1.1 一條磁路與單個的氣隙在圖 1.24 內顯示，鐵心尺寸為：
截面積 Ac  1.8  10 3 m 2
平均路徑長 l c  0.6m
氣隙 g  2.3  10  3 m
N  83 turns
Core:
Mean length lc ,
area Ac ,
permeability 
N turns
Air gap
g
圖 1.24
假設一個鐵心的導磁係數為無窮大( 
  )，並且忽略邊緣效應、氣隙和漏磁(a)計算鐵心中鐵
心電阻 Rc 及氣隙電阻 R g 。當電流 i  1.5 A 計算(b)總磁通  ，(c)線圈的磁通鏈  ， 及(d)線圈電感 L。
解：
已知   
(a)
Ac  Ag  1.8 10  3 m 2
Rc 
lc
lc

0A
wb
μAc  r  o Ac
g
2.3 10  3
Rg 

 o Ag 4π 10  7 1.8 10  3
 1.017 10 6 A
wb
(b)
φ

NI
83  1.5


 0.1224  10  3 wb
Rc  R g Rc  R g 1.017  10 6
(c)
eN
dφ dλ

dt dt
 λ  Nφ  83  0.1224  10  3  1.016  10  2 wb
(d)
N 2 μ o Ag
λ NΦ N 2 φ N 2 φ N 2
N2
L  





F
g
i
F
φR g
Rg
g
N
μ o Ag
λ 1.016  10  2
L  
 0.6773  10  2 H  6.773mH
i
1.5
1.2 重算習題 1.1 當導磁係數 μ  2500 μ o
(a)
Ac  Ag  1.8 10  3 m 2
Rc 
lc
lc
0.6


 1.06110 5 A
wb
μAc  r  o Ac 2500  4π 10  7 1.8 10  3
Rg 
g
2.3 10  3

o Ag 4π 10  7 1.8 10  3
 1.017 106 A
wb
(b)
φ

NI
83  1.5


 1.10844  10  4 wb
Rc  R g Rc  R g ( 1.017  0.1062 )  10 6
(c)
λ  Nφ  83  1.10844  10  4  92  10  4 wb  0.92  10  2 wb
(d)
L
λ 0.92  10  2

 0.613  10  2 H  6.13mH
i
1.5
1.3 思考一下習題 1.1 中圖 1.24 的磁路。假設導磁係數為無窮大，試算(a) 要達到電感為 12mH 所需
的匝數和(b) 將導致 1.0 T 磁通密度的電感電流。
解：
(a)
L

i
  N  L 
N
i
lc
0
 Ac
    Rc 
F  0 Ag
F
F
F
F




lc
g
g
Rtot Rc  Rg
g
0

 0 Ag
 Ac  0 Ag

F  Ni   
N i  0 Ag
g
N N N i  0 Ag N 2  0 Ac


i
i
g
g
L
12  10 3  2.3  10 3
 110 turns
4  10 7  1.8  10 3
Lg

 0 Ac
N
(b)
Ag  Ac
B g  Bc 

Ac
F  N i  H c lc  H g g
B H
 F
  
FNi
Bg
i
0
g
N
Bg
0
Bc

lc 
Bg
0
g
g
Bc g
1  2.3  10 3


 16.6 A
 0 N 4  10 7  110
1.4 重算習題 1.3 當導磁係數   13000  0
解：
  1300   0
Ac  1.8  10 3
l c  0.6
g  2.3  10 3
L  12mH
(a)
lc
0.6
Rc 

  Ac 1300  4  10 7  1.8  10 3

Rg 
0.6
 2 0 4.0 4 5 1 03 A  turns
7
Wb
9.3 6  1 0
g
2.3  10 3

 0  Ag 4  10 7  1.8  10 3
 1016.823  10 3 A  turns
Wb
Rtot  Rc  Rg  1220.868 103 A  turns
L

i


Wb
N2
， N 2  L  Rtot  12  10 3  1220.868  10 3 =1450.416 turns
Rtot
N=121 turns
(b)
F  N  I  c  R  c  Bc  Ac

I
  Rtot
N

Bc  Ac  Rtot
， (且 Ac  Ag )
N
1  1.8  10 3  1220.86  10 3

 18.162  18.2 A
121
1.5問題1.1 磁路含有一個非線性的主要物質，而他的導磁係數以BM為單位的計算方程式是

3499


1  0.047( Bm ) 7.8
   0 1 




這裡 Bm 是物質磁場密度。
a.
運用 MATLAB, 將這個物質的直流電磁化曲線在 ( 0  Bm  2.2 T . ) 的範圍裡繪於圖表
Bm vs. H m  求當鐵心中的磁場密度為 2.2T 時的電流
b.
求當鐵心中的磁場密度為 2.2T 時的電流
c.
再次，使用MATLAB，將線圈磁通量的關聯在電流質從 0 變化直至 pare ( B ) 所得到的質以
線圈電流為方程式繪於圖表
解：
(a)
使用 MATLAB 程式與法如下：
程 式
Bm=linspace(0,2.2,110);
x=sqrt(1+0.047*Bm.^7.8);
uo=pi*4.e-7;
u=uo*(1+3499./x);
Hm=Bm./u;
plot(Hm,Bm,'re');
註 解
%把 Bm 的範圍設定為 0~2.2;並以每
0.2 T 取樣計算一次,總共取 110 點(可
依個人喜好來取樣,取樣點越多則曲
線愈趨於平滑)。
%sqrt 在本程式為數學中√的意思;"."
的意思是把 Bm 所有內部的取樣值開
7.8 次方的意思,而此列程式為本人預
先做分母的計算。
% "pi"在 Matlab 中為數學 π 的符號而
"e"是代表"10"的次方數。
% 本行即為題目給我們的方程式。
% 求出 Hm 。
% "plot( )"是令 Matlab 畫出曲線圖,其
"( )"內的涵義為"(X 軸座標,Y 軸座標,'
曲線的顏色')"。
% "xlabel('')"為設定 X 軸的標籤,其表
示式為"xlabel('X 軸的文字')"。
% "ylabel('')"為設定 X 軸的標籤,其表
xlabel('Hm (A/m)');
示式為"ylabel('Y 軸的文字')"。其所執
行出來的圖形如下：
ylabel('Bm (T)');
(b)

3499


1  0.047(2.2) 7.8
 r  1 

  730


 r   0   r  4  10 7  730    2.92  10 4 Wb


A  turns  m
F  N  I    R  B  A R
I
B  A  R B  A  Rc  R g 

 B  A
N
N

0.6
2.3  10 3


4
4  10 7
 2.2     2.9  10

83


lc
g

  Ac  0  Ag
N
，(且 Ac  Ag )


  65.8 A



(c)
題目要我們以(b)小題的題目為依據並以 BATLAB 來撰寫，所以其程式碼如下:
程
式
註 解
% 把 Bm 的範圍設定為 0~2.2;並以每 0.2 T
取樣計算一次,總共取 110 點
B=linspace(0,2.2,110);
Ac=1.8e-3;Ag=Ac;lc=0.6;g=2.3e-3;N=83;
x=sqrt(1+0.047*B.^7.8);
uo=pi*4.e-7;
u=uo*(1+3499./x);
I=B.*(g/(uo*N)+lc./(u.*N));
plot(I,B,'re');
xlabel('I ( A )');
ylabel('Bm ( T )');
%
%
%
%
宣告題目所給的數據
設定  r 的分母
宣告  0 的數據
寫出    0   r 的方程式
% 求出電流 I 的最簡化方程式
% 繪出 B vs. I 的關係曲線
% 標上 X 軸的名稱與單位
% 標上 Y 軸的名稱與單位
其模擬出的曲線圖如下:
1.6 在圖 1.25 的磁路是由一個鐵心及一個可移動之活塞組成，寬度為 lp，導磁係數  。鐵心截面積為
Ac，長度為 lc，重疊的二個氣隙的截面積為 Ag，它是由一個活塞在 x 位置所造成的並且能被假設表
示為

x 

Ag  Ac 1 
X
0 

你可以忽略此氣隙的邊緣效應和近似值來分析這個磁路。
a. 假設 μ → ∞，表示磁通密度在氣隙 Bg 內與電流線圈繞組有關且活塞的變化為(0 ≤ x ≤ 0.8X0 )。試
問在鐵心裡的相應磁場密度是多少？
b. 重做 a 小題當導磁係數 μ 為某一數值。
圖 1.25
習題 1.6 之磁路
解：
(a)
F  N i  2 gH g  H c l c  l p 
   , B H
F  N i  2 gH g
Bc 

Ac
, Hg 
NI
2g
   Bc Ac  B g Ag
 Ag 

x 
 Bg  Bg 1 

Bc  
A
X
0 

 c
(b)


2 gH g  H c lc  l p  NI ; Bg Ag  Bc Ac
Bg   0 H g
; Bc  H c
 Ag

Bg
Ac
Bc
FNi
 l c  l p  
 2g  

0

 B g  l c  l p 
Bg


 2g

  Ag

  Ac
 Bg  



Bg 



  l c  l p 
2g 




0 


Ni
Ni

 Ag 

x 

 l c  l p 
1 
 l c  l p 
X 0 
2g 
2 g  Ac 


0

0

1.7 在習題 1.6 圖 1.25 中的磁路有下尺寸
0




 0
 
  2 g   





N i  0



x 
 l c  l p  
1 

X 0 


Ac  8.2cm 2
l c  23cm
l p  2.8cm
g  0.8mm
N  430t u r n s
X 0  2.5cm
a. 假設導磁係數為   2800 0 ，計算當活塞完全收回(X=0)且氣隙中磁通密度為 1.3T 時的電流。
b.
c. 重算 a 小題，假設核心和活塞是非線性的物質所構成，而且其導磁係數可由 下方程式求得

   0 1 




1  0.05 Bm 8 
1199
在此 Bm 指的是磁通密度。
d. 對於部分(b)的非線性的材料來說，使用 MATLAB 繪製氣隙磁場密度作為線
圈電流當 X=0 and X  0.5 X 0
運用 MATLAB 將 Part B 非線性物質的氣隙以線圈電流於X=0和 X  0.5 X 0 為方程式，繪於圖表
解：
(a)
Ac  8.2  10 4 m 2
l c  23  10 2 m
l p  2.8  10  2 m
g  0.8  10 3 m
N  430t u r n s
X 0  2.5  10  2 m
lc
23  10 2
 79.72  10 3 A  turns

Wb
  8.2  10 4 2800  4  10 7  8.2  10 4
lc
2.8  10 2
 9.7  10 3 A  turns
Rp 

7
4
Wb
  Ac 2800  4  10  8.2  10
Rc 
Rg 
2 g
2  0.8  10 3

= 1552.73  10 3 A  turns
Wb
  Ag 4  10 7  8.2  10  4
Rtot  Rc  R p  Rg  1642.15 103 A  turns
Wb
F  N  I    Rtot  B  A  Rtot  I 
B  A  Rtot 1.3  8.2  10 4  1642.15  10 3

 4.071 A
N
430
Hit：
課本解答有誤，因為課本只以單一個氣隙來計算；除非課本的氣隙是畫成如下圖所示
則課本的 R g 解， Rg 
g
即可成立。
 0  Ag
(b)

  0  1 



1199
 0  1 

1  0.05Bm8 
1  0.05 1.38

1199

3
  1.102 10

由 a 小題可知
Rg 
2 g
2  0.8  10 3

 1552.73  10 3 A  turns
Wb
 0  Ag 4  0 7  8.2  10  4
則
lc
23  10 2
 220.56  10 3 A  turns

4
7
4
Wb
  8.2  10
1012  4  10  8.2  10
lp
2.8  10 2
 26.85  10 3 A  turns
Rp 

7
4
Wb
  Ac 1012  4  10  8.2  10
Rc 
Rtot  Rc  R p  Rg  1800.14 103 A  turns
Wb
F  N  I    Rtot  B  A  Rtot
B  A  Rtot 1.3  8.2  10 4  1800.14  10 3
I 

 4.463 A
N
430
(c)
本題是以 Bm=1.3 T、2g 的方式來模擬。
其程式如下：
程 式
Ac=8.2e-4;Xo=2.5e-2;x=0;N=430;
註 解
%宣告參數
lc=23e-2;lp=2.8e-2;g=0.8e-3;
uo=pi*4.e-7;
Ag=Ac*(1-x/Xo);
Bm=linspace(0,1.3,200);
k=sqrt(1+0.05*Bm.^8);
u=uo*(1+1199./k);
Rc=lc./(u.*Ac);
Rp=lp./(u.*Ac);
Rg=2*g/(uo*Ag);
%宣告參數
%宣告參數
%設定 Ag 的公式
%宣告參數
%設定 u 中分子的公式
%設定 u 的公式
%設定 Rc 的公式
%設定 Rp 的公式
%設定 Rg 的公式
R=Rc+Rp+Rg;
I=(Bm.*Ac.*R)./430;
plot(I,Bm,’rx’);
hold
x=12.5e-3;
x1=linspace(0,x,200);
Ag=Ac.*(1-x1./Xo);
Rg=2*g./(uo*Ag);
R=Rc+Rp+Rg
I=(Bm.*Ac.*R)./430;
%設定 R 的公式
%設定 I 的公式
%畫出 I 和 B 的對應關係
%鎖住畫面
%宣告參數
%宣告參數
%設定 Ag 的公式
%設定 Rg 的公式
%設定 R 的公式
%設定 I 的公式
plot(I,Bm,’r*’);
legend(‘x=0’,’x=0.5Xo’,2);
xlabel(‘Current [ A ]’);
%畫出 I 和 B 的對應關係
%設定圖片上的註解
%設定圖片上 X 軸的名稱
ylabel(‘Flux density [ T ]’);
%設定圖片上 Y 軸的名稱
Hit：
本題的 MATLAB 圖形與習題解答出入極大，首要原因為課本的氣隙計算方式有極大的爭議，再
者此處解答疑似以 Bm=2 T 來計算，否則 MATLAB 的 Y 軸是不太可能顯示到 Bm=2 T，且如果以原
解答的 b 小題答案在 Bm=1.3 T、I=3.02 A 在 X=0 的環境下去核對原解答圖形的數據也不太吻合。
下面兩張圖形分別為左圖為原解答、右圖為自己以 Bm=2 T 所模擬下的圖形
1.8 圖 1.24 中的鐵心有下列尺寸
截面積 Ac=3.6 cm 2
平均路徑長 lc=15cm
N= 75 turns
假設導磁係數為   2100 0 ，忽略漏磁和邊緣效應，計算要求達到一個 6.0 mH 的電感的空氣間隙長
度。
Fig 1.24
解：
  N 2 Ac
g   0
L

  o
  
  
 4  10 7  75 2  3.6  10 4   1 

2
  
lc  
  15  10  4.17mm
3
2100
6

10



 
1.9 圖 1.26 的磁路是由有磁性的材料組成。這個圓形磁路有內圈半徑 Ri 及外圈半徑 R0 。假設鐵心的
導磁係數為無窮大(    )，並且忽略邊緣效應和漏磁
。
在
Ri=3.4cm
Ro=4.0cm
h=2cm
g=0.2cm
計算：
a. 平均路徑長 l c 及截面積 Ac
b. 鐵心磁阻 Rc 及缺口部份磁阻 R g
當匝數為 65 匝時，計算
c. 電感 L
d. 當氣隙磁場密度 B g  1.35T 時之電流 I
e. 線圈繞阻上的感應電流
圖 1.26
解：
(a)
lc  2 ( Ro  Ri )  g =3.568cm
Ac  ( Ro  Ri )h  1.2cm 2
(b)
Rg 
g
0.2  10 2
A

 1.33  10 7
7
4
 0 Ac 4  10  1.2  10
wb
Rc 
lc
0
Ac
(c)
L
N2
 0.317 mH
Rc  Rg
(d)
I


Bg Rc  Rg Ac
N
 33.1 A
(e)
  NBg Ac =10.53mWb
1.10 重算習題 1.9 當導磁係數為   750 0
解：
(a)
lc  2 ( R0  Ri )  g  2 (4.0  3.4)  0.2  3.57cm
Ac  ( R0  R)h  (4.0  3.4)  2  1.2cm 2
(b)
Rg 
g
0.2 10 2

 1.33 10 7
 0 Ac 4 10 7 1.2 10 4
A / wb
又因
  750 0
所以
RC 
lc
3.57 10 2

 3.16 10 5
7
4
Ac 750  4 10 1.2 10
A/ w
(c)
L
(d)
I
N2
 0.311mH
Rc  Rg
Bg Rc  Rg Ac
N
 33.8 A
(e)
  NBg Ac  65 1.35 1.2  10.5 mWb
1.11使用MATLAB，以其相關的核心導磁係數由  r  100 到  r  10000 的變化繪出習題1.9中感應體
的感應係數(提示: 將感應係數與相關導磁係數的對數繪於圖表)假設核心導磁係數值無限大，如果要
確保感應係數值在計算結果的五個百分比以內，那麼相關的核心導磁係數的最小質是甚麼?
解：
程
式
註
ur=linspace(100,10000,1000);
ur1=log10(ur);
lc=3.57e-2;g=0.2e-2;
Ac=1.2e-4;N=65;
uo=pi*4e-7;u=uo.*ur;
Rg=0.2e-2/(uo*Ac);
Rc=lc./(u.*Ac);
L=N^2./(Rg+Rc);
plot(ur1,L*1e4,'re')
xlabel('L [mH]');
解
%把 ur 以指數( log )的形式呈現
%把 L 以 mH 的方式呈現
ylabel('log(mur)')
所模擬出的圖形如下：
Hit：
課本的圖有爭議，如果我們以解答所提供的圖片來驗證，以 L  0.425mH 、  r  10000 來推算：
L  0.425mH 
65 2
65 2

Rc  R g Rc  1.33  10 7

 0.425  10 3 Rc  65 2  0.425  10 3  1.33  10 7

 0.425  10 3 Rc  65 2  5652.5  1427.5  0 (負不合)
照理來說 Rc 要為正才對；而且課本的另一個錯誤為課本所設的  r 應該是 100 to 10000 換成 log 的形
式為 2 to 4 而不是 1 to 4，而且課本的 Y 軸也不可能延伸到 0.5mH。
下圖為原課本的解答：
(b)
課本的另ㄧ小題為如果電感減少原來的 5%則最小相對導磁係數  r 為多少？
本題將以 MATLAB 來解我們所要的解，其程式如下：
程
式
lc=2*pi*(4e-2-3.4e-2)-0.2e-2;
uo=pi*4e-7;
Ac=1.2e-4;
Ag=Ac;
Rg=0.2e-2/(uo*Ag);
L=(65^2/Rg)*0.95;
Rc=(65^2-(L*Rg))/L;
ur=lc/(Rc*uo*Ag)
其執行結果如下
ur = 339.1416
 Minimum
 r  339.1416  340
1.12 使用與圖 1.27 中相同的截面積 Ac 、平均路徑長 l c 及導磁係數  r 、匝數，算出電感 L 關係式。
解：

Rc
+
F
Rg

F
Rc  Rg 
F  N I
  0  r

 0 Ag
N  I   0  Ag N  I   0   r  Ac
A
F
F
F c 

R g  Rc
g
lc
g
lc




Ag Ac 

 0  N  I 

 g
lc 


r 

2
 N  0  N  Ag  0  N 2  Ac
L 


lc
I
I
g
r
1.13 圖 1.27 中的磁路有下尺寸
Ac  1.0cm 2
l c  15cm
g  0.8mm
N  480turns
忽略漏磁及邊緣效應並假設  r  1000 ，算出電感
圖 1.27
解：

i
L
和 
i
Rc  Rg
Rc  R g 
L
lc
 0  r Ac

g
 0 Ag
 N 2 Ac
 N 2 Ac
N2
 0
 0
 30.5mH
lc Ac g
lc
Rc  Rg

g
 r Ag
r
1.14 習題 1.13 的鐵心將操作在 60 赫茲的電壓下。(a) 假設可以忽視的線圈電阻，計算鐵心磁場密度
為 1.5 T 時電壓的均方根值(b)在這條件下，計算電流均方根值及峰對峰值最大能量。
解：
(a)
d t 
和 B peak A cos wt
dt
et   NWB peak A cos wt
et    N
E
2fNABpeak
2
 19.2Vrms
(b)
I rms 
Vrms
 1.67 Arms
wL

W peak  0.5L 2 I rms

2
 8.5mJ
1.15細想一下圖片 1.28 當中的磁路。這類結構稱之為 pot-core; 通常是由兩半所組成。當兩部分要
組合在一起的時候，把N匝線圈繞於一個圓柱型的纏線管，這將可以輕鬆的插於核心的中央柱。由於
氣隙位於核心的內部，只要核心不過度的飽和，相當少量的磁通量會是核心導致，因此這類配置對多
種的實際應用特別的有益，類似圖片 1.27中的感應體和變壓器兩者都是。
假設核心導磁係數為 μ = 2500μ0 ，以及 N = 200次。下列的次元被指定為:
R1
h
R2
=
=
=
1.5cm
0.75cm
4cm
g
l
=
=
0.5cm
2.5cm
圖 1.27
a.
圖 1.28
設核心外圍的磁通量密度相當於中央圓柱，求 R3 的值。
b.
雖然磁通量密度於核心的半徑部份(厚度等於 h 的部分)實際上是隨著半徑而減少，假設磁通
量密度保持不變。
( i) 將核心的感應係數以公式表達
(ii) 使用指定的次元解這個公式。
c.
核心將在最高磁通量密度為 0.8T 和頻率 60 的狀況內運作。
求
( i) 線圈所導入的電壓相應的 rms 值。
(ii) rms 的線圈電流。
(iii) 最高的能源儲存值。
d.
設頻率為50Hz, 重複 c。
解：
(a)
R3  R1  R2  1.5 2  4 2  4.27cm
2
2
(b)
L
因為
N 
i
Rc  R g 
然後

and
lc
 0  r Ac

N i
Rc  Rg
g
 0  Ag
題目數字重給所以 Ac  28.25  10 4 m 2
所以
L
  N 2  Ac  0  N 2  Ac
N2
 0

lc
Ac  g
lc
Rc  Rg

g
r
Ag
r

4  10 7  200 2  28.25  10 4
 251mH
2.5  10 2
3
0.5  10 
2500
(c)
因為   2  60  377 rad
sec
 peak  N  Ag  B peak  200  28.25 10 4  0.8  0.452Wb
所以
(i)
Vr m s    p e a k 3 7 7 0.4 5 2 1 7 V1r m s
(ii)
I r m s
Vr m s
171

 1.81Ar m s
  L 377  251 10 3
(iii)
V peak  0.5L  ( 2 I rms ) 2  0.5  251  10 3  ( 2  1.81)  0.817 J
(d)
因為   2  50  314 rad
sec
 peak  N  Ag  B peak  200  28.25 10 4  0.8  0.452Wb
所以
(i)
Vrms     peak  314  0.452  142Vrms
(ii)
I rms 
Vrms
142

 1.81Arms
  L 314  251 10 3
(iii)
V peak  0.5L  ( 2 I rms ) 2  0.5  251  10 3  ( 2  1.81)  0.817 J
1.16 ㄧ個有基本頻率 60HZ 的方波等振幅 E 電壓正負半週適用於 1000 匝
1.25 10 3 m 2 橫截面的封閉鐵心。忽略電阻繞組和任何漏磁通的影響。
a. 描繪電壓，磁通鏈繞組，鐵心量的時間函數。
b. 找出 E 最大磁場密度最大容許值不超過 1.15T。
解：
(a)
  BA  1.25 10 3 cm 2  1.15
  N  1.4375
(b)
設 B peak  1.15T
Emax  4 fNAc B peak  4  60 1000 1.25m 1.15  345V
1.17 設計一個像 fig1.29 形式的磁性鐵心的感應器。鐵心具有相同的面積
Ac  50cm 2 和長度 l c  25cm 。
a.
計算空氣間隙長度 g 和匝數 N 數量當電感為 1.4 mH 以便於感應器能操作在
峰値電流 6A 下而未飽和。假設飽和發生在鐵心最高磁通密度超過 1.7T 時，
低於飽和，鐵心具有此磁通性。
b. ㄧ個感應電流 6A,用在 Eq3.21 去計算 i  在空氣間繫中儲存的磁通量和 ii  在
鐵心中的磁通量.寫出 Eq1.47 給予的全部磁通量。
fig1.29
(a)
閘數的計算 N 
LI
 99turns
AcBsat
空隙長度的計算 g 
 0 NI
Bsat

 0lc
 0.36mm

(b)
Wgap 
AcgB 2 sat
 0.207 J
2 0
Wcore 
AclcB 2 sat
 0.045 J
2
因為 Wtot  Wgap  Wcore
所以 Wtot =0.252 J
1.18 考慮問題 1.17 的感應器。以一篇 MATLAB 手稿的形式寫一個簡單的設計計畫與被要求的電感
有關計算使用次數和空氣間隙長度。 從使用者中,應該求電感(在 mH 裡)的值，隨著輸出作為空氣間
隙以毫米和匝數數量。
此感應器被操作在正弦電流在 60HZ,當感應電流相當於 4.5A 均方根時，鐵心磁通密度將會到達
1.7T。把你寫的拒絕任何設計使間隙長度脫離 0.05 毫米到 5.0 毫米的範圍或者匝數降低於 5。
使用你的程式找到(A) 最小和(b) 最大的電感(對最近的 mH 來說)將滿足規定的限制條件。這些值
中的每個，發現個要求的空氣間隙長度和匝數和不但相當於均方根電壓而且相當於峰値鐵心磁通量。
解：
(a)
Minimum inductance = 4 mH, for which g = 0.0627 mm, N =20 turns
and Vrms = 6.78 V
(b)
Maximum inductance = 144 mH, for which g = 4.99 mm, N =1078 turns
and Vrms = 224 V
1.19
ㄧ個建議儲存能量的機械是由 N 匝線圈環繞在一個大的無磁性    0 
超環面如 Fig.1.30 所示。如圖所示,可以看到，超環面從圓形片段穿越
的周圍和超環面的周圍。測量對橫剖面的中心。這個設備幾何學是這類
磁場可能認為是零到處在超環面之外。假設在 a  r 下，在超環面內的
H 領域可以被認為應用在超環面周遭和相同的大小。
H
Ni
2r
N = 1000 匝, r = 10 m, and a = 0.45 m:
a. 計算線圈電感 L。
b. 這種線圈將會激烈的反應到達 1.75 T 的磁通密度。計算這圓面全部的磁場密度能量當流量密度達
成時。
c. 如果當線圈變成ㄧ樣的比率(i.e.,di/dt = 固定)，計算電壓的極限在 30 秒內必須達到一定的密度,假
設線圈電阻可以忽略。
Figure 1.30
解：
(a)
因為 L 
所以 L 
0 A g N 2
g
 oa 2 N 2 (4 10 -7 ) 0.45m 2 10002

 12.7 mH
2r
2 10m
(b)
因為 Vcore  (2r )a 2  40.0 m 3
所以 W  Vcore (
B2
)  4.87 J
2 0
(c)
因為 T = 30 sec,
di (2rB ) /(  0 N )

 2.92  10 3 A / sec
dt
T
di
v  L  37 V
dt
1.20
圖 1.31 顯示出一個感應器必須由長方形薄鐵心組成，假設鐵心有無限
的導磁性。N 繞匝是用覆以金屬線銅皮絕緣電阻率是  ･m。假設部份
分子量可利用在銅上； 其餘空間用於絕緣。
a. 計算在彎曲的空間內的銅的橫截面積和體積。
b. 在銅線圈裡的電流密度 J cu 為在感應器裡的磁場密度 B 表示。
c 表示出銅電流密度 J cu 在電流繞組 I ，匝數 N 和線圈幾何學，。
d. 表示出電流密度 J cu 在這線圈內的電的功率耗損。
e. 表示出應用的電流密度 J cu 在感應器裡的有磁性的儲存能量。
f. 從(d)和(e)小題中得到感應器中 L / R 的時間常數，注意到表示獨立在線
圈內的匝數並沒有改變電感和鐵心電阻，電感和線圈電阻在匝數改變時。
Figure 1.31 Iron-core inductor for Problem 1.20
解:
(a)
Acu  f wab;
(b)
B  u0 (
J cu Acu
)
g
(c)
Jcu 
NI
Acu
Volcu  2ab(w  h  2a)
1.21 圖 1.31 感應器的尺寸如下
a = h = w =1.5 cm
b = 2 cm
g = 0.2 cm
線圈係數(i.e.,佔用感應器的全部線圈面積的ㄧ小部分)為 0.55。銅的電阻率是 1.73  10 8  .m。線圈被
操作在 35 V 的電壓下，量測氣隙磁場密度為 1.4T。找出在繞阻的消耗功率，繞阻電流，匝數數目，
繞祖祖抗，感應係數，找到最接近的標準尺寸，(提示︰電線尺寸可以從題目中找到 AWG 金屬尺寸，
就美國線規而言表示,並且在感應器中以 m 2 測量) 。
Awire


WG  36  4.312 ln 

8
 1.267  10 
解:
Acu  f w ab  0.55 1.5  2  1.65cm 2
Volcu  2abw  h  2a   2 1.5  21.5  1.5  2 1.5  36cm3
(a) 繞阻消耗功率
Pdiss
 B 2  gVolcu
gVolcu
 
 2Wmag 
 2 gwh
2
2
0 whAcu
2

0 whAcu
0 

 1.42 
1.73 1010  36

 2  0.2 1.5 1.5  

 113.57W 
7 
7
2
 8 10  4 10 1.5 1.5 1.65
(b) 繞阻電流
I
Pdiss 113.57

 3.24 A
V
35
(c) 匝數數目
J cu 
NI

Acu
Pdiss

Volcu
113.57
 1350
1.73  10 10  36
J cu Acu
1350  1.65

 687.5  687匝
I
3.24
(d) 繞阻阻抗
 N 
R
Pdiss
113.57

 10.82 
2
I
3.24 2
(e) 感應係數
 
L 66.86m

 6.18m sec
R
10.82
(f) 線材尺寸
根據查表可知，Wire size=23AWG
1.22 圖 1.32 中 2 個磁性電路有兩個繞組和兩個空氣間隙。核心能被假設為
具有無限的導磁率。核心尺寸如圖所示。
a. 假定線圈傳送電流 I1 和在線組電流 2 變成 0，計算(i) 在各氣隙的磁通
密度，(ii) 求線圈 1 之磁交鏈，以及(iii) 求線圈 2 之磁交鏈。
b. 重複部分(a) ,假設在繞組 1 零電流和在繞組 2 的電流 i2。
c. 重複部分(a) ,假設在繞組 1 的電流為 i1 和繞組 2 的電流為 i2。
d. 算出繞組 1 和 2 的電感自感與互感。
Figure 1.32 Iron-core inductor for Problem 1.22
解:
(a).假設線圈 1 電流為 I1 和線圈 2 電流為 I 2  0 A .
(i) 求各氣隙之磁通密度 B
F 0 A
F 0 A
F 0
 B 

A
g
Ag
g
F A
 0 N1i1
 B1  1 0 1 
; ( F  NI )
A1 g1
g1
B 

; 
 B2 
F2  0 A2
 0 N 2i2

A2 g 2
g2
(ii) 求線圈 1 之磁交鏈  
  N  N 
1  N11 ; 1 
, PS.為時變中之
N1i1
g1
g2
; R1 
; R2 
R1 R2
 0 A1
 0 A2
R1  R2
02 A1 A2
R1 R2
g1 g 2
g1 g 2
 2


R1  R2 0 A1 A2 0  A2 g1  A1 g 2  0  A2 g1  A1 g 2 
 1 
 A1
N12i10  A2 g1  A1 g 2 
A 
 0 N12i1 
 2

g1 g 2
g2 
 g1

(iii) 求線圈 2 之磁交鏈  
2  N 22 ; 2  B2 A2

 A2
 g2
2   0 N1 N 2i1 





(b) 假設線圈 1 電流為 I1  0 和線圈 2 電流為 I 2 .
(i) 求各氣隙之磁通密度 B
F  A
 N i
B1  0; B2  2 0 2  0 2 2
A2 g 2
g2
(ii)求線圈 1 之磁交鏈  
 0 N 2i2
1  N1`2 ; 2  B2 A2 ; B2 
g2
; 2 
 0 N 2i2 A2
g2
 A2 
 1  0 N1 N 2i2 
g 

 2
(iii) 求線圈 2 之磁交鏈  
 A2
 g2
2  N 22  0 N 2i2 





(c) 假設線圈 1 電流為 I 1 和線圈 2 電流為 I 2 .
(i) 求各氣隙之磁通密度 B
B1 
B2 

A1

A2


F1  0 A1

A1 g1
 0 N1i1
g2

(ii) 求線圈 1 之磁交鏈  
 0 N1i1
g1
 0 N 2 i2
g2
1  N1 B1 A1  B2 A2   N1 1  2 
 A1
 A2 
A2 
 1   0 N12i1 
g  g 
   0 N1 N 2i2 
g 

2 
 1
 2
(iii)求線圈 2 之磁交鏈  
(d) 線圈 1 和線圈 2 的互感和自感
 A2
 g2
2  N 2 B2 A2  0 N1 N 2i2 

 A2 
2

  0 N 2 i2 
g 


 2
 A1 A2 
A 
i1   0 N1 N 2  2 i2

 g1 g 2 
 g2 
A 
A 
2  N 2  L21i1  L21i2  0 N1 N 2  2 i1  0 N 22  2 i2
 g2 
 g2 
1  N1  L11i1  L12i2  0 N12 
A A 
A 
A 
 L11   0 N12  1  2 ; L22   0 N 22  2 ; L12  L21   0 N1 N 2  2 
 g1 g 2 
 g2 
 g2 
1.23 圖 1.33 均勻的磁性迴路有 3 個線組。線組 A 和 B
核心各自有 2 個底腳架,核心的尺寸如圖所示。
a. 找出繞組的自感。
b. 找出在 3 對繞組之間的相互電感。
c. 找出 i A (t ) 和 i B (t ) 在繞組 A 和繞組 B 變化時間的繞組 1 的電壓感應,表現出
電壓可以用在測量不安定的 2 個同頻率的正弦電流。
解:
先求出各區段的磁組
RA 
lA
l
l
g
R1  1 R2  2 Rg 
Ac
Ac
Ac
Ag
帶入 L 
L11 
N2
(兩個 RA 並聯)
R tot
N2
R1  Rg

R
 R2  A
2
N 2 Ac
l1  l2 
lA
2
R1  R2  R g 


N2
1
l
g
(l1  l2  A 
)
Ac
2
0
g
0
1
g
(l1  l 2 
)
Ac
0
R A // R1  R2  Rg 
Ac
lA

Ac
l1  l2 
g
0

L AA 
g
0
Ac (l1  l2  l A 
)
g
0
)
N2
 LBB
R A  ( R A // R1  R2  Rg )
N 2 Ac (l A  l1  l2 

l A (l A  l1  l2 

l A (l1  l2 
g
0
g
0
)
)  l A (l1  l2 
l A  l1  l2 
g
0
)
g
N Ac
0
g
lA
l A  2(l1  l2 
)
2
0
LAB  LBA 

N 2 ( R1  R2  Rg )
RA ( RA 2( R1  R2  Rg ))
l1  l2 
g
N Ac
0
g
lA
l A  2(l1  l2 
)
2
0
因為兩繞組的磁通方向不一樣故
L1A  L A1   LB1   L1B 

 NN1Ac
l A  2(l1  l2 
 NN1
R A  2( R1  R2  Rg )
g
0
)
依 1.41 公式,考慮繞組 A,B 對繞組一的互感
e
d
d
d
d
Li  ( LA1iA  LB1iB )  ( LA1iA  LA1iB )  LA1 (iA  iB )
dt
dt
dt
dt
1.24 在圖 1.34 往複移動發電機，有一個可移動的活塞(x 軸)支援，它能在這個軛鐵附近的每邊上保
持長度和固定的氣隙，這個有磁性的軛鐵裡。兩個軛鐵和活塞可以考慮有無限的導磁性。活塞的動作
是被迫式的，因此它的位置局限於 0  x   。
在磁性回路中有兩個繞組,一次側 N1 匝和固定直流電流 I 0 ，二次測 N2 開路並且可以連結到負載，忽
視任何邊緣效應，找到相互電感在 1 與 2 之間一樣的函數活賽位置 x 。從外部來源來驅動活塞,所以
他的動作來自於
x(t ) 
w(1   s i nt )
2
哪裡   1，找出一個表示正弦電壓，哪個是由他的動作產生結果的。
解：
(a)

N2
L 
i 2R


L12 
N1  N 2
，( Ac  Ag )
g
2
 0  Ag
  N1  N 2
N1  N 2
 0
[ D(  x)]
2 g
2 g
 0  D  x 
(b)

d2 d ( I 0  L12 )
dL
d    N1  N 2

 I 0  12  I 0  0
[ D(  x)] 
dt
dt
dt
dt 
2 g

  N1  N 2
d
 I0  0
 D    x 
2g
dt
2 
   N1  N 2
  0
2 g

     w 

 cos t
2



1.25 圖 1.35 顯示一個構造能用來測量有磁性特色的電鋼，用敲打或切割的方式到圓片來測試那些材
料來知道哪個是比較勻偁的，(和散佈絕緣避免;旋渦電流形成)。兩個繞組是完成層壓疊放:一次側,N
匝薄片習慣於引起磁場;二次側 N2 習慣於感應磁通量。正確的結果需要磁通量密度內部層壓一致，如
果層壓寬度完成 t  R 0  R1 是比半徑小的如果引起繞組一致圍繞層壓堆由於分析的目的，假設每個層壓
的厚度  。也假設繞組 1 是由電流引起 i1  i0 sin  t 。
a. 找出磁場密度 H 在層壓和電流 i1 在繞組 1 的關聯。
b. 找出電壓  2 和在層壓磁場密度 B 的關聯。
c. 找出電壓  0  G   2 dt 和磁場密度的關聯。
從這個問題中 我們可以知道磁通密度 H 和磁通密度 B 在層壓中是和電流 i1 ,電壓 i1 成比例的,可以知道
常數。因此 B 和 H 在磁鋼可以測量密度, B-H 特性在 1.3 和 1.4 部分討論。
解：
(a)
圓周長= 2 r
圓環的半徑： t  Ri 
 FN
1
HN
1
R0  Ri
R  Ri  2Ri R0  Ri
 Ri  0

2
2
2
 i1  B    H  l
 i1
N1  i1
N1  i1


2 ( Ri  R0 )  ( R1  R0 )
l
2
(b)
2 
d d ( N 2   )
d
d ( B  A)

 N2
 N2
dt
dt
dt
dt
 N 2tn 
db
，( A  t n  ,
dt
 t n  為截面積 A)
(c)
 0  G   2 dt  G  N 2 t n 
db
 GN 2 t n B
dt
1.26 從圖 1.10 直流磁化曲線中可能計算有關導磁性  r 
Bc
 0 H c  M-5 電鋼與這 Bc
磁量水平功能。
假設核心如圖 1.2 是由 M-5 電鋼製成,尺寸如例題 1.1 所示。計算最大磁通密度。因此核心磁阻的從未
超過總磁路磁阻的百分之 5。
解：
依據 Example 1.1 所給我們的尺寸分別為
Ac  Ag  9cm 2 ， g  0.05cm ， l c  30cm ， N  500turns
Rtot1  Rg  Rc  4.46 105
Hit: Rtot1 為 Example 1.1 所求得 Rtot 的數據。
所以本題目之解為
g
Rg 
 4.42  10 5
 0  Ag
Rc 
lc
333

  Ac

Rtot
 1.05 
Rtot1
333
4.42  10 5 
4.46  10

5
 4.42  10 5 


333

333


333

 1.05
 4.68  10 5

 4.68  10 5  4.42  10 5

 26  10 3
   12.8  10 3
Bc
B
r 
 r  0    c
0  H c
Hc
   12.8 10
Bc
Hc
由下圖 Fig 1.10 去求得 maximum flux density ( Bmax )
3

由上圖對  
Bc
可求得近似值 Bmax  1.72 Wb 2 ，與原解答的 Bmax  1.66 有些許的差距；因為此數值
m
Hc
以曲線為依據所對照的 Bc 與 H c 相除以接近   12.8  10 3 為依據，無法像原解答如此精準(原作者有
可能以 MATLAB 來求此 Bmax
的值)。
1.27 In order to test the properties of a sample of electrical steel, a set of laminations of the form of Fig. 1.35
have been stamped out of a sheet of the electrical steel of thickness 3.0 mm. The radii of the laminations are
Ri  75mm and Ro  82mm . they have been assembled in a stack of 10 laminations (separated by
appropriate insulation to eliminate eddy currents) for the purposes of testing the magnetic properties at a
frequency of 100 HZ.
The flux in the lamination stack will be excited from a variable-amplitude, 100-Hz voltage source whose
peak amplitude is 30 V (peak-to-peak). Calculate the number of turns N1 for the excitation winding
required to insure that the lamination stack can be excited up to a peak flux density of 2.0 T.
With a secondary winding of N 2  20 turn and an integrator gain G  1000 , the output of the integrator is
observed to be 7.0 V peak-to-peak. Calculate (i) the corresponding peak flux in the lamination stack and (ii)
the corresponding amplitude of the voltage applied to the excitation winding.
為了測試電子樣品的特性, 圖 1.35 的形式的分片被蓋在厚度電子鋼的板子外面 3.0 毫米。這疊片的
半徑 Ri  75mm and Ro  82mm。他們裝配了在堆 10 個分片(由適當的絕緣分離消滅漩渦潮流) 為的
就是測試磁性的目的以 100 赫茲頻率。
a. 從可變振幅 100 赫茲電壓電源在分片內推流出將被激磁的振幅是 30V 。
為了計算 N1 激磁線圈所需求疊片厚度由 2.0T 來決定讓這層層片能被激磁向上到峰値磁通密度。
b. 用一個二次繞組的線圈Ｎ2＝20 和一個積分電路閘極Ｇ＝1000，這積分電路的輸出測量為 7.0Ｖ。
1. 求出在這層層片相對應的峰値通量。
2. 求出激磁線圈相對應的作用半徑被電壓外加多少。
解：
(a)
本小題是指在這樣的厚度下要繞幾圈才可使 B peak  2.0 T
Bc  Bmax sin t  B peak sin t
e

d ( B peak sin t )
d ( Bc  Ac )
d
d
N
N
 NAc
 NAc B peak cos t
dt
dt
dt
dt
V peak to peak
V peak
2
N1 

，(t=總厚度)
Ac B peak  t  ( Ro  Ri )  B peak  
30
2

3  10 3  10  (82  10 2  75  10 2 )  2  (2  100)



15
 57turns
(3  10 )  (7  10 3 )  2  628
3
(b)
(i) 本小題為求輸出端的 B peak
B peak 
B
Vo, peak
CN 2 t ( Ro  Ri )
Vo, peak to peak
peak

Vo, peak
GN 2 t ( Ro  Ri )

2
GN 2 t ( Ro  Ri )
7
2

1000  20  (3  10 3  10)  (82  10 3  75  10 3 )
3.5
3.5


 0.833T
3
3
1000  20  (30  10 )  (7  10 ) 4.2
(ii)
本小題是指在相同振幅下的輸出電壓下反映到輸入到激磁線圈的電壓是多少。
V1  N1t ( R0  Ri )B peak  57  (30 10 3 )  7 10 3  628  0.833  6.25Vo , peak
1.28 The coils of the magnetic circuit shown in Fig. 1.36 are connected in series so that the mmf’s of paths A
and B both tend to set up flux in the center leg C in the same direction. The coils are wound with equal
turns, N1  N 2  100 . The dimensions are:
Cross-section area of A and B legs=7Cross-section area of C legs=14 Length of path = 17 cm
Length of B path = 17 cm
Length of C path = 5.5 cm
Air gap = 0.4 cm
The material is M-5 grade, 0.0012-in steel, with a stacking factor of 0.94. Neglect fringing and leakage.
a. How many amperes are required to produce a flux density of 1.2T in the air gap?
b. Under the condition of path (a), how many joules of energy are stored in the agnetic field in the air gap?
c. Calculate the inductance.
圖 1.36 繞組的磁電流是用串連連接
在相同的距離下中心支線 C 來裝配磁通在 A 和 B 中路線的磁波。
這線圈是用相等的繞組圍繞著，N1＝N2＝100
尺寸如下
橫截面積 A 和 B 的支線＝17 平方公分
橫截面積 C 的支線＝14 平方公分
A 繞組支路的線 17 公分
B 繞組支路的線 17 公分
氣隙＝0.4 公分
這個材質是用 0012 鋼製成，M-5 梯度和疊壓係數 09.4 組成。
忽略邊緣通量和漏磁
A 在這 1.2T 的磁通密度氣隙中需要多少安陪？
B 在（A）部分條件下，氣隙中磁場儲存多少能量的焦耳？
C 求電感值？
解:
(a)
由圖 1.10 所示,M-5 要產生 1.2T 需要磁場強度為 H m  14( A
所以所需的磁通密度為 H g 
B
0

M
)
1.2
 9.54  105 ( A )
M
4  10 7
依照 F  Ni  Hl 的公式求出電流
Hl 14  (17  5.5  0.4)  10 2  9.54  105  0.4  10 2
I

 38.2
N
100
在乘上堆疊因數 0.94 ,
38.2  0.94  35.9( A)
(b)
依公式 1.47 式整理得 W    ( N )2 
2
2L
2
2
N
R
g
2
B 2 Ag
0 Ag
2

gAg B 2
2 0
 3.21( J )
4
其磁交鏈為:   N  NAg B  100  7 10 1.2  0.084(wb)
故電感值為: L  
I  0.084  35.9  2.34(mH )
1.29 The following table includes data for the top half of a symmetric 60-Hz hysteresis loop for a specimen
of magnetic steel：
Using MATLAB, (a) polt this data, (b) calculate the area of the hysteresis loop in joules, and (c) calculate
the corresponding 60-Hz core loss in Watts/kg. The density of M-5 steel is 7.65 g / cm 3 .
以下的表格，包括了已知數據是為了一個磁剛樣本對稱 60HZ 磁滯曲線的半頂點
使用 MATLAB
A 畫出這個基準線。
B 求出磁滯曲線的面積。
C 求出相對應的 60HZ 鐵心損失。
（M-5 鋼製的密度是 7.65g/cm3）
解：
(a)
其撰寫程式如下：
%上面的 X、Y 分別以矩陣的方式列出
x=[48 52 58 73 85 103 135 193 80 42 2 -18 -29 -40 -45 -48];
y=[0 0.2 0.4 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0.95 0.9 0.8 0.7 0.6 0.4 0.2 0];
plot(x,y,'re');
%畫出圖形
xlabel('H [ A-turns/m ]'); %貼上 X 軸的標籤
ylabel('B [ T ]');
其所產生的圖形如下：
%貼上 Y 軸的標籤
(b)
在原來的程式底下再加上此一段程式
%此指令是利用梯形積分法 y=f(x)的方式,且 X 距離為 0~1~0 所以為 2X
A=trapz(2*x,y) ;
 其面積為 Area=190.95 m
=190.95 焦耳  191 焦耳(c).
由課本所給的數值可知 B=1.0
 Bmax  B  2  1.414
2
對照課本查 Figure 1.14 的圖可知在 Bmax 下 Core loss=1.5 W / kg
1.30 Assume the magnetic circuit of Problem 1.1 and Fig. 1.24 to be made up of M-5 electrical steel with the
properties described in Figs. 1.10, 1.12, and 1.14. Assume the core to be operating with a 60-Hz sinusoidal
flux density of the rms flux density of 1.1 T. Neglect the winding resistance and leakage inductance. Find the
winding voltage, rms winding current, and core loss for this operating condition. The density of M-5 steel is
7.65 g
cm 3
.
假設習題 1-1 磁路和圖 1-24
在圖 110.～.12～114 用個適當的來描述製造下 M-5 的電爐鋼。
假設鐵心用一個.T 的有效磁通密度 60HZ 正弦得磁通密度來開始運算。
（忽略繞組電阻和漏磁電感）
在這些條件下，求出繞組電壓，有效繞組電流和鐵心損失。
（M-5 鋼製的密度是
7.65 g
cm 3 .）。
解：
由 Problem 1.1 所給的規格得知
Brms  1.1 ， Trms  1.56Tmax ，f=60HZ，   377
V
d ( Bc Am )
d ( Bmax sin 377t )
d
d
 NAm Bmax  cos 377t
N
 NAm
 NAm
dt
dt
dt
dt
V
rms
 Vmax  2  ( NAm Bmax )  2  NAm Brms  62V
由查表得知， Bmax  1.56 T 時， Pc  1.08 W
kg
， P0,rms  2 VA
kg
， H  50 A  turns ， l  0.6m
m
鐵心體積= Ac  l c  1.8  10 3  0.6  1.08  10 3 m 2
鐵心密度(density)= 7.65 g
cm 3
 7.65  10 3 kg
cm 3
 7.65  10 3 kg
m3
鐵心重量 Wcore  1.08  10 3  7.65  10 3  8.26kg
P
c
 1.08W
kg
 8.262kg  8.92W ， Po,rms  2VA
鐵心上的虛功率 Qc  16.524 2  10.4 2  12.84VAR
由 Problem1.1 得知
   ， Rc  0 ， Rg  1.017  10 6 A
Wb
Lg 
N2
83 2

 6.77  10 3 H
R 1.017  10 6
X Lg  Lg  2.55
2
氣隙上的虛功率 Q g 
Vrms
62 2

 1507.45VAR
XL
2.55
kg
 8.262kg  16.524VA
 VA
 Pc  (Qc  Q g ) 2  8.92 2  (12.84  1507.45) 2
2
rms
I
rms
 8.92 2  1520.29 2  1520.29VA
VArms 1520.29

 24.5V
Vrms
62

1.31 Repeat Example 1.8 under the assumption that all the core dimensions are doubled.
解：
此題目本意為當鐵心的尺寸都變為 2 倍時，則依 Example 1.8 所問的(a)(b)和(c)問題各為多少。所以本
題目為觀念題，只要把 Example 1.8 所解出來的數值在加以應用即可，無須再進行複雜的計算。
(a)
截面積=2 倍長×2 倍寬=4 倍的原截面積
e
d ( B0 Am )
d ( Bmax sin 377t )
d
d
N
 NAm
 NAm
dt
dt
dt
dt
 NAm Bmax  cos 377t
由上面此公式可知，當
e  N   Ac  Bmax  cos 377 ，( e  Ac 成正比)
e
new
 4  (274 cos(377t ))  1096 cos(377t )V
(b)
F  N  I    Rc  B  Ac  Rc  B 
 I  Bl
lc

l
，(當 l c  時，則 I  ，
N
 I new  2  0.13  0.26 A
c
c
 成正比 )
(c)
Vc ,new  2 倍長×2 倍寬×2 倍路徑長=8 倍的體積
W
c , new
P
a , new
I  ,new 
 Vc ,new ×密度=8 倍的重量
 6 Pa
Pa ,new
8  Pa

 2  I  ,rms  2.0 A
4
enew
e
2
2
(d)
Pc ,new  8 Pc  8  16  128W
1.32 Using the magnetization characteristics for samarium cobalt given in Fig.1.19, find the point of
maximum energy product and the corresponding flux density and magnetic field intensity. Using these
values, repeat Example 1.10 with the Alnico 5 magnet replaced by a samarium-cobalt magnet. By what
factor does this reduce the magnet volume required to achieve the desired air-gap flux density?
圖 Fig.1.19 的 Samarium-cobalt 為近乎一條直線的磁化曲線，求最大能量的值和相對應的磁通密度和
感應密度。
使用這些值，重複 EX1.10，用一個 5 合金磁鐵來代換 Samarium-cobalt 磁鐵，由於降低磁鐵體積因素
來完成達到需求的氣隙磁通密度？
解：
以致於他們的直線的斜率為一個固定值，所以由此可以找出
0.94
 0.47T
2
把 Bsamarinmcobalt 的值對映到 Samarium-cobalt 的直線上在映射到 X 軸的磁場強度 H 上即可求得
Bsamarinmcobalt 
H samarinmcobalt 所以我們得到 H samarinm cobalt  360 KA m
  m   g  Bm Am  B g Ag
 Am  (
Bm
0.8
)  Ag  (
)  2.0cm 2  3.40cm 2
Bg
0.47
F  N  I  H  l  H m  lm  H g l g
令 H m  lm  H g  g  0  H m  lm  H g  g
Bg
則 l m  (
 (
Hg
Hm
)  g  (
Hg
H samarinmcobalt
)  g  (
0
H samarinmcobalt
) g


0.8
)  g  
 0.2cm =0.35 ㎝
7
5 
 0  H samarinmcobalt
 (4  10 )  (3.6  10 ) 
Bg
magnet volume ＝3.4×0.35＝1.19 cm 3
factor 
5.09
 4.3
1.19
 在應用體積要減少為原來的 4.3 倍才可使 air-gap 的 flux density 保持不變。
1.33 Using the magnetization characteristics for neodymium-iron-boron given infig1 find the point of
maximum-energy product and corresponding flux density and magnetic field intensity . Using these
values .repeat EX1.10 with the alnico 5 magnet replaced by a neodymium-iron-boron magnet. By what
factor does this reduce the magnet volume required to achieve the desired air-gap flux density?
Fig.1 Magnetization curves for common is permanent-magnet materials
利用圖 1 的 neodymium-iron-boron 磁化曲線可找出最大能量需求的尖峰和相對應的磁通密度和感應密
度。
使用這些值，重複 EX1.10，用一個 5 合金磁鐵來代換 neodymium-iron-boron 磁鐵，由於降低磁鐵體
積因素來完成達到需求的氣隙磁通密度？
解:
從圖 1 可以得知 B = 0.63 T and H = -470 kA/m，所以最大功率為
2.9  105 J / m 3
Am =Ag ( Bg / Bm) = 2×[0.8/0.63] = 2.54 cm 2
lm = g(Hg/Hm)=  g ( Bg / 0 Hm) =  0.2(0.8 /  0 ( 4.7 *105 )) = 0.27 cm
所得到的值為 2.54× 0.25 = 0.688
新的功因為 5.09/0.688 = 7.4
1.34 Figure2 shows the magnetic circuit for a permanent-magnet loudspeaker the voice coil (not shown)is in
the form of a circular cylindrical coil which fits in the air gap .a samarium-cobalt magnet is used to create
the air-gap dc magnetic field which interacts with the voice coil currents to produce the motion of the voice
coil . the designer has determined that the air gap must have radius R=1.8cm.length g=0.1cm , and height
g=0.1cm , and height h=0.9cm . assuming that the yoke and pole piece are of infinite magnetic permeability
(    ),find the magnet hm and the magnet radius R m that wall result in an air-gap magnetic flux density
of 1.2 T and require the smallest magnet volume.(Hint : Refer to EX1.10 and to Fig.1.19 to find the point of
maximum energy product for samarium cobalt.)
Fig.2 Magnetic circuit for the loudspeaker of problem
圖 2 是一個從氣隙爭裝置一個從圓柱線圈到音圈的永久磁鐵喇叭的磁路。
一個 samarium-cobalt 磁鐵來創造氣隙直流磁場，用一個音圈電流來產生擺動音圈互相感應。
這個受記者已經決定氣隙中必須有 R 的半徑 1.8 公分和ｇ的長度 0.1 公分和ｈ的高度有 0.9 公分。
假設磁頭組和磁極是這無窮大的磁鐵導率(    )，結果是在 1.2T 的氣隙磁通密度中找出 hm 和 R m 跟
最小磁鐵體積的需求。
（HINT：參考 EX1.10 和圖 1.19 就可找出 samarium cobalt 產生最大能量的值）。
解:
從 Fig. 1,
最大能量的產生在，B = 0.47 T and H = -360 kA/m 計算得
we want Bg = 1.2 T, Bm = 0.47 T and
Hm = −360 kA/m.
hm = −g (Hg / Hm) =  g ( Bg / 0 Hm) = 2.65 mm
Am = Ag (Bg / Bm) = 2πRh(Bg/Bm) = 26.0 (R=1.8cm and h=0.9cm)
所以最小值為 Rm  Am /   2.87cm
1.35
It is desired to achieve a time-varying magnetic flux density in the
air gap of the magnetic circuit of Fig. 1.38 of the form
B g  B0  B1 sin t
where B0 = 0.5 T and Bl = 0.25 T. The dc field B0 is to be created by a
neodimium-iron-boron magnet, whereas the time-varying field is to be created
by a time-varying current.
For Ag = 6 cm2, g = 0.4 cm, and N = 200 turns, find:
a. the magnet length d and the magnet area Am that will achieve the desired dc air-gap flux density and
minimize the magnet volume.
b. the minimum and maximum values of the time-varying current required to achieve the desired
time-varying air-gap flux density. Will this current vary sinusoidally in time?
Fig 1.38
從 B g  B0  B1 sin t 和 B0 = 0.5 T and Bl = 0.25 T.圖中 1.38 的氣隙中的磁流…希望達到隨著時間變
化的磁通密度。
直流磁場 B0 產生一個 neodimium-iron-boron 磁鐵隨著時間變化的磁場將產生隨著時間變化的電流。
Ag = 6 cm2, g = 0.4 cm, and N = 200 turns
求：
A.磁鐵的長度 d 和磁鐵面積 Am，希望直流氣隙磁通密度和使磁鐵體積降到最小的需求。
B.最大和最小的體積從隨著時間變化的電流開始到完成要求隨著時間變化的氣隙磁通密度。
由於 nodymium-iron-boron 的磁化曲線為一條直線且斜率固定，所以其查表方式與前面的 1.32 題的查
法類似。所以我們可以求得：
Bm  0.36 T
H m  470 KA
m
 470  10 3 k
A
因為此題的鐵心有兩種不同的材質
Bm   R H m  Br
(Hint: Br  Bneo dim iumironboron,max  1.26T )
 0.63   R  (470  10 3 )  1.26
  R  (470  10 3 )  1.26  0.63
 R 
0.63
 1.34  10 6  1.067   0
3
470  10
F  N  I    R  Bm  Am  R  H  1  ( H m  d  H g  g )
其中 Bm  Am  B g  Ag
(a)
當 t=0 時，i(t)=0， B g  B0  B1 sin( t )  0.5  0.25 sin(   0)  0.5
 在 t=0 時， B g 最小 L 最大且所產生的能量也最大。
  Bm Am  Bg Ag  Am  (
 Am  (
Bg
Bm
)  Ag
0.5
)  6  4.76cm 2
0.63
F  N  I  H 1  H m  d  H g  g
Bg
 (
Hg
Hm
)  g  (
0
Hm
)  g  (

0.5
 
7
3
 4  10   470  10

 

Bg
0  H m
) g

  0.4  0.3386 ㎝

(b)
  1  sin t  1
 B g  B0  B1 sin t  0.5  2.5 sin t  2.5  B g  7.5
F  N  I    R    ( Rm  R g )   r  Rr
Rm 
d
0.3386

 52.77  10 3 A  turn
Wb
 R  Am 1.067   0  4.76
Rg 
g
0.4

 53.05  10 3 A  turn
7
Wb
 0  Ag 4  10  6
I
  ( Rm  R g )   r  R R
Bg  (


N
Ag  d
 R  Am

g
0
)
Bg  A  (

200
Br  d
200
B g  (6366.25)  1590.94
R
d
g
d

)  Br  Am 
 R  Am  0  Ag
 R  Am

Bg  (3183.15  3183.1)  1590.94
200
200
 當 B g  0.75 時， I  15.9 A，當 B g  0.25 時， I  3.11mA