PRÁCTICA 2
DIAGRAMAS DE BLOQUES
Domingo VICARIO SAIZ
Ricardo MARTÍNEZ ESPINOSA
REGULACIÓN AUTOMÁTICA
29 DE SEPTIEMBRE DE 2014
REGULACIÓN AUTOMÁTICA
PRÁCTICA 2
1
En control, es habitual representar un sistema por un diagrama de
bloques formado por una señal continua de entrada X(s), una señal continua de salida Y(s) y una función de transferencia G(s) que representa
cómo evoluciona en el tiempo la salida en función de la entrada.
Sea el diagrama de bloques siguiente, donde G(s)=10s/(2s2+s+3).
1.1
¿Cuál es la función de transferencia entre las señales Y y X?
La función de transferencia es G0:
G0=tf([10,0],[2,1,3])
Transfer function:
10 s
------------2 s^2 + s + 3
1.2
¿Cuáles son los polos y ceros de G(s)?
Los polos son:
pole(G0)
ans =
-0.2500 + 1.1990i
-0.2500 - 1.1990i
Los ceros son:
zero(G0)
ans =
0
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2
Encontrar una función de transferencia G(s) que tenga un cero en
-7, un polo en 0 y dos polos complejos conjugados.
Para que una función de transferencia tenga un cero en -7 hay que buscar un polinomio para el
numerador de la función de transferencia cuya raíz sea -7. La solución más rápida es escribir
el polinomio factorizado:
x+7
Para que una función de transferencia tenga un polo en 0 y dos polos complejos conjugados
hay que buscar un polinomio para el denominador de la función de transferencia cuyas raíces
sean 0 y complejos. La solución más rápida es escribir el polinomio factorizado:
s ( s 2 + 1) = s3 + s
La función de transferencia G0 que cumple dichas condiciones es:
G0=tf([1,7],[1,0,1,0])
Transfer function:
s + 7
------s^3 + s
zero(G0)
ans =
-7
pole(G0)
ans =
0
0 + 1.0000i
0 - 1.0000i
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3
Matlab permite la operación con funciones de transferencia (sumar,
multiplicar, etc.), sin embargo hay que ser conscientes que cuando
Matlab hace estos cálculos, no suele simplificar las funciones de transferencia resultantes, quedando funciones de transferencia aparentemente
diferentes. En control siempre se trabaja con la expresión más simple de
una función de transferencia, por lo que si Matlab no la obtiene, habrá
que simplificar los factores a mano. Sin embargo Matlab si puede encontrar los factores comunes.
Sea el diagrama de bloques siguiente, donde G1(s)=10(s+1)/(2s2+s+3) y
G2=3s/(s+1)
3.1 Simplifica teóricamente de la forma más reducida posible el diagrama de bloques anterior ¿Cuál es la función de transferencia G3(s) entre las señales Y y X?
G=
3( s ) G1( s ) ⋅ G 2( s )
G3(=
s)
10( s + 1)
3s
⋅
=
2
2 s + s + 3 ( s + 1)
30 s
2s + s + 3
2
3.2 Usando Matlab multiplica las funciones de transferencia G1(s) y
G2(s) obteniendo la función de transferencia G4(s) entre las señales Y y
X. Compara esta función con la obtenida en el apartado 3.1.
Se introduce las funciones de transferencia en MATLAB y se multiplican
G1=tf([10,10],[2,1,3]);
G2=tf([3,0],[1,1]);
G4=G1*G2
Transfer function:
30 s^2 + 30 s
----------------------2 s^3 + 3 s^2 + 4 s + 3
MATLAB no ha simplificado el término (s+1) que se anula el numerador con el denominador.
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3.3 Usando Matlab y a partir de la función G4(s) obtenida en el apartado 3.2, transfórmala a una representación cero/polo/ganancia llamada
G5(s). Compárala con G3(s) y G4(s).
Para hacer dicha transformación se utiliza la instrucción zpk()
G5=zpk(G4)
Zero/pole/gain:
15 s (s+1)
-----------------------(s+1) (s^2 + 0.5s + 1.5)
Al factorizarla se puede ver cómo se pueden anular del numerador y del denominador (s+1),
aunque MATLAB no lo hace. Si se anulan queda igual que la función G3(s); al dejarlo tal
como está resulta igual que G4(s), pero factorizado.
3.4 Usando Matlab, ¿Cuáles son los polos y ceros de las funciones de
transferencia resultantes G3(s), G4(s) y G5(s)? ¿Son iguales las funciones de transferencia?
Primero se introduce G3(s) en MATLAB, ya que se ha calculado en papel y después se buscan los polos y ceros de todas las funciones:
G3=tf([30,0],[2,1,3]);
zero(G3)
ans =
0
zero(G4)
ans =
0
-1
zero(G5)
ans =
0
-1
pole(G3)
ans =
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-0.2500 + 1.1990i
-0.2500 - 1.1990i
pole(G4)
ans =
-0.2500 + 1.1990i
-0.2500 - 1.1990i
-1.0000
pole(G5)
ans =
-0.2500 + 1.1990i
-0.2500 - 1.1990i
-1.0000
Son iguales, salvo el cero y el polo que genera (s+1) en el numerador y denominador en las
funciones G4(s) y G5(s).
3.5 Dibujar el diagrama de polos y ceros en Matlab de la función de
transferencia resultante G3(s).
Para dibujar el diagrama de polos y ceros se utiliza la instrucción pzmap():
pzmap(G3)
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4
Sea el diagrama de bloques siguiente, donde G6(s)=10/(2s2+s+3)
y G7(s)=3s/(s+1)
4.1 ¿Es posible simplificar el diagrama en un solo bloque? Justificar la
respuesta.
No, porque tiene dos entradas diferentes que actúan en bloques diferentes cuya ecuación final
es:
Y ( s ) = X 1( s ) ⋅ G 6( s ) + X 2( s ) ⋅ G 7( s )
4.2 ¿Cuál es la función de transferencia G8(s) entre las señales Y y
X2?
La función de transferencia G8(s) Es G7(s):
Y
= G 7( s )
X2
3s
G=
8( s ) G=
7( s )
s +1
G8(=
s)
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2
5
Sea el diagrama de bloques siguiente, donde G6(s)=10/(2s +s+3)
y G7(s)=3s/(s+1)
5.1 Simplifica de la forma más reducida posible el diagrama de bloques
anterior ¿Cuál es la función de transferencia G9(s) entre las señales Y y
X?
La solución en este caso pasa por la resta:
9( s ) G 6( s ) − G 7( s )
G=
G9(
s)
=
10
3s
−=
2
2s + s + 3 s + 1
−6 s 3 − 3s 2 + s + 10
(2 s 2 + s + 3)( s + 1)
5.2 Crea en Matlab la función de transferencia G9(s), ¿Cuáles son los
polos y ceros?
Se realiza la operación anterior, pero en MATLAB:
G6=tf([10],[2,1,3]);
G7=tf([3,0],[1,1]);
G9=G6-G7
Transfer function:
-6 s^3 - 3 s^2 + s + 10
----------------------2 s^3 + 3 s^2 + 4 s + 3
pole(G9)
ans =
-0.2500 + 1.1990i
-0.2500 - 1.1990i
-1.0000
zero(G9)
ans =
-0.7904 + 0.9577i
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-0.7904 - 0.9577i
1.0809
5.3
Dibujar el diagrama de polos y ceros en Matlab de G9(s).
Para dibujar el diagrama de polos y ceros se utiliza la instrucción pzmap():
pzmap(G9)
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6
El sistema más usado en control es el sistema en lazo cerrado con
realimentación negativa. Además es frecuente que los sistemas queden
expresados en función de algún parámetro de sintonía. Dichos parámetros son ajustables y cambian el comportamiento del sistema en función
de su valor. Por otro lado una de las operaciones que surgen bastante
en control es el cálculo de límites para estudiar distintos comportamientos de los sistemas.
Sea el diagrama de bloques siguiente (denominado sistema en lazo cerrado con realimentación negativa), donde X(s) se denomina referencia,
E(s) error, Y(s) salida, y las funciones de transferencia son
G11(s)=0.5/(s2+1.25s+0.125) y T(s)=K siendo K una constante.
6.1 Simplifica de la forma más reducida posible el diagrama de bloques
anterior y obtén manualmente la función de transferencia H1(s) entre las
señales Y y X, manteniendo la función de transferencia T(s)=K.
De lo que se conoce de los dos diagramas es:
Y (s)
X (s)
Y ( s ) = E ( s ) ⋅ T ( s ) ⋅ G11( s )
E=
( s) X ( s) − Y ( s)
H1 =
Resolviendo el sistema:
Y (s) =
[ X ( s) − Y ( s)] ⋅ T (s) ⋅ G11(s)
Y ( s ) = X ( s ) ⋅ T ( s ) ⋅ G11( s ) − Y (s) ⋅ T ( s ) ⋅ G11( s )
Y ( s ) [1 + T ( s ) ⋅ G11( s ) ] = X ( s ) ⋅ T ( s ) ⋅ G11( s )
H=
1( s )
Y (s)
T ( s ) ⋅ G11( s )
=
X ( s ) 1 + T ( s ) ⋅ G11( s )
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La función de transferencia es:
T ( s ) ⋅ G11( s )
1 + T ( s ) ⋅ G11( s )
0,5k
0,5k
2
2
s + 1, 25s + 0,125
s + 1, 25s + 0,125
=
H 1( s ) =
0,5k
0,5k + s 2 + 1, 25s + 0,125
1+ 2
s + 1, 25s + 0,125
s 2 + 1, 25s + 0,125
H 1( s ) =
H 1( s ) =
(0,5k )( s 2 + 1, 25s + 0,125)
(0,5k )( s 2 + 1, 25s + 0,125) + ( s 2 + 1, 25s + 0,125) 2
H 1( s ) =
0,5k
s + 1, 25s + 0,125 + 0,5k
2
6.2 Sea K=0.5. Usando Matlab obtén la función de transferencia mas
simple H2(s), ¿Cuáles son los polos y ceros de la función de transferencia resultante H2(s)?
Con la instrucción minreal() se simplifica la función de transferencia:
G11=tf([0.5],[1,1.25,0.125]);
H2=(0.5*G11)/(1+0.5*G11)
Transfer function:
0.25 s^2 + 0.3125 s + 0.03125
--------------------------------------------s^4 + 2.5 s^3 + 2.063 s^2 + 0.625 s + 0.04688
H2=minreal(H2)
Transfer function:
0.25
-------------------s^2 + 1.25 s + 0.375
Y con los polos se calcula con pole() y los ceros con zero():
pole(H2)
ans =
-0.7500
-0.5000
zero(H2)
ans =
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Empty matrix: 0-by-1
6.3 Sea K=0.5. Dibujar el diagrama de polos y ceros en Matlab de la
función de transferencia resultante H2(s)
La instrucción para ver el diagrama es pzmap()
pzmap(H2)
6.4 ¿Podría encontrar un valor de K constante que diera una función
de transferencia reducida H3(s) con polos complejos? En caso afirmativo, da el valor de K y los polos obtenidos ¿Qué otra diferencia encuentras entre la función H2(s) obtenida en el apartado 6.2 y la obtenida
ahora?
Para que en una función de transferencia los se obtengan polos complejos las raíces del polinomio del denominador han de ser en números complejos. Para ello se resuelve la ecuación:
s 2 + 1, 25s + 0,125 + 0,5k =
0
Si la solución a las ecuaciones de segundo grado es:
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−b ± b 2 − 4ac
s=
2a
Para conseguir raíces complejas el radicando de la raíz ha de ser negativo, por lo que:
b 2 − 4ac < 0
1, 252 − 4 ⋅1 ⋅ (0,125 + 0,5k ) < 0
k > 0,53125
Para comprobarlo se da un valor aleatorio a k que cumpla la condición calculada, por ejemplo
k = 0,6
G11=tf([0.5],[1,1.25,0.125]);
H3=(0.6*G11)/(1+0.6*G11);
H3=minreal(H3)
Transfer function:
0.3
-------------------s^2 + 1.25 s + 0.425
>> pole(H3)
ans =
-0.6250 + 0.1854i
-0.6250 - 0.1854i
La diferencia entre H3(s) y H2(s) es que H3(s) tiene polos complejos y H2(s) no.
6.5 Sea K=0.5. ¿Cuál es la función de transferencia H4(s) entre las señales E y X? Evaluar matemáticamente el siguiente límite:
1
lim H 4 (s ) = lim
s →0
s →0 s
Partiendo del apartado 6.1 y este diagrama se conoce que:
E ( s)
X (s)
Y ( s ) = E ( s ) ⋅ T ( s ) ⋅ G11( s )
E=
(s) X (s) − Y (s)
H4 =
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Resolviendo:
E=
(s) X (s) − Y (s)
E ( s ) = X ( s ) − E ( s ) ⋅ T ( s ) ⋅ G11( s )
E ( s ) ⋅ [1 + T ( s ) ⋅ G11( s ) ] =
X (s)
E (s)
1
=
X ( s ) 1 + T ( s ) ⋅ G11( s )
H=
4( s )
Despejando:
1
s 2 + 1, 25s + 0,125
H 4( s ) = 2
=
0,5 ⋅ k
s + 1, 25s + 0,125 + 0,5 ⋅ k
1+ 2
s + 1, 25s + 0,125
H 4( s ) =
s 2 + 1, 25s + 0,125
s 2 + 1, 25s + 0,125 + 0,5 ⋅ k
Para k = 0,5:
s 2 + 1, 25s + 0,125
H 4( s ) = 2
s + 1, 25s + 0,125 + 0,5 ⋅ 0,5
H 4( s ) =
s 2 + 1, 25s + 0,125
s 2 + 1, 25s + 0,375
Para evaluar el límite se aplica el Teorema del valor final que se define como:
lim =
f (t ) lim [ s ⋅ F ( s ) ]
t →∞
s →0
Resolviendo:
1 s 2 + 1, 25s + 0,125 0,125
lim H=
4( s ) lim s 2
= =
s →0
s →0 s
s + 1, 25s + 0,375 0,375
6.6
1
3
Propón una función de transferencia T(s) que haga que la función
1
H5(s) entre E y X haga que se cumpla: lim H=
lim
= 0
5 (s )
s →0
s →0 s
Para evaluar el límite se aplica el Teorema del valor final:
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1
s 2 + 1, 25s + 0,125
0,125
=
lim H 5( s ) lim s 2
= = 0
s →0
s →0 s
s + 1, 25s + 0,125 + 0,5 ⋅ k 0,125 + 0,5 ⋅ k
Para que se cumpla:
0,125
=0
0,125 + 0,5 ⋅ k
El denominador tiene que ser ±∞ por lo que:
0,125 + 0,5 ⋅ k = ±∞
k = ±∞
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