1.27 In order to test the properties of a sample of electrical steel, a set of laminations
of the form of Fig. 1.35 have been stamped out of a sheet of the electrical steel
of thickness 3.0 mm. The radii of the laminations are Ri  75mm and
Ro  82mm . they have been assembled in a stack of 10 laminations (separated
by appropriate insulation to eliminate eddy currents) for the purposes of
testing the magnetic properties at a frequency of 100 HZ.
The flux in the lamination stack will be excited from a variable-amplitude,
100-Hz voltage source whose peak amplitude is 30 V (peak-to-peak).
Calculate the number of turns N1 for the excitation winding required to
insure that the lamination stack can be excited up to a peak flux density of 2.0
T.
With a secondary winding of N 2  20 turn and an integrator gain G  1000 ,
the output of the integrator is observed to be 7.0 V peak-to-peak. Calculate (i)
the corresponding peak flux in the lamination stack and (ii) the corresponding
amplitude of the voltage applied to the excitation winding.
為了測試電子樣品的特性, 圖 1.35 的形式的分片被蓋在厚度電子鋼的板子外面
3.0 毫米。這疊片的半徑 Ri  75mm and Ro  82mm 。他們裝配了在堆 10 個分
片(由適當的絕緣分離消滅漩渦潮流) 為的就是測試磁性的目的以 100 赫茲頻
率。
a. 從可變振幅 100 赫茲電壓電源在分片內推流出將被激磁的振幅是 30V 。
為了計算 N1 激磁線圈所需求疊片厚度由 2.0T 來決定讓這層層片能被激磁向
上到峰値磁通密度。
b. 用一個二次繞組的線圈Ｎ2＝20 和一個積分電路閘極Ｇ＝1000，這積分電路
的輸出測量為 7.0Ｖ。
1. 求出在這層層片相對應的峰値通量。
2. 求出激磁線圈相對應的作用半徑被電壓外加多少。
解：
(a)
本小題是指在這樣的厚度下要繞幾圈才可使 B peak  2.0 T
Bc  Bmax sin t  B peak sin t
e

d ( B peak sin t )
d ( Bc  Ac )
d
d
N
N
 NAc
 NAc B peak cos t
dt
dt
dt
dt
V peak to peak
V peak
2
N1 

，(t=總厚度)
Ac B peak  t  ( Ro  Ri )  B peak  
30
2

3  10 3  10  (82  10 2  75  10 2 )  2  (2  100)



15
 57turns
(3  10 )  (7  10 3 )  2  628
3
(b)
(i) 本小題為求輸出端的 B peak
B peak 
B
Vo, peak
CN 2 t ( Ro  Ri )
Vo, peak to peak
peak

Vo, peak
GN 2 t ( Ro  Ri )

2
GN 2 t ( Ro  Ri )
7
2

3
1000  20  (3  10  10)  (82  10 3  75  10 3 )
3.5
3.5


 0.833T
3
3
1000  20  (30  10 )  (7  10 ) 4.2
(ii)
本小題是指在相同振幅下的輸出電壓下反映到輸入到激磁線圈的電壓是
多少。
V1  N1t ( R0  Ri )B peak  57  (30 10 3 )  7 10 3  628  0.833  6.25Vo , peak
1.28 The coils of the magnetic circuit shown in Fig. 1.36 are connected in series so
that the mmf’s of paths A and B both tend to set up flux in the center leg C in
the same direction. The coils are wound with equal turns, N1  N 2  100 . The
dimensions are:
Cross-section area of A and B legs=7Cross-section area of C legs=14 Length
of path = 17 cm
Length of B path = 17 cm
Length of C path = 5.5 cm
Air gap = 0.4 cm
The material is M-5 grade, 0.0012-in steel, with a stacking factor of 0.94.
Neglect fringing and leakage.
a. How many amperes are required to produce a flux density of 1.2T in the air
gap?
b. Under the condition of path (a), how many joules of energy are stored in the
agnetic field in the air gap?
c. Calculate the inductance.
圖 1.36 繞組的磁電流是用串連連接
在相同的距離下中心支線 C 來裝配磁通在 A 和 B 中路線的磁波。
這線圈是用相等的繞組圍繞著，N1＝N2＝100
尺寸如下
橫截面積 A 和 B 的支線＝17 平方公分
橫截面積 C 的支線＝14 平方公分
A 繞組支路的線 17 公分
B 繞組支路的線 17 公分
氣隙＝0.4 公分
這個材質是用 0012 鋼製成，M-5 梯度和疊壓係數 09.4 組成。
忽略邊緣通量和漏磁
A 在這 1.2T 的磁通密度氣隙中需要多少安陪？
B 在（A）部分條件下，氣隙中磁場儲存多少能量的焦耳？
C 求電感值？
解:
(a)
由圖 1.10 所示,M-5 要產生 1.2T 需要磁場強度為 H m  14( A
所以所需的磁通密度為 H g 
B
0

M
)
1.2
 9.54  105 ( A )
M
4  10 7
依照 F  Ni  Hl 的公式求出電流
Hl 14  (17  5.5  0.4)  10 2  9.54  105  0.4  10 2
I

 38.2
N
100
在乘上堆疊因數 0.94 ,
38.2  0.94  35.9( A)
(b)
依公式 1.47 式整理得 W    ( N )2 
2
2L
2
2
N
R
g
2
B 2 Ag
0 Ag
2

gAg B 2
2 0
 3.21( J )
4
其磁交鏈為:   N  NAg B  100  7 10 1.2  0.084(wb)
故電感值為: L  
I  0.084  35.9  2.34(mH )
1.29 The following table includes data for the top half of a symmetric 60-Hz
hysteresis loop for a specimen of magnetic steel：
Using MATLAB, (a) polt this data, (b) calculate the area of the hysteresis loop in
joules, and (c) calculate the corresponding 60-Hz core loss in Watts/kg. The
density of M-5 steel is 7.65 g / cm 3 .
以下的表格，包括了已知數據是為了一個磁剛樣本對稱 60HZ 磁滯曲線的半
頂點
使用 MATLAB
A 畫出這個基準線。
B 求出磁滯曲線的面積。
C 求出相對應的 60HZ 鐵心損失。
（M-5 鋼製的密度是 7.65g/cm3）
解：
(a)
其撰寫程式如下：
%上面的 X、Y 分別以矩陣的方式列出
x=[48 52 58 73 85 103 135 193 80 42 2 -18 -29 -40 -45 -48];
y=[0 0.2 0.4 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0.95 0.9 0.8 0.7 0.6 0.4 0.2 0];
plot(x,y,'re');
%畫出圖形
xlabel('H [ A-turns/m ]');
%貼上 X 軸的標籤
ylabel('B [ T ]');
%貼上 Y 軸的標籤
其所產生的圖形如下：
(b)
在原來的程式底下再加上此一段程式
%此指令是利用梯形積分法 y=f(x)的方式,且 X 距離為 0~1~0 所以為 2X
A=trapz(2*x,y) ;
 其面積為 Area=190.95 m
=190.95 焦耳  191 焦耳(c).
由課本所給的數值可知 B=1.0
2
 Bmax  B  2  1.414
對照課本查 Figure 1.14 的圖可知在 Bmax 下 Core loss=1.5 W / kg
1.30 Assume the magnetic circuit of Problem 1.1 and Fig. 1.24 to be made up of M-5
electrical steel with the properties described in Figs. 1.10, 1.12, and 1.14.
Assume the core to be operating with a 60-Hz sinusoidal flux density of the rms
flux density of 1.1 T. Neglect the winding resistance and leakage inductance.
Find the winding voltage, rms winding current, and core loss for this operating
condition. The density of M-5 steel is 7.65 g
cm 3
.
假設習題 1-1 磁路和圖 1-24
在圖 110.～.12～114 用個適當的來描述製造下 M-5 的電爐鋼。
假設鐵心用一個.T 的有效磁通密度 60HZ 正弦得磁通密度來開始運算。
（忽略繞組電阻和漏磁電感）
在這些條件下，求出繞組電壓，有效繞組電流和鐵心損失。
（M-5 鋼製的密度是
7.65 g
cm 3 .）。
解：
由 Problem 1.1 所給的規格得知
Brms  1.1 ， Trms  1.56Tmax ，f=60HZ，   377
V
d ( Bc Am )
d ( Bmax sin 377t )
d
d
 NAm Bmax  cos 377t
N
 NAm
 NAm
dt
dt
dt
dt
V
rms
 Vmax  2  ( NAm Bmax )  2  NAm Brms  62V
由查表得知， Bmax  1.56 T 時， Pc  1.08 W
kg
， P0,rms  2 VA
kg
，
H  50 A  turns m ， l  0.6m
鐵心體積= Ac  l c  1.8  10 3  0.6  1.08  10 3 m 2
鐵心密度(density)= 7.65 g
cm
3
 7.65  10 3 kg
cm 3
 7.65  10 3 kg
m3
鐵心重量 Wcore  1.08  10 3  7.65  10 3  8.26kg
P
c
 1.08W
kg
 8.262kg  8.92W ， Po,rms  2VA
kg
 8.262kg  16.524VA
鐵心上的虛功率 Qc  16.524 2  10.4 2  12.84VAR
由 Problem1.1 得知
   ， Rc  0 ， Rg  1.017  10 6 A
Wb
N2
83 2
Lg 

 6.77  10 3 H
6
R 1.017  10
X Lg  Lg  2.55
2
Vrms
62 2

 1507.45VAR
氣隙上的虛功率 Q g 
XL
2.55
 VA
 Pc  (Qc  Q g ) 2  8.92 2  (12.84  1507.45) 2
2
rms
 8.92 2  1520.29 2  1520.29VA
I
rms

VArms 1520.29

 24.5V
Vrms
62
1.31 Repeat Example 1.8 under the assumption that all the core dimensions are
doubled.
解：
此題目本意為當鐵心的尺寸都變為 2 倍時，則依 Example 1.8 所問的(a)(b)和(c)
問題各為多少。所以本題目為觀念題，只要把 Example 1.8 所解出來的數值在加
以應用即可，無須再進行複雜的計算。
(a)
截面積=2 倍長×2 倍寬=4 倍的原截面積
d ( B0 Am )
d ( Bmax sin 377t )
d
d
N
 NAm
 NAm
dt
dt
dt
dt
 NAm Bmax  cos 377t
e
由上面此公式可知，當
e  N   Ac  Bmax  cos 377 ，( e  Ac 成正比)
e
(b)
new
 4  (274 cos(377t ))  1096 cos(377t )V
F  N  I    Rc  B  Ac  Rc  B 
 I  Bl
 I new
lc

l
c
，(當 l c  時，則 I  ，
N
 2  0.13  0.26 A
c
 成正比 )
(c)
Vc ,new  2 倍長×2 倍寬×2 倍路徑長=8 倍的體積
W
c , new
P
a , new
I  ,new 
 Vc ,new ×密度=8 倍的重量
 6 Pa
Pa ,new
8  Pa

 2  I  ,rms  2.0 A
4
enew
e
2
2
(d)
Pc ,new  8 Pc  8  16  128W
1.32 Using the magnetization characteristics for samarium cobalt given in Fig.1.19,
find the point of maximum energy product and the corresponding flux density
and magnetic field intensity. Using these values, repeat Example 1.10 with the
Alnico 5 magnet replaced by a samarium-cobalt magnet. By what factor does
this reduce the magnet volume required to achieve the desired air-gap flux
density?
圖 Fig.1.19 的 Samarium-cobalt 為近乎一條直線的磁化曲線，求最大能量的值和
相對應的磁通密度和感應密度。
使用這些值，重複 EX1.10，用一個 5 合金磁鐵來代換 Samarium-cobalt 磁鐵，
由於降低磁鐵體積因素來完成達到需求的氣隙磁通密度？
解：
以致於他們的直線的斜率為一個固定值，所以由此可以找出
0.94
 0.47T
2
把 Bsamarinmcobalt 的值對映到 Samarium-cobalt 的直線上在映射到 X 軸的磁場強度
Bsamarinmcobalt 
H 上即可求得 H samarinmcobalt 所以我們得到 H samarinm cobalt  360 KA m
  m   g  Bm Am  B g Ag
 Am  (
Bm
0.8
)  Ag  (
)  2.0cm 2  3.40cm 2
Bg
0.47
F  N  I  H  l  H m  lm  H g l g
令 H m  lm  H g  g  0  H m  lm  H g  g
Bg
則 l m  (
 (
Hg
Hm
)  g  (
Hg
H samarinmcobalt
)  g  (
0
H samarinmcobalt
) g


0.8
)  g  
 0.2cm =0.35 ㎝
7
5 
 0  H samarinmcobalt
 (4  10 )  (3.6  10 ) 
Bg
magnet volume ＝3.4×0.35＝1.19 cm 3
factor 
5.09
 4.3
1.19
 在應用體積要減少為原來的 4.3 倍才可使 air-gap 的 flux density 保持不變。
1.33 Using the magnetization characteristics for neodymium-iron-boron given infig1
find the point of maximum-energy product and corresponding flux density and
magnetic field intensity . Using these values .repeat EX1.10 with the alnico 5
magnet replaced by a neodymium-iron-boron magnet. By what factor does this
reduce the magnet volume required to achieve the desired air-gap flux density?
Fig.1 Magnetization curves for common is permanent-magnet materials
利用圖 1 的 neodymium-iron-boron 磁化曲線可找出最大能量需求的尖峰和相對
應的磁通密度和感應密度。
使用這些值，重複 EX1.10，用一個 5 合金磁鐵來代換 neodymium-iron-boron 磁
鐵，由於降低磁鐵體積因素來完成達到需求的氣隙磁通密度？
解:
從圖 1 可以得知
2.9  10 J / m
5
B = 0.63 T and H = -470 kA/m，所以最大功率為
3
Am =Ag ( Bg / Bm) = 2×[0.8/0.63] = 2.54 cm 2
lm = g(Hg/Hm)=  g ( Bg / 0 Hm) =  0.2(0.8 /  0 ( 4.7 *105 )) = 0.27 cm
所得到的值為 2.54× 0.25 = 0.688
新的功因為 5.09/0.688 = 7.4
1.34 Figure2 shows the magnetic circuit for a permanent-magnet loudspeaker the
voice coil (not shown)is in the form of a circular cylindrical coil which fits in
the air gap .a samarium-cobalt magnet is used to create the air-gap dc magnetic
field which interacts with the voice coil currents to produce the motion of the
voice coil . the designer has determined that the air gap must have radius
R=1.8cm.length g=0.1cm , and height g=0.1cm , and height h=0.9cm . assuming
that the yoke and pole piece are of infinite magnetic permeability (    ),find
the magnet hm and the magnet radius R m that wall result in an air-gap magnetic
flux density of 1.2 T and require the smallest magnet volume.(Hint : Refer to
EX1.10 and to Fig.1.19 to find the point of maximum energy product for
samarium cobalt.)
Fig.2 Magnetic circuit for the loudspeaker of problem
圖 2 是一個從氣隙爭裝置一個從圓柱線圈到音圈的永久磁鐵喇叭的磁路。
一個 samarium-cobalt 磁鐵來創造氣隙直流磁場，用一個音圈電流來產生擺動音
圈互相感應。
這個受記者已經決定氣隙中必須有 R 的半徑 1.8 公分和ｇ的長度 0.1 公分和ｈ的
高度有 0.9 公分。
假設磁頭組和磁極是這無窮大的磁鐵導率(    )，結果是在 1.2T 的氣隙磁通
密度中找出 hm 和 R m 跟最小磁鐵體積的需求。
（HINT：參考 EX1.10 和圖 1.19 就可找出 samarium cobalt 產生最大能量的值）
。
解:
從 Fig. 1,
最大能量的產生在，B = 0.47 T and H = -360 kA/m 計算得
we want Bg = 1.2 T, Bm = 0.47 T and
Hm = −360 kA/m.
hm = −g (Hg / Hm) =  g ( Bg / 0 Hm) = 2.65 mm
Am = Ag (Bg / Bm) = 2πRh(Bg/Bm) = 26.0 (R=1.8cm and h=0.9cm)
所以最小值為 Rm  Am /   2.87cm
1.35
It is desired to achieve a time-varying magnetic flux density in the
air gap of the magnetic circuit of Fig. 1.38 of the form
B g  B0  B1 sin t
where B0 = 0.5 T and Bl = 0.25 T. The dc field B0 is to be created by a
neodimium-iron-boron magnet, whereas the time-varying field is to be created
by a time-varying current.
For Ag = 6 cm2, g = 0.4 cm, and N = 200 turns, find:
a. the magnet length d and the magnet area Am that will achieve the desired dc
air-gap flux density and minimize the magnet volume.
b. the minimum and maximum values of the time-varying current required to
achieve the desired time-varying air-gap flux density. Will this current vary
sinusoidally in time?
Fig 1.38
從 B g  B0  B1 sin t 和 B0 = 0.5 T and Bl = 0.25 T.圖中 1.38 的氣隙中的磁流…
希望達到隨著時間變化的磁通密度。
直流磁場 B0 產生一個 neodimium-iron-boron 磁鐵隨著時間變化的磁場將產生隨
著時間變化的電流。
Ag = 6 cm2, g = 0.4 cm, and N = 200 turns
求：
A.磁鐵的長度 d 和磁鐵面積 Am，希望直流氣隙磁通密度和使磁鐵體積降
到最小的需求。
B.最大和最小的體積從隨著時間變化的電流開始到完成要求隨著時間變
化的氣隙磁通密度。
由於 nodymium-iron-boron 的磁化曲線為一條直線且斜率固定，所以其查表方式
與前面的 1.32 題的查法類似。所以我們可以求得：
Bm  0.36 T
H m  470 KA
m
 470  10 3 k
A
因為此題的鐵心有兩種不同的材質
Bm   R H m  Br
(Hint: Br  Bneo dim iumironboron,max  1.26T )
 0.63   R  (470  10 3 )  1.26
  R  (470  10 3 )  1.26  0.63
0.63
 1.34  10 6  1.067   0
3
470  10
 R 
F  N  I    R  Bm  Am  R  H  1  ( H m  d  H g  g )
其中 Bm  Am  B g  Ag
(a)
當 t=0 時，i(t)=0， B g  B0  B1 sin( t )  0.5  0.25 sin(   0)  0.5
 在 t=0 時， B g 最小 L 最大且所產生的能量也最大。
  Bm Am  Bg Ag  Am  (
 Am  (
Bg
Bm
)  Ag
0.5
)  6  4.76cm 2
0.63
F  N  I  H 1  H m  d  H g  g
Bg
 (
Hg
Hm
)  g  (
0
Hm
)  g  (

0.5
 
7
3
 4  10   470  10

 

Bg
0  H m
) g

  0.4  0.3386 ㎝

(b)
  1  sin t  1
 B g  B0  B1 sin t  0.5  2.5 sin t  2.5  B g  7.5
F  N  I    R    ( Rm  R g )   r  Rr
Rm 
d
0.3386

 52.77  10 3 A  turn
Wb
 R  Am 1.067   0  4.76
Rg 
g
0.4

 53.05  10 3 A  turn
Wb
 0  Ag 4  10 7  6
I
  ( Rm  R g )   r  R R
N
Bg  A  (

d
g
d

)  Br  Am 
 R  Am  0  Ag
 R  Am
200
Bg  (


Ag  d
 R  Am

g
0
)
Br  d
R
200
B g  (6366.25)  1590.94

Bg  (3183.15  3183.1)  1590.94
200
200
 當 B g  0.75 時， I  15.9 A，當 B g  0.25 時， I  3.11mA
2.1 A transformer is made up of a 1200-turn primary coil and an open-circuited
75-turn secondary coil wound around a closed core of cross-sectional area 42 cm2.
The core material can be considered to saturate when the rms applied flux density
reaches 1.45 T. What maximum 60-Hz rms primary voltage is possible without
reaching this saturation level? What is the corresponding secondary voltage? How
are these values modified if the applied frequency is lowered to 50 Hz?
一個製成的變壓器，橫截面積有 42 平方公分它，它是一個 1200 匝的一次側線圈
和一個已開路 75 匝的二次側線圈，圍繞著周圍的封閉鐵心。
當有效值外加磁通密度到達 1.45T 的話，這個磁心材料是可以被認為飽和的。
最大值 60HZ 的有效值一次電壓可能沒有到達飽和的程度？
那相對的，2 次側電壓又是多少？
如果外加的頻率是降到 50HZ 那該如何變換這些值？
Ans：
（1）根據 1.50 式
Emax  Nmax  2fNAc Bmax
得
E max, primary  2fNAc Bmax
 2 (60)(1200)( 42  10  4 )(1.45)
 2755.12 V
E max, primary
 E rms, primary 
 1948.16 V
2
E max, sec ondary  2fNAc Bmax
 2 (60)(75)( 42  10  4 )(1.45)
 172.19 V
E max, sec ondary
 E rms,sec ondary 
 121.76 V
2
（2） f  60Hz  50Hz
根據 1.50 式﹐ Emax  Nmax  2fNAc Bmax
得
E max, primary  2fNAc Bmax
 2 (50)(1200)( 42  10  4 )(1.45)
 2294.71 V
E max, primary
 E rms, primary 
 1622.61 V
2
E max, sec ondary  2fNAc Bmax
 2 (50)(75)( 42  10  4 )(1.45)
 143.42 V
E max, sec ondary
 E rms,sec ondary 
 101.41 V
2
2.2 A magnetic circuit with a cross-sectional area of 15 cm2 is to be operated at 60 Hz
from a 120-V rms supply. Calculate the number of turns required to achieve a
peak magnetic flux density of 1.8 T in the core.
用一個 15 平方公分橫截面積的磁路，從 120V 有效值的電源在 60HZ 運轉。
求出在線圈 1.8T 的尖峰磁通密度所需求的匝數量多少？
根據 1.50 式
Emax  Nmax  2fNAc Bmax
得
120 2  2 60N (15  10 4 )(1.8)
N
120 2
 167 turns
2 60(15  10 4 )(1.8)
2.3 A transformer is to be used to transform the impedance of a 8-  resistor to an
impedance of 75  . Calculate the required turns ratio, assuming the transformer
to be ideal.
一個變壓器被使用變換組抗，電阻 8-  和阻抗 75  。
假如這個變壓器是理想的，求出匝數比。
N
Z 1   1
 N2
2
匝數比

 Z 2  N 

75
 3.061  3 turns
8
2.4 A 100-  resister is connected to the secondary of an idea transformer with a
turns ratio of 1:4 (primary to secondary). A 10-V rms , 1-kHz voltage source is
connected to the primary . Calculate the primary current and the voltage across the
100-  resister.
此電壓器為理想變壓器一個 10-V rms ,1-k Hz 電壓源連接在一次測，二次側兩端
接一負載 100 歐姆的阻抗 ， 匝數比 1 : 4 。
求出繞在電阻的一次側電流和電壓。
ㄧ次側阻抗
一次側電流
二次測電壓
N
R1   1
 N2
I1 
2

1
 R2     100  6.25
4

2
V1
10

 1.6 A
R1 6.25
N 
4
V2   2 V1     10  40V
1
 N1 
2.5. A source which can be represented by a voltage source of 8 V rms in series with
an internal resistance of 2k is connected to a 50   load resistance through
an ideal transformer. Calculate the value of turns ratio for which maximum power
is supplied to the load and the corresponding load power? Using MATLAB, plot
the power in milliwatts supplied to the load as a function of the transformer ratio,
covering ratios from 1.0 to 10.0.
令 turns ratio 為 N ，則負載對應到一次側的阻抗為 50N 2  ，而當負載對應到一
次側的阻抗值與一次側電壓源內阻相等時，即 50 N 2   2k 時，負載可以得到
最大功率。
2K
 6.32
50
8
 2mA
此時一次側電流 I 1 
2k  2k
因此 turns ratio N 
負載功率 PLOAD  I 2 (50 N 2 )  8mW
使用 MATLAB 畫出，匝數比從 1 到 10 負載的功率曲線，由圖中得知當匝數比
在 6.32 時，負載可以得到最大功率 8mW
2.6. Repeat Problem 2.5 with the source resistance replaced by a 2  k reactance.
重複 2.5 的問題，把電源端的電阻換成 2  k 的電阻。.
Ans:
令 turns ratio 為 N ，則負載對應到一次側的阻抗為 50N 2  ，而當負載對應到一
次側的阻抗值與一次側電壓源內阻相等時，即 50 N 2   2k 時，負載可以得到
最大功率。
2K
 6.32
50
8
 2 2mA
此時一次側電流 I 1 
2k  j 2k
因此 turns ratio N 
負載功率 PLOAD  I 2 (50 N 2 )  16mW
使用 MATLAB 畫出，匝數比從 1 到 10 負載的功率曲線，由圖中可得當匝數比
在 6.32 時，負載可以得到最大功率 16mW