用二阶导数检测法求极值

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4.3
求各函数的所有相对极值。可利用二阶导数检测法求极值。
8. f ( x)  x 2  1
1
1


1
f ' ( x )  ( x 2  1) 2 ( 2 x )  x( x 2  1) 2
2
导数 x=0
f ( x)"  ( x  1)
2

1
2
3
1
3



1
 x[ ( x 2  1) 2 (2 x)]  ( x 2  1) 2  [ x 2 ( x 2  1) 2 ]
2
利用二阶导数检测法
点
f(x)”的符号
(0,1)
f(0)=1>0
13. 求图形反曲点。
结论
相对极小值(0,1)
f ( x)  ( x  1) 3 ( x  5)
f ( x)'  3( x  1) 2  1 ( x  5)  ( x  3) 3  1  ( x  1) 2 [3x  15  x  1]  ( x  1) 2 (4 x  16)
f ( x)"  2( x  1)(1)( 4 x  16)  ( x  1) 2 (4)  ( x  1)(8 x  32  4 x  4)  ( x  1)(12 x  36)
x  1, x  3
 反曲點(1,0)(3,-16)
4.4
8.求体积 将一个 6 英吋乘以 6 英吋的正方形材料四个角各切掉一个正
方形做成无盖的盒子。求此盒子的最大体积为何?
体积=(6-2x) 2 x
 f ( x)'  2(6  2 x)( 2)  (6  2 x) 2  1  (6  2 x)( 4  6  2 x)  (6  2 x)( 2  2 x)
x  3, x  1
f (1)  16
f (3)  3
16立方英吋
12.求函数 f ( x)  x 2  1 的图形上最接近(0,4)的点。
y  x2 1
d
(x - 0) 2  (y - 4) 2 
x 2  (x 2  1 - 4) 2 
x 2  (x 2 - 3) 2
 f(x)  x 2  x 4 - 6x 2  9
f(x)' '  2x  4x 3 - 12x  4x 3 - 10x  2x(2x 2 - 5)
x  0, x  
f( 

  

5
2
5
7
)
2
2
5 7
, 
2 2 
4.5
求产品有最大收入 R 时的数量 x。
1.R=800x-0.2x 2
dR
 800  0.4 x
dA
0.4 x  800
x  2000
 2000單位
7.平均成本 若成本函数 C= 2 x 2  5 x  18 ,求使平均成本最低的产量。验
证此时边际成本和平均成本是相等。
2x 2  5x  18
18
c
 2x  5 
x
x
dc
18
 2  (- 2 )
dx
x
18
 2  18  2x 2  x 2  9
2
x
 x  3(負不合 )
 3單位
4.6
试求垂直渐近线和水平渐近线。
x2  2
2. f ( x)  2
x x2
f ( x) 
x2  2
x2  2
=
x 2  x  2 ( x  1)( x  2)
垂直渐近线:x=-1,x=2
水平渐近线:因为分子的次方等于分母的次方所以 y=1
求极限
lim -
8. x -2
lim -
x  -2
1
=
(x  2) 2
9. lim
x 3
lim
x 3
1
(x  2) 2

x4
x3
x4

x  3 =-
x2
10. xlim
2
4  x - 16
x2
lim
=
x 4  x 2 - 16
2x - 1
x   3x  2
12. lim
2x - 1 2
=
x   3x  2
3
lim
13. lim
x 
3x
4x 2 - 1
3
x
3x
0
=
1
x   4x 2 - 1
4
lim
x2
5x 2
14. xlim
 
x3
5x 2
lim
=
x   x  3
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