‫‪Math 105‬‬
‫جامعة الملك سعود بالمجمعة‬
‫كلية الهندسة‬
‫نموذج وصف مقرر دراسي‬
‫اسم المقرر‪ :‬حساب التفاضل‬
‫رقم المقرر ورمزه ‪ 105 :‬ريض‬
‫الوحدات الدراسية (نظري‪،‬تمارين‪،‬عملي) ‪) 0 ،1 ،3(3 :‬‬
‫المستوى ‪ :‬الثاني‬
‫وصف محتويات المقرر ‪:‬‬
‫األعداد الحقيقية ‪ ،‬الدوال ‪ ،‬النهايات ‪ ،‬االتصال ‪ ،‬االشتقاق ‪ ،‬التفاضلي ‪ ،‬قانون السلسلة ‪ ،‬اإلشتقاق‬
‫الضمني ‪ ،‬المشتقات العليا ‪ ،‬القيم القصوى المحلية ‪ ،‬التقعر ‪ ،‬المستقيمات التقاربية األفقية والرأسية ‪ ،‬تطبيقات‬
‫على القيم القصوى ومعدالت التغير المترابطة ‪ ،‬نظرية رول ‪ ،‬نظرية القيمة المتوسطة ‪ ،‬الدوال المثلثية العكسية ‪،‬‬
‫القطوع المخروطية ‪ .‬ويقدم باللغة اإلنجليزية‪.‬‬
‫المتطلب ‪:‬‬
‫اليوجد‬
‫)‪3(3,1,0‬‬
‫‪MATH 105 Differential Calculus‬‬
‫‪Real numbers, functions, Limits, continuity. Derivatives, differentials, chain rule,‬‬
‫‪implicit differentiation. Higher order derivatives, local extrema, concavity,‬‬
‫‪horizontal and vertical asymptotes, applications of extreme, related rates.‬‬
‫‪Rolle’ s Theorem, mean value theorem, inverse trigonometric functions. Conic‬‬
‫‪sections.‬‬
‫الكتب المقررة والمراجع ‪:‬‬
‫‪Text book: Calculus with analytical geometry, Howard Anton, John Wiley & Sons.‬‬
‫توقيع رئيس القسم‬
‫‪Page 1‬‬
‫توقيع عميد الكلية‬
‫‪Dr. SaMeH‬‬
Math 105
Differential Calculus
MATH 105
Undergraduate course for
Students of Almajmaah Engineering College
Course instructor: Dr Sameh S. Ahmed
1430/2009
Dr. SaMeH
Page 2
Math 105
Course Name: Differential Calculus
Course Code: MATH 105
Units: 3 (3,1,0)
Academic year: 1431 / 2010
Course Description:
Real numbers, functions, Limits, continuity. Derivatives, differentials, chain rule,
implicit differentiation. Higher order derivatives, local extrema, concavity,
horizontal and vertical asymptotes, applications of extreme, related rates.
Rolle’s Theorem, mean value theorem, inverse trigonometric functions. Conic
sections.
Course Objectives:
1.
2.
3.
To introduce the student to basic concepts of differential calculus.
To introduce the functions and analysis of graphical information.
To teach the students to the following concepts: how to compute limits,
derivative, techniques of differentiation, and some important rules in
derivative.
Student's duties:
1- Students are required to attend lectures and tutorials in regular base.
2- Students are asked to revise in advance the contents of the course.
3- Participating in the discussions and solving the exercises is a must for all the
students. Consulting the course teacher at any time during the office hours.
Text book:

Anton, Bivens and Davis. Calculus, 7th edition, John Wily & Sons, Inc., New
York, 2002.
References:
‫ م ز ا‬.‫د‬
‫"التعامل م ل التفاضل والتكام ل " – الج ز ا او ز‬
1998 ، ‫يميب و‬
.‫ رمضزا ممدز يميدزة د‬.‫ د‬:‫ الط عة الثالثزة تزأليف‬‫"التفاض والتكام " – الج ا او‬
.2001 ‫يحد ع العال هب ال يح‬
‫ ممدز‬.‫د‬
‫ حد ة بب علز يبوي ز‬.‫ د‬:‫– تأليف‬
‫"المتميز في التفاض والتكام " – الج ا او‬
.‫بب عل الغام أ‬
Dr. SaMeH
‫ مجز أ يمززيب و ز‬.‫ د‬:‫ ت زأليف‬-



Page 3
Math 105
Course split up over the term:
Week
1 week
Subject
st
Real Numbers and
Inequalities
2nd week
3rd week
4th week
5th week
6th week
Sets and Functions
Limits and
Continuity
Derivatives
7th week
8th week
Derivatives
9th week
th
10 week
11th week
12th week
13th week
14th week
Dr. SaMeH
Applications of
Derivatives
Concavity
Asymptotes
Conic sections
Contents
Natural, Integer, Rational, Irrational numbers
Real numbers
Inequalities
Sets
Operations on sets
Functions
Types of Functions
Limits
Some limits theories
Continuity
First Derivative
Some laws to find 1st derivative
The derivative of composite function
1st mid-term exam
Chain rule
The first derivative of power function
Implicit derivatives
Higher-order derivatives
Rolle's theorem & Mean value theorem
Increase and decrease
Extreme values
Critical points
Concavity and Second Derivative
2nd mid-term exam
Horizontal and vertical asymptotes
Conic sections
Page 4
‫‪Math 105‬‬
‫‪1‬‬
‫‪Real Numbers‬‬
‫‪Chapter‬‬
‫‪Natural Numbers‬‬
‫الأعداد الطبيعية‪ :‬ه‬
‫إل ز‬
‫الو‬
‫تسوخ م ف‬
‫نفسززع ع ز دا مززب الد ز اج‪ ،‬ه ز‬
‫‪1.1‬‬
‫الع ‪ ،‬يدكب المصزو عليمزا بجدزل العز د ‪1‬‬
‫مجدوعززة غي ز متوميززة مغلجززة تم ز‬
‫عدليو ز‬
‫الجدززل‬
‫الضرب‪.‬‬
‫‪N  1,2,3,4,....‬‬
‫‪Integer Numbers‬‬
‫الأعدددداد الحددد ي ية‪ :‬هززز‬
‫الط يعيززة‪ ،‬هزز‬
‫‪1.2‬‬
‫او عززز اد الط يعيزززة مضزززافا إليمزززا الصزززف‬
‫سزززالب او عززز اد‬
‫مجدوعززة غيزز متوميززة هززمغ الدجدوعززة مغلجززة تمزز‬
‫عدليززاج الجدززل‬
‫الضرب الط ح‪.‬‬
‫‪I  0,1,2,3,4,....‬‬
‫…… ‪….., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,4,‬‬
‫‪Page 5‬‬
‫‪Dr. SaMeH‬‬
‫‪Math 105‬‬
‫‪Rational Numbers‬‬
‫الأعددداد الاييةددية ‪ :‬ه ز‬
‫او ع ز اد الو ز‬
‫ال ززك‬
‫عل ز‬
‫‪a‬‬
‫‪b‬‬
‫حي ز‬
‫‪ a, b‬يدثل ز‬
‫‪1.3‬‬
‫ع ز ديب‬
‫صميميب‪ b  0 ،‬ي م لدجدوعة او ع اد الجياسية بال م ‪Q‬‬
‫‪a‬‬
‫‪‬‬
‫‪Q   : a, b , I , b  0‬‬
‫‪b‬‬
‫‪‬‬
‫والعدددد الايي ددا أنددي ن ددددع عددددا عاددثدي ن‬
‫عددا عاثدي غير ن ه ون درر المايطع ن‬
‫يددي ن د ‪ 15- , 0.875- , 0.75 , 0.234‬نو‬
‫‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 0.333...  0.28571428571...‬‬
‫‪3‬‬
‫‪7‬‬
‫‪Irrational Numbers‬‬
‫‪,‬‬
‫‪1.4‬‬
‫الأعداد غير الاييةية‪ :‬العدد الغير قيي ا هع العدد الذي لد دمددك ا يه ده عادش ال دد‬
‫‪a‬‬
‫‪b‬‬
‫ال‬
‫حيث ‪ a, b‬دم ل‬
‫عدددك ص ي يك‪ ،‬ني ن الأعداد غير الاييةية‪ ،‬هد‬
‫الأعدداد ال ايايدة‬
‫ل تدع نعدادا قييةية‪.‬‬
‫‪a‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪Q c  r : r  : a, b, I ‬‬
‫‪b‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫مثال‪  3.14159265.. ، 3  1.73205081.. ، 2  1.41241356.. :‬‬
‫‪Real Numbers‬‬
‫الأعداد ال اياية‪ :‬ه‬
‫‪1.5‬‬
‫او ع اد الجياسية غي الجياسية‬
‫‪R  Q  Qc‬‬
‫تدث او ع اد المجيجية بتجط علز‬
‫طزط يفجز ‪ ،‬حيز‬
‫تجابز‬
‫ز عز د حجيجز‬
‫نجطزة احز ة‬
‫فجط‪.‬‬
‫‪Real line‬‬
‫‪Page 6‬‬
‫‪Dr. SaMeH‬‬
‫‪Math 105‬‬
‫مب الدلز ح‬
‫بزز‬
‫ي او عز اد الط يعيزة مجدوعزة ي ميزة مزب مجدوعزة او عز اد الصزميمة‪ ،‬هز‬
‫رها مجدوعززة ي ميززة مززب مجدوعززة او عزز اد الجياسززية‪ ،‬اوزز طي ة مجدوعززة ي ميززة مززب‬
‫مجدوعة او ع اد المجيجية‪ ،‬يأ ي ‪:‬‬
‫‪N I QR‬‬
‫ليس بيب مجدوعو‬
‫او ع اد الجياسية غي الجياسية يأ ع د م و ك‪.‬‬
‫‪Operations on Real Numbers‬‬
‫‪1.6‬‬
‫‪If x, y, and z are real numbers, we can carry the following algebra‬‬
‫‪operations:‬‬
‫خيصية ال بدد ‪- Cumulative laws:‬‬
‫‪x y  yx‬‬
‫خيصية ال جميع (الدنج) ‪- Association laws:‬‬
‫‪and x( yz )  ( xy) z‬‬
‫‪x  ( y  z)  ( x  y)  z‬‬
‫خيصية ال عزدع ‪- Distribution laws:‬‬
‫‪x( y  z )  xy  xz‬‬
‫خيصيي الع صثدك الم يدددك ‪- Identity laws:‬‬
‫الع د ‪ 0‬هو العتصر الدماي لعدلية الجدل حي‬
‫يمجق ما يل ‪x  0  x :‬‬
‫الع د ‪ 1‬هو العتصر الدماي لعدلية الضرب حي‬
‫يمجق ما يل ‪x.1  x :‬‬
‫خيصية المعدعس الجمع‬
‫ع د ‪ x‬يكو لع معكوس يدع‬
‫خيصية المعدعس الضثه‬
‫‪- Additive Inverse laws:‬‬
‫هو (‪ )-x‬بمي‬
‫يكو‬
‫‪x  ( x)  0‬‬
‫‪- Multiplication Inverse laws:‬‬
‫ع د ‪ x‬ما ع ا الصف يكو لع معكوس ضرب‬
‫هو (‪ )x-1‬بمي‬
‫يكو‬
‫‪x.( x 1 )  1‬‬
‫‪Page 7‬‬
‫‪Dr. SaMeH‬‬
Math 105
Exercises [1]
1.
If A={1,2,3,4,5} ,
B={1,4,5,6} ,
C={2,3,5}
Which of the following is true?
2.
(a) 3A
(b) 1C
(c) 2C
(d) 3B
(e) AB =B
(f) 6BC
(g) 4AC
(h) AC =C
(i) BC =A
Rewrite the following sets by writing the elements of each set:
(a) {x : x = 2n+1, n=1,2,3,4}
(b) {x : x = 1,2,3,….., x2-3x+2 = 0}
(c) {x : x = n3, n=2,4,5}
(d) {x : x3+2 x2-8x = 0}
3.
But () in front of the correct sentences and (X) in front of the
wrong ones.
(a) 2 is a rational number
(b) 10/3 is irrational number
(c) The real number could be a rational or irrational number.
Dr. SaMeH
Page 8
‫‪Math 105‬‬
‫‪2‬‬
‫‪Inequalities‬‬
‫‪Chapter‬‬
‫‪Some Rules‬‬
‫‪‬‬
‫يجا للع د ‪ a‬ينع نعجبي إذا ا ي‬
‫‪2.1‬‬
‫مب الصف ‪a > 0 ،‬‬
‫‪‬‬
‫يجا ينع ةيلبي إذا ا يصغ مب الصف ‪a < 0 ،‬‬
‫‪‬‬
‫يجا ينع غير نعجبي إذا ا يصغ مب ي يسا أ الصف ‪a  0 ،‬‬
‫‪‬‬
‫يجا ينع غير ةيلبي إذا ا ي‬
‫‪‬‬
‫يجا ينع غير نعجبي وغير ةيلبي إذا ا مسا يا للصف ‪.‬‬
‫‪‬‬
‫يجا للع ديب ‪ a,b‬ي لمدا أشيرتيك نخ اف يك إذا ا يح هدا موي ا او ط سال ا‪.‬‬
‫‪‬‬
‫ي لمدا نفس الإشيرة إذا ا‬
‫مب ي يسا أ الصف ‪a  0 ،‬‬
‫ل هدا موي يب ي سال يب‪.‬‬
‫‪Properties of Inequalities‬‬
‫‪ .1‬إذا ا ‪ a,b‬يأ ع ديب حجيجييب فإ‬
‫‪a<b‬‬
‫‪ .2‬إذا ا ‪a < b‬‬
‫‪Page 9‬‬
‫‪or‬‬
‫‪ c‬يأ ع د مويب فإ‬
‫اح فجط مدا يل‬
‫‪a=b‬‬
‫‪or‬‬
‫‪2.2‬‬
‫يكو مومججا‪:‬‬
‫‪a>b‬‬
‫‪ca < cb‬‬
‫‪Dr. SaMeH‬‬
‫‪Math 105‬‬
‫‪ .3‬إذا ا ‪a < b‬‬
‫‪ c‬يأ ع د سالب فإ‬
‫‪ca > cb‬‬
‫‪ .4‬إذا ا ‪ a < b‬فإ ‪–a > -b‬‬
‫‪ .5‬إذا ا ‪ a > b‬فإ ‪–a < -b‬‬
‫‪ .6‬إذا ا ‪a < b‬‬
‫‪ c‬يأ ع د مويب فإ‬
‫‪a b‬‬
‫‪‬‬
‫‪c c‬‬
‫‪ .7‬إذا ا ‪a < b‬‬
‫‪ c‬يأ ع د سالب فإ‬
‫‪a b‬‬
‫‪‬‬
‫‪c c‬‬
‫‪ .8‬إذا ا ‪a < b‬‬
‫‪ b < c‬فإ ‪a < c‬‬
‫‪a+b<c+d‬‬
‫‪ .9‬إذا ا ‪a < c‬‬
‫‪ b < d‬فإ‬
‫‪ .10‬إذا ا ‪a < b‬‬
‫‪ c‬يأ ع د حجيج‬
‫‪ .11‬إذا ا ‪ a,b‬ل هدا موي ييب ي‬
‫‪ .12‬إذا ا ‪0 < a < b‬‬
‫فإ ‪a  c < b  c‬‬
‫ل هدا سال يب‬
‫ا ‪ a < b‬فإ‬
‫‪1 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪a b‬‬
‫‪ 0 < c < d‬فإ ‪ac < bd‬‬
‫‪ .13‬إذا ا ‪ a < b‬فإ ‪a – b < 0‬‬
‫‪ .14‬إذا ا ‪ a > b‬فإ ‪a – b > 0‬‬
‫‪ .15‬إذا ا ‪ n 0 < a < b‬يأ ع د صميح مويب فإ ‪an < bn‬‬
‫مثا ‪:1‬‬
‫ي ي حلو الدو ايتة ‪2x + 1 > 2‬‬
‫الم‬
‫‪2x > 1‬‬
‫‪x > 1/2‬‬
‫يأ ي يأ ع د ي‬
‫مب ‪ 1/2‬يعو‬
‫حل لممغ الدو ايتة‪.‬‬
‫مثا ‪:2‬‬
‫إذا ا ‪ ، 1 – 3x > 2‬ي ي حلو همغ الدو ايتة؟‬
‫الم‬
‫إذ‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪- 3x > 1‬‬
‫‪x‬‬
‫عت تغي إشارة الدو ايتة يوغي ت عا لما إشارة الدو ايتة‬
‫‪Page 10‬‬
‫‪Dr. SaMeH‬‬
‫‪Math 105‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪x‬‬
‫‪Intervals‬‬
‫‪2.3‬‬
‫الف رات العدددة‬
‫إذا ا ‪a , b  R‬‬
‫ا ‪ a < b‬فإ ‪:‬‬
‫‪ .1‬الف درة المف عحدة ‪ :(a , b) Open interval‬هز‬
‫الو‬
‫تجل بيب ‪ ، a , b‬بمي‬
‫مجدوعزة ز او عز اد المجيجيزة ‪x‬‬
‫و يكو الع دا ‪ a , b‬ف‬
‫همغ الدجدوعة‪.‬‬
‫}‪(a , b) = {x: a <x < b‬‬
‫تدث عل‬
‫طط او ع اد‬
‫‪ .2‬الف درة المغاادة ‪ :[a , b] Closed interval‬هز‬
‫الو‬
‫تجل بيب ‪ ، a , b‬بدا ف‬
‫مجدوعزة ز او عز اد المجيجيزة ‪x‬‬
‫ذلك ‪.a , b‬‬
‫}‪[a , b] = {x: a  x  b‬‬
‫تدث عل‬
‫طط او ع اد‬
‫‪ .3‬الف رة نحف المف عحة نك ج ة اليميك ‪Half – open Interval from the Right‬‬
‫)‪ :[a , b‬ه‬
‫مجدوعة‬
‫او ع اد المجيجية ‪ x‬الو‬
‫تجل بيب ‪ ، a , b‬بدا ف‬
‫ذلك‬
‫الع د ‪.a‬‬
‫}‪[a , b) = {x: a  x  b‬‬
‫تدث عل‬
‫طط او ع اد‬
‫‪ .4‬الف رة نحف المف عحة نك ج ة اليسير ‪Half – open Interval from the Left‬‬
‫]‪ :(a , b‬هز‬
‫مجدوعزة ز او عز اد المجيجيزة ‪ x‬الوز‬
‫تجزل بزيب ‪ ، a , b‬بدزا فز‬
‫ذلزك‬
‫الع د ‪.b‬‬
‫‪Page 11‬‬
‫‪Dr. SaMeH‬‬
‫‪Math 105‬‬
‫}‪(a , b] = {x: a  x  b‬‬
‫تدث عل‬
‫طط او ع اد‬
‫همغ الفو اج تسد‬
‫الفو اج الدم‬
‫دة‪ .‬يما الفو اج غي الدم دة‪ ،‬فيدكب تصتيفما‬
‫اوآت ‪:‬‬
‫‪ .5‬ف رة عدددة ل ن يئية )‪ (a , ) (Infinite Interval‬ه‬
‫او‬
‫او ع اد المجيجية ‪x‬‬
‫مب الع د ‪a‬‬
‫}‪(a , ) = {x: x >a‬‬
‫‪ .6‬ف رة عدددة ل ن يئية )‪ (- , b) (Infinite Interval‬ه‬
‫او ع اد المجيجية ‪x‬‬
‫او صغ مب الع د ‪b‬‬
‫}‪(- , b) = {x: x <b‬‬
‫‪ .7‬ف رة عدددة ل ن يئية )‪ [a , ) (Infinite Interval‬ه‬
‫او‬
‫او ع اد المجيجية ‪x‬‬
‫مب الع د ‪ a‬ي تسا يع‬
‫}‪[a , ) = {x: x  a‬‬
‫‪ .8‬ف رة عدددة ل ن يئية )‪ (- , b] (Infinite Interval‬ه‬
‫او ع اد المجيجية ‪x‬‬
‫او صغ مب الع د ‪ b‬ي تسا يع‬
‫}‪(- , b] = {x: x  b‬‬
‫‪ .9‬الف رة الل ن يئية )‪ (-, ‬تدث مجدوعة‬
‫‪Page 12‬‬
‫او ع اد المجيجية‬
‫‪Dr. SaMeH‬‬
‫‪Math 105‬‬
‫‪Solving Inequalities‬‬
‫اذا طلب متا ح مو ايتة ما‪ ،‬فإنع يو تب عليتا إيجاد مجدوعة‬
‫(مجدوعة الم ) الو تجع الدو ايتة صميمة‪ ،‬ذلك عت ما نسو‬
‫ف الدو ايتة بأأ ع د يتود إل مجدوعة الم ‪.‬‬
‫فيدا يل اهم العدلياج الج ية الو يدكب إي اؤها عل الدو ايتاج د‬
‫تغي ف مجدوعة الم ‪.‬‬
‫‪2.4‬‬
‫او ع اد المجيجية‬
‫الدجمو الدويود‬
‫ي‬
‫تم ث يأ‬
‫‪ ‬يدكب إضافة نفس الدج ار إل ط ف الدو ايتة‬
‫‪ ‬يدكب ضرب ط ف الدو ايتة بع د مويب‬
‫‪ ‬يدكب ضرب ط ف الدو ايتة بع د سالب مل ضر رة عكس إتجاغ إشارة الدو ايتة‬
‫)‪Example (1‬‬
‫‪Solve the inequality 2x -7 < 4x – 2 then explain the set of solution graphically‬‬
‫‪Solution:‬‬
‫‪2x -7 < 4x – 2‬‬
‫‪2x -4x < -2 + 7‬‬
‫‪-2x < 5‬‬
‫‪2x >-5‬‬
‫‪X > -5/2‬‬
‫)∞ ‪{x:x > -5/2} = (-5/2 ,‬‬
‫)‪Example (2‬‬
‫‪Solve the inequality -5 ≤ 2x + 6 < 4‬‬
‫‪-11 ≤ 2x < -2‬‬
‫‪-11/2 ≤ x < -1‬‬
‫‪Solution:‬‬
‫‪-5 ≤ 2x + 6 < 4‬‬
‫‪Add -6 to all parts‬‬
‫½ ‪Multiply all by‬‬
‫)‪{ x: -11/2 ≤ x < -1} = [-11/2 , -1‬‬
‫)‪Example (3‬‬
‫‪Solve the inequality x2 - x < 6‬‬
‫‪Page 13‬‬
‫‪Dr. SaMeH‬‬
‫‪Math 105‬‬
‫‪Solution:‬‬
‫‪x2 - x < 6‬‬
‫‪Add -6 to both sides‬‬
‫‪x 2 – x -6 < 0‬‬
‫‪(x - 3) (x + 2) < 0‬‬
‫‪x = 3 , x = -2‬‬
‫)∞ ‪(-∞ , -2) , (-2,3) , (3,‬‬
‫ملموظة‪:‬ح الدو ايتة السابجة يعت ايجاد الفو ة ا الفو اج الو يكو عت ها الدج ار ‪(x‬‬
‫)‪ - 3) (x + 2‬يق مب الصف (اأ عت ما تكو اشارتع سال ة)‬
‫باطو ار نجاط الوجسيم الثل ث الو حصلتا عليما م للدو ايتة نج ي الفو تيب )‪(-∞ , -2‬‬
‫)∞ ‪ (3,‬تعطيا مج ارا موي ا بيتدا الفو ة )‪ (-2,3‬تعط مج ارا سال ا يمجق الدو ايتة‬
‫الدعطاغ بالوال فإ‬
‫)‪ (-2,3‬ه مجدوعة الم الو تمجق الدو ايتة تدث عل طط او ع اد دا يل‬
‫)‪Example (4‬‬
‫‪Solve the inequality 3x2 – x - 2>0‬‬
‫‪Solution:‬‬
‫)‪3x2 – x – 2 = (x – 1 ) (3x + 2‬‬
‫فإ نجطو الوجسيم هدا ‪ 1 – 2/3‬بالوال فإنمدا يجسدا الخط المجيج ال ثل ث‬
‫فو اج ه )∞‪ )-∞,- 2/3 ) , )-2/3 , 1 ( (1 ,‬باطم ‪ -2‬ع د اطو ار مب الفو ة ) ‪,- 2/3‬‬
‫مب الصف‬
‫∞‪ )-‬فإنتا نج ي إشارة الدج ار )‪ (x – 1 ) (3x + 2‬تكو موي ة (يأ ي‬
‫بالوال فإ همغ الفو ة تكو ممججة للم ‪.‬‬
‫بأط ‪ 0‬ع د يطو ار مب الفو ة ( ‪ )-2/3 , 1‬فإنتا نج ي إشارة الدج ار )‪(x – 1 ) (3x + 2‬‬
‫تكو سال ة (يصغ مب الصف ) بالوال فإ همغ الفو ة تكو غي ممججة للم ‪.‬‬
‫باطم ‪ 2‬ع د اطو ار مب الفو ة )∞‪ (1 ,‬فإنتا نج ي إشارة الدج ار )‪(x – 1 ) (3x + 2‬‬
‫مب الصف بالوال فإ همغ الفو ة تكو ممججة للم ‪.‬‬
‫تكو موي ة (يأ ي‬
‫هكما فإ مجدوعة ح الدو ايتة الدعطاغ تكو ع ارة عب او ع اد الدتودية إما إل )‬
‫‪ )-∞,- 2/3‬ي إل‬
‫)∞‪ . (1,‬بلغة الدجدوعاج فإ مجدوعة الم تكو ع ارة عب إتماد هاتيب الفو تيب‪.‬‬
‫)∞ ‪)-∞,- 2/3)  (1,‬‬
‫مب الضر رأ ي نجع يح ط ف‬
‫)‪Example (5‬‬
‫‪Solve the inequality 2x-5 / x-2 ≤ 1‬‬
‫‪Solution:‬‬
‫همغ الدو ايتة صف ا‪ .‬لملك نعي وابوما اوآت ‪:‬‬
‫‪[(2x-5( / )x-2( ] – 1 ≤ 0‬‬
‫‪Page 14‬‬
‫‪Dr. SaMeH‬‬
‫‪Math 105‬‬
‫‪[(2x-5( – (x-2( ]/ x - 2 ≤ 0‬‬
‫‪x–3/x–2≤0‬‬
‫مب ال سط الدجام بالصف فإنتا نج ي نجطو الوجسيم هدا ‪2,3‬‬
‫بدسا اة‬
‫مب همغ‬
‫سوجسدا الخط المجيج إل ثل ث فو اج‪ .(-∞,2) (2,3] [3,∞) :‬بإطو ار‬
‫الفو اج فإنتا نج ي مجدوعة الم ه ]‪.)2,3‬‬
‫يرسم الم ‪:‬‬
‫‪Page 15‬‬
‫‪Dr. SaMeH‬‬