Al Majmaa’h Engineering College
Differential Calculus (Math 105)
Math 105
Appendix 2
Dr. SaMeH Ahmed
Appendix 2– Chapter 2: Math 105
Chapter
2.1
2
Inequalities
Properties of Inequalities (1)
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
If 𝑎 > 𝑏 𝑎𝑛𝑑 𝑏 > 𝑐, 𝑡ℎ𝑒𝑛 𝑎 > 𝑐
If 𝑎 > 𝑏, 𝑡ℎ𝑒𝑛 𝑎 + 𝑐 > 𝑏 + 𝑐
If 𝑎 > 𝑏, 𝑡ℎ𝑒𝑛 𝑎 − 𝑐 > 𝑏 − 𝑐
If 𝑎 > 𝑏 𝑎𝑛𝑑 𝑐 𝑖𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑒, 𝑡ℎ𝑒𝑛 𝑎𝑐 > 𝑏𝑐
If 𝑎 > 𝑏 𝑎𝑛𝑑 𝑐 𝑖𝑠 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑒, 𝑡ℎ𝑒𝑛 𝑎𝑐 < 𝑏𝑐
Analogous properties are true if the inequality signs are reversed. Thus, if
𝑎 < 𝑏 and 𝑏 < 𝑐, then 𝑎 < 𝑐; 𝑖𝑓 𝑎 < 𝑏, then 𝑎 + 𝑐 < 𝑏 + 𝑐; and so on.
The absolute value |a| of a real number a is defined as follows:
𝑎 𝑖𝑓 𝑎 ≥ 0
|𝑎| = {
−𝑎 𝑖𝑓 𝑎 < 0
If a is the coordinate of the point A on the coordinate line, then |a| is the
number of units (that is, the distance) between A and the origin 0.
Page 2 of 9
Dr SaMeH
Appendix 2– Chapter 2: Math 105
If a and b are real numbers, then |a − b| represents the distance between
a and b.
For example;
|4| = 4, |−4| = -(-4) = 4, |0| = 0, |π − 3| = -(3-π) = π -3
2.2
Properties of Inequalities (2)
(i)
(ii)
(iii)
|a| < 𝑏 𝑖𝑓 𝑎𝑛𝑑 𝑜𝑛𝑙𝑦 𝑖𝑓 − 𝑏 < 𝑎 > 𝑏
|a| > 𝑏 𝑖𝑓 𝑎𝑛𝑑 𝑜𝑛𝑙𝑦 𝑖𝑓 𝑒𝑖𝑡ℎ𝑒𝑟 𝑎 > 𝑏 𝑜𝑟 𝑎 < −𝑏
|a| = 𝑏 𝑖𝑓 𝑎𝑛𝑑 𝑜𝑛𝑙𝑦 𝑖𝑓 𝑎 = 𝑏 𝑜𝑟 𝑎 = −𝑏
An equation (in x) is a statement such as:
A solution (or root) is a number b that produces a true statement when b
is substituted for x. To solve an equation means to find all the solutions.
Example (1):
Solve the following equations
(a) 𝒙𝟑 + 𝟑𝒙𝟐 − 𝟏𝟎𝒙 = 𝟎
Solution:
Factoring the left-hand side yields
𝑥(𝑥 2 + 3𝑥 − 10) = 0, 𝑜𝑟 𝑥(𝑥 − 2)(𝑥 + 5) = 0
Setting each factor equal to zero, gives us the solutions 0, 2 and -5.
(b) 𝟐𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 − 𝟔 = 𝟎
Solution:
Using the quadratic formula
Page 3 of 9
Dr SaMeH
Appendix 2– Chapter 2: Math 105
𝑥1,2
−𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐
=
2𝑎
With a = 2, b = 5 and c = -6, we obtain:
𝑥1,2 =
−5 ± √(5)2 − (4)(2)(−6)
(2)(2)
Thus, the solutions are
𝑥1 =
−5+√73
4
,
𝑥2 =
−5−√73
4
(c) 𝟕. 𝟑𝒙𝟐 − 𝟑𝟏. 𝟕𝒙 + 𝟏𝟓. 𝟐 = 𝟎
Solution:
Using the quadratic formula, we obtain
𝑥1,2
31.7 ± √(−31.7)2 − (4)(7.3)(15.2)
=
(2)(7.3)
𝑥1,2 =
31.7 ± √1004.89 − 443.84
14.6
𝑥1,2 =
31.7 ± √561.05
14.6
In this case, the solutions are:
𝑥1 =
31.7 + √561.05
= 3.8
14.6
𝑥2 =
31.7 − √561.05
= 0.55
14.6
Page 4 of 9
Dr SaMeH
Appendix 2– Chapter 2: Math 105
An inequality (in x) is a statement such that contains at least the
symbols <, >, 𝒐𝒓 ≤, ≥, such as
3𝑥 − 4 > 𝑥 2
−3 < 4𝑥 + 2 ≤ 5
The notation of solution of an inequality and solving an inequality
are similar to the analogous concepts for equations.
In calculus, we often use intervals. In the definitions that the
follows, we employ the set notation{𝑥:
}, where the space
after the colon is used to specify restrictions on the variable x.
The notation{𝑥: 𝑎 < 𝑥 ≤ 𝑏}, for example, denotes the set of all real
numbers greater than a and less than or equal to b. the equivalent
interval notation for this set is (a,b].
Note: revise the notations for the open and closed intervals.
2.3
Solving Inequalities
‫ فإنه يترتب علينا إيجاد مجموعة كل الأعداد الحقيقية‬،‫اذا طلب منا حل متباينة ما‬
‫ وذلك عندما نستبدل المجهول الموجود‬،‫(مجموعة الحل) التي تجعل المتباينة صحيحة‬
.‫في المتباينة بأي عدد ينتمي إلى مجموعة الحل‬
‫وفيما يلي اهم العمليات الجبرية التي يمكن إجراؤها على المتباينات دون أن تحدث أي‬
.‫تغير في مجموعة الحل‬
‫ يمكن إضافة نفس المقدار إلى طرفي المتباينة‬
‫ يمكن ضرب طرفي المتباينة بعدد موجب‬
‫ يمكن ضرب طرفي المتباينة بعدد سالب مع ضرورة عكس إتجاه إشارة المتباينة‬
Example (2)
Solve each inequality, and then sketch the graph of its solution:
(a) 2x -7 < 4x – 2
Page 5 of 9
Dr SaMeH
‫‪Appendix 2– Chapter 2: Math 105‬‬
‫‪Solution:‬‬
‫‪2x -7 < 4x – 2‬‬
‫‪2x -4x < -2 + 7‬‬
‫‪-2x < 5‬‬
‫‪2x >-5‬‬
‫‪X > -5/2‬‬
‫)∞ ‪{x:x > -5/2} = (-5/2 ,‬‬
‫‪(b) -5 ≤ 2x + 6 < 4‬‬
‫‪-11 ≤ 2x < -2‬‬
‫‪-11/2 ≤ x < -1‬‬
‫‪Solution:‬‬
‫‪-5 ≤ 2x + 6 < 4‬‬
‫‪Add -6 to all parts‬‬
‫½ ‪Multiply all by‬‬
‫)‪{ x: -11/2 ≤ x < -1} = [-11/2 , -1‬‬
‫‪© x2 - x < 6‬‬
‫‪Solution:‬‬
‫‪x2 - x < 6‬‬
‫‪Add -6 to both sides‬‬
‫‪x 2 – x -6 < 0‬‬
‫‪(x - 3) (x + 2) < 0‬‬
‫‪x = 3 , x = -2‬‬
‫)∞ ‪(-∞ , -2) , (-2,3) , (3,‬‬
‫‪(d) 3x2 – x - 2>0‬‬
‫‪Solution:‬‬
‫)‪3x2 – x – 2 = (x – 1 ) (3x + 2‬‬
‫فإن نقطتي التقسيم هما ‪ – 2/3‬و ‪ 1‬وبالتالي فإنهما يقسمان الخط الحقيقي الى ثلاث‬
‫فترات هي )∞‪ (1 ,‬و ( ‪ )-∞,- 2/3 ) , )-2/3 , 1‬وباخذ ‪ -2‬كعدد اختبار من الفترة ) ‪,- 2/3‬‬
‫∞‪ )-‬فإننا نجد أن إشارة المقدار )‪ (x – 1 ) (3x + 2‬تكون موجبة (أي أكبر من الصفر‬
‫وبالتالي فإن هذه الفترة تكون محققة للحل‪.‬‬
‫وبأخد ‪ 0‬كعدد أختبار من الفترة ( ‪ )-2/3 , 1‬فإننا نجد أن إشارة المقدار )‪(x – 1 ) (3x + 2‬‬
‫تكون سالبة (أصغر من الصفر) وبالتالي فإن هذه الفترة تكون غير محققة للحل‪.‬‬
‫وباخذ ‪ 2‬كعدد اختبار من الفترة )∞‪ (1 ,‬فإننا نجد أن إشارة المقدار )‪(x – 1 ) (3x + 2‬‬
‫تكون موجبة (أي أكبر من الصفر وبالتالي فإن هذه الفترة تكون محققة للحل‪.‬‬
‫‪Page 6 of 9‬‬
‫‪Dr SaMeH‬‬
Appendix 2– Chapter 2: Math 105
) ‫وهكذا فإن مجموعة حل المتباينة المعطاه تكون عبارة عن الأعداد المنتمية إما إلى‬
‫) أو إلى‬-∞,- 2/3
.‫ وبلغة المجموعات فإن مجموعة الحل تكون عبارة عن إتحاد هاتين الفترتين‬. (1,∞)
)-∞,- 2/3)  (1, ∞)
(e) 2x-5 / x-2 ≤ 1
Solution:
[(2x-5( / )x-2( ] – 1 ≤ 0
[(2x-5( – (x-2( ]/ x - 2 ≤ 0
x–3/x–2≤0
𝟒−𝟑𝒙
(f) −𝟓 ≤
𝟐
<1
Solution:
−5 ≤
4−3x
2
<1
Given
−10 ≤ 4 − 3𝑥 < 2
Multiply by 2
−14 ≤ −3𝑥 < −2
Subtract 4
14
Divided by -3, reverse the inequality signs
3
2
3
≥𝑥>
<𝑥≤
2
3
14
3
Equivalent inequality
2 14
Hence, the solutions are the numbers of the half-open interval ( ,
3 3
]. The
graph is sketched as follow:
(g) 𝒙𝟐 − 𝟏𝟎 > 3𝒙
Solution:
Page 7 of 9
Dr SaMeH
Appendix 2– Chapter 2: Math 105
𝑥 2 − 10 > 3𝑥
𝑥 2 − 3𝑥 − 10 > 0
(𝑥 − 5)(𝑥 + 2) > 0
Given
Subtract 3x
factor
Now examine the signs of the factors (𝑥 − 5) and (𝑥 + 2), as shown in the
following figure.
Since, (𝑥 − 5)(𝑥 + 2) > 0 if both factors have the same sign, the solutions area
the real numbers in the union (−∞, − 2) ∪ (5, ∞)
(h) Solve the inequality, and then sketch the graph of its solution
|𝐱 − 𝟑| < 0.5
Solution:
−0.5 < 𝑥 − 3 < 0.5
2.5 < 𝑥 < 3.5
The solutions are the real numbers in the open interval (2.5, 3.5) as shown in
the next figure.
Page 8 of 9
Dr SaMeH
Appendix 2– Chapter 2: Math 105
Page 9 of 9
Dr SaMeH