Áreas y Volumenes

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APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
I.VOLUMEN Y LONGITUD DE ARCO: sea
f :  a, b  R una función
continua, y sea S el sólido de revolución obtenido por la
rotación en torno al eje x de la regio plana R, limitada
por la curva: y  f ( x) , el eje x
y las rectas x=a
y
x=b. entonces el volumen de S es:
2
 f ( x)  dx
a
V 
b
y la longitud de arco es: L  
b
a
1  ( y)2 dx
Ejemplo. Hallar el volumen del tronco de cono engendrado por
la rotación alrededor OX del área limitada por y = 6 − x, y =
0, x = 0, x = 4.
Ahora si se considera la región S que se ubica entre dos
curvas y  f ( x) y
y  g ( x) entre las rectas verticales x  a y ,
x  b donde f y g son funciones continuas y g ( x)  f ( x) para
toda x en
a, b
y la rotación es en torno al eje x, el volumen
está dado por la relación:
Definición: El volumen del sólido generado al girar la región
R sobre el eje x (o algún eje paralelo a él) viene dado por:
V    ( f ( x)
b
a
2
   g ( x)
2
)dx
Sí el eje de rotación es el eje y (o un eje paralelo a él)
tiene una expresión análoga a la anterior. Luego podemos ver
que:
V    ( f (y)
d
c
2
   g (y) )dy
2
es una expresión válida que evalúa el volumen de un sólido
generado al girar una región R sobre el eje y (o algún eje
paralelo a él) con: c  y  d
METODO DE LOS CASQUILLOS CILÍNDRICOS.
Ahora vamos a exponer el último método, quizás el más
potente en comparación a los dos anteriormente vistos; el
método de los casquillos cilíndricos (también se le denomina
método de capas). Antes de trabajar con este método,
consideremos la siguiente figura y la rotación al eje Y:
El procedimiento a seguir ahora es de hallar el volumen de
este casquillo. El volumen correspondiente viene dado por:
Vc  2 xhx
Donde x representa el grosor del casquillo (grosor del
segmento).Ahora que la suma de todos los volúmenes de los
casquetes
cilíndricos
tomados
del
sólido,
generan
aproximadamente el volumen del sólido.
b
V  2  xf ( x)dx
a
SOLUCIÓN: Como vamos a usar el método del casquillo
cilíndrico, sobre la región R trazamos un segmento que sea
PARALELO al eje de rotación, como se muestra en la figura de
abajo.
Determinemos ahora el radio y la altura del casquillo. El
radio r del casquillo en nuestro caso es x; la altura h del
x
casquillo es, como se puede ver en la figura, h  2 x 
2
1 
x
V  2  x  2 x  dx  2
0
2

PRACTICANDO EN CLASE
En los ejercicios 1-3 halla los volúmenes de los sólidos
generados al rotar las regiones acotadas por las rectas y
las curvas que se dan alrededor del eje x.
1. y  9  x 2
2. y  Cosx
3. y  Secx
,
y0
, 0 x
,

2
y0 , x
, x0 ,
y0

4

, x
4
Grafique la región limitada por las curvas y calcule el área.
a) y  x2 con la recta y  2x + 3
b) el eje de abscisas, la recta y  x + 1 y la recta x  4
c) el eje de abscisas, la curva y  x2  1 y la recta x  2
d) y  x2 + 2x  1 con la recta y   x  1
e) y2  4x con la recta y  2x  4
f) y  lnx, el eje de abscisas y las rectas x  2, x  10
g) y  x2 con la recta y  3  2x
h)
con y  x2
i) y  4  x2 con la recta y  x + 2
Ejemplo. Hallar el volumen del tronco de cono engendrado
por la rotación alrededor OX del área limitada por y = 6 −
x, y = 0, x = 0, x = 4.
TRABAJO Y AREA DE UNA SUPERFICIE:
El área A, de una superficie de revolución generada mediante la rotación de
una curva plana C alrededor de un eje externo a tal curva sobre el mismo
plano, es igual a su longitud L, multiplicada por la distancia, d recorrida por
su centroide en una rotación completa alrededor de dicho eje:
A  2 Ld
Pappus de Alejandría, Paul Guldin
Cuando f sea positiva y tenga derivada continua, definimos el área superficial
de la superficie obtenida al girar la curva y  f ( x) , a  x  b ,en torno al eje x:
S   2 f ( x) 1   f ( x)  dx
b
2
a
Y si la curva se describe por: x  g (y) , c  y  d , el área se convierte en:
S   2 y 1   g ( y ) dy
d
2
c
Si la rotación es torno al eje y tendremos:
S   2 x 1   f ( x) dx
b
2
a
Donde el elemento ds  1   f ( x) dx , es llamado diferencial de área.
2
Ejemplo: En la curva y  4  x 2
,
x  1. Calcular el área de la superficie
generada al rotar ese arco alrededor del eje x.
Solución:
S   2 f ( x) 1   f ( x) dx
1
2
1
Donde: y  4  x 2
f ( x) 
x
4  x2
,
 f ( x)
1   f ( x)  
2
2
4  x2

2
f ( x)
1
S   4 dx  8 2 , es el área de la superficie buscada.
1
Ejemplo: Dada la función y  x 2 , en los puntos (1,1) y (2,4) que rota alrededor
del eje y. Calcular el área de la superficie generada .
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