúa con cambio de variable
Transformación
La densidad de probabilidad es rotacionalmente simétrica y decae
exponencialmente con la raíz de la distancia, desde el origen, en la dirección radial
Ejemplo, normal
Los valores permisibles para la duración de una
resistencia
Si
están en el rango [420, 720] horas.
Media: 600 horas
desviación standard: 120 horas
probabilidad
de que una resistencia esté en ese rango?
Tabla->
Solución
Solución
Distribución normal
Ley exponencial
Ejercicio, Exponencial
tasa de falla: 1/10000 fallas/ut;
probabilidad de que falle entre las 200 y 300 ut?
λ=10-4 fallas/ut
Solución
Confiabilidad
λ: tasa de fallas por unidad de tiempo
1/λ: tiempo medio entre fallas
Para una pob. exponencial
Largo plazo, corto plazo
Tasa de fallas agregada
Ley de Weibull
en estudios de confiabilidad
sistemas mecánicos.
Ventajas
muy flexible,
adaptable a una variedad de observaciones
experimentales.
Ley de Weibull, 3 parámetros
adimensional
ut
ut
Ley de Weibull
Ɣ es el parámetro de posición (unidad de
tiempos) o vida mínima y define el punto de
partida u origen de la distribución.
ɳ es el parámetro de escala, extensión de la
distribución a lo largo del eje de tiempo. Cuando
(x - Ɣ) = ɳ la confiabilidad viene dada por: R (t)
= exp - (1)^ß = 1/exp 1^ß = 1 / 2,718 = 0,368
(36,8%)
ß es el parámetro de forma y representa la
pendiente de la recta describiendo el grado de
variación de la tasa de falla.
Tasa de fallas Weibull
Tiempo.
desde reparación o reemplazo
η=2
1.6
1.4
β=3
1.2
λ
1
0.8
β=1
0.6
0.4
β=.5
0.2
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
tiempo
1.2
1.4
1.6
1.8
2
Definiciones de confiabilidad
Confiabilidad R(t)
probabilidad
que un componente no falle en el intervalo (0, t).
Confiabilidad, poblaciones
Considere N component es supuest ament e ident icos, t odos nuevos o como
nuevos en t = 0. Sea N ¡- n el numero de component es que falla en [0; t]. Se
t iene que:
R(t) =
n(t)
N
distribución acumulada de falla F(t)
probabilidad
de que un componente falle en el
intervalo (0, t).
Distribución acumulada de fallas, F(t)
R(t) + F (t) = 1
Para poblaciones,
MTTF
La vida media de un component e no reparable es el valor de t iempo esperado
para que el component e falle. Tambien es conocido como el t iempo medio para
fallar, o M TT F por sus sigla en ingles.
Z1
M TTF =
R(t)dt
(1)
0
Resumen Indicadores Básicos
Confiabilidad: probabilidad de que un componente cumpla con los
requerimientos de funcionalidad bajo ciertas condiciones para un
intervalo de tiempo (1-pf(t)).
Tasa de falla (λ(t): numero de fallas por unidad de tiempo.
MTBF o TMEF: Tiempo medio entre fallas.
MTTR o TMPR: Tiempo medio para reparar
MTTF: Tiempo promedio a Falla
En general MTTR<<MTTF y MTBF≈MTTF. En muchos libros se utiliza MTBF
en vez de MTTF
Resumen Indicadores Básicos
MDT: Tiempo medio de paradas (MDT)
El tiempo medio de paradas (MDT) incluye el tiempo medio para reparar
(MTTR) que es función del diseño, herramientas disponibles, destreza y
capacitación del personal entre otros, y del tiempo medio de espera
(MWT) que es función de la administración y el tiempo que se demore en
detectar la falla.
En general MTTR ≈ MDT
tasa de reparación
MDT
MTTR
MWT
Tasa de falla λ(t)
Estima
numero de fallas esperadas por unidad de tiempo
Obs
Disponiendo de la tasa de fallas
Numero esperado de fallas en un cierto intervalo
Costos de falla asociados
Costos de intervención esperados
presupuesto
Tasa de falla instantánea
Ejemplo
Equipo
1
2
3
4
5
total fallas
Horas de seguimiento
Stand-by
Operación
2800
400
300
2500
2700
700
2500
800
0
3100
7
12
Ejemplo
total horas standby =
=
nro de fallas en modo standby =
tasa de fallas en modo standby =
Equipo
1
2
3
4
5
total fallas
Horas de seguimiento
Stand-by
Operación
total horas
operación
2800
400
300
2500
2700
700
2500
800
0
3100
7
12
=
=
2800 + 300 + 2700 + 2500 + 0
8300
7
7
fallas/hora op.
8300
8:4E ¡ 4 fallas/ hora
400 + 2500 + 700 + 800 + 3100
Solución
total horas operación =
=
nro de fallas en operación =
tasa de fallas en operación =
=
Equipo
1
2
3
4
5
total fallas
Horas de seguimiento
Stand-by
Operación
2800
400
300
2500
2700
700
2500
800
0
3100
7
12
400 + 2500 + 700 + 800 + 3100
7500
12
12
fallas/hora op.
7500
1:6E ¡ 3 fallas/ hora
7 + 12
λ agregado
Relaciones
f (t) = R(t) λ(t)
f (t) = dF(t)/dt
F(t) + R(t) = 1
De las definiciones,
La probabilidad de que falle en un
intervalo infinito es 1
De las definiciones,
estimando λ
Podemos establecer
La confiabilidad del equipo
estimando R(t) se
Pueden fijar plazos
de mantenimiento
preventivo
tasa de falla definida por tramos
a+λ
θ
¸ (t)
λ
0
0
tb
tiempo
t b + tu
Confiabilidad
Modelo de Dhillon
0.9
0.8
0.7
λ (t)
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
2
4
6
tiempo
8
10
MTBF
R
x
TBF0
x
TBF1
TBF2
tiempo calendario
x
x
TBF3
Ejemplo
componente
confiabilidad
La confiabilidad es
linealmente decreciente
R(0)= 1
R(10000)=0
1
R
Calcule su MTBF.
10000 t
Ejemplo
tasa de fallas constante
-pob. exponencial-
Confiabilidad y
mantenimiento preventivo
1
0.9
0.8
0.7
R
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
t
3
3.5
4
4.5
5
Ejemplo
Si λ= 2E-6 fallas/hora,
a las 500 horas:
R(500) = exp(2E-6 * 500) = 0.999
MTBF = 1/2E-6 = 50000 horas
Desgaste mecánico
Se evalúa numéricamente
Ejemplo
Si b = 2E-6 fallas/h y a = 1E-7 fallas/h,
MTBF : = 3943.40
MTTF
tiempo medio para falla
tiempo esperado en el cual el componente falla
siendo que está nuevo o como nuevo en t = 0.
MTBF = MTTF + MTTR
Tasa de reparación
Análogo
Tasa de fallas:
Numero esperado de reparaciones por unidad de
tiempo
-reparaciones/unidad de tiempo-
Ejemplo
Com p. A
falla 1
falla 2
T
TTR
Com p. B
falla 1
T
Com p. C
falla 1
falla 2
T
TTR
T
Horiz onte
unidades
tim e to repair
tiem po inic io falla
100
horas
40.1
83
1.5
3.8
TTR
41.4
1.3
TTR
40.6
82
1.1
1.5
Ejemplo
Com p. A
falla 1
falla 2
T
TTR
Com p. B
falla 1
T
Com p. C
falla 1
falla 2
T
TTR
T
Horiz onte
unidades
tim e to repair
tiem po inic io falla
100
horas
40.1
83
1.5
3.8
TTR
41.4
1.3
TTR
40.6
82
1.1
1.5
Efecto de las condiciones ambientales
y de operación
tasa de falla
sensible a condiciones de operación.
Ejemplo?
Ejemplos, variación de tasa de falla
una correa de ventilador, velocidad de operación
equipo stand-by, equipo en operación.
Confiabilidad
Un componente que opera t1 horas bajo
condiciones correspondientes a la tasa de falla λ1
y luego t2 horas con las condiciones
correspondientes a las tasa de falla λ2, etc. La
confiabilidad es
Modelo de Weibull
3 parámetros
Weibull
Tasa de fallas de Weibull
η =2
1.6
1.4
β =3
1.2
λ
1
0.8
β =1
0.6
0.4
β =.5
0.2
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
tiempo
1.2
1.4
1.6
1.8
2
Obs
Para el caso γ = 0, β = 1 la ley de Weibull se
reduce a la ley exponencial con parámetro λ=
1/η
Para β > 3 la ley converge hacia la distribución
normal.
Si γ=0
Weibull
Estimación grafica
Estimación de F(t)
método de rangos medianos si la población es
pequeña:
F(i) = (i – 0.3)/(n + 0.4)
método de rangos medios:
F(i) = i/(n + 1)
i :indice de la observación (ti < ti+1).
n :número de registros de falla
Aplicación practica
Obtener n observaciones, ordenar
Estimar la función de distribución F(t)
Calcular pares (X,Y), graficar
Ajustar la mejor recta
Weibull
Si γ≠0 se hace un cambio de variable,
t’=t-γ
se trabaja con t’
Curva de Weibull para γ > 0
Y
·
X
Ejemplo, población de componentes
Un grupo de rodamientos tuvieron las siguientes
duraciones:
801 312 402 205 671 1150 940 495 570
Se desea conocer la confiabilidad para una vida
de 600 horas y el MTTF.
Hace en excel
En matlab
» t=[205 312 402 495 570 671 801 940 1150];
» F=.1:.1:.9;
» X=log(t);
» Y=log(log(1./(1-F)));
» P=polyfit(X,Y,1);
» beta=P(1)
» beta=1.79
En matlab
» eta=exp(P(2)/(-P(1)))
» eta = 715.9655
1
0.5
log(log(1/(1-F)))
F)))
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-2.5
5.2
5.4
5.6
5.8
6
6.2
log t
6.4
6.6
6.8
7
7.2
>MTBF=716*GAMMA(1+1/1.79)
Entonces MTTF = 636.9 horas
Ejemplo γ≠0 , vida de componentes
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
V i da
2175
2800
3300
3800
4250
4650
5250
5840
6300
6700
7150
7800
8500
9200
10500
11000
12600
14000
15800
F (i )(%)
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
85
90
95
Ajuste para γ=0
γ=0
1.5
1
0.5
lo g(log(1/(1-F)))
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-2.5
-3
7.5
8
8.5
9
log t
9.5
10
Estudio
·
0.3
0.28
norma del vector residuo
0.26
0.24
mínimo
0.22
|Ax-B|
0.2
0.18
0.16
0.14
0.12
800
900
1000
1100
γ
1200
1300
1400
Obs: gamma puede
Ser negativo
Ajuste optimo
✔
γ=1280
1.5
γ=0
1
1.5
1
0.5
0.5
lo g(lo g(1/(1-F)))
0
lo g(log(1/(1-F)))
0
-0.5
-0.5
-1
-1.5
-1
-1.5
-2
-2
-2.5
-2.5
-3
7.5
8
8.5
9
log t
9.5
10
-3
6.5
7
7.5
8
8.5
log t
9
9.5
10
Verificación de modelos
al imponer una ley
se incurre en algún error,
queremos que el riesgo sea menor:
definimos el nivel de confianza
probabilidad de que el modelo sea erróneo.
Test χ2
Condición
al menos n = 50 observaciones.
Pasos
1. Se agrupan las observaciones.
Debe haber al menos 5 observaciones en cada grupo.
Los intervalos para definir los grupos no son
necesariamente de la misma longitud.
Test χ2
El test se basa en
diferencias entre
nro de observaciones en cada grupo y
nro pronosticado
por la ley seleccionada.
Test χ 2
Test χ 2
E tiene una distribución χ 2 con υ grados de
libertad:
υ=r-k-1
donde
k = 1 para la ley exponencial,
k = 2 para la ley normal,
k = 3 para la ley de Weibull
Test χ 2
la hipótesis de que las observaciones siguen
la ley propuesta es rechazada si
Ejemplo
Supóngase que para un grupo de equipos
similares se han observado los siguientes TBF:
i
1
2
3
4
5
6
T BF (horas)
0-500
500-1000
1000-1500
1500-2000
2000-2500
2500-3000
P
n=
ni
7
8
9
10
12
8
54
Ejemplo
Hipótesis
ley exponencial.
tasa de fallas λ= 1/1600 fallas/hora.
Se desea realizar un test
α= 5%
Ejemplo
Según la ley propuesta
Ejemplo
La probabilidad de que una observación caiga en
los grupos definidos en la tabla es
Test de aceptación
Ejemplo
n = 54
υ=6-1-1=4
tabla χ2 entrega
χ(4;0.95) = 9.49
en Matlab
>> chi2inv(0.95,4)
Ver tabla
χ2
Ejemplo
E > χ2(4,0.95)
Se rechaza hipótesis
Test de Kolmogorov-Smirnov
se puede aplicar para cualquier numero de
observaciones n.
si n es grande es mejor agrupar las observaciones
y usar el test χ2 .
El test
compara
la verdadera función de distribución con
la dada por la ley propuesta;
se usan
valores absolutos de las diferencias entre punto y
punto.
Kolmogorov-Smirnov
Sea
la verdadera distribución y F(t) la
distribución propuesta.
La discrepancia para ti es:
Kolmogorov-Smirnov
Puede demostrarse que la distribución de
Dn = max(Dni )
depende solo de n; y se puede escribir
Ejemplo
TBF (días):
Se asume
23,16,56,71,4,25,51,30
Gaussiana
media 34
desviación standard 22,
Test con α = 5%?
Probabilidad
según población hipotética
P(t < 4) = P ((4 - 34)/22)= 0.086
En Excel
=DISTR.NORM.ESTAND((4-34)/22)
Kolmogorov-Smirnov
Dn = max(Dni )
Kolmogorov-Smirnov
Kolmogorov-Smirnov
Según la tabla
Dn;α para n = 8, α = 0.05 es
Dn = 0.127
D8,0.05 = 0.457
se acepta la hipótesis.
Kolmogorov-Smirnov
1.4
Probabilidad acumulada de falla
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
0
10
20
30
40
tiempo
50
60
70
80
Comentarios
Apd
Datos históricos
Estimamos
R(t)
MTBF
λ(t)
MTTR
β,η Weibull
γ define vida asegurada y predesgaste
Comentarios
Datos
históricos
(sin suspensiones)
✔
Edad
Análisis de
confiabilidad
R(t)
MTBF
λ(t)
MTTR
β,η Weibull
γ vida asegurada/
predesgaste
vida remanente
esperada
confiabilidad
condicional