Mata kuliah
Tahun
: A0392 - Statistik Ekonomi
: 2010
Pertemuan 02
Ukuran Pemusatan dan Letak/Lokasi
1
Outline Materi:
• Ukuran Pemusatan :
Rata-rata Hitung; Rata-rata Ukur; Rata-rata
Harmonis; dan Modus
• Ukuran Posisi (Letak) :
Median, Kuartil, Desil, Persentil
• Ukuran Variasi Atau Disversi :
Range; Rata-rata Simpangan; Ragam (Variansi)
dan Simpangan Baku; Koefisien Variasi (CV);
dan Angka Baku Z
2
Basic Business Statistics
Summary Measures
Summary Measures
Central Tendency
Quartile
Mode
Mean
Median
Range
Variation
Coefficient of
Variation
Variance
Geometric Mean
Standard Deviation
3
Measures of Central Tendency
Central Tendency
Mean
Mode
Median
n
X 
X
i 1
N

i 1
Geometric Mean
X G   X1  X 2 
n
X
i
 Xn 
1/ n
i
N
4
Mean (Arithmetic Mean)
• Mean (Arithmetic Mean) of Data Values
– Sample mean
Sample Size
n
X
X
i 1
i
n
– Population mean

i 1
N
 Xn
Population Size
N
X
X1  X 2 

n
i
X1  X 2 

N
 XN
5
Mean (Arithmetic Mean)
• The Most Common Measure of Central
Tendency
• Affected by Extreme Values (Outliers)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Mean = 5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 14
Mean = 6
6
RATA-RATA HITUNG
DATA TUNGGAL
Jika terdapat n buah data yang terdiri dari
x1, x2, x3, … xn,
rata-rata hitung data tersebut dapat didefinisikan sebagai
berikut.
x1  x 2  x 3  ....  x n
x
n
n
x
Σ xi
i1
n
atau
n
= banyak data
Σx i
= jumlah data (jumlah
atau
Σx i
x
n
data ke-1 sampai dengan data ke-n)
7
RATA-RATA HITUNG
DATA TUNGGAL DIBOBOT
Jika nilai n buah data adalah x1, x2, x3, … xn, dan masing-masing
frekuensinya adalah f1, f2, f3, … fn , nilai rata-rata hitung sekumpulan
data tersebut didefinisikan sebagai berikut.
f1.x 1  f2 .x 2  f3 .x 3  ....  fn.x n
x
atau
n
n
Σ fi .x i
x  i1
Σfi .x i
fi
xi
fi = n
n
atau
x

Σfi .x i
Σfi
= Jumlah hasil perkalian setiap data dan frekuensinya
= Frekuensi data ke-i
= Data ke-i
= banyak data
8
Mean (Arithmetic Mean)
• Approximating the Arithmetic Mean
– Used cwhen raw data are not available
mj f j

j 1
– X
n
n  sample size
c  number of classes in the frequency distribution
m j  midpoint of the jth class
f j  frequencies of the jth class
9
RATA-RATA HITUNG
DATA BERKELOMPOK
Berikut ini adalah
rumus-rumus
untuk
menentukan
Rata-rata hitung
Menentukan
rata-rata
hitung
data berkelompok
akan data
berkelompok.
lebih mudah apabila data disajikan dalam bentuk tabel
1. dengan rumus
sigma
distribusi
frekuensi.
, xi = Titik tengah
x
i
i
= ½ . (batas bawah + batas atas)
i
2. dengan rumus coding
x  x0
f .x


f
 f .c

i
n
i
.I
I = Interval kelas = Panjang kelas
bn  bn1
=
sat uanukurant erkecil
x0 = Titik tengah pada frekuensi
3. dengan rata-rata duga
x  x0
ci = Kode titik tengah
terbesar
f .d


i
i
di = xi – x0
n
10
Contoh Soal :
Rata-rata pendapatan harian
pedagang kaki lima pada
tabel di samping adalah :
x
f .x


f
i
i
i
x

585
50
= 11,7
Tabel pendapatan 50
Pedagang kaki lima pada
tanggal 1 Januari 2009
NO
Pendapatan
(dalam puluhan
ribu rupiah)
fi
1
1 – 5
6
2
6 – 10
20
3
11 - 15
10
4
16 - 20
9
5
21 - 25
5
Penghasilan rata-rata
pedagang = 11,7 x 10.000
= Rp 117.000
11
1.
2.
Contoh : Data berkelompok (data yang disajikan dalam tabel
distribusi frekuensi)
Rumus nilai tengah =  f. X/n
Interval
Nilai Tengah (X)
Jumlah Frekuensi (f)
160-303
231,5
2
463,0
304-447
375,5
5
1.877,5
448-591
519,5
9
4.675,5
592-735
663,5
3
1.990,5
736-878
807,0
1
807,0
Jumlah
Nilai Rata-rata ( fX/n)
n = 20
f.X
 f=
9.813,5
490,7 12
Rata-rata Ukur
(Geometric Mean)
• Useful in the Measure of Rate of Change
of a Variable Over Time
X G   X1  X 2 
 Xn 
1/ n
• Geometric Mean Rate of Return
– Measures the status of an investment over
time
RG  1  R1   1  R2  
 1  Rn  
1/ n
1
13
Example
An investment of $100,000 declined to $50,000 at
the end of year one and rebounded back to
$100,000 at end of year two:
R1  0.5 (or  50%) R2  1 (or 100% )
Average rate of return:
( 0.5)  (1)
R
 0.25 (or 25%)
2
Geometric rate of return:
RG  1  0.5   1  1 
1/ 2
  0.5    2  
1/ 2
1
 1  11/ 2  1  0 (or 0%)
14
MODUS
Definisi:
Nilai yang (paling) sering muncul.
Rumus Modus Data Berkelompok:
Mo
= L + (d1/(d1+d2)) x i
15
Mode (Modus)
•
•
•
•
•
•
A Measure of Central Tendency
Value that Occurs Most Often
Not Affected by Extreme Values
There May Not Be a Mode
There May Be Several Modes
Used for Either Numerical or Categorical
Data
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Mode = 9
0 1 2 3 4 5 6
No Mode
16
Ukuran Posisi (Lokasi)
Median, Kuartil Desil &
Persentil
• Robust Measure of Central Tendency
• Not Affected by Extreme Values
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Median = 5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 14
Median = 5
• In an Ordered Array, the Median is the
‘Middle’ Number
– If n or N is odd, the median is the middle
number
17
Ukuran Pemusatan
Bab 3
MEDIAN
Definisi:
Nilai yang letaknya berada di tengah data dimana data tersebut
sudah diurutkan dari terkecil sampai terbesar atau sebaliknya.
Median Data tidak Berkelompok:
(a) Letak median = (n+1)/2,
(b) Data ganjil, median terletak di tengah,
(c) Median untuk data genap adalah rata-rata dari dua data yang
terletak di tengah.
Rumus Median Data Berkelompok:
Md = L +
n/2  CF
f
xi
18
UKURAN LETAK: KUARTIL
Definisi:
Kuartil adalah ukuran letak yang membagi 4 bagian yang
sama. K1 sampai 25% data, K2 sampai 50% dan K3 sampai
75%.
Rumus letak kuartil:
DATA TIDAK BERKELOMPOK
K1
= [1(n + 1)]/4
K2
= [2(n + 1)]/4
K3
= [3(n + 1)]/4
DATA BERKELOMPOK
1n/4
2n/4
3n/4
0
K1
K2
K3
n
0%
25%
50%
75%
100%
19
Quartiles
• Split Ordered Data into 4 Quarters
25%
25%
 Q1 
25%
 Q2 
• Position of i-th Quartile
25%
Q3 
i  n  1
 Qi  
4
Data in Ordered Array: 11 12 13 16 16 17 18 21 22
1 9  1
12  13

Position of Q1 
 2.5
Q1 
 12.5
4
2
• Q1 and Q3 are Measures
of Noncentral
Location
• Q2 = Median, a Measure of Central
Tendency
20
UKURAN LETAK: DESIL
Definisi:
Desil adalah ukuran letak yang membagi 10 bagian yang sama.
D1 sebesar 10%
D2 sampai 20%
D9 sampai 90%
Rumus Letak Desil:
DATA TIDAK BERKELOMPOK
DATA BERKELOMPOK
D1 = [1(n+1)]/10
1n/10
D2 = [2(n+1)]/10
2n/10
….
D9 = [9(n+1)]/10
9n/10
21
Measures of Variation
(Ukuran Penyimpangan)
Variation
Variance
Range
Population
Variance
Sample
Variance
Interquartile Range
Standard Deviation
Population
Standard
Deviation
Sample
Standard
Deviation
Coefficient
of Variation
22
Range (Jangkauan)
• Measure of Variation
• Difference between the Largest and the
Smallest Observations:
Range  X Largest  X Smallest
• Ignores How Data are Distributed
Range = 12 - 7 = 5
Range = 12 - 7 = 5
7
8
9
10
11
12
7
8
9
10
11
12
23
Interquartile Range
• Measure of Variation
• Also Known as Midspread
– Spread in the middle 50%
• Difference between the First and Third
Quartiles
Data in Ordered Array: 11 12 13 16 16 17
17 18 21
Interquartile Range  Q3  Q1  17.5  12.5  5
• Not Affected by Extreme Values
24
Variance (Ragam)
• Important Measure of Variation
• Shows Variation about the Mean
– Sample Variance:
n
S 
2
 Xi  X 
i 1
n 1
n
2
Atau
– Population Variance:
 
2
S 2
n X i2  ( X i ) 2
i 1
n(n  1)
N
 X
i 1
i 1
i

N
2
25
Standard Deviation
• Most Important Measure of
Variation
• Shows Variation about the Mean
• Has the Same Units as the
Original Data
– Sample Standard Deviation:
n
S
 X
i 1
i
X
2
Atau akar dari { S 2 
n X
i 1
n 1
n
2
i
 ( X i ) 2
i 1
n( n  1)
N
– Population Standard Deviation:

}
 X
i 1
i
N

2
26
Ragam Data Berkelompok
Ragam (Variance) Untuk Data Berkelompok :
k
S 
2
k
n f i X  ( f i X i ) 2
i 1
2
i
i 1
n(n  1)
k
. dim ana
n   fi
i 1
Simpangan Baku Untuk Data Berkelompok
Sama Dengan Akar Dari S2 :
27
Comparing Standard
Deviations
Data A
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
Mean = 15.5
s = 3.338
Data B
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
Mean = 15.5
s = .9258
Data C
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
Mean = 15.5
s = 4.57
28
Coefficient of Variation
• Measure of Relative Variation
• Always in Percentage (%)
• Shows Variation Relative to the Mean
• Used to Compare Two or More Sets of
Data Measured in Different Units
•
S
CV  
X

100%

• Sensitive to Outliers
29
Shape of a Distribution
• Describe How Data are Distributed
• Measures of Shape
– Symmetric or skewed
Left-Skewed
Mean < Median < Mode
Symmetric
Mean = Median =Mode
Right-Skewed
Mode < Median < Mean
30
Exploratory Data Analysis
• Box-and-Whisker
– Graphical display of data using 5-number
summary
X smallest Q
1
4
6
Median( Q2)
8
Q3
10
Xlargest
12
31
Distribution Shape &
Box-and-Whisker
Left-Skewed
Q1
Q2 Q3
Symmetric
Q1Q2Q3
Right-Skewed
Q1 Q2 Q3
32
SOAL LATIHAN
Soal 1:
Hitunglah Jarak rata-rata yang
ditempuh siswa dari rumah ke
sekolah (tabel 3). Hitung Juga :
a. Median, Modus dan Kuartil ke 3
b. Ragam (Variance)
c. Koefisien Variasi
Tabel 3
Jarak
Frekuensi
Soal 2 :
Hitunglah Panjang rata-rata 50 potong
kawat (tabel 4). Hitung Juga :
a. Median, Modus, Kuartil ke 3, dan
Desil
ke 6
b. Ragam (Variance)
Tabel 4
c. Koefisien Variasi
Hasil
fi
pengukuran
5,0 – 5,8
10
1 - 10
40
5,9 – 6,7
15
11 – 20
25
6,8 – 7,6
18
21 – 30
20
7,7 – 8,5
31 - 40
15
7
33
SELAMAT BELAJAR SEMOGA SUKSES SELALU
34
34