H-B2-2

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不確定狀況下實質選擇權
於家計單位購屋決策之理論應用
林左裕* 曾建智**
摘
要
關鍵詞: 購租屋決策(tenure selection decision),遞延選擇權(timing option),不確
定性(uncertainty),實質選擇權(real option),二項式選擇權評價模式
(binomial option pricing model)
本研究將實質選擇權的觀念應用到家計單位的購屋決策上,指出當未來的房
價是一個不確定的狀況下,家計單位在考慮是否進行購屋決策之時,其背後隱含
一個何時(Timing)購屋的機會選擇,為一個選擇權的概念價值。並首次明確的
指出此一選擇權為一個美式的賣權,且利用二項式選擇權評價模式,實際推演出
此一賣權的價值。家計單位若選擇付出一期的租金,而不在當期做出購屋決定,
此一支出可能經由下一期的房價下跌而獲得彌補甚至獲利,但也有可能因為房價
持平或上漲而增加總成本的支出(租金與房價上漲的額外負擔),賣權價值的求
算,可以讓家計單位明確的知道等待的價值為何。結果指出:當未來房價的波動
性較大時,此一選擇權價值上升;當自備款占房價總額比例較大時,資金必要報
酬率提高,會使得選擇權價值下降;而無風險利率的變動,對選擇權價值的影響
並無定向。
Abstract:
This study applies the concept of real option to the household decision making of
tenure selection. As the house price in the future is uncertainty, tenure selection is like
a timing option to buy a house. This study does not only indicate that the option is an
American put option, but also derive the value of the put option through binomial
option pricing model. On one hand, if the household selects to pay the rent for one
period instead of buying a house, the expenditure may be reimbursed due to the
decrease of house price. On the other, the expenditure may rise due to the increase
of house price. The result shows that as the more volatile the house price is, the
higher is the option premium; as the higher the ratio of equity to house price is, the
lower is the option premium; and as the risk-free rate changes, the move of the option
premium is uncertain.
*朝陽科技大學財務金融系所
副教授
**朝陽科技大學財務金融系所碩士班
研究生
壹、前言
在華人的觀念裡有土斯有財,能購置一間屬於自己的房屋,是個人一生中,
富有極大意義且重要的財務決策,當家計單位在累積一定財富後,便會面臨是否
要由無自用住宅的現狀下,考慮購置個人的第一間住宅。早年在台灣,房地產因
為經濟的快速成長、資本迅速累積、股票市場的活絡等因素影響下,價格持續不
斷的攀升,當時投資於不動產(購置自用或投資理財)可獲得相當可觀的報酬。
但在近十年來,台灣經濟已經進入一個成熟穩定的階段,房地產的投資已經隱含
相當大的風險以及機會成本。而目前社會大眾普遍認為房價水準過高,購置家用
住宅所要付出的投資成本佔家計單位所得的比例很大,且隱含的投資報酬率已經
沒有像過去那樣可觀。易言之,如果以財務投資的觀點,將同樣數目的錢用來購
置房地產或者是投資於風險相當的其他金融工具,購置住宅所隱含的報酬相對較
小。但是台灣地狹人稠,社會大眾又深信長期而言,房價應該會是一個上揚趨勢,
因此整個家計單位在決定是否購置自用住宅時,一個相當重要的關鍵便是:投資
的時點(Timing)是否恰當的問題。目前的房價水準是否不合理?未來房價的趨
勢與波動如何預期?未來利率的波動走勢如何?先租屋觀望一段時間再做購屋
決策是否會較好?還是及早購屋會較好?本文便是想探究在這樣一個不確定性
的狀況下,家計單位要如何考慮這些不確定的變動因素,在購置自用住宅或暫且
租屋的兩種決策下,來做一個最有利的選擇。
國內有關不動產的教科書中,如有提及到:評估是否進行一購屋或租屋決
策,一般皆使用財務理論中評估資本預算投資案的方法,通常採用最普遍被認同
的 NPV 淨現值法來作分析。即給定目前的房價、租金與利率水準等確定性因子,
來計算損益但是傳統 NPV 法為一靜態(Static)的評估方法,並沒有考慮到未來的
不確定性,會使投資決策產生彈性(Flexibilities)與機會(Opportunities) (Dixit and
Pindyck, 1995),因此傳統 NPV 法則未考慮任何選擇權之的投資淨現值。因此,
Ross(1995)提出從選擇權應用於投資分析的觀點,其內涵價值(Intrinsic Value)
皆取決於投資計畫價值與投資計畫總成本的差異,NPV>0 的投資計劃僅表示此
計劃正處於價內點(In the Money)有利可圖,反之,NPV<0 的投資計劃就修正後模
式而言,因為加入選擇權的價值,可能使修正後淨現值大於零,即表該專案可能
僅不適合於「目前」進行投資,並非表示即刻應予放棄;如果依據傳統的 NPV
法則而言,其特性為對於 NPV<0 的投資計劃,一律拒絕,因而此法將可拒絕應
被拒絕的計劃,卻同時也拒絕了「可能可以接受」的計劃,且當計劃一旦被拒絕,
將永遠不會被選擇 (林左裕,民國 89 年) 。
Pindyck(1995)指出 NPV 其中最重大的兩項錯誤假設為,一.投資具可逆
性(reversibility)
,即投資活動可重新進行或市場情況惡化時,已投入資本可經由
某方式回收;二.決策不具遞延性,決策的結果為「接受」及「不接受」二種結
論,即企業若非即時進行投資,即應「永遠」放棄此計劃。但此二種假設與現實
投資環境相反,因為在現實情況中,投資活動通常為不可逆,且投資時點通常具
可延遲性。
針對 NPV 法則具有上述缺點,就投資決策而言實質選擇權與 NPV 法則最大
的不同點,在於實質選擇權加入決策者所擁有的「管理彈性」考量。因此,原來
的淨現值公式可被修正為以下所示:
擴張(Expanded) NPV 法則=靜態(Static)NPV 法則+隱含的實質選擇權價值。
上述公式中:擴張(Expanded) NPV 法則加入選擇權價值考量後的投資專案淨
現值整體增加。
金融選擇權與實質選擇權比較表
金融選擇權
標的物
金融商品
標的物價格
金融商品目前價格
履約價格
約定執行價格
權利期限
有一定的期限,通常 1 年內
風險因素
金融商品價格的不確定性
利率
無風險利率
資料來源:本研究整理
實質選擇權
實質資產或投資計畫
投資計畫價值
投資計畫總成本
期限為投資機會消失為止
投資計畫價值的不確定性
無風險利率
貳、家計單位購屋決策評估
一、傳統現金流量折現法(DCF)
家計單位在其一生中追求,滿足其住屋需求的支出成本最小。在靜態的決策下,
家計單位會考慮目前的購屋成本 S,目前市場的利率 R,租金的成本,個人的必
要報酬率 K,未來房屋的處份價值 E 等,使用 NPV 法,將未來的現金流量以必
要報酬率 K 折現,再與須投入的成本 S 相減,若 NPV 為正則立刻購入房屋,若
NPV<0 則不會考慮購屋,將繼續以租屋來滿足家計單位的住屋需求。簡單的模
型如下:
R0
R1
R2
•••
E
S0
時點 T0
NPV={
T1
T2
T3
Tn
R0
R1
R2
Rn

}–S0



2 
n
1 1  K (1 K ) (1 K ) (1 K ) n
Rt:第 T 期的租金,E:房屋期末處份利益,S0:購屋成本,K:必要報酬率,
若考慮到租金未來的成長率 g 則模型變成:
R0 R0(1  g ) R0 (1 g ) R0 (1 g )

NPV={
}–S0




2
n
n
1
1 K
(1 K )
(1 K )
(1 K )
2
n
一般而言家計單位單選擇購置或承租所使用旳房屋,主要差別在於購置者,
比承租者多了一個〝投資〞,也就是說購置者,投資其所使用的不動產,購置是
否比租好,要看家計單位是否有其他更好的資金使用機會,當購置所隱含的投資
報酬率,大於資金使用機會,便是購屋的時候。
傳統的 NPV 評估法則,將未來的可能況狀,經合理的預期轉成期望現值,且認
為唯有在 NPV>0 的狀況下,才值得投資,若不是則應該要放棄此一投資,這樣
的概念在靜態的決策下是合理的,但當家計單位可以以租屋來替代購屋,同樣能
滿足其住屋需求時,家計單位似乎隱含握有一個〝機會〞和〝投資彈性〞給付一
期的租金,讓家計單位在這未來的一期內獲得更多的資訊,來增加投資的利基,
這個隱含的價值在傳統的 NPV 法是看不到的。在下一節裏,本文將試圖以選擇
權的概念,來推導出此一價值。
二、二項式選擇權評價模式的概念:
Cox et al. (1979)發表二項式選擇權評價模式,為選擇權的評價提供了一個更
簡易且適用彈性較廣的方式,此種模式相較於 Black-Scholes 評價模式可輕易的
使用簡單的數學式,就能明瞭其背後的經濟含意。基本上,B-S 評價模型為時間
連續型的評價模式,而二項式模型可視為離散型的模式,此外 B-S 評價模型僅
是用於歐式選擇權的評價,其假設標的物價格需服從對數常態分配(Lognormal
Distribution),然而現實中許多的資產的價格並不一定會完全服從對數常態分
配,使用二項式選擇權模型並無上述的限制,而當二項式評價模型的權利期間被
切割的夠細時,二項式評價模型的值將會很趨近於 B-S 評價模型所求算的值。
使用二項式評價模式的理論架構在於風險中立(Risk Neutral)評價原理,此種
方法在性質上類似多期的確定等值(Certainty Equivalence)折現模式,即是先將
風險趨避下的各期現金流量,經由確定等值因子轉換為風險中立狀況下的現金流
量,再以無風險利率折現求得現值。其推導只需簡單的數學。此種方法除了能較
完整的納入投資計畫未來可能面臨的不確定性外,應用上因使用較多的市場公開
資訊,避免過多的主觀判斷,使得評估的結果更具客觀與合理性,並能解決傳統
NPV 法的缺失,因此在不用艱深的數學理論推導,又能免除一些假設限制下,
本文擬採用二項式選擇權評價模式,來推導實質選擇權的價值。
一個單期賣權的推導
若一個資產的現值 S,假定其未來有兩種變動的可能性,價格上升成為 Su
和價格下降成為 Sd,而 g 為 S 未來成為 Su 的機率,1-g 為 S 未來成為 Sd 的客
觀機率,如下所示:
Su
g
S
1-g
Sd
時間
T0
T1
當我們要計算一個以此 S 為標的資產的賣權價值 V 時,則可以以下列式子表示:
Vu
g
V
1-g
Vd
時間
T0
T1
即 V 的未來價值也會隨著標的資產的價格變動而變動,Vu 與 Vd 分別代表在 Su
與 Sd 的狀況下 V 的可能價格,在假定投資人可以在市場上,任意買入或放空該
標的資產 S 並允許投資人,以無風險利率 r 進行借貸,則投資人可以透過放空此
一標的資產 S,並且貸出 B 元來複製出,與買入 Δ 個賣權,一樣的現金流量,
如下所示:
(1+r)B-Su
g
ΔV = B - S
1-g
(1+r)B-Sd
時間
T0
T1
ΔVu=(1+r)B-Su…………(1)
ΔVd=(1+r)B-Sd…………(2)
求解上述的方程式可得:
Δ=
Su  Sd
Vu  Vd
B=
Su  Vu Sd  Vd
=
1 r
1 r
當沒有套利機會存在時,則買入Δ個賣權與透過投資組合複製出的賣權,應該要
有同樣的價格,故:
BS

將 B 與Δ以前述的公式解代入則可以得出:
V=
V=
P  Vu  (1  P)Vd
1 r
P=
(1  r ) S  Sd
Su  Sd
此外對於每期上升幅度 u 與下降幅度 d 的決定,Cox et al. (1979)的論文中亦證明
出,在風險中立的假設下在二項式評價模型中可決定出:
 t
u= e
其中
d= e
 t
P= e
rt
d
ud
u>r>d>0 u=1/d
u:每期上升幅度 d:每期下降幅度 σ:標的資產波動性
Δt:單位時間
r:無風險率利
在這個賣權的評價模式中,並沒有包含原來標的資產的實際上漲機率 g,因
此標的資產的實際上漲或下跌的可能機率並不會影響選擇權價格的求算,只要知
道資產未來可能的波動價格,即可。而在最終式子裏的 P 可以被視為是在風險中
立的假設下(risk-neutral),賣權可能上漲的機率,而賣權價值的求算,便是由未
來可能的價值 Vu、Vd,乘以風險中立下的機率,再以無風險利率折算現值而得。
三、選擇權概念在購屋決策中的應用:
遞延決策選擇權模型的推導
考慮家計單位可以先付出一期的租金 R,取得住屋的滿足,而在未來的一期
內,可以等待對自己有利的機會,再決定是否以購屋來取代租屋,以滿足其住屋
的需求,家計單位的購屋決策,因為隱含了此一權利,故以傳統 NPV 求算出的
淨現值若為負值處於價外(out of money);不適合立刻執行購屋決策,但只要投資
可遞延,便還有時間等待價值。現在本文就此一概念,試圖推導出含有遞延選擇
權的投資價值。
Suu
Vuu
P
Su
Vu
P
S
V
1-P
1-P
Sud
Vud
P
Sd
Vd
1-P
T0
T1
Sdd
Vdd
T2
S:T0 時點標的資產的價格(目前購屋的成本)
E(X): T0 時點投資計畫的利潤(購屋的利得)
V: T0 時點 擴張 NPV 的價值
Su:標的資產未來一期上漲後的價格
P:風險中立下,標的資產未來一期上漲的機率
Sd: 標的資產未來一期下跌後的價格
1-P: 風險中立下,標的資產未來一期下跌的機率
E(Xu):在標的資產未來一期為上漲的情況下投資計畫的利潤
E(Xd):在標的資產未來一期為下跌的情況下投資計畫的利潤
Vu: 在標的資產未來一期為上漲的情況下 T1 時點選擇權的價格
Vd: 在標的資產未來一期為下跌的情況下 T1 時點選擇權的價格
T2 時點的狀況為 T1 時點的情況同理推導可得不再贅述
考慮一個二期的選擇權模型,在第 0 期時,購屋的成本為 S,而收益為 E(X),
若當期無法做出決策則考慮支付 R0 等待一期做決策,未來的購屋成本可能為 Su
或 Sd,而可能的收益則為 E(Xu)或 E(Xd),故未來賣權的價值為有 P 的機率是
Vu=MAX(E(Xu)-Su,0),有 1-P 的機率 Vd=MAX(E(Xd)-Sd,0),故在時點為 T1
時,購屋決策的淨值為 P*Vu+(1-P)*Vd,若在第 1 期時不執行購屋決策,則需在
T1 時點再付出一期租金 R1,以取得等待到第 2 期的權利,而是否值得再等待一
期,則需看到 T=2 期時,將在當期賣權可能的價值折現回到第一期,與 T=1 時
的賣權做比較,若因為等待而產生的選擇權價值較大,則就算在第 T=1 時的投
資價值為正,也不應該在 T=1 時就進行購屋,應該要繼續等待,同樣的道理,
便可由第 T=2 期,推演到第 T=3 期,一宜到第 n 期。因而找出最適的購屋時點,
經由此模型所推演的賣權價值為一個不為負的利潤,在實質選擇權的評價模式
中,這個利潤代表擴張(Expanded NPV)淨現值的價值,而其中因為等待而獲
得的遞延選擇權價值則因為 擴張 NPV=傳統 NPV+內含選擇權的價值,故選擇
權的價值=擴張 NPV-傳統 NPV。所以說,考慮未來的不確定性,及投資時點可
遞延的狀況下,其內含的選擇權價值等於由本文所推演的二項式選擇權評價模型
下,求出的擴張(Expanded)NPV,減去由傳統靜態 NPV 法求得的值,在這樣
的式子裏,說明了一件事,雖然擴張性 NPV 所求得的值,為一個不小於 0 的正
數,但內含選擇權的價值是 Expanded NPV 減去 static NPV,這個最終我們想求
得的價值,並不一定是一個正值,換句話來說當 static NPV 為一個正數時,(代
表一個可執行的投資計畫)
,
〝等待〞不見得是一件好事,就好比說目前就立刻進
行投資是屬於深價內的狀況(deep in the money)
,雖然執行投資會使內含的選擇
權價值消失,但還是值得立刻投資,而上述的這種狀況就會導致我們求算出的內
含選擇權價值小於零,因此當 static NPV 為正的情況下,在某些特定的情況下,
遞延做決策反而不能為投資人帶來正的效益,立刻進行投資是比較好的決定,而
另一方面,若 static NPV 為負的情況下,隨然經由 Expanded NPV 所求算的值
一定不會小於 0,但我們必須特別將 Expanded NPV 等於 0 的情況作一個說明,
在未來可預期的遞延決策期內,如果沒有出現滿足投資人投資條件的情況,則投
資人傾向不執行購屋決策,因而各期可能產生的選擇權價值都是 0,這也使得
Expanded NPV 的值等於 0,但這不代表是一個可以投資的機會,只能說因為遞
延所帶來的決策彈性,不會讓投資人執行會賠錢的計畫,因此 Expanded NPV 至
少會等於 0,也就是等於 0 時,在預期的投資期裏,租屋而不購屋是較有利的決
策。
唯有在當期的選擇權價值為正的狀況下,才是出現購屋比租屋好的決策時
點,而這時 Expanded NPV 便會是大於 0 的正值。此外,遞延投資期的期間,到
底需不需要有一定的長度,本研究認為,使用二項式選擇權評價模式,需要估計
標的資產的波動度,而這個值通常是由歷史的波動度估算作為未來資產的波動狀
況,這樣的估算值是不是合理?通常來說,只要選擇權的期間不長、沒有重大的
事件發生,便是可以被接受的值,而在本文中,房價便是標的資產,歷史房價的
波動程度,便是未來房價波動度的估計值,當我們求算的遞延決策期過長時,便
要考慮到波動度是否已經隨著時間而改變,雖然已經有許多的學者,指出選擇權
的評價模型存在此一問題,並提出許多的計量模型試圖解決此一問題(Hull,
1997),但在本文中並不打算採用這些複雜的模型來估算波動度,而是採取讓遞
延決策的期間,落在一個合理的範圍,例如只估算三年的遞延決策期,儘量不讓
波動度可能的改變對決策造成重大的影響。
四、模型變數影響
在模型推導的架構大致確立下,本節我們討論幾個重要的變數對模型的可能
影響狀況
租金水準(R):
當市場上的租金水準較高時,代表以租屋來滿足住屋需求的成本較高,也同時反
應以購屋來替代租屋能節省的成本提高,因此,經由模型所求算出來的 Expanded
NPV 的值應該會較大,代表投資人較有可能以購屋來取代租屋,而當租金水準
低時情況恰好相反,租屋的成本低,投資人反而會持續租屋而不購屋。
房價波動程度(σ):
當市場上房價波動程度較大時,代表未來房價會下跌到合理購買價格的機會較
大,程度也可能較深,因此,經模型所算出的 Expanded NPV 值便會較大,這代
表末來投資人很有機會會遇到購屋的好時點,反之,當波動程度較低時,而傳統
static NPV 的值又是負的情況下,要達到購屋的有利時便會相當小,甚至沒有這
時 Expanded NPV 就很有機會是 0,租屋便是最好的選擇。
個人必要報酬率(K):
個人的必要報酬率代表,投資人的資金所隱含的必要報酬,以購屋的決策而言,
當投資人完全以自有資金來購買房屋時,隱含這個計畫必須以自有資金成本求算
損益,但一般而言家計單位的購屋決策所需資金,通常有一大部分(例如 7 成)是
來自於銀行的房貸,而房貸所要求的融資成本,會較小於個人必要報酬率,因此
自備款成數高時來得小,而當個人必要報酬率較小時,會使得 Expanded NPV 的
值變大,但值得注意的是若因為必要報酬率變小,而使得 static NPV 由負轉正,
在某些情況下,就應該要立刻進行投資而無需等待。
房價的成長率(u)與目前房價的水準(S):
未來房價的成長率,代表購屋所帶來房子本身增值空間,而目前的房價水準,應
該要反應出房價的成長率,換句話說,當房價的成長率較高時,若目前的房價水
準過低,代表投資人應該要購入房屋,反而當房價未來的成長率不高而目前的房
價又偏高時(NPV<0),代表目前不適合購入房屋,應該要以租屋為宜。
無風險利率水準(r):
無風險利率的水準,代表在風險中立下,投資人最低要求的必要報酬率,此一利
率水準上升,通常會使賣權的價值下降,但在本文所推導的二項式評價模型中
,經由模擬數據的分析結果顯出,利率水準的改變對選擇權價值的影響是無定向。
參、理論模擬實證
一、應用模擬數據舉例說明
假設(狀況一):
在經過先前的的理論推演,現在我們將以一組模擬的數據,來說明評價模型
的特性。目前在市場上有一棟房屋出售市價要 1000 萬元,如果是出租的話,每
個月的租金為 3 萬元,而租金成長率每年為 3 %, 租金採年繳制,若房價的長
期成長率為 9%,土地價值佔房價成本的 6 成,房屋結構體佔房價成本的 4 成,
房屋結構體尚可使用 30 年,30 年後結構體無殘餘價值。家計單位購屋的資金成
本為 10%,房價波動性(  )的估計值為 20%,市場無風險利率為 5%,則考慮是
否購買此房屋的家計單位,該如何評估此一計劃的損益?
首先由傳統的 NPV 法,我們可以求算出目前立刻購入此一房屋的 NPV 價值
為-56.8 萬,是不值得去執行的一個投資計畫,但如果納入實質選擇權中遞延選
擇權的概念時,家計單位可以先租此房屋,在等待房價的新資訊進入,再決定是
否要購入房屋。當我們考慮一個遞延期間為三年的選擇權時,經二項式模型的計
算,可以求得 Expanded NPV 的價值為 14.307 萬(如圖一所示)
,故其中隱含的
實質選擇權溢酬為:擴張(Expanded) NPV 法則=靜態(Static)NPV 法則+實質選擇
權價值。實質選擇權價值:14.307 萬減 (-56.8 萬)等於 71.1.07 萬,從圖二可以看
出在等待一年、二年、三年,都會出現讓家計單位能夠獲得正的 NPV 的機會,
但以等待一年的選擇權價值最高,故家計單位在前述的條件狀況下,應該要選擇
先租屋等待以獲得最大的利潤。
假設(狀況二):
若房價成長率只有 8%,而購屋的資金必要報酬率為 9%,而房價的波動性(  )
只有 15%,但租金水準提高到每個月 3 萬 5 千元,在其他條件不變下我們再次求
算其投資價值,以傳統 NPV 法求算出的投資價值為 78.47 萬,是一個值得立刻
進行投資的方案,但考慮到目前投資是否為利潤最大的時點?遞延一段時間再作
決策是否會讓利潤增加?因此將遞延選擇權的價值包含進去,經由模型重新計算
可以得到,等待期間三年的 Expanded NPV 的價值 55.45 萬(如圖三所示)比傳統
NPV 算出來的價值來得小,從圖四也可以得知,等待越久能獲得正的利潤的期
望價值越小,故在前述的條件況下,應該要立刻進行投資無須等待。
假設(狀況三):
當房價的長期成長率只有 5%,而資金必要報酬率為 9%、房價的波動性只
有 10%,租金水準為每月 3 萬 5 千,在其他條件不變的情況下,經由傳統 NPV
法求算出來的價值為-181 萬,是很不值得投資的計劃,而在考慮遞延決策選擇權
的價值後,Expanded NPV 的價值為 0 (如圖五所示),從圖六中可以看出就算先
租屋等待,在遞延決策期間內的各時點,也沒有出現讓投資利潤為正的機會,此
時,雖然內含選擇權的價值存在,但卻不足以讓家計單位獲利,故在客觀條件沒
有重大改變下,可以說未來三年內,考慮購屋是完全沒有獲利的機會,家計單位
應該選擇租屋,並將自有資金投資於市場上能獲取比相對報酬率較大的投資工
具,等待客觀環境條件出現改變「例如:政府提供優惠利率房貸」,再重新評估
購屋的損益。
小結
將上述三種不同的特定狀況作以下的整理說明(如表一所示):當市場上房價的
成長率偏低且未來房價的波動性也不大時,在個人資金必要報酬率 k 的現值折算
下,傳統 NPV 若為負值,就算租屋的租金水準偏高,短期內也只能租屋,而不
必考慮購屋的決策(狀況三),若房價的波動性較大,房價的成長率較高,租金水
準合理,就算目前的傳統 NPV 所求算的價值為負也不該放棄,因為在這樣的狀
況下”等待”就變得很有價值,如第一種狀況所示;若目前的 Static NPV 已經是正
的情況下,除非未來的房價波動性很大、成長率提高,不然家計單位不該遞延決
策,應立即購屋,如狀況二所示。
圖一:
圖二:
1822.12
$0.00
1491.82
$0.00
1221.403
$0.00
1000
$943.23
-$56.77
14.3069
1221.4
$0.00
1000
$0.00
818.7308
$35.29
818.731
$0.00
1000
$943.23
-$56.77
670.32
$87.05
1221.403
$1,010.34
-$211.06
818.7308
$833.38
$14.65
548.812
$143.37
Node Time:
0.0000
1.0000
2.0000
3.0000
Node Time:
0.0000
1.0000
1491.825
$1,121.71
-$370.11
1000
$903.59
-$96.41
670.32
$757.37
$87.05
2.0000
1822.1188
$1,262.08
-$560.04
1221.4028
$993.22
-$228.19
818.73075
$812.99
-$5.74
548.81164
$692.18
$143.37
3.0000
圖三:
圖四:
1568.31
$0.00
1349.86
$0.00
1161.834
$15.48
1000
$1,078.47
$78.47
55.45053
1161.83
$0.00
1000
$43.77
860.708
$130.57
1000
$1,078.47
$78.47
860.708
$110.87
740.818
$187.22
1349.8588
$1,199.99
-$149.87
1161.834
$1,124.50
-$37.33
1000
$1,043.77
$43.77
860.708
$991.28
$130.57
740.81822
$928.04
$187.22
637.628
$233.42
Node Time:
0.0000
1.0000
2.0000
Node Time:
0.0000
3.0000
圖五:
1.0000
2.0000
1568.3122
$1,290.46
-$277.85
1161.8342
$1,107.28
-$54.55
860.70798
$971.58
$110.87
637.62815
$871.05
$233.42
3.0000
圖六:
1349.86
$0.00
1221.4
$0.00
1105.171
$0.00
1000
$818.86
-$181.14
0
1105.17
$0.00
1000
$0.00
904.8374
$0.00
904.837
$0.00
1000
$818.86
-$181.14
818.731
$0.00
1105.171
$826.49
-$278.68
904.8374
$787.33
-$117.50
740.818
$0.00
Node Time:
0.0000
1.0000
2.0000
3.0000
Node Time:
0.0000
1221.403
$845.07
-$376.33
1000
$800.15
-$199.85
818.7308
$763.37
-$55.36
1.0000
2.0000
1349.8588
$868.01
-$481.85
1105.1709
$816.48
-$288.70
904.83742
$774.28
-$130.56
740.81822
$739.73
-$1.08
3.0000
表一:
傳統 NPV 擴張 NPV 房價成長率 必要報酬 無風險利率 波動性 租金水準
狀況一
狀況二
-56.7673
78.47289
14.3069
55.4505
1.09
1.08
1.1
1.09
1.05
1.05
0.2
0.15
36
42
狀況三
-181.138
0
1.05
1.09
1.05
0.1
42
二、敏感性分析:
為了看出各個變數對本文所推導出的遞延選擇權評價模型的影想程度,本文
利用上述模擬的例子代入不同的數據資料,試圖來了解各變數的敏感性,首先,
我們將房價成長率設定為 6%、必要報酬率為 9%、無風險利率為 5%,然後讓房
價波動性為(10%,15%,20%,25%,30%)五個變動值,租金水準為(36 萬,
42 萬,48 萬)三個變動值,結果整理於表二。由表二中我們可以看出,在這些
狀況下由傳統 NPV 法求算出的值都是負的,而擴張 NPV 的最小值 0,出現在當
波動性(10%)與租金水準(36 萬)皆最小的條件下,而當波動性(30%)與租
金水準(48 萬)皆為最大值時,擴張 NPV 的值 88.507 萬 亦為最大。固定波動
性來看,當租金水準提高時,會使得傳統 NPV 與擴張 NPV 的值都增加,而固定
租金水準時,可以看出波動性的增加對傳統 NPV 的值沒有任何影響,但對擴張
NPV 確有很明顯的改變,波動性的增加使得擴張 NPV 的值也跟著增加。這也就
是傳統 NPV 法無法考慮到未來的不確定性,家計單位擁有一個『決策彈性』的
價值所在。
表二:
房價成長率
必要報酬 無風險利率
1.06
1.09
1.05
傳統 NPV
擴張 NPV
波動性
租金水準
-205.91
0
0.1
36
-116.851
0.801532
0.1
42
-27.7924
7.129363
0.1
48
-205.91
1.59986
0.15
36
-116.851
6.559164
0.15
42
-27.7924
23.70463
0.15
48
-205.91
6.716291
0.2
36
-116.851
17.13715
0.2
42
-27.7924
43.94106
0.2
48
-205.91
13.43264
0.25
36
-116.851
32.76173
0.25
42
-27.7924
65.95926
0.25
48
-205.91
23.81518
0.3
36
-116.851
52.01943
0.3
42
接著我我們將房價波動性固定在 15%,而租金水準固定在 36 萬。接著放寬
房價成長率為(6%,8%,10%)三個變動值;必要報酬率為(9%,10%,11%)三個
變動值;無風險利率為(5%,6%,7%)三個變動值。因此共有 27 個數據顯示在
表三中,由表三可以看出房價成長率對傳統 NPV 與擴張 NPV 的影響為正向的關
係,也就是說當成長率增加時,會使傳統 NPV 與擴張 NPV 的值都上升;而資金
成本的必要報酬率對傳統 NPV 與擴張 NPV 的影響為負向的關係,當必要報酬率
上升時,傳統 NPV 與擴張 NPV 的值都會下降。然而值得注意的是,無風險利率
的變動,並不會影響傳統 NPV 的值,而它對擴張 NPV 的影響方向卻是不確定的,
從表中可以明顯的看出,在各種條件狀況下無風險利率的增加,不一定會使擴張
NPV 的值也跟著增加,有時反而是減少,因此在本模型中無風險率利對擴張 NPV
影響是無定向的。
表三:
波動性
租金水準
0.15
傳統 NPV
36
擴張 NPV
房價成長率 必要報酬率 無風險利率
-205.91
1.59986
1.06
1.09
1.05
-205.91
1.696326
1.06
1.09
1.06
-205.91
1.588256
1.06
1.09
1.07
-315.488
0
1.06
1.1
1.05
-315.488
0
1.06
1.1
1.06
-315.488
0
1.06
1.1
1.07
-402.927
0
1.06
1.11
1.05
-402.927
0
1.06
1.11
1.06
-402.927
0
1.06
1.11
1.07
-10.5861
17.39412
1.08
1.09
1.05
-10.5861
19.47801
1.08
1.09
1.06
-10.5861
20.64338
1.08
1.09
1.07
-166.972
1.391062
1.08
1.1
1.05
-166.972
1.507912
1.08
1.1
1.06
-166.972
1.42814
1.08
1.1
1.07
-289.723
0
1.08
1.11
1.05
-289.723
0
1.08
1.11
1.06
-289.723
0
1.08
1.11
1.07
323.4624
251.5938
1.1
1.09
1.05
323.4624
258.7675
1.1
1.09
1.06
323.4624
265.9413
1.1
1.09
1.07
87.02179
44.37582
1.1
1.1
1.05
87.02179
46.07265
1.1
1.1
1.06
87.02179
46.77725
1.1
1.1
1.07
-96.1184
2.058066
1.1
1.11
1.05
-96.1184
1.973283
1.1
1.11
1.06
-96.1184
1.911082
1.1
1.11
1.07
表四則試圖說明一件事情:因為傳統 NPV 不受房價波動性的影響,故就算
由傳統 NPV 法所求算的值相同,擴張 NPV 的值也會因為波動性的不同而有所差
異,藉此說明不確定性下決策彈性的重要概念。編號 1 與編號 3 分別代表在傳統
NPV 為-166.972 萬的狀況下,房價波動性分別是 10% 與 20%的情形,這使得編
號 1 的擴張 NPV 為 0 而編號 3 的擴張 NPV 為 5.946,前者就算遞延決策也無法
產生值得投資的機會,後者則可以藉由等待而獲得正的利潤。這種狀況也就是本
研究先前所述的,當目前投資價值處於深價外(Deep out of money)時,內含選
擇權的價值就相當的低,而使得遞延決策無法起很大的作用,除非未來的波動性
相當的大。接著討論編號 12 與編號 15 的狀況:編號 12 的波動性為 15%;編號
15 的波動性為 30%,兩者有相同且大於 0 的傳統 NPV 淨現值,在考慮遞延決策
的情況下,編號 12 的擴張 NPV 為 74.46004 萬小於傳統 NPV 的 78.47289 萬;編
號 15 的擴張 NPV 為 111.3562 萬大於傳統 NPV 的 78.47289 萬。這顯示出一件原
本值得投資的案子,考慮遞延決策選擇權不一定就是件好事,就如同文章前述
的,目前如果是處於選擇權概念裡所描述的深價內(Deep in the money)就應該
立刻投資,除非可以確定未來的價格波動性會變的很大,不然不應該遞延決策的
時機。
表四:
編
號 傳統 NPV 擴張 NPV 房價成長率 必要報酬 無風險利率 波動性 租金水準
1
-166.972
0
1.08
1.1
1.05
0.1
36
2
-166.972
1.391062
1.08
1.1
1.05
0.15
36
3
-166.972
5.946795
1.08
1.1
1.05
0.2
36
4
-166.972
11.9433
1.08
1.1
1.05
0.25
36
5
-166.972
21.83549
1.08
1.1
1.05
0.3
36
6
-27.7924
7.129363
1.06
1.09
1.05
0.1
48
7
-27.7924
23.70463
1.06
1.09
1.05
0.15
48
8
-27.7924
43.94106
1.06
1.09
1.05
0.2
48
9
-27.7924
65.95926
1.06
1.09
1.05
0.25
48
10
-27.7924
88.50703
1.06
1.09
1.05
0.3
48
11
78.47289
35.71423
1.08
1.09
1.05
0.1
42
12
78.47289
55.45053
1.08
1.09
1.05
0.15
42
13
78.47289
74.46004
1.08
1.09
1.05
0.2
42
14
78.47289
93.25599
1.08
1.09
1.05
0.25
42
15
78.47289
111.3562
1.08
1.09
1.05
0.3
42
肆、結論:
Lurhrman(1998) 以「蕃茄園的栽種來比喻實質選擇權」(A gardening
metaphor option as tomatoes)。當目前所求算出的 NPV 為正,且未來的波動性不
大,不太有變化時,則這個投資案可立即執行就如同困園中那些已經成熟的蕃
茄,應可以立即採收;相對的那些 NPV 目前為負值,且未來變異性並不太大的
投資案是不值得我們去執行的,就好像不會採收爛掉的蕃茄一般,而那些未來波
動程度大,不確定程度相對高的投資案,是可以等待新訊息流入後,再來做決定,
就好比那些青澀未熟的蕃茄,我們現在不會立即去採收,但可以等待未來情況明
確以後才做決定。本文使用二項式選擇權評價模式,應用於家計單位的購屋決
策,亦在指出上述實質選擇權的精神所在,目前執行購屋決策與否,不應單單只
考慮目前狀況,當未來房價是一個不確定的狀況下,家計單位在考慮是否進行購
屋決策時,會因為可以選擇租屋來取代購屋,同樣能滿足住屋的需求,其背後隱
含一個何時(Timing)執行購屋決策的機會選擇,是否該等待或應立即投資,透過
本研究模式的設定,可以讓家計單位明確的知道等待的價值為何?讓家計單位能
做出更正確的決策。結果指出,當未來房價波動性較大時,此一選擇權的價值上
升;當自備款占房價總額比例較大時,資金必要報酬率提高,會使得選擇權價值
下降;當租金水準提高時,選擇權的價值亦提高;而當無風險利率變動時,對選
擇權價值的影響並無定向。
參考資料:
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大學未出版碩士論文。
Cox, John C., Steven A. Ross, and Mark Rubinstein, (1979) Option Pricing:A
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Luenberger, David G. (1998) Investment Science, New York: Oxford University Press
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Trgeorgis, Lenos. (1993b)”Real Options and Investments with financial flexibility,
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Trigeorgis, Lenos. (1996) Evaluating Leases with Complex Operating Options. European
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