# H-B2-2

```不確定狀況下實質選擇權

(binomial option pricing model)

Abstract:
This study applies the concept of real option to the household decision making of
tenure selection. As the house price in the future is uncertainty, tenure selection is like
a timing option to buy a house. This study does not only indicate that the option is an
American put option, but also derive the value of the put option through binomial
option pricing model. On one hand, if the household selects to pay the rent for one
period instead of buying a house, the expenditure may be reimbursed due to the
decrease of house price. On the other, the expenditure may rise due to the increase
of house price. The result shows that as the more volatile the house price is, the
higher is the option premium; as the higher the ratio of equity to house price is, the
lower is the option premium; and as the risk-free rate changes, the move of the option
＊朝陽科技大學財務金融系所

＊＊朝陽科技大學財務金融系所碩士班

Pindyck, 1995)，因此傳統 NPV 法則未考慮任何選擇權之的投資淨現值。因此，
Ross（1995）提出從選擇權應用於投資分析的觀點，其內涵價值(Intrinsic Value)

Pindyck（1995）指出 NPV 其中最重大的兩項錯誤假設為，一.投資具可逆

，即投資活動可重新進行或市場情況惡化時，已投入資本可經由

NPV<0 則不會考慮購屋，將繼續以租屋來滿足家計單位的住屋需求。簡單的模

R0
R1
R2
•••
E
S0

NPV={
T1
T2
T3
Tn
R0
R1
R2
Rn

}–S0



2 
n
1 1  K (1 K ) (1 K ) (1 K ) n
Rt：第 T 期的租金，E：房屋期末處份利益，S0：購屋成本，K：必要報酬率，

R0 R0(1  g ) R0 (1 g ) R0 (1 g )

NPV={
}–S0




2
n
n
1
1 K
(1 K )
(1 K )
(1 K )
2
n

Cox et al. (1979)發表二項式選擇權評價模式，為選擇權的評價提供了一個更

Distribution)，然而現實中許多的資產的價格並不一定會完全服從對數常態分

NPV 法的缺失，因此在不用艱深的數學理論推導，又能免除一些假設限制下，

Su
g
S
1-g
Sd

T0
T1

Vu
g
V
1-g
Vd

T0
T1

(1+r)B-Su
g
ΔV = B - S
1-g
(1+r)B-Sd

T0
T1
ΔVu=(1+r)B-Su…………(1)
ΔVd=(1+r)B-Sd…………(2)

Δ=
Su  Sd
Vu  Vd
B=
Su  Vu Sd  Vd
=
1 r
1 r

BS


V=
V=
P  Vu  (1  P)Vd
1 r
P=
(1  r ) S  Sd
Su  Sd

 t
u= e

d= e
 t
P= e
rt
d
ud
u>r>d>0 u=1/d
u：每期上升幅度 d：每期下降幅度 σ：標的資產波動性
Δt：單位時間
r：無風險率利

Suu
Vuu
P
Su
Vu
P
S
V
1-P
1-P
Sud
Vud
P
Sd
Vd
1-P
T0
T1
Sdd
Vdd
T2
S:T0 時點標的資產的價格(目前購屋的成本)
E(X): T0 時點投資計畫的利潤(購屋的利得)
V: T0 時點 擴張 NPV 的價值
Su:標的資產未來一期上漲後的價格
P:風險中立下，標的資產未來一期上漲的機率
Sd: 標的資產未來一期下跌後的價格
1-P: 風險中立下，標的資產未來一期下跌的機率
E(Xu):在標的資產未來一期為上漲的情況下投資計畫的利潤
E(Xd):在標的資產未來一期為下跌的情況下投資計畫的利潤
Vu: 在標的資產未來一期為上漲的情況下 T1 時點選擇權的價格
Vd: 在標的資產未來一期為下跌的情況下 T1 時點選擇權的價格
T2 時點的狀況為 T1 時點的情況同理推導可得不再贅述

Vu=MAX(E(Xu)-Su，0)，有 1-P 的機率 Vd=MAX(E(Xd)-Sd，0)，故在時點為 T1

T1 時點再付出一期租金 R1，以取得等待到第 2 期的權利，而是否值得再等待一

，
〝等待〞不見得是一件好事，就好比說目前就立刻進

，雖然執行投資會使內含的選擇

Expanded NPV 的值等於 0，但這不代表是一個可以投資的機會，只能說因為遞

1997），但在本文中並不打算採用這些複雜的模型來估算波動度，而是採取讓遞

NPV 的值應該會較大，代表投資人較有可能以購屋來取代租屋，而當租金水準

static NPV 的值又是負的情況下，要達到購屋的有利時便會相當小，甚至沒有這

，經由模擬數據的分析結果顯出，利率水準的改變對選擇權價值的影響是無定向。

，故其中隱含的

NPV 算出來的價值來得小，從圖四也可以得知，等待越久能獲得正的利潤的期

1822.12
\$0.00
1491.82
\$0.00
1221.403
\$0.00
1000
\$943.23
-\$56.77
14.3069
1221.4
\$0.00
1000
\$0.00
818.7308
\$35.29
818.731
\$0.00
1000
\$943.23
-\$56.77
670.32
\$87.05
1221.403
\$1,010.34
-\$211.06
818.7308
\$833.38
\$14.65
548.812
\$143.37
Node Time:
0.0000
1.0000
2.0000
3.0000
Node Time:
0.0000
1.0000
1491.825
\$1,121.71
-\$370.11
1000
\$903.59
-\$96.41
670.32
\$757.37
\$87.05
2.0000
1822.1188
\$1,262.08
-\$560.04
1221.4028
\$993.22
-\$228.19
818.73075
\$812.99
-\$5.74
548.81164
\$692.18
\$143.37
3.0000

1568.31
\$0.00
1349.86
\$0.00
1161.834
\$15.48
1000
\$1,078.47
\$78.47
55.45053
1161.83
\$0.00
1000
\$43.77
860.708
\$130.57
1000
\$1,078.47
\$78.47
860.708
\$110.87
740.818
\$187.22
1349.8588
\$1,199.99
-\$149.87
1161.834
\$1,124.50
-\$37.33
1000
\$1,043.77
\$43.77
860.708
\$991.28
\$130.57
740.81822
\$928.04
\$187.22
637.628
\$233.42
Node Time:
0.0000
1.0000
2.0000
Node Time:
0.0000
3.0000

1.0000
2.0000
1568.3122
\$1,290.46
-\$277.85
1161.8342
\$1,107.28
-\$54.55
860.70798
\$971.58
\$110.87
637.62815
\$871.05
\$233.42
3.0000

1349.86
\$0.00
1221.4
\$0.00
1105.171
\$0.00
1000
\$818.86
-\$181.14
0
1105.17
\$0.00
1000
\$0.00
904.8374
\$0.00
904.837
\$0.00
1000
\$818.86
-\$181.14
818.731
\$0.00
1105.171
\$826.49
-\$278.68
904.8374
\$787.33
-\$117.50
740.818
\$0.00
Node Time:
0.0000
1.0000
2.0000
3.0000
Node Time:
0.0000
1221.403
\$845.07
-\$376.33
1000
\$800.15
-\$199.85
818.7308
\$763.37
-\$55.36
1.0000
2.0000
1349.8588
\$868.01
-\$481.85
1105.1709
\$816.48
-\$288.70
904.83742
\$774.28
-\$130.56
740.81822
\$739.73
-\$1.08
3.0000

-56.7673
78.47289
14.3069
55.4505
1.09
1.08
1.1
1.09
1.05
1.05
0.2
0.15
36
42

-181.138
0
1.05
1.09
1.05
0.1
42

42 萬，48 萬）三個變動值，結果整理於表二。由表二中我們可以看出，在這些

NPV 確有很明顯的改變，波動性的增加使得擴張 NPV 的值也跟著增加。這也就

1.06
1.09
1.05

-205.91
0
0.1
36
-116.851
0.801532
0.1
42
-27.7924
7.129363
0.1
48
-205.91
1.59986
0.15
36
-116.851
6.559164
0.15
42
-27.7924
23.70463
0.15
48
-205.91
6.716291
0.2
36
-116.851
17.13715
0.2
42
-27.7924
43.94106
0.2
48
-205.91
13.43264
0.25
36
-116.851
32.76173
0.25
42
-27.7924
65.95926
0.25
48
-205.91
23.81518
0.3
36
-116.851
52.01943
0.3
42

NPV 的值也跟著增加，有時反而是減少，因此在本模型中無風險率利對擴張 NPV

0.15

36

-205.91
1.59986
1.06
1.09
1.05
-205.91
1.696326
1.06
1.09
1.06
-205.91
1.588256
1.06
1.09
1.07
-315.488
0
1.06
1.1
1.05
-315.488
0
1.06
1.1
1.06
-315.488
0
1.06
1.1
1.07
-402.927
0
1.06
1.11
1.05
-402.927
0
1.06
1.11
1.06
-402.927
0
1.06
1.11
1.07
-10.5861
17.39412
1.08
1.09
1.05
-10.5861
19.47801
1.08
1.09
1.06
-10.5861
20.64338
1.08
1.09
1.07
-166.972
1.391062
1.08
1.1
1.05
-166.972
1.507912
1.08
1.1
1.06
-166.972
1.42814
1.08
1.1
1.07
-289.723
0
1.08
1.11
1.05
-289.723
0
1.08
1.11
1.06
-289.723
0
1.08
1.11
1.07
323.4624
251.5938
1.1
1.09
1.05
323.4624
258.7675
1.1
1.09
1.06
323.4624
265.9413
1.1
1.09
1.07
87.02179
44.37582
1.1
1.1
1.05
87.02179
46.07265
1.1
1.1
1.06
87.02179
46.77725
1.1
1.1
1.07
-96.1184
2.058066
1.1
1.11
1.05
-96.1184
1.973283
1.1
1.11
1.06
-96.1184
1.911082
1.1
1.11
1.07

NPV 為-166.972 萬的狀況下，房價波動性分別是 10% 與 20%的情形，這使得編

15 的波動性為 30%，兩者有相同且大於 0 的傳統 NPV 淨現值，在考慮遞延決策

1
-166.972
0
1.08
1.1
1.05
0.1
36
2
-166.972
1.391062
1.08
1.1
1.05
0.15
36
3
-166.972
5.946795
1.08
1.1
1.05
0.2
36
4
-166.972
11.9433
1.08
1.1
1.05
0.25
36
5
-166.972
21.83549
1.08
1.1
1.05
0.3
36
6
-27.7924
7.129363
1.06
1.09
1.05
0.1
48
7
-27.7924
23.70463
1.06
1.09
1.05
0.15
48
8
-27.7924
43.94106
1.06
1.09
1.05
0.2
48
9
-27.7924
65.95926
1.06
1.09
1.05
0.25
48
10
-27.7924
88.50703
1.06
1.09
1.05
0.3
48
11
78.47289
35.71423
1.08
1.09
1.05
0.1
42
12
78.47289
55.45053
1.08
1.09
1.05
0.15
42
13
78.47289
74.46004
1.08
1.09
1.05
0.2
42
14
78.47289
93.25599
1.08
1.09
1.05
0.25
42
15
78.47289
111.3562
1.08
1.09
1.05
0.3
42

Lurhrman(1998) 以「蕃茄園的栽種來比喻實質選擇權」(A gardening
metaphor option as tomatoes)。當目前所求算出的 NPV 為正，且未來的波動性不

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