DM6 corrige

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Corrigé DM Optique physique : Mesure de la distance angulaire entre les
composantes d'une étoile double
pour le lundi 20/03
1
Séparation angulaire des composantes d'une étoile double
On prend l'exemple de 61 Cygni présenté dans l'introduction.
Le rayon des étoiles est de l'ordre du rayon du soleil, soit 106 km. Le rayon de la Terre est de l'ordre de 104 km.
La distance qui sépare les deux étoiles est de 100 u.a, soit de l'ordre de 1010 km. La distance entre les étoiles et la Terre est
de 11,4 années-lumière, soit de l'ordre de 1015 km.
Les tailles des objets considérés sont donc (très) négligeables devant les distances qui les séparent. Ces objets peuvent donc
être considérés comme ponctuels.
2) An de pouvoir déterminer la distance entre les deux étoiles à partir de leur séparation angulaire, il est nécessaire de faire
une hypothèse sur la disposition des étoiles dans l'espace. Nous ferons ici l'hypothèse suivante : La droite (AB) passant par le
centre des deux étoiles est perpendiculaire à la direction d'observation de l'étoile A, c'est à dire à la droite (TA). Ainsi :
1)
B
ε
A
De plus << π/2. En eet est de l'ordre de 1000 , et 100 =
T
1o
π 1
=
rad = 4, 85.10−6 rad. On a donc :
360
180 360
tan() ≈ d'où : AB = T A (avec en RADIANS ! ! !)
Il est donc nécessaire de connaitre la distance de l'étoile double à la terre (T A ≈ T B ) pour appliquer cette méthode.
Critique de la méthode : Dans le cas ou la disposition des étoiles est diérente de celle supposée ci-dessus, cette méthode va
sous-estimer la distance AB .
B
ε
A
T
Cette méthode permet donc d'estimer la distance minimale entre les deux étoiles, mais il est possible qu'elles soient beaucoup
plus éloignées en réalité.
3) On utilise le résultat précédent dans le cas de de Sirius :
On prend TA = 8,6 a.l. = 5,45.105 u.a., et = S = 8, 100 = 3, 9.10−5 rad.
On obtient : AB = 21, 3 u.a.
1
2
Limite de résolution d'un instrument d'optique : Application à l'observation
d'étoiles doubles.
1.1)
La source étant situé à l'inni et situé sur l'axe
optique, les rayons arrivent parallèles entre eux
et parallèles à l'axe optique. Ils convergent donc
aux foyer image F 0 de la lentille.
F'
(D)
f'
(E)
(L)
1.2) Le diaphragme permet de ne sélectionner que les rayon proches de l'axe optique, et ainsi d'utiliser la lentille dans les
conditions de Gauss, ce qui améliore son stigmatisme.
Dans l'oeil humain, c'est la pupille qui joue le rôle de diaphragme.
1.3)
a
θ
θ
θ
θ
O
F'
A cause de la diraction, les rayons lumineux
du faisceau incident sont déviés d'un angle θ,
comme indiqué sur le schéma ci-contre. L'angle
θ est donné par :
d
sin(θ) =
Pour déterminer où les rayons arrivent sur
l'écran, on trace les rayons ctifs parallèles à ces
rayons passant par le centre optique O de la lentille (voir schéma).
(D)
f'
(E)
(L)
D'après le schéma, il est évident que : d = 2f 0 tan(θ)
Dans la limité des petits angles, on a de plus : sin θ ≈ θ et tan θ ≈ θ
On a donc nalement :
d=2
a
λ
f 0λ
a
On prend f 0 = 22 mm, la distance focale du cristallin, a = 4 mm, le diamètre de la pupille de l'oeil humain, et λ = 600 nm,
la longueur d'onde moyenne du visible. On obtient :
1.4)
d = 6, 6µm
2.1)
B
A
ε
O
F'
ε
D
C
(D)
f'
(L)
On a donc : D = F 0 C = f 0 tan(). Dans la limite des petits angles : D ≈ f 0
2
(E)
Les étoiles étant situées à l'inni, les rayon qui en sont issus
sont parallèles. A étant sur l'axe
optique, les rayons issus de A
convergent au foyer image F 0 de
la lentille. Les rayons issus de B
sont inclinés d'un angle avec
l'axe otique, ils convergent donc
en C (voir schéma).
2.2)
Les taches sont séparées de D = f 0 et ont un rayon r = d/2 = λf 0 /a. Elles ne se superposent pas si D > 2r, d'où :
f 0 > 2
λ
λf 0
⇔ >2
a
a
Cette condition doit être remplie pour distinguer les deux étoiles, c'est-à-dire qu'elle forment deux images distinctes sur
l'écran du système d'observation.
Pour l'oeil humain : min = 2, 4.10−4 rad = 50, 300
Les séparation angulaires des composantes de Sirius et de 61 Cygni sont respectivement S = 8, 100 et C = 31, 100 . Donc
C < min et S < min , ainsi les composantes de ces étoiles doubles ne peuvent pas être distinguées à l'oeil nu.
2.3)
3.2)
3.1)
α
F'1=F2
O1
F'1=F2
α
O2
O1
α
α
L1
h
O2
α'
α'
I
L1
L2
L2
3.3) On considère la gure de la question 3.2 : les rayons issus de l'étoile étant parallèles, ils convergent au point I , situé dans
le plan focal image de (L1). Comme le plan focale image de (L1) est confondu avec le plan focal objet de (L2), les rayons issus
de I ressortent parallèles entre eux. On a donc :
tan(α) =
F10 I
h
= 0
O1 f10
f1
tan(α0 )
et
tan(α0 ) =
F2 I
h
= 0
F2 O2
f2
f0
On en déduit h = f10 tan(α) = f20 tan(α0 ), d'où :
= 10
tan(α)
f2
Donc, dans l'approximation des petits exemples :
G=
3.4)
α0
f0
= 10
α
f2
On note 0C la séparation angulaire des composantes de 61 Cygni, observées à travers la lunette :
0C = GC = 153500 = 250 3500
On note 0S la séparation angulaire des composantes de Sirius, observées à travers la lunette :
0S = GS = 40500 = 60 4500
Ces séparations angulaires apparentes sont bien supérieures à la résolution angulaire de l'÷il, calculée précédemment (min =
50, 300 ). On devrait donc pouvoir distinguer les composantes de ces deux étoiles doubles à l'aide de cette lunette.
D'après la formule min = 1.22λ/a, et en prenant λ = 600 nm et a = 10 cm (diamètre de l'entrée de la lunette), la résolution
angulaire de la lunette est :
3.5)
lunette
= 200
min
La résolution angulaire lunette
de la lunette est donc inférieure à la séparation angulaire des composantes de 61 Cygni :
min
Ainsi cette lunette permet bien de distinguer les composantes de 61 Cygni.
De même pour Sirius : lunette
< S = 8, 100 . Cette lunette permet également de distinguer les composantes de
min
Sirius.
L'intérêt de construire de grands téléscopes est de réduire la résolution angulaire de ceux-ci : On augmente a
pour diminuer min . On peut ainsi distinguer plus d'objets dans le ciel et obtenir des images plus précises.
lunette
< C = 31, 100 .
min
3
3
Mesure de la séparation angulaire des composantes d'une étoile double par
interférométrie
Les deux étoiles sont des sources primaires distinctes, elles ne sont donc pas cohérentes entre elles. Pour calculer l'éclairement
sur l'écran il faudra donc sommer les éclairements produits par chacune des étoiles.
2.a) Les rayons issus de S1 et S2 qui convergent en M sont parallèles à (O1 M ) :
1)
2.b)
On cherche à calculer :
δ(M ) = [AM ]2 − [AM ]1
On introduit sur le schéma de la question précédente le point H (projeté orthogonal de S1 sur le rayon allant de A à S2 ) et
le point I , (projeté orthogonal de de S1 sur le rayon allant de S2 à M ). On décompose alors les chemins optiques :
[AM ]1 = [AS1 ] + [S1 M ]
[AM ]2 = [AH] + [HS2 ] + [S2 I] + [IM ]
De plus, S1 et I appartiennent à la même surface d'onde issue de A donc : [AS1 ] = [AH]
Et d'après le principe du retour inverse de la lumière :[S1 M ] = [IM ]
D'où nalement :
δ(M ) = [HS2 ] + [S2 I]
⇔ δ(M ) = nair HS2 + nair S2 I
⇔ δ(M ) = HS2 + S2 I
(car on prend nair = 1)
⇔ δ(M ) = e sin( ) + e sin(θ)
2
x
x
Et tan(θ) = 0 , d'où dans la limite des petits angles : tan(θ) ≈ 0 , et sin(θ) ≈ tan(θ) ≈ θ
f
f
2
On a obtient donc : δ(M ) = e + e
x
f0
2.c)
On en déduit l'éclairement à l'aide de la formule de Fresnel : I(M ) = 2I0 1 + cos
δ(M )
e
2.d) On note p(M ) l'interfrange déni par : p(M ) =
⇒ p(M ) =
λ
λ
f 0
Position de la frange d'ordre 0 : p(M ) = 0 ⇔ x = −
2
Calcul de l'interfrange :
x
+
2 f0
2π x
e( + 0 )
λ 2 f
Les positions
brillantes sont données par :
des franges
p(M ) = k ; avec k entier ⇔ xk =
kλ
−
e
2
f0
L'interfrange est la distance entre deux franges successives : i = xk+1 − xk = ⇒ i =
3)
λf 0
e
Pour calculer l'éclairement dans le cas de l'étoile B, les calculs seront analogues, il sut de remplacer par −, et on obtient :
4
2π
x
I(M ) = 2I0 1 + cos
e(− + 0 )
λ
2 f
4.a) Comme expliqué à la question 1, pour calculer l'intensité totale sur l'écran on calcule la somme des intensités issues de
chaque étoiles, donc
2π
2π x
x
I(M ) = 2I0 2 + cos
e( + 0 ) + cos
e(− + 0 )
λ 2 f
λ
2 f
D'où, après utilisation des formules de trigonométrie :
2π e
2π ex
cos
I(M ) = 4I0 1 + 2 cos
λ f0
λ 2
Le terme de visibilité dans l'expression précédente est V = cos
On obtient donc C , le contraste :
4.b)
2π e
λ 2
2π e C = |V | = cos
λ 2 Ainsi le contraste s'annule lorsque cos
2π e
λ 2
s'annule, c'est-à-dire pour :
Les valeurs ek de e pour lesquelles C est nul sont donc : ek = (2k + 1)
4.c)
Application numérique : emin = e1 =
2π e
π
= (2k + 1) ; avec k ∈ Z.
λ 2
2
λ
2
λ
= 7, 64 mm.
2
4.d) Pour mesurer la séparation angulaire entre les deux étoiles, ont peut donc construire un tel système, et faire varier la
distance entre les fentes de 0 jusqu'à l'observation de la première annulation de contraste et ainsi remonter jusqu'à la séparation
angulaire entre les deux étoiles.
L'intérêt de cette méthode par rapport à une observation directe est que l'observation n'est plus gênée par la diraction, car
celle-ci est au contraire utilisée pour générer la gure d'interférence.
5
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