1300 Math Formulas
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
fp_k= =VVQVNMTTQN=
=
`çéóêáÖÜí=«=OMMQ=^KpîáêáåK=^ää=oáÖÜíë=oÉëÉêîÉÇK=
=
qÜáë=é~ÖÉ=áë=áåíÉåíáçå~ääó=äÉÑí=Ää~åâK=
i
Preface
=
=
=
=
qÜáë= Ü~åÇÄççâ= áë= ~= ÅçãéäÉíÉ= ÇÉëâíçé= êÉÑÉêÉåÅÉ= Ñçê= ëíìÇÉåíë= ~åÇ= ÉåÖáåÉÉêëK= fí= Ü~ë= ÉîÉêóíÜáåÖ= Ñêçã= ÜáÖÜ= ëÅÜççä=
ã~íÜ=íç=ã~íÜ=Ñçê=~Çî~åÅÉÇ=ìåÇÉêÖê~Çì~íÉë=áå=ÉåÖáåÉÉêáåÖI=
ÉÅçåçãáÅëI=éÜóëáÅ~ä=ëÅáÉåÅÉëI=~åÇ=ã~íÜÉã~íáÅëK=qÜÉ=ÉÄççâ=
Åçåí~áåë= ÜìåÇêÉÇë= çÑ= Ñçêãìä~ëI= í~ÄäÉëI= ~åÇ= ÑáÖìêÉë= Ñêçã=
kìãÄÉê= pÉíëI= ^äÖÉÄê~I= dÉçãÉíêóI= qêáÖçåçãÉíêóI= j~íêáÅÉë=
~åÇ= aÉíÉêãáå~åíëI= sÉÅíçêëI= ^å~äóíáÅ= dÉçãÉíêóI= `~äÅìäìëI=
aáÑÑÉêÉåíá~ä=bèì~íáçåëI=pÉêáÉëI=~åÇ=mêçÄ~Äáäáíó=qÜÉçêóK==
qÜÉ= ëíêìÅíìêÉÇ= í~ÄäÉ= çÑ= ÅçåíÉåíëI= äáåâëI= ~åÇ= ä~óçìí= ã~âÉ=
ÑáåÇáåÖ= íÜÉ= êÉäÉî~åí= áåÑçêã~íáçå= èìáÅâ= ~åÇ= é~áåäÉëëI= ëç= áí=
Å~å=ÄÉ=ìëÉÇ=~ë=~å=ÉîÉêóÇ~ó=çåäáåÉ=êÉÑÉêÉåÅÉ=ÖìáÇÉK===
=
=
ii
Contents
=
=
=
=
1 krj_bo=pbqp=
NKN= pÉí=fÇÉåíáíáÉë==1=
NKO= pÉíë=çÑ=kìãÄÉêë==5=
NKP= _~ëáÅ=fÇÉåíáíáÉë==7=
NKQ= `çãéäÉñ=kìãÄÉêë==8=
=
2 ^idb_o^=
OKN= c~ÅíçêáåÖ=cçêãìä~ë==12=
OKO= mêçÇìÅí=cçêãìä~ë==13=
OKP= mçïÉêë==14=
OKQ= oççíë==15=
OKR= içÖ~êáíÜãë==16=
OKS= bèì~íáçåë==18=
OKT= fåÉèì~äáíáÉë==19=
OKU= `çãéçìåÇ=fåíÉêÉëí=cçêãìä~ë==22=
=
3 dbljbqov=
PKN= oáÖÜí=qêá~åÖäÉ==24=
PKO= fëçëÅÉäÉë=qêá~åÖäÉ==27=
PKP= bèìáä~íÉê~ä=qêá~åÖäÉ==28=
PKQ= pÅ~äÉåÉ=qêá~åÖäÉ==29=
PKR= pèì~êÉ==33=
PKS= oÉÅí~åÖäÉ==34=
PKT= m~ê~ääÉäçÖê~ã==35=
PKU= oÜçãÄìë==36=
PKV= qê~éÉòçáÇ==37=
PKNM= fëçëÅÉäÉë=qê~éÉòçáÇ==38=
PKNN= fëçëÅÉäÉë=qê~éÉòçáÇ=ïáíÜ=fåëÅêáÄÉÇ=`áêÅäÉ==40=
PKNO= qê~éÉòçáÇ=ïáíÜ=fåëÅêáÄÉÇ=`áêÅäÉ==41=
iii
PKNP= háíÉ==42=
PKNQ= `óÅäáÅ=nì~Çêáä~íÉê~ä==43=
PKNR= q~åÖÉåíá~ä=nì~Çêáä~íÉê~ä==45=
PKNS= dÉåÉê~ä=nì~Çêáä~íÉê~ä==46=
PKNT= oÉÖìä~ê=eÉñ~Öçå==47=
PKNU= oÉÖìä~ê=mçäóÖçå==48=
PKNV= `áêÅäÉ==50=
PKOM= pÉÅíçê=çÑ=~=`áêÅäÉ==53=
PKON= pÉÖãÉåí=çÑ=~=`áêÅäÉ==54=
PKOO= `ìÄÉ==55=
PKOP= oÉÅí~åÖìä~ê=m~ê~ääÉäÉéáéÉÇ==56=
PKOQ= mêáëã==57=
PKOR= oÉÖìä~ê=qÉíê~ÜÉÇêçå==58=
PKOS= oÉÖìä~ê=móê~ãáÇ==59=
PKOT= cêìëíìã=çÑ=~=oÉÖìä~ê=móê~ãáÇ==61=
PKOU= oÉÅí~åÖìä~ê=oáÖÜí=tÉÇÖÉ==62=
PKOV= mä~íçåáÅ=pçäáÇë==63=
PKPM= oáÖÜí=`áêÅìä~ê=`óäáåÇÉê==66=
PKPN= oáÖÜí=`áêÅìä~ê=`óäáåÇÉê=ïáíÜ=~å=lÄäáèìÉ=mä~åÉ=c~ÅÉ==68=
PKPO= oáÖÜí=`áêÅìä~ê=`çåÉ==69=
PKPP= cêìëíìã=çÑ=~=oáÖÜí=`áêÅìä~ê=`çåÉ==70=
PKPQ= péÜÉêÉ==72=
PKPR= péÜÉêáÅ~ä=`~é==72=
PKPS= péÜÉêáÅ~ä=pÉÅíçê==73=
PKPT= péÜÉêáÅ~ä=pÉÖãÉåí==74=
PKPU= péÜÉêáÅ~ä=tÉÇÖÉ==75=
PKPV= bääáéëçáÇ==76=
PKQM= `áêÅìä~ê=qçêìë==78=
=
=
4 qofdlkljbqov=
QKN= o~Çá~å=~åÇ=aÉÖêÉÉ=jÉ~ëìêÉë=çÑ=^åÖäÉë==80=
QKO= aÉÑáåáíáçåë=~åÇ=dê~éÜë=çÑ=qêáÖçåçãÉíêáÅ=cìåÅíáçåë==81=
QKP= páÖåë=çÑ=qêáÖçåçãÉíêáÅ=cìåÅíáçåë==86=
QKQ= qêáÖçåçãÉíêáÅ=cìåÅíáçåë=çÑ=`çããçå=^åÖäÉë==87=
QKR= jçëí=fãéçêí~åí=cçêãìä~ë==88=
iv
QKS= oÉÇìÅíáçå=cçêãìä~ë==89=
QKT= mÉêáçÇáÅáíó=çÑ=qêáÖçåçãÉíêáÅ=cìåÅíáçåë==90=
QKU= oÉä~íáçåë=ÄÉíïÉÉå=qêáÖçåçãÉíêáÅ=cìåÅíáçåë==90=
QKV= ^ÇÇáíáçå=~åÇ=pìÄíê~Åíáçå=cçêãìä~ë==91=
QKNM= açìÄäÉ=^åÖäÉ=cçêãìä~ë==92=
QKNN= jìäíáéäÉ=^åÖäÉ=cçêãìä~ë==93=
QKNO= e~äÑ=^åÖäÉ=cçêãìä~ë==94=
QKNP= e~äÑ=^åÖäÉ=q~åÖÉåí=fÇÉåíáíáÉë==94=
QKNQ= qê~åëÑçêãáåÖ=çÑ=qêáÖçåçãÉíêáÅ=bñéêÉëëáçåë=íç=mêçÇìÅí==95=
QKNR= qê~åëÑçêãáåÖ=çÑ=qêáÖçåçãÉíêáÅ=bñéêÉëëáçåë=íç=pìã==97===
QKNS= mçïÉêë=çÑ=qêáÖçåçãÉíêáÅ=cìåÅíáçåë==98=
QKNT= dê~éÜë=çÑ=fåîÉêëÉ=qêáÖçåçãÉíêáÅ=cìåÅíáçåë==99=
QKNU= mêáåÅáé~ä=s~äìÉë=çÑ=fåîÉêëÉ=qêáÖçåçãÉíêáÅ=cìåÅíáçåë==102=
QKNV= oÉä~íáçåë=ÄÉíïÉÉå=fåîÉêëÉ=qêáÖçåçãÉíêáÅ=cìåÅíáçåë==103=
QKOM= qêáÖçåçãÉíêáÅ=bèì~íáçåë==106=
QKON= oÉä~íáçåë=íç=eóéÉêÄçäáÅ=cìåÅíáçåë==106=
=
=
5 j^qof`bp=^ka=abqbojfk^kqp=
RKN= aÉíÉêãáå~åíë==107=
RKO= mêçéÉêíáÉë=çÑ=aÉíÉêãáå~åíë==109=
RKP= j~íêáÅÉë==110=
RKQ= léÉê~íáçåë=ïáíÜ=j~íêáÅÉë==111=
RKR= póëíÉãë=çÑ=iáåÉ~ê=bèì~íáçåë==114=
=
=
6 sb`qlop=
SKN= sÉÅíçê=`ççêÇáå~íÉë==118=
SKO= sÉÅíçê=^ÇÇáíáçå==120=
SKP= sÉÅíçê=pìÄíê~Åíáçå==122=
SKQ= pÅ~äáåÖ=sÉÅíçêë==122=
SKR= pÅ~ä~ê=mêçÇìÅí==123=
SKS= sÉÅíçê=mêçÇìÅí==125=
SKT= qêáéäÉ=mêçÇìÅí=127=
=
=
7 ^k^ivqf`=dbljbqov=
TKN= låÉ=-aáãÉåëáçå~ä=`ççêÇáå~íÉ=póëíÉã==130=
v
TKO= qïç=-aáãÉåëáçå~ä=`ççêÇáå~íÉ=póëíÉã==131=
TKP= píê~áÖÜí=iáåÉ=áå=mä~åÉ==139=
TKQ= `áêÅäÉ==149=
TKR= bääáéëÉ==152=
TKS= eóéÉêÄçä~==154=
TKT= m~ê~Äçä~==158=
TKU= qÜêÉÉ=-aáãÉåëáçå~ä=`ççêÇáå~íÉ=póëíÉã==161=
TKV= mä~åÉ==165=
TKNM= píê~áÖÜí=iáåÉ=áå=pé~ÅÉ==175=
TKNN= nì~ÇêáÅ=pìêÑ~ÅÉë==180=
TKNO= péÜÉêÉ==189=
=
=
8 afccbobkqf^i=`^i`rirp=
UKN= cìåÅíáçåë=~åÇ=qÜÉáê=dê~éÜë==191=
UKO= iáãáíë=çÑ=cìåÅíáçåë==208=
UKP= aÉÑáåáíáçå=~åÇ=mêçéÉêíáÉë=çÑ=íÜÉ=aÉêáî~íáîÉ==209=
UKQ= q~ÄäÉ=çÑ=aÉêáî~íáîÉë==211=
UKR= eáÖÜÉê=lêÇÉê=aÉêáî~íáîÉë==215=
UKS= ^ééäáÅ~íáçåë=çÑ=aÉêáî~íáîÉ==217=
UKT= aáÑÑÉêÉåíá~ä==221=
UKU= jìäíáî~êá~ÄäÉ=cìåÅíáçåë==222=
UKV= aáÑÑÉêÉåíá~ä=léÉê~íçêë==225=
=
=
9 fkqbdo^i=`^i`rirp=
VKN= fåÇÉÑáåáíÉ=fåíÉÖê~ä==227=
VKO= fåíÉÖê~äë=çÑ=o~íáçå~ä=cìåÅíáçåë==228=
VKP= fåíÉÖê~äë=çÑ=fêê~íáçå~ä=cìåÅíáçåë==231=
VKQ= fåíÉÖê~äë=çÑ=qêáÖçåçãÉíêáÅ=cìåÅíáçåë==237=
VKR= fåíÉÖê~äë=çÑ=eóéÉêÄçäáÅ=cìåÅíáçåë==241=
VKS= fåíÉÖê~äë=çÑ=bñéçåÉåíá~ä=~åÇ=içÖ~êáíÜãáÅ=cìåÅíáçåë==242=
VKT= oÉÇìÅíáçå=cçêãìä~ë==243=
VKU= aÉÑáåáíÉ=fåíÉÖê~ä==247=
VKV= fãéêçéÉê=fåíÉÖê~ä==253=
VKNM= açìÄäÉ=fåíÉÖê~ä==257=
VKNN= qêáéäÉ=fåíÉÖê~ä==269=
vi
VKNO= iáåÉ=fåíÉÖê~ä==275=
VKNP= pìêÑ~ÅÉ=fåíÉÖê~ä==285=
=
=
10 afccbobkqf^i=bnr^qflkp=
NMKN= cáêëí=lêÇÉê=lêÇáå~êó=aáÑÑÉêÉåíá~ä=bèì~íáçåë==295=
NMKO= pÉÅçåÇ=lêÇÉê=lêÇáå~êó=aáÑÑÉêÉåíá~ä=bèì~íáçåë==298=
NMKP= pçãÉ=m~êíá~ä=aáÑÑÉêÉåíá~ä=bèì~íáçåë==302=
=
=
11 pbofbp=
NNKN= ^êáíÜãÉíáÅ=pÉêáÉë==304=
NNKO= dÉçãÉíêáÅ=pÉêáÉë==305=
NNKP= pçãÉ=cáåáíÉ=pÉêáÉë==305=
NNKQ= fåÑáåáíÉ=pÉêáÉë==307=
NNKR= mêçéÉêíáÉë=çÑ=`çåîÉêÖÉåí=pÉêáÉë==307=
NNKS= `çåîÉêÖÉåÅÉ=qÉëíë==308=
NNKT= ^äíÉêå~íáåÖ=pÉêáÉë==310=
NNKU= mçïÉê=pÉêáÉë==311=
NNKV= aáÑÑÉêÉåíá~íáçå=~åÇ=fåíÉÖê~íáçå=çÑ=mçïÉê=pÉêáÉë==312=
NNKNM= q~óäçê=~åÇ=j~Åä~ìêáå=pÉêáÉë==313=
NNKNN= mçïÉê=pÉêáÉë=bñé~åëáçåë=Ñçê=pçãÉ=cìåÅíáçåë==314=
NNKNO= _áåçãá~ä=pÉêáÉë==316=
NNKNP= cçìêáÉê=pÉêáÉë==316=
=
=
12 mol_^_fifqv=
NOKN= mÉêãìí~íáçåë=~åÇ=`çãÄáå~íáçåë==318=
NOKO= mêçÄ~Äáäáíó=cçêãìä~ë==319=
=
=
=
=
=
vii
=
qÜáë=é~ÖÉ=áë=áåíÉåíáçå~ääó=äÉÑí=Ää~åâK=
=
viii
Chapter 1
Number Sets
=
=
=
=
1.1 Set Identities
=
pÉíëW=^I=_I=`=
råáîÉêë~ä=ëÉíW=f=
`çãéäÉãÉåí=W= ^′ =
mêçéÉê=ëìÄëÉíW= ^ ⊂ _ ==
bãéíó=ëÉíW= ∅ =
råáçå=çÑ=ëÉíëW= ^ ∪ _ =
fåíÉêëÉÅíáçå=çÑ=ëÉíëW= ^ ∩ _ =
aáÑÑÉêÉåÅÉ=çÑ=ëÉíëW= ^ y _ =
=
=
1.
=
2.
=
3.
4.
5.
^ ⊂ f=
^ ⊂ ^=
^ = _ =áÑ= ^ ⊂ _ =~åÇ= _ ⊂ ^ .=
=
bãéíó=pÉí=
∅⊂^=
=
råáçå=çÑ=pÉíë==
` = ^ ∪ _ = {ñ ö ñ ∈ ^ çê ñ ∈ _}=
=
1
CHAPTER 1. NUMBER SETS
=
=====
=
Figure 1.
6.
=
7.
=
8.
=
`çããìí~íáîáíó=
^∪_ = _∪^=
^ëëçÅá~íáîáíó=
^ ∪ (_ ∪ ` ) = (^ ∪ _ ) ∪ ` =
fåíÉêëÉÅíáçå=çÑ=pÉíë=
` = ^ ∪ _ = {ñ ö ñ ∈ ^ ~åÇ ñ ∈ _} =
=
=
=====
=
Figure 2.
9.
=
10.
=
=
`çããìí~íáîáíó=
^∩_ = _∩^=
^ëëçÅá~íáîáíó=
^ ∩ (_ ∩ ` ) = (^ ∩ _ ) ∩ ` =
=
2
CHAPTER 1. NUMBER SETS
11.
=
12.
=
13.
=
14.
aáëíêáÄìíáîáíó=
^ ∪ (_ ∩ ` ) = (^ ∪ _ ) ∩ (^ ∪ ` ) I=
^ ∩ (_ ∪ ` ) = (^ ∩ _ ) ∪ (^ ∩ ` ) K=
fÇÉãéçíÉåÅó=
^ ∩ ^ = ^ I==
^∪^ = ^=
açãáå~íáçå=
^ ∩ ∅ = ∅ I=
^∪f= f=
fÇÉåíáíó=
^ ∪ ∅ = ^ I==
^∩f= ^
=
15.
16.
17.
18.
`çãéäÉãÉåí=
^′ = {ñ ∈ f ö ñ ∉ ^}
=
`çãéäÉãÉåí=çÑ=fåíÉêëÉÅíáçå=~åÇ=råáçå
^ ∪ ^′ = f I==
^ ∩ ^′ = ∅ =
=
aÉ=jçêÖ~å∞ë=i~ïë
(^ ∪ _ )′ = ^′ ∩ _′ I==
(^ ∩ _ )′ = ^′ ∪ _′ =
=
aáÑÑÉêÉåÅÉ=çÑ=pÉíë
` = _ y ^ = {ñ ö ñ ∈ _ ~åÇ ñ ∉ ^} =
=
3
CHAPTER 1. NUMBER SETS
=
=====
=
Figure 3.
=
19.
_ y ^ = _ y (^ ∩ _ )
=
20.
_ y ^ = _ ∩ ^′
21.
^y^=∅
22.
^ y _ = ^ =áÑ= ^ ∩ _ = ∅ .
=
=
=
=====
=
Figure 4.
=
23.
(^ y _) ∩ ` = (^ ∩ `) y (_ ∩ `)
24.
^′ = f y ^
25.
`~êíÉëá~å=mêçÇìÅí
` = ^ × _ = {(ñ I ó ) ö ñ ∈ ^ ~åÇ ó ∈ _}
=
=
4
=
CHAPTER 1. NUMBER SETS
1.2 Sets of Numbers
=
26.
27.
=
28.
=
29.
=
30.
k~íìê~ä=åìãÄÉêëW=k=
tÜçäÉ=åìãÄÉêëW= kM =
fåíÉÖÉêëW=w=
mçëáíáîÉ=áåíÉÖÉêëW= w + =
kÉÖ~íáîÉ=áåíÉÖÉêëW= w − =
o~íáçå~ä=åìãÄÉêëW=n=
oÉ~ä=åìãÄÉêëW=o==
`çãéäÉñ=åìãÄÉêëW=`==
=
=
k~íìê~ä=kìãÄÉêë
`çìåíáåÖ=åìãÄÉêëW k = {NI OI PI K} K=
tÜçäÉ=kìãÄÉêë
`çìåíáåÖ=åìãÄÉêë=~åÇ=òÉêçW= k M = {MI NI OI PI K} K=
fåíÉÖÉêë
tÜçäÉ=åìãÄÉêë=~åÇ=íÜÉáê=çééçëáíÉë=~åÇ=òÉêçW=
w + = k = {NI OI PI K}I=
w − = {KI − PI − OI − N} I=
w = w − ∪ {M} ∪ w + = {KI − PI − OI − NI MI NI OI PI K} K=
o~íáçå~ä=kìãÄÉêë
oÉéÉ~íáåÖ=çê=íÉêãáå~íáåÖ=ÇÉÅáã~äëW==
~


n = ñ ö ñ = ~åÇ ~ ∈ w ~åÇ Ä ∈ w ~åÇ Ä ≠ M K=
Ä


fêê~íáçå~ä=kìãÄÉêë
kçåêÉéÉ~íáåÖ=~åÇ=åçåíÉêãáå~íáåÖ=ÇÉÅáã~äëK
=
5
CHAPTER 1. NUMBER SETS
31.
oÉ~ä=kìãÄÉêë==
råáçå=çÑ=ê~íáçå~ä=~åÇ=áêê~íáçå~ä=åìãÄÉêëW=oK=
=
32.
`çãéäÉñ=kìãÄÉêë
` = {ñ + áó ö ñ ∈ o ~åÇ ó ∈ o}I==
ïÜÉêÉ=á=áë=íÜÉ=áã~Öáå~êó=ìåáíK
=
33.
k⊂ w⊂n⊂ o ⊂ `=
=
===
=
=
Figure 5.
=
=
=
=
=
=
6
CHAPTER 1. NUMBER SETS
1.3 Basic Identities
=
oÉ~ä=åìãÄÉêëW=~I=ÄI=Å=
=
=
34.
^ÇÇáíáîÉ=fÇÉåíáíó=
~+M=~ =
=
35.
^ÇÇáíáîÉ=fåîÉêëÉ=
~ + (− ~ ) = M =
=
36.
`çããìí~íáîÉ=çÑ=^ÇÇáíáçå=
~ +Ä= Ä+~ =
37.
^ëëçÅá~íáîÉ=çÑ=^ÇÇáíáçå=
(~ + Ä) + Å = ~ + (Ä + Å ) =
=
=
38.
aÉÑáåáíáçå=çÑ=pìÄíê~Åíáçå=
~ − Ä = ~ + (− Ä) =
=
39.
=
40.
41.
42.
jìäíáéäáÅ~íáîÉ=fÇÉåíáíó=
~ ⋅N = ~ =
jìäíáéäáÅ~íáîÉ=fåîÉêëÉ=
N
~ ⋅ = N I= ~ ≠ M
~
=
jìäíáéäáÅ~íáçå=qáãÉë=M
~ ⋅M = M
=
`çããìí~íáîÉ=çÑ=jìäíáéäáÅ~íáçå=
~ ⋅Ä = Ä⋅~
=
=
7
CHAPTER 1. NUMBER SETS
43.
^ëëçÅá~íáîÉ=çÑ=jìäíáéäáÅ~íáçå=
(~ ⋅ Ä)⋅ Å = ~ ⋅ (Ä ⋅ Å )
=
aáëíêáÄìíáîÉ=i~ï=
~ (Ä + Å ) = ~Ä + ~Å =
44.
=
45.
aÉÑáåáíáçå=çÑ=aáîáëáçå=
~
N
= ~⋅ =
Ä
Ä
=
=
=
1.4 Complex Numbers
=
k~íìê~ä=åìãÄÉêW=å=
fã~Öáå~êó=ìåáíW=á=
`çãéäÉñ=åìãÄÉêW=ò=
oÉ~ä=é~êíW=~I=Å=
fã~Öáå~êó=é~êíW=ÄáI=Çá=
jçÇìäìë=çÑ=~=ÅçãéäÉñ=åìãÄÉêW=êI= êN I= êO =
^êÖìãÉåí=çÑ=~=ÅçãéäÉñ=åìãÄÉêW= ϕ I= ϕN I= ϕO =
=
=
46.
=
47.
=
48.
áN = á =
á O = −N =
á P = −á =
áQ = N=
áR = á =
á S = −N =
á T = −á =
áU = N =
á Q å +N = á =
á Q å+ O = −N =
á Q å + P = −á =
á Qå = N =
ò = ~ + Äá =
`çãéäÉñ=mä~åÉ=
=
8
CHAPTER 1. NUMBER SETS
=
=====
=
Figure 6.
=
49.
=
50.
=
51.
=
(~ + Äá ) − (Å + Çá ) = (~ − Å ) + (Ä − Ç)á =
(~ + Äá )(Å + Çá ) = (~Å − ÄÇ ) + (~Ç + ÄÅ )á =
~ + Äá ~Å + ÄÇ ÄÅ − ~Ç
=
+
⋅á =
Å + Çá Å O + Ç O Å O + Ç O
52.
=
53.
(~ + Äá ) + (Å + Çá ) = (~ + Å ) + (Ä + Ç )á =
`çåàìÖ~íÉ=`çãéäÉñ=kìãÄÉêë=
|||||||
~ + Äá = ~ − Äá =
=
54.
~ = ê Åçë ϕ I= Ä = ê ëáå ϕ ==
=
9
CHAPTER 1. NUMBER SETS
=
=
Figure 7.
55.
=
56.
=
mçä~ê=mêÉëÉåí~íáçå=çÑ=`çãéäÉñ=kìãÄÉêë=
~ + Äá = ê(Åçë ϕ + á ëáå ϕ) =
jçÇìäìë=~åÇ=^êÖìãÉåí=çÑ=~=`çãéäÉñ=kìãÄÉê=
fÑ= ~ + Äá =áë=~=ÅçãéäÉñ=åìãÄÉêI=íÜÉå=
ê = ~ O + ÄO =EãçÇìäìëFI==
Ä
ϕ = ~êÅí~å =E~êÖìãÉåíFK=
~
=
57.
=
58.
mêçÇìÅí=áå=mçä~ê=oÉéêÉëÉåí~íáçå=
ò N ⋅ ò O = êN (Åçë ϕN + á ëáå ϕN ) ⋅ êO (Åçë ϕO + á ëáå ϕO ) =
= êNêO [Åçë(ϕN + ϕO ) + á ëáå(ϕN + ϕO )] =
`çåàìÖ~íÉ=kìãÄÉêë=áå=mçä~ê=oÉéêÉëÉåí~íáçå=
|||||||||||||||||||||
ê(Åçë ϕ + á ëáå ϕ) = ê[Åçë(− ϕ) + á ëáå(− ϕ)] =
=
59.
fåîÉêëÉ=çÑ=~=`çãéäÉñ=kìãÄÉê=áå=mçä~ê=oÉéêÉëÉåí~íáçå=
N
N
= [Åçë(− ϕ) + á ëáå(− ϕ)] =
ê(Åçë ϕ + á ëáå ϕ) ê
10
CHAPTER 1. NUMBER SETS
60.
=
61.
=
62.
=
63.
=
64.
nìçíáÉåí=áå=mçä~ê=oÉéêÉëÉåí~íáçå=
ò N êN (Åçë ϕN + á ëáå ϕN ) êN
= [Åçë(ϕN − ϕO ) + á ëáå(ϕN − ϕO )] =
=
ò O êO (Åçë ϕO + á ëáå ϕO ) êO
mçïÉê=çÑ=~=`çãéäÉñ=kìãÄÉê=
å
ò å = [ê(Åçë ϕ + á ëáå ϕ)] = ê å [Åçë(åϕ) + á ëáå(åϕ)] =
cçêãìä~=±aÉ=jçáîêÉ≤=
(Åçë ϕ + á ëáå ϕ)å = Åçë(åϕ) + á ëáå(åϕ) =
kíÜ=oççí=çÑ=~=`çãéäÉñ=kìãÄÉê=
ϕ + Oπâ
ϕ + Oπâ 

å
ò = å ê(Åçë ϕ + á ëáå ϕ) = å ê  Åçë
+ á ëáå
 I==
å
å 

ïÜÉêÉ==
â = MI NI OI KI å − N K==
bìäÉê∞ë=cçêãìä~=
É áñ = Åçë ñ + á ëáå ñ =
=
=
11
Chapter 2
Algebra
=
=
=
=
2.1 Factoring Formulas
=
oÉ~ä=åìãÄÉêëW=~I=ÄI=Å==
k~íìê~ä=åìãÄÉêW=å=
=
=
65.
=
66.
=
67.
=
68.
=
69.
=
70.
=
71.
=
72.
~ O − ÄO = (~ + Ä)(~ − Ä) =
~ P − ÄP = (~ − Ä)(~ O + ~Ä + ÄO ) =
~ P + ÄP = (~ + Ä)(~ O − ~Ä + ÄO ) =
~ Q − ÄQ = (~ O − ÄO )(~ O + ÄO ) = (~ − Ä)(~ + Ä)(~ O + ÄO ) =
~ R − ÄR = (~ − Ä)(~ Q + ~ P Ä + ~ O ÄO + ~ÄP + ÄQ ) =
~ R + ÄR = (~ + Ä)(~ Q − ~ P Ä + ~ O ÄO − ~ÄP + ÄQ ) =
fÑ=å=áë=çÇÇI=íÜÉå=
~ å + Äå = (~ + Ä)(~ å−N − ~ å −O Ä + ~ å −P ÄO − K − ~Äå −O + Äå −N ) K==
fÑ=å=áë=ÉîÉåI=íÜÉå==
~ å − Äå = (~ − Ä)(~ å −N + ~ å −O Ä + ~ å −P ÄO + K + ~Äå−O + Äå −N ) I==
12
CHAPTER 2. ALGEBRA
~ å + Äå = (~ + Ä)(~ å−N − ~ å −O Ä + ~ å −P ÄO − K + ~Äå−O − Äå −N ) K=
=
=
=
2.2 Product Formulas
73.
=
74.
=
75.
=
76.
=
77.
=
78.
=
79.
=
80.
=
81.
oÉ~ä=åìãÄÉêëW=~I=ÄI=Å==
tÜçäÉ=åìãÄÉêëW=åI=â=
=
=
(~ − Ä)O = ~ O − O~Ä + ÄO =
(~ + Ä)O = ~ O + O~Ä + ÄO =
(~ − Ä)P = ~ P − P~ O Ä + P~ÄO − ÄP =
(~ + Ä)P = ~ P + P~ OÄ + P~ÄO + ÄP =
(~ − Ä)Q = ~ Q − Q~ P Ä + S~ O ÄO − Q~ÄP + ÄQ =
(~ + Ä)Q = ~ Q + Q~ P Ä + S~ OÄO + Q~ÄP + ÄQ =
_áåçãá~ä=cçêãìä~=
(~ + Ä)å = å` M~ å + å`N~ å−NÄ + å` O~ å−OÄO + K + å` å−N~Äå−N + å` å Äå I
å>
ïÜÉêÉ= å ` â =
=~êÉ=íÜÉ=Äáåçãá~ä=ÅçÉÑÑáÅáÉåíëK=
â> (å − â )>
(~ + Ä + Å )O = ~ O + ÄO + Å O + O~Ä + O~Å + OÄÅ =
(~ + Ä + Å + K + ì + î )O = ~ O + ÄO + Å O + K + ì O + î O + =
+ O(~Ä + ~Å + K + ~ì + ~î + ÄÅ + K + Äì + Äî + K + ìî ) =
13
CHAPTER 2. ALGEBRA
2.3 Powers
=
_~ëÉë=EéçëáíáîÉ=êÉ~ä=åìãÄÉêëFW=~I=Ä==
mçïÉêë=Eê~íáçå~ä=åìãÄÉêëFW=åI=ã=
=
=
~ ã ~ å = ~ ã+å =
82.
=
83.
~ã
= ~ ã −å =
å
~
=
84.
=
(~Ä)ã = ~ ã Äã =
85.
~ã
~
  = ã =
Ä
 Ä
ã
=
86.
=
87.
=
88.
=
(~ )
ã å
= ~ ãå =
~ M = N I= ~ ≠ M =
~N = N =
~ −ã =
89.
N
=
~ã
=
ã
å
~ = å ~ã =
90.
=
=
=
=
=
14
CHAPTER 2. ALGEBRA
2.4 Roots
=
91.
=
_~ëÉëW=~I=Ä==
mçïÉêë=Eê~íáçå~ä=åìãÄÉêëFW=åI=ã=
~ I Ä ≥ M =Ñçê=ÉîÉå=êççíë=E å = Oâ I= â ∈ k F=
=
=
å
~Ä = å ~ å Ä =
92.
=
å
~ ã Ä = åã ~ ã Äå =
93.
å
~ å~
=
I= Ä ≠ M =
Ä åÄ
=
94.
=
95.
=
96.
=
~ åã ~ ã åã ~ ã
I= Ä ≠ M K=
=
=
ã
Äå
Ä åã Äå
å
(~ )
å
ã
( ~)
å
å
é
= å ~ ãé =
=~=
åé
97.
=
å
~ã =
98.
=
å
~ =~ =
99.
=
ã å
100.
=
ã
å
ã
~ = ãå ~ =
( ~)
å
~ ãé =
ã
= å ~ã =
15
CHAPTER 2. ALGEBRA
N å ~ å −N
=
I= ~ ≠ M K=
å
~
~
101.
=
~± Ä =
102.
~ + ~O − Ä
~ − ~O − Ä
±
=
O
O
=
N
~m Ä
=
=
~−Ä
~± Ä
103.
=
=
=
2.5 Logarithms
=
104.
105.
106.
107.
108.
109.
mçëáíáîÉ=êÉ~ä=åìãÄÉêëW=ñI=óI=~I=ÅI=â=
k~íìê~ä=åìãÄÉêW=å==
=
=
aÉÑáåáíáçå=çÑ=içÖ~êáíÜã=
ó = äçÖ ~ ñ =áÑ=~åÇ=çåäó=áÑ= ñ = ~ ó I= ~ > M I= ~ ≠ N K=
=
äçÖ ~ N = M =
=
äçÖ ~ ~ = N =
=
− ∞ áÑ ~ > N
äçÖ ~ M = 
=
+ ∞ áÑ ~ < N
=
äçÖ ~ (ñó ) = äçÖ ~ ñ + äçÖ ~ ó =
=
ñ
äçÖ ~ = äçÖ ~ ñ − äçÖ ~ ó =
ó
16
CHAPTER 2. ALGEBRA
110. äçÖ ~ (ñ å ) = å äçÖ ~ ñ =
=
N
111. äçÖ ~ å ñ = äçÖ ~ ñ =
å
=
äçÖ Å ñ
112. äçÖ ~ ñ =
= äçÖ Å ñ ⋅ äçÖ ~ Å I= Å > M I= Å ≠ N K=
äçÖ Å ~
=
N
113. äçÖ ~ Å =
=
äçÖ Å ~
=
114. ñ = ~ äçÖ ~ ñ =
=
115. içÖ~êáíÜã=íç=_~ëÉ=NM=
äçÖ NM ñ = äçÖ ñ =
=
116. k~íìê~ä=içÖ~êáíÜã=
äçÖ É ñ = äå ñ I==
â
 N
ïÜÉêÉ= É = äáã N +  = OKTNUOUNUOUK =
â →∞
 â
=
N
117. äçÖ ñ =
äå ñ = MKQPQOVQ äå ñ =
äå NM
=
N
118. äå ñ =
äçÖ ñ = OKPMORUR äçÖ ñ =
äçÖ É
=
=
=
=
=
17
CHAPTER 2. ALGEBRA
2.6 Equations
=
oÉ~ä=åìãÄÉêëW=~I=ÄI=ÅI=éI=èI=ìI=î=
pçäìíáçåëW= ñ N I= ñ O I= ó N I= ó O I= ó P =
=
=
119. iáåÉ~ê=bèì~íáçå=áå=låÉ=s~êá~ÄäÉ=
Ä
~ñ + Ä = M I= ñ = − K==
~
=
120. nì~Çê~íáÅ=bèì~íáçå=
− Ä ± ÄO − Q~Å
~ñ + Äñ + Å = M I= ñ NI O =
K=
O~
=
121. aáëÅêáãáå~åí=
a = ÄO − Q~Å =
=
122. sáÉíÉ∞ë=cçêãìä~ë=
fÑ= ñ O + éñ + è = M I=íÜÉå==
ñ N + ñ O = −é
K=

ñ
ñ
=
è
N
O

=
Ä
123. ~ñ O + Äñ = M I= ñ N = M I= ñ O = − K=
~
=
Å
124. ~ñ O + Å = M I= ñ NI O = ± − K=
~
=
125. `ìÄáÅ=bèì~íáçåK=`~êÇ~åç∞ë=cçêãìä~K==
ó P + éó + è = M I==
O
18
CHAPTER 2. ALGEBRA
ó N = ì + î I= ó OI P = −
N
(ì + î ) ± P (ì + î ) á I==
O
O
ïÜÉêÉ==
O
ì=P −
O
O
O
è
è
è  é
 è  é
+   +   I= î = P − −   +   K==
O
O
 O P
 O P
=
=
2.7 Inequalities
s~êá~ÄäÉëW=ñI=óI=ò=
~ I ÄI ÅI Ç
oÉ~ä=åìãÄÉêëW= 
I=ãI=å=
~N I ~ O I ~ P I KI ~ å
aÉíÉêãáå~åíëW=aI= añ I= aó I= aò ==
=
=
126. fåÉèì~äáíáÉëI=fåíÉêî~ä=kçí~íáçåë=~åÇ=dê~éÜë==
=
fåÉèì~äáíó=
fåíÉêî~ä=kçí~íáçå=
dê~éÜ=
[~I Ä]=
~ ≤ ñ ≤ Ä=
~ < ñ ≤ Ä=
(~I Ä] =
=
~ ≤ ñ < Ä=
[~I Ä) =
=
~ < ñ < Ä=
(~I Ä) =
=
− ∞ < ñ ≤ Ä I=
ñ≤Ä=
− ∞ < ñ < Ä I=
ñ<Ä=
~ ≤ ñ < ∞ I=
ñ≥~=
~ < ñ < ∞ I=
ñ >~=
(− ∞I Ä] =
=
=
(− ∞I Ä) =
=
[~I ∞ ) =
=
(~I ∞ ) =
=
19
CHAPTER 2. ALGEBRA
127.
=
128.
=
129.
=
130.
=
131.
=
132.
=
133.
=
fÑ= ~ > Ä I=íÜÉå= Ä < ~ K=
fÑ= ~ > Ä I=íÜÉå= ~ − Ä > M =çê= Ä − ~ < M K=
fÑ= ~ > Ä I=íÜÉå= ~ + Å > Ä + Å K=
fÑ= ~ > Ä I=íÜÉå= ~ − Å > Ä − Å K=
fÑ= ~ > Ä =~åÇ= Å > Ç I=íÜÉå= ~ + Å > Ä + Ç K=
fÑ= ~ > Ä =~åÇ= Å > Ç I=íÜÉå= ~ − Ç > Ä − Å K=
fÑ= ~ > Ä =~åÇ= ã > M I=íÜÉå= ã~ > ãÄ K=
134. fÑ= ~ > Ä =~åÇ= ã > M I=íÜÉå=
~ Ä
> K=
ã ã
=
135. fÑ= ~ > Ä =~åÇ= ã < M I=íÜÉå= ã~ < ãÄ K=
=
~ Ä
136. fÑ= ~ > Ä =~åÇ= ã < M I=íÜÉå= < K=
ã ã
=
137. fÑ= M < ~ < Ä =~åÇ= å > M I=íÜÉå= ~ å < Äå K=
=
138. fÑ= M < ~ < Ä =~åÇ= å < M I=íÜÉå= ~ å > Äå K=
=
139. fÑ= M < ~ < Ä I=íÜÉå= å ~ < å Ä K=
=
~+Ä
I==
140.
~Ä ≤
O
ïÜÉêÉ= ~ > M =I= Ä > M X=~å=Éèì~äáíó=áë=î~äáÇ=çåäó=áÑ= ~ = Ä K==
=
N
141. ~ + ≥ O I=ïÜÉêÉ= ~ > M X=~å=Éèì~äáíó=í~âÉë=éä~ÅÉ=çåäó=~í= ~ = N K=
~
20
CHAPTER 2. ALGEBRA
142.
å
~N~ O K~ å ≤
~N + ~ O + K + ~ å
I=ïÜÉêÉ= ~N I ~ O I KI ~ å > M K=
å
=
Ä
143. fÑ= ~ñ + Ä > M =~åÇ= ~ > M I=íÜÉå= ñ > − K=
~
=
Ä
144. fÑ= ~ñ + Ä > M =~åÇ= ~ < M I=íÜÉå= ñ < − K==
~
=
145. ~ñ O + Äñ + Å > M =
=
=
~ > M=
=
=
=
=
a>M=
=
=
=
a=M=
=
=
=
a<M=
=
ñ < ñ N I= ñ > ñ O =
=
ñ N < ñ I= ñ > ñ N =
=
=
−∞< ñ <∞=
=
21
~ <M=
=
=
ñN < ñ < ñ O =
=
ñ ∈∅ =
=
=
ñ ∈∅ =
=
=
=
CHAPTER 2. ALGEBRA
~+Ä ≤ ~ + Ä =
146.
=
147.
=
148.
=
149.
=
150.
=
fÑ= ñ < ~ I=íÜÉå= − ~ < ñ < ~ I=ïÜÉêÉ= ~ > M K=
fÑ= ñ > ~ I=íÜÉå= ñ < −~ =~åÇ= ñ > ~ I=ïÜÉêÉ= ~ > M K=
fÑ= ñ O < ~ I=íÜÉå= ñ < ~ I=ïÜÉêÉ= ~ > M K=
fÑ= ñ O > ~ I=íÜÉå= ñ > ~ I=ïÜÉêÉ= ~ > M K=
151. fÑ=
=
Ñ (ñ ) ⋅ Ö (ñ ) > M
Ñ (ñ )
> M I=íÜÉå= 
K=
Ö (ñ )
Ö (ñ ) ≠ M
Ñ (ñ ) ⋅ Ö (ñ ) < M
Ñ (ñ )
< M I=íÜÉå= 
K=
Ö (ñ )
Ö (ñ ) ≠ M
152.
=
=
=
2.8 Compound Interest Formulas
=
cìíìêÉ=î~äìÉW=^=
fåáíá~ä=ÇÉéçëáíW=`=
^ååì~ä=ê~íÉ=çÑ=áåíÉêÉëíW=ê=
kìãÄÉê=çÑ=óÉ~êë=áåîÉëíÉÇW=í=
kìãÄÉê=çÑ=íáãÉë=ÅçãéçìåÇÉÇ=éÉê=óÉ~êW=å=
=
=
153. dÉåÉê~ä=`çãéçìåÇ=fåíÉêÉëí=cçêãìä~=
åí
 ê
^ = ` N +  =
 å
=
22
CHAPTER 2. ALGEBRA
154. páãéäáÑáÉÇ=`çãéçìåÇ=fåíÉêÉëí=cçêãìä~=
fÑ=áåíÉêÉëí=áë=ÅçãéçìåÇÉÇ=çåÅÉ=éÉê=óÉ~êI=íÜÉå=íÜÉ=éêÉîáçìë=
Ñçêãìä~=ëáãéäáÑáÉë=íçW=
í
^ = `(N + ê ) K=
=
155. `çåíáåìçìë=`çãéçìåÇ=fåíÉêÉëí=
fÑ=áåíÉêÉëí=áë=ÅçãéçìåÇÉÇ=Åçåíáåì~ääó=E å → ∞ FI=íÜÉå==
^ = `É êí K=
=
=
23
Chapter 3
Geometry
=
=
=
=
3.1 Right Triangle
=
iÉÖë=çÑ=~=êáÖÜí=íêá~åÖäÉW=~I=Ä=
eóéçíÉåìëÉW=Å=
^äíáíìÇÉW=Ü=
jÉÇá~åëW= ã ~ I= ã Ä I= ã Å =
^åÖäÉëW= α I β =
o~Çáìë=çÑ=ÅáêÅìãëÅêáÄÉÇ=ÅáêÅäÉW=o=
o~Çáìë=çÑ=áåëÅêáÄÉÇ=ÅáêÅäÉW=ê=
^êÉ~W=p=
=
=
=
=
Figure 8.
=
156. α + β = VM° =
=
24
CHAPTER 3. GEOMETRY
157. ëáå α =
~
= Åçë β =
Å
=
158. Åçë α =
Ä
= ëáå β =
Å
=
159. í~å α =
~
= Åçí β =
Ä
=
Ä
160. Åçí α = = í~å β =
~
=
Å
161. ëÉÅ α = = Åçë ÉÅ β =
Ä
=
162. Åçë ÉÅ α =
Å
= ëÉÅ β =
~
=
163. móíÜ~ÖçêÉ~å=qÜÉçêÉã=
~ O + ÄO = Å O =
=
164. ~ = ÑÅ I= Ä = ÖÅ I==
ïÜÉêÉ= Ñ= ~åÇ= Å= ~êÉ= éêçàÉÅíáçåë= çÑ= íÜÉ= äÉÖë= ~= ~åÇ= ÄI= êÉëéÉÅíáîÉäóI=çåíç=íÜÉ=ÜóéçíÉåìëÉ=ÅK=
=
O
=
O
=
=====
Figure 9.
=
25
CHAPTER 3. GEOMETRY
165. Ü O = ÑÖ I===
ïÜÉêÉ=Ü=áë=íÜÉ=~äíáíìÇÉ=Ñêçã=íÜÉ=êáÖÜí=~åÖäÉK==
=
O
O
~
Ä
166. ã O~ = ÄO − I= ã OÄ = ~ O − I===
Q
Q
ïÜÉêÉ= ã ~ =~åÇ= ã Ä =~êÉ=íÜÉ=ãÉÇá~åë=íç=íÜÉ=äÉÖë=~=~åÇ=ÄK==
=
=
=
Figure 10.
=
Å
167. ã Å = I==
O
ïÜÉêÉ= ã Å =áë=íÜÉ=ãÉÇá~å=íç=íÜÉ=ÜóéçíÉåìëÉ=ÅK=
=
Å
168. o = = ã Å =
O
=
~ +Ä−Å
~Ä
=
=
169. ê =
O
~ +Ä+Å
=
170. ~Ä = ÅÜ =
=
=
26
CHAPTER 3. GEOMETRY
171. p =
~Ä ÅÜ
=
=
O
O
=
=
=
3.2 Isosceles Triangle
=
_~ëÉW=~=
iÉÖëW=Ä=
_~ëÉ=~åÖäÉW= β =
sÉêíÉñ=~åÖäÉW= α =
^äíáíìÇÉ=íç=íÜÉ=Ä~ëÉW=Ü=
mÉêáãÉíÉêW=i=
^êÉ~W=p=
=
=
=
=
Figure 11.
=
172. β = VM° −
α
=
O
=
173. Ü O = ÄO −
O
~
=
Q
27
CHAPTER 3. GEOMETRY
174. i = ~ + OÄ =
=
175. p =
O
~Ü Ä
= ëáå α =
O
O
=
=
=
3.3 Equilateral Triangle
=
páÇÉ=çÑ=~=Éèìáä~íÉê~ä=íêá~åÖäÉW=~=
^äíáíìÇÉW=Ü=
o~Çáìë=çÑ=ÅáêÅìãëÅêáÄÉÇ=ÅáêÅäÉW=o=
o~Çáìë=çÑ=áåëÅêáÄÉÇ=ÅáêÅäÉW=ê=
mÉêáãÉíÉêW=i=
^êÉ~W=p=
=
=
=
=
Figure 12.
=
176. Ü =
~ P
=
O
=
28
CHAPTER 3. GEOMETRY
O
~ P
=
177. o = Ü =
P
P
=
N
~ P o
= =
178. ê = Ü =
P
S
O
=
179. i = P~ =
=
180. p =
O
~Ü ~ P
=
=
O
Q
=
=
=
3.4 Scalene Triangle
E^=íêá~åÖäÉ=ïáíÜ=åç=íïç=ëáÇÉë=Éèì~äF=
=
=
páÇÉë=çÑ=~=íêá~åÖäÉW=~I=ÄI=Å=
~ +Ä+Å
==
pÉãáéÉêáãÉíÉêW= é =
O
^åÖäÉë=çÑ=~=íêá~åÖäÉW= αI βI γ =
^äíáíìÇÉë=íç=íÜÉ=ëáÇÉë=~I=ÄI=ÅW= Ü ~ I Ü Ä I Ü Å =
jÉÇá~åë=íç=íÜÉ=ëáÇÉë=~I=ÄI=ÅW= ã ~ I ã Ä I ã Å =
_áëÉÅíçêë=çÑ=íÜÉ=~åÖäÉë= αI βI γ W= í ~ I í Ä I í Å =
o~Çáìë=çÑ=ÅáêÅìãëÅêáÄÉÇ=ÅáêÅäÉW=o=
o~Çáìë=çÑ=áåëÅêáÄÉÇ=ÅáêÅäÉW=ê=
^êÉ~W=p=
=
=
29
CHAPTER 3. GEOMETRY
=
=====
=
Figure 13.
=
181. α + β + γ = NUM° =
182. ~ + Ä > Å I==
Ä + Å > ~ I==
~ + Å > Ä K=
=
183. ~ − Ä < Å I==
Ä − Å < ~ I==
~ − Å < Ä K=
=
=
184. jáÇäáåÉ=
~
è = I= è öö ~ K=
O
=
=
=
=====
Figure 14.
=
30
CHAPTER 3. GEOMETRY
185. i~ï=çÑ=`çëáåÉë=
~ O = ÄO + Å O − OÄÅ Åçë α I=
ÄO = ~ O + Å O − O~Å Åçë β I=
Å O = ~ O + ÄO − O~Ä Åçë γ K=
=
186. i~ï=çÑ=páåÉë=
~
Ä
Å
=
=
= Oo I==
ëáå α ëáå β ëáå γ
ïÜÉêÉ=o=áë=íÜÉ=ê~Çáìë=çÑ=íÜÉ=ÅáêÅìãëÅêáÄÉÇ=ÅáêÅäÉK==
=
~
Ä
Å
ÄÅ
~Å
~Ä ~ÄÅ
=
=
=
=
=
=
187. o =
=
O ëáå α O ëáå β O ëáå γ OÜ ~ OÜ Ä OÜ Å Qp
=
(é − ~ )(é − Ä)(é − Å ) I==
188. ê O =
é
N N
N
N
= +
+ K=
ê Ü~ ÜÄ ÜÅ
=
(é − Ä)(é − Å ) I=
α
189. ëáå =
O
ÄÅ
Åçë
α
é(é − ~ )
I=
=
O
ÄÅ
í~å
α
=
O
(é − Ä)(é − Å ) K=
é(é − ~ )
=
O
190. Ü ~ =
é(é − ~ )(é − Ä)(é − Å ) I=
~
O
é(é − ~ )(é − Ä)(é − Å ) I=
ÜÄ =
Ä
O
ÜÅ =
é(é − ~ )(é − Ä)(é − Å ) K=
Å
31
CHAPTER 3. GEOMETRY
191. Ü ~ = Ä ëáå γ = Å ëáå β I=
Ü Ä = ~ ëáå γ = Å ëáå α I=
Ü Å = ~ ëáå β = Ä ëáå α K=
=
Ä +Å ~
− I==
O
Q
O
O
~ + Å ÄO
ã OÄ =
− I==
O
Q
O
O
~ + Ä ÅO
O
ãÅ =
− K=
O
Q
192. ã O~ =
O
O
O
=
=
=
=====
Figure 15.
=
O
O
O
193. ^j = ã ~ I= _j = ã Ä I= `j = ã Å =EcáÖKNRFK=
P
P
P
=
QÄÅé(é − ~ )
194. í O~ =
I==
(Ä + Å )O
Q~Åé(é − Ä)
í OÄ =
I==
(~ + Å )O
Q~Äé(é − Å )
í OÅ =
K=
(~ + Ä)O
=
32
CHAPTER 3. GEOMETRY
~Ü ~ ÄÜ Ä ÅÜ Å
=
=
I==
O
O
O
~Ä ëáå γ ~Å ëáå β ÄÅ ëáå α
I==
p=
=
=
O
O
O
p = é(é − ~ )(é − Ä)(é − Å ) =EeÉêçå∞ë=cçêãìä~FI=
p = éê I==
~ÄÅ
p=
I=
Qo
p = Oo O ëáå α ëáå β ëáå γ I=
α
β
γ
p = éO í~å í~å í~å K=
O
O
O
195. p =
=
=
=
3.5 Square
páÇÉ=çÑ=~=ëèì~êÉW=~=
aá~Öçå~äW=Ç=
o~Çáìë=çÑ=ÅáêÅìãëÅêáÄÉÇ=ÅáêÅäÉW=o=
o~Çáìë=çÑ=áåëÅêáÄÉÇ=ÅáêÅäÉW=ê=
mÉêáãÉíÉêW=i=
^êÉ~W=p=
=
=
=
Figure 16.
33
CHAPTER 3. GEOMETRY
196. Ç = ~ O ==
=
197. o =
Ç ~ O
=
=
O
O
=
~
198. ê = =
O
199. i = Q~ =
=
=
200. p = ~ =
=
=
=
O
3.6 Rectangle
=
páÇÉë=çÑ=~=êÉÅí~åÖäÉW=~I=Ä=
aá~Öçå~äW=Ç=
o~Çáìë=çÑ=ÅáêÅìãëÅêáÄÉÇ=ÅáêÅäÉW=o=
mÉêáãÉíÉêW=i=
^êÉ~W=p=
=
=
=
=
Figure 17.
=
201. Ç = ~ O + ÄO ==
34
CHAPTER 3. GEOMETRY
202. o =
Ç
=
O
=
203. i = O(~ + Ä) =
=
204. p = ~Ä =
=
=
=
3.7 Parallelogram
=
páÇÉë=çÑ=~=é~ê~ääÉäçÖê~ãW=~I=Ä=
aá~Öçå~äëW= ÇN I Ç O =
`çåëÉÅìíáîÉ=~åÖäÉëW= αI β =
^åÖäÉ=ÄÉíïÉÉå=íÜÉ=Çá~Öçå~äëW= ϕ =
^äíáíìÇÉW=Ü==
mÉêáãÉíÉêW=i=
^êÉ~W=p=
=
=
=
=====
=
Figure 18.
=
205. α + β = NUM° =
206. Ç + Ç = O(~ + Ä ) =
O
N
O
O
O
=
O
=
35
CHAPTER 3. GEOMETRY
207. Ü = Ä ëáå α = Ä ëáå β =
208. i = O(~ + Ä) =
209. p = ~Ü = ~Ä ëáå α I==
N
p = ÇNÇ O ëáå ϕ K=
O
=
=
=
=
=
3.8 Rhombus
=
páÇÉ=çÑ=~=êÜçãÄìëW=~=
aá~Öçå~äëW= ÇN I Ç O =
`çåëÉÅìíáîÉ=~åÖäÉëW= αI β =
^äíáíìÇÉW=e=
o~Çáìë=çÑ=áåëÅêáÄÉÇ=ÅáêÅäÉW=ê=
mÉêáãÉíÉêW=i=
^êÉ~W=p=
=
=
=
=
=====
Figure 19.
=
36
CHAPTER 3. GEOMETRY
210. α + β = NUM° =
=
211. Ç + Ç = Q~ =
O
N
O
O
O
=
212. Ü = ~ ëáå α =
ÇNÇ O
=
O~
=
Ü ÇÇ
~ ëáå α
213. ê = = N O =
=
O
Q~
O
=
214. i = Q~ =
=
215. p = ~Ü = ~ ëáå α I==
N
p = ÇNÇ O K=
O
=
=
=
O
3.9 Trapezoid
=
_~ëÉë=çÑ=~=íê~éÉòçáÇW=~I=Ä=
jáÇäáåÉW=è=
^äíáíìÇÉW=Ü=
^êÉ~W=p=
=
=
37
CHAPTER 3. GEOMETRY
=
=
Figure 20.
=
216. è =
217. p =
~+Ä
=
O
~+Ä
⋅ Ü = èÜ =
O
=
=
=
=
3.10 Isosceles Trapezoid
=
_~ëÉë=çÑ=~=íê~éÉòçáÇW=~I=Ä=
iÉÖW=Å=
jáÇäáåÉW=è=
^äíáíìÇÉW=Ü=
aá~Öçå~äW=Ç=
o~Çáìë=çÑ=ÅáêÅìãëÅêáÄÉÇ=ÅáêÅäÉW=o=
^êÉ~W=p=
=
=
38
CHAPTER 3. GEOMETRY
=
=
Figure 21.
=
218. è =
~+Ä
=
O
=
219. Ç = ~Ä + Å =
=
N
O
220. Ü = Å O − (Ä − ~ ) =
Q
O
=
Å ~Ä + Å O
=
(OÅ − ~ + Ä)(OÅ + ~ − Ä)
=
~+Ä
222. p =
⋅ Ü = èÜ =
O
=
=
=
=
=
=
221. o =
39
CHAPTER 3. GEOMETRY
3.11 Isosceles Trapezoid with
Inscribed Circle
=
_~ëÉë=çÑ=~=íê~éÉòçáÇW=~I=Ä=
iÉÖW=Å=
jáÇäáåÉW=è=
^äíáíìÇÉW=Ü=
aá~Öçå~äW=Ç=
o~Çáìë=çÑ=áåëÅêáÄÉÇ=ÅáêÅäÉW=o=
o~Çáìë=çÑ=ÅáêÅìãëÅêáÄÉÇ=ÅáêÅäÉW=ê=
mÉêáãÉíÉêW=i=
^êÉ~W=p=
=
=
=
=
Figure 22.
=
223. ~ + Ä = OÅ =
=
~+Ä
224. è =
=Å=
O
=
225. Ç = Ü + Å =
O
O
O
=
40
CHAPTER 3. GEOMETRY
226. ê =
Ü
~Ä
=
=
O
O
=
Ä
ÅÇ ÅÇ Å
Å
Å
~+Ä ~
N+
ÜO + Å O =
=
=
=
+S+ =
OÜ Qê O
~Ä OÜ
U
Ä
~
=
228. i = O(~ + Ä) = QÅ =
=
(~ + Ä) ~Ä = èÜ = ÅÜ = iê ==
~+Ä
⋅Ü =
229. p =
O
O
O
=
=
=
227. o =
O
3.12 Trapezoid with Inscribed Circle
=
_~ëÉë=çÑ=~=íê~éÉòçáÇW=~I=Ä=
i~íÉê~ä=ëáÇÉëW=ÅI=Ç=
jáÇäáåÉW=è=
^äíáíìÇÉW=Ü=
aá~Öçå~äëW= ÇN I Ç O =
^åÖäÉ=ÄÉíïÉÉå=íÜÉ=Çá~Öçå~äëW= ϕ =
o~Çáìë=çÑ=áåëÅêáÄÉÇ=ÅáêÅäÉW=ê=
o~Çáìë=çÑ=ÅáêÅìãëÅêáÄÉÇ=ÅáêÅäÉW=o=
mÉêáãÉíÉêW=i=
^êÉ~W=p=
=
41
CHAPTER 3. GEOMETRY
=
=
Figure 23.
=
230. ~ + Ä = Å + Ç =
~+Ä Å+Ç
=
=
231. è =
O
O
232. i = O(~ + Ä) = O(Å + Ç ) =
=
=
=
~+Ä
Å+Ç
⋅Ü =
⋅ Ü = èÜ I==
O
O
N
p = ÇNÇ O ëáå ϕ K=
O
233. p =
=
=
=
3.13 Kite
=
páÇÉë=çÑ=~=âáíÉW=~I=Ä=
aá~Öçå~äëW= ÇN I Ç O =
^åÖäÉëW= αI βI γ =
mÉêáãÉíÉêW=i=
^êÉ~W=p=
=
=
42
CHAPTER 3. GEOMETRY
=
=
Figure 24.
=
234. α + β + Oγ = PSM° =
235. i = O(~ + Ä) =
=
=
236. p =
ÇNÇ O
=
O
=
=
=
3.14 Cyclic Quadrilateral
páÇÉë=çÑ=~=èì~Çêáä~íÉê~äW=~I=ÄI=ÅI=Ç=
aá~Öçå~äëW= ÇN I Ç O =
^åÖäÉ=ÄÉíïÉÉå=íÜÉ=Çá~Öçå~äëW= ϕ =
fåíÉêå~ä=~åÖäÉëW= αI βI γ I δ =
o~Çáìë=çÑ=ÅáêÅìãëÅêáÄÉÇ=ÅáêÅäÉW=o=
mÉêáãÉíÉêW=i=
pÉãáéÉêáãÉíÉêW=é==
^êÉ~W=p=
43
CHAPTER 3. GEOMETRY
=
=
Figure 25.
=
237. α + γ = β + δ = NUM° =
=
238. míçäÉãó∞ë=qÜÉçêÉã=
~Å + ÄÇ = ÇNÇ O =
239. i = ~ + Ä + Å + Ç =
=
=
N (~Å + ÄÇ )(~Ç + ÄÅ )(~Ä + ÅÇ )
I==
240. o =
Q (é − ~ )(é − Ä)(é − Å )(é − Ç )
i
ïÜÉêÉ= é = K=
O
=
N
241. p = ÇNÇ O ëáå ϕ I==
O
p = (é − ~ )(é − Ä)(é − Å )(é − Ç ) I==
i
ïÜÉêÉ= é = K=
O
=
=
=
44
CHAPTER 3. GEOMETRY
3.15 Tangential Quadrilateral
=
páÇÉë=çÑ=~=èì~Çêáä~íÉê~äW=~I=ÄI=ÅI=Ç=
aá~Öçå~äëW= ÇN I Ç O =
^åÖäÉ=ÄÉíïÉÉå=íÜÉ=Çá~Öçå~äëW= ϕ =
o~Çáìë=çÑ=áåëÅêáÄÉÇ=ÅáêÅäÉW=ê=
mÉêáãÉíÉêW=i=
pÉãáéÉêáãÉíÉêW=é==
^êÉ~W=p=
=
=
=
=
Figure 26.
=
242. ~ + Å = Ä + Ç =
=
243. i = ~ + Ä + Å + Ç = O(~ + Å ) = O(Ä + Ç ) =
=
ÇNOÇ OO − (~ − Ä) (~ + Ä − é )
I==
Oé
i
ïÜÉêÉ= é = K==
O
=
O
O
244. ê =
45
CHAPTER 3. GEOMETRY
N
245. p = éê = ÇNÇ O ëáå ϕ =
O
=
=
=
3.16 General Quadrilateral
=
páÇÉë=çÑ=~=èì~Çêáä~íÉê~äW=~I=ÄI=ÅI=Ç=
aá~Öçå~äëW= ÇN I Ç O =
^åÖäÉ=ÄÉíïÉÉå=íÜÉ=Çá~Öçå~äëW= ϕ =
fåíÉêå~ä=~åÖäÉëW= αI βI γ I δ =
mÉêáãÉíÉêW=i=
^êÉ~W=p=
=
=
=
=
=======
Figure 27.
=
246. α + β + γ + δ = PSM° =
247. i = ~ + Ä + Å + Ç =
=
=
46
CHAPTER 3. GEOMETRY
N
248. p = ÇNÇ O ëáå ϕ =
O
=
=
=
3.17 Regular Hexagon
=
páÇÉW=~=
fåíÉêå~ä=~åÖäÉW= α =
pä~åí=ÜÉáÖÜíW=ã=
o~Çáìë=çÑ=áåëÅêáÄÉÇ=ÅáêÅäÉW=ê=
o~Çáìë=çÑ=ÅáêÅìãëÅêáÄÉÇ=ÅáêÅäÉW=o=
mÉêáãÉíÉêW=i=
pÉãáéÉêáãÉíÉêW=é==
^êÉ~W=p=
=
=
=
=
Figure 28.
=
249. α = NOM° =
=
250. ê = ã =
~ P
=
O
47
CHAPTER 3. GEOMETRY
251. o = ~ =
=
252. i = S~ =
=
O
~ P P
I==
O
i
ïÜÉêÉ= é = K=
O
=
=
=
253. p = éê =
3.18 Regular Polygon
=
páÇÉW=~=
kìãÄÉê=çÑ=ëáÇÉëW=å=
fåíÉêå~ä=~åÖäÉW= α =
pä~åí=ÜÉáÖÜíW=ã=
o~Çáìë=çÑ=áåëÅêáÄÉÇ=ÅáêÅäÉW=ê=
o~Çáìë=çÑ=ÅáêÅìãëÅêáÄÉÇ=ÅáêÅäÉW=o=
mÉêáãÉíÉêW=i=
pÉãáéÉêáãÉíÉêW=é==
^êÉ~W=p=
=
=
48
CHAPTER 3. GEOMETRY
=
=
Figure 29.
=
254. α =
255. α =
å−O
⋅ NUM° =
O
=
å−O
⋅ NUM° =
O
=
256. o =
~
π
O ëáå
å
=
=
257. ê = ã =
~
O í~å
π
å
= oO −
~O
=
Q
=
258. i = å~ =
=
259. p =
åo
Oπ
ëáå I==
O
å
O
p = éê = é o O −
~O
I==
Q
49
CHAPTER 3. GEOMETRY
ïÜÉêÉ= é =
i
K==
O
=
=
=
3.19 Circle
=
o~ÇáìëW=o=
aá~ãÉíÉêW=Ç=
`ÜçêÇW=~=
pÉÅ~åí=ëÉÖãÉåíëW=ÉI=Ñ=
q~åÖÉåí=ëÉÖãÉåíW=Ö=
`Éåíê~ä=~åÖäÉW= α =
fåëÅêáÄÉÇ=~åÖäÉW= β =
mÉêáãÉíÉêW=i=
^êÉ~W=p=
=
=
α
260. ~ = Oo ëáå =
O
=
=
=
Figure 30.
=
50
CHAPTER 3. GEOMETRY
261. ~N~ O = ÄNÄO =
=
=
=
Figure 31.
=
262. ÉÉN = ÑÑN =
=
=
=
=====
Figure 32.
=
263. Ö O = ÑÑN =
=
51
CHAPTER 3. GEOMETRY
=
=====
=
Figure 33.
=
264. β =
α
=
O
=
=
=
Figure 34.
=
265. i = Oπo = πÇ =
=
266. p = πo O =
io
πÇ
=
==
Q
O
O
=
52
CHAPTER 3. GEOMETRY
3.20 Sector of a Circle
=
o~Çáìë=çÑ=~=ÅáêÅäÉW=o=
^êÅ=äÉåÖíÜW=ë=
`Éåíê~ä=~åÖäÉ=Eáå=ê~Çá~åëFW=ñ=
`Éåíê~ä=~åÖäÉ=Eáå=ÇÉÖêÉÉëFW= α =
mÉêáãÉíÉêW=i=
^êÉ~W=p=
=
=
=
=
Figure 35.
=
267. ë = oñ =
268. ë =
=
πoα
=
NUM°
=
269. i = ë + Oo =
=
270. p =
oë o ñ πo α
=
=
==
O
O
PSM°
O
O
=
=
53
CHAPTER 3. GEOMETRY
3.21 Segment of a Circle
=
o~Çáìë=çÑ=~=ÅáêÅäÉW=o=
^êÅ=äÉåÖíÜW=ë=
`ÜçêÇW=~=
`Éåíê~ä=~åÖäÉ=Eáå=ê~Çá~åëFW=ñ=
`Éåíê~ä=~åÖäÉ=Eáå=ÇÉÖêÉÉëFW= α =
eÉáÖÜí=çÑ=íÜÉ=ëÉÖãÉåíW=Ü=
mÉêáãÉíÉêW=i=
^êÉ~W=p=
=
=
=
=
Figure 36.
=
271. ~ = O OÜo − Ü O =
=
N
272. Ü = o −
Qo O − ~ O I= Ü < o =
O
=
273. i = ë + ~ =
=
54
CHAPTER 3. GEOMETRY
O
O
N
[ëo − ~(o − Ü )] = o  απ − ëáå α  = o (ñ − ëáå ñ ) I==
O
O  NUM°
 O
O
p ≈ Ü~ K=
P
274. p =
=
=
=
3.22 Cube
=
bÇÖÉW=~==
aá~Öçå~äW=Ç=
o~Çáìë=çÑ=áåëÅêáÄÉÇ=ëéÜÉêÉW=ê=
o~Çáìë=çÑ=ÅáêÅìãëÅêáÄÉÇ=ëéÜÉêÉW=ê=
pìêÑ~ÅÉ=~êÉ~W=p=
sçäìãÉW=s=
=
=
=
=
===
Figure 37.
=
275. Ç = ~ P =
=
~
276. ê = =
O
=
55
CHAPTER 3. GEOMETRY
277. o =
~ P
=
O
=
278. p = S~ =
O
=
279. s = ~ ==
=
=
=
P
3.23 Rectangular Parallelepiped
=
bÇÖÉëW=~I=ÄI=Å==
aá~Öçå~äW=Ç=
pìêÑ~ÅÉ=~êÉ~W=p=
sçäìãÉW=s=
=
=
=
=
=====
Figure 38.
=
280. Ç = ~ O + ÄO + Å O =
281. p = O(~Ä + ~Å + ÄÅ ) =
282. s = ~ÄÅ ==
=
=
56
CHAPTER 3. GEOMETRY
3.24 Prism
=
i~íÉê~ä=ÉÇÖÉW=ä=
eÉáÖÜíW=Ü=
i~íÉê~ä=~êÉ~W= p i =
^êÉ~=çÑ=Ä~ëÉW= p_ =
qçí~ä=ëìêÑ~ÅÉ=~êÉ~W=p=
sçäìãÉW=s=
=
=
=
=
=====
Figure 39.
=
283. p = p i + Op_ K==
=
284. i~íÉê~ä=^êÉ~=çÑ=~=oáÖÜí=mêáëã=
p i = (~ N + ~ O + ~ P + K + ~ å )ä =
=
285. i~íÉê~ä=^êÉ~=çÑ=~å=lÄäáèìÉ=mêáëã=
p i = éä I==
ïÜÉêÉ=é=áë=íÜÉ=éÉêáãÉíÉê=çÑ=íÜÉ=Åêçëë=ëÉÅíáçåK=
=
57
CHAPTER 3. GEOMETRY
286. s = p_ Ü =
=
287. `~î~äáÉêáDë=mêáåÅáéäÉ==
dáîÉå=íïç=ëçäáÇë=áåÅäìÇÉÇ=ÄÉíïÉÉå=é~ê~ääÉä=éä~åÉëK=fÑ=ÉîÉêó=
éä~åÉ=Åêçëë=ëÉÅíáçå=é~ê~ääÉä=íç=íÜÉ=ÖáîÉå=éä~åÉë=Ü~ë=íÜÉ=ë~ãÉ=
~êÉ~=áå=ÄçíÜ=ëçäáÇëI=íÜÉå=íÜÉ=îçäìãÉë=çÑ=íÜÉ=ëçäáÇë=~êÉ=Éèì~äK=
=
=
=
3.25 Regular Tetrahedron
=
qêá~åÖäÉ=ëáÇÉ=äÉåÖíÜW=~=
eÉáÖÜíW=Ü=
^êÉ~=çÑ=Ä~ëÉW= p_ =
pìêÑ~ÅÉ=~êÉ~W=p=
sçäìãÉW=s=
=
=
=
=
Figure 40.
=
288. Ü =
O
~=
P
=
58
CHAPTER 3. GEOMETRY
289. p_ =
P~ O
=
Q
=
290. p = P~ =
=
N
~P
291. s = p_ Ü =
K==
P
S O
=
=
=
O
3.26 Regular Pyramid
=
páÇÉ=çÑ=Ä~ëÉW=~=
i~íÉê~ä=ÉÇÖÉW=Ä=
eÉáÖÜíW=Ü=
pä~åí=ÜÉáÖÜíW=ã==
kìãÄÉê=çÑ=ëáÇÉëW=å==
pÉãáéÉêáãÉíÉê=çÑ=Ä~ëÉW=é=
o~Çáìë=çÑ=áåëÅêáÄÉÇ=ëéÜÉêÉ=çÑ=Ä~ëÉW=ê=
^êÉ~=çÑ=Ä~ëÉW= p_ =
i~íÉê~ä=ëìêÑ~ÅÉ=~êÉ~W= pi =
qçí~ä=ëìêÑ~ÅÉ=~êÉ~W=p=
sçäìãÉW=s=
=
=
59
CHAPTER 3. GEOMETRY
=
=
Figure 41.
=
292. ã = ÄO −
~O
=
Q
=
293. Ü =
π O
−~
å
=
π
O ëáå
å
QÄO ëáå O
=
N
N
294. p i = å~ã = å~ QÄO − ~ O = éã =
O
Q
=
295. p_ = éê =
=
296. p = p_ + p i =
=
N
N
297. s = p_ Ü = éêÜ ==
P
P
=
=
=
60
CHAPTER 3. GEOMETRY
3.27 Frustum of a Regular Pyramid
=
~N I ~ O I ~ P IKI ~ å
=
_~ëÉ=~åÇ=íçé=ëáÇÉ=äÉåÖíÜëW= 
ÄN I ÄO I ÄP IKI Äå
eÉáÖÜíW=Ü=
pä~åí=ÜÉáÖÜíW=ã==
^êÉ~=çÑ=Ä~ëÉëW= pN I= pO =
i~íÉê~ä=ëìêÑ~ÅÉ=~êÉ~W= p i =
mÉêáãÉíÉê=çÑ=Ä~ëÉëW= mN I= mO =
pÅ~äÉ=Ñ~ÅíçêW=â=
qçí~ä=ëìêÑ~ÅÉ=~êÉ~W=p=
sçäìãÉW=s=
=
=
=
=
Figure 42.
=
298.
ÄN ÄO ÄP
Ä
Ä
= = =K= å = = â =
~N ~ O ~ P
~å ~
=
61
CHAPTER 3. GEOMETRY
299.
pO
= âO =
pN
=
ã(mN + mO )
=
300. p i =
O
=
301. p = p i + pN + pO =
=
Ü
302. s = pN + pNpO + pO =
P
=
O
Üp  Ä  Ä   Üp
303. s = N N + +    = N N + â + â O =
P  ~  ~   P
=
=
=
(
)
[
]
3.28 Rectangular Right Wedge
=
páÇÉë=çÑ=Ä~ëÉW=~I=Ä=
qçé=ÉÇÖÉW=Å=
eÉáÖÜíW=Ü=
i~íÉê~ä=ëìêÑ~ÅÉ=~êÉ~W= p i =
^êÉ~=çÑ=Ä~ëÉW= p_ =
qçí~ä=ëìêÑ~ÅÉ=~êÉ~W=p=
sçäìãÉW=s=
=
=
62
CHAPTER 3. GEOMETRY
=
=
Figure 43.
=
N
(~ + Å ) QÜO + ÄO + Ä ÜO + (~ − Å )O =
O
=
305. p_ = ~Ä =
=
306. p = p_ + p i =
=
ÄÜ
(O~ + Å ) =
307. s =
S
=
=
=
304. p i =
3.29 Platonic Solids
=
bÇÖÉW=~=
o~Çáìë=çÑ=áåëÅêáÄÉÇ=ÅáêÅäÉW=ê=
o~Çáìë=çÑ=ÅáêÅìãëÅêáÄÉÇ=ÅáêÅäÉW=o=
pìêÑ~ÅÉ=~êÉ~W=p=
sçäìãÉW=s=
=
=
63
CHAPTER 3. GEOMETRY
308. cáîÉ=mä~íçåáÅ=pçäáÇë=
qÜÉ= éä~íçåáÅ= ëçäáÇë= ~êÉ= ÅçåîÉñ= éçäóÜÉÇê~= ïáíÜ= Éèìáî~äÉåí=
Ñ~ÅÉë=ÅçãéçëÉÇ=çÑ=ÅçåÖêìÉåí=ÅçåîÉñ=êÉÖìä~ê=éçäóÖçåëK==
=
kìãÄÉê=
kìãÄÉê=
pÉÅíáçå=
pçäáÇ=
kìãÄÉê=
çÑ=sÉêíáÅÉë çÑ=bÇÖÉë=
çÑ=c~ÅÉë=
qÉíê~ÜÉÇêçå==
Q=
S=
Q=
PKOR=
`ìÄÉ=
U=
NO=
S=
PKOO=
lÅí~ÜÉÇêçå=
S=
NO=
U=
PKOT=
fÅçë~ÜÉÇêçå=
NO=
PM=
OM=
PKOT=
açÇÉÅ~ÜÉÇêçå=
OM=
PM=
NO=
PKOT=
=
=
Octahedron
=
=
=
Figure 44.
=
309. ê =
~ S
=
S
=
310. o =
~ O
=
O
=
64
CHAPTER 3. GEOMETRY
311. p = O~ O P =
=
~P O
312. s =
=
P
=
=
Icosahedron
=
=
=
Figure 45.
=
313. ê =
(
=
314. o =
)
~ P P+ R
=
NO
(
)
~
O R+ R =
Q
=
315. p = R~ O P =
=
R~ P P + R
316. s =
=
NO
=
=
(
)
65
CHAPTER 3. GEOMETRY
Dodecahedron
=
=
=
Figure 46.
317. ê =
(
~ NM OR + NN R
=
O
=
318. o =
)
=
(
)
~ P N+ R
=
Q
=
(
)
319. p = P~ O R R + O R =
=
~ P NR + T R
320. s =
=
Q
=
=
=
(
)
3.30 Right Circular Cylinder
=
o~Çáìë=çÑ=Ä~ëÉW=o=
aá~ãÉíÉê=çÑ=Ä~ëÉW=Ç=
66
CHAPTER 3. GEOMETRY
eÉáÖÜíW=e=
i~íÉê~ä=ëìêÑ~ÅÉ=~êÉ~W= p i =
^êÉ~=çÑ=Ä~ëÉW= p_ =
qçí~ä=ëìêÑ~ÅÉ=~êÉ~W=p=
sçäìãÉW=s=
=
=
=
=====
=
Figure 47.
=
321. p i = Oπoe =
=
Ç

322. p = p i + Op_ = Oπo(e + o ) = πÇ e +  =
O

=
323. s = p_ e = πo O e =
=
=
=
67
CHAPTER 3. GEOMETRY
3.31 Right Circular Cylinder with
an Oblique Plane Face
=
o~Çáìë=çÑ=Ä~ëÉW=o=
qÜÉ=ÖêÉ~íÉëí=ÜÉáÖÜí=çÑ=~=ëáÇÉW= ÜN =
qÜÉ=ëÜçêíÉëí=ÜÉáÖÜí=çÑ=~=ëáÇÉW= Ü O =
i~íÉê~ä=ëìêÑ~ÅÉ=~êÉ~W= p i =
^êÉ~=çÑ=éä~åÉ=ÉåÇ=Ñ~ÅÉëW= p_ =
qçí~ä=ëìêÑ~ÅÉ=~êÉ~W=p=
sçäìãÉW=s=
=
=
=
=
Figure 48.
=
324. p i = πo(ÜN + Ü O ) =
=
O
 Ü − ÜO 
325. p_ = πo + πo o +  N
 =
 O 
=
O
O
68
CHAPTER 3. GEOMETRY
O

ÜN − Ü O  

O
326. p = p i + p_ = πo ÜN + Ü O + o + o + 
 =
 O  

=
πo O
(ÜN + ÜO ) =
327. s =
O
=
=
=
3.32 Right Circular Cone
o~Çáìë=çÑ=Ä~ëÉW=o=
aá~ãÉíÉê=çÑ=Ä~ëÉW=Ç=
eÉáÖÜíW=e=
pä~åí=ÜÉáÖÜíW=ã=
i~íÉê~ä=ëìêÑ~ÅÉ=~êÉ~W= pi =
^êÉ~=çÑ=Ä~ëÉW= p_ =
qçí~ä=ëìêÑ~ÅÉ=~êÉ~W=p=
sçäìãÉW=s=
=
=
=
=
Figure 49.
69
CHAPTER 3. GEOMETRY
328. e = ã O − o O =
=
πãÇ
329. p i = πoã =
=
O
=
330. p_ = πo O =
=
N 
Ç
331. p = p i + p_ = πo (ã + o ) = πÇ ã +  =
O 
O
=
N
N
332. s = p_ e = πo O e =
P
P
=
=
=
3.33 Frustum of a Right Circular Cone
=
o~Çáìë=çÑ=Ä~ëÉëW=oI=ê=
eÉáÖÜíW=e=
pä~åí=ÜÉáÖÜíW=ã=
pÅ~äÉ=Ñ~ÅíçêW=â=
^êÉ~=çÑ=Ä~ëÉëW= pN I= pO =
i~íÉê~ä=ëìêÑ~ÅÉ=~êÉ~W= p i =
qçí~ä=ëìêÑ~ÅÉ=~êÉ~W=p=
sçäìãÉW=s=
=
=
70
CHAPTER 3. GEOMETRY
=
=
Figure 50.
=
333. e = ã O − (o − ê ) =
=
o
334.
=â=
ê
=
p oO
335. O = O = â O =
pN ê
=
336. p i = πã(o + ê ) =
=
337. p = pN + pO + p i = π o O + ê O + ã(o + ê ) =
=
Ü
338. s = pN + pNpO + pO =
P
=
O
ÜpN  o  o   ÜpN
339. s =
N+ â + âO =
N + +    =
P  ê  ê   P
=
=
=
O
[
(
]
)
[
71
]
CHAPTER 3. GEOMETRY
3.34 Sphere
=
o~ÇáìëW=o=
aá~ãÉíÉêW=Ç=
pìêÑ~ÅÉ=~êÉ~W=p=
sçäìãÉW=s=
=
=
=
Figure 51.
=
340. p = Qπo O =
=
Q
N
N
341. s = πo P e = πÇ P = po =
P
S
P
=
=
=
3.35 Spherical Cap
o~Çáìë=çÑ=ëéÜÉêÉW=o=
o~Çáìë=çÑ=Ä~ëÉW=ê=
eÉáÖÜíW=Ü=
^êÉ~=çÑ=éä~åÉ=Ñ~ÅÉW= p_ =
^êÉ~=çÑ=ëéÜÉêáÅ~ä=Å~éW= p` =
qçí~ä=ëìêÑ~ÅÉ=~êÉ~W=p=
sçäìãÉW=s=
72
CHAPTER 3. GEOMETRY
=
=
Figure 52.
=
342. o =
ê O + ÜO
=
OÜ
=
343. p_ = πê O =
=
344. p` = π(Ü O + ê O )=
=
345. p = p_ + p` = π(Ü O + Oê O ) = π(OoÜ + ê O ) =
=
π
π
346. s = Ü O (Po − Ü ) = Ü(Pê O + Ü O ) =
S
S
=
=
=
3.36 Spherical Sector
=
o~Çáìë=çÑ=ëéÜÉêÉW=o=
o~Çáìë=çÑ=Ä~ëÉ=çÑ=ëéÜÉêáÅ~ä=Å~éW=ê=
eÉáÖÜíW=Ü=
qçí~ä=ëìêÑ~ÅÉ=~êÉ~W=p=
sçäìãÉW=s=
=
73
CHAPTER 3. GEOMETRY
======
=
===
=
Figure 53.
=
347. p = πo(OÜ + ê ) =
=
O
348. s = πo O Ü =
P
=
kçíÉW= qÜÉ= ÖáîÉå= Ñçêãìä~ë= ~êÉ= ÅçêêÉÅí= ÄçíÜ= Ñçê= ±çéÉå≤= ~åÇ=
±ÅäçëÉÇ≤=ëéÜÉêáÅ~ä=ëÉÅíçêK=
=
=
=
3.37 Spherical Segment
=
o~Çáìë=çÑ=ëéÜÉêÉW=o=
o~Çáìë=çÑ=Ä~ëÉëW= êN I= êO =
eÉáÖÜíW=Ü=
^êÉ~=çÑ=ëéÜÉêáÅ~ä=ëìêÑ~ÅÉW= pp =
^êÉ~=çÑ=éä~åÉ=ÉåÇ=Ñ~ÅÉëW= pN I= pO =
qçí~ä=ëìêÑ~ÅÉ=~êÉ~W=p=
sçäìãÉW=s=
=
74
CHAPTER 3. GEOMETRY
=
=====
=
Figure 54.
=
349. pp = OπoÜ =
=
350. p = pp + pN + pO = π(OoÜ + êNO + êOO ) =
=
N
351. s = πÜ(PêNO + PêOO + Ü O )=
S
=
=
=
3.38 Spherical Wedge
=
o~ÇáìëW=o=
aáÜÉÇê~ä=~åÖäÉ=áå=ÇÉÖêÉÉëW=ñ=
aáÜÉÇê~ä=~åÖäÉ=áå=ê~Çá~åëW= α =
^êÉ~=çÑ=ëéÜÉêáÅ~ä=äìåÉW= p i =
qçí~ä=ëìêÑ~ÅÉ=~êÉ~W=p=
sçäìãÉW=s=
=
=
75
CHAPTER 3. GEOMETRY
=
=
Figure 55.
=
352. p i =
πo O
α = Oo O ñ =
VM
=
353. p = πo O +
πo O
α = πo O + Oo O ñ =
VM
=
354. s =
πoP
O
α = oP ñ =
OTM
P
=
=
=
3.39 Ellipsoid
=
pÉãá-~ñÉëW=~I=ÄI=Å=
sçäìãÉW=s=
76
CHAPTER 3. GEOMETRY
=
=======
=
Figure 56.
=
Q
355. s = π~ÄÅ =
P
=
=
=
Prolate Spheroid
=
pÉãá-~ñÉëW=~I=ÄI=Ä=E ~ > Ä F=
pìêÑ~ÅÉ=~êÉ~W=p=
sçäìãÉW=s=
=
=
~ ~êÅëáå É 

356. p = OπÄ Ä +
 I==
É


ïÜÉêÉ= É =
~ O − ÄO
K=
~
=
Q
357. s = πÄO~ =
P
=
77
CHAPTER 3. GEOMETRY
Oblate Spheroid
=
pÉãá-~ñÉëW=~I=ÄI=Ä=E ~ < Ä F=
pìêÑ~ÅÉ=~êÉ~W=p=
sçäìãÉW=s=
=
=

 ÄÉ  
~ ~êÅëáåÜ   

 ~   I==
358. p = OπÄ Ä +


ÄÉ L ~




ïÜÉêÉ= É =
ÄO − ~ O
K=
Ä
=
Q
359. s = πÄO~ =
P
=
=
=
3.40 Circular Torus
=
j~àçê=ê~ÇáìëW=o=
jáåçê=ê~ÇáìëW=ê=
pìêÑ~ÅÉ=~êÉ~W=p=
sçäìãÉW=s=
=
78
CHAPTER 3. GEOMETRY
==
Picture 57.
=
360. p = QπOoê =
=
361. s = OπOoê O =
=
=
79
=
Chapter 4
Trigonometry
=
=
=
=
^åÖäÉëW= α I= β =
oÉ~ä=åìãÄÉêë=EÅççêÇáå~íÉë=çÑ=~=éçáåíFW=ñI=ó==
tÜçäÉ=åìãÄÉêW=â=
=
=
4.1 Radian and Degree Measures of Angles
=
362. N ê~Ç =
=
363. N° =
=
364. N D =
=
365. N ? =
=
366. =
=
=
=
=
NUM°
≈ RT°NT DQR? =
π
π
ê~Ç ≈ MKMNTQRP ê~Ç =
NUM
π
ê~Ç ≈ MKMMMOVN ê~Ç =
NUM ⋅ SM
π
ê~Ç ≈ MKMMMMMR ê~Ç =
NUM ⋅ PSMM
^åÖäÉ=
EÇÉÖêÉÉëF=
^åÖäÉ=
Eê~Çá~åëF=
M=
PM= QR= SM= VM= NUM= OTM= PSM=
M=
π
=
S
π
=
Q
80
π
=
P
π
=
O
π=
Pπ
=
O
Oπ =
CHAPTER 4. TRIGONOMETRY
4.2 Definitions and Graphs of Trigonometric
Functions
=
=
=
=
Figure 58.
=
367. ëáå α =
ó
=
ê
=
368. Åçë α =
ñ
=
ê
=
369. í~å α =
ó
=
ñ
=
370. Åçí α =
ñ
=
ó
=
81
CHAPTER 4. TRIGONOMETRY
371. ëÉÅ α =
ê
=
ñ
=
372. ÅçëÉÅ α =
ê
=
ó
=
373. páåÉ=cìåÅíáçå=
ó = ëáå ñ I= − N ≤ ëáå ñ ≤ N K=
=
=
Figure 59.
=
374. `çëáåÉ=cìåÅíáçå==
ó = Åçë ñ I= − N ≤ Åçë ñ ≤ N K=
82
CHAPTER 4. TRIGONOMETRY
=
=
Figure 60.
=
375. q~åÖÉåí=cìåÅíáçå=
π
ó = í~å ñ I= ñ ≠ (Oâ + N) I= − ∞ ≤ í~å ñ ≤ ∞K =
O
=
=
=
Figure 61.
=
83
CHAPTER 4. TRIGONOMETRY
376. `çí~åÖÉåí=cìåÅíáçå==
ó = Åçí ñ I= ñ ≠ âπ I== − ∞ ≤ Åçí ñ ≤ ∞ K=
=
=
=
Figure 62.
=
377. pÉÅ~åí=cìåÅíáçå=
π
ó = ëÉÅ ñ I= ñ ≠ (Oâ + N) K=
O
==
84
CHAPTER 4. TRIGONOMETRY
=
=
Figure 63.
=
378. `çëÉÅ~åí=cìåÅíáçå==
ó = Åçë ÉÅ ñ I= ñ ≠ âπ K=
=
Figure 64.
85
CHAPTER 4. TRIGONOMETRY
4.3. Signs of Trigonometric Functions
379. =
=
=
=
380. =
nì~Çê~åí=
=
f=
ff=
fff=
fs=
páå
α=
H=
H=
=
=
`çë
α=
H=
=
=
H=
q~å
α=
H=
=
H=
=
`çí
α=
H=
=
H=
=
pÉÅ
α=
H=
=
=
H=
`çëÉÅ=
α=
H=
H=
=
=
=
=
Figure 65.
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
86
CHAPTER 4. TRIGONOMETRY
4.4 Trigonometric Functions of Common
Angles
381. =
α° = α ê~Ç =
M=
M=
π
=
PM=
S
π
=
QR=
Q
π
=
SM=
P
π
=
VM=
O
Oπ
=
NOM=
P
NUM=
π=
Pπ
=
OTM=
O
PSM= Oπ =
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
O
=
O
P
=
O
Åçë α =
N=
P
=
O
O
=
O
N
=
O
N=
M=
P
=
O
M=
N
− =
O
− N=
− N=
M=
ëáå α =
M=
N
=
O
í~å α = Åçí α
M=
∞=
N
=
P=
P
ëÉÅ α =
N=
O
=
P
ÅçëÉÅ α =
∞=
O=
N=
N=
P=
N
=
P
O=
O
=
P
M=
∞=
N=
∞=
O=
O=
M=
N
P
∞=
− N=
O
=
P
∞=
M=
∞=
M=
∞=
− N=
N=
M=
∞=
N=
∞=
− P=
87
−
−O=
CHAPTER 4. TRIGONOMETRY
382. =
α° = α ê~Ç =
π
=
NR=
NO
ëáå α =
Åçë α =
í~å α =
Åçí α =
S− O
=
Q
S+ O
=
Q
O− P =
O+ P =
R−O R
=
R
R+O R =
NU=
π
=
NM
R −N
=
Q
NM + O R
Q
PS=
π
=
R
NM − O R
Q
R +N
=
Q
RQ=
Pπ
=
NM
R +N
=
Q
NM − O R
Q
TO=
Oπ
=
R
NM + O R
Q
R −N
=
Q
TR=
Rπ
=
NO
S+ O
=
Q
S− O
=
Q
=
=
=
4.5 Most Important Formulas
=
383. ëáå O α + Åçë O α = N =
=
384. ëÉÅ O α − í~å O α = N =
=
385. ÅëÅ O α − Åçí O α = N =
=
ëáå α
=
386. í~å α =
Åçë α
88
NM − O R
R +N
R +N
NM − O R
R +N
NM − O R
=
NM − O R
R +N
=
R+O R =
R−O R
R
=
O+ P =
O− P =
CHAPTER 4. TRIGONOMETRY
387. Åçí α =
Åçë α
=
ëáå α
=
388. í~å α ⋅ Åçí α = N =
=
N
389. ëÉÅ α =
=
Åçë α
=
N
390. ÅçëÉÅ α =
=
ëáå α
=
=
=
4.6 Reduction Formulas
=
391. =
=
=
=
=
=
=
β=
−α=
VM° − α =
VM° + α =
NUM° − α
NUM° + α
OTM° − α
OTM° + α
PSM° − α
= PSM° + α
ëáå β =
− ëáå α =
+ Åçë α =
+ Åçë α =
+ ëáå α =
− ëáå α =
− Åçë α =
− Åçë α =
− ëáå α =
+ ëáå α =
89
Åçë β =
+ Åçë α =
+ ëáå α =
− ëáå α =
− Åçë α =
− Åçë α =
− ëáå α =
+ ëáå α =
+ Åçë α =
+ Åçë α =
í~å β =
− í~å α =
+ Åçí α =
− Åçí α =
− í~å α =
+ í~å α =
+ Åçí α =
− Åçí α =
− í~å α =
+ í~å α =
Åçí β =
− Åçí α =
+ í~å α =
− í~å α =
− Åçí α =
+ Åçí α =
+ í~å α =
− í~å α =
− Åçí α =
+ Åçí α =
CHAPTER 4. TRIGONOMETRY
4.7 Periodicity of Trigonometric Functions
=
392. ëáå(α ± Oπå ) = ëáå α I=éÉêáçÇ= Oπ =çê= PSM° K=
=
393. Åçë(α ± Oπå ) = Åçë α I=éÉêáçÇ= Oπ =çê= PSM° K=
=
394. í~å(α ± πå ) = í~å α I=éÉêáçÇ= π =çê= NUM° K=
=
395. Åçí(α ± πå ) = Åçí α I=éÉêáçÇ= π =çê= NUM° K=
=
=
=
4.8 Relations between Trigonometric
Functions
=
396. ëáå α = ± N − Åçë O α = ±
α
O =
=
α
N + í~å O
O
N
(N − Åçë Oα ) = O Åçë O  α − π  − N =
O
 O Q
O í~å
=
=
397. Åçë α = ± N − ëáå O α = ±
α
O=
=
α
N + í~å O
O
N
(N + Åçë Oα ) = O Åçë O α − N =
O
O
N − í~å O
=
=
398. í~å α =
ëáå α
ëáå Oα
N − Åçë Oα
= ± ëÉÅ O α − N =
=
=
Åçë α
N + Åçë Oα
ëáå Oα
90
CHAPTER 4. TRIGONOMETRY
α
N − Åçë Oα
O =
=±
=
N + Åçë Oα
O α
N + í~å
O
O í~å
=
=
Åçë α
N + Åçë Oα
ëáå Oα
= ± ÅëÅ O α − N =
=
=
ëáå α
ëáå Oα
N − Åçë Oα
α
N − í~å O
N + Åçë Oα
O=
=
= =±
α
N − Åçë Oα
O í~å
O
399. Åçí α =
=
α
N
O=
400. ëÉÅ α =
= ± N + í~å O α =
α
Åçë α
N − í~å O
O
=
α
N + í~å O
N
O=
401. ÅëÅ α =
= ± N + Åçí O α =
α
ëáå α
O í~å
O
=
=
=
N + í~å O
4.9 Addition and Subtraction Formulas
=
402. ëáå(α + β) = ëáå α Åçë β + ëáå β Åçë α =
=
403. ëáå(α − ó ) = ëáå α Åçë β − ëáå β Åçë α =
=
404. Åçë(α + β ) = Åçë α Åçë β − ëáå α ëáå β =
=
405. Åçë(α − β ) = Åçë α Åçë β + ëáå α ëáå β =
91
CHAPTER 4. TRIGONOMETRY
406. í~å(α + β ) =
=
407. í~å(α − β ) =
=
408. Åçí(α + β) =
=
409. Åçí(α − β) =
í~å α + í~å β
=
N − í~å α í~å β
í~å α − í~å β
=
N + í~å α í~å β
N − í~å α í~å β
=
í~å α + í~å β
N + í~å α í~å β
=
í~å α − í~å β
=
=
=
4.10 Double Angle Formulas
=
410. ëáå Oα = O ëáå α ⋅ Åçë α =
=
411. Åçë Oα = Åçë O α − ëáå O α = N − O ëáå O α = O Åçë O α − N =
=
O í~å α
O
412. í~å Oα =
=
=
O
N − í~å α Åçí α − í~å α
=
Åçí O α − N Åçí α − í~å α
=
=
413. Åçí Oα =
O Åçí α
O
=
=
=
=
=
=
92
CHAPTER 4. TRIGONOMETRY
4.11 Multiple Angle Formulas
=
414. ëáå Pα = P ëáå α − Q ëáå P α = P Åçë O α ⋅ ëáå α − ëáåP α =
=
415. ëáå Qα = Q ëáå α ⋅ Åçë α − U ëáå P α ⋅ Åçë α =
=
416. ëáå Rα = R ëáå α − OM ëáå P α + NS ëáå R α =
=
417. Åçë Pα = Q ÅçëP α − P Åçë α = Åçë P α − P Åçë α ⋅ ëáå O α =
=
418. Åçë Qα = U Åçë Q α − U Åçë O α + N =
=
419. Åçë Rα = NS Åçë R α − OM Åçë P α + R Åçë α =
=
P í~å α − í~å P α
420. í~å Pα =
=
N − P í~å O α
=
Q í~å α − Q í~å P α
=
421. í~å Qα =
N − S í~å O α + í~å Q α
=
í~å R α − NM í~å P α + R í~å α
=
422. í~å Rα =
N − NM í~å O α + R í~å Q α
=
Åçí P α − P Åçí α
423. Åçí Pα =
=
P Åçí O α − N
=
N − S í~å O α + í~å Q α
==
424. Åçí Qα =
Q í~å α − Q í~å P α
=
93
CHAPTER 4. TRIGONOMETRY
425. Åçí Rα =
N − NM í~å O α + R í~å Q α
=
í~å R α − NM í~å P α + R í~å α
=
=
=
4.12 Half Angle Formulas
=
426. ëáå
α
N − Åçë α
=
=±
O
O
=
427. Åçë
α
N + Åçë α
=
=±
O
O
=
428. í~å
α
N − Åçë α
ëáå α
N − Åçë α
=±
=
=
= ÅëÅ α − Åçí α =
O
N + Åçë α N + Åçë α
ëáå α
=
429. Åçí
α
N + Åçë α
ëáå α
N + Åçë α
=±
=
=
= ÅëÅ α + Åçí α =
O
N − Åçë α N − Åçë α
ëáå α
=
=
=
4.13 Half Angle Tangent Identities
=
α
O =
430. ëáå α =
α
N + í~å O
O
=
O í~å
94
CHAPTER 4. TRIGONOMETRY
α
O=
431. Åçë α =
O α
N + í~å
O
=
α
O í~å
O =
432. í~å α =
α
N − í~å O
O
=
α
N − í~å O
O=
433. Åçí α =
α
O í~å
O
=
=
=
N − í~å O
4.14 Transforming of Trigonometric
Expressions to Product
=
434. ëáå α + ëáå β = O ëáå
=
435. ëáå α − ëáå β = O Åçë
α+β
α −β
=
Åçë
O
O
α +β
α −β
=
ëáå
O
O
=
436. Åçë α + Åçë β = O Åçë
α+β
α −β
=
Åçë
O
O
=
437. Åçë α − Åçë β = −O ëáå
α +β
α −β
=
ëáå
O
O
=
95
CHAPTER 4. TRIGONOMETRY
438. í~å α + í~å β =
=
439. í~å α − í~å β =
=
440. Åçí α + Åçí β =
=
441. Åçí α − Åçí β =
ëáå(α + β )
=
Åçë α ⋅ Åçë β
ëáå(α − β )
=
Åçë α ⋅ Åçë β
ëáå(β + α )
=
ëáå α ⋅ ëáå β
ëáå(β − α )
=
ëáå α ⋅ ëáå β
=
π

π

442. Åçë α + ëáå α = O Åçë − α  = O ëáå + α  =
Q

Q

=
π

π

443. Åçë α − ëáå α = O ëáå − α  = O Åçë + α  =
Q

Q

=
Åçë(α − β)
=
444. í~å α + Åçí β =
Åçë α ⋅ ëáå β
=
Åçë(α + β )
=
445. í~å α − Åçí β = −
Åçë α ⋅ ëáå β
=
α
446. N + Åçë α = O Åçë O =
O
=
α
447. N − Åçë α = O ëáå O =
O
=
96
CHAPTER 4. TRIGONOMETRY
π α
448. N + ëáå α = O Åçë O  −  =
Q O
=
π α
449. N − ëáå α = O ëáå O  −  =
Q O
=
=
=
4.15 Transforming of Trigonometric
Expressions to Sum
=
450. ëáå α ⋅ ëáå β =
Åçë(α − β) − Åçë(α + β )
=
O
=
451. Åçë α ⋅ Åçë β =
=
452. ëáå α ⋅ Åçë β =
=
453. í~å α ⋅ í~å β =
=
454. Åçí α ⋅ Åçí β =
=
455. í~å α ⋅ Åçí β =
Åçë(α − β ) + Åçë(α + β )
=
O
ëáå(α − β ) + ëáå(α + β )
=
O
í~å α + í~å β
=
Åçí α + Åçí β
Åçí α + Åçí β
=
í~å α + í~å β
í~å α + Åçí β
=
Åçí α + í~å β
=
=
=
97
CHAPTER 4. TRIGONOMETRY
4.16 Powers of Trigonometric Functions
=
456. ëáå O α =
=
457. ëáå P α =
=
458. ëáå Q α =
=
459. ëáå R α =
=
460. ëáå S α =
=
461. Åçë O α =
=
462. Åçë P α =
=
463. Åçë Q α =
=
464. Åçë R α =
=
465. Åçë S α =
N − Åçë Oα
=
O
P ëáå α − ëáå Pα
=
Q
Åçë Qα − Q Åçë Oα + P
=
U
NM ëáå α − R ëáå Pα + ëáå Rα
=
NS
NM − NR Åçë Oα + S Åçë Qα − Åçë Sα
=
PO
N + Åçë Oα
=
O
P Åçë α + Åçë Pα
=
Q
Åçë Qα + Q Åçë Oα + P
=
U
NM Åçë α + R ëáå Pα + Åçë Rα
=
NS
NM + NR Åçë Oα + S Åçë Qα + Åçë Sα
=
PO
=
98
CHAPTER 4. TRIGONOMETRY
4.17 Graphs of Inverse Trigonometric
Functions
=
466. fåîÉêëÉ=páåÉ=cìåÅíáçå==
ó = ~êÅëáå ñ I= − N ≤ ñ ≤ N I= −
π
π
≤ ~êÅëáå ñ ≤ K=
O
O
=
=
=
Figure 66.
=
467. fåîÉêëÉ=`çëáåÉ=cìåÅíáçå==
ó = ~êÅÅçë ñ I= − N ≤ ñ ≤ N I= M ≤ ~êÅÅçë ñ ≤ π K=
=
99
CHAPTER 4. TRIGONOMETRY
=
=
Figure 67.
=
468. fåîÉêëÉ=q~åÖÉåí=cìåÅíáçå==
ó = ~êÅí~å ñ I= − ∞ ≤ ñ ≤ ∞ I= −
π
π
< ~êÅí~å ñ < K=
O
O
=
=
=
=====
Figure 68.
100
CHAPTER 4. TRIGONOMETRY
469. fåîÉêëÉ=`çí~åÖÉåí=cìåÅíáçå==
ó = ~êÅ Åçí ñ I= − ∞ ≤ ñ ≤ ∞ I= M < ~êÅ Åçí ñ < π K=
=====
=
Figure 69.
=
470. fåîÉêëÉ=pÉÅ~åí=cìåÅíáçå==
 π  π 
ó = ~êÅëÉÅ=ñ I ñ ∈ (− ∞I − N] ∪ [NI ∞ )I ~êÅ ëÉÅ ñ ∈ MI  ∪  I πK
 O  O 
=
Figure 70.
101
CHAPTER 4. TRIGONOMETRY
471. fåîÉêëÉ=`çëÉÅ~åí=cìåÅíáçå==
 π   π
ó = ~êÅÅëÅ ñ I ñ ∈ (− ∞I − N] ∪ [NI ∞ )I ~êÅ ÅëÅ ñ ∈ − I M  ∪  MI K
 O   O
=
=
Figure 71.
=
=
4.18 Principal Values of Inverse
Trigonometric Functions
472.
ñ=
M=
N
=
O
PM° =
SM° =
O
−
O
~êÅëáå ñ = M° =
~êÅÅçë ñ = VM°
N
−
ñ=
O
− PM°
~êÅëáå ñ =
− QR°
=
NOM°
~êÅÅçë ñ =
NPR° =
=
O
=
O
QR° =
QR° =
P
−
O
P
O
SM°
PM°
VM°
M° =
− N=
=
− VM°
=
NUM°
NRM° =
=
− SM°
102
N=
=
=
CHAPTER 4. TRIGONOMETRY
473.
ñ=
M=
P
P
N=
~êÅí~å ñ =
M° =
PM°
QR°
SM°
~êÅ Åçí ñ = VM°
SM°
QR°
PM°
P= −
P
P
4.19 Relations between Inverse
Trigonometric Functions
=
474. ~êÅëáå(− ñ ) = − ~êÅëáå ñ =
=
π
475. ~êÅëáå ñ = − ~êÅÅçë ñ =
O
=
476. ~êÅëáå ñ = ~êÅÅçë N − ñ O I= M ≤ ñ ≤ N K=
=
477. ~êÅëáå ñ = − ~êÅÅçë N − ñ O I= − N ≤ ñ ≤ M K=
=
ñ
O
I= ñ < N K=
478. ~êÅëáå ñ = ~êÅí~å
O
N− ñ
=
N− ñO
I= M < ñ ≤ N K=
ñ
=
480. ~êÅëáå ñ = ~êÅ Åçí
N− ñO
− π I= − N ≤ ñ < M K=
ñ
=
481. ~êÅÅçë(− ñ ) = π − ~êÅÅçë ñ =
103
− P=
− QR°
− SM° =
=
NPR°
NOM° =
NRM° =
=
− PM°
=
=
=
479. ~êÅëáå ñ = ~êÅ Åçí
− N=
CHAPTER 4. TRIGONOMETRY
482. ~êÅÅçë ñ =
π
− ~êÅëáå ñ =
O
=
483. ~êÅÅçë ñ = ~êÅëáå N − ñ O I= M ≤ ñ ≤ N K=
=
484. ~êÅÅçë ñ = π − ~êÅëáå N − ñ O I= − N ≤ ñ ≤ M K=
=
485. ~êÅÅçë ñ = ~êÅí~å
N− ñO
I= M < ñ ≤ N K=
ñ
=
N− ñO
I= − N ≤ ñ < M K=
ñ
486. ~êÅÅçë ñ = π + ~êÅí~å
=
487. ~êÅÅçë ñ = ~êÅ Åçí
ñ
N− ñO
I= − N ≤ ñ ≤ N K=
=
488. ~êÅí~å(− ñ ) = − ~êÅí~å ñ =
=
π
489. ~êÅí~å ñ = − ~êÅ Åçí ñ =
O
=
ñ
=
490. ~êÅí~å ñ = ~êÅëáå
N+ ñO
=
N
I= ñ ≥ M K=
491. ~êÅí~å ñ = ~êÅÅçë
N+ ñO
=
N
I= ñ ≤ M K=
492. ~êÅí~å ñ = − ~êÅÅçë
N+ ñO
=
104
CHAPTER 4. TRIGONOMETRY
493. ~êÅí~å ñ =
π
N
− ~êÅí~å I= ñ > M K=
O
ñ
=
π
N
494. ~êÅí~å ñ = − − ~êÅí~å I= ñ < M K=
O
ñ
=
N
495. ~êÅí~å ñ = ~êÅ Åçí I= ñ > M K=
ñ
=
N
496. ~êÅí~å ñ = ~êÅ Åçí − π I= ñ < M K=
ñ
=
497. ~êÅ Åçí(− ñ ) = π − ~êÅ Åçí ñ =
=
π
498. ~êÅ Åçí ñ = − ~êÅí~å ñ =
O
=
N
I= ñ > M K=
499. ~êÅ Åçí ñ = ~êÅëáå
N+ ñO
=
N
I= ñ < M K=
500. ~êÅ Åçí ñ = π − ~êÅëáå
N+ ñO
=
ñ
=
501. ~êÅ Åçí ñ = ~êÅÅçë
N+ ñO
=
N
502. ~êÅ Åçí ñ = ~êÅí~å I= ñ > M K=
ñ
=
N
503. ~êÅ Åçí ñ = π + ~êÅí~å I= ñ < M K=
ñ
=
=
105
CHAPTER 4. TRIGONOMETRY
4.20 Trigonometric Equations
504.
505.
506.
507.
=
tÜçäÉ=åìãÄÉêW=å=
=
=
å
ëáå ñ = ~ I= ñ = (− N) ~êÅëáå ~ + πå =
=
Åçë ñ = ~ I= ñ = ± ~êÅÅçë ~ + Oπå =
=
í~å ñ = ~ I= ñ = ~êÅí~å ~ + πå =
=
Åçí ñ = ~ I= ñ = ~êÅ Åçí ~ + πå =
=
=
=
4.21 Relations to Hyperbolic Functions
508.
509.
510.
511.
512.
=
fã~Öáå~êó=ìåáíW=á=
=
=
ëáå(áñ ) = á ëáåÜ ñ =
=
í~å(áñ ) = á í~åÜ ñ =
=
Åçí(áñ ) = −á ÅçíÜ ñ =
=
ëÉÅ(áñ ) = ëÉÅÜ ñ =
=
ÅëÅ(áñ ) = −á ÅëÅÜ ñ =
=
=
=
106
Chapter 5
Matrices and Determinants
=
=
=
=
j~íêáÅÉëW=^I=_I=`=
bäÉãÉåíë=çÑ=~=ã~íêáñW= ~ á I= Äá I= ~ áà I= Äáà I= Å áà =
aÉíÉêãáå~åí=çÑ=~=ã~íêáñW= ÇÉí ^ =
jáåçê=çÑ=~å=ÉäÉãÉåí= ~ áà W= j áà =
`çÑ~Åíçê=çÑ=~å=ÉäÉãÉåí= ~ áà W= ` áà =
ú
qê~åëéçëÉ=çÑ=~=ã~íêáñW= ^ q I= ^ =
^Çàçáåí=çÑ=~=ã~íêáñW= ~Çà ^ =
qê~ÅÉ=çÑ=~=ã~íêáñW= íê ^ =
fåîÉêëÉ=çÑ=~=ã~íêáñW= ^ −N =
oÉ~ä=åìãÄÉêW=â=
oÉ~ä=î~êá~ÄäÉëW= ñ á =
k~íìê~ä=åìãÄÉêëW=ãI=å===
=
=
5.1 Determinants
=
513. pÉÅçåÇ=lêÇÉê=aÉíÉêãáå~åí=
~ ÄN
ÇÉí ^ = N
= ~ N Ä O − ~ O ÄN =
~ O ÄO
=
=
=
=
=
107
CHAPTER 5. MATRICES AND DETERMINANTS
514. qÜáêÇ=lêÇÉê=aÉíÉêãáå~åí=
~NN ~NO ~NP
ÇÉí ^ = ~ ON ~ OO
~ OP = ~NN~ OO~ PP + ~NO~ OP~ PN + ~ NP~ ON~ PO − =
~ PN ~ PO ~ PP
− ~NN~ OP~ PO − ~NO~ ON~ PP − ~ NP~ OO~ PN =
=
515. p~êêìë=oìäÉ=E^êêçï=oìäÉF=
=
=
Figure 72.
=
516. k-íÜ=lêÇÉê=aÉíÉêãáå~åí=
~NN ~NO K ~Nà
~ ON ~ OO K ~ O à
K K K K
ÇÉí ^ =
~ áN ~ á O K ~ áà
K K K K
~ åN ~ å O K ~ åà
K ~Nå
K ~ Oå
K K
K ~ áå
=
K K
K ~ åå
=
517. jáåçê=
qÜÉ=ãáåçê= j áà =~ëëçÅá~íÉÇ=ïáíÜ=íÜÉ=ÉäÉãÉåí= ~ áà =çÑ=å-íÜ=çêÇÉê=
ã~íêáñ= ^= áë= íÜÉ= (å − N) -íÜ= çêÇÉê= ÇÉíÉêãáå~åí= ÇÉêáîÉÇ= Ñêçã=
íÜÉ=ã~íêáñ=^=Äó=ÇÉäÉíáçå=çÑ=áíë=á-íÜ=êçï=~åÇ=à-íÜ=ÅçäìãåK===
=
108
CHAPTER 5. MATRICES AND DETERMINANTS
518. `çÑ~Åíçê=
á +à
` áà = (− N) j áà =
=
519. i~éä~ÅÉ=bñé~åëáçå=çÑ=å-íÜ=lêÇÉê=aÉíÉêãáå~åí=
i~éä~ÅÉ=Éñé~åëáçå=Äó=ÉäÉãÉåíë=çÑ=íÜÉ=á-íÜ=êçï=
å
ÇÉí ^ = ∑ ~ áà` áà I= á = NI OI KI å K=
à=N
i~éä~ÅÉ=Éñé~åëáçå=Äó=ÉäÉãÉåíë=çÑ=íÜÉ=à-íÜ=Åçäìãå=
å
ÇÉí ^ = ∑ ~ áà` áà I= à = NI OI KI å K==
á =N
=
=
=
5.2 Properties of Determinants
=
520. qÜÉ==î~äìÉ==çÑ=~=ÇÉíÉêãáå~åí=êÉã~áåë==ìåÅÜ~åÖÉÇ=áÑ=êçïë=~êÉ=
ÅÜ~åÖÉÇ=íç=Åçäìãåë=~åÇ=Åçäìãåë=íç=êçïëK=
~ ~ O ~N ÄN
=
==
= N
ÄN ÄO ~ O ÄO
=
521. fÑ=íïç==êçïë==Eçê=íïç=ÅçäìãåëF=~êÉ==áåíÉêÅÜ~åÖÉÇI=íÜÉ=ëáÖå=çÑ=
íÜÉ=ÇÉíÉêãáå~åí=áë=ÅÜ~åÖÉÇK=
~N ÄN
~ ÄO
=− O
=
~ O ÄO
~N ÄN
=
522. fÑ=íïç=êçïë==Eçê=íïç=ÅçäìãåëF=~êÉ==áÇÉåíáÅ~äI=íÜÉ=î~äìÉ=çÑ=íÜÉ=
ÇÉíÉêãáå~åí=áë=òÉêçK=
~N ~N
= M=
~O ~O
=
109
CHAPTER 5. MATRICES AND DETERMINANTS
523. fÑ==íÜÉ===ÉäÉãÉåíë==çÑ==~åó=êçï==Eçê=ÅçäìãåF=~êÉ=ãìäíáéäáÉÇ=Äó=====
~==Åçããçå==Ñ~ÅíçêI==íÜÉ==ÇÉíÉêãáå~åí==áë==ãìäíáéäáÉÇ==Äó==íÜ~í=
Ñ~ÅíçêK=
â~ N âÄN
~ ÄN
=â N
=
~ O ÄO
~ O ÄO
=
524. fÑ==íÜÉ==ÉäÉãÉåíë==çÑ==~åó==êçï==Eçê==ÅçäìãåF=~êÉ=áåÅêÉ~ëÉÇ=Eçê=
ÇÉÅêÉ~ëÉÇFÄó=Éèì~ä=ãìäíáéäÉë=çÑ=íÜÉ=ÅçêêÉëéçåÇáåÖ=ÉäÉãÉåíë=
çÑ=~åó=çíÜÉê=êçï==Eçê=ÅçäìãåFI==íÜÉ=î~äìÉ=çÑ=íÜÉ=ÇÉíÉêãáå~åí=
áë=ìåÅÜ~åÖÉÇK=
~N + âÄN ÄN ~N ÄN
=
=
~ O + âÄO ÄO ~ O ÄO
=
=
=
5.3 Matrices
=
525. aÉÑáåáíáçå=
^å= ã × å =ã~íêáñ=^=áë=~=êÉÅí~åÖìä~ê=~êê~ó=çÑ=ÉäÉãÉåíë=EåìãÄÉêë=çê=ÑìåÅíáçåëF=ïáíÜ=ã=êçïë=~åÇ=å=ÅçäìãåëK==
 ~ NN ~ NO K ~ Nå 
~
~ OO K ~ Oå 
ON
 ==

^ = ~ áà =
 M
M
M 


~ ãN ~ ã O K ~ ãå 
=
526. pèì~êÉ=ã~íêáñ=áë=~=ã~íêáñ=çÑ=çêÇÉê= å× å K==
=
527. ^=ëèì~êÉ=ã~íêáñ== ~ áà ==áë==ëóããÉíêáÅ==áÑ== ~ áà = ~ àá I==áKÉK==áí==áë=
[ ]
[ ]
ëóããÉíêáÅ=~Äçìí=íÜÉ=äÉ~ÇáåÖ=Çá~Öçå~äK==
=
528. ^=ëèì~êÉ=ã~íêáñ= ~ áà =áë=ëâÉï-ëóããÉíêáÅ=áÑ= ~ áà = −~ àá K==
=
[ ]
110
CHAPTER 5. MATRICES AND DETERMINANTS
529. aá~Öçå~ä=ã~íêáñ==áë==~=ëèì~êÉ==ã~íêáñ=ïáíÜ=~ää==ÉäÉãÉåíë==òÉêç=
ÉñÅÉéí=íÜçëÉ=çå=íÜÉ=äÉ~ÇáåÖ=Çá~Öçå~äK==
=
530. råáí=ã~íêáñ==áë==~=Çá~Öçå~ä==ã~íêáñ==áå=ïÜáÅÜ=íÜÉ=ÉäÉãÉåíë=çå=
íÜÉ=äÉ~ÇáåÖ=Çá~Öçå~ä=~êÉ=~ää=ìåáíóK=qÜÉ=ìåáí=ã~íêáñ=áë===========
ÇÉåçíÉÇ=Äó=fK==
=
531. ^=åìää=ã~íêáñ=áë=çåÉ=ïÜçëÉ=ÉäÉãÉåíë=~êÉ=~ää=òÉêçK=
=
=
=
5.4 Operations with Matrices
=
532. qïç=ã~íêáÅÉë=^=~åÇ=_=~êÉ=Éèì~ä=áÑI=~åÇ=çåäó=áÑI=íÜÉó=~êÉ=ÄçíÜ=
çÑ==íÜÉ==ë~ãÉ==ëÜ~éÉ== ã × å ==~åÇ=ÅçêêÉëéçåÇáåÖ=ÉäÉãÉåíë=~êÉ=
Éèì~äK=
=
533. qïç=ã~íêáÅÉë==^=~åÇ=_==Å~å=ÄÉ=~ÇÇÉÇ=Eçê=ëìÄíê~ÅíÉÇF=çÑI=~åÇ=
çåäó=áÑI=íÜÉó=Ü~îÉ=íÜÉ=ë~ãÉ=ëÜ~éÉ= ã × å K=fÑ==
 ~NN ~NO K ~Nå 
~
~ OO K ~ Oå 
 I==
^ = ~ áà =  ON
 M
M
M 


~ ãN ~ ã O K ~ ãå 
 ÄNN ÄNO K ÄNå 
Ä
ÄOO K ÄOå 
 I==
_ = Äáà =  ON
 M
M
M 


ÄãN Äã O K Äãå 
=
=
=
=
=
[ ]
[ ]
111
CHAPTER 5. MATRICES AND DETERMINANTS
íÜÉå==
~NO + ÄNO K ~Nå + ÄNå 
 ~NN + ÄNN
~ +Ä
~ OO + ÄOO K ~ Oå + ÄOå 
ON
ON
 K=

^+_=


M
M
M


~ ãN + ÄãN ~ ã O + Äã O K ~ ãå + Äãå 
=
534. fÑ=â=áë=~=ëÅ~ä~êI=~åÇ= ^ = ~ áà =áë=~=ã~íêáñI=íÜÉå=
[ ]
 â~NN â~NO K â~Nå 
 â~
â~ OO K â~ Oå 
ON
 K=

â^ = â~ áà =
 M
M
M 


â~ ãN â~ ã O K â~ ãå 
=
535. jìäíáéäáÅ~íáçå=çÑ=qïç=j~íêáÅÉë=
qïç= ã~íêáÅÉë= Å~å= ÄÉ= ãìäíáéäáÉÇ= íçÖÉíÜÉê= çåäó= ïÜÉå= íÜÉ=
åìãÄÉê= çÑ= Åçäìãåë= áå= íÜÉ= Ñáêëí= áë= Éèì~ä= íç= íÜÉ= åìãÄÉê= çÑ=
êçïë=áå=íÜÉ=ëÉÅçåÇK==
=
fÑ=
 ~NN ~NO K ~Nå 
~
~ OO K ~ Oå 
 I==
^ = ~ áà =  ON
 M
M
M 


~ ãN ~ ã O K ~ ãå 
 ÄNN ÄNO K ÄNâ 
Ä
ÄOO K ÄO â 
 I=
_ = Äáà =  ON
 M
M
M 


ÄåN Äå O K Äåâ 
=
=
=
=
=
[ ]
[ ]
[ ]
112
CHAPTER 5. MATRICES AND DETERMINANTS
íÜÉå==
 ÅNN ÅNO K ÅNâ 
Å
Å OO K Å O â 
ON
 I==

^_ = ` =
 M
M
M 


Ä ãN Å ã O K Å ãâ 
ïÜÉêÉ==
å
Å áà = ~ áNÄNà + ~ á O ÄO à + K + ~ áå Äåà = ∑ ~ á λ Äλ à =
E á = NI OI KI ã X à = NI OI KI â FK==
=
qÜìë=áÑ=
[ ]
~ NN
^ = ~ áà = 
~ ON
~ NO
~ OO
λ =N
 ÄN 
~ NP 
I= _ = [Ä á ] = Ä O  I==

~ OP 
ÄP 
íÜÉå==
~ NN ~ NO
^_ = 
~ ON ~ OO
Ä 
~ NP   N  ~ NNÄN
⋅ Ä =
~ OP   O  ~ ONÄN
ÄP 
~ NO Ä O
~ OO Ä O
~ NP ÄP 
K==
~ OP ÄP 
=
536. qê~åëéçëÉ=çÑ=~=j~íêáñ=
fÑ=íÜÉ=êçïë=~åÇ=Åçäìãåë=çÑ=~=ã~íêáñ=~êÉ=áåíÉêÅÜ~åÖÉÇI=íÜÉå=
íÜÉ=åÉï=ã~íêáñ=áë=Å~ääÉÇ=íÜÉ=íê~åëéçëÉ=çÑ=íÜÉ=çêáÖáå~ä=ã~íêáñK===
fÑ= ^= áë= íÜÉ= çêáÖáå~ä= ã~íêáñI= áíë= íê~åëéçëÉ= áë= ÇÉåçíÉÇ= ^ q = çê=
ú
^ K==
=
537. qÜÉ=ã~íêáñ=^=áë=çêíÜçÖçå~ä=áÑ= ^^ q = f K==
=
538. fÑ=íÜÉ=ã~íêáñ=éêçÇìÅí=^_=áë=ÇÉÑáåÉÇI=íÜÉå==
(^_ )q = _ q ^ q K=
=
=
113
CHAPTER 5. MATRICES AND DETERMINANTS
539. ^Çàçáåí=çÑ=j~íêáñ=
fÑ=^=áë=~=ëèì~êÉ= å× å ã~íêáñI=áíë=~ÇàçáåíI=ÇÉåçíÉÇ=Äó= ~Çà ^ I=
áë=íÜÉ=íê~åëéçëÉ=çÑ=íÜÉ=ã~íêáñ=çÑ=ÅçÑ~Åíçêë= ` áà =çÑ=^W=
[ ]
~Çà ^ = ` áà K==
=
540. qê~ÅÉ=çÑ=~=j~íêáñ=
fÑ= ^= áë= ~= ëèì~êÉ= å × å ã~íêáñI= áíë= íê~ÅÉI= ÇÉåçíÉÇ= Äó= íê ^ I= áë=
ÇÉÑáåÉÇ=íç=ÄÉ==íÜÉ=ëìã=çÑ==íÜÉ=íÉêãë=çå=íÜÉ=äÉ~ÇáåÖ=Çá~Öçå~äW=
íê ^ = ~NN + ~ OO + K + ~ åå K=
=
541. fåîÉêëÉ=çÑ=~=j~íêáñ=
fÑ=^=áë=~=ëèì~êÉ= å× å ã~íêáñ=ïáíÜ=~=åçåëáåÖìä~ê=ÇÉíÉêãáå~åí=
ÇÉí ^ I=íÜÉå=áíë=áåîÉêëÉ= ^ −N =áë=ÖáîÉå=Äó=
~Çà ^
^ −N =
K=
ÇÉí ^
=
542. fÑ=íÜÉ=ã~íêáñ=éêçÇìÅí=^_=áë=ÇÉÑáåÉÇI=íÜÉå==
(^_)−N = _ −N^ −N K=
=
543. fÑ==^==áë=~=ëèì~êÉ=== å × å ==ã~íêáñI==íÜÉ==ÉáÖÉåîÉÅíçêë==u===ë~íáëÑó=
íÜÉ=Éèì~íáçå=
^u = λu I==
ïÜáäÉ=íÜÉ=ÉáÖÉåî~äìÉë= λ =ë~íáëÑó=íÜÉ=ÅÜ~ê~ÅíÉêáëíáÅ=Éèì~íáçå=
^ − λf = M K===
=
=
=
q
5.5 Systems of Linear Equations
=
=
s~êá~ÄäÉëW=ñI=óI=òI= ñ N I= ñ O I K =
oÉ~ä=åìãÄÉêëW= ~ N I ~ O I ~ P I ÄN I ~ NN I ~ NO I K =
114
CHAPTER 5. MATRICES AND DETERMINANTS
aÉíÉêãáå~åíëW=aI= añ I= aó I= aò ==
j~íêáÅÉëW=^I=_I=u=
=
=
~ ñ + ÄNó = ÇN
I==
544.  N
~ O ñ + ÄO ó = Ç O
aó
a
=E`ê~ãÉê∞ë=êìäÉFI==
ñ = ñ I= ó =
a
a
ïÜÉêÉ==
~ ÄN
a= N
= ~NÄO − ~ O ÄN I==
~ O ÄO
Ç ÄN
añ = N
= ÇNÄO − Ç O ÄN I==
Ç O ÄO
~ ÇN
aó = N
= ~NÇ O − ~ OÇN K==
~ O ÇO
=
545. fÑ= a ≠ M I=íÜÉå=íÜÉ=ëóëíÉã=Ü~ë=~=ëáåÖäÉ=ëçäìíáçåW==
aó
a
K=
ñ = ñ I= ó =
a
a
fÑ= a = M = ~åÇ= añ ≠ M Eçê= aó ≠ M FI= íÜÉå= íÜÉ= ëóëíÉã= Ü~ë= = åç==
ëçäìíáçåK=
fÑ= a = añ = aó = M I= íÜÉå= íÜÉ= ëóëíÉã= Ü~ë= = áåÑáåáíÉäó= = ã~åó==
ëçäìíáçåëK=
=
~Nñ + ÄNó + ÅNò = ÇN=

546. ~ O ñ + ÄO ó + Å Oò = Ç O I==
~ ñ + Ä ó + Å ò = Ç
P
P
P
 P
ñ=
aó
añ
a
I= ó =
I= ò = ò =E`ê~ãÉê∞ë=êìäÉFI==
a
a
a
=
115
CHAPTER 5. MATRICES AND DETERMINANTS
ïÜÉêÉ==
~N ÄN
a = ~ O ÄO
~ P ÄP
ÅN
ÇN
ÄN
ÅN
Å O I= añ = Ç O
ÄO
Å O I=
ÅP
ÄP
ÅP
ÇP
~N
ÇN
ÅN
~N
ÄN
ÇN
aó = ~ O
~P
ÇO
ÇP
Å O I= aò = ~ O
ÅP
~P
ÄO
ÄP
Ç O K==
ÇP
=
547. fÑ= a ≠ M I=íÜÉå=íÜÉ=ëóëíÉã=Ü~ë=~=ëáåÖäÉ=ëçäìíáçåW==
aó
a
a
I= ò = ò K=
ñ = ñ I= ó =
a
a
a
fÑ= a = M =~åÇ= añ ≠ M Eçê= aó ≠ M =çê= aò ≠ M FI=íÜÉå=íÜÉ=ëóëíÉã=
Ü~ë=åç=ëçäìíáçåK=
fÑ= a = añ = aó = aò = M I= íÜÉå= íÜÉ= ëóëíÉã= Ü~ë= áåÑáåáíÉäó=
ã~åó=ëçäìíáçåëK=
=
548. j~íêáñ=cçêã=çÑ=~=póëíÉã=çÑ=å=iáåÉ~ê=bèì~íáçåë=áå=================
å=råâåçïåë=
qÜÉ=ëÉí=çÑ=äáåÉ~ê=Éèì~íáçåë==
~NNñ N + ~ NO ñ O + K + ~ Nå ñ å = ÄN
~ ñ + ~ ñ + K + ~ ñ = Ä
 ON N OO O
Oå å
O
=

K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K

~ åNñ N + ~ å O ñ O + K + ~ åå ñ å = Äå
Å~å=ÄÉ=ïêáííÉå=áå=ã~íêáñ=Ñçêã=
 ~ NN ~ NO K ~ Nå   ñ N   ÄN 
    

 ~ ON ~ OO K ~ Oå   ñ O   Ä O 
I==
=
⋅
 M
M
M   M   M 
    

    
~
 åN ~ å O K ~ åå   ñ å   Ä å 
áKÉK==
^ ⋅ u = _ I==
116
CHAPTER 5. MATRICES AND DETERMINANTS
ïÜÉêÉ==
 ~ NN

~
^ =  ON
M

~
 åN
~ NO K ~ Nå 
 ñN 
 ÄN 

 
 
~ OO K ~ Oå 
 ñO 
 ÄO 
u
_
I=
I=
=
=
 M 
 M  K==
M
M 

 
 
ñ 
Ä 
~ å O K ~ åå 
 å
 å
=
549. pçäìíáçå=çÑ=~=pÉí=çÑ=iáåÉ~ê=bèì~íáçåë= å × å =
u = ^ −N ⋅ _ I==
ïÜÉêÉ= ^ −N =áë=íÜÉ=áåîÉêëÉ=çÑ=^K=
=
=
117
Chapter 6
Vectors
=
=
=
=
r r r r →
sÉÅíçêëW= ì I= î I= ï I= ê I= ^_ I=£=
r r
sÉÅíçê=äÉåÖíÜW= ì I= î I=£=
r r r
råáí=îÉÅíçêëW= á I= à I= â =
r
kìää=îÉÅíçêW= M =
r
`ççêÇáå~íÉë=çÑ=îÉÅíçê= ì W= uN I vN I wN =
r
`ççêÇáå~íÉë=çÑ=îÉÅíçê= î W= u O I vO I wO =
pÅ~ä~êëW= λ I µ =
aáêÉÅíáçå=ÅçëáåÉëW= Åçë α I= Åçë β I= Åçë γ =
^åÖäÉ=ÄÉíïÉÉå=íïç=îÉÅíçêëW= θ =
=
=
6.1 Vector Coordinates
=
550. råáí=sÉÅíçêë=
r
á = (NI MI M) I=
r
à = (MI NI M) I=
r
â = (MI MI N) I=
r r r
á = à = â = N K=
=
r
r
r
r →
551. ê = ^_ = (ñ N − ñ M ) á + (ó N − ó M ) à + (ò N − ò M ) â =
=
118
CHAPTER 6. VECTORS
=======
=
=
Figure 73.
=
→
r
ê = ^_ =
552.
(ñ N − ñ M )O + (óN − ó M )O + (òN − ò M )O =
=
→
→
r
r
553. fÑ= ^_ = ê I=íÜÉå= _^ = − ê K=
=
=
=
Figure 74.
r
554. u = ê Åçë α I=
r
v = ê Åçë β I=
r
w = ê Åçë γ K=
=
119
CHAPTER 6. VECTORS
=
=====
=
Figure 75.
=
r
r
555. fÑ= ê (uI v I w ) = êN (uN I vN I wN ) I=íÜÉå==
u = uN I= v = vN I= w = wN K==
==
=
6.2 Vector Addition
=
r r r
556. ï = ì + î =
=
=
==
=
Figure 76.
120
CHAPTER 6. VECTORS
=
==
=
Figure 77.
=
r
r r r r
557. ï = ìN + ì O + ìP + K + ì å =
=
=
=
==
Figure 78.
=
558. `çããìí~íáîÉ=i~ï=
r r r r
ì+ î =î+ì=
=
559. ^ëëçÅá~íáîÉ=i~ï=
(ìr + îr ) + ïr = ìr + (îr + ïr ) =
=
r r
560. ì + î = (uN + u O I vN + vO I wN + wO ) =
=
=
=
=
=
=
121
CHAPTER 6. VECTORS
6.3 Vector Subtraction
=
r r r r r r
561. ï = ì − î =áÑ= î + ï = ì K=
=
=
=
Figure 79.
=
=
==
=
Figure 80.
=
r r r
r
562. ì − î = ì + (− î ) =
=
r r r
563. ì − ì = M = (MI MI M ) =
=
r
564. M = M =
=
r r
565. ì − î = (uN − u O I vN − vO I wN − w O ) I==
=
=
=
6.4 Scaling Vectors
=
r
r
566. ï = λì =
122
CHAPTER 6. VECTORS
=
=
Figure 81.
=
567.
r
r
ï = λ⋅ì=
=
r
568. λì = (λuI λv I λw ) =
=
r r
569. λì = ìλ =
=
r
r
r
570. (λ + µ ) ì = λì + µì =
=
r
r
r
571. λ(µì ) = µ(λì ) = (λµ )ì =
=
r r
r
r
572. λ(ì + î ) = λì + λî =
=
=
=
6.5 Scalar Product
=
r
r
573. pÅ~ä~ê=mêçÇìÅí=çÑ=sÉÅíçêë= ì =~åÇ î =
r r r r
ì ⋅ î = ì ⋅ î ⋅ Åçë θ I==
r
r
ïÜÉêÉ= θ =áë=íÜÉ=~åÖäÉ=ÄÉíïÉÉå=îÉÅíçêë= ì =~åÇ î K====
=
123
CHAPTER 6. VECTORS
=
=
=
Figure 82.
=
574. pÅ~ä~ê=mêçÇìÅí=áå=`ççêÇáå~íÉ=cçêã=
r
r
fÑ= ì = (uN I vN I wN ) I= î = (u O I vO I w O ) I=íÜÉå==
r r
ì ⋅ î = uNu O + vNvO + wNwO K=
=
575. ^åÖäÉ=_ÉíïÉÉå=qïç=sÉÅíçêë==
r
r
fÑ= ì = (uN I vN I wN ) I= î = (u O I vO I w O ) I=íÜÉå==
uNu O + vNvO + wNw O
K=
Åçë θ =
O
O
O
O
O
O
uN + vN + wN u O + vO + w O
=
576. `çããìí~íáîÉ=mêçéÉêíó=
r r r r
ì⋅î = î ⋅ì=
=
577. ^ëëçÅá~íáîÉ=mêçéÉêíó=
(λìr ) ⋅ (µîr ) = λµìr ⋅ îr =
=
578. aáëíêáÄìíáîÉ=mêçéÉêíó=
r r r r r r r
ì ⋅ (î + ï ) = ì ⋅ î + ì ⋅ ï =
=
π
r r
r r
579. ì ⋅ î = M =áÑ= ì I î =~êÉ=çêíÜçÖçå~ä=E θ = FK=
O
=
π
r r
580. ì ⋅ î > M =áÑ= M < θ < K=
O
=
124
CHAPTER 6. VECTORS
π
r r
581. ì ⋅ î < M =áÑ= < θ < π K=
O
=
r r r r
582. ì ⋅ î ≤ ì ⋅ î =
=
r r r r
r r
583. ì ⋅ î = ì ⋅ î =áÑ= ì I î =~êÉ=é~ê~ääÉä=E θ = M FK=
=
r
584. fÑ= ì = (uN I vN I wN ) I=íÜÉå==
r r r
rO
O
O
O
ì ⋅ ì = ì O = ì = uN + vN + wN K=
=
r r r r r r
585. á ⋅ á = à ⋅ à = â ⋅ â = N =
=
r r r r r r
586. á ⋅ à = à ⋅ â = â ⋅ á = M =
=
=
=
6.6 Vector Product
=
r
r
587. sÉÅíçê=mêçÇìÅí=çÑ=sÉÅíçêë= ì =~åÇ î =
r r r
ì × î = ï I=ïÜÉêÉ==
π
r r r
•
ï = ì ⋅ î ⋅ ëáå θ I=ïÜÉêÉ= M ≤ θ ≤ X=
O
r r
r r
•
ï ⊥ì=
~åÇ= ï ⊥ î X=
r r r
• =sÉÅíçêë= ì I= î I= ï =Ñçêã=~=êáÖÜí-Ü~åÇÉÇ=ëÅêÉïK=
=
125
CHAPTER 6. VECTORS
=
=======
=
Figure 83.
=
r
á
r r r
588. ï = ì × î = u N
uO
r
à
vN
vO
r
â
wN =
wO
=
uN wN uN vN 
r r r  v wN
=
589. ï = ì × î =  N
I−
I

v
w
u
w
u
v
O
O
O
O
O
O


=
r r r r
590. p = ì × î = ì ⋅ î ⋅ ëáå θ =EcáÖKUPF=
=
591. ^åÖäÉ=_ÉíïÉÉå=qïç=sÉÅíçêë=EcáÖKUPF=
r r
ì× î
ëáå θ = r r =
ì⋅î
=
592. kçåÅçããìí~íáîÉ=mêçéÉêíó=
r r
r r
ì × î = −(î × ì ) ==
=
593. ^ëëçÅá~íáîÉ=mêçéÉêíó=
(λìr )× (µîr ) = λµìr × îr =
=
=
126
CHAPTER 6. VECTORS
594. aáëíêáÄìíáîÉ=mêçéÉêíó=
r r r r r r r
ì × (î + ï ) = ì × î + ì × ï =
=
r r r r
r
595. ì × î = M =áÑ= ì =~åÇ= î =~êÉ=é~ê~ääÉä=E θ = M FK=
=
r r r r r r r
596. á × á = à × à = â × â = M =
=
r r r r r r r r r
597. á × à = â I= à × â = á I= â × á = à =
=
=
=
6.7 Triple Product
598.
599.
600.
601.
=
pÅ~ä~ê=qêáéäÉ=mêçÇìÅí=
[ìr îrïr ] = ìr ⋅ (îr × ïr ) = îr ⋅ (ïr × ìr ) = ïr ⋅ (ìr × îr ) =
=
[ìr îrïr ] = [ïr ìr îr ] = [îrïr ìr ] = −[îrìr ïr ] = −[ïr îrìr ] = −[ìr ïr îr ] =
=
r r r
rr r
âì ⋅ (î × ï ) = â[ìîï ] =
=
pÅ~ä~ê=qêáéäÉ=mêçÇìÅí=áå=`ççêÇáå~íÉ=cçêã=
uN vN wN
r r r
ì ⋅ (î × ï ) = u O vO w O I==
uP vP wP
ïÜÉêÉ==
r
r
r
ì = (uN I vN I wN ) I= î = (u O I vO I w O ) I= ï = (uP I vP I wP ) K==
=
602. sçäìãÉ=çÑ=m~ê~ääÉäÉéáéÉÇ=
r r r
s = ì ⋅ (î × ï ) =
=
127
CHAPTER 6. VECTORS
=
============
=
Figure 84.
=
603. sçäìãÉ=çÑ=móê~ãáÇ=
Nr r r
s = ì ⋅ (î × ï ) =
S
=
=
=
Figure 85.
=
r r r
r r
r
604. fÑ== ì ⋅ (î × ï ) = M I=íÜÉå=íÜÉ=îÉÅíçêë== ì I= î I=~åÇ= ï =~êÉ=äáåÉ~êäó=
r
r
r
ÇÉéÉåÇÉåí=I=ëç= ï = λì + µî =Ñçê=ëçãÉ=ëÅ~ä~êë= λ =~åÇ= µ K==
=
r r r
r r
r
605. fÑ== ì ⋅ (î × ï ) ≠ M I=íÜÉå=íÜÉ=îÉÅíçêë== ì I= î I=~åÇ= ï =~êÉ=äáåÉ~êäó=
áåÇÉéÉåÇÉåíK=
=
128
CHAPTER 6. VECTORS
606. sÉÅíçê=qêáéäÉ=mêçÇìÅí=
r r r
r r r r r r
ì × (î × ï ) = (ì ⋅ ï )î − (ì ⋅ î )ï ==
=
=
=
=
=
=
=
=
129
Chapter 7
Analytic Geometry
=
=
=
=
7.1 One-Dimensional Coordinate System
=
mçáåí=ÅççêÇáå~íÉëW= ñ M I= ñ N I= ñ O I= ó M I= ó N I= ó O =
oÉ~ä=åìãÄÉêW= λ ==
aáëí~åÅÉ=ÄÉíïÉÉå=íïç=éçáåíëW=Ç=
=
=
607. aáëí~åÅÉ=_ÉíïÉÉå=qïç=mçáåíë=
Ç = ^_ = ñ O − ñ N = ñ N − ñ O =
=
=
=
Figure 86.
=
608. aáîáÇáåÖ=~=iáåÉ=pÉÖãÉåí=áå=íÜÉ=o~íáç= λ =
ñ + λñ O
^`
I= λ =
ñM = N
I= λ ≠ −N K=
N+ λ
`_
=
=
========
Figure 87.
130
=
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
609. jáÇéçáåí=çÑ=~=iáåÉ=pÉÖãÉåí=
ñ + ñO
ñM = N
I= λ = N K=
O
=
=
=
7.2 Two-Dimensional Coordinate System
=
mçáåí=ÅççêÇáå~íÉëW= ñ M I= ñ N I= ñ O I= ó M I= ó N I= ó O =
mçä~ê=ÅççêÇáå~íÉëW= êI ϕ =
oÉ~ä=åìãÄÉêW= λ ==
mçëáíáîÉ=êÉ~ä=åìãÄÉêëW=~I=ÄI=ÅI==
aáëí~åÅÉ=ÄÉíïÉÉå=íïç=éçáåíëW=Ç=
^êÉ~W=p=
=
=
610. aáëí~åÅÉ=_ÉíïÉÉå=qïç=mçáåíë=
Ç = ^_ =
=
(ñ O − ñ N )O + (ó O − óN )O =
=
=
Figure 88.
131
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
611. aáîáÇáåÖ=~=iáåÉ=pÉÖãÉåí=áå=íÜÉ=o~íáç= λ =
ñ + λñ O
ó + λó O
ñM = N
I= ó M = N
I==
N+ λ
N+ λ
^`
λ=
I= λ ≠ −N K=
`_
=
=======
=
=
Figure 89.
=
=
132
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
=======
=
=
Figure 90.
=
612. jáÇéçáåí=çÑ=~=iáåÉ=pÉÖãÉåí=
ñ + ñO
ó + óO
I= ó M = N
I= λ = N K=
ñM = N
O
O
=
613. `ÉåíêçáÇ=EfåíÉêëÉÅíáçå=çÑ=jÉÇá~åëF=çÑ=~=qêá~åÖäÉ=
ñ + ñ O + ñP
ó + óO + óP
I= ó M = N
ñM = N
I==
P
P
ïÜÉêÉ== ^(ñ N I ó N ) I== _(ñ O I ó O ) I==~åÇ== `(ñ P I ó P ) ==~êÉ=îÉêíáÅÉë=çÑ=
íÜÉ=íêá~åÖäÉ= ^_` K=
=
=
133
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
=========
=
=
Figure 91.
=
614. fåÅÉåíÉê=EfåíÉêëÉÅíáçå=çÑ=^åÖäÉ=_áëÉÅíçêëF=çÑ=~=qêá~åÖäÉ=
~ñ + Äñ O + Åñ P
~ó + Äó O + Åó P
I= ó M = N
ñM = N
I==
~ +Ä+Å
~ +Ä+Å
ïÜÉêÉ= ~ = _` I= Ä = `^ I= Å = ^_ K==
=
========
=
=
Figure 92.
134
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
615. `áêÅìãÅÉåíÉê=EfåíÉêëÉÅíáçå=çÑ=íÜÉ=páÇÉ=mÉêéÉåÇáÅìä~ê======================
_áëÉÅíçêëF=çÑ=~=qêá~åÖäÉ=
ñ NO + ó NO ó N N
ñ N ñ NO + ó NO N
ñ OO + ó OO ó O N
ñ O ñ OO + ó OO N
ñ PO + ó PO ó P N
ñ P ñ PO + ó PO N
ñM =
I= ó M =
=
ñN óN N
ñN óN N
O ñO
ñP
óO N
óP N
O ñO
ñP
óO N
óP N
=
=
========
==
Figure 93.
=
=
=
=
=
=
=
135
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
616. lêíÜçÅÉåíÉê=EfåíÉêëÉÅíáçå=çÑ=^äíáíìÇÉëF=çÑ=~=qêá~åÖäÉ=
ó N ñ O ñ P + ó NO N
ñ NO + ó O ó P ñ N N
ó O ñ P ñ N + ó OO N
ñ OO + ó P ó N ñ O N
ó P ñ Nñ O + ó PO N
ñ PO + ó Nó O ñ P N
I= ó M =
=
ñM =
ñN óN N
ñN óN N
ñO óO N
ñO óO N
ñP óP N
ñP óP N
=
=
======
=
Figure 94.
=
617. ^êÉ~=çÑ=~=qêá~åÖäÉ=
ñ N óN N
N
N ñ O − ñN
p = (± ) ñ O ó O N = (± )
O
O ñ P − ñN
ñP óP N
=
=
=
136
ó O − óN
ó P − óN
=
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
618. ^êÉ~=çÑ=~=nì~Çêáä~íÉê~ä=
N
p = (± ) [(ñ N − ñ O )(ó N + ó O ) + (ñ O − ñ P )(ó O + ó P ) + =
O
+ (ñ P − ñ Q )(ó P + ó Q ) + (ñ Q − ñ N )(ó Q + ó N )] =
=
===
=
=
Figure 95.
=
kçíÉW=få=Ñçêãìä~ë=SNTI=SNU=ïÉ=ÅÜççëÉ=íÜÉ=ëáÖå=EHF=çê=E¥F=ëç=
íÜ~í=íç=ÖÉí=~=éçëáíáîÉ=~åëïÉê=Ñçê=~êÉ~K==
=
619. aáëí~åÅÉ=_ÉíïÉÉå=qïç=mçáåíë=áå=mçä~ê=`ççêÇáå~íÉë=
Ç = ^_ = êNO + êOO − OêNêO Åçë(ϕ O − ϕN ) =
=
137
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
=
=
Figure 96.
=
620. `çåîÉêíáåÖ=oÉÅí~åÖìä~ê=`ççêÇáå~íÉë=íç=mçä~ê=`ççêÇáå~íÉë=
ñ = ê Åçë ϕ I= ó = ê ëáå ϕ K=
=
=
=
Figure 97.
=
621. `çåîÉêíáåÖ=mçä~ê=`ççêÇáå~íÉë=íç=oÉÅí~åÖìä~ê=`ççêÇáå~íÉë=
ó
ê = ñ O + ó O I= í~å ϕ = K=
ñ
138
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
7.3 Straight Line in Plane
=
mçáåí=ÅççêÇáå~íÉëW=uI=vI=ñI= ñ M I= ñ N I== ó M I= ó N I= ~N I= ~ O I=£==
oÉ~ä=åìãÄÉêëW=âI=~I=ÄI=éI=íI=^I=_I=`I= ^N I= ^ O I=£=
^åÖäÉëW= α I= β =
^åÖäÉ=ÄÉíïÉÉå=íïç=äáåÉëW= ϕ =
r
kçêã~ä=îÉÅíçêW= å =
r r r
mçëáíáçå=îÉÅíçêëW= ê I= ~ I= Ä =
=
=
622. dÉåÉê~ä=bèì~íáçå=çÑ=~=píê~áÖÜí=iáåÉ=
^ñ + _ó + ` = M =
=
623. kçêã~ä=sÉÅíçê=íç=~=píê~áÖÜí=iáåÉ=
r
qÜÉ=îÉÅíçê= å(^I _ ) =áë=åçêã~ä=íç=íÜÉ=äáåÉ= ^ñ + _ó + ` = M K=
=
=
=
Figure 98.
=
624. bñéäáÅáí=bèì~íáçå=çÑ=~=píê~áÖÜí=iáåÉ=EpäçéÉ-fåíÉêÅÉéí=cçêãF=
ó = âñ + Ä K==
139
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
qÜÉ=Öê~ÇáÉåí=çÑ=íÜÉ=äáåÉ=áë= â = í~å α K=
=
=
=
Figure 99.
=
625. dê~ÇáÉåí=çÑ=~=iáåÉ==
ó − óN
â = í~å α = O
=
ñ O − ñN
=
=
=
Figure 100.
140
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
626. bèì~íáçå=çÑ=~=iáåÉ=dáîÉå=~=mçáåí=~åÇ=íÜÉ=dê~ÇáÉåí=
ó = ó M + â (ñ − ñ M ) I==
ïÜÉêÉ=â=áë=íÜÉ=Öê~ÇáÉåíI= m(ñ M I ó M ) =áë=~=éçáåí=çå=íÜÉ=äáåÉK=
=
=
=
Figure 101.
=
627. bèì~íáçå=çÑ=~=iáåÉ=qÜ~í=m~ëëÉë=qÜêçìÖÜ=qïç=mçáåíë=
ó − óN
ñ − ñN
=
==
ó O − óN ñ O − ñN
çê=
ñ ó N
ñ N ó N N = M K=
ñO óO N
=
141
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
=
=
Figure 102.
=
628. fåíÉêÅÉéí=cçêã=
ñ ó
+ =N=
~ Ä
=
=
=
Figure 103.
=
=
142
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
629. kçêã~ä=cçêã=
ñ Åçë β + ó ëáå β − é = M =
=
=
=
Figure 104.
=
630. mçáåí=aáêÉÅíáçå=cçêã=
ñ − ñ N ó − óN
=
I==
u
v
ïÜÉêÉ= (uI v ) = áë= íÜÉ= ÇáêÉÅíáçå= çÑ= íÜÉ= äáåÉ= ~åÇ= mN (ñ N I ó N ) = äáÉë=
çå=íÜÉ=äáåÉK=
=
143
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
=
=
Figure 105.
=
631. sÉêíáÅ~ä=iáåÉ=
ñ =~=
=
632. eçêáòçåí~ä=iáåÉ=
ó=Ä=
=
633. sÉÅíçê=bèì~íáçå=çÑ=~=píê~áÖÜí=iáåÉ=
r r r
ê = ~ + íÄ I==
ïÜÉêÉ==
l=áë=íÜÉ=çêáÖáå=çÑ=íÜÉ=ÅççêÇáå~íÉëI=
u=áë=~åó=î~êá~ÄäÉ=éçáåí=çå=íÜÉ=äáåÉI==
r
~ =áë=íÜÉ=éçëáíáçå=îÉÅíçê=çÑ=~=âåçïå=éçáåí=^=çå=íÜÉ=äáåÉ=I=
r
Ä =áë=~=âåçïå=îÉÅíçê=çÑ=ÇáêÉÅíáçåI=é~ê~ääÉä=íç=íÜÉ=äáåÉI==
í=áë=~=é~ê~ãÉíÉêI==
r →
ê = lu =áë=íÜÉ=éçëáíáçå=îÉÅíçê=çÑ=~åó=éçáåí=u=çå=íÜÉ=äáåÉK==
=
144
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
=
=
Figure 106.
=
634. píê~áÖÜí=iáåÉ=áå=m~ê~ãÉíêáÅ=cçêã=
ñ = ~N + íÄN
I==

ó = ~ O + íÄO
ïÜÉêÉ==
(ñ I ó ) ~êÉ=íÜÉ=ÅççêÇáå~íÉë=çÑ=~åó=ìåâåçïå=éçáåí=çå=íÜÉ=äáåÉI==
(~N I ~ O ) =~êÉ=íÜÉ=ÅççêÇáå~íÉë=çÑ=~=âåçïå=éçáåí=çå=íÜÉ=äáåÉI==
(ÄN I ÄO ) =~êÉ=íÜÉ=ÅççêÇáå~íÉë=çÑ=~=îÉÅíçê=é~ê~ääÉä=íç=íÜÉ=äáåÉI==
í=áë=~=é~ê~ãÉíÉêK=
=
145
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
=
Figure 107.
=
635. aáëí~åÅÉ=cêçã=~=mçáåí=qç=~=iáåÉ=
qÜÉ=Çáëí~åÅÉ=Ñêçã=íÜÉ=éçáåí= m(~ I Ä) =íç=íÜÉ=äáåÉ=
^ñ + _ó + ` = M =áë==
^~ + _Ä + `
K=
Ç=
^ O + _O
=
=
=
Figure 108.
146
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
636. m~ê~ääÉä=iáåÉë=
qïç=äáåÉë= ó = â Nñ + ÄN =~åÇ= ó = â O ñ + ÄO =~êÉ=é~ê~ääÉä=áÑ==
â N = â O K=
qïç= äáåÉë= ^Nñ + _Nó + `N = M = ~åÇ= ^ O ñ + _O ó + ` O = M = ~êÉ=
é~ê~ääÉä=áÑ=
^N _N
=
K=
^ O _O
=
=
=
Figure 109.
=
637. mÉêéÉåÇáÅìä~ê=iáåÉë=
qïç=äáåÉë= ó = â Nñ + ÄN =~åÇ= ó = â O ñ + ÄO =~êÉ=éÉêéÉåÇáÅìä~ê=áÑ==
N
â O = − =çêI=Éèìáî~äÉåíäóI= â Nâ O = −N K=
âN
qïç= äáåÉë= ^Nñ + _Nó + `N = M = ~åÇ= ^ O ñ + _ O ó + ` O = M = ~êÉ=
éÉêéÉåÇáÅìä~ê=áÑ=
^N^ O + _N_ O = M K=
=
147
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
=
=
Figure 110.
=
638. ^åÖäÉ=_ÉíïÉÉå=qïç=iáåÉë=
â − âN
í~å ϕ = O
I==
N + â Nâ O
^N^ O + _N_ O
Åçë ϕ =
K=
^NO + _NO ⋅ ^ OO + _ OO
=
148
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
=
=
Figure 111.
=
639. fåíÉêëÉÅíáçå=çÑ=qïç=iáåÉë=
fÑ=íïç=äáåÉë= ^Nñ + _Nó + `N = M =~åÇ= ^ O ñ + _ O ó + ` O = M =áåíÉêëÉÅíI=íÜÉ=áåíÉêëÉÅíáçå=éçáåí=Ü~ë=ÅççêÇáå~íÉë=
− `N_ O + ` O_N
− ^N` O + ^ O`N
ñM =
I= ó M =
K=
^N_ O − ^ O_N
^N_ O − ^ O_N
=
=
=
7.4 Circle
=
o~ÇáìëW=o=
`ÉåíÉê=çÑ=ÅáêÅäÉW= (~ I Ä) =
mçáåí=ÅççêÇáå~íÉëW=ñI=óI= ñ N I= ó N I=£=
oÉ~ä=åìãÄÉêëW=^I=_I=`I=aI=bI=cI=í=
149
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
640. bèì~íáçå=çÑ=~=`áêÅäÉ=`ÉåíÉêÉÇ=~í=íÜÉ=lêáÖáå=Epí~åÇ~êÇ=
cçêãF=
ñ O + ó O = oO =
======
=
=
Figure 112.
=
641. bèì~íáçå=çÑ=~=`áêÅäÉ=`ÉåíÉêÉÇ=~í=^åó=mçáåí= (~I Ä)
(ñ − ~ )O + (ó − Ä)O = o O
Figure 113.
150
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
642. qÜêÉÉ=mçáåí=cçêã
ñO + óO ñ ó N
ñ NO + ó NO ñ N ó N N
=M
ñ OO + ó OO ñ O ó O N
ñ PO + ó PO ñ P ó P N
=
=
=
Figure 114.
=
643. m~ê~ãÉíêáÅ=cçêã
ñ = o Åçë í
I= M ≤ í ≤ Oπ K

ó = o ëáå í
=
644. dÉåÉê~ä=cçêã
^ñ O + ^ó O + añ + bó + c = M =E^=åçåòÉêçI= aO + b O > Q ^c FK==
qÜÉ=ÅÉåíÉê=çÑ=íÜÉ=ÅáêÅäÉ=Ü~ë=ÅççêÇáå~íÉë= (~ I Ä) I=ïÜÉêÉ==
a
b
~=−
I= Ä = −
K=
O^
O^
qÜÉ=ê~Çáìë=çÑ=íÜÉ=ÅáêÅäÉ=áë
151
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
o=
aO + b O − Q ^c
K
O^
=
=
=
7.5 Ellipse
=
pÉãáã~àçê=~ñáëW=~=
pÉãáãáåçê=~ñáëW=Ä=
cçÅáW= cN (− ÅI M) I= cO (ÅI M) =
aáëí~åÅÉ=ÄÉíïÉÉå=íÜÉ=ÑçÅáW=OÅ= =
bÅÅÉåíêáÅáíóW=É==
oÉ~ä=åìãÄÉêëW=^I=_I=`I=aI=bI=cI=í=
mÉêáãÉíÉêW=i=
^êÉ~W=p=
=
=
645. bèì~íáçå=çÑ=~å=bääáéëÉ=Epí~åÇ~êÇ=cçêãF
ñO óO
+ =N
~ O ÄO
=
=
Figure 115.
152
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
646. êN + êO = O~ I=
ïÜÉêÉ== êN I== êO ==~êÉ==Çáëí~åÅÉë==Ñêçã==~åó==éçáåí== m(ñ I ó ) ==çå=
íÜÉ=ÉääáéëÉ=íç=íÜÉ=íïç=ÑçÅáK=
=
=
=
Figure 116.
=
647. ~ O = ÄO + Å O
=
648. bÅÅÉåíêáÅáíó
Å
É = <N=
~
=
649. bèì~íáçåë=çÑ=aáêÉÅíêáÅÉë
~
~O
ñ=± =± =
É
Å
=
650. m~ê~ãÉíêáÅ=cçêã
ñ = ~ Åçë í
I= M ≤ í ≤ Oπ K

ó = Ä ëáå í
=
=
153
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
651. dÉåÉê~ä=cçêã
^ñ O + _ñó + `ó O + añ + bó + c = M I==
ïÜÉêÉ= _ O − Q ^` < M K=
=
652. dÉåÉê~ä=cçêã=ïáíÜ=^ñÉë=m~ê~ääÉä=íç=íÜÉ=`ççêÇáå~íÉ=^ñÉë
^ñ O + `ó O + añ + bó + c = M I==
ïÜÉêÉ= ^` > M K
=
653. `áêÅìãÑÉêÉåÅÉ
i = Q~b(É ) I==
ïÜÉêÉ==íÜÉ==ÑìåÅíáçå=b==áë==íÜÉ=ÅçãéäÉíÉ==ÉääáéíáÅ=áåíÉÖê~ä==çÑ=
íÜÉ=ëÉÅçåÇ=âáåÇK==
=
654. ^ééêçñáã~íÉ=cçêãìä~ë=çÑ=íÜÉ=`áêÅìãÑÉêÉåÅÉ
i = π NKR(~ + Ä) − ~Ä I==
(
i = π O(~ O + ÄO ) K=
=
655. p = π~Ä =
=
=
=
)
7.6 Hyperbola
=
qê~åëîÉêëÉ=~ñáëW=~=
`çåàìÖ~íÉ=~ñáëW=Ä=
cçÅáW= cN (− ÅI M) I= cO (ÅI M) =
aáëí~åÅÉ=ÄÉíïÉÉå=íÜÉ=ÑçÅáW=OÅ= =
bÅÅÉåíêáÅáíóW=É==
^ëóãéíçíÉëW=ëI=í=
oÉ~ä=åìãÄÉêëW=^I=_I=`I=aI=bI=cI=íI=â=
=
=
=
154
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
656. bèì~íáçå=çÑ=~=eóéÉêÄçä~=Epí~åÇ~êÇ=cçêãF=
ñO óO
− = N=
~ O ÄO
=
=
=
Figure 117.
=
657.
êN − êO = O~ I=
ïÜÉêÉ== êN I== êO ==~êÉ==Çáëí~åÅÉë==Ñêçã==~åó=éçáåí== m(ñ I ó ) ==çå=
íÜÉ=ÜóéÉêÄçä~=íç=íÜÉ=íïç=ÑçÅáK=
=
155
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
=
=
Figure 118.
658.
659.
660.
661.
=
bèì~íáçåë=çÑ=^ëóãéíçíÉë=
Ä
ó=± ñ=
~
=
Å O = ~ O + ÄO =
=
bÅÅÉåíêáÅáíó
Å
É = > N=
~
=
bèì~íáçåë=çÑ=aáêÉÅíêáÅÉë
~
~O
ñ=± =± =
É
Å
=
=
=
156
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
662. m~ê~ãÉíêáÅ=bèì~íáçåë=çÑ=íÜÉ=oáÖÜí=_ê~åÅÜ=çÑ=~=eóéÉêÄçä~=
ñ = ~ ÅçëÜ í
I= M ≤ í ≤ Oπ K

ó = Ä ëáåÜ í
=
663. dÉåÉê~ä=cçêã
^ñ O + _ñó + `ó O + añ + bó + c = M I==
ïÜÉêÉ= _ O − Q ^` > M K=
=
664. dÉåÉê~ä=cçêã=ïáíÜ=^ñÉë=m~ê~ääÉä=íç=íÜÉ=`ççêÇáå~íÉ=^ñÉë
^ñ O + `ó O + añ + bó + c = M I==
ïÜÉêÉ= ^` < M K=
665. ^ëóãéíçíáÅ=cçêã=
ÉO
ñó = I==
Q
çê==
ÉO
â
ó = I=ïÜÉêÉ= â = K=
ñ
Q
få= íÜáë= Å~ëÉ= I= íÜÉ= ~ëóãéíçíÉë= Ü~îÉ= Éèì~íáçåë= ñ = M = ~åÇ=
ó = M K==
=
157
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
=
=
Figure 119.
=
=
=
7.7 Parabola
=
cçÅ~ä=é~ê~ãÉíÉêW=é=
cçÅìëW=c=
sÉêíÉñW= j(ñ M I ó M ) =
oÉ~ä=åìãÄÉêëW=^I=_I=`I=aI=bI=cI=éI=~I=ÄI=Å=
=
=
666. bèì~íáçå=çÑ=~=m~ê~Äçä~=Epí~åÇ~êÇ=cçêãF
ó O = Oéñ
=
158
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
=
=
Figure 120.
=
bèì~íáçå=çÑ=íÜÉ=ÇáêÉÅíêáñ
é
ñ = − I=
O
`ççêÇáå~íÉë=çÑ=íÜÉ=ÑçÅìë=
é 
c I M  I=
O 
`ççêÇáå~íÉë=çÑ=íÜÉ=îÉêíÉñ=
j(MI M) K=
=
667. dÉåÉê~ä=cçêã
^ñ O + _ñó + `ó O + añ + bó + c = M I==
ïÜÉêÉ= _ O − Q ^` = M K=
=
N
668. ó = ~ñ O I= é = K=
O~
bèì~íáçå=çÑ=íÜÉ=ÇáêÉÅíêáñ
159
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
é
ó = − I=
O
`ççêÇáå~íÉë=çÑ=íÜÉ=ÑçÅìë=
 é
c MI  I=
 O
`ççêÇáå~íÉë=çÑ=íÜÉ=îÉêíÉñ=
j(MI M) K=
=
=
=
Figure 121.
=
669. dÉåÉê~ä=cçêãI=^ñáë=m~ê~ääÉä=íç=íÜÉ=ó-~ñáë==
^ñ O + añ + bó + c = M =E^I=b=åçåòÉêçFI==
N
ó = ~ñ O + Äñ + Å I= é = K==
O~
bèì~íáçå=çÑ=íÜÉ=ÇáêÉÅíêáñ
é
ó = ó M − I=
O
`ççêÇáå~íÉë=çÑ=íÜÉ=ÑçÅìë=
160
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
é

c ñ M I ó M +  I=
O

`ççêÇáå~íÉë=çÑ=íÜÉ=îÉêíÉñ=
Ä
Q~Å − ÄO
K=
ñ M = − I= ó M = ~ñ OM + Äñ M + Å =
O~
Q~
=
=
=
Figure 122.
=
=
=
7.8 Three-Dimensional Coordinate System
=
mçáåí=ÅççêÇáå~íÉëW= ñ M I= ó M I= ò M I= ñ N I= ó N I= ò N I=£=
oÉ~ä=åìãÄÉêW= λ ==
aáëí~åÅÉ=ÄÉíïÉÉå=íïç=éçáåíëW=Ç=
^êÉ~W=p=
sçäìãÉW=s=
=
161
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
670. aáëí~åÅÉ=_ÉíïÉÉå=qïç=mçáåíë=
Ç = ^_ =
=
=
(ñ O − ñ N )O + (ó O − óN )O + (ò O − òN )O =
=
===
Figure 123.
=
671. aáîáÇáåÖ=~=iáåÉ=pÉÖãÉåí=áå=íÜÉ=o~íáç= λ =
ñ + λñ O
ó + λó O
ò + λò O
ñM = N
I= ó M = N
I= ò M = N
I==
N+ λ
N+ λ
N+ λ
ïÜÉêÉ=
^`
λ=
I= λ ≠ −N K=
`_
=
162
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
========
=
=
Figure 124.
=
=
Figure 125.
163
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
672. jáÇéçáåí=çÑ=~=iáåÉ=pÉÖãÉåí=
ñ + ñO
ó + óO
ò +ò
ñM = N
I= ó M = N
I= ò M = N O I= λ = N K=
O
O
O
=
673. ^êÉ~=çÑ=~=qêá~åÖäÉ=
qÜÉ=~êÉ~=çÑ=~=íêá~åÖäÉ=ïáíÜ=îÉêíáÅÉë= mN (ñ N I ó N I ò N ) I=
mO (ñ O I ó O I ò O ) I=~åÇ= mP (ñ P I ó P I ò P ) =áë=ÖáîÉå=Äó==
p=
N
O
O
óO
òO N + òO
ñO N + ñO
ó O N K=
óP
òP
ñP
óP
òP
ñN N
N
ñN
ñP
óN N
O
òN N
N
òN
O
óN
N
=
674. sçäìãÉ=çÑ=~=qÉíê~ÜÉÇêçå=
qÜÉ=îçäìãÉ=çÑ=~=íÉíê~ÜÉÇêçå=ïáíÜ=îÉêíáÅÉë= mN (ñ N I ó N I ò N ) I=
mO (ñ O I ó O I ò O ) I= mP (ñ P I ó P I ò P ) I=~åÇ= mQ (ñ Q I ó Q I ò Q ) =áë=ÖáîÉå=Äó==
ñ N óN òN N
N ñO óO òO N
s=±
I==
S ñ P óP òP N
ñQ óQ òQ N
çê=
ñ N − ñ Q óN − ó Q òN − ò Q
N
s = ± ñ O − ñ Q ó O − ó Q ò O − ò Q K=
S
ñP − ñ Q óP − ó Q òP − òQ
kçíÉW=tÉ=ÅÜççëÉ=íÜÉ=ëáÖå=EHF=çê=E¥F=ëç=íÜ~í=íç=ÖÉí=~=éçëáíáîÉ=
~åëïÉê=Ñçê=îçäìãÉK==
=
164
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
====
=
=
Figure 126.
=
=
=
7.9 Plane
=
mçáåí=ÅççêÇáå~íÉëW=ñI=óI=òI= ñ M I= ó M I= ò M I= ñ N I= ó N I= ò N I=£=
oÉ~ä=åìãÄÉêëW=^I=_I=`I=aI= ^N I= ^ O I=~I=ÄI=ÅI= ~N I= ~ O I= λ I=éI=íI=£==
r r r
kçêã~ä=îÉÅíçêëW= å I= åN I= å O =
aáêÉÅíáçå=ÅçëáåÉëW= Åçë α I= Åçë β I= Åçë γ =
aáëí~åÅÉ=Ñêçã=éçáåí=íç=éä~åÉW=Ç=
=
=
675. dÉåÉê~ä=bèì~íáçå=çÑ=~=mä~åÉ=
^ñ + _ó + `ò + a = M =
=
=
165
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
676. kçêã~ä=sÉÅíçê=íç=~=mä~åÉ=
r
qÜÉ=îÉÅíçê= å (^I _I ` ) =áë=åçêã~ä=íç=íÜÉ=éä~åÉ=
^ñ + _ó + `ò + a = M K=
=
=
=
===
Figure 127.
=
677. m~êíáÅìä~ê=`~ëÉë=çÑ=íÜÉ=bèì~íáçå=çÑ=~=mä~åÉ=
^ñ + _ó + `ò + a = M =
=
fÑ= ^ = M I=íÜÉ=éä~åÉ=áë=é~ê~ääÉä=íç=íÜÉ=ñ-~ñáëK=
fÑ= _ = M I=íÜÉ=éä~åÉ=áë=é~ê~ääÉä=íç=íÜÉ=ó-~ñáëK=
fÑ= ` = M I=íÜÉ=éä~åÉ=áë=é~ê~ääÉä=íç=íÜÉ=ò-~ñáëK=
fÑ= a = M I=íÜÉ=éä~åÉ=äáÉë=çå=íÜÉ=çêáÖáåK==
=
fÑ= ^ = _ = M I=íÜÉ=éä~åÉ=áë=é~ê~ääÉä=íç=íÜÉ=ñó-éä~åÉK=
fÑ= _ = ` = M I=íÜÉ=éä~åÉ=áë=é~ê~ääÉä=íç=íÜÉ=óò-éä~åÉK=
fÑ= ^ = ` = M I=íÜÉ=éä~åÉ=áë=é~ê~ääÉä=íç=íÜÉ=ñò-éä~åÉK=
=
166
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
678. mçáåí=aáêÉÅíáçå=cçêã=
^(ñ − ñ M ) + _(ó − ó M ) + `(ò − ò M ) = M I==
ïÜÉêÉ=íÜÉ=éçáåí= m(ñ M I ó M I ò M ) =äáÉë=áå=íÜÉ=éä~åÉI=~åÇ=íÜÉ=îÉÅíçê= (^I _I ` ) =áë=åçêã~ä=íç=íÜÉ=éä~åÉK===
=
=
=
====
Figure 128.
=
679. fåíÉêÅÉéí=cçêã=
ñ ó ò
+ + = N=
~ Ä Å
=
167
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
=
=====
=
Figure 129.
=
680. qÜêÉÉ=mçáåí=cçêã=
ñ − ñP ó − óP ò − òP
ñ N − ñ P ó N − ó P ò N − ò P = M I==
ñ O − ñ P ó O − óP ò O − òP
çê==
ñ ó ò N
ñN óN òN N
= M K=
ñO óO òO N
ñP óP òP N
=
168
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
=
=====
=
Figure 130.
=
681. kçêã~ä=cçêã=
ñ Åçë α + ó Åçë β + ò Åçë γ − é = M I==
ïÜÉêÉ==é==áë==íÜÉ==éÉêéÉåÇáÅìä~ê==Çáëí~åÅÉ==Ñêçã==íÜÉ=çêáÖáå=íç=
íÜÉ=éä~åÉ=I=~åÇ= Åçë α I= Åçë β I= Åçë γ =~êÉ=íÜÉ=ÇáêÉÅíáçå=ÅçëáåÉë=
çÑ=~åó=äáåÉ=åçêã~ä=íç=íÜÉ=éä~åÉK==
=
169
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
=
======
=
Figure 131.
=
682. m~ê~ãÉíêáÅ=cçêã=
ñ = ñ N + ~Në + ~ O í

ó = ó N + ÄNë + ÄO í I==
ò = ò + Å ë + Å í
N
N
O

ïÜÉêÉ= (ñ I ó I ò ) =~êÉ=íÜÉ=ÅççêÇáå~íÉë=çÑ=~åó=ìåâåçïå=éçáåí=çå=
íÜÉ=äáåÉ=I=íÜÉ=éçáåí= m(ñ N I ó N I ò N ) =äáÉë=áå=íÜÉ=éä~åÉI=íÜÉ=îÉÅíçêë=
(~N I ÄN I ÅN ) =~åÇ= (~ O I ÄO I Å O ) =~êÉ=é~ê~ääÉä=íç=íÜÉ=éä~åÉK=
=
170
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
=
=====
=
Figure 132.
=
683. aáÜÉÇê~ä=^åÖäÉ=_ÉíïÉÉå=qïç=mä~åÉë=
fÑ=íÜÉ=éä~åÉë=~êÉ=ÖáîÉå=Äó==
^Nñ + _Nó + `Nò + aN = M I==
^ O ñ + _ O ó + ` Oò + aO = M I==
íÜÉå=íÜÉ=ÇáÜÉÇê~ä=~åÖäÉ=ÄÉíïÉÉå=íÜÉã=áë==
r r
åN ⋅ å O
^N^ O + _N_ O + `N` O
Åçë ϕ = r r =
K=
åN ⋅ å O
^NO + _NO + `NO ⋅ ^ OO + _ OO + ` OO
=
171
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
=
======
=
Figure 133.
=
684. m~ê~ääÉä=mä~åÉë=
qïç=éä~åÉë= ^Nñ + _Nó + `Nò + aN = M =~åÇ=
^ O ñ + _ O ó + ` Oò + aO = M =~êÉ=é~ê~ääÉä=áÑ==
^N _N `N
=
=
K=
^ O _O `O
=
685. mÉêéÉåÇáÅìä~ê=mä~åÉë=
qïç=éä~åÉë= ^Nñ + _Nó + `Nò + aN = M =~åÇ=
^ O ñ + _ O ó + ` Oò + aO = M =~êÉ=éÉêéÉåÇáÅìä~ê=áÑ==
^N^ O + _N_ O + `N` O = M K=
=
686. bèì~íáçå=çÑ=~=mä~åÉ=qÜêçìÖÜ= m(ñ N I ó N I ò N ) =~åÇ=m~ê~ääÉä=qç=
íÜÉ=sÉÅíçêë= (~N I ÄN I ÅN ) =~åÇ= (~ O I ÄO I Å O ) =EcáÖKNPOF=
172
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
ñ − ñN
~N
~O
ó − óN ò − òN
ÄN
ÅN = M =
ÄO
ÅO
=
687. bèì~íáçå=çÑ=~=mä~åÉ=qÜêçìÖÜ= mN (ñ N I ó N I ò N ) =~åÇ= mO (ñ O I ó O I ò O ) I=
~åÇ=m~ê~ääÉä=qç=íÜÉ=sÉÅíçê= (~ I ÄI Å ) =
ñ − ñ N ó − óN ò − òN
ñ O − ñN
~
ó O − óN ò O − òN = M =
Ä
Å
=
=
Figure 134.
=
688. aáëí~åÅÉ=cêçã=~=mçáåí=qç=~=mä~åÉ=
qÜÉ=Çáëí~åÅÉ=Ñêçã=íÜÉ=éçáåí= mN (ñ N I ó N I ò N ) =íç=íÜÉ=éä~åÉ=
^ñ + _ó + `ò + a = M =áë==
173
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
Ç=
^ñ N + _ó N + `òN + a
^O + _O + `O
K=
=
=
=
======
Figure 135.
=
689. fåíÉêëÉÅíáçå=çÑ=qïç=mä~åÉë=
fÑ=íïç=éä~åÉë= ^Nñ + _Nó + `Nò + aN = M =~åÇ=
^ O ñ + _ O ó + ` Oò + aO = M = áåíÉêëÉÅíI= íÜÉ= áåíÉêëÉÅíáçå= ëíê~áÖÜí=
äáåÉ=áë=ÖáîÉå=Äó=
ñ = ñ N + ~í

ó = ó N + Äí I==
ò = ò + Åí
N

çê==
ñ − ñ N ó − óN ò − òN
=
=
I==
Ä
Å
~
ïÜÉêÉ==
174
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
~=
_N
_O
Ä
aN
aO
Å
aN
aO
~
aN
aO
ñN =
óN =
òN =
`N
`
I= Ä = N
`O
`O
^N
^
I= Å = N
^O
^O
_N
I==
_O
`N
a _N
−Å N
`O
aO _ O
I==
O
O
~ + Ä + ÅO
^N
a `N
−~ N
^O
aO ` O
I==
O
O
~ + Ä + ÅO
a ^N
_N
−Ä N
_O
aO ^ O
K==
O
O
~ + Ä + ÅO
=
=
=
7.10 Straight Line in Space
=
mçáåí=ÅççêÇáå~íÉëW=ñI=óI=òI= ñ N I= ó N I= ò N I=£=
aáêÉÅíáçå=ÅçëáåÉëW= Åçë α I= Åçë β I= Åçë γ =
oÉ~ä=åìãÄÉêëW=^I=_I=`I=aI=~I=ÄI=ÅI= ~N I= ~ O I=íI=£==
r r r
aáêÉÅíáçå=îÉÅíçêë=çÑ=~=äáåÉW= ë I= ëN I= ëO =
r
kçêã~ä=îÉÅíçê=íç=~=éä~åÉW= å =
^åÖäÉ=ÄÉíïÉÉå=íïç=äáåÉëW= ϕ =
=
690. mçáåí=aáêÉÅíáçå=cçêã=çÑ=íÜÉ=bèì~íáçå=çÑ=~=iáåÉ==
ñ − ñ N ó − óN ò − òN
=
=
I==
Ä
Å
~
ïÜÉêÉ=íÜÉ=éçáåí= mN (ñ N I ó N I ò N ) =äáÉë=çå=íÜÉ=äáåÉI=~åÇ= (~ I ÄI Å ) =áë=
íÜÉ=ÇáêÉÅíáçå=îÉÅíçê=çÑ=íÜÉ=äáåÉK==
=
175
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
=
=====
=
Figure 136.
=
691. qïç=mçáåí=cçêã=
ñ − ñN
ó − óN
ò − òN
=
=
==
ñ O − ñ N ó O − óN ò O − òN
=
=====
Figure 137.
176
=
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
692. m~ê~ãÉíêáÅ=cçêã==
ñ = ñ N + í Åçë α

ó = ó N + í Åçë β I==
ò = ò + í Åçë γ
N

ïÜÉêÉ=íÜÉ=éçáåí= mN (ñ N I ó N I ò N ) =äáÉë=çå=íÜÉ=ëíê~áÖÜí=äáåÉI=
Åçë α I= Åçë β I= Åçë γ =~êÉ=íÜÉ=ÇáêÉÅíáçå=ÅçëáåÉë=çÑ=íÜÉ=ÇáêÉÅíáçå=
îÉÅíçê=çÑ=íÜÉ=äáåÉI=íÜÉ=é~ê~ãÉíÉê=í=áë=~åó=êÉ~ä=åìãÄÉêK==
=
=
=====
=
Figure 138.
=
693. ^åÖäÉ=_ÉíïÉÉå=qïç=píê~áÖÜí=iáåÉë=
r r
ë ⋅ë
~N~ O + ÄNÄO + ÅNÅ O
Åçë ϕ = r N rO =
=
O
ëN ⋅ ëO
~N + ÄNO + ÅNO ⋅ ~ OO + ÄOO + Å OO
=
177
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
=
=====
=
Figure 139.
=
694. m~ê~ääÉä=iáåÉë=
qïç=äáåÉë=~êÉ=é~ê~ääÉä=áÑ==
r r
ëN öö ëO I==
çê==
~ N ÄN ÅN
= = K=
~ O ÄO Å O
=
695. mÉêéÉåÇáÅìä~ê=iáåÉë=
qïç=äáåÉë=~êÉ=é~ê~ääÉä=áÑ==
r r
ëN ⋅ ëO = M I==
çê==
~N~ O + ÄNÄO + ÅNÅ O = M K=
=
696. fåíÉêëÉÅíáçå=çÑ=qïç=iáåÉë=
ñ − ñ N ó − óN ò − òN
=
=
=~åÇ=
qïç=äáåÉë=
~N
ÄN
ÅN
178
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
ñ − ñO ó − óO ò − òO
=
=
=áåíÉêëÉÅí=áÑ==
~O
ÄO
ÅO
ñ O − ñ N ó O − óN ò O − òN
~N
ÄN
ÅN = M K=
~O
ÄO
ÅO
=
697. m~ê~ääÉä=iáåÉ=~åÇ=mä~åÉ==
ñ − ñ N ó − óN ò − òN
=
=
=~åÇ=íÜÉ=éä~åÉ=
qÜÉ=ëíê~áÖÜí=äáåÉ=
Ä
Å
~
^ñ + _ó + `ò + a = M =~êÉ=é~ê~ääÉä=áÑ=
r r
å ⋅ ë = M I==
çê==
^~ + _Ä + `Å = M K=
=
=
=====
=
Figure 140.
=
=
179
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
698. mÉêéÉåÇáÅìä~ê=iáåÉ=~åÇ=mä~åÉ==
ñ − ñ N ó − óN ò − òN
=
=
=~åÇ=íÜÉ=éä~åÉ=
qÜÉ=ëíê~áÖÜí=äáåÉ=
Ä
Å
~
^ñ + _ó + `ò + a = M =~êÉ=éÉêéÉåÇáÅìä~ê=áÑ=
r r
å öö ë I==
çê==
^ _ `
= = K=
~ Ä Å
=
====
=
=
Figure 141.
=
=
7.11 Quadric Surfaces
=
mçáåí=ÅççêÇáå~íÉë=çÑ=íÜÉ=èì~ÇêáÅ=ëìêÑ~ÅÉëW=ñI=óI=ò=
oÉ~ä=åìãÄÉêëW=^I=_I=`I=~I=ÄI=ÅI= â N I â O I â P I=£=
180
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
699. dÉåÉê~ä=nì~Çê~íáÅ=bèì~íáçå=
^ñ O + _ó O + `ò O + Ocóò + Odòñ + Oeñó + Omñ + Onó + Ooò + a = M
=
700. `ä~ëëáÑáÅ~íáçå=çÑ=nì~ÇêáÅ=pìêÑ~ÅÉë=
=
`~ëÉ= o~åâEÉF= o~åâEbF=
â=ëáÖåë=
qóéÉ=çÑ=pìêÑ~ÅÉ=
∆=
N=
P=
Q=
p~ãÉ=
oÉ~ä=bääáéëçáÇ=
<M=
O=
P=
Q=
p~ãÉ=
fã~Öáå~êó=bääáéëçáÇ=
> M=
P=
P=
Q=
eóéÉêÄçäçáÇ=çÑ=N=pÜÉÉí=
> M = aáÑÑÉêÉåí=
Q=
P=
Q=
eóéÉêÄçäçáÇ=çÑ=O=pÜÉÉíë=
< M = aáÑÑÉêÉåí=
R=
S=
T=
U=
V=
NM=
NN=
NO=
NP=
NQ=
NR=
NS=
NT=
P=
P=
O=
O=
O=
O=
O=
O=
O=
N=
N=
N=
N=
P=
P=
Q=
Q=
P=
P=
P=
O=
O=
P=
O=
O=
N=
=
=
<M=
> M=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
aáÑÑÉêÉåí=
p~ãÉ=
p~ãÉ=
aáÑÑÉêÉåí=
p~ãÉ=
p~ãÉ=
aáÑÑÉêÉåí=
aáÑÑÉêÉåí=
p~ãÉ=
=
=
=
=
oÉ~ä=nì~ÇêáÅ=`çåÉ=
fã~Öáå~êó=nì~ÇêáÅ=`çåÉ=
bääáéíáÅ=m~ê~ÄçäçáÇ=
eóéÉêÄçäáÅ=m~ê~ÄçäçáÇ=
oÉ~ä=bääáéíáÅ=`óäáåÇÉê=
fã~Öáå~êó=bääáéíáÅ=`óäáåÇÉê=
eóéÉêÄçäáÅ=`óäáåÇÉê=
oÉ~ä=fåíÉêëÉÅíáåÖ=mä~åÉë=
fã~Öáå~êó=fåíÉêëÉÅíáåÖ=mä~åÉë=
m~ê~ÄçäáÅ=`óäáåÇÉê=
oÉ~ä=m~ê~ääÉä=mä~åÉë=
fã~Öáå~êó=m~ê~ääÉä=mä~åÉë=
`çáåÅáÇÉåí=mä~åÉë=
=
eÉêÉ==
^ e n m


 ^ e d


 e _ c n
É =  e _ c  I= b = 
I= ∆ = ÇÉí(b ) I==
d c ` o
 d c `




 m n o a


â N I â O I â P =~êÉ=íÜÉ=êççíë=çÑ=íÜÉ=Éèì~íáçåI==
^−ñ
e
d
e
_−ñ
c = M K=
d
c
`−ñ
=
=
181
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
701. oÉ~ä=bääáéëçáÇ=E`~ëÉ=NF=
ñO óO òO
+ + = N=
~ O ÄO Å O
=
=
=====
=
Figure 142.
=
702. fã~Öáå~êó=bääáéëçáÇ=E`~ëÉ=OF=
ñO óO òO
+ + = −N =
~ O ÄO Å O
=
703. eóéÉêÄçäçáÇ=çÑ=N=pÜÉÉí=E`~ëÉ=PF=
ñO óO òO
+ − = N=
~ O ÄO Å O
=
182
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
=
=====
=
Figure 143.
=
704. eóéÉêÄçäçáÇ=çÑ=O=pÜÉÉíë=E`~ëÉ=QF=
ñO óO òO
+ − = −N =
~ O ÄO Å O
=
=
=
=
Figure 144.
183
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
705. oÉ~ä=nì~ÇêáÅ=`çåÉ=E`~ëÉ=RF=
ñO óO òO
+ − =M=
~ O ÄO Å O
=
=
==
=
Figure 145.
=
706. fã~Öáå~êó=nì~ÇêáÅ=`çåÉ=E`~ëÉ=SF=
ñO óO òO
+ + =M=
~ O ÄO Å O
=
707. bääáéíáÅ=m~ê~ÄçäçáÇ=E`~ëÉ=TF=
ñO óO
+ −ò = M=
~ O ÄO
=
184
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
======
Figure 146.
=
708. eóéÉêÄçäáÅ=m~ê~ÄçäçáÇ=E`~ëÉ=UF=
ñO óO
− −ò = M=
~ O ÄO
====
Figure 147.
185
=
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
709. oÉ~ä=bääáéíáÅ=`óäáåÇÉê=E`~ëÉ=VF=
ñO óO
+ = N=
~ O ÄO
=
=
=====
=
Figure 148.
=
710. fã~Öáå~êó=bääáéíáÅ=`óäáåÇÉê=E`~ëÉ=NMF=
ñO óO
+ = −N =
~ O ÄO
=
711. eóéÉêÄçäáÅ=`óäáåÇÉê=E`~ëÉ=NNF=
ñO óO
− = N=
~ O ÄO
=
186
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
=
======
=
Figure 149.
=
712. oÉ~ä=fåíÉêëÉÅíáåÖ=mä~åÉë=E`~ëÉ=NOF=
ñO óO
− =M=
~ O ÄO
=
713. fã~Öáå~êó=fåíÉêëÉÅíáåÖ=mä~åÉë=E`~ëÉ=NPF=
ñO óO
+ = M=
~ O ÄO
=
714. m~ê~ÄçäáÅ=`óäáåÇÉê=E`~ëÉ=NQF=
ñO
−ó =M=
~O
=
187
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
=
=====
=
Figure 150.
=
715. oÉ~ä=m~ê~ääÉä=mä~åÉë=E`~ëÉ=NRF=
ñO
= N=
~O
=
716. fã~Öáå~êó=m~ê~ääÉä=mä~åÉë=E`~ëÉ=NSF=
ñO
= −N =
~O
=
717. `çáåÅáÇÉåí=mä~åÉë=E`~ëÉ=NTF=
ñO = M =
=
=
=
=
=
188
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
7.12 Sphere
=
o~Çáìë=çÑ=~=ëéÜÉêÉW=o=
mçáåí=ÅççêÇáå~íÉëW=ñI=óI=òI= ñ N I= ó N I= ò N I=£=
`ÉåíÉê=çÑ=~=ëéÜÉêÉW= (~ I ÄI Å ) =
oÉ~ä=åìãÄÉêëW=^I=aI=bI=cI=j=
=
=
718. bèì~íáçå=çÑ=~=péÜÉêÉ=`ÉåíÉêÉÇ=~í=íÜÉ=lêáÖáå=Epí~åÇ~êÇ=
cçêãF=
ñ O + ó O + ò O = oO =
=
=
======
=
Figure 151.
=
719. bèì~íáçå=çÑ=~=`áêÅäÉ=`ÉåíÉêÉÇ=~í=^åó=mçáåí= (~ I ÄI Å )
(ñ − ~ )O + (ó − Ä)O + (ò − Å )O = o O
720. aá~ãÉíÉê=cçêã
(ñ − ñ N )(ñ − ñ O ) + (ó − óN )(ó − ó O ) + (ò − òN )(ò − ò O ) = M I==
189
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
ïÜÉêÉ==
mN (ñ N I ó N I ò N ) I= mO (ñ O I ó O I ò O ) =~êÉ=íÜÉ=ÉåÇë=çÑ=~=Çá~ãÉíÉêK==
=
721. cçìê=mçáåí=cçêã=
ñO + óO + òO ñ ó ò N
ñ NO + ó NO + ñ NO ñ N ó N ò N N
ñ OO + ó OO + ñ OO ñ O ó O ò O N = M =
ñ PO + ó PO + ñ PO ñ P ó P ò P N
ñ OQ + ó OQ + ñ OQ ñ Q ó Q ò Q N
=
722. dÉåÉê~ä=cçêã
^ñ O + ^ó O + ^ò O + añ + bó + cò + j = M =E^=áë=åçåòÉêçFK==
qÜÉ=ÅÉåíÉê=çÑ=íÜÉ=ëéÜÉêÉ=Ü~ë=ÅççêÇáå~íÉë= (~ I ÄI Å ) I=ïÜÉêÉ==
a
b
c
~=−
I= Ä = −
I= Å = −
K=
O^
O^
O^
qÜÉ=ê~Çáìë=çÑ=íÜÉ=ëéÜÉêÉ=áë
aO + b O + c O − Q ^ O j
K
o=
O^
=
=
190
Chapter 8
Differential Calculus
=
=
=
=
cìåÅíáçåëW=ÑI=ÖI=óI=ìI=î=
^êÖìãÉåí=EáåÇÉéÉåÇÉåí=î~êá~ÄäÉFW=ñ=
oÉ~ä=åìãÄÉêëW=~I=ÄI=ÅI=Ç=
k~íìê~ä=åìãÄÉêW=å=
^åÖäÉW= α =
fåîÉêëÉ=ÑìåÅíáçåW= Ñ −N =
=
=
8.1 Functions and Their Graphs
723.
724.
725.
726.
=
bîÉå=cìåÅíáçå=
Ñ (− ñ ) = Ñ (ñ ) =
=
lÇÇ=cìåÅíáçå=
Ñ (− ñ ) = −Ñ (ñ ) =
=
mÉêáçÇáÅ=cìåÅíáçå=
Ñ (ñ + åq ) = Ñ (ñ ) =
=
fåîÉêëÉ=cìåÅíáçå=
ó = Ñ (ñ ) =áë=~åó=ÑìåÅíáçåI= ñ = Ö(ó ) =çê= ó = Ñ −N (ñ ) =áë=áíë=áåîÉêëÉ=
ÑìåÅíáçåK==
=
191
CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS
=
=====
=
Figure 152.
=
727. `çãéçëáíÉ=cìåÅíáçå=
ó = Ñ (ì ) I= ì = Ö(ñ ) I= ó = Ñ (Ö(ñ )) =áë=~=ÅçãéçëáíÉ=ÑìåÅíáçåK=
=
728. iáåÉ~ê=cìåÅíáçå=
ó = ~ñ + Ä I== ñ ∈ o I== ~ = í~å α ==áë=íÜÉ=ëäçéÉ=çÑ=íÜÉ=äáåÉI==Ä==áë=
íÜÉ=ó-áåíÉêÅÉéíK=
=
192
CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS
=
======
=
Figure 153.
=
729. nì~Çê~íáÅ=cìåÅíáçå==
ó = ñ O I= ñ ∈ o K=
=
=
======
=
Figure 154.
=
193
CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS
730. ó = ~ñ O + Äñ + Å I= ñ ∈ o K=
=
=
=
===
Figure 155.
=
731. `ìÄáÅ=cìåÅíáçå==
ó = ñ P I= ñ ∈ o K=
=
194
CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS
=
=
=
Figure 156.
=
732. ó = ~ñ P + Äñ O + Åñ + Ç I= ñ ∈ o K=
=
195
CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS
=
==
=
Figure 157.
=
733. mçïÉê=cìåÅíáçå==
ó = ñ å I= å∈ k K=
=
196
CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS
======
Figure 158.
=
=
Figure 159.
=
197
=
CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS
734. pèì~êÉ=oççí=cìåÅíáçå==
ó = ñ I= ñ ∈ [MI ∞ ) K=
=
=======
Figure 160.
=
=
735. bñéçåÉåíá~ä=cìåÅíáçåë=
ó = ~ ñ I= ~ > M I= ~ ≠ N I=
ó = É ñ =áÑ= ~ = É I= É = OKTNUOUNUOUQSK =
=
=
=
=
Figure 161.
198
CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS
736. içÖ~êáíÜãáÅ=cìåÅíáçåë=
ó = äçÖ ~ ñ I= ñ ∈ (MI ∞ ) I= ~ > M I= ~ ≠ N I=
ó = äå ñ =áÑ= ~ = É I= ñ > M K=
=
=
Figure 162.
=
737. eóéÉêÄçäáÅ=páåÉ=cìåÅíáçå==
Éñ − É−ñ
ó = ëáåÜ ñ I= ëáåÜ ñ =
I= ñ ∈ o K=
O
=
199
=
CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS
=
====
=
Figure 163.
=
738. eóéÉêÄçäáÅ=`çëáåÉ=cìåÅíáçå==
Éñ + É−ñ
ó = Åçë Ü ñ I= Åçë Ü ñ =
I= ñ ∈ o K=
O
=
=
======
Figure 164.
200
CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS
739. eóéÉêÄçäáÅ=q~åÖÉåí=cìåÅíáçå==
ëáåÜ ñ É ñ − É − ñ
ó = í~åÜ ñ I= ó = í~åÜ ñ =
=
I= ñ ∈ o K=
ÅçëÜ ñ É ñ + É − ñ
=
=
======
=
Figure 165.
=
740. eóéÉêÄçäáÅ=`çí~åÖÉåí=cìåÅíáçå==
ÅçëÜ ñ É ñ + É − ñ
ó = Åçí Ü ñ I= ó = Åçí Ü ñ =
=
I= ñ ∈ o I= ñ ≠ M K=
ëáåÜ ñ É ñ − É − ñ
=
201
CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS
=
======
=
Figure 166.
=
741. eóéÉêÄçäáÅ=pÉÅ~åí=cìåÅíáçå==
N
O
ó = ëÉÅ Ü ñ I= ó = ëÉÅ Ü ñ =
= ñ − ñ I= ñ ∈ o K=
ÅçëÜ ñ É + É
Figure 167.
202
=
CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS
742. eóéÉêÄçäáÅ=`çëÉÅ~åí=cìåÅíáçå==
N
O
= ñ − ñ I= ñ ∈ o I= ñ ≠ M K=
ó = ÅëÅÜ ñ I= ó = ÅëÅÜ ñ =
ëáåÜ ñ É − É
=
=
======
=
Figure 168.
=
743. fåîÉêëÉ=eóéÉêÄçäáÅ=páåÉ=cìåÅíáçå==
ó = ~êÅëáåÜ ñ I= ñ ∈ o K=
=
203
CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS
=
=====
=
Figure 169.
=
744. fåîÉêëÉ=eóéÉêÄçäáÅ=`çëáåÉ=cìåÅíáçå==
ó = ~êÅÅçëÜ ñ I= ñ ∈ [NI ∞ ) K=
=
=
=====
=
Figure 170.
=
745. fåîÉêëÉ=eóéÉêÄçäáÅ=q~åÖÉåí=cìåÅíáçå==
ó = ~êÅí~åÜ ñ I= ñ ∈ (− NI N) K=
=
204
CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS
=
=====
=
Figure 171.
=
746. fåîÉêëÉ=eóéÉêÄçäáÅ=`çí~åÖÉåí=cìåÅíáçå==
ó = ~êÅÅçíÜ ñ I= ñ ∈ (− ∞I − N) ∪ (NI ∞ ) K==
=
205
CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS
=
=====
=
Figure 172.
=
747. fåîÉêëÉ=eóéÉêÄçäáÅ=pÉÅ~åí=cìåÅíáçå==
ó = ~êÅëÉÅÜ ñ I= ñ ∈ (MI N] K=
=
206
CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS
Figure 173.
=
=
748. fåîÉêëÉ=eóéÉêÄçäáÅ=`çëÉÅ~åí=cìåÅíáçå==
ó = ~êÅÅëÅÜ ñ I= ñ ∈ o I= ñ ≠ M K==
Figure 174.
=
207
=
CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS
8.2 Limits of Functions
=
cìåÅíáçåëW= Ñ (ñ ) I= Ö(ñ ) =
^êÖìãÉåíW=ñ=
oÉ~ä=Åçåëí~åíëW=~I=â=
=
=
749. äáã[Ñ (ñ ) + Ö(ñ )] = äáã Ñ (ñ ) + äáã Ö (ñ ) =
ñ →~
ñ →~
ñ →~
=
750. äáã[Ñ (ñ ) − Ö (ñ )] = äáã Ñ (ñ ) − äáã Ö (ñ ) =
ñ →~
ñ →~
ñ →~
=
751. äáã[Ñ (ñ ) ⋅ Ö (ñ )] = äáã Ñ (ñ ) ⋅ äáã Ö (ñ ) =
ñ →~
=
ñ →~
ñ →~
Ñ (ñ )
Ñ (ñ ) äáã
= ñ →~
I=áÑ= äáã Ö(ñ ) ≠ M K=
ñ →~
ñ → ~ Ö (ñ )
äáã Ö(ñ )
752. äáã
ñ →~
=
753. äáã[âÑ (ñ )] = â äáã Ñ (ñ ) =
ñ →~
ñ →~
(
=
)
754. äáã Ñ (Ö (ñ )) = Ñ äáã Ö (ñ ) =
ñ →~
ñ →~
=
755. äáã Ñ (ñ ) = Ñ (~ ) I=áÑ=íÜÉ=ÑìåÅíáçå= Ñ (ñ ) =áë=Åçåíáåìçìë=~í= ñ = ~ K=
ñ →~
=
ëáå ñ
= N=
ñ →M
ñ
756. äáã
=
757. äáã
ñ →M
í~å ñ
=N=
ñ
=
ëáå −N ñ
= N=
ñ →M
ñ
758. äáã
208
CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS
í~å −N ñ
= N=
ñ →M
ñ
759. äáã
=
äå(N + ñ )
= N=
ñ →M
ñ
760. äáã
=
ñ
 N
761. äáã N +  = É =
ñ →∞
 ñ
=
ñ
 â
762. äáã N +  = É â =
ñ →∞
 ñ
=
763. äáã ~ ñ = N =
ñ →M
=
=
=
8.3 Definition and Properties of the Derivative
=
cìåÅíáçåëW=ÑI=ÖI=óI=ìI=î=
fåÇÉéÉåÇÉåí=î~êá~ÄäÉW=ñ=
oÉ~ä=Åçåëí~åíW=â=
^åÖäÉW= α =
=
=
Ñ (ñ + ∆ñ ) − Ñ (ñ )
∆ó Çó
764. ó′(ñ ) = äáã
==
= äáã
=
∆ñ → M
∆ñ →M ∆ñ
Ɩ
Çñ
=
209
CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS
=
==
=
Figure 175.
=
Çó
= í~å α ==
Çñ
765.
=
766.
=
767.
=
768.
Ç(ì + î ) Çì Çî
=
+
=
Çñ
Çñ Çñ
Ç(ì − î ) Çì Çî
=
−
=
Çñ
Çñ Çñ
Ç(âì )
Çì
=â
=
Çñ
Çñ
=
769. mêçÇìÅí=oìäÉ=
Ç(ì ⋅ î ) Çì
Çî
=
⋅ î + ì ⋅ ==
Çñ
Çñ
Çñ
=
=
210
CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS
770. nìçíáÉåí=oìäÉ=
Çì
Çî
⋅î −ì⋅
Ç  ì  Çñ
Çñ =
 =
O
Çñ  î 
î
=
771. `Ü~áå=oìäÉ=
ó = Ñ (Ö(ñ )) I= ì = Ö(ñ ) I==
Çó Çó Çì
=
⋅
K=
Çñ Çì Çñ
=
772. aÉêáî~íáîÉ=çÑ=fåîÉêëÉ=cìåÅíáçå=
Çó
N
=
I==
Çñ
Çñ
Çó
ïÜÉêÉ= ñ (ó ) áë=íÜÉ=áåîÉêëÉ=ÑìåÅíáçå=çÑ= ó (ñ ) K==
=
773. oÉÅáéêçÅ~ä=oìäÉ=
Çó
Ç  N
  = − ÇñO =
Çñ  ó 
ó
=
774. içÖ~êáíÜãáÅ=aáÑÑÉêÉåíá~íáçå=
ó = Ñ (ñ ) I= äå ó = äå Ñ (ñ ) I==
Çó
Ç
= Ñ (ñ ) ⋅ [äå Ñ (ñ )] K=
Çñ
Çñ
=
=
8.4 Table of Derivatives
=
fåÇÉéÉåÇÉåí=î~êá~ÄäÉW=ñ=
oÉ~ä=Åçåëí~åíëW=`I=~I=ÄI=Å=
k~íìê~ä=åìãÄÉêW=å=
211
CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS
Ç
(` ) = M =
Çñ
775.
=
Ç
(ñ ) = N =
Çñ
776.
=
Ç
(~ñ + Ä) = ~ =
Çñ
777.
=
778.
=
779.
=
780.
Ç
(~ñ O + Äñ + Å ) = ~ñ + Ä =
Çñ
Ç å
(
ñ ) = åñ å −N =
Çñ
Ç −å
å
(
ñ ) = − å +N =
ñ
Çñ
=
Ç N
N
 =− O =
Çñ  ñ 
ñ
781.
=
782.
Ç
Çñ
( ñ ) = O Nñ =
Ç
Çñ
( ñ )=
=
783.
N
å
å å ñ å −N
=
=
Ç
(äå ñ ) = N =
ñ
Çñ
784.
=
Ç
(äçÖ ~ ñ ) = N I= ~ > M I= ~ ≠ N K=
ñ äå ~
Çñ
785.
=
212
CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS
Ç ñ
(
~ ) = ~ ñ äå ~ I= ~ > M I= ~ ≠ N K=
Çñ
786.
=
787.
Ç ñ
(
É ) = Éñ =
Çñ
=
Ç
(ëáå ñ ) = Åçë ñ =
Çñ
788.
=
Ç
(Åçë ñ ) = − ëáå ñ =
Çñ
789.
=
Ç
(í~å ñ ) = NO = ëÉÅ O ñ =
Çñ
Åçë ñ
790.
=
Ç
(Åçí ñ ) = − NO = − ÅëÅ O ñ =
Çñ
ëáå ñ
791.
=
Ç
(ëÉÅ ñ ) = í~å ñ ⋅ ëÉÅ ñ =
Çñ
792.
=
Ç
(ÅëÅ ñ ) = − Åçí ñ ⋅ ÅëÅ ñ =
Çñ
793.
=
Ç
(~êÅëáå ñ ) = N O =
Çñ
N− ñ
794.
=
Ç
(~êÅÅçë ñ ) = − N O =
Çñ
N− ñ
795.
=
Ç
(~êÅí~å ñ ) = N O =
N+ ñ
Çñ
796.
=
213
CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS
Ç
(~êÅ Åçí ñ ) = − N O =
Çñ
N+ ñ
797.
=
Ç
(~êÅ ëÉÅ ñ ) = NO =
Çñ
ñ ñ −N
798.
=
Ç
(~êÅ ÅëÅ ñ ) = − NO =
Çñ
ñ ñ −N
799.
=
Ç
(ëáåÜ ñ ) = ÅçëÜ ñ =
Çñ
800.
=
Ç
(ÅçëÜ ñ ) = ëáåÜ ñ =
Çñ
801.
=
Ç
(í~åÜ ñ ) = N O = ëÉÅÜ O ñ =
ÅçëÜ ñ
Çñ
802.
=
Ç
(ÅçíÜ ñ ) = − N O = −ÅëÅÜ O ñ =
Çñ
ëáåÜ ñ
803.
=
Ç
(ëÉÅÜ ñ ) = −ëÉÅÜ ñ ⋅ í~åÜ ñ =
Çñ
804.
=
Ç
(ÅëÅÜ ñ ) = −ÅëÅÜ ñ ⋅ ÅçíÜ ñ =
Çñ
805.
=
Ç
(~êÅëáåÜ=ñ ) = NO =
Çñ
ñ +N
806.
=
807.
Ç
(~êÅÅçëÜ=ñ ) = ON =
Çñ
ñ −N
214
CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS
Ç
(~êÅí~åÜ=ñ ) = N O I= ñ < N K=
Çñ
N− ñ
808.
=
Ç
(~êÅÅçíÜ=ñ ) = − ON I= ñ > N K=
Çñ
ñ −N
809.
=
810.
Ç î
Çì
Çî
(
+ ì î äå ì ⋅ =
ì ) = îì î −N ⋅
Çñ
Çñ
Çñ
=
=
=
8.5 Higher Order Derivatives
811.
812.
813.
814.
815.
=
cìåÅíáçåëW=ÑI=óI=ìI=î=
fåÇÉéÉåÇÉåí=î~êá~ÄäÉW=ñ=
k~íìê~ä=åìãÄÉêW=å=
=
=
pÉÅçåÇ=ÇÉêáî~íáîÉ=
O
 Çó  ′ Ç  Çó  Ç ó
′
Ñ ′′ = (Ñ ′) =   =
 = O =
 Çñ  Çñ  Çñ  Çñ
=
eáÖÜÉê-lêÇÉê=ÇÉêáî~íáîÉ=
Çå ó
(å )
Ñ = å = ó (å ) = (Ñ (å −N) ) ′ =
Çñ
=
(ì + î )(å ) = ì (å ) + î (å ) =
=
(ì − î )(å ) = ì(å ) − î (å ) =
=
iÉáÄåáíò∞ë=cçêãìä~ë=
(ìî )′′ = ì′′î + Oì′î′ + ìî′′ =
215
CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS
(ìî )′′′ = ì′′′î + Pì′′î′ + Pì′î′′ + ìî′′′ =
(ìî )(å ) = ì (å ) î + åì (å−N) î ′ + å(å − N) ì (å−O) î ′′ + K + ìî (å ) =
N⋅ O
=
(ñ )( ) = (ãã−>å)> ñ
ã
816.
=
=
ã −å
=
(ñ )( ) = å> =
å
817.
å
å
å −N
(
− N) (å − N)>
(äçÖ ~ ñ ) =
=
å
(å )
818.
ñ äå ~
=
819.
å −N
(äå ñ )(å ) = (− N) (åå − N)> =
ñ
=
(~ )( ) = ~
å
ñ
äå å ~ =
(É )( ) = É
ñ
=
ñ
820.
=
ñ
821.
=
(~ )( ) = ã ~
ãñ
822.
å
å
å ãñ
äå å ~ =
=
(ëáå ñ )(å ) = ëáå ñ + åπ  =
823.

O 
=
(Åçë ñ )(å ) = Åçë ñ + åπ  =
824.

O 
=
=
=
216
CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS
8.6 Applications of Derivative
=
cìåÅíáçåëW=ÑI=ÖI=ó=
mçëáíáçå=çÑ=~å=çÄàÉÅíW=ë==
sÉäçÅáíóW=î=
^ÅÅÉäÉê~íáçåW=ï=
fåÇÉéÉåÇÉåí=î~êá~ÄäÉW=ñ=
qáãÉW=í=
k~íìê~ä=åìãÄÉêW=å=
=
=
825. sÉäçÅáíó=~åÇ=^ÅÅÉäÉê~íáçå=
ë = Ñ (í ) =áë=íÜÉ=éçëáíáçå=çÑ=~å=çÄàÉÅí=êÉä~íáîÉ=íç=~=ÑáñÉÇ=
ÅççêÇáå~íÉ=ëóëíÉã=~í=~=íáãÉ=íI==
î = ë′ = Ñ ′(í ) =áë=íÜÉ=áåëí~åí~åÉçìë=îÉäçÅáíó=çÑ=íÜÉ=çÄàÉÅíI=
ï = î′ = ë′′ = Ñ ′′(í ) =áë=íÜÉ=áåëí~åí~åÉçìë=~ÅÅÉäÉê~íáçå=çÑ=
íÜÉ=çÄàÉÅíK==
=
826. q~åÖÉåí=iáåÉ=
ó − ó M = Ñ ′(ñ M )(ñ − ñ M ) =
=
217
CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS
=
=
Figure 176.
=
827. kçêã~ä=iáåÉ=
N
(ñ − ñ M ) =EcáÖ=NTSF=
ó − óM = −
Ñ ′(ñ M )
=
828. fåÅêÉ~ëáåÖ=~åÇ=aÉÅêÉ~ëáåÖ=cìåÅíáçåëK==
fÑ= Ñ ′(ñ M ) > M I=íÜÉå=ÑEñF=áë=áåÅêÉ~ëáåÖ=~í= ñ M K=EcáÖ=NTTI= ñ < ñ N I=
ñ O < ñ FI=
fÑ= Ñ ′(ñ M ) < M I=íÜÉå=ÑEñF=áë=ÇÉÅêÉ~ëáåÖ=~í= ñ M K=EcáÖ=NTTI=
ñ N < ñ < ñ O FI=
fÑ= Ñ ′ (ñ M ) =ÇçÉë=åçí=Éñáëí=çê=áë=òÉêçI=íÜÉå=íÜÉ=íÉëí=Ñ~áäëK==
=
218
CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS
=
=
Figure 177.
=
829. içÅ~ä=ÉñíêÉã~=
^=ÑìåÅíáçå=ÑEñF=Ü~ë=~=äçÅ~ä=ã~ñáãìã=~í= ñ N =áÑ=~åÇ=çåäó=áÑ=
íÜÉêÉ=Éñáëíë=ëçãÉ=áåíÉêî~ä=Åçåí~áåáåÖ= ñ N =ëìÅÜ=íÜ~í=
Ñ (ñ N ) ≥ Ñ (ñ ) =Ñçê=~ää=ñ=áå=íÜÉ=áåíÉêî~ä=EcáÖKNTTFK==
=
^=ÑìåÅíáçå=ÑEñF=Ü~ë=~=äçÅ~ä=ãáåáãìã=~í= ñ O =áÑ=~åÇ=çåäó=áÑ=
íÜÉêÉ=Éñáëíë=ëçãÉ=áåíÉêî~ä=Åçåí~áåáåÖ= ñ O =ëìÅÜ=íÜ~í=
Ñ (ñ O ) ≤ Ñ (ñ ) =Ñçê=~ää=ñ=áå=íÜÉ=áåíÉêî~ä=EcáÖKNTTFK=
=
830. `êáíáÅ~ä=mçáåíë=
^=ÅêáíáÅ~ä=éçáåí=çå=ÑEñF=çÅÅìêë=~í= ñ M =áÑ=~åÇ=çåäó=áÑ=ÉáíÜÉê=
Ñ ′ (ñ M ) =áë=òÉêç=çê=íÜÉ=ÇÉêáî~íáîÉ=ÇçÉëå∞í=ÉñáëíK=
=
831. cáêëí=aÉêáî~íáîÉ=qÉëí=Ñçê=içÅ~ä=bñíêÉã~K=
fÑ=ÑEñF=áë==áåÅêÉ~ëáåÖ==E Ñ ′ (ñ ) > M F=Ñçê==~ää==ñ==áå==ëçãÉ==áåíÉêî~ä=
(~I ñ N ] ==~åÇ==ÑEñF==áë==ÇÉÅêÉ~ëáåÖ==E Ñ ′ (ñ ) < M F==Ñçê=~ää==ñ=áå=ëçãÉ=
áåíÉêî~ä= = [ñ N I Ä) I= = íÜÉå= ÑEñF= Ü~ë= ~= = äçÅ~ä= ã~ñáãìã= = ~í= = ñ N =
EcáÖKNTTFK==
219
CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS
832. fÑ=ÑEñF=áë=ÇÉÅêÉ~ëáåÖ=E Ñ ′ (ñ ) < M F=Ñçê=~ää=ñ=áå=ëçãÉ=áåíÉêî~ä=
(~I ñ O ]=~åÇ=ÑEñF=áë=áåÅêÉ~ëáåÖ=E Ñ ′ (ñ ) > M F=Ñçê=~ää=ñ=áå=ëçãÉ=
áåíÉêî~ä= [ñ O I Ä) I=íÜÉå=ÑEñF=Ü~ë=~=äçÅ~ä=ãáåáãìã=~í= ñ O K==
EcáÖKNTTFK=
=
833. pÉÅçåÇ=aÉêáî~íáîÉ=qÉëí=Ñçê=içÅ~ä=bñíêÉã~K=
fÑ= Ñ ′ (ñ N ) = M =~åÇ= Ñ ′′(ñ N ) < M I=íÜÉå=ÑEñF=Ü~ë=~=äçÅ~ä=ã~ñáãìã=
~í== ñ N K=
fÑ= Ñ ′ (ñ O ) = M =~åÇ= Ñ ′′(ñ O ) > M I=íÜÉå=ÑEñF=Ü~ë=~=äçÅ~ä=ãáåáãìã=
~í= ñ O K=EcáÖKNTTF=
=
834. `çåÅ~îáíóK==
ÑEñF= áë= = ÅçåÅ~îÉ= ìéï~êÇ= ~í= = ñ M = = áÑ= = ~åÇ= = çåäó= = áÑ= = Ñ ′ (ñ ) = áë============
áåÅêÉ~ëáåÖ=~í= ñ M =EcáÖKNTTI= ñ P < ñ FK===
ÑEñF=áë==ÅçåÅ~îÉ==Ççïåï~êÇ=~í== ñ M ==áÑ=~åÇ=çåäó=áÑ== Ñ ′ (ñ ) ==áë===============
ÇÉÅêÉ~ëáåÖ=~í= ñ M K=EcáÖKNTTI= ñ < ñ P FK===
=
835. pÉÅçåÇ=aÉêáî~íáîÉ=qÉëí=Ñçê=`çåÅ~îáíóK==
fÑ= Ñ ′′(ñ M ) > M I=íÜÉå=ÑEñF=áë=ÅçåÅ~îÉ=ìéï~êÇ=~í= ñ M K==
fÑ= Ñ ′′(ñ M ) < M I=íÜÉå=ÑEñF=áë=ÅçåÅ~îÉ=Ççïåï~êÇ=~í= ñ M K=
fÑ= Ñ ′′(ñ ) =ÇçÉë=åçí=Éñáëí=çê=áë=òÉêçI=íÜÉå=íÜÉ=íÉëí=Ñ~áäëK=
=
836. fåÑäÉÅíáçå=mçáåíë=
fÑ== Ñ ′ (ñ P ) ==Éñáëíë==~åÇ== Ñ ′′(ñ ) ==ÅÜ~åÖÉë=ëáÖå=~í= ñ = ñ P I==íÜÉå=
íÜÉ= éçáåí= (ñ P I Ñ (ñ P )) = áë= ~å= áåÑäÉÅíáçå= éçáåí= çÑ= íÜÉ= Öê~éÜ= çÑ=
Ñ (ñ ) K=fÑ= Ñ ′′(ñ P ) =Éñáëíë=~í=íÜÉ=áåÑäÉÅíáçå=éçáåíI=íÜÉå= Ñ ′′(ñ P ) = M =
EcáÖKNTTFK=
=
837. i∞eçéáí~ä∞ë=oìäÉ=
M
Ñ (ñ )
Ñ ′(ñ )
äáã
= äáã
=áÑ= äáã Ñ (ñ ) = äáã Ö (ñ ) =  K==
ñ → Å Ö (ñ )
ñ →Å Ö ′(ñ )
ñ →Å
ñ →Å
∞
=
220
CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS
8.7 Differential
=
cìåÅíáçåëW=ÑI=ìI=î=
fåÇÉéÉåÇÉåí=î~êá~ÄäÉW=ñ=
aÉêáî~íáîÉ=çÑ=~=ÑìåÅíáçåW= ó′(ñ ) I= Ñ ′(ñ ) =
oÉ~ä=Åçåëí~åíW=`=
aáÑÑÉêÉåíá~ä=çÑ=ÑìåÅíáçå= ó = Ñ (ñ ) W=Çó=
aáÑÑÉêÉåíá~ä=çÑ=ñW=Çñ=
pã~ää=ÅÜ~åÖÉ=áå=ñW= ∆ñ =
pã~ää=ÅÜ~åÖÉ=áå=óW= ∆ó =
=
=
838. Çó = ó′Çñ =
=
839. Ñ (ñ + ∆ñ ) = Ñ (ñ ) + Ñ ′(ñ )∆ñ =
=
=
=
Figure 178.
221
CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS
840. pã~ää=`Ü~åÖÉ=áå=ó=
∆ó = Ñ (ñ + ∆ñ ) − Ñ (ñ ) =
=
841. Ç(ì + î ) = Çì + Çî =
=
842. Ç(ì − î ) = Çì − Çî =
=
843. Ç(`ì ) = `Çì =
=
844. Ç(ìî ) = îÇì + ìÇî =
=
 ì  îÇì − ìÇî
845. Ç  =
=
îO
î
=
=
=
8.8 Multivariable Functions
=
cìåÅíáçåë=çÑ=íïç=î~êá~ÄäÉëW= ò (ñ I ó ) I= Ñ (ñ I ó ) I= Ö (ñ I ó ) I= Ü(ñ I ó ) ==
^êÖìãÉåíëW=ñI=óI=í=
pã~ää=ÅÜ~åÖÉë=áå=ñI=óI=òI=êÉëéÉÅíáîÉäóW= ∆ñ I= ∆ó I= ∆ò K=
=
=
846. cáêëí=lêÇÉê=m~êíá~ä=aÉêáî~íáîÉë=
qÜÉ=é~êíá~ä=ÇÉêáî~íáîÉ=ïáíÜ=êÉëéÉÅí=íç=ñ=
∂Ñ
∂ò
= Ñ ñ =E~äëç= = ò ñ FI=
∂ñ
∂ñ
qÜÉ=é~êíá~ä=ÇÉêáî~íáîÉ=ïáíÜ=êÉëéÉÅí=íç=ó=
∂Ñ
∂ò
= Ñ ó =E~äëç= = ò ó FK=
∂ó
∂ó
=
=
222
CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS
847. pÉÅçåÇ=lêÇÉê=m~êíá~ä=aÉêáî~íáîÉë=
∂  ∂Ñ  ∂ OÑ
= Ñ ññ I==
 =
∂ñ  ∂ñ  ∂ñ O
∂  ∂Ñ  ∂ OÑ
 =
= Ñ óó I==
∂ó  ∂ó  ∂ó O
∂  ∂Ñ  ∂ OÑ
= Ñ ñó I==
 =
∂ó  ∂ñ  ∂ó∂ñ
∂  ∂Ñ  ∂ OÑ
 =
= Ñ óñ K==
∂ñ  ∂ó  ∂ñ∂ó
fÑ=íÜÉ=ÇÉêáî~íáîÉë=~êÉ=ÅçåíáåìçìëI=íÜÉå==
∂ OÑ
∂ OÑ
=
K==
∂ó∂ñ ∂ñ∂ó
=
848. `Ü~áå=oìäÉë==
fÑ= Ñ (ñ I ó ) = Ö(Ü(ñ I ó )) =EÖ=áë=~=ÑìåÅíáçå=çÑ=çåÉ=î~êá~ÄäÉ=ÜFI=íÜÉå==
∂Ñ
∂Ü ∂Ñ
∂Ü
= Ö′(Ü(ñ I ó )) I= = Ö′(Ü(ñ I ó )) K==
∂ó
∂ñ
∂ñ ∂ó
=
∂Ñ Çñ ∂Ñ Çó
+
K==
fÑ= Ü(í ) = Ñ (ñ (í )I ó (í )) I=íÜÉå= Ü′(í ) =
∂ñ Çí ∂ó Çí
=
fÑ= ò = Ñ (ñ (ìI î )I ó (ìI î )) I=íÜÉå==
∂ò ∂Ñ ∂ñ ∂Ñ ∂ó ∂ò ∂Ñ ∂ñ ∂Ñ ∂ó
+
K==
+
=
I= =
∂ì ∂ñ ∂ì ∂ó ∂ì ∂î ∂ñ ∂î ∂ó ∂î
=
849. pã~ää=`Ü~åÖÉë=
∂Ñ
∂Ñ
Ƙ ŠƖ + Ɨ =
∂ñ
∂ó
=
=
223
CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS
850. içÅ~ä=j~ñáã~=~åÇ=jáåáã~=
Ñ (ñ I ó ) =Ü~ë=~=äçÅ~ä=ã~ñáãìã=~í= (ñ M I ó M ) =áÑ= Ñ (ñ I ó ) ≤ Ñ (ñ M I ó M ) =
Ñçê=~ää= (ñ I ó ) =ëìÑÑáÅáÉåíäó=ÅäçëÉ=íç= (ñ M I ó M ) K==
=
Ñ (ñ I ó ) =Ü~ë=~=äçÅ~ä=ãáåáãìã=~í= (ñ M I ó M ) =áÑ= Ñ (ñ I ó ) ≥ Ñ (ñ M I ó M ) =
Ñçê=~ää= (ñ I ó ) =ëìÑÑáÅáÉåíäó=ÅäçëÉ=íç= (ñ M I ó M ) K=
=
851. pí~íáçå~êó=mçáåíë=
∂Ñ ∂Ñ
=
= M K=
∂ñ ∂ó
içÅ~ä=ã~ñáã~=~åÇ=äçÅ~ä=ãáåáã~=çÅÅìê=~í=ëí~íáçå~êó=éçáåíëK=
==
852. p~ÇÇäÉ=mçáåí=
^=ëí~íáçå~êó==éçáåí==ïÜáÅÜ==áë==åÉáíÜÉê==~==äçÅ~ä==ã~ñáãìã=
åçê=~=äçÅ~ä=ãáåáãìã=
=
853. pÉÅçåÇ=aÉêáî~íáîÉ=qÉëí=Ñçê=pí~íáçå~êó=mçáåíë=
∂Ñ ∂Ñ
=
= M FK==
iÉí= (ñ M I ó M ) =ÄÉ=~=ëí~íáçå~êó=éçáåí=E
∂ñ ∂ó
Ñ ññ (ñ M I ó M ) Ñ ñó (ñ M I ó M )
K==
a=
Ñ óñ (ñ M I ó M ) Ñ óó (ñ M I ó M )
=
fÑ= a > M I= Ñ ññ (ñ M I ó M ) > M I== (ñ M I ó M ) ==áë=~=éçáåí=çÑ=äçÅ~ä=ãáåáã~K=
fÑ= a > M I= Ñ ññ (ñ M I ó M ) < M I== (ñ M I ó M ) ==áë=~=éçáåí=çÑ=äçÅ~ä=ã~ñáã~K=
fÑ= a < M I= (ñ M I ó M ) =áë=~=ë~ÇÇäÉ=éçáåíK=
fÑ= a = M I=íÜÉ=íÉëí=Ñ~áäëK=
=
854. q~åÖÉåí=mä~åÉ=
qÜÉ=Éèì~íáçå=çÑ=íÜÉ=í~åÖÉåí=éä~åÉ=íç=íÜÉ=ëìêÑ~ÅÉ= ò = Ñ (ñ I ó ) =
~í= (ñ M I ó M I ò M ) =áë==
ò − ò M = Ñ ñ (ñ M I ó M )(ñ − ñ M ) + Ñ ó (ñ M I ó M )(ó − ó M ) K=
=
224
CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS
855. kçêã~ä=íç=pìêÑ~ÅÉ=
qÜÉ=Éèì~íáçå=çÑ=íÜÉ=åçêã~ä=íç=íÜÉ=ëìêÑ~ÅÉ= ò = Ñ (ñ I ó ) =~í=
(ñ M I ó M I ò M ) =áë==
ñ − ñM
ó − óM
ò − òM
=
=
K=
Ñ ñ ( ñ M I ó M ) Ñ ó (ñ M I ó M )
−N
=
=
=
8.9 Differential Operators
=
r r r
råáí=îÉÅíçêë=~äçåÖ=íÜÉ=ÅççêÇáå~íÉ=~ñÉëW= á I= à I= â =
pÅ~ä~ê=ÑìåÅíáçåë=EëÅ~ä~ê=ÑáÉäÇëFW= Ñ (ñ I ó I ò ) I= ì(ñ N I ñ O I KI ñ å ) =
dê~ÇáÉåí=çÑ=~=ëÅ~ä~ê=ÑáÉäÇW= Öê~Ç ì I= ∇ì =
∂Ñ
aáêÉÅíáçå~ä=ÇÉêáî~íáîÉW= =
∂ä
r
sÉÅíçê=ÑìåÅíáçå=EîÉÅíçê=ÑáÉäÇFW= c (mI nI o ) =
r
r
aáîÉêÖÉåÅÉ=çÑ=~=îÉÅíçê=ÑáÉäÇW= Çáî c I= ∇ ⋅ c =
r
r
`ìêä=çÑ=~=îÉÅíçê=ÑáÉäÇW= Åìêä c I= ∇ × c =
i~éä~Åá~å=çéÉê~íçêW= ∇ O =
=
=
856. dê~ÇáÉåí=çÑ=~=pÅ~ä~ê=cìåÅíáçå=
 ∂Ñ ∂Ñ ∂Ñ 
Öê~Ç Ñ = ∇Ñ =  I I  I==
 ∂ñ ∂ó ∂ò 
 ∂ì ∂ì
∂ì 
 K=
Öê~Ç ì = ∇ì = 
I
IKI
∂ñ å 
 ∂ñ N ∂ñ O
=
857. aáêÉÅíáçå~ä=aÉêáî~íáîÉ=
∂Ñ ∂Ñ
∂Ñ
∂Ñ
= Åçë α + Åçë β + Åçë γ I==
∂ä ∂ñ
∂ó
∂ò
225
CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS
ïÜÉêÉ=íÜÉ=ÇáêÉÅíáçå=áë=ÇÉÑáåÉÇ=Äó=íÜÉ=îÉÅíçê=
r
ä (Åçë αI Åçë βI Åçë γ ) I= Åçë O α + Åçë O β + Åçë O γ = N K==
=
858. aáîÉêÖÉåÅÉ=çÑ=~=sÉÅíçê=cáÉäÇ=
r
r ∂m ∂n ∂o
+
+
=
Çáî c = ∇ ⋅ c =
∂ñ ∂ó ∂ò
=
859. `ìêä=çÑ=~=sÉÅíçê=cáÉäÇ=
r
r
r
á
à
â
r
r ∂
∂
∂
=
Åìêä c = ∇ × c =
∂ñ ∂ñ ∂ñ
m n o
 ∂o ∂n  r  ∂m ∂o  r  ∂n ∂m  r
 á +  −
= 
−
− â =
 à + 
 ∂ó ∂ò   ∂ò ∂ñ   ∂ñ ∂ó 
=
860. i~éä~Åá~å=léÉê~íçê=
∂ OÑ ∂ OÑ ∂ OÑ
∇ OÑ = O + O + O =
∂ò
∂ó
∂ñ
=
r
r
861. Çáî Åìêä c = ∇ ⋅ ∇ × c ≡ M =
=
862. Åìêä(Öê~Ç Ñ ) = ∇ × (∇Ñ ) ≡ M =
=
863. Çáî (Öê~Ç Ñ ) = ∇ ⋅ (∇Ñ ) = ∇ OÑ =
=
r
r
r
r
r
864. Åìêä Åìêä c = Öê~Ç Çáî c − ∇ Oc = ∇ ∇ ⋅ c − ∇ Oc =
=
=
(
)
(
)
(
)
(
)
226
( )
Chapter 9
Integral Calculus
=
=
=
=
cìåÅíáçåëW=ÑI=ÖI=ìI=î=
fåÇÉéÉåÇÉåí=î~êá~ÄäÉëW=ñI=íI= ξ =
fåÇÉÑáåáíÉ=áåíÉÖê~ä=çÑ=~=ÑìåÅíáçåW= ∫ Ñ (ñ )Çñ I= ∫ Ö (ñ )Çñ I=£=
aÉêáî~íáîÉ=çÑ=~=ÑìåÅíáçåW= ó′(ñ ) I= Ñ ′(ñ ) I= c′(ñ ) I=£=
oÉ~ä=Åçåëí~åíëW=`I=~I=ÄI=ÅI=ÇI=â=
k~íìê~ä=åìãÄÉêëW=ãI=åI=áI=à=
=
=
9.1 Indefinite Integral
=
865.
=
866.
=
867.
=
868.
=
869.
∫ Ñ (ñ )Çñ = c(ñ ) + ` =áÑ= c′(ñ ) = Ñ (ñ ) K=
(∫ Ñ (ñ )Çñ ) ′= Ñ (ñ ) =
∫ âÑ (ñ )Çñ = â ∫ Ñ (ñ )Çñ =
∫ [Ñ (ñ ) + Ö(ñ )]Çñ = ∫ Ñ (ñ )Çñ + ∫ Ö(ñ )Çñ =
∫ [Ñ (ñ ) − Ö(ñ )]Çñ = ∫ Ñ (ñ )Çñ − ∫ Ö(ñ )Çñ =
=
870.
N
∫ Ñ (~ñ )Çñ = ~ c(~ñ ) + ` =
227
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
N
∫ Ñ (~ñ + Ä)Çñ = ~ c(~ñ + Ä) + ` =
871.
=
N
∫ Ñ (ñ )Ñ ′(ñ )Çñ = O Ñ (ñ ) + ` =
O
872.
=
Ñ ′(ñ )
∫ Ñ (ñ ) Çñ = äå Ñ (ñ ) + ` =
873.
=
874. jÉíÜçÇ=çÑ=pìÄëíáíìíáçå=
∫ Ñ (ñ )Çñ = ∫ Ñ (ì(í ))ì′(í )Çí =áÑ= ñ = ì(í ) K=
=
875. fåíÉÖê~íáçå=Äó=m~êíë=
∫ ìÇî = ìî − ∫ îÇì I==
ïÜÉêÉ= ì(ñ ) I= î (ñ ) =~êÉ=ÇáÑÑÉêÉåíá~ÄäÉ=ÑìåÅíáçåëK==
=
=
=
9.2 Integrals of Rational Functions
=
∫ ~Çñ = ~ñ + ` =
876.
=
∫ ñÇñ =
877.
ñO
+`=
O
=
878.
O
∫ ñ Çñ =
ñP
+`=
P
é
∫ ñ Çñ =
ñ é +N
+ ` I= é ≠ −N K=
é+N
=
879.
=
228
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
å +N
(
~ñ + Ä)
∫ (~ñ + Ä) Çñ = ~(å + N) + ` I= å ≠ −N K=
å
880.
=
∫
881.
Çñ
= äå ñ + ` =
ñ
=
Çñ
N
∫ ~ñ + Ä = ~ äå ~ñ + Ä + ` =
882.
=
~ñ + Ä
~
∫ Åñ + Ç Çñ = Å ñ +
883.
ÄÅ − ~Ç
äå Åñ + Ç + ` =
ÅO
=
Çñ
ñ+Ä
N
∫ (ñ + ~ )(ñ + Ä) = ~ − Ä äå ñ + ~ + ` I= ~ ≠ Ä K=
884.
=
N
ñÇñ
∫ ~ + Äñ = Ä (~ + Äñ − ~ äå ~ + Äñ ) + ` =
885.
O
=
ñ OÇñ
N N

O
O
∫ ~ + Äñ = ÄP  O (~ + Äñ ) − O~(~ + Äñ ) + ~ äå ~ + Äñ  + ` =
886.
=
Çñ
N
∫ ñ (~ + Äñ ) = ~ äå
887.
~ + Äñ
+`=
ñ
=
888.
Çñ
N
Ä
∫ ñ (~ + Äñ ) = − ~ñ + ~
O
O
äå
~ + Äñ
+`=
ñ
=
889.
ñÇñ
∫ (~ + Äñ )
O
=
N
~ 
äå ~ + Äñ +
+`=
O 
Ä 
~ + Äñ 
=
229
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
ñ OÇñ
N
~O 

+`=
=
+
−
+
−
~
Äñ
O
~
äå
~
Äñ
∫ (~ + Äñ )O ÄP 
~ + Äñ 
890.
=
Çñ
∫ ñ (~ + Äñ )
891.
O
=
N
N ~ + Äñ
+ O äå
+`=
~ (~ + Äñ ) ~
ñ
=
∫ñ
892.
Çñ
N ñ −N
+`=
= äå
O
−N O ñ +N
=
Çñ
∫ N− ñ
893.
O
N N+ ñ
= äå
+`=
O N− ñ
=
894.
Çñ
N ~+ñ
+`=
= äå
O
O~ ~ − ñ
−ñ
∫~
O
∫ñ
O
=
895.
ñ−~
Çñ
N
+`=
= äå
O
O~ ñ + ~
−~
=
Çñ
∫ N+ ñ
896.
O
= í~å −N ñ + ` =
=
897.
∫~
O
∫ñ
O
=
898.
N
ñ
Çñ
= í~å −N + ` =
O
~
~
+ñ
N
ñÇñ
= äå(ñ O + ~ O ) + ` =
O
+~
O
=
Çñ
∫ ~ + Äñ
899.
O
=
 Ä
N
 + ` I= ~Ä > M K=
~êÅí~å ñ

~
~Ä


=
230
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
ñÇñ
∫ ~ + Äñ
900.
O
=
~
N
äå ñ O + + ` =
Ä
OÄ
=
Çñ
N
ñO
=
äå
∫ ñ (~ + Äñ O ) O~ ~ + Äñ O + ` =
901.
=
∫~
902.
O
Çñ
N
~ + Äñ
=
äå
+`=
O O
−Ä ñ
O~Ä ~ − Äñ
=
Çñ
N
O~ñ + Ä − ÄO − Q~Å
903. ∫ O
=
äå
+ ` I=
~ñ + Äñ + Å
ÄO − Q~Å O~ñ + Ä + ÄO − Q~Å
ÄO − Q~Å > M K=
=
Çñ
O
O~ñ + Ä
~êÅí~å
+ ` I=
=
+ Äñ + Å
Q~Å − ÄO
Q~Å − ÄO
ÄO − Q~Å < M K=
∫ ~ñ
904.
O
=
=
=
9.3 Integrals of Irrational Functions
=
905.
∫
Çñ
O
~ñ + Ä + ` =
=
~ñ + Ä ~
∫
~ñ + Ä Çñ =
∫
ñÇñ
O(~ñ − OÄ)
=
~ñ + Ä + ` =
P~ O
~ñ + Ä
=
906.
=
907.
P
O
(~ñ + Ä) O + ` =
P~
=
231
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
∫ñ
908.
~ñ + Ä Çñ =
P
O(P~ñ − OÄ)
(~ñ + Ä) O + ` =
O
NR~
=
~ñ + Ä − Ä − ~Å
Çñ
N
äå
=
+ ` I==
~ñ + Ä + Ä − ~Å
~ñ + Ä
Ä − ~Å
Ä − ~Å > M K=
∫ (ñ + Å )
909.
=
~ñ + Ä
Çñ
N
=
~êÅí~å
+ ` I==
~Å − Ä
~ñ + Ä
~Å − Ä
Ä − ~Å < M K=
∫ (ñ + Å )
910.
=
911.
∫
N
~ñ + Ä
(~ñ + Ä)(Åñ + Ç ) − =
Çñ =
Åñ + Ç
Å
~Ç − ÄÅ
äå ~ (Åñ + Ç ) + Å(~ñ + Ä) + ` I= ~ > M K=
−
Å ~Å
∫
~ñ + Ä
N
Çñ =
Åñ + Ç
Å
=
912.
−
~ (Åñ + Ç )
~Ç − ÄÅ
~êÅí~å
+ ` I=E ~ < M I= Å > M FK==
Å(~ñ + Ä)
Å ~Å
=
O
∫ ñ ~ + Äñ Çñ =
913.
=
∫
914.
(~ñ + Ä)(Åñ + Ç ) − =
O(U~ O − NO~Äñ + NRÄO ñ O )
NMRÄP
(~ + Äñ )P + ` =
ñ OÇñ
O(U~ O − Q~Äñ + PÄO ñ O )
=
~ + Äñ + ` =
NRÄP
~ + Äñ
=
∫ñ
915.
Çñ
N
~ + Äñ − ~
=
+ ` I= ~ > M K=
äå
~ + Äñ
~
~ + Äñ + ~
=
232
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
∫ñ
916.
Çñ
O
~ + Äñ
=
~êÅí~å
+ ` I= ~ < M K=
−~
~ + Äñ
−~
=
917.
∫
~−ñ
Çñ =
Ä+ ñ
∫
~+ñ
Ä−ñ
Çñ = − (~ + ñ )(Ä − ñ ) − (~ + Ä)~êÅëáå
+`=
Ä−ñ
~+Ä
∫
N+ ñ
Çñ = − N − ñ O + ~êÅëáå ñ + ` =
N− ñ
(~ − ñ )(Ä + ñ ) + (~ + Ä)~êÅëáå
ñ+Ä
+`=
~+Ä
=
918.
=
919.
=
Çñ
∫ (ñ − ~ )(Ä − ~ ) = O ~êÅëáå
920.
=
∫
921.
OÅñ − Ä
~ + Äñ − Åñ O + =
QÅ
ÄO − Q~Å
OÅñ − Ä
+
~êÅëáå
+`=
U ÅP
ÄO + Q~Å
~ + Äñ − Åñ O Çñ =
=
Çñ
∫
922.
~ñ O + Äñ + Å
~ > M K=
=
N
äå O~ñ + Ä + O ~ (~ñ O + Äñ + Å ) + ` I==
~
=
∫
923.
ñ −~
+` =
Ä−~
Çñ
~ñ + Äñ + Å
O
=−
N
O~ñ + Ä O
~êÅëáå
Ä − Q~Å + ` I= ~ < M K=
Q~
~
=
∫
924.
ñ O + ~ O Çñ =
ñ O O ~O
ñ + ~ + äå ñ + ñ O + ~ O + ` =
O
O
=
233
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
∫ñ
925.
ñ O + ~ O Çñ =
N O O PO
(ñ + ~ ) + ` =
P
=
∫ñ
926.
ñ O + ~ O Çñ =
O
−
ñ
(
Oñ O + ~ O ) ñ O + ~ O − =
U
~Q
äå ñ + ñ O + ~ O + ` =
U
=
∫
927.
ñO + ~O
ñO + ~O
Çñ
=
−
+ äå ñ + ñ O + ~ O + ` =
ñO
ñ
=
∫
928.
Çñ
ñ +~
O
O
= äå ñ + ñ O + ~ O + ` =
=
929.
∫
ñ O + ~O
ñ
Çñ = ñ O + ~ O + ~ äå
+`=
ñ
~ + ñ O + ~O
∫
ñÇñ
=
930.
ñ +~
O
O
= ñ O + ~O + ` =
=
∫
931.
ñ OÇñ
ñ O + ~O
=
ñ O O ~O
ñ + ~ − äå ñ + ñ O + ~ O + ` =
O
O
=
∫ñ
932.
Çñ
N
ñ
= äå
+`=
ñ O + ~O ~ ~ + ñ O + ~O
=
∫
933.
ñ O − ~ O Çñ =
ñ O O ~O
ñ − ~ − äå ñ + ñ O − ~ O + ` =
O
O
=
934.
∫ñ
ñ O − ~ O Çñ =
N O O PO
(ñ − ~ ) + ` =
P
234
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
935.
∫
ñO − ~O
~
Çñ = ñ O − ~ O + ~ ~êÅëáå + ` =
ñ
ñ
∫
ñO − ~O
ñ O − ~O
Çñ
=−
+ äå ñ + ñ O − ~ O + ` =
O
ñ
ñ
=
936.
=
∫
937.
Çñ
ñ −~
O
= äå ñ + ñ O − ~ O + ` =
O
=
∫
938.
ñÇñ
ñ −~
O
= ñ O − ~O + ` =
O
=
∫
939.
ñ OÇñ
ñ O O ~O
=
ñ − ~ + äå ñ + ñ O − ~ O + ` =
O
O
O
O
ñ −~
=
Çñ
N
~
= − ~êÅëáå + ` =
~
ñ
ñ −~
∫ñ
940.
O
O
=
Çñ
∫ (ñ + ~ )
941.
ñ O − ~O
=
N ñ −~
+`=
~ ñ+~
=
Çñ
∫ (ñ − ~ )
942.
ñ −~
O
O
=−
N ñ+~
+`=
~ ñ −~
=
∫ñ
943.
Çñ
O
ñ O − ~O
=
ñ O − ~O
+`=
~Oñ
=
∫ (ñ
944.
Çñ
O
− ~O ) O
P
=−
ñ
~O ñ O − ~O
+`=
=
235
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
∫ (ñ
945.
O
− ~ O ) O Çñ = −
P
ñ
(
Oñ O − R~ O ) ñ O − ~ O + =
U
P~ Q
+
äå ñ + ñ O − ~ O + ` =
U
=
∫
946.
~ O − ñ O Çñ =
ñ
~O
ñ O
~ − ñ O + ~êÅëáå + ` =
~
O
O
=
O
O
∫ ñ ~ − ñ Çñ = −
947.
P
N O
(
~ − ñO ) O + ` =
P
=
O
O
O
∫ ñ ~ − ñ Çñ =
948.
ñ
~Q
ñ
(
Oñ O − ~ O ) ~ O − ñ O + ~êÅëáå + ` =
U
U
~
=
949.
∫
~O − ñ O
ñ
Çñ = ~ O − ñ O + ~ äå
+`=
ñ
~ + ~O − ñ O
∫
ñ
~O − ñO
~O − ñO
Çñ
=
−
− ~êÅëáå + ` =
O
~
ñ
ñ
=
950.
=
∫
951.
Çñ
= ~êÅëáå ñ + ` =
N− ñO
=
∫
952.
Çñ
~O − ñO
= ëáå
ñ
+`=
~
=
∫
953.
ñÇñ
~ −ñ
O
O
= − ~O − ñ O + ` =
=
954.
∫
ñ OÇñ
~O − ñ O
=−
ñ O
~O
ñ
~ − ñ O + ~êÅëáå + ` =
O
O
~
236
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
Çñ
∫ (ñ + ~ )
955.
~O − ñ O
=−
N ~−ñ
+`=
O ~+ñ
=−
N ~+ñ
+`=
O ~−ñ
=
Çñ
∫ (ñ − ~ )
956.
~O − ñ O
=
Çñ
∫ (ñ + Ä )
957.
~O − ñ O
N
=
ÄO − ~ O
~êÅëáå
Äñ + ~ O
+ ` I= Ä > ~ K=
~ (ñ + Ä )
=
Çñ
∫ (ñ + Ä )
958.
~ −ñ
O
O
N
=
~ −Ä
O
O
äå
ñ+Ä
~ −Ä
O
O
~ O − ñ O + ~ O + Äñ
Ä < ~ K=
=
∫ñ
959.
Çñ
O
~O − ñO
=−
~O − ñO
+`=
~Oñ
=
∫ (~
960.
O
− ñ O ) O Çñ =
P
ñ O
P~ Q
ñ
(
R~ − Oñ O ) ~ O − ñ O +
~êÅëáå + ` =
U
U
~
=
∫ (~
961.
Çñ
O
−ñ
O
)
P
=
O
ñ
~O ~O − ñ O
+`=
=
=
=
9.4 Integrals of Trigonometric Functions
=
∫ ëáå ñÇñ = − Åçë ñ + ` =
962.
=
963.
∫ Åçë ñÇñ = ëáå ñ + ` =
237
+ `I =
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
∫ ëáå
964.
O
ñ Çñ =
ñ N
− ëáå Oñ + ` =
O Q
ñ Çñ =
ñ N
+ ëáå Oñ + ` =
O Q
=
∫ Åçë
965.
O
=
∫ ëáå
966.
P
N
N
P
ñ Çñ = Åçë P ñ − Åçë ñ + ` = Åçë Pñ − Åçë ñ + ` =
P
NO
Q
=
∫ Åçë
967.
P
N
N
P
ñ Çñ = ëáå ñ − ëáå P ñ + ` = ëáå Pñ + ëáå ñ + ` =
P
NO
Q
=
Çñ
ñ
Çñ
ñ
∫ ëáå ñ = ∫ ÅëÅ ñ Çñ = äå í~å O + ` =
968.
=
π
∫ Åçë ñ = ∫ ëÉÅ ñ Çñ = äå í~å O + Q  + ` =
969.
=
Çñ
∫ ëáå
970.
O
ñ
= ∫ ÅëÅ O ñ Çñ = − Åçí ñ + ` =
ñ
= ∫ ëÉÅ O ñ Çñ = í~å ñ + ` =
ñ
= ∫ ÅëÅ P ñ Çñ = −
ñ
= ∫ ëÉÅP ñ Çñ =
=
Çñ
∫ Åçë
971.
O
=
Çñ
∫ ëáå
972.
P
Åçë ñ
N
ñ
+ äå í~å + ` =
O
O ëáå ñ O
O
=
Çñ
∫ Åçë
973.
P
ëáå ñ
N
 ñ π
+ äå í~å +  + ` =
O
O Åçë ñ O
O Q
=
974.
N
∫ ëáå ñ Åçë ñ Çñ = − Q Åçë Oñ + ` =
238
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
∫ ëáå
975.
O
N
ñ Åçë ñ Çñ = ëáå P ñ + ` =
P
=
∫ ëáå ñ Åçë
976.
O
N
ñ Çñ = − ÅçëP ñ + ` =
P
=
∫ ëáå
977.
O
ñ Åçë O ñ Çñ =
ñ N
− ëáå Q ñ + ` =
U PO
=
∫ í~å ñÇñ = − äå Åçë ñ + ` =
978.
=
ëáå ñ
N
Çñ =
+ ` = ëÉÅ ñ + ` =
O
ñ
Åçë ñ
∫ Åçë
979.
=
ëáå O ñ
 ñ π
∫ Åçë ñ Çñ = äå í~å O + Q  − ëáå ñ + ` =
980.
=
∫ í~å
981.
O
ñ Çñ = í~å ñ − ñ + ` =
=
∫ Åçí ñÇñ = äå ëáå ñ + ` =
982.
=
Åçë ñ
N
Çñ = −
+ ` = − ÅëÅ ñ + ` =
O
ñ
ëáå ñ
∫ ëáå
983.
=
Åçë O ñ
ñ
Çñ = äå í~å + Åçë ñ + ` =
984. ∫
ëáå ñ
O
=
985. ∫ Åçí O ñ Çñ = − Åçí ñ − ñ + ` =
=
986.
Çñ
∫ Åçë ñ ëáå ñ = äå í~å ñ + ` =
239
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
∫ ëáå
987.
O
Çñ
N
 ñ π
=−
+ äå í~å +  + ` =
ñ Åçë ñ
ëáå ñ
O Q
=
Çñ
∫ ëáå ñ Åçë
988.
O
ñ
=
N
ñ
+ äå í~å + ` =
Åçë ñ
O
=
∫ ëáå
989.
O
Çñ
= í~å ñ − Åçí ñ + ` =
ñ Åçë O ñ
=
ëáå(ã + å )ñ
∫ ëáå ãñ ëáå åñ Çñ = − O(ã + å)
990.
+
ëáå(ã − å )ñ
+ ` I=
O(ã − å )
−
Åçë(ã − å )ñ
+ ` I=
O(ã − å )
ã O ≠ å O K=
=
Åçë(ã + å )ñ
∫ ëáå ãñ Åçë åñ Çñ = − O(ã + å)
991.
ã O ≠ å O K=
=
ëáå(ã + å )ñ
∫ Åçë ãñ Åçë åñ Çñ = O(ã + å)
992.
ã O ≠ å O K=
=
∫ ëÉÅ ñ í~å ñÇñ = ëÉÅ ñ + ` =
993.
=
∫ ÅëÅ ñ Åçí ñÇñ = − ÅëÅ ñ + ` =
994.
=
å
∫ ëáå ñ Åçë ñ Çñ = −
995.
Åçë å+N ñ
+`=
å +N
=
ëáå å +N ñ
996. ∫ ëáå ñ Åçë ñ Çñ =
+`=
å +N
=
å
240
+
ëáå(ã − å )ñ
+ ` I=
O(ã − å )
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
997.
∫ ~êÅëáå ñ Çñ = ñ ~êÅëáå ñ +
N− ñO + ` =
∫ ~êÅÅçë ñ Çñ = ñ ~êÅÅçë ñ −
N− ñO + ` =
=
998.
=
∫ ~êÅí~å ñ Çñ = ñ ~êÅí~å ñ − O äå(ñ
N
999.
O
+ N) + ` =
=
N
1000. ∫ ~êÅ Åçí ñ Çñ = ñ ~êÅ Åçí ñ + äå(ñ O + N) + ` =
O
=
=
=
9.5 Integrals of Hyperbolic Functions
=
1001. ∫ ëáåÜ ñÇñ = ÅçëÜ ñ + ` =
=
1002. ∫ ÅçëÜ ñÇñ = ëáåÜ ñ + ` =
=
1003. ∫ í~åÜ ñ Çñ = äå ÅçëÜ ñ + ` =
=
1004. ∫ ÅçíÜ ñ Çñ = äå ëáåÜ ñ + ` =
=
1005. ∫ ëÉÅÜ O ñÇñ = í~åÜ ñ + ` =
=
1006. ∫ ÅëÅÜ O ñÇñ = − ÅçíÜ ñ + ` =
=
1007. ∫ ëÉÅÜñ í~åÜ ñÇñ = −ëÉÅÜñ + ` =
=
241
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
1008. ∫ ÅëÅÜñ ÅçíÜ ñÇñ = −ÅëÅÜñ + ` =
=
=
=
9.6 Integrals of Exponential and Logarithmic
Functions
=
1009. ∫ É ñ Çñ = É ñ + ` =
=
~ñ
1010. ∫ ~ Çñ =
+`=
äå ~
=
É ~ñ
1011. ∫ É ~ñ Çñ =
+`=
~
=
É ~ñ
1012. ∫ ñÉ ~ñ Çñ = O (~ñ − N) + ` =
~
=
1013. ∫ äå ñ Çñ = ñ äå ñ − ñ + ` =
ñ
=
Çñ
∫ ñ äå ñ = äå äå ñ + ` =
1014.
=
 äå ñ
N 
1015. ∫ ñ å äå ñ Çñ = ñ å +N 
+`=
−
O
 å + N (å + N) 
=
~ ëáå Äñ − Ä Åçë Äñ ~ñ
1016. ∫ É ~ñ ëáå Äñ Çñ =
É +`=
~ O + ÄO
=
242
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
1017. ∫ É ~ñ Åçë Äñ Çñ =
~ Åçë Äñ + Ä ëáå Äñ ~ñ
É +`=
~ O + ÄO
=
=
=
9.7 Reduction Formulas
=
1018. ∫ ñ å É ãñ Çñ =
N å ãñ å
ñ É − ∫ ñ å −NÉ ãñ Çñ =
ã
ã
=
É ãñ
É ãñ
ã É ãñ
Çñ
=
−
+
Çñ I= å ≠ N K=
∫ ñå
(å − N)ñ å−N å − N ∫ ñ å−N
1019.
=
1020. ∫ ëáåÜ å ñÇñ =
=
Çñ
∫ ëáåÜ
1021.
å
ñ
=−
=
1022. ∫ ÅçëÜ å ñÇñ =
=
Çñ
∫ ÅçëÜ
1023.
å
ñ
=−
N
å −N
ëáåÜ å −N ñ ÅçëÜ ñ −
ëáåÜ å −O ñÇñ =
∫
å
å
ÅçëÜ ñ
å−O
Çñ
−
I= å ≠ N K=
å −N
∫
(å − N) ëáåÜ ñ å − N ëáåÜ å−O ñ
N
å −N
ëáåÜ ñ ÅçëÜ å −N ñ ÅçëÜ ñ +
ÅçëÜ å −O ñÇñ =
∫
å
å
ëáåÜ ñ
å−O
Çñ
+
I= å ≠ N K=
å −N
∫
(å − N) ÅçëÜ ñ å − N ÅçëÜ å−O ñ
=
ëáåÜ å +N ñ ÅçëÜ ã −N ñ
1024. ∫ ëáåÜ ñ ÅçëÜ ñÇñ =
=
å+ã
ã −N
+
ëáåÜ å ñ ÅçëÜ ã −O ñÇñ =
∫
å+ã
=
ëáåÜ å −N ñ ÅçëÜ ã +N ñ
1025. ∫ ëáåÜ å ñ ÅçëÜ ã ñÇñ =
=
å+ã
å
ã
243
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
−
å −N
ëáåÜ å −O ñ ÅçëÜ ã ñÇñ =
∫
å+ã
=
1026. ∫ í~åÜ å ñÇñ = −
N
í~åÜ å −N ñ + ∫ í~åÜ å −O ñÇñ I= å ≠ N K=
å −N
=
1027. ∫ ÅçíÜ å ñÇñ = −
N
ÅçíÜ å −N ñ + ∫ ÅçíÜ å − O ñÇñ I= å ≠ N K=
å −N
=
1028. ∫ ëÉÅÜ å ñÇñ =
ëÉÅÜ å −O ñ í~åÜ ñ å − O
+
ëÉÅÜ å −O ñÇñ I= å ≠ N K=
∫
å −N
å −N
=
N
å −N
1029. ∫ ëáå å ñÇñ = − ëáå å −N ñ Åçë ñ +
ëáå å −O ñÇñ =
∫
å
å
=
Çñ
Åçë ñ
å−O
Çñ
1030. ∫
=−
+
I= å ≠ N K=
å
å −N
∫
(å − N) ëáå ñ å − N ëáå å−O ñ
ëáå ñ
=
N
å −N
1031. ∫ Åçë å ñÇñ = ëáå ñ Åçë å −N ñ +
Åçë å −O ñÇñ =
∫
å
å
=
Çñ
ëáå ñ
å−O
Çñ
1032. ∫
=
+
I= å ≠ N K=
å
å −N
∫
Åçë ñ (å − N) Åçë ñ å − N Åçë å −O ñ
=
ëáå å+N ñ Åçë ã −N ñ
1033. ∫ ëáå å ñ Åçë ã ñÇñ =
=
å+ã
ã −N
+
ëáå å ñ Åçë ã −O ñÇñ =
å+ã∫
=
ëáå å −N ñ Åçë ã +N ñ
1034. ∫ ëáå å ñ Åçë ã ñÇñ = −
=
å+ã
244
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
+
å −N
ëáå å −O ñ Åçë ã ñÇñ =
∫
å+ã
=
1035. ∫ í~å å ñÇñ =
N
í~å å −N ñ − ∫ í~å å −O ñÇñ I= å ≠ N K=
å −N
=
1036. ∫ Åçí å ñÇñ = −
N
Åçí å −N ñ − ∫ Åçí å−O ñÇñ I= å ≠ N K=
å −N
=
1037. ∫ ëÉÅ å ñÇñ =
ëÉÅ å −O ñ í~å ñ å − O
+
ëÉÅ å −O ñÇñ I= å ≠ N K=
∫
å −N
å −N
=
1038. ∫ ÅëÅ å ñÇñ = −
ÅëÅ å −O ñ Åçí ñ å − O
+
ÅëÅ å −O ñÇñ I= å ≠ N K=
∫
å −N
å −N
=
1039. ∫ ñ å äå ã ñÇñ =
ñ å +N äå ã ñ ã
−
ñ å äå ã −N ñÇñ =
å +N
å +N ∫
=
äå ã ñ
äå ã ñ
ã äå ã −N ñ
Çñ
=
−
+
Çñ I= å ≠ N K=
∫ ñå
(å − N)ñ å−N å − N ∫ ñ å
1040.
=
1041. ∫ äå å ñÇñ = ñ äå å ñ − å ∫ äå å −N ñÇñ =
=
1042. ∫ ñ å ëáåÜ ñÇñ = ñ å ÅçëÜ ñ − å ∫ ñ å −N ÅçëÜ ñÇñ =
=
1043. ∫ ñ å ÅçëÜ ñÇñ = ñ å ëáåÜ ñ − å ∫ ñ å −N ëáåÜ ñÇñ =
=
1044. ∫ ñ å ëáå ñÇñ = − ñ å Åçë ñ + å ∫ ñ å −N Åçë ñÇñ =
=
1045. ∫ ñ å Åçë ñÇñ = ñ å ëáå ñ − å ∫ ñ å −N ëáå ñÇñ =
245
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
1046. ∫ ñ å ëáå −N ñÇñ =
N
ñ å +N
ñ å +N
Çñ =
ëáå −N ñ −
å + N ∫ N− ñO
å +N
=
1047. ∫ ñ å Åçë −N ñÇñ =
ñ å +N
N
ñ å +N
Åçë −N ñ +
Çñ =
å +N
å + N ∫ N− ñO
=
1048. ∫ ñ å í~å −N ñÇñ =
ñ å +N
N
ñ å +N
í~å −N ñ −
Çñ =
å +N
å + N ∫ N+ ñO
=
ñ å Çñ
ñ Ä
Çñ
1049. ∫ å
= − ∫ å
=
~ñ + Ä ~ ~ ~ñ + Ä
=
Çñ
− O~ñ − Ä
1050. ∫
=
=
å
O
O
(~ñ + Äñ + Å ) (å − N)(Ä − Q~Å )(~ñ O + Äñ + Å )å−N
O(Oå − P)~
Çñ
I= å ≠ N K=
−
O
∫
O
(å − N)(Ä − Q~Å ) (~ñ + Äñ + Å )å−N
=
∫ (ñ
1051.
Çñ
+~
å ≠ N K=
O
)
O å
=
ñ
O(å − N)~ O (ñ O + ~
)
O å −N
+
Oå − P
O(å − N)~ O
=
∫ (ñ
1052.
Çñ
O
=−
ñ
=
å −N
O(å − N)~ O (ñ O − ~ O )
Oå − P
Çñ
−
I= å ≠ N K=
O ∫
O(å − N)~ (ñ O − ~ O )å−N
−~
)
O å
=
=
=
=
=
246
∫ (ñ
Çñ
O
+ ~O )
å −N
I
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
9.8 Definite Integral
=
Ä
Ä
~
~
aÉÑáåáíÉ=áåíÉÖê~ä=çÑ=~=ÑìåÅíáçåW= ∫ Ñ (ñ )Çñ I= ∫ Ö (ñ )Çñ I=£=
å
oáÉã~åå=ëìãW= ∑ Ñ (ξ á )∆ñ á ==
á =N
pã~ää=ÅÜ~åÖÉëW= ∆ñ á ==
^åíáÇÉêáî~íáîÉëW= c(ñ ) I= d(ñ ) ==
iáãáíë=çÑ=áåíÉÖê~íáçåëW=~I=ÄI=ÅI=Ç=
=
=
Ä
1053. ∫ Ñ (ñ )Çñ =
~
å
äáã
∑ Ñ (ξ )∆ñ
å→∞
ã~ñ ∆ñ á →M á =N
á
á
I==
ïÜÉêÉ== ∆ñ á = ñ á − ñ á −N I== ñ á −N ≤ ξ á ≤ ñ á K==
=
=
=
Figure 179.
=
247
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
Ä
1054. ∫ NÇñ = Ä − ~ =
~
=
Ä
Ä
~
~
1055. ∫ âÑ (ñ )Çñ = â ∫ Ñ (ñ )Çñ =
=
Ä
Ä
Ä
~
~
~
Ä
Ä
Ä
~
~
~
∫ [Ñ (ñ ) + Ö(ñ )]Çñ = ∫ Ñ (ñ )Çñ + ∫ Ö(ñ )Çñ =
1056.
=
∫ [Ñ (ñ ) − Ö(ñ )]Çñ = ∫ Ñ (ñ )Çñ − ∫ Ö(ñ )Çñ =
1057.
=
~
1058. ∫ Ñ (ñ )Çñ = M =
~
=
Ä
~
~
Ä
1059. ∫ Ñ (ñ )Çñ = − ∫ Ñ (ñ )Çñ =
=
Ä
Å
Ä
~
~
Å
1060. ∫ Ñ (ñ )Çñ = ∫ Ñ (ñ )Çñ + ∫ Ñ (ñ )Çñ =Ñçê= ~ < Å < Ä K=
=
Ä
1061. ∫ Ñ (ñ )Çñ ≥ M =áÑ= Ñ (ñ ) ≥ M =çå= [~ I Ä] K=
~
=
Ä
1062. ∫ Ñ (ñ )Çñ ≤ M =áÑ= Ñ (ñ ) ≤ M =çå= [~ I Ä] K=
~
=
=
=
=
248
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
1063. cìåÇ~ãÉåí~ä=qÜÉçêÉã=çÑ=`~äÅìäìë=
Ä
∫ Ñ (ñ )Çñ = c(ñ )
Ä
~
= c(Ä) − c(~ ) =áÑ= c′(ñ ) = Ñ (ñ ) K=
~
=
1064. jÉíÜçÇ=çÑ=pìÄëíáíìíáçå==
fÑ= ñ = Ö (í ) I=íÜÉå==
Ä
Ç
~
Å
∫ Ñ (ñ )Çñ = ∫ Ñ (Ö(í ))Ö′(í )Çí I==
ïÜÉêÉ=
Å = Ö −N (~ ) I= Ç = Ö −N (Ä) K=
=
1065. fåíÉÖê~íáçå=Äó=m~êíë=
Ä
Ä
∫ ìÇî = (ìî ) ~ − ∫ îÇì =
~
Ä
~
=
1066. qê~éÉòçáÇ~ä=oìäÉ=
Ä
å −N
Ä−~ 

(
)
(
)
Ñ
ñ
Çñ
Ñ
(
ñ
)
Ñ
ñ
O
Ñ (ñ á ) =
=
+
+
∑
M
å

∫~
Oå 
á =N

=
249
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
=
=
Figure 180.
=
1067. páãéëçå∞ë=oìäÉ==
Ä
Ä−~
∫~ Ñ (ñ )Çñ = På [Ñ (ñ M ) + QÑ (ñ N ) + OÑ (ñ O ) + QÑ (ñ P ) + =
+ OÑ (ñ Q ) + K + QÑ (ñ å −N ) + Ñ (ñ å )] I==
ïÜÉêÉ==
Ä−~
ñá = ~ +
á I= á = MI NI OI KI å K==
å
=
250
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
=
=
Figure 181.
=
1068. ^êÉ~=råÇÉê=~=`ìêîÉ=
Ä
p = ∫ Ñ (ñ )Çñ = c(Ä) − c(~ ) I==
~
ïÜÉêÉ= c′(ñ ) = Ñ (ñ ) K=
=
251
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
=
=
Figure 182.
=
1069. ^êÉ~=_ÉíïÉÉå=qïç=`ìêîÉë=
Ä
p = ∫ [Ñ (ñ ) − Ö (ñ )]Çñ = c(Ä) − d(Ä) − c(~ ) + d(~ ) I==
~
ïÜÉêÉ= c′(ñ ) = Ñ (ñ ) I= d′(ñ ) = Ö (ñ ) K=
=
252
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
=
=
Figure 183.
=
=
=
9.9 Improper Integral
=
Ä
1070. qÜÉ=ÇÉÑáåáíÉ=áåíÉÖê~ä== ∫ Ñ (ñ )Çñ =áë=Å~ääÉÇ=~å=áãéêçéÉê=áåíÉÖê~ä=
~
áÑ==
~=çê=Ä=áë=áåÑáåáíÉI=
Ñ (ñ ) ==Ü~ë==çåÉ==çê==ãçêÉ=éçáåíë=çÑ==ÇáëÅçåíáåìáíó=
=====áå=íÜÉ=áåíÉêî~ä= [~ I Ä] K=
=
1071. fÑ= Ñ (ñ ) =áë=~=Åçåíáåìçìë=ÑìåÅíáçå=çå= [~ I ∞ ) I=íÜÉå==
•
•
∞
å
∫ Ñ (ñ )Çñ = äáã ∫ Ñ (ñ )Çñ K=
~
å →∞
~
=
253
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
=
=
Figure 184.
=
1072. fÑ= Ñ (ñ ) =áë=~=Åçåíáåìçìë=ÑìåÅíáçå=çå= (− ∞I Ä] I=íÜÉå==
Ä
Ä
∫ Ñ (ñ )Çñ = äáã ∫ Ñ (ñ )Çñ K=
−∞
å→ −∞
å
=
=
=
Figure 185.
254
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
kçíÉ=W=qÜÉ=áãéêçéÉê=áåíÉÖê~äë=áå=NMTNI=NMTO=~êÉ=ÅçåîÉêÖÉåí=
áÑ=íÜÉ=äáãáíë=Éñáëí=~åÇ=~êÉ=ÑáåáíÉX=çíÜÉêïáëÉ=íÜÉ=áåíÉÖê~äë=~êÉ=
ÇáîÉêÖÉåíK=
=
∞
Å
∞
−∞
−∞
Å
∫ Ñ (ñ )Çñ = ∫ Ñ (ñ )Çñ + ∫ Ñ (ñ )Çñ =
1073.
=
=
=
Figure 186.
=
fÑ=Ñçê=ëçãÉ=êÉ~ä=åìãÄÉê=ÅI=ÄçíÜ=çÑ=íÜÉ=áåíÉÖê~äë=áå=íÜÉ=êáÖÜí=
∞
ëáÇÉ= ~êÉ= ÅçåîÉêÖÉåíI= íÜÉå= íÜÉ= áåíÉÖê~ä=
∫ Ñ (ñ )Çñ = áë= ~äëç=====
−∞
ÅçåîÉêÖÉåíX=çíÜÉêïáëÉ=áí=áë=ÇáîÉêÖÉåíK=
=
1074. `çãé~êáëçå=qÜÉçêÉãë=
iÉí== Ñ (ñ ) =~åÇ== Ö(ñ ) ==ÄÉ==Åçåíáåìçìë==ÑìåÅíáçåë==çå=íÜÉ=ÅäçëÉÇ=
áåíÉêî~ä= [~ I ∞ ) K= pìééçëÉ= íÜ~í= M ≤ Ö (ñ ) ≤ Ñ (ñ ) = Ñçê= ~ää= ñ= áå=
[~I ∞ ) K=
255
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
•
∞
∞
~
~
fÑ= ∫ Ñ (ñ )Çñ =áë=ÅçåîÉêÖÉåíI=íÜÉå= ∫ Ö (ñ )Çñ =áë=~äëç=
=====ÅçåîÉêÖÉåíI=
•
∞
∞
~
~
fÑ= ∫ Ö (ñ )Çñ =áë=ÇáîÉêÖÉåíI=íÜÉå= ∫ Ñ (ñ )Çñ =áë=~äëç=ÇáîÉêÖÉåíK=
=
1075. ^ÄëçäìíÉ=`çåîÉêÖÉåÅÉ=
=
∞
∞
~
~
fÑ= ∫ Ñ (ñ ) Çñ =áë=ÅçåîÉêÖÉåíI=íÜÉå=íÜÉ=áåíÉÖê~ä ∫ Ñ (ñ )Çñ =áë=~ÄëçäìíÉäó=ÅçåîÉêÖÉåíK===
=
1076. aáëÅçåíáåìçìë=fåíÉÖê~åÇ=
iÉí= Ñ (ñ ) =ÄÉ=~=ÑìåÅíáçå=ïÜáÅÜ=áë=Åçåíáåìçìë=çå=íÜÉ=áåíÉêî~ä==
[~I Ä) =Äìí=áë=ÇáëÅçåíáåìçìë=~í= ñ = Ä K=qÜÉå==
Ä
∫ Ñ (ñ )Çñ = äáã
~
ε →M +
Ä−ε
∫ Ñ (ñ )Çñ =
~
=
=
=
Figure 187.
256
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
1077. iÉí= Ñ (ñ ) =ÄÉ=~=Åçåíáåìçìë=ÑìåÅíáçå=Ñçê=~ää=êÉ~ä=åìãÄÉêë==ñ==áå=
íÜÉ=áåíÉêî~ä== [~ I Ä] ==ÉñÅÉéí==Ñçê==ëçãÉ=éçáåí==Å==áå= (~ I Ä) K=qÜÉå=
Å −ε
Ä
Ä
∫ Ñ (ñ )Çñ = äáã ∫ Ñ (ñ )Çñ + äáã ∫ Ñ (ñ )Çñ K=
~
ε →M +
δ →M +
~
Å +δ
=
=
=
Figure 188.
=
=
=
9.10 Double Integral
=
cìåÅíáçåë=çÑ=íïç=î~êá~ÄäÉëW= Ñ (ñ I ó ) I= Ñ (ìI î ) I=£=
açìÄäÉ=áåíÉÖê~äëW= ∫∫ Ñ (ñ I ó )ÇñÇó I= ∫∫ Ö (ñ I ó )ÇñÇó I=£=
o
ã
å
o
(
)
oáÉã~åå=ëìãW= ∑∑ Ñ ì á I î à ∆ñ á ∆ó à =
á =N à=N
pã~ää=ÅÜ~åÖÉëW= ∆ñ á I= ∆ó à =
oÉÖáçåë=çÑ=áåíÉÖê~íáçåW=oI=p==
mçä~ê=ÅççêÇáå~íÉëW= ê I= θ =
257
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
^êÉ~W=^=
pìêÑ~ÅÉ=~êÉ~W=p=
sçäìãÉ=çÑ=~=ëçäáÇW=s=
j~ëë=çÑ=~=ä~ãáå~W=ã=
aÉåëáíóW= ρ(ñ I ó ) =
cáêëí=ãçãÉåíëW= j ñ I= j ó =
jçãÉåíë=çÑ=áåÉêíá~W= f ñ I= f ó I= fM =
`Ü~êÖÉ=çÑ=~=éä~íÉW=n=
`Ü~êÖÉ=ÇÉåëáíóW= σ(ñ I ó ) =
`ççêÇáå~íÉë=çÑ=ÅÉåíÉê=çÑ=ã~ëëW= ñ I= ó =
^îÉê~ÖÉ=çÑ=~=ÑìåÅíáçåW= µ =
=
1078. aÉÑáåáíáçå=çÑ=açìÄäÉ=fåíÉÖê~ä=
qÜÉ=ÇçìÄäÉ=áåíÉÖê~ä=çîÉê=~=êÉÅí~åÖäÉ= [~I Ä]× [ÅI Ç] =áë=ÇÉÑáåÉÇ=
íç=ÄÉ==
∫∫ Ñ (ñ I ó )Ç^ = äáã
[~ I Ä ]×[Å I Ç ]
(
)
∑∑ Ñ (ì I î )∆ñ ∆ó
ã
å
ã~ñ ∆ñ á →M
ã~ñ ∆ó à → M á =N à=N
á
à
á
à
I==
ïÜÉêÉ= ì á I î à =áë=ëçãÉ=éçáåí=áå=íÜÉ=êÉÅí~åÖäÉ=
(ñ á −N I ñ á )× ó à−N I ó à I=~åÇ= ∆ñ á = ñ á − ñ á −N I= ∆ó à = ó à − ó à−N K=
=
===
(
)
Figure 189.
258
=
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
qÜÉ=ÇçìÄäÉ=áåíÉÖê~ä=çîÉê=~=ÖÉåÉê~ä=êÉÖáçå=o=áë==
∫∫ Ñ (ñ I ó )Ç^ = ∫∫ Ö(ñ I ó )Ç^ I==
o
[~ I Ä ]×[Å I Ç ]
ïÜÉêÉ=êÉÅí~åÖäÉ= [~I Ä]× [ÅI Ç] =Åçåí~áåë=oI==
Ö(ñ I ó ) = Ñ (ñ I ó ) =áÑ= Ñ (ñ I ó ) =áë=áå=o=~åÇ= Ö(ñ I ó ) = M =çíÜÉêïáëÉK=
=
=
=
Figure 190.
=
1079.
∫∫ [Ñ (ñ I ó ) + Ö(ñ I ó )]Ç^ = ∫∫ Ñ (ñ I ó )Ç^ + ∫∫ Ö(ñ I ó )Ç^ =
o
=
1080.
o
∫∫ [Ñ (ñ I ó ) − Ö(ñ I ó )]Ç^ = ∫∫ Ñ (ñ I ó )Ç^ − ∫∫ Ö(ñ I ó )Ç^ =
o
=
1081.
o
o
o
∫∫ âÑ (ñ I ó )Ç^ = â ∫∫ Ñ (ñ I ó )Ç^ I==
o
o
ïÜÉêÉ=â=áë=~=Åçåëí~åíK=
=
1082. fÑ= Ñ (ñ I ó ) ≤ Ö(ñ I ó ) =çå=oI=íÜÉå= ∫∫ Ñ (ñ I ó )Ç^ ≤ ∫∫ Ö (ñ I ó )Ç^ K=
o
=
1083. fÑ= Ñ (ñ I ó ) ≥ M =çå=o=~åÇ= p ⊂ o I=íÜÉå=
259
o
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
= ∫∫ Ñ (ñ I ó )Ç^ ≤ ∫∫ Ñ (ñ I ó )Ç^ K=
p
o
=
=
=
Figure 191.
=
1084. fÑ= Ñ (ñ I ó ) ≥ M =çå=o=~åÇ=o=~åÇ=p=~êÉ=åçå-çîÉêä~ééáåÖ=
êÉÖáçåëI=íÜÉå=
∫∫ Ñ (ñ I ó )Ç^ = ∫∫ Ñ (ñ I ó )Ç^ + ∫∫ Ñ (ñ I ó )Ç^ K==
o ∪p
o
p
eÉêÉ= o ∪ p =áë=íÜÉ=ìåáçå=çÑ=íÜÉ=êÉÖáçåë=o=~åÇ=pK=
=
=
=
Figure 192.
=
=
260
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
1085. fíÉê~íÉÇ=fåíÉÖê~äë=~åÇ=cìÄáåá∞ë=qÜÉçêÉã=
Ä è(ñ )
∫∫ Ñ (ñ I ó )Ç^ = ∫ ∫( Ñ) (ñ I ó )ÇóÇñ ==
o
~é ñ
Ñçê=~=êÉÖáçå=çÑ=íóéÉ=fI==
o = {(ñ I ó ) ö ~ ≤ ñ ≤ ÄI é(ñ ) ≤ ó ≤ è(ñ )} K=
=
=
=
Figure 193.
=
Ç î (ó )
∫∫ Ñ (ñ I ó )Ç^ = ∫ ∫ Ñ (ñ I ó )ÇñÇó ==
o
Å ì(ó )
Ñçê=~=êÉÖáçå=çÑ=íóéÉ=ffI=
o = {(ñ I ó ) ö ì(ó ) ≤ ñ ≤ î (ó )I Å ≤ ó ≤ Ç} K=
=
261
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
=
=
Figure 194.
=
1086. açìÄäÉ=fåíÉÖê~äë=çîÉê=oÉÅí~åÖìä~ê=oÉÖáçåë=
=
fÑ=o=áë=íÜÉ=êÉÅí~åÖìä~ê=êÉÖáçå= [~I Ä]× [ÅI Ç] I=íÜÉå==
Ä Ç
Ç Ä






 ∫ Ñ (ñ I ó )Çñ Çó K==
(
)
(
)
=
=
Ñ
ñ
I
ó
ÇñÇó
Ñ
ñ
I
ó
Çó
Çñ
∫∫o
∫~  ∫Å
∫



Å~


=
få=íÜÉ=ëéÉÅá~ä=Å~ëÉ=ïÜÉêÉ=íÜÉ=áåíÉÖê~åÇ= Ñ (ñ I ó ) =Å~å=ÄÉ=ïêáííÉå=~ë= Ö (ñ )Ü(ó ) =ïÉ=Ü~îÉ==
Ä
Ç




 K==
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
=
=
Ñ
ñ
I
ó
ÇñÇó
Ö
ñ
Ü
ó
ÇñÇó
Ö
ñ
Çñ
Ü
ó
Çó
∫∫o
∫∫o
∫
∫

~
Å

=
1087. `Ü~åÖÉ=çÑ=s~êá~ÄäÉë=
∂ (ñ I ó )
∫∫ Ñ (ñ I ó )ÇñÇó = ∫∫ Ñ [ñ (ìI î )I ó(ìI î )] ∂(ìI î ) ÇìÇî I==
o
p
∂ñ ∂ñ
∂ (ñ I ó ) ∂ì ∂î
ïÜÉêÉ=
=
≠ M áë= íÜÉ= à~ÅçÄá~å= çÑ= íÜÉ= íê~åë∂ (ìI î ) ∂ó ∂ó
∂ì ∂î
Ñçêã~íáçåë= (ñ I ó ) → (ìI î ) I=~åÇ=p=áë=íÜÉ=éìääÄ~Åâ=çÑ=o=ïÜáÅÜ=
262
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
Å~å=ÄÉ=ÅçãéìíÉÇ=Äó= ñ = ñ (ìI î ) I= ó = ó (ìI î ) =áåíç=íÜÉ=ÇÉÑáåáíáçå=çÑ=oK==
=
1088. mçä~ê=`ççêÇáå~íÉë=
ñ = ê Åçë θ I= ó = ê ëáå θ K==
=
=
=
Figure 195.
=
1089. açìÄäÉ=fåíÉÖê~äë=áå=mçä~ê=`ççêÇáå~íÉë=
=
qÜÉ=aáÑÑÉêÉåíá~ä=ÇñÇó=Ñçê=mçä~ê=`ççêÇáå~íÉë=áë==
∂ (ñ I ó )
ÇñÇó =
ÇêÇθ = êÇêÇθ K==
∂ (êI θ)
=
iÉí=íÜÉ=êÉÖáçå=o=áë=ÇÉíÉêãáåÉÇ=~ë=ÑçääçïëW=
M ≤ Ö (θ) ≤ ê ≤ Ü(θ) I= α ≤ θ ≤ β I=ïÜÉêÉ= β − α ≤ Oπ K==
qÜÉå==
β Ü (θ )
∫∫ Ñ (ñ I ó )ÇñÇó = ∫ ∫ Ñ (ê Åçë θI ê ëáå θ)êÇêÇθ K=
o
α Ö (θ )
=
263
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
=
=
Figure 196.
=
fÑ=íÜÉ=êÉÖáçå=o=áë=íÜÉ=éçä~ê=êÉÅí~åÖäÉ=ÖáîÉå=Äó==
M ≤ ~ ≤ ê ≤ Ä I= α ≤ θ ≤ β I=ïÜÉêÉ= β − α ≤ Oπ I===
íÜÉå==
β Ä
∫∫ Ñ (ñ I ó )ÇñÇó = ∫ ∫ Ñ (ê Åçë θI ê ëáå θ)êÇêÇθ K==
o
α ~
=
=
=
Figure 197.
=
=
264
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
1090. ^êÉ~=çÑ=~=oÉÖáçå=
Ä Ñ (ñ )
^ = ∫ ∫ ÇóÇñ =EÑçê=~=íóéÉ=f=êÉÖáçåFK=
~ Ö (ñ )
=
=
=
Figure 198.
=
Ç è(ó )
^ = ∫ ∫ ÇñÇó =EÑçê=~=íóéÉ=ff=êÉÖáçåFK=
Å é( ó )
=
=
=
Figure 199.
=
=
265
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
1091. sçäìãÉ=çÑ=~=pçäáÇ=
s = ∫∫ Ñ (ñ I ó )Ç^ K==
o
=
=
=
Figure 200.
=
fÑ=o=áë=~=íóéÉ=f=êÉÖáçå=ÄçìåÇÉÇ=Äó= ñ = ~ I= ñ = Ä I= ó = Ü(ñ ) I=
ó = Ö (ñ ) I=íÜÉå==
Ä Ö(ñ )
s = ∫∫ Ñ (ñ I ó )Ç^ = ∫ ∫ Ñ (ñ I ó )ÇóÇñ K==
o
~ Ü(ñ )
=
fÑ=o=áë=~=íóéÉ=ff=êÉÖáçå=ÄçìåÇÉÇ=Äó= ó = Å I= ó = Ç I= ñ = è(ó ) I=
ñ = é(ó ) I=íÜÉå=
Ç è(ó )
s = ∫∫ Ñ (ñ I ó )Ç^ = ∫ ∫ Ñ (ñ I ó )ÇñÇó K==
o
Å é( ó )
=
266
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
fÑ== Ñ (ñ I ó ) ≥ Ö (ñ I ó ) ==çîÉê==~==êÉÖáçå==oI==íÜÉå==íÜÉ==îçäìãÉ==çÑ=
íÜÉ= ëçäáÇ= ÄÉíïÉÉå= òN = Ñ (ñ I ó ) = ~åÇ= ò O = Ö(ñ I ó ) = çîÉê= o= áë=
ÖáîÉå=Äó=
s = ∫∫ [Ñ (ñ I ó ) − Ö (ñ I ó )]Ç^ K==
o
=
1092. ^êÉ~=~åÇ=sçäìãÉ=áå=mçä~ê=`ççêÇáå~íÉë=
fÑ=p=áë=~=êÉÖáçå=áå=íÜÉ=ñó-éä~åÉ=ÄçìåÇÉÇ=Äó= θ = α I= θ = β I=
ê = Ü(θ) I= ê = Ö (θ) I==
íÜÉå==
β Ö (θ )
^ = ∫∫ Ç^ = ∫ ∫ êÇêÇθ I==
p
α Ü(θ )
s = ∫∫ Ñ (êI θ)êÇêÇθ K==
p
=
=
=
Figure 201.
=
1093. pìêÑ~ÅÉ=^êÉ~=
p = ∫∫
o
O
 ∂ò   ∂ò 
N +   +   ÇñÇó =
 ∂ñ   ∂ó 
O
=
267
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
1094. j~ëë=çÑ=~=i~ãáå~=
ã = ∫∫ ρ(ñ I ó )Ç^ I==
o
ïÜÉêÉ==íÜÉ==ä~ãáå~==çÅÅìéáÉë==~==êÉÖáçå==o=~åÇ==áíë==ÇÉåëáíó==~í=
~=éçáåí=EñIóF=áë= ρ(ñ I ó ) K===
=
1095. jçãÉåíë=
qÜÉ=ãçãÉåí=çÑ=íÜÉ=ä~ãáå~=~Äçìí=íÜÉ==ñ-~ñáë==áë=ÖáîÉå=Äó=Ñçêãìä~=
j ñ = ∫∫ óρ(ñ I ó )Ç^ K==
o
=
qÜÉ=ãçãÉåí=çÑ=íÜÉ=ä~ãáå~=~Äçìí=íÜÉ=ó-~ñáë=áë=
j ó = ∫∫ ñρ(ñ I ó )Ç^ K=
o
=
qÜÉ=ãçãÉåí=çÑ=áåÉêíá~=~Äçìí=íÜÉ=ñ-~ñáë=áë=
f ñ = ∫∫ ó Oρ(ñ I ó )Ç^ K==
o
=
qÜÉ=ãçãÉåí=çÑ=áåÉêíá~=~Äçìí=íÜÉ=ó-~ñáë=áë=
f ó = ∫∫ ñ Oρ(ñ I ó )Ç^ K==
o
=
qÜÉ=éçä~ê=ãçãÉåí=çÑ=áåÉêíá~=áë=
fM = ∫∫ (ñ O + ó O )ρ(ñ I ó )Ç^ K==
o
=
1096. `ÉåíÉê=çÑ=j~ëë=
jó
N
ñ=
= ∫∫ ñρ(ñ I ó )Ç^ =
ã ã o
∫∫ ñρ(ñ I ó )Ç^
o
∫∫ ρ(ñ I ó )Ç^
o
268
I==
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
j
N
ó = ñ = ∫∫ óρ(ñ I ó )Ç^ =
ã ã o
∫∫ óρ(ñ I ó )Ç^
o
∫∫ ρ(ñ I ó )Ç^
K==
o
=
1097. `Ü~êÖÉ=çÑ=~=mä~íÉ=
n = ∫∫ σ(ñ I ó )Ç^ I==
o
ïÜÉêÉ=ÉäÉÅíêáÅ~ä=ÅÜ~êÖÉ=áë=ÇáëíêáÄìíÉÇ=çîÉê=~=êÉÖáçå=o=~åÇ=áíë=
ÅÜ~êÖÉ=ÇÉåëáíó=~í=~=éçáåí=EñIóF=áë= σ(ñ I ó ) K===
=
1098. ^îÉê~ÖÉ=çÑ=~=cìåÅíáçå=
N
µ = ∫∫ Ñ (ñ I ó )Ç^ I==
po
ïÜÉêÉ= p = ∫∫ Ç^ K==
o
=
=
=
9.11 Triple Integral
=
cìåÅíáçåë=çÑ=íÜêÉÉ=î~êá~ÄäÉëW= Ñ (ñ I ó I ò ) I= Ö (ñ I ó I ò ) I=£=
qêáéäÉ=áåíÉÖê~äëW= ∫∫∫ Ñ (ñ I ó I ò )Çs I= ∫∫∫ Ö (ñ I ó I ò )Çs I=£=
d
ã
d
å
é
(
)
oáÉã~åå=ëìãW= ∑∑∑ Ñ ì á I î à I ï â ∆ñ á ∆ó à ∆ò â =
á =N à=N â =N
pã~ää=ÅÜ~åÖÉëW= ∆ñ á I= ∆ó à I= ∆ò â =
iáãáíë=çÑ=áåíÉÖê~íáçåW=~I=ÄI=ÅI=ÇI=êI=ë=
oÉÖáçåë=çÑ=áåíÉÖê~íáçåW=dI=qI=p==
`óäáåÇêáÅ~ä=ÅççêÇáå~íÉëW= ê I= θ I=ò=
péÜÉêáÅ~ä=ÅççêÇáå~íÉëW= ê I= θ I= ϕ =
sçäìãÉ=çÑ=~=ëçäáÇW=s=
269
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
j~ëë=çÑ=~=ëçäáÇW=ã==
aÉåëáíóW= µ(ñ I ó I ò ) =
`ççêÇáå~íÉë=çÑ=ÅÉåíÉê=çÑ=ã~ëëW= ñ I= ó I= ò =
cáêëí=ãçãÉåíëW= j ñó I= j óò I= j ñò =
jçãÉåíë=çÑ=áåÉêíá~W= f ñó I= f óò I= f ñò I= f ñ I= f ó I= fò I= fM =
=
=
1099. aÉÑáåáíáçå=çÑ=qêáéäÉ=fåíÉÖê~ä=
qÜÉ=íêáéäÉ=áåíÉÖê~ä=çîÉê=~=é~ê~ääÉäÉéáéÉÇ= [~I Ä]× [ÅI Ç]× [êI ë] =
áë=ÇÉÑáåÉÇ=íç=ÄÉ==
∫∫∫
Ñ (ñ I ó I ò )Çs =
[~ I Ä ]×[Å I Ç ]×[ê I ë ]
(
)
)
∑∑∑ Ñ (ì I î I ï )∆ñ ∆ó ∆ò
ã
äáã
é
å
ã~ñ ∆ñ á →M
ã~ñ ∆ó à →M á =N à=N â =N
ã~ñ ∆ò â →M
á
à
â
á
à
â
I
ïÜÉêÉ= ì á I î à I ï â =áë=ëçãÉ=éçáåí=áå=íÜÉ=é~ê~ääÉäÉéáéÉÇ=
(ñ á −N I ñ á )× ó à−N I ó à × (ò â −N I ò â ) I=~åÇ= ∆ñ á = ñ á − ñ á −N I=
∆ó à = ó à − ó à−N I= ∆ò â = ò â − ò â −N K=
=
1100. ∫∫∫ [Ñ (ñ I ó I ò ) + Ö (ñ I ó I ò )]Çs = ∫∫∫ Ñ (ñ I ó I ò )Çs + ∫∫∫ Ö (ñ I ó I ò )Çs
(
d
d
d
=
1101.
∫∫∫ [Ñ (ñ I ó I ò ) − Ö(ñ I óI ò )]Çs = ∫∫∫ Ñ (ñ I óI ò )Çs − ∫∫∫ Ö(ñ I óI ò )Çs
d
d
d
=
1102.
∫∫∫ âÑ (ñ I óI ò )Çs = â ∫∫∫ Ñ (ñ I ó I ò )Çs I==
d
d
ïÜÉêÉ=â=áë=~=Åçåëí~åíK=
=
1103. fÑ== Ñ (ñ I ó I ò ) ≥ M =~åÇ=d=~åÇ=q=~êÉ=åçåçîÉêä~ééáåÖ=Ä~ëáÅ=
êÉÖáçåëI=íÜÉå==
∫∫∫ Ñ (ñ I óI ò )Çs = ∫∫∫ Ñ (ñ I óI ò )Çs + ∫∫∫ Ñ (ñ I óI ò )Çs K==
d∪q
d
q
eÉêÉ= d ∪ q =áë=íÜÉ=ìåáçå=çÑ=íÜÉ=êÉÖáçåë=d=~åÇ=qK=
=
270
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
1104. bî~äì~íáçå=çÑ=qêáéäÉ=fåíÉÖê~äë=Äó=oÉéÉ~íÉÇ=fåíÉÖê~äë=
fÑ=íÜÉ=ëçäáÇ=d=áë=íÜÉ=ëÉí=çÑ=éçáåíë= (ñ I ó I ò ) =ëìÅÜ=íÜ~í=
= (ñ I ó )∈ oI χ N (ñ I ó ) ≤ ò ≤ χ O (ñ I ó ) I=íÜÉå==

χ O ( ñ I ó )
= ∫∫∫ Ñ (ñ I ó I ò )ÇñÇóÇò = ∫∫  ∫ Ñ (ñ I ó I ò )Çò  ÇñÇó I==

d
o 
 χN ( ñ I ó )
ïÜÉêÉ=o=áë=éêçàÉÅíáçå=çÑ=d=çåíç=íÜÉ=ñó-éä~åÉK=
=
fÑ=íÜÉ=ëçäáÇ=d=áë=íÜÉ=ëÉí=çÑ=éçáåíë= (ñ I ó I ò ) =ëìÅÜ=íÜ~í=
~ ≤ ñ ≤ ÄI ϕN (ñ ) ≤ ó ≤ ϕO (ñ )I χN (ñ I ó ) ≤ ò ≤ χ O (ñ I ó ) I=íÜÉå==
∫∫∫
d
 ϕO ( ñ )  χ O ( ñ I ó )
 
Ñ (ñ I ó I ò )ÇñÇóÇò = ∫  ∫  ∫ Ñ (ñ I ó I ò )Çò Çó Çñ ==

 
~ 
 
 ϕN ( ñ )  χN ( ñ I ó )
Ä
=
1105. qêáéäÉ=fåíÉÖê~äë=çîÉê=m~ê~ääÉäÉéáéÉÇ=
fÑ=d=áë=~=é~ê~ääÉäÉéáéÉÇ= [~ I Ä]× [ÅI Ç]× [êI ë] I=íÜÉå=
Ä Ç ë
 
 

Çó Çñ K==
(
)
(
)
Ñ
ñ
I
ó
I
ò
ÇñÇóÇò
Ñ
ñ
I
ó
I
ò
Çò
=

∫∫∫
∫
∫
∫


d
~ Å  ê
 
=
få==íÜÉ=ëéÉÅá~ä=Å~ëÉ==ïÜÉêÉ=íÜÉ=áåíÉÖê~åÇ== Ñ (ñ I ó I ò ) ==Å~å=ÄÉ=
ïêáííÉå=~ë= Ö (ñ ) Ü(ó ) â (ò ) =ïÉ=Ü~îÉ==
Ä
 Ç
 ë




 ∫ â (ò )Çò  K==
(
)
(
)
(
)
Ñ
ñ
I
ó
I
ò
ÇñÇóÇò
Ö
ñ
Çñ
Ü
ó
Çó
=
∫∫∫

∫
 ∫

d

~
 Å
 ê
=
1106. `Ü~åÖÉ=çÑ=s~êá~ÄäÉë=
∫∫∫ Ñ (ñ I óI ò )ÇñÇóÇò = =
d
= ∫∫∫ Ñ [ñ (ìI î I ï )I ó (ìI î I ï )I ò (ìI î I ï )]
p
271
∂ (ñ I ó I ò )
ÇñÇóÇòI =
∂ (ìI î I ï )
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
∂ñ ∂ñ ∂ñ
∂ì ∂î ∂ï
∂ (ñ I ó I ò ) ∂ó ∂ó ∂ó
=
≠ M ==áë==íÜÉ==à~ÅçÄá~å==çÑ=
ïÜÉêÉ==
∂ (ìI î I ï ) ∂ì ∂î ∂ï
∂ò ∂ò ∂ò
∂ì ∂î ∂ï
íÜÉ= íê~åëÑçêã~íáçåë= (ñ I ó I ò ) → (ìI î I ï ) I= ~åÇ= p= áë= íÜÉ= éìääÄ~Åâ= çÑ= d= ïÜáÅÜ= Å~å= ÄÉ= ÅçãéìíÉÇ= Äó= ñ = ñ (ìI î I ï ) I=
ó = ó (ìI î I ï ) =
ò = ò (ìI î I ï ) =áåíç=íÜÉ=ÇÉÑáåáíáçå=çÑ=dK=
=
=
1107. qêáéäÉ=fåíÉÖê~äë=áå=`óäáåÇêáÅ~ä=`ççêÇáå~íÉë=
qÜÉ=ÇáÑÑÉêÉåíá~ä=ÇñÇóÇò=Ñçê=ÅóäáåÇêáÅ~ä=ÅççêÇáå~íÉë=áë==
∂ (ñ I ó I ò )
ÇñÇóÇò =
ÇêÇθÇò = êÇêÇθÇò K==
∂ (êI θI ò )
=
iÉí=íÜÉ=ëçäáÇ=d=áë=ÇÉíÉêãáåÉÇ=~ë=ÑçääçïëW=
(ñ I ó )∈ oI χN (ñ I ó ) ≤ ò ≤ χ O (ñ I ó ) I=
ïÜÉêÉ=o=áë=éêçàÉÅíáçå=çÑ=d=çåíç=íÜÉ=ñó-éä~åÉK=qÜÉå==
∫∫∫ Ñ (ñ I óI ò )ÇñÇóÇò = ∫∫∫ Ñ (ê Åçë θI ê ëáå θI ò )êÇêÇθÇò =
d
p
χ O ( ê Åçë θ Iê ëáå θ )


(
)
Ñ
ê
Åçë
I
ê
ëáå
I
ò
Çò
θ
θ
 êÇêÇθ K=

∫∫  χ (ê Åçë∫θIê ëáå θ )
o ( ê Iθ ) 
N

eÉêÉ=p=áë=íÜÉ=éìääÄ~Åâ=çÑ=d=áå=ÅóäáåÇêáÅ~ä=ÅççêÇáå~íÉëK=
=
1108. qêáéäÉ=fåíÉÖê~äë=áå=péÜÉêáÅ~ä=`ççêÇáå~íÉë=
qÜÉ=aáÑÑÉêÉåíá~ä=ÇñÇóÇò=Ñçê=péÜÉêáÅ~ä=`ççêÇáå~íÉë=áë==
∂ (ñ I ó I ò )
ÇñÇóÇò =
ÇêÇθÇϕ = ê O ëáå θÇêÇθÇϕ ==
∂ (êI θI ϕ)
=
∫∫∫ Ñ (ñ I óI ò )ÇñÇóÇò = =
=
d
272
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
========= = ∫∫∫ Ñ (ê ëáå θ Åçë ϕI ê ëáå θ ëáå ϕI ê Åçë θ) ê O ëáå θÇêÇθÇϕ I==
p
ïÜÉêÉ=íÜÉ=ëçäáÇ=p=áë=íÜÉ=éìääÄ~Åâ=çÑ=d=áå=ëéÜÉêáÅ~ä=ÅççêÇáå~íÉëK=qÜÉ=~åÖäÉ== θ ==ê~åÖÉë==Ñêçã==M=íç== Oπ I==íÜÉ==~åÖäÉ== ϕ =
ê~åÖÉë=Ñêçã=M=íç= π K==
=
=
=======
=
Figure 202.
=
1109. sçäìãÉ=çÑ=~=pçäáÇ=
s = ∫∫∫ ÇñÇóÇò =
d
=
1110. sçäìãÉ=áå=`óäáåÇêáÅ~ä=`ççêÇáå~íÉë=
s = ∫∫∫ êÇêÇθÇò =
p ( ê I θ Iò )
=
1111. sçäìãÉ=áå=péÜÉêáÅ~ä=`ççêÇáå~íÉë=
s = ∫∫∫ ê O ëáå θÇêÇθÇϕ =
p ( ê I θ Iϕ )
=
273
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
1112. j~ëë=çÑ=~=pçäáÇ=
ã = ∫∫∫ µ(ñ I ó I ò )Çs I==
d
ïÜÉêÉ= íÜÉ= ëçäáÇ= çÅÅìéáÉë= ~= êÉÖáçå= d= ~åÇ= áíë= ÇÉåëáíó= ~í============
~=éçáåí= (ñ I ó I ò ) =áë= µ(ñ I ó I ò ) K===
=
1113. `ÉåíÉê=çÑ=j~ëë=çÑ=~=pçäáÇ=
j óò
j ñó
j
ñ=
I= ó = ñò I= ò =
I==
ã
ã
ã
ïÜÉêÉ==
j óò = ∫∫∫ ñµ(ñ I ó I ò ) Çs I==
d
j ñò = ∫∫∫ óµ(ñ I ó I ò ) Çs I==
d
j ñó = ∫∫∫ òµ(ñ I ó I ò ) Çs =
d
~êÉ==íÜÉ==Ñáêëí==ãçãÉåíë==~Äçìí==íÜÉ==ÅççêÇáå~íÉ=éä~åÉë= ñ = M I=
ó = M I= ò = M I=êÉëéÉÅíáîÉäóI== µ(ñ I ó I ò ) =áë=íÜÉ=ÇÉåëáíó=ÑìåÅíáçåK==
=
1114. jçãÉåíë=çÑ=fåÉêíá~=~Äçìí==íÜÉ==ñó-éä~åÉ=Eçê= ò = M FI=óò-éä~åÉ==
E ñ = M FI=~åÇ=ñò-éä~åÉ=E ó = M F=
f ñó = ∫∫∫ ò Oµ(ñ I ó I ò ) Çs I==
d
f óò = ∫∫∫ ñ Oµ(ñ I ó I ò ) Çs I==
d
f ñò = ∫∫∫ ó Oµ(ñ I ó I ò ) Çs K==
d
=
1115. jçãÉåíë=çÑ=fåÉêíá~=~Äçìí=íÜÉ=ñ-~ñáëI=ó-~ñáëI=~åÇ=ò-~ñáë=
f ñ = f ñó + f ñò = ∫∫∫ (ò O + ó O )µ(ñ I ó I ò ) Çs I==
d
f ó = f ñó + f óò = ∫∫∫ (ò O + ñ O )µ(ñ I ó I ò ) Çs I==
d
274
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
fò = f ñò + f óò = ∫∫∫ (ó O + ñ O )µ(ñ I ó I ò ) Çs K==
d
=
1116. mçä~ê=jçãÉåí=çÑ=fåÉêíá~=
fM = f ñó + f óò + f ñò = ∫∫∫ (ñ O + ó O + ò O )µ(ñ I ó I ò ) Çs =
d
=
=
9.12 Line Integral
=
pÅ~ä~ê=ÑìåÅíáçåëW= c(ñ I ó I ò ) I= c(ñ I ó ) I= Ñ (ñ ) =
pÅ~ä~ê=éçíÉåíá~äW= ì(ñ I ó I ò ) =
`ìêîÉëW=`I= `N I= ` O =
iáãáíë=çÑ=áåíÉÖê~íáçåëW=~I=ÄI= α I= β =
m~ê~ãÉíÉêëW=íI=ë=
mçä~ê=ÅççêÇáå~íÉëW= ê I= θ =
r
sÉÅíçê=ÑáÉäÇW= c (mI nI o ) =
r
mçëáíáçå=îÉÅíçêW= ê (ë ) =
r r r r
råáí=îÉÅíçêëW= á I= à I= â I= τ =
^êÉ~=çÑ=êÉÖáçåW=p=
iÉåÖíÜ=çÑ=~=ÅìêîÉW=i=
j~ëë=çÑ=~=ïáêÉW=ã=
aÉåëáíóW= ρ(ñ I ó I ò ) I= ρ(ñ I ó ) =
`ççêÇáå~íÉë=çÑ=ÅÉåíÉê=çÑ=ã~ëëW= ñ I= ó I= ò =
cáêëí=ãçãÉåíëW= j ñó I= j óò I= j ñò =
jçãÉåíë=çÑ=áåÉêíá~W= f ñ I= f ó I= fò =
sçäìãÉ=çÑ=~=ëçäáÇW=s=
tçêâW=t=
r
j~ÖåÉíáÅ=ÑáÉäÇW= _ =
`ìêêÉåíW=f=
bäÉÅíêçãçíáîÉ=ÑçêÅÉW= ε =
j~ÖåÉíáÅ=ÑäìñW= ψ =
275
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
1117. iáåÉ=fåíÉÖê~ä=çÑ=~=pÅ~ä~ê=cìåÅíáçå=
r r
iÉí=~=ÅìêîÉ=`=ÄÉ=ÖáîÉå=Äó=íÜÉ=îÉÅíçê=ÑìåÅíáçå= ê = ê (ë ) I=
M ≤ ë ≤ p I=~åÇ=~=ëÅ~ä~ê=ÑìåÅíáçå=c=áë=ÇÉÑáåÉÇ=çîÉê=íÜÉ=ÅìêîÉ=`K==
qÜÉå==
p
r
∫ c(ê (ë ))Çë = ∫ c(ñ I óI ò )Çë = ∫ cÇë I==
M
`
`
ïÜÉêÉ=Çë=áë=íÜÉ=~êÅ=äÉåÖíÜ=ÇáÑÑÉêÉåíá~äK==
=
1118. ∫ c Çë = ∫ c Çë + ∫ c Çë =
`N ∪ ` O
`N
`O
=
=
=
Figure 203.
=
r r
1119. fÑ=íÜÉ=ëãççíÜ=ÅìêîÉ=`=áë=é~ê~ãÉíêáòÉÇ=Äó= ê = ê (í ) I=
α ≤ í ≤ β I=íÜÉå==
β
∫ c(ñ I ó I ò )Çë = ∫ c(ñ (í )I ó(í )I ò(í )) (ñ ′(í )) + (ó′(í )) + (ò′(í )) Çí K=
O
O
O
α
`
=
1120. fÑ=`=áë=~=ëãççíÜ=ÅìêîÉ=áå=íÜÉ=ñó-éä~åÉ=ÖáîÉå=Äó=íÜÉ=Éèì~íáçå=
ó = Ñ (ñ ) I= ~ ≤ ñ ≤ Ä I=íÜÉå==
Ä
∫ c(ñ I ó )Çë = ∫ c(ñ I Ñ (ñ )) N + (Ñ ′(ñ )) Çñ K==
O
`
~
=
1121. iáåÉ=fåíÉÖê~ä=çÑ=pÅ~ä~ê=cìåÅíáçå=áå=mçä~ê=`ççêÇáå~íÉë=
276
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
β
O
 Çê 
∫` c(ñ I ó )Çë = ∫α c(ê Åçë θI ê ëáå θ) ê +  Çθ  Çθ I==
ïÜÉêÉ=íÜÉ=ÅìêîÉ=`=áë=ÇÉÑáåÉÇ=Äó=íÜÉ=éçä~ê=ÑìåÅíáçå= êEθF K=
=
1122. iáåÉ=fåíÉÖê~ä=çÑ=sÉÅíçê=cáÉäÇ=
r r
iÉí=~=ÅìêîÉ=`=ÄÉ=ÇÉÑáåÉÇ=Äó=íÜÉ=îÉÅíçê=ÑìåÅíáçå= ê = ê (ë ) I=
M ≤ ë ≤ p K=qÜÉå==
r
Çê r
= τ = (Åçë αI Åçë βI Åçë γ ) ==
Çë
áë=íÜÉ=ìåáí=îÉÅíçê=çÑ=íÜÉ=í~åÖÉåí=äáåÉ=íç=íÜáë=ÅìêîÉK==
=
O
=
=
Figure 204.
=
r
iÉí= ~= îÉÅíçê= ÑáÉäÇ= c (mI nI o ) = áë= ÇÉÑáåÉÇ= çîÉê= íÜÉ= ÅìêîÉ= `K=
r
qÜÉå=íÜÉ=äáåÉ=áåíÉÖê~ä=çÑ=íÜÉ=îÉÅíçê=ÑáÉäÇ= c =~äçåÖ=íÜÉ=ÅìêîÉ=
`=áë==
p
∫ mÇñ + nÇó + oÇò = ∫ (m Åçë α + n Åçë β + o Åçë γ )Çë K=
`
M
=
=
277
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
1123. mêçéÉêíáÉë=çÑ=iáåÉ=fåíÉÖê~äë=çÑ=sÉÅíçê=cáÉäÇë=
r r
r r
c
⋅
Ç
ê
=
−
c
∫
∫ ⋅ Çê I==
(
)
−`
(
)
`
ïÜÉêÉ=-`=ÇÉåçíÉ==íÜÉ=ÅìêîÉ=ïáíÜ=íÜÉ=çééçëáíÉ=çêáÉåí~íáçåK=
=
r r
r r
r r
r r
∫ c ⋅ Çê = ∫ c ⋅ Çê = ∫ c ⋅ Çê + ∫ c ⋅ Çê I==
(
)
(
) (
`N ∪ ` O
`
) (
`N
)
`O
ïÜÉêÉ=`=áë=íÜÉ=ìåáçå=çÑ=íÜÉ=ÅìêîÉë= `N =~åÇ= ` O K==
=
r
1124. fÑ=íÜÉ=ÅìêîÉ=`=áë=é~ê~ãÉíÉêáòÉÇ=Äó= ê (í ) = ñ (í )I ó (í )I ò (í ) I=
α ≤ í ≤ β I=íÜÉå==
∫ mÇñ + nÇó + oÇò = =
`
β
Çó
Çñ
Çò 

= ∫  m(ñ (í )I ó (í )I ò (í )) + n(ñ (í )I ó (í )I ò (í )) + o(ñ (í )I ó (í )I ò (í )) Çí
Çí
Çí
Çí 
α
=
1125. fÑ=`=äáÉë=áå=íÜÉ=ñó-éä~åÉ=~åÇ=ÖáîÉå=Äó=íÜÉ=Éèì~íáçå= ó = Ñ (ñ ) I=
íÜÉå==
Ä
ÇÑ 

mÇñ
nÇó
+
=
∫`
∫~  m(ñ I Ñ (ñ )) + n(ñ I Ñ (ñ )) Çñ Çñ K==
=
1126. dêÉÉå∞ë=qÜÉçêÉã=
 ∂n ∂m 
∫∫o  ∂ñ − ∂ó ÇñÇó = ∫` mÇñ + nÇó I==
r
r
r
ïÜÉêÉ= c = m(ñ I ó ) á + n(ñ I ó ) à = áë= ~= Åçåíáåìçìë= îÉÅíçê= ÑìåÅ∂m ∂n
íáçå=ïáíÜ==Åçåíáåìçìë==Ñáêëí=é~êíá~ä==ÇÉêáî~íáîÉë=
I=
=áå=~=
∂ó ∂ñ
ëçãÉ= Ççã~áå= oI= ïÜáÅÜ= áë= ÄçìåÇÉÇ= Äó= ~= ÅäçëÉÇI= éáÉÅÉïáëÉ=
ëãççíÜ=ÅìêîÉ=`K==
=
=
278
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
1127. ^êÉ~=çÑ=~=oÉÖáçå=o=_çìåÇÉÇ=Äó=íÜÉ=`ìêîÉ=`=
N
p = ∫∫ ÇñÇó = ∫ ñÇó − óÇñ =
O`
o
=
1128. m~íÜ=fåÇÉéÉåÇÉåÅÉ=çÑ=iáåÉ=fåíÉÖê~äë=
r
r
r
r
qÜÉ= äáåÉ= áåíÉÖê~ä= çÑ= ~= îÉÅíçê= ÑìåÅíáçå= c = m á + n à + oâ = áë=
ë~áÇ=íç=ÄÉ=é~íÜ=áåÇÉéÉåÇÉåíI=áÑ=~åÇ=çåäó=áÑ=mI=nI=~åÇ=o=~êÉ=
Åçåíáåìçìë= áå= ~= Ççã~áå= aI= ~åÇ= áÑ= íÜÉêÉ= Éñáëíë= ëçãÉ= ëÅ~ä~ê=
ÑìåÅíáçå== ì = ì(ñ I ó I ò ) ==E~==ëÅ~ä~ê==éçíÉåíá~äF==áå==a==ëìÅÜ=íÜ~í=
r
∂ì
∂ì
∂ì
= n I=
c = Öê~Ç ì I=çê=
= o K==
= m I=
∂ò
∂ñ
∂ó
qÜÉå==
rr r
∫ c(ê ) ⋅ Çê = ∫ mÇñ + nÇó + oÇò = ì(_) − ì(^ ) K==
`
`
=
1129. qÉëí=Ñçê=~=`çåëÉêî~íáîÉ=cáÉäÇ=
r
^=îÉÅíçê=ÑáÉäÇ=çÑ=íÜÉ=Ñçêã= c = Öê~Ç ì =áë=Å~ääÉÇ=~=ÅçåëÉêî~íáîÉ=
r
r
r
r
ÑáÉäÇK=qÜÉ=äáåÉ=áåíÉÖê~ä=çÑ=~=îÉÅíçê=ÑìåÅíáçå= c = m á + n à + oâ =
áë=é~íÜ=áåÇÉéÉåÇÉåí=áÑ=~åÇ=çåäó=áÑ==
r
r
r
á
à
â
r ∂
∂
∂ r
Åìêä c =
= M K==
∂ñ ∂ó ∂ò
m n o
=
fÑ=íÜÉ=äáåÉ=áåíÉÖê~ä=áë=í~âÉå=áå=ñó-éä~åÉ=ëç=íÜ~í==
∫ mÇñ + nÇó = ì(_) − ì(^ ) I==
`
íÜÉå=íÜÉ=íÉëí=Ñçê=ÇÉíÉêãáåáåÖ=áÑ=~=îÉÅíçê=ÑáÉäÇ=áë=ÅçåëÉêî~íáîÉ=
Å~å=ÄÉ=ïêáííÉå=áå=íÜÉ=Ñçêã==
∂m ∂n
=
K==
∂ó ∂ñ
=
279
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
1130. iÉåÖíÜ=çÑ=~=`ìêîÉ=
r
O
O
O
β
β
Çó
Çê
(í ) Çí = ∫  Çñ  +   +  Çò  Çí I=
i = ∫ Çë = ∫
Çí
Çí   Çí   Çí 
`
α
α 
ïÜÉêÉ=`=á~=~=éáÉÅÉïáëÉ=ëãççíÜ=ÅìêîÉ=ÇÉëÅêáÄÉÇ=Äó=íÜÉ=éçëár
íáçå=îÉÅíçê= ê (í ) I= α ≤ í ≤ β K=
=
fÑ=íÜÉ=ÅìêîÉ=`=áë=íïç-ÇáãÉåëáçå~äI=íÜÉå=
r
O
O
β
β
Çê
 Çñ   Çó 
(í ) Çí = ∫   +   Çí K==
i = ∫ Çë = ∫
Çí
Çí   Çí 
`
α
α 
=
fÑ=íÜÉ=ÅìêîÉ=`=áë=íÜÉ=Öê~éÜ=çÑ=~=ÑìåÅíáçå= ó = Ñ (ñ ) =áå=íÜÉ=ñóéä~åÉ= (~ ≤ ñ ≤ Ä) I=íÜÉå==
Ä
i=∫
~
O
 Çó 
N +   Çñ K==
 Çñ 
=
1131. iÉåÖíÜ=çÑ=~=`ìêîÉ=áå=mçä~ê=`ççêÇáå~íÉë=
β
O
 Çê 
i = ∫   + ê O Çθ I==
Çθ 
α 
ïÜÉêÉ=íÜÉ=ÅìêîÉ=`=áë=ÖáîÉå=Äó=íÜÉ=Éèì~íáçå= ê = ê(θ) I=
α ≤ θ ≤ β =áå=éçä~ê=ÅççêÇáå~íÉëK===
=
1132. j~ëë=çÑ=~=táêÉ=
ã = ∫ ρ(ñ I ó I ò )Çë I==
`
ïÜÉêÉ= ρ(ñ I ó I ò ) =áë=íÜÉ=ã~ëë=éÉê=ìåáí=äÉåÖíÜ=çÑ=íÜÉ=ïáêÉK=
=
fÑ=`=áë=~=ÅìêîÉ=é~ê~ãÉíêáòÉÇ=Äó=íÜÉ=îÉÅíçê=ÑìåÅíáçå
r
ê (í ) = ñ (í )I ó (í )I ò (í ) I==íÜÉå==íÜÉ==ã~ëë==Å~å==ÄÉ==ÅçãéìíÉÇ=Äó=
íÜÉ=Ñçêãìä~=
280
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
β
O
O
O
 Çñ   Çó   Çò 
ã = ∫ ρ(ñ (í )I ó (í )I ò (í ))   +   +   Çí K==
 Çí   Çí   Çí 
α
=
fÑ=`=áë=~=ÅìêîÉ=áå=ñó-éä~åÉI=íÜÉå=íÜÉ=ã~ëë=çÑ=íÜÉ=ïáêÉ=áë=ÖáîÉå=
Äó==
ã = ∫ ρ(ñ I ó )Çë I=
`
çê=
β
ã = ∫ ρ(ñ (í )I ó (í ))
α
O
O
 Çñ   Çó 
  +   Çí =Eáå=é~ê~ãÉíêáÅ=ÑçêãFK=
 Çí   Çí 
=
1133. `ÉåíÉê=çÑ=j~ëë=çÑ=~=táêÉ=
j óò
j ñó
j
ñ=
I= ó = ñò I= ò =
I=
ã
ã
ã
ïÜÉêÉ==
j óò = ∫ ñρ(ñ I ó I ò )Çë I==
`
j ñò = ∫ óρ(ñ I ó I ò )Çë I==
`
j ñó = ∫ òρ(ñ I ó I ò )Çë K=
`
=
1134. jçãÉåíë=çÑ=fåÉêíá~=
qÜÉ=ãçãÉåíë=çÑ=áåÉêíá~=~Äçìí=íÜÉ=ñ-~ñáëI=ó-~ñáëI=~åÇ=ò-~ñáë=
~êÉ=ÖáîÉå=Äó=íÜÉ=Ñçêãìä~ë=
f ñ = ∫ (ó O + ò O )ρ(ñ I ó I ò )Çë I==
`
f ó = ∫ (ñ O + ò O )ρ(ñ I ó I ò )Çë I==
`
f ò = ∫ (ñ O + ó O )ρ(ñ I ó I ò )Çë K==
`
=
281
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
1135. ^êÉ~=çÑ=~=oÉÖáçå=_çìåÇÉÇ=Äó=~=`äçëÉÇ=`ìêîÉ=
N
p = ∫ ñÇó = − ∫ óÇñ = ∫ ñÇó − óÇñ K==
O`
`
`
=
=
=
Figure 205.
=
fÑ=íÜÉ=ÅäçëÉÇ=ÅìêîÉ=`=áë=ÖáîÉå=áå=é~ê~ãÉíêáÅ=Ñçêã=
r
ê (í ) = ñ (í )I ó (í ) I=íÜÉå=íÜÉ=~êÉ~=Å~å=ÄÉ=Å~äÅìä~íÉÇ=Äó=íÜÉ=Ñçêãìä~=
β
β
β
Çó
Çó
Çñ
N 
Çñ 
p = ∫ ñ (í ) Çí = − ∫ ó (í ) Çí = ∫  ñ (í ) − ó (í ) Çí K==
Çí
Çí
O α
Çí
Çí 
α
α
=
1136. sçäìãÉ=çÑ=~=pçäáÇ=cçêãÉÇ=Äó=oçí~íáåÖ=~=`äçëÉÇ=`ìêîÉ=
~Äçìí=íÜÉ=ñ-~ñáë=
π
s = − π ∫ ó OÇñ = −Oπ ∫ ñóÇó = − ∫ OñóÇó + ó OÇñ ==
O`
`
`
=
282
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
=
=
Figure 206.
=
1137. tçêâ=
r
tçêâ=ÇçåÉ=Äó=~=ÑçêÅÉ= c =çå=~å=çÄàÉÅí=ãçîáåÖ=~äçåÖ=~=ÅìêîÉ=
`=áë=ÖáîÉå=Äó=íÜÉ=äáåÉ=áåíÉÖê~ä=
r r
t = ∫ c ⋅ Ç ê I=
`
r
r
ïÜÉêÉ= c =áë=íÜÉ=îÉÅíçê=ÑçêÅÉ=ÑáÉäÇ=~ÅíáåÖ=çå=íÜÉ=çÄàÉÅíI= Ç ê =áë=
íÜÉ=ìåáí=í~åÖÉåí=îÉÅíçêK==
=
=
Figure 207.
283
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
fÑ=íÜÉ=çÄàÉÅí=áë=ãçîÉÇ=~äçåÖ=~=ÅìêîÉ=`=áå=íÜÉ=ñó-éä~åÉI=íÜÉå=
r r
t = ∫ c ⋅ Ç ê = ∫ mÇñ + nÇó I==
`
`
=
fÑ= ~= é~íÜ= `= áë= ëéÉÅáÑáÉÇ= Äó= ~= é~ê~ãÉíÉê= í= Eí= çÑíÉå= ãÉ~åë=
íáãÉFI=íÜÉ=Ñçêãìä~=Ñçê=Å~äÅìä~íáåÖ=ïçêâ=ÄÉÅçãÉë=
β
Çñ
Çó
Çò 

t = ∫ m(ñ (í )I ó (í )I ò (í )) + n(ñ (í )I ó (í )I ò (í )) + o(ñ (í )I ó (í )I ò (í ))  ÇíI
Çí
Çí
Çí 
α
ïÜÉêÉ=í=ÖçÉë=Ñêçã= α =íç= β K==
=
r
fÑ= ~= îÉÅíçê= ÑáÉäÇ= c = áë= ÅçåëÉêî~íáîÉ= ~åÇ= ì(ñ I ó I ò ) = áë= ~= ëÅ~ä~ê=
éçíÉåíá~ä= çÑ= íÜÉ= ÑáÉäÇI= íÜÉå= íÜÉ= ïçêâ= çå= ~å= çÄàÉÅí= ãçîáåÖ=
Ñêçã=^=íç=_=Å~å=ÄÉ=ÑçìåÇ=Äó=íÜÉ=Ñçêãìä~=
t = ì(_ ) − ì(^ ) K==
=
1138. ^ãéÉêÉ∞ë=i~ï=
r r
_
∫ ⋅ Çê = µMf K==
`
r
qÜÉ=äáåÉ=áåíÉÖê~ä=çÑ=~=ã~ÖåÉíáÅ=ÑáÉäÇ= _ =~êçìåÇ=~=ÅäçëÉÇ=é~íÜ=
`= áë= Éèì~ä= íç= íÜÉ= íçí~ä= ÅìêêÉåí= f= ÑäçïáåÖ= íÜêçìÖÜ= íÜÉ= ~êÉ~=
ÄçìåÇÉÇ=Äó=íÜÉ=é~íÜK==
=
Figure 208.
284
=
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
1139. c~ê~Ç~ó∞ë=i~ï=
r r
Çψ
=
ε = ∫ b ⋅ Çê = −
Çí
`
=
qÜÉ= ÉäÉÅíêçãçíáîÉ= ÑçêÅÉ= EÉãÑF= ε = áåÇìÅÉÇ= ~êçìåÇ= ~= ÅäçëÉÇ=
äççé=`=áë=Éèì~ä=íç=íÜÉ=ê~íÉ=çÑ=íÜÉ=ÅÜ~åÖÉ=çÑ=ã~ÖåÉíáÅ=Ñäìñ= ψ =
é~ëëáåÖ=íÜêçìÖÜ=íÜÉ=äççéK===
=
=
=
Figure 209.
=
=
=
9.13 Surface Integral
=
pÅ~ä~ê=ÑìåÅíáçåëW= Ñ (ñ I ó I ò ) I= ò (ñ I ó ) =
r
r
mçëáíáçå=îÉÅíçêëW= ê (ìI î ) I= ê (ñ I ó I ò ) =
r r r
råáí=îÉÅíçêëW= á I= à I= â =
pìêÑ~ÅÉW=p=
r
sÉÅíçê=ÑáÉäÇW= c (mI nI o ) =
r
r
aáîÉêÖÉåÅÉ=çÑ=~=îÉÅíçê=ÑáÉäÇW= Çáî c = ∇ ⋅ c =
285
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
r
r
`ìêä=çÑ=~=îÉÅíçê=ÑáÉäÇW= Åìêä c = ∇ × c ==
r
sÉÅíçê=ÉäÉãÉåí=çÑ=~=ëìêÑ~ÅÉW= Çp =
r
kçêã~ä=íç=ëìêÑ~ÅÉW= å =
pìêÑ~ÅÉ=~êÉ~W=^=
j~ëë=çÑ=~=ëìêÑ~ÅÉW=ã=
aÉåëáíóW= µ(ñ I ó I ò ) =
`ççêÇáå~íÉë=çÑ=ÅÉåíÉê=çÑ=ã~ëëW= ñ I= ó I= ò =
cáêëí=ãçãÉåíëW= j ñó I= j óò I= j ñò =
jçãÉåíë=çÑ=áåÉêíá~W= f ñó I= f óò I= f ñò I= f ñ I= f ó I= fò =
sçäìãÉ=çÑ=~=ëçäáÇW=s=
r
cçêÅÉW= c =
dê~îáí~íáçå~ä=Åçåëí~åíW=d=
rr
cäìáÇ=îÉäçÅáíóW= î (ê ) =
cäìáÇ=ÇÉåëáíóW= ρ =
r
mêÉëëìêÉW= é(ê ) =
j~ëë=ÑäìñI=ÉäÉÅíêáÅ=ÑäìñW= Φ =
pìêÑ~ÅÉ=ÅÜ~êÖÉW=n=
`Ü~êÖÉ=ÇÉåëáíóW= σ(ñ I ó ) =
r
j~ÖåáíìÇÉ=çÑ=íÜÉ=ÉäÉÅíêáÅ=ÑáÉäÇW= b =
=
=
1140. pìêÑ~ÅÉ=fåíÉÖê~ä=çÑ=~=pÅ~ä~ê=cìåÅíáçå=
iÉí=~=ëìêÑ~ÅÉ=p=ÄÉ=ÖáîÉå=Äó=íÜÉ=éçëáíáçå=îÉÅíçê=
r
r
r
r
ê (ìI î ) = ñ (ìI î )á + ó (ìI î ) à + ò (ìI î )â I==
ïÜÉêÉ= (ìI î ) = ê~åÖÉë= çîÉê= ëçãÉ= Ççã~áå= a(ìI î ) = çÑ= íÜÉ= ìîéä~åÉK=
qÜÉ==ëìêÑ~ÅÉ==áåíÉÖê~ä==çÑ==~==ëÅ~ä~ê=ÑìåÅíáçå== Ñ (ñ I ó I ò ) =çîÉê=
íÜÉ=ëìêÑ~ÅÉ=p=áë=ÇÉÑáåÉÇ=~ë==
r
r
∂ê ∂ê
(
)
(
(
)
(
)
(
)
)
Ñ
ñ
I
ó
I
ò
Çp
Ñ
ñ
ì
I
î
I
ó
ì
I
î
I
ò
ì
I
î
ÇìÇî I==
=
×
∫∫p
∫∫
ì
î
∂
∂
a(ì I î )
r
r
∂ê
∂ê
ïÜÉêÉ=íÜÉ=é~êíá~ä=ÇÉêáî~íáîÉë= =~åÇ= =~êÉ=ÖáîÉå=Äó==
∂ì
∂î
286
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
r
r
r ∂ó
r ∂ò
∂ê ∂ñ
= (ìI î ) á + (ìI î ) à + (ìI î )â I==
∂ì ∂ì
∂ì
∂ì
r
r
r ∂ó
r ∂ò
∂ ê ∂ñ
= (ìI î ) á + (ìI î ) à + (ìI î )â =
∂î ∂î
∂î
∂î
r
r
∂ê ∂ê
~åÇ= × =áë=íÜÉ=Åêçëë=éêçÇìÅíK==
∂ì ∂î
=
1141. fÑ==íÜÉ==ëìêÑ~ÅÉ==p==áë==ÖáîÉå=Äó==íÜÉ=Éèì~íáçå= ò = ò(ñ I ó ) =ïÜÉêÉ=
ò (ñ I ó ) ==áë==~==ÇáÑÑÉêÉåíá~ÄäÉ==ÑìåÅíáçå==áå=íÜÉ=Ççã~áå= a(ñ I ó ) I=
íÜÉå==
∫∫ Ñ (ñ I ó I ò )Çp = (∫∫ ) Ñ (ñ I ó I ò(ñ I ó ))
p
a ñ Ió
O
 ∂ò   ∂ò 
N +   +   ÇñÇó K==
 ∂ñ   ∂ó 
O
=
r
1142. pìêÑ~ÅÉ=fåíÉÖê~ä=çÑ=íÜÉ=sÉÅíçê=cáÉäÇ= c =çîÉê=íÜÉ=pìêÑ~ÅÉ=p=
• fÑ=p=áë=çêáÉåíÉÇ=çìíï~êÇI=íÜÉå==
r
r
r
r
===== ∫∫ c(ñ I ó I ò ) ⋅ Çp = ∫∫ c(ñ I ó I ò ) ⋅ åÇp =
p
======
p
r
r
r
 ∂ê ∂ê 
= ∫∫ c(ñ (ìI î )I ó (ìI î )I ò (ìI î )) ⋅  ×  ÇìÇî K==
 ∂ì ∂î 
a( ì I î )
=
fÑ=p=áë=çêáÉåíÉÇ=áåï~êÇI=íÜÉå==
r
r
r
r
===== ∫∫ c(ñ I ó I ò ) ⋅ Çp = ∫∫ c(ñ I ó I ò ) ⋅ åÇp =
•
p
======
=
p
r
r
r
 ∂ê ∂ê 
= ∫∫ c(ñ (ìI î )I ó (ìI î )I ò (ìI î )) ⋅  ×  ÇìÇî K==
 ∂î ∂ì 
a( ì I î )
r r
Çp = åÇp ==áë==Å~ääÉÇ==íÜÉ==îÉÅíçê=ÉäÉãÉåí=çÑ=íÜÉ=ëìêÑ~ÅÉK==açí=
ãÉ~åë= = íÜÉ= = ëÅ~ä~ê= = éêçÇìÅí= = çÑ= = íÜÉ= = ~ééêçéêá~íÉ= = îÉÅíçêëK=
r
r
∂ê
∂ê
qÜÉ=é~êíá~ä=ÇÉêáî~íáîÉë= =~åÇ== =~êÉ=ÖáîÉå=Äó==
∂ì
∂î
287
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
r
r
r ∂ó
r ∂ò
∂ê ∂ñ
= (ìI î ) ⋅ á + (ìI î ) ⋅ à + (ìI î ) ⋅ â I==
∂ì ∂ì
∂ì
∂ì
r
r
r ∂ó
r ∂ò
∂ ê ∂ñ
= (ìI î ) ⋅ á + (ìI î ) ⋅ à + (ìI î ) ⋅ â K==
∂î ∂î
∂î
∂î
=
1143. fÑ==íÜÉ==ëìêÑ~ÅÉ==p==áë==ÖáîÉå=Äó=íÜÉ=Éèì~íáçå= ò = ò (ñ I ó ) I=ïÜÉêÉ=
ò (ñ I ó ) ==áë==~==ÇáÑÑÉêÉåíá~ÄäÉ==ÑìåÅíáçå==áå==íÜÉ=Ççã~áå= a(ñ I ó ) I=
íÜÉå==
• fÑ= p= áë= çêáÉåíÉÇ= ìéï~êÇI= áKÉK= íÜÉ= â-íÜ= ÅçãéçåÉåí= çÑ= íÜÉ=
åçêã~ä=îÉÅíçê=áë=éçëáíáîÉI=íÜÉå===
r
r
r
r
===== ∫∫ c(ñ I ó I ò ) ⋅ Çp = ∫∫ c(ñ I ó I ò ) ⋅ åÇp =
p
p
=
======
r
 ∂ò r ∂ò r r 
 −
(
)
c
ñ
I
ó
I
ò
⋅
á−
à + â ÇñÇó I==
∫∫
∂ó
 ∂ñ

a( ñ I ó )
=
fÑ=p=áë=çêáÉåíÉÇ=Ççïåï~êÇI=áKÉK=íÜÉ=â-íÜ=ÅçãéçåÉåí=çÑ=íÜÉ=
åçêã~ä=îÉÅíçê=áë=åÉÖ~íáîÉI=íÜÉå===
r
r
r
r
===== ∫∫ c(ñ I ó I ò ) ⋅ Çp = ∫∫ c(ñ I ó I ò ) ⋅ åÇp
•
p
p
r
 ∂ò r ∂ò r r 
= ∫∫ c(ñ I ó I ò ) ⋅  á +
à − â ÇñÇó K==
∂ó
 ∂ñ

a( ñ I ó )
======
=
1144.
∫∫ (c ⋅ å)Çp = ∫∫ mÇóÇò + nÇòÇñ + oÇñÇó =
r r
p
p
= ∫∫ (m Åçë α + n Åçë β + o Åçë γ )Çp I==
p
ïÜÉêÉ= m(ñ I ó I ò ) I= n(ñ I ó I ò ) I= o(ñ I ó I ò ) =~êÉ=íÜÉ=ÅçãéçåÉåíë=çÑ=
r
íÜÉ=îÉÅíçê= ÑáÉäÇ= c K==
Åçë α I= Åçë β I= Åçë γ ==~êÉ=íÜÉ= ~åÖäÉë= ÄÉíïÉÉå=íÜÉ=çìíÉê=ìåáí=
r
åçêã~ä=îÉÅíçê= å =~åÇ=íÜÉ=ñ-~ñáëI=ó-~ñáëI=~åÇ=ò-~ñáëI=êÉëéÉÅíáîÉäóK=
=
288
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
1145. fÑ=íÜÉ=ëìêÑ~ÅÉ=p=áë=ÖáîÉå=áå=é~ê~ãÉíêáÅ=Ñçêã=Äó=íÜÉ=îÉÅíçê=
r
ê (ñ (ìI î )I ó (ìI î )I ò (ìI î )) I==íÜÉå==íÜÉ==ä~ííÉê=Ñçêãìä~=Å~å=ÄÉ=
ïêáííÉå=~ë==
m n o
∂ñ ∂ó ∂ò
ÇìÇî I
∫∫p
∫∫
∂
∂
∂
ì
ì
ì
p
a(ì Iî )
∂ñ ∂ó ∂ò
∂î ∂î ∂î
ïÜÉêÉ= (ìI î ) = ê~åÖÉë= çîÉê= ëçãÉ= Ççã~áå= a(ìI î ) = çÑ= íÜÉ= ìîéä~åÉK=
=
1146. aáîÉêÖÉåÅÉ=qÜÉçêÉã=
r r
r
c
⋅
Ç
p
=
∇
⋅
c
Çs I==
∫∫
∫∫∫
( )
r r
c ⋅ å Çp = ∫∫ mÇóÇò + nÇòÇñ + oÇñÇó =
(
p
)
d
ïÜÉêÉ==
r
c(ñ I ó I ò ) = m(ñ I ó I ò )I n(ñ I ó I ò )I o(ñ I ó I ò ) ===
áë==~==îÉÅíçê==ÑáÉäÇ==ïÜçëÉ==ÅçãéçåÉåíë==mI==nI==~åÇ==o==Ü~îÉ==
Åçåíáåìçìë=é~êíá~ä=ÇÉêáî~íáîÉëI==
r ∂m ∂n ∂o
∇⋅c =
+
+
==
∂ñ ∂ó ∂ò
r
r
áë==íÜÉ==ÇáîÉêÖÉåÅÉ==çÑ== c I==~äëç==ÇÉåçíÉÇ== Çáîc K==qÜÉ==ëóãÄçä=
∫∫ =áåÇáÅ~íÉë==íÜ~í=íÜÉ=ëìêÑ~ÅÉ=áåíÉÖê~ä=áë=í~âÉå=çîÉê=~=ÅäçëÉÇ=
ëìêÑ~ÅÉK==
=
1147. aáîÉêÖÉåÅÉ=qÜÉçêÉã=áå=`ççêÇáå~íÉ=cçêã=
 ∂m ∂n ∂o 

ÇñÇóÇò K==
+
+
=
+
+
mÇóÇò
nÇñÇò
oÇñÇó
∫∫p
∫∫∫
∂
∂
∂
ñ
ó
ò

d 
=
1148. píçâÉ∞ë=qÜÉçêÉã=
r r
r r
c
⋅
Ç
ê
=
∇
×
c
⋅ Çp I==
∫
∫∫
(
`
)
p
289
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
ïÜÉêÉ==
r
c(ñ I ó I ò ) = m(ñ I ó I ò )I n(ñ I ó I ò )I o(ñ I ó I ò ) ===
áë==~=îÉÅíçê==ÑáÉäÇ==ïÜçëÉ==ÅçãéçåÉåíë==mI==nI==~åÇ=o==Ü~îÉ=
Åçåíáåìçìë=é~êíá~ä=ÇÉêáî~íáîÉëI==
r
r
r
á
à
â
r ∂
∂
∂  ∂o ∂n  r  ∂m ∂o  r  ∂n ∂m  r
á + 
∇×c=
=
−
−
− â
à +
∂ñ ∂ñ ∂ñ  ∂ó ∂ò   ∂ò ∂ñ   ∂ñ ∂ó 
m n o
r
r
áë=íÜÉ=Åìêä=çÑ= c I=~äëç=ÇÉåçíÉÇ= Åìêä c K==
qÜÉ=ëóãÄçä== ∫ =áåÇáÅ~íÉë=íÜ~í=íÜÉ=äáåÉ=áåíÉÖê~ä=áë=í~âÉå=çîÉê=
~=ÅäçëÉÇ=ÅìêîÉK==
=
1149. píçâÉ∞ë=qÜÉçêÉã=áå=`ççêÇáå~íÉ=cçêã=
∫ mÇñ + nÇó + oÇò =
`
 ∂o ∂n 
 ∂n ∂m 
∂m ∂o 
ÇóÇò +  −
= ∫∫ 
−
− ÇñÇó
ÇòÇñ + 
∂ó ∂ò 
 ∂ò ∂ñ 
 ∂ñ ∂ó 
p 
==
1150. pìêÑ~ÅÉ=^êÉ~=
^ = ∫∫ Çp =
p
=
1151. fÑ=íÜÉ=ëìêÑ~ÅÉ=p=áë=é~ê~ãÉíÉêáòÉÇ=Äó=íÜÉ=îÉÅíçê==
r
r
r
r
ê (ìI î ) = ñ (ìI î )á + ó (ìI î ) à + ò (ìI î )â I==
íÜÉå=íÜÉ=ëìêÑ~ÅÉ=~êÉ~=áë==
r
r
∂ê ∂ê
^ = ∫∫
× ÇìÇî I==
∂ì ∂î
a( ì I î )
r
ïÜÉêÉ== a(ìI î ) ==áë==íÜÉ==Ççã~áå==ïÜÉêÉ==íÜÉ=ëìêÑ~ÅÉ= ê (ìI î ) =áë=
ÇÉÑáåÉÇK==
=
290
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
1152. fÑ=p=áë=ÖáîÉå=ÉñéäáÅáíäó=Äó=íÜÉ=ÑìåÅíáçå= ò (ñ I ó ) I==íÜÉå==íÜÉ==ëìêÑ~ÅÉ=~êÉ~=áë==
O
 ∂ò   ∂ò 
^ = ∫∫ N +   +   ÇñÇó I==
 ∂ñ   ∂ó 
a( ñ I ó )
ïÜÉêÉ= a(ñ I ó ) =áë=íÜÉ=éêçàÉÅíáçå=çÑ=íÜÉ=ëìêÑ~ÅÉ=p=çåíç=íÜÉ=ñóéä~åÉK==
=
1153. j~ëë=çÑ=~=pìêÑ~ÅÉ=
ã = ∫∫ µ(ñ I ó I ò )Çp I==
O
p
ïÜÉêÉ= µ(ñ I ó I ò ) = áë= íÜÉ= ã~ëë= éÉê= ìåáí= ~êÉ~= = EÇÉåëáíó= ÑìåÅíáçåFK=
=
1154. `ÉåíÉê=çÑ=j~ëë=çÑ=~=pÜÉää=
j óò
j ñó
j
ñ=
I= ó = ñò I= ò =
I==
ã
ã
ã
ïÜÉêÉ==
j óò = ∫∫ ñµ(ñ I ó I ò )Çp I==
p
j ñò = ∫∫ óµ(ñ I ó I ò )Çp I==
p
j ñó = ∫∫ òµ(ñ I ó I ò )Çp =
p
~êÉ==íÜÉ==Ñáêëí==ãçãÉåíë==~Äçìí===íÜÉ=ÅççêÇáå~íÉ=éä~åÉë= ñ = M I=
ó = M I= ò = M I==êÉëéÉÅíáîÉäóK== µ(ñ I ó I ò ) =áë=íÜÉ=ÇÉåëáíó=ÑìåÅíáçåK=
=
1155. jçãÉåíë=çÑ=fåÉêíá~=~Äçìí=íÜÉ=ñó-éä~åÉ=Eçê= ò = M FI==óò-éä~åÉ==
E ñ = M FI=~åÇ=ñò-éä~åÉ=E ó = M F=
f ñó = ∫∫ ò Oµ(ñ I ó I ò )Çp I==
p
f óò = ∫∫ ñ Oµ(ñ I ó I ò )Çp I==
p
291
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
f ñò = ∫∫ ó Oµ(ñ I ó I ò )Çp K=
p
=
1156. jçãÉåíë=çÑ=fåÉêíá~=~Äçìí=íÜÉ=ñ-~ñáëI=ó-~ñáëI=~åÇ=ò-~ñáë=
f ñ = ∫∫ (ó O + ò O )µ(ñ I ó I ò )Çp I==
p
f ó = ∫∫ (ñ O + ò O )µ(ñ I ó I ò )Çp I==
p
fò = ∫∫ (ñ O + ó O )µ(ñ I ó I ò )Çp K==
p
=
1157. sçäìãÉ=çÑ=~=pçäáÇ=_çìåÇÉÇ=Äó=~=`äçëÉÇ=pìêÑ~ÅÉ=
s=
N
ñÇóÇò + óÇñÇò + òÇñÇó ==
P ∫∫
p
=
1158. dê~îáí~íáçå~ä=cçêÅÉ=
r
r
ê
c = dã ∫∫ µ(ñ I ó I ò ) P Çp I=
ê
p
ïÜÉêÉ=ã=áë=~=ã~ëë=~í=~=éçáåí= ñ M I ó M I ò M =çìíëáÇÉ=íÜÉ=ëìêÑ~ÅÉI==
r
ê = ñ − ñ M I ó − ó M I ò − ò M I==
µ(ñ I ó I ò ) =áë=íÜÉ=ÇÉåëáíó=ÑìåÅíáçåI==
~åÇ=d=áë=Öê~îáí~íáçå~ä=Åçåëí~åíK=
=
1159. mêÉëëìêÉ=cçêÅÉ=
r
r r
c = ∫∫ é(ê )Çp I==
p
r
ïÜÉêÉ=íÜÉ=éêÉëëìêÉ== é(ê ) ==~Åíë==çå==íÜÉ==ëìêÑ~ÅÉ==p==ÖáîÉå==Äó=
r
íÜÉ=éçëáíáçå=îÉÅíçê= ê K=
=
1160. cäìáÇ=cäìñ=E~Åêçëë=íÜÉ=ëìêÑ~ÅÉ=pF=
r r r
Φ = ∫∫ î (ê ) ⋅ Çp I==
p
292
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
r r
ïÜÉêÉ= î (ê ) =áë=íÜÉ=ÑäìáÇ=îÉäçÅáíóK=
==
1161. j~ëë=cäìñ=E~Åêçëë=íÜÉ=ëìêÑ~ÅÉ=pF=
r r r
Φ = ∫∫ ρî (ê ) ⋅ Çp I==
p
r
r
ïÜÉêÉ= c = ρî =áë=íÜÉ=îÉÅíçê=ÑáÉäÇI= ρ =áë=íÜÉ=ÑäìáÇ=ÇÉåëáíóK=
=
1162. pìêÑ~ÅÉ=`Ü~êÖÉ=
n = ∫∫ σ(ñ I ó )Çp I==
p
ïÜÉêÉ= σ(ñ I ó ) =áë=íÜÉ=ëìêÑ~ÅÉ=ÅÜ~êÖÉ=ÇÉåëáíóK=
=
1163. d~ìëë∞=i~ï=
qÜÉ=ÉäÉÅíêáÅ=Ñäìñ=íÜêçìÖÜ=~åó=ÅäçëÉÇ=ëìêÑ~ÅÉ=áë=éêçéçêíáçå~ä=
íç=íÜÉ=ÅÜ~êÖÉ=n=ÉåÅäçëÉÇ=Äó=íÜÉ=ëìêÑ~ÅÉ=
r r n
Φ = ∫∫ b ⋅ Çp = I==
εM
p
ïÜÉêÉ==
Φ =áë=íÜÉ=ÉäÉÅíêáÅ=ÑäìñI==
r
b =áë=íÜÉ=ã~ÖåáíìÇÉ=çÑ=íÜÉ=ÉäÉÅíêáÅ=ÑáÉäÇ=ëíêÉåÖíÜI=
c
ε M = UIUR × NM −NO =áë=éÉêãáííáîáíó=çÑ=ÑêÉÉ=ëé~ÅÉK==
ã
=
=
293
Chapter 10
Differential Equations
=
=
=
=
cìåÅíáçåë=çÑ=çåÉ=î~êá~ÄäÉW=óI=éI=èI=ìI=ÖI=ÜI=dI=eI=êI=ò==
^êÖìãÉåíë=EáåÇÉéÉåÇÉåí=î~êá~ÄäÉëFW=ñI=ó=
cìåÅíáçåë=çÑ=íïç=î~êá~ÄäÉëW= Ñ (ñ I ó ) I= j(ñ I ó ) I= k(ñ I ó ) =
Çó
cáêëí=çêÇÉê=ÇÉêáî~íáîÉW= ó ′ I= ì′ I= ó& I= I=£=
Çí
Ç Of
pÉÅçåÇ=çêÇÉê=ÇÉêáî~íáîÉëW= ó′′ I= &ó& I= O I=£=
Çí
O
∂ì ∂ ì
m~êíá~ä=ÇÉêáî~íáîÉëW= I= O I=£=
∂í ∂ñ
k~íìê~ä=åìãÄÉêW=å=
m~êíáÅìä~ê=ëçäìíáçåëW= ó N I= ó é =
oÉ~ä=åìãÄÉêëW=âI=íI=`I= `N I= ` O I=éI=èI= α I= β =
oççíë=çÑ=íÜÉ=ÅÜ~ê~ÅíÉêáëíáÅ=Éèì~íáçåëW= λN I= λ O =
qáãÉW=í=
qÉãéÉê~íìêÉW=qI=p=
mçéìä~íáçå=ÑìåÅíáçåW= m(í ) ==
j~ëë=çÑ=~å=çÄàÉÅíW=ã=
píáÑÑåÉëë=çÑ=~=ëéêáåÖW=â=
aáëéä~ÅÉãÉåí=çÑ=íÜÉ=ã~ëë=Ñêçã=ÉèìáäáÄêáìãW=ó=
^ãéäáíìÇÉ=çÑ=íÜÉ=Çáëéä~ÅÉãÉåíW=^=
cêÉèìÉåÅóW= ω =
a~ãéáåÖ=ÅçÉÑÑáÅáÉåíW= γ =
mÜ~ëÉ=~åÖäÉ=çÑ=íÜÉ=Çáëéä~ÅÉãÉåíW= δ =
^åÖìä~ê=Çáëéä~ÅÉãÉåíW= θ =
mÉåÇìäìã=äÉåÖíÜW=i=
294
CHAPTER 10. DIFFERENTIAL EQUATIONS
^ÅÅÉäÉê~íáçå=çÑ=Öê~îáíóW=Ö=
`ìêêÉåíW=f=
oÉëáëí~åÅÉW=o=
fåÇìÅí~åÅÉW=i=
`~é~Åáí~åÅÉW=`=
=
=
10.1 First Order Ordinary Differential
Equations
=
1164. iáåÉ~ê=bèì~íáçåë=
Çó
+ é(ñ )ó = è(ñ ) K==
Çñ
=
qÜÉ=ÖÉåÉê~ä=ëçäìíáçå=áë==
∫ ì(ñ )è(ñ )Çñ + ` I==
ó=
ì (ñ )
ïÜÉêÉ==
ì(ñ ) = Éñé ∫ é(ñ )Çñ K=
(
)
=
1165. pÉé~ê~ÄäÉ=bèì~íáçåë=
Çó
= Ñ (ñ I ó ) = Ö (ñ )Ü(ó ) =
Çñ
=
qÜÉ=ÖÉåÉê~ä=ëçäìíáçå=áë=ÖáîÉå=Äó=
Çó
∫ Ü(ó ) = ∫ Ö(ñ )Çñ + ` I==
çê=
e(ó ) = d(ñ ) + ` K=
=
=
=
295
CHAPTER 10. DIFFERENTIAL EQUATIONS
1166. eçãçÖÉåÉçìë=bèì~íáçåë=
Çó
= Ñ (ñ I ó ) = áë= ÜçãçÖÉåÉçìëI= áÑ=
Çñ
íÜÉ=ÑìåÅíáçå= Ñ (ñ I ó ) =áë=ÜçãçÖÉåÉçìëI=íÜ~í=áë==
Ñ (íñ I íó ) = Ñ (ñ I ó ) K==
=
ó
qÜÉ=ëìÄëíáíìíáçå= ò = =EíÜÉå= ó = òñ F=äÉ~Çë=íç=íÜÉ=ëÉé~ê~ÄäÉ=
ñ
Éèì~íáçå=
Çò
ñ
+ ò = Ñ (NI ò ) K==
Çñ
=
1167. _Éêåçìääá=bèì~íáçå=
Çó
+ é(ñ )ó = è(ñ )ó å K==
Çñ
=
qÜÉ=ëìÄëíáíìíáçå= ò = ó N−å =äÉ~Çë=íç=íÜÉ=äáåÉ~ê=Éèì~íáçå==
Çò
+ (N − å )é(ñ ) ò = (N − å )è(ñ ) K==
Çñ
=
1168. oáÅÅ~íá=bèì~íáçå=
Çó
= é(ñ ) + è(ñ ) ó + ê(ñ ) ó O =
Çñ
=
fÑ=~=é~êíáÅìä~ê=ëçäìíáçå= ó N =áë=âåçïåI=íÜÉå=íÜÉ=ÖÉåÉê~ä=ëçäìíáçå=Å~å=ÄÉ=çÄí~áåÉÇ=ïáíÜ=íÜÉ=ÜÉäé=çÑ=ëìÄëíáíìíáçå=
N
ò=
I=ïÜáÅÜ=äÉ~Çë=íç=íÜÉ=Ñáêëí=çêÇÉê=äáåÉ~ê=Éèì~íáçå==
ó − óN
Çò
= −[è(ñ ) + Oó Nê(ñ )] ò − ê(ñ ) K==
Çñ
=
=
=
qÜÉ= ÇáÑÑÉêÉåíá~ä= Éèì~íáçå=
296
CHAPTER 10. DIFFERENTIAL EQUATIONS
1169. bñ~Åí=~åÇ=kçåÉñ~Åí=bèì~íáçåë=
qÜÉ=Éèì~íáçå==
j(ñ I ó )Çñ + k(ñ I ó )Çó = M ==
áë=Å~ääÉÇ=Éñ~Åí=áÑ==
∂j ∂k
=
I==
∂ó ∂ñ
~åÇ=åçåÉñ~Åí=çíÜÉêïáëÉK=
=
qÜÉ=ÖÉåÉê~ä=ëçäìíáçå=áë==
∫ j(ñ I ó )Çñ + ∫ k(ñ I ó )Çó = ` K==
=
1170. o~Çáç~ÅíáîÉ=aÉÅ~ó=
Çó
= − âó I==
Çí
ïÜÉêÉ= ó (í ) =áë=íÜÉ=~ãçìåí=çÑ=ê~Çáç~ÅíáîÉ=ÉäÉãÉåí=~í=íáãÉ=íI=â=
áë=íÜÉ=ê~íÉ=çÑ=ÇÉÅ~óK==
=
qÜÉ=ëçäìíáçå=áë==
ó (í ) = ó M É − âí I=ïÜÉêÉ= ó M = ó (M) =áë=íÜÉ=áåáíá~ä=~ãçìåíK=
=
1171. kÉïíçå∞ë=i~ï=çÑ=`ççäáåÖ=
Çq
= − â (q − p ) I==
Çí
ïÜÉêÉ= q(í ) =áë=íÜÉ=íÉãéÉê~íìêÉ=çÑ=~å=çÄàÉÅí=~í=íáãÉ=íI=p=áë=íÜÉ=
íÉãéÉê~íìêÉ= çÑ= íÜÉ= ëìêêçìåÇáåÖ= ÉåîáêçåãÉåíI= â= áë= ~= éçëáíáîÉ=Åçåëí~åíK==
=
qÜÉ=ëçäìíáçå=áë=
q(í ) = p + (qM − p) É −âí I==
ïÜÉêÉ= qM = q(M) = áë= íÜÉ= áåáíá~ä= íÉãéÉê~íìêÉ= çÑ= íÜÉ= çÄàÉÅí= ~í=
íáãÉ= í = M K==
=
=
297
CHAPTER 10. DIFFERENTIAL EQUATIONS
1172. mçéìä~íáçå=aóå~ãáÅë=EiçÖáëíáÅ=jçÇÉäF=
Çm
m

= âm N −  I==
Çí
 j
ïÜÉêÉ= m(í ) =áë=éçéìä~íáçå=~í=íáãÉ=íI=â=áë=~=éçëáíáîÉ=Åçåëí~åíI=
j=áë=~=äáãáíáåÖ=ëáòÉ=Ñçê=íÜÉ=éçéìä~íáçåK==
=
qÜÉ=ëçäìíáçå=çÑ=íÜÉ=ÇáÑÑÉêÉåíá~ä=Éèì~íáçå=áë==
jmM
m(í ) =
I=ïÜÉêÉ= mM = m(M) =áë=íÜÉ=áåáíá~ä=éçéìmM + (j − mM )É − âí
ä~íáçå=~í=íáãÉ= í = M K===
=
=
=
10.2 Second Order Ordinary Differential
Equations
=
1173. eçãçÖÉåÉçìë=iáåÉ~ê=bèì~íáçåë=ïáíÜ=`çåëí~åí=`çÉÑÑáÅáÉåíë==
ó′′ + éó′ + èó = M K==
qÜÉ=ÅÜ~ê~ÅíÉêáëíáÅ=Éèì~íáçå=áë==
λO + éλ + è = M K==
=
fÑ= λN = ~åÇ= λ O = ~êÉ= ÇáëíáåÅí= êÉ~ä= êççíë= çÑ= íÜÉ= ÅÜ~ê~ÅíÉêáëíáÅ=
Éèì~íáçåI=íÜÉå=íÜÉ=ÖÉåÉê~ä=ëçäìíáçå=áë==
ó = `NÉ λNñ + ` OÉ λ O ñ I=ïÜÉêÉ==
`N =~åÇ= ` O =~êÉ=áåíÉÖê~íáçå=Åçåëí~åíëK==
==
é
fÑ= λN = λ O = − I=íÜÉå=íÜÉ=ÖÉåÉê~ä=ëçäìíáçå=áë==
O
é
− ñ
ó = (`N + ` O ñ )É O K==
=
fÑ= λN =~åÇ= λ O =~êÉ=ÅçãéäÉñ=åìãÄÉêëW=
298
CHAPTER 10. DIFFERENTIAL EQUATIONS
λN = α + β á I= λ O = α − β á I=ïÜÉêÉ==
Qè − é O
é
α = − I= β =
I==
O
O
íÜÉå=íÜÉ=ÖÉåÉê~ä=ëçäìíáçå=áë==
ó = É αñ (`N Åçë β ñ + ` O ëáå β ñ ) K==
=
1174. fåÜçãçÖÉåÉçìë=iáåÉ~ê=bèì~íáçåë=ïáíÜ=`çåëí~åí=======================
`çÉÑÑáÅáÉåíë==
ó′′ + éó′ + èó = Ñ (ñ ) K==
=
qÜÉ=ÖÉåÉê~ä=ëçäìíáçå=áë=ÖáîÉå=Äó==
ó = ó é + ó Ü I=ïÜÉêÉ==
ó é =áë==~=é~êíáÅìä~ê==ëçäìíáçå=çÑ==íÜÉ=áåÜçãçÖÉåÉçìë=Éèì~íáçå=
~åÇ= ó Ü =áë=íÜÉ=ÖÉåÉê~ä=ëçäìíáçå=çÑ=íÜÉ=~ëëçÅá~íÉÇ=ÜçãçÖÉåÉçìë=Éèì~íáçå=EëÉÉ=íÜÉ=éêÉîáçìë=íçéáÅ=NNTPFK=
=
fÑ=íÜÉ=êáÖÜí=ëáÇÉ=Ü~ë=íÜÉ=Ñçêã==
Ñ (ñ ) = É αñ (mN (ñ )Åçë β ñ + mN (ñ )ëáå βñ ) I==
íÜÉå=íÜÉ==é~êíáÅìä~ê=ëçäìíáçå= ó é =áë=ÖáîÉå=Äó==
ó é = ñ â É αñ (oN (ñ )Åçë βñ + o O (ñ )ëáå β ñ ) I==
ïÜÉêÉ= íÜÉ= éçäóåçãá~äë= oN (ñ ) = ~åÇ= o O (ñ ) = Ü~îÉ= íç= ÄÉ= ÑçìåÇ=
Äó=ìëáåÖ=íÜÉ=ãÉíÜçÇ=çÑ=ìåÇÉíÉêãáåÉÇ=ÅçÉÑÑáÅáÉåíëK==
• fÑ= α + β á =áë=åçí=~=êççí=çÑ=íÜÉ=ÅÜ~ê~ÅíÉêáëíáÅ=Éèì~íáçåI=íÜÉå=
íÜÉ=éçïÉê= â = M I=
• fÑ= α + β á =áë=~=ëáãéäÉ=êççíI=íÜÉå= â = N I=
• fÑ= α + β á =áë=~=ÇçìÄäÉ=êççíI=íÜÉå= â = O K==
=
1175. aáÑÑÉêÉåíá~ä=bèì~íáçåë=ïáíÜ=ó=jáëëáåÖ=
ó′′ = Ñ (ñ I ó′) K==
pÉí= ì = ó′ K=qÜÉå=íÜÉ=åÉï=Éèì~íáçå=ë~íáëÑáÉÇ=Äó=î=áë==
ì′ = Ñ (ñ I ì ) I==
ïÜáÅÜ=áë=~=Ñáêëí=çêÇÉê=ÇáÑÑÉêÉåíá~ä=Éèì~íáçåK=
299
CHAPTER 10. DIFFERENTIAL EQUATIONS
1176. aáÑÑÉêÉåíá~ä=bèì~íáçåë=ïáíÜ=ñ=jáëëáåÖ=
ó′′ = Ñ (ó I ó′) K==
pÉí= ì = ó′ K=páåÅÉ==
Çì Çì Çó
Çì
ó′′ =
=
= ì I==
Çñ Çó Çñ
Çó
ïÉ=Ü~îÉ=
Çì
ì
= Ñ (ó I ì ) I==
Çó
ïÜáÅÜ=áë=~=Ñáêëí=çêÇÉê=ÇáÑÑÉêÉåíá~ä=Éèì~íáçåK==
=
1177. cêÉÉ=råÇ~ãéÉÇ=sáÄê~íáçåë=
qÜÉ=ãçíáçå=çÑ=~=j~ëë=çå=~=péêáåÖ=áë=ÇÉëÅêáÄÉÇ=Äó=íÜÉ=Éèì~íáçå==
ã&ó& + âó = M I==
ïÜÉêÉ==
ã=áë=íÜÉ=ã~ëë=çÑ=íÜÉ=çÄàÉÅíI=
â=áë=íÜÉ=ëíáÑÑåÉëë=çÑ=íÜÉ=ëéêáåÖI=
ó=áë=Çáëéä~ÅÉãÉåí=çÑ=íÜÉ=ã~ëë=Ñêçã=ÉèìáäáÄêáìãK=
=
qÜÉ=ÖÉåÉê~ä=ëçäìíáçå=áë==
ó = ^ Åçë(ωM í − δ ) I==
ïÜÉêÉ==
^=áë=íÜÉ=~ãéäáíìÇÉ=çÑ=íÜÉ=Çáëéä~ÅÉãÉåíI=
Oπ
I=
ωM =áë=íÜÉ=ÑìåÇ~ãÉåí~ä=ÑêÉèìÉåÅóI=íÜÉ=éÉêáçÇ=áë= q =
ωM
δ =áë=éÜ~ëÉ=~åÖäÉ=çÑ=íÜÉ=Çáëéä~ÅÉãÉåíK=
qÜáë=áë=~å=Éñ~ãéäÉ=çÑ=ëáãéäÉ=Ü~êãçåáÅ=ãçíáçåK==
=
1178. cêÉÉ=a~ãéÉÇ=sáÄê~íáçåë=
ã&ó& + γó& + âó = M I=ïÜÉêÉ==
γ =áë=íÜÉ=Ç~ãéáåÖ=ÅçÉÑÑáÅáÉåíK==
qÜÉêÉ=~êÉ=P=Å~ëÉë=Ñçê=íÜÉ=ÖÉåÉê~ä=ëçäìíáçåW=
=
300
CHAPTER 10. DIFFERENTIAL EQUATIONS
`~ëÉ=NK γ O > Qâã =EçîÉêÇ~ãéÉÇF=
ó (í ) = ^É λNí + _É λ Oí I==
ïÜÉêÉ==
λN =
− γ − γ O − Q âã
− γ + γ O − Q âã
I= λ O =
K==
Oã
Oã
=
`~ëÉ=OK= γ O = Qâã EÅêáíáÅ~ääó=Ç~ãéÉÇF=
ó (í ) = (^ + _í )É λí I==
ïÜÉêÉ==
γ
λ=−
K=
Oã
=
`~ëÉ=PK= γ O < Qâã =EìåÇÉêÇ~ãéÉÇF==
ó (í ) = É
−
γ
í
Oã
^ Åçë(ωí − δ ) I=ïÜÉêÉ==
ω = Qâã − γ O K==
=
1179. páãéäÉ=mÉåÇìäìã=
Ç Oθ Ö
+ θ = M I=
Çí O i
ïÜÉêÉ= θ = áë= íÜÉ= ~åÖìä~ê= Çáëéä~ÅÉãÉåíI= i= áë= íÜÉ= éÉåÇìäìã=
äÉåÖíÜI=Ö=áë=íÜÉ=~ÅÅÉäÉê~íáçå=çÑ=Öê~îáíóK=
=
qÜÉ=ÖÉåÉê~ä=ëçäìíáçå=Ñçê=ëã~ää=~åÖäÉë= θ =áë==
Ö
i
θ(í ) = θã~ñ ëáå
í I=íÜÉ=éÉêáçÇ=áë= q = Oπ
K==
i
Ö
=
1180. oi`=`áêÅìáí=
Ç Of
Çf N
i O + o + f = s′(í ) = ωb M Åçë(ωí ) I=
Çí
Çí `
301
CHAPTER 10. DIFFERENTIAL EQUATIONS
ïÜÉêÉ=f=áë=íÜÉ=ÅìêêÉåí=áå=~å=oi`=ÅáêÅìáí=ïáíÜ=~å=~Å=îçäí~ÖÉ=
ëçìêÅÉ= s(í ) = b M ëáå(ωí ) K===
=
qÜÉ=ÖÉåÉê~ä=ëçäìíáçå=áë==
f(í ) = `NÉ êNí + ` OÉ êOí + ^ ëáå(ωí − ϕ) I=
ïÜÉêÉ==
Qi
− o ± oO −
` I==
ê NI O =
Oi
ωb M
^=
I==
O
N
 O

O O
 iω −  + o ω
`


N 
 iω
ϕ = ~êÅí~å
−
 I==
 o o`ω 
`N I= ` O =~êÉ=Åçåëí~åíë=ÇÉéÉåÇáåÖ=çå=áåáíá~ä=ÅçåÇáíáçåëK=
=
=
=
10.3. Some Partial Differential Equations
=
1181. qÜÉ=i~éä~ÅÉ=bèì~íáçå=
∂ Oì ∂ Oì
+
= M=
∂ñ O ∂ó O
~ééäáÉë=íç=éçíÉåíá~ä=ÉåÉêÖó=ÑìåÅíáçå= ì(ñ I ó ) ==Ñçê==~==ÅçåëÉêî~íáîÉ= ÑçêÅÉ= ÑáÉäÇ= áå= íÜÉ= ñó-éä~åÉK= m~êíá~ä= ÇáÑÑÉêÉåíá~ä= Éèì~íáçåë=çÑ=íÜáë=íóéÉ=~êÉ=Å~ääÉÇ=ÉääáéíáÅK==
=
1182. qÜÉ=eÉ~í=bèì~íáçå=
∂ O ì ∂ O ì ∂ì
+
=
=
∂ñ O ∂ó O ∂í
302
CHAPTER 10. DIFFERENTIAL EQUATIONS
~ééäáÉë= íç= íÜÉ= íÉãéÉê~íìêÉ= ÇáëíêáÄìíáçå= ì(ñ I ó ) = áå= íÜÉ= ñóéä~åÉ=ïÜÉå=ÜÉ~í=áë=~ääçïÉÇ=íç=Ñäçï=Ñêçã=ï~êã=~êÉ~ë=íç=Åççä=
çåÉëK=qÜÉ=Éèì~íáçåë=çÑ=íÜáë=íóéÉ=~êÉ=Å~ääÉÇ=é~ê~ÄçäáÅK==
=
1183. qÜÉ=t~îÉ=bèì~íáçå=
∂ Oì ∂ Oì ∂ Oì
+
=
=
∂ñ O ∂ó O ∂í O
~ééäáÉë=íç=íÜÉ=Çáëéä~ÅÉãÉåí= ì(ñ I ó ) =çÑ=îáÄê~íáåÖ=ãÉãÄê~åÉë=
~åÇ= çíÜÉê= ï~îÉ= ÑìåÅíáçåëK= qÜÉ= Éèì~íáçåë= çÑ= íÜáë= íóéÉ= ~êÉ=
Å~ääÉÇ=ÜóéÉêÄçäáÅK==
=
=
303
Chapter 11
Series
=
=
=
=
11.1 Arithmetic Series
=
fåáíá~ä=íÉêãW= ~N =
kíÜ=íÉêãW= ~ å =
aáÑÑÉêÉåÅÉ=ÄÉíïÉÉå=ëìÅÅÉëëáîÉ=íÉêãëW=Ç=
kìãÄÉê=çÑ=íÉêãë=áå=íÜÉ=ëÉêáÉëW=å=
pìã=çÑ=íÜÉ=Ñáêëí=å=íÉêãëW= på =
=
=
1184. ~ å = ~ å −N + Ç = ~ å −O + OÇ = K = ~N + (å − N)Ç =
=
1185. ~N + ~ å = ~ O + ~ å−N = K = ~ á + ~ å +N−á =
=
~ +~
1186. ~ á = á −N á +N =
O
=
~ +~
O~ + (å − N)Ç
1187. på = N å ⋅ å = N
⋅å=
O
O
=
=
=
=
=
304
CHAPTER 11. SERIES
11.2 Geometric Series
=
fåáíá~ä=íÉêãW= ~N =
kíÜ=íÉêãW= ~ å =
`çããçå=ê~íáçW=è=
kìãÄÉê=çÑ=íÉêãë=áå=íÜÉ=ëÉêáÉëW=å=
pìã=çÑ=íÜÉ=Ñáêëí=å=íÉêãëW= på =
pìã=íç=áåÑáåáíóW=p=
=
=
1188. ~ å = è~ å −N = ~Nè å −N =
=
1189. ~N ⋅ ~ å = ~ O ⋅ ~ å −N = K = ~ á ⋅ ~ å +N−á =
=
1190. ~ á = ~ á −N ⋅ ~ á +N =
=
~ å è − ~N ~N (è å − N)
1191. på =
=
=
è −N
è −N
=
~
1192. p = äáã på = N =
å →∞
N− è
cçê= è < N I=íÜÉ=ëìã=p=ÅçåîÉêÖÉë=~ë= å → ∞ K=
=
=
=
11.3 Some Finite Series
=
kìãÄÉê=çÑ=íÉêãë=áå=íÜÉ=ëÉêáÉëW=å=
=
=
305
CHAPTER 11. SERIES
1193. N + O + P + K + å =
å(å + N)
=
O
=
1194. O + Q + S + K + Oå = å(å + N) =
=
1195. N + P + R + K + (Oå − N) = å O =
=
1196. â + (â + N) + (â + O) + K + (â + å − N) =
=
1197. NO + OO + PO + K + å O =
å(Oâ + å − N)
=
O
å(å + N)(Oå + N)
=
S
=
 å(å + N) 
1198. NP + OP + PP + K + åP = 
=
 O 
=
å(Qå O − N)
O
O
O
O
1199. N + P + R + K + (Oå − N) =
=
P
=
P
1200. NP + PP + RP + K + (Oå − N) = å O (Oå O − N) =
=
N N N
N
1201. N + + + + K + å + K = O =
O Q U
O
=
N
N
N
N
1202.
+
+
+K+
+K = N=
N⋅ O O ⋅ P P ⋅ Q
å(å + N)
=
N N N
N
1203. N + + + + K +
+K = É =
(å − N)>
N> O> P>
=
=
=
O
306
CHAPTER 11. SERIES
11.4 Infinite Series
=
pÉèìÉåÅÉW= {~ å }=
cáêëí=íÉêãW= ~N =
kíÜ=íÉêãW= ~ å =
=
=
1204. fåÑáåáíÉ=pÉêáÉë=
∞
∑~
å =N
å
= ~N + ~ O + K + ~ å + K =
=
1205. kíÜ=m~êíá~ä=pìã=
å
på = ∑ ~ å = ~N + ~ O + K + ~ å =
å =N
=
1206. `çåîÉêÖÉåÅÉ=çÑ=fåÑáåáíÉ=pÉêáÉë=
∞
∑~
å =N
å
= i I=áÑ= äáã på = i =
å →∞
=
1207. kíÜ=qÉêã=qÉëí=
∞
•
fÑ=íÜÉ=ëÉêáÉë= ∑ ~ å áë=ÅçåîÉêÖÉåíI=íÜÉå= äáã ~ å = M K==
å→∞
å =N
•
fÑ= äáã ~ å ≠ M I=íÜÉå=íÜÉ=ëÉêáÉë=áë=ÇáîÉêÖÉåíK=
å→∞
=
=
=
11.5 Properties of Convergent Series
=
∞
∞
å =N
å =N
`çåîÉêÖÉåí=pÉêáÉëW= ∑ ~ å = ^ I= ∑ Äå = _ =
oÉ~ä=åìãÄÉêW=Å=
307
CHAPTER 11. SERIES
∞
∞
∞
å =N
å =N
å =N
1208. ∑ (~ å + Ä å ) = ∑ ~ å + ∑ Ä å = ^ + _ =
=
∞
∑ Å~
1209.
å =N
∞
å
= Å∑ ~ å = Å^ K==
å =N
=
=
=
11.6 Convergence Tests
=
1210. qÜÉ=`çãé~êáëçå=qÉëí=
∞
∞
å =N
∞
å =N
iÉí= ∑ ~ å =~åÇ= ∑ Äå =ÄÉ=ëÉêáÉë=ëìÅÜ=íÜ~í= M < ~ å ≤ Äå =Ñçê=~ää=åK==
•
•
∞
fÑ= ∑ Äå áë=ÅçåîÉêÖÉåí=íÜÉå= ∑ ~ å áë=~äëç=ÅçåîÉêÖÉåíK==
å =N
∞
∞
å =N
å =N
å =N
fÑ= ∑ ~ å áë=ÇáîÉêÖÉåí=íÜÉå= ∑ Äå áë=~äëç=ÇáîÉêÖÉåíK=
=
1211. qÜÉ=iáãáí=`çãé~êáëçå=qÉëí=
∞
∞
å =N
å =N
iÉí= ∑ ~ å =~åÇ= ∑ Äå =ÄÉ=ëÉêáÉë=ëìÅÜ=íÜ~í= ~ å =~åÇ= Äå =~êÉ=éçëáíáîÉ=Ñçê=~ää=åK==
∞
∞
~å
• fÑ= M < äáã
< ∞ = íÜÉå= ∑ ~ å = ~åÇ= ∑ Äå ~êÉ= ÉáíÜÉê= ÄçíÜ=
å →∞ Ä
å =N
å =N
å
ÅçåîÉêÖÉåí=çê=ÄçíÜ=ÇáîÉêÖÉåíK=
∞
∞
~å
• fÑ= äáã
= M =íÜÉå= ∑ Äå ÅçåîÉêÖÉåí=áãéäáÉë=íÜ~í= ∑ ~ å =áë=
å →∞ Ä
å =N
å =N
å
~äëç=ÅçåîÉêÖÉåíK=
308
CHAPTER 11. SERIES
∞
∞
~å
= ∞ =íÜÉå= ∑ Äå ÇáîÉêÖÉåí=áãéäáÉë=íÜ~í= ∑ ~ å =áë=
å →∞ Ä
å =N
å =N
å
~äëç=ÇáîÉêÖÉåíK=
fÑ= äáã
•
=
1212. é-ëÉêáÉë=
∞
N
=ÅçåîÉêÖÉë=Ñçê= é > N =~åÇ=ÇáîÉêÖÉë=Ñçê=
é
å =N å
M < é ≤ N K=
=
1213. qÜÉ=fåíÉÖê~ä=qÉëí=
iÉí= Ñ (ñ ) = ÄÉ= ~= ÑìåÅíáçå= ïÜáÅÜ= áë= ÅçåíáåìçìëI= éçëáíáîÉI= ~åÇ=
ÇÉÅêÉ~ëáåÖ=Ñçê=~ää= ñ ≥ N K=qÜÉ=ëÉêáÉë==
é-ëÉêáÉë= ∑
∞
∑ Ñ (å) = Ñ (N) + Ñ (O) + Ñ (P) + K + Ñ (å) + K =
å =N
∞
ÅçåîÉêÖÉë=áÑ= ∫ Ñ (ñ )Çñ ÅçåîÉêÖÉëI=~åÇ=ÇáîÉêÖÉë=áÑ=
N
å
∫ Ñ (ñ )Çñ → ∞ =~ë= å → ∞ K=
N
=
1214. qÜÉ=o~íáç=qÉëí=
∞
iÉí= ∑ ~ å =ÄÉ=~=ëÉêáÉë=ïáíÜ=éçëáíáîÉ=íÉêãëK=
å =N
∞
~ å +N
< N =íÜÉå= ∑ ~ å áë=ÅçåîÉêÖÉåíK=
å →∞ ~
å =N
å
•
fÑ= äáã
•
fÑ= äáã
•
∞
~ å +N
> N =íÜÉå= ∑ ~ å =áë=ÇáîÉêÖÉåíK=
å →∞ ~
å =N
å
∞
~
fÑ= äáã å +N = N = íÜÉå= ∑ ~ å = ã~ó= ÅçåîÉêÖÉ= çê= ÇáîÉêÖÉ= ~åÇ=
å →∞ ~
å =N
å
íÜÉ= ê~íáç= íÉëí= áë= áåÅçåÅäìëáîÉX= ëçãÉ= çíÜÉê= íÉëíë= ãìëí= ÄÉ=
ìëÉÇK==
=
309
CHAPTER 11. SERIES
1215. qÜÉ=oççí=qÉëí=
∞
iÉí= ∑ ~ å =ÄÉ=~=ëÉêáÉë=ïáíÜ=éçëáíáîÉ=íÉêãëK=
å =N
∞
•
•
•
fÑ= äáã å ~ å < N =íÜÉå= ∑ ~ å =áë=ÅçåîÉêÖÉåíK=
å →∞
å =N
∞
fÑ= äáã å ~ å > N =íÜÉå= ∑ ~ å =áë=ÇáîÉêÖÉåíK=
å →∞
å =N
∞
fÑ= äáã å ~ å = N =íÜÉå= ∑ ~ å =ã~ó=ÅçåîÉêÖÉ=çê=ÇáîÉêÖÉI=Äìí=
å →∞
å =N
åç=ÅçåÅäìëáçå=Å~å=ÄÉ=Çê~ïå=Ñêçã=íÜáë=íÉëíK=
=
=
=
11.7 Alternating Series
=
1216. qÜÉ=^äíÉêå~íáåÖ=pÉêáÉë=qÉëí=EiÉáÄåáò∞ë=qÜÉçêÉãF=
=
iÉí= {~ å }=ÄÉ=~=ëÉèìÉåÅÉ=çÑ=éçëáíáîÉ=åìãÄÉêë=ëìÅÜ=íÜ~í=
~ å+N < ~ å =Ñçê=~ää=åK=
äáã ~ å = M K==
å→∞
∞
qÜÉå= íÜÉ= ~äíÉêå~íáåÖ= ëÉêáÉë=
∑ (− N) ~
å =N
∞
å
å
= ~åÇ=
∑ (− N)
å =N
å −N
~å =
ÄçíÜ=ÅçåîÉêÖÉK====
=
1217. ^ÄëçäìíÉ=`çåîÉêÖÉåÅÉ=
∞
•
^= ëÉêáÉë=
∑~
å =N
å
= áë= ~ÄëçäìíÉäó= ÅçåîÉêÖÉåí= áÑ= íÜÉ= ëÉêáÉë=
∞
∑~
å =N
å
=áë=ÅçåîÉêÖÉåíK==
310
CHAPTER 11. SERIES
∞
fÑ=íÜÉ=ëÉêáÉë= ∑ ~ å áë=~ÄëçäìíÉäó=ÅçåîÉêÖÉåí=íÜÉå=áí=áë=Åçå-
•
å =N
îÉêÖÉåíK=
=
1218. `çåÇáíáçå~ä=`çåîÉêÖÉåÅÉ=
∞
^= ëÉêáÉë=
∑~
å =N
å
áë= ÅçåÇáíáçå~ääó= ÅçåîÉêÖÉåí= áÑ= íÜÉ= ëÉêáÉë= áë=
ÅçåîÉêÖÉåí=Äìí=áë=åçí=~ÄëçäìíÉäó=ÅçåîÉêÖÉåíK=
=
=
=
11.8 Power Series
=
oÉ~ä=åìãÄÉêëW=ñI= ñ M =
∞
∞
å =M
å =M
mçïÉê=ëÉêáÉëW= ∑ ~ å ñ å I= ∑ ~ å (ñ − ñ M ) =
å
tÜçäÉ=åìãÄÉêW=å=
o~Çáìë=çÑ=`çåîÉêÖÉåÅÉW=o=
=
1219. mçïÉê=pÉêáÉë=áå=ñ=
∞
∑~
å =M
å
ñ å = ~ M + ~Nñ + ~ O ñ O + K + ~ å ñ å + K =
=
1220. mçïÉê=pÉêáÉë=áå= (ñ − ñ M ) =
∞
∑ ~ (ñ − ñ )
å =M
å
å
M
= ~ M + ~ N (ñ − ñ M ) + ~ O ( ñ − ñ M ) + K + ~ å (ñ − ñ M ) + K
O
=
1221. fåíÉêî~ä=çÑ=`çåîÉêÖÉåÅÉ===
qÜÉ=ëÉí=çÑ=íÜçëÉ=î~äìÉë=çÑ=ñ=Ñçê=ïÜáÅÜ=íÜÉ=ÑìåÅíáçå=
∞
Ñ (ñ ) = ∑ ~ å (ñ − ñ M ) =áë=ÅçåîÉêÖÉåí=áë=Å~ääÉÇ==íÜÉ==áåíÉêî~ä=çÑ=
å
å =M
ÅçåîÉêÖÉåÅÉK=
311
å
CHAPTER 11. SERIES
1222. o~Çáìë=çÑ=`çåîÉêÖÉåÅÉ=
fÑ=íÜÉ=áåíÉêî~ä=çÑ=ÅçåîÉêÖÉåÅÉ=áë== (ñ M − oI ñ M + o ) ==Ñçê==ëçãÉ=
o ≥ M I=íÜÉ=o=áë=Å~ääÉÇ==íÜÉ=ê~Çáìë=çÑ=ÅçåîÉêÖÉåÅÉK==fí=áë=ÖáîÉå=
~ë=
~
N
=çê= o = äáã å K==
o = äáã
å →∞ å ~
å →∞ ~
å +N
å
=
=
=
11.9 Differentiation and Integration of Power
Series
=
`çåíáåìçìë=ÑìåÅíáçåW= Ñ (ñ ) =
∞
mçïÉê=ëÉêáÉëW= ∑ ~ å ñ å =
å =M
tÜçäÉ=åìãÄÉêW=å=
o~Çáìë=çÑ=`çåîÉêÖÉåÅÉW=o=
=
=
1223. aáÑÑÉêÉåíá~íáçå=çÑ=mçïÉê=pÉêáÉë=
∞
iÉí= Ñ (ñ ) = ∑ ~ å ñ å = ~ M + ~ Nñ + ~ O ñ O + K =Ñçê= ñ < o K==
å =M
qÜÉåI= = Ñçê= ñ < o I= Ñ (ñ ) = áë= ÅçåíáåìçìëI= íÜÉ= ÇÉêáî~íáîÉ= Ñ ′(ñ ) =
Éñáëíë=~åÇ=
Ç
Ç
Ç
Ñ ′(ñ ) = ~ M + ~ Nñ + ~ O ñ O + K =
Çñ
Çñ
Çñ
∞
= ~N + O~ O ñ + P~ P ñ O + K = ∑ å~ å ñ å −N K=
å =N
=
=
=
312
CHAPTER 11. SERIES
1224. fåíÉÖê~íáçå=çÑ=mçïÉê=pÉêáÉë=
∞
iÉí= Ñ (ñ ) = ∑ ~ å ñ å = ~ M + ~ Nñ + ~ O ñ O + K =Ñçê= ñ < o K==
å =M
qÜÉåI==Ñçê= ñ < o I=íÜÉ=áåÇÉÑáåáíÉ=áåíÉÖê~ä= ∫ Ñ (ñ )Çñ Éñáëíë=~åÇ==
∫ Ñ (ñ )Çñ = ∫ ~ Çñ + ∫ ~ ñÇñ + ∫ ~ ñ Çñ + K =
O
M
= ~ M ñ + ~N
N
O
∞
ñO
ñP
ñ å +N
+ ~O + K = ∑ ~å
+ ` K=
O
P
å +N
å =M
=
=
=
11.10 Taylor and Maclaurin Series
=
tÜçäÉ=åìãÄÉêW=å=
aáÑÑÉêÉåíá~ÄäÉ=ÑìåÅíáçåW= Ñ (ñ ) =
oÉã~áåÇÉê=íÉêãW= o å =
=
=
1225. q~óäçê=pÉêáÉë=
∞
(ñ − ~ )å = Ñ (~ ) + Ñ ′(~ )(ñ − ~ ) + Ñ ′′(~ )(ñ − ~ )O + K
Ñ (ñ ) = ∑ Ñ (å ) (~ )
å>
O>
å=M
==
+
Ñ (å ) (~ )(ñ − ~ )
+ o å K==
å>
å
=
1226. qÜÉ=oÉã~áåÇÉê=^ÑíÉê=åHN=qÉêãë=áë=ÖáîÉå=Äó==
å +N
Ñ (å +N) (ξ )(ñ − ~ )
I=== ~ < ξ < ñ K=
oå =
(å + N)>
=
1227. j~Åä~ìêáå=pÉêáÉë=
313
CHAPTER 11. SERIES
∞
Ñ (ñ ) = ∑ Ñ (å ) (M )
å =M
ñå
Ñ ′′(M)ñ O
Ñ (å ) (M )ñ å
= Ñ (M) + Ñ ′(M)ñ +
+K+
+ oå
å>
O>
å>
=
=
=
=
11.11 Power Series Expansions for Some
Functions
=
tÜçäÉ=åìãÄÉêW=å=
oÉ~ä=åìãÄÉêW=ñ=
=
=
ñO ñP
ñå
1228. É ñ = N + ñ +
+
+K+
+ K=
O> P>
å>
=
O
P
(ñ äå ~ )å + K =
ñ äå ~ (ñ äå ~ ) (ñ äå ~ )
1229. ~ ñ = N +
+
+
+K+
N>
O>
P>
å>
=
å
(
ñ O ñP ñ Q
− N) ñ å+N
1230. äå(N + ñ ) = ñ − + − + K +
± K I= − N < ñ ≤ N K=
O P
Q
å +N
=


ñP ñR ñT
N+ ñ
= O ñ + + + + K I= ñ < N K=
1231. äå
N− ñ
P
R
T


=
 ñ − N N  ñ − N P N  ñ − N  R 
1232. äå ñ = O
+ 
 K I= ñ > M K=
 + 
 ñ + N P  ñ + N  R  ñ + N  
=
(− N)å ñ Oå ± K =
ñO ñQ ñS
1233. Åçë ñ = N − + − + K +
(Oå )>
O> Q> S>
=
314
CHAPTER 11. SERIES
(− N) ñ Oå+N ± K =
ñP ñR ñT
1234. ëáå ñ = ñ − + − + K +
(Oå + N)>
P> R> T>
=
ñ P Oñ R NT ñ T SOñ V
π
1235. í~å ñ = ñ + +
+
+
+ K I= ñ < K=
O
P NR
PNR OUPR
=

N  ñ ñ P Oñ R Oñ T
1236. Åçí ñ = −  + +
+
+ K I= ñ < π K=
ñ  P QR VQR QTOR

=
ñ P N ⋅ Pñ R
N ⋅ P ⋅ RK (Oå − N)ñ Oå +N
1237. ~êÅëáå ñ = ñ +
+
+K+
+ K I=
O⋅P O⋅ Q ⋅R
O ⋅ Q ⋅ SK (Oå )(Oå + N)
ñ < N K=
=

π 
ñ P N ⋅ Pñ R
N ⋅ P ⋅ RK (Oå − N)ñ Oå +N
+
+K+
+ KI
1238. ~êÅÅçë ñ = −  ñ +
O 
O⋅P O⋅Q ⋅R
O ⋅ Q ⋅ SK (Oå )(Oå + N)

å
ñ < N K=
=
1239. ~êÅí~å ñ = ñ −
(− N) ñ Oå+N ± K I= ñ ≤ N K=
ñP ñR ñT
+ − +K+
P
R T
Oå + N
å
=
1240. ÅçëÜ ñ = N +
ñO ñQ ñS
ñ Oå
+
+
+K+
+ K=
(Oå )>
O> Q> S>
=
1241. ëáåÜ ñ = ñ +
ñP ñR ñT
ñ O å +N
+
+
+K+
+ K=
(Oå + N)>
P> R> T>
=
=
=
=
=
315
CHAPTER 11. SERIES
11.12 Binomial Series
=
tÜçäÉ=åìãÄÉêëW=åI=ã=
oÉ~ä=åìãÄÉêW=ñ=
`çãÄáå~íáçåëW= å ` ã =
=
=
å
1242. (N + ñ ) = N + å`Nñ + å` O ñ O + K + ã ` å ñ ã + K + ñ å =
=
å(å − N)K[å − (ã − N)]
1243. å ` ã =
I= ñ < N K=
ã>
=
N
1244.
= N − ñ + ñ O − ñ P + K I= ñ < N K=
N+ ñ
=
N
1245.
= N + ñ + ñ O + ñ P + K I= ñ < N K=
N− ñ
=
ñ ñ O N ⋅ Pñ P N ⋅ P ⋅ Rñ Q
1246. N + ñ = N + −
+
−
+ K I= ñ ≤ N K=
O O⋅Q O⋅Q ⋅S O⋅Q ⋅S⋅U
=
ñ N ⋅ Oñ O N ⋅ O ⋅ Rñ P N ⋅ O ⋅ R ⋅ Uñ Q
1247. P N + ñ = N + −
+
−
+ K I= ñ ≤ N K=
P P⋅S
P⋅S⋅V
P ⋅ S ⋅ V ⋅ NO
=
=
=
11.13 Fourier Series
=
fåíÉÖê~ÄäÉ=ÑìåÅíáçåW= Ñ (ñ ) =
cçìêáÉê=ÅçÉÑÑáÅáÉåíëW= ~ M I= ~ å I= Äå =
tÜçäÉ=åìãÄÉêW=å==
316
CHAPTER 11. SERIES
∞
~
1248. Ñ (ñ ) = M + ∑ (~ å Åçë åñ + Äå ëáå åñ ) =
O
å =N
=
π
N
1249. ~ å = ∫ Ñ (ñ )Åçë åñ Çñ ==
π −π
=
π
N
Ä
=
Ñ (ñ )ëáå åñ Çñ ==
1250. å
π −∫π
=
=
317
Chapter 12
Probability
=
=
=
=
12.1 Permutations and Combinations
=
mÉêãìí~íáçåëW= å mã =
`çãÄáå~íáçåëW= å ` ã =
tÜçäÉ=åìãÄÉêëW=åI=ã=
=
=
1251. c~Åíçêá~ä=
å> = N ⋅ O ⋅ PK(å − O)(å − N)å =
M> = N =
=
1252. å må = å> =
=
å>
1253. å mã =
=
(å − ã )>
=
1254. _áåçãá~ä=`çÉÑÑáÅáÉåí=
å
å>
å
=
` ã =   =
 ã  ã> (å − ã )>
=
1255. å ` ã = å ` å −ã =
=
1256. å ` ã + å ` ã +N = å +N ` ã +N =
=
318
CHAPTER 12. PROBABILITY
1257. å ` M + å `N + å ` O + K + å ` å = Oå =
=
1258. m~ëÅ~ä∞ë=qêá~åÖäÉ=
=
oçï=M=
=
=
=
=
=
=
oçï=N=
=
=
=
=
=
N=
oçï=O=
=
=
=
=
N=
=
oçï=P=
=
=
=
N=
=
P=
oçï=Q=
=
=
N=
=
Q=
=
oçï=R=
=
N=
=
R=
= NM=
oçï=S=
N=
=
S=
= NR= =
=
=
=
N=
=
=
=
N=
=
O=
=
N=
=
P=
=
S=
=
Q=
= NM= =
OM= = NR=
12.2 Probability Formulas
=
bîÉåíëW=^I=_=
mêçÄ~ÄáäáíóW=m=
o~åÇçã=î~êá~ÄäÉëW=uI=vI=w=
s~äìÉë=çÑ=ê~åÇçã=î~êá~ÄäÉëW=ñI=óI=ò=
bñéÉÅíÉÇ=î~äìÉ=çÑ=uW= µ =
^åó=éçëáíáîÉ=êÉ~ä=åìãÄÉêW= ε ==
pí~åÇ~êÇ=ÇÉîá~íáçåW= σ =
s~êá~åÅÉW= σ O =
aÉåëáíó=ÑìåÅíáçåëW= Ñ (ñ ) I= Ñ (í ) =
=
=
1259. mêçÄ~Äáäáíó=çÑ=~å=bîÉåí=
ã
m(^ ) = I==
å
ïÜÉêÉ==
ã=áë=íÜÉ=åìãÄÉê=çÑ=éçëëáÄäÉ=éçëáíáîÉ=çìíÅçãÉëI==
å=áë=íÜÉ=íçí~ä=åìãÄÉê=çÑ=éçëëáÄäÉ=çìíÅçãÉëK=
=
319
=
=
=
N=
=
R=
=
=
=
=
=
N=
=
S=
=
=
=
=
=
N=
=
=
=
=
=
=
=
N=
CHAPTER 12. PROBABILITY
1260. o~åÖÉ=çÑ=mêçÄ~Äáäáíó=s~äìÉë=
M ≤ m(^ ) ≤ N =
=
1261. `Éêí~áå=bîÉåí=
m( ^ ) = N =
=
1262. fãéçëëáÄäÉ=bîÉåí=
m( ^ ) = M =
=
1263. `çãéäÉãÉåí=
m(^ ) = N − m(^ ) =
=
1264. fåÇÉéÉåÇÉåí=bîÉåíë=
m(^ L _ ) = m(^ ) I==
m(_ L ^ ) = m(_ ) =
=
1265. ^ÇÇáíáçå=oìäÉ=Ñçê=fåÇÉéÉåÇÉåí=bîÉåíë=
m(^ ∪ _ ) = m(^ ) + m(_ ) =
=
1266. jìäíáéäáÅ~íáçå=oìäÉ=Ñçê=fåÇÉéÉåÇÉåí=bîÉåíë=
m(^ ∩ _ ) = m(^ ) ⋅ m(_ ) =
=
1267. dÉåÉê~ä=^ÇÇáíáçå=oìäÉ=
m(^ ∪ _ ) = m(^ ) + m(_ ) − m(^ ∩ _ ) I==
ïÜÉêÉ==
^ ∪ _ =áë=íÜÉ=ìåáçå=çÑ=ÉîÉåíë=^=~åÇ=_I==
^ ∩ _ =áë=íÜÉ=áåíÉêëÉÅíáçå=çÑ=ÉîÉåíë=^=~åÇ=_K=
=
1268. `çåÇáíáçå~ä=mêçÄ~Äáäáíó=
m(^ ∩ _ )
m( ^ L _ ) =
=
m(_ )
=
1269. m(^ ∩ _ ) = m(_ ) ⋅ m(^ L _ ) = m(^ ) ⋅ m(_ L ^ ) =
320
CHAPTER 12. PROBABILITY
1270. i~ï=çÑ=qçí~ä=mêçÄ~Äáäáíó=
ã
m(^ ) = ∑ m(_ á )m(^ L _ á ) I==
á =N
ïÜÉêÉ= _ á =áë=~=ëÉèìÉåÅÉ=çÑ=ãìíì~ääó=ÉñÅäìëáîÉ=ÉîÉåíëK==
=
1271. _~óÉë∞=qÜÉçêÉã=
m(^ L _ ) ⋅ m(_ )
m(_ L ^ ) =
=
m(^ )
=
1272. _~óÉë∞=cçêãìä~=
m(_ ) ⋅ m(^ L _ á )
m(_ á L ^ ) = ã á
I==
∑ m(_ á ) ⋅ m(^ L _ á )
â =N
ïÜÉêÉ==
_ á =áë=~=ëÉí=çÑ=ãìíì~ääó=ÉñÅäìëáîÉ=ÉîÉåíë=EÜóéçíÜÉëÉëFI=
^ =áë=íÜÉ=Ñáå~ä=ÉîÉåíI==
m(_ á ) =~êÉ=íÜÉ=éêáçê=éêçÄ~ÄáäáíáÉëI=
m(_ á L ^ ) =~êÉ=íÜÉ=éçëíÉêáçê=éêçÄ~ÄáäáíáÉëK=
=
1273. i~ï=çÑ=i~êÖÉ=kìãÄÉêë=
p

m å − µ ≥ ε  → M =~ë= å → ∞ I==
 å

p

m å − µ < ε  → N =~ë= å → ∞ I==
 å

ïÜÉêÉ==
på =áë=íÜÉ=ëìã=çÑ=ê~åÇçã=î~êá~ÄäÉëI=
å =áë=íÜÉ=åìãÄÉê=çÑ=éçëëáÄäÉ=çìíÅçãÉëK=
=
1274. `ÜÉÄóëÜÉî=fåÉèì~äáíó=
s(u )
m( u − µ ≥ ε ) ≤ O I==
ε
ïÜÉêÉ= s(u ) =áë=íÜÉ=î~êá~åÅÉ=çÑ=uK=
321
CHAPTER 12. PROBABILITY
1275. kçêã~ä=aÉåëáíó=cìåÅíáçå=
( ñ −µ ) O
−
N
O
ϕ(ñ ) =
É Oσ I==
σ Oπ
ïÜÉêÉ=ñ=áë=~=é~êíáÅìä~ê=çìíÅçãÉK=
=
1276. pí~åÇ~êÇ=kçêã~ä=aÉåëáíó=cìåÅíáçå=
O
N − òO
É =
ϕ(ò ) =
Oπ
^îÉê~ÖÉ=î~äìÉ= µ = M I=ÇÉîá~íáçå= σ = N K=
=
=
=====
=
Figure 210.
=
1277. pí~åÇ~êÇ=w=s~äìÉ=
u−µ
w=
=
σ
=
1278. `ìãìä~íáîÉ=kçêã~ä=aáëíêáÄìíáçå=cìåÅíáçå=
ñ
−
N
c(ñ ) =
É
∫
σ Oπ −∞
( í −µ ) O
OσO
Çí I==
322
CHAPTER 12. PROBABILITY
ïÜÉêÉ==
ñ=áë=~=é~êíáÅìä~ê=çìíÅçãÉI==
í =áë=~=î~êá~ÄäÉ=çÑ=áåíÉÖê~íáçåK=
=
 α −µ β−µ
1279. m(α < u < β ) = c
 I=
 − c
 σ   σ 
ïÜÉêÉ=
u=áë=åçêã~ääó=ÇáëíêáÄìíÉÇ=ê~åÇçã=î~êá~ÄäÉI=
c=áë=Åìãìä~íáîÉ=åçêã~ä=ÇáëíêáÄìíáçå=ÑìåÅíáçåI==
m(α < u < β ) =áë=áåíÉêî~ä=éêçÄ~ÄáäáíóK=
=
ε
1280. m( u − µ < ε ) = Oc  I==
σ
ïÜÉêÉ==
u=áë=åçêã~ääó=ÇáëíêáÄìíÉÇ=ê~åÇçã=î~êá~ÄäÉI=
c=áë=Åìãìä~íáîÉ=åçêã~ä=ÇáëíêáÄìíáçå=ÑìåÅíáçåK=
=
1281. `ìãìä~íáîÉ=aáëíêáÄìíáçå=cìåÅíáçå=
ñ
c(ñ ) = m(u < ñ ) = ∫ Ñ (í )Çí I==
−∞
ïÜÉêÉ=í=áë=~=î~êá~ÄäÉ=çÑ=áåíÉÖê~íáçåK=
=
1282. _Éêåçìääá=qêá~äë=mêçÅÉëë=
µ = åé = I= σ O = åéè I==
ïÜÉêÉ==
å =áë=~=ëÉèìÉåÅÉ=çÑ=ÉñéÉêáãÉåíëI==
é =áë=íÜÉ=éêçÄ~Äáäáíó=çÑ=ëìÅÅÉëë=çÑ=É~ÅÜ=ÉñéÉêáãÉåíëI=
è =áë=íÜÉ=éêçÄ~Äáäáíó=çÑ=Ñ~áäìêÉI= è = N − é K=
=
1283. _áåçãá~ä=aáëíêáÄìíáçå=cìåÅíáçå=======
 å
Ä(åI éI è ) =   é â è å − â I==
â
323
CHAPTER 12. PROBABILITY
µ = åé I= σ O = åéè I=
Ñ (ñ ) = (è + éÉ ñ ) I==
ïÜÉêÉ==
å=áë=íÜÉ=åìãÄÉê=çÑ=íêá~äë=çÑ=ëÉäÉÅíáçåëI=
é=áë=íÜÉ=éêçÄ~Äáäáíó=çÑ=ëìÅÅÉëëI=
è=áë=íÜÉ=éêçÄ~Äáäáíó=çÑ=Ñ~áäìêÉI= è = N − é K=
=
1284. dÉçãÉíêáÅ=aáëíêáÄìíáçå=
m(q = à) = è à−Né I==
N
è
µ = I= σ O = O I==
é
é
ïÜÉêÉ==
q=áë=íÜÉ=Ñáêëí=ëìÅÅÉëëÑìä=ÉîÉåí=áë=íÜÉ=ëÉêáÉëI=
à=áë=íÜÉ=ÉîÉåí=åìãÄÉêI=
é=áë=íÜÉ=éêçÄ~Äáäáíó=íÜ~í=~åó=çåÉ=ÉîÉåí=áë=ëìÅÅÉëëÑìäI==
è=áë=íÜÉ=éêçÄ~Äáäáíó=çÑ=Ñ~áäìêÉI= è = N − é K=
=
1285. mçáëëçå=aáëíêáÄìíáçå=
λâ −λ
m(u = â ) ≈ É I= λ = åé I==
â>
O
µ = λ I= σ = λ I==
ïÜÉêÉ==
λ =áë=íÜÉ=ê~íÉ=çÑ=çÅÅìêêÉåÅÉI=
â=áë=íÜÉ=åìãÄÉê=çÑ=éçëáíáîÉ=çìíÅçãÉëK=
=
1286. aÉåëáíó=cìåÅíáçå==
å
Ä
m(~ ≤ u ≤ Ä) = ∫ Ñ (ñ )Çñ ==
~
=
1287. `çåíáåìçìë=råáÑçêã=aÉåëáíó=
~+Ä
N
I==
I= µ =
Ñ=
Ä−~
O
324
CHAPTER 12. PROBABILITY
ïÜÉêÉ=Ñ=áë=íÜÉ=ÇÉåëáíó=ÑìåÅíáçåK=
=
1288. bñéçåÉåíá~ä=aÉåëáíó=cìåÅíáçå=
Ñ (í ) = λÉ −λí I= µ = λ I= σ O = λO =
ïÜÉêÉ=í=áë=íáãÉI= λ =áë=íÜÉ=Ñ~áäìêÉ=ê~íÉK=
=
1289. bñéçåÉåíá~ä=aáëíêáÄìíáçå=cìåÅíáçå=
c(í ) = N − É −λí I==
ïÜÉêÉ=í=áë=íáãÉI= λ =áë=íÜÉ=Ñ~áäìêÉ=ê~íÉK=
=
1290. bñéÉÅíÉÇ=s~äìÉ=çÑ=aáëÅêÉíÉ=o~åÇçã=s~êá~ÄäÉë=
å
µ = b(u ) = ∑ ñ á éá I==
á =N
ïÜÉêÉ= ñ á =áë=~=é~êíáÅìä~ê=çìíÅçãÉI= é á =áë=áíë=éêçÄ~ÄáäáíóK=
=
1291. bñéÉÅíÉÇ=s~äìÉ=çÑ=`çåíáåìçìë=o~åÇçã=s~êá~ÄäÉë=
∞
µ = b(u ) = ∫ ñÑ (ñ )Çñ ==
−∞
=
1292. mêçéÉêíáÉë=çÑ=bñéÉÅí~íáçåë=
b(u + v ) = b(u ) + b(v ) I==
b(u − v ) = b(u ) − b(v ) I=
b(Åu ) = Åb(u ) I==
b(uv ) = b(u ) ⋅ b(v ) I==
ïÜÉêÉ=Å=áë=~=Åçåëí~åíK=
=
1293. b(u O ) = s(u ) + µ O I==
ïÜÉêÉ==
µ = b(u ) =áë=íÜÉ=ÉñéÉÅíÉÇ=î~äìÉI===
s(u ) =áë=íÜÉ=î~êá~åÅÉK=
=
=
=
325
CHAPTER 12. PROBABILITY
1294. j~êâçî=fåÉèì~äáíó=
b(u )
m(u > â ) ≤
I==
â
ïÜÉêÉ=â=áë=ëçãÉ=Åçåëí~åíK=
=
1295. s~êá~åÅÉ=çÑ=aáëÅêÉíÉ=o~åÇçã=s~êá~ÄäÉë=
[
]
å
σ O = s(u ) = b (u − µ ) = ∑ (ñ á − µ ) éá I==
O
O
á =N
ïÜÉêÉ==
ñ á =áë=~=é~êíáÅìä~ê=çìíÅçãÉI=
é á =áë=áíë=éêçÄ~ÄáäáíóK=
=
1296. s~êá~åÅÉ=çÑ=`çåíáåìçìë=o~åÇçã=s~êá~ÄäÉë=
[
] ∫ (ñ − µ) Ñ (ñ )Çñ ==
σ = s(u ) = b (u − µ ) =
O
O
∞
O
−∞
=
1297. mêçéÉêíáÉë=çÑ=s~êá~åÅÉ=
s(u + v ) = s(u ) + s(v ) I==
s(u − v ) = s(u ) + s(v ) I=
s(u + Å ) = s(u ) I=
s(Åu ) = Å O s(u ) I=
ïÜÉêÉ=Å=áë=~=Åçåëí~åíK=
=
1298. pí~åÇ~êÇ=aÉîá~íáçå=
[
]
a(u ) = s(u ) = b (u − µ ) =
=
1299. `çî~êá~åÅÉ=
Åçî (uI v ) = b[(u − µ(u ))(v − µ(v ))] = b(uv ) − µ(u )µ(v ) I==
ïÜÉêÉ==
u =áë=ê~åÇçã=î~êá~ÄäÉI==
s(u ) =áë=íÜÉ=î~êá~åÅÉ=çÑ=uI==
µ =áë=íÜÉ=ÉñéÉÅíÉÇ=î~äìÉ=çÑ=u=çê=vK=
O
326
CHAPTER 12. PROBABILITY
=
1300. `çêêÉä~íáçå=
Åçî (uI v )
I==
ρ(uI v ) =
s(u )s(v )
ïÜÉêÉ==
s(u ) =áë=íÜÉ=î~êá~åÅÉ=çÑ=uI==
s(v ) =áë=íÜÉ=î~êá~åÅÉ=çÑ=vK=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
327
=
iççâ=Ñçê=çíÜÉê=Ü~åÇÄççâë=~åÇ=ëçäîÉÇ=éêçÄäÉã=ÖìáÇÉë=~í=
ïïïKã~íÜ-ÉÄççâëKÅçãK=
=
=
=
=