1
Limits
20.
Find the following limits, if they exist. If the
limit does not exist, state the reason.
x − x2
x→∞ x + x2
x2 − x − 2
x→2 x2 − 3x + 2
π
2. lim
x→0 4
x − x2
x→0 x + x2
22. lim
x2 + 5x − 14
x→−7
x+7
23. lim
−x2 + 6x + 8
x→−∞ 10x2 + 106
√
√
x− 3
4. lim
x→3
x−3
12 + 2x
x→∞ 6 − 2x
lim
24. lim
25. lim
x→∞
2x2 h − 2xh + 25h2
√
h→4
h−5
√
2h + 4 − 2
6. lim
h→0
h
x→3
26. lim
x2 + 7x + 10
x→−2
x+2
27. lim
6x3 + x2 + 7x − 2
x→∞
5x2 + 2x − 1
(2x + 1)3 (x − 5)4
√
(x − 3)3 9 − x
28. lim
ex + e−x
x→∞ ex − e−x
x2 + 2x
x→0 x3 − 3x
29. lim
8. lim
2x2 + 6x + 3
9. lim
x→∞ 8 + 3x − 5x2
√
√
3−x− 3
10. lim
x→0
x
11. lim
x→2
12. lim
x→1
30. lim−
x→3
x→−2
32. lim
x→−5 x2
(x + 2)2 − 4
x→0
x
(x + 2)(x − 1)
x2 − 6x + 5
34. lim+ π
x→0
2
lim
15. lim−
x→3
35. lim −2h
h→∞
36. lim−
(y − 1)(y − 2)
y+1
37. lim+
x4 − 1
x−1
y→2
x2 |x − 3|
x−3
x→1
2
16. lim
x→2
x+5
+ 4x − 5
33. lim
3x + 5x − 7
x→−∞
5x − 4x3
√
√
5+h− 5
14. lim
h→0
h
13.
10x3 − x2
x−3
31. lim (2x2 − 6x + 5)2
x+3
x−4
3
2x − 5
+x+1
x2
x2 − x − 12
x→4
x−4
5. lim
7. lim−
x→−3−
21. lim
1. lim
3.
x−3
x+3
lim
x + 3x − 10
x−2
38.
lim
x→−∞
x−2
x2 + 2x + 1
39. lim
x
|x|
2x2 − 3x + 7
x→∞
x3 − 3
40. lim
sin 2h
h
x2 − 3x + 2
x→2 x2 + x − 6
41. lim
17. lim e−x + 1
x→∞
x→0
18. lim
h→0
t2 − t − 2
t→2 t2 − 3t + 2
19. lim
1
h2 + h + 1
√
h→3
h+6
√
√
2+x− 2−x
43. lim
x→0
x
42. lim
x→3 x2
1 − t2 + 2t3
t→∞
t − 5t3
64. lim
3x4 − 2x2 + 1
x→∞ 7x4 + 6x3 + x
√
x2 + 2x + 2
45. lim
x→−∞
x
sin2 3x
x→0
x2
44. lim
65. lim
66. lim+
x→7
x2 − 2x + 3
√
46. lim
x→2
8x
1
5+h
47. lim
−
48. lim+
x→1
3x
x→0 sin 5x
1
5
68.
x2 + 2x − 3
x2 − 2x + 1
2
2 − 3x2
+ 5x − 7
lim
x→−∞ 2x2
69. lim
9 − x2
x2 − 6x + 9
70.
sin y
cos y − 1
x→3−
−2
x −x
4x2 + 4x−2
r
3 28 + r
50. lim
r→−1
r
49. lim
x→∞
lim
y→π/2
x2 + 3x − 4
x→1
x−1
√
5−x
72. lim−
x−5
x→5
√
√
x+2− 2
73. lim
x→0
x
71. lim
x2 + 6x + 5
x→−∞
3x2 + 4
√
x−3
52. lim
x→9 x − 9
51.
3x − 21
− x − 42
x2
67. lim
h
h→0
(x − 3)2
− 5x + 6
63. lim
lim
(x + 2)(x2 − 3x + 5)
x→−2
x2 + 3x + 2
53. lim
x2 + 3x
x→∞ 1 − x2 − x3
74. lim
x2 + x − 6
x→−3 x2 − 6x + 8
√
x+9−3
55. lim
x→0
x
54. lim
2x2 − 12x
x→6 x2 + x − 42
√
3 − 25 − x2
76. lim
x→−4
x+4
75. lim
3x3 − 4x2 + 6x − 5
x→∞ 3 + x − x2 − 2x3
56. lim
x2
x→0 sin2 3x
x3 − 1
57. lim
x→0 x − 1
√
x+4−2
58. lim
x→0
x
77. lim
x3
x→−∞ 4 + x2
√
1− x
79. lim
x→1 x − 1
78.
x2 + 3x − 10
x→2
x2 − 4
√
2− 4−x
60. lim
x→0
3x
√
x2 + 1
61. lim
x→−∞ 3x − 1
59. lim
62. lim
x→π
lim
80. lim
x→0
x
sin 4x
2x3 + 12x2 − 18x
x→∞
x3 − x − 12
81. lim
2 cos2 x − 1
sin2 x − 1
x2 − 3x − 10
x→5 x2 + 2x − 35
82. lim
2
83. Given the function
 8x3 +16x2


x+2



f (x) =
3





sin πx
x
94. Given the function

x2 −1

 x2 −x−2
3
f (x) =
√

x−2

if x < − 12
if x = − 12
x−4
if x > − 21
Evaluate the limits
(a) lim f (x)
Find the limits
x→0
(b) lim f (x)
(a) lim f (x)
x→4
x→0
(b)
(c)
(d)
(c) lim f (x)
lim f (x)
x→−1
x→− 12
(d) lim f (x)
x→2
lim f (x)
x→−2+
(e)
x→−∞
95. lim
x→0
84. Given the function
y=
|x| − x
x
96.
97.
Find the limits
x→0
x→0
x→−3
x2 − 4x + 4
x2 − 9x
√
x + 16 − 4
x→0
x
86. lim
ln x sin(x − 1)
87. lim
x→1
x−1
y→A
−
x→4
1
y2
y−A
sin 3x
x cos x
√
10x2 − 5x + 3
91. lim
x→∞
1 − 3x
90. lim
x→0
92. lim−
x→2
x2
102. lim+
x3 − 7x4
x→∞ 3x4 − 5x3
1
A2
lim −
x2 − 25
+ 10x + 25
2x2 + 5x − 3
x→−3 3x2 + x − 24
x
sin x
100. lim
+
x→0 3 sin x
3x
2x
x
101. lim e +
x→−∞
x+1
88. lim
89. lim
4x + 3
3x2 + 5
99. lim
(c) lim y
r
lim
x→−∞
√
25 − x2 − 4
98. lim
x→3
x−3
x→0
(b) lim− y
sin 3x
sin 2x
x→−5
(a) lim+ y
85. lim
lim f (x)
x→−∞
lim f (x)
(3x + 4)2
x2 − x − 2
4 − x2
x→2 x2 − 3x + 2
93. lim
3
2−x
(x − 4)2
if x < 0
if x = 0
if x > 0
Answers:
33. 4
34. π
1. 3
2.
π
4
35. −∞
1
3. − 10
36. 0
4.
1
√
2 3
37. 4
5.
8x2 −8x+400
−3
38. 0
6.
1
2
39. Does not exist
40. 2
7. −∞
8. − 23
41. 3
9. − 25
42.
13
3
43.
√1
2
11. − 52
44.
3
7
12. − 34
45. −1
13. − 34
46.
1
10. − 2√
3
14.
3
4
1
47. − 25
1
√
2 5
15. −9
48. ∞
16. 7
49.
17. 1
50. −3
18. 0
51.
1
3
1
5
52.
1
6
19.
1
4
20. ∞
53. −15
21. −1
54. 0
22. 1
55.
23. −9
56. − 32
24. −1
57. 1
25. 0
58.
1
4
26. 7
59.
7
4
27. 3
60.
1
12
28. ∞
61. − 13
29. 1
62. −1
30. −∞
63. 0
31. 625
64. − 25
32. − 61
65. 9
4
1
6
66.
3
13
(b)
67.
3
5
(c)
68.
− 32
(d)
95.
70. −1
3
2
96. 0
71. 5
97. ∞
72. −∞
98. − 34
1
√
2 2
99.
74. 0
75.
100.
12
13
79. − 12
1
4
81. 2
82.
7
12
83. (a) π
(b) 2
(c) 32
(d) ∞
84. (a) 0
(b) −2
(c) Does not exist
85.
5
6
86.
1
8
87. 0
88. − 73
89.
2
A3
90. 3
91. −
√
10
3
92. −∞
93. −4
94. (a)
2
3
102. −∞
1
9
78. −∞
80.
7
17
101. 2
76. − 43
77.
√
2− 2
2
(e) 1
69. ∞
73.
1
4
2
3
1
2
5