)2005( '‫)– מועד ג‬203-1-2391( 3 ‫מבחן פיסיקה‬
)‫ דף הנוסחאות של המרצה בלבד! (יחולק בתחילת המבחן‬:‫חומר עזר מותר לשימוש‬
‫ רון פולמן‬:‫מרצה‬
‫ שאלות מתוך‬3 ‫ עליך לבחור‬.‫ נקודות‬25 ‫ שאלות שכל אחת שווה‬4 ‫ שעות שבהן עליך לפתור‬3 ‫לרשותך‬
‫ השאלות בחלק ב' קשות‬.'‫הארבע שמופיעות שחלק א' ושאלה אחת מתוך השתיים שמופיעות בחלק ב‬
.)‫הערכתי הרבה‬+( '‫ נק‬5 ‫ נק' ואחת ששוויה‬10 ‫ לבסוף ישנה שאלת בונוס אחת ששוויה‬.‫יותר לפתרון‬
.‫ ושאלות בונוס ככל שתרצה‬,'‫ שאלה אחת בחלק ב‬,'‫ שאלות בחלק א‬3 ‫ עליך לענות על בדיוק‬,‫לסיכום‬
.‫בהצלחה‬
)‫ השאלות הבאות‬4 ‫ מתוך‬3 ‫י על‬/‫חלק א' (ענה‬
:)‫ פונקציות הגל הראשונות (של בור פוטנציאל הרמוני‬3 ‫ נק') נתונות‬25( .1
 m 
, 1 ( x)  2  3 
  
3/ 4
xe
 m 
 2 ( x)  

  

1/ 4
mx 2
2
 m 
, 0 ( x)  

  
1 
4mx 2
  2 

2 2
1/ 4
e

mx 2
2
  m2x
e

2
.‫י את אי הודאות במיקום החלקיק הנמצא ברמה הראשונה‬/‫ נק') חשב‬5( .‫א‬
The first level (ground state) is 0. The uncertainty in x is ∆x=sqrt(<x2><x>2)=sqrt(<x2>) as the ground state function is an even (symmetric or parity plus)
function. The final step is to calculate <x2>=Integral[0 x2 0], where all integrals are
over x from –infinity to +infinity.
.‫י שעקרון אי הודאות מתקיים‬/‫ ודא‬.‫י לגבי אותו חלקיק את אי הודאות בתנע‬/‫ נק') חשב‬5( .‫ב‬
The uncertainty in p is ∆p=sqrt(<p2>-<p>2)=sqrt(<p2>) as the ground state function is
an even (symmetric) function also in p (the fourier transform of a symmetric function
is also a symmetric function, or in intuitive terms, the particle spends the same
amount of time going right and going left inside its potential well). The final step is to
calculate <p2>=Integral[0 p2 0]=Integral[0 (-iħ)2 ∂2/∂2x 0].
To check the uncertainty principle one takes the results we obtained and calculates
∆x∆p.
‫י באיזה מספר רמה עדיין יש‬/‫ הערך‬.‫ נק') נניח כי חלקיק בטמפרטורת החדר כלוא בבור זה‬10( .‫ג‬
‫י‬/‫ כתוב‬.)KBT ‫י כי אנרגית החלקיק היא‬/‫ (זכור‬.‫) שהרמה תהיה מאוכלסת ע"י החלקיק‬1%( ‫סיכוי סביר‬
1

.   1 MHz ‫ נתון כי‬.) E    n   ‫י כי בפוטנציאל הרמוני‬/‫ (זכור‬.‫י‬/‫את הביטוי ואל תפתור‬
2

As you can see from the equation sheet, the probability P to find a particle in a
specific state is P=exp(-En/ KBT) / Z, where Z=∑n exp(-En/ KBT). Hence we need to
solve: 0.01=(-En/ KBT) / Z, where T=300 and En=ħ 106 (n+1/2).
‫י את יכולתו‬/‫ חשב‬,)A=X ‫ נק') אם פוטון פוגע בחלקיק (אופרטור האינטראקציה הדיפולית הוא‬3( .‫ד‬
.)‫להקפיץ את החלקיק ממצב היסוד לרמה השלישית (שניה אחרי רמת היסוד‬
As we learned in class, the amplitude A (strength) for a transition to occur between
state I and state j (if the interaction is described by an operator M) is:
A=Integral[i M j] and in our case Integral[0 x 2]. However, as both the wave
functions are even and as x is odd, it is clear that the integral gives zero and there will
be no such transition!
‫ נק') באיזה איזורים של הבור הסיכויים הגדולים ביותר למצוא את החלקיק במצב היסוד ובמצב‬2( .‫ה‬
‫י את נקודת המקסימום וכתוב את הביטוי עבור ההסתברות‬/‫ מצא‬,‫י‬/‫י)? הסבר‬/‫הבא אחריו (צייר‬
.)‫י‬/‫לגילוי עבור גלאי שרוחב המדידה שלו הוא אפסילון (אל תפתור‬
As, the probability function P(x) is just |x|2, all we need to do is look at the
absolute value of the functions plotted above. This immediately tells us that the
maximum probability to find the particle in the ground state (in some position
window of width ) is around zero, and for the next state is on the right and left of the
zero. We could have also realized this by simply noting that the first function is even
and the second is odd. The actual probability to find the particle in such a window is:
Integral[|x|2] from x0-/2 to x0+/2, where x0 is the center of our chosen window.
.‫ הצליחו למדוד בפעם הראשונה את הספין של האלקטרון‬SG )'‫ נק‬25( .2
.‫י בעזרת נוסחאות כיצד עשו זאת‬/‫ נק') הסבר‬5(.‫א‬
As they used an atom which has no internal angular momentum, the only magnetic
interaction can be due to the intrinsic angular momentum of the electron, the so-called
spin. The magnetic interaction with an external field is they described by the potential
V= - ·B, where =g B SZ where SZ is the spin projection along the z axis, and B is
the Bohr magneton.
As the force F acting on a particle is equal to F=∂V/∂r=- ·∂B/∂r= g B SZ ∂BZ/∂z, all
SG needed to do is produce a magnetic field gradient in order to apply force on the
passing atoms. The force was then proportional to SZ and as the latter is quantized to
+/- 1/2, the force was quantized and the atoms hit two points on the screen.
‫ ס"מ‬L ‫ ואם אורך המכשיר‬B(z)=Az ‫ נק') מה המרחק בין שתי הפגיעות על המסך אם‬5( .‫ב‬
.)10 ‫ כפול‬L ‫ מטר לשניה (המסך מרוחק מהמכשיר‬V ‫החלקיק‬
‫ומהירות‬
According to the previous section, F= g B SZ A and therefore the transverse velocity
which the passing particle acquires is +/- F/m t and the distance between the two
hitting points is 2 F/m t T, where t is the time it takes the particle to pass the magnetic
field and T is the time it takes it to arrive at the screen. The final distance between the
points is 2 F/m L/V 10L/V (if one neglects the transverse distance inside the SG
machine) and 2* F/m L/V 10L/V + 2* 1/2 F/m (L/V)2 (without neglecting the latter).
‫ נק') כמה פוטונים שונים היינו רואים נפלטים מהאטום בגלל המעבר בין רמות האנרגיה של‬10( .‫ג‬
?1=L ‫אלקטרון זה בשדה הומוגני? כיצד הייתה תשובתך משתנה אם לאחד האלקטרונים גם היה‬
For 2 electrons with L=0, as V= - ·B, The energy difference is B*(g B SZ(1) - g B
SZ(2))= Bg B *[(+1/2) -(-1/2)]= Bg B, and we would see only one type of photon.
For 2 electrons, where one has L=1, and taking into account that one has to look at the
total z-component JZ=LZ+SZ, and also taking into account that g for the orbital motion
is gL=1 while for the spin is gS=2, the energy difference is B*(g B JZ(1) - g B
JZ(2))= B B *[{ gL LZ (1)+gS SZ (1)} - gS SZ(2)]= {0,1,2,3}B B .
As LZ has three different components and each of the two SZ has two different
components, we have all together 3x2x2=12 different possibilities, but only 4
different energy differences, and hence we will see only 4 different photons.
? L=1‫ היו לוקחים אטום שרמת היסוד שלו‬SG ‫ נק') מה היה קורה לו אם‬5( .‫ה‬
As the magnetic moment contribution of the electron depends on its total angular
momentum J, and as JZ=LZ+SZ, and as, when calculating the hits on the SG screen
(i.e. the transverse forces) one has to take into account that g for the orbital motion is
gL=1 while for the spin is gS=2, we will have the following forces acting on the atoms:
F(LZ=+1, SZ=+1/2), F(LZ=+0, SZ=+1/2), F(LZ=-1, SZ=+1/2),
F(LZ=+1, SZ=-1/2), F(LZ=+0, SZ=-1/2), F(LZ=-1, SZ=-1/2),
We then find F(LZ=+1, SZ=+1/2)=A B (LZ*gL+ SZ*gS)=
A B (LZ+ 2SZ)=2AB, and in the same way:
F(LZ=0, SZ=+1/2)= AB, F(LZ=-1, SZ=+1/2)=0, F(LZ=+1, SZ=-1/2)=0,
F(LZ=0, SZ=-1/2)= -AB, and F(LZ=-1, SZ=-1/2)= -2AB.
We therefore expect to see 5 separate hits on the screen.
‫ והוא מתפרק התפרקות בטא לפרוטקטיניום‬,‫ ) הוא דקה‬234Th ( 234 ‫ זמן מחצית החיים של טוריום‬.3
.) 234 Pa ( 234
?‫ כמה זמן יקח עד שחציו יתפרק ע"פ הצופה‬,‫ ביחס לצופה‬0.9c ‫ נק') אם טוריום נע במהירות‬5( .‫א‬
?‫ נק') מהו המרחק הממוצע שיעבור ע"פ הצופה הטוריום לפי התיאוריה הלא יחסותית‬5( .‫ב‬
?‫ נק') מהו המרחק שיעבור בפועל ע"פ הצופה‬5( .‫ג‬
‫ מכיוון ששום מקום‬. c ‫ במהירות‬,‫ אטומי טוריום נע ברכבת של אשפה רדיואקטיבית‬N0 ‫צבר של‬
.‫ היא ממשיכה להקיף את כדור הארץ‬,‫לא מוכן לקבל אותה‬
?)‫ ק"מ (התנועה המעגלית זניחה‬L ‫ נק') כמה אטומים יישארו לאחר הקפה אחת שאורכה‬5( .‫ד‬
‫ כמה אטומים ישארו‬.)‫ נק') צבר שני זהה נישאר בנקודה אחת ע"פ כדור הארץ (רמת חובב‬5( .‫ה‬
?‫בצבר זה לאחר שהצבר השני השלים הקפה אחת‬
‫‪ .4‬א‪ 5( .‬נק') קבע‪/‬י אילו מבין האטרקציות הבאות אפשריות או לא אפשריות ולמה‪:‬‬
‫‪n  p +  + e )I‬‬
‫(אינטראקציה חלשה)‬
‫‪  )II‬‬
‫(אינטראקציה חזקה)‬
‫‪p  p     n  0  K  )III‬‬
‫(אינטראקציה חזקה)‬
‫צייר את דיאגרמות פיינמן של התהליכים האפשריים (כולל קוארקים וחלקיקים נושאי הכח)‪.‬‬
‫ב‪ 5( .‬נק') הוכח שחלקיק לא יכול להתפרק לחלקיק שהוא כבד ממנו‪ .‬בהתחשב בתשובתך‪ ,‬הסבר‪/‬י מדוע‬
‫אבני הבניין של האטום יציבים (הסבר‪/‬י רק לגבי הפרוטון והאלקטרון)‪.‬‬
‫ג‪ 15( . .‬נק') באיור הבא ניתן לראות שני סטים של עקבות בתא בועות‪( .‬הנח‪/‬י שהשדה המגנטי נכנס‬
‫לתוך הדף)‪ .‬זהה‪/‬י את חלקיקי ה‪ X-‬וה‪ Y-‬וה‪ Z-‬הניטרליים הלא ידועים (המסומנים על ידי הקווים‬
‫המקווקווים) בשני המקרים הבאים‪ ,‬והסבר‪/‬י איזה סוג של אינטראקציה התרחשה‪:‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪ )4‬א‪.‬‬
‫‪ )I‬לא אפשרי – מספר לפטוני לא נשמר‪ :‬יש בצד אחד מספרים לפטוני אלקטרוני ולפטוני מיואוני‬
‫שונים מאפס ובצד השני של המשוואה (ניוטרון) אין דבר‪.‬‬
‫‪ )II‬לא אפשרי –אין שימור אנרגיה כי הלמבדה קל מהסיגמה‬
‫‪ )III‬אפשרי‪.‬‬
‫‪P‬‬
‫‪u‬‬
‫‪P‬‬
‫‪d u‬‬
‫‪d u‬‬
‫‪u‬‬
‫‪g‬‬
‫‪g‬‬
‫‪us s u‬‬
‫‪K‬‬
‫‪d‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ud d u‬‬
‫‪‬‬
‫‪d‬‬
‫‪n‬‬
‫ב‪.‬‬
‫נעבור למערכת התנועה של חלקיק האם (בעל מסה ‪ ( M0‬לפני ההתפרקות (כלומר למערכת שם הוא‬
‫נייח)‪ .‬אם במערכת זאת הוא אינו יכול להתפרק לחלקיק שהוא מסיבי ממנו‪ ,‬עובדה זו לא יכולה להשתנות‬
‫ע"י שינוי מערכת‪ ,‬ועל כן תהיה תמיד נכונה‪.‬‬
‫ובכן‪ ,‬במערכת של חלקיק האם מתקיים ע"פ חוק שימור האנרגיה‪:‬‬
‫‪ M0C2=∑imiγC2‬כאשר ‪ mi‬היא מסת המנוחה של חלקיקי הבת‪.‬‬
‫מכיוון ש‪ γ-‬תמיד גדול מאחד‪ ,‬מתקבל שאם קיים חלקיק בת עבורו ‪ mi>M0‬הרי השוויון הנ"ל נישבר‪.‬‬
‫בהתאם למימצא הנ"ל‪ ,‬מכיוון שהאלקטרון הוא הקל שבלפטונים ומכיוון שחוק השימור המספר הלפטוני‬
‫מתקיים בכל האינטראקציות‪ ,‬מתקבל שאין האלקטרון יכול להתפרק‪ .‬באופן דומה לגבי הפרוטון‪ ,‬הוא‬
‫הבריון הקל ביותר ולכן הוא לא יכול להתפרק לחלקיקים קלים יותר תוך שימור המטען הבריוני‪.‬‬
‫ג‪( .‬מכיוון שלא הספקנו ללמוד על חוק שימור הספין‪ ,‬אנו נתעלם ממנו)‪.‬‬
‫נתבונן ב‪ :Z-‬מטען חשמלי – ‪1  Z 1  Z  0‬‬
‫מספר בריוני – ‪0  Z  0  Z  0‬‬
‫מוזרות (אם נשמרת!) ‪1  Z  0  Z  1 -‬‬
‫מועמד אפשרי הוא ‪ , K 0‬אולם המסה שלו ושל ‪  ‬גדולה ממסת ‪ K ‬לכן הוא נפסל‪ .‬מכאן‬
‫האינטראקציה צריכה להיות חלשה (כדי שהמוזרות לא תישמר) והמועמדים הנוספים‬
‫הם ‪.  0 , 0‬‬
‫‪  0‬כבד מדי‪ ,‬לכן ‪ Z‬הוא ‪.  0‬‬
‫נתבונן ב‪ X-‬ו‪ .Y-‬מתקיימות ‪ 3‬אינטראקציות‪:‬‬
‫‪+p  X+Y‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪X‬‬
‫‪Y +p‬‬
‫ניתן לראות ש‪ Y,X-‬ניטרליים‪.‬‬
‫עבור ‪ X‬יש את המספרים הקוונטיים הבאים‪ :‬מספר בריוני‪ ,‬מוזרות (אם נשמרת) כולם ‪.0‬‬
‫מתוך המזונים הניטרליים ‪  0‬נפסל כי הוא קל מדי ו‪  0 -‬חי זמן קצר מדי מכדי שיראה בתא בועות‪.‬‬
‫עבור ‪ Y‬יש את המספרים הקוונטיים הבאים‪ :‬מספר בריוני ‪ ,1‬מוזרות ‪.0‬‬
‫מתוך הבריונים הניטרליים ‪ n‬נפסל כי הוא קל מדי ולא יוכל אחר‪-‬כך להתפרק לפרוטון ופיון‪.‬‬
‫הערה‪ :‬במידה ומתאפשר הדבר ע"פ חוקי השימור ובמידה שלא מעורבים פוטונים או לפטונים שעליהם‬
‫לא פועל הכח החזק‪ ,‬האינטראקציה תמיד תהיה חזקה מכיוון שהיא מתרחשת הרבה יותר מהר‪.‬‬
‫בהנחה שהאינטראקציה של ‪    p  X  Y‬חזקה (קרי מוזרות נשמרת)‪ ,‬עבור ‪ ,Y‬כל הבריונים‬
‫הכבדים מסיגמה (‪ )‬נפסלים עקב המוזרות הגדולה מאחד ואי היכולת של ‪ X‬לאפס מוזרות זו (מכיוון‬
‫שלכל המזונים מוזרות מוחלטת אפס או אחד)‪.‬‬
‫מכאן ניתן להעריך כי אלו האינטראקציות שהתרחשו‪:‬‬
‫ אינטראקציה חזקה‬+p  K0+
 ‫ אינטראקציה חלשה‬K0  
‫ אינטראקציה חלשה‬ +p
.‫ לכן ההסתברות שהוא יופיע קטנה יותר‬0 -‫ כבד יותר מ‬ 0 :‫הערה‬
)‫ השאלות הבאות‬2 ‫ מתוך‬1 ‫י על‬/‫חלק ב' (ענה‬
)t=0 ‫ (בזמן‬:)‫ נתונה פונקצית הגל של אטום מימן (ללא ספין‬.5

 (r ) 
1
(2r0 ) 3 / 2
 r / r0
r
1
1 
 i
 e
Y00  A e r / 2 r0 
Y11 
Y11  Y10  
r0
8 
8 2
8 2

?A ‫ נק') מהו‬5( .‫א‬
?‫ נק') אילו ערכים נקבל כאשר נמדוד את האנרגיה? באיזה הסתברות‬5(.‫ב‬
)‫ נק') אילו ערכים נקבל כאשר נמדוד את גודל התנע הזוויתי? באיזה הסתברות? (ללא ספין‬5(.‫ג‬
?‫ של התנע הזוויתי? באיזה הסתברות‬z ‫אילו ערכים נקבל כאשר נמדוד את רכיב‬
‫ יכולים להיות מקסימום‬,)L -‫ ו‬n ‫ נק') הסבר מדוע בכל קליפה של אטום המימן (שמוגדרת ע"י‬10( .‫ד‬
.‫ הוא המספר הקואנטי של התנע הזויתי‬L -‫ הוא מספר הרמה הראשית ו‬n ‫ אלקטרונים כאשר‬2(2L+1)
.'‫ראשית נפתור את סעיף ד‬
We have said that for each n level, L=0,1,…n-1 (L is the orbital angular momentum).
This means 2L+1 projections on the z axis (noted by ml). As the Pauli exclusion
principle states that two fermions (spin half particles) cannot be at the exact same
quantum state if they are at the same position, each quantum level of the atom
(denoted by n, L, m) can only hold 2 electrons (as they have two possibilities for their
spin). Therefore, the total number of electrons each shell (n,L level) can hold is
2(2L+1).
‫‪ 25( .6‬נק') נגדיר שתי מאורעות כלא קשורים סיבתית אם מאורע אחד לא יכול לגרום לשני להתרחש‪.‬‬
‫כלומר בכדי להגיע ממאורע אחד לשני דרוש אות הנע במהירות ממוצעת שהיא גדולה ממהירות האור‪.‬‬
‫א‪ 10( .‬נק') נניח כי ‪ A‬ו ‪ B‬שתי מאורעות שאינם קשורים סיבתית כאשר ‪ A‬מתרחש לפני ‪ .B‬הראה\י‬
‫כי קיימת מערכת יחוס בה ‪ B‬מתרחש לפני ‪A‬‬
‫ב‪ 5( .‬נק') הגדר‪/‬י מאורעות קשורים סיבתית‪.‬‬
‫ג‪ 5( .‬נק') הראה‪/‬י כי אם ‪ A‬ו ‪ B‬מאורעות קשורים סיבתית ו ‪ A‬מתרחש לפני ‪ B‬במע' יחוס אחת‪ ,‬אז‬
‫הוא יתרחש לפני ‪ B‬בכל מערכת יחוס‪.‬‬
‫ד‪ 3( .‬נק') הראה‪/‬י כיצד מקבלים את 'התארכות הזמן' ו' התכווצות האורך' מתוך טרנספורמציות לורנץ‪.‬‬
‫ה‪ 2( .‬נק') מגדת עתידות מבאר‪-‬שבע חוזה שקנגורו באוסטרליה יקפוץ מעל בית האופרה בסידני‪10- .‬‬
‫‪2‬‬
‫שניות לאחר מכן‪ ,‬קנגורו אכן קופץ מעל בית האופרה‪ .‬חללית הנעה במהירות גבוהה חולפת ליד‬
‫כדה"א‪ .‬מה המהירות המינימלית של החללית בכדי שהמאורעות יתרחשו בסדר הפוך? הנח\י כי‬
‫סידני נמצאת בדיוק בצד השני של כדור הארץ מבאר‪-‬שבע‪ .‬ניתן להתיחס לבעיה כאל חד‪-‬‬
‫מימדית‪-‬‬
‫ק"מ‪.‬‬
‫כלומר סידני ובאר שבע נמצאות על קו אחד והחללית נעה על קו זה‪ .‬רדיוס כדה"א ‪6400‬‬
‫שאלות בונוס‬
‫ לעבר חריץ על הרצפה בדיוק‬m ‫ וזורק גולות בעלות מסה‬H ‫ נק') ) ילד עומד על סולם בגובה‬5( .1
‫י‬/‫י כי הגולות יפספסו את הסדק במרחק ממוצע (מינימאלי) מסדר גודל (הזנח‬/‫ הראה‬.‫מתחתיו‬
:)‫פקטורים מספריים‬
x 

m
H
g
Using similar triangles, one gets px/pz (z is the vertical and x is the transverse
coordinate) is equal to x/H. Hence x=H px/pz = H hbar/x 1/ (m sqrt(gH)) where
the latter equality comes from mgH=1/2 mV2. Bottom line, x2=hbar/m sqrt(H/g).
)'‫ נק‬10( E=MC2 ‫ הוכח כי‬.2