Kemal Halilović,profesor matematike Brčko
1
Binomni obrazac(Njutnova formula)
Pojam faktorijela
def
n! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ L ⋅ n
0! = 1
(2n)!! = 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ L ⋅ (2n)
Pojam binomnog koeficijenta
 n  n(n − 1)(n − 2 )L (n − k + 1)
n!
  =
=
k!
k ! (n − k )!
k
 n
  = 1
0
 0
  = 1
 0
Svojstva binomnih koeficijenata
 n   n   n + 1
  + 
 = 

 k   k + 1  k + 1
 n  n 
  = 

k n − k
Binomna formula
n  n 0  n  n −1 1  n  n − 2 2
 n  1 n −1  n  0 n
a b
a b +  a b +  a b + L + 
+  a b
2
 n
1 
 n − 1
0
(a + b )n = 
Ili
(a + b )n = ∑ 
n  n− k k
a b
k = 0 k 
n
k-ti član binomnog razvoja:
 n
Tkn+1 =  a n− k b k
k
k = 0,1,2,3, L , n
Zadaci
20

1. Odrediti koeficijent uz peti član u razvijenom obliku binoma  3 x +

1 
 .
23 x 
Rješenje
 n
1
Peti član se dobije za k=4 u obrascu Tkn+1 =  a n− k b k dok su a = 3 x b = 3
2 x
k
a n=20.Dakle,
n=20.Dakle,
T420
+1
=
(
 20 
=   3 x
4 
5 ⋅ 17 ⋅ 19 17
3 x
16
)
20 − 4 
20
3
4
1
15 ⋅ 17 ⋅ 19 16 x 8
1 
20 ⋅ 19 ⋅ 18 ⋅ 17 16 8

 =
⋅
=
3
=
x
3
3
3
16
1⋅ 2⋅ 3⋅ 4
2 x
x4
24 3 x 4
.Traženi koeficijent je
5 ⋅ 17 ⋅ 19 17
3
16
n

1 
 ako je
2. Odrediti trinaesti član u razvijenom obliku binoma  9 x +
3x 

binomni koeficijent trećeg člana jednak 105.
Rješenje
 n
Binomni koeficijent trećeg
trećeg člana je   = 105 ⇔
2
 
n(n − 1)
= 105 ⇔ n 2 − n − 210 = 0
2
Kemal Halilović,profesor matematike Brčko
2
Iz ove jednačine je n=15.Sada nađemo trinaesti član:
T1315
=
T1215+1
 15 
15 −12  1 


=  (9 x )
 3x 
 12 
12
6
 15 
455
15 ⋅ 14 ⋅ 13 3 3 1
3 1 
=  (9 x ) 
⋅9 x 6 6 = 3
 =
6
x
3 x
 3x 
3 
8
 5 a4

3. Odrediti x tako da četvrti član u razvoju binoma 
+ a x +1 a x −1  iznosi
 x a x −1



5
56a a
Rješenje
T4 =
⇔
T38+1
 8  5 a 4
=  
 3  x a x −1
a2
x
x +1
a 5 x−5
3
x ( x +1 )
a
3 x−3
a 5 (x
2
−1




8− 3
(a
= a⇔
)
3
x +1
a x −1
) = 56a
3
x
a2
=
a
x ( x +1 )
a 5 x −5
x +1
a 3 x−3
= a 5 (x
)
5
⇔
a ⇔ 56 ⋅
3
a2
=
a4
x
a
x ( x +1 )
a 3 x +1 a 3 x − 3 = 56a 5 a
5 x −5
a 5 (x
2 −1
−
)
⇔
a 3 x ( x −1 )
(
)
3
x ( x + 1 ) = 5 x 2 − 1 − 3 x ( x − 1)
2
2
2
2
⇔ 3 x + 3 x = 4 x + 6 x − 10 ⇔ x + 3 x − 10 = 0 ⇒ x1 = 2 ∨ x 2 = −5
⇔ a2
=
⇔ a2
a 3 x ( x −1 )
2
−1 − 3 x ( x −1 )
⇔
Naravno,pod uvjetom a>0.Za a=1 x može biti bilo koji broj.
(prije upotrebe mogu se binomni članovi srediti
5− x
 8  5 x
zatim upotrebi uvjet:   a
 3 




5
5
x
a4
=a
a x −1
5− x
5x
2x
i a x +1 a x −1 = a x +1 a
3
 2x 
 a x +1  = 56a 5 a ⇒ 5 − x + 6 x = 11 i.t.d.)


x
x+1 2



4. Četvrti član u razvijenom obliku binoma 

( x)
1
log x +1
6
+
12

x  jednak je 200.


Odrediti x.
Rješenje
T4 = 200 =
T36+1
 6 
=   
 3  
6− 3
1

12
log x +1 
( x)
3

( x)
3
3
⇔ 200 = 20 ⋅
( x)
3
log x +1 4
3
x⇔
1
+
1
 1  log x +1 1
2 (log x + 1 )
2 (log x + 1 ) 4
2
4
4


⇔ 10 = x
x ⇔ 10 = ( x )
x ⇔ 10 = ( x )
/ log ⇔




⇔ log 10 = log ( x )
3
1
+
2 (log x + 1 ) 4

3
1
⇔ 1 = 
+  log x (log x = t ) ⇔
 2(log x + 1) 4 
3t
 3
t
1
+ ⇔ 4t + 4 = 6t + t (t + 1) ⇔ t 2 + 3t − 4 = 0
⇔ 1 = 
+  t ⇔ 1 =
2(t + 1) 4
 2(t + 1) 4 
Kemal Halilović,profesor matematike Brčko
3
t 1 = 1 ∨ t 2 = −4 ⇒ log x = 1 ∨ log x = 3 ⇒ x1 = 10 ∨ x 2 = 10 −4
(
5. Odrediti
Odrediti x tako da je zbir trećeg i sedmog člana u razvoju binoma
8
sin x + cos ) jednak 7.
Rješenje
Prema zadatku je T3 + T7 = 7 ⇔  ( sin x )
 8
 2
6
(
cos x
)
2
(
 8
+   sin x
 6
(
)
⇔ 28 sin 3 x cos x + 28 sin x cos 3 x = 7 ⇔ sin x cos x sin 2 x + cos 2 x =
(
)
⇔ 28 sin 3 x cos x + 28 sin x cos 3 x = 7 ⇔ sin x cos x sin 2 x + cos 2 x =
⇔ sin x cos x =
⇒x=
π
12
)(
2
cos x
)
6
=7
1
⇔
4
1
⇔
4
5π
1
1
1
1
π
+ 2 kπ
⇔ sin 2 x = ⇔ sin 2 x = ⇒ 2 x = + 2kπ ∨ 2 x =
6
2
6
4
4
2
+ kπ ∨ x =
5π
+ 2 kπ
12
9
1
6. Odrediti član koji u razvijenom obliku stepena  + a 2  ne sadrži a.
a

Rješenje
9− k
Znamo da je Tkn+1 =  a n− k b k ili Tkn+1 =    (a 2 ) =  (a )k − 9 (a )2k =  (a )3 k − 9
k
 k  a 
k
k
Odavdje mora biti 3k − 9 = 0 ⇒ k = 3 .Dakle,četvrti član u razvoju datog binoma
ne sadrži a.
 9  1 
 n
k
9 
9 
n
3

x 
7. Izračunati član razvoja binoma  45 x +
,koji sadrži x 2 5 x 4 ,ako je zbir

2 

prva tri koeficijenta jednak 56.
Rješenje
 n  n  n
Prvo odredimo n.Kako je   +   +   = 56 ⇒ 1 + n +
0
1
2
     
2 + 2n + n − n = 112 ⇒ n + n − 110 = 0 ⇒ n = 10
2
3
 5

4 x + x 

2 

2
10
=
(
 10 
= ∑   45 x
k = 0 k 
10
 1
 10 
= ∑   2 20− 2 k  x 5 


k = 0 k 


10
10 − k
⋅2
10 − k k
 10  20− 3 k
 2
(x) 5 + 3 .
k = 0

10
∑  k
n(n − 1)
= 56 ⇒
2
10 − k 
)

−k 


k
3
10  10 

 x  = ∑   22 5 x
 
 2 
k = 0 k 


1
x3
k
(
) (
10 − k 3
x ⋅ 2 −1
10

k
10 − k
 = ∑  10  2 20− 3 k ( x ) 5 ⋅ ( x ) 3 =



k = 0 k 

)
k
=
Kemal Halilović,profesor matematike Brčko
Sdruge strane je x
4
4
x5
14
x5
pa možemo pisati uvjet:
30 − 3k + 5k = 42 ⇒ k = 6 .Dakle sedmi član.
25
x =x ⋅
4
2
=
10− k
k
14
⇔
+
=
5
3
5
12
3
2

8. Odrediti redni broj onog člana razvoja binoma  3 x 2 +
x  ,koji sadrži
3

4
7
x .
Rješenje
Tkn+1
 n
 12  3

=  a n− k b k =   3 x 2 

k
 k  4
= m( x )
2 (12 − k )
3
(x)
k
2
=
12− k
k
2

x = m


3
( x ) ( x)
3
2
12 − k
k
2(12− k ) k
+
2
mx 3
Kako se traži onaj član koji sadrži x 7 to mora biti
 2
= m x 3 




12 − k
k
 1
x2  =




2(12− k ) k
= 7
+
3
2
7
odavdje je
4(12 − k ) + 3k = 42 ⇒ k = 6 .Dakle sedmi član razvoja binoma sadrži x .

1
9. Naći za koje vrijednosti x u razvoju binoma  2 x +
2 x −1

n

 zbir trećeg i petog


člana iznosi 135,ako je zbit binomnih koeficijenata tri posljednja člana 22.
Rješenje
 n   n   n
 + 
 +   = 22 a prema osobini binomnih
Prema uvjetu u zadatku je 
 n − 2   n − 1  n 
 n  n  n
koeficijenata
koeficijenata to je isto što i   +   +   = 22 ⇔
2
1
0
     
n(n − 1)
+ n + 1 = 22 ⇔
2

1
n + n − 42 = 0 ⇔ n = 6 Sada se može pisati  2 x +
2 x −1

2
n
x −1 
 x

−
 = 22 + 2 2 






6
Pa prema drugom uvjetu je
4
2 x +1
2
2
4
x
x −1
x
x −1 
 6  2   − 2 
 6    −
  2
2
+   2 2   2 2  = 135


 2   
 4   


2x
1− x
x
2− 2 x
15 ⋅ 2 ⋅ 2
+ 15 ⋅ 2 ⋅ 2
= 135
2
4
+ 2 2− x = 9 ⇔ 2 ⋅ 2 x + x = 9 ⇔ 2 2 x − 9 2 x + 4 = 0
2
( )
( )
Uvedemo li smjenu 2 x = t slijedi jednadžba 2t 2 − 9t + 4 = 0 te je t 1 = 4 ∨ t 2 =
Sada je 2 x = 4 ∨ 2 x =
1
te je x1 = 2 ∨ x 2 = −1
2
******moguće su štamparske greške******
1
2